\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\font\script =cmcsc10
\parskip=3pt plus 1pt
\TagsOnRight

\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}

\beginsection Kieg\'esz\'{\i}t\'es az el\H{o}ad\'assorozathoz.

\centerline{\it \'Attekint\'es a felhaszn\'alt line\'aris algebrai
ismeretekr\H{o}l.}

\medskip
A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as (\'es a matematika)
bizonyos k\'erd\'eseiben fontos szerepet j\'atszik a line\'aris
algebra n\'eh\'any fogalma \'es eredm\'enye. Egyr\'eszt meg kell
\'erteni az euk\-li\-deszi tereken \'ertelmezett biline\'aris
f\"uggv\'enyek fogalm\'at, ezek kapcsolat\'at a line\'aris
transzform\'aci\'okkal, m\'atrixokkal, illetve az ezen fogalmakhoz
kapcsol\'od\'o legfontosabb eredm\'enyeket. Ezek az eredm\'enyek
fontos szerepet j\'atszanak a t\"obb-v\'altoz\'os
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egi v\'altoz\'ok (k\"ul\"on\"osen
a t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok) vizsg\'alat\'aban.
Egy m\'asik fontos, a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vizsg\'alatokban
szint\'en hasz\-n\'alt, \'es a line\'aris algebr\'ahoz kapcsol\'od\'o
eredm\'eny a t\"obb-v\'altoz\'os integr\'alok
ki\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'a\-s\'at seg\'{\i}t\H{o}, az integr\'alok
\'ert\'ek\'et meg\H{o}rz\H{o} integr\'altranszform\'aci\'ok
le\'{\i}r\'asa. Ahhoz, hogy ezt az eredm\'enyt meg\'erts\"uk,
el\H{o}sz\"or a determin\'ansok, pontosabban a m\'at\-rixok
de\-ter\-mi\-n\'an\-sai\-nak szeml\'eletes tartalm\'at kell
meg\'erten\"unk. Az al\'abbiakban ezeket a fo\-gal\-ma\-kat
\'es ered\-m\'e\-nye\-ket tekintj\"uk \'at.

\medskip\noindent
{\it Egy tipikus line\'aris algebrai modell.}

\medskip
El\H{o}sz\"or tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o}, a line\'aris tereket
\'es az ott megjelen\H{o} fogalmakat tartalmaz\'o legjellemz\H{o}bb
p\'eld\'at. Tekints\"uk az $(x_1,\dots,x_k)$ $k$ hossz\'us\'ag\'u
sorozatokb\'ol \'all\'o teret, \'es defini\'aljuk k\'et
$(x_1,\dots,x_k)$ \'es $(y_1,\dots,y_k)$ sorozat \"osszeg\'et, mint
$(x_1,\dots,x_k)+(y_1,\dots,y_k)=(x_1+y_1,\dots,x_k+y_k)$, \'es egy
$(x_1,\dots,x_k)$ sorozat szorzat\'at egy $\alpha$ konstanssal mint
$\alpha(x_1,\dots,x_k)=(\alpha x_1,\dots,\alpha x_k)$. A
$k$-hossz\'us\'ag\'u sorozatok ter\'et a fenti m\H{u}veletekkel
line\'aris t\'ernek nevezz\"uk, a t\'er elemeit, a $k$ hossz\'us\'ag\'u
sorozatokat pedig ($k$-dimenzi\'os) vektoroknak h\'{\i}vjuk.
Jel\"olj\"uk $E_k$-val a fent defini\'alt line\'aris teret.
Ha bevezetj\"uk k\'et $x=(x_1,\dots,x_k)$ \'es $y=(y_1,\dots,y_k)$
$E_k$ t\'erbeli vektor ska\-l\'ar\-szor\-za\-t\'at is az
$(x,y)=\summ_{p=1}^kx_p y_p$ k\'eplettel, akkor az $E_k$ line\'aris
teret ezzel a skal\'arszorzattal egy\"utt euklideszi t\'ernek
nevezz\"uk. A skal\'arszorzat bevezet\'ese az\'ert hasznos, mert ez
lehet\H{o}v\'e teszi, hogy defini\'aljuk egy vektor hossz\'at,
k\'et vektor \'altal bez\'art sz\"oget, egy a $k$-dimenzi\'os
t\'erben tekintett (sz\'ep) halmaz t\'erfogat\'at, azaz, hogy
fel\'ep\'{\i}ts\"uk az $E_k$ t\'er geometri\'aj\'at. Azt mondhatjuk,
hogy a line\'aris t\'er \'es euklideszi t\'er k\"oz\"ott az a
l\'enyeges k\"ul\"onbs\'eg, hogy a line\'aris terek fogalm\'at a
minket k\"or\"ulvev\H{o} vil\'ag (t\'er) algebrai strukt\'ur\'aj\'anak
le\'{\i}r\'asa \'erdek\'eben vezett\'ek be, m\'{\i}g az euklideszi
t\'er sz\'amot ad annak geometriai tulajdons\'agair\'ol is.

A $k$-hossz\'u sorozatokb\'ol \'all\'o $E_k$ line\'aris t\'erben
defini\'alhatjuk a line\'aris ope\-r\'a\-to\-ro\-kat \'es
biline\'aris f\"uggv\'enyeket a k\"ovetkez\H{o} m\'odon: Egy
$E_k\to E_k$ $z=A(x)$ transz\-for\-m\'a\-ci\'ot line\'aris
transzform\'aci\'onak nevez\"unk, ha $A(\alpha x+\beta y)=\alpha
A(x)+\beta A(y)$ minden $x\in E_k$, $y\in E_k$  vektorra valamint
$\alpha$ \'es $\beta$ sz\'amra. Egy $A(x,y)$, $x\in E_k$, $y\in E_k$
k\'etv\'altoz\'os val\'os (vagy komplex) sz\'am \'ert\'ek\H{u}
f\"uggv\'eny biline\'aris f\"uggv\'eny, ha teljes\"ulnek az
$A(\alpha x_1+\beta x_2,y)=\alpha A(x_1,y)+\beta A(x_2,y)$, \'es
$A(x,\alpha y_1+\beta y_2)=\bar\alpha A(x,y_1)+\bar\beta A(x,y_2)$
azonoss\'agok minden $x_1\in E_k$, $x_2\in E_k$, $y\in E_k$,
vektorra, $\alpha$, \'es $\beta$ sz\'amra, illetve minden
$y_1\in E_k$, $y_2\in E_k$, $x\in E_k$ vektorra \'es $\alpha$
\'es $\beta$ sz\'amra, ahol $\bar z$ a $z$ komplex sz\'am
konjug\'altj\'at jel\"oli. A k\"ovetkez\H{o} m\'odon tudunk
defini\'alni line\'aris transzform\'aci\'okat: Legyen $A$ egy
$k\times k$ m\'eret\H{u} m\'atrix. Akkor $A(x)=xA$, $x\in E_k$,
line\'aris transzform\'aci\'o, ahol $xA$ az $x$ vektor \'es $A$
m\'atrix szok\'asos szorzat\'at jel\"oli. Hasonl\'oan egy $A$
$k\times k$ m\'eret\H{u} m\'atrix seg\'{\i}ts\'eg\'evel
defini\'alhatunk egy biline\'aris f\"uggv\'enyt, ha az $E_k$
t\'erben bevezetj\"uk a skal\'arszorzatot is, azaz $E_k$-t
nem\-csak line\'aris, hanem euk\-li\-deszi t\'ernek is
tekintj\"uk. Ezt a k\"ovetkez\H{o} m\'odon tehetj\"uk:
Legyen $A(x,y)=(xA,y)$, ahol $xA$ vektor \'es m\'atrix szok\'asos
szorzat\'at, $(\cdot,\cdot)$ pedig a skal\'arszorzatot jel\"oli. Az
\'altal\'anos elm\'eletb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy az $E_k$ t\'eren
minden line\'aris transzform\'aci\'ot illetve biline\'aris
f\"uggv\'enyt meg lehet adni ilyen m\'odon egy alkalmas $A$ $k\times
k$ m\'eret\H{u} m\'atrix seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Meg\-jegy\-zem,
hogy a fenti fogalmakat \'es eredm\'enyeket term\'eszetes m\'odon
lehet \'altal\'anos\'{\i}tani arra az esetre is, amikor az $E_k$
t\'ernek egy $E_l$ t\'erbe val\'o line\'aris lek\'epez\'eseit akarjuk
tekinteni, illetve olyan $A(x,y)$ biline\'aris f\"uggv\'enyeket akarunk
defini\'alni, amelyekre $x\in E_k$, $y\in E_l$, \'es a $k$ illetve $l$
indexek k\"ul\"onb\"oz\H{o}ek is lehetnek. Viszont a minket
\'erdekl\H{o} probl\'em\'ak vizsg\'alat\'aban elegend\H{o} csak
a $k=l$ esettel foglalkozni.

\medskip\noindent
{\it A line\'aris algebra n\'eh\'any fontos fogalma \'es k\'erd\'ese.}

\medskip
Megadjuk a line\'aris terek, euklideszi terek \'es a rajtuk
\'ertelmezett line\'aris transz\-for\-m\'a\-ci\'ok, biline\'aris
f\"uggv\'enyek \'altal\'anos, ,,absztrakt" definici\'oj\'at,
illetve a vel\"uk kap\-cso\-la\-tos legfontosabb eredm\'enyeket.
B\'ar ez a definici\'o form\'alisan \'altal\'anosabb, mint az
el\H{o}bb tekintett p\'eld\'akban le\'{\i}rt eset, val\'oj\'aban be
lehet l\'atni, hogy tetsz\H{o}leges line\'aris t\'er, illetve
euklideszi t\'er \'es a rajtuk defini\'alt line\'aris
transzform\'aci\'ok illetve bilini\'aris f\"uggv\'enyek izomorfak a
fenti p\'eld\'aban tekintett modellek valamelyik\'evel. M\'egis
\'er\-de\-mes az ,,absztrakt" definici\'ot bevezetni.  Bizonyos
probl\'em\'akat egyszer\H{u}bb \'es ter\-m\'e\-sze\-te\-sebb
m\'odon lehet vizsg\'alni, ha az \'altal\'anos modellt tekintj\"uk,
\'es annak struktur\'aj\'at jobban meg\'ertj\"uk.

Vezess\"uk be el\H{o}sz\"or a line\'aris t\'er fogalm\'at.
Egy $X$ halmazt line\'aris t\'ernek neveznek, ha minden $x\in X$
\'es $y\in X$ elemre, (amelyeket az irodalomban vektornak
neveznek) \'es $\alpha$, val\'os (komplex) sz\'amra, defini\'alva
van az  $x+y\in X$ \"osszeg \'es az $\alpha x\in X$ kons\-tans\-sal
k\'epzett szorzat. Tov\'abb\'a megk\"ovetelj\"uk, hogy
ezek a m\H{u}veletek teljes\'{\i}ts\'ek a k\"ovetkez\H{o}
algebrai azonoss\'agokat: $x+y=y+x$, $x+(y+z)=(x+y)+z$, l\'etezik
$0\in X$, (a line\'aris t\'er null eleme), amelyre $x+0=x$, minden $x$
pontnak l\'etezik $-x$ inverze, amelyre $x+(-x)=0$,
$(\alpha+\beta)x=\alpha x+\beta x$, $\alpha(\beta x)
=(\alpha\beta) x$, $0x=0$, azaz, ha egy vektort beszorzunk a nulla
sz\'ammal akkor a nulla vektort kapjuk.) Valamely $x_1,\dots,x_k\in X$
vektorokat line\'arisan f\"uggetleneknek nevez\"unk, ha a
$\summ_{j=1}^k \alpha_jx_j=0$ egyenlet csak trivi\'alis m\'odon
teljes\"ulhet, azaz csak akkor, ha mindegyik $\alpha_j$ sz\'amra
(egy\"utthat\'ora) $\alpha_j=0$. Azt mondjuk, hogy az $x_1,\dots,x_k$
vektorok gener\'atorrendszert alkotnak, ha minden $y\in X$
el\H{o}\'all\'{\i}that\'o $y=\summ_{j=1}^k \alpha_k x_k$ alakban.
Ha az $x_1,\dots,x_k$ vektorok egy\-r\'eszt gener\'atorrendszert
alkotnak, m\'asr\'eszt line\'arisan f\"uggetlenek, akkor ezen
vektorok rendszer\'et b\'azisnak h\'{\i}vj\'ak. A line\'aris
algebra n\'eh\'any egyszer\H{u} eredm\'enye kifejezi a b\'azisok
fontos tulajdons\'agait. Ezen eredm\'enyek egyike szerint minden
vektor {\it egy\'ertelm\H{u}en}\/ fejezhet\H{o} ki, mint egy b\'azis
elemeinek line\'aris kombin\'aci\'oja.  Egy line\'aris
t\'ernek k\"ul\"onb\"oz\H{o} b\'azisai l\'eteznek. Vi\-szont egy
line\'aris t\'er minden b\'azisa ugyanannyi elemb\H{o}l \'all.
Egy line\'aris t\'er b\'azisainak elemsz\'am\'at h\'{\i}vj\'ak a t\'er
dimenzi\'oj\'anak. Mi csak azzal az esettel fogunk foglalkozni, amikor
a line\'aris t\'er dimenzi\'oja egy v\'eges sz\'am.

