\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1pt
\TagsOnRight

\parskip=1pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\def\Re{\text{\rm Re}\,}
\def\Im{\text{\rm Im}\,}
\font\BBB=msbm10

\centerline{\bf STACION\'ARIUS GAUSS FOLYAMATOK JELLEMZ\'ESE} 
\centerline{\bf  A SPEKTR\'AL M\'ERT\'EK SEG\'ITS\'EG\'EVEL.}

\medskip
\centerline{\it A  BOCHNER T\'ETEL \'ES N\'EH\'ANY K\"OVETKEZM\'ENYE}

\beginsection 1. A Bochner t\'etel.

E jegyzet els\H{o}sorban a k\"ovetkez\H{o} k\'erd\'essel foglalkozik. 

Jellemezz\"uk az eg\'esz sz\'amok halmaz\'an defini\'alt $X_n$,
$n=0,\pm1,\pm2,\dots$, stacion\'arius Gauss sorozatokat \'es a 
val\'os sz\'amegyenesen defini\'alt $X_t$, $-\infty<t<\infty$, 
stacion\'arius Gauss folyamatokat. El\'eg azzal a speci\'alis
esettel foglalkozni, amikor $EX_n=0$, illetve $EX_t=0$ minden 
$n=0,\pm 1,\dots$ eg\'esz illetve $-\infty<t<\infty$ val\'os 
sz\'amra. A Gauss eloszl\'as tulajdons\'agaib\'ol k\"ovetkezik, 
hogy egy nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okb\'ol \'all\'o 
stacion\'arius Gauss sorozatot illetve Gauss folyamatot 
egy\'ertelm\H{u}en meghat\'aroz annak $r(n)=EX_mX_{m+n}$, 
$n=0,\pm1,\dots$, illetve $r(t)=EX_sX_{s+t}$, $-\infty<t<\infty$, 
kovariancia f\"uggv\'enye. De nem vil\'agos, hogy hogyan tudjuk
megadni a le\-het\-s\'e\-ges $r(n)$ illetve $r(t)$ kovariancia 
f\"ugg\-v\'e\-nye\-ket. Meg fogjuk mutatni, hogy e kovariancia 
f\"uggv\'enyeket j\'ol tudjuk jellemezni, mint egy spektr\'al 
m\'ert\'eknek nevezett m\'ert\'ek Fourier transzform\'altj\'at. 
De ahhoz, hogy ezt megtehess\"uk meg kell ismern\"unk az 
anal\'{\i}zis egyik fontos eredm\'eny\'et, az \'ugynevezett 
Bochner t\'etelt. Ennek az eredm\'enynek az ismertet\'ese e 
jegyzet f\H{o} t\'em\'aja.

Egy m\'asik szint\'en ebben a jegyzetben t\'argyalt eredm\'eny 
arr\'ol sz\'ol, hogy miut\'an el\H{o}\'all\'{\i}tottuk egy 
stacion\'arius Gauss sorozat vagy Gauss folyamat 
ko\-va\-riancia\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et, mint egy spektr\'al 
m\'ert\'ek Fourier transzform\'altj\'at hogyan tudjuk mag\'at 
a Gauss sorozatot illetve Gauss folyamatot is el\H{o}\'all\'{\i}tani
egy alkalmasan defini\'alt v\'eletlen spektr\'al m\'ert\'ek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.

Annak \'erdek\'eben, hogy ezeket a probl\'em\'akat t\'argyalhassuk 
el\H{o}sz\"or felid\'ezek n\'e\-h\'any alapvet\H{o} fogalmat \'es
eredm\'enyt.

\medskip\noindent
{\bf T\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'asok definici\'oja.}
{\it Defini\'aljuk el\H{o}sz\"or a t\"obb-di\-men\-zi\'os standard
norm\'alis eloszl\'ast. Azt mondjuk, hogy egy $(\xi_1,\dots,\xi_k)$
v\'eletlen vektor eloszl\'asa a $k$-dimenzi\'os standard norm\'alis
eloszl\'as, ha a $\xi_1,\dots,\xi_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok f\"ug\-get\-le\-nek, \'es mindegyik $\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, $1\le j\le k$, standard
norm\'alis eloszl\'as\'u. Ekvivalens megfogalmaz\'asban azt
mondhatjuk, hogy egy $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ v\'eletlen vektor
eloszl\'asa a $k$-dimenzi\'os standard norm\'alis eloszl\'as, ha
e v\'eletlen vektornak l\'etezik s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye,
\'es az az $f(u_1,\dots,u_k)=\frac1{(2\pi)^{k/2}}\exp
\left\{-\frac12\summ_{j=1}^k u_j^2\right\}$ f\"uggv\'eny.

Egy $(\eta_1,\dots,\eta_k)$ $k$ dimenzi\'os v\'eletlen vektor $k$
dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u vektor nulla v\'arhat\'o
\'ert\'ekkel, ha e v\'eletlen vektor eloszl\'asa megegyezik valamely
$(\bar\eta_1,\dots,\bar\eta_k)=(\xi_1,\dots,\xi_k)A$
$k$-dimenzi\'os vektor eloszl\'as\'aval, ahol $A$ egy $k\times k$
m\'eret\H{u} m\'atrix, tov\'abb\'a $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ egy
$k$-dimenzi\'os standard norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor.

Egy $(\zeta_1,\dots,\zeta_k)$ v\'eletlen vektor  $k$-dimenzi\'os
norm\'alis eloszl\'as\'u vektor, ha eloszl\'asa megegyezik egy
$(\eta_1,\dots,\eta_k)+(m_1,\dots,m_k)$ v\'eletlen vektor
eloszl\'as\'aval, ahol $(\eta_1,\dots,\eta_k)$ egy $k$-dimenzi\'os
norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor, amelynek a v\'arhat\'o
\'ert\'eke nulla, \'es $(m_1,\dots,m_k)$ $k$-dimenzi\'os
determinisztikus vektor.}


\medskip\noindent
{\bf T\'etel a t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as
tulajdons\'agair\'ol.} {\it Tekints\"unk egy $k$-dimenzi\'os
$(\eta_1,\dots,\eta_k)=(\xi_1,\dots,\xi_k)A+(m_1,\dots,m_k)$
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot,
ahol $A$ egy $k\times k$ m\'eret\H{u} m\'atrix, $m=(m_1,\dots,m_k)$
$k$-dimenzi\'os (v\'eletlent\H{o}l nem f\"ugg\H{o}) vektor
\'es $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ egy $k$-dimenzi\'os standard norm\'alis
eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor. Akkor $(\eta_1,\dots,\eta_k)$ egy
$m=(m_1,\dots,m_k)$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es $D=A^*A$
kovariancia m\'atrix\'u v\'eletlen vektor. Egy norm\'alis
eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor kovariancia m\'atrixa pozit\'{\i}v
(szemi)definit, \'es megford\'{\i}tva, minden $k\times k$
m\'eret\H{u} pozit\'{\i}v (szemi)definit m\'at\-rix\-hoz \'es $k$
dimenzi\'os vektorhoz l\'etezik olyan $k$-v\'altoz\'os norm\'alis
eloszl\'as\'u v\'e\-let\-len vek\-tor, amely\-nek ez a kovariancia
m\'atrixa \'es v\'arhat\'o \'ert\'ek vektora.  Tov\'abb\'a egy
$k$-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'as\'at meghat\'arozza annak $m$ v\'arhat\'o
\'ert\'ek vektora \'es $D$ kovariancia m\'atrixa.}
\medskip

Bevezetj\"uk tov\'abb\'a a k\"ovetkez\H{o} fogalmat is.

\medskip\noindent
{\bf Gauss (sztochasztikus) folyamat definici\'oja.}  {\it Egy
$\xi_t$, $t\in T$, sztochasztikus fo\-lya\-ma\-tot Gauss
folyamatnak nevez\"unk, ha minden v\'eges dimenzi\'os eloszl\'asa 
norm\'alis el\-osz\-l\'as, azaz a $T$ halmaz minden 
$T_0=\{t_1,\dots,t_k\}$ v\'eges r\'eszhalmaz\'ara a
$(\xi_{t_1},\dots,\xi_{t_k})$ v\'eletlen vektor t\"obb-dimenzi\'os
norm\'alis eloszl\'as\'u vektor.}

\medskip\noindent
{\bf Stacion\'arius (sztochasztikus) folyamat definici\'oja.}
{\it Legyen adva egy $X(t,\oo)$ szto\-chasz\-ti\-kus fo\-lya\-mat a
$-\infty<t<\infty$ egyenesen, vagy a $t=0,\pm1,\pm2,\dots$ eg\'esz
sz\'amok halmaz\'an. Azt mondjuk, hogy az $X(t,\oo)$ sztochasztikus
folyamat (er\H{o}s \'ertelemben) stacion\'arius, ha minden $u>0$
sz\'amra (a sz\'amegyenes eset\'eben), illetve minden $u>0$ eg\'esz
sz\'amra, (ha a sztochasztikus folyamat az eg\'esz sz\'amokkal van
indexelve) ``az $X(t,\oo)$ szto\-chasz\-ti\-kus folyamat $u$ 
sz\'ammal val\'o eltoltja,'' az $\bar X(t,\oo)=X(t+u,\oo)$,
$-\infty<t<\infty$, (vagy $t=0,\pm1,\pm2,\dots$), sztochasztikus
folyamat v\'eges dimenzi\'os eloszl\'asai meg\-egyez\-nek az 
$X(t,\oo)$ folyamat v\'eges dimenzi\'os eloszl\'asaival. 
M\'ask\'epp fogalmazva azt k\"ovetelj\"uk meg, hogy minden $u>0$  
(eg\'esz vagy val\'os) sz\'amra, (att\'ol f\"ugg\H{o}en, hogy a
$t$ indexek halmaza az eg\'esz vagy a val\'os sz\'amokb\'ol 
\'all-e) \'es minden $k\ge1$ eg\'esz sz\'amra valamint
$-\infty<t_1<t_2<\cdots<t_k<\infty$ sz\'amokra az
$X(t_{j},\oo)$, $1\le j<k$, $k$-dimenzi\'os \'es
$X(t_{j}+u,\oo)$, $1\le j<k$, $k$-dimenzi\'os v\'eletlen
vektorok eloszl\'asai egyezzenek meg.}

\medskip
Az er\H{o}s \'ertelemben stacion\'arius folyamatoknak van egy 
gyeng\'en stacion\'arius folyamatnak nevezett megfelel\H{o}je. 
Megadom ennek a definici\'oj\'at is.

\medskip\noindent
{\bf Gyeng\'en stacion\'arius folyamat definici\'oja.}
{\it Legyen adva egy $X(t,\oo)$ szto\-chasz\-ti\-kus folyamat a
$-\infty<t<\infty$ egyenesen, vagy a $t=0,\pm1,\pm2,\dots$ eg\'esz
sz\'amok halmaz\'an, \'es legyen $EX(t,\oo)^2<\infty$ minden $t$
param\'eterre. Azt mondjuk, hogy az $X(t,\oo)$ szto\-chasz\-ti\-kus
folyamat gyenge \'ertelemben stacion\'arius, ha l\'etezik olyan
$M$ sz\'am, hogy $EX(t,\oo)=M$, minden $t$ sz\'amra, azaz a
v\'arhat\'o \'ert\'ek nem f\"ugg a $t$ sz\'amt\'ol, \'es l\'etezik
olyan $\rho(s)$ f\"uggv\'eny ($-\infty<s<\infty$, ha a
szto\-chasz\-ti\-kus folyamat a val\'os, \'es $s=0,\pm1,\pm2,\dots$,
ha a sztochasztikus folyamat az eg\'esz sz\'amokkal van indexelve),
\'ugy, hogy $\Cov(X(t,\oo),X(t+s,\oo))=\rho(s)$. Ez azt jelenti,
hogy az $X(t,\oo)$ \'es $X(t+s,\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok ko\-va\-ri\-ancia\-f\"uggg\-v\'enye csak a $t$ \'es 
$t+s$ sz\'amok $s$ k\"ul\"onbs\'eg\'et\H{o}l f\"ugg, \'es nincs
jelent\H{o}s\'ege annak, hogy mi  a $t$ sz\'am \'ert\'eke.}

\medskip
A k\"ovetkez\H{o} egyszer\H{u} lemm\'aban megfogalmazok egy
egyszer\H{u} kapcsolatot az er\H{o}sen \'es gyeng\'en
stacion\'arius sztochasztikus folyamatok k\"oz\"ott.

\medskip\noindent
{\bf Lemma.} {\it Ha $X(t,\oo)$ er\H{o}sen stacion\'arius
sztochasztikus folyamat, \'es $EX(t,\oo)^2<\infty$, akkor $X(t,\oo)$
gyeng\'en stacion\'arius folyamat.

Megford\'{\i}tva, ha $X(t,\oo)$ gyeng\'en stacion\'arius
sztochasztikus folyamat, \'es egyben Gauss-folyamat, akkor $X(t,\oo)$
er\H{o}sen stacion\'arius folyamat.}

\medskip\noindent
{\it A lemma bizony\'{\i}t\'asa.}\/ A Lemma els\H{o} \'all\'{\i}t\'asa
ny\'{\i}lv\'anval\'o. A m\'asodik \'all\'{\i}t\'as igazol\'asa
szint\'en egyszer\H{u}, ha meg\'ertj\"uk, hogy egy
t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
vektor eloszl\'as\'at meghat\'arozza annak v\'arhat\'o \'ert\'ek
vektora \'es kovariancia m\'atrixa.

\medskip
Meg k\'{\i}v\'anjuk adni az \"osszes lehets\'eges (nulla 
v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u}) stacion\'arius Gauss sorozat \'es 
Gauss folyamat eloszl\'as\'at. Tekints\"uk el\H{o}sz\"or azt 
a probl\'em\'at, hogy milyen lehet egy valamely $T$ 
param\'eter tar\-to\-m\'a\-nyon defini\'alt, nem 
felt\'etlen\"ul stacion\'arius $X(t)$, $t\in T$, Gauss 
folyamat eloszl\'asa. Az egyszer\H{u}bb 
jel\"ol\'es \'erdek\'eben feltessz\"uk, hogy $EX(t)=0$ 
minden $t\in T$ pontban. A Kolmogorov f\'ele alapt\'etel 
sze\-rint elegend\H{o} megadni a sztochasztikus
folyamat v\'eges dimenzi\'os eloszl\'asait konzisztens m\'odon. 
Ilyen m\'odon defini\'aljuk egy szto\-chasz\-ti\-kus folyamat 
eloszl\'as\'at, \'es minden szto\-chasz\-ti\-kus folyamat 
eloszl\'as\'at defini\'alhatjuk ezen a m\'odon. Jelen esetben, 
mivel v\'eges dimenzi\'os Gauss eloszl\'asokat kell 
defini\'alni, ez\'ert egy nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat tartalmaz\'o $X(t)$, 
$t\in T$, Gausss folyamat eloszl\'as\'anak definici\'oj\'ahoz 
el\'eg megadni az $R(s,t)=EX_sX_t$, $s,t\in T$, kovariancia
f\"uggv\'enyeket. Annak, hogy l\'etezz\'ek egy adott $R(s,t)$, 
$s,t\in T$, kovarianciaf\"uggv\'ennyel rendelkez\H{o} Gauss folyamat 
az a sz\"uks\'eges \'es el\'egs\'eges felt\'etele, hogy 
tetsz\H{o}leges $k\ge 1$ eg\'esz sz\'amra \'es $t_1,\in T$,
\dots $t_k\in T$ pontokra az $i$-edik sor $j$-ik oszlop\'aban
  $R(t_i,t_j)$ elemet tartalmaz\'o, $1\le i,j\le k$, 
$k\times k$ m\'eret\H{u} m\'atrix pozit\'{\i}v 
szemidefinit legyen. 

Tekints\"uk azt az esetet, amikor a $T$ param\'eter tartom\'any
az eg\'esz sz\'amok $n=0,\pm1,\pm2,\dots$ halmaza vagy a 
$-\infty<t<\infty$ sz\'amegyenes. Akkor fog az el\H{o}bb 
defini\'alt k\'{\i}v\'ant tulajdons\'ag\'u $R(s,t)$ f\"uggv\'eny 
stacion\'arius Gauss sorozatot vagy Gauss fo\-lya\-ma\-tot 
defini\'al, ha $R(s,t)=r(t-s)$ alkalmas $r(\cdot)$ f\"uggv\'ennyel 
minden $s$ \'es $t$ pontban. Az al\'abb t\'argyaland\'o Bochner 
t\'etel az ilyen $r(\cdot)$ f\"uggv\'enyek le\'{\i}r\'as\'at 
adja. Annak \'erdek\'eben, hogy ezt az eredm\'enyt meg tudjuk 
fogalmazni, el\H{o}sz\"or bevezetj\"uk a pozit\'{\i}v definit 
f\"uggv\'eny fogalm\'at. Azt\'an a Bochner t\'etelben jellemezz\"uk 
a pozit\'{\i}v definit f\"uggv\'enyeket. Sz\"uks\'eg\"unk lesz 
m\'eg egy apr\'o technikai neh\'ezs\'eg megold\'as\'ara. A 
pozit\'{\i}v definit f\"uggv\'enyek \'altal\'aban komplex
\'ert\'ek\H{u}ek. Mi viszont olyan $r(t)$ f\"uggv\'eny 
keres\"unk, amelyik val\'os \'ert\'ek\H{u}. De ha meg tudjuk 
adni a pozit\'{\i}v definit f\"uggv\'enyeket, akkor nem 
neh\'ez k\"oz\"ul\"uk kiv\'alasztani a val\'os \'ert\'ek\H{u} 
pozit\'{\i}v definit f\"uggv\'enyeket.

\medskip\noindent
{\bf Pozit\'{\i}v definit f\"uggv\'eny definici\'oja.} {\it Egy a 
val\'os sz\'amegyenesen defini\'alt $r(t)$, $-\infty<t<\infty$,
f\"uggv\'enyt pozit\'{\i}v definitnek nevez\"unk, ha minden 
$k\ge1$ eg\'esz, $t_1,\dots,t_k$ val\'os \'es $z_1,\dots,z_k$ 
komplex sz\'amokb\'ol \'all\'o rendszer teljes\'{\i}ti a
$$
\sum_{1\le j,l\le k} z_j\bar z_l r(t_j-t_l)\ge 0 \tag1.1
$$
egyenl\H{o}tlens\'eget, ahol $\bar z$ a $z$ komplex sz\'am 
konjug\'altj\'at jel\"oli.

Egy az eg\'esz sz\'amok $t=0,\pm1,\pm2,\dots$ halmaz\'an
defini\'alt $r(t)$ f\"uggv\'enyt
pozit\'{\i}v definitnek nevez\"unk, ha minden $k\ge1$ eg\'esz, 
$t_1,\dots,t_k$ eg\'esz \'es $z_1$,\dots, $z_k$ komplex 
sz\'amokb\'ol \'all\'o rendszer teljes\'{\i}ti az
(1.1) azonoss\'agot.}

\medskip
P\'elda a sz\'amegyenesen defini\'alt $r(t)$ pozit\'{\i}v 
definit f\"uggv\'enyre az $r_u(t)=e^{i ut}$ f\"uggv\'eny 
tetsz\H{o}leges $u$ val\'os sz\'ammal, mert ebben az esetben
$$
\align
\sum_{1\le j,l\le k} z_j\bar z_l r_u(t_j-t_l)
&=\sum_{1\le j,l\le k} z_j\bar z_l e^{i u(t_j-t_l)}
=\sum_{1\le j,l\le k} z_j\bar z_l e^{i ut_j}\overline{e^{iut_l)}} \\
&=\(\sum_{j=1}^k z_j e^{iut_j}\)
\overline{\(\sum_{j=1}^k z_j e^{iut_j}\)}\ge 0. \tag1.2
\endalign
$$
Hasonl\'oan, az $r_u(t)=e^{i ut}$ f\"uggv\'eny pozit\'{\i}v 
definit az eg\'esz sz\'amok halmaz\'an, de ekkor feltehetj\"uk,
hogy $-\pi\le t<\pi$, mert az \'{\i}gy defini\'alt $r_u(t)$
f\"uggv\'enyre $r_{u+2\pi s}(t)=r_u(t)$ minden eg\'esz $s$ (\'es
eg\'esz $t$) sz\'amra. Az ilyen m\'odon defini\'alt pozit\'{\i}v 
definit f\"uggv\'enyek pozit\'{\i}v egy\"utthat\'os 
line\'aris kombin\'aci\'oi is pozit\'{\i}v definit 
f\"uggv\'enyek, \'es al\-kal\-mas limeszel\'essel  
tov\'abbi pozit\'{\i}v definit f\"uggv\'enyeket kapunk. Az 
al\'abb ismertetett Bochner t\'etel heurisztikus tartalma az,
hogy ilyen m\'odon az \"osszes pozit\'{\i}v definit 
f\"uggv\'enyt megkapjuk.

\medskip\noindent
{\bf Bochner t\'etel.} {\it Egy a sz\'amegyenesen defini\'alt 
$\oo(t)$ f\"uggv\'eny akkor \'es csak akkor folytonos \'es
pozit\'{\i}v definit, ha l\'etezik a sz\'amegyenesen olyan 
v\'eges $G(\cdot)$ m\'ert\'ek, amely\-nek seg\'{\i}ts\'eg\'evel
az $\oo(t)$ f\"uggv\'eny el\H{o}\'all\'{\i}that\'o
$$
\oo(t)=\int_{-\infty}^\infty e^{itx}G(\,dx),\quad -\infty<t<\infty, 
\tag1.3
$$
alakban. Az $\oo(t)$ f\"uggv\'eny egy\'ertelm\H{u}en 
meghat\'arozza az e f\"uggv\'eny (1.3) k\'epletben meg\-adott 
el\H{o}\'all\'{\i}t\'as\'aban szerepl\H{o} $G(\cdot)$ 
m\'ert\'eket. Az $\oo(t)$ f\"uggv\'eny akkor \'es csak akkor 
val\'os \'ert\'ek\H{u}, ha a $G$ m\'ert\'ek p\'aros, azaz 
$G(-A)=G(A)$ a sz\'amegyenes minden m\'erhet\H{o} 
$A$~r\'eszhalmaz\'ara.

