STACIONÁRIUS SOROZATOK ELŐREJELZÉSE.

Ebben az előadásban a következő kérdést fogom tárgyalni: Tekintsük valószínűségi változók egy olyan …, X_{−1}, X_{0}, X_{1}, … stacionárius Gauss sorozatát, amelyre EX_{n} = 0 (minden n = 0 ± 1, ±2, … indexre), és legyen megadva ennek a sorozatnak az r(n) = EX_{k}X_{k+n} kovarianciafüggvénye, n = 0, 1, 2, . . .. Ha ismerjük e sorozat múltbeli viselkedését egy n időpontig, azaz az X_{j}(ω) valószínűségi változónak tudjuk az értékét minden −∞ < j ≤ n indexre, akkor hogyan lehet megadni az X_{n+1} valószínűségi változó legjobb becslését ezen információk segítségével?

Először megfogalmazom a feladatot kissé pontosabban. Az X_{j}, −∞ < j ≤ n, valószínűségi változóknak olyan f(X_{j}, j ≤ n) függvényét keressük, amelyre az E(X_{n+1} − f(X_{j}, j ≤ n))^{2} minimális. Más szavakkal az X_{n+1} valószínűségi változó legkisebb hibájú becslését keressük az X_{j}, −∞ < j ≤ n, valószínűségi változók segítségével, ahol a becslés hibáját úgy definiáljuk, mint a tekintett valószínűségi változó valódi és becsült értéke közötti különbség négyzetének a várható értékét.

1. A feladat átfogalmazása egy Hilbert terekről szóló problémára.

Vegyük észre, hogy a legjobb becslés megtalálásának a kérdése a feltételes várható érték tulajdonságai miatt megegyezik azzal a problémával, hogy találjuk meg a X_{n+1} valószínűségi változó feltételes várható értékét, feltéve az X_{j}, −∞ < j ≤ n, valószínűségi változók által generált σ-algebrát. Ez a feladat, a feltételes várható érték tulajdonságai miatt átfogalmazható a következő módon is. Tekintsük az (Ω, A, P) valószínűségi mezőn azon ξ valószínűségi változók összességét, amelyekre Eξ^{2} < ∞, és vezessük be közöttük a (ξ, η) = Eξη̄ skalárszorzatot. (A tekintett valószínűségi változók lehetnek komplex értékűek is, és η̄(ω) az η(ω) komplex konjugáltját jelöli.) Ilyen módon bevezettük a négyzetesen integrálható valószínűségi változók által generált Hilbert teret, és az előbb megfogalmazott feladat ekvivalens módon úgyis átfogalmazható, hogy meg kell adnunk a Hilbert tér X_{n+1} elemének a vetületét a tekintett Hilbert térnek az X_{j}, −∞ < j ≤ n, valószínűségi változók által generált σ-algebra szerint mérhető négyzetesen integrálható valószínűségi változókból álló alterére. Ez a feladat a tekintett X_{j} valószínűségi változók (együttes) Gauss eloszlása miatt tovább egyszerűsíthető. A keresett feltételes várható érték megegyezik az X_{n+1} valószínűségi változó vetületével az X_{j}, −∞ < j ≤ n, valószínűségi változók (megszámlálható) lineáris kombinációiból álló altérre, azaz a

keresett becslés az az Y = ∑_{j=0}^{∞} c_{j}X_{n−j} valószínűségi változó (EY^{2} < ∞), amelyre

EX_{j}(X_{n+1} − Y) = 0 minden −∞ < j ≤ n indexre. (Lásd az alábbi feladatot.)

Feladat:

Legyenek Y és X_{1}, X_{2}, …, együttesen normális eloszlású (nulla várható értékű) valószínűségi változók. Ekkor az Y valószínűségi változó Z vetülete az X_{1}, X_{2}, … valószínűségi változók négyzetesen integrálható lineáris kombinációi által kifeszített altérre (a második momentummal rendelkező valószínűségi változókból álló Hilbert térben) merőleges minden az X_{1}, X_{2}, … valószínűségi változók által generált σ-algebrára mérhető négyzetesen integrálható valószínűségi változóra. Ez azt jelenti, hogy ez a vetület megegyezik az E(Y |X_{1}, X_{2}, …) feltételes várható értékkel.

Segítség: Vegyük észre, hogy az Y − Z, X_{1}, X_{2}, … valószínűségi változók együttesen normális eloszlásúak, ezért az E(Y −Z)X_{j} = 0, j = 1, 2, …, relációkból következik, hogy az Y −Z valószínűségi változó független az (X_{1}, X_{2}, …) vektortól. Ezért Y −Z független az X_{j} valószínűségi változók minden f(X_{1}, X_{2}, …) függvényétől is. Továbbá E(Y − Z) = 0. Ez azt jelenti, hogy E(Y − Z)f(X_{1}, X_{2}, …) = 0 minden az X_{1}, X_{2}, … valószínűségi változók által generált σ-algebrára mérhető második momentummal rendelkező f(X_{1}, X_{2}, …) valószínűségi változóra.

A fentiek alapján a feladat átfogalmazható úgy, mint egy a kovarianciafüggvény segítségével felírható végtelen lineáris egyenletrendszer megoldása. (A X_{n+1} vektor

Y = ∑_{j=0}^{∞} c_{j}X_{n−j} vetületét meghatározó ismeretlen c_{j} együtthatókat kell megtalálni a

R(n + 1 − k) = EX_{k}X_{n+1} = EY X_{k} = ∑_{j=0}^{∞} c_{j}EX_{n−j}X_{k} = ∑_{j=0}^{∞} c_{j}R(n − j − k),
− ∞ < k ≤ n,

egyenletrendszer segítségével.) Annak érdekében, hogy a megoldásról hasznos információkat nyerhessünk, érdemes a feladatot más formában is tárgyalni. Először bevezetek néhány fogalmat és megadok néhány a Hilbert terek alapvető tulajdonságait felhasználó eredményt, amelyek bizonyítását a kiegészítésben fogom tárgyalni. Ezek az eredmények kissé pongyolán fogalmazva azt állítják, hogy a feladatot redukálni lehet két eset vizsgálatára, amelyek közül az első eset azt jelenti, hogy már a nagyon régi megfigyelések is egyértelműen meghatározzák a rendszer további viselkedését, a második eset pedig azt, hogy a nagyon régi megfigyelések szinte semmi információt nem adnak arra, hogy mi történik a jövőben.

Vezessük be a következő jelöléseket:

\begin{aligned}H = B(X_{j}, −∞ < j < ∞),  H_{n} & = B(X_{j}, −∞ < j ≤ n), −∞ < n < ∞, \\ S & = ⋂_{n=−∞}^{∞} H_{n}. \end{aligned} (1.1)

A fenti jelölésekben B(X_{j}, j ∈ T), ahol T az egész számok valamely részhalmaza, a T halmaz elemeivel indexelt X_{j} valószínűségi változók véges lineáris kombinációit tartalmazó legszükebb Hilbert teret jelöli, S pedig a legnagyobb minden H_{n} Hilbert tér által tartalmazott Hilbert tér.

Adva egy X_{n}, n = …, −1, 0, 1, 2, …, stacionárius sorozat vezessük be a következő U shift operátort az X_{n} valószínűségi változók által kifeszített H Hilbert térben: UX_{n} = X_{n+1}, n = …, −1, 0, 1, …, és ha Y = f(X_{n}, −∞ < n < ∞) ∈ H, akkor ennek UY eltoltját (shift-jét) az UY = Uf(X_{n}, −∞ < n < ∞) = f(UX_{n}, −∞ < n < ∞) = f(X_{n+1}, −∞ < n < ∞) ∈ H képlettel definiáljuk. (Mint a Bochner tétel jegyzetben megtárgyaltuk, ilyen módon egy jól definiált U unitér operátort vezettünk be a H Hilbert térben.) Bevezetjük a következő fogalmat is.

Valószínűségi változók stacionárius sorozatának alárendelt sorozat definiciója. Legyen adva valószínűségi változóknak egy X_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, stacionárius sorozata egy U shift transzformációval együtt. Valószínűségi változóknak egy Y_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, sorozatát akkor nevezzük az X_{n} sorozat alárendelt sorozatának, ha Y_{n} ∈ H, sőt az Y_{n} ∈ H_{n} reláció is teljesül minden n = …, −1, 0, 1, … indexre, ahol H_{n} az (1.1) formulában van definiálva, és UY_{n} = Y_{n+1} minden n = …, −1, 0, 1, … indexre.

Könnyen látható, hogy egy Y_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, az X_{n} stacionárius sorozatnak alárendelt Y_{n} sorozat szintén stacionárius.

Reguláris stacionárius sorozat definiciója. Egy Y_{n}, n = …, −1, 0, 1, … stacionárius (Gauss) sorozatot regulárisnak nevezünk, ha S = ∅. A H = B(Y_{j}, −∞ <

j < ∞), H_{n} = B(Y_{j}, −∞ < j ≤ n), S = ⋂_{n=−∞}^{∞} H_{n} Hilbert tereket az (1.1) képlethez

hasonlóan definiáljuk. Az egyetlen különbség az, hogy jelen esetben az Y_{n} sorozat segítségével definiáljuk a H, H_{n} és S Hilbert tereket.

Szinguláris stacionárius sorozat definiciója. Egy Z_{n}, n = …, −1, 0, 1, … stacionárius (Gauss) sorozatot szingulárisnak nevezünk, ha S = H. A H = B(Z_{j}, −∞ <

j < ∞), H_{n} = B(Z_{j}, −∞ < j ≤ n), S = ⋂_{n=−∞}^{∞} H_{n} Hilbert tereket az (1.1) képlethez

hasonlóan definiáljuk. Az egyetlen különbség az, hogy jelen esetben a Z_{n} sorozat segítségével definiáljuk a H, H_{n} és S Hilbert tereket.

Érvényes a következő egy stacionárius (Gauss) sorozat felbontásáról szóló tétel.

1.1. Tétel. Tétel stacionárius sorozat felbontásáról a sorozatnak alárendelt reguláris és szinguláris sorozatok (ortogonális) direkt összegére. Legyen adva egy X_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, stacionárius (Gauss) sorozat. Ennek a sorozatnak létezik olyan

X_{n} = Y_{n} + Z_{n}, n = …, −1, 0, 1, …  (1.2)

előállítása valószínűségi változók két sorozatának az összegére, amelyre

a) Y_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, az X_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, sorozatnak alárendelt reguláris, és Z_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, az X_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, sorozatnak alárendelt szinguláris sorozat.

b) Az Y_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, és Z_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, sorozatok korrelálatlanok,

azaz

Cov (Y_{n}, Z_{m}) = 0 minden n, m = …, −1, 0, 1, … számpárra.

Az X_{n} sorozat felbontása az alábbi tulajdonságú sorozatok összegére egyértelmű.

Ha Z_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, szinguláris sorozat, akkor e sorozat tetszőleges Z_{k} eleme benne van a H_{−N}(Z_{j}, −∞ < j ≤ −N) Hilbert térben bármilyen nagy N indexre. Ez azt jelenti, hogy az Z_{n} sorozat múltjának ismerete bármilyen régi időpontig elegendő ahhoz, hogy a Z_{k} valószínűségi változót pontosan rekonstruáljuk. Ha Y_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, reguláris sorozat, akkor valamely tetszőleges Y_{k} elemének a vetülete a H_{−N}(Y_{j}, −∞ < j ≤ −N) Hilbert térbe nagy N indexekre tart nullához. Ez informálisan azt jelenti, hogy a nagyon régi megfigyelések alig adnak információt egy Y_{k} valószínűségi változó becslésére. Igaz a következő Wold felbontásnak nevezett eredmény.

1.2. Tétel. Reguláris stacionárius sorozatok Wold felbontása. Legyen X_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, reguláris stacionárius sorozat. Ekkor létezik olyan az X_{n} sorozatnak alárendelt V_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, stacionárius sorozat és valós számok olyan c_{k}, k =

0, 1, 2, … sorozata, amelyekre EV_{n} = 0, EV_{n}^{2} = 1, EV_{n}V_{m} = 0, ha n ≠ m, ∑_{k=0}^{∞} c_{k}^{2} =

EX_{1}^{2}, és

X_{n} = ∑_{k=0}^{∞} c_{k}V_{n−k} minden n = …, −1, 0, 1, … indexre.  (1.3)

Megfordítva, ha az X_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, stacionárius sorozatnak létezik az adott tulajdonságú reprezentációja, akkor ez a sorozat reguláris.

1. feladat. Legyen egy X_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, stacionárius sorozat előállítható egy W_{n}, W_{n} ∈ B(X_{j}, −∞ < j < ∞), n = …, −1, 0, 1, …, nulla várható értékű 1 szórásnégyzetű korrelálatlan elemekből álló stacionárius Gauss sorozat mozgó átlagaként, (egy ilyen tulajdonságokkal rendelkező W_{n} sorozat független, standard normális

valószínűségi változókból áll), azaz létezzen valós számok olyan d_{0}, d_{1}, …, ∑_{n=0}^{∞} |d_{n}|^{2} =

EX_{1}^{2} < ∞, sorozata, amelyek segítségével az X_{n} sorozat tagjai előállíthatóak X_{n} =

∑_{k=0}^{∞} d_{k}W_{n−k}, n = …, −1, 0, 1, … alakban. Ekkor X_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, reguláris

stacionárius sorozat.

Segítség. Legyen H_{n,W} = B(W_{j}, −∞ < j ≤ n), és S_{W} = ⋂_{n=−∞}^{∞} H_{n,W}. Elég megmu-

tatni, hogy S_{W} = ∅, mert H_{n} ⊂ H_{n,W} minden n indexre, ezért S ⊂ S_{W}. Viszont, ha Y ∈ S_{W}, akkor (Y, W_{n}) = 0 minden n indexre, sőt (Y, Z) = 0 minden Z ∈ H_{n,W} vektorra. Ezért (Y, Y) = 0.