A line\'aris algebra egyik fontos fogalma a line\'aris
transzform\'aci\'o. Egy $X$ line\'aris t\'er $A\colon\; X\to X$
\"onmag\'aba val\'o lek\'epez\'es\'et line\'aris transzform\'aci\'onak
nevezz\"uk, ha minden $x\in X$ \'es $y\in X$ vektorra $\alpha$ \'es
$\beta$ (komplex) sz\'amra $(\alpha x+\beta y)A=\alpha(x A)+\beta (y
A)$. (Az irodalomban nem egys\'eges a jel\"ol\'esrendszer, van ahol
$x A$-t \'es van ahol $A x$-et \'{\i}rnak.) K\'et line\'aris
transzform\'aci\'o szorzat\'an a transzform\'aci\'ok egym\'as ut\'ani
alkalmaz\'as\'at \'ertj\"uk, ami szint\'en line\'aris
transzform\'aci\'o.

Sok fontos vizsg\'alat elv\'egz\'ese \'erdek\'eben \'erdemes bevezetni
bizonyos extra-tu\-laj\-don\-s\'a\-gok\-kal rendelkez\H{o} line\'aris
tereket, amelyeket euklideszi tereknek h\'{\i}vnak. Egy $X$ line\'aris
t\'er euklideszi t\'er, ha \'ertelmezve van benne egy skal\'arszorzat,
azaz, ha minden $x\in X$ \'es $y\in X$ vektorra l\'etezik egy  az
$x$ \'es $y$ skal\'arszorzat\'anak nevezett $(x,y)$ mennyi\-s\'eg,
amely val\'os (illetve \'altal\'anosabb esetekben komplex) sz\'am,
\'es teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o} felt\'eteleket: $(x,x)\ge0$,
s\H{o}t $(x,x)>0$, ha $x\neq0$, $(\alpha x_1+\beta x_2,y)=\alpha
(x_1,y)+\beta(x_2,y)$, $(x,y)=\overline{(y,x)}$, ahol $\overline z$ a
$z$ komplex sz\'am konjug\'altj\'at jel\"oli. A skal\'aszorzat
lehet\H{o}v\'e, teszi, hogy egy $X$ euklideszi t\'erben
besz\'elhess\"unk egy $x\in X$ vektor $|x|$ hossz\'ar\'ol, amelyet az
$|x|^2=(x,x)$ formula defini\'al, valamint k\'et $x$ \'es $y$ vektor
sz\"og\'er\H{o}l, (speci\'alisan mer\H{o}legess\'eg\'er\H{o}l), amelyet
a $\cos(x\text{ \'es } y\text{ \'altal bez\'art sz\"og})=\frac
{(x,y)}{|x||y|}$ formula defini\'al. Az $x\in X$ \'es $y\in X$
vektorokat mer\H{o}legeseknek vagy m\'as sz\'oval ortogon\'alisoknak
nevezz\"uk, ha $(x,y)=0$.

Defini\'alhatunk \'ugynevezett $A(x,y)$ biline\'aris f\"uggv\'enyeket
is egy $X$ euklideszi t\'er\-ben. Az $A(x,y)$, $x\in X$, $y\in X$,
val\'os vagy komplex \'ert\'ek\H{u} f\"uggv\'eny biline\'aris
f\"uggv\'eny, ha
$A(\alpha_1x+\alpha_2x_2,y)=\alpha_1A(x_1,y)+\alpha_2A(x_2,y)$, \'es
$A(x,\alpha_1y_1+\alpha_2y_2)=\bar\alpha_1A(x,y_1)
+\bar\alpha_2A(x_2,y_2)$. Val\'oj\'aban az el\H{o}bb defini\'alt
biline\'aris f\"uggv\'enyeket defini\'alhattuk volna tetsz\H{o}leges
line\'aris t\'erben is, mivel a definici\'o nem haszn\'alja a
skal\'arszorzat fogalm\'at. Viszont az euklideszi terekben jobban
jellemezhet\H{o}ek a biline\'aris f\"uggv\'enyek. Nevezetesen, ha
tekint\"unk egy olyan $A$ line\'aris lek\'epez\'est valamely $E$
euklideszi terb\H{o}l \"onmag\'aba, akkor a $g(x,y)=(xA,y)$
f\"uggv\'eny, ahol $(\cdot,\cdot)$ az euklideszi t\'erben szerepl\H{o}
ska\-l\'ar\-szor\-za\-tot jel\"oli, biline\'aris f\"uggv\'eny.
S\H{o}t, igaz az a line\'aris algebr\'aban nagyon fontos eredm\'eny,
amely szerint minden bi\-li\-ne\'a\-ris f\"ugg\-v\'eny megadhat\'o
ilyen m\'odon, \'es a biline\'aris f\"uggv\'eny egy\'ertelm\H{u}en
meghat\'arozza az \H{o}t defini\'al\'o $A$ line\'aris lek\'epez\'est.
(Ter\-m\'e\-sze\-te\-sen ez az eredm\'eny csak euklideszi terekben
fogalmazhat\H{o} meg. Maga az ered\-m\'eny azon alapul, hogy minden
az $E$ euklideszi teret a sz\'amegyenesre k\'epez\H{o} $g\colon]\; E\to R$
line\'aris lek\'epez\'es megadhat\'o $g(x)=(e,x)$, $x\in E$, alakban,
\'es az ebben formul\'aban sze\-rep\-l\H{o} $e\in E$ vektort
egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozza a $g(\cdot)$ lek\'epez\'es.)

Ez azt jelenti, hogy euklideszi terekben a t\'er \"onmag\'aba
k\'epez\H{o} line\'aris transzform\'aci\'oi \'es biline\'aris
f\"uggv\'enyei k\"oz\"ott k\"olcs\"on\"osen egy\'ertelm\H{u}
megfeleltet\'es van. Ez a megfeleltet\'es teszi lehet\H{o}v\'e
lek\'epez\'es transzpon\'altj\'anak \'es \"onadjung\'alt vagy
unit\'er lekpez\'esek definici\'oj\'at euklideszi terekben. Ezeket
a rendk\'{\i}v\"ul fontos fogalmakat e jegy\-zet k\'es\H{o}bbi
r\'esz\'eben ismertetni fogom.

R\"ogz\'{\i}ts\"uk egy $X$  $k$-dimenzi\'os $X$ line\'aris t\'er vagy
speci\'alisan euklideszi t\'er egy $e_1,\dots,e_k$ b\'azis\'at. Ha
ismerj\"uk egy $A$ line\'aris transzform\'aci\'o k\'ep\'et mindegyik
$e_j$, $1\le j\le k$, b\'azisvektorra, azaz ismerj\"uk az \"osszes
$a_{j,p}$, $1\le j,p\le k$, egy\"utthat\'ot az $e_jA=\summ_{p=1}^k
a_{j,p}e_p$, $1\le j\le k$, egyenletekben, akkor tetsz\H{o}leges
$x$ vektor $xA$ k\'ep\'et ki tudjuk sz\'amolni. A line\'aris
algebra term\'eszetes \'es fontos probl\'em\'ai a k\"ovetkez\H{o}
k\'erd\'esek megv\'alaszol\'asa: Hogyan lehet ezt az $xA$ vektort
effektive kisz\'amolni, milyen sz\'amol\'asokat kell v\'egrehajtani,
ha egy $e_1,\dots,e_k$ b\'azis helyett egy m\'asik $\bar e_1,\dots,\bar
e_k$ b\'azisra t\'er\"unk \'at, \'es ott akarjuk kisz\'amolni
az $A$ line\'aris transzform\'aci\'o hat\'as\'at? Mely b\'azis
v\'alaszt\'assal tudjuk  a legegyszer\H{u}bben l\'atni egy $A$
line\'aris transzform\'aci\'o viselked\'es\'et?

Hasonl\'o k\'erd\'esek fogalmazhat\'oak meg egy az $X$ euklideszi
t\'erben defini\'alt $A(\cdot,\cdot)$ biline\'aris f\"uggv\'eny
eset\'eben. Be lehet l\'atni, hogy egy $k$-dimenzi\'os euklideszi
t\'erben nemcsak b\'azis, hanem speci\'alis, \'ugynevezett
ortonorm\'alt b\'azis is l\'etezik, azaz meg lehet adni, olyan
$e_1,\dots,e_k$ b\'azist, amelyre $(e_j,e_p)=0$, ha $j\neq p$,
$(e_j,e_j)=1$, $1\le j,p\le k$. B\'ar nem lenne k\"otelez\H{o}, de
ha euklideszi t\'erben biline\'aris f\"uggv\'enyeket vizsg\'alnak
mindig ortonorm\'alt b\'azisban dolgoznak. (\'Igy \H{o}rizz\"uk meg az
euklideszi t\'er geometriai szerkezet\'et.) Ha r\"ogz\'{\i}t\"unk egy
$e_1,\dots,e_k$ ortonorm\'alt b\'azist, akkor az $A(e_j,e_p)$, $1\le
j,p\le k$, \'ert\'ekek seg\'{\i}ts\'eg\'evel ki lehet sz\'am\'{\i}tani
tetsz\H{o}leges $x\in X$ \'es $y\in X$ vektorra az $A(x,y)$
biline\'aris f\"uggv\'eny \'ert\'ek\'et. Itt is felmer\"ul a
k\'erd\'es, hogyan lehet ezt a sz\'amol\'ast effektive elv\'egezni,
hogyan tudjuk kisz\'am\'{\i}tani a biline\'aris f\"uggv\'enyt, ha
egy ortonorm\'alt b\'azisr\'ol \'att\'er\"unk egy m\'asikra, \'es
melyik ortonorm\'alt b\'azisban tudjuk a biline\'aris f\"uggv\'eny
viselked\'es\'et a legegyszer\H{u}bben l\'atni.

A fent megfogalmazott k\'erd\'es euklideszi terekben defini\'alt
biline\'aris f\"uggv\'enyek jellemz\'es\'er\H{o}l term\'eszetes
m\'odon \'atfogalmazhat\'o, mint line\'aris transzform\'aci\'ok
jel\-lem\-z\'e\-se. Mint megjegyezt\"uk, egy $X$ euklideszi
t\'erben term\'eszetes k\"olcs\"on\"osen egy\'ertelm\H{u}
meg\-fe\-lel\-te\-t\'es l\'etezik a t\'er \"onmag\'aba k\'epez\H{o}
line\'aris transzform\'aci\'oi \'es az $X$ t\'eren de\-fi\-ni\-\'alt
biline\'aris f\"uggv\'enyek k\"oz\"ott. Egy $A$ line\'aris
transzform\'aci\'o \'es a $(\cdot,\cdot)$ skal\'arszorzat
seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'alhat\'o az $A(x,y)=(xA,y)$
kifejez\'es, \'es ez biline\'aris f\"uggv\'eny. Megford\'{\i}tva,
tetsz\H{o}leges $A(\cdot,\cdot)$ biline\'aris f\"uggv\'eny
egy\'ertelm\H{u}en fel\'{\i}rhat\'o ilyen form\'aban egy alkalmas
$A$ line\'aris transzform\'aci\'o seg\'{\i}ts\'eg\'evel.