Egy az eg\'esz sz\'amok halmaz\'an defini\'alt $\oo(t)$ 
f\"uggv\'eny akkor \'es csak akkor pozit\'{\i}v definit, 
ha l\'etezik olyan v\'eges $G(\cdot)$ m\'ert\'ek a 
$[-\pi,\pi)$ szakaszon (pontosabban a sz\'am\-egye\-nes\-nek 
mint addit\'{\i}v csoportnak a faktorcsoportj\'an
annak $2\pi \text{\BBB Z}$ r\'eszcsoportja szerint, ahol 
$\text{\BBB Z}$  az eg\'esz sz\'amok addit\'{\i}v 
csoportj\'at jel\"oli), amelynek seg\'{\i}ts\'eg\'evel
az $\oo(t)$ f\"uggv\'eny el\H{o}\'all\'{\i}that\'o
$$
\oo(t)=\int_{-\pi}^\pi e^{itx}G(\,dx),\quad t=0\pm1,\pm2,\dots, 
\tag1.4
$$
alakban. Az $\oo(t)$ f\"uggv\'eny egy\'ertelm\H{u}en 
meghat\'arozza e f\"uggveny (1.4) k\'epletben meg\-adott 
el\H{o}\'all\'{\i}t\'as\'aban szerepl\H{o} $G(\cdot)$ 
m\'ert\'eket. Az $\oo(t)$ f\"uggv\'eny akkor \'es csak akkor 
val\'os \'ert\'ek\H{u}, ha a $G$  m\'ert\'ek p\'aros, azaz  
$G(-A)=G(A)$ a $[-\pi,\pi)$ intervallum minden m\'erhet\H{o} 
$A$~r\'eszhalmaz\'ara.}

\medskip\noindent
{\it 1. megjegyz\'es.} Az, hogy a $[-\pi,\pi)$ intervallumot,
mint a sz\'amegyenesnek annak $2\pi \text{\BBB Z}$ 
r\'eszcsoportja szerinti faktorcsoportot tekintj\"uk
jelenti, hogy val\'oj\'aban a $[-\pi,\pi]$ z\'art intervallumot
vessz\"uk, de a $\pi$ \'es $-\pi$ pontokat azonos\'{\i}tjuk.
Tulajdonk\'eppen a $[-\pi,\pi)$ intervallumot \'ugy 
tekintett\"uk, mint a mod~$2\pi$ addit\'{\i}v csoport 
egy reprezent\'aci\'oj\'at a term\'eszetes topol\'ogi\'aval.
Ugyanez a megjegyz\'es lesz \'erv\'enyes a k\'es\H{o}bbiekben 
is, amikor $[-\pi,\pi)$ intervallumot, mint ezt a 
faktorcsoportot tekintj\"uk.

\medskip\noindent
{\it 2. megjegyz\'es.} Egy a sz\'amegyenesen tekintett $\oo(t)$ 
pozit\'{\i}v definit f\"uggv\'enyt csak ama felt\'etel 
mellett tudtuk fel\'{\i}rni az (1.3) alakban, ha $\oo(t)$ 
folytonos f\"uggv\'eny. Ez a felt\'etel nem hagyhat\'o el. 
Val\'oban, defini\'aljuk azt az $\oo(\cdot)$ f\"uggv\'enyt, 
amelyre $\oo(0)=1$, $\oo(t)=0$, ha $t\neq0$. Ez az orig\'oban 
nem folytonos pozit\'{\i}v definit f\"uggv\'eny, amely nem
\'all\'{\i}that\'o el\H{o} az (1.3) alakban.

\medskip
A t\'etelben szerepl\H{o} (v\'eges) $G(\cdot)$ m\'ert\'eket 
spektr\'alm\'ert\'eknek nevezik az irodalomban.

\medskip
Annak bizony\'{\i}t\'asa, hogy az (1.3) \'es (1.4) k\'eplet 
jobboldal\'an szerepl\H{o} integr\'al egy pozit\'{\i}v definit 
f\"uggv\'enyt defini\'al tetsz\H{o}leges v\'eges $G(\cdot)$ 
spektr\'alm\'ert\'ek eset\'en, amely a $-\infty<t<\infty$ 
esetben folytonos viszonylag egyszer\H{u}. Ezt l\'enyeg\'eben 
az (1.2) k\'epletet seg\'{\i}ts\'eg\'evel lehet megmutatni.
Azt, hogy az (1.2) k\'epletben defini\'alt $\oo(t)$ f\"uggv\'eny
folytonos \'ugy l\'athatjuk be, hogy minden $-\infty<t<\infty$
\'es $\delta>0$ sz\'amra tekintj\"uk a 
$B(t,\delta)=[t-\frac{\delta^2}{|t|+1},[t+\frac{\delta^2}{|t|+1}]$
intervallumot, \'es $s\in B(t,\delta)$ eset\'en fel\'{\i}rjuk
az
$$
|\oo(t)-\oo(s)|\le \int_{x\colon\;|x-t|<\frac1\delta}|1-e^{i(t-s)x}|G(\,dx)
+2G\(x\colon\;|x-t|>\frac1\delta\)
$$
egyenl\H{o}tlens\'eget. Ezut\'an \'eszrevessz\"uk, hogy mivel
$|1-e^{i(t-s)x}|\le 2|t-s||x|\le4\delta$, ha $s\in B(t,\delta)$,
ez\'ert a fenti egyenl\H{o}tlens\'eg jobboldal\'anak mindk\'et 
tagja null\'ahoz tart, ha $s\in B(t,\delta)$ \'es $\delta\to0$.
Innen k\"ovetkezik, hogy $\oo(\cdot)$ folytonos f\"uggv\'eny. 
A sz\'amol\'asok form\'alis r\'eszleteit elhagyom. 

L\'enyegesen nehezebb annak igazol\'asa, hogy tetsz\H{o}leges 
pozit\'{\i}v definit f\"uggv\'eny  el\H{o}\'all\'{\i}that\'o 
ilyen m\'odon. Ez\'ert ezen \'all\'{\i}t\'as 
bizony\'{\i}t\'as\'ara fogunk koncentr\'alni. A f\H{o} 
neh\'ezs\'eget az okozza, hogy az \'altal\'anos esetben nem 
tudjuk explicit m\'odon megadni a keresett $G$ 
spektr\'alm\'ert\'eket.

A bizony\'{\i}t\'as egyik f\H{o} gondolata a k\"ovetkez\H{o}. 
Ha $\oo(\cdot)$ sz\'ep f\"uggv\'eny, el\'eg sima, 
integr\'alhat\'o \'es n\'egyzetesen integr\'alhat\'o, akkor az 
el\H{o}\'all\'{\i}that\'o annak a m\'ert\'eknek a Fourier 
transzform\'altjak\'ent, amelynek 
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye az  $\oo(\cdot)$ f\"uggv\'eny 
$$
u(x)=\frac1{2\pi}\int e^{-itx}\oo(t)\,dt
$$
inverz Fourier transzform\'altja. Ezt az \'all\'{\i}t\'ast nem 
fogalmazom meg pontosabban. Helyette ezen \'all\'{\i}t\'asnak 
egy olyan sz\'amunkra hasznos v\'altozat\'at bizony\'{\i}tom, 
amelyben kihaszn\'aljuk azt, hogy pozit\'{\i}v definit 
$\oo(\cdot)$ f\"uggv\'ennyel foglalkozunk. Megjegyzem, annak 
bizony\'{\i}t\'as\'aban, hogy alkalmas felt\'etelek mellett 
$u(x)$ az $\oo(t)$ f\"uggv\'eny inverz Fourier 
transzform\'alja az egyik l\'enyeges pont annak igazol\'asa, 
hogy $u(x)$ integr\'alhat\'o f\"uggv\'eny. Ezt \'altal\'aban
\'ugy biztos\'{\i}tj\'ak, hogy felteszik, hogy $\oo(t)$ 
el\'eg sima f\"uggv\'eny, ahonnan k\"ovetkezik, hogy annak 
$u(x)$ inverz Fourier transzform\'altja a v\'egtelenben 
el\'eg gyorsan null\'ahoz tart\'o, ez\'ert integr\'alhat\'o 
f\"uggv\'eny. Ha $\oo(t)$ a $-\infty<t<\infty$
sz\'amegyenesen veszi fel az \'ert\'ekeit, akkor fel 
fogjuk tenni, hogy $\oo(t)$ folytonos f\"uggv\'eny. Ez 
egy simas\'agi felt\'etel, de ez \"onmag\'aban nem 
elegend\H{o} annak biztos\'{\i}t\'as\'ahoz, hogy
az $u(x)$ inverz Fourier transzform\'alt integr\'alhat\'o 
legyen. Viszont be fogjuk, l\'atni, hogy mivel $\oo(t)$ 
pozit\'{\i}v definit, ez\'ert $u(x)$ pozit\'{\i}v 
f\"uggv\'eny. Felhaszn\'alva, hogy $u(\cdot)$ pozit\'{\i}v
f\"uggv\'eny enyh\'ebb felt\'etelek mellett is 
biztos\'{\i}tani tudjuk az integr\'alhat\'os\'ag\'at.

A sz\'amunkra \'erdekes eredm\'enyt, azt hogy alkalmas 
felt\'etelek mellett egy pozit\'{\i}v definit f\"uggv\'eny 
egy s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel rendelkez\H{o} 
m\'ert\'ek Fourier transzform\'altjak\'ent is 
el\H{o}\'all\'{\i}that\'o k\'et \'all\'{\i}t\'asban,
egy Proposition~1A-ban \'es egy Proposition 1B-ben fogalmazom 
meg. Az els\H{o}ben a folytonos idej\H{u} $t\in(-\infty,\infty)$ 
a m\'asodikban a diszkr\'et idej\H{u} $t=0,\pm1,\pm2,\dots$ 
esetet te\-kin\-tem, mert a bizony\'{\i}t\'as form\'alis 
l\'ep\'esei k\"ulonb\"oz\H{o}ek ebben a k\'et esetben. Mind 
a k\'et eredm\'eny bizony\'{\i}t\'asa egy a Parseval 
formul\'ahoz hasonl\'o azonoss\'ag vizsg\'alat\'an \'es 
a pozit\'{\i}v definit f\"uggv\'enyek n\'eh\'any egyszer\H{u}, 
de fontos tu\-laj\-don\-s\'a\-g\'a\-nak az igazol\'as\'an alapul. 
E Proposition-ok ismeret\'eben a Bochner t\'etelt be tudjuk 
bizony\'{\i}tani az \'altal\'anos esetben is egy alkalmas 
limesz elj\'ar\'as seg\'{\i}ts\'eg\'evel n\'eh\'any 
\"onmag\'aban is fontos \'es \'erdekes eredm\'eny 
felhaszn\'al\'as\'aval.

\medskip\noindent
{\bf Proposition~1A.}
{\it Legyen $\oo(t)$, $-\infty<t<\infty$, egy a sz\'amegyenesen
defini\'alt  folytonos \'es integr\'alhat\'o f\"uggv\'eny
(azaz legyen $\int|\oo(t)|\,dt<\infty$), amelyik pozit\'{\i}v 
definit. Akkor az
$$
u(x)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{-itx}\oo(t)\,dt,
\quad -\infty<x<\infty, \tag1.5
$$
f\"uggv\'eny integr\'alhat\'o \'es nem-negat\'{\i}v, \'es 
teljes\"ul az
$$
\oo(t)=\int_{-\infty}^\infty e^{itx}u(x)\,dx,\quad -\infty<t<\infty, 
\tag1.6
$$
azonoss\'ag.}

\medskip\noindent
{\bf Proposition 1B.} {\it
Legyen $\oo(t)$, $t=0,\pm1,\pm2,\dots$, egy az eg\'esz 
sz\'amok halmaz\'an de\-fi\-ni\-\'alt pozit\'{\i}v definit 
f\"uggv\'eny, amelyre 
$\summ_{t=-\infty}^\infty |\oo(t)|<\infty$. Akkor az
$$
u(x)=\frac1{2\pi}\sum_{t=-\infty}^\infty e^{-itx}\oo(t),
\quad -\pi\le x<\pi, \tag1.7
$$
f\"uggv\'eny nem negat\'{\i}v \'es integr\'alhat\'o a 
$[-\pi,\pi)$ intervallumon, \'es teljes\"ul az
$$
\oo(t)=\int_{-\pi}^\pi e^{itx}u(x)\,dx, \quad t=0\pm1,\pm2,\dots, 
\tag1.8
$$
azonoss\'ag.}

\medskip
A Proposition 1A \'es 1B igazol\'asa \'erdek\'eben 
el\H{o}sz\"or a k\"ovetkez\H{o} k\'et lemm\'at l\'atjuk be.

\medskip\noindent
{\bf 1.1. Lemma.} {\it Legyen $\oo(t)$ pozit\'{\i}v definit 
f\"uggv\'eny vagy a $-\infty<t<\infty$ egyenesen vagy az 
eg\'esz sz\'amok $t=0,\pm1,\pm2,\dots$ halmaz\'an. Ekkor 
$\oo(-t)=\overline{\oo(t)}$, \'es $\oo(0)$ nem negat\'{\i}v
val\'os sz\'am, amely teljes\'{\i}ti az $\oo(0)\ge|\oo(t)|$ 
egyenl\H{o}tlens\'eget is minden $-\infty<t<\infty$ 
illetve $t=0,\pm1,\pm2,\dots$ sz\'amra.}

\medskip
A k\"ovetkez\H{o} lemm\'at a Proposition 1A 
bizony\'{\i}t\'as\'aban haszn\'aljuk fel.

\medskip\noindent
{\bf 1.2. Lemma.} {\it Adva egy $F$ eloszl\'asf\"uggv\'eny 
a sz\'amegyenesen  defini\'aljuk az $F^-$ 
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'enyt az $F^-(t)=1-F(t+0)$ \'es 
a $^0F$ eloszl\'asf\"uggv\'enyt a $^0F(t)=F*F^{-}(t)$ 
k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel minden $-\infty<t<\infty$
sz\'amra, ahol $*$ konvoluci\'ot jel\"ol. Ha $\oo(t)$ 
pozit\'{\i}v definit \'es folytonos f\"uggv\'eny a 
sz\'amegyenesen akkor
$$
\int e^{-ixt}\oo(t)\,^0F(\,dt)\ge0 \tag1.9
$$
minden $x$ val\'os sz\'amra \'es $F$ eloszl\'asf\"uggv\'enyre. 
(Speci\'alisan azt is \'all\'{\i}tjuk, hogy az 
(1.9)~formul\'aban szerepl\H{o} integr\'al \'ert\'eke 
val\'os sz\'am.)}

\medskip\noindent
{\it Az 1.1. lemma bizony\'{\i}t\'asa.}\/ A pozit\'{\i}v 
definit f\"uggv\'eny  definici\'oj\'aban szerepl\H{o} 
(1.1)~k\'ep\-let (az $r(t)=\oo(t)$ szereposzt\'assal)
abban a speci\'alis esetben, amikor k\'et pontot 
te\-kin\-t\"unk, $t_1=0$ \'es $t_2=t$, valamint $z_1=1$ 
\'es $z_2=z$ v\'alaszt\'assal azt adja, hogy
$$
\oo(0)(1+|z|^2)+\oo(t)z+\oo(-t)\bar z\ge0 \tag1.10
$$
minden $z$ komplex \'es $-\infty<t<\infty$ vagy 
$t=0,\pm1,\pm2,\dots$ sz\'amra. A $z=0$ v\'alaszt\'assal az 
(1.10) formul\'aban azt kapjuk, hogy $\oo(0)\ge0$. Ezut\'an
a $z=1$ majd $z=i$ v\'alaszt\'as az (1.10) formul\'aban azt 
adja, hogy  $\oo(-t)=\overline{\oo(t)}$. Val\'oban, az 
els\H{o} rel\'aci\'o szerint $\Im \oo(t)=-\Im\oo(-t)$, 
m\'{\i}g a m\'asodik rel\'aci\'o szerint
$\Re\oo(t)=\Re\oo(-t)$. Ezt felhaszn\'alva meg lehet 
mutatni, szint\'en az (1.10) formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel, 
hogy az $\oo(0)=0$ esetben $\oo(t)=0$ minden $t$ sz\'amra.
Val\'oban, ebben az esetben 
$\oo(t)z+\overline{\oo(t)z}=2\Re(\oo(t)z)\ge0$, ahonnan $z=\pm1$ 
\'es $z=\pm i$ v\'alaszt\'assal $\Re \oo(t)=0$ \'es $\Im\oo(t)=0$. 
Ha $\oo(0)>0$ akkor alkalmazzuk az (1.10)~formul\'at a 
$z=-\frac{\overline{\oo(t)}}{\oo(0)}$ v\'alaszt\'assal. 
Azt kapjuk, hogy 
$\oo(0)+\frac{|\omega(t)|^2}{\oo(0)}-2\frac{|\oo(t)|^2}{\oo(0)}\ge0$,
azaz $\oo(0)^2\ge |\oo(t)|^2$. Az 1.1.~lemm\'at bel\'attuk.

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.}\/ Az 1.1. lemma bizony\'{\i}t\'as\'aban 
egy olyan k\'etszer kettes m\'atrixot te\-kin\-tet\-t\"unk, 
amelynek f\H{o}\'atl\'oj\'aban mindk\'et helyen az $\oo(0)$ 
sz\'am van, a mell\'ek\'atl\'o k\'et hely\'en pedig az 
$\oo(t)$ \'es  $\oo(-t)$ sz\'amok vannak. Azt vizsg\'altuk, 
hogy ez a m\'atrix mikor defini\'al egy pozit\'{\i}v 
definit kvadratikus alakot, \'es erre adtunk sz\"uks\'eges 
felt\'etelt. Val\'oj\'aban a lemm\'aban megadtuk annak 
sz\"uks\'eges \'es el\'egs\'eges felt\'etel\'et, hogy a 
tekintett kvadratikus alak pozit\'{\i}v definit legyen.

\medskip\noindent
{\it Az 1.2. lemma bizony\'{\i}t\'asa.}\/ R\"ogz\'{\i}ts\"unk 
egy $F$ eloszl\'asf\"uggv\'enyt, vegy\"unk k\'et 
f\"uggetlen, $F$ eloszl\'as\'u $\xi$ \'es $\eta$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, valamint 
vegy\"uk az $F$ eloszl\'asf\"uggv\'eny \'altal 
meghat\'arozott $^0F$ eloszl\'asf\"uggv\'enyt. 
Sz\'amoljuk ki az $e^{-ix(\xi-\eta)}\oo(\xi-\eta)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o 
\'ert\'ek\'et k\'et k\"ul\"onb\"oz\H{o} m\'odon. 
El\H{o}sz\"or \'ugy tekintj\"uk ezt a 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, mint 
a $\xi-\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, 
m\'asodszor pedig mint a $(\xi,\eta)$  v\'eletlen vektor 
f\"ugg\-v\'e\-ny\'et. Ezut\'an fel\'{\i}rjuk az 
$Ee^{-ix(\xi-\eta)}\oo(\xi-\eta)$ v\'arhat\'o  \'ert\'eket 
a $\xi-\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o 
$^0F(\,dt)$ \'es a  $(\xi,\eta)$ v\'eletlen vektor 
$F(\,dy)F(\,dz)$ eloszl\'as\'anak a seg\'{\i}ts\'eg\'evel. 
A k\"ovetkez\H{o} azonoss\'agot kapjuk.
$$
\int e^{-ixt}\oo(t)\,^0F(\,dt)=Ee^{-ix(\xi-\eta)}\oo(\xi-\eta)
=\int e^{-ix(y-z)}\oo(y-z)F(\,dy)F(\,dz).
$$
Ez\'ert az 1.2. lemm\'aban bizony\'{\i}tand\'o \'all\'{\i}t\'ast 
\'ugy is megfogalmazhatjuk, hogy
$$
\int e^{-ix(y-z)}\oo(y-z)F(\,dy)F(\,dz)\ge0 \tag1.11
$$
minden $F$ eloszl\'asf\"uggv\'enyre \'es $x$ val\'os sz\'amra. 
Vegy\"uk \'eszre, hogy abban az esetben, ha $F$ v\'eges sok 
\'ert\'eket felvev\H{o} diszkr\'et eloszl\'as, azaz l\'etezik 
v\'eges sok $s_1,\dots,s_k$ \'es $p_1>0$,\dots $p_k>0$, 
$\summ_{j=1}^kp_j=1$, sz\'am \'ugy, hogy $P(\xi=s_j)=p_j$, 
$1\le j\le k$, akkor az (1.11) egyenl\H{o}tlens\'eg 
k\"ovetkezik az (1.1) formul\'ab\'ol, mert ekkor
$$
\int e^{-ix(y-z)}\oo(y-z)F(\,dy)F(\,dz)
=\sum_{1\le j,,l\le k} p_je^{-ixs_j}
\overline{p_le^{-ixs_l}}\oo(s_j-s_l)\ge0.
$$
Az \'altal\'anos eset bizony\'{\i}t\'as\'at \'ugy kapjuk, 
hogy minden $F$ eloszl\'ast diszkr\'et el\-osz\-l\'a\-sok\-kal 
k\"ozel\'{\i}t\"unk alkalmas m\'odon. Ha adva van egy 
$F$ eloszl\'asf\"uggv\'eny \'es egy kis $\e>0$ sz\'am, 
v\'alasszunk egy olyan $T=T(\e)>0$ sz\'amot, amelyre 
$F(-T)<\frac\e{2\oo(0)}$ \'es $1-F(T)<\frac\e{2\oo(0)}$.

R\"ogz\'{\i}ts\"unk egy $F$ eloszl\'asf\"uggv\'enyt,
egy $x$ val\'os sz\'amot az (1.11) formul\'aban \'es 
egy $\e>0$ k\"usz\"obindexet. A folytonos $e^{ixy}\oo(y)$ 
f\"uggv\'eny egyenletesen folytonos a $[-T,T]$ intervallumban. 
Legyen $\eta>0$ olyan sz\'am, amelyre
$|e^{ixy}\oo(y)-e^{ixz}\oo(z)|\le\e$, ha $|y|\le2T$, $|z|\le 2T$, 
\'es $|y-z|\le\eta$. Bontsuk fel a $[-T,T]$ intervallumot 
v\'eges sok diszjunkt $B_1,\dots,B_M$ intervallumra \'ugy, 
hogy mindegyik $B_j$ intervallum hossza kisebb mint 
$\frac\eta2$, \'es v\'alasszunk ki mindegyik $B_j$ 
intervallumban egy $s_j\in B_j$ pontot. Az egyszer\H{u}bb 
jel\"ol\'es \'erdek\'eben defini\'aljuk a 
$B_0=(-\infty,-T)\cup (T,\infty)$ halmazt is, \'es 
v\'alasszunk ki egy $s_0\in B_0$ pontot. Az 
egyszer\H{u}s\'eg kedv\'e\'ert v\'alasszuk az \"osszes 
$B_j$, $0\le j\le M$, halmazt \'ugy, hogy annak hat\'ara 
nulla m\'ert\'ek\H{u} az $F$ eloszl\'as \'altal gener\'alt 
$\mu_F$ Stieltjes m\'ert\'ek szerint. Defini\'aljuk azt 
az $F_\e$ diszkr\'et eloszl\'ast, amely az $s_j$,
$0\le j\le M$ pontokba van koncentr\'alva, \'es olyan 
$\mu_{F_\e}$ Stieltjes m\'ert\'eket defini\'al, amely 
szerint $\mu_{F_\e}(\{s_j\})=\mu_F(B_j)$.
Azt \'all\'{\i}tom, hogy
$$
\left|\int e^{-ix(y-z)}\oo(y-z)F(\,dy)F(\,dz)
-\int e^{-ix(y-z)}\oo(y-z)F_\e(\,dy)F_\e(\,dz)\right|\le 5\e. 
\tag1.12
$$

Az (1.12) formula igazol\'asa \'erdek\'eben vezess\"uk be a 
$h(y,z)=e^{ix(s_j-s_l)}\oo(s_j-s_l)$, ha $y\in B_j$ \'es 
$z\in B_l$ f\"uggv\'enyt, $1\le j,\le M$, \'es vegy\"uk 
\'eszre, hogy 
$$
\int_{[-T,T]\times[-T,T]} e^{-ix(y-z)}\oo(y-z)F_\e(\,dy)F_\e(\,dz)=
\int_{[-T,T]\times[-T,T]} h(y,z)F(\,dy)F(\,dz),
$$
\'es ezenk\'{\i}v\"ul $|h(y,z)-e^{ix(y-z)}\oo(y-z)|\le\e$,
ha $(y,z)\in[-T,T]\times[-T,T]$.  Ez\'ert ha az (1.12) 
formul\'aban szerepl\H{o} integr\'alokat  megszor\'{\i}tjuk 
a  $[-T,T]\times [-T,T]$ n\'egyzetre, akkor  az integr\'alok 
k\"ul\"onbs\'ege kisebb, mint $\e$. Az 
$R^2\setminus ([-T,T]\times[-T,T])$ tartom\'any m\'ert\'eke 
mindk\'et m\'ert\'ek szerint kisebb, mint $\frac{2\e}{\oo(0)}$,
\'es az 1.1. lemma alapj\'an az integrandusok abszol\'ut \'ert\'eke 
minden pontban kisebb, mint $\oo(0)$. Ezekb\H{o}l az 
\'esz\-re\-v\'e\-te\-lek\-b\H{o}l k\"ovetkezik az (1.12) formula.

