Az intézetet 1950-ben alapították a Magyar Népköztársaság minisztertanácsának 155/1950. (VI.3.) M. T. számú rendeletével a Magyar Tudományos Akadémia Alkalmazott Matematikai Intézete létesítéséről.
1955-2019 között az intézet a Magyar Tudományos Akadémia Matematikai Kutató Intézete elnevezéssel folytatja működését. A Magyar Tudományos Akadémia elnöke az Akadémiai Kutatóhelyek Tanácsa javaslatára az intézet nevét 1999. július 1-től „MTA Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet”-re módosítja. 2019. szeptember 1-től 2023. augusztus 31-ig az Eötvös Loránd Kutatási Hálózat kutatóintézeteként, 2023. szeptember 1-től a Magyar Kutatási Hálózat (HUN-REN) kutatóintézeteként folytatja kutatási tevékenységét.
Először a Műegyetem központi épületének első emeletén négy szobában, később a Sztálin (ma Andrássy) út 31-ben, illetve a Zichy Jenő u. 4-ben volt az intézet székhelye. 1958 végétől kapta meg a mostani épületet, eleinte „társbérletben” másokkal (pl. az Ebtenyésztők Egyesületével, akiknek egykori alagsori szobájából lett később a „kutyás terem”-ként emlegetett szemináriumi előadó).
Egykor a Ferencesek utcájának nevezték, mert a Ferenciek terén ma is álló ferences templom kolostorához tartozó kert mellett vonult végig, mely a XVIII. század végén II. József rendeletére az egyetem füvészkertjévé alakult át. A Szépítő Bizottmány kezdeményezésére a füvészkertet 1814-ben a városfalon kívülre, az ELTE későbbi természettudományi karának (a mai bölcsészkar) telkére helyezték át. Ekkor nyitották a Szép utcát, melynek két nevezetesebb épülete a Horváth-ház a mai Kossuth Lajos utcában, s a volt Almásy-, majd Szapáry-palota a mai Reáltanoda utca sarkán. Mindkettőt Pollack Mihály tervezte 1816-ban illetve 1817-ben. Az utca mai nevét Pest első reáliskolájáról, a mai Eötvös Gimnáziumról kapta, melyet a város 1855-ben építtetett Hild Józseffel. A keskeny belvárosi utca neve 1874 óta Reáltanoda utca.
(Forrás: Műemlék lakóházak (Az Egri Nyári Egyetem előadásai 1994 Eger, 1994) KEMÉNY MÁRIA: Egy múlt századi polgárház kialakulása majd átépítése a századfordulón (Budapest, Reáltanoda u. 13—15.) )
A Reáltanoda utca 13-15. kétemeletes, hattengelyes épület, kis belső udvarral. Kapuja nyugat felől a második tengelyen helyezkedik el, dekoratív lépcsőháza szerves egésszé formálja az épület belső tereit.
A mai épület 1887-re alakult ki a szomszédos telkekre épült két házból. Báró Redl Béla 1868-ban vásárolta meg a Reáltanoda u. 13-as számú telket, ugyanebben az évben engedélyt kapott egyemeletes palotája építtetésére. Nem tudni, mikorra épült fel, az viszont biztos, hogy 1873-ban már állt az épület. 1886-ban Redl Béla huszárhadnagy megvette a Reáltanoda u. 15. számú telket is Willasin Károlytól, avval a szándékkal, hogy kibővítse a palotáját, s már 1886-ban építési engedélyt kért a két ház és telek egyesítésére és a szomszéd ház átalakítására, azon új utcai front kialakítására. Az udvar felőli részen csak kisebb átalakításokat tervezett. Ő maga írja a kérelemben, hogy homlokzatot úgy kell felépíteni, hogy annak „építészete a régi 13 szám alatt lévő házaméval egyenlő" legyen. Az 1886-os tervet Redl 1887 tavaszán két alkalommal is módosította. Nem sokkal a munkálatok megkezdése után az udvari épületszárnyat, melyet csak bővíteni akart, teljes egészében le kellett bontatnia, mivel az vályogtéglából épült, s alapozása sem volt ahhoz megfelelő, hogy a későbbiekben emeletet húzhasson rá. A második módosítási kérelemben engedélyt kér arra, hogy a két telek között fekvő udvari szárnyakat teljes egészében elhagyja, s az egyesített telek keleti határán egyemeletes szárnyépületet húzzon fel, az emeleten közlekedő folyosóval. Indoklásában ez áll: „…azon meggyőződésre jutottam, hogy ... engedélyezett tervem szerint házam belül mindig csak mint összeékelt két kis ház mutatkozna és egy nagyobb rendezett világos udvar helyett két kis szűk udvar maradna, melyek később, ha szomszédaim magasabbra építkeznének nekem a kellő világosságot és levegőt nem nyújtanának."