Legegyszer\H{u}bb ezt a megfeleltet\'est \'ugy megadni, hogy
r\"ogz\'{\i}t\"unk egy $e_1,\dots,e_k$ ortonorm\'alt b\'azist az
euklideszi t\'erben, \'es defini\'aljuk az $A(\cdot,\cdot)$
biline\'aris f\"uggv\'eny valamint az $e_1,\dots,e_k$ b\'azis \'es
$(\cdot,\cdot)$ skal\'arszorzat seg\'{\i}ts\'eg\'evel azt az $\bar
A=\bar A(e_1,\dots,e_k)$ m\'atrixot, amelynek $j$-ik sor\'aban \'es
$p$-ik oszlop\'aban az $a_{j,p}=A(e_j,e_p)$ sz\'am \'all. Ekkor
$A(x,y)=\bar x\bar A\bar y^*$ minden $x\in X$, $y\in X$ vektorra,
ahol $x=\summ_{j=1}^kx_je_j$, $y=\summ_{j=1}^ky_je_j$, $\bar
x=(x_1,\dots,x_k)$, $\bar y=(y_1,\dots,y_k)$, \'es $\bar y^*$ a
$\bar y$ vektor transzpon\'altj\'at jel\"oli. Ter\-m\'e\-sze\-te\-sen
az el\H{o}bb defini\'alt $\bar A$ m\'atrix f\"ugg att\'ol, hogy
melyik ortonorm\'alt b\'azist v\'alasztottuk, de be lehet l\'atni,
hogy az a line\'aris transzform\'aci\'o, amelyet ez a m\'atrix
meghat\'aroz m\'ar nem f\"ugg az (ortonorm\'alt) b\'azis
megv\'alaszt\'as\'at\'ol. A fenti megfeleltet\'esek egyben azt is
mutatj\'ak, hogy hogyan lehet egy \'altal\'anos line\'aris
transz\-for\-m\'a\-ci\'o\-nak illetve biline\'aris f\"uggv\'enynak
r\"ogz\'{\i}tett (biline\'aris f\"uggv\'eny eset\'eben az euklideszi
t\'erben ortonorm\'alt) b\'azis eset\'eben egy olyan speci\'alis (a
sz\'am-$k$-asok ter\'en defini\'alt) izomorf modellt megfeleltetni,
mint amilyet az ismertet\'es elej\'en megadtam.

\vfill\eject

%\medskip
\noindent
{\it N\'eh\'any eredm\'eny lin\'aris transzform\'aci\'okr\'ol.}

\medskip
Tekints\"uk \'at el\H{o}sz\"or r\"oviden azt, hogy hogyan lehet egy
$A$ line\'aris transzform\'aci\'ot egy\-sze\-r\H{u}\-en megadni egy
alkalmas b\'azisban. Az ilyen vizsg\'alatokban rendk\'{\i}v\"ul
hasznos fogalom egy line\'aris oper\'ator saj\'atvektor\'anak \'es a
saj\'atvektor saj\'at\'ert\'ek\'enek a fogalma. Egy $e$ vektor az $A$
oper\'ator saj\'atvektora $\lambda$ saj\'at\'ert\'ekkel, ha teljes\"ul
az $eA=\lambda e$ azonoss\'ag. Felmer\"ul a k\'erd\'es, hogy van-e
minden oper\'atornak olyan b\'azisa, amelyiknek min\-den ele\-me
saj\'atvektor. Ha az $A$ line\'aris transzform\'aci\'onak van
ilyen b\'azisa, akkor \'erdemes az $A$ transzform\'aci\'o m\'atrix\'at
ebben a b\'azisban fel\'{\i}rni. Az $A$ transzform\'aci\'o m\'atrixa
egy ilyen b\'azisban diagon\'alis m\'atrix, azaz a m\'atrixban a
f\H{o}\'atl\'on k\'{\i}v\"ul minden\"utt nulla van. Tov\'abb\'a
a m\'atrix diagon\'alis\'aban az $A$ transzform\'aci\'o
saj\'at\'ert\'ekei \'allnak. De nem minden line\'aris oper\'atornak
van ilyen b\'azisa. Az \'altal\'anos esetben egy line\'aris
lek\'epez\'es a legegyszer\H{u}bb m\'odon az \'ugynevezett
Jordan f\'ele norm\'alalakban adhat\'o meg. A Jordan f\'ele
norm\'alalak l\'etez\'ese nagyon \'erdekes eredm\'eny, amelyik sok
mate\-ma\-ti\-kai probl\'em\'aban, p\'eld\'aul a (t\"obbv\'altoz\'os
line\'aris) differenci\'alegyenletek elm\'elet\'eben nagyon hasznos.
Egy $A$ line\'aris lek\'epez\'es Jordan f\'ele norm\'alakj\'anak
el\H{o}\-\'all\'{\i}\-t\'a\-s\'a\-ban fontos l\'ep\'es az $A$ line\'aris
oper\'ator invari\'ans altereinek a megtal\'al\'asa, azaz az olyan
$D\subset E$ line\'aris terek\'e, amelyekre $x\in D$ eset\'eben az
$xA\in D$. Az $A$ line\'aris oper\'ator egydimenzi\'os invari\'ans
alterei, megegyeznek a $D=\{\alpha e\colon\;\alpha \;
\text{tetsz\H{o}leges sz\'am}\}$ alak\'u egydimenzi\'os alterekkel,
ahol $e$ az $A$ oper\'ator saj\'atvektora. De mivel a minket \'erdekl\H{o}
k\'erd\'esek vizsg\'alat\'aban a Jordan f\'ele norm\'alalak nem
jelenik meg, ez\'ert ennek a k\'er\-d\'es\-nek a
t\'ar\-gya\-l\'a\-s\'at elhagyom. Hasonl\'o okokb\'ol nem
t\'argyalom, hogyan v\'altozik egy line\'aris transzform\'aci\'o
m\'atrixa, ha egy b\'azisb\'ol egy m\'asik b\'azisra t\'er\"unk \'at.
Csak r\"oviden megadom az eredm\'enyt:

Legyen $e_1,\dots, e_k$ \'es $\bar e_1,\dots\bar e_k$ k\'et b\'azis
egy $E$ line\'aris t\'erben. Ekkor l\'etezik egy
egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozott, \'es invert\'alhat\'o $B$
line\'aris transzform\'aci\'o, amelyre $e_jB=\bar e_j$, $1\le j\le k$.
A $B$ transzform\'aci\'o $\bar B$ m\'atrixa megegyezik az $e_1,\dots,
e_k$ \'es $\bar e_1,\dots\bar e_k$ b\'azisokban, \'es ugyanez az
\'all\'{\i}t\'as \'erv\'enyes a $B$ m\'atrix $B^{-1}$ inverz\'enek
a $\bar B^{-1}$ m\'atrix\'ara is. Be lehet l\'atni, hogy ha egy $A$
line\'aris transzform\'aci\'o m\'atrixa az $\bar A$ m\'atrix az
$e_1,\dots, e_k$ b\'azisban, akkor az $A$ transzform\'aci\'o
m\'atrixa az $\bar e_1,\dots\bar e_k$ b\'azisban a $\bar B\bar A\bar
B^{-1}$ m\'atrix.

\medskip\noindent
{\it Biline\'aris f\"uggv\'enyek n\'eh\'any fontos tulajdons\'aga.
\"Onadjung\'alt \'es unit\'er lek\'epez\'esek.}

\medskip
A mi vizsg\'alatainkban fontosabb szerepet j\'atszik egy euklideszi
t\'erben defini\'alt biline\'aris f\"uggv\'enyek tulajdons\'againak
a meg\'ert\'ese. Mint kor\'abban \'{\i}rtam, egy $X$ euklideszi
t\'erben minden $A(\cdot,\cdot)$ biline\'aris f\"uggv\'eny
fel\'{\i}rhat\'o egy\'ertelm\H{u}en $A(x,y)=(xA,y)$ alakban, ahol
$A$ egy az $X$ euklideszi t\'eren defini\'alt line\'aris
transz\-form\'aci\'o, tov\'abb\'a minden $A$ line\'aris
transz\-form\'aci\'o meghat\'aroz ezen a m\'odon egy biline\'aris
f\"uggv\'enyt. Ez\'ert egy $A(\cdot,\cdot)$ biline\'aris
f\"uggv\'enyt azonos\'{\i}thatunk az \H{o}t meghat\'aroz\'o
$A$ line\'aris transz\-for\-m\'a\-ci\'o\-val. Ez a megjegyz\'es
lehet\H{o}v\'e teszi, hogy defini\'aljuk egy $X$ euklideszi t\'erben
megadott $A$ line\'aris transzform\'aci\'o $A^*$ adjung\'altj\'at
a k\"ovetkez\H{o} m\'odon: Az $A^*$ line\'aris
transzform\'aci\'ot meghat\'arozza az $(xA,y)=(x,yA^*)$
azonoss\'ag teljes\"ul\'ese minden $x\in X$ \'es $y\in X$ vektorra.
Ha egy $A$ line\'aris transzform\'aci\'o m\'atrix\'at egy
ortonorm\'alt b\'azisban \'{\i}rjuk fel, akkor k\"onnyen megadhatjuk
az $A$ transzform\'aci\'o $A^*$ adjung\'altj\'anak a m\'atrix\'at
ugyanabban a b\'azisban. Nevezetesen a $A^*$ adjung\'alt oper\'ator
m\'atrix\'at \'ugy kapjuk meg, hogy az $A$ oper\'ator m\'atrix\'anak
az elemeit az \'atl\'ora t\"ukr\"ozz\"uk, \'es ha komplex
\'ert\'ek\H{u} akkor konjug\'aljuk is. Azaz ha $A=(a_{j,p})$, $1\le
j,p\le k$, akkor $A^*=(\bar a_{p,j})$, $1\le j,p\le k$. Ez egyben
azt is jelenti, hogy besz\'elhet\"unk egy $A$ m\'atrix
adjung\'altj\'ar\'ol is, azaz noha ugyanaz a m\'atrix t\"obb
k\"ul\"onb\"oz\H{o} line\'aris transz\-for\-m\'a\-ci\'o m\'atrixak\'ent
jelenhet meg, att\'ol f\"ugg\H{o}en, hogy mely (ortonorm\'alt)
b\'azisban dolgozunk, az $A$ m\'atrix $A^*$ adjung\'altja mindig
ugyanaz az $A^*$ m\'atrix. Fel\'{\i}rom az $A\to A^*$
lek\'epez\'essel kap\-cso\-la\-tos legfontosabb azonoss\'agokat. Ezek:
$(A+B)^*=A^*+B^*$, $(\alpha A)^*=\bar\alpha A^*$, $\(A^*\)^*=A$,
$(AB)^*=B^*A^*$, (teh\'at az utols\'o azonoss\'ag jobboldal\'an
fel kell cser\'elni a t\'enyez\H{o}ket), \'es
$\(A^{-(1}\)^*=\(A^*\)^{-1}$.

Az euklideszi t\'eren \'ertelmezett line\'aris transzform\'aci\'ok
k\"oz\"ott k\"ul\"on\"osen fontos szerepet j\'atszanak az
\"onadjung\'alt \'es unit\'er lek\'epez\'esek. Le\'{\i}rom ezek
definici\'oj\'at \'es a vel\"uk kapcsolatos legfontosabb
tudnival\'okat.

