<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\usepackage{amssymb,amsmath}
\usepackage{amsfonts}

\font\BBB=msbm10

\begin{document}

\begin{center}
\Large\bf PĂŠnzĂźgyi matematika 
\end{center}

\medskip\noindent
Ebben az \'irĂĄsban ismertetem a pĂŠnzĂźgyi matematika elĹadĂĄsban 
hasznĂĄlt legfontosabb fogalmakat ĂŠs eredmĂŠnyeket.  A disz\-krĂŠt 
idejĹą pĂŠnzĂźgyi fo\-lya\-ma\-tok\-ban szereplĹ fogalmak ĂŠs eredmĂŠnyek 
is\-mer\-te\-tĂŠ\-sĂŠ\-re fogok koncentrĂĄlni, mert ezzel nem 
talĂĄlkoztak a hallgatĂłk korĂĄbbi ta\-nul\-mĂĄ\-nyaik sorĂĄn. MĂĄsrĂŠszt ezek 
ismerete hasznos akkor is, ha a folytonos idejĹą pĂŠnzĂźgyi matematika 
eredmĂŠnyeivel ismerkednek. Az ismertetĂŠs alap\-jĂĄ\-ul GĂĄll JĂłzsef 
ĂŠs Pap Gyula ``BevezetĂŠs a pĂŠnzĂźgyi matematikĂĄba'' c\'imĹą kĂśny\-vĂŠ\-nek 
III. Op\-ciĂł\-el\-mĂŠ\-let c\'imĹą fejezete szolgĂĄl. A diszkrĂŠt idejĹą
pĂŠnzĂźgyi fogalmak ismertetĂŠse utĂĄn tĂĄrgyalom ezen fogalmak folytonos
idejĹą meg\-fe\-le\-lĹ\-jĂŠt is. Az utĂłbbi fogalmak tĂĄrgyalĂĄsa Kevei PĂŠter 
``PĂŠnzĂźgyi folyamatok folytonos idĹben'' c\'imĹą jegyzetĂŠhez kapcsolĂłdik.

Az elsĹ ismertetendĹ fogalmak a kĂśtvĂŠny, a rĂŠszvĂŠny, a stratĂŠgia,
ezen belĂźl az Ăśnfinansz\'irozĂł stratĂŠgia fogalma. A diszkrĂŠt idejĹą 
piacon bizonyos $0=t_0&lt;t_1&lt;\cdots&lt;t_N=T$ idĹpontokban tĂśrtĂŠnik 
ĂźzletkĂśtĂŠs, ahol $N$ egy rĂśgz\'itett vĂŠges szĂĄm. ModellĂźnkben 
szerepelnek kĂśtvĂŠnyek, amelyeknek az ĂŠrtĂŠke a $t_n$ idĹpontban 
$B_n$, ĂŠs rĂŠszvĂŠnyek, amelyek ĂŠrtĂŠke a $t_n$ idĹpontban $S_n$, 
$0\le n\le N$.  A kĂśtvĂŠnyek ĂŠs rĂŠszvĂŠnyek kĂśzĂśtt az a kĂźlĂśnbsĂŠg, 
hogy a kĂśtvĂŠnyek ĂĄra determinisztikusan, m\'ig a rĂŠszvĂŠnyek ĂĄra 
vĂŠletlenszerĹąen vĂĄltozik. Igy a kĂśtvĂŠny ĂĄra a $t_0=0$ idĹpontban 
$B_0$, m\'ig a $t_n$, $1\le n\le N$, idĹpontban a $B_n=(1+r_n)B_{n-1}$ 
kĂŠplet adja meg a kĂśtvĂŠny ĂŠrtĂŠkĂŠt. Az elĹzĹ kĂŠpletekben szereplĹ 
a $B_0$ ĂŠs $r_n$, $1\le n\le N$, szĂĄmok ismertek, ĂŠs nem fĂźggnek 
a vĂŠletlentĹl. A rĂŠszvĂŠnyek $S_n$ ĂŠrtĂŠke a $t_n$, $0\le n\le N$, 
idĹpontban a vĂŠletlentĹl fĂźgg. Pontosabban fogalmazva, 
van egy  $(\Omega,{\cal F},P)$ valĂłsz\'inĹąsĂŠgi mezĹ, azon 
$\sigma$-algebrĂĄk nĂśvekvĹ  
${\cal F}_0\subset{\cal F}_1\subset\cdots\subset{\cal F}_N$
sorozata, (amit a jegyzet filtrĂĄciĂłnak nevez) Ăşgy, hogy $S_n$ 
${\cal F}_n$ mĂŠrhetĹ minden $0\le n\le N$ indexre. A $t_n$  
idĹpontban $\beta_n$ darab kĂśtvĂŠnyĂźnk ĂŠs $\gamma_n$ darab 
rĂŠszvĂŠnyĂźnk van. Ezek ĂśsszĂŠrtĂŠke $X_n=\beta_nB_n+\gamma_nS_n$. A $\beta_n$ 
ĂŠs $\gamma_n$ szĂĄmok lehetnek negat\'ivak ĂŠs nem egĂŠsz ĂŠrtĂŠkĹąek is.
Viszont mind a kĂśtvĂŠnyek $B_n$  mind a rĂŠszvĂŠnyek $S_n$ ĂĄra nem 
negat\'iv, sĹt $B_n&gt;0$, ĂŠs $S_n$ nem lehet azonosan nulla. Ez 
speciĂĄlisan azt jelenti, hogy a rĂŠszvĂŠny vĂŠletlentĹl nem fĂźggĹ 
nulla idĹpontbeli $S_0$ ĂŠrtĂŠkĂŠre $S_0&gt;0$.

A stratĂŠgia azt jelenti, hogy minden $t_n$, $0\le n&lt;N$, idĹpontban 
bizonyos szĂĄmĂş kĂśtvĂŠnyt ĂŠs rĂŠszvĂŠnyt veszĂźnk vagy eladunk. Ha a $t_{n-1}$
idĹpontban $\pi_{n-1}=(\beta_{n-1},\gamma_{n-1})$ kĂśtvĂŠny-rĂŠszvĂŠny
csomagunk volt, akkor a $t_{n-1}$ idĹ\-pont\-ban tĂśrtĂŠnt vĂŠtelek ĂŠs vĂĄsĂĄrlĂĄsok
hatĂĄsĂĄra a $t_n$ idĹ\-pont\-ban $\pi_n=(\beta_n,\gamma_n)$ lesz a 
kĂśtvĂŠny-rĂŠszvĂŠny csomagunk. Az, hogy mennyi kĂśtvĂŠnyt ĂŠs rĂŠszvĂŠnyt veszĂźnk, 
az fĂźgghet a vĂŠletlentĹl, de amikor a $t_{n-1}$ idĹpontban a vĂŠtelek ĂŠs
vĂĄsĂĄrlĂĄsok ĂĄltal eldĂśntjĂźk hogy mi legyen a $\pi_n=(\beta_n,\gamma_n)$ 
kĂśtvĂŠny-rĂŠszvĂŠny csomagunk a $t_n$ idĹpontban, akkor csak a $t_{n-1}$ 
idĹpontban rendelkezĂŠsĂźnkre ĂĄllĂł informĂĄciĂłra tĂĄmaszkodhatunk. Ez formĂĄlisan
azt jelenti, hogy $\beta_n$ ĂŠs $\gamma_n$ ${\cal F}_{n-1}$ mĂŠrhetĹ
valĂłsz\'inĹąsĂŠgi vĂĄltozĂłk minden $1\le n\le N$ indexre. Ezen k\'ivĹąl 
feltesszĂźk azt is, hogy ${\cal F}_0$ a triviĂĄlis $\sigma$-algebra, 
azaz ${\cal F}_0=\{\emptyset,\Omega\}$, ĂŠs $\beta_0$ ĂŠs $\gamma_0$ 
${\cal F}_0$ mĂŠrhetĹ valĂłsz\'inĹąsĂŠgi vĂĄltozĂłk, ezĂŠrt a vĂŠletlentĹl 
nem fĂźggĹ szĂĄmok. Egy a fenti tulajdonsĂĄgokat teljesitĹ $\beta_n$ 
ĂŠs $\gamma_n$ vĂŠletlen 
szĂĄmokat tartalmazĂł $\pi_n=(\beta_n,\gamma_n)$, $0\le n\le N$, sorozatot
nevezĂźnk stratĂŠgiĂĄnak. Akkor mondjuk, hogy egy stratĂŠgia 
Ăśnfinansz\'irozĂł, ha annak alkalmazĂĄsa sorĂĄn kĂślcsĂśnt
sem nem veszĂźnk, sem nem adunk, pontosan akkora Ăśsszeget ford\'itunk 
rĂŠszvĂŠnyek vĂŠtelĂŠre, amekkora Ăśsszeget a kĂśtvĂŠnyek eladĂĄsĂĄval nyer\-tĂźnk. 
KĂŠpletben kifejezve
$$
\beta_{n-1}B_{n-1}+\gamma_{n-1}S_{n-1}=\beta_nB_{n-1}+\gamma_nS_{n-1}, 
\quad 1\le n\le N. 
$$

A GĂĄll JĂłzsef, Pap Gyula kĂśnyv olyan pĂŠnzĂźgyi modelleket vizsgĂĄl, 
amelyek teljes\'itenek nĂŠhĂĄny olyan tovĂĄbbi feltĂŠtelt, amelyek 
egyszerĹąs\'itik a te\-kin\-tett pĂŠnzĂźgyi problĂŠmĂĄk vizsgĂĄlatĂĄt. A 
leglĂŠnyegesebb feltĂŠtel az, hogy a rĂŠsz\-vĂŠ\-nyek $S_n$ ĂĄra a $t_n$ 
idĹpontban csak vĂŠges sok ĂŠrtĂŠket vehet fel. Ezt felhasznĂĄlva a
szerzĹk csinĂĄlnak egy olyan egyszerĹą valĂłsz\'inĹąsĂŠgi modellt az 
ĂĄltaluk vizsgĂĄlt pĂŠnzĂźgyi folyamatokra, amelyek kĂśnnyebbĂŠ teszik 
a prob\-lĂŠ\-mĂĄk vizsgĂĄlatĂĄt. Az az $(\Omega,{\cal F},P)$ valĂłsz\'inĹąsĂŠgi
mezĹ, amellyel dolgoznak, egy vĂŠges $\Omega$ halmazon van definiĂĄlva,
amelynek elemei azok az $(s_0,s_1,\dots,s_N)$ sorozatok, amelyekre
igaz, hogy $P(S_0=s_0,S_1=s_1,\dots,S_N=s_n)&gt;0$. Az ${\cal F}$ 
$\sigma$-algebra az $\Omega$ halmaz Ăśsszes rĂŠszhalmazaibĂłl ĂĄll,
a rĂŠszvĂŠnyek $S_n$ ĂĄra a $t_n$ idĹpontban ĂŠs az 
$\omega=(s_0,s_1,\dots,s_N)$ pontban $S_n(\omega)=s_n$,
ĂŠs a $P$ valĂłszinĹąsĂŠgi mĂŠrtĂŠket a
$$
P(\{(s_0,s_1,\dots,s_N)\})=P(S_0=s_0,S_1=s_1,\dots,S_N=s_N)
$$
kĂŠplet definiĂĄlja. Az ${\cal F}_n$ $\sigma$-algebra  
a legszĹąkebb olyan $\sigma$-algebra, amely\-re az $S_0,\dots,S_n$ 
valĂłsz\'inĹąsĂŠgi vĂĄltozĂłk mĂŠrhetĹek, azaz ez a $\sigma$-algebra 
megadja minden $\omega=(s_0,s_1,\dots,s_N)$ elemi esemĂŠny 
$s_0,\dots,s_n$ koordinĂĄtĂĄinak az ĂŠr\-tĂŠ\-kĂŠt. Megjegyzem, hogy 
feltĂŠteleink szerint $s_0$ csak egyetlen ĂŠrtĂŠket vehet fel. 