Mivel sem a tervek, sem az építési engedélyek nem maradtak fenn, így csak az eredeti kérelem szövegéből tudunk következtetni az építés történetére. Valószínűleg egy háromtengelyes házat húztak fel 1868-ban a Reáltanoda utca 13-as telkekre, közepén a kapuval. Sajnos nincs olyan dokumentum, ami segíthetne, hogyan képzeljük el az udvari szárny elhelyezkedését. Az utcára néző szárnyon három új tengelyt alakítottak ki, megismételve a 13-as ház szerkezetét. A 15-ös háznak a két telek határán levő szárnyát lebontották, hogy a nagyobb, ma is látható udvart létrehozzák. Arra sincs semmilyen adat, hogy vajon a teljes külső átalakítás elkészült-e 1887-ben, vagy csak később. Mindenesetre létrejött egy hattengelyes, egyemeletes ház, a kibővített utcai szárnyon kívül biztosan tudjuk, hogy felépült egy egyemeletes keresztszárny a telek keleti határán, s feltételezzük, hogy a nyugati oldalon is lehetett egy keresztszárny, tehát U alakú, még nem körülépített beépítést tartunk valószínűnek. Ami a homlokzatot illeti, egészen jelentéktelen díszítőmotívumoktól eltekintve megismételték az eredeti három tengely architektúráját, a kaput keretelő motívummal együtt.
Az 1886-87-es építkezés felelős építőmestere Wagner János volt. Feltehetőleg Hauszmann Alajosnak, aki kézzel írott életrajzában ezt említi, (vagy a korabeli terveknek) tulajdonítható az építészettörténeti szakirodalom általánosan elfogadott állítása, mely szerint a házat Theofil Hansen bécsi vezető építész tervezte volna. Erre azonban nincs bizonyíték. Ha megerősítést nyerne az a feltételezés, hogy az épület két fázisban keletkezett, úgy valószínűsíthető, hogy a háromtengelyes épület tervezője Hansen, míg az átalakítások és a homlokzati architektúra adaptálása 1886-87-ben Wagner János tervezésében és megvalósításában jött létre. (Egyébként 1868-ban Wagner tervezte és építette az újpesti lóvasút végállomásánál álló érdekes romantikus vendéglőt, illetve az egyetem természettudományi karának vegytani épületét.)
Báró Redl Béla halála után 1907-ben unokaöccse, Hammerstein Richárd örökli a palotát, aki építési engedélyt kér a második emelet kiépítésére, de az építkezés előtt eladja azt a Magyar Mérnök és Építész Egyletnek. Hauszmann Alajos, az Egylet akkori elnöke a palota megvásárlásakor visszatekint az Egylet korábbi helyiségeinek történetére, s különös szerencsének tekinti, hogy akkor, amikor már, ,a belvárosban vagy annak közvetlen környezetében nem lehetett sem alkalmas bérhelyiséget sem házat vagy megfelelő telket találni, melyre az egyesületi ház felépíthető lett volna ... néhai báró Rédl Reáltanoda utcai palotája vált eladóvá — és rögtön kaptam az alkalmon — mert e házat... fekvésénél és méreténél fogva némi átalakítás és egy második emelet felépítése után Egyesületünk céljaira mindenképpen alkalmasnak találtam..."
Az Egylet székházát maga Hauszmann tervezi. Bár Hauszmann — talán éppen Hansen iránti tiszteletből — változatlanul meghagyja az alsó szintek homlokzatát, s a második emeleten maga is ikerablakokat alkalmaz, a belső tereket szabadon alakítja, s arra törekszik, hogy mint írja „házunknak bizonyos előkelőséget adjunk, hogy azt kellő kényelemmel és tagjaink társadalmi állásához méltóan felszerelhessük". A belsőben reprezentatív közlekedőtereket, társalgókat, s egy két szintet átfogó előadótermet alakít ki, az enteriőrök díszítése ingadozik a historizmus és a szecesszió motívumai között.
A Reáltanoda utca 13-15. egészen 1946-ig volt a Magyar Mérnök és Építész Egylet székháza.1946-tól egy ideig népi kollégium működött az épületben, majd a MTESZ székházaként funkcionált. Amikor 1958-ban a Magyar Tudományos Akadémia Matematikai Kutatóintézete költözik az épületbe, lényegében a Hauszmann-féle átalakításoknak megfelelő állapotban van.
(Forrás: Műemlék lakóházak (Az Egri Nyári Egyetem előadásai 1994 Eger, 1994) KEMÉNY MÁRIA: Egy múlt századi polgárház kialakulása majd átépítése a századfordulón (Budapest, Reáltanoda u. 13—15.) )
Az épületet 2000-től 2017-ig többször is átalakították: folyósóit, teljes tetőterét beépítették, liftet helyeztek el benne. A teljes felújítás 2018-ban fejeződött be.
