A matematika egyes ágai mind nyelvezetükben, mind módszereikben annyira el tudnak térni egymástól, hogy gyakran bármilyen kapcsolat két ág között valószerűtlennek tűnik. Néha azonban kiderül, hogy két távolinak tűnő dolog között igen csak mély és szoros kapcsolat húzódik - gondoljunk csak a komplex analízis témakörébe tartozó Riemann féle zeta-függvény és a prímszámok eloszlása között talált összefüggésre. Az ilyen fölismerések általában mindkét terület számára gyümölcsözők, és gyakran ugrásszerű fejlődéssel járnak.
A vertex operátor algebra egy tisztán algebrai struktúra, melynek bevezetéséhez konform kvantum térelméletek úgynevezett királis komponenseinek a vizsgálata adta a motivációt. (Igen sok matematikai eszköz és fogalom "fizikai ihletésű"; ilyen például az integrál- és differenciálszámítás is, amit a newtoni mechanika hívott életre.) Hamar kiderült azonban, hogy vertex operátorokat nem csak a kvantum térelméletekben lehet fölhasználni. R. Borcherds a Moonshine vertex operátor algebra segítségével tisztázott egy (mindaddig) misztikusnak tűnő kapcsolatot, mely a Monster csoport irreducibilis ábrázolásai és a j-függvény (egy bizonyos moduláris invariáns komplex analitikus függvény) között mutatkozott. (Ezért ő 1998 -ban Fields medált kapott.)
A Neumann algebrák (bár nevükben ők is tartalmazzák az algebra szót..) alapvetően a funkcionálanalízis témakörébe tartoznak. A funkcionálanalízis egy igen jelentős részének a születése viszont szintén a kvantumfizikához kötődik. A fejlődés az operátor algebrák (C*, illetve Neumann algebrák) témakörében sok esetben kéz a kézben megy a kvantum térelméletekben zajló kutatásokkal, lásd bővebben például R. Haag [H] könyvét.
A Haag-Kastler féle leírás a kvantum térelméleteket Neumann algebrák hálói segítségével tárgyalja. Első látásra, egy királis konform kvantum térelméletben szereplő vertex operátor algebrának és Neumann algebra hálónak nem túl sok köze van egymáshoz. Nyelvezetét tekintve az egyik algebra, a másik funkcionálanalízis. Azonban - bár eltérő módon - de végül is mindkettő ugyanarról a fizikai modellről "szól". Ugyanazt tárgyalják tehát, csak az első ezt egy valamilyen értelemben vett differenciális alakban, míg a második integrál alakban teszi.
Vannak olyan dolgok, amelyek számolása a vertex operátor segítségével egyszerűbb, de vannak olyanok is, melynek tárgyalásához a Neumann algebra hálók nyújtják a megfelelőbb környezetet. Például az orbifold modellek racionalitásának a kérdése a vertex operátor algebrák témakörében az egyik fő kutatási kérdés, míg a Haag-Kastler leírásban ez már tisztázódott; lásd [Xu00]. Ha értenénk, hogyan kell az egyik leírásból a másikba váltani, tetszőleges meglévő eredményt innen oda át tudnánk vinni, illetve további kérdések esetén, a két leírás között váltogatva, mindkettő előnyeit kihasználva tudnánk választ találni.
Pillanatnyilag azonban ez még nem lehetséges. A fentebb már egyszer említett Moonshine vertex operátor algebrának például létezik egy Neumann algebra hálós "változata" is. De a priori az korántsem egyértelmű, hogy vajon ennek a szimmetria csoportja is ugyanaz: nevezetesen a Monster csoport. Ebben a konkrét esetben egy ad hoc gondolatmenet segítségével (melynek megtalálásához én is hozzájárultam egy észrevétellel; lásd [KL06] köszönetnyilvánítását) ezt sikerült belátni. De vajon így van -e ez mindíg, vagy ez csak a Moonshine illetve néhány más modell esetén teljesül? Igaz -e általában, hogy:
Az utóbbi évtizedben szorosabb együttműködés kezdődött a két téma szakértői között. 2005 -ben a bécsi Erwin Schrődinger Intézetben egy alapvetően vertex operátor algebrákról szóló nyári iskolán (melynek szervezői között a téma olyan híres szakértői is szerepeltek, mint Edward Frenkel és Victor Kac) már külön kurzus foglalkozott a Neumann algebrai megközelítéssel. 2006 -ban a kanadai Banff -ban a két téma oldaláról négy-négy kutató (köztük Vicor Kac és Roberto Longo az egyik illetve másik oldalról) jött össze, hogy az eltérő nyelvezet és előismeret ellenére megpróbálják egymást megérteni és a kapcsolat föltárásán együtt dolgozni. Mindkét említett eseményen részt vettem (előadást is tartva; lásd bővebben az életrajzban).
Doktori éveim alatt leginkább Neumann algebra hálókkal foglalkoztam. Részint továbbra is foglalkozni akarok (tisztán) Neumann algebra hálókkal kapcsolatos kérdésekkel, részint viszont egyre jobban érdekel a Neumann algebra hálók és vertex operátorok közötti kapcsolat föltárására vonatkozó megkezdett kutatás. A (vég)cél az előbbiekben föltett kérdések megválaszolása. A teljesség igénye nélkül most fölsorolok néhány (kisebb) kutatási lépést, amelyet megtéve szeretnék a cél felé haladni.
A kilencvenes közepére a királis konform esetben megjelenő Neumann algebra hálók vizsgálata, olyan eszközöket használva, mint a Jones-index illetve a Neumann algebrák moduláris elmélete, jó pár alapvető strukturális kérdést (Haag-dualitás, Bisognano-Wichmann tulajdonság, teljes racionalitás) tisztázott; lásd pl. [FG,GL,KLM]. Ezek az eredmények tipikusan nem használnak teljes konform kovarianciát (csak Möbius kovarianciát). A teljes konform csoport használatára épülő eredmények viszonylag frissek, ilyen például a [KL] -ben szereplő (a centrális töltés c<1 esetére vonatkozó) klasszifikáció, a [We06]-ben közölt eredményem, mely szerint a teljes konform kovariancia következményeképpen, az energia pozitívitása minden töltött szektorban automatikusan teljesül.
A teljes konform kovariancia kihasználása részletes ismereteket követel a a Diff+(S1) csoport pozitív energiás ábrázolásairól, illetve a Virasoro modellről. Ezek egy része korábban hiányzott, és bár ezen ismereteink továbbra is fejlődés alatt vannak (például publikációim között [W06] és [W07] is alapvetően ezzel foglalkoznak); mégis, ezekkel kapcsolatos ismereteink ma már majdnem teljesnek mondhatók. Ezért én két alapvető strukturális kérdés tárgyalására is visszatérnék, melyeknek korábbi (csak Möbius kovariancát használó) vizsgálata nem hozott kielégítő eredményt.
Ahogy az a leírás alatt álló [CKLW] munkából kiderül, a fordított irányhoz, nevezetesen, a vertex operátorokból a Neumann algebra hálók fele való átmenet tárgyalásához, megkerülhetetlen a vertex operátorok energia-korlátosságának a vizsgálata. Ebben a kérdésben, néhány példa (konkrétan: a Virasoro és a U(1)-current modell) vizsgálata során a következő egyszerű sejtés megtételére jutottam: ha X konform dimenziója d, ahol d>1, akkor az X0 vertex operátor felülről becsülhető egy konstansszor a konform Hamilton operátor H=L0 -nak a (d-1) -edik hatványával. Terveim között szerepel ennek a hipotézisnek a közvetlen számolással történő igazolása néhány olyan további (pl. SU(N)k, vagy W vertex operátor algebrák) esetben, illetve végül a hipotézis bizonyítása.