Egy piacot Ăşgy definiĂĄlnak, hogy tekintik a fent konstruĂĄlt 
$(\Omega,{\cal F},P)$ valĂłsz\'inĹąsĂŠgi mezĹt a rajta definiĂĄlt 
$S_n$ valĂłsz\'inĹąsĂŠgi vĂĄltozĂłkkal ĂŠs ${\cal F}_n$ 
$\sigma$-algebrĂĄkkal, $0\le n\le N$, ahol $S_n$ a rĂŠszvĂŠnyek 
ĂĄrĂĄt jelĂśli a $t_n$ idĹpontban. Ahhoz, hogy a piac definiciĂłja 
teljes legyen definiĂĄlnunk kell mĂŠg a kĂśtvĂŠnyek $B_n$ ĂĄrĂĄt, 
ami egy $B_n$, $0\le n\le N$, sorozat megadĂĄsĂĄt jelenti.  
(Legyen $B_n=(1+r_n)B_{n-1}$ valamilyen ismert $r_n$, 
$1\le n\le N$ szĂĄmsorozattal.) 

Egy a fenti feltĂŠteleknek eleget tevĹ modellt a kĂśnyv $N$ lĂŠpĂŠses 
diszkrĂŠt idejĹą piacnak nevez, ĂŠs Ăşgy jelĂśli, hogy d.i.-$(B,S)_N$. 
Mi is ĂĄtvesszĂźk ezt a jelĂślĂŠsrendszert. Itt  d.i. a diszkrĂŠt idejĹą
kifejezĂŠs rĂśvid\'itĂŠse,  $N$ a lĂŠpĂŠsszĂĄmot $B=(B_1,\dots,B_N)$ ĂŠs  
$S=(S_1,\dots,S_N)$  a kĂśtvĂŠny illetve rĂŠszvĂŠny ĂĄrfolyamot jelĂśli.

EzutĂĄn a
$\pi=(\pi_1,\dots,\pi_N)$, $\pi_n=(\beta_n,\gamma_n)$, $0\le n\le N$, 
stratĂŠgiĂĄt, illetve Ĺnfinansz\'irozĂł stratĂŠgiĂĄt egy d.i.-$(B,S)_N$ 
piacon a korĂĄbban megadott mĂłdon definiĂĄljuk, ĂŠs vagyonunk ĂŠrtĂŠke 
a $t_n$ idĹpontban $X_n=\beta_nB_n+\gamma_nS_n$. A kĂśnyv az $X^\pi_n$ 
jelĂślĂŠst hasznĂĄlja vagyonunk  $t_n$ idĹpontbeli $X_n$ ĂŠrtĂŠkĂŠre, ha 
a $\pi=(\pi_0,\pi_1,\dots,\pi_N)$, $\pi_n=(\beta_n,\gamma_n)$, 
$0\le n\le N$, stratĂŠgiĂĄt alkalmazzuk.

FelidĂŠzek mĂŠg egy eredmĂŠnyt a GĂĄll--Pap kĂśnyvbĹl az Ăśnfinansz\'irozĂł
piac jellemzĂŠsĂŠrĹl. Ez egy nem tĂşl nehezen bizony\'ithatĂł, de hasznos
ĂĄll\'itĂĄs, ĂŠs a  kĂśnyv tĂśbb olyan bizony\'itĂĄsĂĄban, ahol Ăśnfinansz\'irozĂł
piacokkal dolgoznak hasznĂĄljĂĄk ezt az eredmĂŠnyt.

Ezen eredmĂŠny megfogalmazĂĄsa ĂŠrdekĂŠben elĹszĂśr be kell vezetni a 
kĂśnyv 8.2.3. JelĂślĂŠsĂŠben definiĂĄlt differenciasorozatok fogalmĂĄt. 
Eszerint, ha adott valĂłs szĂĄmok egy $a_n$, $n=0,1,2\dots,N$, sorozata, 
akkor ennek differencia sorozata a $\Delta a_n=a_n-a_{n-1} $, 
$n=1,2,\dots,N$, sorozat. Igaz a kĂśvetkezĹ eredmĂŠny.

\medskip\noindent
{\bf 8.2.7. Lemma.} {\it Egy d.i.-$(B,S)_N$ piacon az alĂĄbbi 
megĂĄllap\'itĂĄsok  equi\-va\-len\-sek egy $\pi$ stratĂŠgia esetĂŠn.

\medskip\noindent
(1) $\pi$ Ăśnfinansz\'irozĂł, azaz 
$X^\pi_{n-1}=\beta_nB_{n-1}+\gamma_nS_{n-1}$, \  ($n=1,\dots,N$),  

\medskip\noindent
(2) $\Delta X^\pi_n=\beta_n\Delta B_n+\gamma_n\Delta S_n$, \ ($n=1,\dots,N$),

\medskip\noindent
(3) $B_{n-1}\Delta\beta_n+S_{n-1}\Delta\gamma_n=0$, \ ($n=1,\dots,N$).}  

\medskip
A pĂŠnzĂźgyi matematika kĂśvetkezĹ rendk\'ivĂźl fontos fogalma az 
arbitrĂĄzs mentes piac. Ez szemlĂŠletesen azt jelenti, hogy olyan 
a piac, hogy abban nem lehetsĂŠges Ăśnfinansz\'irozĂł stratĂŠgiĂĄval  
nyerni, azaz azt elĂŠrni, hogy zĂŠrĂł tĹkĂŠvel indulva egyrĂŠszt 
1 valĂłsz\'inĹąsĂŠggel ne csĂśkkenjen, mĂĄsrĂŠszt pozit\'iv 
valĂłsz\'inĹąsĂŠggel szigorĂşan nĹjĂśn a vagyonunk a $t_N=N$ idĹpontban 
a kiindulĂł $t_0=0$ idĹpontbeli helyzethez kĂŠpest. TehĂĄt, ha 
$X_0=0$ kiindulĂł vagyonnal indulunk, akkor nem lehet olyan $\pi$ 
Ăśnfinansz\'irozĂł stratĂŠgiĂĄt talĂĄlni, amely\-re $P(X^\pi_N\ge0)=1$, ĂŠs 
$P(X^\pi_N&gt;0)&gt;0$. A GĂĄll--Pap kĂśnyvbĹl idemĂĄsolt 9.1.1. DefiniciĂł
lĂĄtszĂłlag kissĂŠ tĂśbbet kĂśvetel meg az olyan Ăśnfinansz\'irozĂł 
stratĂŠgiĂĄtĂłl, amelyik arbitrĂĄzst, azaz elĹnyt biztos\'it, ĂŠs amelynek
a lĂŠtezĂŠsĂŠt ki k\'ivĂĄnjuk zĂĄrni. De a 9.1.1. DefiniciĂłt kĂśvetĹ, 
szintĂŠn idemĂĄsolt 9.1.2. LemmĂĄbĂłl kĂśvetkezik, hogy a piac arbitrĂĄzs
mentessĂŠge a fent le\'irt tulajdonsĂĄgot jelenti.

\medskip\noindent
{\bf 9.1.1. DefiniciĂł} {\it Egy d.i.-$(B,S)_N$ piacon a $\pi$ 
Ăśnfinansz\'irozĂł stratĂŠgiĂĄt arbitrĂĄzsnak nevezzĂźk, ha

\medskip\noindent
(a) $X^\pi_0\equiv0$,

\noindent
(b) $X_n^\pi\ge0$, $1\le n\le N$, (azaz $P(X^\pi_n\ge0)=1$),

\noindent
(c) $\exists \;\omega\in\Omega\colon\; X^\pi_N&gt;0$, (azaz $P(X^\pi_N&gt;0)&gt;0$).

\medskip
Azt mondjuk, hogy a piac arbitrĂĄzs mentes, amit Ăşgy is mondhatunk,
hogy a piac kizĂĄrja az arbitrĂĄzst, (mĂĄs szĂłval az 
arbitrĂĄzs lehetĹsĂŠgĂŠt), ha nincs Ăśnfinansz\'irozĂł arbitrĂĄzs a piacon.}
\medskip

A fenti definiciĂłban egy arbitrĂĄzstĂłl tĂśbbet kĂśveteltĂźnk meg, mint 
az elĹzĹleg megfogalmazott nyeresĂŠget biztos\'itĂł Ăśnfinansz\'irozĂł 
stratĂŠgiĂĄtĂłl. Az itt szereplĹ (b) tulajdonsĂĄgban azt 
kĂśveteltĂźk meg, hogy $P(X_n^\pi\ge0)=1$ minden  $1\le n\le N$ indexre, 
m\'ig elĹtte csak azt \'irtuk elĹ, hogy a minket ĂŠrdeklĹ vĂŠgsĹ $N$ 
idĹpontban legyen $P(X_N^\pi\ge0)=1$. Viszont a kĂśvetkezĹ 9.1.2. 
Lemma azt mondja ki, hogy ha
lĂŠtezik az ĂĄltalunk megkĂśvetelt nye\-re\-sĂŠ\-get biztos\'itĂł 
Ăśnfinansz\'irozĂł stratĂŠgia, akkor lĂŠtezik a 9.1.1. DefiniciĂłban 
megfogalmazott erĹsebb kĂśvetelmĂŠnyt teljesitĹ arbitrĂĄzs is.

\medskip\noindent
{\bf 9.1.2. Lemma.} {\it TegyĂźk fel, hogy egy d.i.-$(B,S)_N$ piacon a
$\pi$ Ăśnfinansz\'irozĂł stratĂŠgiĂĄra teljesĂźl, hogy $X^\pi_0\equiv0$, 
$P(X^\pi_N\ge0)=1$, ĂŠs $P(X^\pi_N&gt;0)&gt;0$.

Ekkor lĂŠtezik arbitrĂĄzs stratĂŠgia a piacon.}

\medskip
A pĂŠnzĂźgyi matematika fontos kĂŠrdĂŠse, hogy egy piac mikor arbitrĂĄzs
mentes. Ismertetem azt az eredmĂŠnyt, amely megadja, hogy egy 
d.i.-$(B,S)_N$
piac mikor arbitrĂĄzs mentes, majd tĂĄrgyalom azt, hogy milyen kĂŠp van
ezen eredmĂŠny mĂśgĂśtt. Ahhoz, hogy ezt az eredmĂŠnyt megfogalmazhassuk
elĹbb be kell vezetni a kĂśvetkezĹ definiciĂłt.

\medskip\noindent
{\bf 8.2.16. DefiniciĂł.} {\it Legyen $\pi$ egy stratĂŠgia  egy 
d.i.-$(B,S)_N$ piacon, ĂŠs jelĂślje $X^\pi_n$ a vagyonunkat az $n$ 
idĹpontban ezen stratĂŠgia szerint. Ekkor
$$
V_n^\pi=\frac{X^\pi_n}{B_n}, \quad (0\le n\le N)
$$
folyamatot a $\pi$ stratĂŠgia diszkontĂĄlt (leszĂĄm\'itolt) 
ĂŠrtĂŠkfolyamatĂĄnak nevezzĂźk.}

\medskip
SzĂźksĂŠgĂźnk van mĂŠg az alĂĄbbi definiciĂłra, amit a GĂĄll--Pap 
kĂśnyvtĹl kissĂŠ eltĂŠrĹ  megfogalmazĂĄsban \'irok le.

\medskip\noindent
{\bf 9.1.4. DefiniciĂł.} {\it Legyen adva egy d.i.-$(B,S)_N$ piac
egy $(\Omega,{\cal F},P)$ va\-lĂł\-sz\'i\-nĹą\-sĂŠ\-gi mezĹn. Azt 
mondjuk, hogy $P^*$ ekvivalens martingĂĄl-mĂŠrtĂŠk ezen a piacon, ha 

\medskip\noindent
(a) $P^*$ valĂłsz\'inĹąsĂŠgi mĂŠrtĂŠk az $(\Omega,{\cal F})$ mezĹn.

\noindent
(b)  $P$  ĂŠs $P^*$  ekvivalens mĂŠrtĂŠkek, azaz $P(A)&gt;0$ akkor ĂŠs csak 
akkor, ha   

 $P^*(A)&gt;0$.

