\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\begin{document}

\begin{center}
{\bf Téglalap alakú mátrixok szinguláris felbontása.}
\end{center}

\medskip\noindent
Legyen adva egy $p\times q$ méretű $\mathbf{A}$ mátrix. Meg
akarjuk adni ennek az $\mathbf{A}$ m\'atrixnak a legegyszerűbb
előállítását. Ezt nevezik az $\mathbf{A}$ mátrix szinguláris 
felbontásának. Négyzetes, azaz $p\times p$ méretű $\mathbf{A}$ 
mátrixok esetén létezik egy $\mathbf{A}=\mathbf{U\Lambda V}$ alakú 
előállítás, ahol $\mathbf{\Lambda}$ $p\times p$ méretű diagonális 
mátrix, az átlóban $\lambda_1\ge\lambda_1\ge\cdots\ge\lambda_p\ge0$ 
nem negatív elemekkel, (azaz $\mathbf{\Lambda}$
pozitív definit mátrix), és $\mathbf{U}$ és $\mathbf{V}$  
ortogonális mátrixok az $R^p$ térben. Ennek az eredménynek keressük az 
általánosítását téglalap alakú mártrixokra.

Ezt az eredményt három ekvivalens alakban fogom megfogalmazni. 
Ezek tárgyalása előtt megjegyzem, hogy amennyiben $\mathbf{A}$ 
$p\times q$ méret\H{u} mátrix, akkor az $\mathbf{A}$, 
$\mathbf{A}^T$, $\mathbf{AA}^T$ és $\mathbf{A}^T\mathbf{A}$ 
mátrixok $s$ rangjára igaz, hogy
$s=\mathrm{rang}\,(\mathbf{A})=\mathrm{rang}\,(\mathbf{A}^T)
=\mathrm{rang}\,(\mathbf{AA}^T)
=\mathrm{rang}\,(\mathbf{A}^T\mathbf{A})\le\min(p,q)$.
Ahhoz, hogy a 
$$
\mathrm{rang}\,(\mathbf{A})=\mathrm{rang}\,(\mathbf{AA}^T)
$$  
relációt belássuk, megmutatjuk, hogy
$\mathbf{u}^T\mathbf{AA}^T=\mathbf{0}$ esetén 
$\mathbf{u}^T\mathbf{A}=\mathbf{0}$, mert ekkor
$(\mathbf{u}^T\mathbf{A},\mathbf{u}^T\mathbf{A})
=(\mathbf{u}^T\mathbf{AA}^T,\mathbf{u})=0$.

Az $\mathbf{A}$ mátrix szinguláris felbontásának első 
megfogalmazása a következő. Legyen a $p\times q$ méretű 
$\mathbf{A}$ mátrix rangja $s$. Ekkor létezik $s$ darab 
$p$ hosszúságú $\mathbf{u}_1,\dots,\mathbf{u}_s$ 
ortonormális (oszlop)vektor, $s$ darab $q$ hosszúságú  
$\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_s$ or\-to\-nor\-má\-lis   
(osz\-lop)\-vek\-tor és 
$\lambda_1\ge\lambda_2\ge\cdots\ge\lambda_s>0$ számok 
úgy, hogy az $\mathbf{U}=(\mathbf{u}_1,\dots,\mathbf{u}_s)$ 
$p\times s$ méretű, a  
$\mathbf{V}=(\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_s)$ 
$q\times s$ méretű valamint a $\mathbf{\Lambda}$ $s\times 
s$ méretű diagonális mátrix 
$\lambda_1\ge\lambda_2\ge\cdots\ge\lambda_s>0$ elemekkel
az átlóban teljesítik az
$\mathbf{A}=\mathbf{U\Lambda V}^T$ azonosságot. 

Az $\mathbf{A}$ mátrix szinguláris felbontásának második
megfogalmazásában az első megfogalmazásban szereplő $\mathbf{U}$
és $\mathbf{V}$ mátrixokat kiegészítem $p\times p$ és  
$q\times q$ méretű ortogonális mátrixokká, a $\mathbf{\Lambda}$ 
mátrixot pedig nulla elemű koordináták hozz\'aad\'as\'aval egy
$p\times q$ méretű mátrixszá. Az így kapott mátrixokat 
to\-vább\-ra is az $\mathbf{U}$, $\mathbf{V}$ \'es 
$\mathbf{\Lambda}$ betűkkel fogom jelölni.
Azt állítom, hogy ezek a mát\-ri\-xok is teljesítik 
a szinguláris felbontás első megfogalmazásában felírt
azonosságot.

Részletesebben megfogalmazva egészítsük ki az
$\mathbf{u}_1,\dots,\mathbf{u}_s$ vektorrendszert egy 
$\mathbf{u}_1,\dots,\mathbf{u}_p$ ortonormált bázissá 
az $R^p$ térben. Hasonlóan egészítsük ki a 
$\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_s$ 
vektorrendszert egy $\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_q$ 
ortonormált bázissá az $R^q$ térben. Legyen
$\mathbf{U}=(\mathbf{u}_1,\dots,\mathbf{u}_p)$ \'es 
$\mathbf{V}=(\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_q)$. 
Végül legyen  $\mathbf{\Lambda}$ az a 
$p\times q$ méretű 
$\mathbf{\Lambda}=(a_{i,j})$, $1\le i\le p$, $1\le j\le q$,
mátrix, amelyre $a_{i,i}=\lambda_i$, ha $1\le i\le s$,
és $a_{i,j}=0$, ha $i\neq j$ vagy $i>s$. 
Ezzel a választással teljesül az
$\mathbf{A}=\mathbf{U\Lambda V}^T$  
azonosság.