Az (1.12) formul\'at alkalmazva egy $\e_n\to0$ sorozatra azt 
kapjuk, hogy az (1.11) formula baloldal\'an szerepl\H{o} 
kifejez\'eshez konverg\'alni tudunk val\'os, nem 
negat\'{\i}v sz\'amok seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ez\'ert az 
(1.11)~formula \'es \'{\i}gy a 1.2.~lemma \'all\'{\i}t\'asa 
is igaz.

\medskip
Egy $\sigma^2$ sz\'or\'asn\'egyzet\H{u}, nulla v\'arhat\'o 
\'ert\'ek\H{u} norm\'alis eloszl\'as fel\'{\i}rhat\'o, 
mint k\'et $\sigma^2/2$ sz\'or\'asn\'egyzet\H{u}, nulla 
v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} norm\'alis eloszl\'as 
konvoluci\'oja. Ezen el\-osz\-l\'a\-sok p\'aros f\"uggv\'enyek, 
ez\'ert tetsz\H{o}leges nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} 
norm\'alis eloszl\'as fel\'{\i}rhat\'o az 1.2.~lemm\'aban 
defini\'alt $^0F$ alakban alkalmas $F$  
eloszl\'asf\"uggv\'ennyel. Innen k\"ovetkezik, hogy az 
1.2.~lemma alapj\'an
$$
\int e^{-ixt}\oo(t)e^{-\alpha t^2}\,dt\ge0 \tag1.13
$$
minden val\'os $x$ \'es pozit\'{\i}v $\alpha$ sz\'amra, ha 
$\oo(\cdot)$ folytonos, pozit\'{\i}v definit f\"uggv\'eny a 
sz\'amegyenesen. M\'asr\'eszt, tudjuk, hogy a norm\'alis 
eloszl\'as karakterisztikus f\"uggv\'enye 
tel\-je\-s\'{\i}\-ti az
$$
e^{-vt^2/2}=\int e^{-itx}\frac{e^{-x^2/2v}}{\sqrt{2\pi v}}\,dx
\quad \text{minden } t \text{ \'es } v>0 \text{ val\'os sz\'amra}
$$
azonoss\'agot. Sz\'amunkra k\'enyelmesebb lesz ezen 
azonoss\'ag k\"ovetkez\H{o} kiss\'e m\'odos\'{\i}tott 
alakj\'aval dolgozni:
$$
e^{-v(t-a)^2/2}=\int e^{-i(t-a)x}
\frac{e^{-x^2/2v}}{\sqrt{2\pi v}}\,dx, \tag1.14
$$
ahol $t$, $a$ \'es $v>0$ tetsz\H{o}leges val\'os sz\'amok.

\medskip\noindent
{\it A Proposition 1A bizony\'{\i}t\'asa.}\/
Mivel $\oo(t)$ integr\'alhat\'o f\"uggv\'eny, ez\'ert az 
(1.13)~formul\'ab\'ol \'es a Lebesgue t\'etelb\H{o}l azt 
kapjuk $\alpha\to0$ hat\'ar\'atmenettel, hogy az 
(1.5)~k\'ep\-let\-ben defini\'alt $u(t)$ val\'os 
\'ert\'ek\H{u}, pozit\'{\i}v f\"uggv\'eny. A tov\'abbi 
tulajdons\'agok bizony\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben az 
al\'abbi a Parseval formul\'ahoz hasonl\'o azonoss\'agot 
igazoljuk. Szorozzuk meg az (1.14)~azonoss\'agot 
a $\frac{\sqrt v}{\sqrt{2\pi}}\oo(t)$ f\"uggv\'ennyel, majd
integr\'aljunk a $t$ v\'altoz\'o szerint. Azt kapjuk, hogy
$$
\align
&\int \oo(t)\frac{\sqrt v}{\sqrt{2\pi}}e^{-v(t-a)^2/2}\,dt
=\int\int \oo(t)e^{-i(t-a)x}
\frac{e^{-x^2/2v}}{2\pi}\,dx\,dt \tag1.15 \\
&\qquad=\int\[\frac1{2\pi}\int \oo(t)e^{-itx}\,dt\]
e^{-x^2/2v}e^{ixa}\,dx 
=\int e^{ixa}u(x)e^{-x^2/2v}\,dx
\endalign
$$
minden val\'os $a$ sz\'amra.

Az (1.15) azonoss\'ag tekinthet\H{o} \'ugy, mint a Parseval 
formula term\'eszetes, egyszer\H{u} v\'altozata. Az 
azonoss\'ag baloldal\'an az $\oo(t)$ \'es 
$\frac{\sqrt v}{\sqrt{2\pi}}e^{-v(t-a)^2/2}$ f\"uggv\'enyek 
skal\'arszorzata van, a jobboldalt \'ugy is \'{\i}rhatjuk,
mint $\int u(-x)e^{-ixa}e^{-x^2/2v}\,dx$. Ez az integr\'al
az $\oo(t)$ f\"uggv\'eny $u(-x)$ Fourier transzform\'altj\'anak 
valamint a $\frac{\sqrt v}{\sqrt{2\pi}}e^{-v(t-a)^2/2}$ 
f\"uggv\'eny $e^{iax}e^{-x^2/2v}$ Fourier transzform\'altj\'anak 
a skal\'ar szorzata. A Parseval formula hasonl\'o azonoss\'agot 
mond ki k\'et n\'egyzetesen integr\'alhat\'o f\"uggv\'eny 
ska\-l\'ar\-szor\-za\-t\'a\-r\'ol.  A l\'e\-nye\-ges 
k\"ul\"onbs\'eg e k\'et formula k\"oz\"ott az, hogy a 
Parseval formul\'aban k\'et n\'egyzetesen integr\'alhat\'o 
f\"uggv\'enyt tekint\"unk, m\'{\i}g az itt vizsg\'alt 
esetben $\oo(t)$ integr\'alhat\'o, de nem felt\'etlen\"ul 
n\'egyzetesen integr\'alhat\'o f\"uggv\'eny. Viszont a 
m\'asik f\"uggv\'eny korl\'atos, \'es a v\'egtelenben 
gyorsan tart null\'ahoz, \'es ugyanez elmondhat\'o a 
Fourier transzform\'altj\'ar\'ol is. Ez biztos\'{\i}tja 
a tekintett integr\'alok v\'egess\'eg\'et.

Tekints\"uk az (1.15) integr\'alt az $a=0$ esetben, \'es 
v\'egezz\"uk el a $v\to\infty$ ha\-t\'ar\-\'at\-me\-ne\-tet. Mivel 
$u(t)$ nem negat\'{\i}v f\"uggv\'eny, \'es az $e^{-x^2/2v}$ 
f\"uggv\'eny minden r\"ogz\'{\i}tett $x$ sz\'amra a $v$ 
v\'altoz\'o monoton n\"oveked\H{o} f\"uggv\'enye, amely 1-hez 
tart, ha $v\to\infty$, ez\'ert a Beppo--Levy t\'etel alapj\'an
$\limm_{v\to\infty}\int u(x)e^{-x^2/2v}\,dx=\int u(x)\,dx$.
M\'asr\'eszt az (1.15) k\'eplet baloldala kisebb, mint 
$\oo(0)$ minden $v$ param\'eterre. Ugyanis $|\oo(t)|\le\oo(0)$ 
minden $t$ sz\'amra, \'es az $\oo(\cdot)$ f\"uggv\'enyt egy 
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel szorozzuk be az 
(1.15)~formula baloldal\'an szerepl\H{o} integr\'alban. A 
fenti \'ervel\'esb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy $u(\cdot)$ 
integr\'alhat\'o f\"uggv\'eny.

Tekints\"uk ezut\'an az (1.15) azonoss\'agot tetsz\H{o}leges 
$a$ param\'eter eset\'en, \'es hajtsuk v\'egre a $v\to\infty$ 
hat\'ar\'atmenetet. Azt \'all\'{\i}tom, hogy az
$$
\oo(a)=\int e^{ixa}u(x)\,dx
$$
azonoss\'agot kapjuk, ami azt jelenti, hogy igaz az 
(1.6)~azonoss\'ag. Val\'oban, mivel $u(x)$ 
integr\'alhat\'o f\"uggv\'eny, ez\'ert  az 
(1.15)~azonoss\'ag jobboldala a Lebesgue t\'etel 
alapj\'an az $\int e^{ixa}u(x)\,dx$  integr\'alhoz tart 
$v\to\infty$ eset\'en. M\'asr\'eszt az  azonoss\'ag 
baloldala az $\oo(a)$ sz\'amhoz tart $v\to\infty$ 
eset\'en, mert egyr\'eszt $\oo(t)$ folytonos \'es 
korl\'atos f\"uggv\'eny, m\'asr\'eszt 
$\frac{\sqrt v}{\sqrt{2\pi}}e^{-v(t-a)^2/2}$ olyan 
(norm\'alis) s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny, amely nagy 
$v$ param\'eter eset\'en majdnem teljesen az $a$ pont 
egy kis k\"ornyezet\'ebe van koncentr\'alva.
Ezzel a Proposition 1A \'all\'{\i}t\'as\'at bel\'attuk.

\medskip\noindent
{\it A Proposition 1B bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Mivel 
$\summ_{t=-\infty}^\infty |\oo(t)|<\infty$, ez\'ert az
(1.7)~formul\'aban defini\'alt $u(t)$ f\"uggv\'eny 
korl\'atos, \'es \'{\i}gy integr\'alhat\'o a 
$-\pi\le t<\pi$ intervallumon. L\'assuk be, hogy ez
a f\"uggv\'eny nem negat\'{\i}v. Ennek \'erdek\'eben 
vegy\"unk egy nagy $N$ sz\'amot, \'es defini\'aljuk a 
$z_N^{(k)}(x)=\frac{e^{ikx}}{\sqrt N}$, ha 
$-N\le k\le N$, \'es $z_N^{(k)}(x)=0$, ha $|k|>N$ 
sz\'amokat. Ekkor az $\oo(t)$
sorozat pozit\'{\i}v definit tulajdons\'aga miatt
$$
0\le\sum_{-N\le j,l\le N}\frac{e^{i(j-l)x}}N\oo(j-l)
=\sum_{-2N\le t\le 2N} \frac{2N-|t|+1}Ne^{itx}\oo(t)
$$
minden pozit\'{\i}v eg\'esz $N$ \'es $-\pi\le x<\pi$ 
sz\'amra. Mivel $\limm_{N\to\infty}\frac{2N-|t|+1}N=2$ 
minden r\"ogz\'{\i}tett $t$ eg\'esz sz\'amra, \'es 
$\summ_{t=-\infty}^\infty |\oo(t)|<\infty$, 
az el\H{o}z\H{o} rel\'aci\'ob\'ol $N\to\infty$ 
ha\-t\'ar\-\'atme\-net\-tel megkapjuk az
$$
u(x)=\frac1{2\pi}\sum_{t=-\infty}^\infty e^{itx}\oo(t)\ge0 
$$
egyenl\H{o}tlens\'eget. 

L\'assuk be az (1.8) azonoss\'agot. Ennek \'erdek\'eben 
defini\'aljuk minden $N=1,2,\dots$ sz\'amra az 
$u_N(x)=\frac1{2\pi}\summ_{t=-N}^N e^{itx}\oo(t)$
f\"uggv\'enyt, $-\pi\le x\le\pi$, \'es vegy\"uk \'eszre, 
hogy a trigonometrikus f\"uggv\'enyek ortogonalit\'asa miatt 
$$
\oo(t)=\int_{-\pi}^\pi e^{-itx}u_N(x)\,dx, \quad\text{ha }|t|\le N. 
\tag1.16
$$
Mivel $|u_N(x)-u(x)|\le\frac1{2\pi}\summ_{|t|>N}|\oo(t)|\to0$, 
ha $N\to\infty$ minden $-\pi\le x<\pi$ sz\'amra, ez\'ert
$\limm_{N\to\infty}\int_{-\pi}^\pi|u_N(x)-u(x)|\,dx=0$, \'es 
az (1.16) rel\'aci\'ob\'ol k\"ovetkezik az (1.8) azo\-nos\-s\'ag. 
A Proposition~1B-t bel\'attuk.

\medskip
A Bochner t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'aban egy algebrai 
jelleg\H{u} lemm\'at fogunk alkalmazni. Ennek 
megfogalmaz\'asa \'erdek\'eben bevezetj\"uk a k\"ovetkez\H{o} 
definici\'ot.

\medskip\noindent
{\bf M\'atrixok kompozici\'oja \'es vektorok di\'ad 
szorzata.} {\it Adva k\'et $A=(a(i,j))$ \'es $B=(b(i,j))$, 
$1\le i,j\le n$, $n\times n$-es  m\'atrix ezek 
kompozici\'oj\'an az $A\circ B=(a(i,j)b(i,j))$, 
$1\le i,j\le n$, $n\times n$-es m\'atrixot \'ertj\"uk.

Ha $e=(e^{(1)},\dots,e^{(n)})$ \'es 
$f=(f^{(1)},\dots,f^{(n)})$ k\'et $n$ koordin\'at\'at 
tartalmaz\'o vektor, akkor ezek di\'ad szorzat\'an 
az $(e\times f)=(e^{(i)}\bar f^{(j)})$, $1\le i,j\le n$, 
$n\times n$-es m\'atrixot \'ertj\"uk, ahol $\bar x$ az
$x$ sz\'am komplex konjug\'altj\'at jel\"oli.}

\medskip
Be fogjuk l\'atni a k\"ovetkez\H{o} 1.3. lemm\'at.

\medskip\noindent
{\bf 1.3. Lemma.} {\it Legyen $A$ \'es $B$ k\'et 
$n\times n$-es pozit\'{\i}v szemidefinit m\'atrix. Akkor 
ezek $A\circ B$ kompozici\'oja szint\'en 
pozit\'{\i}v szemidefinit.}

\medskip
Sz\'amunkra e lemm\'anak az al\'abbi k\"ovetkezm\'enye 
lesz \'erdekes.

\medskip\noindent
{\bf 1.3. Lemma k\"ovetkezm\'enye.} {\it K\'et pozit\'{\i}v 
definit f\"uggv\'eny szorzata is pozit\'{\i}v definit.}

\medskip\noindent
{\it A k\"ovetkezm\'eny bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Legyen $f$ 
\'es $g$ k\'et pozit\'{\i}v definit f\"uggv\'eny. Az, hogy 
ezek a f\"uggv\'enyek pozit\'{\i}v definitek azzal 
ekvivalens, hogy ak\'arhogyan r\"ogz\'{\i}t\"unk bizonyos 
$t_1,\dots,t_n$ pontokat az $A(t_1,\dots,t_n)=(f(t_i-t_j))$
\'es $B(t_1,\dots,t_n)=(g(t_i-t_j))$, $1\le i,j\le n$, 
$n\times n$-es m\'atrixok pozit\'{\i}v szemidefinitek. 
Ekkor viszont az  
$A(t_1,\dots,t_n)\circ B(t_1,\dots,t_n)=(f(t_i-t_j)g(t_i-t_j))$, 
$1\le i,j\le n$ m\'atrixok is pozit\'{\i}v szemidefinitek 
minden $\{t_1,\dots,t_n\}$ ponthalmazra. Ez viszont azt jelenti, 
hogy az $f(t)g(t)$ f\"uggv\'eny is pozit\'{\i}v definit.

\medskip\noindent
{\it Az 1.3. Lemma bizony\'{\i}t\'asa.} Ha $A$ \'es $B$ 
k\'et szimmetrikus m\'atrix, akkor mind  a k\'et m\'atrixnak
van egy $e_1,\dots,e_n$ illetve $f_1,\dots,f_n$ 
ortonorm\'alt saj\'atvektorokb\'ol \'all\'o teljes rendszere 
$\lambda_1,\dots,\lambda_n$, illetve $\mu_1,\dots,\mu_n$ 
saj\'at\'ert\'ekekkel. Ezek a m\'atrixok akkor \'es csak 
akkor pozit\'{\i}v szemidefinitek, ha a saj\'at\'ert\'ekeik
nem negat\'{\i}vak.

Azt \'all\'{\i}tom, hogy az $A$ m\'atrix fel\'{\i}rhat\'o
$A=\summ_{p=1}^n\lambda_p (e_p\times e_p)$, a $B$ m\'atrix 
pedig $B=\summ_{p=1}^n\mu_p (f_p\times f_p)$ alakban a fenti
saj\'atvektorokkal \'es saj\'at\'ert\'ekekkel. Ennek  
igazol\'as\'ahoz elegend\H{o} azt ellen\H{o}rizni, hogy 
$ e_p (e_p\times e_p)=e_p$ \'es  $ e_q (e_p\times e_p)=0$, 
ha $q\neq p$, \'es hasonl\'o rel\'aci\'o \'erv\'enyes
a $B$ m\'atrixra, azok $f_p$ saj\'atvektoraira $\mu_p$ 
sa\-j\'at\-\'er\-t\'e\-kek\-kel. Ezekb\H{o}l az 
azonoss\'agokb\'ol ugyanis k\"ovetkezik, hogy a
$\summ_{p=1}^n\lambda_p (e_p\times e_p)$ m\'atrix 
saj\'atvektorai az  $e_1,\dots,e_n$ vektorok 
$\lambda_1,\dots,\lambda_n$ saj\'at\'ert\'ekekkel. 

Viszont k\"onnyen l\'athat\'o, hogy az 
$e_p=(e^{(1)}_p,\dots,e^{(n)}_p)$ vektorra az 
$e_p(e_p\times e_p)$ vektor $j$-ik koordin\'at\'aja
$e^{(j)}_p\summ_{l=1}^n e^{(l)}_p\bar e^{(l)}_p=e^{(j)}_p$,
mivel az $e_p$ vektor norm\'aja 1, \'es hasonl\'oan az 
$e_q(e_p\times e_p)$ vektor $j$-ik koordin\'at\'aja
$e^{(j)}_p\summ_{l=1}^n e^{(l)}_q\bar e^{(l)}_p=0$, ha 
$p\neq q$, mert a $e_p$ \'es $e_q$ vektorok ortogon\'alisak.
Ebb\H{o}l a sz\'amol\'asb\'ol az is k\"ovetkezik, hogy egy
($n$-dimenzi\'os) $e$ vektor \"onmag\'aval vett
$(e\times e)$ di\'ad szorzata pozit\'{\i}v szemidefinit
m\'atrix egy 1 \'es $n-1$ nulla saj\'at\'ert\'ek\H{u} 
saj\'atvektorral.

Az 1.3.~lemma bizony\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben mutassuk meg, 
hogy ha $e=(e^{(1)},\dots,e^{(n)})$ \'es 
$f=(f^{(1)},\dots,f^{(n)})$ k\'et $n$-dimenzi\'os vektor, 
akkor az $(e\times e)\circ (f\times f)$  m\'atrixszorzat 
szint\'en pozit\'{\i}v szemidefinit m\'atrix. Ehhez 
elegend\H{o} \'eszrevenni, hogy a
$h=h(e,f)=(e^{(1)}f^{(1)},\dots,e^{(n)}f^{(n)})$ vektor 
teljes\'{\i}ti az $(e\times e)\circ(f\times f)=(h\times h)$ 
azonoss\'agot. Innen viszont k\"ovetkezik, tekintve a 
pozit\'{\i}v szemidefinit $A$ \'es $B$ m\'atrixoknak
a bizony\'{\i}t\'as elej\'en megadott alakj\'at, hogy a 
kompozici\'ojuk fel\'{\i}rhat\'o
$$
A\circ B=\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^n 
\lambda_j\mu_k (e_j\times e_j)\circ (f_k\times f_k)
$$
alakban, teh\'at pozit\'{\i}v szemidefinit m\'atrixok 
pozit\'{\i}v egy\"utthat\'os line\'aris 
kom\-bi\-n\'a\-ci\'o\-ja\-k\'ent.  Ez azt jelenti, hogy 
$A\circ B$ is pozit\'{\i}v szemidefinit. Az 1.3.~lemm\'at 
bebizony\'{\i}tottuk.

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.} A fenti bizony\'{\i}t\'as h\'atter\'et
jobban meg\'ertj\"uk, ha \'eszrevessz\"uk, hogy az $(e\times e)$
di\'ad szorzat egy $e$ egys\'egvektor eset\'en megegyezik
az $e$ vektorra t\"ort\'en\H{o} ortogon\'alis vet\'{\i}t\'essel.