\noindent
(c) Az $\left(\frac{S_n}{B_n},{\cal F}_n,P^*\right)_{0\le n\le N}$  
sorozat martingĂĄlt alkot.}

\medskip
Igaz a kĂśvetkezĹ tĂŠtel. Ennek bizony\'itĂĄsa mĂŠly gondolatokat igĂŠnyel.

\medskip\noindent
{\bf 9.2.1. TĂŠtel.} {\it Egy d.i.-$(B,S)_N$ piacon a kĂśvetkezĹ kĂŠt 
ĂĄll\'itĂĄs ekvivalens.

\medskip\noindent
(1) LĂŠtezik ekvivalens martingĂĄl mĂŠrtĂŠk.

\medskip\noindent
(2) A piac kizĂĄrja az arbitrĂĄzs lehetĹsĂŠgĂŠt.}

\medskip
Annak ĂŠrdekĂŠben, hogy jobban megĂŠrtsĂźk a 9.2.1. TĂŠtel tartalmĂĄt 
vala\-mint annak okĂĄt, hogy miĂŠrt vezettĂźk be  a diszkontĂĄlt 
ĂŠrtĂŠkfolyamat fogalmĂĄt a 8.2.16. DefiniciĂłban idĂŠzzĂźk fel a 
kĂśvetkezĹ 9.1.7. LemmĂĄt, amely\-nek egyĂŠb\-kĂŠnt nem nehĂŠz a 
bizony\'itĂĄsa.

\medskip\noindent
{\bf 9.1.7. Lemma.} {\it A d.i.-$(B,S)_N$ piacon az 
$\left(\frac{S_n}{B_n},{\cal F}_n,P^*\right)_{0\le n\le N}$
sorozat akkor ĂŠs csak akkor alkot martingĂĄlt, ha
tetszĹleges $\pi$ Ăśnfinansz\'irozĂł stratĂŠgia esetĂŠn  az
$\left(\frac{X^\pi_n}{B_n},{\cal F}_n,P^*\right)_{0\le n\le N}$
sorozat martingĂĄlt alkot.}

\medskip
Megadom a 9.1.7. Lemma bizony\'it\'as\'at.

\medskip\noindent
{\it A 9.1.7. lemma bizony\'it\'asa.} El\H{o}sz\"or megmtutatom, hogy 
ha $\frac{S_n}{B_n}$ marting\'al, \'es $\pi$ \"onfinansz\'iroz\'o 
strat\'egia, akkor $\frac{X^\pi_n}{B_n}$ marting\'al.

Val\'oban, ekkor $X^\pi_{n}=\beta_{n}B_n+\gamma_nS_n$, $\beta_n$ \'es
$\gamma_n$ ${\cal F}_{n-1}$ m\'erhet\H{o}, \'es 
$\frac{S_n}{B_n}$ mar\-tin\-g\'al. Ez\'ert 
\begin{eqnarray*}
E\left(\left.\frac{X^\pi_n}{B_n}\right|{\cal F}_{n-1}\right)
&amp;=&amp;E\left(\left.\frac{\beta_nB_n+\gamma_nS_n}{B_n}\right|{\cal F}_{n-1}\right)
=\beta_n+\gamma_nE\left(\left.\frac{S_n}{B_n}\right|{\cal F}_{n-1}\right) \\
&amp;=&amp;\beta_n+\frac{S_{n-1}}{B_{n-1}}.
\end{eqnarray*}
Innen, mivel $\pi$ \"onfinansz\'iroz\'o strat\'egia
$$
E\left(\left.\frac{X^\pi_n}{B_n}\right|{\cal F}_{n-1}\right)
=\frac{\beta_n B_{n-1}+\gamma_nS_{n-1}}{B_{n-1}}=\frac{X^\pi_{n-1}}{B_{n-1}}.
$$
Mivel ez az azonoss\'ag igaz minden $n=1,2,\dots$ indexre, ez\'ert 
$\frac{X_n}{B_n}$ narting\'al.

Az \'all\'it\'as m\'asik fele nyilv\'anval\'o. Mivel a $\beta_n=0$,
$\gamma_n=1$ minden $n=0,1,\dots, N-1$ indexre \"onfinansz\'iroz\'o
strat\'egia, \'es \'ert\'eke 
$X^\pi_n=S_n$, ez\'ert $\frac{S_n}{B_n}$ marting\'al, ha $\frac{X^\pi_n}{B_n}$
marting\'al minden $\pi$ \"onfinansz\'iroz\'o strat\'egi\'ara.

\medskip
Az, hogy a d.i.-$(B,S)$ piacon az $\frac{S_n}{B_n}$, $0\le n\le N$,
sorozat martingĂĄlt alkot szemlĂŠletesen azt jelenti, hogy egy a nulla
idĹpontban rendelkezĂŠsĂźnkre ĂĄllĂł rĂŠszvĂŠny
vĂŠletlen $S_n$ ĂŠrtĂŠke a majdani $n$ idĹpontban vĂĄrhatĂłan ugyan\-annyi, 
mint az ĂŠrte vĂĄsĂĄrolhatĂł kĂśtvĂŠnyek ĂŠrtĂŠke ugyancsak az $n$
idĹpontban. ValĂłban ez utĂłbbi ĂŠrtĂŠke $\frac{S_0}{B_0}B_n$. Mind a 
kĂŠt kifejezĂŠst elosztva a $B_n$ szĂĄm\-mal azt kapjuk, hogy
a vĂŠletlen $\frac{S_n}{B_n}$ mennyisĂŠg a majdani $n$ idĹpontban 
vĂĄrhatĂłlag annyit
ĂŠr, mint  $\frac{S_0}{B_0}$ (a nulla idĹpontban). Annak, hogy az 
$\frac{S_n}{B_n}$ sorozat martingĂĄlt alkot az a szemlĂŠletes jelentĂŠse, 
hogy ez igaz minden $n$ idĹpontban. A (9.1.7). Lemma szerint, ha 
$\frac{S_n}{B_n}$ 
martingĂĄl, akkor a $V^\pi_n=\frac{X^\pi_n}{B_n}$ diszkontĂĄlt ĂŠrtĂŠkfolyam 
szintĂŠn martingĂĄl tetszĹleges $\pi$ Ăśnfinansz\'irozĂł stratĂŠgiĂĄra.
Ez Ăşgy is interpretĂĄlhatĂł, hogy ha a vĂĄrhatĂł vagyonunk nem vĂĄltozik
azĂĄltal, hogy a rendelkezĂŠsĂźnkre ĂĄllĂł kĂśtvĂŠnyeket rĂŠszvĂŠnyekre 
vĂĄltjuk, akkor ugyan\-ez elmondhatĂł minden Ăśnfinansz\'irozĂł 
stratĂŠgiĂĄra is.

A 9.2.1. TĂŠtel azon rĂŠsze, hogy az (1) ĂĄll\'itĂĄsbĂłl kĂśvetkezik a 
(2) ĂĄll\'itĂĄs egyszerĹąen lĂĄthatĂł. ValĂłban, mivel a $P$ ĂŠs $P^*$ 
mĂŠrtĂŠkek ekvivalensek az, hogy egy $\pi$ Ăśnfinansz\'irozĂł 
stratĂŠgia arbitrĂĄzs egyszerre igaz akĂĄr a $P$, akĂĄr a $P^*$
mĂŠrtĂŠket tekintjĂźk az $(\Omega,{\cal F})$ tĂŠren. Viszont, ha 
$X^\pi_n$ martingĂĄl a $P^*$ mĂŠrtĂŠk szerint, (itt felhasznĂĄljuk azt, 
hogy a 9.1.7. Lemma szerint ez a helyzet az (1) esetben 
bĂĄrmely $\pi$ Ăśnfinansz\'irozĂł stratĂŠgia esetĂŠn),
akkor $X^\pi_n$ nem lehet arbitrĂĄzs a $P^*$ mĂŠrtĂŠk szerint. 
Ugyanis ekkor $0=E^*X^\pi_0=E^*X^\pi_N$, ami ellentmond annak, 
hogy $P^*(X^\pi_N\ge0)=1$, ĂŠs $P^*(X^\pi_N&gt;0)&gt;0$.
(Itt azt a konvenciĂłt alkalmaztuk, hogy $E^*$ jelĂśli a vĂĄrhatĂł
ĂŠrtĂŠket a $P^*$ valĂłsz\'inĹąsĂŠgi mĂŠrtĂŠk szerint, ĂŠs ezt a konvenciĂłt
fogjuk alkalmazni a kĂŠsĹbbiekben is.) 

A 9.2.1. TĂŠtel mĂĄsodik fele nehezebben bizony\'ithatĂł. Itt ugyanis
meg kell konstruĂĄlni egy olyan $P^*$ valĂłsz\'inĹąsĂŠgi mĂŠrtĂŠket, 
amelyre az $\frac{S_n}{B_n}$ sorozat martingĂĄl, ĂŠs ezen k\'ivĂźl mĂŠg 
a $P^*$ ĂŠs $P$ mĂŠrtĂŠkeknek ekvivalenseknek is kell lenniĂźk. Ez 
a konstrukciĂł ĂŠrdekes Ăşj gondolatokat igĂŠnyel, amelyeket ebben a 
bevezetĹ \'irĂĄsban nem tĂĄrgyalok.

\medskip
A pĂŠnzĂźgyi matematika kĂśvetkezĹ fontos fogalma az opciĂł, amelynek
vizsgĂĄlata tovĂĄbbi ĂŠrdekes matematikai problĂŠmĂĄkat vet fel. Az opciĂł
jogot jelent arra, hogy bizonyos szabĂĄlyok szerint rĂŠszvĂŠnyeket
vegyĂźnk (ezt nevezik az irodalomban vĂŠteli opciĂłnak), vagy eladjunk
(eladĂĄsi opciĂł). A legismertebb, legnĂŠpszerĹąbb opciĂłk az Ăşgynevezett
eurĂłpai ĂŠs amerikai opciĂł. Az eurĂłpai opciĂł azt jelenti, hogy a 
kereskedĂŠsi periĂłdus $T_N=N$ lezĂĄrtakor egy bizonyos elĹre megadott 
$K$ ĂĄron jogom van rĂŠszvĂŠnyeket venni vagy eladni. Az amerikai
opciĂł hasonlĂł jogot jelent, de ekkor bĂĄrmely $t_n$,  $0\le n\le N$,
idĹpontban jogom van rĂŠszvĂŠnyt venni vagy eladni egy elĹre rĂśgz\'itett
 $K$ ĂĄron. A GĂĄll--Pap kĂśnyv elsĹsorban az eurĂłpai opciĂłval ĂŠs az
annak al\-kal\-ma\-zĂĄ\-sĂĄ\-val kapcsolatos matematikai problĂŠmĂĄkkal 
foglalkozik. 

Az opciĂł ĂĄltalĂĄnos esete hasonlĂł jogot jelent bizonyos szabĂĄlyok 
szerinti vĂŠtelre vagy eladĂĄsra, de az ĂĄltalĂĄnos esetben az eladĂĄsi 
ĂĄr nem feltĂŠtlenĂźl konstans, hanem, pĂŠldĂĄul, ha a vĂŠtel vagy 
eladĂĄs csak a $t_N=N$ idĹ\-pont\-ban lehetsĂŠges, akkor a rĂŠszvĂŠny 
vĂŠteli vagy eladĂĄsi ĂĄra fĂźgghet a rĂŠszvĂŠnypiac viselkedĂŠsĂŠtĹl a $t_N=N$
idĹpontig, azaz ez egy ${\cal F}_{N}$ $\sigma$-algebra szerint 
mĂŠrhetĹ fĂźggvĂŠny.