2. feladat. Legyen egy X_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, stacionárius sorozat előállítható egy W_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, nulla várható értékű 1 szórásnégyzetű korrelálatlan elemekből

álló W_{n} stacionárius Gauss sorozat X_{n} = ∑_{k=0}^{∞} d_{k}W_{n−k} mozgóátlagaként. Ekkor |d_{0}|

egyenlő az X_{1} vektor távolságával a B(W_{j}, −∞ < j ≤ 0) altértől. Ezért, ha X_{n} =

∑_{k=0}^{∞} c_{k}V_{n−k}, n = …, −1, 0, 1, … alakú az X_{n} sorozat Wold felbontása, akkor |d_{0}| ≤ |c_{0}|.

3. feladat. Legyen W_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, független, nulla várható értékű 1 szórású valószínűségi változók sorozata, d_{n}, n = 0, 1, …, valós számok olyan sorozata, amelyre

∑_{n=0}^{∞} d_{n}^{2} < ∞. Ekkor a ∑_{n=0}^{∞} d_{n}W_{n} sorozat 1 valószínűséggel konvergál.

Segítség. Mutassuk meg a Kolmogorov egyenlőtlenség segítségével, hogy a Z_{N}(ω) =

∑_{n=0}^{N} d_{n}W_{n}(ω), N = 0, 1, 2, …, sorozat 1 valószínűséggel Cauchy sorozat.

A fenti eredmények bizonyításai a Hilbert terek általános tulajdonságait használják ki. Így például a Wold felbontásban szereplő V_{k} valószínűségi változókat és az (1.3) formulában szereplő felbontást úgy kapjuk meg, hogy minden n számra tekintjük a H_{n−1} Hilbert tér D_{n} ortogonális kiegészítőjét a H_{n} Hilbert térre, és veszünk ebben egy 1-re normált V_{n} vektort. Némi munkával meg lehet mutatni, hogy ezeket a V_{n} vektorokat választhatjuk úgy, hogy íly módon egy az X_{n} sorozatnak alárendelt (ortonormált elemekből álló) stacionárius sorozatot kapjunk, amelynek elemei egyben a H Hilbert tér ortonormált bázisát alkossák. Az X_{n} valószínűségi változók sorfejtéseként ezen bázis alapján megkapjuk az (1.3) formulát.

Bár az 1.1 Tétel bizonyítását egy stacionárius Gauss sorozat felbontásáról a Gauss sorozatnak alárendelt stacionárius reguláris és szinguláris sorozatok direkt összegére valamint az 1.2 Tétel bizonyítását reguláris stacionárius sorozatok Wold felbontásáról csak a kiegészítésben ismertetem, és ott is csak vázlatosan, röviden leírom az e tételeket teljesítő konstrukciókat. Az 1.1 Tételben vesszük a Gauss sorozat mindegyik X_{n} elemének az X_{n} = Y_{n} + Z_{n} felbontását az X_{n} sorozat segítségével definiált S Hilbert térre vett Z_{n} vetületének és Y_{n} ortogonális vetületének direkt összegére. Ekkor az Y_{n} sorozat lesz a felbontás reguláris, a Z_{n} sorozat pedig a felbontás szinguláris komponense. Az 1.2 Tételben tekintjük minden n = 0, ±1, ±2, … indexre az X_{n} sorozat által definiált H_{n−1} Hilbert tér D_{n} ortogonális kiegészítőjét a H_{n} Hilbert térre. Ekkor be lehet látni, hogy a H Hilbert tér D_{n} alterek ortogonális összege, az U shift transzformáció a D_{n} alteret a D_{n+1} altérbe viszi mindegyik n indexre, és a D_{n} alterek egy dimenziósak, (kivéve azt az elfajuló esetet, amikor az X_{n} valószínűségi változók egy valószínűséggel nullával egyenlőek). Véve a D_{0} térben szereplő V_{0} egy szórásnégyzetű valószínűségi változót, és annak V_{n} = U_{n}V_{0} eltoltjait megkapjuk az (1.3) formulában szereplő V_{n−k} valószínűségi változókat. Ezután nem nehéz az (1.3) formulát kielégitő konstrukciót megtalálni.

A fő probléma az előbb vázolt konstrukcióban az, hogy az abban szereplő valószínűségi változókat nagyon nehéz kiszámítani. Ezért az 1.1 és 1.2 Tétel bizonyítását nem tekinthetjük konstruktívnak. A fő problémánk az, hogy konkrét modellekben az (1.2) és (1.3) formulákat effektiv módon szeretnénk megadni, speciálisan szeretnénk azt is eldönteni, hogy mikor teljesül az S = ∅ reláció. A továbbiakban az lesz a fő problémánk, hogy a kívánt konstrukciókat effektíve előállítsuk. Megjegyzem, hogy a Wold felbontás megtalálása nem pusztán az X_{n} sorozat (1.3) formulában megadott mozgóátlag alakú előállítását jelenti, hanem azt is biztosítani kell, hogy az ebben az előállításban felhasznált V_{n}, n = 0, ±1, …, sorozat az X_{n}, n = 0, ±1, …, sorozatnak alárendelt sorozat legyen. E konstrukciók megadásához az analízis, elsősorban a komplex függvénytan nagyon mély eredményeire lesz szükségünk.

Lássunk példákat szinguláris stacionárius sorozatokra. Ilyen példa, ha X_{n} = Y minden n = 0, ±1, ±2, … számra, ahol Y nulla várható értékű normális eloszlású valószínűségi változó. Kissé bonyolultabb példa a következő. Rögzítsünk egy M pozitív egész számot, és legyenek Y_{1}, …, Y_{M} független standard normális eloszlású valószínűségi változók. Definiáljuk az X_{n}, n = 0, ±1, ±2, …, sorozatot a következő módon: X_{n} = Y_{k}, ha n = k moduló M. Ilyen módon egy szinguláris stacionárius sorozatot definiáltunk. Az alábbi példa kissé bonyolultabb.

Feladat. Legyen adva egy olyan G spektrál mérték a [−π, π] intervallumon, amelyik véges sok x_{1}, x_{−1}, x_{2}, x_{−2}, … x_{k}, x_{−k} pontba van koncentrálva úgy hogy, x_{j} = −x_{−j}, és G({x_{j}}) = G({x_{−j}}) = 2p_{j}^{2}, j = 1, …, k valamely p_{j} számokkal. Jellemezzük a G spektrál mértékkel rendelkező stacionárius Gauss sorozatokat, és mutassuk meg, hogy ezek szinguláris stacionárius sorozatok.

Segítség. Adjunk meg elöször egy a G spektrál mértéknek megfelelő Z_{G} véletlen spektrál mértéket, és definiáljunk segítségével egy G spektrál mértékkel rendelkező X_{n} stacionárius Gauss folyamatot.

Legyenek U_{j} és V_{j}, j = 1, …, k, független standard normális valószínűségi változók, és Z_{G}({x_{j}}) = p_{j}(U_{j} + iV_{j}), Z_{G}({−x_{j}}) = p_{j}(U_{j} − iV_{j}), j = 1, …, k. Ekkor definiálhatjuk a keresett X_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, stacionárius Gauss folyamatot, mint

X_{n} = ∫ e^{inx}Z_{G}( dx) = ∑_{j=1}^{k} p_{j}(e^{inx_{j}}(U_{j} + iV_{j}) + e^{−inx_{j}}(U_{j} − iV_{j}))

= ∑_{j=1}^{k} p_{j}U_{j}(e^{inx_{j}} + e^{−inx_{j}}) + ∑_{j=1}^{k} ip_{j}V_{j}(e^{inx_{j}} − e^{−inx_{j}})

= \frac{1}{2}Re ( ∑_{j=−k}^{k} Z_{j}e^{inx_{j}} ) = \frac{1}{2} ∑_{j=−k}^{k} Z_{j}e^{inx_{j}},

ahol Z_{j} = p_{j}(U_{j} + iV_{j}), ha 1 ≤ j ≤ k, Z_{j} = p_{j}(U_{j} − iV_{j}), ha −k ≤ j ≤ −1, és Z_{0} = 0. Innen következik, véve az

X_{n} = \frac{1}{2} ∑_{1≤|j|≤k} Z_{j}e^{inx_{j}}, n_{0} − 2k < n ≤ n_{0},  (1.4)

lineáris egyenletrendszert (ahol Z_{j}, 1 ≤ |j| ≤ k, az ismeretlen változók) és megmutatva, hogy ez az egyenletrendszer megoldható, hogy bármely (nagy abszolút értékű negatív n_{0} számra) az X_{n_{0}}, …, X_{n_{0}−2k+1} valószínűségi változók meghatározzák a Z_{G} véletlen spektrál mértéket, ezért a H_{n_{0}} és H Hilbert terek megegyeznek. Ezért X_{n} szinguláris stacionárius sorozat.

Meg kell még mutatnunk, hogy az (1.4) formulában felírt egyenletrendszer egyértelműen megoldható, azaz a megfelelő mátrix invertálható. (Ez igazolható felhasználva azt, hogy a Van der Monde determinánsokat ki tudjuk számolni.) Mivel X_{n} valós szám minden n indexre, ezért ha Z_{j}, 1 ≤ |j| ≤ k az (1.4) egyenlet megoldása, akkor Z′_{j} = \overline{Z_{−j}}, 1 ≤ |j| ≤ k szintén megoldása ennek az egyenletnek. Innen Z_{j} = \overline{Z_{−j}}.

2. Az előrejelzési probléma vizsgálata stacionárius folyamatok spektrál reprezentációjának a segítségével.

Az előző fejezetben kapott eredmények azért nem kielégítőek a számunkra, mert önmagukban nem elegendőek ahhoz, hogy megkapjuk a minket érdeklő predikciót. Nem nehéz belátni, hogy az X_{n} valószínűségi változó legjobb becslése az X_{j}, j ≤ 0, valószínűségi

változók segítségével a Wold felbontás felhasználásávak definiálható ∑_{k=n}^{∞} c_{k}V_{n−k} való-

színűségi változó, de eddigi ismereteink nem elegendőek ahhoz, hogy explicit módon megadjuk a c_{k} együtthatókat és kiszámoljuk azt, hogy a V_{n} valószínűségi változók hogy fejezhetők ki az X_{j} valószínűségi változók lineáris kombinációjaként ebben a képletben. További probléma, hogy az eddigi eredmények nem mondják meg, hogy egy ismert kovarianciájú Gauss folyamat mikor reguláris, és ha nem reguláris, akkor hogyan lehet megtalálni a sorozat (1.2) formulában megadott felbontását.

Annak érdekében, hogy ezekre a kérdésekre legalább részleges válaszokat adhassunk, szükségünk van az analízis néhány klasszikus eredményére. Először felidézem a már tárgyalt Bochner tételt pozitív definit függvények jellemzéséről, amely lehetővé teszi annak megmutatását, hogy egy stacionárius sorozat kovariancia függvénye előállítható, mint egy úgynevezett spektrál mérték Fourier transzformáltja. Ezenkívül tárgyalom azokat a Bochner tételhez kapcsolódó szintén vizsgált eredményeket, amelyek egy stacionárius Gauss folyamat spektrál előállításáról szólnak. Ezek az eredmények is hasznosak lesznek számunkra. Definiáljuk először a pozitív definit függvényeket.

Pozitív definit függvények és sorozatok definiciója. Azt mondjuk, hogy egy f(t) függvény a számegyenesen pozitív definit, ha minden t_{1}, …, t_{N} valós és z_{1}, …, z_{N} komplex számokból álló szám n-esre teljesül a

∑_{k=1}^{N} ∑_{l=1}^{N} z_{k}z̄_{l}f(t_{k} − t_{l}) ≥ 0

egyenlőtlenség, ahol z̄ a z komplex szám konjugáltját jelöli.

Hasonlóan ha a(n), n = …, −1, 0, 1, …, az egész számokkal indexezett számsorozat, akkor ezt a sorozatot akkor és csak akkor nevezzük pozitív definitnek, ha minden a_{1}, …, a_{N} egész és z_{1}, …, z_{N} komplex számokból álló szám n-esre teljesül a

∑_{k=1}^{N} ∑_{l=1}^{N} z_{k}z̄_{l}a(n_{k} − n_{l}) ≥ 0

egyenlőtlenség.

Feladat: Mutassuk meg, hogy az f_{t}(x) = e^{itx}, t valós szám, függvény pozitív definit függvény minden (valós) x paraméterre, a_{k}(n) = e^{ikn}, n = …, −1, 0, 1, …, pozitív definit sorozat minden egész k számra.

A Bochner tétel a pozitív definit sorozatok és függvények jellemzését adja. Számunkra a következő egyszerű (a Bochner tétel jegyzetben szintén tárgyalt) lemma miatt érdekes ez az eredmény.

2.1. Lemma. Ha X(t), −∞ < t < ∞, stacionárius sztochasztikus folyamat, akkor az R(t) = EX(s)X(t + s) kovariancia függvény pozitív definit függvény, amelyre R(t) = R(−t). Ha X_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, stacionárius sorozat, akkor R(n) = EX_{m}X_{n+m} pozitív definit sorozat, amelyre R(n) = R(−n).

Megfordítva, ha R(n) pozitív definit sorozat, amelyre R(n) = R(−n), akkor létezik valószínűségi változók olyan X_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, stacionárius sztochasztikus sorozata, amelynek ez az R(n) sorozat az R(n) = EX_{k}X_{k+n} kovarianciafüggvénye. Sőt, létezik az adott kovarianciafüggvénnyel rendelkező Gauss sorozat nulla várható értékű valószínűségi változókkal. Ez utóbbi esetben a sorozat véges dimenziós eloszlásait egyértelműen meghatározza a kovarianciafüggvény.

Bizonyítás. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy EX(t) = 0, Rögzítsünk valamely t_{1}, …, t_{N} valós és z_{1}, …, z_{N} komplex számokból álló szám n-es párt és

tekintsük a ∑_{k=1}^{N} ∑_{l=1}^{N} z_{k}z̄_{l}R(t_{k} − t_{l}) kifejezést. Vegyük észre, hogy ∑_{k=1}^{N} ∑_{l=1}^{N} z_{k}z̄_{l}R(t_{k} − t_{l}) =

∑_{k=1}^{N} ∑_{l=1}^{N} z_{k}z̄_{l}EX(t_{k})X(t_{l}) = E ( ∑_{k=1}^{N} z_{k}X(t_{k})) (\overline{∑_{k=1}^{N} z_{k}X(t_{k})}) ≥ 0. Másrészt R(−t) =

EX(s + t)X(s) = R(t).

