Téglalap alakú mátrixok szinguláris felbontása.

Legyen adva egy p × q méretű A mátrix. Meg akarjuk adni ennek az A mátrixnak a legegyszerűbb előállítását. Ezt nevezik az A mátrix szinguláris felbontásának. Négyzetes, azaz p × p méretű A mátrixok esetén létezik egy A = UΛV alakú előállítás, ahol Λ p × p méretű diagonális mátrix, az átlóban λ_{1} ≥ λ_{1} ≥ ⋯ ≥ λ_{p} ≥ 0 nem negatív elemekkel, (azaz Λ pozitív definit mátrix), és U és V ortogonális mátrixok az R^{p} térben. Ennek az eredménynek keressük az általánosítását téglalap alakú mártrixokra.

Ezt az eredményt három ekvivalens alakban fogom megfogalmazni. Ezek tárgyalása előtt megjegyzem, hogy amennyiben A p×q méretű mátrix, akkor az A, A^{T}, AA^{T} és A^{T} A mátrixok s rangjára igaz, hogy s = rang (A) = rang (A^{T}) = rang (AA^{T}) = rang (A^{T} A) ≤ min(p, q). Ahhoz, hogy a

rang (A) = rang (AA^{T})

relációt belássuk, megmutatjuk, hogy u^{T} AA^{T} = 0 esetén u^{T} A = 0, mert ekkor (u^{T} A, u^{T} A) = (u^{T} AA^{T} , u) = 0.

Az A mátrix szinguláris felbontásának első megfogalmazása a következő. Legyen a p×q méretű A mátrix rangja s. Ekkor létezik s darab p hosszúságú u_{1}, …, u_{s} ortonormális (oszlop)vektor, s darab q hosszúságú v_{1}, …, v_{s} ortonormális (oszlop)vektor és λ_{1} ≥ λ_{2} ≥ ⋯ ≥ λ_{s} > 0 számok úgy, hogy az U = (u_{1}, …, u_{s}) p × s méretű, a V = (v_{1}, …, v_{s}) q × s méretű valamint a Λ s × s méretű diagonális mátrix λ_{1} ≥ λ_{2} ≥ ⋯ ≥ λ_{s} > 0 elemekkel az átlóban teljesítik az A = UΛV^{T} azonosságot.

Az A mátrix szinguláris felbontásának második megfogalmazásában az első megfogalmazásban szereplő U és V mátrixokat kiegészítem p×p és q ×q méretű ortogonális mátrixokká, a Λ mátrixot pedig nulla elemű koordináták hozzáadásával egy p × q méretű mátrixszá. Az így kapott mátrixokat továbbra is az U, V és Λ betűkkel fogom jelölni. Azt állítom, hogy ezek a mátrixok is teljesítik a szinguláris felbontás első megfogalmazásában felírt azonosságot.

Részletesebben megfogalmazva egészítsük ki az u_{1}, …, u_{s} vektorrendszert egy u_{1}, …, u_{p} ortonormált bázissá az R^{p} térben. Hasonlóan egészítsük ki a v_{1}, …, v_{s} vektorrendszert egy v_{1}, …, v_{q} ortonormált bázissá az R^{q} térben. Legyen U = (u_{1}, …, u_{p}) és V = (v_{1}, …, v_{q}). Végül legyen Λ az a p × q méretű Λ = (a_{i,j}), 1 ≤ i ≤ p, 1 ≤ j ≤ q, mátrix, amelyre a_{i,i} = λ_{i}, ha 1 ≤ i ≤ s, és a_{i,j} = 0, ha i ≠ j vagy i > s. Ezzel a választással teljesül az A = UΛV^{T} azonosság.

A szinguláris felbontás e két megfogalmazásának az ekvivalenciája egyszerűen látható. Azt kell észrevenni, hogy a második megfogalmazásban szereplő Λ mátrix alakjából következik, hogy az ott szereplő UΛV^{T} szorzat értéke nem függ attól, hogy hogyan választottuk meg az u_{s+1}, …, u_{p} és v_{s+1}, …, v_{q} vektorokat. Innen látható, hogy ha adott egy a szinguláris felbontás második jellemzését teljesítő rendszer, akkor elhagyva az U mátrix utolsó p − s oszlopvektorát, a V mátrix utolsó q − s oszlopvektorát, és a Λ mátrixot megszorítjuk az első s sorára és oszlopára, akkor olyan U, V és Λ mátrixokat kapunk, amelyek teljesítik a szinguláris felbontás első jellemzését.