A szinguláris felbontás e két megfogalmazásának az
ekvivalenciája egy\-sze\-rű\-en látható. Azt kell 
észrevenni, hogy a második megfogalmazásban sze\-rep\-lő 
$\Lambda$ mátrix alakjából következik, hogy az ott 
szereplő $\mathbf{U\Lambda V}^T$  szor\-zat értéke 
nem függ attól, hogy hogyan választottuk meg az  
$\mathbf{u}_{s+1},\dots,\mathbf{u}_p$  és 
$\mathbf{v}_{s+1},\dots,\mathbf{v}_q$ vektorokat.
Innen látható, hogy ha adott egy a szinguláris felbontás
második jellemzését teljesítő rendszer, akkor elhagyva
az $\mathbf{U}$ mátrix utolsó $p-s$ oszlopvektorát, a
$\mathbf{V}$ mátrix utolsó $q-s$ oszlopvektorát,
és a $\mathbf{\Lambda}$ mátrixot megszorítjuk az első $s$ 
sorára és oszlopára, akkor olyan $\mathbf{U}$, $\mathbf{V}$
\'es $\mathbf{\Lambda}$ mátrixokat kapunk, amelyek 
teljesítik a szinguláris felbontás első jellemzését.

Megfordítva, ha egy $\mathbf{U}$, $\mathbf{V}$, 
$\mathbf{\Lambda}$ rendszer teljesíti a szinguláris felbontás 
első jel\-lem\-zé\-sét, akkor kiegészítve az $\mathbf{U}$ és 
$\mathbf{V}$ mátrixokat ortogon\'alis m\'atrixokk\'a olyan
módon, ahogy azt leírtam, és a $\mathbf{\Lambda}$ mátrixot 
szintén a korábban leírt módon egészítve ki egy $p\times q$ 
méretű mátrixszá egy olyan $\mathbf{U}$, $\mathbf{V}$,
$\mathbf{\Lambda}$ rendszert kapunk, amely teljesíti a szinguláris
felbontás második jellemzését.

A szinguláris felbontás létezéséről szóló eredmény harmadik
 megfogalmazása az $\mathbf{x}\in R^p$ és $\mathbf{y}\in R^q$  
vektorpárok $\alpha(\mathbf{x},\mathbf{y})$
bilineáris függgvényeinek egyszerű megadásáról szól. Egy
$\alpha(\mathbf{x},\mathbf{y})$, $\mathbf{x}\in R^p$, 
$\mathbf{y}\in R^q$, függvény bilineáris, ha tetszőleges 
$a$ és $b$ számokra \'es $\mathbf{x}_1\in R^p$,
$\mathbf{x}_2\in R^p$, $\mathbf{x}\in R^p$, $\mathbf{y_1}\in R^q$,
$\mathbf{y}_2\in R^q$, $\mathbf{y}\in R^q$ vektorokra az
$\alpha(a\mathbf{x}_1+b\mathbf{x}_2,\mathbf{y})=
a\alpha(\mathbf{x}_1,\mathbf{y})+b(\alpha\mathbf{x}_2,\mathbf{y})$ 
és $\alpha(a\mathbf{x},a\mathbf{y}_1+b\mathbf{y}_2)=
a\alpha(\mathbf{x},\mathbf{y}_1)+b\alpha(\mathbf{x},\mathbf{y}_2)$
azonosságok teljesülnek.

Egy $\mathbf{A}$ $p\times q$ méretű mátrix meghatároz egy 
$\alpha(\mathbf{x},\mathbf{y})$, $\mathbf{x}\in R^p$, 
$\mathbf{y}\in R^q$, bilineáris függvényt a következő módon. 
Ha $\mathbf{x}\in R^p$, $\mathbf{y}\in R^q$, akkor legyen
$\alpha(\mathbf{x},\mathbf{y})=\mathbf{x}^T \mathbf{A}\mathbf{y}$. 
Másrészt az is igaz, hogy minden $\alpha(\mathbf{x},\mathbf{y})$,
$\mathbf{x}\in R^p$, $\mathbf{y}\in R^q$, 
bilineáris függvény megadható ilyen alakban. 

Ezt megmutatandó defini\'aljuk az 
$\mathbf{e}_i\in R^p$, $1\le i\le p$, vektorokat, ahol 
$\mathbf{e}_i$ az a vektor az $R^p$ t\'erben, amelynek 
az $i$-ik koordinátája 1 a többi koordinátája 0. Hasonlóan,
vezessük be a  $\mathbf{f}_j\in R^q$, $1\le j\le q$, 
vektorokat, ahol az $\mathbf{f}_j$ vektor $j $-ik 
koordinátája 1 a többi koordin\'at\'aja nulla. Ekkor az 
$\mathbf{e}_1,\dots,\mathbf{e}_p$ vektorok bázist 
alkotnak az $R^p$ térben, az $\mathbf{f}_1,\dots,\mathbf{f}_q$ 
vektorok bázist alkotnak az $R^q$ térben. Továbbá, egy
$\alpha(\mathbf{x},\mathbf{y})$,
$\mathbf{x}\in R^p$, $\mathbf{y}\in R^q$,
bilineáris függvény jellemezhető a következő módon.