Az $X$ euklideszi t\'er egy $A$ line\'aris transzform\'aci\'oj\'at
\"onadjung\'altnak nevez\"unk, ha $A=A^*$, egy $U$
transzform\'aci\'oj\'at unit\'ernek, ha $UU^*=U^*U=I$,
ahol $I$ az identit\'as lek\'epez\'es. Az, hogy az $A$ line\'aris
transzform\'aci\'o \"onadjung\'alt \'ugy is megfogalmazhat\'o,
hogy az \'altala meghat\'arozott $A(\cdot,\cdot)$ biline\'aris
f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti az $A(x,y)=\overline{A(y,x)}$
azonoss\'agot. Az unit\'er transz\-for\-m\'a\-ci\'ok egyik fontos
tulajdons\'aga az, hogy val\'oj\'aban el\'eg az $UU^*=I$ vagy
$U^*U=I$ azonoss\'agok egyik\'et megk\"ovetelni, a m\'asik
azonoss\'ag ebb\H{o}l k\"ovetkezik. Egy $k$-dimenzi\'os euklideszi
t\'er valamely transz\-for\-m\'a\-ci\'oja akkor \'es csak akkor
unit\'er, ha r\"ogz\'{\i}tve az euklideszi t\'er egy ortonorm\'alt
b\'azis\'at \'es fel\'{\i}rva a transz\-for\-m\'a\-ci\'o m\'atrix\'at
ebben a b\'azisban az \'{\i}gy kapott m\'atrix sorai (vagy oszlopai)
ortonorm\'alt rendszert alkotnak a sz\'am~$k$-asok ter\'eben. Az
unit\'er transz\-for\-m\'a\-ci\'ok\-nak fontos geo\-met\-riai
jelent\'es\"uk van. Ezek az $X$ euklideszi t\'er t\'avols\'ag \'es
sz\"ogtart\'o lek\'epez\'esei. Speci\'alisan, az unit\'er
transzform\'aci\'ok ortonorm\'alt b\'azist ortonorm\'alt b\'azisba
k\'epeznek.

Egy \"onadjung\'alt line\'aris lek\'epez\'es m\'atrix\'at valamilyen
r\"ogz\'{\i}tett ortonorm\'alt b\'a\-zis\-ban \"onadjung\'alt
m\'atrixnak, egy unit\'er line\'aris lek\'epez\'es m\'atrix\'at
pedig unit\'er m\'at\-rix\-nak h\'{\i}vj\'ak. Ez az elnevez\'es
jogos, mert az, hogy egy m\'atrix \"onadjung\'alt vagy unit\'er-e
eld\"onthet\H{o} csak a m\'atrix ismeret\'eben, \'es nem f\"ugg
att\'ol, hogy milyen m\'odon kaptuk ezt a m\'atrixot egy
alkalmas oper\'ator seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Nevezetesen, egy
$A=\(a_{j,p}\)$, $1\le j,p\le k$, $k\times k$ m\'eret\H{u} m\'atrix
akkor \'es csak akkor \"onadjung\'alt, ha $a_{j,p}=\bar a_{p,j}$
minden $1\le j,p\le k$ indexre. Egy $U=\(u_{j,p}\)$, $1\le
j,p\le k$, $k\times k$ m\'eret\H{u} m\'atrix akkor \'es csak akkor
unit\'er, ha az $U$ m\'atrix sorai ortonorm\'altak, azaz
$\summ_{p=1}^k u_{j,p}\bar u_{j,p}=1$, minden $1\le j\le k$ indexre,
\'es $\summ_{p=1}^k u_{j,p}\bar u_{l,p}=0$, minden $1\le j,l\le k$
indexre, ha $j\neq l$.

Egy $A$ \"onadjung\'alt lek\'epez\'esre $(xA,x)$ val\'os sz\'am
minden $x\in X$ vektorra, mert $(xA,x)=(x,xA)=\overline{(xA,x)}$.
Azt mondjuk, hogy egy \"onadjung\'alt lek\'epez\'es pozit\'{\i}v
szemidefinit, ha $(xA,x)\ge0$ minden $x\in X$ vektorra, pozit\'{\i}v
definit, ha $(xA,x)>0$ minden $x\neq0$ vektorra. Nem neh\'ez
bel\'atni, hogy ha $A$ \"onadjung\'alt transzform\'aci\'o, akkor
ezt a transzform\'aci\'ot illetve az \'altala defini\'alt $(xA,y)$
biline\'aris f\"uggv\'enyt meghat\'arozza e f\"ugv\'eny
megszor\'{\i}t\'asa az $x=y$ pontokra, azaz az $(xA,x)$ f\"uggv\'eny,
amelyet kvad\-ra\-ti\-kus alaknak h\'{\i}vnak az irodalomban.

A line\'aris algebra egyik fontos eredm\'enye arr\'ol sz\'ol, hogy
hogyan lehet \"onadjung\'alt oper\'atorokat a legegyszer\H{u}bb
m\'odon jellemezni egy alkalmas ortonorm\'alt b\'azis
se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel. A k\"o\-vet\-ke\-z\H{o}
\'all\'{\i}t\'as \'erv\'enyes. Ha $A$ \"onadjung\'alt oper\'ator
egy $X$ $k$-dimenzi\'os euklideszi t\'erben akkor l\'etezik az $A$
transzform\'aci\'onak $k$ darab $e_1,\dots,e_k$ ortonorm\'alt
sa\-j\'at\-vek\-tor\-b\'ol \'all\'o b\'azisa, azaz olyan egym\'asra
mer\H{o}leges (egy hossz\'us\'ag\'u) $e_p$, $1\le p\le k$
vektorokb\'ol \'all\'o b\'azis, amelyekre
$e_pA=\lambda_pe_p$ valamely $\lambda_p$ saj\'at\'ert\'ekkel.
Tov\'abb\'a a $\lambda_p$ saj\'at\'ert\'ekek val\'os sz\'amok minden
$p=1,\dots,k$ indexre. Ebben a saj\'atvektorokb\'ol \'all\'o
b\'azisban az $A$ transzform\'aci\'o m\'atrixa egy diagon\'alis
$\Lambda$ m\'atrix, \'es a $\Lambda$ m\'atrix diagon\'alis elemei a
$\lambda_p$ saj\'at\'ert\'ekek.
Egy $A$ \"onadjung\'alt oper\'ator
akkor \'es csak akkor pozit\'{\i}v szemidefinit, ha minden
saj\'at\'ert\'eke nem-negat\'{\i}v, \'es akkor \'es csak akkor
pozit\'{\i}v definit, ha mindegyik saj\'at\'ert\'eke szigor\'uan
pozit\'{\i}v.

A fenti \'all\'{\i}t\'as arr\'ol, hogy egy $X$ $k$-dimenzi\'os
euklideszi t\'erben defini\'alt $A$ \"on\-ad\-jun\-g\'alt
oper\'atornak l\'etezik $e_1,\dots,e_k$ saj\'atvektorokb\'ol \'all\'o
ortonorm\'alt b\'azisa,  a k\"ovetkez\H{o} jellemz\'es\'et
adja az $A$ oper\'atornak m\'atrix \'altal\'anos ortonorm\'alt
b\'azisban. Legyen $f_1,\dots,f_k$ tetsz\H{o}leges ortonorm\'alt
b\'azis. Ekkor az a saj\'at\'ert\'ekekb\H{o}l \'all\'o ortonorm\'alt
b\'azis elemei kifejezhet\H{o}ek $e_j=\summ_{p=1}^k u_{j,p} f_p$,
$j=1,\dots,k$, alakban. Tov\'abb\'a az $U=(u_{j,p})$, $1\le j,p\le
k$, m\'atrix unit\'er. Ugyanis abb\'ol, hogy mind az $e_1,\dots,e_k$
mind az $f_1,\dots,f_k$ b\'azis ortonorm\'alt rendszert alkot
k\"ovetkezik, hogy az $U$ m\'atrix sorai ortonorm\'alt rendszert
alkotnak a sz\'am~$k$-asok ter\'eben. Be lehet l\'atni, hogy az $A$
\"onadjung\'alt  oper\'ator m\'atrixa az $f_1,\dots,f_k$ b\'azisban
az $U^*\Lambda U$ m\'atrix, ahol $U$ az el\H{o}bb defini\'alt
unit\'er m\'atrix, $\Lambda$ pedig az a diagon\'alis m\'atrix,
amelynek $p$-ik sor\'aban (\'es $p$-ik oszlop\'aban) az $e_p$
saj\'atvektor $\lambda_p$ saj\'at\'ert\'eke \'all. Rejtett m\'odon
egy transzform\'aci\'o $A$ m\'atrix\'anak $A=U^*\Lambda U$ alak\'u
el\H{o}\'all\'{\i}t\'asa jelenti azt az eredm\'enyt, amelyet az
irodalomban f\H{o}tengely transzform\'aci\'onak neveznek. Ez azt
mondja ki, hogy egy \"onadjung\'alt oper\'ator m\'atrixa alkalmas
ortonorm\'alt b\'azisban diagon\'alis. Ahhoz, hogy ezt az
el\H{o}\'all\'{\i}t\'ast meg\-ad\-juk az oper\'ator
saj\'atvektorait \'es saj\'at\'ert\'ekeit kell ismern\"unk.

R\"oviden ismertetem, hogy felhaszn\'alva azt az eredm\'enyt amely
szerint minden $A$ \"onadjung\'alt oper\'atornak l\'etezik az $A$
oper\'ator ortogon\'alis saj\'atvektoraib\'ol \'all\'o b\'azisa,
hogyan lehet l\'atni azt, hogy az $A$ oper\'ator m\'atrixa $U^*\Lambda
U$ alakban \'{\i}rhat\'o. Legyen az $e_j$ saj\'atvektor
el\H{o}\'all\'{\i}t\'asa a vizsg\'alt $f_1,\dots,f_k$ ortonorm\'alt
b\'azisban $e_j=\summ_{p=1}^k u_{j,p} f_p$ alak\'u, \'es vezess\"uk be
az $u^{(j)}=\(u_{j,1}\dots, u_{j,k}\)$, $j=1,\dots, k$ jel\"ol\'est.
Ekkor el\'eg bel\'atni, hogy teljes\"ul az $(e_jA, e_l)
=u^{(j)}U^*\Lambda U {u^{(l)}}^*$ azonoss\'ag minden $1\le j,l\le k$
indexre. Ezt az azonoss\'agot viszont nem neh\'ez ellen\H{o}rizni,
felhaszn\'alva a k\"ovetkez\H{o} azonoss\'agokat: Egyr\'eszt $(e_jA,
e_j)=\lambda_j$, \'es $(e_jA,e_l)=0$, ha $j\neq l$, $1\le j,l\le
k$. M\'asr\'eszt $u^{(j)}U^*$ az a $k$ hossz\'us\'ag\'u sz\'amsorozat,
amelynek $j$-ik koordin\'at\'aja 1, \'es az \"osszes t\"obbi
koordin\'at\'aja nulla, \'es az $U {u^{(l)}}^*$ vektor az a $k$
hossz\'us\'ag\'u oszlopvektor, amelynek $l$-ik koordin\'at\'aja 1,
\'es az \"osszes t\"obbi koordin\'at\'aja nulla.

