Általános határeloszlástételek független valószínûségi változók összegeire és korlátlanul osztható eloszlások




Független valószínûségi változók normalizált részletösszegeinek illetve általánosabban minden sorukban föggetlen valószínûségi változókat tartalmazó szériasorozatok sorösszegeire vonatkozó határeloszlástételeket vizsgálunk. Három önálló, önmagában is olvasható részbõl áll ez az anyag. Ezt a témát az e homepage-n szereplõ többi témától eltérõen nem feladatsor formájában dolgoztam fel.

Az elsõ rész bevezetõ jellegû. Ez tartalmazza a kérdések természetes megfogalmazását és kapcsolatát néhány klasszikus eredménnyel. Megmutatom, hogyan lehet a korlátlanul osztható eloszlásokat és korlátlanul osztható folyamatokat természetes módon megkonstruálni Poisson folyamatok segítségével, és mi ennek a reprezentációnak a kapcsolata az általában analitikus érvelés segítségével bizonyított Lévy--Hincsin formulával. Az elsõ rész Appendix-e tartalmaz néhány további eredményt Poisson folyamatok egyszerû konstrukciójáról, egy a Poisson eloszláshoz való határeloszlástételrõl, sima trajektóriájú korlátlanul osztható folyamatok konstrukciójáról.

A második rész tartalmazza annak szükséges és elégséges feltételét, hogy minden sorában független valószínûségi változókat tartalmazó és az egyenletes kicsiséget teljesítõ szériasorozat sorösszegeinek legyen határeloszlásuk, és leírjuk a határeloszlást is. Az ismertetés tartalmazza az eredmény részletes tárgyalását, a feltételek szemléletes tartalmát és a bizonyítások mögötti gondolatok kifejtését. Példát mutatunk arra, hogyan következik az adott eredményekbõl néhány olyan klaszikus eredmény mint például a centrális eloszlástétel szükséges és elégséges feltétele vagy a Lévy--Hincsin formula.

A harmadik rész a második részben bizonyított eredmény funkcionális határeloszlástétel változatát tartalmazza. Annak szükséges és elégséges feltétele, hogy az egyes soraiban független valószínûségi változókat tartalmazó szériasorozatok sorösszegeinek legyen határeloszlásuk olyan a számegyenesen megadott kanonikus mértékek segítségével adható meg, mely kanonikus mértékek az eloszlásfüggvények egyszerû transzformáltjaként definiálhatóak. A határeloszlás létezésének szükséges eacute;s elégéges feltétele az, hogy ezek a kanonikus mértékek konvergáljanak egy kanonikus mértékhez. E kanonikus mértékek segítségével természetes módon új kanonikus mértékeket definiálhatunk a sík azon sávján, mely azokból a pontokból áll, mely pontok második koordinátája a [0,1] intervallumban van. Ha nemcsak az eredeti, hanem az ezen a sávon definiált új kanonikus mértékek is konvergálnak, akkor a szérisorozat egy sorában levõ valószínûségi változókból természetes módon készített véletlen töröttvonalfüggvények eloszlásai gyengén konvergálnak a D([0,1]) térben egy explicit módon megadható független növekményû folyamathoz.

A második részben alkalmazott módszer a hagyományos analízis, a karakterisztikus függvények, azaz a Fourier analízis módszere, mely azon alapul, hogy eloszlások konvergenciája jól jellemezhetõ ezen elkoszlások Fourier transzformáltjainak a konvergenciájával. A harmadik rész vizsgálata valószínûségszámítási módszereken alapul. Azt használjuk ki, hogy ha valószínûségi változók egy sorozata eloszlásban konvergál, akkor e valószínûségi változók kis perturbációi is konvergálnak, és ugyanaz a határeloszlásuk mint az eredeti valószínûségi változóknak.