Tekintsünk egy
$\alpha(\mathbf{e}_i,\mathbf{f}_j)=A(i,j)$, $1\le i\le p$,
$1\le j\le q$, függvényt tetszőleges $A(i,j)$ konstansokkal. 
Létezik olyan $\alpha(\mathbf{x},\mathbf{y})$,
$\mathbf{x}\in R^p$, $\mathbf{y}\in R^q$,
bilineáris függvény, amelyre
$\alpha(\mathbf{e}_i,\mathbf{f}_j)=A(i,j)$, $1\le i\le p$,
$1\le j\le q$, és az megadható a következő képlet
segítségével:
$\alpha(\mathbf{x},\mathbf{y})=\mathbf{x}^T\mathbf{Ay}$,
ahol az $\mathbf{A}$ mátrixot az  $\mathbf{A}=(A(i,j))$, 
$1\le i\le p$, $1\le j\le q$, képlet határozza meg.
Továbbá minden $\alpha(\mathbf{x},\mathbf{y})$, 
$\mathbf{x}\in R^p$, $\mathbf{y}\in R^q$, bilineáris 
függvény megadható  ilyen alakban.

Tekintsünk egy $\alpha(\mathbf{x},\mathbf{y})=\mathbf{x}^T\mathbf{Ay}$
bilineáris függvényt, \'es vegy\"unk egy  
$\mathbf{x}_1\in R^p,\dots,\mathbf{x}_p\in R^p$ 
bázist az $R^p$ térben, \'es egy
$\mathbf{y}_1\in R^q,\dots,\mathbf{y}_q\in R^q$ bázist az $R^q$ 
térben. Ekkor az $\alpha(\mathbf{x}_i,\mathbf{y}_j)$, 
$1\le i\le p$, $1\le j\le q$, mennyi\-sé\-gek azaz az 
$\alpha(\mathbf{x},\mathbf{y})$ függvény értékei az 
$\mathbf{x}_i\in R^p$, $1\le i\le p$,
$\mathbf{y}_j\in R^q$, $1\le j\le q$, bázispáron meghatározz\'ak 
az $\alpha(\mathbf{x},\mathbf{y})=\mathbf{x}^T\mathbf{Ay}$
bilineáris függvényt. A szinguláris felbontás harmadik 
megfogalmazásában olyan bázispárt adunk meg, amelyben a 
bilineáris függvény ilyen módon való megadása egyszerű szerkezetű.

A szinguláris felbontás harmadik megfogalmazása a következőt 
állítja. Legyen adva egy 
$\alpha(\mathbf{x},\mathbf{y})=\mathbf{x}^T\mathbf{Ay}$, 
$\mathbf{x}\in R^p$, $\mathbf{y}\in R^q$,
bilineáris függvény, ahol az $\mathbf{A}$ mátrix rangja $s$. 
Ekkor létezik olyan 
$\mathbf{u}_1\in R^p,\dots,\mathbf{u}_p\in R^p$,
ortonormált bázis az $R^p$ térben, 
$\mathbf{v}_1\in R^q,\dots,\mathbf{v}_q\in R^q$,
ortonormált bázis az $ R^q$ térben, és léteznek olyan 
$\lambda_1\ge\lambda_2\ge\cdots\ge\lambda_s>0$ számok, 
amelyekre $\alpha(\mathbf{u}_i,\mathbf{v}_j)=0$, 
ha $i\neq j$, $\alpha(\mathbf{u}_i,\mathbf{v}_i)=0$, 
ha $i>s$, \'es $\alpha(\mathbf{u}_i,\mathbf{v}_i)=\lambda_i$, 
ha $1\le i\le s$. 

Lássuk be, hogy a szinguláris felbontás második megfogalmazásában
sze\-rep\-lő állításból következik a szinguláris felbontás harmadik 
meg\-fo\-gal\-ma\-zá\-sá\-ban megfogalmazott állítás. Legyen adva 
egy $\alpha(\mathbf{x},\mathbf{y})=\mathbf{x}^T\mathbf{Ay}$
bilineáris függvény, és írjuk az $\mathbf{A}$ mátrixot 
$\mathbf{A}=\mathbf{U\Lambda}\mathbf{V}^T$ alakban. Legyenek 
az $\mathbf{U}$ mátrix oszlopvektorai az 
$\mathbf{u}_1,\dots,\mathbf{u}_p$ vektorok, és a 
$\mathbf{V}$ mátrix osz\-lop\-vek\-to\-rai a 
$\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_q$ 
 vektorok. Azt állítom, hogy ezekkel a 
$\mathbf{u}_1,\dots,\mathbf{u}_p$ \'es 
$\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_q$ vektorokkal, valamint a  
$\mathbf{\Lambda}$ mátrix átlójában szereplő $\lambda_j$ számokkal
érvényes az $\alpha(\mathbf{x},\mathbf{y})$ bilineáris 
függvénynek a szinguláris felbontás harmadik megfogalmazásában 
szereplő jellemzése. 