Jegyezz\"uk meg, hogy \'erv\'enyes \'es hasonl\'oan
bizony\'{\i}that\'o a k\"ovetkez\H{o} \'all\'{\i}t\'as: Ha egy X
$k$-dimenzi\'os euklideszi t\'erben defini\'alt (mem
felt\'etlen\"ul \"onadjung\'alt) biline\'aris f\"uggv\'eny
m\'atrixa egy $B$ m\'atrix valamilyen $e_1,\dots,e_k$ ortonorm\'alt
b\'azisban, \'es tekint\"unk egy m\'asik ortonorm\'alt $f_1,\dots,f_k$
b\'azist az $X$ t\'erben, akkor fel\'{\i}rhatjuk az $e_j=\summ_{p=1}^k
u_{j,p} f_p$ azonos\-s\'a\-go\-kat, $1\le j\le k$, alkalmas $u_{j,p}$
egy\"utthat\'okkal, \'es az $U=\(u_{j,p}\)$, $1\le j,p\le k$ $k\times
k$ m\'eret\H{u} m\'atrix unit\'er. Tov\'abb\'a a tekintett
biline\'aris f\"uggv\'eny m\'atrixa az \'uj $f_1,\dots,f_k$
b\'azis\-ban az $U^*BU$ m\'atrix. Jegyezz\"uk meg, hogy az
$U^*=U^{-1}$ m\'atrix az $U$ m\'atrix inverze. A most eml\'{\i}tett
formula alapj\'an egy \"onadjung\'alt oper\'ator fel\'{\i}r\'asa
$U^*\Lambda U$ alakban inform\'alisan a k\"ovetkez\H{o} m\'odon
interpret\'alhat\'o: Ez a k\'eplet azt mutatja meg, hogy
hogyan ,,l\'atjuk" egy \"onadjung\'alt oper\'atornak a saj\'atvektorok
\'altal meghat\'arozott b\'azisban megjelen\H{o} diagon\'alis
alakj\'at egy m\'asik ortonorm\'alt b\'azisb\'ol.

Term\'eszetesen felmer\"ul az a k\'erd\'es, hogy van-e hasonl\'o
sz\'ep, alkalmas koor\-di\-n\'a\-ta\-rend\-szer\-ben diagon\'alis
m\'atrix form\'aban megadhat\'o el\H{o}\'all\'{\i}t\'asa az unit\'er
transzform\'aci\'oknak. Ezzel a k\'erd\'essel ekvivalens az a
probl\'ema, hogy l\'etezik-e minden unit\'er oper\'atornak
orto\-go\-n\'alis saj\'atvektorokb\'ol \'all\'o b\'azisa. A v\'alasz
erre a k\'erd\'esre igenl\H{o}. A k\"ul\"onbs\'eg mind\"ossze annyi,
hogy az \"onadjung\'alt oper\'atorok saj\'at\'ert\'ekei val\'os
sz\'amok, m\'{\i}g az unit\'er oper\'atorok saj\'at\'ert\'ekei egy
abszolut \'ert\'ek\H{u} komplex sz\'amok. \'Erdemes megjegyezni,
hogy a fent eml\'{\i}tett \'all\'{\i}t\'as az unit\'er
oper\'atorokr\'ol csak akkor \'erv\'enyes, ha nem val\'os hanem
\'ugy\-neve\-zett komplex euklideszi terekben dolgozunk, azaz az
euklideszi t\'er elemeit nemcsak val\'os, hanem komplex sz\'amokkal
is megszorozhatjuk. Szint\'en ismert az, hogy hogyan lehet val\'os
euklideszi tereken \'ertelmezett unit\'er transzform\'aci\'ok
m\'atrix\'at egyszer\H{u} m\'odon el\H{o}\'all\'{\i}tani alkalmas
b\'azisban. Ennek az ered\-m\'eny\-nek \'erdekes geometriai
k\"o\-vet\-kez\-m\'e\-nyei vannak, de ezt a k\'erd\'est itt nem
t\'argyalom. Egy\'eb\-k\'ent ismert az is, hogy melyek azok az
oper\'atorok, amelyeknek l\'etezik saj\'at\-vek\-to\-rok\-b\'ol
\'all\'o orto\-nor\-m\'alt b\'azisa. Ezek az \'ugynevezett
norm\'alis oper\'atorok. Egy oper\'ator akkor norm\'alis, ha
$AA^*=A^*A$.

M\'eg egy eredm\'enyt fogalmazok meg \'es bizony\'{\i}tok be
euklideszi t\'erben defini\'alt m\'atrixoknak \'ugynevezett pol\'ar
felbont\'as\'ar\'ol. A line\'aris algebra ezen fontos, de nem
el\'egg\'e ismert eredm\'enye seg\'{\i}t a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asban is a norm\'alis
eloszl\'as\'u vektorok viselked\'es\'enek jobb meg\'ert\'es\'eben.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel egy m\'atrix pol\'ar felbont\'as\'ar\'ol.} {\it Legyen
$A$ egy Euklideszi t\'er line\'aris transz\-for\-m\'a\-ci\'o\-j\'a\-nak
a m\'atrixa. L\'etezik az $A$ m\'atrixnak $A=UK$ (\'es $A=LV$) alak\'u
pol\'ar felbont\'asa, ahol $U$ (illetve $V$) unit\'er, $K$
(illetve $L$) pozit\'{\i}v szemidefinit szimmetrikus m\'atrix. A $K$
m\'atrix az $A^*A$ pozit\'{\i}v definit, szimmetrikus m\'atrix
egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozott pozit\'{\i}v n\'egyzetgy\"oke.
(Az $L$ m\'atrix az $AA^*$ m\'atrix pozit\'{\i}v n\'egyzetgy\"oke.)}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.} Ezen eredm\'eny elnevez\'es\'enek az az oka,
hogy a pozit\'{\i}v szemidefinit m\'at\-ri\-xok a nem negat\'{\i}v
val\'os sz\'amoknak, az unit\'er transzform\'aci\'ok pedig az egy
abszolut \'er\-t\'e\-k\H{u} komplex sz\'amoknak (a komplex t\'er
forgat\'asainak) a term\'eszetes megfelel\H{o}i, ha a komplex
sz\'amok ter\'et egy Euklideszi t\'er oper\'atorainak a ter\'evel
helyettes\'{\i}tj\"uk. Ahogy egy tetsz\H{o}leges $z$ komplex sz\'am
fel\'{\i}rhat\'o $z=Re^{i\varphi}$ `pol\'arkoordin\'at\'as' alakban,
\'ugy tetsz\H{o}leges $A$ m\'atrix fel\'{\i}rhat\'o a t\'etelben
megadott $A=UK$ alakban. Mivel a m\'at\-rix\-szor\-z\'as nem
kommutat\'{\i}v, ez\'ert az $A=UK$ \'es $A=LV$
el\H{o}\'all\'{\i}t\'asokban k\"ul\"onb\"oz\H{o} m\'atrixok
szerepelnek az \'altal\'anos esetben. A $K$ m\'atrix alakja
k\"ovetkezik az
$$
A^*A=(UK)^*(UK)=K^*(U^*U)K=K^*K=K^2 \quad\text{ez\'ert }K=(A^*A)^{1/2}
$$
azonoss\'agb\'ol.

\medskip\noindent
{\it A m\'atrixok pol\'ar felbont\'as\'ar\'ol sz\'ol\'o t\'etel
bizony\'{\i}t\'asa.}\/ L\'attuk, hogy ha l\'etezik az $A$ m\'atrixnak
$A=UK$ alak\'u pol\'ar felbont\'asa, akkor $K=(A^*A)^{1/2}$, az
$A^*A$ m\'atrix po\-zi\-t\'{\i}v n\'egyzetgy\"oke. Legyen $A$
$n\times n$-es m\'atrix, \'es legyen $e_1,\dots,e_n$ az $R^n$
t\'ernek az $A^*A$ szimmetrikus pozit\'{\i}v, szemidefinit
m\'atrix ortonorm\'alt saj\'atvektoraib\'ol \'all\'o b\'azisa
$\mu_1^2,\dots,\mu_k^2$, $\mu_j\ge0$, $1\le j\le k$,
saj\'at\'ert\'ekekkel, azaz legyen $e_jA^*A=\mu_j^2e_j$. Ekkor
$(e_jA^*,e_kA^*)=(e_jA^*A,e_k)=\mu_j^2(e_j,e_k)=\delta_{j,k}\mu_j^2$, 
ahol $\delta_{j,k}=0$, ha $j\neq k$, \'es $\delta_{j,k}=1$, ha $j=k$.

Azt \'all\'{\i}tom, hogy az $R^n$ t\'ernek l\'etezik olyan 
ortonorm\'alt $v_1,\dots,v_n$ b\'azisa,  amelyre
$e_jA^*=\mu_jv_j$ minden $1\le j\le n$ indexre. Val\'oban, legyen
$v_j=\frac{e_jA^*}{\mu_j}$, ha $\mu_j\neq0$, \'es 
eg\'esz\'{\i}ts\"uk
ki ezeket a vektorokat a t\'er egy ortonorm\'alt b\'azis\'av\'a. 
Ezzel a v\'alaszt\'assal $e_jA^*=\mu_jv_j$ minden $j$ indexre. Ugyanis
ez az azonoss\'ag \'erv\'enyes definici\'o szerint, ha $\mu_j\neq0$,
\'es $e_jA^*=0$ (mivel $(e_jA^*,e_jA^*)=\mu_j^2=0$) valamint 
$\mu_jv_j=0$ miatt \'erv\'enyes akkor is, ha $\mu_j=0$.

Defini\'aljuk az $U$ oper\'atort a $e_jU^*=v_j$ rel\'aci\'oval a fenti
$e_1,\dots,e_n$ \'es $v_1,\dots,v_n$ vektorokkal. Ekkor $U^*$ \'es $U$
unit\'er oper\'atorok. Tov\'abb\'a a $K=(A^*A)^{1/2}$ oper\'atorra
$e_jK=\mu_je_j$. Ez\'ert $e_jA^*=\mu_jv_j=e_j KU^*$ minden $1\le j\le n$
indexre. Innen $A^*=KU^*$, \'es $A=(A^*)^*=(KU^*)^*=UK$. \'Igy megkaptuk
az $A=UK$ pol\'ar felbont\'ast. Az $A=LV$ pol\'ar felbont\'ast 
hasonl\'oan kaphatjuk meg.


\medskip\noindent
{\it A line\'aris algebra alkalmaz\'asa
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi probl\'em\'akban.}

\medskip
Tekints\"uk az ismertet\'es elej\'en t\'argyalt $k$ hossz\'us\'ag\'u
$(x_1,\dots,x_k)$ sorozatokb\'ol \'all\'o $E_k$ euklideszi teret az
$(x,y)=\summ_{p=1}^kx_p\bar y_p$ skal\'arszorzattal. Legyen
tov\'abb\'a adva $k$ $\xi_1,\dots,\xi_k$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o egy $(\Omega,\Cal
A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, amelyekre $E\xi_p=0$,
$E\xi^2_p<\infty$, $1\le p\le k$. E val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'aljuk a k\"ovetkez\H{o}
biline\'aris f\"uggv\'enyt az $E_k$ euklideszi t\'eren. Ha
$x=(x_1,\dots,x_k)$, $y=(y_1,\dots,y_k)$ akkor legyen
$A(x,y)=E\(\summ_{j=1}^k x_j\xi_j\)\(\summ_{l=1}^k y_l\xi_l\)$. Nem
neh\'ez bel\'atni, hogy ez a biline\'aris f\"uggv\'eny megadhat\'o
$A(x,y)=xDy^*$ alakban, ahol $D=d_{j,l}$, $1\le j,l\le k$,
$d_{j,l}=E\xi_j\xi_l=\Cov(\xi_j,\xi_l)$, a $(\xi_1,\dots,\xi_k)$
v\'eletlen vektor kovariancia m\'atrixa. Ennek a biline\'aris
f\"uggv\'enynek, illetve a neki megfelel\H{o} kovarianciam\'atrixnak
a vizsg\'alata fontos szerepet j\'atszott a t\"obb-dimenzi\'os
norm\'alis eloszl\'as, illetve a t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel vizsg\'alat\'aban. L\'attuk, hogy a $D$
kovariancia m\'atrix \"onadjung\'alt, \'es pozit\'{\i}v szemidefinit.
Megjegyezt\"uk, hogy a line\'aris algebra eredm\'enyeib\H{o}l
k\"ovetkezik, hogy minden $A$ pozit\'{\i}v szemidefinit m\'atrix
fel\'{\i}rhat\'o $A=B^*B$ alakban. Az el\H{o}ad\'asban l\'attuk,
hogy ennek az eredm\'enynek az az egyik k\"ovetkezm\'enye, hogy
minden szimmetrikus pozit\'{\i}v szemidefinit m\'atrix eset\'eben
l\'etezik olyan t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelyiknek ez a kovariancia
m\'artixa.