VilĂĄgos, hogy egy opciĂł elĹnyt jelent, hiszen csak akkor fogok 
rĂŠszvĂŠnyeket venni vagy eladni, ha az szĂĄmomra elĹnyĂśs. EzĂŠrt 
termĂŠszetes bevezetni egy opciĂłs ĂĄrat, ami ellensĂşlyozza az 
opciĂł alkalmazĂĄsĂĄnak a nyeresĂŠgĂŠt. A fĹ problĂŠma az, hogy mi 
az igazsĂĄgos opciĂłs ĂĄr. Olyan opciĂłs ĂĄrat sze\-ret\-nĂŠnk 
bevezetni, amivel a piac az opciĂłk bevezetĂŠse utĂĄn is igazsĂĄgos 
marad. E problĂŠma megjelenĂŠse termĂŠszetessĂŠ tette bizonyos
fogalmak bevezetĂŠsĂŠt. ElĹszĂśr bevezetjĂźk a vĂŠletlen kĂśvetelĂŠs
fogalmĂĄt. 

Egy $f_N\colon\; R^{N+1}\to R$ fĂźggvĂŠny ĂĄltal
meghatĂĄrozott $f_N$ vĂŠletlen kĂśvetelĂŠs az
$f_N(S_0,\dots,S_N)$ va\-lĂł\-sz\'i\-nĹą\-sĂŠ\-gi vĂĄltozĂł. 
JelentĂŠse az, hogy $S_0,\dots,S_N$ rĂŠsz\-vĂŠny\-ĂĄrak esetĂŠn 
$f_N(S_0,\dots,S_N)$ kĂś\-ve\-te\-lĂŠ\-sĂźnk van az $N$ 
idĹpontban. A minket ĂŠr\-dek\-lĹ kĂŠrdĂŠs az, hogy mekkora 
fedezetet kell biztos\'itani e kĂś\-ve\-te\-lĂŠs 
tel\-je\-s\'i\-tĂŠse ĂŠrdekĂŠben. E kĂŠrdĂŠs vizsgĂĄlata 
ĂŠrdekĂŠben bevezettĂŠk  a fedezeti stratĂŠgia ĂŠs a tĂśkĂŠletes 
fedezeti stratĂŠgia fo\-gal\-mĂĄt.

\medskip\noindent
{\bf 8.2.10. DefiniciĂł.} {\it Legyen adott egy d.i.-$(B,S)_N$ piac, 
egy $x\in R$ szĂĄm ĂŠs egy $f_N=f_N(x_0,\dots,x_N)$: $R^{N+1}\to R^1$
fĂźggvĂŠny. Egy Ăśnfinansz\'irozĂł $\pi=\{\pi_n\}_{n=0}^N$ stratĂŠgiĂĄt 
$(x,f_N)$ fedezetnek (vagy fedezeti stratĂŠgiĂĄnak) nevezĂźnk, ha
$$
X_0^\pi=x,
$$
ĂŠs
$$
X^\pi_N(\omega)\ge f_N(S_0,S_1(\omega),\dots,S_N(\omega)), \quad \forall \;
\omega\in\Omega.
$$
Ha $X^\pi_N(\omega)=f_N(S_0,S_1(\omega),\dots,S_N(\omega))$, $\forall$
$\omega\in\Omega$, akkor azt mondjuk, hogy $\pi$ minimĂĄlis
$(x,f_N)$ fedezet vagy mĂĄskĂŠppen Ăşgynevezett tĂśkĂŠletes fedezeti stratĂŠgia.

Az Ăśsszes Ăśnfinansz\'irozĂł $(x,f_N)$ fedezeti stratĂŠgiĂĄk halmazĂĄt 
$\Pi(x,f_N)$-nel fogjuk jelĂślni.}

\medskip
Ărdemes mĂŠg felidĂŠzni az alĂĄbbi definiciĂłkat a GĂĄll--Pap kĂśnyvbĹl.

\medskip\noindent
{\bf 8.2.12. DefiniciĂł.} {\it Legyen $f_N\colon\; R^{N+1}\to R$ egy
fĂźggvĂŠny. Ekkor egy \hfill\break 
d.i.-$(B,S)_N$ piacon a
$$
C_{N,f_N}=\inf\{x\in R\colon\: \Pi(x,f_N)\neq\emptyset\}
$$
ĂŠrtĂŠket a $t_N$ idĹre legalĂĄbb $f_N(S_0,S_1(\omega),\dots,S_N(\omega))$ 
($\forall\omega\in\Omega)$ tĹkĂŠt biztos\'itĂł tĹkĂŠnek (befektetĂŠsi
kĂśltsĂŠgnek) nevezzĂźk.}

\medskip\noindent
{\bf 10.1.4. DefiniciĂł.} {\it A d.i.-$(B,S)_N$ piacot teljesnek 
nevezzĂźk, ha tetszĹleges $\xi$ (azaz tetszĹleges ${\cal F}_N$ 
mĂŠrhetĹ  $\xi$) valĂłsz\'inĹąsĂŠgi vĂĄltozĂłhoz lĂŠtezik olyan $\pi$ 
Ăśn\-fi\-nan\-sz\'i\-ro\-zĂł stratĂŠgia, amelyre
$$
X^\pi_N(\omega)=\xi(\omega) \quad \forall\omega\in\Omega \textrm{ esetĂŠn.}
$$
}

Megjegyzem, hogy az ${\cal F}_N$  mĂŠrhetĹ valĂłsz\'inĹąsĂŠgi vĂĄltozĂłk 
halmaza meg\-egye\-zik az $f_N(S_0,S_1(\omega),\dots,S_N(\omega))$,
$f_N\colon\; R^{N+1}\to R$ alakban fel\'irhatĂł va\-lĂł\-sz\'i\-nĹą\-sĂŠ\-gi 
vĂĄltozĂłk halmazĂĄval valamely $f_N$ fĂźggvĂŠnnyel. 

SzeretnĂŠnk definiĂĄlni egy opciĂł igazsĂĄgos ĂĄrĂĄt egy arbitrĂĄzs mentes
piacon. Ebben a jegyzetben csak olyan opciĂłk vizsgĂĄlatĂĄval 
foglalkozunk, amelyekben a $t_N=N$ idĹpontban valamely 
$\xi=f_N(S_0,S_1(\omega),\dots,S_N(\omega))$ ĂĄron vehetĂźnk vagy 
adhatunk el rĂŠszvĂŠnyeket. E kĂŠrdĂŠs vizsgĂĄlatĂĄban ĂŠrdemes
definiĂĄlni elĹszĂśr egy $f_N\colon\; R^{N+1}\to R$  fĂźggvĂŠny 
ĂĄltal meghatĂĄrozott \hfill\break 
$f_N(S_0,\dots,S_N)$ vĂŠ\-let\-len kĂśvetelĂŠs igazsĂĄgos ĂĄrĂĄt.

E kĂŠrdĂŠs vizsgĂĄlatĂĄban ĂŠrdemes alkalmazni a 9.2.1. TĂŠtel eredmĂŠnyĂŠt,
amely szerint egy arbitrĂĄzs mentes piacon lĂŠtezik (a 9.1.4. 
DefiniciĂłban definiĂĄlt) ekvivalens martingĂĄl mĂŠrtĂŠk. A kĂśvetkezĹ 
eredmĂŠny nagyon hasz\-nos az elĹbb felvetett kĂŠrdĂŠs vizsgĂĄlatĂĄban.

\medskip\noindent
{\bf 11.1.9. Lemma.} {\it Legyen $\pi$ egy Ăśnfinansz\'irozĂł $(x,f_N)$ 
fedezeti  stratĂŠgia egy d.i.-$(B,S)_N$ piacon. ahol $x\in R$
ĂŠs $f_N\colon\; R^{N+1}\to R$,  ĂŠs tegyĂźk fel, hogy $P^*$  egy 
ekvivalens martingĂĄl mĂŠrtĂŠk  a piacon.

Ekkor
$$
x\ge \frac{B_0}{B_N}E^*f_N(S_0,S_1,\dots,S_N),
$$
ĂŠs ha $\pi$ rĂĄadĂĄsul minimĂĄlis $(x,f_N)$ fedezeti stratĂŠgia, akkor
$$
x=\frac{B_0}{B_N}E^*f_N(S_0,S_1,\dots,S_N).
$$
}

\medskip
A 11.1.9. Lemma bizony\'itĂĄsa viszonylag egyszerĹą. FelhsznĂĄlhatjuk,
hogy a 9.1.7. Lemma szerint
$\left(\frac{X^\pi_n}{B_n},{\cal F}_n,P^*\right)$
martingĂĄl tetszĹleges $\pi$ Ăśn\-fi\-nan\-sz\'i\-ro\-zĂł stratĂŠgiĂĄra
egy $P^*$ equivalens martingĂĄl mĂŠrtĂŠk szerint, ĂŠs olyan $\pi$ 
Ăśn\-fi\-nan\-sz\-\'i\-ro\-zĂł stratĂŠgiĂĄt tekinthetĂźnk, amelyre  
$X^\pi_0=x$,  ĂŠs 
$$
X^\pi_N(\omega)\ge f_N(S_0,S_1(\omega),\dots,S_N(\omega))
$$ 
az elsĹ, illetve 
$X^\pi_N(\omega)=f_N(S_0,S_1(\omega),\dots,S_N(\omega))$ 
a mĂĄsodik esetben minden $\omega\in\Omega$ pontban.

\medskip 
Egy $f_N\colon\; R^{N+1}\to R$  fĂźggvĂŠny ĂĄltal meghatĂĄrozott 
$f_N(S_0,\dots,S_N)$ vĂŠ\-let\-len kĂśvetelĂŠs igazsĂĄgos ĂĄrĂĄt Ăşgy
definiĂĄljuk, mint a 8.2.12. DefiniciĂłban be\-ve\-ze\-tett 
$C_{N,f_N}$ befektetĂŠsi kĂśltsĂŠget. A 11.1.9. LemmĂĄbĂłl ĂŠs a 
$C_{N,f_N}$ mennyisĂŠg definiciĂłjĂĄbĂłl kĂśvetkezik, hogy az $f_N$ 
vĂŠletlen kĂśvetelĂŠs $C_{N,f_n}$ igaz\-sĂĄ\-gos ĂĄra teljes\'iti a
$C_{N,f_N}\ge\frac{B_0}{B_N}E^*f_N(S_0,S_1,\dots,S_N)$
egyenlĹtlensĂŠget. MĂĄs\-rĂŠszt, ha lĂŠtezik
minimĂĄlis $(x,f_N)$ fedezeti stratĂŠgia akkor
$$
C_{N,f_N}=\frac{B_0}{B_N}E^*f_N(S_0,S_1,\dots,S_N).
$$

A vĂŠletlen kĂśvetelĂŠsek igazsĂĄgos ĂĄrĂĄnak a bevezetĂŠse
lehetĹvĂŠ teszi bizonyos esetekben az igazsĂĄgos 
opciĂłs ĂĄr termĂŠszetes meg\-ha\-tĂĄ\-ro\-zĂĄ\-sĂĄt is. 
Te\-kint\-sĂźk pĂŠldĂĄul az eurĂłpai vĂŠteli opciĂłt az $N$ 
idĹpontban valamilyen $K$ vĂŠteli ĂĄrral. Ebben az esetben 
akkor ĂŠlĂźnk a vĂŠteli jogunkkal, ha $S_N&gt;K$, ĂŠs ekkor 
$S_N-K$ nyeremĂŠnyĂźnk lesz. Ha $S_N\le K$, akkor nem ĂŠlĂźnk 
vĂŠteli jogunkkal, \'igy nyeremĂŠnyĂźnk ebben az esetben 
zĂŠrĂł. Azt mondhatjuk tehĂĄt, hogy az eurĂłpai  vĂŠteli 
opciĂł $K$ ĂĄrral  $\max(S_N-K,0)=|S_N-K|_+$   nyeresĂŠget 
biztos\'it szĂĄmunkra. EzĂŠrt termĂŠszetes a $K$ ĂĄrral 
definiĂĄlt eurĂłpai vĂŠteli opciĂł opciĂłs ĂĄrĂĄt Ăşgy 
definiĂĄlni, mint az $|S_N-K|_+$ vĂŠletlen kĂśvetelĂŠs 
igazsĂĄgos ĂĄrĂĄt, ĂŠs ezt a definiciĂłt fogjuk vĂĄlasztani.
Megjegyzem, hogy ugyanezt az ĂŠrvelĂŠst folytonos idejĹą
pĂŠnzĂźgyi folyamatok esetĂŠben is alkalmazhatjuk. EzĂŠrt
abban az esetben a $K$ ĂĄrral definiĂĄlt eurĂłpai vĂŠteli 
opciĂł opciĂłs ĂĄrĂĄt Ăşgy definiĂĄljuk, mint az $|S_T-K|_+$
vĂŠletlen kĂśvetelĂŠs igazsĂĄgos ĂĄrĂĄt.