Ennek megmutatása érdekében vegyük észre, hogy
$\mathbf{u}^T_i\mathbf{U}=\mathbf{e}^T_i$ $1\le i\le p$, és 
$\mathbf{V}^T\mathbf{v_j}=\mathbf{f}_j$, $1\le j\le q$. Ez\'ert
$\alpha(\mathbf{u}_i,\mathbf{v}_j)=\mathbf{u}_i^T
\mathbf{U\Lambda}\mathbf{V}^T\mathbf{v}_j=
\mathbf{e}_i^T\mathbf{\Lambda}\mathbf{f}_j=\delta_{i,j}\lambda_j$,
ahol $\delta_{i,j}=1$, ha $i=j$, $\delta_{i,j}=0$, ha $i\neq j$.
Innen következik a szinguláris felbontás harmadik 
megfogalmazásában megfogalmazott állítás.  

Megmutatjuk azt is, hogy ha a szinguláris felbontás harmadik 
megfogalmazásában sze\-rep\-lő állítás igaz, akkor a 
szinguláris felbontás  második meg\-fo\-gal\-ma\-zá\-sá\-ban 
megfogalmazott állítás is igaz. 

Legyen adva egy $\mathbf{A}$ $p\times q$ méretú mátrix. Be 
akarjuk látni, hogy érvényes rá a szinguláris felbontás 
második megfogalmazásában szereplő állítás. Ennek érdekében 
tekintsük az e mátrix által meghatározott
$\alpha(\mathbf{x},\mathbf{y})=\mathbf{x}^T \mathbf{Ay}$
bilineáris függvényt. A szinguláris felbontás harmadik 
megfogalmazása sze\-rint létezik olyan
$\mathbf{u}_1\in R^p,\dots,\mathbf{u}_p\in R^p$,
ortonormált bázis az $R^p$ térben, 
$\mathbf{v}_1\in R^q,\dots,\mathbf{v}_q\in R^q$,
ortonormált bázis az $ R^q$ térben, és léteznek olyan 
$\lambda_1\ge\lambda_2\ge\cdots\ge\lambda_s>0$ számok, 
amelyekre $\alpha(\mathbf{u}_i,\mathbf{v}_j)=0$, 
ha $i\neq j$, $\alpha(\mathbf{u}_i,\mathbf{v}_i)=0$, 
ha $i>s$, \'es $\alpha(\mathbf{u}_i,\mathbf{v}_i)=\lambda_i$, 
ha $1\le i\le s$. Definiáljuk az 
$\mathbf{U}=(\mathbf{u}_1,\dots,\mathbf{u}_p)$ és 
$\mathbf{V}=(\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_q)$ mátrixokat, valamint a
$\mathbf{\Lambda}=(a_{i,j})$, $1\le i\le p$, $1\le j\le q$, mátrixot
ahol $a_{i,j}=0$, ha $i\neq j$, $a_{i,i}=0$, ha $i>s$, 
$a_{i,i}=\lambda_i$, ha $1\le i\le s$. Definiáljuk továbbá a
$\mathbf{B}=\mathbf{U}^T\mathbf{\Lambda V}$ mátrixot.
Ekkor $\mathbf{u}_i^T\mathbf{Bv}_j=\alpha(\mathbf{u}_i,\mathbf{v}_j)
=\mathbf{u}_i^T\mathbf{Av}_j$ minden $1\le i\le p$, 
$1\le j\le q$ indexre. Innen k\"ovetkezik, hogy 
$\mathbf{e}_i^T\mathbf{Bf}_j=\mathbf{e}_i^T\mathbf{Af}_j$
minden $1\le i\le p$, $1\le j\le q$ indexre. Ezért
$\mathbf{A}=\mathbf{B}=\mathbf{U}^T\mathbf{\Lambda V}$.
Ez azt jelenti, hogy a szinguláris felbontás harmadik 
megfogalmazásában szereplő jellemzés\'eből következik a 
szinguláris felbontás második megfogalmazásában 
szereplő jellemzése. 

\medskip\medskip
A szinguláris felbontásról szóló állítás harmadik verzióját
fogom bi\-zo\-nyí\-ta\-ni.

Legyen adva egy $p\times q$  méretű $\mathbf{A}$ mátrix,
amelynek rangja $s$, és definiáljuk segítségével az
$\alpha(\mathbf{x},\mathbf{y})=\mathbf{x}^T\mathbf{Ay}$,
$\mathbf{x}\in R^p$, $\mathbf{y}\in R^q$,
bilineáris függvényt. Megadom, hogy hogyan definiáljuk az
eredmény megfogalmazásában szereplő 
$\mathbf{u}_1\in R^p,\dots,\mathbf{u}_p\in R^p$,
illetve 
$\mathbf{v}_1\in R^q,\dots,\mathbf{v}_q\in R^q$, vektorokat,
és 
$\lambda_1\ge\lambda_2\ge\cdots\ge\lambda_s>0$ számokat.

Az $\mathbf{A}^T\mathbf{A}$ m\'atrix szimmetrikus és pozitív
definit az $R^q$ t\'erben, rangja $s$. Ezért léteznek 
$\mathbf{v}_1\in R^q,\dots,\mathbf{v}_q\in R^q$
ortonorm\'alt sajátvektorai, $\mu_1\ge\mu_2\ge\cdots\mu_q\ge0$ 
sajátértékekkel, \'es $\mu_j=0$, ha $q\ge j>s$.
Továbbá , ha $j>s$, akkor nemcsak 
$\mathbf{A}^T\mathbf{Av}_j=\mathbf{0}$, hanem
$\mathbf{Av}_j=\mathbf{0}$. Ezt hasonlóan lehet belátni, 
mint ahogy megmutattam az ismertetés elején, hogy
$\mathbf{u}^T\mathbf{A}=\mathbf{0}$, ha
$\mathbf{u}^T\mathbf{AA}^T=\mathbf{0}$. 

