Nándori Péter (BME MI):
Belső állapotú bolyongások
A belső állapotú bolyongást, mint modellt, (továbbiakban RWwIS, a Random
Walk with Internal States angol elnevezés rövidítéséből) Sinai definiálta
1981-ben. Eredeti célja az volt, hogy a matematikailag nehezebben
kezelhető Lorentz folyamatot közelíthetővé tegye RWwIS-ek segítségével (a
belső állapotok a Markov felbontás elemei!). Kiderült, hogy a RWwIS
önmagában is érdekes, sőt, más alkalmazásai is találhatók, például
sorbanállási rendszerek vizsgálatánál.
A modell az egyszerű szimmetrikus véletlen bolyongás általánosítása. RWwIS
esetén a d dimenziós kockarácson bolyongó részecske egyes lépései
általában nem függetlenek egymástól, hanem a belső állapotok Markov láncán
keresztül összefüggnek. Ezáltal a jelenségek szélesebb köre vizsgálható,
viszont természetesen a vizsgálati módszerek is nehezebbekké válnak.
Ennek az előadásnak fő célja, hogy a Dvoretzky - Erdős klasszikus, a
közönséges bolyongásokra vonatkozó cikkében található, a meglátogatott
pontok számára vonatkozó tételek RWwIS-re történő általánosítását
bemutassa. Első eredményünk szerint magas dimenzió esetén (d > 2) az n
ideig meglátogatott pontok számának várható értéke, ahogy azt a klasszikus
esetre vonatkozó Pólya tétel is sugallja, sok, azaz n-ben lineáris. Az
érdekes eset a két dimenzió. Második eredményünk szerint ekkor ez az érték
aszimptotikusan c*n/(logn) - ahogy a Dvoretzky - Erdős cikkben is -
azonban c függ a konkrét RWwIS paramétereitől. Ezeken az eredményeken
kívül becslést adunk az n ideig meglátogatott pontok számának
szórásnégyzetére is, ami által bizonyítani tudunk nagy számok gyenge,
illetve erős törvényét. Az előadásban érintünk olyan kérdéseket is,
amelyek nem értelmesek egyszerű szimmetrikus véletlen bolyongásra, viszont
Lorentz folyamatra és RWwIS-re igen.