Megfordítva, ha egy U, V, Λ rendszer teljesíti a szinguláris felbontás első jellemzését, akkor kiegészítve az U és V mátrixokat ortogonális mátrixokká olyan módon, ahogy azt leírtam, és a Λ mátrixot szintén a korábban leírt módon egészítve ki egy p × q méretű mátrixszá egy olyan U, V, Λ rendszert kapunk, amely teljesíti a szinguláris felbontás második jellemzését.

A szinguláris felbontás létezéséről szóló eredmény harmadik megfogalmazása az x ∈ R^{p} és y ∈ R^{q} vektorpárok α(x, y) bilineáris függgvényeinek egyszerű megadásáról szól. Egy α(x, y), x ∈ R^{p}, y ∈ R^{q}, függvény bilineáris, ha tetszőleges a és b számokra és x_{1} ∈ R^{p}, x_{2} ∈ R^{p}, x ∈ R^{p}, y_{1} ∈ R^{q}, y_{2} ∈ R^{q}, y ∈ R^{q} vektorokra az α(ax_{1} + bx_{2}, y) = aα(x_{1}, y) + b(αx_{2}, y) és α(ax, ay_{1} + by_{2}) = aα(x, y_{1}) + bα(x, y_{2}) azonosságok teljesülnek.

Egy A p × q méretű mátrix meghatároz egy α(x, y), x ∈ R^{p}, y ∈ R^{q}, bilineáris függvényt a következő módon. Ha x ∈ R^{p}, y ∈ R^{q}, akkor legyen α(x, y) = x^{T} Ay. Másrészt az is igaz, hogy minden α(x, y), x ∈ R^{p}, y ∈ R^{q}, bilineáris függvény megadható ilyen alakban.

Ezt megmutatandó definiáljuk az e_{i} ∈ R^{p}, 1 ≤ i ≤ p, vektorokat, ahol e_{i} az a vektor az R^{p} térben, amelynek az i-ik koordinátája 1 a többi koordinátája 0. Hasonlóan, vezessük be a f_{j} ∈ R^{q}, 1 ≤ j ≤ q, vektorokat, ahol az f_{j} vektor j-ik koordinátája 1 a többi koordinátája nulla. Ekkor az e_{1}, …, e_{p} vektorok bázist alkotnak az R^{p} térben, az f_{1}, …, f_{q} vektorok bázist alkotnak az R^{q} térben. Továbbá, egy α(x, y), x ∈ R^{p}, y ∈ R^{q}, bilineáris függvény jellemezhető a következő módon.

Tekintsünk egy α(e_{i}, f_{j}) = A(i, j), 1 ≤ i ≤ p, 1 ≤ j ≤ q, függvényt tetszőleges A(i, j) konstansokkal. Létezik olyan α(x, y), x ∈ R^{p}, y ∈ R^{q}, bilineáris függvény, amelyre α(e_{i}, f_{j}) = A(i, j), 1 ≤ i ≤ p, 1 ≤ j ≤ q, és az megadható a következő képlet segítségével: α(x, y) = x^{T} Ay, ahol az A mátrixot az A = (A(i, j)), 1 ≤ i ≤ p, 1 ≤ j ≤ q, képlet határozza meg. Továbbá minden α(x, y), x ∈ R^{p}, y ∈ R^{q}, bilineáris függvény megadható ilyen alakban.