L\'assuk be, mi\'ert l\'etezik $A=BB^*$ alak\'u
el\H{o}\'all\'{\i}t\'asa egy $A$ pozit\'{\i}v (szemi)definit
m\'atrixnak. Egy pozit\'{\i}v szemidefinit diagon\'alis $\Lambda$
m\'atrix eset\'eben ez az \'all\'{\i}t\'as nagyon egyszer\H{u}en
bizony\'{\i}that\'o. Legyenek $\lambda_1,\dots,\lambda_k$ a
$\Lambda$ m\'atrix \'atl\'oj\'aban l\'ev\H{o} elemek. Az, hogy a
$\Lambda$ m\'atrix pozit\'{\i}v szemidefinit, azt jelenti, hogy
$\lambda_j\ge0$ minden $1\le j\le k$ indexre. Ez\'ert
$\Lambda=\sqrt\Lambda\sqrt\Lambda=\(\sqrt\Lambda\)^*\sqrt\Lambda$,
ahol $\sqrt\Lambda$ az a diagon\'alis m\'atrix, amelynek elemei a
$\sqrt{\lambda_j}$, $1\le j\le k$ sz\'amok. Az \'altal\'anos esetben
egy $A$ szimmetrikus m\'atrix fel\'{\i}rhat\'o $A= U^*\Lambda U$
alakban, ahol $U$ unit\'er, $\Lambda$ pedig diagon\'alis m\'atrix.
Az, hogy az $A$ m\'atrix pozit\'{\i}v szemidefinit azt jelenti, hogy
a $\Lambda$ m\'atrix diagon\'alis\'aban \'all\'o elemek (az $A$
m\'atrix saj\'atvektoraihoz tartoz\'o saj\'at\'ert\'ekek) nem
negat\'{\i}v sz\'amok. Ez\'ert teljes\"ul az $A=B^2=B^*B$
azonoss\'ag $B=U^*\sqrt\Lambda U$ v\'alaszt\'assal. Ugyanis ekkor
$B^*B=U^*\sqrt\Lambda UU^*\sqrt\Lambda U=U^*\Lambda U=A$, \'es
$B=B^*$. (Ezenk\'{\i}v\"ul azt is biztos\'{\i}tottuk, hogy a fenti
el\H{o}\'all\'{\i}t\'asban szerepl\H{o} $B$ m\'atrix pozit\'{\i}v
szemidefinit.) Az $A=B^*B$ el\H{o}\'all\'{\i}t\'as nem
egy\'ertelm\H{u}. Val\'oban, legyen $V$ tetsz\H{o}leges unit\'er
m\'atrix, \'es defini\'aljuk a $\bar B=VB$ m\'atrixot. Ekkor $\bar
B^*\bar B=B^*V^*VB=B^*B=A$, ha teljes\"ul az $A=B^*B$ azonoss\'ag.

\medskip\noindent
{\script M\'atrixok determin\'ansa, Egy transzform\'aci\'o
Jacobianja, T\"obbv\'altoz\'os integr\'alok transzform\'aci\'oi.}

\medskip
Tekints\"uk egy $A$ $k\times k$ m\'eret\H{u} $A=\(a_{j,l}\)$, $1\le
j,l\le k$, alak\'u m\'atrix $\det A$ determin\'ans\'at. Ennek a
determin\'ansnak a k\"ovetkez\H{o} szeml\'eletes jelent\'ese van:
Te\-kint\-s\"uk az $A$ m\'atrix $a^{(j)}=\(a_{j,1},\dots,a_{j,k}\)$
sorait, $1\le j\le k$, mint vektorokat a $k$-dimenzi\'os t\'erben.
Ekkor $\det A$ megegyezik az $a^{(j)}$, $1\le j\le k$, vektorok
\'altal kifesz\'{\i}tett parallelepipedon el\H{o}jeles
t\'erfogat\'aval. Az $A$ m\'atrix sorvektorai \'altal
kifesz\'{\i}tett pa\-rallelepipedon a $k$-dimenzi\'os egys\'egkocka
k\'epe, ha az $A$ m\'atrix \'altal meghat\'arozott line\'aris
transzform\'aci\'ot alkalmazzuk. Ez\'ert a fent eml\'{\i}tett
eredm\'eny szerint a $\det A$ geometriai tartalma
azt fejezi ki, hogy az $A$ m\'atrix h\'anyszoros\'ara
nagy\'{\i}tja egy $k$-dimenzi\'os vektorok \'altal
kifesz\'{\i}tett parallelepipedon el\H{o}jeles t\'erfogat\'at.
Ennek a geo\-met\-riai t\'enynek fontos k\"ovetkezm\'enyei
vannak. Ez az eredm\'eny magyar\'azza meg a $\det(AB)=\det A \det B$
azonoss\'ag ok\'at \'es szeml\'eletes tartalm\'at. Nevezetesen,
$\det(AB)$ azt m\'eri, hogy h\'anyszoros\'ara nagy\'{\i}tja az
el\H{o}jeles t\'erfogatot az $A$ \'es $B$ line\'aris
transz\-for\-m\'a\-ci\'ok egym\'as ut\'ani alkalmaz\'asa, m\'{\i}g az
azonoss\'ag jobboldala azt m\'eri, hogy az egyes $A$ \'es $B$
transzform\'aci\'ok k\"ul\"on-k\"ul\"on h\'anyszorosra
nagy\'{\i}tj\'ak az el\H{o}jeles t\'erfogatot. S\H{o}t,
ennek a geo\-met\-riai k\'epnek m\'as sz\'amunkra fontos
k\"ovetkezm\'enye is van. Ez ma\-gya\-r\'az\-za meg azt, hogy
hogyan kell kisz\'am\'{\i}tani t\"obbv\'altoz\'os f\"uggv\'enyek
integr\'alj\'at, ha a f\"uggv\'enyt transzform\'aljuk, \'es mi\'ert
jelenik meg ebben a formul\'aban a lek\'epez\'es Jacobian-j\'anak
nevezett mennyis\'eg.

Mag\'anak a fent eml\'{\i}tett t\'enynek a bizony\'{\i}t\'as\'at
elhagyom, csak r\"oviden utalok a  $\det AB=\det A\det B$ eredm\'eny
ok\'ara. Ha  tekint\"unk $k$ darab $k$-dimenzi\'os vektort, akkor mind
az \'altaluk kifesz\'{\i}tett parallelepipedon el\H{o}jeles t\'erfogata,
mind azon m\'atrix determin\'ans\'anak az \'ert\'eke, amely m\'atrix
$j$-ik sor\'aban az $a^{(j)}$ vektor \'all, az $a^{(j)}$ vektorok
multiline\'aris f\"ugg\-v\'e\-nye. Azaz, b\'arhogy r\"ogz\'{\i}tj\"uk
egy vektor kiv\'etel\'evel az \"osszes t\"obbi vektor \'ert\'ek\'et,
akkor az \'{\i}gy kapott f\"uggv\'eny a nem r\"ogz\'{\i}tett
vektorv\'altoz\'o line\'aris f\"uggv\'enye. Annak bel\'at\'as\'ahoz,
hogy k\'et multiline\'aris f\"uggv\'eny megegyezik elegend\H{o}
bel\'atni a k\'et f\"uggv\'eny azonoss\'ag\'at bizonyos speci\'alis
esetekben. Meg lehet mutatni, hogy jelen esetben elegend\H{o}
bel\'atni azt, hogy a tekintett el\H{o}jeles t\'erfogat
\'es determin\'ans \'ert\'eke megegyezik azokban a speci\'alis
esetekben, amikor mindegyik $a^{(j)}$ vektor olyan, hogy az egyik
koordin\'at\'aja 1, az \"osszes t\"obbi koordin\'at\'aja pedig nulla.
Tov\'abb\'a mind a determin\'ans mind az (el\H{o}jeles) t\'erfogat
\'ert\'eke nulla, ha az \H{o}ket meghat\'aroz\'o $a^{(j)}$
vektorok k\"oz\"ott van k\'et egyenl\H{o} vektor.
Ezekben az esetekben viszont nem neh\'ez ellen\H{o}rizni az
\'all\'{\i}t\'ast.

Tekints\"unk egy $f(y_1,\dots,y_k)$ f\"uggv\'enyt, illetve annak
$\int_B f(y_1,\dots,y_k)\,dy_1\dots\,dy_k$ integr\'alj\'at valamely
$B$ tartom\'anyban. Arra vagyunk kiv\'ancsiak, hogy hogyan lehet
ki\-sz\'a\-mol\-ni ezt az  integr\'alt, ha a $k$-dimenzi\'os t\'er $A$
halmaz\'anak egy $y_j=T_j(x_1,\dots,x_k)$, $1\le j\le k$,
lek\'epez\'es\'et alkalmazzuk erre a $B$ tartom\'anyra. Ezt a
lek\'epez\'est r\"oviden az $y=T(x)$ form\'aban \'{\i}rjuk,
ahol az $y=(y_1,\dots,y_k)$, $x=(x_1,\dots,x_k)$, $T=(T_1,\dots,T_k)$
jel\"ol\'est alkalmazzuk.
Tulajdonk\'eppen az
$$
\int_a^b f(g(x))g'(x)\,dx=\int_{g(a)}^{g(b)} f(y)\,dy
$$
azonoss\'ag t\"obbdimenzi\'os v\'altozat\'at keress\"uk. Tegy\"uk
fel, hogy a tov\'abbi \'ervel\'esekben az \"osszes el\H{o}fordul\'o
f\"uggv\'eny \'es halmaz el\'eg sz\'ep, azok minden sz\'amunkra
sz\"uks\'eges tulajdons\'aggal rendelkeznek. Tov\'abb\'a, ha
m\'ask\'epp nem mondjuk, felt\'etelezz\"uk azt is, hogy a
$k$-dimenzi\'os t\'er $T$ transzform\'aci\'oja az $A$ $k$-dimenzi\'os
tartom\'anynak invert\'alhat\'o lek\'epez\'ese a $k$-dimenzi\'os  egy
$B$ tartom\'any\'ara, azaz az $y=T(x)$ egyenletnek egy\'ertelm\H{u}
megold\'asa van az $x$ v\'altoz\'oban minden $y\in B$ vektorra.

A vizsg\'aland\'o $\int_B f(y_1,\dots,u_k)\,dy_1\dots\,dy_k$
integr\'alt a k\"ovetkez\H{o} jelleg\H{u}
in\-teg\-r\'al\-k\"o\-ze\-l\'{\i}\-t\H{o} \"osszegek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel sz\'amolhatjuk ki. Osszuk fel az $A$
tartom\'anyt kis \'atm\'er\H{o}j\H{u}, diszjunkt $A_1,\dots,A_n$
halmazok uni\'oj\'ara, \'es defini\'aljuk a $B_s=T(A_s)$,
$s=1,\dots,n$ halmazokat, ahol $T(C)=\{T(x)\colon\; x\in C\}$ minden
$C\subset A$ halmazra. V\'alasszunk ki mindegyik $B_s$ halmazb\'ol
egy $v^{(s)}=T(u^{(s)})=\(v_1^{(s)},\dots,v^{(s)}_k\)$,
$s=1,\dots,n$, pontot, ahol $u^{(s)}=\(u^{(s)}_1,\dots,u^{(s)}_k\)\in
A_s$. Tekints\"uk ezut\'an az $\int_B f(y_1,\dots,y_k)\,dy_1
\dots\,dy_k$ integr\'al $\summ_{s=1}^n f\(v^{(s)}\)\lambda(B_s)$
alak\'u integr\'al k\"ozel\'{\i}t\H{o} \"ossze\-ge\-it, ahol
$\lambda(C)$ egy $C$ $k$-dimenzi\'os halmaz t\'erfogat\'at jel\"oli.
A vizsg\'aland\'o integr\'al ezen k\"ozel\'{\i}t\H{o} \"ossze\-gek
hat\'ar\'ert\'eke, ha az $A_1,\dots,A_n$ illetve a $T$
transzform\'aci\'o (egyenletes) folytonoss\'aga miatt a
$B_1,\dots,B_n$ halmazrendszerben szerepl\H{o} halmazok
\'atm\'er\H{o}j\'enek a maximuma null\'ahoz tart. Hogyan
tudjuk a tekintett integr\'al k\"ozel\'{\i}t\'es\'et vizsg\'alni
a $T$ lek\'epz\'es k\'epter\'eben?

