\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\usepackage{amssymb,amsmath}
\usepackage{amsfonts}

\font\BBB=msbm10

\begin{document}

\begin{center}
\Large\bf Kiegészítés a Pénzügyi Matematika jegyzethez
\end{center}

\medskip\noindent
Tárgyalom néhány eredmény bizonyítását Gál József és Pap Gyula 
Pénzügyi Matematika jegyzetében. Olyan eredményeket tárgyalok,
amelyek bi\-zo\-nyí\-tá\-sa további tárgyalást érdemel, mert 
vagy nem hibátlan a bizonyítás vagy a jobb megértés érdekében 
érdemes a háttérben levő gondolatokat jobban elmagyarázni. Nem 
fogom a jelöléseket teljesen kidolgozni, inkább arra koncentrálok, 
hogy elmagyarázzak néhány a könyvben nem szereplő hasznos gondolatot.


Az első tárgyalandó téma a 9.1.2 lemma bizonyítása. Ez az eredmény
azt állítja, hogy ha létezik olyan $\pi=(\beta_n,\gamma_n)$, 
$n=0,1,\dots,N$, önfinanszírozó stratégia, amelyre $X^\pi_0\equiv0$, 
$P(X^\pi_N\ge0)=1$ és $P(X_N^\pi>0)>0$, akkor létezik arbitrázs 
stratégia is, azaz olyan önfinanszírozó stratégia, amelyre 
$X^\pi_0\equiv1$, $P(X^\pi_n\ge0)=1$ minden 
$0\le n\le N$ indexre és $P(X^\pi_N>0)>0$.

A könyv bizonyításában tekintenek olyan $\pi$ stratégiát, 
amely teljesíti az $X^\pi_0\equiv0$, $P(X^\pi_N\ge0)=1$ és 
$P(X^\pi_N>0)>0$ feltételt, és amennyiben ez nem teljesíti 
az erősebb $X^\pi_0\equiv0$, $P(X^\pi_n\ge0)=1$ minden 
$0\le n\le N$ indexre és $P(X^\pi_N>0)>0$ feltételt, akkor 
igyekeznek a tekintett stratégia módos\'{\i}tásával olyan 
stratégiát konstruálni, amelyik ezt a feltételt is teljesíti. 
A konstrukció során azonban figyelmen kívül hagyják, hogy a 
$\pi$ stratégiában szereplő $\beta_n$ és $\gamma_n$ 
mennyiségeknek bizonyos mérhetőségi feltételeket is 
teljesíteniük kell. Ezért a könyv bizonyítását módosítani kell.

Olyan módosítást javaslok, amelyben nem egy stratégiát, hanem 
stra\-té\-gi\-ák egy sorozatát definiáljuk, és azt állítom, 
hogy e stratégia sorozat tartalmaz egy a kívánt feltételeket 
teljesítő stratégiát is. Jel\"oljük a kiinduló $\pi$ stratégiát 
$\pi^{(1)}$-gyel, és defináljuk önfinanszírozó stratégiák egy 
$\pi^{(k)}$, $1\le k\le N$, sorozatát. Az a célunk, hogy olyan 
sorozatot definiáljunk, amelyben, ha valamelyik $\pi^{(k)}$ 
stratégia  nyereséges ugyan abban az értelemben, hogy
$X^\pi_0\equiv0$, $P(X_N^{\pi^{(k)}}\ge0)=1$ és 
$P(X_N^{\pi^{(k)}}>0)>0$, de létezik pozitív valószínűséggel 
olyan veszteséges véletlen $n^{(k)}(\omega)$ időpont, amelyben 
$X^{\pi^{(k)}}_{n^{(k)}(\omega)}(\omega)<0$, akkor a $k+1$-ik $\pi^{(k+1)}$ 
stratégia szintén nyereséges, és bár nem tudjuk kizárni 
veszteséges időpontok létezését, de ezek csak később 
jelenhetnek meg. Így, ha a kiinduló strat\'egia nem jó, 
akkor annak javítása már jobb. Ha az sem jó, akkor vesszük 
ennek javítását, és ezen javítások során az egyik lépésben 
arbitrázs stratégiát kapunk. 

A következő szukcesszív módszerrel definiáljuk a $\pi^{(k)}$, 
$1\le k\le N$, stra\-té\-gi\-á\-kat. Legyen $\pi^{(1)}=\pi$, 
és ha a $\pi^{(k)}$ stratégia már definiálva van, akkor a 
$\pi^{(k+1)}$ stratégiát a következő módon definiáljuk. Legyen 
$n_k(\omega)$ az a legkisebb $n$ index, amelyre 
$X^{\pi^{(k)}}_n(\omega)<0$, azaz 
$X^{\pi^{(k)}}_m(\omega)\ge0$, ha $m<n_k(\omega)$, és 
$X^{\pi^{(k)}}_{n_k(\omega)}(\omega)<0$. Ekkor legyen 
$\beta^{(k+1)}_m(\omega)=\gamma^{(k+1)}_m(\omega)=0$, ha 
$m\le n(\omega)$, és 
$\gamma_m^{(k+1)}(\omega)=\gamma_m^{(k)}(\omega)$,
$\beta_m^{(k+1)}(\omega)=\beta_m^{(k)}(\omega)-
\frac{X^{\pi^{(k)}}_{n_k(\omega)}(\omega)}{B_{n_k(\omega)}}$, 
ha $m>n_k(\omega)$. Ha $X^{\pi^{(k)}}_n(\omega)\ge0$ minden
$0\le n\le N$ indexre, akkor legyen
$\beta_n^{\pi^{(k+1)}}(\omega)=\gamma_n^{\pi^{(k+1)}}(\omega)=0$ 
minden $0\le n\le N$ indexre.