\medskip
Vegy\"uk \'eszre, hogy az $e^{-\alpha t^2}$, $-\infty<t<\infty$, 
f\"uggv\'eny pozit\'{\i}v definit minden $\alpha>0$ sz\'amra, 
mert fel\'{\i}rhat\'o, mint egy (norm\'alis) 
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny Fourier transzform\'altja. Ha az
$e^{-\alpha t^2}$ f\"uggv\'eny \'ertelmez\'esi tartom\'any\'at 
megszor\'{\i}tjuk a $t=0,\pm1,\pm2,\dots$ eg\'esz sz\'amok 
halmaz\'ara, ez a f\"uggv\'eny akkor is pozit\'{\i}v 
definit marad. Ez\'ert az 1.3.~lemma k\"ovetkezm\'enye szerint, 
ha $\oo(t)$ pozit\'{\i}v definit f\"uggv\'eny, akkor 
$\oo(t)e^{-\alpha t^2}$
szint\'en pozit\'{\i}v definit f\"uggv\'eny, ak\'ar a 
$-\infty<t<\infty$ sz\'amegyenesen ak\'ar a 
$t=0,\pm1,\pm2,\dots$ eg\'esz sz\'amok halmaz\'an dolgozunk. 
R\'aad\'asul, mivel $\oo(t)$ korl\'atos, az 
$\oo(t)e^{-\alpha t^2}$ f\"uggv\'eny integr\'alhat\'o. 
Ez\'ert alkalmazhat\'o r\'a a Proposition~1A vagy
Proposition~1B eredm\'enye. C\'elunk az, hogy ennek 
seg\'{\i}ts\'eg\'evel $\alpha\to0$ hat\'ar\'atmenetet 
alkalmazva bebizony\'{\i}tsuk a Bochner t\'etelt. 
Ennek \'erdek\'eben megfogalmazom a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as
al\'abbi klasszikus eredm\'enyeit.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel eloszl\'asok konvergenci\'aj\'anak 
jellemz\'es\'er\H{o}l karakterisztikus f\"uggv\'enyek 
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.}
{\it Legyen $F_n(u)$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek
egy sorozata a sz\'amegyenesen $\varphi_n(t)$ 
karakterisztikus f\"uggv\'enyekkel, $n=1,2,\dots$. Ha a 
$\varphi_0(t)=\limm_{n\to\infty}\varphi_n(t)$ 
hat\'ar\'ert\'ek l\'etezik minden $t$ pontban, \'es a
$\varphi_0(t)$ limeszf\"uggv\'eny folytonos az orig\'oban,
akkor l\'etezik olyan $F_0(u)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny a
sz\'amegyenesen, amelynek a $\varphi_0(t)$
f\"uggv\'eny a ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"uggv\'enye. 
Tov\'abb\'a e felt\'etel teljes\"ul\'ese eset\'en az 
$F_n(u)$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek eloszl\'asban
konverg\'alnak ehhez az $F_0(u)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyhez.}

\medskip
Megfogalmazom ezen eredm\'eny megfelel\H{o}j\'et a 
$[-\pi,\pi)$  intervallumra koncentr\'alt m\'ert\'ekek 
konvergenci\'aj\'ar\'ol. (Itt val\'oj\'aban a $[-\pi,\pi)$ 
intervallum a sz\'amegyenesnek, mint addit\'{\i}v 
csoportnak a faktorcsoportj\'at jel\"oli a 
$2\pi\text{\BBB Z}$ r\'eszcsoportja szerint, ahol 
$\text{\BBB Z}$ az eg\'esz sz\'amok addit\'{\i}v 
csoportja.)

\medskip\noindent
{\bf T\'etel a $[-\pi,\pi)$ intervallumon defini\'alt
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek
kon\-ver\-gen\-ci\'a\-j\'a\-r\'ol.} {\it Legyen $\mu_n$, 
$n=1,2\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek 
sorozata a $[-\pi,\pi)$ intervallumban \'es defini\'aljuk 
mindegyik $\mu_n$ m\'ert\'ek 
$\varphi_n(k)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{ikt}\mu_n(\,dt)$,
$k=0,\pm1,\pm2,\dots$, Fourier transzform\'altj\'at. Ha 
l\'etezik, a $\varphi_0(k)=\limm_{n\to\infty}\varphi_n(k)$ 
hat\'ar\'ert\'ek minden $k=0,\pm1,\pm2,\dots$  sz\'amra, 
akkor l\'etezik olyan $\mu_0$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
m\'ert\'ek a $[-\pi,\pi)$ intervallumon,
amelyre 
$\varphi_0(k)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{ikt}\mu_0(\,dt)$
minden $k=0,\pm1,\pm2,\dots$ sz\'amra. Ezenk\'{\i}v\"ul 
a $\mu_n$,  $n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
m\'ert\'eksorozat gyeng\'en konverg\'al ehhez a $\mu_0$ 
m\'ert\'ekhez.}

\medskip
A teljess\'eg kedv\'e\'ert felid\'ezem a k\"ovetkez\H{o} 
definici\'ot.

\medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek gyenge 
konvergenci\'aja.} {\it Azt mondjuk, hogy egy $(X,\rho)$ 
teljes szepar\'abilis metrikus t\'eren defini\'alt
$\mu_n$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
m\'ert\'ekek sorozata gyeng\'en konverg\'al egy az 
$(X,\rho)$ t\'eren defini\'alt $\mu_0$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekhez, ha minden 
az $(X,\rho)$ t\'eren defini\'alt folytonos \'es 
korl\'atos f\"uggv\'enyre teljes\"ul a
$\limm_{n\to\infty}\int f(x)\mu_n(\,dx)=\int f(x)\mu_0(\,dx)$
rel\'aci\'o.}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.} Egy $(X,\rho)$ teljes 
szepar\'abilis metrikus t\'eren defini\'alt $\mu$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'er\-t\'e\-ket 
egy\'ertelm\H{u}en meghat\'aroz az $\int f(x)\mu(\,dx)$ 
integr\'alok rendszere, ha ezt az integr\'alt az
\"osszes az $(X,\rho)$ t\'eren defini\'alt 
korl\'atos \'es folytonos $f(\cdot)$  
f\"uggv\'enyre vessz\"uk. E t\'eny ismerete 
sz\"uks\'eges annak igazol\'as\'ahoz, hogy 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek fent 
defini\'alt gyenge limesze 
egy\-\'er\-tel\-m\H{u}\-en defini\'alva van.

\medskip
A $[-\pi,\pi)$ intervallumon defini\'alt
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek
kon\-ver\-gen\-ci\'a\-j\'a\-r\'ol sz\'ol\'o t\'etel 
kev\'esb\'e ismert, mint az el\H{o}tte 
megfogalmazott eredm\'eny, noha a bizony\'{\i}t\'asa
egy\-sze\-r\H{u}bb. R\"oviden v\'azolom ezt a 
bizony\'{\i}t\'ast. 

Ismert az az eredm\'eny, hogy a $[-\pi,\pi)$ 
intervallumon defini\'alt 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'er\-t\'e\-kek
tetsz\H{o}leges sorozat\'anak van a 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek gyenge 
konvergenci\'aja sze\-rint konvergens r\'eszsorozata.
(\'Altal\'anosabban, ez az \'all\'{\i}t\'as igaz 
b\'armely (szepar\'abilis) kompakt metrikus t\'eren 
defini\'alt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek 
sorozat\'ara is.) Tekints\"uk a $\mu_n$, $n=1,2,\dots$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekeknek egy 
tetsz\H{o}leges r\'eszsorozat\'at. Akkor ennek
a r\'eszsorozatnak van egy konvergens 
r\'esz\-so\-ro\-za\-ta. Tov\'abb\'a, a t\'etel 
felt\'etelei sze\-rint e konvergens r\'eszsorozat 
limesz\'enek egy\'ertelm\H{u}en meg van hat\'arozva 
a $\varphi_0(k)$, $k=0,\pm1,\pm2,\dots$, Fourier 
transz\-for\-m\'alt\-ja. Ezt felhaszn\'alva nem 
neh\'ez bel\'atni Weierstrass m\'asodik 
approxim\'aci\'os t\'etel\'enek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel, 
hogy ezen r\'eszsorozat b\'armely v\'alaszt\'asa 
eset\'en az az egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozott 
$\mu_0$ m\'ert\'ek jelenik meg 
ha\-t\'ar\-\'ert\'ek\-k\'ent, amelynek $\varphi_0(k)$, 
$k=0,\pm1,\pm2,\dots$, a Fourier transz\-for\-m\'alt\-ja. 
Abb\'ol, hogy a $\mu_n$ sorozat tetsz\H{o}leges 
r\'eszsorozat\'anak van konvergens r\'eszsorozata, \'es 
annak mindig ugyanaz a $\mu_0$ m\'ert\'ek a limesze 
k\"ovetkezik, hogy a $\mu_n$ m\'ert\'ek is konverg\'al, 
a limesze pedig ez a $\mu_0$ m\'ert\'ek.

R\'at\'erek a Bochner t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'ara.

\medskip\noindent
{\it A Bochner t\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/ L\'assuk 
be el\H{o}sz\"or azt, hogy ha $\oo(t)$ folytonos 
pozit\'{\i}v definit f\"uggv\'eny a sz\'amegyenesen 
vagy pozit\'{\i}v definit f\"uggv\'eny az eg\'esz 
sz\'amok halmaz\'an akkor teljes\'{\i}ti az (1.3) 
illetve (1.4)~formul\'at alkalmas $G(\,dx)$ m\'ert\'ekkel. 
Feltehetj\"uk az egyszer\H{u}s\'eg kedv\'e\'ert azt, hogy
 $\oo(0)=1$, mert dolgozhatunk az $\frac{\oo(t)}{\oo(0)}$
f\"uggv\'ennyel is az $\oo(t)$ f\"uggv\'eny helyett. 
(Azt kell \'eszrevenni, hogy az $\oo(0)=0$ esetben az 
1.1.~lemma alapj\'an $\oo(t)=0$  minden $t$ pontban, \'es 
ebben  az esetben (1.3) illetve (1.4) formula igaz az 
azonosan nulla $G$ m\'ert\'ekkel.)

L\'attuk, hogy tetsz\H{o}leges $\alpha>0$ sz\'amra 
az $\oo(t)e^{-\alpha t^2}$ f\"uggv\'eny 
integr\'alhat\'o \'es folytonos, pozit\'{\i}v 
definit f\"uggv\'eny, ha $-\infty<t<\infty$, \'es 
pozit\'{\i}v definit, abszol\'ut konvergens
sorozat, ha $t=0,\pm1,\pm2,\dots$. Ez\'ert a 
Proposition 1A, illetve Proposition 1B eredm\'enye 
alapj\'an mind a k\'et esetben el\H{o}\'all,
mint egy (s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel 
rendelkez\H{o}) $G_\alpha$ m\'ert\'ek 
Fourier transzform\'altja. S\H{o}t az $\oo(0)=1$ 
felt\'etel miatt azt is tudjuk, hogy $G_\alpha$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek. Mivel 
$\limm_{\alpha\to0}\oo(t)e^{-\alpha t^2}=\oo(t)$ 
minden $t$ sz\'amra, ha $\alpha\to0$ ez\'ert a 
{\it T\'etel eloszl\'asok konvergenci\'aj\'anak 
jellemz\'es\'er\H{o}l karakterisztikus f\"uggv\'enyek 
seg\'{\i}ts\'eg\'evel}\/ illetve a
{\it T\'etel a $[-\pi,\pi)$ intervallumon defini\'alt
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek
kon\-ver\-gen\-ci\'a\-j\'a\-r\'ol} eredm\'enye 
alapj\'an tudjuk, hogy a $G_\alpha$ m\'ert\'ekek 
gyeng\'en konverg\'alnak egy $G$ m\'ert\'ekhez, \'es 
az az $\oo(t)$ f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti az (1.3) 
illetve (1.4)~formul\'at ezzel a $G$ m\'ert\'ekkel.

L\'assuk be, hogy az (1.3) illetve (1.4) formul\'aban 
szerepl\H{o} $G$ m\'ert\'ek egy\'ertelm\H{u}en meg van 
hat\'arozva. Azt kell megmutatni, hogy ha $G_1$
\'es $G_2$ k\'et v\'eges m\'ert\'ek a sz\'amegyenesen, 
\'es 
$\int_{-\infty}^\infty e^{itx}G_1(\,dx)
=\int_{-\infty}^\infty e^{itx}G_2(\,dx)$
minden $t$ val\'os sz\'amra, vagy $G_1$ \'es $G_2$ 
k\'et v\'eges m\'ert\'ek a $[-\pi,\pi)$ intervallumon, 
\'es $\int_{-\pi}^\pi e^{itx}G_1(\,dx)
=\int_{-\pi}^\pi e^{itx}G_2(\,dx)$
minden $t=0,\pm1,\pm2,\dots$ sz\'amra, akkor $G_1=G_2$. 
(Ezt val\'oj\'aban bebizony\'{\i}tj\'ak az el\H{o}bb 
felhaszn\'alt t\'etelek bizony\'{\i}t\'as\'aban, de most
megism\'etelj\"uk ezt a bizony\'{\i}t\'ast.)

El\'eg megmutatni azt, hogy 
$\int h(x)G_1(\,dx)=\int h(x)G_2(\,dx)$ minden
a sz\'am\-egye\-ne\-sen, illetve a $[-\pi,\pi)$ 
intervallumon defini\'alt folytonos \'es korl\'atos 
f\"uggv\'enyre mind a k\'et esetben. A m\'asodik esetben 
ez az \'all\'{\i}t\'as azonnal k\"ovetkezik Weierstrass 
m\'asodik app\-ro\-xi\-m\'a\-ci\'os t\'etel\'eb\H{o}l, amely 
szerint minden a $[-\pi,\pi)$ intervallumban folytonos
f\"uggv\'eny tetsz\H{o}leges pontoss\'aggal 
k\"ozel\'{\i}thet\H{o} a szupr\'emum norm\'aban
trigonometrikus po\-li\-no\-mok\-kal. Az els\H{o} eset 
is igazolhat\'o Weierstrass m\'asodik approxim\'aci\'os
t\'etel\'enek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel. El\H{o}sz\"or 
azt l\'atjuk be, hogy egy folytonos,  \'es egy v\'eges 
intervallumon k\'{\i}v\"ul elt\H{u}n\H{o} 
f\"uggv\'eny integr\'alja a $G_1$ \'es $G_2$ 
m\'ert\'ek szerint egyenl\H{o}. Ugyanis egy ilyen
f\"uggv\'enyt egy a $[-T,T]$ intervallumon defini\'alt 
f\"uggv\'enynek tekintve egy el\'eg nagy $T>0$ sz\'ammal, 
\'es v\'eve ennek a f\"uggv\'enynek a $2T$ peri\'odus\'u
kiterjeszt\'es\'et a sz\'amegyenesre azt kapjuk, hogy az 
e peri\'odikus  kiterjeszt\'es seg\'{\i}ts\'eg\'evel 
kapott folytonos \'es korl\'atos f\"uggv\'eny integr\'alja 
a $G_1$ illetve a $G_2$ m\'ert\'ek szerint egyenl\H{o}. 
Ezut\'an $T\to\infty$ hat\'ar\'atmenettel azt kapjuk, 
hogy az  eredeti f\"uggv\'eny integr\'alja is megegyezik 
e k\'et m\'ert\'ek szerint.

Ezut\'an felhaszn\'aljuk, hogy egy tetsz\H{o}leges 
folytonos \'es korl\'atos f\"uggv\'enyt j\'ol tu\-dunk 
k\"ozel\'{\i}teni korl\'atos  tart\'oj\'u, folytonos 
f\"uggv\'enyekkel. Minden $T>0$ sz\'amra l\'etezik 
olyan folytonos f\"uggv\'eny,  amelynek tart\'oja a 
$[-T-1,T+1]$ intervallum, a $[-T,T]$  intervallumban az 
\'ert\'eke 1, \'es az abszol\'ut \'ert\'eke kisebb vagy 
egyenl\H{o} 1-gyel minden  pontban. Egy folytonos \'es 
korl\'atos f\"uggv\'enyt  megszorozva egy ilyen 
f\"uggv\'ennyel, \'es  elv\'egezve a $T\to\infty$ 
hat\'ar\'atmenetet megkapjuk a k\'{\i}v\'ant 
\'all\'{\i}t\'ast.

Azt kell m\'eg bel\'atni, hogy egy pozit\'{\i}v 
definit $\oo(t)$  f\"uggv\'eny akkor \'es csak akkor 
val\'os \'ert\'ek\H{u}, ha  az (1.3) illetve (1.4) 
reprezent\'aci\'oj\'aban szerepl\H{o}  $G$ m\'ert\'ek
 p\'aros. Az, hogy az $\oo(\cdot)$ f\"uggv\'eny val\'os, 
ha a $G$ m\'ert\'ek p\'aros nyilv\'anval\'o. A m\'asik 
ir\'any\'u \'all\'{\i}t\'as igazol\'as\'anak 
\'erdek\'eben  vegy\"uk \'eszre, hogy az 1.1.~lemma 
alapj\'an  $\oo(-t)=\overline{\oo(t)}$, ez\'ert 
$\oo(t)$ akkor \'es csak akkor val\'os (akkor \'es 
csak akkor teljes\"ul az  $\oo(t)=\overline{\oo(t)}$ 
azonoss\'ag), ha $\oo(t)=\oo(-t)$.  Ez\'ert abban az 
esetben, ha $\oo(t)$ val\'os \'ert\'ek\H{u} 
fel\'{\i}rhatjuk az 
$\oo(t)=\oo(-t)=\int e^{-itx}G(\,dx)=\int e^{itx}G^-(dx)$
azonoss\'agot, ahol $G^-(A)=G(-A)$ minden m\'erhet\H{o} 
$A$ halmazra. Ezt  \"osszehasonl\'{\i}tva az $\oo(t)$ 
f\"uggv\'eny (1.3) illetve  (1.4) 
el\H{o}\'all\'{\i}t\'as\'aval, \'es felhaszn\'alva azt, 
hogy az ebben az el\H{o}\'all\'{\i}t\'asban szerepl\H{o} 
$G$ m\'ert\'ek  egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozott 
azt kapjuk, hogy $G=G^-$. Ez azt jelenti, hogy a $G$ 
m\'ert\'ek p\'aros. A Bochner t\'etel 
bizony\'{\i}t\'as\'at befejezt\"uk.

\medskip
Sz\'amunkra a Bochner t\'etelnek az al\'abbi 
k\"ovetkezm\'enye lesz \'erdekes.

\medskip\noindent
{\bf A Bochner t\'etel k\"ovetkezm\'enye.}\/ {\it Legyen 
adva egy $X(t)$, $EX(t)=0$, $-\infty<t<\infty$, folytonos 
idej\H{u}   stacion\'arius Gauss folyamat, \'es jel\"olje 
$r(t)=EX(0)X(t)$, $-\infty<t<\infty$, e sztochasztikus 
folyamat kovariancia f\"uggv\'eny\'et. Ha $r(\cdot)$
folytonos f\"uggv\'eny a sz\'amegyenesen, akkor 
l\'etezik egy olyan egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozott 
$G(\cdot)$ v\'eges, p\'aros m\'ert\'ek a sz\'amegyenesen 
(azaz $G(A)=G(-A)$ minden m\'erhet\H{o} $A$ halmazra),
amellyel az $r(\cdot)$ kovariancia f\"uggv\'eny 
megadhat\'o
$$
r(t)=\int_{-\infty}^\infty e^{itx} G(\,dx), 
\quad  -\infty<t<\infty,
\tag1.17
$$
alakban.

Megford\'{\i}tva, ha $G$ egy v\'eges, p\'aros m\'ert\'ek a 
sz\'amegyenesen, akkor l\'etezik egy olyan $X(t)$, $EX(t)=0$, 
$-\infty<t<\infty$, folytonos idej\H{u} stacion\'arius Gauss 
folyamat, amelynek $r(t)=EX(0)X(t)$ kovariancia f\"uggv\'enye 
folytonos, \'es az (1.17) k\'eplettel adhat\'o meg ezen $G$ 
m\'ert\'ek seg\'{\i}ts\'eg\'evel.

Legyen adva egy $X(n)$, $EX(n)=0$, $n=0,\pm1,\pm2,\dots$, 
diszkr\'et idej\H{u} stacion\'arius Gauss folyamat, \'es
jel\"olje $r(n)=EX(0)X(n)$, $n=0,\pm1,\pm2,\dots$,
e sztochasztikus folyamat kovariancia f\"uggv\'eny\'et. 
L\'etezik egy olyan egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozott 
$G(\cdot)$ v\'eges, p\'aros m\'ert\'ek (azaz $G(A)=G(-A)$ 
minden m\'erhet\H{o} $A$ halmazra) a $[-\pi,\pi)$ 
intervallumon (pontosabban a sz\'amegyenes addit\'{\i}v
csoportj\'anak faktorcsoportj\'an a $2\pi\text{\BBB Z}$ 
r\'eszcsoport szerint, ahol $\text{\BBB Z}$ az eg\'esz 
sz\'amok addit\'{\i}v csoportj\'at jel\"oli) \'ugy,
hogy az $r(\cdot)$ kovariancia f\"uggv\'eny megadhat\'o
$$
r(n)=\int_{-\pi}^\pi e^{inx} G(\,dx), 
\quad  n=0,\pm1,\pm2,\dots,
\tag1.18
$$
alakban.

Megford\'{\i}tva, ha $G$ egy v\'eges, p\'aros m\'ert\'ek 
a $[-\pi,\pi)$ intervallumon, (hasonl\'oan \'ertelmezve 
ezt az intervallumot, mint az el\H{o}bb tett\"uk), akkor
l\'etezik egy olyan $X(n)$, $EX(n)=0$, 
$n=0,\pm1,\pm2,\dots$, diszkr\'et idej\H{u} stacion\'arius 
Gauss folyamat az eg\'esz sz\'amok halmaz\'an, amelynek 
$r(n)=EX(0)X(n)$ kovariancia f\"uggv\'enye az 
(1.18)~k\'ep\-let\-tel adhat\'o meg ezen $G$ m\'ert\'ek 
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.}

\medskip
A k\"ovetkezm\'enyben szerepl\H{o} $G$ m\'ert\'eket a 
stacion\'arius Gauss folyamat spektr\'al m\'ert\'ek\'enek 
nevezik az irodalomban.

\medskip\noindent
{\it A k\"ovetkezm\'eny bizony\'{\i}t\'asa.}\/ A fenti 
k\"ovetkezm\'eny igazol\'as\'ahoz azt kell \'eszrevenni, hogy
egy stacion\'arius Gauss folyamat $r(t)=EX(0)X(t)=EX(s)X(t+s)$, 
$-\infty<s,t<\infty$, vagy $r(n)=EX(0)X(n)=EX(m)EX(n+m)$,
$n,m=0,\pm1,\pm2,\dots$, kovariancia f\"uggv\'enye (val\'os 
\'ert\'ek\H{u}) pozit\'{\i}v definit f\"uggv\'eny. Val\'oban,
tetsz\H{o}leges $t_1,\dots,t_k$ id\H{o}pontokra \'es $z_1,\dots,z_k$
komplex sz\'amokra 
$$
\align
\summ_{j=1}^k\summ_{l=1}^k z_j\bar z_l r(t_j-t_l) 
&=\summ_{j=1}^k\summ_{l=1}^k z_j\bar z_l EX(t_j) X(t_l) \\
&=E\(\summ_{j=1}^k z_jX(t_j)\)
\overline{\(\summ_{j=1}^k z_jX(t_j)\)}\ge0,
\endalign
$$
azaz $r(t)$ pozit\'{\i}v definit f\"uggv\'eny. Az, hogy $r(n)$
pozit\'{\i}v definit f\"uggv\'eny a diszkr\'et idej\H{u} 
stacion\'arius Gauss folyamatok eset\'eben hasonl\'oan l\'athat\'o.