Az el\H{o}bb tekintett integr\'alk\"ozel\'{\i}t\H{o} \"osszegekre
fel\'{\i}rhatjuk a k\"ovetkez\H{o} azonoss\'agot:
$$
\summ_{s=1}^n f\(v^{(s)}\)\lambda(B_s)=\summ_{s=1}^n
f\(T\(u^{(s)}\)\)\frac{\lambda(B_s)}{\lambda(A_s)} \lambda(A_s),
\tag $*$
$$
\'es a vizsg\'alt integr\'alra az azonoss\'ag jobboldal\'an
szerepl\H{o} kifejez\'es kis \'atm\'er\H{o}j\H{u} $A_s$ halmazok
v\'alaszt\'asa eset\'en egyr\'eszt j\'o k\"oze\'{\i}t\'est ad a
vizsg\'alt integr\'alra, m\'asr\'eszt be lehet l\'atni, hogy ez a
kifejez\'es j\'ol k\"ozel\'{\i}t egy az $A$ tartom\'anyon alkalmasan
defini\'alt integr\'alt, ha j\'o becsl\'est tudunk adni a
$\frac{\lambda(B_s)}{\lambda(A_s)}$ h\'anyadosokra.

Vegy\"uk \'eszre, hogy $\frac{\lambda(B_s)}{\lambda(A_s)}=
\frac{\lambda(T(A_s))}{\lambda(A_s)}$.

Mivel az $A_s$ halmazok \'atm\'er\H{o}je kicsi, $u^{(s)}\in A_s$,
ez\'ert a $T=(T_1,\dots,T_k)$ lek\'epez\'es megszor\'{\i}t\'asa az
$A_s$ halmazra j\'ol k\"ozel\'{\i}thet\H{o} a
$$
y^{(s)}_j-v^{(s)}_j\sim \summ_{p=1}^k
\left. \frac{\partial T_j(x_1,\dots,x_k)}{\partial
x_p}\right|_{(x_1,\dots,x_k)=(u^{(s)}_1,\dots,u^{(s)}_k)}
\(x^{(s)}_p-u^{(s)}_p\),\quad j=1,\dots,k,
$$
kifejez\'essel, azaz a $T$ transzform\'aci\'onak az
$u^{(s)}=\(u^{(s)}_1,\dots,u^{(s)}_k\)$ pont k\"or\"uli Taylor
sor\'anak els\H{o} tagj\'aval.

A fenti azonoss\'ag vektor jel\"ol\'essel
$$
y^{(s)}-v^{(s)}\sim \(x^{(s)}-u^{(s)}\) \left.
\(\frac{\partial T(x)}{\partial x}\)\right|_{x=u^{(s)}}
$$
alakban \'{\i}rhat\'o, ahol
$$
\align
x^{(s)}-u^{(s)}&=\(x^{(s)}_1-u^{(s)}_1,\dots,x^{(s)}_k-u^{(s)}_k\)\\
y^{(s)}-v^{(s)}&=\(y^{(s)}_1-v^{(s)}_1,\dots,y^{(s)}_k-v^{(s)}_k\),
\endalign
$$
\'es $\(\left.\frac{\partial T(x)}{\partial x}\)\right|_{x=u^{(s)}}$
az a $k\times k$ m\'eret\H{u} m\'atrix, amelynek $j$-ik sor\'aban
\'es $l$-ik oszlop\'aban a $\left.\frac{\partial T_j
(x_1,\dots,x_k)} {\partial x_l}\right|_{x=u^{(s)}}$ elem \'all.

Ez azt jelenti, hogy a $\(\left.\frac{\partial T_j(x_1,\dots,x_k)}
{\partial x_l}\right|_{x=u^{(s)}}\)$ m\'atrix (elhanyagolhat\'on kis
hib\'a\-t\'ol eltekintve) az $A_s$ halmazt a $B_s$ halmazba viszi.
Ez a t\'eny, illetve a m\'atrix determin\'ans\'anak megt\'argyalt
geometriai jelent\'ese miatt
$$
\frac{\lambda(B_s)}{\lambda(A_s)}\sim \left|\det
\(\left.\frac{\partial T_j(x_1,\dots,x_k)}{\partial x_l}
\right|_{x=u^{(s)}}\)\right|.
$$
Jegyezz\"uk meg, hogy itt abszolut \'ert\'eket kellett venni, mert
a t\"obb-v\'altoz\'os integr\'alokat olyan k\"ozel\'{\i}t\H{o}
\"osszegek seg\'{\i}ts\'eg\'evel vizsg\'aljuk, amelyekben a halmazok
t\'erfogat\'at \'es nem el\H{o}jeles t\'erfogat\'at tekintj\"uk. Ez
n\'emi elt\'er\'est jelent az egy \'es t\"obb-dimenzi\'os integr\'alok
defin\'{\i}ci\'oj\'aban \'es viselked\'es\'eben.

A fenti rel\'aci\'o azt sugallja, hogy az $A$ halmaz finom
feloszt\'asa eset\'eben a $(*)$ formula jobboldal\'an szerepl\H{o}
\"osszeg j\'ol k\"ozel\'{\i}ti az $\dsize \int_A
f(T(x))\left|\det\frac{\partial T(x)}{\partial x}\right|\,dx$
integr\'alt, ez\'ert hat\'ar\'atmenetet v\'egrehajtva megkapjuk az
$$
\int_B f(y)\,dy=\int_A f(T(x))\left|\det\frac{\partial T(x)}
{\partial x}\right|\,dx
$$
azonoss\'agot. Ezt az eredm\'enyt, illetve a hozz\'a sz\"uks\'eges
defin\'{\i}ci\'ot fogalmazom meg az al\'abbiakban.

Defini\'aljuk el\H{o}sz\"or  a $k$-dimenzi\'os t\'er
sima transzform\'aci\'oinak a Jacobian-j\'at.

\medskip\noindent
{\bf Jacobian definic\'{\i}\'oja.} {\it Legyen $y_j=T_j(x_1,\dots,x_n)$,
$1\le j\le k$, a $k$-dimenzi\'os t\'er egy $A$ tartom\'any\'anak
sima lek\'epez\'es a $k$-dimenzi\'os t\'er egy m\'asik $B$
tartom\'any\'aba. Jel\"olje $\bold T(x_1,\dots,x_k)=
\(T_1(x_1,\dots,x_n),\dots,T_k(x_1,\dots,x_n)\)$ ezt a
transzform\'aci\'ot. E transzform\'aci\'o $\Cal J(\bold
T(x_1,\dots,x_k))$ Jacobi\'anj\'at egy $(x_1,\dots,x_k)\in A$ pontban
\'ugy defini\'aljuk, hogy tekintj\"uk el\H{o}sz\"or a $\bold T$
lek\'epez\'es
$$
\(\frac {\partial T_j(x_1,\dots,x_k)}{\partial x_l}\),
\quad 1\le j,l\le k,
$$
deriv\'altj\'at az $(x_1,\dots,x_k)$ pontban, ami egy $k\times k$
m\'eret\H{u} m\'atrix. Ezut\'an a $\bold T$ lek\'epez\'es $\Cal J(\bold
T(x_1,\dots,x_k))$ Jacobianj\'at az $(x_1,\dots,x_k)$ pontban \'ugy
defini\'aljuk mint ezen (deriv\'alt) m\'atrix determin\'ans\'anak az
abszolut \'ert\'ek\'et.

(A Jacobian szeml\'eletes tartalma: Ez adja meg, hogy az
$(x_1,\dots,x_k)$ pont kis k\"ornyezet\'enek a t\'erfogat\'at a
$\bold T=(T_1,\dots,T_k)$ transzform\'aci\'o h\'anyszoros\'ara
nagy\'{\i}tja ki.)} \medskip

Az integr\'altranszform\'aci\'or\'ol sz\'ol\'o t\'etelt el\H{o}sz\"or
abban (a kor\'abban t\'argyalt) spe\-ci\'a\-lis esetben mondom ki,
amikor a $\bold T$ transzform\'aci\'o invert\'alhat\'o, majd
megfogalmazom az \'altal\'anosabb esetben \'erv\'enyes eredm\'enyt is.

\medskip\noindent
{\bf Integr\'altranszform\'aci\'or\'ol sz\'ol\'o k\'eplet speci\'alis
esete.} {\it Legyen adva a $k$-di\-men\-zi\'os t\'er egy $A$
tartom\'any\'anak egy sima $y_j=T_j(x_1,\dots,x_k)$, $1\le j\le
k$, transzform\'altja a $k$-dimenzi\'os t\'er egy m\'asik $B$
tartom\'any\'aba, amelyik invert\'alhat\'o, azaz az
$y_j=T_j(x_1,\dots,x_k)$, $1\le j\le k$, egyenletrendszernek egyetlen
$(x_1,\dots,x_k)\in A$ megold\'asa van minden $(y_1,\dots,y_k)\in B$
pontra. Legyen tov\'abb\'a adva az $A$ tartom\'anyon egy
(integr\'alhat\'o) $f(x_1,\dots,x_k)$ f\"uggv\'eny. Ekkor
$$
\align
\int _B &f(y_1,\dots,y_k)\,dy_1\dots\,dy_k \\
&\qquad =\int_A f(T_1(x_1,\dots,x_k),\dots,T_n(x_1,\dots,x_k))
\Cal J(\bold T(x_1,\dots,x_k))\,dx_1\dots\,dx_k,
\endalign
$$
ahol $\Cal J(\bold T(x_1,\dots,x_k))$ jel\"oli a $\bold
T(x_1,\dots,x_k)$ lek\'epez\'es Jacobianj\'at.}\medskip

Az \'altal\'anos eset, amikor a $\bold T$ lek\'epez\'es az $A$
tartom\'anynak egy nem felt\'etlen\"ul invert\'alhat\'o
lek\'epez\'ese egy $B$ tartom\'anyra hasonl\'oan t\'argyalhat\'o.
A k\"ul\"onbs\'eg az, hogy most meg kell fogalmaznunk azt a
megszor\'{\i}t\'ast, amely szerint csak olyan f\"uggv\'enyeket
tekint\"unk az $A$ tartom\'anyban, amelyekre $f(x_1,\dots,x_k)=
f(\bar x_1,\dots,\bar x_k)$ minden olyan $(x_1,\dots,x_k)$ \'es
$(\bar x_1,\dots,\bar x_k)$ pontp\'arra, amely\-re $\bold
T(x_1,\dots,x_k)=\bold T(\bar x_1,\dots,\bar x_k)$. Ezt \'ugy
biztos\'{\i}tjuk, hogy el\H{o}sz\"or egy a $\bold T$
transzform\'aci\'o $B$ k\'epter\'en defini\'alt $f(y_1,\dots,y_k)$
f\"uggv\'enyt tekint\"unk, majd megadjuk ennek a f\"uggv\'enynek a
$\bold T$ transzform\'aci\'o \'altal induk\'alt  \H{o}sk\'ep\'et az
$A$ tartom\'anyon. Az integr\'altranszform\'aci\'os k\'epletben ezek
a f\"ugg\-v\'e\-nyek jelennek meg.