Be lehet látni, hogy az ilyen módon önfinanszírozó  $\pi^{(k)}$, 
$1\le k\le N$, stratégiákat definiáltunk. Ha  $\pi^{(1)}$ 
arbitrázs, akkor megtaláltuk a kívánt stratégiát,
ha nem az, akkor $\pi^{(2)}$ olyan stratégia, amelyre
$X^{\pi^{(2)}}_0\equiv0$, to\-v\'ab\-b\'a
$P(X^{(\pi^{(2)})}_N\ge0)=1$ és $P(X^{(\pi^{(2)})}_N>0)>0$,
és azon $n_2(\omega)$ időpontra, amelyre az 
$X_{n_2(\omega)}^{\pi^{(2)}}(\omega)<0$ esemény először következik 
be $n_2(\omega)\ge n_1(\omega)+1$. Hasonlóan definiálva az 
$n_k(\omega)$ időpontot minden $1\le k\le N$ indexre, mint 
azt a legkisebb számot, amelyre 
$X_{n_k(\omega)}^{\pi^{(k)}}(\omega)<0$ azt kapjuk, hogy ha a 
$\pi^{(j)}$, $1\le j\le k$ stratégiák egyike sem arbitrázs, 
akkor $X^{\pi^{(j)}}_0\equiv0$, $P(X^{(\pi^{(j)})}_N\ge0)=1$ és
$P(X^{(\pi^{(j)})}_N>0)>0$ minden $1\le j\le k+1$ indexre. Továbbá 
$n_{j+1}(\omega)\ge n_j(\omega)+1$ minden $1\le j\le k$
indexre. Innen következik, hogy valamelyik $k$ indexre $\pi^{(k)}$ 
arbitrázs stratégia.

\medskip
A következő részben a 9.2.1 tétel bizonyítását ismertetem. Ez
az ered\-mény arról szól, hogy egy d.i.-$(B,S)_N$ piac akkor és 
csak akkor zárja ki az arbitrázs lehetőségét, ha létezik a
piac definiciójában szereplő $(\Omega,{\cal F},P)$ valószínűségi 
mezőn a $P$ valószínűségi mértékkel ekvivalens $P^*$ 
(va\-ló\-szí\-nű\-sé\-gi) martingál mérték. Egy  $P^*$ 
valószínűségi mértéket akkor nevezünk martingál mértéknek, 
ha a piac definiciójában szereplő $(\Omega,{\cal F},P)$, 
valószínűségi mezőn a $P$ mértéket kicserélve erre a $P^*$ 
mértékre az $(\frac{S_n}{B_n},{\cal F}_n)$, $n=0,\dots,N$, 
sorozat martingál a $P^*$ mérték szerint. A 9.2.1 tétel
bizonyításának jobb megértése érdekében érdemes felidézni a
9.1.7 lemmát, amely szerint, ha 
$(\frac{S_n}{B_n},{\cal F}_n)$, $n=0,1,\dots,N$, 
martingál a ($P^*$ mérték szerint), akkor tetszőleges 
$\pi$ önfinanszírozó stratégia esetén
az $(\frac{X^\pi_n}{B_n},{\cal F}_n)$, $n=0,1,\dots,N$ sorozat is 
mar\-tin\-gál a ($P^*$ mérték szerint).

\medskip
Annak bizonyítása, hogy egy $P^*$ ekvivalens martingál mérték létezése
kizárja az arbitrázst viszonylag egyszerű. Ekkor ugyanis véve
egy tetszőleges $\pi$ önfinanszírozó stratégiát, amelyre $X^\pi_0=0$ 
azt kapjuk, hogy $E^*X_N^\pi=0$, (ahol a $P^*$ valószínűségi 
mérték szerint vettük az $E^*$ várható értéket), ezért
$P^*(X^\pi_N\ge0)=1$ és $P^*(X^\pi_N>0)>0$ egyszerre nem lehetséges.
De akkor nem lehetséges az sem, hogy 
$P(X^\pi_N\ge0)=1$ és $P(X^\pi_N>0)>0$ egyszerre a $P^*$ és $P$ 
mértékek ekvivalenciája miatt. Ez a 9.1.2 tétel alapján azt 
jelenti, hogy ebben az esetben nincs arbitrázs.

A másik irányú állítás, tehát annak a bizonyítása, hogy ha nincs
arbitrázs akkor létezik ekvivalens martingál mérték nehezebb, 
mert ekkor meg kell konstruálni egy $P^*$ ekvivalens martingál 
mértéket. Annak érdekében, hogy ezt megtehessük tegyük előbb 
a következő észrevételeket.

A vizsgált modellben az $(\Omega,{\cal F},P)$ valószínűségi mező 
elemi eseményei az $\omega=(S_0,\dots,S_N)$ alakú sorozatok, ahol 
$S_n$, $0\le n\le N$, a részvények ára az $n$ időpontban. Továbbá
$P(\omega)=P(S_0,\dots,S_N)>0$ minden $\omega$ ele\-mi eseményre, 
és az $S_n(\omega)$ valószínűségi változ\'okat az $S_n(\omega)=S_n$,
$0\le n\le N$, képlet segítségével definiáljuk. A valószínűségi 
mező véges sok elemi eseményt tartalmaz, legyen ezek száma $k$, 
és jel\"oljük  $\omega_1,\dots,\omega_k$-val az elemi eseményeket.
Ekkor a valószínűségi mezőn definált függvények tekinthetők úgy,
mint az $k$-dimenziós Euklideszi téren definiált 
$\xi=(\xi(\omega_1),\dots,\xi(\omega_k))$ alakú függvények tere. 
Tekintsük a valószínűségi mezőn definiált függvények terén ható 
lineáris funkcionálokat. Ezek egyszerűen leírhatók, és ezek a 
lineáris funkcionálok érdekesek lesznek számunkra. Nevezetesen, 
minden lineáris funkcionál ezen a téren megadható egy 
$(q_1,\dots,q_k)$ sorozattal, úgy, hogy adva egy $\ell(\cdot)$ 
funkcionál ezen a téren $\ell(\xi)=\sum_{j=1}^k q_j\xi(\omega_j)$ 
minden $\xi=(\xi(\omega_1),\dots,\xi(\omega_k))$  függvényre.