Tekintsünk egy α(x, y) = x^{T} Ay bilineáris függvényt, és vegyünk egy x_{1} ∈ R^{p}, …, x_{p} ∈ R^{p} bázist az R^{p} térben, és egy y_{1} ∈ R^{q}, …, y_{q} ∈ R^{q} bázist az R^{q} térben. Ekkor az α(x_{i}, y_{j}), 1 ≤ i ≤ p, 1 ≤ j ≤ q, mennyiségek azaz az α(x, y) függvény értékei az x_{i} ∈ R^{p}, 1 ≤ i ≤ p, y_{j} ∈ R^{q}, 1 ≤ j ≤ q, bázispáron meghatározzák az α(x, y) = x^{T} Ay bilineáris függvényt. A szinguláris felbontás harmadik megfogalmazásában olyan bázispárt adunk meg, amelyben a bilineáris függvény ilyen módon való megadása egyszerű szerkezetű.

A szinguláris felbontás harmadik megfogalmazása a következőt állítja. Legyen adva egy α(x, y) = x^{T} Ay, x ∈ R^{p}, y ∈ R^{q}, bilineáris függvény, ahol az A mátrix rangja s. Ekkor létezik olyan u_{1} ∈ R^{p}, …, u_{p} ∈ R^{p}, ortonormált bázis az R^{p} térben, v_{1} ∈ R^{q}, …, v_{q} ∈ R^{q}, ortonormált bázis az R^{q} térben, és léteznek olyan λ_{1} ≥ λ_{2} ≥ ⋯ ≥ λ_{s} > 0 számok, amelyekre α(u_{i}, v_{j}) = 0, ha i ≠ j, α(u_{i}, v_{i}) = 0, ha i > s, és α(u_{i}, v_{i}) = λ_{i}, ha 1 ≤ i ≤ s.

Lássuk be, hogy a szinguláris felbontás második megfogalmazásában szereplő állításból következik a szinguláris felbontás harmadik megfogalmazásában megfogalmazott állítás. Legyen adva egy α(x, y) = x^{T} Ay bilineáris függvény, és írjuk az A mátrixot A = UΛV^{T} alakban. Legyenek az U mátrix oszlopvektorai az u_{1}, …, u_{p} vektorok, és a V mátrix oszlopvektorai a v_{1}, …, v_{q} vektorok. Azt állítom, hogy ezekkel a u_{1}, …, u_{p} és v_{1}, …, v_{q} vektorokkal, valamint a Λ mátrix átlójában szereplő λ_{j} számokkal érvényes az α(x, y) bilineáris függvénynek a szinguláris felbontás harmadik megfogalmazásában szereplő jellemzése.

Ennek megmutatása érdekében vegyük észre, hogy u_{i}^{T} U = e_{i}^{T} 1 ≤ i ≤ p, és V^{T} v_{j} = f_{j}, 1 ≤ j ≤ q. Ezért α(u_{i}, v_{j}) = u_{i}^{T} UΛV^{T} v_{j} = e_{i}^{T} Λf_{j} = δ_{i,j}λ_{j}, ahol δ_{i,j} = 1, ha i = j, δ_{i,j} = 0, ha i ≠ j. Innen következik a szinguláris felbontás harmadik megfogalmazásában megfogalmazott állítás.

Megmutatjuk azt is, hogy ha a szinguláris felbontás harmadik megfogalmazásában szereplő állítás igaz, akkor a szinguláris felbontás második megfogalmazásában megfogalmazott állítás is igaz.