Megford\'{\i}tva, ha $r(t)$, $-\infty<t<\infty$, vagy $r(n)$, 
$n=0,\pm1,\pm2,\dots$, pozit\'{\i}v definit f\"uggv\'eny, akkor
l\'etezik az az adott $r(\cdot)$ kovariancia f\"uggv\'ennyel
rendelkez\H{o} stacion\'arius Gauss folyamat, mert minden 
$t_1,\dots,t_k$ pontra l\'etezik $EX(t_j)X(t_l)=r(t_j-t_l)$
kovariancia f\"uggv\'ennyel rendelkez\H{o} $(X(t_1),\dots,X(t_k))$
t\"obbdimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u vektor.

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.}\/ A folytonos idej\H{u} stacion\'arius 
Gauss folyamatok $r(\cdot)$ kovariancia f\"uggv\'eny\'et 
csak akkor jellemezt\"uk az el\H{o}z\H{o} k\"ovetkezm\'enyben, 
ha az folytonos f\"uggv\'eny. Ez a felt\'etel nem 
hagyhat\'o el. Val\'oban, legyenek $X(t)$, $-\infty<t<\infty$, 
f\"uggetlen, standard norm\'alis eloszl\'as\'u 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok. Akkor ezek 
olyan stacion\'arius Gauss fo\-lya\-ma\-tot defini\'alnak, 
amelynek $r(\cdot)$ kovariancia  f\"uggv\'eny\'et az 
$r(0)=1$, $r(t)=0$, ha $t\neq0$ k\'eplettel adhatjuk meg.
Ez a f\"uggv\'eny nem adhat\'o meg (1.17) alakban.

\beginsection Stacion\'arius Gauss folyamatok megad\'asa 
v\'eletlen m\'ert\'ekek seg\'{\i}ts\'eg\'evel.

Az el\H{o}z\H{o} fejezeben megmutattuk, hogy egy 
stacion\'arius Gauss folyamat kovariancia f\"uggv\'enye 
megadhat\'o, mint egy spektr\'al m\'ert\'ek Fourier
transzform\'altja. Ebben a fejezetben megmutatjuk, hogy 
nemcsak a kovariancia f\"uggv\'eny, hanem maga a Gauss 
folyamat is megadhat\'o, mint egy olyan v\'eletlen Gauss 
m\'ert\'ek szerinti integr\'al, amely v\'eletlen Fourier 
transzform\'altnak is tekinthet\H{o}. Ez lehet\H{o}v\'e 
teszi azt is, hogy a Gauss folyamaton term\'eszetes
m\'odon defini\'alhat\'o shift transzform\'aci\'o 
hat\'as\'at is meg tudjuk adni ezen v\'eletlen 
integr\'al seg\'{\i}ts\'eg\'evel. A fenti 
\'all\'{\i}t\'asok pontos megfogalmaz\'asa 
\'er\-de\-k\'e\-ben el\H{o}sz\"or n\'eh\'any 
fogalmat be kell vezetni. El\H{o}sz\"or a shift 
transzform\'aci\'o definici\'oj\'at fogom t\'argyalni.

Tekints\"unk egy $X(t)$, $EX(t)=0$, $-\infty<t<\infty$, 
folytonos idej\H{u} vagy egy $X(n)$, $EX(n)=0$, 
$n=0,\pm1,\pm2,\dots$, diszkr\'et idej\H{u} stacion\'arius 
Gauss folyamatot egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, \'es defini\'aljuk 
azokat az $\Cal M$ (val\'os) \'es $\bar{\Cal M}$ (komplex) 
Hilbert tereket, amelyek elemei  az $(\Omega,\Cal A,P)$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} n\'egyzetesen 
in\-teg\-r\'al\-ha\-t\'o, nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} 
val\'os illetve komplex \'ert\'ek\H{u} f\"uggv\'enyei, 
\'es a ska\-l\'ar\-szor\-za\-tot ezekben a Hilbert terekben 
a $(\xi,\eta)=E\xi\eta$, $\xi,\eta\in\Cal M$, illetve
a $(\xi,\eta)=E\xi\bar\eta$, $\xi,\eta\in\bar{\Cal M}$ 
k\'epletek adj\'ak meg. Jel\"olje $\Cal H$ az $\Cal M$ 
Hilbert t\'ernek azt a (val\'os) alter\'et, amely a 
folytonos idej\H{u} folyamatok eset\'eben az \"osszes 
$\sum c_kX(t_{j_k})$ alak\'u, a diszkr\'et idej\H{u} 
folyamatok eset\'eben pedig \"oszes $\sum c_kX(n_{j_k})$ 
alak\'u val\'os egy\"utthat\'os v\'eges line\'aris 
kombin\'aci\'o  form\'aj\'aban megadhat\'o
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ob\'ol \'all\'o 
halmaz lez\'artja. A fenti definici\'okban a $t_{j_k}$ 
argumentumok val\'os, az $n_{j_k}$ argumentumok pedig 
eg\'esz sz\'amok lehetnek. Hasonl\'o m\'odon defini\'aljuk
a $\bar{\Cal M}$ Hilbert t\'er $\bar{\Cal H}$ alter\'et
azzal a k\"ul\"onbs\'eggel, hogy a tekintett 
$\sum c_kX(t_{j_k})$ illetve $\sum c_kX(n_{j_k})$
alak\'u line\'aris kombin\'aci\'okban a $c_k$ egy\"utthat\'ok
komplex sz\'amok lehetnek. 
Folytonos idej\H{u} stacion\'arius Gauss folyamatok 
eset\'eben defini\'alni k\'{\i}v\'anunk alkalmas 
m\'odon $T_t$, shift transzform\'aci\'okat minden 
$t\in(\infty,\infty)$ param\'eterre a $\Cal H$ vagy 
$\bar{\Cal H}$ Hilbert t\'erben. Hasonl\'o m\'odon 
diszkr\'et idej\H{u} stacion\'arius Gauss folyamatok 
eset\'eben defini\'alni k\'{\i}v\'anunk al\-kal\-mas 
m\'odon $T_n$ shift transzform\'aci\'okat minden 
$n=0,\pm1,\pm2,\dots$ param\'eterre a $\Cal H$ \'es
$\bar{\Cal H}$ Hilbert terekben. 

A folytonos idej\H{u} esetben azt k\'{\i}v\'anjuk, hogy 
legyen $T_tX(s)=X(t+s)$ minden $s$ val\'os sz\'amra,
a diszkr\'et id\H{o}ben pedig azt, hogy legyen 
$T_nX(m)=X(n+m)$ minden $m$ eg\'esz sz\'amra. 
Ezenk\'{\i}v\"ul azt is szeretn\'enk, hogy a $T_t$ 
illetve a $T_n$ oper\'atorok unit\'erek legyenek a 
$\Cal H$ vagy $\bar{\Cal H}$ t\'erben. Eml\'ekeztetek 
arra, hogy egy oper\'atort akkor nevez\"unk unit\'ernek 
egy Hilbert t\'erben, ha nemcsak normatart\'o, hanem 
invert\'alhat\'o is. (A v\'eges dimenzi\'os
Euklideszi terekt\H{o}l elt\'er\H{o}en abb\'ol, 
hogy egy oper\'ator normatart\'o egy Hilbert t\'erben 
nem k\"ovetkezik, hogy invert\'alhat\'o is.) A 
k\"ovetkez\H{o} lemm\'aban bel\'atjuk, hogy l\'etezik 
egy egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozott $T_t$ vagy 
$T_n$ oper\'ator a $\Cal H$ Hilbert t\'erben a 
k\'{\i}v\'ant tulajdons\'agokkal, \'es ezek 
figyelembe v\'etel\'evel defini\'alni tudjuk a 
shift transzform\'aci\'ot. Megjegyzem, hogy a shift
transzform\'aci\'ot defini\'alhatn\'ank a nagyobb 
$\Cal M$ vagy $\bar{\Cal M} $ Hilbert t\'erben is, de 
mivel erre nem lesz sz\"uks\'eg\"unk ezt nem tessz\"uk.

\medskip\noindent
{\bf 2.1. Lemma.} {\it Legyen adva egy folytonos idej\H{u} 
$X(t)$, $EX(t)=0$, $-\infty<t<\infty$, stacion\'arius 
Gauss folyamat egy $(\Omega,\Cal A,P)$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. L\'etezik minden 
$t\in(-\infty,\infty)$ param\'eterre egy olyan 
egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozott $T_t$ normatart\'o
line\'aris transzform\'aci\'o a lemma megfogalmaz\'asa 
el\H{o}tt  defini\'alt $\Cal H$ vagy $\bar{\Cal H}$ 
Hilbert t\'erben, amely teljes\'{\i}ti a  
$T_tX(s)=X(t+s)$ rel\'aci\'ot minden 
$-\infty<s<\infty$  param\'eterre. A $T_t$ 
transz\-for\-m\'a\-ci\'o unit\'er, \'es  teljes\"ul a
 $T_{t_1}T_{t_2}=T_{t_1+t_2}$ azonoss\'ag minden 
$-\infty<t_1,t_2<\infty$ sz\'amp\'arra.

Legyen adva egy diszkr\'et idej\H{u}  $X(n)$, 
$EX(n)=0$, $n=0,\pm1,\pm2,\dots$, stacion\'arius 
Gauss folyamat egy $(\Omega,\Cal A,P)$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. L\'etezik 
minden $n=0,\pm1,\pm2,\dots$ param\'eterre egy olyan 
egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozott $T_n$ normatart\'o
line\'aris transz\-for\-m\'a\-ci\'o a lemma 
megfogalmaz\'asa el\H{o}tt  defini\'alt $\Cal H$ vagy
$\bar{\Cal H}$ Hilbert t\'erben, amely teljes\'{\i}ti 
a $T_nX(m)=X(n+m)$ rel\'aci\'ot minden 
$m=0,\pm1,\pm2,\dots$ param\'eterre. A $T_n$ 
transzform\'aci\'o unit\'er, \'es teljes\"ul
a $T_{n_1}T_{n_2}=T_{n_1+n_2}$ azonoss\'ag minden 
$n_1,n_2=0,\pm1,\pm2,\dots$ sz\'amp\'arra.}

\medskip\noindent
{\it A 2.1. lemma bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Tekints\"unk 
k\'et v\'eges sok  $X(t)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'o line\'aris kombin\'aci\'ojak\'ent defini\'alt
$\eta=\sum a_j X(t_j)$ \'es $\zeta=\sum b_j X(t'_j)$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, \'es ezek
$U\eta=\sum a_j X(t_j+t)$ \'es $U\zeta=\sum b_j X(t'_j+t)$ 
transzform\'aci\'oit. Vegy\"uk \'eszre, hogy
$(\eta,\zeta)=(U\eta,U\zeta)$, mert mind a k\'et 
skal\'arszorzat a $\sum\sum a_j\bar b_k r(t_j-t'_k)$ 
\"osszeggel egyenl\H{o}, ahol $r(s)=EX(0)X(s)=EX(u)X(u+s)$ 
tetsz\H{o}leges $u$ \'es $s$ sz\'amokkal. (Ebben a 
l\'ep\'esben  kihaszn\'aljuk, hogy (gyeng\'en) 
stacion\'arius sztochasztikus folyamatokkal dolgozunk.) 
Ez az azonoss\'ag azt is biztos\'{\i}tja, hogy a 
$T_t\eta=U\eta=\sum ajX(t_j+t)$ k\'eplettel 
defini\'aljuk a v\'eges line\'aris kombin\'aci\'ok\'ent 
fel\'{\i}rhat\'o $\eta=\sum a_j X(t_j)$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'o k\'ep\'et a 
$T_t$ transzform\'aci\'o hat\'as\'ara. E definici\'o 
jogoss\'ag\'ahoz az kell \'eszrevenni, hogy ha egy 
$\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak k\'et 
k\"ul\"onb\"oz\H{o} reprezent\'aci\'oj\'at adjuk meg, 
azaz $\eta=\zeta$ valamely $\zeta=\sum b_j X(t'_j)$ 
v\'eges line\'aris kombin\'aci\'oval, akkor a 
$T_t\eta=T_t\zeta$ azonoss\'ag is igaz. Ez az\'ert van 
\'{\i}gy, mert $\|\zeta-\eta\|^2=(\zeta-\eta,\zeta-\eta)=0$ 
eset\'en a
$\|T_t\zeta-T_t\eta\|^2=(T_t(\zeta-\eta),T_t(\zeta-\eta))=0$ 
azonoss\'ag is teljes\"ul. Mivel a tekintett v\'eges 
line\'aris kombin\'aci\'ok egy minden\"utt s\H{u}r\H{u} 
alteret alkotnak a $\Cal H$ vagy $\bar{\Cal H}$ Hilbert 
t\'erben, \'es $T_t$ korl\'atos ezen az alt\'eren ez\'ert 
a $T_t$ oper\'ator definici\'oj\'at kiterjeszthetj\"uk 
az eg\'esz $\Cal H$ vagy $\bar{\Cal H}$ Hilbert t\'erre. 
Ez a transzform\'aci\'o normatart\'o, \'es  
invert\'alhat\'o is. Ugyanis minden 
$\eta=\sum a_j X(t_j)$ v\'eges \"osszeg fel\'{\i}rhat\'o 
$\eta=T_t\eta'$ alakban az $\eta'=\sum a_j X(t_j-t)$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oval. Nem neh\'ez 
ezek ut\'an bel\'atni, hogy nemcsak ezen minden\"utt 
s\H{u}r\H{u} alt\'er elemeinek van inverze, hanem ezen 
alt\'er lez\'artj\'aban, azaz a $\Cal H$ vagy 
$\bar{\Cal H}$ Hilbert t\'erben is invert\'alhat\'o 
minden elem.

Mivel el\H{o}\'{\i}rtuk, hogy $T_tX(s)=X(t+s)$ 
minden $s$ sz\'amra, \'es $T_t$ korl\'atos, line\'aris 
transzform\'aci\'o,  ez\'ert azt csak az el\H{o}bb 
megadott m\'odon defini\'alhatjuk. V\'eg\"ul abb\'ol, hogy 
$T_{t_1}T_{t_2}X(s)=T_{t_1}X(s+t_2)=X(s+t_1+t_2)=T_{t_1+t_2}X(s)$
minden $s\in(-\infty,\infty)$ sz\'amra, \'es 
korl\'atos  line\'aris transzform\'aci\'okkal
dolgozunk k\"ovetkezik, hogy teljes\"ul a
$T_{t_1}T_{t_2}=T_{t_1+t_2}$ azonoss\'ag is. 

A diszkr\'et idej\H{u} stacion\'arius Gauss folyamatokr\'ol 
sz\'ol\'o \'all\'{\i}t\'ast ugyan\'{\i}gy kell 
bebizony\'{\i}tani, csak a jel\"ol\'est kell kiss\'e 
megv\'altoztatni. Ez\'ert ennek t\'argyal\'as\'at elhagyom. 
A 2.1. lemm\'at bebizony\'{\i}tottuk.

\medskip
Meg akarjuk mutatni, hogy a stacion\'arius Gauss folyamatokat 
el\H{o} tudjuk \'all\'{\i}tani megfelel\H{o} v\'eletlen 
Gauss m\'ert\'ekek szerinti integr\'alk\'ent. Annak 
\'erdek\'eben, hogy ezt a k\'erd\'est t\'argyalhassuk
el\H{o}sz\"or be kell vezetni azokat a v\'eletlen Gauss 
m\'ert\'ekeket, amelyek szerint integr\'alni fogunk. Ezen 
Gauss m\'ert\'ekek tulajdons\'agai szoros kapcsolatban 
vannak az el\H{o}\'all\'{\i}tand\'o stacion\'arius Gauss 
folyamat spektr\'al m\'ert\'ek\'evel.

Legyen adva egy v\'eges, p\'aros $G$ m\'ert\'ek a 
sz\'amegyenesen vagy a $[-\pi,\pi)$ sza\-ka\-szon. Ez a 
$G$ m\'ert\'ek tekinthet\H{o} egy alkalmas stacion\'arius 
Gauss folyamat spektr\'al m\'ert\'ek\'enek. (A 
$[-\pi,\pi)$ intervallum jelen esetben is \'ugy 
\'ertend\H{o} mint a sz\'amegyenes addit\'{\i}v
csoportj\'anak faktorcsoportja a $2\pi\text{\BBB Z}$ 
r\'eszcsoport szerint.) Be fogjuk vezetni alkalmasan 
defini\'alt, komplex \'ert\'ek\H{u} 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak egy a 
sz\'amegyenes vagy a $[-\pi,\pi)$ intervallum m\'erhet\H{o} 
r\'eszhalmazaival param\'eterezett rendszer\'et, amelyet 
a $G$ spektr\'al m\'ert\'ek szerinti v\'eletlen spektr\'al
m\'ert\'eknek fogunk nevezni. Defini\'alni fogunk term\'eszetes 
m\'odon egy v\'eletlen integr\'alt ezen v\'eletlen 
spektr\'al m\'ert\'ek seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Meg fogjuk 
mutatni, hogy ezen integr\'al seg\'{\i}ts\'eg\'evel
defini\'alhat\'o egy $G$ spektr\'al m\'ert\'ekkel 
rendelkez\H{o} stacion\'arius Gauss folyamat. Ezt az 
eredm\'enyt (felhaszn\'alva a Gauss folyamat 
el\H{o}\'all\'{\i}t\'as\'aban szerepl\H{o} integr\'al 
speci\'alis alakj\'at) \'ugy is interpret\'alhatjuk, 
hogy nemcsak a Gauss folyamat kovariancia f\"uggv\'enye 
\'all\'{\i}that\'o el\H{o}, mint egy 
spektr\'al m\'ert\'ek Fourier transzform\'altja, hanem 
maga a Gauss folyamat is el\H{o}\'all\'{\i}that\'o, 
mint egy v\'eletlen spektr\'al m\'ert\'ek Fourier 
transzform\'altja. Ez az el\H{o}\'all\'{\i}t\'as 
lehet\H{o}v\'e teszi azt, hogy a shift transzform\'aci\'o 
hat\'as\'at is tanulm\'anyozni tudjuk  egy
v\'eletlen integr\'al seg\'{\i}ts\'eg\'evel.

El\H{o}sz\"or megadom a v\'eletlen spektr\'al 
m\'ert\'ek definici\'oj\'at.

\medskip\noindent
{\bf V\'eletlen spektr\'al m\'ert\'ek definici\'oja.} 
{\it Legyen adva egy v\'eges, p\'aros $G$ m\'ert\'ek 
a sz\'amegyenesen vagy a $[-\pi,\pi)$ intervallumon. Azt 
mondjuk, hogy a komplex \'ert\'ek\H{u} 
$Z_G(A)=\xi_G(A)+i\eta_G(A)$, $A\in\Cal B$, 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok rendszere, ahol
$\Cal B$ a sz\'amegyenes vagy a $[-\pi,\pi)$ intervallum
Borel m\'erhet\H{o} halmazainak a $\sigma$-algebr\'aj\'at 
jel\"oli, a $G$ m\'ert\'ek szerinti v\'eletlen spektr\'al 
m\'ert\'ek, ha teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o} 
tulajdons\'agokat:

\medskip
\item{(i)} A $\xi_G(A)$, $\eta_G(A)$, $A\in\Cal B$, 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok rendszere egy 
Gauss mez\H{o}t alkot, azaz ak\'arhogy is vesz\"unk ki
bel\H{o}l\"uk v\'eges sok tagot, ezek egy\"uttese 
t\"obbv\'altoz\'os, nor\-m\'a\-lis eloszl\'as\'u v\'eletlen 
vektor.
\item{(ii)} $EZ_G(A)=0$ minden $A\in\Cal B$ halmazra.
\item{(iii)} $EZ_G(A)\overline{Z_G(B)}=G(A\cap B)$ minden
$A,B\in\Cal B$ halmazp\'arra.
\item{(iv)} $Z_G(-A)=\overline{Z_G(A)}$ minden $A\in\Cal B$
halmazra.

}\medskip

Ahhoz, hogy a v\'eletlen spektr\'al m\'ert\'ekekkel dolgozni 
tudjunk meg kell ismern\"unk azok legfontosabb tulajdons\'agait. 
T\"obbek k\"oz\"ott meg fogjuk mutatni, hogy tetsz\H{o}leges 
$G$ spektr\'al m\'ert\'ek eset\'en l\'etezik egy a $G$ 
m\'ert\'ek szerinti $Z_G$ v\'eletlen spektr\'al m\'ert\'ek. 
B\'ar ez tal\'an egyszer\H{u}bben l\'athat\'o n\'eh\'any 
k\'es\H{o}bb t\'argyaland\'o eredm\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel,
amelyek arra is magyar\'azatot adhatnak, hogy mi\'ert volt
\'erdemes az ebben a defi\-ni\-ci\'o\-ban megadott 
tulajdons\'agokkal rendelkez\H{o} v\'eletlen spektr\'al 
m\'ert\'ekeket bevezetni, meg fog\-juk adni ennek az 
\'all\'{\i}t\'asnak egy direkt bizony\'{\i}t\'as\'at is. 
Azt is meg fogjuk mutatni, hogy egy $G$ m\'ert\'ek szerinti 
v\'eletlen spektr\'al m\'ert\'ek v\'eges dimenzi\'os 
eloszl\'asait a $G$ m\'ert\'ek egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozza. 

A k\"ovetkez\H{o} lemm\'aban megfogalmazom a v\'eletlen 
spektr\'al m\'ert\'ek n\'eh\'any fontos tulajdons\'ag\'at.

\medskip\noindent
{\bf 2.2. Lemma.} {\it Legyen adva egy v\'eges, p\'aros 
$G$ m\'ert\'ek a sz\'amegyenesen vagy a $[-\pi,\pi)$ 
intervallumon, \'es legyen $Z_G(A)$, $A\in\Cal B$,  egy 
$G$ m\'ert\'ek  szerinti v\'eletlen spektr\'al  m\'ert\'ek. 
Ez a v\'eletlen spektr\'al m\'ert\'ek teljes\'{\i}ti a 
k\"ovetkez\H{o} tulajdons\'agokat. 

\medskip
\item{(v)} $\summ_{j=1}^n Z_G(A_j)=Z_G\(\bigcupp_{j=1}^n A_j\)$,
ha $A_1,\dots,A_n$ diszjunkt, Borel m\'erhet\H{o} halmazok. 

\item{(vi)} A $\Re Z_G(A)$, $A\in\Cal B$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok rendszere f\"uggetlen 
az $\Im Z_G(A)$, $A\in\Cal B$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'ok  rendszer\'et\H{o}l.

