\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1pt
\TagsOnRight

\parskip=1pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\def\Re{\text{\rm Re}\,}
\def\Im{\text{\rm Im}\,}
\font\BBB=msbm10
        
\centerline{\bf K\'ALM\'AN-F\'ELE SZ\H{U}R\H{O}K} 

\beginsection 1. A probl\'ema megfogalmaz\'asa.

E jegyzet t\'em\'aja az \'ugynevezett K\'alm\'an-f\'ele 
sz\H{u}r\H{o}k vizsg\'alata. A feladat a k\"ovetkez\H{o}. Adott 
egy $x(0),x(1),\dots$, t\"obb v\'altoz\'os (egy\"uttesen) 
norm\'alis, m\'as n\'even Gauss el\-osz\-l\'a\-s\'u v\'eletlen 
vektorokb\'ol \'all\'o  sorozat, amelyet valamely rendszer 
produk\'al. \'Ugy k\'epzelhetj\"uk el, hogy az $n$, 
$n=0,1,\dots$, id\H{o}pontban a rendszer gener\'al egy $x(n)$ 
v\'eletlen vektort. Ezeket az $x(n)$ v\'eletlen vektorokat 
k\"ozvetlen\"ul nem tudjuk megfigyelni, csak ezeknek valamilyen 
sz\H{u}r\H{o}n kereszt\"ul el\H{o}\'all\'{\i}tott $y(0),y(1),\dots$ 
traszform\'altjait. Az a fel\-adat, hogy egy adott $n$ 
id\H{o}pontban adjunk min\'el jobb becsl\'est az $m$ id\H{o} 
m\'ulva megjelen\H{o} $x(n+m)$, $m\ge1$, vektor \'ert\'ek\'ere 
az  $y(0),y(1),\dots,y(n)$ v\'eletlen vektorok \'ert\'ekeinek 
az ismeret\'eben. 

Pontosabban, r\'eszletesebben, megfogalmazva a feladat a k\"ovetkez\H{o}:
Tekints\"uk az al\'abbi rekurz\'{\i}v m\'odon defini\'alt sorozatokat:
$$
\align
x(n)=&\Phi(n-1)x(n-1)+\e(n-1),\qquad n=1,2,\dots, \tag1.1 \\
y(n)=&H(n)x(n)+\eta(n), \qquad n=0,1,2,\dots, \tag1.2 
\endalign
$$
ahol $x(n)$ \'es $\e(n)$ $p$-dimenzi\'os (oszlop) vektorok, $y(n)$ 
\'es $\eta(n)$ $q$-dimenzi\'os v\'eletlen (oszlop) vektorok, 
$\Phi(\cdot)$ \'es $H(\cdot)$ $p\times p$ illetve $q\times p$ 
m\'eret\H{u} m\'artixok, $\e(1),\e(2),\dots$ \'es 
$\eta(0),\eta(1),\dots$ egym\'ast\'ol is f\"uggetlen, f\"uggetlen, 
nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} norm\'alis eloszl\'as\'u 
v\'eletlen vektorokb\'ol \'all\'o sorozatok, amelyeknek a 
kovariancia m\'atrixai
$$
\align
E\e(n)\e(n)^*&=Q(n), \quad n=0,1,\dots, \tag1.3 \\
E\eta(n)\eta(n)^*&=R(n), \quad n=0,1,\dots, \tag1.4
\endalign
$$
valamely az $n$ indext\H{o}l f\"ugg\H{o} $p\times p$ \'es 
$q\times q$ m\'eret\H{u} (pozit\'{\i}v szemidefinit) m\'atrixok. 
(Eml\'ekeztetek arra, hogy  $\e(n)$ \'es $\eta(n)$ oszlopvektorok.  
A $*$ jel egy vektor vagy m\'atrix konjug\'altj\'at fogja 
jelenteni a tov\'abbiakban.) Ezenk\'{\i}v\"ul adva van  egy 
$p$-dimenzi\'os, nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} $x(0)$ 
norm\'alis eloszl\'as\'u (kiindul\'o) v\'eletlen vektor
ismert $\Sigma(0)$ ko\-va\-rian\-cia m\'atrix-szal, amely f\"uggetlen
az $\e(0),\e(1),\dots$ \'es  $\eta(0),\eta(1),\dots$ v\'eletlen
vektorokt\'ol.

Ilyen m\'odon az (1.1) k\'eplet defini\'alja az $x(n)$, 
$n=0,1,\dots$, sorozatot, az (1.2) formula pedig az $y(n)$, 
$n=0,1,\dots$, sorozatot. Tegy\"uk fel, hogy ismerj\"uk az (1.1) 
\'es (1.2) formul\'aban szerepl\H{o} $\Phi(n)$ \'es $H(n)$ 
m\'atrixokat valamint az (1.3) \'es (1.4) k\'epletekben 
szerepl\H{o} $Q(n)$ \'es $R(n)$ kovariancia m\'atrixokat minden 
olyan $n$ indexre, amelyekre ezek defini\'alva vannak. 
Ezenk\'{\i}v\"ul ismerj\"uk a kiindul\'o $x(0)$ vektor
$Ex(0)x(0)^*$ kovariancia m\'atrix\'at is. Minket
az $x(\cdot)$ v\'eletlen vektorok \'ert\'eke \'erdekel. Egy $n$ 
id\H{o}pontban meg akarjuk becs\"ulni az $x(n+m)$ v\'eletlen
vektor \'ert\'ek\'et valamely $n+m$ id\H{o}pontban, $m\ge1$. 
Az $n$ id\H{o}pontig megfigyel\'eseket tesz\"unk, de nem 
tudjuk magukat az $x(\cdot)$ v\'eletlen vektorokat megfigyelni,
csak ezek `hib\'aval terhelt' transzform\'altjait, az 
$y(0),\dots,y(n)$ v\'eletlen vektorokat. Feladatunk az $x(n+m)$ 
v\'eletlen vektor  optim\'alis becsl\'ese az $y(0),\dots,y(n)$ 
v\'eletlen vektorok ismeret\'eben.

Az \'altal\'anos elm\'elet szerint ez a k\'erd\'es 
ekvivalens az $E(x(n+m)|y(0),\dots,y(n))$ felt\'eteles 
v\'arhat\'o \'ert\'ek kisz\'am\'{\i}t\'as\'aval. Mivel 
(egy\"uttesen) norm\'alis eloszl\'as\'u vektorokkal dolgozunk 
ez a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi probl\'ema 
\'atfogalmazhat\'o a k\"ovetkez\H{o} m\'odon. Vezess\"uk be 
a k\"ovetkez\H{o} jel\"ol\'eseket. Legyen $\Cal H_n$ az 
$L_2(\Omega,\Cal A,P)$ Hilbert t\'ernek az 
$x(0)$,  $\e(0),\dots$, $\e(n)$, $\eta(0),\dots$, $\eta(n)$ 
vektorok koordin\'at\'ainak line\'aris kombin\'aci\'oib\'ol
\'all\'o altere, ahol $(\Omega,\Cal A,P)$ az a 
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}, ahol az \'altalunk 
tekintett va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok 
`\'elnek', a skal\'ar szorzatot pedig a szok\'asos m\'odon,
a $(\xi,\eta)=E\xi\eta$ k\'eplettel defini\'aljuk. Legyen 
$\Cal M_n$ a $\Cal H_n$ Hilbert t\'ernek az $y(0),\dots,y(n)$ 
vektorok koordin\'at\'ai \'altal kifesz\'{\i}tett altere. (A 
$\Cal H_n$ alt\'er tartalmazza az $x(0),\dots,x(n+1)$ \'es
$y(0),\dots,y(n)$ vektorok koordin\'at\'ait, de \'altal\'aban 
nem tartalmazza az $y(n+1)$ vektor koordin\'at\'ait.)
Ekkor az 
$$
E(x(n+m)|y(0),\dots,y(n))
$$ 
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek megegyezik az $x(n+m)$ 
vektornak (pontosabban az  $x(n+m)$ vektor minden 
koordin\'at\'aj\'anak) a vet\"ulet\'evel 
az $\Cal M_n$ alt\'erre. Ez azt jelenti, hogy a minket 
\'erdekl\H{o} feladat ezen vet\"uletek kisz\'amol\'asa.
Ennek a vet\"uletnek a kisz\'am\'{\i}t\'as\'ara ismertetni 
fogunk egy rekurz\'{\i}v elj\'ar\'ast.