Legyen adva egy A p × q méretú mátrix. Be akarjuk látni, hogy érvényes rá a szinguláris felbontás második megfogalmazásában szereplő állítás. Ennek érdekében tekintsük az e mátrix által meghatározott α(x, y) = x^{T} Ay bilineáris függvényt. A szinguláris felbontás harmadik megfogalmazása szerint létezik olyan u_{1} ∈ R^{p}, …, u_{p} ∈ R^{p}, ortonormált bázis az R^{p} térben, v_{1} ∈ R^{q}, …, v_{q} ∈ R^{q}, ortonormált bázis az R^{q} térben, és léteznek olyan λ_{1} ≥ λ_{2} ≥ ⋯ ≥ λ_{s} > 0 számok, amelyekre α(u_{i}, v_{j}) = 0, ha i ≠ j, α(u_{i}, v_{i}) = 0, ha i > s, és α(u_{i}, v_{i}) = λ_{i}, ha 1 ≤ i ≤ s. Definiáljuk az U = (u_{1}, …, u_{p}) és V = (v_{1}, …, v_{q}) mátrixokat, valamint a Λ = (a_{i,j}), 1 ≤ i ≤ p, 1 ≤ j ≤ q, mátrixot ahol a_{i,j} = 0, ha i ≠ j, a_{i,i} = 0, ha i > s, a_{i,i} = λ_{i}, ha 1 ≤ i ≤ s. Definiáljuk továbbá a B = U^{T} ΛV mátrixot. Ekkor u_{i}^{T} Bv_{j} = α(u_{i}, v_{j}) = u_{i}^{T} Av_{j} minden 1 ≤ i ≤ p, 1 ≤ j ≤ q indexre. Innen következik, hogy e_{i}^{T} Bf_{j} = e_{i}^{T} Af_{j} minden 1 ≤ i ≤ p, 1 ≤ j ≤ q indexre. Ezért A = B = U^{T} ΛV. Ez azt jelenti, hogy a szinguláris felbontás harmadik megfogalmazásában szereplő jellemzéséből következik a szinguláris felbontás második megfogalmazásában szereplő jellemzése.

A szinguláris felbontásról szóló állítás harmadik verzióját fogom bizonyítani.

Legyen adva egy p×q méretű A mátrix, amelynek rangja s, és definiáljuk segítségével az α(x, y) = x^{T} Ay, x ∈ R^{p}, y ∈ R^{q}, bilineáris függvényt. Megadom, hogy hogyan definiáljuk az eredmény megfogalmazásában szereplő u_{1} ∈ R^{p}, …, u_{p} ∈ R^{p}, illetve v_{1} ∈ R^{q}, …, v_{q} ∈ R^{q}, vektorokat, és λ_{1} ≥ λ_{2} ≥ ⋯ ≥ λ_{s} > 0 számokat.

Az A^{T} A mátrix szimmetrikus és pozitív definit az R^{q} térben, rangja s. Ezért léteznek v_{1} ∈ R^{q}, …, v_{q} ∈ R^{q} ortonormált sajátvektorai, μ_{1} ≥ μ_{2} ≥ ⋯ μ_{q} ≥ 0 sajátértékekkel, és μ_{j} = 0, ha q ≥ j > s. Továbbá , ha j > s, akkor nemcsak A^{T} Av_{j} = 0, hanem Av_{j} = 0. Ezt hasonlóan lehet belátni, mint ahogy megmutattam az ismertetés elején, hogy u^{T} A = 0, ha u^{T} AA^{T} = 0.

A v_{1}, …, v_{q} vektorokat már definiáltuk. Legyen λ_{j} = \sqrt{μ_{j}}, 1 ≤ j ≤ s. Az u_{j} vektorokat az első lépésben csak 1 ≤ j ≤ s indexekre definiáljuk. Legyen u_{j} = \frac{1}{λ_{j}} Av_{j}, ha 1 ≤ j ≤ s. Azt állítom, hogy az u_{j}, 1 ≤ j ≤ s, vektorok ortonomált rendszert alkotnak, és AA^{T} u_{j} = μ_{j}u_{j}, ha 1 ≤ j ≤ s.

Valóban, (u_{i}, u_{j}) = u_{i}^{T} u_{j} = \frac{1}{λ_{i}λ_{j}} v_{i}^{T} A^{T} Av_{j} = \frac{1}{λ_{i}λ_{j}} v_{i}^{T} μ_{j}v_{j} = \frac{λ_{j}^{2}}{λ_{i}λ_{j}} v_{i}^{T} v_{j} = δ_{i,j}, ha 1 ≤ i, j ≤ s, ahol δ_{i,j} = 1, ha i = j, δ_{j} = 0, ha i ≠ j. Ebben a számolásban felhasználtuk, hogy A^{T} Av_{j} = μ_{j}v_{j}, és v_{i}^{T} v_{j} = δ_{i,j}.