\item{(vii)} A $Z_G(A\cup(-A))$ alak\'u 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok val\'os 
\'ert\'ek\H{u}ek. Ha $A_1\cup(-A_1)$,\dots $A_n\cup (-A_n)$ 
diszjunkt halmazok, akkor a $Z_G(A_1)$,\dots, $Z_G(A_n)$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek.

\item{(viii)} $\Re Z_G(A)=\Re Z_G(-A)$, \'es 
$\Im Z_G(A)=-\Im Z_G(-A)$ minden $A\in\Cal B$ halmazra, \'es 
ha $A\cap (-A)=\emptyset$, akkor 
$E\,\Re Z_G(A)^2=E\,\Im Z_G(A)^2=\frac{G(A)}2$.

\item{(ix)} Vezess\"uk be a $\Re Z_G(A)=\xi_A$ \'es 
$\Im Z_G(A)=\eta_A$ jel\"ol\'est, \'es jel\"olje $\chi_A(\cdot)$ egy
$A$ halmaz indik\'ator f\"uggv\'eny\'et. Ezzel a jel\"ol\'essel
$$
\align
E\xi_A\xi_B&=\frac14[G(A\cap B)+G((-A)\cap(-B))
+G(A\cap(-B))+G((-A)\cap B)] \\
&=\frac14\int [\chi_A(x)+\chi_{(-A)}(x)] 
[\chi_B(x)+\chi_{(-B)}(x)] G(\,dx), \tag2.1
\endalign
$$
\'es
$$
\align
E\eta_A\eta_B&=\frac14[G(A\cap B)
+G((-A)\cap(-B))-G(A\cap(-B))-G((-A)\cap B)]\\
&=\frac14\int [\chi_A(x)-\chi_{(-A)}(x)] 
[\chi_B(x)-\chi_{(-B)}(x)] G(\,dx) \tag2.2
\endalign
$$
minden $A,B\in\Cal B$ halmazra.


\medskip
Tetsz\H{o}leges a sz\'amegyenesen vagy a $[-\pi,\pi)$ 
intervallumon megadott v\'eges, p\'aros $G$ m\'ert\'ekre 
l\'etezik a $G$ m\'ert\'ek szerinti v\'eletlen $Z_G$ 
spektr\'al m\'ert\'ek,  \'es ennek a $Z_G$ v\'eletlen 
spektr\'al m\'ert\'eknek a v\'eges dimenzi\'os eloszl\'asait 
meghat\'arozza a $G$ (spektr\'al) m\'ert\'ek.}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.} Azok az azonoss\'agok, amelyekben k\'et 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egyenl\H{o}s\'eg\'et 
fogalmaztuk meg, (ilyenek p\'eld\'aul a (iv) \'es  
(v)~tulajdons\'agokat kifejez\H{o} azonoss\'agok) \'ugy 
\'ertend\H{o}ek, hogy a k\'et  oldalon \'all\'o kifejez\'es 
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel megegyezik. Az a 
kiv\'eteles null m\'ert\'ek\H{u} halmaz, ahol a k\'et 
kifejez\'es nem egyezik meg f\"ugghet az azonoss\'agban 
szerepl\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okt\'ol.

\medskip\noindent
{\it A 2.2. lemma bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Az (v) tulajdons\'ag 
igazol\'as\'ahoz el\'eg megmutatni, hogy
$$
\align
&E\(\sum_{j=1}^n Z_G(A_j)-Z_G\(\bigcupp_{j=1}^n A_j\)\)
\overline{\(\summ_{j=1}^n Z_G(A_j)-Z_G\(\bigcupp_{j=1}^n A_j\)\)} \\
&\qquad=E\(\sum_{j=1}^n Z_G(A_j)-Z_G\(\bigcupp_{j=1}^n A_j\)\)
\(\summ_{j=1}^n \overline{Z_G(A_j)}-\overline{Z_G\(\bigcupp_{j=1}^n A_j\)}\)
=0.
\endalign
$$
Ezt az azonoss\'agot azonban megkapjuk a (iii) 
tulajdons\'agb\'ol a v\'arhat\'o \'ert\'ekben vett 
kifejez\'esben vett tagonk\'enti szorz\'assal, felhaszn\'alva 
a $G$ m\'ert\'ek additivit\'as\'at, valamint azt, hogy 
az $A_1$,\dots $A_n$ halmazok diszjunktak.

A (vi) tulajdons\'ag igazol\'as\'ahoz el\'eg megmutatni, hogy
$E\,\Re Z_G(A)\Im Z_G(B)=0$ minden $A,B\in\Cal B$ halmazp\'arra.
Ez a redukci\'o az\'ert lehets\'eges, mert a $\Re Z_G(A)$ 
\'es $\Im Z_G(B)$ alak\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'ok, $A,B\in\Cal B$, egy\"uttesen  norm\'alis 
eloszl\'as\'uak, ez\'ert ebben az esetben a 
korrel\'alatlans\'agb\'ol k\"ovetkezik a f\"uggetlens\'eg is.
Viszont ez az azonoss\'ag k\"ovetkezik az al\'abbi a (iii) \'es
(iv) tulajdons\'agokat felhaszn\'al\'o sz\'amol\'asb\'ol.
$$
\align
E\,\Re Z_G(A)\Im Z_G(B)&=\frac1{4i} E(Z_G(A)+\overline{Z_G(A)})
(Z_G(B)-\overline{Z_G(B)})\\
&=\frac1{4i}E(Z_G(A)+Z_G(-A))(\overline{Z_G(-B)}-\overline{Z_G(B)})\\
&=\frac1{4i}G(A\cap(-B))-\frac1{4i}G(A\cap B)\\
&\qquad+\frac1{4i}G((-A)\cap(-B))-\frac1{4i}G((-A)\cap B)=0,
\endalign
$$
mivel $G(D)=G(-D)$ minden $D\in\Cal B$ halmazra. Speci\'alisan
$G((-A)\cap(-B))=G(A\cap B)$, \'es $G((-A)\cap B)=G(A\cap(-B))$.

A bizony\'{\i}t\'as k\"ovetkez\H{o} l\'ep\'es\'eben a 
(ix)~rel\'aci\'ot bizony\'{\i}tjuk be hasonl\'o m\'odon.
Fel\'{\i}rhatjuk, hogy
$$
\align
E\,\xi_A\xi_B&=\frac14 E(Z_G(A)+\overline{Z_G(A)})
(Z_G(B)+\overline{Z_G(B)})\\
&=\frac14E(Z_G(A)+Z_G(-A))(\overline{Z_G(-B)}+\overline{Z_G(B)})\\
&=\frac14G(A\cap B)+\frac14G((-A)\cap (-B))  
+\frac14G(A\cap(-B))+\frac14G((-A)\cap B),
\endalign
$$
\'es
$$
\align
E\,\eta_A\eta_B&=-\frac14 E(Z_G(A)-\overline{Z_G(A)})
(Z_G(B)-\overline{Z_G(B)})\\
&=\frac14E(Z_G(A)-Z_G(-A))(\overline{Z_G(B)}-\overline{Z_G((-B))})\\
&=\frac14G(A\cap B)+\frac14G((-A)\cap (-B))
-\frac14G(A\cap(-B))-\frac14G((-A)\cap B),
\endalign
$$
ahonnan k\"ovetkezik a (2.1) \'es (2.2) formul\'ak els\H{o} 
azonoss\'aga. Ezen formul\'ak m\'asodik azonoss\'aga innen
egyszer\H{u}en l\'athat\'o.

A (vii) \'es (viii) rel\'aci\'ok els\H{o} \'all\'{\i}t\'asa 
k\"ovetkezik a (iv) rel\'aci\'ob\'ol, a (vii) rel\'aci\'o 
m\'asodik \'all\'{\i}t\'asa pedig a (2.1) \'es (2.2) 
formul\'akb\'ol \'es a (vi) rel\'aci\'ob\'ol. Azt kell 
\'esz\-re\-ven\-ni, hogy ha $A_1\cup(-A_1)$,\dots 
$A_n\cup (-A_n)$  diszjunkt halmazok, akkor 
$$
E\,\Re Z_G(A_j)\Re Z_G(A_k)=E\,\Im Z_G(A_j)\Im Z_G(A_k)=0
$$
minden   $1\le j,k\le n$, $j\neq k$ indexp\'arra. Innen, 
a tekintett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok 
egy\"uttes Gauss eloszl\'as\'ab\'ol \'es a (vi) 
rel\'aci\'ob\'ol k\"ovetkezik a (vii) pontban \'all\'{\i}tott
f\"uggetlens\'eg. A (viii) rel\'aci\'o m\'asodik \'all\'{\i}t\'asa
egyszer\H{u}en k\"ovetkezik a (2.1) \'es (2.2) formul\'akb\'ol.

A k\"ovetkez\H{o} l\'ep\'esben bebizony\'{\i}tom, hogy minden 
korl\'atos \'es p\'aros $G$ m\'ert\'ekhez l\'etezik egy $G$ 
m\'ert\'ek szerinti $Z_G$ v\'eletlen spektr\'al m\'ert\'ek. 
Ennek \'erdek\'eben a k\"ovetkez\H{o} k\'et \'all\'{\i}t\'ast 
igazolom.

\medskip
\item{a)} L\'etezik k\'et olyan f\"uggetlen, nulla v\'arhat\'o 
\'ert\'ek\H{u} egy\"uttesen norm\'alis eloszl\'as\'u $\xi_A$ 
\'es $\eta_A$, $A\in\Cal B$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'okb\'ol \'all\'o val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}, 
amelynek $E\xi_A\xi_B$ \'es $E\eta_A\eta_B$, $A,B\in\Cal B$, 
kovariancia  f\"uggv\'enyei teljes\'{\i}tik a (2.1) illetve 
(2.2) formul\'at.

\item{b)} Legyen $\xi_A$ \'es $\eta_A$, $A\in\Cal A$, k\'et az a)
pontban felsorolt tulajdons\'agokat kiel\'eg\'{\i}t\H{o} 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}. Akkor 
$Z_G(A)=\xi_A+i\eta_A$, $A\in\Cal B$, a $G$ m\'ert\'ek szerinti 
v\'eletlen spektr\'al m\'ert\'ek.

\medskip
Az a) pont igazol\'as\'ahoz el\'eg megmutatni, hogy tetsz\H{o}leges
$A_1,\dots,A_n\in\Cal B$ halmazokhoz l\'eteznek olyan
$\xi_{A_1},\dots,\xi_{A_n}$ illetve $\eta_{A_1},\dots,\eta_{A_n}$
nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} norm\'alis eloszl\'as\'u vektorok, 
amelynek kovarianci\'aj\'at a (2.1) illetve (2.2) formula 
adja meg, ha e formul\'akban az $A$ \'es $B$ argumentumokat 
az $A_j$ \'es $A_k$, $1\le j,k\le n$, argumentumokkal 
helyettes\'{\i}tj\"uk. Ez ekvivalens azzal, hogy
$\sum\limits_{j=1}^n\sum\limits_{k=1}^n z_j\bar z_kE\xi_{A_j}\xi_{A_k}\ge0$
\'es
$\sum\limits_{j=1}^n\sum\limits_{k=1}^n z_j\bar z_kE\eta_{A_j}\eta_{A_k}\ge0$
tetsz\H{o}leges $z_1,\dots,z_n$ komplex sz\'amokra.

Ezen \'all\'{\i}t\'as igazol\'as\'ara felhaszn\'aljuk az 
$E\xi_A\xi_B$ \'es $E\eta_A\eta_B$ v\'arhat\'o \'ert\'ekre adott 
kifejez\'es jobboldal\'at. Azt kapjuk, hogy
$$
\align
&\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^n z_j\bar z_kE\xi_{A_j}\xi_{A_k}
=\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^n \frac{z_j\bar z_k}4
\int [\chi_{A_j}(x)+\chi_{(-{A_j})}(x)] 
[\chi_{A_k}(x)+\chi_{(-A_k)}(x)] G(\,dx)\\
&\qquad=\frac14\int\(\sum_{j=1}^n z_j(\chi_{A_j}(x)+\chi_{(-A_j)}(x))\)
\overline{\(\sum_{j=1}^n z_j(\chi_{A_j}(x)+\chi_{(-A_j)(x)})\)}G(\,dx)\ge0,
\endalign
$$
\'es hasonl\'oan
$$
\align
&\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^n z_j\bar z_kE\eta_{A_j}\eta_{A_k} \\
&\qquad =\frac14\int\(\sum_{j=1}^n z_j(\chi_{A_j}(x)-\chi_{(-A_j)(x)})\)
\overline{\(\sum_{j=1}^n z_j(\chi_{A_j}(x)-\chi_{(-A_j)}(x))\)}G(\,dx)\ge0.
\endalign
$$

Az, hogy a b) pontban defini\'alt $Z_G(A)=\xi_A+i\eta_A$, 
$A\in\Cal B$, v\'eletlen m\'ert\'ek teljes\'{\i}ti a $G$ 
m\'ert\'ek szerinti spektr\'al m\'ert\'ek definici\'oj\'aban 
szerepl\H{o} (i) \'es (ii) tulajdons\'agot nyilv\'anval\'o. 
Annak igazol\'as\'ahoz, hogy teljes\'{\i}ti a (iii) 
tulajdons\'agot azt kell megmutatni (a $\xi_A$ \'es $\eta_A$
alak\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok 
f\"uggetlens\'ege \'es nulla v\'arhat\'o \'ert\'eke miatt), hogy 
$E(\xi_A\xi_B+\eta_A\eta_B)=G(A\cap B)$. Ez igaz, mert a (2.1)
\'es (2.2) formul\'ak, illetve a $G$~m\'ert\'ek $G(-A)=G(A)$ 
tulajdons\'aga miatt
$$
E(\xi_A\xi_B+\eta_A\eta_B)=\frac12[G(A\cap B)+G((-A)\cap (-B))]
=G(A\cap B). 
$$

A (iv) pont igazol\'as\'ahoz azt kell megmutatni, hogy 
$\xi_A=\xi_{(-A)}$ \'es $\eta_A=-\eta_{(-A)}$ minden 
$A\in\Cal B$ halmazra. Ehhez el\'eg azt
igazolni, hogy $E[\xi_A-\xi_{(-A)}]^2=0$, \'es 
$E[\eta_A+\eta_{(-A)}]^2=0$. Viszont 
$E[\xi_A-\xi_{(-A)}]^2=E\xi_A^2+E\xi_{(-A)}^2-2E\xi_A\xi_{(-A)}$,
\'es a (2.1) formula \'es a $G$ m\'ert\'ek p\'aross\'aga miatt 
 $E\xi_A^2=E\xi_{(-A)}^2=\frac12 G(A\cap(-A))+\frac12 G(A)$, \'es
 $E\xi_A\xi_{-(A)}=\frac12 G(A\cap(-A))+\frac12 G(A)$, ahonnan
$E[\xi_A-\xi_{(-A)}]^2=0$. Az $E[\eta_A+\eta_{(-A)}]^2=0$ 
azonoss\'ag hasonl\'oan bizony\'{\i}that\'o, csak ott az 
$E\eta_A^2=E\eta_{-(A)}^2=-E\eta_A\eta_{-(A)}
=\frac12G(A)-\frac12G(A\cap(-A))$ azonoss\'agot kell haszn\'alni.

Az, hogy a $G$ m\'ert\'ek meghat\'arozza a $G$ m\'ert\'ek szerinti 
$Z_G$ spektr\'al m\'ert\'ek el\-osz\-l\'a\-s\'at abb\'ol 
k\"ovetkezik, hogy a $\Re Z_G$, \'es $\Im Z_G$ egym\'ast\'ol 
f\"uggetlen, nulla v\'arhat\'o \'er\-t\'e\-k\H{u} 
egy\"uttesen norm\'alis eloszl\'as\'u 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okb\'ol \'all\'o
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}k, \'es a (ix) tulajdons\'ag 
miatt mind a $\Re Z_G$ mind az $\Im Z_G$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
mez\H{o} elemeinek a kovarianci\'aj\'at meghat\'arozza a 
$G$ m\'ert\'ek. A 2.2 lemma bizony\'{\i}t\'as\'at befejezt\"uk.

\medskip
Megadom azt a (val\'os), alkalmas f\"uggv\'enyekb\H{o}l \'all\'o 
Hilbert teret, amelynek a f\"uggv\'enyeire fogjuk defini\'alni
a $G$ m\'ert\'ekhez tartoz\'o $Z_G$ v\'eletlen spektr\'al 
m\'ert\'ek sze\-rin\-ti sztochasztikus integr\'alt.

\medskip\noindent
{\bf A sztochasztikus integr\'al definici\'oj\'aban szerepl\H{o}
magf\"uggv\'enyekb\H{o}l \'all\'o Hil\-bert t\'er definici\'oja.}
{\it Legyen adva egy $G$ v\'eges, p\'aros m\'ert\'ek a 
sz\'amegyenesen vagy a $[-\pi,\pi)$ intervallumon. Jel\"olje 
$\bar{\Cal K}_G$  a $G$ m\'ert\'ek szerint n\'egyzetesen 
integr\'alhat\'o (komplex sz\'am\'ert\'ek\H{u}) a $[-\pi,\pi)$ 
intervallumon vagy a sz\'amegyenesen defini\'alt f\"uggv\'enyek 
Hilbert ter\'et (az, hogy a $[-\pi,\pi)$ intervallumot vagy a 
sz\'amegyenest tekintj\"uk-e att\'ol f\"ugg, hogy a $G$ 
m\'ert\'ek hol van defini\'alva) 
a $(g,h)=\int g(x)\overline{h(x)}G(\,dx)$, $g,h\in\bar{\Cal K}_G$,
skal\'arszorzattal. Legyen $\Cal K_G\subset \bar{\Cal K}_G$ 
azon f\"uggv\'enyek halmaza az el\H{o}bb defini\'alt 
skal\'arszorzattal, amely azon $g\in\bar{\Cal K}_G$ 
f\"uggv\'enyekb\H{o}l \'all, amelyekre teljes\"ul a 
$g(x)=\overline{g(-x)}$ azonoss\'ag is az \'ertelmez\'esi 
tartom\'any minden pontj\'aban.} 

\medskip
Vegy\"uk \'eszre, hogy $\Cal K_G$ val\'os Hilbert t\'er. Ugyanis 
egyr\'eszt ha $c_1$, $c_2$ val\'os sz\'amok, $g,h\in \Cal K_G$, 
akkor $c_1g+c_2h\in\Cal K_G$, m\'asr\'eszt, ha $h,g\in \Cal K_G$, 
akkor $(g,h)$ skal\'arszorzatuk val\'os sz\'am. Ez ut\'obbi 
\'all\'{\i}t\'as igazol\'as\'ahoz azt kell megmutatni, hogy 
$(g,h)=\overline{(g,h)}$. Viszont a $G$ m\'ert\'ek p\'aross\'aga,
\'es a $g(-x)=\overline{g(x)}$, $h(-x)=\overline{h(x)}$ 
azonoss\'agok miatt
$$
(g,h)=\int g(x)\overline{h(x)}G(\,dx)
=\int g(-x)\overline{h(-x)}G(\,dx)=\int \overline{g(x)} h(x)\,G(\,dx)
=\overline{(g,h)}.
$$
A $\bar{\Cal K}_G$ t\'er a $\Cal K_G$ t\'er 
komplexifik\'aci\'oj\'anak tekinthet\H{o}. Val\'oban, 
tetsz\H{o}leges $f\in\bar{\Cal K}_G$  f\"uggv\'eny 
fel\'{\i}rhat\'o, mint 
$f(x)=\frac12(f(x)+\overline{f(-x)})+\frac12i[-if(x)+i\overline{f(-x)}]$,
azaz $f(x)=h_1(x)+ih_2(x)$, 
$h_1(x)=\frac12(f(x)+\overline{f(-x)})$ \'es 
$h_2(x)=\frac12(-if(x)+i\overline{f(-x)})$ v\'alaszt\'assal.
Nem neh\'ez bel\'atni, hogy $h_1\in\Cal K_G$, \'es 
$h_2\in\Cal K_G$ ezekkel a $h_1$ \'es $h_2$ f\"uggv\'enyekkel.

Tov\'abb\'a $\|f\|^2=\|h_1\|^2+\|h_2\|^2$, ha $f=h_1+ih_2$
valamely $h_1,h_2\in\Cal K_G$ f\"ugg\-v\'e\-nyek\-kel. Ebben 
az esetben ugyanis $(h_2,h_1)=\overline{(h_1,h_2)}=(h_1,h_2)$,
ez\'ert 
$\|f\|^2=(h_1+ih_2,h_1+ih_2)=\|h_1\|^2+\|h_2\|^2+i((h_2,h_1)-(h_1,h_2))
=\|h_1\|^2+\|h_2\|^2$.

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.}\/ A fentiekben bevezett\"unk val\'os 
Hilbert tereket. A klasszikus p\'elda val\'os Hilbert 
terekre a n\'egyzetesen integr\'alhat\'o {\it val\'os 
\'ert\'ek\H{u}} f\"uggv\'enyek tere a szok\'asos
norm\'aval. De vannak m\'as fontos p\'eld\'ak is. A mi 
p\'eld\'ankban olyan f\"uggv\'enyeket vett\"unk, 
amelyekre $f(-x)=\overline{f(x)}$. Ez szeml\'eletesen 
azt jelenti, hogy val\'os \'ert\'ek\H{u} f\"uggv\'enyek
helyett olyan f\"uggv\'enyeket tekintett\"unk, amelyek 
\'ugy viselkednek, mint a val\'os \'ert\'ek\H{u} 
f\"uggv\'enyek Fourier transzform\'altjai. Ahhoz, hogy 
a k\'{\i}v\'ant felt\'etelek teljes\"uljenek azt is fel
kellett tenni, hogy  p\'aros $G$ m\'ert\'ek szerint 
integr\'alunk.

\medskip
R\"oviden ismertetem, hogyan \'all\'{\i}tunk el\H{o}
egy el\H{o}\'{\i}rt eloszl\'as\'u stacion\'arius Gauss
folyamatot a $\Cal K_G$ Hilbert t\'er elemein bevezetett
v\'eletlen integr\'al seg\'{\i}ts\'eg\'evel egy al\-kal\-mas 
$Z_G$ v\'eletlen spektr\'al m\'ert\'ek szerint. Az al\'abb
bevezetend\H{o} $I$ oper\'ator j\'atssza ennek a v\'eletlen 
integr\'alnak a szerep\'et.