Hasonlóan, rögzítve valamely n_{1}, …, n_{N} egész és z_{1}, …, z_{N} komplex számokból álló

szám n-es párt. Ekkor felírhatjuk, hogy ∑_{k=1}^{N} ∑_{l=1}^{N} z_{k}z̄_{l}R(n_{k} −n_{l}) = ∑_{k=1}^{N} ∑_{l=1}^{N} z_{k}z̄_{l}EX_{n_{k}}X_{n_{l}} =

E ( ∑_{k=1}^{N} z_{k}X_{n_{k}}) (\overline{∑_{k=1}^{N} z_{k}X_{n_{k}}}) ≥ 0, és R(n) = R(−n).

A lemma utolsó állításának bizonyításához azt kell meggondolnunk, hogy ahhoz, hogy az adott R(n) kovarianciafüggvényhez létezzen normális eloszlású valószínűségi változóknak olyan sorozata, amelynek (X(k_{1}), …, X_{(}k_{p})) véges dimenziós eloszlásainak a kovarianciamátrixát az D(j, l) = Cov (X(k_{j}), X(k_{l})) = R(k_{j} − k_{l}), 1 ≤ j ≤ p, kovarianciamátrix adja meg az kell, hogy ez a kovarianciamátrix a k_{1}, …, k_{l} egész számok tetszőleges választása esetén pozitív definit legyen. Viszont ezt a feltételt az biztosítja, hogy az R(n) sorozat pozitív definit. Ezenkívül emlékezzünk arra, hogy egy normális eloszlású véletlen vektor eloszlását annak várható értéke és kovariancia mátrixa meghatározza.

Bochner tétel. Legyen f(x), −∞ < x < ∞, folytonos, pozitív definit függvény. Ekkor létezik olyan véges μ(·) mérték a számegyenesen, amelyre

f(x) = ∫_{−∞}^{∞} e^{itx}μ( dt), −∞ < x < ∞.  (2.1)

A (2.1) képletben szereplő μ mértéket az f(x) függvény egyértelműen meghatározza.

Legyen a(n), n = …, −1, 0, 1, …, pozitív definit sorozat az egész számokon. Ekkor létezik olyan véges mérték a [−π, π) szakaszon, amelyre

a(n) = ∫_{−π}^{π} e^{itn}μ( dt), n = …, −1, 0, 1, …

A μ mértéket az a(n) sorozat egyértelműen meghatározza.

Következmény. Legyen X_{n}, EX_{n} = 0, n = …, −1, 0, 1, …, stacionárius sorozat R(n) = EX_{k}X_{k+n} kovarianciafüggvénnyel. Akkor létezik olyan egyértelműen meghatározott G( dx) mérték a −π ≤ x ≤ π intervallumon, amelyre

R(n) = ∫_{−π}^{π} e^{int}G( dt), n = …, −1, 0, 1, …  (2.2)

Speciálisan

EX_{n}^{2} = R(0) = ∫_{−π}^{π} G( dt) = G([−π, π]).

A G mérték teljesíti a G(A) = G(−A) tulajdonságot is minden mérhető A halmazra.

Bizonyítás. Mivel az R(n) sorozat pozitív definit a Bochner tételből következik az (2.2) formula. Továbbá, mivel R(n) = R(−n), és az R(n) sorozat egyértelműen meghatározza a G( dt) mértéket, innen következik, hogy G(A) = G(−A).

1. megjegyzés. Az (2.2) formulában szereplő G mértéket az R(n) kovarianciafüggvény spektrál mértékének nevezik az irodalomban. Ha a G mérték abszolút folytonos a (Lebesgue mértékre nézve), akkor ennek g(x) = \frac{dG}{dx}(x) deriváltját a kovarianciafüggvény spektrálsűrűségének nevezik. Ha létezik az R(n) függvénynek g(x) spektrál sűrűsége, akkor az (2.2) formula felírható a következő ekvivalens módon is:

R(n) = ∫_{−π}^{π} e^{int}g(t) dt, n = …, −1, 0, 1, …  (2.2′)

2. megjegyzés. Egy a [−π, π] intervallumon definiált G mértéket, amelyre G([−π, π]) < ∞, G(A) = G(−A) minden mérhető függvényre spektrál mértéknek is neveznek. Az elnevezés oka az, hogy létezik olyan X_{n}, n = − …, −1, 0, 1, …, Gauss eloszlású stacionárius sorozat, amelynek ez a G mérték a spektrál mértéke. Azt is feltehetjük, hogy e sorozat elemei teljesítik az EX_{n} = 0 feltételt. Valóban, ha az EX_{k}X_{k+n} = R(n) függvény segítségével meg tudjuk adni a keresett Gauss sorozat véges dimenziós eloszlásainak kovariancia mátrixát, így magukat a véges dimenziós eloszlásokat is.

A spektrál mérték bevezetése azért hasznos, mert ilyen módon a Fourier analízis módszereit tudjuk alkalmazni. Egy stacionárius sorozat kovarianciafüggvénye előáll, mint a spektrál mérték Fourier transzformáltja. A kovarianciafüggvény vagy a spektrál mérték megadása ekvivalens. Sok vizsgálatban hasznosabb a spektrál mértékkel dolgozni.

Legyen adva egy stacionárius Gauss folyamat valamely G spektrál mértékkel. Lehetséges, és érdemes konstruálni olyan úgynevezett véletlen (normális) spektrál mértéket, amelynek segítségével magát a sztochasztikus folyamatot is elő tudjuk állítani ezen véletlen spektrál mértéknek a Fourier transzformáltjaként. Ezt az eredményt, illetve a bizonyításban szükséges gondolatmenetet röviden ismertetem. Részletesebb tárgyalás található erről és a véletlen spektrál mérték szerinti integrálról a Bochner tétel jegyzetben. Először bevezetem a következő definiciót.

Véletlen (normális) spektrál mérték definiciója. Legyen adva egy G spektrál mérték a [−π, π] intervallumon. Azt mondjuk, hogy egy véletlen Z_{G} mérték a G spektrál mértéknek megfelelő véletlen (normális) spektrál mérték, ha teljesíti a következő tulajdonságokat.

(i.) Minden mérhető A ⊂ [−π, π] halmazra létezik egy komplex értékű

Z_{G}(A) = Re Z_{G}(A) + iIm Z_{G}(A)

valószínűségi változó, amelyet az A halmaz véletlen mértékének nevezünk. (ii.) A Re Z_{G}(A), Im Z_{G}(A), A ⊂ [−π, π] mérhető halmaz, valószínűségi változók együt-

tesen Gauss eloszlásúak, azaz bármely véges sok valószínűségi változónak ezek közül az együttes eloszlása többdimenziós normális eloszlás.

(iii.) EZ_{G}(A) = 0 minden A ⊂ [−π, π] mérhető halmazra. (iv.) EZ_{G}(A)\overline{Z_{G}(B)} = G(A ∩ B), ahol z̄ a z szám konjugáltját jelöli.

(v.) ∑_{j=1}^{n} Z_{G}(A) = Z_{G} ( ⋃_{j=1}^{n} A_{j}), ha A_{1}, …, A_{n} diszjunkt halmazok.

(vi.) Z_{G}(−A) = \overline{Z_{G}(A)}.

Észrevétel. A Re Z_{G}(A) és Im Z_{G}(B) valószínűségi változók függetlenek. Valóban, ehhez elég megmutatni a normális eloszlás miatt, hogy korrelálatlanok. Viszont

ERe Z_{G}(A)Im Z_{G}(B) = \frac{1}{4}E [(Z_{G}(A) + \overline{Z_{G}(A)})(Z_{G}(B) − \overline{Z_{G}(B)})]

= \frac{1}{4}E [(Z_{G}(A) + Z_{G}(−A))(\overline{Z_{G}(−B)} − \overline{Z_{G}(B)})]

= \frac{1}{4} (G(A ∩ (−B)) − G(A ∩ B) + G((−A) ∩ (−B)) − G((−A) ∩ B)) = 0.

Feladat: Ha (A_{1}) ∪ (−A_{1}), …, A_{n} ∪ (−A_{n}) diszjunktak, akkor Z_{G}(A_{1}), … Z_{G}(A_{n}) függetlenek. Ha A ∩ (−A) = ∅, akkor Var (Re Z_{G}(A)) = Var (Im Z_{G}(A)) = \frac{G(A)}{2}. Továbbá, Re Z_{G}(A) = Re Z_{G}(−A), Im Z_{G}(A) = −Im Z_{G}(−A). Segítség: Az első állítás bizonyításához azt kell megmutatni, hogy

ERe Z_{G}(A_{j})Re Z_{G}(A_{k}) = 0, és EIm Z_{G}(A_{j})Im Z_{G}(A_{k})) = 0,

ha (A_{j} ∪ (−A_{j})) ∩ (A_{k} ∪ (−A_{k})) = ∅. Viszont

ERe Z_{G}(A_{j})Re Z_{G}(A_{k}) = \frac{1}{4}E(Z_{G}(A_{j}) + \overline{Z_{G}(A_{j})})(Z_{G}(A_{k}) + \overline{Z_{G}(A_{k})})

= \frac{1}{4}(EZ_{G}(A_{j})\overline{Z_{G}(−A_{k})} + EZ_{G}(A_{j})\overline{Z_{G}(A_{k})}

+ EZ_{G}(−A_{j})\overline{Z_{G}(−A_{k})} + EZ_{G}(−A_{j})\overline{Z_{G}(A_{k})}) = 0

az adott feltételek mellett, és az EIm Z_{G}(A_{j})Im Z_{G}(A_{k})) = 0 reláció hasonlóan bizonyítható.

Ha A ∩ (−A) = ∅, akkor E(Re (Z_{G}(A))^{2} = \frac{1}{4}E(Z_{G}(A) + \overline{Z_{G}(−A)})^{2} = \frac{G(A)}{2}. Hasonlóan E(Re (Z_{G}(−A))^{2} = \frac{G(A)}{2}. Mivel Z_{G}(−A) = \overline{Z_{G}(A)} az (vi) reláció szerint, innen következik a Feladat még nem tárgyalt állítása.

A fent megadott definició bár technikainak látszik természetes. Ha egy Z_{G} véletlen mérték teljesíti a fenti tulajdonságokat, akkor definiálhatjuk az ∫ f(t)Z_{G}( dt) mértéket a következő módon. Először definiáljuk ezt az integrált természetes módon f(t) =

∑_{j=1}^{n} c_{j}I_{A_{j}}(t) alakú elemi függvényekre, ahol A_{1}, …, A_{n} mérhető diszjunkt részhalmazai

a [−π, π] intervallumnak, és I_{A}(·) az A halmaz indikátorfüggvénye. A definiciót az

∫ (∑_{j=1}^{n} c_{j}I_{A_{j}}(t)) Z_{G}( dt) = ∑_{j=1}^{n} c_{j}Z_{G}(A_{j})

képlettel adjuk meg. Nem nehéz belátni, hogy teljesül az

E (∫ f(t)Z_{G}( dt)\overline{∫ h(t)Z_{G}( dt)}) = ∫ f(t)\overline{h(t)}G( dt)  (2.3)

elemi függvények minden (f(t), h(t)) párjára. Valóban, legyen f(t) = ∑_{j=1}^{M} c_{j}I_{A_{j}}(t),

h(t) = ∑_{k=1}^{N} d_{k}I_{B_{k}}(t), ahol A_{1}, …, A_{M} és B_{1}, …, B_{N} a [−π, π) intervallum particiói,

c_{j}, j = 1, …, M, d_{k}, k = 1, …, N, komplex számok. Ekkor

E (∫ f(t)Z_{G}( dt)\overline{∫ h(t)Z_{G}( dt)}) = E (∑_{j=1}^{M} c_{j}Z_{G}(A_{j})) (\overline{∑_{k=1}^{N} d_{k}Z_{G}(B_{k})})

= ∑_{j=1}^{M} ∑_{k=1}^{N} c_{j}d̄_{k}EZ_{G}(A_{j})\overline{Z_{G}(B_{k})} = ∑_{j=1}^{M} ∑_{k=1}^{N} c_{j}d̄_{k}G(A_{j} ∩ B_{k}) = ∫ f(t)\overline{h(t)}G( dt).

A lépcsős függvényekre már igazolt (2.3) tulajdonságot felhasználva az ∫ f(t)Z_{G}( dt) integrált az L_{2} izomorfia segítségével ki tudjuk terjeszteni minden olyan f függvényre, amelyre ∫ |f(t)|^{2}G( dt) < ∞ úgy, hogy a (2.3) reláció továbbra is érvényben maradjon. Ez a kiterjesztés egyértelmű. Vegyük észre, hogy igaz a következő

Észrevétel. Ha f(t) olyan f ∈ L_{2}([−π, π), B, G) függvény, amelyre f(−t) = \overline{f(t)}, akkor az ∫ f(t)Z_{G}( dt) véletlen integrál 1 valószínűséggel valós értékű valószínűségi változó.

Valóban, a fenti észrevétel igaz lépcsős függvényekre, és alkalmas határátmenettel megkapjuk az állítást tetszőleges adott tulajdonságú f függvényre.

Érdemes megjegyezni, hogy az f(−t) = \overline{f}(t) azonosság jellemzi a valós értékű függvények, illetve valós értékű előjeles mértékek Fourier transzformáltját. Definiáljuk az

X_{n} = ∫ e^{int}Z_{G}( dt), n = …, −1, 0, 1, …,  (2.4)

integrálokat. Az X_{n} valószínűségi változók valós értékűek, és a (2.3) reláció alapján EX_{k}X_{k+n} = EX_{n+k}\overline{X_{k}} = ∫ e^{int}G( dt). Ez azt jelenti, hogy az e^{int} függvényeknek n = …, −1, 0, 1, …, a Z_{G} véletlen spektrál mérték szerinti integráljának a segítségével elő tudtunk állítani egy olyan stacionárius Gauss sorozatot, amelynek spektrál mértéke a G mérték. Némi plusz munkával be lehet látni, hogy egy adott G spektrál mértékű stacionárius Gauss sorozathoz lehet konstruálni olyan véletlen spektrál mértéket, amely magát az eredeti sorozatot állítja elő. Ezt fogalmazom meg az alábbi eredményben.