Ez azt jelenti, hogy minden lineáris funkcionál a valószínűségi
mezőn definiált függvények terén azonosítható egy 
$Q=(q_1,\dots,q_k)$ előjeles mér\-ték\-kel a valószínűségi
mezőn a következő képlet segítségével: $Q(\omega_j)=q_j$  minden 
$1\le j\le k$ indexre. Ez a $Q$ el\H{o}jeles mérték akkor és csak 
akkor nem-negatív, ha $q_j\ge0$ minden $1\le j\le k$ indexre, és 
akkor ekvivalens is ezen kívül a $P$ mértékkel, ha a szigorúbb 
$q_j>0$, $1\le j\le k$, egyenlőtlenség is teljesül. Ekkor  
alkalmas konstanssal megszorozva a funkcionált egy a $P$ 
mértékkel ekvivalens valószínűségi mértéket kapunk. Célunk 
olyan lineáris funkcionál konstrukciója a valószínűségi mezőn 
definiált függvények terén, amely egy a $P$ mértékkel 
ekvivalens martingál mértéket határoz meg.

Ennek érdekében először definiáljuk a következő két a
valószínűségi mezőn definiált függvényeket tartalmazó halmazt.
\begin{eqnarray}
&&{\cal V}_0=\{\xi\colon\; \Omega\to R|\textrm { létezik olyan $\pi$ 
önfinanszírozó stratégia} \label{1}   \\
  && \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad  
\textrm{ amelyre } X^0_\pi=0 \textrm{ és } X^\pi_N=\xi\}, \nonumber
\end{eqnarray}
\begin{equation}
{\cal V}_1=\{\xi\colon\; \Omega\to R|\;\xi\ge0 \textrm{ és  } E\xi=1\}.
\label{2}
\end{equation}
A konvex analízis egyik klasszikus tétele szerint, mivel ${\cal V}_1$
konvex, kompakt halmaz,  ${\cal V}_0$ az $\Omega$ halmazon definiált 
függvények line\'aris altere, és ${\cal V}_0\cap{\cal V}_1=\emptyset$, 
ha nincs arbitrázs mérték, ezért létezik olyan $\ell$ lineáris 
funk\-cio\-nál az $\Omega$ halmazon definiált függvények terén, 
amelyre $\ell(\xi)=0$ minden $\xi\in{\cal V}_0$ és $\ell(\xi)>0$ 
minden $\xi\in{\cal V}_1$ függvényre. E jegyzet kieg\'esz\'it\'es\'eben
ismertetem ezt az eredm\'enyt \'es annak bizony\'it\'as\'at.  

(Az, hogy  ${\cal V}_1$ konvex, kompakt halmaz, és  ${\cal V}_0$ 
lineáris altér könnyen lát\-ha\-tó. A ${\cal V}_0\cap{\cal V}_1=\emptyset$ 
reláció azért igaz, mert ha létezne $\xi\in{\cal V}_0\cap{\cal V}_1$ 
függvény, akkor lenne olyan $\pi$ önfinanszírozó stratégia, amelyre 
$X_0^\pi=0$, $X_N^\pi=\xi$ és mivel $\xi\in{\cal V}_1$,
$P(\xi=X_N^\pi\ge0)=1$, $P(\xi=X_N^\pi>0)>0$, amiből következik, hogy
létezik arbitrázs stratégia.) Azt állítom, hogy egy ilyen $\ell$ 
líneáris funkcionál alkalmas konstansszorosa a $P$ mértékkel 
ekvivalens $P^*$ martingál mértéket határoz meg.

Abból, hogy $\ell(\xi)>0$ minden $\xi\in{\cal V}_1$ függvényre 
következik, hogy az $\ell$ funkcionált meghatározó $q_1,\dots,q_k$ 
konstansok mindegyikére  $q_j>0$. Valóban véve valamelyik 
$1\le j\le k$ indexet és definiálva azt a  $\xi_j$ függvényt, 
amelyre $\xi_j(\omega_j)=\frac1{P(\omega_j)}$, és  
$\xi_j(\omega_l)=0$, ha $l\neq j$, azt kapjuk, hogy $\xi_j\ge0$, 
\'es $E\xi_j=1$, ezért $\xi_j\in{\cal V}_1$, tehát 
$\ell(\xi_j)=\frac{q_j}{P(\omega_j)}>0$. Ez azt jelenti, hogy az 
$\ell$ lineáris operátort megszorozva alkalmas konstanssal egy 
a $P$ valószínűségi mértékkel ekvivalens $P^*$ mértéket kapunk.

Továbbá, mivel az $\ell$ funkcionál értéke nullával egyenlő a 
${\cal V}_0$ altéren azt is tudjuk, hogy $E^*X_N^\pi=0$ minden 
olyan $\pi$ önfinanszírozó stratégiára, amelyre $X_0^\pi=0$. Azt 
állítom, hogy ebből következik, hogy $P^*$ martingál mérték. 
Jegyezzük meg, hogy ha $P^*$ martingál mérték, akkor a 9.1.7 
Lemma alapján teljesül az $E^*X^\pi_N=0$ azonosság minden olyan 
önfinanszírozó $\pi$ stratégiára, amelyre $X_0^\pi=0$. Azt állítom 
tehát, hogy ez a tulajdonság nemcsak szükséges, hanem elégséges 
feltétele is annak, hogy $P^*$ martingál mérték legyen. 