Tekints\"unk egy $G$ spektr\'al m\'ert\'eket a 
sz\'amegyenesen vagy  a $[-\pi,\pi)$ intervallumon \'es 
egy $G$ m\'ert\'ek szerinti $Z_G$ v\'eletlen spektr\'al 
m\'ert\'eket valamely $(\Omega,\Cal A,P)$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Vegy\"uk a $G$ 
m\'ert\'ek \'altal meghat\'arozott, el\H{o}bb
defini\'alt $\Cal K_G$ val\'os \'es $\bar{\Cal K}_G$ 
komplex Hilbert teret, valamint jel\"olje $\Cal H$ 
\'es $\bar{\Cal H}$ a $\sum c_kZ_G(B_k)$,  
$B_k\in\Cal B$, alak\'u v\'eges line\'aris 
kombin\'aci\'ok\'ent el\H{o}\'all\'{\i}that\'o 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok line\'aris 
ter\'enek lez\'artj\'at a $(\Omega,\Cal A,P)$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n defini\'alt 
n\'egyzetesen integr\'alhat\'o 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok Hilbert 
ter\'eben, ahol  $\Cal H$ definici\'oj\'aban csak 
a val\'os \'ert\'ek\H{u} $\sum c_kZ_G(B_k)$ v\'eges
line\'aris kombin\'aci\'ok lez\'artj\'at tekintj\"uk.
(Val\'os \'ert\'ek\H{u} line\'aris kombin\'aci\'ot
kapunk p\'eld\'aul akkor, ha az \"osszegben a
$c_kZ_G(B_k)$ taggal egy\"utt szerepel a
$\bar c_kZ_G((-B_k))$ tag is.) Konstru\'alni 
fogunk egy $I\colon\;\bar{\Cal K}_G\to\bar{\Cal H}$ 
line\'aris lek\'epez\'est, amely egyben unit\'er 
ope\-r\'a\-tor is, illetve tekinteni fogjuk ezen 
oper\'ator megszor\'{\i}t\'as\'at a $\Cal K_G$ 
val\'os Hilbert t\'erbe, amely egy 
$I\colon\;\Cal K_G\to\Cal H$ alak\'u lek\'epez\'es lesz. 
Eml\'ekeztetek arra,hogy egy ope\-r\'a\-tort egy 
$\Cal H$ Hilbert t\'erb\H{o}l egy $\Cal K$ Hilbert 
t\'erbe akkor nevez\"unk unit\'ernek, ha nemcsak 
normatart\'o, hanem invert\'alhat\'o is.

Ezt az al\'abb bevezetend\H{o} $I$ oper\'atort fogjuk 
tekinteni a $Z_G$ v\'eletlen spektr\'al m\'ert\'ek 
szerinti v\'eletlen integr\'alnak. Az $I$ oper\'ator 
definici\'oja term\'eszetess\'e fogja tenni ezt az 
elnevez\'est. Az $I\colon\;\Cal K_G\to\Cal H$ 
lek\'epez\'es meg fogja adni a $\Cal H$ t\'erbeli 
val\'os, az $I\colon\;\bar{\Cal K}_G\to\bar{\Cal H}$ 
lek\'epez\'es pedig a $\bar{\Cal H}$ t\'erbeli komplex 
\'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok 
reprezent\'aci\'oj\'at $Z_G$ v\'eletlen spektr\'al 
m\'ert\'ek szerinti v\'eletlen integr\'alk\'ent. Ezek 
a formul\'ak azt is lehet\H{o}v\'e fogj\'ak tenni, 
hogy konstru\'aljunk egy el\H{o}\'{\i}rt $G$ spektr\'al 
m\'ert\'ekkel rendelkez\H{o} stacion\'arius Gauss 
fo\-lya\-ma\-tot egy v\'eletlen spekr\'al m\'ert\'ek
szerinti integr\'alok seg\'{\i}ts\'eg\'evel.

Egy a $\Cal K_G$ vagy $\bar{\Cal K}_G$ Hilbert t\'erben 
lev\H{o} f\"uggv\'enyt eleminek nevez\"unk, ha v\'eges 
sok k\"ul\"onb\"oz\H{o} \'ert\'eket vesz fel. El\H{o}sz\"or 
elemi f\"uggv\'enyekre fogjuk defini\'alni az $I$ 
oper\'atort, azut\'an bel\'atjuk, hogy az elemi 
f\"ugg\'enyek a $\Cal K_G$ vagy $\bar{\Cal K}_G$ Hilbert 
t\'er minden\"utt s\H{u}r\H{u} r\'eszhalmaz\'at 
alkotj\'ak, \'es az $I$ oper\'ator kiterjeszthet\H{o} 
az eg\'esz Hilbert t\'erre alkalmas lez\'ar\'as
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.

Az $f\in\bar{\Cal K}_G$ elemi f\"uggv\'enyekre 
az $I$ oper\'ator $I(f)$ \'ert\'ek\'et a
k\"o\-vet\-ke\-z\H{o} m\'odon defini\'aljuk:
$$
I(f)=\sum_{j=1}^n f(x_j) Z_G(B_j), \tag2.3
$$
ha $B_1,\dots,B_n$ a sz\'amegyenesnek vagy a $[-\pi,\pi)$ 
intervallumnak olyan partici\'oja, ahol az $f$ f\"uggv\'eny 
konstans, \'es $x_j\in B_j$,  $j=1,\dots,n$. El\H{o}sz\"or 
azt kell bel\'atnunk, hogy jo\-gunk van az $I(f)$ 
mennyis\'eget \'{\i}gy defini\'alni, annak \'ert\'eke 
nem f\"ugg a partici\'o v\'a\-lasz\-t\'a\-s\'a\-t\'ol.

A probl\'em\'at az okozza, hogy a $B_1,\dots,B_k$ 
partici\'o v\'alaszt\'asa nem egy\'ertelm\H{u}. Jogunk 
van p\'eld\'aul a partici\'o b\'armely $B_k$ elem\'et 
v\'eges sok kisebb diszjunkt halmaz uni\'oj\'ara bontani. 
Annak \'erdek\'eben, hogy a (2.3) definici\'o jogoss\'ag\'at
bel\'assuk, el\'eg megmutatni, hogy az egyes $B_k$ 
halmazok feldarabol\'asa v\'eges sok r\'eszre nem 
v\'altoztatja meg a (2.3) kifejez\'esben szerepl\H{o} 
\"osszeg \'ert\'ek\'et. V\'eve ugyanis k\'et olyan
k\"ul\"onb\"oz\H{o} partici\'ot, amelyek elemein 
az $f$ f\"uggv\'eny konstans, el\'eg azt megmutatni, 
hogy v\'eve egy mindk\'et feloszt\'asn\'al finomabb 
partici\'ot, az $I(f)$ \"osszeg mind a k\'et esetben
egyenl\H{o} az ehhez a finomabb partici\'ohoz 
tartoz\'o \"osszeggel.

Ez az \'all\'{\i}t\'as bel\'athat\'o a k\"ovetkez\H{o} 
\'eszrev\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ha $B_{k,1},\dots,B_{k,m}$ 
a partici\'oban szerepl\H{o} valamelyik $B_k$ halmaznak
egy v\'eges feloszt\'asa, \'es $x_k\in B_k$, akkor 
$\summ_{j=1}^mf(x_k)Z_G(B_{k,j})=f(x_k)Z_G(B_k)$ a 
v\'eletlen spektr\'al m\'ert\'ek (v) tulajdons\'aga miatt.

Megfogalmazom az $I(\cdot)$ oper\'ator n\'eh\'any fontos
tulajdons\'ag\'at, egyel\H{o}re csak elemi f\"uggv\'enyekre.

$$
EI(f)\overline{I(g)}=\int f(x)\overline{g(x)}G(\,dx) \tag2.4
$$
minden $f,g\in\bar{\Cal K}_G$ f\"uggv\'enyp\'arra, ha $f$ 
\'es $g$ elemi f\"uggv\'enyek, \'es
$$
I(f) \quad\text{val\'os \'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'o, ha } f\in\Cal K_G,
\tag2.5
$$
\'es $f$ elemi f\"uggv\'eny.

A (2.4) formula bizony\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben vegy\"unk egy 
olyan $B_1,\dots,B_n$ partici\'ot, amelynek az elemein mind az 
$f$ mind a $g$ f\"uggv\'eny konstans \'ert\'ek\H{u}, \'es 
legyen $x_j\in B_j$. Ekkor
$$
\align
EI(f)\overline{I(g)}&=E\(\sum_{j=1}^n f(x_j)Z_G(B_j)\)
\(\sum_{j=1}^n \overline{g(x_j)}\,\,\overline{ Z_G(B_j)}\) \\
&=\sum_{j=1}^N f(x_j)\overline{g(x_j)}G(B_j)
=\int f(x)\overline{g(x)}G(\,dx),
\endalign
$$
mivel $EZ_G(B_j)\overline{Z_G(B_j)}=G(B_j)$, \'es  
$EZ_G(B_j)\overline{Z_G(B_k)}=0$, ha $j\neq k$, a v\'eletlen 
spektr\'al m\'ert\'ek (iii) tulajdons\'aga \'es a partici\'o 
$B_j\cap B_k=\emptyset$, ha $j\neq k$ tulajdons\'aga miatt.

A (2.5) tulajdons\'ag igazol\'as\'ahoz azt kell megmutatni, hogy
$I(f)=\overline{I(f)}$, ha $f\in\Cal K_G$ \'es $f$ elemi 
f\"uggv\'eny. Feltehetj\"uk az $f$ f\"uggv\'eny n\'{\i}v\'ohalmazainak
esetleges finom\'{\i}t\'as\'aval, \'es e halmazok alkalmas
\'atindexel\'es\'evel, hogy a tekintett partici\'o olyan
$B_{-n},\dots,B_n$ halmazokb\'ol \'all, amelyekre 
$B_{-j}=-B_j$. Tov\'abb\'a olyan $x_j\in B_j$, $j=-n,\dots,n$, 
pontokat vesz\"unk, amelyekre $f(-x_j)=\overline {f(x_j)}$, 
\'es $Z_G(-B_j)=\overline{Z_G(B_j)}$ a v\'eletlen 
spektr\'al m\'ert\'ek (viii) tulajdons\'aga miatt.
Ilyen v\'alaszt\'assal fel\'{\i}rhatjuk, hogy
$$
I(f)=\sum_{j=-n}^nf(x_j)Z_G(B_j)
=\sum_{j=-n}^nf(-x_j)Z_G(-B_j)
=\sum_{j=-n}^n\overline{f(x_j)}\,\overline{Z_G(B_j)}=\overline{I(f)}.
$$

\medskip
Az al\'abbi lemm\'aban megfogalmazom az $I(f)$ oper\'ator 
sz\'amunkra legfontosabb tulajdons\'agait.

\medskip\noindent
{\bf 2.3. Lemma.} {\it Legyen adva egy korl\'atos, 
p\'aros $G$ m\'ert\'ek a sz\'amegyenesen vagy a $[-\pi,\pi)$ 
intervallumon \'es egy e $G$ m\'ert\'ek szerinti $Z_G$ 
v\'eletlen spektr\'al m\'ert\'ek valamely $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Tekints\"uk a 
$G$ m\'ert\'ek \'altal meghat\'azott $\Cal K_G$ val\'os, 
$\bar{\Cal K}_G$ komplex \'es a $Z_G$ v\'eletlen spektr\'al 
m\'ert\'ek \'altal meghat\'arozott $\Cal H$ val\'os \'es 
$\bar{\Cal H}$ komplex Hilbert tereket. L\'etezik egy olyan 
egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozott 
$I\colon\;\bar{\Cal K}_G\to\bar{\Cal H}$ unit\'er 
lek\'epez\'es, amelynek megszor\'{\i}t\'asa a $\Cal K_G$
val\'os Hilbert t\'erre egy
$I\colon\;\Cal K_G\to \Cal H$ unit\'er lek\'epez\'es, \'es 
amely teljes\'{\i}ti a (2.3) formul\'at minden 
$f\in\bar{\Cal K}_G$ elemi f\"uggv\'enyre. Spe\-ci\-\'a\-li\-san, 
a (2.4) \'es (2.5) formul\'ak \'erv\'enyesek minden 
$f,g\in\bar{\Cal K}_G$ f\"uggv\'enyp\'arra, illetve 
$f\in\Cal K_G$ f\"uggv\'enyre, teh\'at nem csak elemi 
f\"uggv\'enyekre. 

Ha a $G$ m\'ert\'ek a sz\'amegyenesen van defini\'alva, 
akkor az $I$ oper\'ator seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'alt 
$X(t)=I(e^{itx})$,  $-\infty<t<\infty$, 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy\"uttese egy 
folytonos idej\H{u} stacion\'arius Gauss folyamat a 
sz\'amegyenesen $G$ spektr\'al m\'ert\'ekkel. Ha a $G$ 
m\'ert\'ek a $[-\pi,\pi)$ intervallumon van defini\'alva, 
akkor az $X(n)=I(e^{inx})$, $n=0$, $\pm1$, $\pm2,\dots$, 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata egy az 
eg\'esz sz\'amokon defini\'alt diszkr\'et stacion\'arius
Gauss sorozat $G$ spektr\'al m\'ert\'ekkel.

Az el\H{o}bb defin\'alt $X(t)$, $-\infty<t<\infty$, \'es $X(n)$, 
$n=0,\pm1,\pm2,\dots$, folytonos illetve diszkr\'et idej\H{u}
stacion\'arius Gauss folyamatok tagjainak v\'eges val\'os (vagy
komplex) line\'aris kombin\'aci\'oi minden\"utt s\H{u}r\H{u}
halmazt alkotnak a $\Cal H$ (vagy $\bar{\Cal H}$) val\'os (illetve
komplex) Hilbert t\'erben. Ez\'ert seg\'{\i}ts\'eg\"ukkel 
egy\'ertelm\H{u}en defini\'alni lehet azokat a $T_u$, 
$-\infty<u<\infty$, illetve $T_m$, $m=0,\pm1,\pm2,\dots$,
unit\'er shift oper\'atorokat a $\Cal H$, illetve $\bar{\Cal H}$
Hilbert tereken, amelyekre $T_uX(t)=X(t+u)$, 
$T_mX(n)=X(n+m)$. Igaz a k\"ovetkez\H{o} k\'eplet:
$$
\align
T_uI(g(x))&=I(e^{iux}g(x)),\quad -\infty<u<\infty,
\quad\text{ha $G$ a 
sz\'amegyenesen van defini\'alva}\\
T_mI(g(x))&=I(e^{imx}g(x)),\quad m=0,\pm1,\pm2,\dots, 
\quad\text{ha $G$ a $[-\pi,\pi)$ intervallumon} \\ 
&\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad
\text{ van defini\'alva} \tag2.6
\endalign
$$
minden $g\in{\Cal K}_G$ vagy $g\in\bar{\Cal K}_G$ f\"uggv\'enyre.}

\medskip
Az $I(f)$ lek\'epez\'est a (2.3) kifejez\'esben olyan \"osszeg 
form\'aj\'aban adtuk meg elemi f\"uggv\'enyekre, amely 
tekinthet\H{o} integr\'al k\"ozel\'{\i}t\H{o}  \"osszegnek is. 
Ezut\'an az $I(f)$ mennyi\-s\'eget ilyen `integr\'al 
k\"ozel\'{\i}t\H{o} \"osszegek' alkalmas limeszek\'ent 
defini\'altuk az \'altal\'anos eset\-ben. Ez\'ert 
term\'eszetes bevezetni a k\"ovetkez\H{o} jel\"ol\'est.
$$
I(f)=\int f(x)Z_G(\,dx),\quad \text{ha } f\in{\Cal K}_G
\quad\text{vagy } f\in\bar{\Cal K}_G.
$$
Ezzel a jel\"ol\'essel a 2.3.~lemm\'aban bevezetett 
stacion\'arius folytonos \'es diszkr\'et idej\H{u}
Gauss folyamatok $G$ spektr\'al m\'ert\'ekkel a 
k\"ovetkez\H{o}k\'epp adhat\'ok meg:
$$
X(t)=\int e^{itx}Z_G(\,dx),\quad -\infty<t<\infty,\quad 
X(n)=\int e^{inx}Z_G(\,dx),\quad n=0,\pm1,\pm2,\dots. \tag2.7
$$

Az e sztochasztikus folyamatok \'altal meghat\'arozott 
\'es a (2.6) formul\'aban defini\'alt shift oper\'ator
\'{\i}gy \'{\i}rhat\'o fel a fenti v\'eletlen integr\'alok
seg\'{\i}ts\'eg\'evel:
$$
\aligned
&T_u\(\int g(x)Z_G(\,dx\)=\int e^{iux}g(x)Z_G(\,dx), 
\quad -\infty<u<\infty,\\
&T_m\(\int g(x)Z_G(\,dx\)=\int e^{imx}g(x)Z_G(\,dx),
\quad m=0,\pm1,\pm2,\dots,
\endaligned \tag2.8
$$
minden $g\in{\Cal K}_G$, illetve $g\in\bar{\Cal K}_G$ 
f\"uggv\'enyre a folytonos illetve diszkr\'et idej\H{u} 
stacion\'arius Gauss folyamat \'altal meghat\'arozott 
shift oper\'atorokra.

A (2.7) formul\'at interpret\'alhatjuk \'ugy, hogy az $X(n)$
illetve $X(t)$ stacion\'arius folyamat a $Z_G(\cdot)$ v\'eletlen
spektr\'al m\'ert\'ek Fourier transzform\'altja. A (2.8) formula
azt mutatja, hogy ez a v\'eletlen Fourier transzform\'alt 
hasonl\'oan viselkedik a hagyom\'anyos Fourier transzform\'althoz.
Val\'oban, ha $h(t)=\int e^{ixt} g(x)\,dx$, azaz $h(\cdot)$ a 
$g(\cdot)$ Fourier transform\'altja, akkor a 
$h_u(t)=T_uh(t)=h(t+u)$ f\"uggv\'enyre 
$$
h_u(t)=\int e^{ix(t+u)}g(x)\,dx=\int e^{ixt} g_u(x)\,dx,
$$
ahol $g_u(x)=e^{iux}g(x)$, azaz a $h_u(\cdot)$ f\"uggv\'eny
a $g_u(\cdot)$ f\"uggv\'eny Fourier transzform\'altja. A 
(2.8)~formula hasonl\'o rel\'aci\'ot mond ki v\'eletlen Fourier
transzform\'altakra.

\'Irjuk fel az $I$ oper\'ator tulajdons\'agait is a fenti
integr\'al jel\"ol\'essel. Az $\int f(x) Z_G(\,dx)$ akkor 
\'es csak akkor l\'etezik, ha  $\int|f(x)|^2G(\,dx)<\infty$.
A (2.4) formula szerint
$$
E\[\int f(x)Z_G(\,dx)\overline{\int g(x)Z_G(\,dx)}\]
=\int f(x)\overline{g(x)}G(\,dx) \tag2.9
$$
minden $f,g\in\bar{\Cal K}_G$ f\"uggv\'enyp\'arra. Tov\'abb\'a
$$
E\int f(x)Z_G(\,dx)=0, 
$$
\'es a (2.5) formula szerint
$$
\int f(x) Z_G(\,dx) \quad \text{ egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
val\'os \'ert\'ek\H{u}, ha } f(-x)=\overline{f(x)}.
$$

\medskip\noindent
{\it A 2.3. Lemma bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Vegy\"uk \'eszre, 
hogy a (megfelel\H{o} t\'erben tekintett) ele\-mi 
f\"uggv\'enyek minden\"utt  s\H{u}r\H{u} halmazt alkotnak 
a ${\Cal K}_G$ illetve a $\bar{\Cal K}_G$ Hilbert t\'erben, 
a $\sum c_kZ_G(B_k)$ alak\'u v\'eges line\'aris
kombin\'aci\'ok pedig (azzal a megszor\'{\i}t\'assal, 
hogy egy va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel val\'os 
\'ert\'ek\H{u}ek vagy e felt\'etel n\'elk\"ul)  
minden\"utt s\H{u}r\H{u} r\'eszhalmazt alkotnak a $\Cal H$ 
\'es a $\bar{\Cal H}$ Hilbert terekben. E t\'enyekb\H{o}l, 
illetve a (2.4) \'es (2.5) formul\'ab\'ol k\"ovetkezik,  
hogy az elemi f\"uggv\'enyek ter\'en  defini\'alt $I$ 
line\'aris f\"uggv\'eny egy\'ertelm\H{u} m\'odon 
kiterjeszthet\H{o} egy unit\'er
$I\colon\;\Cal K_G\to \Cal H$ vagy
$I\colon\;\bar{\Cal K}_G\to\bar{\Cal H}$ unit\'er 
lek\'epez\'ess\'e. (Vegy\"uk \'eszre, hogy ha egy 
$U_n=I(f_n)\in\Cal H$ vagy $U_n=I(f_n)\in\bar{\Cal H}$ 
sorozatra $U_n\to U$ a megfelel\H{o} Hilbert t\'er 
norm\'aban, akkor $f_n\to f$ egy alkalmas $f\in{\Cal K}_G$ 
vagy $f\in\bar{\Cal K}_G$ f\"uggv\'ennyel, \'es  $U=I(f)$. 
Ez k\"ovetkezik abb\'ol, hogy $I$ normatart\'o 
transzform\'aci\'o.) Speci\'alisan a (2.4) \'es (2.5) 
formul\'ak nemcsak az elemi f\"uggv\'enyekre \'erv\'enyesek.

Vegy\"uk \'eszre, hogy $f_t(x)=e^{itx}\in{\Cal K}_G$ minden
$-\infty<t<\infty$ sz\'amra, ha a $G$ m\'ert\'ek a
sz\'amegyenesen van defini\'alva, \'es $f_n(x)=e^{inx}\in{\Cal K}_G$ 
minden $n=0,\pm1,\pm2,\dots$ sz\'amra, ha a $G$ m\'ert\'ek 
a $[-\pi,\pi)$ intervallumra koncentr\'al\'odik. Ez\'ert a 
(2.5) formula alapj\'an az $X(t)=I(e^{itx})$ illetve
$X(n)=I(e^{inx})$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok 
val\'os \'ert\'ek\H{u}ek. Tov\'abb\'a az $I$ oper\'ator 
definici\'oj\'ab\'ol az is k\"ovetkezik, hogy e
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok norm\'alis 
eloszl\'as\'uak, s\H{o}t v\'eges sok k\"ul\"onb\"oz\H{o} 
ilyen alak\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o 
egy\"uttes eloszl\'asa is norm\'alis eloszl\'as\'u, azaz 
a 2.3. lemm\'aban defini\'alt $X(t)$, $-\infty<t<\infty$, 
\'es $X(n)$, $n=0,\pm1,\pm2,\dots$, sztochasztikus 
folyamatok Gauss folyamatok. Ahhoz, hogy bel\'assuk, hogy 
stacion\'arius Gauss folyamatok $G$ spektr\'alm\'ert\'ekkel, 
ki kell sz\'amolnunk e szto\-chasz\-ti\-kus folyamatok 
tagjainak kovariancia f\"uggv\'eny\'et. Ezt megtehetj\"uk 
a (2.4) formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Azt kapjuk, hogy
$EX(s)X(t)=EI(e^{itx})\overline{I(e^{isx})}=\int e^{i(t-s)x}G(\,dx)$,
\'es
$EX(m)X(n)=EI(e^{inx})\overline{I(e^{imx})}=\int e^{i(n-m)x}G(\,dx)$,
azaz, ezek a sztochasztikus folyamatok (val\'os \'er\'ek\H{u} 
sta\-cio\-n\'a\-rius Gauss folyamatok $G$ spektr\'al 
m\'ert\'ekkel, amint \'all\'{\i}tottuk.