\medskip
LĂĄttuk, hogy, akkor tudjuk meg\-ha\-tĂĄ\-roz\-ni egy 
$f_N(S_0,\dots,S_N)$ vĂŠletlen kĂśvetelĂŠs igazsĂĄgos ĂĄrĂĄt, 
ha lĂŠtezik olyan $\pi$ Ăśnfinansz\'irozĂł stratĂŠgia, 
amely\-re $X^\pi_N=f_N(S_0,\dots,S_N)$. Ekkor 
ugyanis lĂŠtezik tĂśkĂŠletes fedezeti stratĂŠgia 
bĂĄrmely vĂŠletlen kĂśvetelĂŠsre. EzĂŠrt szeretnĂŠnk 
tudni, hogy mikor oldhatĂł meg az $X^\pi_N=\xi$ egyenlet 
tetszĹleges $\xi$ valĂłsz\'inĹąsĂŠgi vĂĄltozĂłra. Ez tette 
termĂŠszetessĂŠ a 10.1.4. DefiniciĂł bevezetĂŠsĂŠt a piac 
teljessĂŠgĂŠrĹl.

Ismertetem a 10.1.5. TĂŠtel eredmĂŠnyĂŠt, amely megadja annak 
szĂźksĂŠges ĂŠs elĂŠgsĂŠges feltĂŠtelĂŠt, hogy egy piac teljes 
legyen. A GĂĄll--Pap kĂśnyvtĹl eltĂŠrĹen ezt a tĂŠtelt kĂŠt 
rĂŠszben, egy 10.1.5.A ĂŠs egy 1.0.1.5.B TĂŠtelben mon\-dom ki.

\medskip\noindent
{\bf 10.1.5.A TĂŠtel.} {\it  TegyĂźk fel, hogy a d.i.-$(B,S)_N$ piacon 
lĂŠtezik $P^*$ ekvivalens martingĂĄl mĂŠrtĂŠk. Ekkor a kĂśvetkezĹ kĂŠt 
ĂĄll\'itĂĄs ekvivalens.

\medskip\noindent
(1) A piac teljes.

\medskip\noindent
(2) $P^*$ az egyetlen ekvivalens martingĂĄl mĂŠrtĂŠk a piacon.}

\medskip
SzĂĄmunkra a 10.1.5. TĂŠtelnek az A rĂŠsze az igazĂĄn ĂŠrdekes. Annak
bizony\'itĂĄsa, hogy az (1) ĂĄll\'itĂĄsbĂłl kĂśvetkezik a (2) ĂĄll\'itĂĄs
viszonylag egyszerĹą.

Ugyanis legyen $P^*$ ĂŠs $P^{**}$ kĂŠt ekvivalens martingĂĄl, 
ĂŠs $\xi$ tetszĹleges ${\cal F}_N$ mĂŠrhetĹ valĂłsz\'inĹąsĂŠgi 
vĂĄltozĂł. Ha a piac teljes, akkor lĂŠtezik olyan $\pi$ 
Ăśn\-fi\-nan\-sz\'i\-ro\-zĂł stratĂŠgia, amelyre 
$\frac{B_N}{B_0}\xi=X^\pi_N$. Ekkor 
$E^*\xi=E^*\frac{B_0}{B_N}X^\pi_N=E^*X^\pi_0=X^\pi_0$, ĂŠs 
$E^{**}\xi=E^{**}\frac{B_0}{B_N}X^\pi_N=E^{**}X^\pi_0=X^\pi_0$. 
EzĂŠrt $E^*\xi=E^{**}\xi$. Mivel ez minden ${\cal F}_N$ mĂŠrhetĹ 
$\xi$ valĂłsz\'inĹąsĂŠgi vĂĄltozĂłra igaz, innen kĂśvetkezik, hogy 
$P^*=P^{**}$.

Ebben az ĂŠrvelĂŠsben kissĂŠ rejtve hasznĂĄltuk ki azt, hogy a tekintett
martingĂĄlok ekvivalensek, azaz olyan $P^*$ ĂŠs $P^{**}$ mĂŠrtĂŠkekkel 
dolgozunk, amelyek egyrĂŠszt abszolĂşt folytonosak a $P$ mĂŠrtĂŠkre 
nĂŠzve, mĂĄsrĂŠszt a $P$ mĂŠrtĂŠk is abszolĂşt folytonos rĂĄjuk nĂŠzve. 
Azt hasznĂĄltuk ki, hogy $E^*X^\pi_0=E^{**}X^\pi_0=X^\pi_0$. Ugyanis 
$X^\pi_0$ egy konstanssal egyenlĹ 1 valĂłsz\'inĹąsĂŠggel a $P$ ezĂŠrt a 
$P^*$ ĂŠs $P^{**}$ mĂŠrtĂŠk szerint is. Az $E^*X^\pi_0=E^{**}X^\pi_0$ 
azonossĂĄg azĂŠrt igaz, mert egy a $P^*$ illetve $P^{**}$ mĂŠrtĂŠk 
szerint 1~valĂłsz\'inĹąsĂŠggel konstans valĂłsz\'inĹąsĂŠgi vĂĄltozĂł 
1~va\-lĂł\-sz\'i\-nĹą\-sĂŠg\-gel konstans a $P$ mĂŠrtĂŠk szerint is. 

A mĂĄsik irĂĄnyĂş ĂĄll\'itĂĄs bizony\'itĂĄsa lĂŠnyegesen nehezebb. Azt kell
megmutatni, hogy ha az $X^\pi_N$ alakban elĹĂĄll\'ithatĂł valĂłsz\'inĹąsĂŠgi
vĂĄltozĂłk halmaza kisebb, mint az Ăśsszes ${\cal F}_N$ mĂŠrhetĹ 
valĂłsz\'inĹąsĂŠgi vĂĄltozĂłk halmaza, akkor a 9.2.1. TĂŠtelben konstruĂĄlt 
$P^*$ ekvivalens martingĂĄl mĂŠrtĂŠken k\'ivĂźl lehet konstruĂĄlni attĂłl 
kĂźlĂśnbĂśzĹ ekvivalens martingĂĄl mĂŠrtĂŠket is. Ennek bizony\'itĂĄsa 
hasonlĂł gondolatokon alapul, mint a 9.2.1. TĂŠtelĂŠ.

\medskip
A 10.1.5.A TĂŠtel azt ĂĄll\'itja, hogy egy teljes piacon egyetlen
ekvivalens martingĂĄl mĂŠrtĂŠk lĂŠtezik. Ugyanakkor lĂŠtezhetnek tovĂĄbbi
martingĂĄl mĂŠr\-tĂŠ\-kek is, amelyek nem ekvivalensek. Ez jelen esetben
azt jelenti, hogy lehetnek mĂŠg olyan $P'$ martingĂĄl mĂŠrtĂŠkek, 
amelyekre van olyan $A$ halmaz, amelyre $P(A)&gt;0$, de $P'(A)=0$.
Az ilyen martingĂĄl mĂŠrtĂŠkek pontos le\'irĂĄsĂĄrĂłl szĂłl a 10.1.5.B TĂŠtel.

\medskip\noindent
{\bf 10.1.5.B TĂŠtel.} {\it TegyĂźk fel, hogy teljesĂźlnek a
10.1.5.A. TĂŠtel feltĂŠtelei. Ekkor az ott megfogalmazott (1) ĂŠs
(2) ĂĄll\'itĂĄsok ekvivalensek az alĂĄbbi (3) ĂĄll\'itĂĄssal. 

\medskip\noindent
(3) TetszĹleges $(M_n,{\cal F}_n,P^*)_{0\le n\le N}$ martingĂĄl 
elĹĂĄll\'ithatĂł
$$
M_n=M_0+\sum_{k=1}^n\gamma_k\Delta m_k, \quad n=1,\dots,N,
$$
alakban,  ahol a $\gamma_n$-ek ${\cal F}_{n-1}$-mĂŠrhetĹ
valĂłsz\'inĹąsĂŠgi vĂĄltozĂłk, ($n=1,\dots,N$), ĂŠs
$$
m_n=\frac{S_n}{B_n}, \quad \textrm{ha } n=1,\dots,N.
$$
}

\medskip
Van egy speciĂĄlis, Ăşgynevezett binĂĄris piac, amely kĂźlĂśn figyelmet
ĂŠr\-de\-mel, ĂŠs amelyet a GĂĄll--Pap kĂśnyv is kĂźlĂśn tĂĄrgyal. Ismertetem
ennek definiciĂłjĂĄt, ĂŠs megadom a rĂłla szĂłlĂł legfontosabb eredmĂŠnyt.
A binĂĄris piacot a GĂĄll--Pap kĂśnyv a 8.1.6. DefiniciĂłban vezeti be. 

\medskip\noindent
{\bf 8.1.6. DefiniciĂł. (DiszkrĂŠt idejĹą $(B,S)_N$  binĂĄris piac.)} 
{\it Egy az $(\Omega,{\cal F},P)$ valĂłsz\'inĹąsĂŠgi mezĹn 
$B=(B_n)$ kĂśtvĂŠnyekkel, $S=(S_n)$ rĂŠsz\-vĂŠ\-nyek\-kel ĂŠs $N$
kereskedĂŠsi idĹponttal megadott piacot binĂĄris piacnak
nevezĂźnk $\{r_n\}$ kamatlĂĄbakkal, $\{a_n\}$, ĂŠs $\{b_n\}$   
egyĂźtthatĂłkkal, ĂŠs $\{p_n\}$ valĂłsz\'inĹąsĂŠgekkel, ha

\medskip\noindent
(a) $r_n&gt;-1$, $-1&lt;a_n&lt;b_n$ minden $n=1,\dots,N$ esetĂŠn.

\medskip\noindent
(b) A kĂśtvĂŠny ĂĄrfolyamĂĄra teljesĂźl a
$$
B_n=(1+r_n)B_{n-1},  \quad n=1,\dots,N,
$$
egyenlĹsĂŠg.

\medskip\noindent
(c) A rĂŠszvĂŠny $S=\{S_n\}_{n=0}^N$ ĂĄrfolyama kielĂŠg\'iti az
$$
S_n=(1+\rho_n)S_{n-1}, \quad n=1,\dots,N,
$$
egyenlĹsĂŠget, ahol  $\rho_n$ olyan valĂłsz\'inĹąsĂŠgi vĂĄltozĂł, amelyre 
$\rho_n=a_n$ vagy $\rho_n=b_n$, ĂŠs $p_n=P(\rho_n=b_n)=1-P(\rho_n=a_n)$, 
$0&lt;p_n&lt;1$, $n=1,\dots,N$.
Az $\Omega$ halmaz az Ăśsszes $\omega=(\rho_1,\dots,\rho_N)$ alakĂş
sorozatbĂłl ĂĄll, ĂŠs vĂŠgĂźl 

 \medskip\noindent
(d) ${\mathbb F}=({\cal F}_n)$ a $\rho_1,\dots,\rho_N$
 valĂłsz\'inĹąsĂŠgi vĂĄltozĂłk ĂĄltal generĂĄlt filtrĂĄciĂł, azaz
${\cal F}_0=\{\emptyset,\Omega\}$, ĂŠs
${\cal F}_n=\sigma(\rho_1,\dots,\rho_n\}$, ahol $n=1,\dots,N$.}

\medskip
Megjegyzem, hogy az a kit\'etel, amely szerint az $\Omega$ halmaz az 
{\it Ăśsszes}\/ $\omega=(\rho_1,\dots,\rho_N)$ alakĂş sorozatbĂłl ĂĄll, 
azt jelenti, hogy $P(\rho_1=x_1,\dots,\rho_N=x_N)&gt;0$ minden olyan 
$(x_1,\dots,x_N)$ sorozatra, amelyre $x_n=a_n$ vagy $x_n=b_n$ 
minden $1\le n\le N$ indexre.