A $\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_q$ vektorokat már definiáltuk.
Legyen $\lambda_j=\sqrt{\mu_j}$, $1\le j\le s$.
Az $\mathbf{u}_j$ vektorokat az első lépésben 
csak $1\le j\le s$ indexekre definiáljuk. Legyen
$\mathbf{u_j}=\frac1{\lambda_j}\mathbf{Av}_j$, ha
$1\le j\le s$. Azt állítom, hogy az $\mathbf{u}_j$,
$1\le j\le s$, vektorok ortonom\'alt rendszert alkotnak, és 
$\mathbf{AA}^T\mathbf{u}_j=\mu_j\mathbf{u}_j$, ha $1\le j\le s$.

Valóban, $(\mathbf{u}_i,\mathbf{u}_j)=\mathbf{u}_i^T\mathbf{u}_j=
\frac1{\lambda_i\lambda_j}\mathbf{v}_i^T\mathbf{A}^T\mathbf{Av}_j
=\frac1{\lambda_i\lambda_j}\mathbf{v}_i^T\mu_j\mathbf{v}_j
=\frac{\lambda_j^2}{\lambda_i\lambda_j}\mathbf{v}_i^T\mathbf{v}_j
=\delta_{i,j}$, ha $1\le i,j\le s$, ahol $\delta_{i,j}=1$, ha $i=j$,
$\delta_j=0$, ha $i\neq j$. Ebben a számolásban felhasználtuk,
hogy $\mathbf{A}^T\mathbf{Av}_j=\mu_j\mathbf{v}_j$,
és $\mathbf{v}_i^T\mathbf{v}_j=\delta_{i,j}$.

Másrészt $\mathbf{AA}^T\mathbf{u}_j=
\frac1{\lambda_j}\mathbf{AA}^T\mathbf{Av}_j=
\frac1{\lambda_j}\mathbf{A}(\mathbf{A}^T\mathbf{A}\mathbf{v}_j)=
\frac{\mu_j}{\lambda_j}\mathbf{A}\mathbf{v}_j=\mu_j\mathbf{u}_j$, ha 
$1\le j\le s$. Ez azt jelenti, hogy az $\mathbf{u}_i$, 
$1\le i\le s$, vektorok ortonormáltak és sajátvektorai 
$\mu_i>0$ sajátértékkel az $\mathbf{AA}^T$ szimmetrikus 
mátrixnak. Mivel az $\mathbf{AA}^T$ mátrix rangja $s$, ezért  
a $(\mathbf{u}_1,\dots,\mathbf{u}_s)$ vektorok
rendszer\'et kiegészíthetjük egy  az $\mathbf{AA}^T$ m\'atrix
sajátvektoraiból álló $(\mathbf{u}_1,\dots,\mathbf{u}_p)$
ortonormált bázissá, ahol $\mathbf{AA}^T\mathbf{u}_j=\mathbf{0}$, 
ha $s<j\le p$. Ezzel definiáltuk az 
$\mathbf{u}_1,\dots,\mathbf{u}_p$ vektorokat is. Azt 
álllítom, hogy ez a rendszer teljesíti a szinguláris felbontásról 
szóló állítás harmadik verzióját.

Azt kell m\'eg megmutatni, hogy $\alpha(\mathbf{u}_i,\mathbf{v}_j)
=\mathbf{u}^T_i\mathbf{Av}_j=\delta_{i,j}\lambda_j$ minden 
$1\le i\le p$, $1\le j\le q$, indexre. Ha $1\le j\le s$, akkor
$\mathbf{u}^T_i\mathbf{Av}_j=\mathbf{u}^T_i(\lambda_j\mathbf{u}_j)=
\delta_{i,j}\lambda_j$. Ha $s<j\le q$, akkor $\mathbf{Av}_j=\mathbf{0}$,
ez\'ert 
$\mathbf{u}^T_i\mathbf{Av}_j=0$. M\'asr\'eszt ekkor $\lambda_j=0$,
ez\'ert $\delta_{i,j}\lambda_j=0$. Ezzel a k\'iv\'ant rel\'aci\'ot
\'es a szinguláris felbontásról szóló állítás harmadik verzióját
bel\'attuk.