Azt kell belátni, hogy ezen feltételek teljesülése esetén
$\frac{S_n}{B_n}$, $0\le n\le N$, martingál a $P^*$ valószínűségi
mérték szerint. Felhasználva a jegyzet Appendixében szereplő
A.2.30 Állítást elég belátni azt, hogy tetszőleges 
$\tau\colon\;\Omega\to\{0,\dots,N\}$ megállási idő esetén 
\begin{equation}
E^*\left(\frac{S_\tau}{B_\tau}-\frac{S_0}{B_0}\right)=0. \label{3}
\end{equation}
Ezt az azonosságot úgy látjuk be, hogy minden 
$\tau\colon\;\Omega\to\{0,\dots,N\}$ megállási idő esetén 
konstruálunk olyan $\pi=\pi_\tau$ önfinansz\'irozó stratégiát, 
amelyre  $EX^\pi_0=0$, és az $E^*X^\pi_N=0$ azonosság ekvivalens 
a (\ref{3}) relációval ezzel a $\tau$ megállási szabállyal.

A következő módon konstruáljuk ezt a $\pi$ önfinanszirozó stratégiát.
Legyen a nulla időpontban 1 részvényünk és $-\frac{S_0}{B_0}$ 
kötvényünk. Ekkor $X_0^\pi=0$. Várjunk a $\tau$ időpontig, 
akkor adjuk el a részvényünket, és a kapott pénzen vegyünk 
k\"otvényt. Ez azt jelenti, hogy az $n\le\tau$   időpontokban
1 részvényünk és $-\frac{S_0}{B_0}$ kötvényünk van,
m\'ig a $\tau<n\le N$ időpontokban nulla részvényünk és 
$\frac{S_\tau}{B_\tau}-\frac{S_0}{B_0}$ kötvényünk van. 
Képletben kifejezve olyan $\pi=(\beta_n,\gamma_n)$, 
$0\le n\le N$, stratégiát követünk, amelyben
$$
\beta_n=\frac{S_\tau}{B_\tau}I_{\{n>\tau\}}-\frac{S_0}{B_0}, \quad
\gamma_n=I_{\{n\le\tau\}}.
$$
Nem nehéz belátni, hogy ez a $\pi$ stratégia önfinansz\'irozó, 
és mivel $X^\pi_0=0$, ezért $X^\pi_n\in{\cal V}_0$. \'Igy 
$\ell(X^\pi_N)=0$, \'es $E^*X^\pi_N=0$.  Ez azt jelenti, hogy 
\begin{eqnarray*}
0=E^*X_N^\pi&=&E^*(\beta_NB_N+\gamma_NS_N) \\
&=&E^*\left(\left(\frac{S_\tau}{B_\tau}I_{\{N>\tau\}}-\frac{S_0}{B_0}\right)
B_N +I_{\{\tau=N\}}S_N\right).
\end{eqnarray*}
Mivel $I_{\{\tau=N\}}S_N=\frac{S_\tau}{B_\tau}I_{\{\tau=N\}}B_N$,
ezért a fenti azonosság alapján
$$
0=E^*\left(\left(\frac{S_\tau}{B_\tau}I_{\{N>\tau\}}-\frac{S_0}{B_0}\right)
B_N +\frac{S_\tau}{B_\tau}I_{\{\tau=N\}}B_N\right)
=B_NE^*\left(\frac{S_\tau}{B_\tau}-\frac{S_0}{B_0}\right). 
$$
Innen következik a (\ref{3}) reláció, és a 9.2.1 tételt bebizony\'itottuk.

\medskip
Végül a 10.1.5 Tétel bizonyítását tárgyalom. Ezen eredmény 
megfogalmazása előtt a könyv bevezeti a piac teljességének a
fogalmát. Akkor mondjuk, hogy egy piac teljes, ha minden a
piacot definiáló $(\Omega,{\cal A},P)$ valószínűségi  mezőn 
definiált $\xi$ valószínűségi változóhoz létezik olyan $\pi$ 
önfinanszírozó stratégia, amelyikre  $X^\pi_N=\xi$. A 10.1.5 
tétel első fele azzal a kérdéssel foglalkozik, hogy egy 
arbitrázs mentes piac mikor teljes. A 8.2.1 Tétel alapján 
tudjuk, hogy egy piac akkor és csak akkor arbitrázs mentes, 
ha létezik rajta egy a $P$ mértékkel ekvivalens $P^*$ martingál 
mérték. A teljesség jellemzését ezen $P^*$ ekvivalens martingál 
mérték segítségével adjuk meg. A 10.1.5 Tétel első állítása, 
amelyet a könyv ismertetésében 10.1.5.A Tétel alakban fogalmaztam 
meg, azt állítja, hogy egy arbitrázs mentes piac akkor és csak 
akkor teljes, ha egyetlen a $P$ mértékkel ekvivalens martingál 
mérték létezik rajta. Először ennek az állításnak a bizonyítását 
ismertetem.

A bizonyítások ismertetése előtt megjegyzem, hogy azok kihasználják 
a következő két tényt. Ha adva van $\sigma$-algebr\'ak
${\cal F}_0\subset\cdots\subset{\cal F}_N\subset{\cal A}$ sorozata
\'es egy $M$ ${\cal F}_N$ m\'erhet\H{o} valószínűségi v\'altoz\'o 
egy  $(\Omega, {\cal A},P)$ valószínűségi mezőn, akkor
l\'etezik egyetlen olyan $N$ elem\H{u} $(M_0,{\cal F}_0)$, 
$(M_1,{\cal F}_1)$,\dots, $(M_N,{\cal F}_N)$ martingál 
az  $(\Omega, {\cal A},P)$ valószínűségi mezőn, amelyre $M_N=M$.
Nevezetesen e marting\'al elemeit a k\"ovetkez\H{o} k\'eplet
hat\'arozza meg: $M_n=E(M_N|{\cal F}_n)$ minden $0\le n\le N$ indexre. 
Egy másik eredmény, nevezetesen a 9.1.7 Lemma szerint, ha $P^*$ a 
$P$ mértékkel ekvivalens martingál mérték egy piacon, és $\pi$ 
önfinanszírozó stratégia, akkor az $\frac{B_0}{B_n}X^\pi_n$, 
$0\le n\le N$, sorozat martingál a $P^*$ mérték  szerint.