\medskip
A fentebb definiĂĄlt diszkrĂŠt idejĹą $(B,S)_N$  binĂĄris piac 
megnevezĂŠsĂŠre a GĂĄll--Pap kĂśnyv d.i.b.-$(B,S)_N$ jelĂślĂŠst
hasznĂĄlja. (A d.i.b. a diszkrĂŠt idejĹą binĂĄris rĂśvid\'itĂŠse.)  
Ugyancsak megadja a kĂśnyv e fogalom speciĂĄlis esetĂŠt,
a diszkrĂŠt idejĹą homogĂŠn binĂĄris piacok fogalmĂĄt is. Ezek
olyan d.i.b.-$(B,S)$ piacok, amelyekre a 8.1.6. DefiniciĂłban
szereplĹ $\rho_n$ valĂłsz\'inĹąsĂŠgi vĂĄltozĂłk fĂźggetlenek,
 $1\le n\le N$,  ĂŠs az $a_n$, $b_n$, $r_n$, $p_n$ szĂĄmok nem 
fĂźggnek az $n$ paramĂŠtertĹl.

FelidĂŠzem az alĂĄbbi, a diszkrĂŠt idejĹą $(B,S)_N$  binĂĄris 
piacok legfontosabb  tulajdonsĂĄgait kimondĂł tĂŠtelt.

\medskip\noindent
{\bf 9.1.8.TĂŠtel.}  {\it TekintsĂźnk egy olyan d.i.b.-$(B,S)_N$ piacot, 
ahol az $\{r_n\}_{n=1}^N$ kamatlĂĄbakra ĂŠs az $\{a_n\}_{n=1}^N$, 
$\{b_n\}_{n=1}^N$  egyĂźtthatĂłkra teljesĂźlnek az $a_n&lt;r_n&lt;b_n$, 
($n=1,\dots,N$) egyenlĹtlensĂŠgek. IdĂŠzzĂźk fel, hogy $\Omega$ elemei
tekinthetĹek a $\rho_1,\dots,\rho_N$ valĂłsz\'inĹąsĂŠgi vĂĄltozĂłk realizĂĄciĂłibĂłl
ĂĄllĂł halmaznak. VĂŠve egy

$$
\omega=\{(x_1,\dots,x_N)|x_i\in\{a_,b_i\}, \;i=1,\dots,N\},
$$
elemi esemĂŠnyt legyen 
$$
P^*(\{(x_1,\dots,x_N)\})=\prod_{\substack{1\le n\le N\\ x_n=b_n}}  p^*_n 
\prod_{\substack{1\le n\le N\\x_n=a_n}}(1-p^*_n),
$$
ahol $p^*_n=\frac{r_n-a_n}{b_n-a_n}$, $n=1,2,\dots,N$.

\medskip
Ekkor $P^*$ az egyetlen ekvivalens martingĂĄl mĂŠrtĂŠk a piacon, SpeciĂĄlisan
$$
P^*(\rho_n=b_n)=1-P^*(\rho_n=a_n)=p^*_n, \quad n=1,\dots,N,
$$
ĂŠs a $\rho_1,\dots,\rho_N$ hozamok $P^*$-fĂźggetlenek.}

\medskip
A 9.1.8. TĂŠtel szerint egy olyan d.i.b.-$(B,S)_N$ piacnak,
amelyre $a_n&lt;r_n&lt;b_n$ minden $1\le n\le N$ indexre van ekvivalens martingĂĄl
mĂŠrtĂŠke, tehĂĄt arbitrĂĄzs mentes, sĹt egyetlen ekvivalens martingĂĄl mĂŠrtĂŠke
van, ami azt jelenti, hogy egy ilyen piac teljes. RĂĄadĂĄsul ezt az ekvivalens
martingĂĄl mĂŠrtĂŠket explicit mĂłdon meg tudtuk adni, ĂŠs ez a mĂŠrtĂŠk egyszerĹą
szerkezetĹą szorzat mĂŠrtĂŠk. Ez lehetĹvĂŠ teszi, hogy tudjunk vele szĂĄmolni.
Erre pĂŠldĂĄt mutat a Kevei PĂŠter kĂśnyv egyik eredmĂŠnye, amelyben a 
Black--Sholes formula elĹĂĄll, mint az Ăşgynevezett Cox--Ross--Rubinstein 
ĂĄrazĂĄsi formula hatĂĄrĂŠrtĂŠke. Az ebben az eredmĂŠnyben tekintett 
Cox--Ross--Rubinstein modell egy alkalmas paramĂŠterekkel vĂĄlasztott
d.i.b.-$(B,S)_N$ piac.

\medskip
Megjegyzem, hogy a 9.1.8. TĂŠtelben szereplĹ $a_n&lt;r_n&lt;b_n$ minden 
$1\le n\le N$ indexre feltĂŠtel termĂŠszetes. Ugyanis igaz a 
kĂśvetkezĹ, a 9.2.3. KĂśvetkezmĂŠnyben megfogalmazott ĂĄll\'itĂĄs.

\medskip\noindent
{\bf 9.2.3. KĂśvetkezmĂŠny.} {\it TekintsĂźnk egy d.i.b.-$(B,S)$ 
piacot. JelĂślje $\{r_n\}_{n=1}^N$ a kamatlĂĄbakat,  ĂŠs 
$\{a_n\}_{n=1}^N$, $\{b_n\}_{n=1}^N$ az egyĂźtthatĂłkat. 
Ekkor a kĂśvetkezĹ ĂĄll\'itĂĄsok ekvivalensek.

\medskip\noindent
(1) LĂŠtezik ekvivalens martingĂĄl mĂŠrtĂŠk.

\medskip\noindent
(2) A piac kizĂĄrja az arbitrĂĄzs lehetĹsĂŠgĂŠt.

\medskip\noindent
(3) $a_n&lt;r_n&lt;b_n$ teljesĂźl minden $n=1,\dots,N$ esetĂŠn.}

\medskip
EzutĂĄn Kevei PĂŠter ``PĂŠnzĂźgyi folyamatok folytonos idĹben'' c\'imĹą
jegy\-ze\-tĂŠt tekintem ĂĄt. Azt magyarĂĄzom el, hogy az ott 
bevezetett fogalmak ĂŠs eredmĂŠnyek a diszkrĂŠt idejĹą folyamatok 
tĂĄrgyalĂĄsĂĄban bevezetett fogalmak ĂŠs eredmĂŠnyek termĂŠszetes megfelelĹi.

\medskip
ElĹszĂśr a diszkrĂŠt idejĹą modellekben bevezetett kĂśtvĂŠny, rĂŠszvĂŠny, 
pĂŠnz\-Ăźgyi stratĂŠgia, Ăśnfinansz\'irozĂł stratĂŠgia folytonos idejĹą 
megfelelĹit kell de\-fi\-ni\-ĂĄl\-nunk. 

Egy folytonos idejĹą piacon egy $(\Omega,{\cal A},P)$ valĂłsz\'inĹąsĂŠgi
mezĹt ĂŠrtĂźnk egy ${\cal F}_t$, $0\le t\le T$, filtrĂĄciĂłval
(feltesszĂźk, hogy $T$ valamely rĂśgz\'itett vĂŠges szĂĄm), ahol 
kĂśtvĂŠnyeket ĂŠs rĂŠszvĂŠnyeket lehet venni ĂŠs eladni. A kĂśtvĂŠnyek 
$B_t$ ĂĄra egy $t$ idĹpontban rĂśgz\'itett determinisztikus szĂĄm,
m\'ig a rĂŠszvĂŠnyek $t$ idĹpontbeli $S_t$ ĂĄra a vĂŠletlentĹl fĂźgg. Az
$S_t$, $0\le t\le T$, sztochasztikus folyamat egy az ${\cal F}_t$
 $\sigma$-algebrĂĄkhoz adaptĂĄlt It\^o folyamat.

Egy stratĂŠgia (portfĂłliĂł) olyan $\pi_t=(\beta_t,\gamma_t)$, 
$0\le t\le T$, az ${\cal F}_t$ $\sigma$-algebrĂĄkhoz adaptĂĄlt 
sztochasztikus folyamat, amelyre 
$$
\int_0^T|\beta_t|\,dt&lt;\infty, \quad \textrm{ĂŠs} \quad
\int_0^T\gamma_t^2\,dt&lt;\infty.
$$ 
Itt $\beta_t$ jelĂśli a $t$ idĹpontbeli 
kĂśtvĂŠnyeink, ĂŠs $\gamma_t$ a $t$ idĹpontbeli rĂŠszvĂŠnyeink szĂĄmĂĄt a 
$\pi_t=(\beta_t,\gamma_t)$, $0\le t\le T$, stratĂŠgia alkalmazĂĄsa
esetĂŠn. ($\beta_t$ ĂŠs $\gamma_t$ valĂłs szĂĄmok, amelyek negat\'iv
ĂŠrtĂŠket is felvehetnek.) A $\pi$ portfĂłliĂł ĂŠrtĂŠke a $t$ idĹpontban
$$
X_t^\pi=\beta_tB_t+\gamma_tS_t.
$$

DefiniĂĄlni akarjuk a diszkrĂŠt idejĹą esethez hasonlĂłan az 
Ăśnfinansz\'irozĂł stratĂŠgiĂĄkat a folytonos idĹben is. A Kevei
kĂśnyv bebizony\'itja, hogy a disz\-krĂŠt idejĹą Ăśnfinansz\'irozĂł
stratĂŠgiĂĄkra ĂŠrvĂŠnyes az 
$$
X^\pi_{n+1}-X^\pi_n=\beta_{n+1}(B_{n+1}-B_n)+\gamma_{n+1}(S_{n+1}-S_n).
$$
azonossĂĄg. (Megjegyzem, hogy ez a kĂŠplet megegyezik a diszkrĂŠt idejĹą 
Ăśn\-fi\-nan\-sz\'i\-ro\-zĂł stratĂŠgiĂĄknak a
GĂĄll--Pap kĂśnyv 8.2.7. LemmĂĄjĂĄban megadott (2) jel\-lem\-zĂŠ\-sĂŠ\-vel.) 
Ezen formula termĂŠszetes folytonos idejĹą megfelelĹje a
$$
dX^\pi_t=\beta_tdB_t+\gamma_tdS_t
$$
sztochasztikus differenciĂĄlegyenlet, ĂŠs ezt vĂĄlasztjuk az 
Ăśnfinansz\'irozĂł stra\-tĂŠ\-gia definiciĂłjĂĄnak a folytonos idejĹą 
piacok esetĂŠben.

Ărdemes definiĂĄlni a 8.2.16. DefiniciĂłban bevezetett diszkrĂŠt
idejĹą disz\-kon\-tĂĄlt ĂŠrtĂŠkfolyamat folytonos megfelelĹjĂŠt is.
Ez az $\bar S_t=S_t\frac{B_0}{B_t}$ kĂŠplettel definiĂĄlt 
diszkontĂĄlt rĂŠszvĂŠnyĂĄrfolyam ĂŠs az 
$\bar X^\pi_t=X^\pi_t\frac{B_0}{B_t}$ kĂŠplettel definiĂĄlt 
diszkontĂĄlt ĂŠrtĂŠkfolyamat. (Ezek a mennyisĂŠgek jelennek meg 
a diszkrĂŠt folyamatoknĂĄl fellĂŠpĹ martingĂĄl problĂŠmĂĄk folytonos 
megfelelĹjĂŠben.) Az egyszerĹąsĂŠg kedvĂŠĂŠrt a Kevei jegyzet csak 
azzal a speciĂĄlis esettel foglalkozik, amikor $B_t=e^{rt}$ 
valamely $r&gt;0$ szĂĄmra. Ebben az esetben
$$
\bar S_t=e^{-rt}S_t. \quad\textrm{ĂŠs}\quad \bar X_t^\pi=e^{-rt}X_t^\pi.
$$
Ărdemes az Ăśnfinansz\'irozĂł stratĂŠgia definiciĂłjĂĄt ĂĄtfogalmazni,
ĂŠs azt az $S_t$  ĂŠs $B_t$ mennyisĂŠgek helyett az $\bar S_t$ (ĂŠs a 
kĂŠp\-let\-ben vĂŠgĂźl nem megjelenĹ $\bar B_t$) mennyisĂŠgek 
seg\'itsĂŠgĂŠvel adni meg. ErrĹl szĂłl a Kevei jegyzet 6. Ăll\'itĂĄsa.