Ha \"ossze\-ha\-son\-l\'{\i}t\-juk az e jegyzetben 
vizsg\'alt feladatot e t\'emak\"or egy m\'asik
el\H{o}\-ad\'a\-s\'a\-ban t\'argyalt predikci\'o 
elm\'eleti probl\'em\'aval, akkor l\'athatunk n\'emi 
hasonl\'os\'agot, de k\"u\-l\"onb\-s\'e\-get is. Jelen 
esetben vektor \'ert\'ek\H{u} sorozat elemeinek a 
becsl\'es\'et vizsg\'aljuk,  m\'{\i}g a predikci\'o 
elm\'eleti probl\'em\'aban skal\'ar \'ert\'ek\H{u} 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok\'et. Ennek a 
k\"ul\"onbs\'egnek azonban nem volt elvi oka. Az anal\'og
probl\'ema vizsg\'alata a predikci\'o elm\'eletben is 
fontos \'es sokat vizsg\'alt k\'erd\'es. Ennek t\'argyal\'asa
azonban t\"obb id\H{o}t \'es energi\'at k\"ovetelt volna. 

Jelen probl\'em\'aban nem stacion\'arius sorozatot 
vizsg\'altunk, \'es a a megfigyel\'eseket nem a $-\infty$ 
hanem a nulla id\H{o}pontt\'ol kiindulva tekintett\"uk. E 
k\"ul\"onbs\'eg  m\"og\"ott m\'ar elvi okok is vannak. A 
predikci\'o elm\'eletben felhaszn\'altuk azt, hogy a feladatot 
meg tudjuk fogalmazni a Fourier transzform\'altak ter\'eben
is, \'es a feladat ilyen \'atfogalmaz\'asa hasznosnak 
bizonyult. A jelen probl\'ema vizsg\'alat\'aban az eredeti 
t\'erben maradtunk, ahol a statcionarit\'asnak nincs 
jelent\H{o}s\'ege, ez\'ert \'erdemes volt a probl\'em\'at 
\'al\-ta\-l\'a\-no\-sab\-ban, az $n$ param\'etert\H{o}l 
f\"ugg\H{o} $\Phi(n)$, $H(n)$, $Q(n)$ \'es $R(n)$ m\'atrixok 
seg\'{\i}ts\'eg\'evel megfogalmazni. Ezt a k\"ul\"onbs\'eget
a k\'etfajta vizsg\'alat k\"oz\"ott \'ugy is meg szokt\'ak
fogalmazni az irodalomban, hogy e jegyzet vizsg\'alataiban
a vizsg\'alt Gauss folyamat \'allapotteres, m\'{\i}g a 
kor\'abban t\'argyalt vizsg\'alatokban f\'azisteres 
le\'{\i}r\'as\'at adtuk.

 Megjegyzem, hogy  egy\'eb term\'eszetes k\'erd\'esek is 
felmer\"ulnek az e jegyzetben vizs\-g\'alt probl\'em\'aval 
kapcsolatban, amelyeket itt nem t\'argyalunk. Az egyik 
ilyen k\'erd\'es az, hogy amennyiben a feladatban 
tekintett $\Phi$, $H$, $Q$ \'es $R$ m\'atrixok nem f\"uggnek  
az $n$ param\'etert\H{o}l, akkor milyen felt\'etelek mellett 
l\'etezik az (1.1) \'es (1.2) felt\'etelt 
ki\-el\'e\-g\'{\i}\-t\H{o} stacion\'arius Gauss sorozat, 
\'es hogyan kell megadni egy stacion\'arius sorozat 
kezd\H{o} eloszl\'as\'at.

\beginsection 2. Az optim\'alis becsl\'es megad\'asa.

Ebben a fejezetben ismertetj\"uk azt az eredm\'enyt, amely 
megadja, hogy hogyan lehet az 1. fejezet probl\'em\'aj\'at 
megoldani, az ott defini\'alt projekci\'ot kisz\'amolni. Az 
eredm\'eny megfogalmaz\'asa el\H{o}tt bevezetek n\'eh\'any 
jel\"ol\'est.

Jel\"olje $\hat x(n+m|n)$ az (1.1) k\'epletben defini\'alt 
a $\Cal H(n+m)$ Hilbert t\'erben lev\H{o} $x(n+m)$ v\'eletlen 
vektor (pontosabban koordin\'at\'ainak) vet\"ulet\'et a 
$\Cal H(n+m)$ Hilbert t\'ernek szint\'en az els\H{o} 
fejezetben bevezetett $\Cal M_n$ alter\'ebe. Haszn\'alni 
fogjuk a k\"ovetkez\H{o}, kiss\'e pongyola, de az 
irodalomban elterjedt jel\"ol\'est. Azt mondjuk, hogy egy 
$k$-dimenzi\'os $z$ v\'eletlen vektor, $z=(z_1,\dots,z_k)^*$,
benne van a $\Cal M_n$ t\'erben, jel\"ol\'esben 
$z\in\Cal M_n$, ha a $z$ vektor minden $z_j$ 
koordin\'at\'aj\'ara $z_j\in\Cal M_n$, $1\le j\le k$. 
Hasonl\'oan azt mondjuk, hogy $z$ mer\H{o}leges a $\Cal M_n$ 
alt\'erre,  jel\"ol\'esben $z\perp\Cal M_n$ ha 
$z_j\perp\Cal M_n$ a $z$ vektor minden $z_j$ 
koordin\'at\'aj\'ara, $1\le j\le k$. Al\'abb megfogalmazom e
 jegyzet f\H{o} eredm\'eny\'et.

\medskip\noindent
{\bf 2.1.~T\'etel.} {\it Legyen $\hat x(n+m|n)$ az $x(n+m)$
vektor vet\"ulete az $\Cal M_n$ alt\'erre. Ekkor
$$
\align
\hat x(n+m|n)&=\Phi(n+m-1)\hat x(n+m-1|n), \quad\text{ha } m>1, \tag2.1 \\
\hat x(n+1|n)&=\Psi(n)\hat x(n|n-1)+K(n) y(n), \tag2.2
\endalign
$$
ahol $\hat x(0|-1)=0$ az $n=0$ esetben, 
$$
\Psi(n)=\Phi(n)-K(n)H(n), \tag2.3
$$
\'es
$$
K(n)=\Phi(n)\Sigma(n)H(n)^*\{H(n)\Sigma(n)H(n)^*+R(n)\}^{-1}. \tag2.4
$$
A (2.4) formul\'aban szerepl\H{o} \ $\Sigma(n)$ m\'atrixot a 
k\"ovetkez\H{o} rekurz\'{\i}v formul\'aval sz\'a\-m\'{\i}t\-hat\-juk ki.
$$
\Sigma(n+1)=\Phi(n)\Sigma(n)\Phi(n)^*+Q(n)
-K(n)\{H(n)\Sigma(n)H(n)^*+R(n)\}K(n)^*, \tag2.5
$$
\'es $\Sigma(0)=Ex(0)x(0)^*$. }

\medskip\noindent
{\it 1. Megjegyz\'es.}\/ A 2.1~t\'etelben (a $K(n)$ m\'atrix (2.4)
formul\'aban megadott definici\'oj\'aban) felt\'etelezt\"uk, 
hogy a $H(n)\Sigma(n)H(n)^*+R(n)$ m\'atrix invert\'alhat\'o. 
A 4.~fejezetben elmagyar\'azom, hogy hogyan tudunk ett\H{o}l 
a megszor\'{\i}t\'ast\'ol megszabadulni.