\medskip
Ebben az \'ir\'asban val\'os \'ert\'ek\H{u} m\'atrixok, azaz
olyan m\'atrixok jellemz\'es\'et adtuk meg, amelyek az $R^p$
t\'er $R^q$ t\'erbe val\'o line\'aris lek\'epez\'eseinek
felelnek meg. Hasonl\'oan lehet megadni (\'es bizony\'itani)
komplex \'ert\'ek\H{u} m\'atrixok jellemz\'es\'et, amelyek
a $Z^p$ $p$-dimenzi\'os komplex t\'ernek a $Z^q$ $q$-dimenzi\'os 
komplex t\'erbe val\'o line\'aris lek\'epez\'eseinek
felelnek meg. A f\H{o} k\"ul\"onbs\'eg az, hogy ekkor egy
$\mathbf{A}$ m\'atrix $\mathbf{A}^T$ transzpon\'altja helyett annak
$\mathbf{A}^*$ konjug\'altj\'at, illetve egy $\mathbf{x}$ vektor 
$\mathbf{x}^T$ transzpon\'altja helyett annak $\mathbf{x}^*$ 
konjug\'altj\'at vessz\"uk. Egy m\'asik k\"ul\"onbs\'eg az,
hogy a szinguláris felbontás harmadik verziójának megfogalmaz\'as\'aban
biline\'aris f\"uggv\'enyek helyett  komplex biline\'aris f\"uggv\'enyek
jellemz\'es\'et adjuk meg, azaz olyan
$\alpha(\mathbf{x},\mathbf{y})$, $\mathbf{x}\in Z^p$, 
$\mathbf{y}\in Z^q$, függvények jellemz\'es\'et, amelyekre 
az $\alpha(a\mathbf{x}_1+b\mathbf{x}_2,\mathbf{y})=
a\alpha(\mathbf{x}_1,\mathbf{y})+b(\alpha\mathbf{x}_2,\mathbf{y})$ 
és $\alpha(a\mathbf{x},a\mathbf{y}_1+b\mathbf{y}_2)=
\bar a\alpha(\mathbf{x},\mathbf{y}_1)
+\bar b\alpha(\mathbf{x},\mathbf{y}_2)$
azonosságok teljesülnek tetszőleges $a\in Z$ és $b\in Z$ számokra 
\'es $\mathbf{x}_1\in Z^p$, $\mathbf{x}_2\in Z^p$, 
$\mathbf{x}\in Z^p$, $\mathbf{y}_1\in Z^q$,
$\mathbf{y}_2\in Z^q$, $\mathbf{y}\in Z^q$ vektorokra. Az irodalomban
komplex biline\'aris f\"uggv\'enyek helyett gyakran sesquiline\'aris
(m\'asf\'el line\'aris) f\"uggv\'enyekr\H{o}l besz\'elnek.

Ha komplex értékű mátrixokat vizsg\'alunk, akkor érdemesebb sor 
és nem oszlopvektorokkal dolgozni.  A továbbiakban ezt
fogjuk tenni. Ilyen jelöléssel az 
$\langle \mathbf{x},\mathbf{y}\rangle=\mathbf{xy}^*$ 
skalárszorat, $\mathbf{x}\in Z^n$, $\mathbf{y}\in Z^n$, példa 
komplex bilineáris f\"uggvényre. Egy általános 
$\alpha(\mathbf{x},\mathbf{y})$, $\mathbf{x}\in Z^p$, 
$\mathbf{y}\in Z^q$  komplex biline\'aris
f\"uggv\'eny $\alpha(\mathbf{x},\mathbf{y})
=\langle\mathbf{x}\mathbf{A},\mathbf{y}\rangle 
=\mathbf{x}\mathbf{A}\mathbf{y}^*$ 
alakban adhat\'o meg, ahol $\mathbf{A}$ $p\times q$ méretű
mátrix, amelynek elemei komplex számok.

Megfogalmazom a szinguláris felbontásról szóló állítás harmadik 
verzióját abban az esetben, ha komplex \'ert\'ek\H{u}
m\'atrixokkal dolgozunk. Ezut\'an röviden ismertetem a bizonyítás 
gondolatát. 

Először teszek egy apró megjegyzést.
Érdemes észrevenni, hogy egy $\mathbf{x}$ sorvektor akkor 
és csak akkor sa\-ját\-vek\-to\-ra egy $\mathbf{A}$ szimmetrikus 
mátrixnak egy (val\'os) $\lambda$ sa\-ját\-ér\-ték\-kel, ha a 
konjugáltja az $\mathbf{x}^*$ oszlopvektor sajátvektora ugyanannak az 
$\mathbf{A}$ szimmetrikus mátrixnak ugyan\-az\-zal a $\lambda$ 
sajátértékkel, azaz $\mathbf{x}\mathbf{A}=\lambda\mathbf{x}$
akkor és csak akkor, ha $\mathbf{A}\mathbf{x}^*=\lambda\mathbf{x}^*$.

A mátrixok szinguláris fel\-bon\-tá\-sá\-ról szóló állítás harmadik 
verziója a következő módon fogalmazható meg.

Legyen adva egy $\alpha(\mathbf{x},\mathbf{y})=\mathbf{xAy}^*$ 
komplex bilineáris függvény, ahol $\mathbf{x}\in Z^p$, 
$\mathbf{y}\in Z^q$, sorvektorok, és $\mathbf{A}$ olyan 
$p\times q$ méretű komplex számokat tartalmazó mátrix, 
amelynek rangja $s$ . Ekkor léteznek olyan 
$\mathbf{u}_1\in Z^p,\dots,\mathbf{u}_p\in Z^p$ a $Z^p$ 
t\'erben ortonormált b\'azist alkot\'o (sor)vektorok,  
$\mathbf{v}_1\in Z^q,\dots,\mathbf{v}_q\in Z^q$  
a $Z^q$ t\'erben ortonormált b\'azist alkot\'o (sor)vektorok  
és $\lambda_1\ge \lambda_2\ge\dots\ge\lambda_s>0$  számok, 
amelyekre $\alpha(\mathbf{u}_i,\mathbf{v}_j)
=\mathbf{u}_i\mathbf{Av}_j^*=\delta_{i,j}\lambda_j$ minden 
$1\le i\le p$ \'es $1\le j\le q$ indexre, ahol $\lambda_j=0$, 
ha $s<j\le q$.