2.2. Tétel. Legyen X_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, normális eloszlású stacionárius Gauss sorozat nulla várható értékű valószínűségi változókkal valamely G spektrál mértékkel. Ekkor lehet konstruálni a G spektrál mértéknek megfelelő normális véletlen Z_{G} spektrál mértéket úgy, hogy az e véletlen mérték szerinti integrál teljesíti a (2.4) képletet, azaz a (2.4) képlet jobb oldala egyenlő a kiindulásként megadott X_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, sorozat megfelelő tagjával.

Megjegyzés. E tétel (részletesebb) bizonyítása megtalálható a Bochner tétel jegyzetben.

Bizonyítás. Tekintsük a H teret, azaz az X_{n}, n = 0, ±1, ±2, …, valószínűségi változók négyzetesen integrálható lineáris kombinációiból álló Hilbert teret, és definiáljuk a H tér J leképezését az L_{2}([−π, π), B, G( dt)) térre, (ahol B jelöli a Borel σ-algebrát a

[−π, π) intervallum részhalmazain) a következő módon: Legyen J ( ∑_{j=−N}^{N} c_{j}e^{ijt}) =

∑_{j=−N}^{N} c_{j}X_{j} minden véges lineáris kombinációra. Nem nehéz belátni, hogy J normatartó

leképezés. Ezért a fenti J leképezést ki tudjuk terjeszteni a véges lineáris kombinációkról azok lezártjára is. Ez a J leképezés az L_{2}([−π, π), B, G( dt)) és a H tér között L_{2}

izomorfiát létesít. (Azt kell tudnunk, hogy a véges ∑_{j=−N}^{N} c_{j}e^{ijt} lineáris kombinációk az

L_{2}([−π, π), B, G( dt)) tér mindenütt sűrű részhalmazát alkotják.)

Definiáljuk a Z_{G}(A) valószínűségi változót a Z_{G}(A) = J(I_{A}(t)) képlet segítségével, ahol I_{A}(t) az A halmaz indikátor függvényét jelöli. A Z_{G}(·) valószínűségi változók teljesítik az (i.)–(vi.) tulajdonságokat. Az (i), (ii), (iii) és (v) tulajdonságok teljesülése nyílvánvaló, a (iv) reláció következik az L_{2} izomorfiából, a (vi) tulajdonság pedig a J(−f) = \overline{J(f)} relációból. Továbbá a J transzformáció L_{2} izomorfiája és a (2.3) reláció alapján J(f) = ∫ f(t)Z_{G}( dt) minden f ∈ L_{2}([−π, π), B, G) függvényre. Tehát speciálisan X_{n} = J(e^{int}) = ∫ e^{int}Z_{G}( dt).

Szükségünk lesz későbbi számolásainkban egy technikai jellegű lemmára, amely tekinthető úgy is, mint véletlen spektrál mértékek szerinti integrálok helyettesítési szabálya.

2.3. Lemma. Lemma véletlen spektrál mérték szerinti integrálok helyettesítési szabályáról. Legyen adva egy G spektrál mérték, egy a G spektrál mértéknek megfelelő Z_{G} véletlen mérték a [−π, π) intervallumon, valamint egy olyan u(t) függvény, amelyre u(−t) = \overline{u(t)}, és ∫ |u^{2}(t)|G( dt) < ∞. Ekkor a Z_{G,u},

Z_{G,u}(A) = ∫ u(t)I_{A}(t)Z_{G}( dt), A ∈ B,

kifejezés, ahol B a Borel σ-algebra a [−π, π) intervallumon, és I_{A}(·) az A halmaz indikátor függvénye annak a G_{u}, spektrál mértéknek megfelelő véletlen spektrál mérték, amelyet a G_{u}(A) = ∫_{A} |u^{2}(t)|G( dt) képlet határoz meg minden A ∈ B, A ∈ [−π, π), halmazra. Továbbá

∫ f(t)Z_{G,u}( dt) = ∫ f(t)u(t)Z_{G}( dt)  (2.5)

minden a G_{u} spektrál mérték szerint négyzetesen integrálható f függvényre.

Bizonyítás. Nem nehéz belátni a (2.3) tulajdonság segítségével, hogy a Lemmában a G_{u}(A) = ∫_{A} |u^{2}(t)|G( dt) képlet segítségével definiált G_{u} mérték spektrál mérték, azaz G_{u}(A) = G_{u}(−A) minden mérhető A halmazra, G_{u}([−π, π]) < ∞, és a Z_{G,u} véletlen mérték a G_{u} spektrál mértéknek megfelelő, az (i)–(vi) tulajdonságok mindegyikét teljesítő véletlen spektrál mérték.

Tekintsük az J_{1}(f) = ∫ f(t)Z_{G,u}( dt) és J_{2}(f) = ∫ f(t)u(t)Z_{G}( dt) véletlen integrálokat minden olyan f függvényre, amelyre ∫ |f^{2}(t)|G_{u}( dt) < ∞. (Ilyen függvényekre ∫ |f(t)u(t)|^{2}G( dt) = ∫ |f^{2}(t)|G_{u}( dt) < ∞, ezért mind a két tekintett integrál létezik.) Vegyük észre, hogy minden A ∈ B halmazra J_{1}(I_{A}(t)) = J_{2}(I_{A}(t)) = Z_{G,u}(A), továbbá tetszőleges f_{1} és f_{2} a G_{u} mérték szerint négyzetesen integrálható függvénypárra EJ_{1}(f_{1})\overline{J_{1}(f_{2})} = EJ_{2}(f_{1})\overline{J_{2}(f_{2})} = ∫ f_{1}(t)\overline{f_{2}(t)}G_{u}( dt). Mind J_{1} mind J_{2} korlátos lineáris leképezése a G_{u} mérték szerint négyzetesen integrálható függvények terének a második momentummal rendelkező valószínűségi változók Hilbert terébe, és az I_{A}(t) alakú függvények lineáris kombinációi e leképezések értelmezési tartományának mindenütt sűrű részhalmazát alkotják. Innen következik a Lemma állítása.

3. A feladat átfogalmazása komplex függvénytan segítségével.

A stacionárius sorozatok spektrál reprezentációja lehetővé teszi, hogy a komplex függvénytan néhány mély eredményeinek a segítségével megoldjuk a predikciós problémát. Vegyük észre, hogy e feladat megoldásához elegendő a Wold felbontást effektív leírása, azaz elég explicit módon megadni az (1.3) képletben szereplő c_{k} konstansokat és V_{k} valószínűségi változókat. (Lásd az alábbi feldatatot.)

Feladat: Legyen megadva egy X_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, (reguláris) stacionárius Gauss

sorozat X_{n} = ∑_{k=0}^{∞} c_{k}V_{n−k} Wold féle felbontása. Ekkor egy X_{m}, m ≥ 1 valószínűségi

változó optimális becslése az X_{n}, n ≤ 0, valószínűségi változók segítségével, azaz X_{m}

ortogonális vetülete a B(X_{n}, n ≥ 0) altérre egyenlő az X̂_{m} = ∑_{k=m}^{∞} c_{k}V_{m−k} valószínűségi

változóval, a becslés szórásnégyzete pedig ∑_{k=0}^{m−1} c_{k}^{2}.

Segítség: Vegyük észre, hogy a Wold felbontás tulajdonságai alapján B(X_{n}, n ≤ 0) = B(V_{n}, n ≤ 0).

Reguláris, stacionárius Gauss folyamatok előállítását keressük, X_{n} = ∑_{k=0}^{∞} d_{k}W_{n−k},

n = …, −1, 0, 1, …, mozgóátlag alakban, és azt is szeretnénk meghatározni, hogy hogyan tudjuk jellemezni a reguláris, stacionárius sorozatokat e sorozatok kovariancia függvényének vagy spektrál mértékének a segítségével. Külön érdekel minket egy reguláris stacionárius sorozat Wold felbontása. Részletesebb jelölésekkel a következő feladatot vizsgáljuk.

Legyen X_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, egy stacionárius Gauss sorozat. Célunk az ilyen

sorozatok előállítása X_{n} = ∑_{k=0}^{∞} d_{k}W_{n−k} alakú mozgó átlag formában, — feltéve, hogy

ez lehetséges, — ahol W_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, független standard normális eloszlású valószínűségi változók, a d_{k} együtthatók pedig valós számok. E mozgó átlag előállítások közül különösen a Wold felbontás érdekel minket. Nem nehéz belátni, hogy minden mozgó átlagként előállítható stacionárius sorozat reguláris. Másrészt, minden reguláris stacionárius sorozat előállítható ilyen alakban. Ez az állítás következik a korábban kimondott, de csak a kiegészítésben bizonyított eredményből a Wold felbontás létezéséről. Viszont egyelőre nincs jellemzésünk a reguláris stacionárius folyamatokról. Így egyik célunk valójában az, hogy jellemezzük a reguláris stacionárius folyamatokat. Később fogunk ilyen jellemzést adni a stacionárius folyamatok spektrál mértéke segítségével.

A fenti feladat vizsgálatában érdemes bevezetni az L_{2} ([−π, π), B, \frac{λ}{2π} ) L_{2}-teret, ahol B a Borel σ-algebra és λ a Lebesgue mérték a [−π, π) intervallumon. Definiáljuk e térnek egy természetes, az X_{n} stacionárius sorozat mozgó átlag felbontását jellemző izomorfiáját a B(X_{n}, −∞ < n < ∞) Hilbert térbe. Ennek érdekében vezessük be az e_{k}(t) = e^{ikt}, −π ≤ t < π, k = 0, ±1, ±2, … függvényeket az L_{2} ([−π, π), B, \frac{λ}{2π} ) téren, és e tér J(e_{k}(t)) = J(e^{ikt}) = W_{k},

J ( ∑_{k=−∞}^{∞} u_{k}e_{k}(t)) = ∑_{k=−∞}^{∞} u_{k}W_{k}, ∑_{k=−∞}^{∞} |u_{k}|^{2} < ∞,

leképezését a B(W_{n}, −∞ < n < ∞) Hilbert-térbe, ahol a W_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, valószínűségi változók megegyeznek a vizsgált X_{n} stacionárius Gauss sorozatnak X_{n} =

∑_{k=0}^{∞} d_{k}W_{n−k} alakú előállításában szereplő W_{n} független, standard normális eloszlású

valószínűségi változókkal. Nem nehéz belátni, hogy ez a J transzformáció az L_{2} ([−π, π), B, \frac{λ}{2π} ) L_{2} tér és a B(W_{n}, −∞ < n < ∞) ⊃ B(X_{n}, −∞ < n < ∞) Hilbert tér egy izomorfiája. (Vegyük észre, hogy az L_{2} ([−π, π), B, \frac{λ}{2π} ) L_{2} tér ele-

mei a ∑_{k=−∞}^{∞} u_{k}e^{ikt}, ∑_{k=−∞}^{∞} |u_{k}|^{2} < ∞, alakú függvények, mert az e_{k}(t) = e^{ikt}, k =

0, ±1, ±2, …, függvények teljes ortonormált rendszert alkotnak az L_{2} ([−π, π), B, \frac{λ}{2π} ) L_{2} térben. Másrészt a W_{k}, k = 0, ±1, ±2, …, valószínűségi változók ortonormált bázist alkotnak a B(W_{n}, −∞ < n < ∞) térben. Ezért e tér elemei felírhatóak egyértelmű

módon ∑_{k=−∞}^{∞} u_{k}W_{k}, ∑_{k=−∞}^{∞} |u_{k}|^{2} < ∞ alakban.)

Célunk először az, hogy az X_{n} = ∑_{k=0}^{∞} d_{k}W_{n−k} = J ( ∑_{k=0}^{∞} d_{k}e_{n−k}(t)) jellemzésben

meghatározzuk a d_{k} konstansokat. Ha ezt megadjuk, akkor képesek leszünk véletlen integrálok segítségével magát a mozgó átlagot is előállítani. E vizsgálatok segítségével képesek leszünk a lehetséges mozgó átlagok jó leírására, speciálisan a Wold felbontás megadására.

Tekintsük egy X_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, (reguláris) stacionárius sorozat egy X_{n} =

∑_{k=0}^{∞} d_{k}W_{n−k} mozgó átlag előállítását, és vegyük az ezen mozgóátlag reprezentáció segít-

ségével definiálható

h(t) = ∑_{k=0}^{∞} d_{k}e^{itk}, ∑_{k=0}^{∞} |d_{k}|^{2} < ∞, −π ≤ t ≤ π,  (a1)

függvényt. Mivel a d_{k} együtthatók valósak ezért teljesül a

h(−t) = \overline{h(t)} minden −π ≤ t ≤ π számra  (a2)

azonosság. Továbbá vegyük észre, hogy a mozgó átlag tulajdonság és a Parseval azonosság alapján, bevezetve a d_{k} = 0, ha k < 0 jelölést az (a1) formulában szereplő együtthatók kiterjesztéseként, az alábbi azonosságot kapjuk: (Tekintsük csak az n ≥ 0 esetet.)

\begin{aligned}EX_{j}X_{n+j} & = EX_{0}X_{n} = E (∑_{k=0}^{∞} d_{k}W_{n−k}) (\overline{∑_{k=0}^{∞} d_{k}W_{−k}}) \\ & = ∑_{k=0}^{∞} d_{n+k}d̄_{k} = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} e^{int}h(t)h̄(t) dt = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} e^{int}|h(t)|^{2} dt \end{aligned}  (3.1)

minden n ≥ 0 egész számra. Az (a2) tulajdonság alapján |h^{2}(t)| = |h^{2}(−t)|. Ezen tény, a (3.1) formula valamint egy stacionárius sorozat spektrál mértékének egyértelműségéből következik, hogy a mozgó átlag formában előállított stacionárius sorozatnak létezik spektrál sűrűség függvénye, és az megadható g(t) = \frac{|h^{2}(t)|}{2π}, −π ≤ t ≤ π, alakban. Tehát azt kaptuk, hogy az X_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, stacionárius sorozatnak létezik g(t) = \frac{dG(t)}{dt} spektrál sűrűségfüggvénye, és

\frac{|h^{2}(t)|}{2π} = g(t), ahol g(t) az X_{n}, n = 0 ± 1, …, sorozat spektrál sűrűség függvénye.