Másrészt AA^{T} u_{j} = \frac{1}{λ_{j}} AA^{T} Av_{j} = \frac{1}{λ_{j}} A(A^{T} Av_{j}) = \frac{μ_{j}}{λ_{j}} Av_{j} = μ_{j}u_{j}, ha 1 ≤ j ≤ s. Ez azt jelenti, hogy az u_{i}, 1 ≤ i ≤ s, vektorok ortonormáltak és sajátvektorai μ_{i} > 0 sajátértékkel az AA^{T} szimmetrikus mátrixnak. Mivel az AA^{T} mátrix rangja s, ezért a (u_{1}, …, u_{s}) vektorok rendszerét kiegészíthetjük egy az AA^{T} mátrix sajátvektoraiból álló (u_{1}, …, u_{p}) ortonormált bázissá, ahol AA^{T} u_{j} = 0, ha s < j ≤ p. Ezzel definiáltuk az u_{1}, …, u_{p} vektorokat is. Azt álllítom, hogy ez a rendszer teljesíti a szinguláris felbontásról szóló állítás harmadik verzióját.

Azt kell még megmutatni, hogy α(u_{i}, v_{j}) = u_{i}^{T} Av_{j} = δ_{i,j}λ_{j} minden 1 ≤ i ≤ p, 1 ≤ j ≤ q, indexre. Ha 1 ≤ j ≤ s, akkor u_{i}^{T} Av_{j} = u_{i}^{T} (λ_{j}u_{j}) = δ_{i,j}λ_{j}. Ha s < j ≤ q, akkor Av_{j} = 0, ezért u_{i}^{T} Av_{j} = 0. Másrészt ekkor λ_{j} = 0, ezért δ_{i,j}λ_{j} = 0. Ezzel a kívánt relációt és a szinguláris felbontásról szóló állítás harmadik verzióját beláttuk.

Ebben az írásban valós értékű mátrixok, azaz olyan mátrixok jellemzését adtuk meg, amelyek az R^{p} tér R^{q} térbe való lineáris leképezéseinek felelnek meg. Hasonlóan lehet megadni (és bizonyítani) komplex értékű mátrixok jellemzését, amelyek a Z^{p} p-dimenziós komplex térnek a Z^{q} q-dimenziós komplex térbe való lineáris leképezéseinek felelnek meg. A fő különbség az, hogy ekkor egy A mátrix A^{T} transzponáltja helyett annak A^{∗} konjugáltját, illetve egy x vektor x^{T} transzponáltja helyett annak x^{∗} konjugáltját vesszük. Egy másik különbség az, hogy a szinguláris felbontás harmadik verziójának megfogalmazásában bilineáris függvények helyett komplex bilineáris függvények jellemzését adjuk meg, azaz olyan α(x, y), x ∈ Z^{p}, y ∈ Z^{q}, függvények jellemzését, amelyekre az α(ax_{1} + bx_{2}, y) = aα(x_{1}, y) + b(αx_{2}, y) és α(ax, ay_{1} + by_{2}) = āα(x, y_{1}) + b̄α(x, y_{2}) azonosságok teljesülnek tetszőleges a ∈ Z és b ∈ Z számokra és x_{1} ∈ Z^{p}, x_{2} ∈ Z^{p}, x ∈ Z^{p}, y_{1} ∈ Z^{q}, y_{2} ∈ Z^{q}, y ∈ Z^{q} vektorokra. Az irodalomban komplex bilineáris függvények helyett gyakran sesquilineáris (másfél lineáris) függvényekről beszélnek.

Ha komplex értékű mátrixokat vizsgálunk, akkor érdemesebb sor és nem oszlopvektorokkal dolgozni. A továbbiakban ezt fogjuk tenni. Ilyen jelöléssel az ⟨x, y⟩ = xy^{∗} skalárszorat, x ∈ Z^{n}, y ∈ Z^{n}, példa komplex bilineáris függvényre. Egy általános α(x, y), x ∈ Z^{p}, y ∈ Z^{q} komplex bilineáris függvény α(x, y) = ⟨xA, y⟩ = xAy^{∗} alakban adható meg, ahol A p × q méretű mátrix, amelynek elemei komplex számok.