A fenti állításban szereplő vektorokat és konstansokat
a következ\H{o} módon definiálhatjuk. Legyen $\mathbf{v}_j$ az
$\mathbf{A}^*\mathbf{A}$ mátrix $j$-edik sajátvektora (sorvektora) 
$\mu_j$ sajátértékkel, \'es v\'alasszuk e vektorokat úgy, hogy 
ezek a $\mathbf{v}_j$, $1\le j\le q$, vektorok ortonormált 
bázist alkotnak a $Z^q$ térben. Legyen $\lambda_j=\sqrt{\mu}_j$, 
$1\le j\le s$. Legyen 
$\mathbf{u}_j=\frac1{\lambda_j}\mathbf{v}_j\mathbf{A}^*$,
ha $1\le j\le s$. Ekkor az $\mathbf{u}_j$, $1\le j\le s$,
vektorok ortonormáltak, és sajátvektorai a $\mathbf{A}\mathbf{A}^*$ 
szimmetrikus mátrixnak. Ezeket az $\mathbf{u}_j$, $1\le j\le s$,
vektorokat kiterjesztjük az $\mathbf{A}\mathbf{A}^*$ mátrix 
sajátvektoraiból álló $\mathbf{u}_j$, $1\le j\le p$, teljes 
ortonormált rendszerré a $Z^p$ térben. Így választjuk a 
$\mathbf{u}_j$, $1\le j\le p$, vektorokat.
Ezzel a választással érvényes a szinguláris felbontásról szóló 
állítás harmadik verziója komplex értékű mátrixokra. 

\medskip\medskip
Visszatérek a skalárértékű bilineáris függvények tulajdonságainak
a tár\-gya\-lá\-sá\-hoz. Megfogalmazok n\'eh\'any sz\'amunkra
\'erdekes \'all\'it\'ast, \'es el\-ma\-gya\-r\'a\-zom, hogy azok hogyan 
kapcsolódnak a már bizonyított eredményekhez. A bizony\'it\'asok
r\'eszleteit nem dolgozom ki. Azt az \'erdekl\H{o}d\H{o} olvas\'o
maga is megteheti. Az állítások alkalmas megfelelője igaz komplex 
értékű mátrixokra is.

Ha adva van egy $\alpha(\mathbf{x},\mathbf{y})$, $\mathbf{x}\in R^p$,
$\mathbf{y}\in R^q$, biline\'aris f\"uggv\'eny, akkor annak legjobb
megad\'as\'at a szinguláris felbontásról szóló állítás harmadik 
verziójában szerepl\H{o} $\mathbf{u}_1,\dots,\mathbf{u}_p$ \'es
$\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_q$ ortonorm\'alt vektorp\'ar
se\-g\'it\-s\'e\-g\'e\-vel adhatjuk meg. Val\'oj\'aban  csak az
$(\mathbf{u}_k,\mathbf{v}_k)$, $1\le k\le s$,  p\'arokra
van sz\"uks\'eg\"unk az $\alpha(\mathbf{x},\mathbf{y})$ 
 biline\'aris f\"uggv\'eny megad\'as\'ahoz. Ezek hasonl\'o
szerepet j\'atszanak, mint egy szimmetrikus m\'atrix nem nulla
saj\'at\'ert\'ek\H{u} saj\'atvektorai. Tov\'abb\'a
ezeket az $(\mathbf{u}_k,\mathbf{v}_k)$, $1\le k\le s$,  p\'arokat
hasonl\'o sz\'els\H{o}\'ert\'ek vagy minimax feladatok
megold\'asak\'ent lehet jellemezni, mint a szimmetrikus
m\'atrixok saj\'atvektorait.

Nem adom meg ezen eredm\'enyek bizony\'it\'as\'at,
csak le\'irom, hogy hogyan sz\'ol az a 
szinguláris felbontásról szóló állítás harmadik 
ver\-ziój\-á\-b\'ol k\"ovetkez\H{o} k\'eplet, amelynek a
seg\'its\'eg\'evel  ezeket a sz\'el\-s\H{o}\-\'er\-t\'ek 
jellemz\'eseket meg\-ta\-l\'al\-hat\-juk \'es bebizony\'ithatjuk.

Adva egy $\mathbf{x}\in R^p$ \'es $\mathbf{y}\in R^q$ vektor, 
\'irjuk ezeket $\mathbf{x}=\sum_{j=1}^pa_j\mathbf{u}_j$ \'es
$\mathbf{y}=\sum_{j=1}^q b_j\mathbf{v}_j$ alakban. Ekkor 
$\alpha(\mathbf{x},\mathbf{y})=
\mathbf{x}^T\mathbf{Ay}=\sum_{j=1}^s\lambda_ja_jb_j$. 

\'Erdemes m\'eg a k\"ovetkez\H{o} \'eszrev\'etelt tenni, amelyik
egyszer\H{u}en ad\'o\-dik a Cauchy--Schwarz egyenl\H{o}tlens\'egb\H{o}l:

Ha $\mathbf{x}=\sum\limits_{j=1}^pa_j\mathbf{u}_j$, akkor 
$\sup\limits_{\mathbf{y}\in R^q, \|\mathbf{y}\|=1}
\mathbf{x}^T\mathbf{Ay}=\mathbf{x}^T\mathbf{Ay}_0$, 
ahol $\mathbf{y}_0=\frac{\sum_{j=1}^sa_j\lambda_j\mathbf{v}_j}
{\sqrt{\sum_{j=1}^sa_j^2\lambda_j^2}}$, \'es a szupr\'emum
\'ert\'eke $\sqrt{\sum_{j=1}^sa_j^2\lambda_j^2}$.