Annak bizonyítása, hogy egy teljes piacon nem lehet két különböző 
ekvivalens martingál mérték viszonylag egyszerű. Azt kell belátni, 
hogy ha $P^*$ és $P^{**}$ két a $P$ mértékkel ekvivalens martingál 
mérték, és $A$ tetszőleges mérhető halmaz a piacot meghatározó 
valószínűségi mezőn, akkor $P^*(A)=P^{**}(A)$. Innen ugyanis 
következik, hogy$P^*=P^{**}$.

Viszont a piac teljessége miatt tudjuk, hogy létezik olyan $\pi$ 
önfinanszírozó strat\'egia, amelyre $\frac{B_0}{B_N}X^\pi_N=I_A$.
Kihasználva, hogy $\frac{B_0}{B_n}X^\pi_n$, $0\le n\le N$, 
martingál mind a $P^*$ mind a $P^{**}$ mérték szerint, 
felírhatjuk, hogy 
$P^*(A)=E^*I_A=E^*\frac{B_0}{B_N}X^\pi_N=E^*X^\pi_0=X^\pi_0$, és
$P^{**}(A)=E^{**}I_A=E^{**}\frac{B_0}{B_N}X^\pi_N=E^{**}X^\pi_0=X^\pi_0$.
Ezért $P^*(A)=P^{**}(A)$. (A fenti számolásban felhasználtuk, hogy
$P^*$ és $P^{**}$ a $P$ mértékkel ekvivalens mértékek. Ebből 
következik ugyan\-is, hogy a $X^\pi_0$ valószínűségi változó, amely 
1 valószínűséggel konstans a $P$ mérték szerint 1  valószínűséggel 
egyenlő ugyanezzel a konstanssal a $P^*$ és $P^{**}$ mértékek szerint 
is.)

\medskip
A következő lépésben azt bizony\'itjuk be, hogy ha a piacon
egyetlen a $P$ valósz\'inűségi mértékkel ekvivalens $P^*$ martingál
mérték létezik, akkor a piac teljes. Ennek érdekében először a 
következő áll\'itást bizony\'itjuk be. 

Vezessük be a következő ${\cal V}_2$ halmazt az $\omega$ téren 
definiált függvények terén: 
$$
{\cal V}_2=\{\xi\colon\; \Omega\to R| \;E^*\xi=0\}. 
$$
Azt áll\'itom, hogy adott feltétel teljesülése esetén 
${\cal V}_2={\cal V}_0$,
ahol a a ${\cal V}_0$ halmazt az (\ref{1}) formulában definiáltuk.
Az, hogy ${\cal V}_0\subset{\cal V}_2$ következik a 9.17 lemmából.
Azt fogom bebizony\'itani, hogy ha ${\cal V}_2\neq{\cal V}_0$, 
akkor létezik $R\neq P^*$ a $P$ mértékkel ekvivalens martingál mérték.

Ehhez azt kell megmutatni a 9.2.1 Tétel bizony\'itásában igazolt
áll\'itások alapján, hogy ha a $P^*$ martingál mértéket a 
$P^*(\omega_j)=q_j$, $1\le j\le k$, formulák
határozzűk meg, akkor létezik olyan $r=(r_1,\dots,r_k)$ vektor, 
amely\-re $\langle r,\xi(\omega)\rangle=\sum_{j=1}^kr_j\xi(\omega_j)=0$
minden $\xi\in{\cal V}_0$ vektorra, $r_j>0$ minden $1\le j\le k$ 
indexre, és a $q=(q_1,\dots,q_k)$ és  $r=(r_1,\dots,r_k)$ vektorok nem
párhuzamosak, azaz nem létezik olyan $c$ konstans, amelyre $r_j=cq_j$ 
minden $1\le j\le k$ indexre.

Vegyük észre, hogy abból, hogy ${\cal V}_2\neq{\cal V}_0$, 
következik, hogy létezik olyan $z=(z_1,\dots,z_k)\in{\cal V}_2$ 
vektor, amely merőleges ${\cal V}_0$ altérre, azaz
$\langle z,\xi(\omega)\rangle=\sum_{j=1}^k z_j\xi(\omega_j)=0$, 
ha $\xi=(\xi(\omega_1),\dots,\xi(\omega_k))\in{\cal V}_0$.

Legyen $\varepsilon>0$ egy elég kicsi szám, $r_j=q_j+\varepsilon z_j$ 
minden $1\le j\le k$ indexre, és legyen $r=(r_1,\dots,r_k)$. Ekkor 
$r_j>0$,  mert $q_j>0$, és az $\varepsilon>0$ együttható elég
kicsi minden $1\le j\le k$ indexre, 
$\langle r,\xi(\omega)\rangle=\langle q,\xi(\omega)\rangle
+\varepsilon\langle z,\xi(\omega)\rangle=0$, ha $\xi(\omega)\in{\cal V}_0$.
Az $r$ és $q$ vektorok nem párhuzamosak, mert $\langle q,z\rangle=0$,
azaz $q$ és $z$ merőleges vektorok. 
Az utolsó azonosság azért igaz, mert $\langle q,\xi\rangle=E^*\xi=0$ 
minden $\xi\in{\cal V}_2$ vektorra, és $z\in{\cal V}_2$. Ez azt jelenti, 
hogy az $r=(r_1,\dots,r_k)$ vektor teljes\'iti a k\'ivánt tulajdonságokat,  
ezért ${\cal V}_0={\cal V}_2$ feltételeink teljesülése esetén.

