\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm

\input amstex
\TagsOnRight
\parindent=20pt
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\def\Re{\text{\rm Re}\,}
\def\Im{\text{\rm Im}\,}
\font\script =cmcsc10

\beginsection STACION\'ARIUS SOROZATOK EL\H{O}REJELZ\'ESE.

Ebben az el\H{o}ad\'asban a k\"ovetkez\H{o} k\'erd\'est fogom
t\'argyalni: Tekints\"uk val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
egy olyan $\dots,X_{-1},X_0,X_1,\dots$ stacion\'arius Gauss
sorozat\'at, amelyre $EX_n=0$ (minden $n=0\pm1,\pm2,\dots$ indexre),
\'es legyen megadva ennek a sorozatnak az $r(n)=EX_kX_{k+n}$
kovarianciaf\"uggv\'enye, $n=0,1,2,\dots$. Ha ismerj\"uk e sorozat
m\'ultbeli vi\-sel\-ke\-d\'e\-s\'et egy $n$ id\H{o}pontig, azaz
az $X_j(\oo)$  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak tudjuk
az \'ert\'ek\'et minden $-\infty<j\le n$ indexre, akkor hogyan lehet
megadni az $X_{n+1}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o legjobb
becsl\'es\'et ezen inform\'aci\'ok seg\'{\i}ts\'eg\'evel?

El\H{o}sz\"or megfogalmazom a feladatot kiss\'e pontosabban. Az
$X_j$, $-\infty<j\le n$, va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'oknak olyan $f(X_j,j\le n)$ f\"uggv\'eny\'et keress\"uk,
amelyre az $E(X_{n+1}-f(X_j,\,j\le  n))^2$ minim\'alis. M\'as
szavakkal az $X_{n+1}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
legkisebb hi\-b\'aj\'u becs\-l\'e\-s\'et keress\"uk az $X_j$,
$-\infty<j\le n$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, ahol a becsl\'es hib\'aj\'at \'ugy
defini\'aljuk, mint a tekintett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o val\'odi \'es becs\"ult
\'ert\'eke k\"oz\"otti k\"ul\"onbs\'eg n\'egyzet\'enek a
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et.

\beginsection 1. A feladat \'atfogalmaz\'asa egy Hilbert terekr\H{o}l
sz\'ol\'o probl\'em\'ara.

Vegy\"uk \'eszre, hogy a legjobb becsl\'es megtal\'al\'as\'anak a
k\'erd\'ese a felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek tulajdons\'agai
miatt megegyezik azzal a probl\'em\'aval, hogy tal\'aljuk meg a
$X_{n+1}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o felt\'eteles
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et, felt\'eve az $X_{j}$, $-\infty<j\le n$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'altal gener\'alt
$\sigma$-algebr\'at. Ez a feladat, a felt\'eteles v\'arhat\'o 
\'ert\'ek tulajdons\'agai miatt  \'atfogalmazhat\'o a 
k\"ovetkez\H{o} m\'odon is. Tekints\"uk az $(\Omega,\Cal A,P)$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n azon $\xi$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszess\'eg\'et,
amelyekre $E\xi^2<\infty$, \'es vezess\"uk be k\"oz\"ott\"uk a
$(\xi,\eta)=E\xi\bar\eta$ skal\'arszorzatot. (A te\-kin\-tett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok lehetnek komplex
\'ert\'ek\H{u}ek is, \'es $\bar\eta(\oo)$ az $\eta(\oo)$ komplex
konjug\'altj\'at jel\"oli.) Ilyen m\'odon bevezett\"uk a
n\'egyzetesen  integr\'alhat\'o val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \'altal gener\'alt Hilbert teret, \'es az 
el\H{o}bb megfogalmazott feladat ekvivalens m\'odon \'ugyis 
\'atfogalmazhat\'o, hogy meg kell adnunk a Hilbert t\'er 
$X_{n+1}$ elem\'enek a vet\"ulet\'et a tekintett Hilbert 
t\'ernek az $X_j$, $-\infty<j\le n$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'ok \'altal gener\'alt $\sigma$-algebra szerint 
m\'erhet\H{o} n\'egyzetesen integr\'alhat\'o 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okb\'ol \'all\'o 
alter\'ere. Ez a feladat a tekintett $X_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok (egy\"uttes) Gauss
eloszl\'asa miatt tov\'abb egyszer\H{u}s\'{\i}thet\H{o}. 
A keresett felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek megegyezik 
az $X_{n+1}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o 
vet\"ulet\'evel az $X_j$, $-\infty<j\le n$, 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
(meg\-sz\'am\-l\'al\-ha\-t\'o) line\'aris kombin\'aci\'oib\'ol
\'all\'o alt\'erre, azaz a keresett becsl\'es az az
$Y=\summ_{j=0}^\infty c_jX_{n-j}$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o ($EY^2<\infty$),
amelyre $EX_j(X_{n+1}-Y)=0$ minden $-\infty<j\le n$ indexre.
(L\'asd az al\'abbi feladatot.) 

\medskip\noindent
{\it Feladat:}\/

\medskip\noindent
Legyenek $Y$ \'es $X_1,X_2,\dots$, egy\"uttesen norm\'alis
eloszl\'as\'u (nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u})
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok. Ekkor az $Y$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o $Z$ vet\"ulete
az $X_1,X_2,\dots$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok
n\'egyzetesen integr\'alhat\'o line\'aris kombin\'aci\'oi \'altal
kifesz\'{\i}tett al\-t\'er\-re (a m\'a\-so\-dik momentummal
rendelkez\H{o} va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'okb\'ol
\'all\'o Hilbert t\'erben) mer\H{o}leges minden az $X_1,X_2,\dots$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok \'altal gener\'alt
$\sigma$-algebr\'ara m\'erhet\H{o} n\'egyzetesen integr\'alhat\'o
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ora. Ez azt jelenti,
hogy ez a vet\"ulet megegyezik az $E(Y|X_1,X_2,\dots)$ felt\'eteles
v\'arhat\'o \'ert\'ekkel.

\medskip\noindent
{\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ Vegy\"uk \'eszre, hogy az $Y-Z,X_1,X_2,\dots$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy\"uttesen norm\'alis
eloszl\'as\'uak, ez\'ert az $E(Y-Z)X_j=0$, $j=1,2,\dots$,
rel\'aci\'okb\'ol k\"ovetkezik, hogy az $Y-Z$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o f\"uggetlen az
$(X_1,X_2,\dots)$ vektort\'ol. Ez\'ert $Y-Z$ f\"uggetlen az $X_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok minden $f(X_1,X_2,\dots)$
f\"uggv\'eny\'et\H{o}l is. Tov\'abb\'a $E(Y-Z)=0$. Ez azt jelenti,
hogy $E(Y-Z)f(X_1,X_2,\dots)=0$ minden az $X_1,X_2,\dots$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok \'altal
gener\'alt $\sigma$-algebr\'ara m\'erhet\H{o} m\'asodik
momentummal rendelkez\H{o} $f(X_1,X_2,\dots)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ora.

\medskip
A fentiek alapj\'an a feladat \'atfogalmazhat\'o \'ugy, mint egy
a kovarianciaf\"uggv\'eny se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'ev\-el
fel\'{\i}rhat\'o v\'egtelen line\'aris egyenletrendszer 
megold\'asa. (A $X_{n+1}$ vektor $Y=\summ_{j=0}^\infty c_jX_{n-j}$ 
vet\"ulet\'et meghat\'aroz\'o ismeretlen $c_j$ egy\"utthat\'okat 
kell megtal\'alni a
$$
\align
R(n+1-k)=EX_kX_{n+1}=EYX_k=\summ_{j=0}^\infty c_jEX_{n-j}X_k
&=\summ_{j=0}^\infty c_j R(n-j-k), \\ 
&\qquad -\infty<k\le n,
\endalign
$$
egyenletrendszer seg\'{\i}ts\'eg\'evel.) Annak \'erdek\'eben, 
hogy a megold\'asr\'ol hasznos in\-for\-m\'a\-ci\'o\-kat 
nyerhess\"unk, \'erdemes a feladatot m\'as form\'aban is 
t\'argyalni. El\H{o}sz\"or be\-ve\-ze\-tek
n\'eh\'any fogalmat \'es megadok n\'eh\'any a Hilbert terek
alapvet\H{o} tulajdons\'agait felhaszn\'al\'o eredm\'enyt,
amelyek bizony\'{\i}t\'as\'at a kieg\'esz\'{\i}t\'esben
fogom t\'argyalni. Ezek az eredm\'enyek kiss\'e pongyol\'an
fogalmazva azt \'all\'{\i}tj\'ak, hogy a feladatot reduk\'alni
lehet k\'et eset vizs\-g\'a\-la\-t\'a\-ra, amelyek k\"oz\"ul az
els\H{o} eset azt jelenti, hogy m\'ar a nagyon r\'egi
megfigyel\'esek is egy\-\'er\-tel\-m\H{u}\-en meghat\'arozz\'ak a
rendszer tov\'abbi viselked\'es\'et, a m\'asodik eset pedig azt,
hogy a nagyon r\'egi megfigyel\'esek szinte semmi inform\'aci\'ot
nem adnak arra, hogy mi t\"ort\'enik a j\"ov\H{o}ben.

Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} jel\"ol\'eseket:
$$
\aligned
H=B(X_j,\,-\infty<j<\infty),\qquad
H_n&=B(X_j,\,-\infty<j\le n),\quad -\infty<n<\infty,\\
S&=\bigcap_{n=-\infty}^\infty H_n.
\endaligned \tag1.1
$$
A fenti jel\"ol\'esekben $B(X_j,\,j\in T)$, ahol $T$ az eg\'esz
sz\'amok valamely r\'eszhalmaza, a $T$ halmaz elemeivel indexelt
$X_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok  v\'eges line\'aris
kombin\'aci\'oit tartalmaz\'o legsz\"ukebb Hilbert teret jel\"oli,
$S$ pedig a legnagyobb minden $H_n$ Hilbert t\'er \'altal
tartalmazott Hilbert t\'er.

Adva egy $X_n$, $n=\dots,-1,0,1,2,\dots$, stacion\'arius sorozat
vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $U$ shift oper\'atort az $X_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'altal kifesz\'{\i}tett
$H$ Hilbert t\'erben: $UX_n=X_{n+1}$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$,
\'es ha $Y=f(X_n,\,-\infty<n<\infty)\in H$, akkor ennek $UY$
eltoltj\'at (shift-j\'et) az
$UY=Uf(X_n,\,-\infty<n<\infty)=f(UX_n,\,-\infty<n<\infty)
=f(X_{n+1},\,-\infty<n<\infty)\in H$ k\'eplettel defini\'aljuk. 
(Mint a Bochner t\'etel jegyzetben megt\'argyaltuk, ilyen m\'odon 
egy j\'ol defini\'alt $U$ unit\'er oper\'atort vezett\"unk be a 
$H$~Hilbert t\'erben.) Bevezetj\"uk a k\"ovetkez\H{o} fogalmat is.

\medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok stacion\'arius
sorozat\'anak al\'arendelt so\-ro\-zat defi\-ni\-ci\'o\-ja.}
{\it Legyen adva val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak 
egy $X_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, sta\-cio\-n\'a\-rius sorozata 
egy $U$ shift transzform\'aci\'oval egy\"utt. 
Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak egy $Y_n$, 
$n=\dots,-1,0,1,\dots$, sorozat\'at akkor nevezz\"uk az 
$X_n$ sorozat al\'arendelt sorozat\'anak, ha $Y_n\in H$, 
s\H{o}t az $Y_n\in H_n$ rel\'aci\'o is teljes\"ul
minden $n=\dots,-1,0,1,\dots$ indexre, ahol $H_n$ az (1.1) 
formul\'aban van defini\'alva, \'es $UY_n=Y_{n+1}$ minden 
$n=\dots,-1,0,1,\dots$ indexre.}

\medskip
K\"onnyen l\'athat\'o, hogy egy $Y_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, 
az $X_n$ stacion\'arius sorozatnak al\'arendelt $Y_n$ sorozat 
szint\'en stacion\'arius.

\medskip\noindent
{\bf Regul\'aris stacion\'arius sorozat definici\'oja.} 
{\it Egy $Y_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$ stacion\'arius (Gauss) 
sorozatot regul\'arisnak nevez\"unk, ha $S=\emptyset$. A
$H=B(Y_j,\,-\infty<j<\infty)$, $H_n=B(Y_j,\,-\infty<j\le n)$,
$S=\bigcapp_{n=-\infty}^\infty H_n$ Hilbert tereket az 
(1.1)~k\'eplethez hasonl\'oan defini\'aljuk. Az egyetlen 
k\"ul\"onbs\'eg az, hogy jelen esetben az $Y_n$ sorozat 
se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel defini\'aljuk a $H$, $H_n$ 
\'es $S$ Hilbert tereket.}

\medskip\noindent
{\bf Szingul\'aris stacion\'arius sorozat definici\'oja.} 
{\it Egy $Z_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$ stacion\'arius (Gauss) 
sorozatot szingul\'arisnak nevez\"unk, ha $S=H$. A
$H=B(Z_j,\,-\infty<j<\infty)$, $H_n=B(Z_j,\,-\infty<j\le n)$,
$S=\bigcapp_{n=-\infty}^\infty H_n$ Hilbert tereket az 
(1.1)~k\'eplethez hasonl\'oan defini\'aljuk. Az egyetlen 
k\"ul\"onbs\'eg az, hogy jelen esetben a $Z_n$ sorozat 
se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel defini\'aljuk a $H$, $H_n$ 
\'es $S$ Hilbert tereket.}

\medskip
\'Erv\'enyes a k\"ovetkez\H{o} egy stacion\'arius (Gauss) sorozat
felbont\'as\'ar\'ol sz\'ol\'o t\'etel.

\medskip\noindent
{\bf 1.1.~T\'etel. T\'etel stacion\'arius sorozat  
felbont\'as\'ar\'ol a sorozatnak al\'arendelt regul\'aris \'es 
szingul\'aris sorozatok (ortogon\'alis) direkt \"osszeg\'ere.}
{\it Legyen adva egy $X_n$, 
$n=\dots,-1,0,1,\dots$, stacion\'arius (Gauss) sorozat. Ennek a 
sorozatnak l\'etezik olyan
$$
X_n=Y_n+Z_n, \quad n=\dots,-1,0,1,\dots \tag1.2
$$
el\H{o}\'all\'{\i}t\'asa val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
k\'et sorozat\'anak az \"osszeg\'ere, amelyre

\medskip
\item{a)} $Y_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, az
$X_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, sorozatnak al\'arendelt 
re\-gu\-l\'a\-ris, \'es $Z_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, az $X_n$, 
$n=\dots,-1,0,1,\dots$, so\-ro\-zat\-nak al\'arendelt szingul\'aris
sorozat.

\medskip
\item{b)} Az $Y_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, \'es
$Z_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, sorozatok korrel\'alatlanok, azaz
$$
\Cov(Y_n,Z_m)=0\quad \text{minden } n,m=\dots,-1,0,1,\dots
\text{ sz\'amp\'arra.}
$$

Az $X_n$ sorozat felbont\'asa az al\'abbi tulajdons\'ag\'u sorozatok
\"osszeg\'ere egy\'ertelm\H{u}.}

\medskip
Ha $Z_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, szingul\'aris sorozat, akkor e
sorozat tetsz\H{o}leges $Z_k$ ele\-me benne van a $H_{-N}(Z_j, -\infty
<j\le-N)$ Hilbert t\'erben b\'armilyen nagy $N$ indexre. Ez azt
jelenti, hogy az $Z_n$ sorozat m\'ultj\'anak ismerete b\'armilyen
r\'egi id\H{o}pontig elegend\H{o} ahhoz, hogy a $Z_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot pontosan rekonstru\'aljuk.
Ha $Y_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, regul\'aris sorozat, akkor
valamely tetsz\H{o}leges $Y_k$ elem\'enek a vet\"ulete a
$H_{-N}(Y_j, -\infty <j\le-N)$ Hilbert t\'erbe nagy $N$ indexekre
tart null\'ahoz. Ez inform\'alisan azt jelenti, hogy a nagyon
r\'egi megfigyel\'esek alig adnak inform\'aci\'ot egy $Y_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o becsl\'es\'ere. Igaz a
k\"ovetkez\H{o} Wold felbont\'asnak nevezett eredm\'eny.

\medskip\noindent
{\bf 1.2.~T\'etel.  Regul\'aris stacion\'arius sorozatok Wold 
felbont\'asa.} {\it Legyen $X_n$,
$n=\dots,-1,0,1,\dots$, regul\'aris stacion\'arius sorozat. Ekkor
l\'etezik olyan az $X_n$ sorozatnak al\'arendelt $V_n$,
$n=\dots,-1,0,1,\dots$, stacion\'arius sorozat \'es val\'os
sz\'amok olyan $c_k$, $k=0,1,2,\dots$ sorozata, amelyekre
$EV_n=0$, $EV_n^2=1$, $EV_nV_m=0$, ha $n\neq m$, $\summ_{k=0}^\infty
c_k^2=EX_1^2$, \'es
$$
X_n=\sum_{k=0}^\infty c_kV_{n-k}\quad \text{minden
$n=\dots,-1,0,1,\dots$ indexre.} \tag1.3
$$
Megford\'{\i}tva, ha az $X_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$,
stacion\'arius sorozatnak l\'etezik az adott tulajdons\'ag\'u
reprezent\'aci\'oja, akkor ez a sorozat regul\'aris.}

\medskip\noindent
{\it 1.~feladat.} Legyen egy $X_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$,
stacion\'arius sorozat el\H{o}\'all\'{\i}that\'o egy $W_n$,
$W_n\in B(X_j, -\infty<j<\infty)$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, nulla
v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} 1 sz\'or\'asn\'egyzet\H{u}
korrel\'alatlan elemekb\H{o}l \'all\'o stacion\'arius Gauss sorozat
mozg\'o \'at\-la\-ga\-k\'ent, (egy ilyen tulajdons\'agokkal
rendelkez\H{o} $W_n$ sorozat f\"uggetlen, standard norm\'alis
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'okb\'ol \'all), 
azaz l\'etezzen val\'os sz\'amok olyan $d_0,d_1,\dots$, 
$\summ_{n=0}^\infty|d_n|^2=EX_1^2<\infty$, sorozata, amelyek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel az $X_n$ sorozat tagjai 
el\H{o}\'all\'{\i}that\'oak $X_n=\summ_{k=0}^\infty d_kW_{n-k}$, 
$n=\dots,-1,0,1,\dots$ alakban. Ekkor $X_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, 
regul\'aris stacion\'arius sorozat.

\medskip\noindent
{\it Seg\'{\i}ts\'eg.} Legyen $H_{n,W}=B(W_j,\,-\infty<j\le n)$, \'es
$S_W=\bigcapp_{n=-\infty}^\infty H_{n,W}$. El\'eg megmutatni, hogy
$S_W=\emptyset$, mert $H_n\subset H_{n,W}$ minden $n$ indexre,  
ez\'ert $S\subset S_W$. Viszont, ha $Y\in S_W$, akkor $(Y,W_n)=0$
minden $n$ indexre, s\H{o}t $(Y,Z)=0$ minden $Z\in H_{n,W}$ vektorra.
Ez\'ert $(Y,Y)=0$.

\medskip\noindent
{\it 2.~feladat.} Legyen egy $X_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$,
stacion\'arius sorozat el\H{o}\'all\'{\i}that\'o egy $W_n$,
$n=\dots,-1,0,1,\dots$, nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} 1
sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} korrel\'alatlan elemekb\H{o}l \'all\'o
$W_n$ stacion\'arius Gauss sorozat $X_n=\summ_{k=0}^\infty d_kW_{n-k}$
mozg\'o\'atlagak\'ent. Ekkor $|d_0|$ egyenl\H{o} az
$X_1$ vektor t\'avols\'ag\'aval a $B(W_j,\,-\infty<j\le 0)$
alt\'ert\H{o}l. Ez\'ert, ha $X_n=\summ_{k=0}^\infty c_kV_{n-k}$,
$n=\dots,-1,0,1,\dots$ alak\'u az $X_n$ sorozat Wold felbont\'asa,
akkor $|d_0|\le |c_0|$.

\medskip\noindent
{\it 3.~feladat.} Legyen  $W_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, f\"uggetlen,
nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} 1 sz\'or\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata, $d_n$,
$n=0,1,\dots$, val\'os sz\'amok olyan sorozata, amelyre
$\summ_{n=0}^\infty d_n^2<\infty$. Ekkor a $\summ_{n=0}^\infty d_nW_n$
sorozat 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konverg\'al. \hfill\break
{\it Seg\'{\i}ts\'eg.} Mutassuk meg a Kolmogorov egyenl\H{o}tlens\'eg
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy a $Z_N(\oo)=\summ_{n=0}^N d_nW_n(\oo)$,
$N=0,1,2,\dots$, sorozat 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel Cauchy sorozat.

\medskip
A fenti eredm\'enyek bizony\'{\i}t\'asai a Hilbert terek 
\'altal\'anos tulajdons\'agait haszn\'alj\'ak ki. \'Igy 
p\'eld\'aul a Wold felbont\'asban szerepl\H{o} $V_k$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat \'es az (1.3) 
formul\'aban szerepl\H{o} felbont\'ast \'ugy kapjuk meg, hogy 
minden $n$ sz\'amra tekintj\"uk a $H_{n-1}$ Hilbert t\'er $D_n$
ortogon\'alis kieg\'esz\'{\i}t\H{o}j\'et a  $H_n$ Hilbert t\'erre,
\'es vesz\"unk ebben egy 1-re norm\'alt $V_n$ vektort. N\'emi
munk\'aval meg lehet mutatni, hogy ezeket a $V_n$ vektorokat
v\'alaszthatjuk \'ugy, hogy \'{\i}ly m\'odon egy az $X_n$ sorozatnak
al\'arendelt (ortonorm\'alt elemekb\H{o}l \'all\'o) stacion\'arius
sorozatot kapjunk, amelynek elemei egyben a $H$ Hilbert t\'er
ortonorm\'alt b\'azis\'at alkoss\'ak. Az $X_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorfejt\'esek\'ent ezen
b\'azis alapj\'an meg\-kap\-juk az (1.3) formul\'at.

B\'ar az 1.1~T\'etel bizony\'{\i}t\'as\'at egy stacion\'arius 
Gauss sorozat felbont\'as\'ar\'ol a Gauss sorozatnak al\'arendelt 
stacion\'arius regul\'aris \'es szingul\'aris sorozatok direkt 
\"osszeg\'ere valamint az 1.2~T\'etel bizony\'{\i}t\'as\'at
regul\'aris stacion\'arius sorozatok Wold felbont\'as\'ar\'ol 
csak a kieg\'esz\'{\i}t\'esben ismertetem, \'es ott is csak 
v\'azlatosan, r\"oviden le\'{\i}rom az e t\'eteleket 
teljes\'{\i}t\H{o} konstrukci\'okat. Az 1.1~T\'etelben
vessz\"uk a Gauss sorozat mindegyik $X_n$ ele\-m\'e\-nek az 
$X_n=Y_n+Z_n$ felbont\'as\'at az $X_n$ sorozat seg\'{\i}ts\'eg\'evel 
defini\'alt $S$ Hilbert t\'erre vett $Z_n$ vet\"ulet\'enek \'es 
$Y_n$ ortogon\'alis vet\"ulet\'enek direkt \"osszeg\'ere. Ekkor 
az $Y_n$ sorozat lesz a felbont\'as regul\'aris, a $Z_n$ sorozat 
pedig a felbont\'as szingul\'aris komponense. Az 1.2~T\'etelben 
tekintj\"uk minden  $n=0,\pm1,\pm2,\dots$ indexre az $X_n$ 
sorozat \'altal defini\'alt $H_{n-1}$ Hilbert t\'er $D_n$ 
ortogon\'alis kieg\'esz\'{\i}t\H{o}j\'et a $H_n$ Hilbert t\'erre. 
Ekkor be lehet l\'atni, hogy a $H$ Hilbert t\'er $D_n$ alterek 
ortogon\'alis \"osszege, az $U$ shift transzform\'aci\'o
a $D_n$ alteret a $D_{n+1}$ alt\'erbe viszi mindegyik $n$ indexre,
\'es a $D_n$ alterek egy dimenzi\'osak, (kiv\'eve azt az 
elfajul\'o esetet, amikor az $X_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'ok egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel null\'aval 
egyenl\H{o}ek). V\'eve a $D_0$ t\'erben szerepl\H{o} $V_0$ egy
sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, 
\'es annak $V_n=U_nV_0$ eltoltjait megkapjuk az (1.3) formul\'aban 
szerepl\H{o} $V_{n-k}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. 
Ezut\'an nem neh\'ez az (1.3) formul\'at kiel\'egit\H{o} 
konstrukci\'ot megtal\'alni.

A f\H{o} probl\'ema az el\H{o}bb v\'azolt konstrukci\'oban az, 
hogy az abban szerepl\H{o} va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi 
v\'altoz\'okat nagyon neh\'ez kisz\'am\'{\i}tani. Ez\'ert az 1.1 
\'es 1.2~T\'etel bizony\'{\i}t\'as\'at nem te\-kint\-het\-j\"uk
 konstrukt\'{\i}vnak. A f\H{o} probl\'em\'ank az, hogy konkr\'et 
modellekben az (1.2) \'es (1.3)~formul\'akat effektiv m\'odon 
szeretn\'enk megadni, speci\'alisan szeretn\'enk azt is 
eld\"onteni, hogy mikor teljes\"ul az $S=\emptyset$ rel\'aci\'o.
A tov\'abbiakban az lesz a f\H{o} probl\'em\'ank, hogy a 
k\'{\i}v\'ant konstrukci\'okat effekt\'{\i}ve 
el\H{o}\'all\'{\i}tsuk. Megjegyzem, hogy a Wold felbont\'as
megtal\'al\'asa nem puszt\'an az $X_n$ sorozat (1.3) formul\'aban
megadott mozg\'o\'atlag alak\'u el\H{o}\'all\'{\i}t\'as\'at
jelenti, hanem azt is biztos\'{\i}tani kell, hogy az ebben az
el\H{o}\'all\'{\i}t\'asban felhaszn\'alt $V_n$, $n=0,\pm1,\dots$, 
sorozat az $X_n$, $n=0,\pm1,\dots$,
sorozatnak al\'arendelt sorozat legyen. E konstrukci\'ok
megad\'as\'ahoz az anal\'{\i}zis, els\H{o}sorban
a komplex f\"uggv\'enytan nagyon m\'ely eredm\'enyeire lesz 
sz\"uks\'eg\"unk.

\medskip
L\'assunk p\'eld\'akat szingul\'aris stacion\'arius sorozatokra.
Ilyen p\'elda, ha $X_n=Y$ minden $n=0,\pm1,\pm2,\dots$ sz\'amra,
ahol $Y$ nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
Kiss\'e bonyolultabb p\'elda a k\"ovetkez\H{o}. R\"ogz\'{\i}ts\"unk
egy $M$ pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amot, \'es legyenek $Y_1,\dots,Y_M$
f\"uggetlen standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok. Defini\'aljuk az
$X_n$, $n=0,\pm1,\pm2,\dots$, sorozatot a k\"ovetkez\H{o} m\'odon:
$X_n=Y_k$, ha $n=k$ modul\'o~$M$. Ilyen m\'odon egy szingul\'aris
stacion\'arius sorozatot defini\'altunk. Az al\'abbi p\'elda
kiss\'e bonyolultabb.

\medskip\noindent
{\it Feladat.} Legyen adva egy olyan $G$ spektr\'al m\'ert\'ek
a $[-\pi,\pi]$ intervallumon, amelyik v\'eges sok $x_1,x_{-1}$,
$x_2,x_{-2}$, \dots $x_k,x_{-k}$ pontba van koncentr\'alva \'ugy
hogy, $x_j=-x_{-j}$, \'es $G(\{x_j\})=G(\{x_{-j}\})=2p^2_j$, 
$j=1,\dots,k$ valamely $p_j$ sz\'amokkal. Jellemezz\"uk a 
$G$ spektr\'al m\'ert\'ekkel rendelkez\H{o} stacion\'arius 
Gauss sorozatokat, \'es mutassuk meg, hogy ezek szingul\'aris 
stacion\'arius sorozatok.

\medskip\noindent
{\it Seg\'{\i}ts\'eg.} Adjunk meg el\"osz\"or egy a $G$ spektr\'al
m\'ert\'eknek megfelel\H{o} $Z_G$ v\'eletlen spektr\'al m\'ert\'eket, 
\'es defini\'aljunk seg\'{\i}ts\'eg\'evel egy $G$ spektr\'al 
m\'ert\'ekkel rendelkez\H{o} $X_n$  stacion\'arius Gauss folyamatot. 

Legyenek $U_j$ \'es $V_j$, $j=1,\dots,k$, f\"uggetlen standard 
norm\'alis val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, \'es 
$Z_G(\{x_j\})=p_j(U_j+iV_j)$, $Z_G(\{-x_j\})=p_j(U_j-iV_j)$, 
$j=1,\dots,k$. Ekkor de\-fi\-ni\'al\-hat\-juk a keresett $X_n$, 
$n=\dots,-1,0,1,\dots$, stacion\'arius Gauss folyamatot, mint
$$
\align
X_n=\int e^{inx}Z_G(\,dx)&=\summ_{j=1}^kp_j(e^{inx_j}(U_j+iV_j)
+e^{-inx_j}(U_j-iV_j)) \\
&=\summ_{j=1}^k p_j U_j(e^{inx_j}+e^{-inx_j})
+\summ_{j=1}^k ip_j V_j(e^{inx_j}-e^{-inx_j})\\
&=\frac12\Re\(\sum_{j=-k}^kZ_je^{inx_j}\)
=\frac12\sum_{j=-k}^kZ_je^{inx_j},
\endalign
$$
ahol $Z_j=p_j(U_j+iV_j)$, ha $1\le j\le k$, $Z_j=p_j(U_j-iV_j)$, ha 
$-k\le j\le-1$, \'es $Z_0=0$.

Innen k\"ovetkezik, v\'eve az 
$$
X_n=\frac12\sum_{1\le |j|\le k}Z_je^{inx_j}, \quad n_0-2k< n\le n_0, 
\tag1.4
$$
line\'aris egyenletrendszert (ahol $Z_j$, $1\le |j|\le k$, az 
ismeretlen v\'altoz\'ok) \'es megmutatva, hogy ez az 
egyenletrendszer megoldhat\'o, hogy b\'armely (nagy abszol\'ut 
\'ert\'ek\H{u} negat\'{\i}v $n_0$ sz\'amra) az 
$X_{n_0},\dots, X_{n_0-2k+1}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
meghat\'arozz\'ak a $Z_G$ v\'eletlen spektr\'al m\'ert\'eket, 
ez\'ert a $H_{n_0}$ \'es $H$ Hilbert terek megegyeznek.
Ez\'ert $X_n$ szingul\'aris stacion\'arius sorozat. 

Meg kell m\'eg mutatnunk, hogy az (1.4) formul\'aban fel\'{\i}rt 
egyenletrendszer egy\-\'er\-tel\-m\H{u}\-en meg\-old\-hat\'o, 
azaz a megfelel\H{o} m\'atrix invert\'alhat\'o. (Ez igazolhat\'o 
felhaszn\'alva azt, hogy a Van der Monde determin\'ansokat ki 
tudjuk sz\'amolni.) Mivel $X_n$ val\'os sz\'am minden $n$ 
indexre, ez\'ert ha $Z_j$, $1\le|j|\le k$ az (1.4) egyenlet 
megold\'asa,  akkor $Z_j'=\overline{Z_{-j}}$, $1\le |j|\le k$ 
szint\'en megold\'asa ennek az egyenletnek. Innen 
$Z_j=\overline{Z_{-j}}$.

\medskip\noindent
{\bf 2. Az el\H{o}rejelz\'esi probl\'ema vizsg\'alata 
stacion\'arius folyamatok  spektr\'al 
rep\-re\-zen\-t\'a\-ci\'o\-j\'a\-nak a seg\'{\i}ts\'eg\'evel.}

\medskip\noindent
Az el\H{o}z\H{o} fejezetben kapott eredm\'enyek az\'ert nem 
kiel\'eg\'{\i}t\H{o}ek a sz\'amunkra, mert \"on\-ma\-guk\-ban 
nem elegend\H{o}ek ahhoz, hogy megkapjuk a minket \'erdekl\H{o} 
predikci\'ot. Nem neh\'ez bel\'atni, hogy az $X_n$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o legjobb becsl\'ese az 
$X_j$, $j\le 0$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok 
seg\'{\i}ts\'eg\'evel a Wold felbont\'as felhaszn\'al\'as\'avak
defini\'alhat\'o $\summ_{k=n}^\infty c_kV_{n-k}$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o, de eddigi 
ismereteink nem elegend\H{o}ek ahhoz, hogy explicit m\'odon 
megadjuk a $c_k$ egy\"utthat\'okat \'es kisz\'amoljuk azt, hogy 
a $V_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok hogy fejezhet\H{o}k 
ki az $X_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok line\'aris
kombin\'aci\'ojak\'ent ebben a k\'epletben. Tov\'abbi probl\'ema, 
hogy az eddigi eredm\'enyek nem mondj\'ak meg, hogy egy ismert 
kovarianci\'aj\'u Gauss folyamat mikor regul\'aris, \'es ha nem 
regul\'aris, akkor hogyan lehet megtal\'alni a sorozat 
(1.2)~formul\'aban megadott felbont\'as\'at.

Annak \'erdek\'eben, hogy ezekre a k\'erd\'esekre legal\'abb
r\'eszleges v\'alaszokat adhassunk, sz\"uks\'eg\"unk van az
anal\'{\i}zis n\'eh\'any klasszikus eredm\'eny\'ere. El\H{o}sz\"or
felid\'ezem a m\'ar t\'argyalt Bochner t\'etelt pozit\'{\i}v 
definit f\"uggv\'enyek jellemz\'es\'er\H{o}l, amely lehet\H{o}v\'e 
teszi annak megmutat\'as\'at, hogy egy stacion\'arius sorozat 
kovariancia f\"uggv\'enye el\H{o}\'all\'{\i}that\'o, mint egy 
\'ugynevezett spektr\'al m\'ert\'ek Fourier transzform\'altja. 
Ezenk\'{\i}v\"ul t\'argyalom azokat a Bochner t\'etelhez 
kapcsol\'od\'o  szint\'en vizsg\'alt eredm\'enyeket, amelyek
egy stacion\'arius Gauss folyamat spektr\'al 
el\H{o}\'all\'{\i}t\'as\'ar\'ol sz\'olnak. Ezek az eredm\'enyek
is hasz\-no\-sak lesznek sz\'amunkra. Defini\'aljuk
el\H{o}sz\"or a pozit\'{\i}v definit f\"uggv\'enyeket.

\medskip\noindent
{\bf Pozit\'{\i}v definit f\"uggv\'enyek \'es sorozatok
definici\'oja.} {\it Azt mondjuk, hogy egy $f(t)$ f\"uggv\'eny a
sz\'amegyenesen pozit\'{\i}v definit, ha minden $t_1,\dots,t_N$
val\'os \'es  $z_1,\dots,z_N$ komplex sz\'amokb\'ol
\'all\'o sz\'am $n$-esre teljes\"ul a
$$
\sum_{k=1}^N\sum_{l=1}^N z_k\bar z_l f(t_k-t_l)\ge0
$$
egyenl\H{o}tlens\'eg, ahol $\bar z$ a $z$ komplex sz\'am
konjug\'altj\'at jel\"oli.

Hasonl\'oan ha $a(n)$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, az eg\'esz
sz\'amokkal indexezett sz\'am\-so\-ro\-zat, akkor ezt a sorozatot
akkor \'es csak akkor nevezz\"uk pozit\'{\i}v definitnek, ha minden
$a_1,\dots,a_N$ eg\'esz \'es  $z_1,\dots,z_N$ komplex sz\'amokb\'ol
\'all\'o sz\'am $n$-esre teljes\"ul a
$$
\sum_{k=1}^N\sum_{l=1}^N z_k\bar z_l a(n_k-n_l)\ge0
$$
egyenl\H{o}tlens\'eg.}

\medskip\noindent
{\it Feladat:}\/ Mutassuk meg, hogy az $f_t(x)=e^{itx}$, $t$ val\'os
sz\'am, f\"uggv\'eny pozit\'{\i}v definit f\"uggv\'eny minden
(val\'os) $x$ param\'eterre, $a_k(n)=e^{ikn}$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$,
pozit\'{\i}v definit sorozat minden eg\'esz $k$ sz\'amra.
\medskip
A Bochner t\'etel a pozit\'{\i}v definit sorozatok \'es
f\"uggv\'enyek jellemz\'es\'et
adja. Sz\'a\-munk\-ra a k\"ovetkez\H{o} egyszer\H{u} (a Bochner
t\'etel jegyzetben szint\'en t\'argyalt) lemma miatt
\'erdekes ez az eredm\'eny.

\medskip\noindent
{\bf 2.1.~Lemma.} {\it Ha $X(t)$, $-\infty<t<\infty$, stacion\'arius
sztochasztikus folyamat, akkor az $R(t)=EX(s)X(t+s)$ kovariancia
f\"uggv\'eny pozit\'{\i}v definit f\"uggv\'eny, amelyre $R(t)=R(-t)$.
Ha $X_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, stacion\'arius sorozat, akkor
$R(n)=EX_mX_{n+m}$ pozit\'{\i}v definit sorozat, amelyre $R(n)=R(-n)$.

Megford\'{\i}tva, ha $R(n)$ pozit\'{\i}v definit sorozat, amelyre
$R(n)=R(-n)$, akkor l\'etezik val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
olyan $X_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, stacion\'arius sztochasztikus
so\-ro\-za\-ta, amelynek ez az $R(n)$ sorozat az $R(n)=EX_kX_{k+n}$
kovarianciaf\"uggv\'enye. S\H{o}t, l\'etezik az adott
kovarianciaf\"uggv\'ennyel rendelkez\H{o} Gauss sorozat nulla
v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'okkal. Ez ut\'obbi esetben a sorozat v\'eges dimenzi\'os
eloszl\'asait egy\-\'er\-tel\-m\H{u}\-en meg\-ha\-t\'a\-roz\-za a
kovarianciaf\"uggv\'eny.}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.}\/ Az \'altal\'anoss\'ag
megszor\'{\i}t\'asa n\'elk\"ul feltehetj\"uk, hogy $EX(t)=0$,
R\"og\-z\'{\i}t\-s\"unk valamely $t_1,\dots,t_N$ val\'os \'es
$z_1,\dots,z_N$ komplex sz\'amokb\'ol
\'all\'o sz\'am $n$-es p\'art \'es tekints\"uk a
$\summ_{k=1}^N\summ_{l=1}^N z_k\bar z_l R(t_k-t_l)$
kifejez\'est. Vegy\"uk \'eszre, hogy
$\summ_{k=1}^N\summ_{l=1}^N z_k\bar z_l R(t_k-t_l)=
\summ_{k=1}^N\summ_{l=1}^N z_k\bar z_l EX(t_k)X(t_l)=
E\(\summ_{k=1}^N z_kX(t_k)\)\(\overline{\summ_{k=1}^N z_kX(t_k)}\)\ge0$.
M\'asr\'eszt $R(-t)=EX(s+t)X(s)=R(t)$.

Hasonl\'oan, r\"ogz\'{\i}tve valamely $n_1,\dots,n_N$ eg\'esz
\'es $z_1,\dots,z_N$ komplex sz\'amokb\'ol \'all\'o sz\'am $n$-es
p\'art. Ekkor fel\'{\i}rhatjuk, hogy
$\summ_{k=1}^N\summ_{l=1}^N z_k\bar z_l R(n_k-n_l)=
\summ_{k=1}^N\summ_{l=1}^N z_k\bar z_l EX_{n_k}X_{n_l}=
E\(\summ_{k=1}^N z_kX_{n_k}\)\(\overline{\summ_{k=1}^N
z_kX_{n_k}}\)\ge0$, \'es $R(n)=R(-n)$.

A lemma utols\'o \'all\'{\i}t\'as\'anak bizony\'{\i}t\'as\'ahoz
azt kell meggondolnunk, hogy ahhoz, hogy az adott $R(n)$
kovarianciaf\"uggv\'enyhez l\'etezzen norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak olyan sorozata,
amelynek $(X(k_1),\dots,X_(k_p))$ v\'eges dimenzi\'os
eloszl\'asainak a kovarianciam\'atrix\'at az
$D(j,l)=\Cov(X(k_j),X(k_l))=R(k_j-k_l)$, $1\le j\le p$,
kovarianciam\'atrix adja meg az kell, hogy ez a
kovarianciam\'atrix a $k_1,\dots,k_l$ eg\'esz sz\'amok tetsz\H{o}leges
v\'alaszt\'asa eset\'en pozit\'{\i}v definit legyen.
Viszont ezt a felt\'etelt az biztos\'{\i}tja, hogy az $R(n)$ sorozat
pozit\'{\i}v definit. Ezenk\'{\i}v\"ul eml\'ekezz\"unk arra, hogy
egy norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor eloszl\'as\'at annak
v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es kovariancia m\'atrixa meghat\'arozza.

\medskip\noindent
{\bf Bochner t\'etel.} {\it Legyen $f(x)$, $-\infty<x<\infty$,
folytonos, pozit\'{\i}v definit f\"uggv\'eny. Ekkor l\'etezik olyan
v\'eges $\mu(\cdot)$ m\'ert\'ek a sz\'amegyenesen, amelyre
$$
f(x)=\int_{-\infty}^\infty e^{itx}\mu(\,dt),\quad -\infty<x<\infty.
\tag2.1
$$
A (2.1) k\'epletben szerepl\H{o} $\mu$ m\'ert\'eket az $f(x)$
f\"uggv\'eny egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozza.

Legyen $a(n)$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, pozit\'{\i}v definit sorozat
az eg\'esz sz\'amokon. Ekkor l\'etezik olyan v\'eges m\'ert\'ek a
$[-\pi,\pi)$ szakaszon, amelyre
$$
a(n)=\int_{-\pi}^{\pi} e^{itn}\mu(\,dt),\quad n=\dots,-1,0,1,\dots
$$
A $\mu$ m\'ert\'eket az $a(n)$ sorozat egy\'ertelm\H{u}en
meghat\'arozza.}

\medskip\noindent
{\bf K\"ovetkezm\'eny.} {\it Legyen $X_n$, $EX_n=0$,
$n=\dots,-1,0,1,\dots$, stacion\'arius sorozat $R(n)=EX_kX_{k+n}$
kovarianciaf\"uggv\'ennyel. Akkor l\'etezik olyan egy\'ertelm\H{u}en
meg\-ha\-t\'a\-ro\-zott $G(\,dx)$ m\'ert\'ek a $-\pi\le x\le \pi$
intervallumon, amelyre
$$
R(n)=\int_{-\pi}^\pi e^{int}G(\,dt),\quad n=\dots,-1,0,1,\dots \tag2.2
$$
Speci\'alisan
$$
EX_n^2=R(0)=\int _{-\pi}^\pi G(\,dt)=G([-\pi,\pi]).
$$
A $G$ m\'ert\'ek teljes\'{\i}ti a $G(A)=G(-A)$ tulajdons\'agot
is minden m\'erhet\H{o} $A$ halmazra.}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.}\/ Mivel az $R(n)$ sorozat pozit\'{\i}v
definit a Bochner t\'etelb\H{o}l k\"ovetkezik az (2.2) formula.
Tov\'abb\'a, mivel $R(n)=R(-n)$, \'es az $R(n)$ sorozat
egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozza a $G(\,dt)$ m\'ert\'eket, innen
k\"ovetkezik, hogy $G(A)=G(-A)$.
\medskip\noindent
{\it 1. megjegyz\'es.} Az (2.2) formul\'aban szerepl\H{o} $G$
m\'ert\'eket az $R(n)$ kovarianciaf\"uggv\'eny
spek\-tr\'al m\'er\-t\'e\-k\'e\-nek nevezik az irodalomban. Ha
a $G$ m\'ert\'ek abszol\'ut folytonos a (Lebesgue m\'ert\'ekre
n\'ezve), akkor ennek $g(x)=\frac{dG}{dx}(x)$ deriv\'altj\'at a
kovarianciaf\"uggv\'eny spek\-tr\'al\-s\H{u}\-r\H{u}\-s\'e\-g\'e\-nek
nevezik. Ha l\'etezik az $R(n)$ f\"uggv\'enynek $g(x)$
spek\-tr\'al s\H{u}\-r\H{u}\-s\'ege, akkor az (2.2) formula
fel\'{\i}rhat\'o a k\"ovetkez\H{o} ekvivalens m\'odon is:
$$
R(n)=\int_{-\pi}^\pi e^{int}g(t)\,dt,\quad n=\dots,-1,0,1,\dots
\tag$2.2'$
$$

\medskip\noindent
{\it 2. megjegyz\'es.} Egy a $[-\pi,\pi]$ intervallumon defini\'alt
$G$ m\'ert\'eket, amelyre $G([-\pi,\pi])<\infty$, $G(A)=G(-A)$ minden
m\'erhet\H{o} f\"uggv\'enyre spektr\'al m\'ert\'eknek is neveznek. Az
elnevez\'es oka az, hogy l\'etezik olyan $X_n$,
$n=-\dots,-1,0,1,\dots$, Gauss eloszl\'as\'u stacion\'arius sorozat,
amelynek ez a $G$ m\'ert\'ek a spektr\'al m\'ert\'eke. Azt
is feltehetj\"uk, hogy e sorozat elemei teljes\'{\i}tik az $EX_n=0$
felt\'etelt. Val\'oban, ha az $EX_kX_{k+n}=R(n)$ f\"uggv\'eny
seg\'{\i}ts\'eg\'evel meg tudjuk adni a keresett Gauss sorozat v\'eges
dimenzi\'os eloszl\'asainak kovariancia m\'atrix\'at, \'{\i}gy
magukat a v\'eges dimenzi\'os eloszl\'asokat is.

A spektr\'al m\'ert\'ek bevezet\'ese az\'ert hasznos, mert ilyen
m\'odon a Fourier anal\'{\i}zis m\'odszereit tudjuk alkalmazni. Egy
stacion\'arius sorozat kovarianciaf\"uggv\'enye el\H{o}\'all, mint a
spektr\'al m\'ert\'ek Fourier transzform\'altja. A
kovarianciaf\"uggv\'eny vagy a spektr\'al m\'ert\'ek megad\'asa
ekvivalens. Sok vizsg\'alatban hasznosabb a
spek\-tr\'al m\'ert\'ekkel dol\-goz\-ni.

Legyen adva egy stacion\'arius Gauss folyamat valamely $G$
spektr\'al m\'ert\'ekkel. Le\-het\-s\'e\-ges, \'es \'erdemes
konstru\'alni olyan \'ugynevezett v\'eletlen (norm\'alis) 
spektr\'al m\'er\-t\'e\-ket, amelynek seg\'{\i}ts\'eg\'evel mag\'at
a sztochasztikus folyamatot is el\H{o} tudjuk \'all\'{\i}tani ezen
v\'eletlen spektr\'al m\'ert\'eknek a Fourier transzform\'altjak\'ent.
Ezt az eredm\'enyt, illetve a bizony\'{\i}t\'asban sz\"uks\'eges
gondolatmenetet r\"oviden ismertetem. R\'eszletesebb t\'argyal\'as
tal\'alhat\'o err\H{o}l \'es a v\'eletlen spektr\'al m\'ert\'ek
szerinti integr\'alr\'ol a Bochner t\'etel jegy\-zet\-ben. 
El\H{o}sz\"or be\-ve\-ze\-tem a k\"ovetkez\H{o} definici\'ot.

\medskip\noindent
{\bf V\'eletlen (norm\'alis) spektr\'al m\'ert\'ek definici\'oja.}
{\it Legyen adva egy $G$ spektr\'al m\'ert\'ek a $[-\pi,\pi]$
intervallumon. Azt mondjuk, hogy egy v\'eletlen $Z_G$ m\'ert\'ek
a $G$ spekt\-r\'al m\'er\-t\'ek\-nek megfelel\H{o}
v\'eletlen (norm\'alis) spektr\'al m\'ert\'ek, ha teljes\'{\i}ti a
k\"ovetkez\H{o} tu\-laj\-don\-s\'a\-go\-kat.

\medskip
\item{(i.)} Minden m\'erhet\H{o} $A\subset [-\pi,\pi]$ halmazra
l\'etezik egy komplex \'ert\'ek\H{u}
$$
Z_G(A)=\Re Z_G(A)+i\Im Z_G(A)
$$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o,  amelyet az $A$ halmaz
v\'eletlen m\'ert\'ek\'enek ne\-ve\-z\"unk.
\item{(ii.)} A $\Re Z_G(A)$, $\Im Z_G(A)$, $A\subset [-\pi,\pi]$
m\'erhet\H{o} halmaz, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
egy\"ut\-te\-sen Gauss eloszl\'as\'uak, azaz b\'armely v\'eges
sok val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak ezek k\"oz\"ul az
egy\"uttes eloszl\'asa t\"obbdimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as.
\item{(iii.)} $EZ_G(A)=0$ minden $A\subset [-\pi,\pi]$ m\'erhet\H{o}
halmazra.
\item{(iv.)} $EZ_G(A)\overline{Z_G(B)}=G(A\cap B)$, ahol $\bar z$ a
$z$ sz\'am konjug\'altj\'at jel\"oli.
\item{(v.)} $\summ_{j=1}^n Z_G(A)=Z_G\(\bigcupp_{j=1}^n A_j\)$, ha
$A_1,\dots,A_n$ diszjunkt halmazok.
\item{(vi.)} $Z_G(-A)=\overline{Z_G(A)}$.
}

\medskip\noindent
{\it \'Eszrev\'etel.} A $\Re Z_G(A)$ \'es $\Im Z_G(B)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek. Val\'oban,
ehhez el\'eg megmutatni a norm\'alis eloszl\'as
miatt, hogy korrel\'alatlanok. Viszont
$$
\align
&E\Re Z_G(A)\Im Z_G(B)=\frac14E\[(Z_G(A)+\overline{Z_G(A)})
(Z_G(B)-\overline{Z_G(B)})\]\\
&\qquad=\frac14E\[(Z_G(A)+{Z_G(-A)})
(\overline{Z_G(-B)}-\overline{Z_G(B)})\]\\
&\qquad=\frac14\(G(A\cap (-B))-G(A\cap B)
+G((-A)\cap (-B))-G((-A)\cap B)\)=0.
\endalign
$$

\medskip\noindent
{\it Feladat:} Ha $(A_1)\cup (-A_1)$, \dots, $A_n\cup(- A_n)$
diszjunktak, akkor $Z_G(A_1)$, \dots $Z_G(A_n)$ f\"uggetlenek. Ha
$A\cap (-A)=\emptyset$, akkor $\Var\(\Re Z_G(A)\)=\Var\(\Im Z_G(A)\)
=\frac {G(A)}2$. Tov\'abb\'a, $\Re Z_G(A)=\Re Z_G(-A)$,
$\Im Z_G(A)=-\Im Z_G(-A)$.
\hfill\break
{\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ Az els\H{o} \'all\'{\i}t\'as
bizony\'{\i}t\'as\'ahoz azt kell megmutatni, hogy
$$E \Re Z_G(A_j)\Re
Z_G(A_k)=0, \quad\text{\'es}\quad E \Im Z_G(A_j)\Im Z_G(A_k))=0,
$$
ha $(A_j\cup (-A_j))\cap (A_k\cup(-A_k))=\emptyset$. Viszont
$$
\align
E\Re Z_G(A_j)\Re Z_G(A_k)&=\frac14E(Z_G(A_j)+\overline{Z_G(A_j)})
(Z_G(A_k)+\overline{Z_G(A_k)})\\
&=\frac14\bigl(EZ_G(A_j)\overline{Z_G(-A_k)}+
EZ_G(A_j)\overline{Z_G(A_k)}\\
&\qquad+EZ_G(-A_j)\overline{Z_G(-A_k)}+
EZ_G(-A_j)\overline{Z_G(A_k)}\bigr)=0
\endalign
$$
az adott felt\'etelek mellett, \'es
az $E \Im Z_G(A_j)\Im Z_G(A_k))=0$ rel\'aci\'o hasonl\'oan
bizony\'{\i}that\'o.

Ha $A\cap (-A)=\emptyset$, akkor
$E(\Re(Z_G(A))^2=\frac14E(Z_G(A)+\overline{Z_G(-A)})^2=\frac{G(A)}2$.
Hasonl\'oan $E(\Re(Z_G(-A))^2=\frac{G(A)}2$. Mivel
$Z_G(-A)=\overline{Z_G(A)}$ az (vi) rel\'aci\'o szerint, innen
k\"ovetkezik a Feladat m\'eg nem t\'argyalt \'all\'{\i}t\'asa.

\medskip
A fent megadott definici\'o b\'ar technikainak l\'atszik
term\'eszetes. Ha egy $Z_G$  v\'eletlen m\'ert\'ek teljes\'{\i}ti a
fenti tulajdons\'agokat, akkor defini\'alhatjuk az $\int f(t)Z_G(\,dt)$
m\'ert\'eket a k\"ovetkez\H{o} m\'odon. El\H{o}sz\"or defini\'aljuk
ezt az integr\'alt term\'eszetes m\'odon
$f(t)=\summ_{j=1}^n c_j I_{A_j}(t)$ alak\'u elemi f\"uggv\'enyekre,
ahol $A_1,\dots,A_n$ m\'erhet\H{o} diszjunkt r\'eszhalmazai a
$[-\pi,\pi]$ intervallumnak, \'es $I_A(\cdot)$ az $A$ halmaz
indik\'atorf\"uggv\'enye. A definici\'ot az
$$
\int\(\summ_{j=1}^n c_j I_{A_j}(t)\)Z_G(\,dt)=
\summ_{j=1}^n c_j Z_G(A_j)
$$
k\'eplettel adjuk meg. Nem neh\'ez bel\'atni, hogy teljes\"ul az
$$
E\(\int f(t)Z_G(\,dt)\overline{\int h(t)Z_G(\,dt)}\)
=\int f(t)\overline{h(t)}G(\,dt) \tag2.3
$$
elemi f\"uggv\'enyek minden $(f(t), h(t))$ p\'arj\'ara. Val\'oban,
legyen $f(t)=\summ_{j=1}^M c_j I_{A_j}(t)$,
$h(t)=\summ_{k=1}^N d_k I_{B_k}(t)$,  ahol
$A_1,\dots,A_M$ \'es $B_1,\dots,B_N$ a $[-\pi,\pi)$ intervallum
partici\'oi, $c_j$, $j=1,\dots,M$, $d_k$, $k=1,\dots,N$, komplex
sz\'amok. Ekkor
$$
\align
&E\(\int f(t)Z_G(\,dt)\overline{\int h(t)Z_G(\,dt)}\)
=E\(\summ_{j=1}^M c_j Z_G(A_j)\)
\(\overline{\summ_{k=1}^N d_k Z_G(B_k)}\)\\
&=\sum_{j=1}^M\sum_{k=1}^Nc_j\bar d_k EZ_G(A_j)\overline{Z_G(B_k)}
=\sum_{j=1}^M\sum_{k=1}^Nc_j\bar d_k G(A_j\cap B_k)
=\int f(t)\overline{h(t)}G(\,dt).
\endalign
$$
A l\'epcs\H{o}s f\"uggv\'enyekre m\'ar igazolt (2.3) tulajdons\'agot
felhaszn\'alva az $\int f(t)Z_G(\,dt)$ integr\'alt az $L_2$ 
izomorfia se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel ki tudjuk terjeszteni
minden olyan $f$ f\"uggv\'enyre, amelyre $\int
|f(t)|^2G(\,dt)<\infty$ \'ugy, hogy a (2.3) rel\'aci\'o tov\'abbra is
\'erv\'enyben maradjon. Ez a kiterjeszt\'es egy\'ertelm\H{u}.
Vegy\"uk \'eszre, hogy igaz a k\"ovetkez\H{o}

\medskip\noindent
{\it \'Eszrev\'etel.} Ha $f(t)$ olyan $f\in L_2([-\pi,\pi),\Cal B,G)$
f\"uggv\'eny, amelyre $f(-t)=\overline{f(t)}$,
akkor az $\int f(t)Z_G(\,dt)$ v\'eletlen
integr\'al 1 va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel  val\'os
\'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.

\medskip
Val\'oban, a fenti \'eszrev\'etel igaz l\'epcs\H{o}s f\"uggv\'enyekre,
\'es alkalmas hat\'ar\'atmenettel megkapjuk az \'all\'{\i}t\'ast
tetsz\H{o}leges adott tulajdons\'ag\'u $f$ f\"uggv\'enyre.

\'Erdemes megjegyezni, hogy az $f(-t)=\overline f(t)$ azonoss\'ag
jellemzi a val\'os \'ert\'ek\H{u} f\"uggv\'enyek, illetve val\'os
\'ert\'ek\H{u} el\H{o}jeles m\'ert\'ekek Fourier
transzform\'altj\'at. Defini\'aljuk az
$$
X_n=\int e^{int}Z_G(\,dt),\quad n=\dots,-1,0,1,\dots, \tag2.4
$$
integr\'alokat. Az $X_n$  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
val\'os \'ert\'ek\H{u}ek, \'es a (2.3) rel\'aci\'o alapj\'an
$EX_kX_{k+n}=EX_{n+k}\overline{X_{k}}=\int
e^{int}G(\,dt)$. Ez azt jelenti, hogy az $e^{int}$ f\"uggv\'enyeknek
$n=\dots,-1,0,1,\dots$, a $Z_G$ v\'eletlen spektr\'al m\'ert\'ek
szerinti integr\'alj\'anak a seg\'{\i}ts\'eg\'evel el\H{o}
tudtunk \'all\'{\i}tani egy olyan stacion\'arius Gauss sorozatot,
amelynek spektr\'al m\'ert\'eke a $G$ m\'ert\'ek. N\'emi
plusz munk\'aval be lehet l\'atni, hogy egy adott $G$
spektr\'al m\'ert\'ek\H{u} stacion\'arius Gauss sorozathoz lehet
konstru\'alni olyan v\'eletlen spektr\'al m\'ert\'eket, amely
mag\'at az eredeti sorozatot \'all\'{\i}tja el\H{o}. Ezt fogalmazom
meg az al\'abbi eredm\'enyben.

\medskip\noindent
{\bf 2.2.~T\'etel.} {\it Legyen $X_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, norm\'alis
eloszl\'as\'u stacion\'arius Gauss sorozat nulla v\'arhat\'o
\'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okkal valamely
$G$ spektr\'al m\'ert\'ekkel. Ekkor lehet konstru\'alni
a $G$ spektr\'al m\'ert\'eknek megfelel\H{o} norm\'alis
v\'eletlen $Z_G$ spektr\'al m\'ert\'eket \'ugy, hogy az e v\'eletlen
m\'ert\'ek szerinti integr\'al teljes\'{\i}ti a (2.4) k\'epletet, azaz
a (2.4) k\'eplet jobb oldala egyenl\H{o} a kiindul\'ask\'ent megadott
$X_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, sorozat megfelel\H{o} tagj\'aval.}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.}  E t\'etel (r\'eszletesebb) bizony\'{\i}t\'asa 
megtal\'alhat\'o a Bochner t\'etel jegyzetben.

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.} Tekints\"uk a $H$ teret, azaz az
$X_n$, $n=0,\pm1,\pm2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
n\'egyzetesen integr\'alhat\'o line\'aris kombin\'aci\'oib\'ol
\'all\'o Hilbert teret, \'es  de\-fi\-ni\-\'al\-juk a $H$ t\'er $J$
lek\'epez\'es\'et az $L_2([-\pi,\pi),\Cal B,G(\,dt))$ t\'erre,
(ahol $\Cal B$ jel\"oli a Borel $\sigma$-algebr\'at a $[-\pi,\pi)$
intervallum r\'eszhalmazain) a k\"ovetkez\H{o} m\'odon: Legyen
$J\(\summ_{j=-N}^Nc_je^{ijt}\)=\summ_{j=-N}^Nc_jX_j$
minden v\'eges line\'aris kombin\'aci\'ora. Nem neh\'ez bel\'atni,
hogy $J$ normatart\'o lek\'epez\'es. Ez\'ert a fenti $J$
lek\'epez\'est ki tudjuk terjeszteni a v\'eges line\'aris
kombin\'aci\'okr\'ol azok lez\'artj\'ara is. Ez a $J$
lek\'epez\'es az $L_2([-\pi,\pi),\Cal B,G(\,dt))$ \'es a $H$ t\'er
k\"oz\"ott $L_2$ izomorfi\'at l\'etes\'{\i}t. (Azt kell tudnunk,
hogy a v\'eges $\summ_{j=-N}^Nc_je^{ijt}$ line\'aris kombin\'aci\'ok
az $L_2([-\pi,\pi),\Cal B,G(\,dt))$ t\'er minden\"utt s\H{u}r\H{u}
r\'eszhalmaz\'at alkotj\'ak.)

Defini\'aljuk a $Z_G(A)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot a
$Z_G(A)=J(I_A(t))$ k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel, ahol $I_A(t)$
az $A$ halmaz indik\'ator f\"uggv\'eny\'et jel\"oli. A $Z_G(\cdot)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok teljes\'{\i}tik az (i.)--(vi.)
tulajdons\'agokat. Az (i), (ii), (iii) \'es (v) tulajdons\'agok
teljes\"ul\'ese ny\'{\i}lv\'anval\'o, a (iv) rel\'aci\'o
k\"ovetkezik az $L_2$ izomorfi\'ab\'ol, a (vi) tulajdons\'ag pedig
a $J(-f)=\overline{J(f)}$ rel\'aci\'ob\'ol. Tov\'abb\'a
a $J$ transzform\'aci\'o $L_2$ izomorfi\'aja \'es a (2.3) rel\'aci\'o
alapj\'an $J(f)=\int f(t)Z_G(\,dt)$ minden $f\in L_2([-\pi,\pi),
\Cal B,G)$ f\"uggv\'enyre. Teh\'at speci\'alisan
$X_n=J(e^{int})=\int e^{int}Z_G(\,dt)$.

\medskip
Sz\"uks\'eg\"unk lesz k\'es\H{o}bbi sz\'amol\'asainkban egy
technikai jelleg\H{u} lemm\'ara, amely te\-kint\-he\-t\H{o} 
\'ugy is, mint v\'eletlen spektr\'al m\'ert\'ekek szerinti 
integr\'alok helyettes\'{\i}t\'esi sza\-b\'a\-lya.

\medskip\noindent
{\bf2.3.~Lemma. Lemma v\'eletlen spektr\'al m\'ert\'ek szerinti 
in\-teg\-r\'a\-lok he\-lyet\-te\-s\'{\i}\-t\'e\-si 
sza\-b\'a\-ly\'a\-r\'ol.} {\it Legyen adva egy $G$ spektr\'al 
m\'ert\'ek, egy a $G$ spektr\'al  m\'ert\'eknek megfelel\H{o} 
$Z_G$ v\'eletlen m\'ert\'ek a  $[-\pi,\pi)$ intervallumon, 
valamint egy olyan $u(t)$ f\"uggv\'eny, amelyre 
$u(-t)=\overline{u(t)}$, \'es $\int |u^2(t)|G(\,dt)<\infty$. 
Ekkor a $Z_{G,u}$, 
$$
Z_{G,u}(A)=\int u(t)I_A(t)Z_G(\,dt), \quad A\in \Cal B,
$$ 
kifejez\'es, ahol $\Cal B$ a Borel $\sigma$-algebra a 
$[-\pi,\pi)$ intervallumon, \'es $I_A(\cdot)$ az $A$ halmaz 
indik\'ator f\"uggv\'enye annak a $G_u$, spektr\'al 
m\'ert\'eknek megfelel\H{o} v\'eletlen spektr\'al m\'er\-t\'ek, 
amelyet a $G_u(A)=\int_A |u^2(t)|G(\,dt)$ k\'eplet hat\'aroz 
meg minden $A\in\Cal B$, $A\in [-\pi,\pi)$, halmazra. Tov\'abb\'a 
$$
\int f(t) Z_{G,u}(\,dt)=\int f(t)u(t)Z_{G}(\,dt) \tag2.5
$$
minden a $G_u$ spektr\'al m\'ert\'ek szerint n\'egyzetesen
integr\'alhat\'o $f$ f\"uggv\'enyre.}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.}\/ Nem neh\'ez bel\'atni a (2.3) 
tulajdons\'ag seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy a Lemm\'aban a
$G_u(A)=\int_A |u^2(t)|G(\,dt)$ k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel
defini\'alt $G_u$ m\'ert\'ek spektr\'al m\'ert\'ek, azaz 
$G_u(A)=G_u(-A)$ minden m\'erhet\H{o} $A$ halmazra, 
$G_u([-\pi,\pi])<\infty$, \'es a $Z_{G,u}$ v\'eletlen m\'ert\'ek 
a $G_u$ spektr\'al m\'ert\'eknek megfelel\H{o}, az (i)--(vi) 
tulajdons\'agok mindegyik\'et teljes\'{\i}t\H{o} v\'eletlen 
spektr\'al m\'ert\'ek.

Tekints\"uk az $J_1(f)=\int f(t) Z_{G,u}(\,dt)$ \'es
$J_2(f)=\int f(t) u(t) Z_{G}(\,dt)$ v\'eletlen integr\'alokat
minden olyan $f$ f\"uggv\'enyre, amelyre $\int |f^2(t)|G_u(\,dt)
<\infty$. (Ilyen f\"ugg\-v\'e\-nyek\-re $\int |f(t)u(t)|^2 G(\,dt)=
\int |f^2(t)|G_u(\,dt)<\infty$, ez\'ert mind a 
k\'et tekintett integr\'al l\'e\-te\-zik.) Vegy\"uk \'eszre, hogy 
minden $A\in \Cal B$ halmazra $J_1(I_A(t))=J_2(I_A(t))=Z_{G,u}(A)$, 
tov\'abb\'a tet\-sz\H{o}\-le\-ges $f_1$ \'es $f_2$ a $G_u$ m\'ert\'ek 
szerint n\'egyzetesen integr\'alhat\'o f\"uggv\'enyp\'arra 
$EJ_1(f_1)\overline{J_1(f_2)}=EJ_2(f_1)
\overline{J_2(f_2)}=\int f_1(t)\overline{f_2(t)}G_u(\,dt)$.
Mind $J_1$ mind $J_2$ korl\'atos line\'aris lek\'epez\'ese a
$G_u$ m\'ert\'ek szerint n\'egyzetesen integr\'alhat\'o
f\"uggv\'enyek ter\'enek a m\'asodik momentummal rendelkez\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok Hilbert ter\'ebe, \'es 
az $I_A(t)$ alak\'u f\"uggv\'enyek line\'aris kombin\'aci\'oi 
e lek\'epez\'esek \'ertelmez\'esi tartom\'any\'anak minden\"utt 
s\H{u}r\H{u} r\'esz\-hal\-ma\-z\'at alkotj\'ak. Innen 
k\"ovetkezik a Lemma \'all\'{\i}t\'asa.


\beginsection 3. A feladat \'atfogalmaz\'asa komplex f\"uggv\'enytan
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.

A stacion\'arius sorozatok spektr\'al reprezent\'aci\'oja
lehet\H{o}v\'e teszi, hogy a komplex f\"ugg\-v\'eny\-tan n\'eh\'any
m\'ely eredm\'enyeinek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel megoldjuk a
predikci\'os prob\-l\'e\-m\'at. Vegy\"uk \'eszre, hogy e feladat
megold\'as\'ahoz elegend\H{o} a Wold felbont\'ast effekt\'{\i}v
le\'{\i}r\'asa, azaz el\'eg explicit m\'odon megadni az (1.3)
k\'epletben szerepl\H{o} $c_k$ konstansokat \'es $V_k$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'okat. (L\'asd az
al\'abbi feldatatot.)

\medskip\noindent
{\it Feladat:}\/ Legyen megadva egy $X_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$,
(regul\'aris) stacion\'arius Gauss sorozat $X_n=\summ_{k=0}^\infty
c_kV_{n-k}$ Wold f\'ele felbont\'asa. Ekkor egy $X_m$, $m\ge1$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o optim\'alis becsl\'ese az
$X_n$, $n\le0$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, azaz $X_m$ ortogon\'alis vet\"ulete a
$B(X_n,\,n\ge0)$ alt\'erre egyenl\H{o} az
$\hat X_m=\summ_{k=m}^\infty c_kV_{m-k}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'oval, a becsl\'es sz\'or\'asn\'egyzete pedig
$\summ_{k=0}^{m-1}c_k^2$. \hfill\break
{\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ Vegy\"uk \'eszre, hogy a Wold felbont\'as
tulajdons\'agai alapj\'an $B(X_n,\,n\le0)=B(V_n,\,n\le0)$.

\medskip
Regul\'aris, stacion\'arius Gauss folyamatok 
el\H{o}\'all\'{\i}t\'as\'at keress\"uk,
$X_n=\summ_{k=0}^\infty d_kW_{n-k}$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$,
mozg\'o\'atlag alakban, \'es azt is szeretn\'enk meghat\'arozni, hogy
hogyan tudjuk jellemezni a regul\'aris, stacion\'arius sorozatokat
e sorozatok kovariancia f\"uggv\'eny\'enek vagy spektr\'al 
m\'ert\'ek\'enek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel. K\"ul\"on \'erdekel 
minket egy regul\'aris stacion\'arius sorozat Wold felbont\'asa. 
R\'eszletesebb jel\"ol\'esekkel a k\"ovetkez\H{o}
feladatot vizsg\'aljuk.

\medskip
Legyen  $X_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, egy stacion\'arius Gauss 
sorozat. C\'elunk az ilyen sorozatok el\H{o}\'all\'{\i}t\'asa 
$X_n=\summ_{k=0}^\infty d_kW_{n-k}$ alak\'u mozg\'o \'atlag 
form\'aban, --- felt\'eve, hogy ez lehets\'eges, --- ahol 
$W_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, f\"uggetlen standard norm\'alis 
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, a 
$d_k$ egy\"utthat\'ok pedig val\'os sz\'amok. E mozg\'o \'atlag
el\H{o}\'all\'{\i}t\'asok k\"oz\"ul k\"ul\"on\"osen a Wold
felbont\'as \'erdekel minket. Nem neh\'ez bel\'atni, hogy 
minden mozg\'o \'atlagk\'ent el\H{o}\'all\'{\i}that\'o 
stacion\'arius sorozat regul\'aris. M\'asr\'eszt, minden 
regul\'aris stacion\'arius sorozat el\H{o}\'all\'{\i}that\'o 
ilyen alakban. Ez az \'all\'{\i}t\'as k\"ovetkezik a kor\'abban
kimondott, de csak a kieg\'esz\'{\i}t\'esben bizony\'{\i}tott 
eredm\'enyb\H{o}l a Wold felbont\'as l\'etez\'es\'er\H{o}l.
Viszont egyel\H{o}re nincs jellemz\'es\"unk a regul\'aris
stacion\'arius folyamatokr\'ol. \'Igy egyik c\'elunk 
val\'oj\'aban az, hogy jellemezz\"uk a regul\'aris 
stacion\'arius folyamatokat. K\'es\H{o}bb fogunk ilyen 
jellemz\'est adni a stacion\'arius folyamatok spektr\'al
m\'ert\'eke seg\'{\i}ts\'eg\'evel.

A fenti feladat vizsg\'alat\'aban \'erdemes bevezetni az 
$L_2\([-\pi,\pi),\Cal B,\frac\lambda{2\pi}\)$ $L_2$-teret, 
ahol $\Cal B$ a Borel $\sigma$-algebra \'es $\lambda$ a 
Lebesgue m\'ert\'ek a $[-\pi,\pi)$ intervallumon. 
Defini\'aljuk e t\'ernek egy term\'eszetes, az $X_n$ 
stacion\'arius sorozat mozg\'o \'atlag felbont\'as\'at 
jellemz\H{o} izomorfi\'aj\'at a $B(X_n,\,-\infty<n<\infty)$ 
Hilbert t\'erbe. Ennek \'erdek\'eben vezess\"uk be az 
$e_k(t)=e^{ikt}$, $-\pi\le t<\pi$, $k=0,\pm1,\pm2,\dots$ 
f\"uggv\'enyeket az 
$L_2\([-\pi,\pi),\Cal B,\frac\lambda{2\pi}\)$ t\'eren, \'es 
e t\'er $J(e_k(t))=J(e^{ikt})=W_k$,
$$
J\(\summ_{k=-\infty}^\infty u_ke_k(t)\)=
\summ_{k=-\infty}^\infty u_kW_k,\quad \summ_{k=-\infty}^\infty
|u_k|^2<\infty,
$$
lek\'epez\'es\'et a $B(W_n,\,-\infty<n<\infty)$ Hilbert-t\'erbe,
ahol a $W_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'ok megegyeznek a vizsg\'alt $X_n$ stacion\'arius 
Gauss sorozatnak $X_n=\summ_{k=0}^\infty d_kW_{n-k}$ alak\'u 
el\H{o}\'all\'{\i}t\'as\'aban szerepl\H{o} $W_n$ f\"uggetlen, 
standard norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'al\-to\-z\'ok\-kal.
Nem neh\'ez bel\'atni, hogy ez a $J$ transzform\'aci\'o az
\hfill\break
$L_2\([-\pi,\pi),\Cal B,\frac{\lambda}{2\pi}\)$ $L_2$ t\'er \'es
a $B(W_n,\,-\infty<n<\infty)\supset B(X_n,\,-\infty<n<\infty)$
Hilbert t\'er egy izomorfi\'aja. (Vegy\"uk \'eszre, hogy az
$L_2\([-\pi,\pi),\Cal B,\frac{\lambda}{2\pi}\)$
$L_2$ t\'er elemei a $\summ_{k=-\infty}^\infty u_ke^{ikt}$,
$\summ_{k=-\infty}^\infty |u_k|^2<\infty$,  alak\'u f\"uggv\'enyek,
mert az $e_k(t)=e^{ikt}$, $k=0,\pm1,\pm2,\dots$, f\"uggv\'enyek
teljes ortonorm\'alt rendszert alkotnak az $L_2\([-\pi,\pi),\Cal
B,\frac\lambda{2\pi}\)$ $L_2$ t\'erben. M\'as\-r\'eszt a
$W_k$, $k=0,\pm1,\pm2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok ortonorm\'alt b\'azist alkotnak a
$B(W_n,\,-\infty<n<\infty)$ t\'erben. Ez\'ert e t\'er
elemei fel\'{\i}rhat\'oak egy\'ertelm\H{u} m\'odon
$\summ_{k=-\infty}^\infty u_kW_k$, $\summ_{k=-\infty}^\infty
|u_k|^2<\infty$  alakban.)

C\'elunk el\H{o}sz\"or az, hogy az $X_n=\summ_{k=0}^\infty
d_kW_{n-k}=J\(\summ_{k=0}^\infty d_ke_{n-k}(t)\)$ jellemz\'esben
meghat\'arozzuk a $d_k$ konstansokat. Ha ezt megadjuk, akkor 
k\'epesek lesz\"unk v\'eletlen integr\'alok seg\'{\i}ts\'eg\'evel 
mag\'at a mozg\'o \'atlagot is el\H{o}\'all\'{\i}tani. E 
vizsg\'alatok seg\'{\i}ts\'eg\'evel k\'epesek lesz\"unk a
lehets\'eges mozg\'o \'atlagok j\'o le\'{\i}r\'as\'ara,
speci\'alisan a Wold felbont\'as megad\'as\'ara.

Tekints\"uk egy $X_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, (regul\'aris)
stacion\'arius sorozat egy $X_n=\summ_{k=0}^\infty d_kW_{n-k}$
mozg\'o \'atlag el\H{o}\'all\'{\i}t\'as\'at, \'es vegy\"uk az
ezen mozg\'o\'atlag reprezent\'aci\'o 
se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel defini\'alhat\'o
$$
h(t)=\sum_{k=0}^\infty d_ke^{itk},\quad \sum_{k=0}^\infty
|d_k|^2<\infty, \quad -\pi\le t\le \pi, \tag a1
$$
f\"uggv\'enyt. Mivel a $d_k$ egy\"utthat\'ok val\'osak ez\'ert
teljes\"ul a
$$
h(-t)=\overline{h(t)}\quad\text{minden $-\pi\le t\le\pi$ sz\'amra}
\tag a2
$$
azonoss\'ag. Tov\'abb\'a vegy\"uk \'eszre, hogy a mozg\'o \'atlag
tulajdons\'ag \'es a Parseval azo\-nos\-s\'ag alapj\'an, bevezetve
a $d_k=0$, ha $k<0$ jel\"ol\'est az (a1) formul\'aban szerepl\H{o}
egy\"utthat\'ok kiterjeszt\'esek\'ent, az al\'abbi
azo\-nos\-s\'a\-got kapjuk: (Tekints\"uk csak az $n\ge0$ esetet.)
$$
\aligned
EX_jX_{n+j}&=EX_0X_n=E\(\sum_{k=0}^\infty d_kW_{n-k}\)
\(\overline{\sum_{k=0}^\infty d_kW_{-k}}\)\\
%=\sum_{k=-\infty}^\infty d_{n+j-k} \bar d_{j-k}\\
&=\sum_{k=0}^\infty d_{n+k} \bar d_{k}
=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{int}h(t)\bar h(t)\,dt
=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{int}|h(t)|^2\,dt
\endaligned \tag3.1
$$
minden $n\ge0$ eg\'esz sz\'amra. Az (a2) tulajdons\'ag alapj\'an
$|h^2(t)|=|h^2(-t)|$. Ezen t\'eny, a (3.1) formula valamint egy
stacion\'arius sorozat spektr\'al m\'ert\'ek\'enek
egy\'ertelm\H{u}s\'eg\'eb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy a mozg\'o
\'atlag form\'aban el\H{o}\'all\'{\i}tott stacion\'arius sorozatnak
l\'etezik spektr\'al s\H{u}r\H{u}s\'eg f\"uggv\'enye, \'es az
megadhat\'o $g(t)=\frac{|h^2(t)|}{2\pi}$, $-\pi\le t\le \pi$,
alakban. Teh\'at azt kaptuk, hogy az $X_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$,
stacion\'arius sorozatnak l\'etezik $g(t)=\frac{dG(t)}{dt}$
spektr\'al s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es
$$
\frac{|h^2(t)|}{2\pi}=g(t), \quad \text{ahol $g(t)$ az $X_n$,
$n=0\pm1,\dots$, sorozat spektr\'al s\H{u}r\H{u}s\'eg
f\"uggv\'enye.} \tag a3
$$
Az al\'abbi lemm\'aban \"osszefoglaljuk a fenti \'ervel\'es
seg\'{\i}ts\'eg\'evel kapott eredm\'enyeket.

\medskip\noindent
{\bf 3.1.~Lemma.} {\it L\'etezzen egy $X_n$ stacion\'arius sorozatnak
egy $X_n=\summ_{k=0}^\infty d_kW_{n-k}$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$,
alak\'u mozg\'o \'atlag reprezent\'aci\'oja, ahol $W_n$,
$n=0,1,2,\dots$, f\"uggetlen standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata, \'es a
$d_n$, $n=0,1,2\dots$ egy\"utthat\'ok val\'os sz\'amok. Ekkor
 az $X_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, stacion\'arius sorozatnak
l\'etezik $g(t)$, $-\pi\le t\le \pi$, spektr\'al s\H{u}r\H{u}s\'eg
f\"uggv\'enye, \'es l\'etezik egy komplex sz\'am \'ert\'ek\H{u} 
$h(t)$ f\"uggv\'eny, amely teljes\'{\i}ti az (a1), (a2) \'es (a3) 
tulajdons\'agokat ezzel a $g(t)$ f\"uggv\'ennyel.}

\medskip
A 3.1. Lemma sz\"uks\'eges felt\'etelt adott arra, hogy egy
stacion\'arius sorozat el\H{o}\-\'al\-l\'{\i}t\-ha\-t\'o legyen
mozg\'o \'atlag form\'aban valamely $d_n$, $n=0,1,2,\dots$,
egy\"utthat\'ok seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Be fogunk l\'atni egy
3.2.~Lemm\'at, amely azt \'all\'{\i}tja, hogy a fent megfogalmazott
felt\'etelek egyben el\'egs\'egesek is ahhoz, hogy egy
stacion\'arius sorozatot  el\H{o}\'all\'{\i}thassunk
adott tulajdons\'ag\'u mozg\'o \'atlag form\'aj\'aban, s\H{o}t
v\'eletlen spektr\'al m\'ert\'ekek szerinti integr\'alok
seg\'{\i}ts\'eg\'evel meg is ad egy ilyen rep\-re\-zen\-t\'a\-ci\'ot.

Hangs\'ulyozni szeretn\'em, hogy a $h(t)$ f\"uggv\'eny (a1)
el\H{o}\'all\'{\i}t\'as\'aban speci\'alis alak\'u Fourier sor
szerepel, olyan amelyik csak $k\ge0$ param\'eter\H{u} $e^{ikt}$
alak\'u trigonometrikus f\"uggv\'enyeket tartalmaz. Ez az a
tulajdons\'ag, amely miatt az (a1), (a2) \'es (a3) tulajdons\'agokat
teljes\'{\i}t\H{o} $h(t)$ f\"uggv\'enyek megkeres\'es\'eben a
komplex f\"uggv\'enytan m\'odszerei nagyon hasznosnak bizonyultak.
Eml\'ekeztetni szeretn\'ek tov\'abb\'a arra, hogy mint azt a Wold
felbont\'as l\'etez\'es\'et kimond\'o t\'etel ut\'an megfogalmazott
2.~feladatban megfogalmaztam, a Wold felbont\'asnak megvan
az az extremum tulajdons\'aga egy stacion\'arius sorozat mozg\'o
\'atlag el\H{o}\'all\'{\i}t\'asai k\"oz\"ott, hogy ennek a legnagyobb
a konstans egy\"utthat\'oja. Mint l\'atni fogjuk, ez a t\'eny
seg\'{\i}t a Wold felbont\'as megtal\'al\'as\'aban.

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.}\/ Nem neh\'ez bel\'atni a 3.1. Lemma olyan 
v\'altozat\'at, amely annak adja meg a sz\"uks\'eges (val\'oj\'aban 
sz\"uks\'eges \'es el\'egs\'eges) felt\'etel\'et, hogy egy 
$X_n$ stacion\'arius Gauss folyamat megadhat\'o
legyen $X_n=\summ_{k=-\infty}^\infty d_kW_{n-k}$, 
$\summ_{k=-\infty}^\infty d_k^2<\infty$, alakban. Ilyen 
reprezent\'aci\'o megadhat\'o, ha az $X_n$ stacion\'arius 
sorozatnak l\'etezik $g(t)$,  $-\pi\le t\le\pi$, spektr\'al 
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es az teljes\'{\i}ti az
(a2) \'es (a3) felt\'eteleket a
$h(t)=\summ_{k=-\infty}^\infty d_ke^{ikt}$ f\"uggv\'ennyel. A 
l\'enyeges k\"ul\"onbs\'eg ezen \'all\'{\i}t\'as \'es a 3.1. Lemma
k\"oz\"ott az, hogy most nem tessz\"uk fel az (a1) felt\'etelt, 
\'es a $h(t)$ f\"uggv\'eny definici\'oj\'aban 
$\summ_{k=-\infty}^\infty$ \"osszegez\'est alkalmaztunk a 
$\summ_{k=0}^\infty$ \"osszegez\'es helyett. Az,  hogy az 
(a1) formul\'aban  $\summ_{k=0}^\infty$ \"osszegez\'est 
alkalmaztunk nagyon l\'enyeges. Egyr\'eszt ennek 
biztos\'{\i}t\'asa fogja okozni a f\H{o} neh\'ezs\'eget
k\'es\H{o}bbi vizs\-g\'a\-la\-ta\-ink\-ban, m\'asr\'eszt ez az 
oka annak, hogy komplex f\"uggv\'enytani m\'od\-sze\-re\-ket 
alkalmazhatunk. 

\medskip
Az al\'abbi 3.2. Lemm\'aban megfogalmazom azt az \'all\'{\i}t\'ast,
amely szerint egy stacion\'arius sorozat mozg\'o \'atlag
el\H{o}\'all\'{\i}t\'as\'anak a 3.1. Lemm\'abban megfogalmazott
sz\"uk\-s\'e\-ges felt\'etele egyben el\'egs\'eges felt\'etel is.

\medskip\noindent
{\bf 3.2.~Lemma.} {\it Legyen $X_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$,
stacion\'arius Gauss sorozat 0 v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okkal, amelynek van $g(t)$,
$-\pi\le t\le\pi$, spektr\'al s\H{u}r\H{u}s\'eg f\"uggv\'enye,
\'es l\'etezik az (a1), (a2) \'es (a3) tulajdons\'agokat
teljes\'{\i}t\H{o} $h(t)$ f\"uggv\'eny \'es $d_k$, $k=0,1,2,\dots$,
sz\'amsorozat. Jel\"olje $G(\cdot)$ a $g(t)$ spektr\'al 
s\H{u}r\H{u}s\'eg f\"uggv\'enyhez tartoz\'o spektr\'al 
m\'ert\'eket, \'es tekints\"uk az $X_n$ stacion\'arius sorozat
$X_n=\int e^{int}Z_G(\,dt)$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, alak\'u
el\H{o}\'all\'{\i}t\'as\'at alkalmas az $X_n$ sorozat $G$
spektr\'al m\'ert\'ek\'enek megfelel\H{o} $Z_G$ v\'eletlen
spektr\'al m\'ert\'ek szerinti integr\'al seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
(Tudjuk, hogy ilyen el\H{o}\'all\'{\i}t\'as lehets\'eges.)
Vegy\"uk az $u(t)=\frac1{\overline{h(t)}}$ f\"uggv\'enyt, \'es 
a v\'eletlen spektr\'al m\'ert\'ek sze\-rin\-ti integr\'alok
he\-lyet\-te\-s\'{\i}\-t\'e\-si sza\-b\'a\-ly\'a\-r\'ol 
sz\'ol\'o 2.3.~lemm\'aban defini\'alt $Z_{G,u}$ v\'eletlen 
spek\-tr\'al m\'ert\'eket, ahol $h(t)$ az (a1), (a2) \'es (a3) 
tulajdons\'agot teljes\'{\i}t\H{o} f\"uggv\'eny. Ekkor 
de\-fi\-ni\-\'al\-hat\-juk a
$$
W_n=\int e^{int}Z_{G,u}(\,dt)=
\int \frac{e^{int}}{\overline {h(t)}}Z_G(\,dt),\quad
n=\dots,-1,0,1,\dots, \quad u(t)=\frac1{\overline{h(t)}}  \tag3.2
$$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, \'es azok  
f\"uggetlenek \'es standard norm\'alis eloszl\'as\'uak. 
Ezen\-k\'{\i}\-v\"ul az $X_n$ sorozat el\H{o}\'all\'{\i}that\'o
$$
X_n=\sum_{k=0}^\infty d_kW_{n-k},\quad n=\dots,-1,0,1,\dots \tag3.3
$$
alakban, ahol $d_k$, $k=0,1,2,\dots$, az (a1) formul\'aban
szerepl\H{o} (val\'os) sz\'amok sorozata.}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/ Fel fogom haszn\'alni egy a 
3.3.~t\'etelben megfogalmazott fontos komplex f\"uggv\'enytani 
ered\-m\'eny\-nek azt a k\"ovetkezm\'eny\'et, amely szerint 
egy az (a1) tu\-laj\-don\-s\'a\-got teljes\'{\i}t\H{o} $h(t)$ 
f\"uggv\'eny a $[-\pi,\pi]$ intervallumon majdnem 
minden\"utt k\"ul\"onb\"ozik nul\-l\'a\-t\'ol. Ez\'ert v\'eve 
az $u(t)=\frac1{\overline{h(t)}}$ f\"uggv\'enyt, teljes\"ul a 
$G_u(A)=\int_A\frac1{|h^2(t)|}G(\,dt)=\frac1{2\pi}\lambda(A)$
azonoss\'ag minden $A\in\Cal B$, $A\subset [-\pi,\pi]$ halmazra 
az (a3) tulajdons\'ag alapj\'an. Ez\'ert l\'etezik a $G_u$
spektr\'al m\'ert\'ek, \'es $G_u=\frac1{2\pi}\lambda$, ahol 
$\lambda$ a Lebesgue m\'ert\'eket jel\"oli a $[-\pi,\pi]$ 
intervallumon. Innen, \'es a (2.5) k\'eplet alkalmaz\'as\'ab\'ol
$f(t)=e^{int}$ v\'alaszt\'assal k\"ovetkezik a (3.2) formula,
\'es az hogy az e formul\'aban defini\'alt (egy\"uttesen) 
norm\'alis eloszl\'as\'u, nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u}
$W_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok 1 sz\'or\'as\'uak, 
\'es kor\-re\-l\'a\-lat\-la\-nok. Ez\'ert a (3.2) k\'epletben 
val\'oban egy f\"uggetlen standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok\-b\'ol \'all\'o
sorozatot defini\'altunk.

Az (a2) tulajdons\'agb\'ol k\"ovetkezik, hogy a $d_k$ sz\'amok
val\'osak. (Vegy\"uk azt is \'eszre, hogy 
$\summ_{k=0}^\infty d_k^2<\infty$, mivel 
$\int|h^2(t)|\,dt=\int g(t)\,dt<\infty$.) A (3.2) 
k\'epletb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy
$$
\sum_{k=0}^\infty d_kW_{n-k}=\sum_{k=0}^\infty
d_k\int \frac{e^{i(n-k)t}}{\overline{h(t)}}Z_G(\,dt)
=\int\frac{e^{int}}{\overline{h(t)}}\(\sum_{k=0}^\infty d_k
e^{-ikt}\)Z_G(\,dt).
$$
(Az utols\'o formul\'aban alkalmazott v\'egtelen \"osszegz\'es is
jogos, ha az $(\Omega,\Cal A,P)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}n tekintett
$L_2$ norm\'aban vett konvergenci\'at tekintj\"uk.) Az utols\'o
azonoss\'agb\'ol, valamint az (a1) \'es (a2) k\'epletb\H{o}l kapjuk,
hogy
$$
\sum_{k=0}^\infty d_kW_{n-k}=\int e^{int}
\frac{h(-t)}{\overline{h(t)}}Z_G(\,dt)=\int e^{int}Z_G(\,dt)=X_n.
$$
Innen k\"ovetkezik a (3.3) formula. A Lemma bizony\'{\i}t\'as\'at
befejezt\"uk.

\medskip\noindent
{\it 1. megjegyz\'es.}\/ A (3.3) formul\'ab\'ol l\'atszik, hogy a
Lemm\'aban megkonstru\'alt moz\-g\'o\-\'at\-lag\-ban szerepl\H{o}
$W_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok teljes\'{\i}tik a
$W_n\in B(X_j,\, -\infty<j<\infty)$, $n=0,\pm1,\pm2,\dots$,
tulajdons\'agot. A Wold felbont\'ast az t\"unteti ki a t\"obbi
mozg\'o \'atlag reprezent\'aci\'o k\"oz\"ul, hogy a benne szerepl\H{o}
$V_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok m\'eg az er\H{o}sebb
$V_n\in B(X_j,\, -\infty<j\le n)$ tulajdons\'agot is teljes\'{\i}tik.

\medskip\noindent
{\it 2. megjegyz\'es.}\/ Az $X_n$ sorozat 3.2.~lemm\'aban megadott
mozg\'o\'atlag el\H{o}\'all\'{\i}t\'asban sze\-rep\-l\H{o} $W_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok definici\'oja nem
annyira ad hoc jelleg\H{u}, mint ahogy az els\H{o} pillanatban
gondoln\'ank. Val\'oban, \'{\i}rjuk fel a mozg\'o \'atlag alakban
el\H{o}\'all\'{\i}tani kiv\'ant stacion\'arius sorozat elemeit
$X_n=\int e^{int}Z_G(\,dt)$ $n=\dots,-1,0,1,\dots$ v\'eletlen
spektr\'al m\'ert\'ek szerinti integr\'al alakban, \'es keress\"uk
a $W_n$ f\"uggetlen standard norm\'alis val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat $W_n=\int e^{int} Z_0(\,dt)$ alakban, ahol
$Z_0$ alkalmas a $[-\pi,\pi]$ intervallumon tekintett
$\frac1{2\pi}\lambda$ spektr\'al m\'ert\'ekhez tartoz\'o v\'eletlen
spektr\'al m\'ert\'ek. Ekkor az $X_n=\summ_{k=0}^\infty d_kW_{n-k}$
azonoss\'ag fel\'{\i}rhat\'o $\int e^{int}Z_G(\,dt)=\int e^{int}
h(-t) Z_0(\,dt)$, $h(t)=\summ_{k=0}^\infty d_ke^{ikt}$ alakban
is. Ennek az azonoss\'agnak minden $n=0,\pm1,\pm2,\dots$ indexre
teljes\"ulnie kell. Be lehet l\'atni, hogy ezt csak
$Z_G(\,dt)=h(-t) Z_0(\,dt)=\overline{h(t)} Z_0(\,dt)$
v\'alaszt\'assal \'erhet\H{o} el. Ezt a v\'alaszt\'ast alkalmaztuk a
(3.3) formul\'aban.

\medskip
Az ismertetett eredm\'enyek alapj\'an a predikci\'os feladat
legfontosabbb r\'esze az (a1), (a2) \'es (a3) felt\'eteleket
teljes\'{\i}t\H{o} $h(t)$, $-\pi\le t\le\pi$ f\"uggv\'enyek
megtal\'al\'asa, illetve ezek k\"oz\"ul azok\'e a
f\"uggv\'enyek\'e, amelyekre a konstans tag $|d_0|$
abszol\'ut \'ert\'eke a maximumot veszi fel. Ez ut\'obbi feladat
megold\'asa a Wold felbont\'as megtal\'al\'asa \'erdek\'eben
sz\"uks\'eges. Tudjuk az eddigiek alapj\'an is, hogy ez a maximum
felv\'etetik, de nem tudjuk, hogy ez az el\H{o}\'{\i}r\'as
egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozza-e a $h(t)$ f\"uggv\'enyt.

A feladat megold\'asa \'erdek\'eben egy az (a1), (a2), (a3)
felt\'etelt teljes\'{\i}t\H{o} $h(t)=\summ_{k=0}^\infty d_ke^{ikt}$
f\"uggv\'enyhez t\'ars\'{\i}tsuk a $H(z)=\summ_{k=0}^\infty d^kz^k$
a $\{z\colon\;|z|<1\}$ egys\'egk\"or\"on analitikus f\"uggv\'enyt, 
\'es vezess\"uk be a $h(t)$ f\"uggv\'eny $\tilde h(\varphi)$
``felteker\'es\'et'' a $\{z=e^{i\varphi},-\pi\le \varphi<\pi\}$
k\"orvonalra a $\tilde h(e^{i\varphi})=h(\varphi)$ k\'eplettel.
Hasonl\'oan defini\'aljuk egy stacion\'arius sorozat $g(t)$
spektr\'al s\H{u}r\H{u}s\'eg\'enek (felt\'eve, hogy l\'etezik ez a
spektr\'al s\H{u}r\H{u}s\'eg) a $\tilde g(e^{i\varphi})=g(\varphi)$,
$-\pi\le \varphi<\pi$, ``felteker\'es\'et'' az egys\'egk\"orre. A
komplex f\"uggv\'enytan bizonyos eredm\'enyeib\H{o}l k\"ovetkezik,
hogy a $H(z)$, $|z|<1$, f\"uggv\'eny $\limm_{r\to1}H(re^{i\varphi })$
radi\'alis limesze majdnem minden $-\pi\le \varphi<\pi$ sz\'amra
l\'etezik, \'es egyenl\H{o} a $h(\varphi)=\tilde h(e^{i\varphi})$
f\"uggv\'ennyel. Ez azt jelenti, hogy el\'eg a $h(t)$ f\"uggv\'enyek
helyett a $H(z)$ f\"uggv\'enyeket megtal\'alni. Ez ut\'obbi
feladatot a komplex f\"uggv\'enytan m\'odszereivel egyszer\H{u}bb
megoldani.

Szeretn\'em hangs\'ulyozni, hogy a $H(z)$ f\"uggv\'eny radi\'alis
limesz\'enek l\'etez\'es\'er\H{o}l el\H{o}bb megfogalmazott
\'all\'{\i}t\'as nem ny\'{\i}lv\'anval\'o, hanem k\"ul\"on
indokl\'asra szorul. Az eredeti felt\'etelek csak azt
biztos\'{\i}tj\'ak, hogy a $H(z)$ f\"uggv\'eny az egys\'egk\"or
belsej\'eben analitikus. Az, hogy egy az egys\'egk\"or belsej\'eben
analitikus f\"uggv\'eny hogyan viselkedik az egys\'egk\"or
hat\'ar\'an a komplex f\"uggv\'enytan neh\'ez k\'erd\'eseihez tartozik.
Jelen eset\-ben az az \'eszrev\'etel k\"onny\'{\i}theti meg a probl\'ema
vizsg\'alat\'at, hogy az adott tulajdons\'aggal rendelkez\H{o}
analitikus f\"uggv\'enyek a $\Cal H_2$ Hardy oszt\'alyba tartoznak,
amelyr\H{o}l sokat lehet tudni. B\'ar sz\'amunkra csak a $\Cal H_2$
oszt\'aly jellemz\'ese lesz \'erdekes, megadom a $\Cal H_p$
oszt\'alyok definici\'oj\'at tetsz\H{o}leges $0<p\le\infty$
param\'eterre.

\medskip\noindent
{\bf Hardy f\"uggv\'enyoszt\'alyok definici\'oja.} {\it A 
$\Cal H_p$ f\"uggv\'enyoszt\'aly, $0<p\le \infty$, azok\-b\'ol 
a $\{z\colon |z|<1\}$ egys\'egk\"or\"on analitikus $H(z)$ 
f\"uggv\'enyekb\H{o}l \'all, amelyekre
$$
\|H_p\|^p\overset\text{def}\to =\sup_{r<1} \|H(re^{i\varphi})\|_p^p
=\sup_{r<1}\int_{-\pi}^\pi
|H(re^{i\varphi})|^p\,d\varphi<\infty, \quad\text{ha } 0<p<\infty,
$$
\'es
$$
\|H_\infty\|\overset\text{def}\to=\sup_{r<1} \|H(re^{i\varphi})\|_\infty
=\sup_{r<1,\,-\pi\le\varphi<\pi}
|H(re^{i\varphi})|<\infty, \quad\text{ha } p=\infty.
$$
}

\medskip
Nem neh\'ez bel\'atni, hogy a $\summ_{k=0}^\infty |d_k|^2<\infty$
felt\'etel miatt $H(z)=\summ_{k=0}^\infty d_kz^k$ eleme a  $\Cal H_2$
f\"uggv\'eny oszt\'alynak. Sz\'amunkra a k\"ovetkez\H{o} komplex 
f\"uggv\'enytani t\'etel lesz k\"ul\"on\"osen hasznos. Ennek 
bizony\'{\i}t\'as\'at egy kieg\'esz\'{\i}t\'esben ismertetem, ahol 
n\'eh\'any tov\'abbi komplex f\"uggv\'enytani magyar\'azatot 
is teszek.

\medskip\noindent
{\bf 3.3.~T\'etel. T\'etel Hardy f\'ele $\Cal H_2$ 
f\"uggv\'enyoszt\'alyok jellemz\'es\'er\H{o}l.} {\it Egy 
$H(z)=\summ_{k=0}^\infty d_kz^k$ hatv\'anysorral megadott 
analitikus f\"uggv\'eny  akkor \'es csak akkor van a 
$\Cal H_2$ Hardy f\"uggv\'enyoszt\'alyban, ha teljes\"ul a
$\summ_{k=0}^\infty |d_k|^2<\infty$ felt\'etel. Tekints\"unk egy
$H(z)=\summ_{k=0}^\infty d_k z^k$, $\summ_{k=0}^\infty |d_k|^2<
\infty$, a $\Cal H_2$ f\"uggv\'enyoszt\'alyba tartoz\'o f\"uggv\'enyt,
valamint a $h(\varphi)=\summ_{k=0}^\infty d_ke^{ik\varphi}$,
$-\pi\le \varphi\le\pi$, f\"uggv\'enyt. Ekkor

\medskip
\item{(i)} $\limm_{r\to1} H(re^{i\varphi})=h(\varphi)$
majdnem minden $-\pi\le \varphi\le\pi$ sz\'amra. Tov\'abb\'a a
$H_r(\varphi)=H(re^{i\varphi})$ f\"uggv\'enyek a (Lebesgue
m\'ert\'ek szerinti) $L_2$ norm\'aban is konverg\'alnak a
$h(\varphi)$ f\"uggv\'enyhez, ha $r\to1$. (Az (i) pont 
\'all\'{\i}t\'as\'at \'ugy is megfogalmazhatjuk, hogy a 
$H(z)$ f\"uggv\'eny  radi\'alis limesze  l\'etezik, \'es 
egyenl\H{o} a $h(\varphi)$ f\"uggv\'ennyel mind a majdnem 
minden\"utt mind az $L_2$ norma szerint.)

\medskip
\item{(ii)} Ha a $H(z)$ f\"uggv\'eny nem azonosan nulla, akkor
$\int_{-\pi}^\pi|\log|h(\varphi)|\,|\,d\varphi<\infty$.
Spe\-ci\-\'ali\-san, ebben az esetben a $h(\varphi)$ f\"uggv\'eny
csak nulla m\'ert\'ek\H{u} halmazon lehet nulla.

}\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.} A fenti t\'etel (ii) pontj\'ab\'ol az is 
k\"ovetkezik, hogy egy az (a1) tulajdons\'agot 
teljes\'{\i}t\H{o} $h(t)$ f\"uggv\'eny csak null m\'ert\'ek\H{u} 
halmazon nulla. Ezt a t\'enyt haszn\'altuk fel a 
3.2. Lemma bizony\'{\i}t\'as\'aban.

\medskip
Szeretn\'enk jellemezni azokat a $[-\pi,\pi)$ intervallumon
defini\'alt (n\'egyzetesen integr\'alhat\'o) $h(\varphi)$ 
f\"uggv\'enyeket, amelyek 
$h(\varphi)=\summ_{k=0}^\infty d_ke^{ik\varphi}$, 
$\summ_{k=-0}^\infty |d_k^2|<\infty$, alakban \'{\i}rhat\'oak. 
Megfogalmazom a Hardy f\'ele $\Cal H_2$ oszt\'alyok 
jellemz\'es\'er\H{o}l sz\'ol\'o t\'etel al\'abbi 
k\"ovetkezm\'eny\'et, amely az ilyen f\"uggv\'enyeknek 
sz\'amunkra hasznos jellemz\'es\'et adja a $\Cal H_2$ 
f\"uggv\'eny oszt\'aly seg\'{\i}ts\'eg\'evel.

\medskip\noindent
{\bf K\"ovetkezm\'eny.} {\it Egy a $[-\pi,\pi)$ intervallumon
defini\'alt (n\'egyzetesen integr\'alhat\'o) $h(\varphi)$ 
f\"uggv\'eny akkor \'es csak akkor \'{\i}rhat\'o 
$h(\varphi)=\summ_{k=0}^\infty d_ke^{ik\varphi}$, 
$\summ_{k=0}^\infty |d_k^2|<\infty$, alakban, ha l\'etezik olyan
$H(z)\in\Cal H_2$ f\"uggv\'eny a $\{z\colon\;|z|<1\}$ 
egys\'egk\"orben, amelyre 
$\limm_{r\to1}H(re^{i\varphi})=h(\varphi)$ majdnem minden\"utt 
(\'es ebben az esetben az $L_2$ norm\'aban is).
A $h(\varphi)$ f\"uggv\'eny egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozza
a $H(z)$ f\"uggv\'enyt, \'es az $H(z)=\summ_{k=0}^\infty d_kz^k$
hatv\'anysor fo\-rm\'a\-ban \'{\i}rhat\'o ugyanazokkal a $d_k$
egy\"utthat\'okkal, amelyek a $h(\varphi)$ f\"uggv\'eny 
$h(\varphi)=\summ_{k=0}^\infty d_ke^{ik\varphi}$ Fourier
el\H{o}\'all\'{\i}t\'as\'aban szerepelnek.}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.}\/ Ha a $h(\varphi)$ f\"uggv\'eny 
$h(\varphi)=\summ_{k=0}^\infty d_ke^{ik\varphi}$, 
$\summ_{k=0}^\infty |d_k^2|<\infty$, alakban \'{\i}rhat\'o, akkor a 
$H(z)=\summ_{k=0}^\infty d_kz^k$ f\"uggv\'enyre $H\in\Cal H_2$, 
\'es $\limm_{r\to1}H(re^{i\varphi)}=h(\varphi)$ a 3.3.~t\'etel 
alapj\'an. Megford\'{\i}tva, ha 
$h(\varphi)=\limm_{r\to1}H(re^{i\varphi})$ valamely $H\in\Cal H_2$ 
f\"uggv\'enyre, akkor ez a $H$ f\"uggv\'eny
$H(z)=\summ_{k=0}^\infty d_kz^k$, $\summ_{k=0}^\infty|d_k^2|<\infty$
alakban \'{\i}rhat\'o, \'es 
$H(re^{i\varphi})=\summ_{k=0}^\infty d_kr^ke^{i k\varphi}$. Vegy\"uk 
a $H(re^{i\varphi})$ f\"uggv\'enyek $L_2$ limesz\'et $r\to1$
hat\'ar\'atmenettel. Ez a limesz a 
$h(\varphi)=\summ_{k=0}^\infty d_ke^{ik\varphi}$ f\"uggv\'eny. 

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.}\/ N\'eh\'any vizsg\'alatban sz\"uks\'eg\"unk lesz
annak megmutat\'as\'ara, hogy bizonyos az egys\'egk\"or belsej\'eben
defini\'alt analitikus $H(z)$ f\"uggv\'enyek a $\Cal H_2$ oszt\'alyba
tartoznak. Tudjuk, hogy ez a tulajdons\'ag ekvivalens azzal, hogy
$H(z)=\summ_{k=0}^\infty d_kz^k$, \'es 
$\summ_{k=10}^\infty|d_k^2|<\infty$. De vannak olyan esetek, amikor 
nem \'erdemes a $H(z)$ f\"uggv\'eny Taylor sor\'anak az 
egy\"utthat\'oit vizsg\'alni, ehelyett egyszer\H{u}bb a 
$H\in\Cal H_2$ rel\'aci\'ot \'ugy bebizony\'{\i}tani, hogy
igazoljuk a $\Cal H_2$ oszt\'aly elemeinek definici\'oj\'aban 
szerepl\H{o}
$\supp_{r<1}\int_{-\pi}^\pi|H(re^{i\varphi})|^2\,d\varphi<\infty$ 
rel\'aci\'ot. Megjegyzem, hogy e szupr\'emum v\'egess\'ege 
egyszer\H{u}en k\"ovetkezik a $\summ_{k=0}^\infty|d_k|^2<\infty$ 
egyenl\H{o}tlens\'egb\H{o}l. Az is igaz, hogy a szupr\'emum
v\'egess\'eg\'eb\H{o}l k\"ovetkezik a fenti egyenl\H{o}tlens\'eg,
de ennek bizony\'{\i}t\'asa nehezebb.

\medskip
Az a probl\'ema \'erdekel minket, hogy egy stacion\'arius Gauss
sorozat lehets\'eges $X_n=\summ_{k=0}^\infty d_kW_{n-k}$
mozg\'o \'atlag el\H{o}\'all\'{\i}t\'as\'aban milyen $d_k$,
$k=0,1,\dots$,  egy\"utthat\'osorozatok sze\-re\-pel\-nek. K\"ul\"on
\'erdekel minket az a k\'erd\'es, hogy milyen egy\"utthat\'ok
szerepelnek a Wold felbont\'asban. A vizsg\'aland\'o probl\'ema
r\'esze az is, hogy milyen spektr\'al s\H{u}r\H{u}s\'eggel
rendelkez\H{o} stacion\'arius folyamatoknak l\'etezik a sorozat
mozg\'o\'atlag el\H{o}\'all\'{\i}t\'asa. Ez a k\'erd\'es \'ugy is
megfogalmazhat\'o, hogy milyen spektr\'al s\H{u}r\H{u}s\'eggel
rendelkez\H{o} stacion\'arius folyamatok regul\'arisak. (A 
3.1. Lemm\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy egy regul\'aris 
stacion\'arius sorozatnak van spek\-tr\'al 
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg f\"uggv\'enye.) L\'attuk, hogy a 
felvetett probl\'ema ekvivalens azzal a k\'erd\'essel, hogy egy
adott $g(t)$ spektr\'al s\H{u}r\H{u}ss\'eg f\"uggv\'eny eset\'en,
melyek az (a1), (a2) \'es (a3) tu\-laj\-don\-s\'a\-gok\-kal
rendelkez\H{o} \'es a $d_k$, $k=0,1,\dots$, Fourier egy\"utthat\'ok
seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'alt $h(t)$ f\"uggv\'enyek. Az 
el\H{o}bb megfogalmazott a Hardy f\'ele $\Cal H_2$ oszt\'alyok 
jellemz\'es\'er\H{o}l sz\'ol\'o t\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel 
\'at tudjuk fogalmazni ezt a k\'erd\'est egy komplex 
f\"uggv\'enytani probl\'em\'av\'a. Az al\'abbi FELADAT~A-ban 
ezt az \'at\-fo\-gal\-ma\-z\'ast adom meg. Ezut\'an a FELADAT~A
megold\'as\'aval, illetve az ehhez sz\"uks\'eges komplex 
f\"uggv\'enytani ismeretekkel fogok foglalkozni.

\medskip\noindent
{\bf FELADAT A.} {\it Legyen adva egy $g(t)$
spektr\'al s\H{u}r\H{u}s\'eg f\"uggv\'eny.  Jellemezz\"uk azokat a
komplex sz\'ams\'{\i}k egys\'egk\"or\'en defini\'alt, a $\Cal H_2$
Hardy oszt\'alyba tartoz\'o val\'os egy\"utthat\'os
$H(z)=\summ_{k=0}^\infty d_kz^k$ hatv\'anysorokat, amelyeknek
$h(\varphi)=\limm_{R\to1}H(Re^{i\varphi})$ radi\'alis limesze
teljes\'{\i}ti az $|h^2(\varphi)|=g(\varphi)$, $-\pi\le\varphi\le\pi$,
azonoss\'agot majdnem minden $-\pi\le\varphi\le\pi$ sz\'amra.
Keress\"uk meg az ilyen tulajdons\'ag\'u f\"uggv\'enyek k\"oz\"ul
azokat, amelyekre az orig\'oban felvett \'ert\'ek abszol\'ut
\'ert\'eke maxim\'alis. Mely $g(\varphi)$ spektr\'al s\H{u}r\H{u}s\'eg
eset\'en lesz a fenti tulajdons\'agokkal rendelkez\H{o}
f\"uggv\'enyek oszt\'alya nem \"ures?}

\medskip
R\"oviden ismertetem, milyen eredm\'enyt fogunk kapni a FELADAT~A
megold\'as\'ara, \'es az milyen lehet\H{o}s\'eget ad egy $g(t)$ 
spektr\'al s\H{u}r\H{u}s\'eg f\"uggv\'ennyel rendelkez\H{o} 
stacion\'arius Gauss sorozat Wold felbont\'as\'anak
megtal\'al\'as\'ara. A Wold felbont\'as megtal\'al\'asa egyben a 
predikci\'os probl\'ema megold\'as\'at is jelenti.

A Hardy f\'ele $\Cal H_2$ oszt\'alyok jellemz\'es\'er\H{o}l 
sz\'ol\'o t\'etel  (ii) pontja alapj\'an csak akkor van a 
FELADAT~A-nak megold\'asa egy $g(\varphi)$ spektr\'al 
s\H{u}r\H{u}s\'eg f\"uggv\'eny v\'alaszt\'asa eset\'en,
ha teljes\"ul az 
$\int_{-\pi}^\pi|\log |g(\varphi)||\,d\varphi<\infty$
felt\'etel. Ekkor viszont, mint meg fogjuk mutatni, l\'etezik e 
feladatnak megold\'asa, \'es a (4.5) k\'epletben fel fogjuk 
explicit m\'odon azt a $H_0(z)$ megold\'ast, amelyre az 
orig\'oban felvett \'ert\'ek maxim\'alis. Ez egyben 
meghat\'arozza e f\"uggv\'eny keresett 
$h(\varphi)=\limm_{R\to1}H_0(Re^{i\varphi})$ 
(radi\'alis) limesz\'et is. Ezut\'an a $H_0(z)$ f\"uggv\'eny 
hatv\'anysorba fejt\'es\'evel, illetve a 3.2.~lemma, pontosabban 
a (3.2) formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel a $h(\varphi)$ f\"uggv\'eny 
ismeret\'eben fel tudjuk \'{\i}rni a keresett Wold felbont\'ast. 
Val\'oj\'aban, a fel\-adat enn\'el nehezebb, mert a (3.2) 
formul\'aban fel\'{\i}rt v\'eletlen integr\'al effekt\'{\i}v 
kisz\'amol\'asa neh\'ezs\'eget okozhat. Ezzel a k\'erd\'essel 
n\'eh\'any fontos speci\'alis esetben r\'eszletesebben is fogunk 
foglalkozni. Ez lesz a 6. fejezet legfontosabb t\'em\'aja. 

V\'eg\"ul megjegyzem, hogy egy  adott $g(\varphi)$ spektr\'al 
s\H{u}r\H{u}s\'eg f\"uggv\'eny eset\'en meg lehet adni a 
FELADAT~A-t teljes\'{\i}t\H{o} f\"uggv\'enyoszt\'aly pontos 
le\'{\i}r\'as\'at. Ezt az eredm\'enyt, noha jelen 
vizsg\'alatainkban nem lesz r\'a sz\"uks\'eg\"unk, ismertetni 
fogom az 5.~fejezetben.

\beginsection 4. A vizsg\'alt komplex f\"uggv\'enytani probl\'ema 
megold\'asa.

Els\H{o}sorban azt a {\it FELADAT A}-t teljes\'{\i}t\H{o} 
$H(z)=\summ_{k=0}^\infty d_kz_k$ f\"uggv\'enyt szeretn\'enk 
megtal\'alni, amely az orig\'oban maxim\'alis abszol\'ut \'ert\'eket 
vesz fel, mert ez adja meg a keresett Wold felbont\'ast.
Az a t\'eny, hogy a Wold felbont\'as l\'etezik, implik\'alja azt
is, hogy a FELADAT~A-ban megfogalmazott maximum felv\'etetik. Az
orig\'oban maxim\'alis abszol\'ut \'ert\'eket felvev\H{o} az adott
oszt\'alyban lev\H{o} f\"uggv\'eny megtal\'al\'as\'aban hasznos lesz
sz\'amunkra a k\"ovetkez\H{o} lemma.

\medskip\noindent
{\bf 4.1.~Lemma.} {\it Legyen $H(z)$ olyan analitikus f\"uggv\'eny az
egys\'egk\"orben, amelyiknek van nullhelye valahol az egys\'egk\"or
belsej\'eben. Ekkor l\'etezik olyan $\bar H(z)$ analitikus
f\"uggv\'eny az egys\'egk\"orben, amely abszol\'ut \'ert\'ek\'enek
a radi\'alis limesze megegyezik a $H(z)$ f\"uggv\'eny abszol\'ut
\'ert\'ek\'enek a radi\'alis limesz\'evel minden olyan pontban,
ahol az ut\'obbi l\'etezik, \'es teljes\'{\i}ti a
$|\bar H(0)|>|H(0)|$ szigor\'u egyenl\H{o}tlens\'eget. Ha a $H(z)$
f\"uggv\'eny Taylor sor\'anak minden egy\"utthat\'oja val\'os
sz\'am, akkor a $\bar H(z)$ f\"uggv\'eny megv\'alaszthat\'o \'ugy,
hogy az szint\'en teljes\'{\i}tse ezt a tulajdons\'agot.}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.} Ha $H(z_0)=0$ valamely $|z_0|<1$ pontban,
akkor defini\'aljuk az $A(z)=\frac{z-z_0}{1-z\bar z_0}$
f\"uggv\'enyt. Ez olyan az egys\'egk\"ort \"onmag\'aba k\'epz\H{o}
racion\'alis t\"ortf\"uggv\'eny, amelyik az egys\'egk\"ort
\"onmag\'aba viszi, ez\'ert abszol\'ut \'ert\'eke a k\"orvonal
hat\'ar\'an 1, a k\"orvonal belsej\'eben pedig szigor\'uan
kisebb, mint~1. Ez\'ert a $\bar H(z)=\frac{H(z)}{A(z)}$ olyan
analitikus f\"uggv\'eny, amely abszol\'ut \'ert\'ek\'enek a
radi\'alis limesze megegyezik a $H(z)$ f\"uggv\'eny
radi\'alis limesz\'evel az egys\'egk\"or hat\'ar\'anak minden
olyan pontj\'aban, ahol ez a radi\'alis limesz l\'etezik. Mivel
$|A(0)|<1$, ez\'ert $|\bar H(0)|>|H(0)|$. Az, hogy a $H(z)$
f\"uggv\'eny Taylor sor\'anak egy\"utthat\'oi val\'os sz\'amok
ekvivalens azzal, hogy $\overline{H(z)}=H(\bar z)$. Ebben az
esetben a $H(z_0)=0$ azonoss\'agb\'ol k\"ovetkezik, hogy
$H(\bar z_0)=0$. Ha $\Im z_0\neq0$, akkor vezess\"uk be az
el\H{o}bb defini\'alt $A(z)$ f\"uggv\'eny mellett az
$\bar A(z)=\frac{z-\bar z_0}{1-zz_0}$ f\"uggv\'enyt is,
\'es legyen $\bar H(z)=\frac{H(z)}{A(z)\bar A(z)}$, ha $H(z)$
val\'os egy\"utthat\'os Taylor sor. Ez a f\"uggv\'eny
teljes\'{\i}ti a Lemm\'aban el\H{o}\'{\i}rt felt\'eteleket.
A lemm\'at bebizony\'{\i}tottuk.

\medskip
Feltehetj\"uk, hogy az $X_n=\summ_{k=0}^\infty c_kV_{n-k}$,
$n=\dots,-1,0,1,\dots$, Wold felbont\'asnak meg\-fe\-le\-l\H{o}
$H_0(z)=\summ_{k=0}^\infty c_kz^k$ a FELADAT~A-ban keresett
f\"uggv\'eny  olyan, hogy $c_0>0$, azaz az orig\'oban maxim\'alis
abszol\'ut \'ert\'eket felvev\H{o} f\"uggv\'eny az orig\'oban
pozit\'{\i}v \'ert\'eket vesz fel. Val\'oban, ha a
$X_n=\summ_{k=0}^\infty c_kV_k$ Wold felbont\'asban $c_0<0$ lenne
 akkor a Wold felbont\'ast fel\'{\i}rhatjuk
$X_n=\summ_{k=0}^\infty(-c_k)(-V_k)$ alakban is $-c_0>0$
egy\"utthat\'oval. A $c_0=0$ eset nem lehets\'eges, hiszen
mint az el\H{o}z\H{o} lemm\'aban l\'attuk a $H_0(z)$ f\"uggv\'eny
sehol sem t\H{u}nik el az egys\'egk\"orben. Tov\'abb\'a azt is
tudjuk a Hardy f\'ele $\Cal H_2$ oszt\'alyok jellemz\'es\'er\H{o}l
sz\'ol\'o t\'etel (ii) pontja alapj\'an, hogy a FELADAT~A-ban fel
kell tenni, hogy az abban tekintett $g(\vartheta)$
spektr\'al s\H{u}r\H{u}s\'egnek teljes\'{\i}ti az
$\int_{-\pi}^\pi|\log g(\vartheta)|\,d\vartheta<\infty$ rel\'aci\'ot.
Ellenkez\H{o} esetben nincsen a FELADAT~A-ban el\H{o}\'{\i}rt
tulajdons\'agokat teljes\'{\i}t\H{o} f\"uggv\'eny.

Fel\'{\i}rom, felhaszn\'alva a komplex f\"uggv\'enytan n\'eh\'any
klasszikus eredm\'eny\'et egy olyan $H_0(z)$ f\"uggv\'eny 
k\'eplet\'et, amely term\'eszetes jel\"olt arra a
f\"uggv\'enyre, amely teljes\'{\i}ti a FELADAT~A felt\'eteleit,
\'es a FELADAT~A felt\'eteleit teljes\'{\i}t\H{o}
f\"ugg\-v\'e\-nyek orig\'oban felvett \'ert\'ekeinek a maximuma
egyenl\H{o} ennek a $H_0(z)$ f\"uggv\'enynek az \'ert\'ek\'evel az
orig\'oban. Tudjuk az el\H{o}z\H{o} lemma alapj\'an, hogy olyan
$H_0(z)$ f\"uggv\'enyt kell megadnunk, amely sehol sem t\H{u}nik el
az egys\'egk\"or belsej\'eben. Ilyen f\"uggv\'enynek l\'etezik
logaritmusa, ez\'ert lehets\'eges a keresett $H_0(z)$ f\"uggv\'eny
helyett el\H{o}sz\"or annak logaritmus\'at a $\log H_0(z)$
f\"uggv\'enyt defini\'alni. Id\'ezz\"uk fel, hogy egy
$z=Re^{i\varphi}\neq0$ komplex sz\'amra $\log z=\log R+i\varphi$.
A $\varphi$ sz\'am csak  modul\'o $2\pi$ van meghat\'arozva, de egy
a komplex egys\'egk\"or\"on defini\'alt sehol sem elt\"un\H{o}
analitikus $f(z)$ f\"uggv\'eny $\log f(z)$ lo\-ga\-rit\-mu\-s\'at
defini\'alhatjuk \'ugy, a nem egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozott
imagin\'arius r\'esz alkalmas megad\'as\'aval, hogy a $\log f(z)$
f\"uggv\'eny is analitikus legyen. Az analitikus $\log
H_0(z)=u(z)+iv(z)$ f\"ugg\-v\'eny $u(z)$ val\'os r\'esze harmonikus
f\"uggv\'eny. (Egy $u(x,y)$ f\"uggv\'eny harmonikus egy $G$
tartom\'anyon, ha a tartom\'any minden $(x,y)\in G$ pontj\'aban
teljes\"ul a $\Delta u(x,y)=\frac{\partial^2 u(x,y)}{\partial x^2}
+\frac{\partial^2 u(x,y)}{\partial y^2}=0$ azonoss\'ag.)

Az elmondottak alapj\'an olyan $H_0(z)$ f\"uggv\'enyt keres\"unk,
amelynek $\log H_0(z)=u(z)+iv(z)$ logaritmus\'anak
$u(z)=\Re\log H(z)=\log|H(z)|$ re\'alis r\'esze teljes\'{\i}ti a
$\limm_{R\to1}u(Re^{i\varphi})=\frac12\log g(\varphi)$ felt\'etelt.
Ezenk\'{\i}v\"ul az $u(z)$ f\"uggv\'eny harmonikus. Olyan $H_0(z)$
f\"uggv\'enyt keres\"unk, amelyre $H_0(0)$ val\'os sz\'am, \'es
$H_0(0)>0$. Ez azt jelenti, hogy $\Im\log H_0(0)=v(0)=0$, ha a
$\log H_0(z)$ logaritmusnak a megfelel\H{o} \'ag\'at vessz\"uk.
Ennek alapj\'an fel\'{\i}runk egy olyan $u_0(z)$ harmonikus
f\"uggv\'enyt az egys\'egk\"or\"on, amelynek hat\'ar\'ert\'eke a
peremen a $u(e^{i\varphi})=\frac12\log g(\varphi)$ f\"uggv\'eny, 
majd defini\'aljuk ennek azt az egy\'ertelm\H{u} analitikus 
$\log H_0(z)=u(z)+iv(z)$ analitikus kieg\'esz\'{\i}t\'es\'et, 
amelyre $v(0)=0$. Annak \'erdek\'eben, hogy megadjunk egy ilyen
tulajdons\'ag\'u f\"uggv\'enyt, felid\'ezek n\'eh\'any fontos
komplex f\"uggv\'enytani  eredm\'enyt. Els\H{o}sorban a
k\"ovetkez\H{o} t\'etelre lesz sz\"uks\'eg\"unk.

\medskip\noindent
{\bf 4.2.~T\'etel. T\'etel az egys\'egk\"or hat\'ar\'an 
el\H{o}\'{\i}rt \'ert\'eket felvev\H{o} har\-mo\-ni\-kus 
f\"ugg\-v\'e\-nyek el\H{o}\'all\'{\i}t\'as\'ar\'ol \'es azok 
analitikus kieg\'esz\'{\i}t\'es\'er\H{o}l.} {\it Legyen adva
egy $u_0(\vartheta)$, $-\pi\le\vartheta\le\pi$, a $[-\pi,\pi]$
intervallumon integr\'alhat\'o f\"uggv\'eny. Ekkor a
$\{z\colon\;z=Re^{i\varphi},\,0\le R<1\}$ egys\'egk\"or\"on defini\'alt
$$
\aligned
u(z)=u(Re^{i\varphi})&=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\Re
\(\frac{e^{i\vartheta}+z}{e^{i\vartheta}-z}\)u_0(\vartheta)\,d\vartheta
\\ &=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi
\frac{1-R^2}{1+R^2-2R\cos(\vartheta-\varphi)}u_0(\vartheta)\,d\vartheta
\endaligned\tag4.1
$$
f\"uggv\'eny, amelyet azonos\'{\i}tunk az $u(x,y)=u(x+iy)=u(z)$,
ha $z=x+iy$, f\"uggv\'ennyel harmonikus f\"uggv\'eny a komplex
egys\'egk\"or\"on, \'es ennek radi\'alis limesze teljes\'{\i}ti a
$$
\limm_{R\to1}u(Re^{i\vartheta})=u_0(\vartheta) \quad
\text{majdnem minden $-\pi\le\vartheta\le\pi$ sz\'amra} \tag4.2
$$
fel\-t\'e\-telt. Ha $u_0(\vartheta)$ val\'os \'ert\'ek\H{u}
f\"uggv\'eny, akkor azt az egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozott
$F(z)=u(z)+iv(z)$ analitikus f\"uggv\'enyt, amelynek val\'os
r\'esze megegyzik a fenti $u(z)$ f\"uggv\'ennyel, \'es
imagin\'arius r\'esze teljes\'{\i}ti az $\Im F(0)=v(0)=0$ 
felt\'etelt az
$$
F(z)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi
\frac{e^{i\vartheta}+z}{e^{i\vartheta}-z}u_0(\vartheta)\,d\vartheta
\tag4.3
$$
k\'eplet adja meg.}

\medskip
E fejezetben nem t\'argyalom a fenti t\'etel 
bizony\'{\i}t\'as\'anak a r\'eszleteit, csak felid\'ezem 
azokat az alapvet\H{o} eredm\'enyeket, amelyeken e t\'etel 
bizony\'{\i}t\'asa alapul. Annak bizony\'{\i}t\'asa, hogy a 
(4.1) formul\'aban defini\'alt $u(z)$ f\"uggv\'eny harmonikus 
azon a t\'enyen alapul, hogy a (4.1) formula integr\'alj\'aban 
szerepl\H{o} magf\"uggv\'eny, azaz a
$P(R,\varphi)=\frac{1-R^2}{1+R^2-2R\cos(\varphi)}$ \'ugynevezett
Poisson f\'ele magf\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o}
tu\-laj\-don\-s\'a\-go\-kat.

\medskip\noindent
{\bf 4.3.~T\'etel. T\'etel a Poisson f\'ele magf\"uggv\'eny 
tulajdons\'agair\'ol.}
{\it A $P(R,\varphi)=\frac{1-R^2}{1+R^2-2R\cos(\varphi)}$,
$0\le R<1$, $-\pi\le\varphi\le\pi$, Poisson f\'ele magf\"uggv\'eny,
amely megadhat\'o $P(R,\varphi)=\summ_{n=-\infty}^\infty
R^{|n|}e^{in\varphi}$ alakban is, teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o}
tulajdons\'agokat:

\medskip
\item{(i)} A $\bar P(x,y)=P(R,\varphi)$, ahol az $R=R(x,y)$,
$\varphi=\varphi(x,y)$ sz\'amokat az $x+iy=Re^{i\varphi}$
rel\'aci\'o hat\'arozza meg, harmonikus f\"uggv\'eny az
$\{(x,y)\colon x^2+y^2<1\}$ egys\'egk\"or\"on.
\item{ii)} $P(R,\varphi)>0$ minden $0\le R<1$, $-\pi\le\varphi\le\pi$,
argumentumra.
\item{(iii)} $\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi P(R,\varphi)\,d\varphi=1$
minden $0\le R<1$ sz\'amra.
\item{(iv)} $\limm_{R\to1} P(R,\varphi)=0$, ha $\varphi\neq0$, \'es 
a konvergencia egyenletes a $\delta\le|\varphi|\le \pi$ halmazon 
minden $\delta>0$ sz\'amra.
\item{(v)} $\frac{1-R}{1+R}\le P(R,\varphi)\le \frac{1+R}{1-R}$
minden $0\le R<1$ sz\'amra.}

\medskip
A fenti eredm\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel bel\'athat\'o, hogy a (4.1)
formul\'aban defini\'alt $u(z)$ f\"uggv\'eny val\'oban harmonikus.
Az a t\'eny, hogy e f\"uggv\'eny radi\'alis limesze az
$u_0(\vartheta)$ f\"uggv\'ennyel egyezik meg majdnem minden
$\vartheta$ sz\'amra k\"ovetkezik az al\'abbi az irodalomban Fatou
t\'etelnek nevezett fontos eredm\'enyb\H{o}l, amelyet szint\'en
bizony\'{\i}t\'as n\'elk\"ul ismertetek.

\medskip\noindent
{\bf 4.4.~T\'etel. Fatou t\'etel.} {\it Legyen $\mu$ korl\'atos 
v\'altoz\'as\'u m\'ert\'ek a $[-\pi,\pi]$ intervallum Borel 
m\'erhet\H{o} halmazain. Akkor az
$$
u(Re^{i\varphi})
=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi
\frac{1-R^2}{1+R^2-2R\cos(\vartheta-\varphi)}\mu(\,d\vartheta) \tag4.4
$$
(Poisson) integr\'al, amely harmonikus f\"uggv\'eny az 
egys\'egk\"orben, teljes\'{\i}ti a
$$
\limm_{R\to1} u(Re^{i\varphi})=\mu'(\varphi)
$$
rel\'aci\'ot  a $\mu'(\varphi)=\lim\frac {\mu(I)}{\lambda(I)}$
hat\'ar\'ert\'ekkel, ahol az $I$ intervallumrendszer tetsz\H{o}leges
a $\varphi$ pontra h\'uz\'od\'o intervallumok rendszere, minden
olyan $\varphi$ pontban, amelyikben a fenti $\mu'(\varphi)$
hat\'ar\'ert\'ek l\'etezik. (A korl\'atos v\'altoz\'as\'u 
f\"uggv\'enyek definici\'oja megtal\'alhat\'o a Kieg\'esz\'{\i}t\'es
b)~r\'esz\'eben.)

Speci\'alisan, ha $g(\vartheta)$ integr\'alhat\'o f\"uggv\'eny
a $[-\pi,\pi)$ intervallumon, akkor a (4.4) formul\'at alkalmazva
a $\mu(\,d\vartheta)=g(\vartheta)\,d\vartheta$ m\'ert\'ek 
v\'alaszt\'assal azt kapjuk, hogy ebben az esetben
$\limm_{R\to1} u(Re^{i\varphi})=g(\varphi)$ majdnem minden 
$\varphi$ argumentumra.}

\medskip\noindent
Nem a (4.1) formul\'aval defini\'alt f\"uggv\'eny az egyetlen
egys\'egk\"or\"on harmonikus f\"uggv\'eny, amely teljes\'{\i}ti a
(4.2) felt\'etelt. Val\'oban, ha tekint\"unk tetsz\H{o}leges az
egy\-s\'eg\-k\"or\-vo\-na\-lon defini\'alt korl\'atos
v\'altoz\'as\'u szingul\'aris $\mu$ m\'ert\'eket, akkor nem neh\'ez
bel\'atni a Fatou t\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy
$$
v(z)=u(z)+\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi
\frac{1-R^2}{1+R^2-2R\cos(\vartheta-\varphi)}\mu(\,d\vartheta)
$$
szint\'en a (4.2) felt\'etelt teljes\'{\i}t\H{o} harmonikus
f\"uggv\'eny. C\'elunk annak  megmutat\'asa, hogy amennyiben a (4.1)
formul\'aban defini\'alt $u(z)$ f\"uggv\'enyt tekintj\"uk
$u_0(\vartheta)=\frac12\log g_0(\vartheta)$ v\'alaszt\'assal, majd
ennek a (4.3) formul\'aban bevezetett analitikus
kieg\'esz\'{\i}t\'es\'et, akkor ez a f\"uggv\'eny v\'alaszthat\'o
annak a $H_0(z)$ f\"uggv\'eny $\log H_0(z)$ logaritmus\'anak, amely
teljes\'{\i}ti a FELADAT~A felt\'eteleit, s\H{o}t az is igaz r\'a,
hogy az orig\'oban felvett \'ert\'eke egyenl\H{o} azon f\"uggv\'enyek
orig\'oban vett \'ert\'ekei abszol\'ut \'ert\'ek\'enek a maximum\'aval,
amelyek teljes\'{\i}tik a FELADAT~A felt\'eteleit. Ez azt jelenti,
hogy a (4.1) formul\'aban defini\'alt f\"uggv\'enyhez
hozz\'aadhatn\'ank m\'eg a Poisson magf\"uggv\'enynek egy
szingul\'aris m\'ert\'ek szerinti integr\'alj\'at,  \'es ilyen
m\'odon is egy a FELADAT~A felt\'eteleit teljes\'{\i}t\H{o}
f\"uggv\'enyt kapn\'ank, de ezt nem \'erdemes tenni.

Azt k\'{\i}v\'anjuk bel\'atni, hogy az 
$\int_{-\pi}^\pi |\log g(\vartheta)|\,d\vartheta<\infty$ felt\'etel
teljes\"ul\'ese eset\'en a
$$
H_0(z)=\exp\left\{\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi
\frac{e^{i\vartheta}+z}{e^{i\vartheta}-z}\frac12\log
g(\vartheta)\,d\vartheta \right\} \tag4.5
$$
f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti a FELADAT A felt\'eteleit,
\'es ez az optim\'alis megold\'as, azaz $H_0(0)\ge|H(0)|$
tetsz\H{o}leges a FELADAT~A felt\'eteleit
teljes\'{\i}t\H{o} $H(z)$ f\"uggv\'enyre.

El\H{o}sz\"or azt kell megmutatni, hogy a (4.5) formul\'aban
defini\'alt $H_0(z)$ f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti a FELADAT~A
felt\'eteleit. A f\"uggv\'eny  konstrukci\'oj\'ab\'ol vil\'agos,
hogy $H_0(z)$ az egys\'egk\"or\"on analitikus f\"uggv\'eny, amelyre
teljes\"ul a $\limm_{R\to1}|H_0(Re^{i\vartheta})|^2=g(\vartheta)$
rel\'aci\'o. E l\'ep\'esben felhaszn\'aljuk azt, hogy 
alkalmazhatjuk az el\H{o}\'{\i}rt hat\'arfelt\'etelt 
teljes\'{\i}t\H{o} analitikus f\"uggv\'enyek (4.3)~formul\'aban
megadott el\H{o}\'all\'{\i}t\'as\'at 
$u_0(\vartheta)=\frac12\log g(\vartheta)$ v\'alaszt\'assal, mert
feltett\"uk, hogy 
$\int_{-\pi}^\pi |\log g(\vartheta)|\,d\vartheta<\infty$.

Tov\'abb\'a, abb\'ol hogy $g(\vartheta)=g(-\vartheta)$
k\"ovetkezik, hogy $\log H_0(\bar z)=\overline{\log H_0(z)}$,
ahonnan $H_0(\bar z)=\overline{H_0(z)}$, \'es $H_0(z)$ Taylor
sor\'anak egy\"utthat\'oi val\'os sz\'amok. Be kell m\'eg 
l\'atnunk azt, hogy a (4.5) formul\'aban defini\'alt $H_0(z)$ 
f\"uggv\'eny eleme a $\Cal H_2$ Hardy oszt\'alynak. Ennek az 
\'all\'{\i}t\'asnak a helyess\'eg\'et mondja ki az al\'abbi Lemma.

\medskip\noindent
{\bf 4.5.~Lemma.} {\it Legyen $g(\vartheta)$ olyan f\"uggv\'eny a
$[-\pi,\pi]$ intervallumon, amely majdnem minden\"utt nagyobb, mint
nulla, $\int_{-\pi}^\pi g(\vartheta)\,d\vartheta<\infty$, \'es
$\int_{-\pi}^\pi|\log g(\vartheta)|\,d\vartheta<\infty$. Ekkor a (4.5)
k\'epletben defini\'alt $H_0(z)$ f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti az
$$
\align
\int_{-\pi}^\pi |H_0(Re^{i\varphi})|^2\,d\varphi&=
\int_{-\pi}^\pi \exp\left\{\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi
\frac{1-R^2}{1+R^2-2R\cos(\varphi-\vartheta)}\log
g(\vartheta)\,d\vartheta \right\}\,d\varphi\\
&\le \int_{-\pi}^\pi g(\vartheta)\,d\vartheta \tag4.6
\endalign
$$
egyenl\H{o}tlens\'eget minden $0<R<1$ sz\'amra. Ez\'ert 
$H_0(z)\in\Cal H_2$.}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.} L\'assuk el\H{o}sz\"or be a (4.6) 
formul\'aban szerepl\H{o} azonoss\'agot. 

A (4.5) formula alapj\'an
$$
|H_0(z)|^2=\exp\left\{\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi
\Re\(\frac{e^{i\vartheta}+z}{e^{i\vartheta}-z}\)
\log g(\vartheta)\,d\vartheta \right\}. 
$$
M\'asr\'eszt, ha $z=Re^{i\varphi}$, akkor
$$
\Re\(\frac{e^{i\vartheta}+z}{e^{i\vartheta}-z}\)
=\frac{\Re [(e^{i\vartheta}+Re^{i\varphi})
(e^{-i\vartheta}-Re^{-i\varphi})]}
{1+R^2-2R\cos(\varphi-\vartheta)}
=\frac{1-R^2}{1+R^2-2R\cos(\varphi-\vartheta)}.
$$
Ezt az azonoss\'agot be\'{\i}rva a $|H_0(z)|^2=|H_0(Re^{i\varphi})|^2$
mennyis\'eget kifejez\H{o} formul\'aba, majd integr\'alva a $\varphi$
v\'altoz\'o szerint megkapjuk a k\'{\i}v\'ant azonoss\'agot. 

Annak \'erdek\'eben, hogy a (4.6) formul\'aban szerepl\H{o}
egyenl\H{o}tlens\'eget is bel\'assuk defini\'aljuk el\H{o}sz\"or 
r\"ogz\'{\i}tett $-\pi\le\varphi\le\pi$ \'es $0<R<1$ sz\'amokra a
$\mu(\,d\vartheta)=\mu_{\varphi,R}(\,d\vartheta)=
\frac1{2\pi}\frac{1-R^2}{1+R^2-2R\cos(\varphi-\vartheta)}
\,d\vartheta$ m\'ert\'eket a $[-\pi,\pi]$ intervallumon.
A Poisson f\'ele magf\"uggv\'eny tulajdons\'agair\'ol sz\'ol\'o
t\'etel (iii) pontja szerint $\mu$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'ert\'ek. Ez\'ert alkalmazva az $\exp\{\int
f(\vartheta)\,d\mu(\vartheta)\}
\le\int\exp\{f(\vartheta)\}\,d\mu(\vartheta)$, ha $\mu$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek, Jensen
egyenl\H{o}tlens\'eget a (konvex) exponenci\'alis \'es az
$f(\vartheta)=\log g(\vartheta)$ f\"uggv\'enyre kapjuk, hogy
$$
\align
&\exp\left\{\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi
\frac{1-R^2}{1+R^2-2R\cos(\varphi-\vartheta)}\log
g(\vartheta)\,d\vartheta \right\} \\
&\qquad \le\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi
\frac{1-R^2}{1+R^2-2R\cos(\varphi-\vartheta)}
g(\vartheta)\,d\vartheta, \quad -\pi\le\varphi\le\pi. \tag+
\endalign
$$
Integr\'alva ezt az egyenl\H{o}tlens\'eget $\varphi$ szerint kapjuk,
hogy
$$
\int_{-\pi}^\pi |H_0(Re^{i\varphi})|^2\,d\varphi
\le\int_{-\pi}^\pi \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi
\frac{1-R^2}{1+R^2-2R\cos(\varphi-\vartheta)}
g(\vartheta)\,d\vartheta\,d\varphi.
$$
Felcser\'elve az integr\'al\'as sorrendj\'et az utols\'o
egyenl\H{o}tlens\'eg jobboldal\'an, \'es felhaszn\'alva,
hogy $\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi
\frac{1-R^2}{1+R^2-2R\cos(\varphi-\vartheta)}\,d\varphi=1$
minden $-\pi\le\vartheta\le\pi$ sz\'amra, kapjuk, hogy
$$
\int_{-\pi}^\pi |H_0(Re^{i\varphi})|^2\,d\varphi
\le\int_{-\pi}^\pi g(\vartheta)\,d\vartheta\quad\text{minden } 0<R<1
\text{ sz\'amra},
$$
\'es ezt kellett bizony\'{\i}tani.

\medskip
L\'attuk, hogy a (4.5) formul\'aban defini\'alt $H_0(z)$ f\"uggv\'eny
teljes\'{\i}ti a FELADAT~A felt\'eteleit. Ezenk\'{\i}v\"ul
ebb\H{o}l a formul\'ab\'ol k\"ovetkezik az is, hogy
$$
\log |H_0(0)|=\log H_0(0)=
\frac1{4\pi}\int_{-\pi}^\pi\log|g(\vartheta)|\,d\vartheta.
\tag4.7
$$

Felhaszn\'aljuk ezenk\'{\i}v\"ul a k\"ovetkez\H{o} fontos komplex
f\"uggv\'enytani eredm\'enyt, a Szeg\H{o} t\'etelt, amelynek
h\'atter\'et a kieg\'esz\'{\i}t\'esben ismertetem.

\medskip\noindent
{\bf 4.6.~T\'etel. Szeg\H{o} t\'etel.} {\it Legyen $f(z)$, $|z|<1$, egy a
$\Cal H_2$ (vagy \'altal\'anosabban egy $\Cal H_p$, $0<p\le\infty$,)
Hardy oszt\'alyban szerepl\H{o} analitikus f\"uggv\'eny, \'es legyen
$\tilde f(\vartheta)=\limm_{R\to1}f(Re^{i\vartheta})$ e f\"uggv\'eny
radi\'alis limesze. Ekkor teljes\"ul a
$$
\log
|f(0)|\le\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\log|\tilde
f(\vartheta)|\,d\vartheta, \tag4.8
$$
illetve \'altal\'anosabban a
$$
\log|f(Re^{i\varphi})|\le\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi
\frac{1-R^2}{1+R^2-2R\cos(\vartheta-\varphi)}
\log|\tilde f(\vartheta)|\,d\vartheta \tag4.9
$$
egyenl\H{o}tlens\'eg.}

\medskip
Mivel a FELADAT~A-ban olyan $\Cal H_2$ oszt\'alybeli
f\"uggv\'enyeket kerest\"unk, amelyek radi\'alis limeszeinek
abszol\'ut \'ert\'eke $|g(\vartheta)|^{1/2}$, ez\'ert
\"osszehasonl\'{\i}tva a (4.7) \'es (4.8) formul\'akat, kapjuk, hogy
$|f(0)|\le H_0(0)$ minden a FEL\-ADAT~A felt\'eteleit
teljes\'{\i}t\H{o} $f(z)$ f\"uggv\'enyre. Ez azt jelenti, hogy a
(4.5) formul\'aban defini\'alt $H_0(z)$ f\"uggv\'eny Taylor sor\'anak
egy\"utthat\'oi adj\'ak meg az $X_n=\summ_{k=0}^\infty c_kV_{n-k}$,
$n=\dots,-1,0,1,\dots$, Wold felbont\'asban szerepl\H{o} $c_k$
egy\"utthat\'okat. Ezut\'an a 3.2.~lemma felhaszn\'al\'as\'aval meg
lehet adni mag\'at  a Wold felbont\'ast is egy v\'eletlen spektr\'al
m\'ert\'ek szerinti integr\'al seg\'{\i}ts\'eg\'evel, b\'ar
felmer\"ul a k\'erd\'es, hogy nincsen-e egyszer\H{u}bb, jobban
haszn\'alhat\'o elj\'ar\'as a Wold felbont\'as
kisz\'am\'{\i}t\'as\'ara.

Megkaptuk annak sz\"uks\'eges \'es el\'egs\'eges felt\'etel\'et
is, hogy mikor oldhat\'o meg a FELADAT~A. Ez egyben megadja annak
sz\"uks\'eges \'es el\'egs\'eges felt\'etel\'et is, hogy egy
stacion\'arius sorozat regul\'aris legyen. \'Igy megkaptuk a
k\"ovetkez\H{o} eredm\'enyt is.

\medskip\noindent
{\bf 4.7.~T\'etel. T\'etel regul\'aris stacion\'arius sorozatok
jellemz\'es\'er\H{o}l.} {\it Egy $X_n$, $n=0,\pm1,\pm2,\dots$,
stacion\'arius (Gauss) sorozat akkor \'es csak akkor regul\'aris,
ha l\'etezik $g(\vartheta)$ spek\-tr\'al s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg
f\"uggv\'enye, \'es az teljes\'{\i}ti az
$$
\int_{-\pi}^\pi |\log g(\vartheta)\,|\,d\vartheta<\infty
$$
egyenl\H{o}tlens\'eget.}

\medskip
Az, hogy a fenti t\'etelben megfogalmazott felt\'etel sz\"uks\'eges
ahhoz, hogy az $X_n$ sorozat regul\'aris legyen k\"ovetkezik a 3.1. 
Lemm\'ab\'ol, amely szerint egy regul\'aris stacion\'arius sorozatnak
l\'etezik $g(\varphi)$ spektr\'al s\H{u}r\H{u}s\'eg f\"uggv\'enye, 
\'es az teljes\'{\i}ti a 3.1. Lem\-m\'a\-ban megfogalmazott (a1), (a2) 
\'es (a3) tu\-laj\-don\-s\'a\-go\-kat, valamint a Hardy f\'ele $\Cal H_2$ 
f\"uggv\'enyoszt\'alyokat jellemz\H{o} t\'etel (ii) pontj\'ab\'ol. 
(Vegy\"uk \'eszre, hogy egy az (a3) tu\-laj\-don\-s\'a\-got 
teljes\'{\i}t\H{o} $h(\varphi)$ f\"uggv\'enyre $\log|h(\varphi)|=
\frac12\log g(\varphi)$.) Az, hogy a t\'etelben sze\-rep\-l\H{o}
integr\'al v\'egess\'ege egyben el\'egs\'eges felt\'etele is annak,
hogy a tekintett stacion\'arius Gauss folyamat regul\'aris legyen
k\"ovetkezik abb\'ol, hogy ezen felt\'etel teljes\"ul\'ese
eset\'en el\H{o} tudtuk \'all\'{\i}tani a keresett Wold 
felbont\'ast.

Megjegyzem, hogy \'altal\'aban a fenti t\'etel felt\'etel\'eben
szerepl\H{o} integr\'al v\'egess\'eg\'et a vele ekvivalens
$\int_{-\pi}^\pi \log g(\vartheta)\,d\vartheta>-\infty$
alakban szokt\'ak kimondani. Az $\int g(\vartheta)\,d\vartheta
=EX_1^2<\infty$, $g(\vartheta)\ge0$ rel\'aci\'ok alapj\'an
k\"onnyen l\'athat\'o, hogy a k\'et felt\'etel ekvivalens.

\'Erv\'enyes a fenti t\'etel k\"ovetkez\H{o} \'eles\'{\i}t\'ese
is, amely megadja egy adott spek\-tr\'al m\'er\-t\'ek\-kel
rendelkez\H{o} stacion\'arius Gauss folyamat felbont\'as\'at
a sorozatnak al\'arendelt ortogon\'alis regul\'aris \'es
szingul\'aris stacion\'arius sorozatok \"osszeg\'ere.

\medskip\noindent
{\bf 4.8.~T\'etel. T\'etel stacion\'arius sorozatok 
felbont\'as\'ara regul\'aris
\'es szingul\'aris komponensekre.} {\it Tekints\"uk egy $X_n$,
$n=\dots,-1,0,1,\dots$, stacion\'arius sorozat $G$ spektr\'al
m\'ert\'ek\'enek $G=G_1+G_2$, felbont\'as\'at abszol\'ut folytonos
\'es szingul\'aris komponensek \"osszeg\'ere, ahol $G_1$ a $G$
m\'ert\'ek abszol\'ut folytonos komponense
$g(\vartheta)=\frac{dG_1(\vartheta)}{d\vartheta}$
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg f\"ugg\-v\'ennyel, \'es $G_2$ a $G$ m\'ert\'ek
szingul\'aris komponense, azaz olyan (v\'eges) m\'ert\'ek, amely egy
null Lebesgue m\'ert\'ek\H{u} halmazba van koncentr\'alva.
Jel\"olje $A=D(G_2)\subset
[-\pi,\pi]$ a $G_2$ szingul\'aris m\'ert\'ek tart\'oj\'at, azaz
azt a legsz\H{u}kebb (nulla Lebesgue m\'ert\'ek\H{u}) z\'art halmazt,
amelyre $G_2(D)=G_2([-\pi,\pi])$.

Az $X_n$ stacion\'arius sorozat szingul\'aris, ha $\int_{-\pi}^\pi
\log g(\vartheta)\,d\vartheta=-\infty$.  A m\'asik esetben, ha
$\int_{-\pi}^\pi\log g(\vartheta)\,d\vartheta>-\infty$, akkor az
$X_n$ sorozatot el\H{o}\'all\'{\i}t\'o $Z_G$ v\'eletlen spektr\'al
m\'ert\'ek szerinti integr\'al seg\'{\i}ts\'eg\'evel az
$X_n$ sorozat fel\'{\i}rhat\'o $X_n=U_n+V_n$, $n=0,\pm1,\dots$,
alakban, ahol $U_n$, $n=0,\pm1,\dots$, regul\'aris \'es
$V_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, szingul\'aris, az $X_n$ sorozatnak
al\'arendelt stacion\'arius sorozat, \'es az $U_n$ \'es $V_n$
sorozatok ortogon\'alisak, azaz $EU_mV_n=0$,
$n,m=0,\pm1,\dots$. Ez a fel\'{\i}r\'as a k\"ovetkez\H{o}:
Ha $X_n=\int e^{in\vartheta}Z_G(\,d\vartheta)$, $n=0,\pm1,\dots$,
akkor $U_n=\int e^{in\vartheta}I_{[-\pi,\pi]\setminus
D}(t)Z_{G}(\,d\vartheta)$, $V_n=\int
e^{in\vartheta}I_{D}(t)Z_{G}(\,d\vartheta)$, $n=0,\pm1,\dots$,
ahol $I_A(t)$ egy $A$ halmaz indik\'ator f\"uggv\'eny\'et jel\"oli.}

\medskip
E fenti t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'anak nem dolgozom ki minden
r\'eszlet\'et. Az a regul\'aris stacion\'arius sorozatok
jellemz\'es\'er\H{o}l valamint a stacion\'arius sorozatok
a sorozatnak al\'arendelt regul\'aris \'es szingul\'aris sorozatok
\"osszeg\'ere val\'o  felbont\'as\'ar\'ol sz\'ol\'o t\'etelek,
illetve ez ut\'obbi t\'etelben szerepl\H{o} felbont\'as (csak a
kieg\'esz\'{\i}t\'esben ismertetett, egyszer\H{u}, de nem 
konstrukt\'{\i}v) el\H{o}\'all\'{\i}t\'as\'an alapul.

Ha egy $X_n$ stacion\'arius sorozat $G$ spektr\'al m\'ert\'eke
olyan, hogy az abszol\'ut foly\-to\-nos komponens $g(\vartheta)$
spektr\'al s\H{u}r\H{u}s\'eg\'ere  az
$\int_{-\pi}^\pi\log g(\vartheta)\,d\vartheta=-\infty$ rel\'aci\'o
\'erv\'enyes, akkor te\-kint\-ve e sorozat tetsz\H{o}leges
$X_n=U_n+V_n$, $n=0,\pm1,\dots$, felbont\'as\'at k\'et f\"uggetlen
(Gauss) stacion\'arius sorozat \"osszeg\'ere valamely $G^{(1)}$
\'es $G^{(2)}$ (nem z\'er\'o) spek\-tr\'al m\'er\-t\'ek\-kel
azt kapjuk, hogy ezen spektr\'al m\'ert\'ekeknek l\'etezik 
$g^{(1)}(\vartheta)$ \'es $g^{(2)}(\vartheta)$ s\H{u}r\H{u}s\'eg
f\"uggv\'enye, \'es azok  teljes\'{\i}tik a 
$g(\vartheta)=g^{(1)}(\vartheta)+g^{(2)}(\vartheta)$ 
azonoss\'agot. Innen k\"ovetkezik, hogy mind
$g^{(1)}(\vartheta)$ mind $g^{(2)}(\vartheta)$ kisebb,
mint $g(\vartheta)$, ez\'ert sem $U_n$ sem $V_n$ sem lehet 
regul\'aris stacion\'arius sorozat. \'Igy a stacion\'arius 
sorozatok a sorozatnak al\'arendelt regul\'aris \'es 
szingul\'aris sorozatok \"ossze\-g\'e\-re val\'o
felbont\'as\'ar\'ol sz\'ol\'o t\'etel alapj\'an az $X_n$
stacion\'arius sorozat ebben az esetben szingul\'aris, mivel 
nincs regul\'aris komponense. 

Az el\H{o}bb fel\'{\i}rt 
azonoss\'ag az\'ert igaz, mert ha $U_n$ \'es $V_n$
k\'et egym\'ast\'ol f\"uggetlen stacion\'arius sorozat
$G^{(1)}$ \'es $G^{(2)}$ spektr\'al m\'ert\'ekkel, akkor 
mint n\'emi sz\'amol\'as seg\'{\i}ts\'eg\'evel megmutathat\'o, 
az $U_n+V_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, sorozat stacion\'arius 
$G=G^{(1)}+G^{(2)}$ spektr\'al m\'ert\'ekkel. Ez\'ert, ha a 
$G$ spektr\'al m\'ert\'eknek van $g(\vartheta)$ spektr\'al
s\H{u}r\H{u}s\'eg f\"uggv\'enye, akkor a $G^{(1)}$ \'es
$G^{(2)}$ spektr\'al m\'ert\'ekeknak is van 
$g^{(1)}(\vartheta)$ \'es $g^{(2)}(\vartheta)$ 
spektr\'al s\H{u}r\H{u}s\'eg f\"uggv\'enye, \'es teljes\"ul
a $g(\vartheta)=g^{(1)}(\vartheta)+g^{(2)}(\vartheta)$ 
azonoss\'ag.

Ha az $X_n$ sorozat $G$ spektr\'al m\'ert\'eke olyan, hogy
$\int_{-\pi}^\pi\log g(\vartheta)\,d\vartheta>-\infty$, akkor 
nem neh\'ez bel\'atni, hogy a t\'etelben megadott $X_n=U_n+V_n$,
$n=0,\pm1,\dots$ azonoss\'ag az $X_n$ sorozat felbont\'as\'at 
adja k\'et korrel\'alatlan stacion\'arius sorozat \"osszeg\'ere, 
amelyek k\"oz\"ul az $U_n$ sorozat regul\'aris, a $V_n$ sorozat 
szingul\'aris. A $V_n$ sorozat szingul\'aris, mert mint az 
el\H{o}z\H{o} \'ervel\'es n\'emi m\'odos\'{\i}t\'asa mutatja
a $V_n$ sorozatnak nincsen regul\'aris komponense.
Viszont meg kell mutatni azt is, hogy az $U_n$ \'es $V_n$ 
sorozatok al\'a vannak rendelve az $X_n$, $n=0,\pm1,\dots$, 
sorozatnak. Ennek indokl\'as\'aban alkalmazzuk azt a
(csak a kieg\'esz\'{\i}t\'esben ismertetett) konstrukci\'ot, 
amely lehet\H{o}v\'e teszi egy stacion\'arius 
sorozatnak a felbont\'as\'at az e sorozatnak al\'arendelt 
regul\'aris \'es szingul\'aris sorozatok \"osszeg\'ere. 

Tekints\"uk az $X_n$, $n=0,\pm1,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok line\'aris kombin\'aci\'oi \'altal kifesz\'{\i}tett
az (1.1) formul\'aban defini\'alt $H$ Hilbert  teret, illetve ennek 
ugyanebben a formul\'aban defini\'alt $S$ alter\'et. Vegy\"uk 
mindegyik $X_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $S$ 
alt\'erre vett vet\"ulet\'enek $\tilde U_n$ ortogon\'alis
ki\-eg\'e\-sz\'{\i}\-t\H{o}\-j\'et. Ekkor be lehet l\'atni, (ez az
eml\'{\i}tett t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'anak a kulcsl\'ep\'ese),
hogy az $\tilde U_n$, $n=0,\pm1,\dots$, sorozat az $X_n$
sorozatnak al\'arendelt regul\'aris stacion\'arius sorozat.
Ezenk\'{\i}v\"ul a $H$ Hilbert t\'ernek az $\tilde U_n$,
$n=0,\pm1,\dots$, sorozat elemei \'altal gener\'alt altere
megegyezik az $S$ alt\'er $H$ Hilbert t\'er-beli ortogon\'alis 
kieg\'esz\'{\i}t\'es\'evel. Be lehet l\'atni, felhaszn\'alva azt, 
hogy mivel $\tilde U_n$ az $X_n$ sorozatnak al\'a van rendelve, 
\'es `ugyanaz a shift oper\'ator hat r\'a', ez\'ert 
fel\'{\i}rhat\'o 
$\tilde U_n=\int e^{in\vartheta}h(\vartheta)Z_G(\,d\vartheta)$,
$n=0,\pm1,\dots$, alakban al\-kal\-mas $h(\vartheta)$
magf\"uggv\'ennyel. (Ezen \'all\'{\i}t\'as indokl\'as\'aban
felhaszn\'alhatjuk a Bochner t\'etel jegyzetben a v\'eletlen
spektr\'al m\'ert\'ek tulajdons\'agair\'ol bizony\'{\i}tott
eredm\'enyeket, nevezetesen azt, hogy a $H$ Hilbert t\'er minden
elem\'et el\H{o} tudjuk \'all\'{\i}tani alkalmas magf\"uggv\'enynek
a v\'eletlen spektr\'al m\'ert\'ek szerinti integr\'aljak\'ent.
Ezenk\'{\i}v\"ul tudjuk, hogy hogyan sz\'amolhat\'o ki a shift 
oper\'ator hat\'asa v\'eletlen integr\'alokkal kifejezett 
mennyis\'egekre.) Mivel a (regul\'aris) $\tilde U_n$ sorozatnak
van spektr\'al s\H{u}r\H{u}s\'eg f\"uggv\'enye, ez\'ert
a $h(\vartheta)$ magf\"uggv\'eny a $[-\pi,\pi]\setminus D$ halmazba
van koncentr\'alva, \'{\i}gy az $\tilde U_n$  \'es $V_n$,
$n=0,1,\dots$, stacion\'arius sorozatok ortogon\'alisak. Innen
k\"ovetkezik, hogy a $V_n$, $n=0,\pm1,\pm2,\dots$, sorozat elemei
az $S$ alt\'erben vannak.  Innen, illetve az $S$ alt\'er 
definici\'oj\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy az $V_n$, $n-0,\pm1,\dots$,
sorozat al\'a van rendelve az $X_n$, $n=0,\pm1,\dots$, sorozatnak. 
Akkor viszont ugyanez igaz a $U_n=X_n-V_n$, $n=0,\pm1,\dots$, 
sorozatra is. A t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'at befejezt\"uk.

\beginsection 5. A vizsg\'alt komplex f\"uggv\'enytani feladat
\'altal\'anos megold\'asa.

R\"oviden besz\'elek a FELADAT~A \'altal\'anos megold\'as\'ar\'ol.
Ha \"osszehasonl\'{\i}tjuk a (4.5) formul\'at a Szeg\H{o} t\'etelben
szerepl\H{o} (4.9) k\'eplettel, azt kapjuk, hogy a FEL\-ADAT~A
tetsz\H{o}leges $f(z)$ megold\'asa teljes\'{\i}ti az
$|f(Re^{i\vartheta})|\le |H_0(Re^{i\vartheta})|$ egyenletet
minden $0\le R<1$, $-\pi\le\vartheta\le\pi$, param\'eterre.
Ebb\H{o}l, illetve abb\'ol a t\'enyb\H{o}l, hogy a $H_0(z)$
f\"uggv\'eny sehol sem t\H{u}nik el az egys\'egk\"or belsej\'eben
k\"ovetkezik, hogy a FEL\-ADAT~A minden megold\'asa
fel\'{\i}rhat\'o $f(z)=H_0(z)g(z)$ alakban, ahol $H_0(z)$, amelyet
a (feladat felt\'eteleit teljes\'{\i}t\H{o}) k\"uls\H{o}
f\"uggv\'enynek neveznek a (4.5) k\'epletben van megadva, m\'{\i}g a
$g(z)$ f\"uggv\'eny, amelyet bels\H{o} f\"uggv\'enynek neveznek,
olyan f\"uggv\'eny, amelynek abszol\'ut \'ert\'eke az egys\'egk\"or
belsej\'eben kisebb, mint 1, az egys\'egk\"orvonalon vett
hat\'ar\'ert\'eke pedig 1. A maximum elv seg\'{\i}ts\'eg\'evel be
lehet l\'atni, hogy ha $g(z)$ nem egyenl\H{o} egy 1
abszol\'ut \'ert\'ek\H{u} konstanssal minden $z$ sz\'amra, akkor $g(z)$
abszol\'ut \'ert\'eke szigor\'uan kisebb, mint 1 az egys\'egk\"or
minden bels\H{o} pontj\'aban. Innen az is k\"ovetkezik, hogy az
orig\'oban maxim\'alis abszol\'ut \'ert\'eket felvev\H{o} a
FELADAT~A felt\'eteleit teljes\'{\i}t\H{o} f\"uggv\'eny egy
esetleges $(-1)$ sz\'ammal val\'o szorz\'ast nem tekintve
egy\'ertelm\H{u}en meg van hat\'arozva. Ez\'ert $H_0(z)$ val\'oban
a stacion\'arius sorozat Wold felbont\'as\'anak felel meg.

A bels\H{o} f\"uggv\'enyeket \'es ez\'altal a FELADAT~A teljes
megold\'asrendszer\'et pontosan le lehet \'{\i}rni. E fejezetben
csak heurisztikusan magyar\'azom el, hogy milyen alak\'u lehet 
egy bels\H{o} f\"uggv\'eny. A kieg\'esz\'{\i}t\'esben 
r\'eszletesebben t\'argyalom ezt a k\'erd\'est.

Egy tipikus bels\H{o} f\"uggv\'eny olyan
$g(z)=\frac{z-z_0}{1-z\bar z_0}$, $|z_0|<1$, racion\'alis
t\"ortf\"uggv\'eny, amely az egys\'egk\"ort \"onmag\'aba k\'epezi.
Tekinthetj\"uk ilyen f\"uggv\'enyek szorzat\'at is. Tudjuk, hogy
egy nem azonosan nulla analitikus f\"uggv\'eny null-helyeinek nem
lehet torl\'od\'asi pontja az \'ertelmez\'esi tartom\'any
belsej\'eben. Viszont a null-helyek tor\-l\'od\-hat\-nak az
\'ertelmez\'esi tartom\'any (jelen esetben az egys\'egk\"or) valamely
hat\'arpontj\'ahoz. Ezt a lehet\H{o}s\'eget kihaszn\'alva lehet
v\'egtelen, \'ugynevezett Blaschke szorzatok seg\'{\i}ts\'eg\'evel
defini\'alni bels\H{o} f\"uggv\'enyeket.

M\'as tipus\'u bels\H{o} f\"uggv\'enyt kaphatunk \'ugy, hogy
egy $R(z)=c\frac{z+e^{i\vartheta}}{z-e^{i\vartheta}}$, $c>0$,
alak\'u f\"uggv\'enyt vesz\"unk, azaz az egy\-s\'eg\-k\"or egy
racion\'alis t\"ortf\"uggv\'eny lek\'epez\'es\'et tekintj\"uk a
$\{z\colon\;\Re z<0\}$ f\'els\'{\i}kra, majd defini\'aljuk a
$h(z)=e^{R(z)}$ f\"uggv\'enyt. A $h(z)$ f\"uggv\'eny az
egys\'egk\"or olyan lek\'epez\'ese \"onmag\'aba, amely\-nek
egyetlen pontban nincsen radi\'alis limesze, az $R(z)$ racion\'alis
t\"ortf\"uggv\'enynek az egys\'egk\"orvonal ha\-t\'a\-r\'an
lev\H{o} $z=e^{i\vartheta}$ szingul\'aris pontj\'aban.
A $h(z)$ f\"uggv\'eny az egys\'egk\"or olyan lek\'epez\'ese
\"onmag\'ara, amely az egy\-s\'eg\-k\"or belsej\'eben sehol sem
t\H{u}nik el. Ilyen f\"uggv\'enyek szor\-za\-ta\-k\'ent, illetve
a szorzatok limesz\'et v\'eve tov\'abbi  bels\H{o} f\"uggv\'enyeket
tudunk defini\'alni. Ilyen m\'odon
$$
g(z)=\exp\left\{\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi
\frac{z+e^{i\vartheta}}{z-e^{i\vartheta}}\,d\mu(\vartheta)\right\}
\tag5.1
$$
alak\'u bels\H{o} f\"uggv\'enyeket kapunk, ahol $\mu$ szingul\'aris
m\'ert\'ek. Az, hogy az ilyen f\"ugg\-v\'e\-nyek abszol\'ut
\'ert\'ek\'enek a radi\'alis limesze majdnem minden pontban 1
megmutathat\'o a Fatou t\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
Az ilyen alak\'u bels\H{o} f\"uggv\'enyeket szingul\'aris bels\H{o}
f\"uggv\'enynek nevezik. Be lehet l\'atni, hogy tetsz\H{o}leges
bels\H{o} f\"uggv\'eny el\H{o}\'all\'{\i}that\'o egy Blaschke
szorzat \'es egy szingul\'aris bels\H{o} f\"uggv\'eny szorzatak\'ent,
\'es ez az el\H{o}\'all\'{\i}t\'as egy 1 abszol\'ut \'ert\'ek\H{u}
t\'enyez\H{o} erej\'eig egy\'ertelm\H{u}.

A Wold felbont\'ast fel\'{\i}rhatjuk $X_n=\summ_{k=0}^\infty
c_kW_{n-k}$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, alakban, ahol a $c_k$
egy\"utthat\'ok az el\H{o}bb t\'argyalt $H_0(z)=\summ_{k=0}^\infty
c_kz^k$ f\"uggv\'eny Taylor egy\"utthat\'oi, a $W_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat pedig a (3.2) k\'eplet
defini\'alja, azzal a kieg\'esz\'{\i}t\'essel, hogy a k\'epletben
szerepl\H{o} $h(t)$ f\"uggv\'eny a $H_0(z)$ f\"uggv\'eny
$H_0(e^{it})$, $-\pi\le t\le\pi$, radi\'alis limesze. Felmer\"ulhet
az ig\'eny, hogy a (3.2) k\'epletben defini\'alt v\'eletlen integr\'al
kisz\'am\'{\i}t\'as\'ara tal\'aljunk egyszer\H{u}bb, jobban
sz\'amolhat\'o m\'odszert. \'Erdemes \'eszrevenni, hogy mivel a
$H_0(z)$ f\"uggv\'eny nem t\H{u}nik el az  egys\'egk\"or
belsej\'eben, ennek reciproka szint\'en ana\-li\-ti\-kus
f\"uggv\'eny az egys\'egk\"orben, amely fel\'{\i}rhat\'o
$\frac1{H_0(z)}=\summ_{k=0}^\infty D_kz^k$ alakban, \'es az
$\frac1{h(t)}$ ennek a f\"uggv\'enynek a radi\'alis limesze. Ez
azt sugallja, hogy $\frac1{h(t)}$ f\"uggv\'eny fel\'{\i}rhat\'o
$\frac1{h(t)}=\summ_{k=0}^\infty D_ke^{ikt}$ alakban, ez\'ert a (3.2)
formula alapj\'an
$$
W_n=\int_{-\pi}^\pi\frac1{\overline{h(t)}}e^{int}Z_G(dt)
=\int_{-\pi}^\pi\summ_{k=0}^\infty D_k e^{i(n-k)t}Z_G(dt)
=\summ_{k=0}^\infty D_kX_{n-k}.
$$
Az el\H{o}bbi sz\'amol\'as megadja, legal\'abbis form\'alis szinten
azt, hogy hogyan lehet ki\-sz\'a\-mol\-ni a Wold felbont\'asban
szerepl\H{o} $W_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat az
ismert $X_j$, $j\le n$, va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ok seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Vegy\"uk \'eszre, hogy ebben a
sz\'amol\'asban is kihaszn\'altuk, hogy a $H_0(z)$ f\"uggv\'eny nem
t\H{u}nik el az egys\'egk\"or belsej\'eben. Ez biztos\'{\i}tja azt,
hogy az $\frac1{H_0(z)}$ f\"uggv\'eny analitikus az egys\'egk\"or
belsej\'eben, \'es a radi\'alis limesze az egys\'egk\"or
hat\'ar\'an megegyezik az $\frac1{h(t)}$ f\"uggv\'ennyel.

Val\'oj\'aban a probl\'ema nehezebb, \'es a fenti gondolatmenet
csak heurisztikus \'er\-ve\-l\'es\-nek tekinthet\H{o}. A probl\'ema
az, hogy az $\limm_{R\to1}\frac1{H_0(Re^{i\vartheta})}=
\frac1{h_0(e^{i\vartheta})}$ rel\'aci\'ot csak a majdnem minden
konvergencia \'ertelemben tudjuk, m\'{\i}g az el\H{o}bbi
k\"ozel\'{\i}t\'es Wold felbont\'asban szerepl\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz val\'o konvergenci\'anak
igazol\'as\'ahoz a
$$\limm_{R\to1}\int_{-\pi}^\pi\left|\frac1{H_0(Re^{i\vartheta})}-
\frac1{h_0(e^{i\vartheta})}\right|^2g(\vartheta)\,d\vartheta=0
$$
rel\'aci\'o igazol\'as\'ara lenne sz\"uks\'eg\"unk. (Ekkor a
sztochasztikus integr\'alok $L_2$ izo\-mor\-fi\'a\-j\'a\-b\'ol
k\"ovetkezik az \'all\'{\i}t\'as.) A k\"ovetkez\H{o} fejezetben
egy speci\'alis modellt, az \'ugynevezett moving average \'es
ARMA folyamatokat fogjuk vizsg\'alni. Megmutatjuk, hogy ebben 
a speci\'alis esetben a fenti azonoss\'ag \'erv\'enyes, 
ez\'ert az \'altala sugallt k\"ozel\'{\i}t\'es
seg\'{\i}ts\'eg\'evel megkaphatjuk a p\'eld\'aban szerepl\H{o}
stacion\'arius folyamat Wold felbont\'as\'at. Ezzel a 
m\'odszerrel el\H{o} lehet \'all\'{\i}tani regul\'aris 
stacion\'arius sorozat Wold felbont\'as\'at m\'as esetekben 
is, de meg lehet mutatni, hogy van olyan regul\'aris 
stacion\'arius sorozat, amelynek a Wold felbont\'as\'at 
nem lehet ilyen m\'odon megkapni. Ilyen esetekben a Wold 
felbont\'ast csak egy bonyolultabb elj\'ar\'as
 seg\'{\i}ts\'eg\'evel kaphatjuk meg.

\beginsection 6. Moving average \'es ARMA folyamatok vizsg\'alata.

K\"ul\"on foglalkozom k\'et k\"ul\"onb\"oz\H{o} gyakorlati
alkalmaz\'asokban fontos speci\'alis sta\-cio\-n\'a\-rius 
folyamattal, a `Moving Average' (mozg\'o \'atlag) \'es `ARMA' 
(autoregressive moving average) folyamattal. Ezen folyamatok
spektr\'al s\H{u}r\H{u}s\'ege speci\'alis alakban \'{\i}rhat\'o
fel. A $g(t)$ spektr\'al s\H{u}r\H{u}s\'eg ezekben a modellekben 
az $e^{it}$ f\"uggv\'eny speci\'alis alak\'u f\"ugg\-v\'e\-nye.
Ez a speci\'alis alak\'u f\"uggv\'eny egy polinom, illetve egy
racion\'alis t\"ortf\"uggv\'eny abszol\'ut \'ert\'ek\'enek a
n\'egy\-ze\-t\'e\-vel  egyenl\H{o}. Ez a polinom, illetve
racion\'alis t\"ortf\"uggv\'eny nincs egy\'ertelm\H{u}en
meg\-ha\-t\'a\-roz\-va, \'es \'erdemes megkeresni annak
legjobban haszn\'alhat\'o alakj\'at. A `Moving Average' \'es
`ARMA' folyamat spektr\'al s\H{u}r\H{u}s\'eg\'enek
speci\'alis alakja miatt e modellekben viszonylag egyszer\H{u}en
megoldhat\'o a FELADAT~A-ban megfogalmazott probl\'ema, ez\'ert
ebben az esetben a predikci\'os probl\'ema vizsg\'alata kev\'esb\'e
neh\'ez.

Megadom a Moving Average \'es ARMA folyamatok definici\'oj\'at, \'es
kisz\'amolom ezek spektr\'al s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.

\medskip\noindent
{\bf Moving average folyamatok definici\'oja.} {\it Legyen 
$\dots,\e_{-1},\e_0,\e_1,\dots$ f\"uggetlen standard norm\'alis 
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok
sorozata, \'es r\"ogz\'{\i}ts\"uk $a_0,a_1,\dots,a_k$
val\'os sz\'amok egy sorozat\'at. Az
$$
X_n=\summ_{p=0}^k a_p\e_{n-p},\quad n=\dots,-1,0,1,\dots  \tag6.1
$$
sorozatot $k$-ad rend\H{u} mozg\'o \'atlagnak nevezz\"uk.}

\medskip
(Ebben a definici\'oban a kor\'abban bevezetett mozg\'o \'atlag 
fogalom speci\'alis eset\'et tekintett\"uk, mert a (6.1) 
formul\'aban csak v\'eges \"osszegeket vett\"unk.) Az $X_n$, 
$n=0,\pm1,\pm2,\dots$, sorozat $g(t)$ spektr\'al 
s\H{u}r\H{u}s\'eg f\"uggv\'eny\'et megadhatjuk
$g(t)=\frac1{2\pi}|P(e^{it})|^2$, $-\pi\le t\le\pi$, alak\-ban, 
ahol $P(z)=\summ_{p=0}^ka_pz^p$. E k\'eplet bizony\'{\i}t\'as\'at 
az al\'abbi (tulajdonk\'epp m\'ar \'altal\'anosabb esetben 
elv\'egzett) sz\'amol\'as adja.
$$ 
\align
EX_lX_{l+n}&=\sum_{p=0}^k\sum_{p'=0}^k
a_pa_{p'}E\e_{l-p}\e_{n+l-p'}=E\(\sum_{p=0}^k a_p\e_{l-p}\)
\(\sum_{p'-0}^ka_{p'}\e_{n+l-p'}\) \\
&=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \(\sum_{p=0}^ka_pe^{-i(l-p)t}\)
\(\sum_{p'=0}^ka_{p'}e^{i(n+l-p')t}\)\,dt\\
&=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{int}
\left|\sum_{p=0}^ka_pe^{i(l-p)t}\right|^2\,dt
=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{int} 
\left|\sum_{p=0}^ka_pe^{ipt}\right|^2\,dt \\
&=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{int} |P(e^{it})|^2\,dt,
\endalign
$$
\'es $g(t)=g(-t)$ a $g(t)=\frac1{2\pi}|P(e^{it})|^2$ f\"uggv\'enyre.

Bevezetem az ARMA folyamatok definici\'oj\'at is.

\medskip\noindent
{\bf ARMA folyamatok definici\'oja.} {\it Legyen megadva a Moving 
Average folyamatok definici\'oj\'aban szerepl\H{o}
$\dots,\e_{-1},\e_0,\e_1,\dots$ f\"uggetlen standard norm\'alis
el\-osz\-l\'a\-s\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi 
v\'al\-to\-z\'ok \'es az $a_0,a_1,\dots,a_k$ val\'os sz\'amok 
sorozat\'an k\'{\i}v\"ul val\'os sz\'amok egy m\'asik 
$b_1,\dots,b_l$ sorozata is. Azt mondjuk, hogy az (egy\"uttesen) 
norm\'alis eloszl\'as\'u $Y_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok stacion\'arius sorozata 
$(k,l)$ rend\H{u} ARMA folyamat, ha teljes\'{\i}ti a
$$
\sum_{q=0}^l b_q Y_{n-q}=\summ_{p=0}^k a_p\e_{n-p},\quad,
n=\dots,-1,0,1,\dots \tag6.2
$$
azonoss\'agot.} 

\medskip
Pr\'ob\'aljuk meg kisz\'amolni az $Y_n$ stacion\'arius sorozat 
$g(\lambda)$ spektr\'al s\H{u}r\H{u}s\'eg f\"ugg\-v\'e\-ny\'et
(felt\'eve, hogy l\'etezik az adott tulajdons\'ag\'u stacion\'arius
sorozat, \'es annak van spek\-tr\'al s\H{u}r\H{u}s\'eg 
f\"uggv\'enye). Vezess\"uk be a $Z_n=\summ_{q=0}^l b_q Y_{n-q}$, 
$n=\dots,-1,0,1\dots$, stacion\'arius sorozatot. Az el\H{o}z\H{o} 
sz\'amol\'ashoz hasonl\'oan fel\'{\i}rhatjuk, hogy
$$
\align
EZ_sZ_{s+n}&=EZ_0Z_n=\sum_{q=0}^l \sum_{q'=0}^l
b_q b_{q'}EY_{-q}Y_{n-q'}\\
&=\int_{-\pi}^\pi \(\sum_{q=0}^lb_qe^{iqt}\)
\(\sum_{q'=0}^kb_{q'}e^{i(n-q')t}\)g(t)\,dt\\
&=\int_{-\pi}^\pi e^{int}
\left|\sum_{q=0}^lb_qe^{iqt}\right|^2g(t)\,dt
=\int_{-\pi}^\pi e^{int}|R(e^{it})|^2 g(t)\,dt,
\endalign
$$
ahol $R(z)=\summ_{q=0}^l b_qz^q$.

\"Osszehasonl\'{\i}tva a (6.2) formula bal \'es jobb oldal\'an
szerepl\H{o} kifejez\'esek kovariancia f\"uggv\'eny\'ere kapott
kifejez\'eseket azt kapjuk, hogy
$$
\int_{-\pi}^\pi e^{int}|R(e^{it})|^2 g(t)\,dt
=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{int} |P(e^{it})|^2\,dt.
$$
Mivel ennek az azonoss\'agnak minden $n=0,\pm1,\dots$ sz\'amra
teljes\"ulnie kell, innen k\"ovetkezik, hogy $g(t)=\frac1{2\pi}
\left|\frac{P(e^{it})}{R(e^{it})}\right|^2$, $-\pi\le t\le\pi$.

\medskip
Fel\'{\i}rtuk a moving average \'es ARMA folyamat
spektr\'al s\H{u}r\H{u}s\'eg\'et $g(\lambda)=|P(e^{i\lambda})|^2$,
illetve
$g(\lambda)=\left|\frac{P(e^{i\lambda})}{R(e^{i\lambda})}\right|^2$,
$-\pi\le\lambda\le\pi$, alakban. Az ezekben a kifejez\'esekben 
szerepl\H{o} polinomoknak lehet gy\"ok\"uk az egys\'egk\"or 
belsej\'eben is. A k\"ovetkez\H{o} lemm\'aban megadjuk egy ilyen 
alak\'u spektr\'al s\H{u}r\H{u}s\'eg f\"uggv\'eny egy esetleg
k\"ul\"onb\"oz\H{o} el\H{o}\'all\'{\i}t\'as\'at, amelyben olyan
polinomok szerepelnek, amelyeknek nincs gy\"ok\"uk az egys\'egk\"or
belsej\'eben. Ez lehet\H{o}v\'e teszi, hogy egyszer\H{u} m\'odon
el\H{o}\'all\'{\i}tsuk azt a (4.5) formul\'aban defini\'alt, a
$g(\lambda)$ spektr\'al s\H{u}r\H{u}s\'eg f\"uggv\'enyt\H{o}l
f\"ugg\H{o} $H_0(z)$ f\"uggv\'enyt, amely megadja egy $g(\lambda)$
spektr\'al s\H{u}r\H{u}s\'eggel rendelkez\H{o} stacion\'arius
sorozat Wold felbont\'as\'aban szerepl\H{o} egy\"utthat\'okat.

\medskip\noindent
{\bf 6.1.~Lemma. Lemma Moving Average \'es ARMA folyamatok
spektr\'al s\H{u}r\H{u}s\'eg f\"ugg\-v\'e\-ny\'e\-nek
reprezent\'aci\'oj\'ar\'ol.} {\it Vegy\"unk egy olyan
stacion\'arius sorozatot, amely\-nek $g(\lambda)$
spektr\'al s\H{u}r\H{u}s\'eg f\"uggv\'enye fel\'{\i}rhat\'o
$g(\lambda)=\left|\frac{P(e^{i\lambda})}{R(e^{i\lambda})}\right|^2$
alakban alkalmas $P(z)$ \'es $R(z)$ polinomokkal. Ekkor l\'eteznek
olyan $\tilde P(z)$ \'es $\tilde R(z)$ polinomok, amelyeknek nincs
gy\"ok\"uk a $\{z\colon |z|<1\}$ komplex egys\'egk\"orben, \'es
$g(\lambda)=\left|\frac{\tilde P(e^{i\lambda})}
{\tilde R(e^{i\lambda})}\right|^2$. A $\tilde P(z)$ \'es
$\tilde R(z)$ polinomok egy\"utthat\'oi val\'os sz\'amok, \'es
feltehet\H{o}, hogy $0<\frac{\tilde P(0)}{\tilde R(0)}<\infty$.
A $g(\lambda)$  spektr\'al s\H{u}r\H{u}s\'eg f\"uggv\'enyhez
tartoz\'o FELADAT~A-nak a (4.5) formul\'aban megadott extrem\'alis
megold\'asa a $H_0(z)=\frac{\tilde P(z)}{\tilde R(z)}$ f\"uggv\'eny.}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.} Egy feladatban megmutatjuk azt, hogy ha egy
spektr\'al s\H{u}r\H{u}s\'eg f\"uggv\'eny fel\'{\i}rhat\'o a 
6.1.~lemm\'aban megadott
$g(\lambda)=\left|\frac{P(e^{i\lambda})}{R(e^{i\lambda})}\right|^2$
alakban, akkor l\'etezik olyan ARMA folyamat is, amelynek ez a 
spektr\'al s\H{u}r\H{u}s\'eg f\"uggv\'enye.

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.}\/   Legyenek a $g(\lambda)$
spektr\'al s\H{u}r\H{u}s\'eg f\"uggv\'eny\'enek
el\H{o}\'all\'{\i}t\'asaban szerepl\H{o} $P(z)$ \'es $R(z)$
polinomok nem z\'er\'o gy\"okei $v_1,\dots,v_m$ \'es
$w_1,\dots,w_n$. Ekkor
$$
g(\lambda)=\left|\frac{P(e^{i\lambda})}{R(e^{i\lambda})}\right|^2
=\frac{P(e^{i\lambda})\overline{P(e^{i\lambda})}}
{R(e^{i\lambda})\overline{R(e^{i\lambda})}}
=C^2\frac{\prodd_{k=1}^m(e^{i\lambda}-v_k)(e^{-i\lambda}-\bar v_k)}
{\prodd_{k=1}^n(e^{i\lambda}-w_k)(e^{-i\lambda}-\bar w_k)} \tag6.3
$$
valamely alkalmas $C>0$ sz\'ammal. A (6.3) formul\'aban lev\H{o}
$C>0$ sz\'amot \'ugy kapjuk meg, hogy tekintj\"uk a $P(z)$ \'es 
$R(z)$ polinomok f\H{o} egy\"utthat\'oinak a h\'anyados\'at, 
\'es vessz\"uk annak abszol\'ut \'ert\'ek\'et, azaz 
$C=|\frac{a_k}{b_l}|$. (A $P(z)$ \'es $R(z)$ polinomok
z\'er\'o gy\"okeit figyelmen k\'{\i}v\"ul hagyhattuk a (6.3) 
formul\'aban, mert ezek az $e^{i\lambda}\cdot e^{-i\lambda}\equiv1$
faktort adn\'ak ebben a kifejez\'esben.)

Defin\'aljuk a $\tilde v_k=v_k$, ha $|v_k|\ge1$,
$\tilde v_k=\frac1{\bar v_k}$, ha $|v_k|<1$, $1\le k\le m$,
sz\'amokat \'es a $\tilde P(z)=\frac1A\prodd_{k=1}^m(z-\tilde v_k)$
polinomot, ahol $A=\prodd_{k\colon |v_k|<1}|v_k|$. Defini\'aljuk
hasonl\'o m\'odon a $\tilde w_k=w_k$, ha $|w_k|\ge1$,
$\tilde w_k=\frac1{\bar w_k}$, ha $|w_k|<1$, $1\le k\le n$,
sz\'amokat \'es a $\tilde R(z)=\frac1B\prodd_{k=1}^m(z-\tilde w_k)$
polinomot, ahol $B=\prodd_{k\colon |w_k|<1}|w_k|$. Pontosabban a
$\tilde P(z)$ \'es $\tilde R(z)$ polinomokat \'ugy defini\'aljuk,
hogy az el\H{o}bb bevezetett $\tilde P(z)$ illetve $\tilde R(z)$
polinomokb\'ol elhagyjuk azokat a $(z-\tilde v_k)$ \'es
$(z-\tilde w_k)$ t\'enyez\H{o}ket, amelyekre $\tilde v_k=\tilde w_k$.
Ilyen m\'odon a $\frac{\tilde P(z)}{\tilde R(z)}$ racion\'alis
t\"ortf\"uggv\'eny \'ert\'ek\'et nem v\'altoztattuk meg. (Ebben 
a definici\'oban olyan $(v_k,w_k)$ gy\"okp\'arokra is 
egyszer\H{u}s\'{\i}tett\"uk a $\frac{\tilde P(z)}{\tilde R(z)}$ 
racion\'alis t\"ortf\"uggv\'enyt, amelyekre $v_k=\frac1{\bar w_k}$.) 

A $\tilde P(z)$ \'es $\tilde R(z)$ polinomoknak nincs gy\"ok\"uk a
komplex egys\'egk\"or belsej\'eben. Azt \'all\'{\i}tom, hogy a
$\left|\frac{\tilde P(e^{i\lambda})}{\tilde R(e^{i\lambda})}\right|^2
=\left|\frac{P(e^{i\lambda})}{R(e^{i\lambda})}\right|^2=g(\lambda)$,
$-\pi\le\lambda\le\pi$, azonoss\'ag is teljes\"ul. Val\'oban,
$$
\left|\frac{\tilde P(e^{i\lambda})}{\tilde R(e^{i\lambda})}\right|^2
=\frac{\tilde P(e^{i\lambda})\overline{\tilde P(e^{i\lambda})}}
{\tilde R(e^{i\lambda})\overline{\tilde R(e^{i\lambda})}}
=\frac{B^2C^2}{A^2}
\frac{\prodd_{k=1}^m(e^{i\lambda}-\tilde v_k)(e^{-i\lambda}-\bar
{\tilde v_k})}
{\prodd_{k=1}^n(e^{i\lambda}-\tilde w_k)(e^{-i\lambda}-\bar{\tilde
w_k})}, \tag6.4
$$
ez\'ert a k\'{\i}v\'ant \"osszef\"ugg\'est megkapjuk
\"osszehasonl\'{\i}tva a (6.3) \'es 6.4 formul\'akat \'es
bebizony\'{\i}tva az $(e^{i\lambda}-\tilde v_k)(e^{-i\lambda}
-\bar {\tilde v}_k) =\frac1{|v_k|^2} (e^{i\lambda}-v_k)
(e^{-i\lambda}-\bar v_k)$, ha $|v_k|<1$, illetve
$(e^{i\lambda}-\tilde w_k)(e^{-i\lambda}-\bar{\tilde w}_k)
=\frac1{|w_k|^2}(e^{i\lambda}-w_k)(e^{-i\lambda}-
\bar w_k)$, ha $|w_k|<1$ azonoss\'agokat.

Viszont
$$
\align
(e^{i\lambda}-\tilde v_k)(e^{-i\lambda}-\bar {\tilde v}_k)
&=\(e^{i\lambda}-\frac1{\bar v_k}\)\(e^{-i\lambda}-\frac1{v_k}\)
=\frac1{|v_k|^2}(\bar v_ke^{i\lambda}-1)(v_ke^{-i\lambda}-1)\\
&=\frac1{|v_k|^2}|\bar v_ke^{i\lambda}-1|^2
=\frac1{|v_k|^2}|\bar v_k-e^{-i\lambda}|^2\\
&=\frac1{|v_k|^2}|e^{i\lambda}-v_k|^2=\frac1{|v_k|^2}(e^{i\lambda}-v_k)
(e^{-i\lambda}-\bar v_k),
\endalign
$$
ha $|v_k|\le1$. A m\'asik bizony\'{\i}tand\'o azonoss\'ag
hasonl\'oan igazolhat\'o.

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.}\/ A fentebb t\'argyalt elj\'ar\'as, amelyben
a $P(z)$ \'es $R(z)$ polinomokat a $\tilde P(z)$ \'es $\tilde R(z)$
polinomokkal helyettes\'{\i}tett\"uk, tekinthet\H{o} \'ugy is, mint 
a 4.1.~lemm\'aban haszn\'alt m\'odszer adapt\'aci\'oja a most 
t\'argyalt probl\'em\'ara. A 4.1.~lemm\'aban alkalmas racion\'alis
t\"ort\-f\"ugg\-v\'e\-nyek\-kel val\'o szorz\'assal elt\"untett\"uk 
egy az egys\'egk\"or belsej\'eben analitikus f\"uggv\'eny nullhelyeit
\'ugy, hogy az analitikus f\"uggv\'eny radi\'alis limesz\'enek
az abszol\'ut \'ert\'eke az egys\'egk\"or hat\'ar\'an nem v\'altozott.
Jelen esetben is hasonl\'o procedur\'at folytattunk. A minket 
\'erdekl\H{o} 
$g(\lambda)=\left|\frac{P(e^{i\lambda})}{R(e^{i\lambda})}\right|^2$
f\"uggv\'eny egy az egys\'egk\"or belsej\'eben ana\-li\-ti\-kus 
f\"uggv\'eny (radi\'alis) limesze az egys\'egk\"or hat\'ar\'an. 
(E f\"uggv\'enynek esetleg lehet v\'eges sok szingularit\'asa 
az egys\'egk\"or belsej\'eben.) Ennek $v_k$ nullhelyei az 
egys\'egk\"or belsej\'eben megegyeznek a $P(z)$ polinom $v_k$, 
$|v_k|<1$, gy\"okeivel. Ezeket elt\"untethetj\"uk \'ugy, hogy a 
$P(z)$ polinomot elosztjuk a megfelel\H{o} 
$A_{v_k}(z)=\frac{z-v_k}{1-z\bar v_k}=-\frac1{\bar v_k}\frac{z-v_k}
{z-\frac1{\bar v_k}}$
racion\'alis t\"ortf\"uggv\'enyek szorzat\'aval. Ezen
elj\'ar\'as hat\'as\'ara a $|\frac{P(z)}{Q(z)}|$ 
f\"uggv\'eny \'ert\'eke nem v\'altozik meg az egys\'egk\"or hat\'ar\'an.
A $P(z)$ polinom helyettes\'{\i}t\'ese a $\tilde P(z)$ f\"uggv\'ennyel
ennek a procedur\'anak felel meg. (A ($-1$)-gyel val\'o szorz\'as 
elhagy\'asa nem okoz probl\'em\'at.) Hasonl\'o m\'odon az $R(z)$ 
f\"uggv\'eny helyettes\'{\i}t\'ese az $\tilde R(z)$ f\"uggv\'ennyel 
lehet\H{o}v\'e teszi az egys\'egk\"or belsej\'eben lev\H{o} 
szingularit\'asok elt\"untet\'es\'et.

\medskip
Bel\'atjuk, hogy a $g(\lambda)$ spektr\'al s\H{u}r\H{u}s\'eg
f\"uggv\'eny $g(\lambda)=g(-\lambda)$ szimmetri\'aj\'ab\'ol
k\"ovetkezik, hogy $\tilde P(z)$ \'es $\tilde R(z)$ val\'os
egy\"utthat\'os polinomok. A bizony\'{\i}t\'as ezen l\'ep\'es\'eben
nem haszn\'aljuk fel azt, hogy a $g(\lambda)$ spektr\'al 
s\H{u}r\H{u}s\'eg f\"uggv\'eny definici\'oj\'aban szerepl\H{o}
polinomokat hogyan defini\'altuk. Azt mutatjuk meg, hogy abb\'ol
a t\'enyb\H{o}l, hogy $g(\lambda)$  spektr\'al s\H{u}r\H{u}s\'eg
f\"uggv\'eny k\"ovetkeznek a $\tilde P(z)$ \'es $\tilde R(z)$
polinomoknak a lemm\'aban megfogalmazott tulajdons\'agai. Ennek 
\'erdek\'eben el\H{o}sz\"or azt l\'atjuk be, hogy az adott 
felt\'etelb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy
$$
\tilde P(e^{i\lambda})\overline{\tilde P(e^{i\lambda})}
=\tilde P(e^{-i\lambda})\overline{\tilde P(e^{-i\lambda})}, \qquad
\tilde R(e^{i\lambda})\overline{\tilde R(e^{i\lambda})}
=\tilde R(e^{-i\lambda})\overline{\tilde R(e^{-i\lambda})}.
$$
Illetve bel\'atjuk a (form\'alisan) kiss\'e \'altal\'anosabb
$$
\tilde P(z)\hat P\(\frac1z\)=\tilde P\(\frac1z\)\hat P(z), \qquad
\tilde R(z)\hat R\(\frac1z\)=\tilde R\(\frac1z\) \hat R(z)  \tag6.5
$$
egyenl\H{o}tlens\'eget, ahol $\hat P(z)=\prodd_{k=1}^m
(z-\bar{\tilde v}_k)$, $\hat R(z)=\prodd_{k=1}^n(z-\bar{\tilde w}_k)$,
\'es a $\tilde v_1,\dots\tilde v_m$ sz\'amok a $\tilde P(z)$,
a $\tilde w_1,\dots\tilde w_n$ sz\'amok pedig a $\tilde R(z)$
polinom gy\"okei.

A $g(\lambda)=\frac{\tilde P(e^{i\lambda})\overline{\tilde
P(e^{i\lambda})}}{\tilde R(e^{i\lambda})
\overline{\tilde R(e^{i\lambda})}}
=\frac{\tilde P(e^{-i\lambda})\overline{\tilde P(e^{-i\lambda})}}
{\tilde R(e^{-i\lambda})\overline{\tilde R(e^{-i\lambda})}}
=g(-\lambda)$ azonoss\'agb\'ol analitikus ki\-ter\-jesz\-t\'es\-sel
azt kapjuk, hogy $\frac{\tilde P(z)\hat P\(\frac1z\)}{\tilde R(z)
\hat R\(\frac1z\)}=\frac{\tilde P(\frac1z)\hat P\(z\)}
{\tilde R(\frac1z)\hat R\(z\)}$. (Ezen azonoss\'ag igazol\'asa
\'erdek\'eben vegy\"uk \'eszre, hogy egy $z=e^{i\lambda}$ sz\'amra,
ahol $\lambda$ val\'os sz\'am, \'es a $\tilde P(z)$ polinom egy
$\tilde v_j$ gy\"ok\'ere 
$\overline{z-\tilde v_j}=e^{-i\lambda}-\bar{\tilde v}_j
=\frac1z-\bar{\tilde v}_j$, \'es ezt az azonoss\'agot \"osszeszorozva 
a $\tilde P(z)$ polinom minden $v_j$ gy\"ok\'ere azt kapjuk, hogy 
$\overline{\tilde P(z)}=C\hat P(\frac1z)$ alkalmas $C$ konstanssal.
Hasonl\'o azonoss\'agot tudunk fel\'{\i}rni az $\tilde R(z)$
polinonomra is.) A (6.5) k\'eplet els\H{o}  azonoss\'ag\'anak 
k\'et oldal\'an sze\-rep\-l\H{o} kifejez\'esek gy\"okhelyei a 
$$
\tilde v_1,\dots, \tilde v_m,\frac1{\bar{\tilde v}_1},\dots,
\frac1{\bar{\tilde v}_m} \quad\text{illetve az} \quad
\frac1{\tilde v_1},\dots,\frac1{\tilde v_m},\bar{\tilde v}_1,\dots,
\bar{\tilde v}_m
$$ 
sz\'amok. Igaz az is, hogy
a $\{\tilde v_1,\dots, \tilde v_m,\frac1{\bar{\tilde v}_m},
\dots,\frac1{\bar{\tilde v}_m}\}$ \'es
$\{\tilde w_1,\dots,\tilde w_n,\frac1{\bar{\tilde w}_1},\dots,
\frac1{\bar{\tilde w}_n}\}$, halmazok disz\-junk\-tak, azaz a
vizsg\'alt kifejez\'esek gy\"okei \'es p\'olusai k\"ul\"onb\"oznek,
\'es a felsorolt gy\"ok\"ok val\'oban megjelennek. Innen
k\"ovetkezik, hogy $\tilde P(z)\hat P\(\frac1z\)
=\tilde P(\frac1z)\hat P\(z\)$, azaz \'erv\'enyes a (6.5) formula
els\H{o} rel\'aci\'oja. De akkor igaz a (6.5) formula m\'asodik
rel\'aci\'oja is.

A $\tilde P(z)\hat P\(\frac1z\)$ f\"uggv\'eny gy\"okhelyei
k\"oz\"ul a $\tilde P(z)$ polinom tartalmazza az 1-n\'el na\-gyobb,
a $\hat P\(\frac1z\)$ f\"uggv\'eny az 1-n\'el kisebb abszol\'ut
\'ert\'ek\H{u}eket. Ez\'ert (6.5) azonoss\'agb\'ol, illetve az
azonoss\'ag k\'et oldal\'an szerepl\H{o} polinomok gy\"okeinek
viselked\'es\'eb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy $\tilde P(z)$ \'es
$\hat P(z)$ 1-n\'el nagyobb abszol\'ut \'ert\'ek\H{u} gy\"okei 
megegyeznek, \'es e polinomoknak nincsenek 1-n\'el kisebb 
abszol\'ut \'ert\'ek\H{u} gy\"okei.

Ellen\H{o}rizni kell m\'eg az 1 abszol\'ut \'ert\'ek\H{u} 
gy\"ok\"ok viselked\'es\'et. Ha egy $v$ sz\'amra $|v|=1$, 
\'es a $v$ sz\'am nullhelye vagy a $\tilde P(z)$ vagy a
$\hat P\(\frac1z\)$ f\"uggv\'enynek, akkor ez a 
$v=\frac1{\bar v}$ sz\'am gy\"oke a m\'asik f\"uggv\'enynek 
is, m\'egpedig ugyanolyan  multiplicit\'assal. Ebb\H{o}l
k\"ovetkezik, hogy a $\tilde P(z)\hat P\(\frac1z\)$ 
f\"uggv\'eny r\"ogz\'{\i}tett, 1 abszol\'ut \'ert\'ek\H{u} 
gy\"okei p\'arba \'all\'{\i}that\'oak \'ugy, hogy egyik\"uk 
a $\tilde P(z)$, a m\'asikuk pedig a $\hat P\(\frac1z\)$ 
f\"uggv\'enynek a gy\"oke. Hasonl\'o tulajdons\'aga van a 
$\tilde P\(\frac1z\)\hat P(z)$ f\"uggv\'enynek is. Ez azt 
jelenti, hogy a (6.5) formula alapj\'an a $\tilde P(z)$ 
\'es $\hat P(z)$ polinomnak ugyanazok a gy\"okei. Innen 
az is k\"ovetkezik, hogy a $\tilde P(z)$ polinom 
megszor\'{\i}t\'asa a val\'os sz\'amegyenesre 
teljes\'{\i}ti a $\tilde P(y)=\overline{\tilde P(y)}$ 
azonoss\'agot, ez\'ert $\tilde P(z)$ val\'os 
egy\"utthat\'os polinom. Hasonl\'oan l\'athat\'o, 
hogy az $\tilde R(z)$  polinom val\'os egy\"utthat\'os. 
Esetleges $(-1)$-gyel val\'o szorz\'assal el\'erhetj\"uk 
azt is, hogy $0<\frac{\tilde P(0)}{\tilde R(0)}<\infty$.

L\'attuk, hogy  $h_0(z)=\frac{\tilde P(z)}{\tilde R(z)}$ olyan
val\'os egy\"utthat\'os analitikus f\"uggv\'eny a komplex
egys\'egk\"orben, (a $h_0(z)$ f\"uggv\'eny az\'ert analitikus,
mert az $\tilde R(z)$ f\"uggv\'enynek nincs gy\"oke az
egys\'egk\"or belsej\'eben), amelynek l\'etezik olyan
$h_0(e^{i\vartheta})$ radi\'alis limesze, amely teljes\'{\i}ti az
$|h_0(e^{i\vartheta})|^2=g(\vartheta)$ azonoss\'agot. Be lehet
l\'atni k\"ozvetlen\"ul, hogy a $h_0(z)$ f\"uggv\'eny ele\-me a
$\Cal H_2$ Hardy oszt\'alynak. Innen k\"ovetkezik, hogy ez a
$h_0(z)$ f\"uggv\'eny a FELADAT~A egyik megold\'asa. Egy enn\'el
tartalmasabb \'all\'{\i}t\'ast fogunk igazolni. Megmutatjuk, hogy
$h_0(z)=\frac{\tilde P(z)}{\tilde R(z)}$ megegyezik a (4.5)
rel\'aci\'oban a $\frac12\log g(\vartheta)=\log|\tilde
P(e^{i\vartheta})| -\log|\tilde R(e^{i\vartheta})|$, $-\pi\le\vartheta
\le \pi$, f\"uggv\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'alt
$H_0(z)$ f\"uggv\'ennyel. Ebb\H{o}l az \'all\'{\i}t\'asb\'ol az is
k\"ovetkezik, hogy a $\frac{\tilde P(z)}{\tilde R(z)}$ a
FELADAT~A optim\'alis, a Wold felbont\'asnak megfelel\H{o}
megold\'asa. (Ennek az optim\'alis megold\'asnak a megtal\'al\'asa
\'erdek\'eben biztos\'{\i}tanunk kellett, hogy a $\tilde P(z)$
polinomnak nincs gy\"oke az egys\'egk\"or belsej\'eben.)

Azt kell megmutatnunk, hogy a $\frac{\tilde P(z)}{\tilde R(z)}$
racion\'alis t\"ortf\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti a (4.5)
re\-l\'a\-ci\'o\-ban fel\'{\i}rt azonoss\'agot az
$\frac12\log g(\vartheta)=\log |\tilde P(e^{i\vartheta})|-\log|\tilde
R(e^{i\vartheta})|$, $-\pi\le\vartheta\le \pi$, f\"uggv\'ennyel.
El\H{o}sz\"or megmutatom,  hogy a k\'{\i}v\'ant \"osszef\"ugg\'es
k\"ovetkezik az
$$
\log\(\frac{Re^{i\varphi}-z_0}{-z_0}\)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi
\frac{e^{i\vartheta}+Re^{i\varphi}}
{e^{i\vartheta}-Re^{i\varphi}}\log\left|\frac{e^{i\vartheta}-z_0}{-z_0}
\right|\,d\vartheta, \quad\text{ha } 0\le R<1 \tag6.6
$$
azonoss\'agb\'ol, amely \'erv\'enyes minden
olyan $z_0$ sz\'amra, amelyre $|z_0|\ge1$. (A (6.6) rel\'aci\'o
\'erv\'enyess\'eg\'enek \'erdek\'eben fel kell tenn\"unk, hogy
$|z_0|\ge1$.) Ezut\'an bebizony\'{\i}tjuk  a (6.6)
azonoss\'agot.
 
\"Osszegezz\"uk a (6.6) formul\'at minden $z_0=\tilde v_1,\dots,\tilde
v_m$ illetve minden $z_0=\tilde w_1$, \dots, $\tilde w_n$ sz\'amra, ahol
$\tilde v_1,\dots,\tilde v_m$, illetve $\tilde w_1,\dots,\tilde w_n$, a
$\tilde P(z)$ \'es $\tilde R(z)$ polinom gy\"okei. Vonjuk ki a k\'et
azonoss\'agot egym\'asb\'ol. Ezut\'an n\'emi \'atalak\'{\i}t\'assal azt
kapjuk, hogy
$$
\frac{P(Re^{i\varphi})}{R(Re^{i\varphi})}=
\exp\left\{\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi
\frac{e^{i\vartheta}+Re^{i\varphi}}
{e^{i\vartheta}-Re^{i\varphi}}\frac12\log g(\vartheta)
\,d\vartheta\right\}, \quad\text{ha } 0\le R<1. \tag6.7
$$
A (6.7) azonoss\'ag igazol\'as\'aban felhaszn\'aljuk az
$\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\frac{e^{i\vartheta}+Re^{i\varphi}}
{e^{i\vartheta}-Re^{i\varphi}}\,d\vartheta=1$, ha $0\le R<1$
azonoss\'agot is. (Ez a 6.6) formul\'ahoz hasonl\'o, de 
egyszer\H{u}bben bizony\'{\i}that\'o rel\'aci\'o.) 
Ezenk\'{\i}v\"ul azt kell \'eszrevenni, hogy a
$\frac{\tilde v_1\cdots\tilde v_m\tilde w_1^{-1}\cdots\tilde w_n^{-1}}
{|\tilde v_1\cdots\tilde v_m\tilde w_1^{-1}\cdots\tilde w_n^{-1}|}$
t\"ort \'ert\'eke $+1$ vagy $-1$, mert mind a $\tilde v_1\cdots\tilde
v_m$, mind a $\tilde w_1\cdots\tilde w_n$ szorzat val\'os sz\'am annak
k\"o\-vet\-kez\-t\'e\-ben, hogy a $\tilde P(z)$ \'es $\tilde R(z)$
polinomok egy\"uthat\'oi val\'os sz\'amok. Mivel a $\frac{\tilde
P(z)}{\tilde R(z)}$ f\"uggv\'enyt egy esetleges $-1$-gyel val\'o
szorz\'as seg\'{\i}ts\'eg\'evel \'ugy v\'alasztottuk, hogy
$\frac{\tilde P(0)}{\tilde R(0)}>0$,
ez\'ert ez a t\'enyez\H{o} kiesik a sz\'amol\'as sor\'an. Ez azt
jelenti, hogy a (6.7) formula \'erv\'enyes, azaz a
$\frac{\tilde P(z)}{\tilde R(z)}$
f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti a (4.5) formul\'at. H\'atra van m\'eg
a (6.6) azonoss\'ag igazol\'asa.

Ha $|z_0|>1$, akkor a (6.6) formula baloldal\'an szerepl\H{o}
kifejez\'es analitikus f\"uggv\'eny a $\{z\colon |z|<|z_0|\}$
k\"orben, ez\'ert az analitikus f\"uggv\'enyek
Herglotz--integr\'al el\H{o}\-\'al\-l\'{\i}\-t\'a\-s\'a\-r\'ol
sz\'ol\'o t\'etel alapj\'an (l\'asd p\'eld\'aul a Petruska Gy\"orgy
komplex f\"uggv\'enytan jegyzet (9.2.10) t\'etel\'et), a (6.6)
azonoss\'ag \'erv\'enyes. Val\'oban, a k\'eplet mind a k\'et 
oldal\'an ana\-li\-ti\-kus f\"uggv\'eny szerepel, \'es a harmonikus
f\"uggv\'enyek el\H{o}\-\'al\-l\'{\i}\-t\'a\-s\'a\-r\'ol 
sz\'ol\'o formula alapj\'an l\'athat\'o, hogy e  kifejez\'esek 
re\'alis r\'eszei egyenl\H{o}ek. Ez\'ert el\'eg
azt ellen\H{o}rizni, hogy mind a k\'et kifejez\'es
null\'aval egyenl\H{o}, ha $Re^{i\varphi}=0$. Ekkor a jobboldali 
kifejez\'es \'ert\'eke $\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi
\log\left|\frac{e^{i\vartheta}-z_0}{-z_0}\right|\,d\vartheta\
=\oint_{|r|=1}\log\left|\frac{r-z_0}{-z_0}\right|\,dr
=\log\left|\frac{-z_0}{-z_0}\right|=0$,
mert a $\log\left|\frac{z-z_0}{-z_0}\right|=
\Re\log\(\frac{z-z_0}{-z_0}\)$ f\"uggv\'eny harmonikus
a $\{z\colon |z|<|z_0|\}$ tartom\'anyban, \'es ez\'ert e
f\"uggv\'eny k\"orintegr\'alja az egys\'egk\"or\"on egyenl\H{o} e
f\"uggv\'eny \'ert\'ek\'evel az orig\'oban. A baloldal \'ert\'eke
szint\'en $0$ ebben az esetben.

Ha $|z_0|=1$, akkor v\'alasszunk olyan $z_n$, $|z_n|>1$,
$n=1,2,\dots$, sorozatot, amely\-re $\limm_{n\to\infty}z_n=z_0$.
Ekkor fel\'{\i}rva a (6.6) azonoss\'agot, minden\"utt $z_n$-et
\'{\i}rva $z_0$ helyett, $n\to\infty$ hat\'ar\'atmenettel megkapjuk
a (6.6) azonoss\'agot ezzel a $z_0$ sz\'ammal is. (Vegy\"uk \'eszre,
hogy a jobboldalon tekintett integr\'al
$\frac{e^{i\vartheta}+Re^{i\varphi}}{e^{i\vartheta}-Re^{i\varphi}}$
magf\"uggv\'eny\'enek az abszol\'ut \'ert\'eke egyenletesen korl\'atos,
ha $R<1$. Ez seg\'{\i}t a hat\'ar\'atmenet jogoss\'ag\'anak az
indokl\'as\'aban.) A 6.1 Lemma bizony\'{\i}t\'as\'at befejezt\"uk.

\medskip
Eredm\'enyeinkb\H{o}l az is k\"ovetkezik, hogy amennyiben
egy stacion\'arius sorozat $g(\lambda)$ spektr\'al
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$g(\lambda)=\left|\frac{P(e^{i\lambda})}{R(e^{i\lambda})}\right|^2$
alakban adhat\'o meg egy racion\'alis t\"ort\-f\"ugg\-v\'eny
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, akkor a stacion\'arius sorozat regul\'aris.
Ehhez azt kell ellen\H{o}rizni, hogy az
$\int_{-\pi}^\pi \log g(\lambda)\,d\lambda>-\infty$ felt\'etel
teljes\"ul. Ez a felt\'etel teljes\"ul, b\'ar a $g(\lambda)$
spektr\'al s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg f\"ugg\-v\'eny vehet fel nagyon
kis \'ert\'ekeket, ha a $P(z)$ f\"uggv\'enynek van gy\"oke az
egys\'egk\"or vonalon. Ez azonban nem rontja el a $\log g(\lambda)$
f\"uggv\'eny integr\'alhat\'os\'ag\'at. Viszont a $g(\lambda)$
spektr\'al s\H{u}r\H{u}s\'eg el\H{o}\'all\'{\i}t\'as\'at megad\'o
racion\'alis t\"ort\-f\"ugg\-v\'eny $R(z)$ ne\-ve\-z\H{o}\-j\'e\-nek
nem lehet gy\"oke az egys\'egk\"or vonalon, mert a $g(\lambda)$
f\"uggv\'eny integr\'alhat\'o kell hogy legyen. Be lehet l\'atni
tov\'abb\'a a k\"ovetkez\H{o} \'all\'{\i}t\'ast is.

\medskip\noindent
{\it Feladat:} E feladat megfogalmaz\'as\'aban az el\H{o}bb
bevezetett jel\"ol\'eseket fogom haszn\'alni. Mutassuk meg, hogy
$g(t)=\frac1{2\pi}\left|\frac{P(e^{it})}{R(e^{it})}\right|^2$ 
alak\'u, spek\-tr\'al s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg f\"uggv\'eny 
eset\'en l\'etezik $g(t)$ spektr\'als\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel
rendelkez\H{o} $Y_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, stacion\'arius 
Gauss sorozat, \'es f\"uggetlen standard nor\-m\'a\-lis
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok olyan
$\dots,\e_{-1},\e_0,\e_1,\dots$ sorozata, amelyek
teljes\'{\i}tik a (6.2) formul\'at. 

\medskip\noindent
{\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ Defini\'aljuk v\'eletlen integr\'alok
seg\'{\i}ts\'eg\'evel az $Y_n=\int e^{int}
\frac1{\sqrt{2\pi}} \frac{P(e^{it})}{R(e^{it})}Z(\,dt)$, 
\'es $\e_n=\int e^{int}Z(\,dt)$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, 
sorozatokat, ahol $Z(\,dt)$ a $[-\pi,\pi]$ intervallumon vett 
$\frac1{2\pi}\lambda$ normaliz\'alt Lebesgue m\'ert\'eknek 
megfelel\H{o} v\'e\-let\-len spektr\'al m\'ert\'ek. Mutassuk 
meg, hogy ezek a sorozatok teljes\'{\i}tik a (6.2) formul\'at, 
ha az $a_p$ \'es $b_q$ egy\"utthat\'okat a 
$P(z)=\summ_{p=0}^k a_pz^p$ \'es $R(z)=\summ_{q=0}^l b_qz^l$
formul\'ak hat\'arozz\'ak meg. Mutassuk meg, hogy az $Y_n$ 
sorozatnak $g(t)$ a spektr\'al s\H{u}r\H{u}s\'eg f\"uggv\'enye.
Az $Y_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat \'erdemes 
\'at\'{\i}rni a 2.3 lemm\'aban megfogalmazott v\'eletlen spektr\'al
m\'ert\'ekek szerinti integr\'alok helyettes\'{\i}t\'esi
szab\'aly\'anak a seg\'{\i}ts\'eg\'evel.

\medskip
El\H{o}fordulhat, hogy egy moving average folyamat $g(\vartheta)$
spektr\'al s\H{u}r\H{u}s\'eg\'enek van gy\"oke a 
$-\pi\le\vartheta\le\pi$ intervallumban, vagy ami ezzel 
ekvivalens, a $g(\vartheta)$ spektr\'al s\H{u}r\H{u}s\'eg 
f\"uggv\'eny $g(\vartheta)=|P(e^{i\vartheta})|^2$ 
el\H{o}\'all\'{\i}t\'as\'aban szerepl\H{o} $P(z)$ polinom 
egyik gy\"oke az egy\-s\'eg\-k\"or ha\-t\'a\-r\'an van. Ez a 
legnehezebb eset. Az al\'abbi p\'eld\'aban ilyen modellre adunk 
egy l\'atsz\'olag egyszer\H{u} p\'eld\'at.

\medskip\noindent
{\it P\'elda.} Legyen $\e_n$, $n=0,\pm1,\pm2,\dots$, f\"uggetlen
standard norm\'alis val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata,
\'es defini\'aljuk az $X_n=\e_n+\e_{n-1}$, $n=0,\pm1,\pm2,\dots$,
moving average sorozatot. Adjuk meg az $X_n$, $n=0,\pm1,\pm2,\dots$,
sorozat Wold felbont\'as\'at.

\medskip\noindent
{\it A p\'elda t\'argyal\'asa.}\/ A vizsg\'aland\'o stacion\'arius
sorozat spektr\'al s\H{u}r\H{u}s\'ege
$$
g(\vartheta)=|1+e^{i\vartheta}|^2=|P(e^{i\vartheta})|^2
$$
a $P(z)=1+z$ polinommal. Mivel e polinom egyetlen gy\"oke a $z=-1$
pont ez\'ert a Wold felbont\'ast a $H_0(z)=1+z$ f\"uggv\'eny adja
meg. Ez azt  jelenti, hogy a Wold felbont\'as $X_n=V_n+V_{n-1}$
alakban adhat\'o meg alkalmas $V_n$, $n=0,\pm1,\pm2,\dots$,
f\"uggetlen standard norm\'alis val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok seg\'{\i}ts\'eg\'evel. A f\H{o} probl\'ema 
a $V_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok megad\'asa.

Az $X_n$, $n=0,\pm1,\pm2,\dots$, stacion\'arius sorozat
el\H{o}\'all\'{\i}that\'o $X_n=\int e^{in\vartheta}Z(\,d\vartheta)$,
$n=0,\pm1,\pm2,\dots$, alakban, ahol $Z(\cdot)$ egy
$g(\vartheta)=\frac1{2\pi}|1+e^{i\vartheta}|^2$,
$-\pi\le\vartheta\le\pi$, spektr\'al s\H{u}r\H{u}s\'eg 
f\"uggv\'ennyel defini\'alt spektr\'al m\'ert\'ekhez 
tartoz\'o, \'es az $X_n$, $n=0,\pm1,\pm2,\dots$, sorozat \'altal
meghat\'arozott v\'eletlen spektr\'al m\'ert\'ek. Tov\'abb\'a az
\'altal\'anos elm\'elet szerint
$$
V_n=\int e^{in\vartheta}\frac1{\overline{H_0(e^{-i\vartheta})}}
\,dZ(\vartheta)
=\int e^{in\vartheta}\frac1{1+e^{-i\vartheta}}\,dZ(\vartheta)
$$
alakban adhat\'o meg. Ez a formula azonban nem j\'ol sz\'amolhat\'o.
Ha fel\'{\i}rjuk az $\frac1{H_0(z)}$ Taylor sor\'at azt kapjuk, hogy
$\frac1{H_0(z)}=\frac1{1+z}=\summ_{k=0}^\infty(-1)^k z^k$. Ez
form\'alisan azt sugalln\'a, hogy
$$
\align
V_n&=\int
e^{in\vartheta}\frac1{1+e^{-i\vartheta}}\,dZ(\vartheta)=
\int e^{in\vartheta}\summ_{k=0}^\infty (-1)^k e^{-ik
\vartheta}\,dZ(\vartheta)\\
&=\summ_{k=0}^\infty(-1)^k  \int e^{i(n-k)\vartheta}
\,dZ(\vartheta)=\summ_{k=0}^\infty(-1)^kX_{n-k}.
\endalign
$$
Ez azonban egy divergens sor, \'{\i}gy ez az el\H{o}\'all\'{\i}t\'as
\'ertelmetlen.

Viszont a sz\"ovegben t\'argyalt heurisztikus gondolatmenet a
k\"ovetkez\H{o} megold\'ast sugallja.
$$
\align
V_n&=\lim_{R\to 1} \int
e^{in\vartheta}\frac1{1+Re^{-i\vartheta}}\,dZ(\vartheta)=
\lim_{R\to1}\int e^{in\vartheta}\summ_{k=0}^\infty (-1)^k R^ke^{-ik
\vartheta}\,dZ(\vartheta)\\
&=\lim_{R\to1}\summ_{k=0}^\infty(-1)^k
R^k\int e^{i(n-k)\vartheta}
\,dZ(\vartheta)=\lim_{R\to1}\summ_{k=0}^\infty(-1)^kR^kX_{n-k},
\endalign
$$
ahol a konvergens $R$ sz\'amsorozat elemei 1-n\'el kisebb sz\'amok.
Azaz azt sejtj\"uk, hogy a $V_{n,R}=
\summ_{k=0}^\infty(-1)^kR^kX_{n-k}$ sz\'amok konverg\'alnak a $V_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz, ha $R\to1$. Vegy\"uk
\'eszre azt is, hogy a $\summ_{k=0}^\infty(-1)^kR^kX_{n-k}
=\int e^{in\vartheta}\frac1{1+Re^{-i\vartheta}}\,dZ(\,d\vartheta)$,
azonoss\'ag is \'erv\'enyes minden $0<R<1$ sz\'amra abban az
\'ertelemben, hogy a baloldalon vett v\'egtelen \"osszeg az $X_n$,
$n=0,\pm1,\dots$, stacion\'arius sorozat $G$, 
$G(\,d\vartheta)=g(\vartheta)\,d\vartheta$, spektr\'al m\'ert\'eke
szerinti $L_2$ konvergenci\'aban tart a jobboldalhoz, azaz
$$
\align
&\lim_{N\to\infty}E\[\summ_{k=0}^N(-1)^kR^kX_{n-k}-
\int e^{in\vartheta}
\frac1{1+Re^{-i\vartheta}}\,dZ(\,d\vartheta)\]^2\\
&\qquad=\lim_{N\to\infty}\int \left|e^{in\vartheta}\(
\summ_{k=0}^N(-1)^kR^ke^{-ik\vartheta}-
\frac1{1+Re^{-i\vartheta}}\)\right|^2\,dG(\,d\vartheta)=0,
\endalign
$$
mivel az integrandus az utols\'o kifejez\'es jobboldal\'an egyenletesen
konverg\'al null\'ahoz minden $0<R<1$ sz\'amra, ha $N\to\infty$.

Bel\'atjuk, hogy a $\limm_{R\to1}V_{n,R}=V_n$
\'all\'{\i}t\'as igaz a k\"ovetkez\H{o} \'ertelemben:
$\limm_{R\to1}E(V_{n,R}-V_n)^2=0$. Val\'oban,
$$
\align
E(V_n-V_{n,R})^2&=E\(\int
e^{in\vartheta}\(\frac1{1+e^{-i\vartheta}}-
\frac1{1+Re^{-i\vartheta}}\)\,dZ(\vartheta)\)^2\\
&=\int \left|\frac1{1+e^{-i\vartheta}}-
\frac1{1+Re^{-i\vartheta}}\right|^2G(\,d\vartheta),
\endalign
$$
ahol $G(\,d\vartheta)=\frac1{2\pi}|1+e^{-i\vartheta}|^2\,d\vartheta$,
az $X_n$ stacion\'arius sorozat spektr\'al m\'ert\'eke.
$$
\align
E(V_n-V_{n,R})^2
&=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \left|\frac1{1+e^{-i\vartheta}}-
\frac1{1+Re^{-i\vartheta}}\right|^2|1+e^{-i\vartheta}|^2\, d\vartheta \\
&=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \frac{(1-R)^2}
{|1+Re^{-i\vartheta}|^2}\,d\vartheta.
\endalign
$$
Ez a kifejez\'es null\'ahoz tart, b\'ar $\limm_{R\to1}\int_{-\pi}^\pi
\frac1{|1+Re^{-i\vartheta}|^2}\,d\vartheta=\infty$  a $\pm\pi$
pont kis k\"ornyezet\'enek hozad\'eka miatt ezen integr\'alhoz.
Viszont az $(1-R)^2$ faktor miatt az eredeti integr\'al 
null\'ahoz tart $R\to1$ eset\'en. Ennek igazol\'asa \'erdek\'eben
\'erdemes az integrandust a k\"ovetkez\H{o} alakban \'{\i}rni.
$\frac{(1-R)^2}{|1+Re^{-i\vartheta}|^2}
=\frac{(1-R)^2}{1+R^2+2R\cos\vartheta}
=\frac{(1-R)^2}{(1-R)^2+2R(1+\cos\vartheta)}$. Ez az 
in\-teg\-ran\-dus minden $\vartheta$-ra \'es $R$-re kisebb vagy 
egyenl\H{o}, mint~1, \'es $\vartheta\neq\pm1$ eset\'en 
nul\-l\'a\-hoz tart, ha $R\to1$.

\medskip\noindent
{\it 1. megjegyz\'es.} Az el\H{o}z\H{o} p\'eld\'aban kisz\'amolt $V_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok val\'oj\'aban az $X_n$,
$n=0,\pm1,\pm2,\dots$, v\'altoz\'ok definici\'oj\'aban szerepl\H{o}
$\e_n$, $n=0,\pm1,\pm2,\dots$ f\"uggetlen, standard norm\'alis
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok. Ez a vizsg\'alt sorozatok
v\'eletlen spektr\'al m\'ert\'ek szerinti integr\'al
el\H{o}\'all\'{\i}t\'as\'ab\'ol, \'es a v\'eletlen spektr\'al
m\'ert\'ek szerinti in\-teg\-r\'a\-lok helyettesit\'esi
szab\'aly\'ab\'ol azonnal l\'atszik, (elemi bizony\'{\i}t\'asa is
egyszer\H{u}) ugyanis, ha az  $\e_n$ v\'eletlen sorozatot $\e_n=\int
e^{in\vartheta}dZ_0(\vartheta)$ v\'eletlen spektr\'al m\'ert\'ek
szerinti integr\'alk\'ent \'all\'{\i}tjuk el\H{o}, akkor 
$X_n=\e_n+\e_{n-1}=\int e^{in\vartheta}(1+e^{-i\vartheta})
dZ_0(\vartheta)$,
azaz $dZ(\vartheta)=(1+e^{-i\vartheta})dZ_0(\vartheta)$.

\medskip\noindent
{\it 2. megjegyz\'es.} Tekints\"unk egy a (6.1) formul\'aban
megadott $X_n$, $n=0,\pm1,\dots$, moving
average folyamatot. Ha a $P(z)=\summ_{p=0}^ka_pz^p$
polinomnak nincs gy\"oke a $\{z\colon |z|<1\}$ egys\'egk\"or
belsej\'eben, akkor a (6.1) formul\'aban megadott k\'eplet az $X_n$,
$n=0,\pm1,\dots$, folyamat Wold felbont\'asa,  mert $P(z)=H_0(z)$,
\'es $\e_n$, $n=0,\pm1,\dots$ f\"uggetlen standard norm\'alis
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata. A f\H{o} feladat
az, hogy mindegyik $\e_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot
fejezz\"uk ki az $X_k$, $k\le n$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok line\'aris kombin\'aci\'ojak\'ent. L\'attuk, hogy ennek
\'erdek\'eben egy akalmas v\'eletlen spektr\'al m\'ert\'ek szerinti
integr\'alt kell kisz\'amolni, amelynek magf\"uggv\'enye az
$e^{in\vartheta}\frac1{\overline{H_0(e^{i\vartheta})}}
=\frac{e^{in\vartheta}}{P(e^{-i\vartheta})}$ f\"uggv\'eny. Ennek
az integr\'alnak a kisz\'am\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben \'erdemes
kisz\'amolni az $\frac1{P(z)}$ f\"uggv\'enynek a nulla pont
k\"or\"uli hatv\'anysor\'at. Ezt k\"onnyebben tudjuk
kisz\'amolni, ha az $\frac1{P(z)}$ f\"uggv\'enyt
el\H{o}\'all\'{\i}tjuk elemi $\frac1{(z-z_j)^l}$ alak\'u
kifejez\'esek line\'aris kombin\'aci\'ok\'ent, ahol $z_j$ a $P(z)$
polinom (esetleg t\"obbsz\"or\"os) gy\"oke.

A fent v\'azolt m\'odszer alkalmaz\'as\'aban akkor jelenik meg
neh\'ezs\'eg, ha a $P(z)$ polinomnak van 1 abszol\'ut \'ert\'ek\H{u}
gy\"oke. Ilyen esetet t\'argyaltunk az el\H{o}z\H{o} feladatban,
amelyben a $P(z)=1+z$ f\"uggv\'eny jelent meg. Bizonyos modellekben
olyan $P(z)$ polinom jelenhet meg, amelynek t\"obbsz\"or\"os
multiplicit\'as\'u 1 abszol\'ut \'ert\'ek\H{u} saj\'at\'ert\'eke is
l\'etezik. Ilyen modell p\'eld\'aul az
$X_n=\e_n+2\e_{n-1}+\e_{n-2}$, $n=0,\pm1,\dots$ mozg\'o \'atlag.
Ehhez a modellhez a $P(z)=(1+z)^2$ polinom tartozik. Az ilyen
modellek is t\'argyalhat\'oak hasonl\'oan az $X_n=\e_n+\e_{n-1}$
mozg\'o \'atlaghoz, b\'ar az egyes l\'ep\'esek jogoss\'ag\'anak az
igazol\'asa kiss\'e t\"obb munk\'at ig\'enyel.

\beginsection Kieg\'esz\'{\i}t\'es

{\it a) Stacion\'arius sorozatok felbont\'asa. Regul\'aris \'es
szingul\'aris sorozatok.} 

\medskip\noindent
Ismertetem az 1.1. \'es 1.2. T\'etelben kimondott eredm\'enyek
v\'azlatos bizony\'{\i}t\'as\'at. Bizonyos r\'eszletek 
kidolgoz\'as\'at az olvas\'ora b\'{\i}zom. A magyar\'azatban
bevezetem a k\"ovetkez\H{o} jel\"ol\'est. Jel\"olje $H_Y$, 
$H_{n,Y}$ \'es $S_Y$ az (1.1) formul\'aban bevezetett 
mennyi\-s\'e\-gek megfelel\H{o}it akkor, ha a definici\'oban 
felhaszn\'alt stacion\'arius Gauss sorozat az $Y_n$, 
$n=\dots,-1,0,1,\dots$ sorozat.

\medskip\noindent
{\it Az 1.1 T\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/ L\'assuk el\H{o}sz\"or
be, hogy az (1.2) k\'epletben megadott felbont\'as egy\'ertelm\H{u}.
Ennek \'erdek\'eben el\H{o}sz\"or azt igazoljuk, hogy egy a 
t\'etel felt\'eteleit teljes\'{\i}t\H{o} felbont\'asra 
$H_Z=S_X=S$. Val\'oban, $H_n$ a $H_{n,Y}$ \'es $H_{n,Z}$ alterek 
direkt  \"osszege minden $n$ indexre. V\'eve ezek metszet\'et azt 
kapjuk, hogy $S$ az $S_Y$ \'es $S_Z$ terek direkt \"osszege, de 
mivel $S_Y=\emptyset$ az $Y_n$ sorozat regularit\'asa miatt, 
ez\'ert $S=S_Z$, \'es mivel $S_Z=H_Z$, $S=H_Z$. Innen \'es a 
t\'etel felt\'eteleib\H{o}l k\"ovetkezik, hogy $Y_n$ az $X_n$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o mer\H{o}leges vet\"ulete 
\'es $Z_n$ az $X_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o 
vet\"ulete a $H$ Hilbert t\'er $S$ alter\'ere. Ez\'ert a 
keresett (1.2) felbont\'as, (ha az l\'etezik egy\'altal\'an), 
egy\'ertelm\H{u}.

Az el\H{o}z\H{o} gondolatmenet azt is sugallja, hogy hogyan 
pr\'ob\'aljuk meg el\H{o}\'all\'{\i}tani a keresett (1.2) 
felbont\'ast. Legyen $Y_n$ az $X_n$ vektor mer\H{o}leges 
vet\"ulete, \'es  a $Z_n$ vektor az $X_n$ vektor vet\"ulete az 
$S=S_X$ alt\'erre.  Ekkor tetsz\H{o}leges $m$ sz\'amra az $X$ 
t\'eren defini\'alt $U_m$ shift transzform\'aci\'o teljes\'{\i}ti 
a  $H_{n+m}=U_mH_n$, $S=U_mS$,  $H_Y=U_mH_Y$ azonoss\'agokat, 
\'es $H$ az $S$  \'es $H_Y$ alterek ortogon\'alis \"osszege. 
Innen mivel 
$$
X_{n+m}=Y_{n+m}+Z_{n+m},
$$ 
\'es 
$$
X_{n+m}=U_mX_n=U_m(Y_n+Z_n)=U_mY_n+U_m Z_n,
$$ 
k\"ovetkezik, hogy
$$
Y_{n+m}=U_m Y_n \quad \text{\'es} \quad Z_{n+m}=U_m Z_n
$$
minden $n$ \'es $m$ indexre, \'es az $Y_n$ \'es $X_n$ sorozatok
az $X_n$ sorozat (stacion\'arius) al\'arendelt sorozatai. (Az utols\'o
azonoss\'ag igazol\'as\'aban felhaszn\'aljuk, hogy $U_mZ_n\in S$, \'es
$U_m Y_n\in H_Y$, tov\'abb\'a $H_Y$ az $S$ alt\'er ortogon\'alis
kieg\'esz\'{\i}t\H{o}je a $H$ Hilbert t\'erben.)

Tov\'abb\'a, mivel
$$
H_n=H_{Y,n}\oplus H_{Z,n} \quad \text{\'es} \quad H_n=H_{Y,n}\oplus S
$$
ez\'ert $H_{Z,n}=S$ minden $n$ indexre. Az utols\'o rel\'aci\'oban 
metszetet, illetve uni\'ot v\'eve kapjuk, hogy
$$ 
S_Z=H_{Z,n}=S=H_Z
$$
(minden $n$ indexre), ez\'ert $Z_n$ szingul\'aris sorozat. Be kell 
m\'eg l\'atnunk azt, hogy az $Y_n$ sorozat regul\'aris, azaz 
$S_Y=\emptyset$. Azt  mutatjuk meg, hogy egyr\'eszt $S_Y$ 
ortogon\'alis $S$-re, mert $S_Y\subset H_{Y,n}$, \'es $H_{Y,n}$ 
ortogon\'alis $S$-re (az $Y_n$ vektorok definici\'oja miatt), 
m\'asr\'eszt $S_Y\subset S$. Ugyanis 
$S_Y\subset H_{Y,n}\subset H_n$ minden $n$ indexre, \'es metszetet 
v\'eve  minden $n$ indexre kapjuk a m\'asodik
\'all\'{\i}t\'ast. Az $S_Y$ alt\'er viszont csak \'ugy tudja mind 
a k\'et felt\'etelt teljes\'{\i}teni, hogy $S_Y=\emptyset$. A 
t\'etelt bel\'attuk.

\medskip\noindent
{\it Az 1.2 T\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Vezess\"uk be a 
$D_n=H_n\ominus H_{n-1}$ altereket, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, 
azaz legyen $D_n$ az (1.1) formul\'aban defini\'alt $H_{n-1}$ 
alt\'er ortogon\'alis kieg\'esz\'{\i}t\H{o}je a $H_n$ Hilbert 
t\'erben. Nem neh\'ez bel\'atni, hogy $UD_n=D_{n+1}$ az $U$ 
shift transzform\'aci\'ora minden $n$~indexre. Tov\'abb\'a az 
$X_n$ folyamat regularit\'as\'at felhaszn\'alva meg lehet mutatni, 
hogy  $H_n=\dots \oplus D_{n-2}\oplus D_{n-1} \oplus D_n$ 
minden $n$ indexre. 

A $D_n$ Hilbert terek egy dimenzi\'osak, kiv\'eve azt az 
elfajul\'o esetet, amikor $X_n\equiv0$ minden $n$ indexre. Az 
ut\'obbi esetben a $D_n$ alterek null dimenzi\'osak. Ugyanis 
a $D_n$ terek dimenzi\'oja megegyezik minden $n$-re a 
$UD_n=D_{n+1}$ rel\'aci\'o miatt,  \'es $D_0$ dimenzi\'oja~1, 
ha $X_0\notin H_{-1}$, \'es nulla ha $X_0\in H_{-1}$. 
De az ut\'obbi esetben $D_n=\emptyset$, \'es
$H_n=\dots \oplus D_{n-2}\oplus D_{n-1} \oplus D_n=\emptyset$ 
minden $n$ indexre. 

V\'alasszunk ki egy 1-re norm\'alt $V_0$ vektort a $D_0$ (egy 
dimenzi\'os) Hilbert  t\'erben, \'es defini\'aljuk a 
$V_n=U^n V_0$ vektort minden $n=\dots,-1,0,1,\dots$ indexre. 
Ekkor a $V_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'ok sorozata az $X_n$  sorozatnak al\'arendelt 
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok 
sorozat\'at alkotja, \'es a 
$H_0=\dots \oplus D_{-2}\oplus D_{-1} \oplus D_0$ azonoss\'ag
miatt fel\'{\i}rhat\'o az $X_0=\summ_{k=0}^\infty c_kV_{-k}$ 
azonoss\'ag alkalmas $c_k$, $\summ_{k=0}^\infty c_k^2<\infty$,  
egy\"utthat\'okkal. Ezut\'an az $X_n=U^nX_0$ \'es 
$V_{n-k}=U^nV_{-k}$ azonoss\'agok seg\'{\i}ts\'eg\'evel azt kapjuk, 
hogy $X_n=\summ_{k=0}^\infty c_kV_{n-k}$ minden $n$ indexre. Az, 
hogy a $V_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, sorozat regul\'aris 
k\"onnyen l\'athat\'o. Az 1.2. T\'etelt bebizony\'{\i}tottuk.
 
\medskip\noindent
{\it b.) A felhaszn\'alt komplex f\"uggv\'enytani eredm\'enyek. 
Hardy f\'ele $\Cal H_p$ f\"uggv\'enyoszt\'alyok.}

\medskip\noindent
A jegyzet f\H{o} t\'argy\'at k\'epez\H{o} predikci\'os feladatok
vizsg\'alat\'aban fontos szerepet j\'atszottak a 3. fejezetben
bevezetett Hardy f\'ele $\Cal H_p$ f\"uggv\'enyoszt\'alyok
tulajdons\'agai. Ezek olyan az egys\'egk\"or belsej\'eben 
analitikus f\"uggv\'enyekb\H{o}l \'allnak, amelyeknek v\'eve az 
$R$ sugar\'u k\"orbe vett megszor\'{\i}t\'asait, illetve azok
term\'eszetes \'atsk\'al\'az\'asait, olyan a $[-\pi,\pi]$ 
intervallumon defini\'alt f\"uggv\'enyeket kapunk, amelyeknek 
van limesz\"uk az $L_p$ norm\'aban, ha $R\to1$. \'Erdemes 
bevezetni \'es a $\Cal H_p$ f\"uggv\'enyoszt\'alyokkal egy\"utt 
t\'argyalni ezek term\'eszetes megfelel\H{o}it, a $H_p$ 
f\"uggv\'enyoszt\'alyokat. Ezeket hasonl\'oan defini\'aljuk, mint
a $\Cal H_p$ f\"uggv\'enyoszt\'alyokat, de elemei harmonikus, 
\'es nem felt\'etlen\"ul analitikus f\"uggv\'enyek. 
Eml\'ekeztetek arra, hogy egy k\'etv\'altoz\'os $f(x,y)$ 
f\"uggv\'eny akkor harmonikus egy $D$ tartom\'anyban, ha 
$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=0$ 
minden $(x,y)\in D$ pontban. Megengedj\"uk azt is, hogy az $f(x,y)$
harmonikus f\"uggv\'eny komplex sz\'am \'ert\'ek\H{u} legyen.

R\"oviden felid\'ezem a kapcsolatot a (k\'etv\'altoz\'os) harmonikus
\'es analitikus f\"ugg\-v\'e\-nyek k\"oz\"ott. A bizony\'{\i}t\'asokat
elhagyom ebb\H{o}l a t\'argyal\'asb\'ol. C\'elom az eredm\'enyek,
illetve a m\"og\"ott\"uk rejl\H{o} k\'ep \'es motiv\'aci\'o 
elmagyar\'az\'asa. A r\'eszletesen kidologozott bizony\'{\i}t\'asok 
megtal\'alhat\'oak p\'eld\'aul Petruska Gy\"orgy Komplex 
F\"uggv\'enytan jegyzet\'enek 9. \'es 10.~fejezet\'eben. 
%De b\'ar e jegyzet prec\'{\i}zen bizony\'{\i}tja a benne t\'argyalt 
%ered\-m\'e\-nye\-ket, a bizony\'{\i}t\'asok le\'{\i}r\'asa 
%v\'elem\'enyem szerint kiss\'e form\'alis. Hi\'anyzik az 
%eredm\'enyek m\"og\"otti heurisztika elmagyar\'az\'asa.

Egy analitikus f\"uggv\'enynek mind a val\'os mind az imagin\'arius 
r\'esze harmonikus f\"uggv\'eny, \'es ezek k\"oz\"ott j\'ol 
megfogalmazhat\'o kapcsolat van. Egy analitikus f\"uggv\'eny 
val\'os \'es komplex r\'esze egym\'asnak \'ugynevezett harmonikus 
t\'arsa. Az egyik\"uk is\-me\-re\-t\'e\-ben a m\'asik is 
kisz\'am\'{\i}that\'o az \'ugynevezett Riemann--Cauchy egyenletek 
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, \'es az egy addit\'{\i}v konstans erej\'eig 
egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozott.

Jel\"olje $S(0,R)$ a 0 k\"ozpont\'u \'es $R$ sugar\'u k\"orlapot. 
Minket els\H{o}sorban az $S(0,R)$, $0<R\le 1$, k\"orlap 
belsej\'eben defini\'alt analitikus  \'es harmonikus 
f\"uggv\'enyek vi\-sel\-ke\-d\'e\-se \'erdekel. 
(Meg\-en\-ge\-det\-tek a komplex sz\'am \'ert\'ek\H{u} 
harmonikus f\"uggv\'enyek is.) A  k\"ovetkez\H{o} eredm\'eny 
az ilyen f\"uggv\'enyek jellemz\'es\'et tartalmazza.

\medskip\noindent
{\bf B1.~T\'etel.} {\it Egy $f(z)$ f\"uggv\'eny akkor \'es csak  
analitikus a $\{z\colon\;|z|<R\}$ k\"orlapon, ha fel\'{\i}rhat\'o minden 
$z=re^{i\varphi}$, $r<R$, pontban
$$
f(z)=f(re^{i\varphi})=\sum_{n=0}^\infty \beta_n r^ne^{in\varphi}
$$
(hatv\'anysor) alakban.

Egy $f(x,y)$ f\"uggv\'eny akkor \'es csak  harmonikus az 
$\{(x,y)\colon\;x^2+y^2<R^2\}$  k\"or\-la\-pon,  ha fel\'{\i}rhat\'o 
minden $(x,y)=re^{i\varphi}$, $r=\sqrt{x^2+y^2}$, $r<R$, pontban
$$
f(x,y)=f(re^{i\varphi})=\sum_{n=-\infty}^\infty \beta_n r^{|n|}e^{in\varphi}
$$
alakban olyan $\beta_n$ egy\"utthat\'okkal, amelyekkel a 
fenti sorok konvergensek.}

Egy a k\"ovetkez\H{o} eredm\'enyek vizsg\'alat\'aban fontos 
k\'erd\'es az, hogy adva  valamely $g(\varphi)$, 
$-\pi<\varphi<\pi$, f\"uggv\'eny, hogyan lehet meghat\'arozni egy 
olyan $u(re^{i\varphi})$ harmonikus f\"ugg\-v\'enyt az $S(0,R)$ 
k\"orlapon,  amelynek hat\'ar\'ert\'eke az $r\to R$ 
hat\'ar\'atmenet eset\'en a $g(\varphi)$ f\"uggv\'ennyel 
egyenl\H{o}, illetve egy olyan analitikus f\"uggv\'enyt ugyanezen 
a k\"orlapon, amelynek val\'os r\'esze ehhez a $g(\varphi)$ 
f\"uggv\'enyhez konverg\'al. A vizsg\'alatok  azt mutatt\'ak, 
hogy ezekben a probl\'em\'akban a sug\'arir\'any\'u  (radi\'alis) 
hat\'ar\'atmenetet \'erdemes tekinteni, mint a f\"uggv\'eny 
limesz\'et a hat\'aron. A harmonikus f\"uggv\'enyekr\H{o}l
sz\'ol\'o, sz\'amunkra legfontosabb eredm\'enyeket a  4.2., 
4.3. \'es 4.4. T\'etelben 
(ez ut\'obbi a Fatou t\'etel) fogalmaztam meg. \'Erdemes 
megjegyezni, hogy ezek az eredm\'enyek is mutatnak n\'emi 
hasonl\'os\'agot az ana\-li\-ti\-kus f\"uggv\'enyekr\H{o}l 
sz\'ol\'o eredm\'enyekkel, csak itt a Poisson magf\"uggv\'eny 
j\'atssza azt a szerepet, amit a $\frac1{z-\zeta}$ 
magf\"uggv\'eny j\'atszik a Cauchy formul\'aban. A Fatou 
t\'etel, a leg\'elesebb v\'altozata azon eredm\'enyeknek, 
amelyek arr\'ol sz\'olnak, hogy milyen felt\'etelek mellett 
tudjuk biztos\'{\i}tani azt, hogy a (4.1) k\'epletben
bevezetett, az irodalomban Poisson formul\'anak nevezett
kifejez\'es seg\'{\i}ts\'eg\'evel megadott harmonikus 
f\"uggv\'eny teljes\'{\i}tse a k\'{\i}v\'ant hat\'arfelt\'etelt. 
A Fatou t\'etel er\H{o}s\-s\'e\-g\'et \'es jelent\H{o}s\'eg\'et 
az adja, hogy a benne sze\-rep\-l\H{o} $g(\varphi)$ 
hat\'arf\"uggv\'eny, illetve $\mu$ hat\'arm\'ert\'ek 
folytonoss\'ag\'ar\'ol enyhe felt\'etelt \'{\i}rtunk el\H{o}.  
Ezenk\'{\i}v\"ul ezt a hat\'arfelt\'etelt a tekintett k\"orlap 
sz\'el\'en \'{\i}rhatjuk el\H{o}, ahol a harmonikus, illetve 
analitikus f\"uggv\'enyek vizsg\'alata m\'ar nehezebb 
probl\'em\'akat vet fel. 

A harmonikus f\"uggv\'enyeknek m\'eg egy fontos 
tulajdons\'ag\'at eml\'{\i}tem meg. Ha $f(x)$ harmonikus 
f\"uggv\'eny egy $D$ tartom\'anyon, \'es $x\in D$, akkor ha egy 
olyan $x$ k\"oz\'eppont\'u $S(x)$ k\"orvonalat tekint\"unk, 
amely belsej\'evel egy\"utt szint\'en benne van a $D$ 
tartom\'anyban, akkor az $f(x)$ sz\'am egyenl\H{o} az $f(\cdot)$ 
f\"uggv\'eny integr\'alk\"ozep\'evel az $S(x)$ k\"orvonalon. 
(Ez a tulajdons\'ag egyben jellemzi is a harmonikus 
f\"uggv\'enyeket.) E t\'eny egyik k\"o\-vet\-kez\-m\'e\-nye
az, hogy az analitikus f\"uggv\'enyek vizsg\'alat\'aban fontos
szerepet j\'atsz\'o maximum elv alkalmazhat\'o harmonikus
f\"uggv\'enyekre is.

Felid\'ezem a korl\'atos v\'altoz\'as\'u m\'ert\'ek 
definici\'oj\'at, mert erre k\'es\H{o}bb sz\"uks\'eg\"unk lesz.

\medskip\noindent
{\bf Korl\'atos v\'altoz\'as\'u m\'ert\'ek definici\'oja.} 
{\it Legyen $\mu$ egy m\'ert\'ek, azaz $\sigma$-addit\'{\i}v 
halmazf\"uggv\'eny valamely $(X,\Cal A)$ t\'eren. 
(Megengedj\"uk,  hogy a $\mu(A)$, $A\in\Cal A$, m\'ert\'ek komplex
\'ert\'ek\H{u} legyen.) A $\mu$ m\'ert\'ek $\|\mu\|$ (tot\'alis
vari\'aci\'o) norm\'aj\'at a
$$
\|\mu\|=\sup_{B_1,\dots,B_n}\sum_{j=1}^n|\mu(B_j)| 
$$
k\'eplettel defini\'aljuk, ahol a szupr\'emumot az $X$ halmaz 
\"osszes v\'eges $B_1,\dots,B_n$ v\'eges partici\'oj\'ara vessz\"uk.
Akkor mondjuk, hogy a $\mu$ m\'ert\'ek korl\'atos v\'altoz\'as\'u,
ha a $\|\mu\|$ nor\-ma v\'eges.}

\medskip

Eml\'ekeztetek arra is, hogy az anal\'{\i}zis eredm\'enyei szerint 
minden monoton f\"ugg\-v\'eny majdnem minden\"utt differenci\'alhat\'o, 
\'es ez azt jelenti, hogy az \'altala induk\'alt $\mu$ Stieltjes 
m\'ert\'ekre a Fatou t\'etelben szerepl\H{o} $\mu'(\varphi)$ 
deriv\'alt majdnem minden $\varphi$ pontban l\'etezik. Hasonl\'o 
\'all\'{\i}t\'as \'erv\'enyes korl\'atos v\'altoz\'as\'u 
f\"uggv\'enyek \'altal induk\'alt Stieltjes m\'ert\'ekekre is, 
mivel egy korl\'atos v\'altoz\'as\'u f\"uggv\'eny 
el\H{o}\'all\'{\i}that\'o k\'et monoton f\"uggv\'eny 
k\"ul\"onbs\'egek\'ent.

Megadom a $H_p$, $1\le p\le \infty$, f\"uggv\'enyoszt\'alyok 
definici\'oj\'at.

\medskip\noindent
{\bf A $H_p$ f\"uggv\'enyoszt\'alyok definici\'oja.} {\it A 
$H_p$ f\"uggv\'enyoszt\'aly, $1\le p\le \infty$, azokb\'ol 
a $\{(x,y)\colon x^2+y^2<1\}$ egys\'egk\"orben harmonikus $H(x,y)$ 
f\"uggv\'enyekb\H{o}l \'all, amelyekre $(x,y)=re^{i\varphi}$,
$r=\sqrt{x^2+y^2}$ jel\"ol\'essel
$$
\|H_p\|^p\overset\text{def}\to=\sup_{r<1} \|H(re^{i\varphi})\|_p^p
=\sup_{r<1}\int_{-\pi}^\pi
|H(re^{i\varphi})|^p\,d\varphi<\infty, \quad\text{ha } 1\le p<\infty,
$$
\'es
$$
\|H_\infty\|\overset\text{def}\to=\sup_{r<1} \|H(re^{i\varphi})\|_\infty
=\sup_{r<1,\,-\pi\le\varphi<\pi}|H(re^{i\varphi})|<\infty, 
\quad\text{ha } p=\infty.
$$
}

Az \'erdekess\'eg kedv\'e\'ert megjegyzem, hogy a $H_p$ terek
definici\'oj\'aban szerepl\H{o} $\|H_p\|$ mennyis\'eg 
definici\'oj\'aban a szupr\'emumot limesszel is helyettes\'{\i}thett\"uk
volna, mert minden az $S(0,1)$ k\"orlapon harmonikus $u$ 
f\"uggv\'enyre $\nu_p(r)=\int_{-\pi}^\pi |u(re^{i\varphi})|^p\,d\varphi$, 
$1\le p<\infty$, \'es 
$\nu_\infty(r)=\supp_{-\pi\le \varphi\le\pi}|u(re^{i\varphi})|$
kifejez\'es az $r$  v\'altoz\'o folytonos f\"uggv\'enye a $(0,1)$ 
intervallumon. Ez egy \'erdekes t\'eny, de erre a tov\'abbiakban 
nem lesz sz\"uks\'eg\"unk.

A k\"ovetkez\H{o} eredm\'eny megadja t\"obbek k\"oz\"ott a $H_p$ 
f\"uggv\'enyoszt\'aly elemeinek jellemz\'es\'et, azok radi\'alis 
limesz\'et, \'es e  radi\'alis limesz kapcsolat\'at az \H{o}t 
meghat\'aroz\'o $H_p$ t\'erbeli f\"uggv\'ennyel. Az $1<p\le\infty$ 
\'es a $p=1$ esetek k\"ul\"onb\"oznek. Az els\H{o} esetben 
(a $[-\pi,\pi]$ intervallumon a Lebesgue m\'ert\'ek \'altal 
meghat\'arozott) $L_p$ t\'erbeli f\"uggv\'enyek jelennek meg 
lehets\'eges limeszk\'ent,  m\'{\i}g a m\'asodikban a korl\'atos 
v\'altoz\'as\'u m\'ert\'ekek. A pontosan megfogalmazott t\'etel 
a k\"ovetkez\H{o}t mondja.

\medskip\noindent
{\bf B2.~T\'etel a $H_p$ f\"uggv\'enyoszt\'alyok 
jellemz\'es\'er\H{o}l.} {\it Legyen $u(x,y)=u(re^{i\varphi})$ 
harmonikus f\"uggv\'eny az $S(0,1)$ egys\'egk\"orben. 
R\"ogz\'{\i}ts\"unk egy  $1<p\le\infty$ param\'etert. Az 
$u\in H_p$ rel\'aci\'o akkor \'es csak akkor teljes\"ul, ha 
l\'etezik olyan  $\tilde u\in L_p$ f\"uggv\'eny (ahol az $L_p$ 
teret a $[-\pi,\pi]$ intervallumon defini\'aljuk a Lebesgue 
m\'ert\'ekkel), amelyre
$$
u(re^{i\varphi})=\int_{-\pi}^\pi
\frac{1-r^2}{1+r^2-2r\cos(\vartheta-\varphi)}
\tilde u(\vartheta)\,d\vartheta,
\quad 0\le r<1, \;-\pi\le\varphi\le\pi.
$$

Az $u\in H_1$ rel\'aci\'o akkor \'es csak akkor teljes\"ul, 
ha l\'etezik olyan korl\'atos v\'altoz\'as\'u $\mu$ 
m\'ert\'ek a $[-\pi,\pi]$ intervallum Borel m\'erhet\H{o}
halmazain, amelyre
$$
u(re^{i\varphi})=\int_{-\pi}^\pi
\frac{1-r^2}{1+r^2-2r\cos(\vartheta-\varphi)}\,d\mu(\vartheta),
\quad 0\le r<1, \;-\pi\le\varphi\le\pi.
$$

Tov\'abb\'a $\|u\|_p=\|\tilde u\|_p$, ha $1<p\le\infty$,
\'es $\|u\|_1=\|\mu\|$, ha $p=1$.

Az $u\in H_p$ f\"uggv\'eny egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozza az 
\H{o}t defini\'al\'o $\tilde u$ f\"uggv\'enyt, ha $1<p\le\infty$,
\'es az \H{o}t defini\'al\'o  $\mu$ m\'ert\'eket, ha $p=1$. 
Tov\'abb\'a egy $u\in H_p$ f\"uggv\'eny
$u(re^{i\varphi})=\summ_{n=-\infty}^\infty \beta_n |r|^ne^{in\varphi}$
alak\'u el\H{o}\'all\'{\i}t\'asban szerepl\H{o}  $\beta_n$ 
egy\"utthat\'ok \'es az \H{o}t meghat\'aroz\'o
$\tilde u$ f\"uggv\'eny illetve $\|\mu\|$ m\'ert\'ek Fourier 
egy\"utthat\'oi megegyeznek, azaz
$$
\beta_n=\int_{-\pi}^\pi e^{-in\vartheta}\tilde u(\vartheta)\,d\vartheta,
\quad \text{ha } 1<p\le\infty, \quad n=0,\pm1,\pm2,\dots
$$
\'es
$$
\beta_n=\int_{-\pi}^\pi e^{-in\vartheta}\,d\mu(\vartheta),
\quad \text{ha } p=1, \quad n=0,\pm1,\pm2,\dots.
$$
}

\medskip
A k\"ovetkez\H{o} eredm\'eny tulajdonk\'eppen a harmonikus 
f\"uggv\'enyek Poisson integr\'al alak\'u 
el\H{o}\'all\'{\i}t\'as\'ar\'ol sz\'ol\'o eredm\'enyek 
k\"ovetkezm\'enye.

\medskip\noindent
{\bf B3.~T\'etel.} {\it Legyen $u(\cdot)\in H_p$, \'es legyen 
$\tilde u(\cdot)$ az a $[-\pi,\pi]$ intervallumon defini\'alt 
f\"uggv\'eny $p>1$ esetben, 
\'es az a $\mu$ korl\'atos v\'altoz\'as\'u m\'ert\'ek a $[-\pi,\pi]$ 
intervallum Borel r\'eszhalmazain a $p=1$ esetben, amely 
meghat\'arozza az $u(\cdot)$ f\"uggv\'enyt a B2. t\'etelben megadott
m\'odon. Ekkor majdnem minden $\varphi\in[-\pi,\pi]$ sz\'amra 
igaz a
$$
\lim_{r\to1} u(re^{i\varphi})=\left\{
\aligned
&\tilde u(\varphi), \quad\text {ha }1<p\le\infty \\
&\frac{d\mu}{d\lambda}(\varphi), \quad\text {ha }p=1
\endaligned \right.
$$
rel\'aci\'o, azaz $\tilde u(\varphi)$ illetve 
$\frac{d\mu}{d\lambda}(\varphi)$ az $u(re^{i\varphi})$ f\"uggv\'eny 
ir\'anymenti hat\'ar\'ert\'eke az $r=1$ esetben.}

\medskip
A B2 t\'etelben az egy $u\in H_p$ f\"uggv\'eny 
sorfejt\'es\'eben szerepl\H{o} $\beta_n$ egy\"utthat\'ok 
tulajdons\'agair\'ol megfogalmazott  eredm\'enyb\H{o}l 
k\"ovetkezik az is, hogy az $u$ f\"uggv\'eny akkor \'es 
csak akkor analitikus (akkor teljes\"ul a $\beta_n=0$ 
rel\'aci\'o minden $n=-1,-2,\dots$ indexre), ha az $u$ 
f\"uggv\'enyt olyan $\tilde u\in L_p$ f\"uggv\'eny
meghat\'arozza meg a $p>1$ esetben, illetve olyan $\mu$ 
korl\'atos  v\'altoz\'as\'u m\'ert\'ek hat\'arozza meg a 
$p=1$ esetben, amelynek $\beta_n$ Fourier  egy\"utthat\'oi 
null\'aval egyenl\H{o}ek minden $n\le-1$ param\'eterre. 
Ez a t\'eny teszi term\'eszetess\'e a k\"ovetkez\H{o} 
definici\'ot.

\medskip\noindent
{\bf Analitikus m\'ert\'ekek definici\'oja.} {\it Egy a $[-\pi,\pi]$
intervallum Borel m\'erhet\H{o} r\'esz\-hal\-ma\-zain defini\'alt 
korl\'atos v\'altoz\'as\'u $\mu$ m\'ert\'eket analitikusnak 
nevez\"unk, ha
$$
\int e^{in\vartheta}\,d\,\mu(\vartheta)=0, \quad \text{minden 
$n=1,2,\dots$ sz\'amra.}
$$
}

\medskip\noindent
A fenti eredm\'enyekben l\'attuk, hogy a $H_p$ t\'erbeli 
f\"uggv\'enyeknek mindig van radi\'alis limesze, \'es a 
lehets\'eges limeszf\"uggv\'enyek halmaza megegyezik az 
$L_p([-\pi,\pi])$ t\'er elemeivel, ha $p>1$, \'es a 
$[-\pi,\pi]$ intervallum Borel m\'erhet\H{o} r\'eszhalmazain 
defini\'alt kor\-l\'a\-tos v\'altoz\'as\'u m\'ert\'ekek 
halmaz\'aval, ha $p=1$. Term\'eszetes m\'odon felmer\"ul az 
a Hardy f\"uggv\'enyoszt\'alyok vizsg\'alat\'aban fontos 
k\'erd\'es, hogy hogyan sz\H{u}k\"ul a lehets\'eges 
(ra\-di\'a\-lis) limeszek halmaza, ha a $H_p$ t\'er helyett a 
sz\H{u}kebb a 3. fejezetbem bevezetett $\Cal H_p$ 
f\"uggv\'enyt\'er elemeinek a (ra\-di\'a\-lis) limesz\'et 
tekintj\"uk. Erre a k\'erd\'esre csak r\'eszleges v\'alaszt 
fogunk adni, de ez a r\'esz\-le\-ges  v\'alasz is elegend\H{o} 
a predikci\'o elm\'eleti  vizs\-g\'a\-la\-ta\-ink\-ban 
felmer\"ult hasonl\'o jelleg\H{u} prob\-l\'e\-m\'ak 
megold\'as\'ahoz.

E k\'erd\'es tanulm\'anyoz\'as\'aban \'erdemes 
az $S(0,1)$ k\"or\"on  analitikus $g(z)=g(re^{i\vartheta})$ 
f\"uggv\'enyek \'altal meghaz\'arozott  $\log |g(0)|$ sz\'am 
\'es  $\int_{-\pi}^\pi \log| g(re^{i\vartheta})|\,d\vartheta$ 
integr\'alok vi\-sel\-ke\-d\'e\-s\'et vizsg\'alni $0<r<1$ 
param\'eterekre, illetve a $\log |g(0)|$ sz\'am \'es az 
el\H{o}bbi integr\'alok kapcsolat\'at te\-kin\-te\-ni. 
Bizonyos formul\'akat  kiss\'e \'altal\'anosabb esetekben is 
\'erdemes vizsg\'alni. Te\-kint\-he\-t\"unk olyan eseteket 
is, amelyekben az analitikus $g(\cdot)$ f\"uggv\'enynek 
lehet v\'eges sok szin\-gu\-la\-ri\-t\'a\-sa is.

Eml\'ekeztetek arra, hogy ha $g(z)$ olyan analitikus 
f\"uggv\'eny egy $D$ egyszeresen \"osszef\"ugg\H{o} 
tarom\'anyban, amely sehol nem vesz fel null \'ert\'eket, 
akkor lehet venni a $g(z)$ f\"uggv\'eny logaritmus\'at a
$D$ tartom\'anyban, amely ebben az esetben analitikus 
f\"uggv\'eny, ez\'ert a re\'alis r\'esze harmonikus 
f\"uggv\'eny. Tov\'abb\'a teljes\"ul a 
$\Re\log g(z)=\log |g(z)|$ azonoss\'ag. Ez\'ert, ha $g(z)$ 
egy az $S(0,1)$ egys\'egk\"or\"on defini\'alt, \'es ott el 
nem t\H{u}n\H{o} analitikus f\"uggv\'eny, akkor a harmonikus 
f\"uggv\'enyek tulajdons\'agai miatt 
$\log |g(0)|=\frac1{2\pi}
\int_{-\pi}^\pi \log |g(re^{i\vartheta})|\,d\vartheta$
minden $0<r<1$ param\'eterre. Ha $g(z)$ nem azonosan 
nul\-l\'a\-val egyenl\H{o}
ana\-li\-ti\-kus f\"uggv\'eny az $S(0,1)$ k\"or\"on, de lehetnek 
nullhelyei, akkor ezeknek a null\-he\-lye\-knek nem lehet
torl\'od\'asi pontja az $S(0,1)$ k\"or belsej\'eben. Ez\'ert 
minden $0<r<1$ sz\'amra a $g(z)$ f\"uggv\'enynek csak 
v\'eges sok nullhelye van az $r$ sugar\'u k\"or belsej\'eben. 
Ha ezek a nullhelyek valamely $a_1,\dots,a_k$ pontokban vanak, 
akkor a $g(z)$ f\"uggv\'enyt elosztva olyan racion\'alis 
t\"ortf\"uggv\'enyek szorzat\'aval, amelyek az $r$ sugar\'u 
k\"orvonalat \"onmag\'aba viszik, az $a_j$, $1\le j\le k$,
nullhelyeket pedig az orig\'oba, olyan $\tilde g(z)$ 
f\"uggv\'enyt kapunk, amelynek nincs nullhelye, ez\'ert 
alkalmazhatjuk r\'a az el\H{o}bb fel\'{\i}rt azonoss\'agot. 
Tov\'abb\'a $|\tilde g(re^{i\varphi})|=r^k|g(re^{i\varphi})|$ 
minden $-\pi\le\varphi\le\pi$ sz\'amra, mert z $\tilde g(z)$ 
f\"uggv\'eny definici\'oj\'aban olyan f\"uggv\'enyek 
szorzat\'aval osztottuk el a $g(z)$ f\"uggv\'enyt,
amelyeknek az abszol\'ut \'ert\'eke $r$-rel egyenl\H{o} az 
$r$ sugar\'u  k\"orvonalon. Ezen \'eszrev\'etelek 
kidolgoz\'as\'aval egy hasznos azonoss\'agot lehet kapni. 
Ez a Jensen formul\'anak nevezett eredm\'eny, amely kiss\'e
\'altal\'anosabb felt\'etelek mellett is megfogalmazhat\'o, 
olyan esetekben is, amikor  a $g(z)$ f\"uggv\'enynek v\'eges 
sok p\'olusa is lehet. Ez a formula a k\"ovetkez\H{o}t mondja.

\medskip\noindent
{\bf B4.~T\'etel.~Jensen formula.} {\it Legyen $g(z)$ meromorf 
f\"uggv\'eny egy $\{z\colon\;|z|<R\}$ sugar\'u k\"orlapon. 
Tekints\"unk egy $r<R$ sz\'amot, \'es legyenek a $g(z)$ 
f\"uggv\'eny z\'erushelyei \'es p\'olusai az $r$ sugar\'u 
k\"or belsej\'eben az orig\'ot nem sz\'am\'{\i}tva \'es 
a nullhelyeket, illetve p\'olusokat multiplicit\'assal 
felsorolva valamely $a_1,\dots,a_n$, illetve $b_1,\dots,b_m$ 
pontok. Teljes\"ulj\"on a  $g(z)=A_qz^q+\cdots$ rel\'aci\'o az 
orig\'o kis k\"ornyezet\'eben.  (Ez a formula adja meg, hogy 
az orig\'o h\'anyszoros gy\"oke vagy p\'olusa a $g(z)$ 
f\"uggv\'enynek.) Ekkor teljes\"ul az 
$$ 
\log|A_qr^q|+\sum_{k=1}^n\log\frac r{|a_k|}-
\sum_{j=1}^m\log\frac r{|b_j|}=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi 
\log |g(re^{i\vartheta})|\,d\vartheta
$$
azonoss\'ag.}

\medskip
A Jensen formul\'anak egyszer\H{u} k\"ovetkezm\'enye az al\'abbi 
Jensen egyenl\H{o}tlens\'eg. (Ez nem egyezik meg az irodalomban 
\'altal\'aban Jensen egyenl\H{o}tlens\'eg n\'even hasz\-n\'alt 
re\-l\'a\-ci\'o\-val). A Jensen egyenl\H{o}tlens\'eg
bizony\'{\i}t\'asa az el\H{o}z\H{o} azonoss\'agot alkalmazza 
abban az esetben, amikor a $g(z)$ f\"uggv\'enynek nincs 
p\'olusa, \'es az orig\'o se nem p\'olus, se nem gy\"ok, azaz
$q=0$ a Jensen formul\'aban.

\medskip\noindent
{\bf B5.~T\'etel.~Jensen egyenl\H{o}tlens\'eg.} {\it Ha $g(z)$ 
analitikus f\"uggv\'eny egy $\{z\colon\;|z|<R\}$, $R$ sugar\'u 
\'es nulla k\"oz\'eppont\'u k\"orlapon, \'es $g(0)\neq0$, akkor 
minden $r<R$ sz\'amra
$$
\log |g(0)|\le \frac1{2\pi}
\int_{-\pi}^\pi \log |g(re^{i\vartheta})|\,d\vartheta.
$$
}

\medskip\noindent
Vegy\"uk \'eszre, hogy ez az azonoss\'ag nagyon hasonl\'o a 
vizsg\'alatainkban fontos szerepet j\'atsz\'o Szeg\H{o} t\'etelhez. 
(Ez ut\'obbi a jegyzet 4.6. t\'etele.) A l\'enyeges k\"ul\"onbs\'eg 
a k\'et eredm\'eny k\"oz\"ott az, hogy a Szeg\H{o} t\'etelben,
az $S(0,1)$ k\"orlapon dolgozva, a (4.8) formula jobboldal\'an 
az $R=1$ hat\'ark\"or\"on vett\"uk az integr\'alt, m\'{\i}g a 
Jensen egyenl\H{o}tlens\'egben egy $r<R$ sugar\'u bels\H{o} 
k\"orben integr\'altunk. A f\H{o} probl\'ema az, hogy a Jensen 
egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'eg alapj\'aul szolg\'al\'o Jensen 
azonoss\'agban kihaszn\'altuk azt, hogy egy nem azonosan nulla 
analitikus f\"uggv\'eny  nullhelyeinek nincs bels\H{o} 
torl\'od\'asi pontja, m\'{\i}g a Szeg\H{o} t\'etel eset\'eben 
figyelembe kell venni azt, hogy egy $g(z)$ analitikus f\"uggv\'eny 
nullhelyeinek lehet torl\'od\'asi pontja az analitikus f\"uggv\'eny
\'ertelmez\'esi tartom\'any\'anak a hat\'ar\'an, s\H{o}t a
$g(z)$ f\"uggv\'eny elt\H{u}nhet a hat\'ar bizonyos pontjaiban, 
\'es az ilyen esetek lehet\H{o}s\'eg\'enek a hat\'as\'at is 
kontroll\'alni kell.

Ahhoz, hogy a Szeg\H{o} t\'etelt be tudjuk bizony\'{\i}tani, \'es 
hasonl\'o jelens\'egeket vizsg\'alni tudjunk sz\"uks\'eg\"unk van 
n\'emi kontrollra egy az $S(0,1)$ k\"orben analitikus $g(z)$ 
f\"uggv\'eny nullhelyeinek a viselked\'es\'er\H{o}l abban az 
esetben, ha 
$\supp_{r<1}\int \log |g(re^{i\varphi})|\,d\varphi<\infty$.
Olyan t\'{\i}pus\'u eredm\'enyre van sz\"uks\'eg\"unk, amely 
arr\'ol sz\'ol, hogy a nullhelyek abszol\'ut \'ert\'ekei nem 
s\H{u}r\H{u}s\"odhetnek be t\'uls\'agosan az 1 pont k\"or\"ul. 
Ilyen jelleg\H{u} eredm\'enyt mond ki az al\'abbi t\'etel.

\medskip\noindent
{\bf B6.~T\'etel.} {\it Legyen $g(z)$ analitikus f\"uggv\'eny az
$S(0,1)$ egys\'egk\"or\"on. Akkor \'es csak akkor teljes\"ul a 
$$
\sup_{0<r<1}\int_{-\pi}^\pi \log |g(re^{i\varphi})|\,d\varphi<\infty
\tag B1
$$
egyenl\H{o}tlens\'eg, ha a $g(z)$ f\"uggv\'eny $a_1,a_2,\dots$ 
nullhelyei teljes\'{\i}tik a
$$
\sum_{k=1}^\infty (1-|a_k|)<\infty \tag B2
$$
egyenl\H{o}tlens\'eget. Az utols\'o kifejez\'esben az $a_k$ 
nullhelyet annyiszor sz\'amoltuk, amennyi az $a_k$ nullhely 
multiplicit\'asa.

Ha a fenti (equivalens) rel\'aci\'ok teljes\"ulnek, akkor a $g(z)$
f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti a
$$
\lim_{r\to1}\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \log |g(re^{i\varphi})|\,d\varphi
=\log |A_q|-\sum_{k=1}^\infty \log|a_k|
$$
azonoss\'agot, ahol a $g(z)$ f\"uggv\'eny Taylor sora 
$g(z)=A_qz^q+\cdots$ alak\'u.
}


\medskip
K\"ul\"on lemma form\'aj\'aban mondom ki az al\'abbi egyszer\H{u}en 
bizony\'{\i}that\'o \'all\'{\i}t\'ast annak fontoss\'aga miatt a 
Hardy f\"uggv\'enyoszt\'alyok vizsg\'alat\'aban. Ez azt 
\'all\'{\i}tja,  hogy a B6.~t\'etelben megfogalmazott rel\'aci\'ok 
teljes\"ulnek a Hardy terekben.

\medskip\noindent
{\bf B7.~Lemma.} {\it A 3. fejezetben defini\'alt $\Cal H_p$ 
f\"uggv\'enyoszt\'alyok minden $0<p\le\infty$ param\'eterre
teljes\'{\i}tik a (B1) \'es ez\'ert a (B2) rel\'aci\'ot.}

\medskip\noindent
Ha egy $g(z)$ f\"uggv\'enynek v\'eges sok  nullhelye van, akkor 
alkalmas racion\'alis t\"ort\-f\"ugg\-v\'ennyel val\'o 
beszorz\'assal ezeket a nullhelyeket el tudtuk t\"untetni, \'es 
a beszorz\'as se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel kapott f\"uggv\'enyek 
tulajdons\'agaib\'ol \'ert\'ekes k\"ovetkeztet\'eseket 
tudunk tenni az eredeti $g(z)$ f\"uggv\'eny 
viselked\'es\'er\H{o}l. A k\"ovetkez\H{o} eredm\'eny
hasonl\'o lehet\H{o}s\'eget biztos\'{\i}t akkor, ha egy az 
$S(0,1)$ egys\'egk\"or\"on analitikus f\"uggv\'enynek 
v\'egtelen sok $a_k$ nullhelye is lehet, de ezek
a nullhelyek teljes\'{\i}tik a (B2) rel\'aci\'ot.

\medskip\noindent
{\bf B8.~T\'etel.} {\it Keress\"unk olyan az $S(0,1)$ 
egys\'egk\"orben analitikus, \'es korl\'atos f\"uggv\'enyt, 
amelynek a nullhelyei olyan $a_1,a_2,\dots$ sz\'amok, 
$|a_k|<1$ minden $1\le k<\infty$ indexre,  amelyek 
teljes\'{\i}tik a (B2) rel\'aci\'ot. Az al\'abbi $B(z)$ 
f\"uggv\'eny ilyen tulajdons\'ag\'u.
$$
B(z)=Cz^q \prod_{k=q+1}^\infty \frac{|a_k|}{a_k}
\frac{a_k-z}{1-z\bar a_k}, 
\tag B3
$$
ahol $q$ a null\'aval egyenl\H{o} gy\"ok\"ok sz\'ama, $a_k=0$, 
ha $1\le k\le q$, \'es $a_k\neq0$, ha $k\ge q+1$, tov\'abb\'a 
$C$ tetsz\H{o}leges egy abszol\'ut \'ert\'ek\H{u} komplex sz\'am. 
Az $f(z)$ f\"uggv\'enyt defini\'al\'o szorzat egyenletesen 
konverg\'al az $S(0,1)$ ny\'{\i}lt k\"or minden z\'art
r\'eszhalmaz\'aban.}

\medskip
Megjegyzem, hogy a B8. t\'etel konstrukci\'oja, hasonl\'o a 
Weierstrass t\'etel konstrukci\'oj\'ahoz. A Weierstrass 
t\'etelben olyan analitikus eg\'esz f\"uggv\'enyeket keres\"unk, 
amelyeknek  nullhelyei egy el\H{o}\'{\i}rt, v\'eges 
torl\'od\'asi ponttal  nem rendelkez\H{o} ponthalmazon vannak. 
Ezt egy alkalmas szorzat seg\'{\i}ts\'eg\'evel \'all\'{\i}tjuk
el\H{o}, amelyben bizonyos tagokat az\'ert vezet\"unk be, hogy
biztos\'{\i}tsuk a szorzat konvergenci\'aj\'at. Jelen esetben az
1 abszol\'ut \'ert\'ek\H{u} $\frac{|a_k|}{a_k}$ faktorok 
biztos\'{\i}tj\'ak a szorzat konvergenci\'aj\'at. Ezek 
bevezet\'ese term\'eszetes. Ezek a faktorok biztos\'{\i}tj\'ak, 
hogy a $z=0$ esetben $B(z)=B(0)$ kifejez\'es (B3)~definici\'oj\'aban 
szerepl\H{o} v\'egtelen szorzat pozit\'{\i}v val\'os sz\'am, 
`a v\'egtelen szorzat k\"ozel\'{\i}t\H{o} szorzatai nem forognak 
el'. Bevezetem a k\"ovetkez\H{o} fogalmat.

\medskip\noindent
{\bf Blaschke szorzat definici\'oja.} {\it Legyen $a_1,a_2,\dots$
egy a (B2) felt\'etelt teljes\'{\i}t\H{o} pont\-so\-ro\-zat az 
$S(0,1)$ k\"orlap belsej\'eben. A (B3) formul\'aban defini\'alt 
$B(z)$ f\"uggv\'enyt az $a_1,a_2,\dots$ sorozathoz \'es $C$, 
$|C|=1$ komplex sz\'amhoz tartoz\'o Blaschke szorzatnak nevezik.}

\medskip
A Hardy terek vizsg\'alat\'aban fontos a Blaschke szorzatok 
tulajdons\'againak a meg\-\'er\-t\'e\-se. A k\"ovetkez\H{o} 
t\'etel eredm\'enye ilyen t\'{\i}pus\'u eredm\'enyt mond ki.

\medskip\noindent
{\bf B9.~T\'etel.} {\it Ha a $B(z)$ f\"uggv\'eny egy Blaschke
szorzat, azaz (B3) alakban \'{\i}rhat\'o fel, akkor $B(z)$ 
olyan analitikus f\"uggv\'eny az $S(0,1)$ k\"orlapon, amelyre
$|B(z)|\le1$ minden $|z|<1$ argumentumra, \'es
$\limm_{r\to1}B(re^{i\varphi})=1$ majdnem minden 
$-\pi\le\varphi\le\pi$ sz\'amra.}

\medskip
Megfogalmazok egy olyan eredm\'enyt a $\Cal H_p$-beli f\"uggv\'enyek
tulajdons\'agair\'ol, amely a 3. fejezetben megfogalmazott
3.3.~t\'etel term\'eszetes \'altal\'anos\'{\i}t\'asa arra az esetre, 
amikor a $\Cal H_p$ tereket nemcsak a $p=2$ hanem minden 
$0<p\le\infty$ param\'eterre tekintj\"uk. El\H{o}tte azonban a 
teljess\'eg kedv\'e\'ert megfogalmazom a k\"ovetkez\H{o}
eredm\'enyt.

\medskip\noindent
{\bf B10.~T\'etel.} {\it R\"ogz\'{\i}ts\"unk egy $f(z)$ regul\'aris 
f\"uggv\'enyt az $S(0,1)$ k\"orlapon, \'es defini\'aljuk a 
$\nu_0(r)=\nu_0(r,f)=\int_{-\pi}^\pi \log |f(r^{i\varphi})|\,d\varphi$, 
$\nu_p(r)=\nu_p(r,f)=\int_{-\pi}^\pi |f(re^{i\varphi})|^p\,d\varphi$,
ha $0<p<\infty$, \'es 
$\nu_\infty(r)=\nu_\infty(r,f)=\supp_{-\pi\le\varphi<le\pi} 
|f(re^{i\varphi})|$ f\"uggv\'enyeket. A $\nu_p(r$ f\"uggv\'eny 
monoton a $0\le r<1$ v\'altoz\'oban minden $0\le p\le\infty$ 
param\'eterre.}

\medskip
A k\"ovetkez\H{o} eredm\'eny \'ugy tekinthet\H{o}, mint a 
3.3.~t\'etel legfontosabb r\'esz\'enek  ter\-m\'e\-sze\-tes 
\'altal\'anos\'{\i}t\'asa minden $0<p\le\infty$ param\'eterre.

\medskip\noindent
{\bf B11.~T\'etel.} {\it Egy $f\in\Cal H_p$, $0<p<\infty$, 
f\"uggv\'enynek l\'etezik radi\'alis limesze majdnem minden 
ir\'anyban, azaz

\medskip
\item{(i)}  A $\limm_{r\to1}f(re^{i\varphi})=\tilde f(\varphi)$ 
azonoss\'ag teljes\"ul majdnem minden $\varphi\in[-\pi,\pi]$ 
pontban egy alkalmas a $[-\pi,\pi]$ intervallumon defini\'alt 
$\tilde f(\cdot)$ f\"uggv\'ennyel.

\item{(ii)} Az (i) pontban szerepl\H{o} $\tilde f$ f\"uggv\'eny 
az $L_p([-\pi,\pi])$ t\'er eleme, \'es teljes\'{\i}ti az
$\|f\|_p=\|\tilde f\|_p$ azonoss\'agot, ahol az $\|f\|_p$ 
mennyis\'eget a 3. fejezetben a $\Cal H_p$ halmazoszt\'aly 
definici\'oj\'aban vezett\"uk be.

\item{(iii)} A $\limm_{r\to1}f(re^{i\varphi})=\tilde f(\varphi)$
konvergencia teljes\"ul az $L_p$ \'ertelemben is, ha $0<p<\infty$.

\item{(iv)} $\int_{-\pi}^\pi |\log|\tilde f(\varphi)||\,d\varphi<\infty$,
kiv\'eve, ha $f(z)\equiv0$ a $z\in S(0,1)$ egys\'egk\"orben. 
Spe\-ci\-\'a\-li\-san, az $\tilde f$ f\"uggv\'eny vagy majdnem 
minden\"utt nulla, vagy csak egy (a Lebesgue m\'ert\'ek szerint) 
null m\'ert\'ek\H{u} halmazon lehet nulla.

}\medskip
Mivel az igaz\'an \'erdekes $1\le p\le\infty$ esetben 
$\Cal H_p\subset H_p$, a $H_p$ terek tulajdons\'agaib\'ol 
k\"ovetkezik, hogy az $1\le p\le\infty$ esetbetben egy 
$f\in\Cal H_p$ f\"uggv\'enyt egy\'ertelm\H{u}en meghat\'aroz 
annak $\tilde f(\cdot)$ radi\'alis  limesze, \'es az $f$ 
f\"uggv\'eny 0 pont k\"or\"uli Taylor sorfejt\'es\'enek az 
egy\"utthat\'oi megegyeznek az $\tilde f$ f\"uggv\'eny 
megfelel\H{o} Fourier egy\"utthat\'oival. Innen az is 
k\"ovetkezik, hogy az $f\in\Cal H_p$ f\"uggv\'enyek, 
$1\le p\le\infty$, radi\'alis limeszei azok \'es csak 
azok az $\tilde f\in L_p$ f\"uggv\'enyek, amelyekre 
$\int_{-\pi}^\pi e^{in\varphi}\tilde f(\varphi)\,d\varphi=0$
minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra.

Kihaszn\'alva ezeket a tulajdons\'agokat valamint azt 
a t\'enyt, hogy egy analitikus m\'ert\'ek egy olyan $H_1$
t\'erbeli f\"uggv\'enynek a radi\'alis limesze, amely benne 
van a $\Cal H_1$ t\'erben is, \'es a $\Cal H_1$  t\'erbeli 
f\"uggv\'enyek radi\'alis limeszei $L_1$ t\'erbeli 
f\"uggv\'enyek be lehet bizony\'{\i}tani a k\"ovetkez\H{o} 
t\'etelt.

\medskip\noindent
{\bf B12.~T\'etel.} {\it Minden analitikus m\'ert\'ek abszol\'ut 
folytonos a Lebesgue m\'ert\'ekre n\'ezve, azaz l\'etezik 
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye a $[-\pi,\pi]$ intervallumon.}

\medskip
Megjegyzem, hogy a $\Cal H_p$ terek fent eml\'{\i}tett 
tulajdons\'againak felhaszn\'al\'as\'aval be lehet 
bizony\'{\i}tani a k\"ovetkez\H{o} eredm\'enyt is.

\medskip\noindent
{\bf B13.~T\'etel.} {\it A $\Cal H_p$ t\'er, $1\le p\le\infty$, 
Banach t\'er, s\H{o}t az is igaz, hogy az $f\to\tilde f$ 
le\-k\'e\-pe\-z\'es (minden $f\in\Cal H_p$ f\"uggv\'enynek 
megfeleltetj\"uk annak $\tilde f$ radi\'alis limesz\'et) a 
$\Cal H_p$ t\'er egy izomorf \'es norma tart\'o lek\'epez\'es\'et 
adja az $L_p$ Banach t\'er azon z\'art alter\'ebe, amely azon 
$\tilde f$ f\"uggv\'enyekb\H{o}l \'all, amelyek teljes\'{\i}tik 
az $\int_{-\pi}^\pi e^{in\varphi}\tilde f(\varphi)\,d\varphi=0$
azonoss\'agot minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra.}

\medskip
A fenti eredm\'enyekb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy minden 
$1\le p\le\infty$  param\'eterre egy a $[-\pi,\pi]$ intervallumon 
defini\'alt $f$ f\"uggv\'eny  akkor \'es csak akkor 
\'all\'{\i}that\'o el\H{o}, mint valamely $F\in\Cal H_p$ 
f\"uggv\'eny radi\'alis limesze, ha $f\in L_p$, \'es az 
$f$ f\"uggv\'eny negat\'{\i}v index\H{u} Fourier 
egy\"utthat\'oi mind null\'aval egyenl\H{o}ek, azaz 
$\int_{-\pi}^\pi e^{in\varphi}f(\varphi)\,d\varphi=0$
minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra. Tov\'abb\'a azt is tudjuk 
a B11.~t\'etel (iv) pontja alapj\'an, hogy egy ilyen $f$ 
f\"uggv\'enyre teljes\"ulnie kell az 
$\int_{-\pi}^\pi |\log|f(\varphi)||\,d\varphi<\infty$
egyenl\H{o}tlens\'egnek is, hacsak az $f$ f\"uggv\'eny 
nem t\H{u}nik el majdnem minden\"utt.

De ez nem egy teljesen kiel\'eg\'{\i}t\H{o} k\'ep a jellemezni 
k\'{\i}v\'ant f\"uggv\'enycsal\'adr\'ol, mert az, hogy egy 
f\"uggv\'enynek mikor t\H{u}nnek el a negat\'{\i}v index\H{u} 
Fourier egy\"utthat\'oi csak nehezen ellen\H{o}rizhet\H{o} az 
\'altal\'anos esetben, \'es a B11.~t\'etel (iv) pontj\'aban 
megfogalmazott tulajdons\'ag csak sz\"uks\'eges, de nem 
el\'egs\'eges felt\'etele annak, hogy $f$ a k\'{\i}v\'ant
f\"uggv\'enyoszt\'alyba tartozzon.

L\'enyegesen jobb le\'{\i}r\'asa van az al\'abbi FELADAT~B-ben 
megk\"ovetelt tu\-laj\-don\-s\'a\-gok\-kal rendelkez\H{o} 
f\"uggv\'enycsal\'adnak. Ez a FELADAT~B term\'eszetes 
\'al\-ta\-l\'a\-no\-s\'{\i}\-t\'a\-sa a 3.~fejezet  v\'eg\'en 
megfogalmazott FELADAT~A-nak, amelynek megold\'asa fontos 
szerepet j\'atszik a predikci\'o elm\'eletben.

\medskip\noindent
{\bf FELADAT~B.} {\it Legyen adva egy $\alpha(\cdot)$ 
f\"uggv\'eny a $[-\pi,\pi]$ intervallumon, amelyre 
$\alpha(\vartheta)\ge0$ majdnem minden $\vartheta\in[-\pi,\pi]$ 
sz\'amra, \'es defini\'aljuk minden $0<p\le\infty$ 
pa\-ra\-m\'e\-ter\-re a k\"ovetkez\H{o} 
$$
\align
\Cal H_p(\alpha)&=\{h(\cdot)\colon\; h\in \Cal H_p, \text{ \'es } 
\lim_{r\to\infty}|h(re^{i\vartheta})|=\alpha(\vartheta) \\ 
&\qquad\qquad\text{ majdnem minden $\vartheta\in[-\pi,\pi]$ sz\'amra.}\}
\tag B4
\endalign
$$
f\"uggv\'enyekb\H{o}l \'all\'o halmazt. Hat\'arozzuk meg, hogy 
mely f\"uggv\'enyek elemei a $\Cal H_p(\alpha)$ halmaznak. 
Spe\-ci\-\'ali\-san, mely $\alpha(\cdot)$ f\"uggv\'enyekre nem 
\"ures a $\Cal H_p(\alpha)$ halmaz? Mutassuk meg, hogy ha 
$\Cal H_p(\alpha)$ nem \"ures halmaz, akkor a FEL\-ADAT~B-nek 
van egy maxim\'alis $h_0(z)\in\Cal H_p(\alpha)$ megold\'asa, 
amelyre teljes\"ul a $|h_0(z)|\ge |h(z)|$ egyenl\H{o}tlens\'eg 
minden $h\in\Cal H_p(\alpha)$ f\"uggv\'enyre \'es $z$, $|z|<1$, 
komplex sz\'amra.}

\medskip
A FELADAT~A-ban hasonl\'o feladatot vizsg\'altunk $p=2$, esetben
$\alpha(\vartheta)=\sqrt{g(\vartheta)}$ v\'alaszt\'assal, ahol 
$g(\cdot)$ egy spektr\'al s\H{u}r\H{u}s\'eg f\"uggv\'eny volt. 
Mivel  $g(-\vartheta)=g(\vartheta)$ egy $g(\cdot)$ spektr\'al 
s\H{u}r\H{u}s\'eg f\"uggv\'enyre, ez\'ert az
$\alpha(-\vartheta)=\alpha(\vartheta)$ tulajdons\'ag is 
teljes\"ul a FEL\-ADAT~A-ban. A FELADAT~A-ban (felhaszn\'alva az 
$\alpha(\cdot)$ f\"uggv\'eny most eml\'{\i}tett speci\'alis 
tulajdons\'ag\'at) olyan $h\in\Cal H_2$ f\"uggv\'enyeket 
keres\"unk, amelyek hatv\'anysor\'aban val\'os egy\"utthat\'ok
szerepelnek.

\medskip
A FELADAT A megold\'as\'at nem neh\'ez megtal\'alni a FELADAT~B 
eredm\'eny\'enek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel. M\'asr\'eszt a FELADAT~B 
megold\'asa megkaphat\'o a FELADAT~A 4.~fe\-je\-zet\-ben ismertetett 
megold\'asi m\'odszer\'enek a finom\'{\i}t\'as\'aval. Az els\H{o} 
l\'ep\'esben  egy olyan eredm\'enyt bizony\'{\i}tunk be, amely 
a 4.1 Lemma \'altal\'anos\'{\i}t\'as\'anak tekinthet\H{o}, \'es 
lehet\H{o}v\'e teszi, hogy  egy $f\in\Cal H_p(\alpha)$ 
f\"uggv\'eny ismeret\'eben olyan \'uj $g\in\Cal H_{p}(\alpha)$
f\"ugv\'enyt tal\'aljunk, amelynek nincs nullhelye az $S(0,1)$ 
egys\'egk\"orben. R\'aad\'asul erre a f\"uggv\'enyre teljes\"ul 
az $|f(z)|\le |g(z)|$ egyenl\H{o}tlens\'eg minden $z\in S(0,1)$ 
pontban. Ez k\"ovetkezik az al\'abbi eredm\'enyb\H{o}l.

\medskip\noindent
{\bf B14.~T\'etel.} {\it Legyen $f\in\Cal H_p$ valamely 
$0<p\le\infty$ param\'eterrel. Ez az $f$ f\"uggv\'eny 
fel\'{\i}rhat\'o $fz)=B(z)g(z)$ alakban, ahol $B(z)$ egy 
Blaschke szorzat, $g\in \Cal H_p$, \'es $g(z)\neq0$ minden 
$z\in S(0,1)$ pontban. Tov\'abb\'a $\|g\|_p=\|f\|_p$  
a Hardy f\"uggv\'enyoszt\'alyok definici\'oj\'aban
bevezetett $\|\cdot\|_p$ kifejez\'essel.}

\medskip
A B9.~t\'etelb\H{o}l k\"ovetkezik az,  hogy ha 
$f\in\Cal H_p(\alpha)$ akkor a B14.~t\'etelben konstru\'alt 
$g$ f\"uggv\'enyre $g\in\Cal H_p(\alpha)$. A $g(z)\neq0$ 
tulajdons\'ag lehet\H{o}v\'e teszi, hogy defini\'aljuk a 
$\log g(z)$ analitikus f\"uggv\'enyt. Tov\'abb\'a a Blaschke 
szorzat tulajdons\'agaib\'ol az is k\"ovetkezik, hogy 
$|g(z)|\ge|f(z)|$ minden $z\in S(0,1)$ pontban, s\H{o}t 
szigor\'u egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'eg van akkor, ha az 
$f(z)$ f\"uggv\'enynek vannak nullhelyei. Ezut\'an, ha 
be\-bi\-zo\-ny\'{\i}t\-juk a 4.6.~t\'etelben kimondott 
Szeg\H{o} t\'etelt akkor a 4.5.~lemma bizony\'{\i}t\'as\'anak 
term\'eszetes m\'odos\'{\i}t\'as\'aval bizonyos felt\'etelek 
teljes\"ul\'ese eset\'en mellett meg tudjuk konstru\'alni a 
FELADAT~B egyik megold\'as\'at. A k\"ovetkez\H{o} eredm\'enyt 
kapjuk.

\medskip\noindent
{\bf B15.~T\'etel.} {\it R\"ogz\'{\i}ts\"unk valamely $0<p\le\infty$
sz\'amot, \'es legyen $\alpha(\vartheta)$ olyan f\"uggv\'eny
a $[-\pi,\pi]$ intervallumon, amely teljes\'{\i}ti az
$\int_{-\pi}^\pi |\log |\alpha(\vartheta)||\,d\vartheta<\infty$
felt\'etelt, tov\'abb\'a 
$\int_{-\pi}^\pi |\alpha(\vartheta)|^p\,d\vartheta<\infty$, ha
$0<p<\infty$, \'es $\sup |\alpha(\vartheta)|<\infty$, ha $p=\infty$.
Ekkor az  
$$
F_0(z)=\exp\left\{\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi
\frac{e^{i\vartheta}+z}{e^{i\vartheta}-z}\log
\alpha(\vartheta)\,d\vartheta \right\} \tag B5
$$
f\"uggv\'enyre $F_0\in\Cal H_p(\alpha)$. Tov\'abb\'a minden 
$f\in\Cal H_p(\alpha)$ f\"uggv\'eny $f(z)=F_0(z)h(z)$ alakban 
adhat\'o meg, ahol $h(z)$ olyan analitkus f\"uggv\'eny az 
$S(0,1)$ egys\'egk\"or\"on, amelyre $|h(z)|\le1$ minden $z$ 
sz\'amra az egys\'egk\"or belsej\'eben, \'es 
$\limm_{r\to1}|h(re^{i\vartheta})|=1$ majdnem minden 
$\vartheta\in[-\pi,\pi]$ pontban.}
 
\medskip
A $\Cal H_p$ oszt\'alybeli f\"uggv\'enyek  radi\'alis 
limesz\'enek a B11.~t\'etel (ii) \'es (iv) pontj\'aban  
megfogalmazott tulajdons\'agaib\'ol k\"ovetkezik, hogy 
a B15.~t\'etelben az $\alpha(\cdot)$ f\"uggv\'enyre 
el\H{o}\'{\i}rt tulajdons\'agok nemcsak el\'egs\'eges,
hanem sz\"uks\'eges felt\'etelei is annak, hogy a 
$\Cal H_p(\alpha)$ halmaz ne legyen \"ures. A B15.~t\'etel
(B5) formul\'aj\'aban defini\'alt $F_0(z)$ f\"uggv\'enyt
az $\alpha(\cdot)$ f\"uggv\'enyhez tartoz\'o k\"uls\H{o} 
f\"uggv\'enynek, a szint\'en a B15. t\'etelben bevezetett 
$h(z)$ f\"uggv\'enyt pedig bels\H{o} f\"ugg\-v\'eny\-nek 
nevezz\"uk. A FELADAT~B megold\'as\'ahoz, azaz a 
$\Cal H_p(\alpha)$ halmaz pontos megad\'as\'ahoz az 
$\alpha(\cdot)$ f\"uggv\'enyhez tartoz\'o k\"uls\H{o} 
f\"uggv\'eny megad\'as\'an k\'{\i}v\"ul a bels\H{o} 
f\"uggv\'enyek jellemz\'ese is sz\"uks\'eges. 
El\H{o}sz\"or le\'{\i}rom a bels\H{o} f\"uggv\'enyek 
definici\'oj\'at. Ez nem f\"ugg az $\alpha(\cdot)$ 
f\"uggv\'enyt\H{o}l.

\medskip\noindent
{\bf Bels\H{o} f\"uggv\'enyek definici\'oja.} {\it Azokat az
$S(0,1)$ egys\'egk\"or belsej\'eben analitikus $h(z)$ 
f\"uggv\'enyeket nevezz\"uk bels\H{o} f\"uggv\'enynek, 
amelyekre $|h(z)|\le 1$ minden $z\in S(0,1)$ pontban, \'es
l\'etezik a $\limm_{r\to1} h(re^{i\vartheta)}=\tilde h(\vartheta)$
radi\'alis limesz egy olyan $\tilde h(\vartheta)$ f\"uggv\'ennyel, 
amelyre $|\tilde h(\vartheta)|=1$ majdnem minden 
$\vartheta\in[-\pi,\pi]$ sz\'amra.}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.} Az irodalomban azokat a f\"uggv\'enyeket nevezik
az $\alpha(\cdot)$ f\"uggv\'enyhez tartoz\'o k\"uls\H{o} 
f\"uggv\'enynek, amelyeket a (B5)~formul\'aban szerepl\H{o}
f\"uggv\'enyeket egy 1 abszol\'ut \'ert\'ek\H{u} komplex sz\'ammal
beszorozva kapunk. R\'aad\'asul e f\"uggv\'enyoszt\'alynak a
k\"o\-vet\-ke\-z\H{o} `intrinsic' jellemz\'es\'et adj\'ak. 

Egy $F(z)\in \Cal H_p(\alpha)$ akkor \'es csak akkor az 
$\alpha(\cdot)$ f\"uggv\'enyhez tartoz\'o k\"uls\H{o} 
f\"uggv\'eny, ha $|f(z)|\le |F(z)|$ minden $z\in S(0,1)$ pontban
minden $f\in\Cal H_p(\alpha)$ f\"uggv\'enyre. Az e jegy\-zet\-ben 
is ismertetett eredm\'enyekb\H{o}l az is k\"ovetkezik, hogy az 
$|f(z)|<|F(z)|$ szigor\'u egyenl\H{o}tlens\'eg is \'erv\'enyes 
minden $z\in S(0,1)$ pontban akkor, ha az $f\in\Cal H_p(\alpha)$ 
f\"uggv\'eny nem az $\alpha(\cdot)$ f\"uggv\'enyhez tartoz\'o 
k\"uls\H{o} f\"uggv\'eny.

\medskip
\'Irjuk le a bels\H{o} f\"uggv\'enyek csal\'adj\'at.  Bels\H{o} 
f\"uggv\'enyek a (B3) formul\'aban defini\'alt $B(z)$ 
Blaschke szorzatok, amelyeket olyan $a_k\in S(0,1)$ komplex 
sz\'amok seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'alunk, amelyek
teljes\'{\i}tik a (B2) rel\'aci\'ot. Tov\'abb\'a az is igaz, 
hogy minden $h(z)$ bels\H{o} f\"uggv\'eny el\H{o}\'all 
$h(z)=B(z)S(z)$ alakban, ahol $S(z)$ olyan bels\H{o} 
f\"uggv\'eny, amely sehol sem t\H{u}nik el az $S(0,1)$ 
egys\'egk\"or\"on. Adjuk meg az \"osszes ilyen tulajdons\'ag\'u 
bels\H{o} f\"uggv\'enyt. Mint l\'atni fogjuk az egy abszol\'ut 
\'ert\'ek\H{u} konstans f\"uggv\'enyeken k\'{\i}v\"ul
m\'as ilyen f\"uggv\'eny is van. 

Mivel az ilyen tulajdons\'ag\'u $S(z)$ f\"uggv\'enyek nem 
t\"unnek el az $S(0,1)$ egys\'egk\"or\"on, ez\'ert 
defini\'alhatjuk ezen f\"uggv\'enyek $\log S(z)$ logaritmus\'at
ezen a halmazon. Ezek ana\-li\-ti\-kus f\"uggv\'enyek, 
ez\'ert a keresett f\"uggv\'enyekre $\Re\log S(z)=\log|S(z)|$ 
harmonikus f\"uggv\'eny az $S(0,1)$ egys\'egk\"orben. 
Tov\'abb\'a $\limm_{r\to1}\log|S(re^{i\vartheta)}|=0$ 
majdnem minden $\vartheta\in[-\pi,\pi]$ sz\'amra, \'es 
$\log|S(re^{i\vartheta})|\le0$, ha $r<1$. El\H{o}sz\"or az 
ilyen tulajdons\'ag\'u $\log |S(e^{i\vartheta})|$ 
f\"uggv\'enyeket keress\"uk. Felhaszn\'alva a Fatou t\'etelt 
(ez a 4.4~t\'etel) azt kapjuk, hogy a (4.4)~formula 
jobboldala  nem trivi\'alis, k\'{\i}v\'ant tulajdons\'ag\'u 
$\log |S(z)|=\Re\log S(z)$ f\"uggv\'enyeket defini\'al, ha 
ebben k\'epletben egy pozit\'{\i}v szingul\'aris $\mu$ 
m\'ert\'ek $-1$-szerese szerint integr\'alunk. (Egy a 
$[-\pi,\pi]$ intervallum Borel r\'eszhalmazain defini\'alt 
$\mu$~m\'ert\'ek szingul\'aris, ha a tart\'oja nulla 
Lebesgue m\'ert\'ek\H{u} halmaz.) Az\'ert integr\'altunk 
egy pozit\'{\i}v m\'ert\'ek $(-1)$-szerese szerint, hogy 
biztos\'{\i}tsuk a $\log|S(re^{i\vartheta})|\le0$,
ha $r<1$ tulajdons\'agot. V\'eve az \'{\i}gy kapott 
f\"uggv\'enyek analitikus kieg\'esz\'{\i}t\'es\'et, majd 
annak exponens\'et az $S(0,1)$ egys\'egk\"or\"on el nem 
t\H{u}n\H{o} bels\H{o} f\"uggv\'enyeket kapunk. Ezeket az
$$
S(z)=C\exp\left\{\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi
\frac{z+e^{i\vartheta}}{z-e^{i\vartheta}}\,d\mu(\vartheta)\right\},
\tag B6
$$
k\'eplettel adhatjuk meg, ahol $\mu$ tetsz\H{o}leges 
szingul\'aris (pozit\'{\i}v) m\'ert\'ek a $[-\pi,\pi]$ 
intervallum Borel m\'erhet\H{o} r\'eszhalmazain, \'es $C$ 
egy 1 abszol\'ut \'ert\'ek\H{u} komplex sz\'am. A (B6) k\'eplettel 
defini\'alhat\'o $S(z)$ f\"uggv\'enyeket szingul\'aris bels\H{o}
f\"uggv\'enynek nevezik az irodalomban. Be lehet l\'atni, hogy 
minden bels\H{o} f\"uggv\'eny fel\'{\i}rhat\'o egy Blaschke 
szorzat \'es egy szingul\'aris bels\H{o} f\"uggv\'eny szorzatak\'ent, 
\'es ez a reprezent\'aci\'o, eltekintve az egyes faktorok 1 
abszol\'ut \'ert\'ek\H{u} sz\'ammal val\'o szorz\'as\'at\'ol
egy\'ertelm\H{u}. 

\'Erdemes a k\"ovetkez\H{o} \'eszrev\'etelt tenni. A (B6) formula
integr\'alj\'aban szerepl\H{o} 
$g(z)=\frac{z+e^{i\vartheta}}{z-e^{i\vartheta}}$ magf\"uggv\'eny
a $\{z\colon\;|z|<1\}$ egys\'egk\"ort a $\{z\colon\;\Re z<0\}$
f\'els\'{\i}kba k\'epez\H{o} racion\'alis t\"ortf\"uggv\'eny
minden $\vartheta\in[-\pi,\pi]$ param\'eterre. Innen k\"ovetkezik, 
hogy egy $S(z)$ szingul\'aris bels\H{o} f\"uggv\'enyre 
$|S(z)|<1$ szigor\'u egyenl\H{o}tlens\'eggel minden 
$z\in S(0,1)$ pontban. Hasonl\'o egyenl\H{o}tlens\'eg
\'erv\'enyes a Blaschke szorzatokra is. 

A fenti eredm\'enyek lehet\H{o}s\'eget 
adnak a FELADAT~B megold\'as\'anak a le\'{\i}r\'as\'ara. Ez a 
tartalma a k\"ovetkez\H{o} t\'etelnek.

\medskip\noindent
{\bf B16.~T\'etel.} {\it Akkor \'es csak akkor nem \"ures a 
(B4) formul\'aban defini\'alt $\Cal H_p(\alpha)$ 
f\"ugg\-v\'eny\-hal\-maz (eltekintve az $\alpha(\vartheta)\equiv0$ 
elfajul\'o esett\H{o}l), ha az $\alpha(\vartheta)\ge0$ 
f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti az
$\int_{-\pi}^\pi |\log |\alpha(\vartheta)||\,d\vartheta<\infty$,
valamint az
$\int_{-\pi}^\pi |\alpha(\vartheta)|^p\,d\vartheta<\infty$, ha
$0<p<\infty$, vagy $\sup |\alpha(\vartheta)|<\infty$, 
ha $p=\infty$ felt\'eteleket. Ha ezek a felt\'etelek 
teljes\"ulnek akkor a $\Cal H_p(\alpha)$ halmaz megegyezik a 
k\"ovetkez\H{o} k\'eplettel megadott $f(z)$ f\"uggv\'enyek 
csal\'adj\'aval.
$$
f(z)=F_0(z) B(z) S(z), \tag B7
$$
ahol $F_0(\cdot)$ a (B5) k\'epletben megadott az $\alpha(\cdot)$
f\"uggv\'enyhez tartoz\'o k\"uls\H{o} f\"uggv\'eny, 
$B(\cdot)$ a (B3) k\'epletben defini\'alt Blaschke szorzat 
(valamely a (B2) formul\'at kieg\'eg\'{\i}t\H{o} $a_k$ 
para\-m\'e\-te\-rek\-kel), \'es $S(z)$ a (B6) formul\'aban 
(valamilyen szingul\'aris $\mu$ m\'ert\'ek 
seg\'{\i}ts\'eg\'evel) defini\'alt szingul\'aris bels\H{o} 
f\"uggv\'eny. A $\Cal H_p(\alpha)$ halmazban tartalmazott
$f(z)$ f\"uggv\'enyek (B7) formul\'aban megadott 
el\H{o}\'all\'{\i}t\'asa, eltekintve att\'ol, hogy az egyes 
t\'enyez\H{o}ket esetleg meg\-szo\-roz\-hat\-juk egy 
1 abszol\'ut \'ert\'ek\H{u} konstanssal, egy\'ertelm\H{u}.}





\bye