L\'assuk be, hogy ha a $G$ m\'ert\'ek a $[-\pi,\pi)$ 
intervallumba van koncentr\'alva, akkor az $f_n(x)=e^{inx}$, 
$n=0,\pm1,\pm2,\dots$, f\"uggv\'enyek  v\'eges line\'aris 
kombin\'aci\'oi minden\"utt s\H{u}r\H{u} halmazt alkotnak 
a ${\Cal K}_G$, illetve  $\bar{\Cal K}_G$ t\'erben, att\'ol 
f\"ugg\H{o}en, hogy csak val\'os vagy komplex 
egy\"utthat\'okat is megenged\"unk-e ezekben a line\'aris 
kombin\'aci\'okban. Hasonl\'oan, ha a $G$ m\'ert\'ek a 
sz\'amegyenesen van defini\'alva, akkor az $f_t(x)=e^{itx}$, 
$-\infty<t<\infty$, f\"uggv\'enyek  v\'eges line\'aris 
kombin\'aci\'oi minden\"utt s\H{u}r\H{u} halmazt alkotnak 
a ${\Cal K}_G$, illetve  $\bar{\Cal K}_G$ t\'erben, att\'ol 
f\"ugg\H{o}en, hogy csak val\'os vagy komplex
egy\"utthat\'okat is megenged\"unk-e ezekben a line\'aris 
kombin\'aci\'okban.

Az els\H{o} \'all\'{\i}t\'as egyszer\H{u} k\"ovetkezm\'enye 
Weierstrass m\'asodik approxim\'aci\'os t\'e\-te\-l\'e\-nek, 
amely szerint minden folytonos f\"uggv\'enyt tetsz\H{o}leges 
pontoss\'aggal lehet k\"o\-ze\-l\'{\i}\-te\-ni a 
szupr\'emum norm\'aban trigonometrikus polinomokkal a 
$[-\pi,\pi)$ intervallumban. Azt kell m\'eg kihaszn\'alni,
hogy a folytonos f\"uggv\'enyek minden\"utt s\H{u}r\H{u}n 
vannak a ${\Cal K}_G$ vagy $\bar{\Cal K}_G$ t\'erben. A 
m\'asodik \'all\'{\i}t\'as ennek az argumentumnak n\'emi 
finom\'{\i}t\'as\'aval igazolhat\'o. Azt kell egyr\'eszt 
\'eszrevenni, hogy egy a sz\'amegyenesen tekintett 
(v\'eges) $G$ m\'ert\'ek eset\'en a kompakt tart\'oj\'u 
folytonos f\"uggv\'enyek s\H{u}r\H{u}n vannak a tekintett
Hilbert t\'erben, s\H{o}t ugyanez elmondhat\'o a folytonos 
peri\'odikus  f\"uggv\'enyekre is, mert egy korl\'atos 
tart\'oj\'u f\"uggv\'enyt tetsz\H{o}leges pontoss\'aggal 
k\"ozel\'{\i}thet\"unk $T$ peri\'odus\'u folytonos 
f\"uggv\'ennyel, ha a $T$ peri\'odust el\'eg nagyra 
v\'alasztjuk. Ezut\'an Weierstrass m\'asodik 
app\-roxi\-m\'a\-ci\'os t\'etel\'et $T$ peri\'odus\'u 
f\"uggv\'enyekre alkalmazva megkapjuk a k\'{\i}\-v\'ant 
\'all\'{\i}t\'ast.

Felhaszn\'alva az $e^{itx}$ \'es $e^{inx}$ f\"uggv\'enyek 
fenti tulajdons\'ag\'at, illetve az el\H{o}bb konstru\'alt 
$X(t)$ \'es $X(n)$ stacion\'arius folyamatok alakj\'at, a 2.1 
lemm\'ab\'ol l\'athat\'o, hogy a 2.3 lemm\'aban defini\'alt 
$T_u$ \'es $T_m$ shift oper\'atorok egy\'ertelm\H{u}en 
kiterjeszthet\H{o}ek a ${\Cal H}$ \'es $\bar{\Cal H}$ Hilbert 
terekre. Mivel a (2.6) formula \'erv\'enyes minden 
$\sum c_ke^{itx_k}$ illetve $\sum c_k e^{itx_k}$ alak\'u
v\'eges line\'aris kombin\'aci\'ora, \'es az ilyen 
line\'aris kombin\'aci\'ok s\H{u}r\H{u} halmazt alkotnak a 
${\Cal K}_G$ vagy $\bar{\Cal K}_G$ Hilbert  t\'erben, ez\'ert 
nem neh\'ez bel\'atni az unit\'er shift oper\'ator 
kiterjeszt\'es\'evel ezen alt\'err\H{o}l az eg\'esz t\'erre, 
hogy a (2.6) formula az \'altal\'anos esetben is \'erv\'enyes. 
A 2.3. lemm\'at bel\'attuk.

\medskip
Legyen adva egy $G$ v\'eges \'es p\'aros m\'ert\'ek vagy a 
sz\'amegyenesen vagy a $[-\pi,\pi)$ intervallumon. Az 
el\H{o}bb t\'argyalt eredm\'enyek lehet\H{o}v\'e tett\'ek egy 
$G$ spektr\'al m\'ert\'ekkel rendelkez\H{o} stacion\'arius 
Gauss folyamat konstru\'al\'as\'at a sz\'amegyenesen vagy 
az eg\'esz sz\'amok halmaz\'an, (att\'ol f\"ugg\H{o}en, hogy 
a $G$ m\'ert\'ek a sz\'amegyenesen vagy a $[-\pi,\pi)$
intervallumon van-e defini\'alva) a k\"ovetkez\H{o} m\'odon. 
Bevezett\"uk a $G$ m\'ert\'ek szerinti v\'eletlen spektr\'al 
m\'ert\'ek fogalm\'at, \'es megmutattuk, hogy minden 
$G$ v\'eges \'es p\'aros m\'ert\'ek eset\'en l\'etezik e 
m\'ert\'ek szerinti v\'eletlen spektr\'al m\'ert\'ek 
(2.2. lemma). Ezut\'an bevezett\"unk egy olyan alkalmas 
$I$ oper\'atort a $G$ m\'ert\'ek szerint n\'egyzetesen 
int\-eg\-r\'al\-ha\-t\'o f\"uggv\'enyek ter\'en ezen 
v\'eletlen spektr\'al m\'ert\'ek seg\'{\i}ts\'eg\'evel, 
amelynek k\'eptere olyan (egy\"uttesen) norm\'alis 
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okb\'ol 
\'all, amelyek azon a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi 
mez\H{o}n vannak defini\'alva, mint a v\'eletlen spektr\'al 
m\'ert\'ek. Ez az oper\'ator tekinthet\H{o} a v\'eletlen 
spektr\'al m\'ert\'ek szerinti (v\'eletlen) integr\'alnak is, 
\'es ennek seg\'{\i}ts\'eg\'evel el\H{o} tudtunk 
el\H{o}\'all\'{\i}tani egy $G$ spektr\'al m\'ert\'ekkel 
rendelkez\H{o} stacion\'arius Gauss folyamatot. Ez volt 
a 2.3. lemma f\H{o} eredm\'enye. A 2.3. lemma abban is 
seg\'{\i}tett, hogy megadjunk egy kalkulust, amely 
lehet\H{o}v\'e teszi a sz\'amol\'ast egy stacion\'arius 
Gauss folyamat \'altal meghat\'arozott shift oper\'atorral. 
Ennek az eredm\'enynek a vizsg\'alat\'aban hasznos volt 
a 2.1. lemma.

A k\"ovetkez\H{o} 2.4. lemma \'ugy is tekinthet\H{o}, mint 
az el\H{o}z\H{o} eredm\'enyek megford\'{\i}t\'asa. 
A kor\'abbi t\'argyal\'asban megkonstru\'altunk egy 
$G$ spektr\'al m\'ert\'ek szerinti v\'eletlen spek\-tr\'al 
m\'ert\'eket, majd ennek seg\'{\i}ts\'eg\'evel 
defini\'altunk egy $G$ spektr\'al m\'ert\'ekkel 
rendelkez\H{o} sta\-cio\-n\'a\-rius Gauss folyamatot. 
Viszont egy $G$ spektr\'al m\'ert\'ekkel rendelkez\H{o} 
sta\-cio\-n\'a\-rius Gauss folyamatot k\"ozvetlen\"ul, 
v\'eletlen spektr\'al m\'ert\'ekek felhaszn\'al\'asa 
n\'elk\"ul is meg\-konst\-ru\'al\-ha\-tunk. A 2.4. 
lemm\'aban megmutatjuk, hogy ezen stacion\'arius Gauss 
folyamat seg\'{\i}ts\'eg\'evel egy olyan a $G$ 
m\'ert\'ek szerinti v\'eletlen $Z_G$ spektr\'al 
m\'ert\'eket tudunk konstru\'alni, amelyre az is igaz 
hogy az e v\'eletlen spektr\'al m\'ert\'ek szerinti 
v\'eletlen integr\'al el\H{o}\'all\'{\i}tja a 
kiindul\'o stacion\'arius Gauss folyamatot. Ez az 
eredm\'eny egyben arra is magyar\'azatot adhat, hogy 
mi\'ert az itt  le\'{\i}rt m\'odon defini\'altuk a 
v\'eletlen spektr\'al m\'ert\'eket.

A 2.4. lemma hasonl\'oan bizony\'{\i}that\'o a kor\'abbi 
eredm\'enyekhez, \'es az azokban m\'ar igazolt r\'eszeredm\'enyek 
egyszer\H{u}s\'{\i}tik a t\'argyal\'ast. Defini\'alni fogunk 
egy al\-kal\-mas $J$ oper\'atort a $G$ m\'ert\'ek szerint
n\'egyzetesen integr\'alhat\'o f\"uggv\'enyek ter\'eb\H{o}l 
egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n
defini\'alt Gauss eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'ok ter\'ebe, Itt $(\Omega,\Cal A,P)$ az a 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}, ahol a stacion\'arius 
Gauss folyamat defini\'alva van. Mint a 
bizony\'{\i}t\'asb\'ol kider\"ul ez a $J$ oper\'ator 
val\'oj\'aban nem m\'as, mint a 2.3. lemma 
bizony\'{\i}t\'as\'aban defini\'alt $I$ oper\'ator alkalmas 
$Z_G$ v\'eletlen spektr\'al m\'ert\'ekkel. A keresett 
v\'eletlen spektr\'al m\'ert\'eket \'ugy kapjuk meg, hogy 
vessz\"uk a sz\'amegyenes vagy a $[-\pi,\pi)$ intervallum 
m\'erhet\H{o}  r\'eszhalmazainak az indik\'ator 
f\"uggv\'enyeit, \'es a v\'eletlen spektr\'al m\'ert\'ekben 
szerepl\H{o} $Z_G(A)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'ok ezen indik\'ator  f\"uggv\'enyek k\'epei 
lesznek a $J$ oper\'ator hat\'as\'ara. Megfogalmazom a 
2.4. lemm\'at.

\medskip\noindent
{\bf 2.4. Lemma.} {\it Legyen adva egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}, \'es azon egy folytonos 
idej\H{u} $X(t)$,  $-\infty<t<\infty$, stacion\'arius Gauss 
folyamat valamely  $G$ spektr\'al m\'ert\'ekkel a 
sz\'amegyenesen vagy egy diszkr\'et idej\H{u} $X(n)$, 
$n=0,\pm1,\pm2,\dots$, stacion\'arius Gauss folyamat 
valamely $G$ spektr\'al m\'ert\'ekkel a $[-\pi,\pi)$
intervallumon. Ekkor l\'etezik egy olyan $Z_G$ a $G$ 
m\'ert\'ek szerinti v\'eletlen spektr\'al m\'ert\'ek az 
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, 
amely\-re $X(t)=\int e^{itx}Z_G(\,dx)$, $-\infty<t<\infty$, 
folytonos idej\H{u}, \'es  $X(n)=\int e^{inx}Z_G(\,dx)$, 
$n=0,\pm1,\pm2,\dots$, diszkr\'et idej\H{u} stacion\'arius 
Gauss folyamat eset\'en. A  $Z_G(A)$, $A\in\Cal B$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'altal
gener\'alt $\sigma$-algebra megegyezik az $X(t)$, 
$-\infty<t<\infty$, illetve $X(n)$, $n=0,\pm1,\pm2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'altal gener\'alt 
$\sigma$-algebr\'aval a folytonos illetve diszkr\'et 
idej\H{u} stacion\'arius Gauss folyamatok eset\'eben.}

\medskip\noindent
{\it A 2.4. Lemma bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Jel\"olje 
$\bar{\Cal H}$ (a 2.1. lemma jel\"ol\'es\'ehez 
hasonl\'oan) az $X(t)$ illetve $X(n)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok v\'eges 
line\'aris kombin\'aci\'oi lez\'artjak\'ent kapott alteret 
a n\'egyzetesen integr\'alhat\'o (komplex \'ert\'ek\H{u})
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok Hilbert ter\'eben, 
\'es defini\'aljuk a k\"ovetkez\H{o} 
$J\colon\;\bar{\Cal K}_G\to\bar{\Cal H}$ line\'aris 
transzform\'aci\'ot. Adva egy v\'eges $\sum c_ke^{it_kx}$, 
$-\infty<t_k<\infty$, vagy  $\sum c_ke^{in_kx}$, 
$n_k=0,\pm1,\pm2,\dots$, line\'aris kombin\'aci\'o a 
folytonos, illetve diszkr\'et idej\H{u} Gauss folyamatok 
eset\'en legyen $J(\sum c_ke^{it_kx})=\sum c_kX(t_k)$, 
\'es  $J(\sum c_ke^{in_kx})=\sum c_kX(n_k)$. Ez a $J$ 
transzform\'aci\'o line\'aris az el\H{o}z\H{o} formul\'akban 
tekintett line\'aris kombin\'aci\'ok ter\'en, \'es
rendelkezik az al\'abbi norma tart\'o tulajdons\'aggal 
is. Folytonos idej\H{u} stacion\'arius Gauss folyamatok 
eset\'en k\'et $\sum c_ke^{it_kx}$ \'es 
$\sum d_ke^{iu_kx}$ alak\'u v\'eges line\'aris 
kombin\'aci\'ora
$$
\int\(\sum c_ke^{it_kx}\)\overline{\(\sum d_ke^{iu_kx}\)}G(\,dx)
=E\(\sum c_kX(t_k)\)\overline{\(\sum d_kX(u_k)\)}, \tag2.10
$$
mert
$$
\align
&\int\(\sum c_ke^{it_kx}\)\overline{\(\sum d_ke^{iu_kx}\)}G(\,dx)
=\sum\sum c_k\overline{ d_l}\int e^{i(t_k-u_l)x}G(\,dx) \\
&\qquad=\sum\sum c_k\overline{ d_l}EX(t_k)\overline{X(u_l)}
=E\(\sum c_kX(t_k)\)\overline{\(\sum d_kX(u_k)\)}.
\endalign
$$
Hasonl\'o m\'odon l\'athat\'o az, hogy diszkr\'et idej\H{u}
 stacion\'arius  Gauss  folyamatok eset\'eben k\'et 
$\sum c_ke^{in_kx}$ \'es $\sum d_ke^{im_kx}$ alak\'u v\'eges 
line\'aris kombin\'aci\'ora
$$
\int\(\sum c_ke^{in_kx}\)\overline{\(\sum d_ke^{im_kx}\)}G(\,dx)
=E\(\sum c_kX(n_k)\)\overline{\(\sum d_kX(m_k)\)}. \tag2.11
$$

A 2.3. lemma bizony\'{\i}t\'as\'aban megmutattuk, hogy 
a $\sum c_ke^{it_kx}$ vagy $\sum c_k e^{in_kx}$ alak\'u 
v\'eges line\'aris kombin\'aci\'ok minden\"utt s\H{u}r\H{u} 
halmazt alkotnak a $\bar{\Cal K}_G$ Hilbert t\'erben. 
Ugyancsak igaz, hogy a $\sum c_kX(t_k)$ vagy 
$\sum c_kX(n_k)$ v\'eges line\'aris kombin\'aci\'ok 
minden\"utt s\H{u}r\H{u} halmazt alkotnak a 
$\bar{\Cal H}$ Hilbert t\'erben. (Hogy a fenti 
kifejez\'esekb\H{o}l melyiket vessz\"uk att\'ol f\"ugg, 
hogy folytonos vagy diszkr\'et idej\H{u} stacion\'arius 
Gauss folyamatot vizsg\'alunk-e.) Ez viszont a (2.10) \'es 
(2.11) formul\'akkal egy\"utt azt jelentik, hogy az eddig 
csak speci\'alis alak\'u f\"uggv\'enyekre defini\'alt $J$ 
oper\'atort kiterjeszthetj\"uk a $\bar{\Cal K}_G$ Hilbert
t\'er unit\'er lek\'epez\'es\'ere a $\bar{\Cal H}$ Hilbert 
t\'erre. Speci\'alisan az is igaz, hogy
$$
EJ(f)\overline{J(g)}=\int f(x)\overline{g(x)}G(\,dx), 
\quad\text{ha }f,g\in\bar{\Cal K}_G.  \tag2.12
$$

Sz\"uks\'eg\"unk lesz m\'eg a k\"ovetkez\H{o} azonoss\'agra. 
Adva egy $f\in\bar{\Cal K}_G$ f\"uggv\'eny, jel\"olje 
$\bar f^{-}$ az  $\bar f^{-}(x)=\overline{f(-x)}$ 
f\"uggv\'enyt.  Ny\'{\i}lv\'an $\bar f^-\in\bar{\Cal K}_G$, 
ha $f\in\bar{\Cal K}_G$. Azt \'all\'{\i}tom, hogy
$$
J(\bar f^-)=\overline{J(f)} \quad\text{minden }f\in\bar{\Cal K}_G
\text{ f\"uggv\'enyre.} \tag2.13
$$
El\'eg ezt az azonoss\'agot az $f(x)=\sum c_k e^{it_kx}$ 
vagy $f(x)=\sum c_ke^{in_kx}$ alak\'u v\'eges \"osszegekre 
bel\'atni, mert ezek minden\"utt s\H{u}r\H{u}n vannak a 
$\bar{\Cal K}_G$ t\'erben, \'es az  $f\to \bar f^-$ 
lek\'epez\'es normatart\'o. Viszont ebben az esetben
az azonoss\'ag k\"onnyen ellen\H{o}rizhet\H{o}, mert 
$J(\bar f^-)=\sum \bar c_kX(t_k)$, \'es 
$J( f)=\sum c_kX(t_k)$ a folytonos idej\H{u} esetben, \'es 
$J(\bar f^-)=\sum \bar c_kX(n_k)$, \'es $J( f)=\sum c_kX(n_k)$
a diszkr\'et idej\H{u} esetben.

A $G$ m\'ert\'ek szerinti $Z_G$ v\'eletlen spektr\'al 
m\'ert\'eket a k\"ovetkez\H{o} m\'odon fogom defini\'alni.
Legyen $Z_G(A)=J(\chi_A)$ minden $A\in B$ halmazra, ahol 
$\chi_A$ az $A$ halmaz indik\'ator f\"uggv\'eny\'et jel\"oli. 
Ez val\'oban egy a $G$ m\'ert\'ek szerinti v\'eletlen
spektr\'al m\'ert\'ek. Ugyanis a $J$ oper\'ator 
definici\'oj\'ab\'ol  k\"ovetkezik a v\'eletlen spektr\'al 
m\'ert\'ek (i) \'es (ii) tu\-laj\-don\-s\'aga. A 
(iii) tulajdons\'ag k\"ovetkezik a (2.12) k\'epletb\H{o}l, 
ha azt  az $f=\chi_A$ \'es $g=\chi_B$ f\"uggv\'enyekre 
alkalmazzuk, a (iv) tulajdons\'ag pedig a (2.13) formula 
k\"ovetkezm\'enye az  $f=\chi_A$ v\'alaszt\'assal, mert 
ekkor $\bar f^-(x)=\chi_{(-A)}(x)$.

A (2.3) formul\'ab\'ol \'es a $J$ oper\'ator 
linearit\'as\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy $J(f)=I(f)$ 
minden elemi f\"uggv\'enyre, ha az $I$ oper\'atort a 
most defini\'alt $Z_G$ v\'eletlen spektr\'al m\'er\-t\'ek 
seg\'{\i}ts\'eg\'evel  defini\'aljuk. Mivel az elemi 
f\"uggv\'enyek a $\bar{\Cal K}_G$ halmaznak minden\"utt 
s\H{u}r\H{u} r\'eszhalmaz\'at alkotj\'ak, ebb\H{o}l 
k\"ovetkezik, hogy $J(f)=I(f)$ minden 
$f\in\bar{\Cal K}_G$ f\"uggv\'enyre. Ez viszont 
speci\'alisan azt jelenti, hogy
$X(t)=J(e^{itx})=I(e^{itx})=\int e^{itx}Z_G(\,dx)$
minden $-\infty<t<\infty$ sz\'amra egy folytonos idej\H{u}, 
\'es $X(n)=J(e^{inx})=I(e^{inx})=\int e^{inx}Z_G(\,dx)$ 
minden $n=0,\pm1,\pm2,\dots$ sz\'amra egy diszkr\'et idej\H{u}
stacion\'aris Gauss folyamat eset\'en, \'es ezt kellett 
bel\'atni.

Az, hogy az $X(t)$ illetve $X(n)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'ok \'altal gener\'alt $\sigma$-algebra megegyezik 
a $Z_G(A)$, $A\in\Cal A$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'ok \'altal gener\'alt $\sigma$-algebr\'aval 
viszonylag egyszer\H{u}en l\'athat\'o. A $Z_G(A)$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat ki tudtuk fejezni,
mint az $X(t)$ vagy $X(n)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'ok (m\'erhet\H{o}) f\"uggv\'enyeit, ez\'ert benne 
vannak az \'altaluk gener\'alt $\sigma$-algebr\'aban.
Megford\'{\i}tva, az $X(t)$ vagy $X(n)$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat
ki tudtuk fejezni (v\'eletlen integr\'alk\'ent), mint a 
$Z_G(A)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok 
f\"uggv\'enyeit, ez\'ert benne vannak az \'altaluk 
gener\'alt $\sigma$-algebr\'aban. Teh\'at a k\'et 
$\sigma$-algebra megegyezik. A 2.4. lemm\'at bel\'attuk.



\bye