Megfogalmazom a szinguláris felbontásról szóló állítás harmadik verzióját abban az esetben, ha komplex értékű mátrixokkal dolgozunk. Ezután röviden ismertetem a bizonyítás gondolatát.

Először teszek egy apró megjegyzést. Érdemes észrevenni, hogy egy x sorvektor akkor és csak akkor sajátvektora egy A szimmetrikus mátrixnak egy (valós) λ sajátértékkel, ha a konjugáltja az x^{∗} oszlopvektor sajátvektora ugyanannak az A szimmetrikus mátrixnak ugyanazzal a λ sajátértékkel, azaz xA = λx akkor és csak akkor, ha Ax^{∗} = λx^{∗}.

A mátrixok szinguláris felbontásáról szóló állítás harmadik verziója a következő módon fogalmazható meg.

Legyen adva egy α(x, y) = xAy^{∗} komplex bilineáris függvény, ahol x ∈ Z^{p}, y ∈ Z^{q}, sorvektorok, és A olyan p × q méretű komplex számokat tartalmazó mátrix, amelynek rangja s. Ekkor léteznek olyan u_{1} ∈ Z^{p}, …, u_{p} ∈ Z^{p} a Z^{p} térben ortonormált bázist alkotó (sor)vektorok, v_{1} ∈ Z^{q}, …, v_{q} ∈ Z^{q} a Z^{q} térben ortonormált bázist alkotó (sor)vektorok és λ_{1} ≥ λ_{2} ≥ … ≥ λ_{s} > 0 számok, amelyekre α(u_{i}, v_{j}) = u_{i}Av_{j}^{∗} = δ_{i,j}λ_{j} minden 1 ≤ i ≤ p és 1 ≤ j ≤ q indexre, ahol λ_{j} = 0, ha s < j ≤ q.

A fenti állításban szereplő vektorokat és konstansokat a következő módon definiálhatjuk. Legyen v_{j} az A^{∗}A mátrix j-edik sajátvektora (sorvektora) μ_{j} sajátértékkel, és válasszuk e vektorokat úgy, hogy ezek a v_{j}, 1 ≤ j ≤ q, vektorok ortonormált bázist alkotnak a Z^{q} térben. Legyen λ_{j} = \sqrt{μ}_{j}, 1 ≤ j ≤ s. Legyen u_{j} = \frac{1}{λ_{j}} v_{j}A^{∗}, ha 1 ≤ j ≤ s. Ekkor az u_{j}, 1 ≤ j ≤ s, vektorok ortonormáltak, és sajátvektorai a AA^{∗} szimmetrikus mátrixnak. Ezeket az u_{j}, 1 ≤ j ≤ s, vektorokat kiterjesztjük az AA^{∗} mátrix sajátvektoraiból álló u_{j}, 1 ≤ j ≤ p, teljes ortonormált rendszerré a Z^{p} térben. Így választjuk a u_{j}, 1 ≤ j ≤ p, vektorokat. Ezzel a választással érvényes a szinguláris felbontásról szóló állítás harmadik verziója komplex értékű mátrixokra.

Visszatérek a skalárértékű bilineáris függvények tulajdonságainak a tárgyalásához. Megfogalmazok néhány számunkra érdekes állítást, és elmagyarázom, hogy azok hogyan kapcsolódnak a már bizonyított eredményekhez. A bizonyítások részleteit nem dolgozom ki. Azt az érdeklődő olvasó maga is megteheti. Az állítások alkalmas megfelelője igaz komplex értékű mátrixokra is.

Ha adva van egy α(x, y), x ∈ R^{p}, y ∈ R^{q}, bilineáris függvény, akkor annak legjobb megadását a szinguláris felbontásról szóló állítás harmadik verziójában szereplő u_{1}, …, u_{p} és v_{1}, …, v_{q} ortonormált vektorpár segítségével adhatjuk meg. Valójában csak az (u_{k}, v_{k}), 1 ≤ k ≤ s, párokra van szükségünk az α(x, y) bilineáris függvény megadásához. Ezek hasonló szerepet játszanak, mint egy szimmetrikus mátrix nem nulla sajátértékű sajátvektorai. Továbbá ezeket az (u_{k}, v_{k}), 1 ≤ k ≤ s, párokat hasonló szélsőérték vagy minimax feladatok megoldásaként lehet jellemezni, mint a szimmetrikus mátrixok sajátvektorait.

Nem adom meg ezen eredmények bizonyítását, csak leírom, hogy hogyan szól az a szinguláris felbontásról szóló állítás harmadik verziójából következő képlet, amelynek a segítségével ezeket a szélsőérték jellemzéseket megtalálhatjuk és bebizonyíthatjuk.

Adva egy x ∈ R^{p} és y ∈ R^{q} vektor, írjuk ezeket x = ∑_{j=1}^{p} a_{j}u_{j} és y = ∑_{j=1}^{q} b_{j}v_{j} alakban. Ekkor α(x, y) = x^{T} Ay = ∑_{j=1}^{s} λ_{j}a_{j}b_{j}.

Érdemes még a következő észrevételt tenni, amelyik egyszerűen adódik a Cauchy–Schwarz egyenlőtlenségből:

Ha x = ∑_{j=1}^{p} a_{j}u_{j}, akkor sup_{y∈R^{q},∥y∥=1} x^{T} Ay = x^{T} Ay_{0}, ahol y_{0} = \frac{∑_{j=1}^{s} a_{j}λ_{j}v_{j}}{\sqrt{∑_{j=1}^{s} a_{j}^{2}λ_{j}^{2}}} ,

és a szuprémum értéke \sqrt{∑_{j=1}^{s} a_{j}^{2}λ_{j}^{2}}.

Elég az u_{k} és v_{k}, 1 ≤ k ≤ s, vektorokat megtalálni, mert azok meghatározzák a λ_{k} = α(u_{k}, v_{k}), 1 ≤ k ≤ s, konstansokat.

A keresett (u_{k}, v_{k}) párok első jellemzése: Definiáljuk az

U_{0} = {u: u ∈ R^{p}, ∥u∥ = 1} és V_{0} = {v: v ∈ R^{q}, ∥v∥ = 1},

valamint (az u_{j}, v_{j}, 1 ≤ j ≤ k, vektorok ismeretében) az

U_{k} = {u: u ∈ R^{p}, ∥u∥ = 1, u^{T} u_{j} = 0, 1 ≤ j ≤ k},
V_{k} = {v: v ∈ R^{q} ∥v∥ = 1, v^{T} v_{j} = 0, 1 ≤ j ≤ k}

halmazokat, 1 ≤ k ≤ s. Ekkor

α(u_{k}, v_{k}) = sup_{u∈U_{k−1}, v∈V_{k−1}} α(u, v),

illetve

α(u_{k}, v_{k}) = sup_{u∈U_{k−1}, v∈V_{0}} α(u, v)

minden 1 ≤ k ≤ s indexre. Továbbá a szuprémum felvétetik a keresett (u_{k}, v_{k}) helyen.

A keresett (u_{k}, v_{k}) párok második jellemzése: Definiáljuk az

U_{k} = {U: U ⊂ R^{p}, U k-dimenziós Euklideszi tér}

halmazokat minden 1 ≤ k ≤ p indexre. Ekkor

α(u_{k}, v_{k}) = inf_{U∈U_{p−k}} sup_{u∈U, ∥u∥=1, v∈R^{q}, ∥v∥=1} α(u, v)

minden 1 ≤ k ≤ s indexre. Továbbá a keresett (u_{k}, v_{k}) pár megoldása ennek a minimax feladatnak.

Komplex értékű bilineáris függvények esetében hasonló eredmény érvényes. De ott az (u_{k}, v_{k}), 1 ≤ k ≤ s, párok meghatározásánál az α(u, v) függvény helyett az |α(u, v)| függvény szélsőértékét keressük. Ez egy 1 alszolút értékű komplex szám szorzó erejéig határozza meg az u_{k} és v_{k} vektorokat. Ezek megtalálása után a u_{k} vektor értékét rögzítjük, a v_{k} vektort pedig beszorozzuk egy 1 abszolút értékű komplex számmal úgy, hogy α(u_{k}, v_{k}) pozitív valós szám legyen.