(a3)

Az alábbi lemmában összefoglaljuk a fenti érvelés segítségével kapott eredményeket.

3.1. Lemma. Létezzen egy X_{n} stacionárius sorozatnak egy X_{n} = ∑_{k=0}^{∞} d_{k}W_{n−k}, n =

…, −1, 0, 1, …, alakú mozgó átlag reprezentációja, ahol W_{n}, n = 0, 1, 2, …, független standard normális eloszlású valószínűségi változók sorozata, és a d_{n}, n = 0, 1, 2 … együtthatók valós számok. Ekkor az X_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, stacionárius sorozatnak létezik g(t), −π ≤ t ≤ π, spektrál sűrűség függvénye, és létezik egy komplex szám értékű h(t) függvény, amely teljesíti az (a1), (a2) és (a3) tulajdonságokat ezzel a g(t) függvénnyel.

A 3.1. Lemma szükséges feltételt adott arra, hogy egy stacionárius sorozat előállítható legyen mozgó átlag formában valamely d_{n}, n = 0, 1, 2, …, együtthatók segítségével. Be fogunk látni egy 3.2. Lemmát, amely azt állítja, hogy a fent megfogalmazott feltételek egyben elégségesek is ahhoz, hogy egy stacionárius sorozatot előállíthassunk adott tulajdonságú mozgó átlag formájában, sőt véletlen spektrál mértékek szerinti integrálok segítségével meg is ad egy ilyen reprezentációt.

Hangsúlyozni szeretném, hogy a h(t) függvény (a1) előállításában speciális alakú Fourier sor szerepel, olyan amelyik csak k ≥ 0 paraméterű e^{ikt} alakú trigonometrikus függvényeket tartalmaz. Ez az a tulajdonság, amely miatt az (a1), (a2) és (a3) tulajdonságokat teljesítő h(t) függvények megkeresésében a komplex függvénytan módszerei nagyon hasznosnak bizonyultak. Emlékeztetni szeretnék továbbá arra, hogy mint azt a Wold felbontás létezését kimondó tétel után megfogalmazott 2. feladatban megfogalmaztam, a Wold felbontásnak megvan az az extremum tulajdonsága egy stacionárius sorozat mozgó átlag előállításai között, hogy ennek a legnagyobb a konstans együtthatója. Mint látni fogjuk, ez a tény segít a Wold felbontás megtalálásában.

Megjegyzés. Nem nehéz belátni a 3.1. Lemma olyan változatát, amely annak adja meg a szükséges (valójában szükséges és elégséges) feltételét, hogy egy X_{n} stacionárius

Gauss folyamat megadható legyen X_{n} = ∑_{k=−∞}^{∞} d_{k}W_{n−k}, ∑_{k=−∞}^{∞} d_{k}^{2} < ∞, alakban. Ilyen

reprezentáció megadható, ha az X_{n} stacionárius sorozatnak létezik g(t), −π ≤ t ≤ π,

spektrál sűrűségfüggvénye, és az teljesíti az (a2) és (a3) feltételeket a h(t) = ∑_{k=−∞}^{∞} d_{k}e^{ikt}

függvénnyel. A lényeges különbség ezen állítás és a 3.1. Lemma között az, hogy most nem tesszük fel az (a1) feltételt, és a h(t) függvény definiciójában ∑_{k=−∞}^{∞} összegezést

alkalmaztunk a ∑_{k=0}^{∞} összegezés helyett. Az, hogy az (a1) formulában ∑_{k=0}^{∞} összegezést

alkalmaztunk nagyon lényeges. Egyrészt ennek biztosítása fogja okozni a fő nehézséget későbbi vizsgálatainkban, másrészt ez az oka annak, hogy komplex függvénytani módszereket alkalmazhatunk.

Az alábbi 3.2. Lemmában megfogalmazom azt az állítást, amely szerint egy stacionárius sorozat mozgó átlag előállításának a 3.1. Lemmábban megfogalmazott szükséges feltétele egyben elégséges feltétel is.

3.2. Lemma. Legyen X_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, stacionárius Gauss sorozat 0 várható értékű valószínűségi változókkal, amelynek van g(t), −π ≤ t ≤ π, spektrál sűrűség függvénye, és létezik az (a1), (a2) és (a3) tulajdonságokat teljesítő h(t) függvény és d_{k}, k = 0, 1, 2, …, számsorozat. Jelölje G(·) a g(t) spektrál sűrűség függvényhez tartozó spektrál mértéket, és tekintsük az X_{n} stacionárius sorozat X_{n} = ∫ e^{int}Z_{G}( dt), n = …, −1, 0, 1, …, alakú előállítását alkalmas az X_{n} sorozat G spektrál mértékének megfelelő Z_{G} véletlen spektrál mérték szerinti integrál segítségével. (Tudjuk, hogy ilyen előállítás lehetséges.) Vegyük az u(t) = \frac{1}{\overline{h(t)}} függvényt, és a véletlen spektrál mérték szerinti integrálok helyettesítési szabályáról szóló 2.3. lemmában definiált Z_{G,u} véletlen spektrál mértéket, ahol h(t) az (a1), (a2) és (a3) tulajdonságot teljesítő függvény. Ekkor definiálhatjuk a

W_{n} = ∫ e^{int}Z_{G,u}( dt) = ∫ \frac{e^{int}}{\overline{h(t)}}Z_{G}( dt), n = …, −1, 0, 1, …, u(t) = \frac{1}{\overline{h(t)}} (3.2)

valószínűségi változókat, és azok függetlenek és standard normális eloszlásúak. Ezenkívül az X_{n} sorozat előállítható

X_{n} = ∑_{k=0}^{∞} d_{k}W_{n−k}, n = …, −1, 0, 1, …  (3.3)

alakban, ahol d_{k}, k = 0, 1, 2, …, az (a1) formulában szereplő (valós) számok sorozata.

Bizonyítás: Fel fogom használni egy a 3.3. tételben megfogalmazott fontos komplex függvénytani eredménynek azt a következményét, amely szerint egy az (a1) tulajdonságot teljesítő h(t) függvény a [−π, π] intervallumon majdnem mindenütt különbözik nullától. Ezért véve az u(t) = \frac{1}{\overline{h(t)}} függvényt, teljesül a G_{u}(A) = ∫_{A} \frac{1}{|h^{2}(t)|}G( dt) = \frac{1}{2π} λ(A) azonosság minden A ∈ B, A ⊂ [−π, π] halmazra az (a3) tulajdonság alapján. Ezért létezik a G_{u} spektrál mérték, és G_{u} = \frac{1}{2π} λ, ahol λ a Lebesgue mértéket jelöli a [−π, π] intervallumon. Innen, és a (2.5) képlet alkalmazásából f(t) = e^{int} választással következik a (3.2) formula, és az hogy az e formulában definiált (együttesen) normális eloszlású, nulla várható értékű W_{n} valószínűségi változók 1 szórásúak, és korrelálatlanok. Ezért a (3.2) képletben valóban egy független standard normális eloszlású valószínűségi változókból álló sorozatot definiáltunk.

Az (a2) tulajdonságból következik, hogy a d_{k} számok valósak. (Vegyük azt is észre,

hogy ∑_{k=0}^{∞} d_{k}^{2} < ∞, mivel ∫ |h^{2}(t)| dt = ∫ g(t) dt < ∞.) A (3.2) képletből következik, hogy

∑_{k=0}^{∞} d_{k}W_{n−k} = ∑_{k=0}^{∞} d_{k} ∫ \frac{e^{i(n−k)t}}{\overline{h(t)}} Z_{G}( dt) = ∫ \frac{e^{int}}{\overline{h(t)}} (∑_{k=0}^{∞} d_{k}e^{−ikt}) Z_{G}( dt).

(Az utolsó formulában alkalmazott végtelen összegzés is jogos, ha az (Ω, A, P) valószínűségi mezőn tekintett L_{2} normában vett konvergenciát tekintjük.) Az utolsó azonosságból, valamint az (a1) és (a2) képletből kapjuk, hogy

∑_{k=0}^{∞} d_{k}W_{n−k} = ∫ e^{int} \frac{h(−t)}{\overline{h(t)}}Z_{G}( dt) = ∫ e^{int}Z_{G}( dt) = X_{n}.

Innen következik a (3.3) formula. A Lemma bizonyítását befejeztük.

1. megjegyzés. A (3.3) formulából látszik, hogy a Lemmában megkonstruált mozgóátlagban szereplő W_{n} valószínűségi változók teljesítik a W_{n} ∈ B(X_{j}, −∞ < j < ∞), n = 0, ±1, ±2, …, tulajdonságot. A Wold felbontást az tünteti ki a többi mozgó átlag reprezentáció közül, hogy a benne szereplő V_{n} valószínűségi változók még az erősebb V_{n} ∈ B(X_{j}, −∞ < j ≤ n) tulajdonságot is teljesítik.

2. megjegyzés. Az X_{n} sorozat 3.2. lemmában megadott mozgóátlag előállításban szereplő W_{n} valószínűségi változók definiciója nem annyira ad hoc jellegű, mint ahogy az első pillanatban gondolnánk. Valóban, írjuk fel a mozgó átlag alakban előállítani kivánt stacionárius sorozat elemeit X_{n} = ∫ e^{int}Z_{G}( dt) n = …, −1, 0, 1, … véletlen spektrál mérték szerinti integrál alakban, és keressük a W_{n} független standard normális valószínűségi változókat W_{n} = ∫ e^{int}Z_{0}( dt) alakban, ahol Z_{0} alkalmas a [−π, π] intervallumon tekintett \frac{1}{2π} λ spektrál mértékhez tartozó véletlen spektrál mérték. Ekkor

az X_{n} = ∑_{k=0}^{∞} d_{k}W_{n−k} azonosság felírható ∫ e^{int}Z_{G}( dt) = ∫ e^{int}h(−t)Z_{0}( dt), h(t) =

∑_{k=0}^{∞} d_{k}e^{ikt} alakban is. Ennek az azonosságnak minden n = 0, ±1, ±2, … indexre tel-

jesülnie kell. Be lehet látni, hogy ezt csak Z_{G}( dt) = h(−t)Z_{0}( dt) = \overline{h(t)}Z_{0}( dt) választással érhető el. Ezt a választást alkalmaztuk a (3.3) formulában.

Az ismertetett eredmények alapján a predikciós feladat legfontosabbb része az (a1), (a2) és (a3) feltételeket teljesítő h(t), −π ≤ t ≤ π függvények megtalálása, illetve ezek közül azoké a függvényeké, amelyekre a konstans tag |d_{0}| abszolút értéke a maximumot veszi fel. Ez utóbbi feladat megoldása a Wold felbontás megtalálása érdekében szükséges. Tudjuk az eddigiek alapján is, hogy ez a maximum felvétetik, de nem tudjuk, hogy ez az előírás egyértelműen meghatározza-e a h(t) függvényt.

A feladat megoldása érdekében egy az (a1), (a2), (a3) feltételt teljesítő h(t) =

∑_{k=0}^{∞} d_{k}e^{ikt} függvényhez társítsuk a H(z) = ∑_{k=0}^{∞} d^{k}z^{k} a {z: |z| < 1} egységkörön anali-

tikus függvényt, és vezessük be a h(t) függvény h̃(φ) “feltekerését” a {z = e^{iφ}, −π ≤ φ < π} körvonalra a h̃(e^{iφ}) = h(φ) képlettel. Hasonlóan definiáljuk egy stacionárius sorozat g(t) spektrál sűrűségének (feltéve, hogy létezik ez a spektrál sűrűség) a g̃(e^{iφ}) = g(φ), −π ≤ φ < π, “feltekerését” az egységkörre. A komplex függvénytan bizonyos eredményeiből következik, hogy a H(z), |z| < 1, függvény lim_{r→1} H(re^{iφ}) radiális limesze

majdnem minden −π ≤ φ < π számra létezik, és egyenlő a h(φ) = h̃(e^{iφ}) függvénnyel. Ez azt jelenti, hogy elég a h(t) függvények helyett a H(z) függvényeket megtalálni. Ez utóbbi feladatot a komplex függvénytan módszereivel egyszerűbb megoldani.

Szeretném hangsúlyozni, hogy a H(z) függvény radiális limeszének létezéséről előbb megfogalmazott állítás nem nyílvánvaló, hanem külön indoklásra szorul. Az eredeti feltételek csak azt biztosítják, hogy a H(z) függvény az egységkör belsejében analitikus. Az, hogy egy az egységkör belsejében analitikus függvény hogyan viselkedik az egységkör határán a komplex függvénytan nehéz kérdéseihez tartozik. Jelen esetben az az észrevétel könnyítheti meg a probléma vizsgálatát, hogy az adott tulajdonsággal rendelkező analitikus függvények a H_{2} Hardy osztályba tartoznak, amelyről sokat lehet tudni. Bár számunkra csak a H_{2} osztály jellemzése lesz érdekes, megadom a H_{p} osztályok definicióját tetszőleges 0 < p ≤ ∞ paraméterre.

Hardy függvényosztályok definiciója. A H_{p} függvényosztály, 0 < p ≤ ∞, azokból a {z: |z| < 1} egységkörön analitikus H(z) függvényekből áll, amelyekre

∥H_{p}∥^{p} =^{def} sup_{r<1} ∥H(re^{iφ})∥_{p}^{p} = sup_{r<1} ∫_{−π}^{π} |H(re^{iφ})|^{p} dφ < ∞, ha 0 < p < ∞,

és

∥H_{∞}∥ =^{def} sup_{r<1} ∥H(re^{iφ})∥_{∞} = sup_{r<1, −π≤φ<π} |H(re^{iφ})| < ∞, ha p = ∞.

Nem nehéz belátni, hogy a ∑_{k=0}^{∞} |d_{k}|^{2} < ∞ feltétel miatt H(z) = ∑_{k=0}^{∞} d_{k}z^{k} eleme

a H_{2} függvény osztálynak. Számunkra a következő komplex függvénytani tétel lesz különösen hasznos. Ennek bizonyítását egy kiegészítésben ismertetem, ahol néhány további komplex függvénytani magyarázatot is teszek.