A ${\cal V}_0={\cal V}_2$ azonosság seg\'itségével könnyen beláthatjuk
a piac teljességét. Ebből az azonosságból következik, hogy minden
olyan valósz\'inűségi $\eta$ vál\-to\-zó\-ra, amelyre $E^*\eta=0$, 
létezik olyan $\pi$ önfinansz\'irozó stratégia, amelyre $X^\pi_N=\eta$. 
Másrészt egy $\zeta\equiv c$ konstans valósz\'inűségi változóhoz
d\-efi\-ni\-ál\-ha\-tunk egy triviális önfinansz\'irozó stratégiát
a $\pi^0=(\beta_n^0,\gamma^0_n)$, 
$\beta_n=\frac c{B_N}$, $\gamma_n=0$ minden $0\le n\le N$ indexre 
képletek seg\'itségével, és erre a strat\'egiára $X^{\pi^0}_N\equiv c$.
Mivel tetszőleges valósz\'inűségi változót fel\'irhatunk $\xi=\eta+c$ 
alakban, ahol $\eta=\xi-E^*\xi$, ezért $E\eta=0$, és $c=E^*\xi$,
innen következik $\xi=X^{\pi'}_N$ a $\pi'=\pi+\pi^0$ önfinansz\'irozó
stratégiával, ahol $\eta=X^\pi_N$, $E^*\xi=X^{\pi^0}_N$, alkalmas $\pi$ 
és $\pi^0$ önfinansz\'irozó stratégiákkal.

\medskip
Tárgyalom a 10.1.5 Tétel második felének a bizony\'itását is, amelyet
a könyv ismertetésében 10.1.5.B Tétel néven fogalmaztam meg.
Ez az is\-mer\-te\-tés\-től kissé eltérő megfogalmazásban a következőt
mondja. 

\medskip\noindent
{\bf 10.1.5.B Tétel.} {\it Tekintsünk egy arbitrázs mentes
piacot egy a $P$ va\-ló\-sz\'i\-nű\-sé\-gi mértékkel ekvivalens 
$P^*$ martingál mértékkel. Ekkor az az áll\'itás, hogy a piac 
teljes ekvivalens az alábbi (A) áll\'itással. 

\medskip\noindent
(A) Tetszőleges $(M_n,{\cal F}_n,P^*)_{0\le n\le N}$ martingál 
előáll\'itható
\begin{equation}
M_n=M_0+\sum_{k=1}^n\gamma_k \left(\frac{S_k}{B_k}
-\frac{S_{k-1}}{B_{k-1}}\right), \quad n=1,\dots,N, \label{4}
\end{equation}
alakban,  ahol a $\gamma_n$-ek ${\cal F}_{n-1}$-mérhető
valósz\'inűségi változók, ($n=1,\dots,N$).} 

\medskip\noindent
Lássuk be először azt, hogy a teljességből következik a a (\ref{4})
formula.

Legyen adva egy $M_0,\dots,M_N$ martingál, és vegyünk olyan  
$\pi=(\beta_n,\gamma_n)$, $n=0,\dots,N$, önfinanszírozó
stratégiát, amelyre $M_N=\frac{X^\pi_N}{B_N}.$
Mivel mind az $M_n$, $n=0,1,\dots,N$, mind az 
$\frac{X^\pi}{B_n}$, $n=0,1,\dots,N$, sorozat martingál, innen
következik, hogy
$$
M_n=E^*(M_N|{\cal F}_n)=E^*\left.\left(\frac{X^\pi_N}{B_N}\right|{\cal F}_n\right)
=\frac{X_n}{B_n}
$$
minden $n=0,1,\dots,N$ indexre, ahonnan $M_n-M_{n-1}=
\frac{X^\pi_n}{B_n}-\frac{X^\pi_{n-1}}{B_{n-1}}$, $n=1,2,\dots,N$.
Mivel $\pi$ önfinanszírozó stratégia, ez\'ert bizonyos algabrai
össze\-füg\-gé\-se\-ket írhatunk fel a 
$\frac{X^\pi_n}{B_n}-\frac{X^\pi_{n-1}}{B_{n-1}}$ kifejezés kiszámolásánál.
Nevezetesen, mivel $X^\pi_n=\beta^\pi_nB_n+\gamma^\pi_n S_n$, és
$X^\pi_{n-1}=\beta^\pi_nB_{n-1}+\gamma^\pi_n S_{n-1}$ az önfinanszírozó 
tulajdonság miatt, ezért
\begin{eqnarray*}
M_n-M_{n-1}&=&\frac{X^\pi_n}{B_n}-\frac{X^\pi_{n-1}}{B_{n-1}}=
\frac{\beta^\pi_nB_n+\gamma^\pi_n S_n}{B_n}-
\frac{\beta^\pi_nB_{n-1}+\gamma^\pi_n S_{n-1}}{B_{n-1}} \\
&=&\gamma^\pi_n\left(\frac{S_n}{B_n}-\frac{S_{n-1}}{B_{n-1}}\right)
\end{eqnarray*}
minden $n=1,2,\dots$ indexre, ahonnan
$$
M_n=M_0+\sum_{k=1}^n
\gamma^\pi_k\left(\frac{S_k}{B_k}-\frac{S_{k-1}}{B_{k-1}}\right).
$$
Ez azt jelenti, hogy a (\ref{4}) formula érvényes.


\medskip
Megmutatjuk, hogy az (A) tulajdonságból következik, hogy a piac
teljes.