\medskip\noindent
{\bf 6. Ăll\'itĂĄs.}  {\it A $\pi_t=(\beta_t,\gamma_t)$ stratĂŠgia 
pontosan akkor Ăśnfinansz\'irozĂł, ha 
$$
\bar X^\pi_t=\bar X^\pi_0+\int_0^t \gamma_s\,d\bar S_s, \quad t\in[0,T].
$$
}

\medskip 
Ezek utĂĄn definiĂĄljuk az arbitrĂĄzs fogalmĂĄt, ami a diszkrĂŠt idejĹą
arbitrĂĄzs termĂŠszetes megfelelĹje.  A $\pi$ Ăśnfinansz\'irozĂł stratĂŠgia
akkor arbitrĂĄzs stratĂŠgia, ha $X^\pi_0=0$  majdnem biztosan,  
$X^\pi_T&gt;0$ majdnem biztosan, ĂŠs $P(X^\pi_T&gt;0)&gt;0$.
A piac arbitrĂĄzs mentes, ha nincs rajta arbitrĂĄzs stratĂŠgia.

SzeretnĂŠnk tudni, hogy mikor mondhatjuk azt, hogy egy folytonos
idejĹą piac arbitrĂĄzs mentes. Erre csak egy (jĂł) elĂŠgsĂŠges feltĂŠtelt 
tudunk adni. Az ezen feltĂŠtelt kimondĂł tĂŠtel a diszkrĂŠt idejĹą 
esetrĹl szĂłlĂł 9.2.1. TĂŠtel kĂśnnyebbik felĂŠnek a termĂŠszetes 
folytonos idejĹą megfelelĹje. Kevei PĂŠter is felidĂŠzi azt a 
definiciĂłt, hogy mikor mondunk egy $P$ ĂŠs $Q$ mĂŠrtĂŠket 
ekvivalensnek (pontosabban fogalmazva ekvivalensnek egy 
${\cal F}$ $\sigma$-algebra szerint). Akkor mondjuk, hogy ezek a
mĂŠrtĂŠkek ekvivalensek, ha mind $P$ abszolĂşt folytonos a $Q$ 
mĂŠrtĂŠkre nĂŠzve, mind $Q$ abszolĂşt folytonos a $P$ mĂŠrtĂŠkre nĂŠzve. 
A Kevei jegyzet az EMM (ekvivalens martingĂĄl mĂŠrtĂŠk) fogalmat 
hasznĂĄlja egy olyan $Q$ mĂŠrtĂŠkre, amely ekvivalens a $P$ 
mĂŠrtĂŠkkel az ${\cal F}_T$ $\sigma$-algebra sze\-rint, ĂŠs amelyre 
nĂŠzve az $\bar S_t$ diszkontĂĄlt rĂŠszvĂŠnyĂĄrfolyam martingĂĄl. 
Ez\-utĂĄn bebizony\'itja a kĂśvetkezĹ eredmĂŠnyt.

\medskip\noindent
{\bf 6. TĂŠtel.} {\it  Ha az  $(\Omega,{\cal A},S_t)$ valĂłsz\'inĹąsĂŠgi
mezĹn ${\cal F}_t$ filtrĂĄciĂłval valamilyen $S_t$ rĂŠszvĂŠnyekkel ĂŠs 
$B_t=e^{rt}$ kĂśtvĂŠnyekkel definiĂĄlt folytonos idejĹą piacon 
lĂŠtezik $Q$ EMM, akkor a piac arbitrĂĄzs mentes.}

\medskip
A Kevei jegyzet tĂĄrgyalja 8.2.10. DefiniciĂłban bevezetett diszkrĂŠt 
idejĹą fedezeti stratĂŠgia folytonos idejĹą megfelelĹjĂŠt is. ElĹszĂśr 
definiĂĄlja egy $f_T$ vĂŠletlen kĂśvetelĂŠs fogalmĂĄt. Azt mondja, 
hogy az $f_T$ vĂŠletlen kĂśvetelĂŠsek az ${\cal F}_T$ mĂŠrhetĹ
valĂłsz\'inĹąsĂŠgi vĂĄltozĂłk. Egy $\pi$ 
Ăśn\-fi\-na\-n\-sz\'i\-ro\-zĂł stratĂŠgia fedezeti stratĂŠgia az 
$f_T$ vĂŠletlen kĂśvetelĂŠsre $x$~kez\-dĹ\-tĹ\-k\-ĂŠvel, rĂśviden 
fogalmazva $\pi$ \hfill\break 
$(x,f_T)$ fedezet, ha
$$
X^\pi_T\ge f_T \;\; \textrm{majdnem biztosan, ĂŠs } X^\pi_0=x.
$$
Az $f_T$ kĂśvetelĂŠs $C_T(f_T)$ {\it igazsĂĄgos ĂĄrĂĄt}\/ a Kevei 
jegyzet Ăşgy definiĂĄlja, mint a legkisebb olyan $x$ ĂŠrtĂŠket, 
amelyre lĂŠtezik $(x,f_T)$ fedezet, azaz
$$
C_T(f_T)=\inf\{x\ge0\colon\; \textrm{lĂŠtezik }(x,f_T) \textrm{ fedezet}\}.
$$
Nem nehĂŠz belĂĄtni a 6. TĂŠtel seg\'itsĂŠgĂŠvel azt, hogy ha lĂŠtezik 
egy $Q$ EMM, akkor tetszĹleges $f_T$ vĂŠletlen kĂśvetelĂŠsre
$$
C(T,f_T)\ge E_Q(e^{-rT}f_T)
$$
az ezen $Q$ mĂŠrtĂŠk szerint vett vĂĄrhatĂł ĂŠrtĂŠkkel.

\medskip
A tovĂĄbbiakban a Kevei jegyzet pĂŠnzĂźgyi rĂŠsze elsĹsorban a
Black--Sholes modellel foglalkozik. Ebben olyan $B_t$ kĂśtvĂŠny
ĂŠs $S_t$ rĂŠszvĂŠnyĂĄrfolyamot vizsgĂĄlunk, amelyeket a
\begin{eqnarray*}
dB_t&amp;=&amp;rB_t\,dt,\quad B_0=1, \\
dS_t(\omega)&amp;=&amp;\mu S_t(\omega)\,dt+\sigma S_t(\omega)\,dW_t(\omega0, 
\quad S_0(\omega)=S_0
\end{eqnarray*}
egyenlet hatĂĄroz meg. Ebben az esetben $B_t=e^{rt}$, ĂŠs az $S_t$
rĂŠszvĂŠnyĂĄr ĂŠrtĂŠket szintĂŠn fel tudjuk \'irni a Kevei jegyzetben
tĂĄrgyalt 7. PĂŠlda alapjĂĄn. A Black--Sholes modell a homogĂŠn
d.i.b.-$(B,S)$ modellek termĂŠszetes folytonos idejĹą megfelelĹje.

Ărdemes fel\'irni Black--Sholes modellt meghatĂĄrozĂł egyenletet 
az $\bar S_t$ disz\-kon\-tĂĄlt rĂŠszvĂŠnyĂĄrfolyamra is. Az \'igy kapott 
egyenlet is megoldhatĂł, ĂŠs ezt felhasznĂĄlva a 
Girsanov tĂŠtel valamint a 6. TĂŠtel alapjĂĄn meg lehet mutatni, 
hogy a Black--Sholes modell arbitrĂĄzs mentes. SĹt, fel tudjuk 
\'irni explicit mĂłdon a  Black--Sholes modell esetĂŠben a 
6. TĂŠtelben megjelenĹ $Q=P_\mu$ EMM-t is, ĂŠs ez hasznos a tovĂĄbbi
vizsgĂĄlatokban. 

A jegyzet kĂśvetkezĹ eredmĂŠnye arrĂłl szĂłl, hogy egy Black--Sholes
mo\-dell\-ben tetszĹleges  olyan $e^{-rT}f_T$ vĂŠletlen kĂśvetelĂŠs, 
amelyre $E_\mu e^{-2rT}f_T^2&lt;\infty$, ahol $E_\mu$ vĂĄrhatĂł ĂŠrtĂŠket 
jelĂśl azon $P_\mu$ mĂŠrtĂŠk szerint, amelyik a Black-Sholes 
modellben EMM, fel\'irhatĂł  $X^\pi_T=e^{-rT}f_T$ alakban, ahol 
$\pi$ alkalmasan definiĂĄlt Ăśnfinansz\'irozĂł stratĂŠgia. HasonlĂł 
problĂŠmĂĄk vizsgĂĄlatĂĄval a diszkrĂŠt idejĹą pĂŠnzĂźgyi folyamatok 
tĂĄrgyalĂĄsĂĄban is ta\-lĂĄl\-koz\-tunk. Ott az a kĂŠrdĂŠs ĂŠrdekelt
minket, hogy mely pĂŠnzĂźgyi piacok teljesek. A teljessĂŠg fogalmĂĄt 
a 10.14. DefiniciĂłban vezettĂźk be.  A most megfogalmazott eredmĂŠny 
bizony\'itĂĄsa felhasznĂĄl nĂŠhĂĄny mĂŠly, a jegyzetben bizony\'itĂĄs 
nĂŠlkĂźl kĂśzĂślt tĂŠtelt, de a bizony\'itĂĄs mĂłdszere termĂŠszetes. 
Mivel a keresett $\bar X^\pi_t$ folyamat martingĂĄl a $P_\mu$
mĂŠrtĂŠk szerint, ezĂŠrt termĂŠszetes az $e^{-rT}f_T$  valĂłsz\'inĹąsĂŠgi 
vĂĄltozĂłt beĂĄgyazni egy $N_t$, $0\le t\le T$, martingĂĄlba Ăşgy, 
hogy $N_T=e^{-rT}f_T$. Ezt a kĂśvetkezĹ formulĂĄban tesszĂźk meg.
$$
N_t=E_{\mu}\left(e^{-rT}f_T|{\cal F}_t\right), \quad 0\le t\le T.
$$
EzutĂĄn a Kevei jegyzet felhasznĂĄl egy ott korĂĄbban bizony\'itĂĄs
nĂŠlkĂźl kimondott eredmĂŠnyt, amely szerint egy martingĂĄl fel\'irhatĂł
egy alkalmas Wiener folyamat szerinti It\^o integrĂĄl formĂĄjĂĄban.
Ezen eredmĂŠny seg\'itsĂŠgĂŠvel Kevei PĂŠter
az elĹbb definiĂĄlt $N_t$ martingĂĄlt fel\'irja
$$
N_t=N_0+\int_0^t Y_s\,d\tilde W^\mu_s,
$$
alakban, ahol $N_0=E_\mu e^{-rT}f_T$, $\tilde W^\mu_s$ a $P_\mu$ EMM
kiszĂĄm\'itĂĄsa sorĂĄn explicit mĂłdon megadott Wiener folyamat a 
$P_\mu$, mĂŠrtĂŠk szerint, ĂŠs $Y_t$ alkalmas adap\-tĂĄlt folyamat. 
EzutĂĄn  termĂŠszetes mĂłdon meg lehet talĂĄlni azt a 
Ăśn\-fi\-na\-nsz\'i\-ro\-zĂł $\pi_t=(\beta_t,\gamma_t)$ 
stra\-tĂŠ\-gi\-ĂĄt, amelyre egyrĂŠszt $N_t=\bar X^\pi_t$, mĂĄsrĂŠszt 
$\beta_tB_t+\gamma_tS_t=X^\pi_t=e^{rt}N_t$. Kevei PĂŠter 
jegyzetĂŠben ezt megteszi, ĂŠs a kapott ered\-mĂŠnyt a kĂśvetkezĹ 
lemmĂĄban fogalmazza meg.

