11. Egy kis analízis

Függvények közelítése

Ha $f$ egy folytonos függvény, és $f\left(0\right)=0$, akkor definíció szerint ${\lim }_{\epsilon \to 0}f\left(\epsilon \right)=0$. Az elkövetkezőkben arra leszünk kíváncsiak, hogy milyen gyorsan tart $f\left(\epsilon \right)$ a nullához. Például, ha $\epsilon$ nagyon kis abszolút értékű szám, akkor $\mid \epsilon \mid >\mid \epsilon {\mid }^2>\mid \epsilon {\mid }^3>\dots$, ezért az $x\to x^2$ függvény gyorsabban közelít a nullához, mint az $x\to x$ függvény, az $x\to x^3$ pedig mindkettőnél jobban siet. Ezt teszi precízzé a következő definíció.

Gyakran szeretnénk az $f$ függvényt lineáris függvényekkel közelíteni: tetszőleges $p\in U$ pont környezetében szeretnénk egy ilyen becslést: $$f\left(x\right)\sim f\left(p\right)+M\cdot (x-p)$$ valamilyen $m\times n$-es $M$ mátrixszal. Az a kérdés, melyik $M$ esetén lesz a becsés a legpontosabb:

Az előző feladatból azonnal következnek az összetett függvények deriválására vonatkozó szabály:

Egyváltozós függvények

Legyen $[a,b]\subset ℝ$ egy zárt intervallum. Egy $f:[a,b]\to {ℝ}^n$ függvényre úgy gondolunk, mint egy $[a,b]$-vel paraméterezett görbe az $n$ dimenziós térben. Egy ilyen függvényt koordinátánként tudunk megadni: $$f\left(t\right)=\left(\begin{array}{c}{f}_1\left(t\right)\\ ⋮\\ f_n\left(t\right)\end{array}\right)$$ ahol $f_1,f_2,\dots f_n:I\to ℝ$ közönséges egyváltozós, valós értékű függvények.

/7. Tétel:

Görbe érintője

Legyen $f:[a,b]\to {ℝ}^n$ egyváltozós függvény, azaz egy ${ℝ}^n$-beli görbe. A deriváltja - amennyiben létezik - az $$f^{\text{'}}\left(t\right)=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{f(t+\epsilon )-f\left(t\right)}{\epsilon }$$ képlettel számolhatjuk ki. Amint a rajzon is látható, ez éppen a görbe érintő vektorát adja, a vektor hossza pedig azt mutatja, mekkora "sebességgel" halad a $t$ paraméter a görbén. Ha ugyanezt a görbét másképpen paraméterezzük, akkor ugyanilyen irányú, de más hosszúságú érintő vektort kapunk. A határérték koordinátánként is számítható: $$f^{\text{'}}\left(t\right)=\left(\begin{array}{c}{f}_1^{\text{'}}\left(t\right)\\ ⋮\\ f_n^{\text{'}}\left(t\right)\end{array}\right)$$

Egyváltozós függvényekkel nagyon gyakran találkozunk. Most csak arra az esetre koncentrálunk, amikor a függvény valamilyen mennyiség időbeli változásait írja le - tehát a függvény változója az idő. Számtalan ilyen példát ismerünk fizikából, kémiából vagy például a gazdasági életből. Nagyon sokszor ismerünk olyan törvényszerűségeket, amelyek bizonyos mennyiségek értéke, és megváltozásuk sebessége közt teremt kapcsolatot. Szemléletünk, és a tapasztalat azt sugallja, hogy ilyen esetekben e mennyiségek kezdeti értéke gyakran teljesen meghatározza időbeli fejlődésük menetét. Ezt a megfigyelést önti formába a következő definíció és Picard-Lindelöf tétel - ennek a kis analízis-ismertetőnek a legfontosabb része.

Milyen $F$ vektormezők esetén tudjuk garantálni a megoldhatóságot? És a megoldás milyen feltételek mellett lesz egyértelmű? Sajnos a folytonosság ehhez nem elegendő.