Adva egy $\xi$ valószínűségi változó, tekintsük azt az $M_0,\dots,M_N$ 
mar\-tin\-gált, amelyre $M_N=\frac\xi{B_N}$. Ekkor 
$M_n=E^*\left.\left(\frac{\xi}{B_N}\right|{\cal F}_n\right)$ minden
$n=0,1$, \dots,$N$ indexre. Tudjuk, hogy minden $\pi$ önfinanszírozó
stratégiára az  $\frac{X^\pi_n}{B_n}$, $n=0,1,\dots,N$, sorozat 
martingál a $P^*$ m\'ert\'ek szerint. Olyan  $\pi$ önfinanszírozó stratégiát
keresünk, amelyre $X^\pi_N=\xi$, azaz $\frac{X^\pi_N}{B_N}=M_N$. Ez
viszont csak úgy lehetséges, ha $\frac{X^\pi_n}{B_n}=M_n$ minden 
$n=0,1,\dots,N$ indexre. Felhasználjuk, hogy az $M_n$, $n=1,2,\dots,N$,
martingál elemei a (\ref{4}) formula alapján 
$$
M_n=M_0+\sum_{k=1}^n
\gamma_k\left(\frac{S_k}{B_k}-\frac{S_{k-1}}{B_{k-1}}\right),
\quad n=1,\dots,N,
$$
alakban írhatóak $\gamma_k$ ${\cal F}_{k-1}$ mérhető valószínűségi
változókkal. 

A keresett $\pi=(\beta^\pi_n,\gamma^\pi_n)$, $n=0.1,\dots,N$ 
önfinanszírozó stratégiát úgy kell választani, hogy 
$M_n-M_{n-1}
=\gamma_n\left(\frac{S_n}{B_n}-\frac{S_{n-1}}{B_{n-1}}\right)=
\frac{X^\pi_n}{B_n}-\frac{X^\pi_{n-1}}{B_{n=1}}$. Vi\-szont az
előző részben végrehajtott számításokban megmutattuk, hogy
$$
\frac{X^\pi_n}{B_n}-\frac{X^\pi_{n-1}}{B_{n-1}}=
\gamma^\pi_n\left(\frac{S_n}{B_n}-\frac{S_{n-1}}{B_{n-1}}\right),
$$
ezért ez csak úgy lehetséges,
ha $\gamma^\pi_n=\gamma_n$ minden $n=1,2,\dots,N$ indexre. Annak
érdekében, hogy biztosítsuk az $M_n=\frac{X^\pi_n}{B_n}$ azonosságot 
minden $n=0,1,\dots,N$ indexre definiáljuk a
$\pi=(\beta^\pi_n,\gamma^\pi_n)$, $n=0,1,\dots,N$, stratégiát
a következő módon. 
$$
\beta^\pi_0=M_0,\;\gamma^\pi_0=0, \quad \textrm{ és }
\beta^\pi_n=M_n-\gamma_n\frac{S_n}{B_n},\; \gamma^\pi_n=\gamma_n,
\textrm{ ha }1\le n\le N.
$$

Vegyük észre, hogy
$$
\beta^\pi_n=M_{n-1}+(M_n-M_{n-1})-\gamma_n\frac{S_n}{B_n}=M_{n-1}
-\gamma_n\frac{S_{n-1}}{B_{n-1}},
$$
mivel $M_n-M_{n-1}=\gamma_n\left(\frac{S_n}{B_n}-\frac{S_{n-1}}{B_{n-1}}\right)$ 
a (\ref{4}) felt\'etel szerint,
ezért a $\beta^\pi_n\in{\cal F}_{n-1}$ reláció is teljesül. Tudjuk, hogy 
$X_N^\pi=B_NM_N=\xi$, ezért a k\'ivánt áll\'itás bizony\'itásához azt 
kell még megmutatni, hogy a $\pi$ stratégia önfinansz\'irozó. Ezt úgy 
látjuk be, hogy ellenőrizzük a 
$B_{n-1}\Delta\beta_n^\pi+S_{n-1}\Delta\gamma^\pi_n=0$ 
azonosságot.
\begin{eqnarray*}
B_{n-1}\Delta\beta_n^\pi+S_{n-1}\Delta\gamma^\pi_n
&=&B_{n-1}\left(\Delta M_n-\Delta\left(\gamma_n\frac{S_n}{B_n}\right)\right)
+S_{n-1}\Delta\gamma_n\\
&=&B_{n-1}\left(\gamma_n\Delta\left(\frac{S_n}{B_n}\right)
-\Delta\left(\gamma_n\frac{S_n}{B_n}\right)\right)
+S_{n-1}\Delta\gamma_n\\
&=& -B_{n-1}\frac{S_{n-1}}{B_{n-1}}\Delta\gamma_n+S_{n-1}\Delta\gamma_n=0.
\end{eqnarray*}
A k\'ivánt áll\'itást beláttuk.

\medskip

\vfill\eject

\centerline{\bf Kieg\'esz\'it\'es}

\medskip
 Belátjuk a konvex anal\'izisnek a 9.2.1 Tétel bizony\'itásában
felhasznált eredményét. Ez a következőt mondja.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyen adva az $R^k$ Euklideszi t\'eren valamely $k\ge1$
sz\'ammal  egy konvex kompakt $K\subset R^k$ halmaz, \'es az $R^k$ t\'er
valamely $L$ lin\'aris altere, amelyekre $K\cap L=\emptyset$. Ekkor
el tudjuk v\'alasztani a $K$ halmazt \'es az $L$ line\'aris alteret
egy az $R^k$ t\'eren defini\'alt line\'aris funkcion\'al seg\'its\'eg\'evel
a k\"ovetkez\H{o} \'ertelemben. L\'etezik olyan $\varphi(\cdot)$ line\'aris
funkcion\'al az $R^k$ t\'eren, \'es $c>0$ sz\'am, amelyekre $\varphi(x)=0$ 
minden $x\in L$ pontban, \'es $\varphi(x)\ge c$ minden $x\in K$ pontban.}

\medskip
A T\'etel bizony\'it\'asa az al\'abbi lemma eredm\'eny\'en alapul.