\medskip\noindent
{\it 2. Megjegyz\'es.}\/ A 2.1~t\'etel megfogalmaz\'as\'aban
szerepl\H{o} $\Sigma(n)$ m\'atrixot a (3.7)~for\-mu\-l\'a\-ban 
fogjuk defini\'alni. Az $x(n)$ v\'eletlen vektor becsl\'ese az $n-1$ 
id\H{o}pontban az $\hat x(n|n-1)$, \'es a becsl\'es hib\'aja az 
$x(n)-\hat x(n|n-1)$ vektor. Ez a hiba egy nulla v\'arhat\'o 
\'ert\'ek\H{u} norm\'alis eloszl\'as\'u vektor, \'es $\Sigma(n)$ 
a kovariancia m\'atrixa. A 2.1~t\'etelben az $x(n+1)$ vektor 
$\hat x(n+1|n)$ becsl\'es\'et egy\"utt sz\'amoljuk ki e 
becsl\'es hib\'aj\'anak $\Sigma(n+1)$ kovariancia m\'atrix\'aval. 
Az $(\hat x(n+1|n),\Sigma(n+1))$ p\'ar kisz\'am\'{\i}t\'as\'ahoz 
el\'eg ismern\"unk az el\H{o}z\H{o} l\'e\-p\'es\-ben kisz\'amolt 
$(\hat x(n|n-1),\Sigma(n))$ p\'art \'es az utols\'o $y(n)$ 
megfigyel\'est. S\H{o}t, a $\Sigma(n)$ m\'atrixokat a megfigyel\'es
megkezd\'ese el\H{o}tt, az $y(n)$, $n=0,1,2,\dots$ mintaelemek
ismerete n\'elk\"ul is kisz\'amolhatjuk. Ismerj\"uk a rekurzi\'o
kiindul\'o $(\hat x(0|-1),\Sigma(0))=(0,Ex(0)x(0)^*)$ p\'arj\'at.

\medskip
A 2.1.~t\'etel megv\'alaszolja azt a k\'erd\'est, hogy hogyan 
adjuk meg az $x(n+m)$, $m\ge1$, v\'eletlen vektor optim\'alis 
becsl\'es\'et az $y(1),\dots,y(n)$ v\'eletlen vektorok 
ismeret\'eben (ismerve a $\Phi(n)$, $H(n)$, $Q(n)$ \'es 
$R(n)$ m\'atrixokat is). Ez az $\hat x(n+m|n)$ vektor 
kisz\'am\'{\i}t\'as\'at jelenti. Ha $m\ge2$, akkor a 
(2.1)~k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel az $\hat x(n+m|n)$ 
vektor kisz\'am\'{\i}t\'as\'at vissza tudjuk vezetni az 
$\hat x(n+1|n)$ vektor kisz\'am\'{\i}t\'as\'ara. A 
$\hat x(n+1|n)$ vektort a (2.2), (2.3) \'es (2.4) formul\'ak 
seg\'{\i}ts\'eg\'evel $n$ szerinti rekurzi\'oval sz\'amolhatjuk 
ki, felt\'eve, hogy ki tudjuk sz\'amolni a $\Sigma(n)$ 
m\'atrixokat. (Annak \'erdek\'eben, hogy ezt a rekurzi\'ot 
al\-kal\-maz\-ni tudjuk tudnunk kell azt is, hogy $\hat x(0|-1)=0$,
\'es ismern\"unk kell a $\Sigma(0)=Ex(0)x(0)^*$ kovariancia 
m\'atrixot.) Viszont a $\Sigma(n)$ mennyis\'eget ki tudjuk 
sz\'am\'{\i}tani a (2.5)~formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel 
szint\'en az $n$ v\'altoz\'o szerinti rekurzi\'oval.

\beginsection 3. A 2.1. T\'etel bizony\'{\i}t\'asa.

Bontsuk fel az $\Cal M_n$ Hilbert teret a
$\Cal M_n=\Cal M_{n-1}\oplus\Cal V_n$ direkt \"osszegre, ahol 
$\Cal V_n$ az $\Cal M_{n-1}$ alt\'er ortogon\'alis 
kieg\'esz\'{\i}t\H{o}je az $\Cal M_n$ Hilbert t\'erben. Ki fogjuk 
sz\'amolni az $y(n)\in\Cal M_n$ \'es $\hat x(n+1|n)\in\Cal M_n$ 
vektorok felbont\'as\'at (pontosabban sz\'olva e vektorok minden 
koordin\'at\'aj\'anak a felbont\'as\'at) e vektoroknak az 
$\Cal M_{n-1}$ \'es $\Cal V_n$ (ortogon\'alis) alterekre vett
vet\"uleteinek az \"osszeg\'ere. Az \'{\i}gy kapott 
eredm\'enyeket a 3.1.~lemm\'aban fogjuk megfogalmazni.

Annak \'erdek\'eben, hogy kisz\'amoljuk az $y(n)=H(n)x(n)+\eta(n)$ 
vektor vet\"uleteit az $\Cal M_{n-1}$ \'es $\Cal V_n$ alterekre 
vegy\"uk \'eszre, hogy $\eta(n)\perp\Cal M_{n-1}$. Ez az\'ert igaz, 
mert $\eta(n)$ f\"uggetlen az $y(0),\dots,y(n-1)$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okt\'ol, ez\'ert minden 
$v\in\Cal M_{n-1}$ vektort\'ol, \'es $E\eta(n)=0$. Innen 
k\"ovetkezik, hogy az $y(n)$ vektor vet\"ulete az $\Cal M_{n-1}$ 
alt\'erre meg\-egye\-zik a $H(n)x(n)$ vektor vet\"ulet\'evel erre
az alt\'erre, azaz egyenl\H{o} a $H(n)\hat x(n|n-1)$ vektorral. 
Ez\'ert
$$
y(n)=H(n)\hat x(n|n-1)+z(n), \quad 
H(n)\hat x(n|n-1)\in \Cal M_{n-1} \quad \text{\'es }
z(n)\in \Cal V_n, \tag3.1
$$
ahol
$$
z(n)=y(n)-H(n)\hat x(n|n-1)=\eta(n)+H(n)(x(n)-\hat x(n|n-1)). \tag3.2
$$

Mivel $x(n+1)=\Phi(n)x(n)+\e(n)$, \'es $\e(n)\perp\Cal M_{n-1}$, 
ez\'ert az $\hat x(n+1|n)$ vektor fel\'{\i}rhat\'o
$$
\align
\hat x(n+1|n)&=\hat x(n+1|n-1)+u(n)
=\Phi(n)\hat x(n|n-1)+u(n), \\
&\qquad \Phi(n)\hat x(n|n-1)\in\Cal M_{n-1} \quad
\text{\'es } u(n)\in\Cal V_n, \tag3.3
\endalign
$$
ahol $u(n)$ az $\hat x(n+1|n)$ vektor vet\"ulete a $\Cal V_n$ alt\'erre.