\medskip \noindent
{\bf 7. Lemma.} {\it A jegyzetben  a 7. Lemma elĹtt megkonstruĂĄlt 
($\pi_t=(\beta_t,\gamma_t)$)  stratĂŠgia Ăśnfinansz\'irozĂł, 
$\bar X^\pi_t=N_t$, minden $0\le t\le T$ indexre, ĂŠs $N_T=e^{-rT}f_T$.} 

\medskip
Nem nehĂŠz belĂĄtni a 7. Lemma seg\'itsĂŠgĂŠvel a kĂśvetkezĹ eredmĂŠnyt.

\medskip\noindent
{\bf 7. TĂŠtel.} {\it A Black--Sholes modellben egy $f_T$ kĂśvetelĂŠs
igazsĂĄgos ĂĄra 
$$
C_T(f_T)=E_\mu (e^{-rT}f_T).
$$}

%\medskip
A 7. TĂŠtel eredmĂŠnyĂŠt alkalmazhatjuk speciĂĄlisan az eurĂłpai opciĂł
igaz\-sĂĄ\-gos ĂĄrĂĄnak a meghatĂĄrozĂĄsĂĄra. Ebben az esetben a 7. TĂŠtelt
az $f_T=|S_T-K|_+$ kĂśvetelĂŠs vĂĄlasztĂĄsĂĄval kell alkalmazni, ahol
$K$ az eurĂłpai opciĂł kifizetĂŠsi fĂźggvĂŠnye. Kevei PĂŠter megoldja
ezt a feladatot, ĂŠs eredmĂŠnykĂŠnt megkapja a h\'ires Black--Sholes
formulĂĄt. 

\medskip
A Kevei jegyzet kĂśzvetlenĂźl pĂŠnzĂźgyi folyamatokrĂłl szĂłlĂł rĂŠszĂŠnek 
utolsĂł tĂŠmĂĄja a diszkrĂŠt idejĹą pĂŠnzĂźgyi folyamatok vizsgĂĄlatĂĄban
bevezetett Cox--Ross--Rubinstein modell ĂŠs a Black--Sholes modell
viselkedĂŠsĂŠnek az Ăśssze\-ha\-son\-l\'i\-tĂĄ\-sa.

A Cox--Ross--Rubinstein modell egy olyan homogĂŠn d.i.b.-$(B,S)_N$ 
modell, amelyben  minden $N$ paramĂŠterre ($N$ a pĂŠnzĂźgyi lĂŠpĂŠsek 
szĂĄma) az $r=r_N$, $a=a_N$, ĂŠs $b=b_N$, $a_N&lt;r_N&lt;b_N$, paramĂŠtereket 
alkalmasan vĂĄlasztjuk. (Itt $B_{k,N}=(1+r_N)B_{k-1,N}$, 
$P(S_{k,N}=S_{k-1,N}(1+b_N))=p_N$, $P(S_{k,N}=S_{k-1,N}(1+a_N))=(1-p_N)$,
ahol $B_k=B_{k,N}$  a kĂśtvĂŠnyek,  $S_k=S_{k,N}$ a rĂŠszvĂŠnyek ĂĄra $k$-ik
ĂźzletkĂśtĂŠs idĹpontjĂĄban, ĂŠs $N$ az Ăśsszes ĂźzletkĂśtĂŠs szĂĄma. A $p_N$ 
valĂłsz\'inĹąsĂŠgek ĂŠrtĂŠkĂŠnek nincs jelentĹsĂŠge abban a problĂŠmĂĄban,
amelyet itt tĂĄrgyalunk.) Azt mutatjuk meg, hogy ezen paramĂŠterek 
alkalmas vĂĄlasztĂĄsa esetĂŠn nagy $N$ paramĂŠterekre a 
Cox--Ross--Rubinstein modell hasonlĂłan viselkedik a Black--Sholes 
modellhez. 

Pontosabban szĂłlva, tekintsĂźnk egy Black--Sholes 
modellt valamilyen $r$, $\mu$ ĂŠs $\sigma$ paramĂŠterekkel az Ĺt 
meg\-ha\-tĂĄ\-ro\-zĂł sztochasztikus dif\-fe\-ren\-ciĂĄl\-egyen\-let\-ben. 
Kevei PĂŠter jegyzetĂŠben megmutatja, hogy a $r=r_N$, $a=a_N$, 
ĂŠs $b=b_N$ paramĂŠterek alkalmas vĂĄlasztĂĄsĂĄval a 
Cox--Ross--Rubinstein modellben a $K$ kĂśtĂŠsi ĂĄrĂş eurĂłpai 
vĂŠteli opciĂł igazsĂĄgos ĂĄra ugyanennek az opciĂłnak a fenti 
paramĂŠterekkel definiĂĄlt Black--Sholes modell szerinti 
igazsĂĄgos ĂĄrĂĄhoz konvergĂĄl, ha  $N\to\infty$. 

Legyenek az $N$ lĂŠpĂŠses Cox--Ross--Rubinstein modellben az 
ĂźzletkĂśtĂŠsek idĹpontjai a $\tau_i=i h_N$, $0\le i&lt;N$, idĹpontok, 
ahol $h_N=\frac TN$. Legyen  $r_N=r\frac TN=rh_N$, ahol $r$ a
tekintett Black--Sholes modell $r$ paramĂŠtere. Ezzel a vĂĄlasztĂĄssal 
$B_{i,N}=(1+\frac {rT}N)^i\sim e^{r\tau_i}=B_{\tau_i}$ a tekintett
Black-Sholes modell $r$ ĂŠs $B_t$ paramĂŠtereivel.

DefiniĂĄljuk az $a_N$ ĂŠs $b_N$ paramĂŠtereket a
$$
\log\frac{1+b_N}{1+r_N}=\sigma\sqrt{h_N}, \quad
\log\frac{1+a_N}{1+r_N}=-\sigma\sqrt{h_N}
$$
kĂŠpletek seg\'itsĂŠgĂŠvel, ahol $\sigma$ a tekintett Black--Sholes 
modell megfelelĹ pa\-ra\-mĂŠ\-te\-re. Azt ĂĄll\'itjuk, hogy ezzel 
a vĂĄlasztĂĄssal igaz a Cox--Ross--Rubinstein modellben az eurĂłpai 
opciĂł igazsĂĄgos ĂĄrĂĄrĂłl szĂłlĂł ĂĄll\'itĂĄs. Ahhoz, hogy ezt belĂĄssuk, 
fel kell idĂŠzni azt, hogy ezt az igazsĂĄgos ĂĄrat hogyan szĂĄm\'itjuk ki.

ElĹszĂśr meg kell hatĂĄroznunk a Cox--Ross--Rubinstein modellben
a $P^*_N$ ekvivalens martingĂĄl mĂŠrtĂŠket. Ezt a 9.1.8. TĂŠtel 
seg\'itsĂŠgĂŠvel tehetjĂźk meg. Eszerint ezen ekvivalens martingĂĄl 
mĂŠrtĂŠk szerint tovĂĄbbra is igaz az $S_{k,N}=(1+\rho_{k,N})S_{k-1,N}$ 
azonossĂĄg, csak ebben az esetben az egymĂĄstĂłl fĂźggetlen $\rho_{k,N}$
valĂłsz\'inĹąsĂŠgi vĂĄltozĂłk eloszlĂĄsĂĄt a $P(\rho_{k,N}=b_N)=p_N^*$ ĂŠs
$P(\rho_{k,N}=a_N)=(1-p_N^*)$ kĂŠpletek hatĂĄrozzĂĄk meg, ahol 
$$
p_N^*=\frac{r_N-a_N}{b_N-a_N}.
$$

Az eurĂłpai $K$ kĂśtĂŠsi ĂĄrĂş vĂŠteli opciĂł igazsĂĄgos ĂĄra az $N$
ĂźzletkĂśtĂŠsi idĹpontot tartalmazĂł  Cox--Ross--Rubinstein modellben 
$$
C_N(K)=E^*_N\frac{|S_{N,N}-K|_+}{B_{N,N}}.
$$
Erre a kifejezĂŠsre kell jĂł aszimptotikus formulĂĄt adni. Annak
ĂŠrdekĂŠben, hogy ezt megtehessĂźk elĹszĂśr az $S_{N,N}$ valĂłsz\'inĹąsĂŠgi 
vĂĄltozĂłt \'irjuk fel al\-kal\-mas mĂłdon. Ennek ĂŠrdekĂŠben vezessĂźk
be az $Y_N$ valĂłszinĹąsĂŠgi vĂĄltozĂłkat, amelyek a $b_N$ ĂŠrtĂŠkĹą $\rho_{k,N}$
valĂłsz\'inĹąsĂŠgi vĂĄltozĂłk szĂĄmĂĄt jelĂślik a $\rho_{1,N},\dots,\rho_{N,N}$ 
sorozatban. Ekkor $Y_N$ Binom$(N,p^*_N)$, ezĂŠrt a
$Z_N=\frac{Y_N-Np^*_N}{\sqrt{Np^*_N(1-p^*_N)}}$ 
valĂłsz\'inĹąsĂŠgi vĂĄltozĂłk eloszlĂĄsban konvergĂĄlnak a standard
normĂĄlis eloszlĂĄshoz, ha $N\to\infty$.

A fentiek alapjĂĄn  fel\'irhatjuk, hogy
\begin{eqnarray*}
S_{N,N}  \!\!\!\!\!\!\!\!\! 
&amp;&amp;=S_{0,N}(1+b_N)^{Y_N}(1+a_N)^{N-Y_N}
=S_{0,N}\left(\frac{1+b_N}{1+a_N}\right)^{Y_N}(1+a_N)^N \\
&amp;&amp;= S_{0,N}\exp\biggl\{\left( \sqrt{Np_N^*(1-p^*_N)}Z_N+Np^*_N\right)
\log \frac{1+b_N }{1+a_N } \\
&amp;&amp;\qquad\qquad\qquad\qquad +N\log(1+a_N)\biggr\}.
\end{eqnarray*}
EzutĂĄn alkalmas sorfejtĂŠssel jĂł aszimptotikus formulĂĄt tudunk adni,
elĹszĂśr az $a_N$ ĂŠs $b_N$ majd az $S_{N,N}$ ĂŠs $C_N(K)$ mennyisĂŠgekre. 
Ennek seg\'itsĂŠgĂŠvel megkapjuk a k\'ivĂĄnt ĂĄll\'itĂĄs bizony\'itĂĄsĂĄt. 
A Kevei jegyzet bizony\'itĂĄsa ezen szĂĄmolĂĄsok vĂŠgrehajtĂĄsĂĄbĂłl ĂĄll.

VĂŠgĂźl megjegyzem, hogy a bizony\'itĂĄs sorĂĄn a $P^*_N$ illetve $P^*$ 
ekvivelens martingĂĄl mĂŠrtĂŠkkel ĂŠs nem a Cox--Ross--Rubinstein 
illetve Black--Sholes modell $P_N$ illetve $P$ eloszlĂĄsĂĄval 
dolgoztunk. Ennek kĂśvetkeztĂŠben a kapott eredmĂŠny nem fĂźgggĂśtt 
az elsĹ modell definiciĂłjĂĄban szereplĹ $p_N$ 
va\-lĂł\-sz\'i\-nĹą\-sĂŠ\-gek\-tĹl ĂŠs a mĂĄsodik modell 
definiciĂłjĂĄban szereplĹ $\mu$ paramĂŠtertĹl.




\end{document}





</pre></body></html>