\medskip\noindent
{\bf Lemma.} {\it Legyen $C$ konvex, z\'art halmaz az $R^k$ Euklideszi
t\'eren, amely nem tartalmazza az orig\'ot. Akkor l\'etezik olyan $\varphi$
line\'aris funkcion\'al az $R^k$ t\'eren, \'es olyan $c>0$ sz\'am,
amelyekre $\varphi(x)\ge c$ minden $x\in C$ pontban.}

\medskip\noindent
{\it A Lemma bizony\'it\'asa.}\/ El\H{o}sz\"or azt l\'atjuk be, hogy
az $\{|x|\colon\;x\in C\}$ sz\'amok halmaz\'anak van (pozit\'iv) 
minimuma, ahol $|x|$ az $x$ vektor hossz\'at jel\"oli az Euklideszi
norma szerint. Val\'oban, a $C_r=C\cap \{x\colon\;|x|\le r\}$ halmaz 
nem \"ures kompakt halmaz el\'eg nagy $r>0$ sz\'amra, ez\'ert az 
$|x|$ folytonos f\"uggv\'eny felveszi a minumu\'at valamely 
$z\in C_r$ pontban a  $C_r$ halmazon. De nem neh\'ez bel\'atni, 
hogy a $|z|=\min\{|x|\colon\; x\in C\}$ rel\'aci\'o is teljes\"ul.

Mivel a $C$ halmaz konvexit\'asa miatt $\lambda x+(1-\lambda)z\in C$
minden $x\in C$ pontra \'es $0\le\lambda\le 1$ sz\'amra, ez\'ert
$$
|\lambda x+(1-\lambda)z|^2\ge |z|^2,
$$
vagy ami ezzel ekvivalens
$$
\lambda^2\langle x,x\rangle+2\lambda(1-\lambda)\langle x,z\rangle
+(1-\lambda)^2\langle z,z\rangle\ge\langle z,z\rangle
$$
minden $x\in C$ pontra \'es $0\le \lambda\le 1$ sz\'amra.
Ezt az egyenl\H{o}tlens\'eget \'atrendezve \'es $\lambda$-val
osztva azt kapjuk, hogy
$$
2(1-\lambda)\langle x,z\rangle-2\langle z,z\rangle
+\lambda(\langle x,x\rangle+\langle z,z\rangle)\ge0.
$$
Innen $\lambda\to0$ hat\'ar\'atmenettel kapjuk, hogy
$$
\langle x,z\rangle\ge \langle z,z\rangle=|z|^2>0
$$
minden $x\in C$ vektorra. Ez azt jelenti, hogy a lemma \'all\'it\'asa
\'erv\'enyes a $\varphi(x)=\langle x,z\rangle$ line\'aris
funkcion\'allal \'es a $c=|z|^2$ sz\'ammal.

\medskip\noindent
{\it A t\'etel bizony\'it\'asa.}\/ Defini\'aljuk a
$$
C=K-L=\{x\colon\; x=k-l\;\textrm{valamely }k\in K \textrm{ és }
l\in L  \textrm { vektorokkal}\}
$$
halmazt. 

Azt áll\'itom, hogy $C$ konvex, zárt halmaz, amely nem tartalmazza 
az origót, azaz teljes\'iti a lemma feltételeit. Az, hogy $C$ konvex
halmaz, és nem tartalmazza az origót könnyen látható. Az, hogy zárt
halmaz, következik az alábbi érvelésből.

Tegy\"uk fel, hogy $x_n=k_n-l_n\to y$, $y\in R^k$, ha $n\to \infty$ 
valamely $k_n\in K$, $l_n\in L$ sorozatra. A $K$ halmaz kompakts\'aga 
miatt l\'etezik olyan $n_j$ indexsorozat, amelyre $k_{n_j}\to k$, ha 
$j\to\infty$ valamely $k\in K$ vekorra. Ekkor $l_{n_j}\to k-y$, ha 
$j\to\infty$. De ekkor $l=k-y\in L$ az $L$ halmaz z\'arts\'aga miatt. 
Ez\'ert $y=k-l\in C$, teh\'at $C$ z\'art halmaz. 

A lemma alapj\'an l\'etezik olyan $\varphi$ line\'aris funkcion\'al
az $R^k$ t\'erben, amelyre $\varphi(x)=\varphi(k-l)\ge c$ minden
$k\in K$ \'es $l\in L$ vektorra valamely $c>0$ sz\'ammal. Azt \'all\'itom,
hogy innen k\"ovetkezik, hogy $\varphi(l)=0$ minden $l\in L$ vektorra.
Val\'oban, tegy\"uk fel, hogy $\varphi(l)>0$ valamely $l\in L$
vektorra. Ekkor vegy\"unk egy $k\in K$ vektort \'es $\lambda>0$ sz\'amot.
A $\varphi(k-\lambda l)=\varphi(k)-\lambda\varphi(l)\ge c>0$
egyenl\H{o}tlens\'egnek teljes\"ulnie kellene. Ez azonban nem lehets\'eges,
ha a $\lambda>0$ sz\'amot el\'eg nagyra v\'alasztjuk. Hasonl\'oan
$\varphi(l)<0$ szint\'en nem lehets\'eges.

Teh\'at a lemma seg\'its\'eg\'evel konstru\'alt $\varphi$ line\'aris
funkcion\'alra $\varphi(l)=0$, ha $l\in L$, \'es $\varphi(k)\ge c>0$,
ha $k\in K$. A t\'etelt bel\'attuk.



\end{document}




