Pajor-Gyulai Zsolt (BME MI):
A kétrészecskés Lorentz folyamat modellezése belső állapotú bolyongással
A Lorentz folyamat egy régóta vizsgált problémája a dinamikai rendszerek
témakörének. Ez egy egyszerű konstrukció, melynek viselkedését különböző
technikákkal próbálták leírni, ezek közül egy a Markov felbontás. Ennek
kapcsán vezette be Yakov Sinai a belső állapotú bolyongást (angol nevén
Random Walk with Internal Degrees of Freedom-RWwIDS) 1981-ben, ötlete
szerint a felbontás elemei a bolyongáshoz tartozó belső állapotok voltak.
A belső állapotú bolyongás a közönséges bolyongás általánosítása, a
folyamat kiegészül egy belső szabadsági fokkal, amelytől a lépések
eloszlása nagyban függ. A kezelhetőség szempontjából fontos kikötés a
térbeli transzlációs invariancia, mivel ennek következményeként a belső
állapotok Markov-láncot alkotnak. Erre a konstrukcióra ismeretes lokális
határeloszlástétel.
Jelen dolgozat a következő rendszert fogja vizsgálni. Adott a síkban két
Lorentz részecske, melyek a periódikus szórótestek által definiált
cellákban vándorolnak különböző energiákkal (sebességekkel). Ha a két
részecske egy cellába kerül, akkor ott ütközés, ezáltal energiacsere
lehetséges a klasszikus mechanika törvényei szerint.
Ha azonosítjuk a bolyongó részecske sebességének valamilyen rögzített
tengellyel bezárt szögét a belső állapotokkal, akkor adja magát az
analógia. A feladat megkívánja, hogy folytonos idejű modellt használjunk,
ehhez összetett Poisson folyamatot csinálunk a diszkrét bolyongásból. Az
energiacsere leírására a klasszikus kemény golyó modellt használjuk. Mivel
a két részecske találkozása rendkívül ritka esemény, ezért alkalmazzuk a
szokásos molekuláris káoszfeltevést, azaz jelen esetben a belső állapotok
stacionárius eloszlása egyenletes, az átmenetmagot elég ezen feltétel
mellett megadni.
Fontos részét képezi a vizsgálatnak a szokásos felújítási elmélet
általánosítása arra az esetre, amikor a folyamat csak egy paramétertől
eltekintve tér vissza a kiindulási állapotába. Jelen esetben a
visszatérési idők fognak függeni a részecskék energiáitól, mint
paramétertől, továbbá ezek várható értéke végtelen. Ennek következménye,
hogy a maximális kirándulás dominálja a folyamatot, amiből adódik, hogy a
határeloszlás a különböző energiák esetén érvényes határeloszlások
keveréke valamilyen súlyfüggvénnyel.
Lényeges felhasznált irodalom (az alapvető valószínűségszámítási irodalom
mellett):
1.Krámli-Szász: Random Walks with integral degrees of freedom, Zeitschrift
für Wahrscheinlichketistheorie verw. Gebiete, 63, 85-95 (1983)
2.Heusler-Mason: On the Asymptotic Behaviour of Sums of Order Statistics
from a Distribution with a Slowly varying upper tail, 355-375