3.3. Tétel. Tétel Hardy féle H_{2} függvényosztályok jellemzéséről. Egy H(z) =

∑_{k=0}^{∞} d_{k}z^{k} hatványsorral megadott analitikus függvény akkor és csak akkor van a H_{2} Hardy

függvényosztályban, ha teljesül a ∑_{k=0}^{∞} |d_{k}|^{2} < ∞ feltétel. Tekintsünk egy H(z) = ∑_{k=0}^{∞} d_{k}z^{k},

∑_{k=0}^{∞} |d_{k}|^{2} < ∞, a H_{2} függvényosztályba tartozó függvényt, valamint a h(φ) = ∑_{k=0}^{∞} d_{k}e^{ikφ},

−π ≤ φ ≤ π, függvényt. Ekkor

(i) lim_{r→1} H(re^{iφ}) = h(φ) majdnem minden −π ≤ φ ≤ π számra. Továbbá a H_{r}(φ) =

H(re^{iφ}) függvények a (Lebesgue mérték szerinti) L_{2} normában is konvergálnak a h(φ) függvényhez, ha r → 1. (Az (i) pont állítását úgy is megfogalmazhatjuk, hogy a H(z) függvény radiális limesze létezik, és egyenlő a h(φ) függvénnyel mind a majdnem mindenütt mind az L_{2} norma szerint.)

(ii) Ha a H(z) függvény nem azonosan nulla, akkor ∫_{−π}^{π} | log |h(φ)| | dφ < ∞. Speciálisan, ebben az esetben a h(φ) függvény csak nulla mértékű halmazon lehet nulla.

Megjegyzés. A fenti tétel (ii) pontjából az is következik, hogy egy az (a1) tulajdonságot teljesítő h(t) függvény csak null mértékű halmazon nulla. Ezt a tényt használtuk fel a 3.2. Lemma bizonyításában.

Szeretnénk jellemezni azokat a [−π, π) intervallumon definiált (négyzetesen in-

tegrálható) h(φ) függvényeket, amelyek h(φ) = ∑_{k=0}^{∞} d_{k}e^{ikφ}, ∑_{k=−0}^{∞} |d_{k}^{2}| < ∞, alakban

írhatóak. Megfogalmazom a Hardy féle H_{2} osztályok jellemzéséről szóló tétel alábbi következményét, amely az ilyen függvényeknek számunkra hasznos jellemzését adja a H_{2} függvény osztály segítségével.

Következmény. Egy a [−π, π) intervallumon definiált (négyzetesen integrálható) h(φ)

függvény akkor és csak akkor írható h(φ) = ∑_{k=0}^{∞} d_{k}e^{ikφ}, ∑_{k=0}^{∞} |d_{k}^{2}| < ∞, alakban, ha

létezik olyan H(z) ∈ H_{2} függvény a {z: |z| < 1} egységkörben, amelyre lim_{r→1} H(re^{iφ}) =

h(φ) majdnem mindenütt (és ebben az esetben az L_{2} normában is). A h(φ) függvény

egyértelműen meghatározza a H(z) függvényt, és az H(z) = ∑_{k=0}^{∞} d_{k}z^{k} hatványsor formá-

ban írható ugyanazokkal a d_{k} együtthatókkal, amelyek a h(φ) függvény h(φ) = ∑_{k=0}^{∞} d_{k}e^{ikφ}

Fourier előállításában szerepelnek.

Bizonyítás. Ha a h(φ) függvény h(φ) = ∑_{k=0}^{∞} d_{k}e^{ikφ}, ∑_{k=0}^{∞} |d_{k}^{2}| < ∞, alakban írható,

akkor a H(z) = ∑_{k=0}^{∞} d_{k}z^{k} függvényre H ∈ H_{2}, és lim_{r→1} H(re^{iφ)} = h(φ) a 3.3. tétel

alapján. Megfordítva, ha h(φ) = lim_{r→1} H(re^{iφ}) valamely H ∈ H_{2} függvényre, akkor ez a

H függvény H(z) = ∑_{k=0}^{∞} d_{k}z^{k}, ∑_{k=0}^{∞} |d_{k}^{2}| < ∞ alakban írható, és H(re^{iφ}) = ∑_{k=0}^{∞} d_{k}r^{k}e^{ikφ}.

Vegyük a H(re^{iφ}) függvények L_{2} limeszét r → 1 határátmenettel. Ez a limesz a h(φ) =

∑_{k=0}^{∞} d_{k}e^{ikφ} függvény.

Megjegyzés. Néhány vizsgálatban szükségünk lesz annak megmutatására, hogy bizonyos az egységkör belsejében definiált analitikus H(z) függvények a H_{2} osztályba tartoznak.

Tudjuk, hogy ez a tulajdonság ekvivalens azzal, hogy H(z) = ∑_{k=0}^{∞} d_{k}z^{k}, és ∑_{k=10}^{∞} |d_{k}^{2}| <

∞. De vannak olyan esetek, amikor nem érdemes a H(z) függvény Taylor sorának az együtthatóit vizsgálni, ehelyett egyszerűbb a H ∈ H_{2} relációt úgy bebizonyítani, hogy igazoljuk a H_{2} osztály elemeinek definiciójában szereplő sup_{r<1} ∫_{−π}^{π} |H(re^{iφ})|^{2} dφ < ∞

relációt. Megjegyzem, hogy e szuprémum végessége egyszerűen következik a ∑_{k=0}^{∞} |d_{k}|^{2} <

∞ egyenlőtlenségből. Az is igaz, hogy a szuprémum végességéből következik a fenti egyenlőtlenség, de ennek bizonyítása nehezebb.

Az a probléma érdekel minket, hogy egy stacionárius Gauss sorozat lehetséges X_{n} =

∑_{k=0}^{∞} d_{k}W_{n−k} mozgó átlag előállításában milyen d_{k}, k = 0, 1, …, együtthatósorozatok

szerepelnek. Külön érdekel minket az a kérdés, hogy milyen együtthatók szerepelnek a Wold felbontásban. A vizsgálandó probléma része az is, hogy milyen spektrál sűrűséggel rendelkező stacionárius folyamatoknak létezik a sorozat mozgóátlag előállítása. Ez a kérdés úgy is megfogalmazható, hogy milyen spektrál sűrűséggel rendelkező stacionárius folyamatok regulárisak. (A 3.1. Lemmából következik, hogy egy reguláris stacionárius sorozatnak van spektrál sűrűség függvénye.) Láttuk, hogy a felvetett probléma ekvivalens azzal a kérdéssel, hogy egy adott g(t) spektrál sűrűsség függvény esetén, melyek az (a1), (a2) és (a3) tulajdonságokkal rendelkező és a d_{k}, k = 0, 1, …, Fourier együtthatók segítségével definiált h(t) függvények. Az előbb megfogalmazott a Hardy féle H_{2} osztályok jellemzéséről szóló tétel segítségével át tudjuk fogalmazni ezt a kérdést egy komplex függvénytani problémává. Az alábbi FELADAT A-ban ezt az átfogalmazást adom meg. Ezután a FELADAT A megoldásával, illetve az ehhez szükséges komplex függvénytani ismeretekkel fogok foglalkozni.

FELADAT A. Legyen adva egy g(t) spektrál sűrűség függvény. Jellemezzük azokat a komplex számsík egységkörén definiált, a H_{2} Hardy osztályba tartozó valós együtthatós

H(z) = ∑_{k=0}^{∞} d_{k}z^{k} hatványsorokat, amelyeknek h(φ) = lim_{R→1} H(Re^{iφ}) radiális limesze

teljesíti az |h^{2}(φ)| = g(φ), −π ≤ φ ≤ π, azonosságot majdnem minden −π ≤ φ ≤ π számra. Keressük meg az ilyen tulajdonságú függvények közül azokat, amelyekre az origóban felvett érték abszolút értéke maximális. Mely g(φ) spektrál sűrűség esetén lesz a fenti tulajdonságokkal rendelkező függvények osztálya nem üres?

Röviden ismertetem, milyen eredményt fogunk kapni a FELADAT A megoldására, és az milyen lehetőséget ad egy g(t) spektrál sűrűség függvénnyel rendelkező stacionárius Gauss sorozat Wold felbontásának megtalálására. A Wold felbontás megtalálása egyben a predikciós probléma megoldását is jelenti.

A Hardy féle H_{2} osztályok jellemzéséről szóló tétel (ii) pontja alapján csak akkor van a FELADAT A-nak megoldása egy g(φ) spektrál sűrűség függvény választása esetén, ha teljesül az ∫_{−π}^{π} | log |g(φ)|| dφ < ∞ feltétel. Ekkor viszont, mint meg fogjuk mutatni, létezik e feladatnak megoldása, és a (4.5) képletben fel fogjuk explicit módon azt a H_{0}(z) megoldást, amelyre az origóban felvett érték maximális. Ez egyben meghatározza e függvény keresett h(φ) = lim_{R→1} H_{0}(Re^{iφ}) (radiális) limeszét is. Ezután a H_{0}(z) függvény

hatványsorba fejtésével, illetve a 3.2. lemma, pontosabban a (3.2) formula segítségével a h(φ) függvény ismeretében fel tudjuk írni a keresett Wold felbontást. Valójában, a feladat ennél nehezebb, mert a (3.2) formulában felírt véletlen integrál effektív kiszámolása nehézséget okozhat. Ezzel a kérdéssel néhány fontos speciális esetben részletesebben is fogunk foglalkozni. Ez lesz a 6. fejezet legfontosabb témája.

Végül megjegyzem, hogy egy adott g(φ) spektrál sűrűség függvény esetén meg lehet adni a FELADAT A-t teljesítő függvényosztály pontos leírását. Ezt az eredményt, noha jelen vizsgálatainkban nem lesz rá szükségünk, ismertetni fogom az 5. fejezetben.

4. A vizsgált komplex függvénytani probléma megoldása.

Elsősorban azt a FELADAT A-t teljesítő H(z) = ∑_{k=0}^{∞} d_{k}z_{k} függvényt szeretnénk meg-

találni, amely az origóban maximális abszolút értéket vesz fel, mert ez adja meg a keresett Wold felbontást. Az a tény, hogy a Wold felbontás létezik, implikálja azt is, hogy a FELADAT A-ban megfogalmazott maximum felvétetik. Az origóban maximális abszolút értéket felvevő az adott osztályban levő függvény megtalálásában hasznos lesz számunkra a következő lemma.

4.1. Lemma. Legyen H(z) olyan analitikus függvény az egységkörben, amelyiknek van nullhelye valahol az egységkör belsejében. Ekkor létezik olyan H̄(z) analitikus függvény az egységkörben, amely abszolút értékének a radiális limesze megegyezik a H(z) függvény abszolút értékének a radiális limeszével minden olyan pontban, ahol az utóbbi létezik, és teljesíti a |H̄(0)| > |H(0)| szigorú egyenlőtlenséget. Ha a H(z) függvény Taylor sorának minden együtthatója valós szám, akkor a H̄(z) függvény megválasztható úgy, hogy az szintén teljesítse ezt a tulajdonságot.

Bizonyítás. Ha H(z_{0}) = 0 valamely |z_{0}| < 1 pontban, akkor definiáljuk az A(z) = \frac{z−z_{0}}{1−zz̄_{0}} függvényt. Ez olyan az egységkört önmagába képző racionális törtfüggvény, amelyik az egységkört önmagába viszi, ezért abszolút értéke a körvonal határán 1, a körvonal belsejében pedig szigorúan kisebb, mint 1. Ezért a H̄(z) = \frac{H(z)}{A(z)} olyan analitikus függvény, amely abszolút értékének a radiális limesze megegyezik a H(z) függvény radiális limeszével az egységkör határának minden olyan pontjában, ahol ez a radiális limesz létezik. Mivel |A(0)| < 1, ezért |H̄(0)| > |H(0)|. Az, hogy a H(z) függvény Taylor sorának együtthatói valós számok ekvivalens azzal, hogy \overline{H(z)} = H(z̄). Ebben az esetben a H(z_{0}) = 0 azonosságból következik, hogy H(z̄_{0}) = 0. Ha Im z_{0} ≠ 0, akkor vezessük be az előbb definiált A(z) függvény mellett az Ā(z) = \frac{z−z̄_{0}}{1−zz_{0}} függvényt is, és legyen H̄(z) = \frac{H(z)}{A(z)Ā(z)}, ha H(z) valós együtthatós Taylor sor. Ez a függvény teljesíti a Lemmában előírt feltételeket. A lemmát bebizonyítottuk.

Feltehetjük, hogy az X_{n} = ∑_{k=0}^{∞} c_{k}V_{n−k}, n = …, −1, 0, 1, …, Wold felbontásnak

megfelelő H_{0}(z) = ∑_{k=0}^{∞} c_{k}z^{k} a FELADAT A-ban keresett függvény olyan, hogy c_{0} > 0,

azaz az origóban maximális abszolút értéket felvevő függvény az origóban pozitív értéket

vesz fel. Valóban, ha a X_{n} = ∑_{k=0}^{∞} c_{k}V_{k} Wold felbontásban c_{0} < 0 lenne akkor a Wold

felbontást felírhatjuk X_{n} = ∑_{k=0}^{∞}(−c_{k})(−V_{k}) alakban is −c_{0} > 0 együtthatóval. A c_{0} = 0 eset nem lehetséges, hiszen mint az előző lemmában láttuk a H_{0}(z) függvény sehol sem tűnik el az egységkörben. Továbbá azt is tudjuk a Hardy féle H_{2} osztályok jellemzéséről szóló tétel (ii) pontja alapján, hogy a FELADAT A-ban fel kell tenni, hogy az abban tekintett g(ϑ) spektrál sűrűségnek teljesíti az ∫_{−π}^{π} | log g(ϑ)| dϑ < ∞ relációt. Ellenkező esetben nincsen a FELADAT A-ban előírt tulajdonságokat teljesítő függvény.