Tov\'abb\'a, ha tekintj\"uk az $(y_1,\dots,y_k)$ pont kis
k\"ornyezet\'et, akkor ennek hat\'asa a keresett azonoss\'ag
m\'asik oldal\'an a k\"ornyezet teljes \H{o}sk\'ep\'en jelenik meg.
Ennek az a k\"ovetkezm\'enye, hogy a $\bold T$ lek\'epez\'es
Jacobianj\'anak \'ert\'ek\'et egy\"utt kell tekinten\"unk minden
olyan $(x_1,\dots,x_k)$ pontban, amelyre
$\bold T(x_1,\dots,x_k)=(y_1,\dots,y_k)$ valamely r\"ogz\'{\i}tett
$(y_1,\dots,y_k)\in B$ pontban. Megfogalmazom az
eredm\'enyt. \medskip\noindent
{\bf Integr\'altranszform\'aci\'or\'ol sz\'ol\'o k\'eplet.} {\it
Legyen adva a $k$-dimenzi\'os t\'er egy $A$ tartom\'any\'anak egy
sima $y_j=T_j(x_1,\dots,x_k)$, $1\le j\le k$,
transzform\'altja a $k$-dimenzi\'os t\'er egy m\'asik $B$
tartom\'any\'aba. Legyen tov\'abb\'a adva a $B$ tartom\'anyon egy
$f(y_1,\dots,y_k)$ f\"uggv\'eny. Ezen $f(y_1,\dots,y_k)$
f\"uggv\'enynek a $\bold T=(T_1,\dots,T_k)$ transzform\'aci\'o \'altal
meg\-ha\-t\'a\-ro\-zott \H{o}sk\'ep\'en azt az $A$ tartom\'anyon
\'ertelmezett $g(x_1,\dots,x_k)=\bold T^{-1}f(x_1,\dots,x_k)$
f\"uggv\'enyt \'ertj\"uk az $A$ tartom\'anyon, amelyre
$$
g(x_1,\dots,x_k)=f(T_1(x_1,\dots,x_k),\dots,T_k(x_1,\dots,x_k))
$$
minden $(x_1,\dots,x_k)\in A$ pontban. Ekkor
$$
\align
&\int _{B} f(y_1,\dots,y_k)\,dy_1\dots\,dy_k \\
&\qquad =\int_{A}\frac {\bold T^{-1}f(x_1,\dots,x_k)}
{\summ \Sb \text{olyan } (z_1,\dots,z_k)\in A \text{ pontok}\\
\text{amelyekre }T_j(z_1,\dots,z_k)=T_j(x_1,\dots,x_k)\\
j=1,\dots,k\endSb\frac1{\Cal J(\bold T(z_1,\dots,z_k))}} \bold
\,dx_1\dots\,dx_k.
\endalign
$$}

\medskip
R\"ovid, inform\'alis magyar\'azatot adok arra, hogy mi\'ert jelenik
meg egy ilyen formula a fenti t\'etelben. Legyenek az $x^{(1)}\in
A$,\dots,$x^{(s)}\in A$  pontok az $y=\bold T(x)$ egyenlet megold\'asai
valamely r\"ogz\'{\i}tett $y\in B$ pontra, \'es tekintve az $y$ pont
egy kis $C$ k\"ornyezet\'et legyen ennek az \H{o}sk\'epe olyan
$A_1,\dots,A_s$ halmazok uni\'oja, amelyek az $x^{(1)}$,\dots,
$x^{(s)}$ pontok kis k\"ornyezetei. Ekkor $\lambda(C)\sim\lambda(A_r)
\Cal J\(\bold T\(x^{(r)}\)\)$ minden $r=1,\dots,s$ sz\'amra, ahonnan
$\summ_{r=1}^s\lambda (A_r)\sim
\summ_{r=1}^s\frac{\lambda(C)}{\Cal J(\bold T(x^{(r)}))}$, azaz
$\lambda(C)\sim \frac1{\summ_{r=1}^s\frac1{\Cal J(\bold T(x^{(r)}))}}
\summ_{r=1}^s\lambda (A_r)$, \'es ez inform\'alis megfogalmaz\'asban
az $f(y)\,dy= \summ_{p=1}^s\frac{f(\bold T(x_p))}{\summ_{r=1}^s\frac1
{\Cal J(\bold T(x^{(r)}))}}\,dx_p$ formul\'at sugallja, ahol az
$x_1,\dots,x_s$ pontok az $y$ pont \H{o}sk\'epei a $\bold T$
lek\'epez\'es szerint, \'es ezekre teljes\"ul az $f(y)=f(\bold T(x_p)$,
$p=1,\dots,s$ azonoss\'ag. Ebb\H{o}l a formul\'ab\'ol k\"ovetkezik a
t\'etelben kimondott azonoss\'ag.

\medskip
L\'assuk az el\H{o}bb t\'argyalt integr\'altranszform\'aci\'onak
legfontosabb alkalmaz\'as\'at, azt hogy hogyan lehet k\'etv\'altoz\'os
integr\'alokat pol\'ar koordin\'atarendszerben kisz\'amolni.

Tekints\"uk az $A=\{(r,\varphi)\colon\;r>0,-\pi<\varphi<\pi\}$
tartom\'anynak az $x=r\cos\varphi$ \'es $y=r\sin\varphi$
k\'epletekkel megadott k\"olcs\"on\"osen egy\'ertelm\H{u}
lek\'epez\'es\'et a s\'{\i}kra. (Pontosabban, ez a lek\'epez\'es az
$A$ halmazt arra a $B$ halmazra k\'epezi, amelyet \'ugy kapunk, hogy a
s\'{\i}kb\'ol kihagyjuk az
$\{(x,y)\colon\; x=0,y\le 0\}$ f\'elegyenest,
de egy s\'{\i}kbeli integr\'al \'ert\'eke nem v\'altozik meg,
ha egy f\'elegyenest kihagyunk az integr\'al\'asi tartom\'anyb\'ol.

Sz\'amoljuk ki a tekintett lek\'epez\'es Jacobianj\'at, majd mutassuk
meg, hogy a kapott eredm\'eny megfelel a szeml\'eletes k\'epnek.
Egyszer\H{u} sz\'amol\'assal, $\frac{\partial
x}{\partial r}=\cos\varphi$, $\frac{\partial x}{\partial\varphi}=
-r\sin\varphi$, $\frac{\partial y}{\partial r}=\sin\varphi$,
$\frac{\partial y}{\partial \varphi}=r\cos\varphi$, ez\'ert a
Jacobian \'ert\'eke
$$
\Cal J(r\cos\varphi,r\sin\varphi)= \left|  \det\left|
\aligned
&\cos\varphi,\,-r\sin\varphi \\
&\sin\varphi,\;\;\,r\cos\varphi
\endaligned
\right|\,\right|=r(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)=r,
$$
ahonnan
$$
\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty f(x,y)\,dx\,dy=
\int_{-\pi}^\pi\int_0^\infty rf(r\cos\varphi,r\sin\varphi)
\,dr\,d\varphi. \tag$**$
$$

Annak \'erdek\'eben, hogy szeml\'eletesen is meg\'erts\"uk mi\'ert
jelenik meg a pol\'ar koordin\'ata\-rend\-szerre val\'o
\'at\-t\'e\-r\'es\-kor az $r$-rel val\'o szorz\'as az integrandusban,
tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} feladatot:

\medskip
Ha adva van egy $T=[r,r+\Delta r]\times [\varphi,\varphi+\Delta
\varphi]$ t\'eglalap, ahol $\Delta r$ \'es $\Delta\varphi$ kis
sz\'amok \'es alkalmazzuk az $A(r,\varphi)=(x,y)$, $x=r\cos\varphi$,
$y=r\sin\varphi$, lek\'epez\'est, \'es tekintj\"uk a $T$ halmaz $A(T)$
k\'ep\'et, akkor mi lesz az $A(T)$ \'es $T$ halmaz ter\"ulet\'enek az
ar\'anya?

\medskip
A $T$ halmaz ter\"ulete $\lambda(T)=\Delta r\Delta\varphi$. Az
$A(T)$ halmaz azon pontokat tartalmazza az $(x,y)$ s\'{\i}kon,
amelyeknek az abszolut \'ert\'eke $r$ \'es $r+\Delta r$ k\"oz\'e, az
abszcissza tengellyel bez\'art sz\"oge pedig $\varphi$ \'es
$\varphi+\Delta\varphi$ k\"oz\'e esik. Ez\'ert ennek ter\"ulete
$A(T)=(r+\Delta r)^2\frac{\Delta\varphi}2 -r^2\frac{\Delta\varphi}2
=r\Delta r\Delta\varphi+\frac{(\Delta r)^2\Delta\varphi}2$, ahonnan
$\frac{\lambda(A(T))}{\lambda(T)}=r+\frac{\Delta r}2$. Innen
k\"ovetkezik, hogy a $\frac{\lambda(A(T))}{\lambda(T)}$ h\'anyados
az $r$ sz\'amhoz tart, ha $\Delta r\to0$, \'es $\Delta\varphi\to0$.
Ebb\H{o}l a formul\'ab\'ol \'es az integr\'aloknak a
szok\'asos integr\'alk\"ozel\'{\i}t\H{o} \"osszegek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel fel\'{\i}rt approxim\'aci\'oj\'ab\'ol
k\"ovetkezik, hogy a pol\'ar-koordin\'atarendszerbe val\'o
\'att\'er\'eskor, az $(x,y)$ koordin\'at\'aknak az $r\cos\varphi$,
$r\sin\varphi$ v\'altoz\'okkal val\'o helyettes\'{\i}t\'esekor az
integ\-ran\-dust az $r$ sz\'ammal kell megszorozni, azaz a $(**)$
formula \'erv\'enyes.

\bye

Ha r\"ogz\'{\i}tj\"uk egy $X$  $k$-dimenzi\'os line\'aris t\'er
egy $e_1,\dots,e_k$ b\'azis\'at, \'es tekint\"unk ezen a t\'eren
egy $A$ line\'aris transzform\'aci\'ot, amelyre
$e_jA=\summ_{p=1}^k a_{j,p}e_p$, $1\le j\le k$, valamilyen $a_{j,p}$,
$1\le j,p\le k$, egy\"utthat\'okkal, akkor \'erdemes
a k\"ovetkez\H{o} jel\"ol\'eseket bevezetni: Defini\'aljuk azt az
$\bar A$ $k\times k$ m\'eret\H{u} m\'atrixot, amelynek a $j$-ik
sor\'aban \'es $p$-ik oszlop\'aban \'all\'o elem a fenti azonoss\'agban
szerepl\H{o} $a_{j,p}$ sz\'am. Ezt az $\bar A$ m\'atrixot nevezz\"uk
nevezz\"uk az $A$ line\'aris transzform\'aci\'o m\'atrix\'anak (a
r\"ogz\'{\i}tett $e_1,\dots,e_k$ b\'azis eset\'eben). Feleltess\"uk
meg tov\'abb\'a az $x=\summ_{j=1}x_je_j$ vektornak az $\bar x
=(x_1,\dots,x_k)$ sz\'am~$k$-ast. Be lehet l\'atni, hogy ha az $x$
vektornak az $\bar x$ sz\'am~$k$-as, akkor az $xA$ vektornak az
$\bar x\bar A$ sz\'am~$k$-as felel meg a fenti megfeleltet\'esben.
Tov\'abb\'a az $A$ line\'aris transzform\'aci\'o m\'atrixa $\bar A$,
a $B$ line\'aris transzform\'aci\'o m\'atrixa $\bar B$, akkor az
$AB$ line\'aris transzform\'aci\'o m\'atrixa az $\bar A\bar B$
m\'atrix, ahol $AB$ a k\'et line\'aris transzform\'aci\'o
szorzat\'at (azaz egym\'as ut\'an val\'o alkalmaz\'as\'at)
$\bar A\bar B$ pedig a k\'et m\'atrix (szok\'asos
\'ertelemben vett) szorzat\'at jel\"oli. A fenti $A\to \bar A$
megfeleltet\'es k\"olcs\"on\"osen egy\'ertelm\H{u} megfeleltet\'est
ad az $X$ $k$-dimenzi\'os line\'aris t\'er line\'aris lek\'epez\'esei
\'es a $k\times k$ m\'eret\H{u} m\'atrixok k\"oz\"ott
(r\"ogz\'{\i}tett $e_1,\dots,e_k$ b\'azis eset\'eben).