\medskip
El\'eg az $\mathbf{u}_k$ \'es $\mathbf{v}_k$, $1\le k\le s$,
vektorokat megtal\'alni, mert azok meg\-ha\-t\'a\-roz\-z\'ak a
$\lambda_k=\alpha(\mathbf{u}_k,\mathbf{v}_k)$, $1\le k\le s$,
konstansokat.

\medskip\noindent
{\it A keresett $(\mathbf{u}_k, \mathbf{v}_k)$ p\'arok els\H{o} 
jellemz\'ese:}\/  Defini\'aljuk az
$$
\mathbf{U}_0=\{\mathbf{u}\colon\; \mathbf{u}\in R^p,\quad \|\mathbf{u}\|=1\}
\; \textrm { és } \;
\mathbf{V}_0=\{\mathbf{v}\colon\; \mathbf{v}\in R^q,\quad \|\mathbf{v}\|=1\},
$$
valamint (az $\mathbf{u}_j$, $\mathbf{v}_j$, $1\le j\le k$, vektorok
ismeret\'eben) az
$$\
\mathbf{U}_k=\{\mathbf{u}\colon\; \mathbf{u}\in R^p,\quad \|\mathbf{u}\|=1,
\quad \mathbf{u}^T\mathbf{u}_j=0, \;1\le j \le k\},
$$
$$
\mathbf{V}_k=\{\mathbf{v}\colon\; \mathbf{v}\in R^q\quad
\|\mathbf{v}\|=1,\quad \mathbf{v}^T\mathbf{v}_j=0,\;1\le j \le k\}
$$
halmazokat, $1\le k\le s$. Ekkor
$$
\alpha(\mathbf{u}_k,\mathbf{v}_k)
=\sup_{\mathbf{u}\in \mathbf{U}_{k-1},\; \mathbf{v}\in \mathbf{V}_{k-1}}
\alpha(\mathbf{u},\mathbf{v}),
$$
illetve
$$
\alpha(\mathbf{u}_k,\mathbf{v}_k)
=\sup_{\mathbf{u}\in \mathbf{U}_{k-1},\; \mathbf{v}\in \mathbf{V}_{0}}
\alpha(\mathbf{u},\mathbf{v})
$$
minden $1\le k\le s$ indexre. Tov\'abb\'a a szupr\'emum
felv\'etetik a keresett $(\mathbf{u}_k,\mathbf{v}_k)$ helyen.

\medskip\noindent
{\it A keresett $(\mathbf{u}_k, \mathbf{v}_k)$ p\'arok m\'asodik 
jellemz\'ese:}\/ Defini\'aljuk az
$$
{\cal U}_k=\{\mathbf{U}\colon\; \mathbf{U}\subset R^p,\quad
\mathbf{U}\; k\textrm{-dimenziós  Euklideszi tér}\}
$$ 
%$$
%{\cal V}_k=\{\mathbf{V}\colon\; \mathbf{V}\subset R^q,\quad
%\mathbf{V} \;k\textrm{-dimenziós  Euklideszi tér}\}
%$$ 
halmazokat minden $1\le k\le p$ indexre. Ekkor
$$
\alpha(\mathbf{u}_k,\mathbf{v}_k)
=\inf_{\mathbf{U}\in {\cal U}_{p-k}} \;\;
\sup_{\mathbf{u}\in \mathbf{U},\;\|\mathbf{u}\|=1,\;\; \mathbf{v}\in R^q,
\;\|\mathbf{v}\|=1}
\alpha(\mathbf{u},\mathbf{v})
$$
minden $1\le k\le s$ indexre. Tov\'abb\'a a keresett 
$(\mathbf{u}_k,\mathbf{v}_k)$ p\'ar megold\'asa ennek a minimax feladatnak.

\medskip
Komplex \'ert\'ek\H{u} biline\'aris f\"uggv\'enyek eset\'eben
hasonl\'o eredm\'eny \'er\-v\'e\-nyes. De ott az 
$(\mathbf{u}_k,\mathbf{v}_k)$, $1\le k\le s$, p\'arok 
meghat\'aroz\'as\'an\'al az $\alpha(\mathbf{u},\mathbf{v})$ 
f\"ugg\-v\'eny helyett az $|\alpha(\mathbf{u},\mathbf{v})|$ 
f\"uggv\'eny sz\'els\H{o}\'ert\'ek\'et keress\"uk. Ez egy 1 
alszol\'ut \'er\-t\'e\-k\H{u} komplex sz\'am szorz\'o erej\'eig
hat\'arozza meg az $\mathbf{u}_k$ \'es $\mathbf{v}_k$ vektorokat. 
Ezek megtal\'al\'asa ut\'an a $\mathbf{u}_k$ vektor \'ert\'ek\'et 
r\"ogz\'itj\"uk, a $\mathbf{v}_k$ vektort pedig beszorozzuk egy 1 
abszol\'ut \'ert\'ek\H{u} komplex sz\'ammal \'ugy, hogy
$\alpha(\mathbf{u}_k,\mathbf{v}_k)$ pozit\'iv val\'os sz\'am legyen.





\end{document}