Felírom, felhasználva a komplex függvénytan néhány klasszikus eredményét egy olyan H_{0}(z) függvény képletét, amely természetes jelölt arra a függvényre, amely teljesíti a FELADAT A feltételeit, és a FELADAT A feltételeit teljesítő függvények origóban felvett értékeinek a maximuma egyenlő ennek a H_{0}(z) függvénynek az értékével az origóban. Tudjuk az előző lemma alapján, hogy olyan H_{0}(z) függvényt kell megadnunk, amely sehol sem tűnik el az egységkör belsejében. Ilyen függvénynek létezik logaritmusa, ezért lehetséges a keresett H_{0}(z) függvény helyett először annak logaritmusát a log H_{0}(z) függvényt definiálni. Idézzük fel, hogy egy z = Re^{iφ} ≠ 0 komplex számra log z = log R +iφ. A φ szám csak moduló 2π van meghatározva, de egy a komplex egységkörön definiált sehol sem eltünő analitikus f(z) függvény log f(z) logaritmusát definiálhatjuk úgy, a nem egyértelműen meghatározott imaginárius rész alkalmas megadásával, hogy a log f(z) függvény is analitikus legyen. Az analitikus log H_{0}(z) = u(z) + iv(z) függvény u(z) valós része harmonikus függvény. (Egy u(x, y) függvény harmonikus egy G tartományon, ha a tartomány minden (x, y) ∈ G pontjában teljesül a Δu(x, y) = \frac{∂^{2}u(x,y)}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}u(x,y)}{∂y^{2}} = 0 azonosság.)

Az elmondottak alapján olyan H_{0}(z) függvényt keresünk, amelynek log H_{0}(z) = u(z) + iv(z) logaritmusának u(z) = Re log H(z) = log |H(z)| reális része teljesíti a lim_{R→1} u(Re^{iφ}) = \frac{1}{2} log g(φ) feltételt. Ezenkívül az u(z) függvény harmonikus. Olyan

H_{0}(z) függvényt keresünk, amelyre H_{0}(0) valós szám, és H_{0}(0) > 0. Ez azt jelenti, hogy Im log H_{0}(0) = v(0) = 0, ha a log H_{0}(z) logaritmusnak a megfelelő ágát vesszük. Ennek alapján felírunk egy olyan u_{0}(z) harmonikus függvényt az egységkörön, amelynek határértéke a peremen a u(e^{iφ}) = \frac{1}{2} log g(φ) függvény, majd definiáljuk ennek azt az egyértelmű analitikus log H_{0}(z) = u(z)+iv(z) analitikus kiegészítését, amelyre v(0) = 0. Annak érdekében, hogy megadjunk egy ilyen tulajdonságú függvényt, felidézek néhány fontos komplex függvénytani eredményt. Elsősorban a következő tételre lesz szükségünk.

4.2. Tétel. Tétel az egységkör határán előírt értéket felvevő harmonikus függvények előállításáról és azok analitikus kiegészítéséről. Legyen adva egy u_{0}(ϑ), −π ≤ ϑ ≤ π, a [−π, π] intervallumon integrálható függvény. Ekkor a {z: z = Re^{iφ}, 0 ≤ R < 1} egységkörön definiált

\begin{aligned}u(z) = u(Re^{iφ}) & = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} Re (\frac{e^{iϑ} + z}{e^{iϑ} − z} ) u_{0}(ϑ) dϑ \\ & = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} \frac{1 − R^{2}}{1 + R^{2} − 2R cos(ϑ − φ)}u_{0}(ϑ) dϑ \end{aligned}  (4.1)

függvény, amelyet azonosítunk az u(x, y) = u(x + iy) = u(z), ha z = x + iy, függvénnyel harmonikus függvény a komplex egységkörön, és ennek radiális limesze teljesíti a

lim_{R→1} u(Re^{iϑ}) = u_{0}(ϑ) majdnem minden −π ≤ ϑ ≤ π számra  (4.2)

feltételt. Ha u_{0}(ϑ) valós értékű függvény, akkor azt az egyértelműen meghatározott F (z) = u(z) + iv(z) analitikus függvényt, amelynek valós része megegyzik a fenti u(z) függvénnyel, és imaginárius része teljesíti az Im F (0) = v(0) = 0 feltételt az

F (z) = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} \frac{e^{iϑ} + z}{e^{iϑ} − z} u_{0}(ϑ) dϑ  (4.3)

képlet adja meg.

E fejezetben nem tárgyalom a fenti tétel bizonyításának a részleteit, csak felidézem azokat az alapvető eredményeket, amelyeken e tétel bizonyítása alapul. Annak bizonyítása, hogy a (4.1) formulában definiált u(z) függvény harmonikus azon a tényen alapul, hogy a (4.1) formula integráljában szereplő magfüggvény, azaz a P (R, φ) = \frac{1−R^{2}}{1+R^{2}−2R cos(φ)} úgynevezett Poisson féle magfüggvény teljesíti a következő tulajdonságokat.

4.3. Tétel. Tétel a Poisson féle magfüggvény tulajdonságairól. A P (R, φ) = \frac{1−R^{2}}{1+R^{2}−2R cos(φ)}, 0 ≤ R < 1, −π ≤ φ ≤ π, Poisson féle magfüggvény, amely megadható

P (R, φ) = ∑_{n=−∞}^{∞} R^{|n|}e^{inφ} alakban is, teljesíti a következő tulajdonságokat:

(i) A P̄(x, y) = P (R, φ), ahol az R = R(x, y), φ = φ(x, y) számokat az x + iy = Re^{iφ} reláció határozza meg, harmonikus függvény az {(x, y): x^{2} + y^{2} < 1} egységkörön.

ii) P (R, φ) > 0 minden 0 ≤ R < 1, −π ≤ φ ≤ π, argumentumra. (iii) \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} P (R, φ) dφ = 1 minden 0 ≤ R < 1 számra. (iv) lim_{R→1} P (R, φ) = 0, ha φ ≠ 0, és a konvergencia egyenletes a δ ≤ |φ| ≤ π halmazon

minden δ > 0 számra.

(v) \frac{1−R}{1+R} ≤ P (R, φ) ≤ \frac{1+R}{1−R} minden 0 ≤ R < 1 számra.

A fenti eredmény segítségével belátható, hogy a (4.1) formulában definiált u(z) függvény valóban harmonikus. Az a tény, hogy e függvény radiális limesze az u_{0}(ϑ) függvénnyel egyezik meg majdnem minden ϑ számra következik az alábbi az irodalomban Fatou tételnek nevezett fontos eredményből, amelyet szintén bizonyítás nélkül ismertetek.

4.4. Tétel. Fatou tétel. Legyen μ korlátos változású mérték a [−π, π] intervallum Borel mérhető halmazain. Akkor az

u(Re^{iφ}) = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} \frac{1 − R^{2}}{1 + R^{2} − 2R cos(ϑ − φ)}μ( dϑ)  (4.4)

(Poisson) integrál, amely harmonikus függvény az egységkörben, teljesíti a

lim_{R→1} u(Re^{iφ}) = μ′(φ)

relációt a μ′(φ) = lim \frac{μ(I)}{λ(I)} határértékkel, ahol az I intervallumrendszer tetszőleges a φ pontra húzódó intervallumok rendszere, minden olyan φ pontban, amelyikben a fenti μ′(φ) határérték létezik. (A korlátos változású függvények definiciója megtalálható a Kiegészítés b) részében.)

Speciálisan, ha g(ϑ) integrálható függvény a [−π, π) intervallumon, akkor a (4.4) formulát alkalmazva a μ( dϑ) = g(ϑ) dϑ mérték választással azt kapjuk, hogy ebben az esetben lim_{R→1} u(Re^{iφ}) = g(φ) majdnem minden φ argumentumra.

Nem a (4.1) formulával definiált függvény az egyetlen egységkörön harmonikus függvény, amely teljesíti a (4.2) feltételt. Valóban, ha tekintünk tetszőleges az egységkörvonalon definiált korlátos változású szinguláris μ mértéket, akkor nem nehéz belátni a Fatou tétel segítségével, hogy

v(z) = u(z) + \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} \frac{1 − R^{2}}{1 + R^{2} − 2R cos(ϑ − φ)}μ( dϑ)

szintén a (4.2) feltételt teljesítő harmonikus függvény. Célunk annak megmutatása, hogy amennyiben a (4.1) formulában definiált u(z) függvényt tekintjük u_{0}(ϑ) = \frac{1}{2} log g_{0}(ϑ) választással, majd ennek a (4.3) formulában bevezetett analitikus kiegészítését, akkor ez a függvény választható annak a H_{0}(z) függvény log H_{0}(z) logaritmusának, amely teljesíti a FELADAT A feltételeit, sőt az is igaz rá, hogy az origóban felvett értéke egyenlő azon függvények origóban vett értékei abszolút értékének a maximumával, amelyek teljesítik a FELADAT A feltételeit. Ez azt jelenti, hogy a (4.1) formulában definiált függvényhez hozzáadhatnánk még a Poisson magfüggvénynek egy szinguláris mérték szerinti integrálját, és ilyen módon is egy a FELADAT A feltételeit teljesítő függvényt kapnánk, de ezt nem érdemes tenni.

Azt kívánjuk belátni, hogy az ∫_{−π}^{π} | log g(ϑ)| dϑ < ∞ feltétel teljesülése esetén a

H_{0}(z) = exp \{\frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} \frac{e^{iϑ} + z}{e^{iϑ} − z} \frac{1}{2} log g(ϑ) dϑ\}  (4.5)

függvény teljesíti a FELADAT A feltételeit, és ez az optimális megoldás, azaz H_{0}(0) ≥ |H(0)| tetszőleges a FELADAT A feltételeit teljesítő H(z) függvényre.

Először azt kell megmutatni, hogy a (4.5) formulában definiált H_{0}(z) függvény teljesíti a FELADAT A feltételeit. A függvény konstrukciójából világos, hogy H_{0}(z) az egységkörön analitikus függvény, amelyre teljesül a lim_{R→1} |H_{0}(Re^{iϑ})|^{2} = g(ϑ) reláció. E lépésben felhasználjuk azt, hogy alkalmazhatjuk az előírt határfeltételt teljesítő analitikus függvények (4.3) formulában megadott előállítását u_{0}(ϑ) = \frac{1}{2} log g(ϑ) választással, mert feltettük, hogy ∫_{−π}^{π} | log g(ϑ)| dϑ < ∞.

Továbbá, abból hogy g(ϑ) = g(−ϑ) következik, hogy log H_{0}(z̄) = \overline{log H_{0}(z)}, ahonnan H_{0}(z̄) = \overline{H_{0}(z)}, és H_{0}(z) Taylor sorának együtthatói valós számok. Be kell még látnunk azt, hogy a (4.5) formulában definiált H_{0}(z) függvény eleme a H_{2} Hardy osztálynak. Ennek az állításnak a helyességét mondja ki az alábbi Lemma.

4.5. Lemma. Legyen g(ϑ) olyan függvény a [−π, π] intervallumon, amely majdnem mindenütt nagyobb, mint nulla, ∫_{−π}^{π} g(ϑ) dϑ < ∞, és ∫_{−π}^{π} | log g(ϑ)| dϑ < ∞. Ekkor a (4.5) képletben definiált H_{0}(z) függvény teljesíti az

∫_{−π}^{π} |H_{0}(Re^{iφ})|^{2} dφ = ∫_{−π}^{π} exp \{\frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} \frac{1 − R^{2}}{1 + R^{2} − 2R cos(φ − ϑ)} log g(ϑ) dϑ\} dφ
≤ ∫_{−π}^{π} g(ϑ) dϑ  (4.6)

egyenlőtlenséget minden 0 < R < 1 számra. Ezért H_{0}(z) ∈ H_{2}.

Bizonyítás. Lássuk először be a (4.6) formulában szereplő azonosságot.

A (4.5) formula alapján

|H_{0}(z)|^{2} = exp \{\frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} Re (\frac{e^{iϑ} + z}{e^{iϑ} − z} ) log g(ϑ) dϑ\} .

Másrészt, ha z = Re^{iφ}, akkor

Re (\frac{e^{iϑ} + z}{e^{iϑ} − z} ) = \frac{Re [(e^{iϑ} + Re^{iφ})(e^{−iϑ} − Re^{−iφ})]}{1 + R^{2} − 2R cos(φ − ϑ)} = \frac{1 − R^{2}}{1 + R^{2} − 2R cos(φ − ϑ)}.

Ezt az azonosságot beírva a |H_{0}(z)|^{2} = |H_{0}(Re^{iφ})|^{2} mennyiséget kifejező formulába, majd integrálva a φ változó szerint megkapjuk a kívánt azonosságot.

Annak érdekében, hogy a (4.6) formulában szereplő egyenlőtlenséget is belássuk definiáljuk először rögzített −π ≤ φ ≤ π és 0 < R < 1 számokra a μ( dϑ) = μ_{φ,R}( dϑ) = \frac{1}{2π} \frac{1−R^{2}}{1+R^{2}−2R cos(φ−ϑ)} dϑ mértéket a [−π, π] intervallumon. A Poisson féle magfüggvény tulajdonságairól szóló tétel (iii) pontja szerint μ valószínűségi mérték. Ezért alkalmazva az exp{∫ f(ϑ) dμ(ϑ)} ≤ ∫ exp{f(ϑ)} dμ(ϑ), ha μ valószínűségi mérték, Jensen egyenlőtlenséget a (konvex) exponenciális és az f(ϑ) = log g(ϑ) függvényre kapjuk, hogy

exp \{\frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} \frac{1 − R^{2}}{1 + R^{2} − 2R cos(φ − ϑ)} log g(ϑ) dϑ\}
≤ \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} \frac{1 − R^{2}}{1 + R^{2} − 2R cos(φ − ϑ)}g(ϑ) dϑ, −π ≤ φ ≤ π.  (+)

Integrálva ezt az egyenlőtlenséget φ szerint kapjuk, hogy

∫_{−π}^{π} |H_{0}(Re^{iφ})|^{2} dφ ≤ ∫_{−π}^{π} \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} \frac{1 − R^{2}}{1 + R^{2} − 2R cos(φ − ϑ)}g(ϑ) dϑ dφ.