A tétel "szokványos" bizonyítását most nem ismétlem, helyette lássunk egy másikat. A most következő becslés a bizonyítás kulcs-lépése. Azt mondja ki, hogy ha két görbe közelítőleg ($\epsilon$ hibával) megoldja a differenciál egyenletet, és a két görbe egymáshoz közeli pontokból indult, akkor ugyan távolodhatnak egymástól, de nem akármilyen gyorsan. Az a lényeg, hogy a becslés $t$-től független, és minden tag kicsi lesz, ha az $[a,b]$ intervallumot kellően rövidre választjuk:

A tétel ezek után úgy bizonyítható, hogy megpróbálunk olyan görbéket készíteni, akik egyre nagyobb pontosságal oldják meg az egyenletet. Például így: Először az $U$ halmazt kicseréljük a kezdőponk olyan környezetére, amelyikem $F$ már Lipschitz tulajdonságú. A $[0,b)$ intervallumot felosztjuk $N$ egyenlő részre, és az $f_N:[0,b)\to U$ görbe töröttvonal lesz, balról jobbra, szakaszonként definiáljuk. Amikor az $i$-edik szakaszhoz érünk, a $k_i:=(i-1)\frac{b}{N}$ kezdőpont megegyezik az előző szakasz végpontjával, tehát $K_i:=f_N\left(k_i\right)$ már ismert. Ebből a $K_i$ kezdőpontból a görbe egyenes vonalon egyenletes sebességgel haladjon tovább az egész $i$-edik szakaszon, úgy, hogy a deriváltja éppen $v_i:=F\left(f_N\right(k_i\left)\right)$ legyen. Képlettel is megadhatjuk: $$f_N\left(t\right):=K_i+v_i(t-k_i)t\in [k_i,k_{i+1}]$$ Könnyű belátni, hogy ha $b$ elég kicsi, akkor a töröttvonal nem hagyja el az $U$ tartományt, és az összes $\mid v_i\mid$ is egy közös $V$ korlát alatt marad. Ez a töröttvonal még nem teljesen jó: a töréspontokban nem differenciálható. Vagy lekerekítjük a sarkokat, vagy éppenséggel a /XIII. Feladatot is kiterjeszthetjük töröttvonalakra. Mivel minden szakaszunk hossza $\frac{b}{N}$, azért az $i$-edik szakaszon így becsülhetünk: $$\mid f_N^{\text{'}}\left(t\right)-F\left(f_N\right(t\left)\right)\mid =\mid F\left(K_i\right)-F\left(f_N\right(t\left)\right)\mid <L\cdot \mid K_i-f_N\left(t\right)\mid =L\cdot \mid v_i(t-k_i)\mid \le L\cdot V\frac{b}{N}$$ Ha $N$-et növeljük, akkor ez akármilyen kicsivé tehető. Alkalmazzuk a /XIII. Feladatot az $f_N$ és $f_M$ görbékre! Kiderül, hogy ha $M$ és $N$ nagyon nagyok, akkor a két görbe nagyon közel van egymáshoz. Ezért létezik egy határérték görbe - és az már valóban megoldása az egyenletnek.

A /XIII. Feladat másik fontos alkalmazása, hogy a megoldás-görbe folytonosan függ a kezdőponttól: ha folytonosan változtatjuk a kezdőpontot, akkor az (egyértelmű) megoldás görbe is folytonosan változik. Ezt érdemes tételként is kimondani:

Most lássunk néhány következményt. Ezekhez nem kell tudni a bizonyítást - elegendő hozzájuk a Picard-Lindelöf tétel ismerete:

Többváltozós függvények

Ebben a jegyzetben fontos lesz a dimenzió fogalma. Algebrában, analízisben, topológiában számtalan változatban definiálnak dimenziót, de "szép" alakzatokra ezek ugyanazt a számot adják. Mi most megelégszünk egy viszonylag egyszerű dimenzió fogalommal. Az ${ℝ}^n$ azon részhalmazait, amelyeknek minden pontban van "érintője", és az mindenütt egy $n$-dimenziós altér, $n$-dimenziós részsokaságoknak nevezzük. A részsokaságokat kétféleképpen is meg lehet adni: paraméteres egyenlettel, vagy egyenletrendszer megoldás-halmazaként. A két megadási mód kétféle definícióhoz vezet - szerencsére a két definíció ekvivalens.

A két definíció ekvivalens. Ezt órán beláttuk, de most csak annyit írok, hogy az Inverz Függvény Tételből következett.

A következő tétel ezen a ponton néhéz, ezért nem is próbáljuk bizonyítani:

A /III. Feladatban láttuk, hogy egy invertálható függvény derivált mátrixa is invertálható. Érdemes elgondolkodni rajta, vajon igaz-e fordítva? A válasz - teljes általánosságban - nemleges. De a derivált folytonosságát is feltételezve már pozitív eredményhez jutunk:

Most nem bizonyítjuk, akit érdekel, megnézheti például itt.

Csoportok

A csoportelméletben nagyon fontos szerepet kapnak a Lie csoportok. Ezek olyan csoportok, amelyek egyúttal sokaságok is, és a csoport-műveletek differenciálhatók. A precíz definíciót most elhagyjuk - mi csak olyan Lie csoportokkal foglalkozunk, amelyek $\mathrm{GL}(n,ℝ)$ zárt részcoportjai: