Doktori éveimtől kezdve kutatási tevékenységem alapvetően az operátor algebrák témakörében mozgott. Bár a kutatás tisztán matematikai jellegű, annak motivációja szinte mindíg a fizikából, pontosabban a kvantum fizikából ered. (Magam is, jólehet matematikából doktoráltam, eredetileg fizikusként végeztem egyetemet; lásd bővebben az életrajzban.)
Itthoni, pillanatnyilag megkezdett újabb kutatásaim ismertetése elött elöször vázolom korábbi külföldi tevékenységem (cf. életrajz), mely elsősorban a Haag-Kastler féle operátor algebra hálókkal kapcsolatos (melyhez az egyik legjobb bevezető Haag [H] könyve). Ezek a (rendszerint III1 -es típusú Neumann algebrákból álló) hálók a kvantum térelméletek matematikai leírásának egyik lehetséges nyelvezetét alkotják. Én leginkább a konform királis esettel foglalkoztam, illetve az ebben az esetben szereplő hálókkal. Ezek elméletében olyan dolgok fonódnak össze, mint a Neumann algebrák moduláris elmélete, a Jones-index és a végtelen dimenziós Lie csoportok ábrázolás-elmélete, lásd pl. [FG,GL,KLM], illetve olyanak is, amik - első látásra - az operátor algebráktól igen távol esnek: moduláris formák és vertex operátorok, lásd pl. [KL04,KL06]. Publikációim jelentős része (a teljes listát lásd az életrajzban), konkrétan [CW,W06] és [W07] (továbbá doktori disszertációm) ebben a kontextusban született, és például a Diff+(S1) csoport ábrázolás-elméletével kapcsolatban tartalmaz érdekes eredményeket. Ezekről az eredményekről olyan helyeken tartottam előadást, mint például Oberwolfach vagy a Tokyo -i egyetem; lásd bővebben az életrajzban.
Mintegy éve érdekel ezen Neumann algebra hálók és a vertex operátorok kapcsolata. A vertex operátor algebra egy tisztán algebrai struktúra, míg a Neumann algebrák (bár nevükben ők is tartalmazzák az algebra szót..) alapvetően a funkcionálanalízis témakörébe tartoznak. A kapcsolat létezésének magyarázata, hogy a vertex operátor algebrák bevezetése is a kvantumfizikához, konkréten konform kvantumtérelméletek királis komponenseihez kötődik. Tehát ezek a struktúrák "ugyanazt tárgyalják", csak más nyelvezetben. Intuitíve, egy Neumann algebra háló úgy viszonylik egy vertex operátor algebrához, mint egy Lie csoport egy Lie algebrához, csak annál sokkal kevésbé megértett módon. Bár akár meglévő klasszifikációs, akár más jellegű eredményeket összevetve a kapcsolat nyilvánvalónak (tűnik), valójában egyenlőre még a konkrét példákban sem mindíg az. Például a híres Moonshine vertex operátor algebrának létezik egy Neumann algebra hálós "megfelelője" is. De a priori az korántsem egyértelmű, hogy vajon ennek a szimmetria csoportja is ugyanaz: nevezetesen a Monster csoport. Ezt ebben a konkrét esetben sikerült belátni, de csak egy meglehetősen ad hoc gondolatmenet segítségével (melynek megtalálásához én is hozzájárultam egy észrevétellel; lásd [KL06] köszönetnyilvánítását).
Az utóbbi időben szorosabb együttműködés kezdődött a két téma szakértői között. 2006 -ban a kanadai Banff -ban a két téma oldaláról négy-négy kutató (köztük Vicor Kac és Roberto Longo az egyik illetve másik oldalról) jött össze, hogy az eltérő nyelvezet és előismeret ellenére megpróbálják megérteni egymást és föltárni a kapcsolatot. Az említett eseményen én is részt vettem (előadást is tartva; lásd bővebben az életrajzban). Pillanatnyilag leírás alatt áll a többekkel közös [CKLW] munkám, ami elöször tartalmaz a két struktúra közötti funktoriális összefüggésekkel kapcsolatos eredményeket.
Magyarországra hazatérve bekapcsolódtam egy Petz Dénes szervezte szeminárium sorozatba, annak aktív résztvevőjévé válva. Ennek kapcsán az operátor algebrák témákörében olyan újabb irányokban kezdtem kutatni, mint például a Neumann féle kvantum entrópia, illetve a kvantum Markov folyamatok (és állapotok). Az ezekkel kapcsolatos kérdések - a funkcionálanalízistől és operátor algebráktól szokatlan módon - már a véges dimenzós esetben sem triviálisak. Például a CAR-algebra a véges dimenziós esetben - mint algebra - izomorf egy teljes mátrix algebrával, és mint ilyen, "érdektelen". Azonban a CAR-algebra nem csak egy algebra, hanem valójában (a szabadsági fokok részhalmazai által indexelt) algebrák hálója, és mint ilyen, már a véges dimenziós esetben sem triviális. Az, hogy erre a rendszerre igaz a Neumann féle entrópia erős szubadditivitása, csak a közelmúltban [AM] vált bizonyítottá. De az már a véges dimenziós esetben is nyitott kérdés, hogy melyek azok az állapotok, amikben igaz az a Markov tulajdonság, hogy az entrópia erős szubadditivitásában szereplő egyenlőtlenség egyenlőségként teljesül.