Annak \'erdek\'eben, hogy az $u(n)=(u(n,1),\dots,u(n,p))^*$ vektort
kisz\'amoljuk ve\-gy\"uk \'eszre, hogy a 
$z(n)=(z(n,1),\dots,z(n,q))^*$ vektor koordin\'at\'ai gener\'ator 
rendszert alkotnak a $\Cal V_n$ alt\'erben. Ez k\"ovetkezik
az $y(n)$ \'es $z(n)$ vektorok k\"oz\"otti a (3.2) formul\'aban 
megfogalmazott kapcsolatb\'ol, a $z(n)\in\Cal V_n$, 
$H(n)\hat x(n|n-1)\in\Cal M_{n-1}$ re\-l\'a\-ci\'ok\-b\'ol, \'es 
abb\'ol a t\'enyb\H{o}l, hogy az $y(0),\dots,y(n)$ vektorok az 
$\Cal M_n$ az $y(0),\dots,y(n-1)$ vektorok pedig az $\Cal M_{n-1}$ 
alteret gener\'alj\'ak. Ez\'ert az $u(n)$ vektor mindegyik 
$u(n,j)$, $1\le j\le p$, koordin\'at\'aja kifejezhet\H{o} 
$u(n,j)=\summ_{k=1}^q c(j,k) z(n,k)$ line\'aris kombin\'aci\'o 
alakban alkalmas $c(j,k)$ egy\"utthat\'okkal. (A $c(j,k)$ 
egy\"utthat\'ok val\'oj\'aban f\"uggnek az $n$~param\'etert\H{o}l 
is. De az $n$~param\'etert r\"ogz\'{\i}tett\"uk, ez\'ert ezt a
f\"ugg\'est nem jelezz\"uk.) Sz\'amoljuk ki a $c(j,k)$ 
egy\"utthat\'okat.

R\"ogz\'{\i}ts\"unk egy $j$, $1\le j\le p$, param\'etert. A 
$c(j,k)$ egy\"utthat\'ok kisz\'amol\'asa \'erdek\'eben vegy\"uk 
\'eszre, hogy  $x(n+1)-\hat x(n+1|n)\perp\Cal V_n$. (Val\'oj\'aban 
az er\H{o}sebb $x(n+1)-\hat x(n+1|n)\perp\Cal M_n$ rel\'aci\'o is
\'erv\'enyes.) Ez\'ert fel\'{\i}rva az $\hat x(n+1|n)$ \'es
$x(n+1)$ vektor 
$\hat x(n+1|n)=(\hat x(n+1|n,1),\dots,\hat x(n+1|n,p))^*$
\'es $x(n+1)=x(n+1,1),\dots,x(n+1,p))^*$ koordin\'at\'ait
azt kapjuk, felhaszn\'alva az $\hat x(n+1|n-1)\perp\Cal V_n$ 
\'es $z(n)\in\Cal V_n$ rel\'aci\'okat \'es a (3.3) formula
els\H{o} azonoss\'ag\'at, hogy 
$E u(n,j)z(n,l)=E\hat x(n+1|n,j)z(n,l)=Ex(n+1,j)z(n,l)$
minden $1\le l\le q$ indexre. Ez\'ert az
$u(n,j)=\summ_{k=1}^q c(j,k) z(n,k)$ azonoss\'agot
beszorozva $z(n,l)$-lel, \'es v\'arhat\'o \'ert\'eket
v\'eve, azt kapjuk minden $1\le l\le q$ param\'eterre, hogy
$$
Ex(n+1,j)z(n,l)=Eu(n,j)z(n,l)=\summ_{k=1}^q c(j,k)E z(n,k)z(n,l), 
\qquad 1\le l\le q,
$$
A keresett $c(j,k)$ egy\"utthat\'okat ezen egyenletrendszer
megold\'as\'anak a se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel fog\-juk 
megkapni.

Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} jel\"ol\'eseket. Legyen
$C(j)=(c(j,1),\dots,c(j,q))^*$, \'es
$P(j)=(Ex(n+1,j)z(n,1),\dots,Ex(n+1,j)z(n,q))^*$. Ezen vektorok
seg\'{\i}ts\'eg\'evel az el\H{o}z\H{o} egyenletet \'{\i}gy 
\'{\i}rhatjuk fel:
$$
P(j)=E[z(n)z(n)^*] C(j).
$$ 
Tegy\"uk fel, hogy az $E[z(n)z(n)^*]$ m\'atrix invert\'alhat\'o. 
Egyel\H{o}re csak ezzel az esettel foglalkozunk. Mivel 
$(E[z(n)z(n)^*])^{-1}$ szimmetrikus m\'atrix, ez\'ert az 
el\H{o}z\H{o} egyenlet alapj\'an
$$
C(j)^*=P(j)^*( E[z(n)z(n)^*])^{-1},
$$
\'es mivel $u(n,j)=C(j)^* z(n)$, innen azt kapjuk, hogy
$$
u(n,j)=C(j)^*z(n)=P(j)^* \(E[z(n)z(n)^*]\)^{-1}z(n) \quad 
\text{minden $1\le j\le p$ indexre.}
$$
Azt, hogy ez az azonoss\'ag az $u(n)$ vektor minden $1\le j\le p$
koordin\'at\'aj\'ara igaz a k\"ovetkez\H{o} m\'odon \'{\i}rhatjuk 
z\'art alakban, felhaszn\'alva a $P(j)$ vektorok alakj\'at.
$$
u(n)=E[x(n+1)z(n)^*] \(E[z(n)z(n)^*]\)^{-1}z(n). \tag3.4
$$
A (3.2) formul\'aban szerepl\H{o} $z(n)=y(n)-H(n)\hat x(n|n-1)$ 
vektort ki tudjuk sz\'amolni az $y(0),\dots,y(n)$ vektorok 
ismeret\'eben. Meg fogjuk mutatatni, hogy azt a m\'atrixot, 
amellyel a $z(n)$ vektort megszoroztuk a (3.4)~formula 
jobboldal\'an ki tudjuk sz\'amolni a $\Phi(l)$, $H(l)$, $Q(l)$,
$R(l)$, $1\le l\le n$, \'es $\Sigma(0)$ m\'atrixok ismeret\'eben.
Innen k\"ovetkezik, hogy az $u(n)$ \'es (a (3.3)~formula alapj\'an)
az $\hat x(n+1|n)$ vektort is ki tudjuk sz\'amolni.


A fenti \'all\'{\i}t\'asok bizony\'{\i}t\'as\'anak \'erdek\'eben 
kisz\'amoljuk a (3.4) formul\'aban szerepl\H{o} $E[x(n+1)z(n)^*]$ 
\'es $E[z(n)z(n)^*]$ m\'atrixokat. Bebizony\'{\i}tjuk, hogy 
$$
E[x(n+1)z(n)^*]=\Phi(n)\Sigma(n)H(n)^*, \tag3.5
$$
\'es bevezetve a $V(n)=E[z(n)z(n)^*]$ jel\"ol\'est
$$
V(n)=E[z(n)z(n)^*]=H(n)\Sigma(n) H(n)^*+R(n), \tag3.6
$$
ahol 
$$
\Sigma(n)=E[(x(n)-\hat x(n|n-1))(x(n)-\hat x(n|n-1))^*]. \tag3.7
$$
K\'es\H{o}bb a (3.7) formul\'aban szerepl\H{o} $\Sigma(n)$ 
kisz\'amol\'as\'ar\'ol bebizony\'{\i}tjuk azt a sz\'amunkra 
hasznos formul\'at, amelyet a (2.5)~k\'epletben fogalmaztunk meg.


A (3.5) formula bizony\'{\i}t\'as\'aban felhaszn\'aljuk, hogy
$x(n+1)=\Phi(n)x(n)+\e(n)$, $\e(n)\perp \Cal M_n$, (mert $\e(n)$
f\"uggetlen minden az $\Cal M_n$ t\'erben lev\H{o} 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot\'ol), \'es $z(n)\in\Cal M_n$,
ahonnan $E\e(n)z(n)^*=0$. Ez\'ert a (3.2) formula 
felhaszn\'al\'as\'aval azt kapjuk, hogy
$$
\align
Ex(n+1)z(n)^*&=
E(\Phi(n)x(n)+\e(n))z(n)^*=\Phi(n)Ex(n)z(n)^* \\
&=\Phi(n)E(x(n)[(x(n)-\hat x(n|n-1))^*H(n)^*+\eta(n)^*].
\endalign
$$
Tov\'abb\'a, mivel $Ex(n)\eta(n)^*=0$, az $x(n)$ \'es $\eta(n)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlens\'ege miatt,
\'es $E\hat x(n|n-1)[x(n)-\hat x(n|n-1)]^*=0$, ez\'ert
$$
\align
&Ex(n+1)z(n)^*=\Phi(n)E(x(n)[(x(n)-\hat x(n|n-1))^*H(n)^*] \\
&\qquad=\Phi(n)E([x(n)-\hat x(n|n-1)][(x(n)-\hat x(n|n-1))^*H(n)^*]
=\Phi(n)\Sigma(n)H(n)^*.
\endalign
$$
A (3.5)~formul\'at bel\'attuk.

A (3.6) formula bizony\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben vegy\"uk \'eszre,
hogy
$$
E\eta(n)[x(n)-\hat x(n|n-1)]^* 
=E[x(n)-\hat x(n|n-1)]\eta(n)^*=0,
$$ 
mert $E\eta(n)x(n)^*=Ex(n)\eta(n)^*=0$ az $\eta(n)$ \'es $x(n)$ 
v\'altoz\'ok f\"uggetlens\'ege miatt, \'es 
$$
E\eta(n)\hat x(n|n-1)^*=E\hat x(n|n-1)\eta(n)^*=0,
$$ 
mivel $\eta(n)\perp\Cal M_{n-1}$, \'es $\hat x(n|n-1)\in\Cal M_{n-1}$. 
Ez\'ert a (3.2)~formula alapj\'an
$$
\align
Ez(n)z(n)^*&=E\[(\eta(n)+H(n)(x(n)-\hat x(n|n-1))
(\eta(n)+H(n)(x(n)-\hat x(n|n-1))^*\] \\
&=E(\eta(n)\eta(n)^*+H(n)E\[(x(n)-\hat x(n|n-1))
(x(n)-\hat x(n|n-1))^*\] H(n)^* \\
&=R(n)+H(n)\Sigma(n)H(n)^*.
\endalign
$$
A (3.4), (3.5) \'es (3.6) formul\'akb\'ol ad\'odik, hogy
$$
u(n)=\Phi(n)\Sigma(n)H(n)^*\{H(n)\Sigma(n)H(n)^*+R(n)\}^{-1}z(n)
=K(n)z(n), \tag3.8
$$
a (2.4) formul\'aban defini\'alt $K(n)$ m\'atrix-szal, felt\'eve, 
hogy $H(n)\Sigma(n) H(n)^*+R(n)=E[z(n)z(n)^*]$ invert\'alhat\'o
m\'atrix. (Az $Ez(n)z(n)^*$ m\'atrix akkor \'es csak akkor 
invert\'alhat\'o, ha a $z(n)$ vektor koordin\'at\'ai nemcsak
gener\'ator rendszert, hanem b\'azist is alkotnak a  $\Cal V_n$
t\'erben.)

A most kapott eredm\'enyeket foglaljuk \"ossze a k\"ovetkez\H{o}
3.1.~lemm\'aban. 

\medskip\noindent
{\bf 3.1. Lemma.} {\it Tekints\"uk az (1.1) \'es (1.2) k\'eplettel
defini\'alt K\'alm\'an-f\'ele sz\H{u}r\H{o}t, \'es benne a 2. fejezetben
defini\'alt $\Cal M_n$ Hilbert tereket, \'es $\hat x(n+m|n)$
v\'eletlen vektorokat. Tekints\"uk az $\Cal M_n$ Hilbert t\'er
$\Cal M_n=\Cal M_{n-1}\oplus\Cal V_n$ ortogon\'alis felbont\'as\'at,
k\'et ortogon\'alis alt\'er direkt \"osszeg\'ere, \'es az 
$y(n)\in\Cal M_n$ \'es $\hat x(n+1|n)\in\Cal M_n$ felbont\'as\'at
e vektorok $\Cal M_{n-1}$-beli \'es $\Cal V_n$-beli vet\"uleteinek
az \"osszeg\'ere. Ezeket a felbont\'asokat adtuk meg a (3.1) illetve
(3.3) formul\'aban, ahol a k\'epletekben szerepl\H{o} $z(n)$
illetve $u(n)$ $\Cal V_n$ t\'erbeli komponenseket a (3.2) illetve
(3.4) vagy (3,8) formul\'aban adtunk meg. A (3.4) \'es (3.8)
formula akkor \'erv\'enyes, ha az $E[z(n)z(n)^*]$, vagy ami ezzel
ekvivalens a $H(n)\Sigma(n)H(n)^*+R(n)$ m\'atrix invert\'alhat\'o.
E formul\'ak bizony\'{\i}t\'asa sor\'an igazoltuk a (3.5) \'es
(3.6) azonoss\'agokat is, amelyek szint\'en hasznosak lesznek
k\'es\H{o}bbi \'ervel\'es\"unkben.}

\medskip
R\'at\'erek a 2.1.~t\'etel bizony\'{\i}\'as\'ara.

\medskip\noindent
{\it A 2.1.~t\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/ A (2.1)~formula
igazol\'asa viszonylag egyszer\H{u}. Mivel 
$x(n+m)=\Phi(n+m-1)x(n+m-1)+\e(n+m-1)$, \'es az $\e(n+m-1)$
v\'eletlen vektor mer\H{o}leges az $\Cal M_n$ t\'erre, (mert
f\"uggetlen az $\Cal M_n$ t\'erbeli val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'okt\'ol), ez\'ert v\'eve ezen azonoss\'ag tagjainak
vet\"ulet\'et az $\Cal M_n$ alt\'erre a bizony\'{\i}tand\'o
$\hat x(n+m|n)=\Phi(n+m-1)\hat x(n+m-1|n)$ azonoss\'agot kapjuk.

A (2.2) formula bizony\'{\i}t\'as\'anak \'erdek\'eben 
fel\'{\i}rjuk a (3.3) \'es (3.8) formul\'ak majd a (3.2) 
formula se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel az
$$
\align
\hat x(n+1|n)&=\Phi(n)\hat x(n|n-1)+K(n)z(n) \\ 
&=\Phi(n)\hat x(n|n-1)+K(n)(y(n)-H(n)\hat x(n|n-1))\\
&=(\Phi(n)-K(n)H(n))\hat x(n|n-1)+K(n) y(n)
\endalign
$$
azonoss\'agot. Mivel $\Phi(n)-K(n)H(n)=\Psi(n)$ a (2.3) formula szerint,
ezekb\H{o}l a re\-l\'a\-ci\'ok\-b\'ol k\"ovetkezik a (2.2) rel\'aci\'o
(a (2.3) \'es (2.4) formul\'aban bevezetett formul\'akkal egy\"utt). 

A 2.1.~t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'anak befejez\'es\'ehez igazolni
kell m\'eg a (2.5)~azonoss\'agot. Az e formula baloldal\'an 
szerepl\H{o} \'es a (3.7)~ formul\'aban defini\'alt $\Sigma(n+1)$ 
kisz\'am\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben
vizsg\'aljuk el\H{o}sz\"or az $x(n+1)-\hat x(n+1|n)$ kifejez\'est.
Fel\'{\i}rhatjuk, hogy
$$
x(n+1)-\hat x(n+1|n)=[x(n+1)-\hat x(n+1|n-1)]-
[\hat x(n+1|n)-\hat x(n+1|n-1)].
$$
Tov\'abb\'a
$$
\hat x(n+1|n)-\hat x(n+1|n-1)=u(n)=K(n)z(n)
$$
a (3.3) formula els\H{o} azonoss\'aga, \'es a (3.8) azonoss\'ag alapj\'an,
\'es
$$ 
x(n+1)-\hat x(n+1|n-1)=\Phi(n)[x(n)-\hat x(n|n-1)]+\e(n) \tag3.9
$$
az (1.1) formul\'ab\'ol, ha azt az $n+1$ param\'eterre alkalmazzuk az
$n$ param\'eter helyett, illetve az 
$\hat x(n+1|n-1)=\Phi(n)\hat x(n|n-1)$ azonoss\'agb\'ol, amit 
szint\'en az $n+1$ param\'eterre fel\'{\i}rt (1.1) azonoss\'agb\'ol 
kapunk, ha vessz\"uk az azonoss\'ag k\'et 
oldal\'anak a vet\'{\i}t\'es\'et az $\Cal M_{n-1}$ alt\'erre, \'es 
felhaszn\'aljuk azt, hogy $\e(n)\perp\Cal M_{n-1}$. Innen
$$
x(n+1)-\hat x(n+1|n)=\Phi(n)[x(n)-\hat x(n|n-1)]+\e(n)-K(n)z(n),
$$
\'es a (3.7) formula alapj\'an
$$
\align
\Sigma(n+1)&=E[\Phi(n)[x(n)-\hat x(n|n-1)]+\e(n)-K(n)z(n)] \\
&\qquad [\Phi(n)[x(n)-\hat x(n|n-1)]+\e(n)-K(n)z(n)]^*. \tag3.10
\endalign
$$
Elv\'egezve a beszorz\'asokat a (3.10) formul\'aban azt kapjuk,
hogy
$$
\aligned
\Sigma(n+1)&=\Phi(n)\Sigma(n)\Phi(n)^*+Q(n)+EK(n)z(n)z(n)^*K(n)^* \\
&\qquad -E[[x(n+1)-\hat x(n+1|n-1)](K(n)z(n))^*] \\  
&\qquad \qquad -E[(K(n)z(n))[x(n+1)-\hat x(n+1|n-1)]^*].
\endaligned \tag3.11
$$
A vegyes szorzatok sz\'amol\'as\'an\'al a (3.11) formul\'aban
kihaszn\'altuk a (3.9) formul\'at, \'es azt hogy 
$E[\Phi(n)[x(n)-\hat x(n|n-1)]\e(n)^*
=E\e(n)[\Phi(n)[x(n)-\hat x(n|n-1)]^*=0$. Ez ut\'obbi \'all\'{\i}t\'as
az\'ert igaz, mert az $\e(n)$ v\'eletlen vektor f\"uggetlen, mind
az $x(n)$ mind a $\hat x(n|n-1)\in\Cal M_{n-1}$ vektort\'ol. 

Azt \'all\'{\i}tom, hogy
$$
E[[x(n+1)-\hat x(n+1|n-1)](K(n)z(n))^*]=
K(n)E[z(n)z(n)^*]K(n)^*, \tag3.12
$$
ahonnan term\'eszetesen a
$$
E[(K(n)z(n))[x(n+1)-\hat x(n+1|n-1)]^*]=K(n)E[z(n)z(n)^*]K(n)^*
$$
azonoss\'ag is k\"ovetkezik.

Val\'oban $E\hat x(n+1|n-1)z(n)^*=0$, mert $z(n)\in \Cal V_n$ 
(definici\'o szerint), \'es $\hat x(n+1|n-1)\perp\Cal V_n$, 
mivel $\hat x(n+1|n-1)\in\Cal M_{n-1}$. Hasonl\'oan, 
$E[x(n+1)-\hat x(n+1|n)]z(n)^*=0$, mert 
$x(n+1)-\hat x(n+1|n)\perp\Cal M_n$. Innen
$$
\align
&E[[x(n+1)-\hat x(n+1|n-1)](K(n)z(n))^*]=Ex(n+1)z(n)^*K(n)^* \\
&\qquad=E\hat x(n+1|n)z(n)^*K(n)^*=Eu(n)z(n)^*K(n)^*=EK(n)z(n)z(n)^*K(n)^*.
\endalign
$$
A fenti sz\'amol\'as utols\'o k\'et azonoss\'aga a (3.3) \'es (3.8)
formul\'akb\'ol k\"ovetkezik, amelyek szerint $u(n)=K(n)z(n)$, \'es
$u(n)$ az $\hat x(n+1|n)$ vektor vet\"ulete a $z(n)$ vektort 
tartalmaz\'o $\Cal V_n$ alt\'erre.

Ezzel a (3.12) formul\'at bel\'attuk. A (3.11) \'es (3.12) 
formul\'akb\'ol k\"ovetkezik, hogy
$$
\Sigma(n+1)=\Phi(n)\Sigma(n)\Phi(n)^*+Q(n)-K(n)Ez[(n)z(n)^*]K(n)^*,
$$
ahonnan a (3.6) formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel megkapjuk a 
bizony\'{\i}tani k\'{\i}v\'ant (2.5) formul\'at.

\beginsection 4. Az eredm\'enyek \'attekint\'ese. Az 
\'altal\'anos eset vizsg\'alata.

E jegyzetben ismertett\"uk azt, hogy ismerve egy az (1.1) 
\'es (1.2) formul\'akban  defini\'alt  K\'alm\'an-f\'ele 
sz\H{u}r\H{o} \'altal egy $n$ id\H{o}pontig el\H{o}\'all\'{\i}tott 
$x(1),\dots,x(n)$ v\'altoz\'ok, $y(1),\dots,$ $y(n)$ 
`filtr\'altjainak' az  \'ert\'ekeit, hogyan tudjuk megadni 
a j\"ov\H{o}ben megjelen\H{o} $x(n+m)$ v\'al\-to\-z\'ok, 
$m\ge1$, \'ert\'ekeinek az optim\'alis becsl\'es\'et. Ennek 
a becsl\'esnek van n\'eh\'any olyan tulajdons\'aga, amelyeket 
\'erdemes k\"ul\"on t\'argyalni. 

A vizsg\'alt feladatban az $x(n+m)$, $m\ge1$, v\'eletlen 
vektorok $x(n+m|n)$ vet\"ulet\'et akarjuk kisz\'amolni az
$y(1),\dots,y(n)$ v\'eletlen vektorok koordin\'at\'ai \'altal
gener\'alt, \'es a jegyzetben pontosan defini\'alt $\Cal M_n$
Hilbert t\'erbe. A (2.1) k\'eplet alapj\'an az $\hat x(n+1|n)$  
becsl\'esek ismeret\'eben ki tudjuk sz\'amolni az 
$\hat x(n+m|n)$ becsl\'eseket tetsz\H{o}leges $m\ge1$ 
param\'eterre.

\'Erdemes meg\'erteni, hogy az $\hat x(n+1|n)$ becsl\'eseket az 
$n$ param\'eter szerinti re\-kur\-zi\'o\-val tudjuk kisz\'amolni. 
Ez jelen esetben  a k\"ovetkez\H{o}t jelenti. Jel\"olje 
$\Sigma(n)=E[x(n)-\hat x(n|n-1)][x(n)-\hat x(n|n-1)]^*$
az  $x(n)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ora adott 
$\hat x(n|n-1)$ becsl\'es $x(n)-\hat x(n|n-1)$ hib\'aj\'anak 
a kovariancia m\'atrix\'at. Az $n$-ik id\H{o}pontban
kisz\'amoljuk az $(\hat x(n|n-1),\Sigma(n))$ p\'art. Ezut\'an, 
az $n+1$-ik id\H{o}pontban, az $y(n)$ v\'eletlen vektor 
megismer\'ese ut\'an, ki akarjuk sz\'amolni az  
$(\hat x(n+1|n),\Sigma(n+1))$ p\'art is. Ezt a (2.2), (2.3), 
(2.4) \'es (2.5) formul\'ak seg\'{\i}ts\'eg\'evel tessz\"uk
meg. E formul\'ak alkalmaz\'as\'ahoz elegend\H{o} az 
$(\hat x(n|n-1),\Sigma(n))$ p\'art \'es az $y(n)$ v\'eletlen
vektort ismerni. (Feltessz\"uk, hogy az (1.2), (1.3) 
formul\'akban szerepl\H{o} $\Phi(n)$ \'es $H(n)$ m\'atrixokat, 
illetve az $\e(n)$ \'es $\eta(n)$ `hiba vektorok' $Q(n)$ 
\'es $R(n)$ kovariancia  m\'atrixait szint\'en ismerj\"uk.) 
Term\'eszetesen, ahhoz, hogy ezt a rekurzi\'os elj\'ar\'ast 
alkalmazni tudjuk, ismern\"unk kell a kiindul\'o, nulla 
id\"opontbeli $(\hat x(0|-1),\Sigma(0))$ p\'art is. Ezt az 
$\hat x(0|-1)\equiv0$, \'es $\Sigma(0)=Ex(0)x(0)^*$ 
k\'epletek hat\'arozz\'ak meg.

A fenti eredm\'enyek a k\"ovetkez\H{o}t jelentik. Az $x(n+1)$ 
v\'eletlen vektor $\hat x(n+1|n)$ optim\'alis becsl\'es\'enek 
a kisz\'am\'{\i}t\'as\'aban a teljes $y(0),\dots,y(n)$ 
megfigyel\'es sorozatot felhaszn\'alhatjuk. De az 
$y(1),\dots,y(n-1)$ megfigyel\'esek helyett elegend\H{o} az 
\'altaluk meg\-ha\-t\'a\-ro\-zott  $\hat x(n|n-1)$ \'es 
$\Sigma(n)$ mennyis\'egek ismerete. Ezek tartalmazz\'ak az 
\"osszes sz\'amunkra fontos ismeretet az $(y(1),\dots,y(n-1))$ 
v\'eletlen vektorr\'ol. S\H{o}t, ezek az ismeretek nemcsak
az $\hat x(n+1|n)$, hanem a $\Sigma(n+1)$ mennyis\'eg 
kisz\'amol\'as\'ahoz is elegend\H{o}ek. Ez lehet\H{o}v\'e 
teszi, hogy az $\hat x(n+1|n)$ vektort a $\Sigma(n+1)$ 
m\'atrix-szal egy\"utt rekurz\'{\i}ve kisz\'amolhassuk.

A fenti sz\'amol\'asok akkor v\'egezhet\H{o}ek el, ha az
$E[z(n)z(n)^*]=H(n)\Sigma(n) H(n)^*+R(n)$ m\'atrix 
invert\'alhat\'o. Felmer\"ul a k\'erd\'es, mit tehet\"unk 
abban az esetben, ha ez a  felt\'etel nem teljes\"ul. 
Az al\'abbiakben ezzel a k\'erd\'essel foglalkozom.

A $z(n)$ v\'eletlen vektor \'ugy jelent meg, mint az $y(n)$ 
vektor koordin\'at\'ainak vet\"ulete a $\Cal M_n$ Hilbert 
t\'er $\Cal M_{n-1}$  alter\'enek $\Cal V_n$ ortogon\'alis 
kieg\'esz\'{\i}t\H{o}j\'ere. A $z(n)$ vektor  koordin\'at\'ai 
gener\'ator rendszert alkotnak az $\Cal V_n$ Hilbert 
t\'erben, de lehet, hogy nem alkotnak b\'azist. Ha e 
koordin\'at\'ak nem alkotnak  b\'azist, akkor alkalmas 
m\'odon v\'eges sokat el lehet hagy\-ni  bel\H{o}l\"uk \'ugy, 
hogy a megtartott koordin\'at\'ak b\'azist  alkossanak. Meg 
fogjuk mutatni, hogy a `f\"ol\"osleges' koordin\'at\'ak 
elhagy\'as\'aval meg tudjuk oldani a vizsg\'alt feladatot
az eredeti elj\'ar\'as term\'eszetes m\'odos\'{\i}t\'as\'aval. 
Ekkor ugyanis invert\'alhat\'o m\'atrixokkal kell dolgoznunk.
Az el\H{o}bb v\'azolt elj\'ar\'as jogoss\'ag\'anak 
igazol\'as\'ahoz sz\"uks\'eg\"unk lesz az al\'abbi 
feladatban megfogalmazott eredm\'enyre.

\medskip\noindent
{\it Feladat.}\/ Legyen $Z=(Z_1,\dots,Z_q)^*$ egy $q$ 
dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor 
$\Sigma$ kovariancia m\'atrix-szal \'es nulla v\'arhat\'o 
\'ert\'ekkel. Tekints\"uk ennek 
$Z(j_1,\dots,j_k)=(Z_{j_1},\dots,Z_{j_k})$ r\'eszvektor\'at 
tetsz\H{o}leges $\{j_1,\dots,j_k\}\subset\{1,\dots,q\}$ 
indexhalmazra, \'es je\-l\"ol\-je $\Sigma(j_1,\dots,j_k)$ 
a $Z(j_1,\dots,j_k)$ vektor kovariancia m\'atrix\'at. A
$\Sigma(j_1,\dots,j_k)$ m\'atrix megegyezik a $\Sigma$ 
m\'atrix megszor\'{\i}t\'as\'aval a $j_1$-ik,\dots \'es 
$j_k$-ik sorokra \'es oszlopokra. A $Z(j_1,\dots,j_k)$ 
vektor $Z_{j_1},\dots,Z_{j_k}$ koordin\'at\'ai akkor 
\'es csak akkor line\'arisan f\"uggetlenek, azaz e 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak akkor \'es csak akkor 
nincs olyan  nem trivi\'alis line\'aris kombin\'aci\'oja, 
amelyik egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel null\'aval egyenl\H{o},
ha a $\Sigma(j_1,\dots,j_k)$ m\'atrix invert\'alhat\'o. 
Speci\'alisan, a maxim\'alis m\'eret\H{u} line\'arisan 
f\"uggetlen koor\-di\-n\'a\-t\'ak\-b\'ol \'all\'o 
$Z(j_1,\dots,j_k)$ vektorok indexhalmazai megegyeznek azon 
maxim\'alis m\'eret\H{u} $\Sigma(j_1,\dots,j_k)$ 
m\'at\-ri\-xok indexhalmazaival, amelyek invert\'alhat\'oak.

\medskip\noindent
{\it Seg\'{\i}ts\'eg.}\/ 
A $Z(j_1,\dots,j_k)$ vektor norm\'alis eloszl\'as\'u minden 
$j_1,\dots,j_k$ indexhalmazra, ez\'ert fel\'{\i}rhat\'o
$Z(j_1,\dots,j_k)=\eta A$ alakban, ahol
$\eta=(\eta_{j_1},\dots,\eta_{j_k})^*$ f\"uggetlen, standard
norm\'alis $\eta_{j_s}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'okb\'ol \'all\'o vektor, $A$ pedig $k\times k$ 
m\'eret\H{u} m\'atrix. (Ebben a jel\"ol\'esben elhagytuk az 
$A$ m\'atrix \'es $\eta$ vektor f\"ugg\'es\'et a 
$j_1,\dots,j_k$ indexekt\H{o}l.) \'Irjuk fel az $A$ m\'atrixot 
$A=P\Lambda Q$ alakban, ahol $P$ \'es $Q$ unit\'er, $\Lambda$ 
pedig diagon\'alis m\'atrix, nem negat\'{\i}v elemekkel a
m\'atrix \'atl\'oj\'aban. A $Z(j_1,\dots,j_k)$ vektor 
koordin\'at\'ai akkor \'es csak akkor line\'arisan f\"uggetlenek,
ha az $A$ m\'atrix invert\'alhat\'o. Ez akkor \'es csak akkor
teljes\"ul, ha a $\Lambda$ m\'atrix diagon\'alis elemei mind
null\'at\'ol k\"ul\"onb\"oznek. A 
$\Sigma(j_1,\dots,j_k)=P\Lambda^2P$ azonoss\'ag is teljes\"ul,
ahonnan k\"ovetkezik, hogy $\Sigma(j_1,\dots,j_k)$ akkor \'es 
csak akkor invert\'alhat\'o, ha a $\Lambda$ m\'atrix 
diagon\'alis elemei mind null\'at\'ol k\"ul\"onb\"oznek.

\medskip
Annak \'erdek\'eben, hogy a K\'alm\'an-f\'ele sz\H{u}r\H{o} 
becsl\'es\'enek a feladat\'at megoldjuk az \'altal\'anos
esetben, (akkor is, ha az $E[z(n)z(n)^*]$ m\'atrix nem  
invert\'alhat\'o), vegy\"uk \'eszre, hogy a 2.1.~t\'etel akkor
is \'erv\'enyes marad, ha az az $y(n)$ v\'eletlen vektor 
(1.2) formul\'aban megadott definici\'oj\'aban megengedj\"uk, 
hogy az ott szerepl\H{o} $H(n)$ m\'atrix \'es $\eta(n)$ vektor, 
$q(n)\times p$, illetve $q(n)$ m\'eret\H{u} legyen, azaz az $y(n)$
vektor dimenzi\'oja f\"ugghet az $n$ param\'etert\H{o}l.

Legyen a $V(n)=E[z(n)z(n)^*]=H(n)\Sigma(n)H(n)^*+R(n)$ 
kovariancia  m\'atrixra a 
$\{j_1,j_2,\cdots,j_k\}\subset\{1,\dots, q\}$ egy olyan 
maxim\'alis, $k=k(n)$ m\'eret\H{u}  halmaz, amely\-re a 
$\Sigma=V(n)$ m\'atrixhoz tartoz\'o, a `Feladat'-ban bevezetett
$\Sigma(j_1,\dots,j_k)$ m\'atrix invert\'alhat\'o. Vegy\"uk 
\'eszre, hogy a `Feladat' eredm\'eny\'eb\H{o}l k\"ovetkezik,
hogy a $z(n)=(z(n,1),\dots,z(n,q))^*$ Gauss eloszl\'as\'u v\'eletlen 
vektor $j_1$-ik,\dots, $j_k$-ik koordin\'at\'ai egy maxim\'alis 
f\"uggetlen rendszert alkotnak. Mivel a $z(n,j)$, $1\le j\le q$, 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok gener\'atort alkotnak
a $\Cal V_n$ t\'erben innen az is k\"ovetkezik, hogy 
$z(n,j_1)$,\dots, $z(n,j_k)$ b\'azis a $\Cal V_n$ t\'erben.
Jel\"olje $\bar H(n)=\bar H(n,j_1,\dots,j_k)$ azt a $k\times p$
m\'eret\H{u} m\'atrixot, amelyet \'ugy kapunk, hogy az (1.2)
formul\'anak csak a $j_1$-ik,\dots, \'es $j_k$-ik sorait tartjuk meg,
legyen $\bar\eta=\bar\eta(j_1,\dots,j_k)$ a szint\'en (1.2)
formul\'aban szerepl\H{o} $\eta$ vektor $j_1$-ik,\dots, \'es 
$j_k$-ik koordin\'at\'aib\'ol \'all\'o vektor, \'es tekints\"uk a
$$
\bar y(n)=\bar H(n)x(n)+\bar\eta(n) \tag4.1
$$
egyenletet, azaz vegy\"uk az (1.2) egyenlet megszor\'{\i}t\'as\'at
a $j_1$-ik,\dots, \'es $j_k$-ik sorokra.

Ekkor a $\bar\eta(n)$ vektor $\bar R(n)=E\bar\eta(n)\bar\eta(n)^*$ 
kovarianciam\'atrixa megegyezik az (1.4) formul\'aban defini\'alt 
$R(n)$ kovariancia m\'atrix megszor\'{\i}t\'as\'aval a 
$j_1$-ik,\dots, \'es $j_k$-ik sorokra \'es oszlopokra. Tov\'abb\'a 
a $\bar y(n)$ vektor $z(n,j_s)$, $1\le s\le k$ ortogon\'alis 
vet\"uletei az $\Cal M_n$ t\'erre ugyanazt a $\Cal V_n$ Hilbert 
teret gener\'alj\'ak, mint az $y(n)$ t\'er $z(n)$ vet\"ulete, 
\'es ezenk\'{\i}v\"ul a $\Cal V_n$ t\'er b\'azis\'at is 
alkotj\'ak. Ez\'ert a K\'alm\'an f\'ele feladat ekvivalens 
v\'altozat\'at kapjuk, ha az (1.2) formul\'at a (4.1) 
formul\'aval helyettes\'{\i}tj\"uk. 

Az \'uj m\'odos\'{\i}tott feladatban (ahol az (1.2) formul\'at 
a (4.1)~formul\'aval he\-lyet\-te\-s\'{\i}\-tet\-t\"uk) a 
(3.6)~formul\'aban defini\'alt $V(n)=E[z(n)z(n)^*]$ m\'atrix 
helyett  a $V(n)$ m\'atrix $j_1$-ik,\dots, \'es $j_k$-ik 
soraira \'es oszlopaira vett $V(n|j_1,\dots,j_k)$ 
megszor\'{\i}t\'as\'aval kell sz\'amolnunk, ami egy 
invert\'alhat\'o m\'atrix. Ez\'ert ebben az esetben 
alkalmazhat\'o a 2.1.~t\'etel. Az egyetlen k\"ul\"onbs\'eg 
az, hogy a $K(n)$ m\'atrix (2.4) formul\'aban megadott 
definici\'oj\'aban a $H(n)$ m\'atrixot a 
$\bar H(n)=\bar H(n|j_1,\dots,j_k)$, az $R(n)$ m\'atrixot pedig
az $\bar R(n)=\bar R(n|j_1,\dots,j_k)$ m\'atrix-szal kell
helyettes\'{\i}teni.




\bye