Felcserélve az integrálás sorrendjét az utolsó egyenlőtlenség jobboldalán, és felhasználva, hogy \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} \frac{1−R^{2}}{1+R^{2}−2R cos(φ−ϑ)} dφ = 1 minden −π ≤ ϑ ≤ π számra, kapjuk, hogy

∫_{−π}^{π} |H_{0}(Re^{iφ})|^{2} dφ ≤ ∫_{−π}^{π} g(ϑ) dϑ minden 0 < R < 1 számra,

és ezt kellett bizonyítani.

Láttuk, hogy a (4.5) formulában definiált H_{0}(z) függvény teljesíti a FELADAT A feltételeit. Ezenkívül ebből a formulából következik az is, hogy

log |H_{0}(0)| = log H_{0}(0) = \frac{1}{4π} ∫_{−π}^{π} log |g(ϑ)| dϑ.  (4.7)

Felhasználjuk ezenkívül a következő fontos komplex függvénytani eredményt, a Szegő tételt, amelynek hátterét a kiegészítésben ismertetem.

4.6. Tétel. Szegő tétel. Legyen f(z), |z| < 1, egy a H_{2} (vagy általánosabban egy H_{p}, 0 < p ≤ ∞,) Hardy osztályban szereplő analitikus függvény, és legyen f̃(ϑ) = lim_{R→1} f(Re^{iϑ}) e függvény radiális limesze. Ekkor teljesül a

log |f(0)| ≤ \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} log |f̃(ϑ)| dϑ,  (4.8)

illetve általánosabban a

log |f(Re^{iφ})| ≤ \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} \frac{1 − R^{2}}{1 + R^{2} − 2R cos(ϑ − φ)} log |f̃(ϑ)| dϑ  (4.9)

egyenlőtlenség.

Mivel a FELADAT A-ban olyan H_{2} osztálybeli függvényeket kerestünk, amelyek radiális limeszeinek abszolút értéke |g(ϑ)|^{1/2}, ezért összehasonlítva a (4.7) és (4.8) formulákat, kapjuk, hogy |f(0)| ≤ H_{0}(0) minden a FELADAT A feltételeit teljesítő f(z) függvényre. Ez azt jelenti, hogy a (4.5) formulában definiált H_{0}(z) függvény Tay-

lor sorának együtthatói adják meg az X_{n} = ∑_{k=0}^{∞} c_{k}V_{n−k}, n = …, −1, 0, 1, …, Wold

felbontásban szereplő c_{k} együtthatókat. Ezután a 3.2. lemma felhasználásával meg lehet adni magát a Wold felbontást is egy véletlen spektrál mérték szerinti integrál segítségével, bár felmerül a kérdés, hogy nincsen-e egyszerűbb, jobban használható eljárás a Wold felbontás kiszámítására.

Megkaptuk annak szükséges és elégséges feltételét is, hogy mikor oldható meg a FELADAT A. Ez egyben megadja annak szükséges és elégséges feltételét is, hogy egy stacionárius sorozat reguláris legyen. Így megkaptuk a következő eredményt is.

4.7. Tétel. Tétel reguláris stacionárius sorozatok jellemzéséről. Egy X_{n}, n = 0, ±1, ±2, …, stacionárius (Gauss) sorozat akkor és csak akkor reguláris, ha létezik g(ϑ) spektrál sűrűség függvénye, és az teljesíti az

∫_{−π}^{π} | log g(ϑ) | dϑ < ∞

egyenlőtlenséget.

Az, hogy a fenti tételben megfogalmazott feltétel szükséges ahhoz, hogy az X_{n} sorozat reguláris legyen következik a 3.1. Lemmából, amely szerint egy reguláris stacionárius sorozatnak létezik g(φ) spektrál sűrűség függvénye, és az teljesíti a 3.1. Lemmában megfogalmazott (a1), (a2) és (a3) tulajdonságokat, valamint a Hardy féle H_{2} függvényosztályokat jellemző tétel (ii) pontjából. (Vegyük észre, hogy egy az (a3) tulajdonságot teljesítő h(φ) függvényre log |h(φ)| = \frac{1}{2} log g(φ).) Az, hogy a tételben szereplő integrál végessége egyben elégséges feltétele is annak, hogy a tekintett stacionárius Gauss folyamat reguláris legyen következik abból, hogy ezen feltétel teljesülése esetén elő tudtuk állítani a keresett Wold felbontást.

Megjegyzem, hogy általában a fenti tétel feltételében szereplő integrál végességét a vele ekvivalens ∫_{−π}^{π} log g(ϑ) dϑ > −∞ alakban szokták kimondani. Az ∫ g(ϑ) dϑ = EX_{1}^{2} < ∞, g(ϑ) ≥ 0 relációk alapján könnyen látható, hogy a két feltétel ekvivalens.

Érvényes a fenti tétel következő élesítése is, amely megadja egy adott spektrál mértékkel rendelkező stacionárius Gauss folyamat felbontását a sorozatnak alárendelt ortogonális reguláris és szinguláris stacionárius sorozatok összegére.

4.8. Tétel. Tétel stacionárius sorozatok felbontására reguláris és szinguláris komponensekre. Tekintsük egy X_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, stacionárius sorozat G spektrál mértékének G = G_{1} + G_{2}, felbontását abszolút folytonos és szinguláris komponensek összegére, ahol G_{1} a G mérték abszolút folytonos komponense g(ϑ) = \frac{dG_{1}(ϑ)}{dϑ} sűrűség függvénnyel, és G_{2} a G mérték szinguláris komponense, azaz olyan (véges) mérték, amely egy null Lebesgue mértékű halmazba van koncentrálva. Jelölje A = D(G_{2}) ⊂ [−π, π] a G_{2} szinguláris mérték tartóját, azaz azt a legszűkebb (nulla Lebesgue mértékű) zárt halmazt, amelyre G_{2}(D) = G_{2}([−π, π]).

Az X_{n} stacionárius sorozat szinguláris, ha ∫_{−π}^{π} log g(ϑ) dϑ = −∞. A másik esetben, ha ∫_{−π}^{π} log g(ϑ) dϑ > −∞, akkor az X_{n} sorozatot előállító Z_{G} véletlen spektrál mérték szerinti integrál segítségével az X_{n} sorozat felírható X_{n} = U_{n} + V_{n}, n = 0, ±1, …, alakban, ahol U_{n}, n = 0, ±1, …, reguláris és V_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, szinguláris, az X_{n} sorozatnak alárendelt stacionárius sorozat, és az U_{n} és V_{n} sorozatok ortogonálisak, azaz EU_{m}V_{n} = 0, n, m = 0, ±1, . . .. Ez a felírás a következő: Ha X_{n} = ∫ e^{inϑ}Z_{G}( dϑ), n = 0, ±1, …, akkor U_{n} = ∫ e^{inϑ}I_{[−π,π]\D}(t)Z_{G}( dϑ), V_{n} = ∫ e^{inϑ}I_{D}(t)Z_{G}( dϑ), n = 0, ±1, …, ahol I_{A}(t) egy A halmaz indikátor függvényét jelöli.

E fenti tétel bizonyításának nem dolgozom ki minden részletét. Az a reguláris stacionárius sorozatok jellemzéséről valamint a stacionárius sorozatok a sorozatnak alárendelt reguláris és szinguláris sorozatok összegére való felbontásáról szóló tételek, illetve ez utóbbi tételben szereplő felbontás (csak a kiegészítésben ismertetett, egyszerű, de nem konstruktív) előállításán alapul.

Ha egy X_{n} stacionárius sorozat G spektrál mértéke olyan, hogy az abszolút folytonos komponens g(ϑ) spektrál sűrűségére az ∫_{−π}^{π} log g(ϑ) dϑ = −∞ reláció érvényes, akkor tekintve e sorozat tetszőleges X_{n} = U_{n} + V_{n}, n = 0, ±1, …, felbontását két független (Gauss) stacionárius sorozat összegére valamely G^{(1)} és G^{(2)} (nem zéró) spektrál mértékkel azt kapjuk, hogy ezen spektrál mértékeknek létezik g^{(1)}(ϑ) és g^{(2)}(ϑ) sűrűség függvénye, és azok teljesítik a g(ϑ) = g^{(1)}(ϑ) + g^{(2)}(ϑ) azonosságot. Innen következik, hogy mind g^{(1)}(ϑ) mind g^{(2)}(ϑ) kisebb, mint g(ϑ), ezért sem U_{n} sem V_{n} sem lehet reguláris stacionárius sorozat. Így a stacionárius sorozatok a sorozatnak alárendelt reguláris és szinguláris sorozatok összegére való felbontásáról szóló tétel alapján az X_{n} stacionárius sorozat ebben az esetben szinguláris, mivel nincs reguláris komponense.

Az előbb felírt azonosság azért igaz, mert ha U_{n} és V_{n} két egymástól független stacionárius sorozat G^{(1)} és G^{(2)} spektrál mértékkel, akkor mint némi számolás segítségével megmutatható, az U_{n} + V_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, sorozat stacionárius G = G^{(1)} + G^{(2)} spektrál mértékkel. Ezért, ha a G spektrál mértéknek van g(ϑ) spektrál sűrűség függvénye, akkor a G^{(1)} és G^{(2)} spektrál mértékeknak is van g^{(1)}(ϑ) és g^{(2)}(ϑ) spektrál sűrűség függvénye, és teljesül a g(ϑ) = g^{(1)}(ϑ) + g^{(2)}(ϑ) azonosság.

Ha az X_{n} sorozat G spektrál mértéke olyan, hogy ∫_{−π}^{π} log g(ϑ) dϑ > −∞, akkor nem nehéz belátni, hogy a tételben megadott X_{n} = U_{n} + V_{n}, n = 0, ±1, … azonosság az X_{n} sorozat felbontását adja két korrelálatlan stacionárius sorozat összegére, amelyek közül az U_{n} sorozat reguláris, a V_{n} sorozat szinguláris. A V_{n} sorozat szinguláris, mert mint az előző érvelés némi módosítása mutatja a V_{n} sorozatnak nincsen reguláris komponense. Viszont meg kell mutatni azt is, hogy az U_{n} és V_{n} sorozatok alá vannak rendelve az X_{n}, n = 0, ±1, …, sorozatnak. Ennek indoklásában alkalmazzuk azt a (csak a kiegészítésben ismertetett) konstrukciót, amely lehetővé teszi egy stacionárius sorozatnak a felbontását az e sorozatnak alárendelt reguláris és szinguláris sorozatok összegére.

Tekintsük az X_{n}, n = 0, ±1, …, valószínűségi változók lineáris kombinációi által kifeszített az (1.1) formulában definiált H Hilbert teret, illetve ennek ugyanebben a formulában definiált S alterét. Vegyük mindegyik X_{n} valószínűségi változó S altérre vett vetületének Ũ_{n} ortogonális kiegészítőjét. Ekkor be lehet látni, (ez az említett tétel bizonyításának a kulcslépése), hogy az Ũ_{n}, n = 0, ±1, …, sorozat az X_{n} sorozatnak alárendelt reguláris stacionárius sorozat. Ezenkívül a H Hilbert térnek az Ũ_{n}, n = 0, ±1, …, sorozat elemei által generált altere megegyezik az S altér H Hilbert tér-beli ortogonális kiegészítésével. Be lehet látni, felhasználva azt, hogy mivel Ũ_{n} az X_{n} sorozatnak alá van rendelve, és ‘ugyanaz a shift operátor hat rá’, ezért felírható Ũ_{n} = ∫ e^{inϑ}h(ϑ)Z_{G}( dϑ), n = 0, ±1, …, alakban alkalmas h(ϑ) magfüggvénnyel. (Ezen állítás indoklásában felhasználhatjuk a Bochner tétel jegyzetben a véletlen spektrál mérték tulajdonságairól bizonyított eredményeket, nevezetesen azt, hogy a H Hilbert tér minden elemét elő tudjuk állítani alkalmas magfüggvénynek a véletlen spektrál mérték szerinti integráljaként. Ezenkívül tudjuk, hogy hogyan számolható ki a shift operátor hatása véletlen integrálokkal kifejezett mennyiségekre.) Mivel a (reguláris) Ũ_{n} sorozatnak van spektrál sűrűség függvénye, ezért a h(ϑ) magfüggvény a [−π, π] \ D halmazba van koncentrálva, így az Ũ_{n} és V_{n}, n = 0, 1, …, stacionárius sorozatok ortogonálisak. Innen következik, hogy a V_{n}, n = 0, ±1, ±2, …, sorozat elemei az S altérben vannak. Innen, illetve az S altér definiciójából következik, hogy az V_{n}, n − 0, ±1, …, sorozat alá van rendelve az X_{n}, n = 0, ±1, …, sorozatnak. Akkor viszont ugyanez igaz a U_{n} = X_{n} − V_{n}, n = 0, ±1, …, sorozatra is. A tétel bizonyítását befejeztük.

5. A vizsgált komplex függvénytani feladat általános megoldása.

Röviden beszélek a FELADAT A általános megoldásáról. Ha összehasonlítjuk a (4.5) formulát a Szegő tételben szereplő (4.9) képlettel, azt kapjuk, hogy a FELADAT A tetszőleges f(z) megoldása teljesíti az |f(Re^{iϑ})| ≤ |H_{0}(Re^{iϑ})| egyenletet minden 0 ≤ R < 1, −π ≤ ϑ ≤ π, paraméterre. Ebből, illetve abból a tényből, hogy a H_{0}(z) függvény sehol sem tűnik el az egységkör belsejében következik, hogy a FELADAT A minden megoldása felírható f(z) = H_{0}(z)g(z) alakban, ahol H_{0}(z), amelyet a (feladat feltételeit teljesítő) külső függvénynek neveznek a (4.5) képletben van megadva, míg a g(z) függvény, amelyet belső függvénynek neveznek, olyan függvény, amelynek abszolút értéke az egységkör belsejében kisebb, mint 1, az egységkörvonalon vett határértéke pedig 1. A maximum elv segítségével be lehet látni, hogy ha g(z) nem egyenlő egy 1 abszolút értékű konstanssal minden z számra, akkor g(z) abszolút értéke szigorúan kisebb, mint 1 az egységkör minden belső pontjában. Innen az is következik, hogy az origóban maximális abszolút értéket felvevő a FELADAT A feltételeit teljesítő függvény egy esetleges (−1) számmal való szorzást nem tekintve egyértelműen meg van határozva. Ezért H_{0}(z) valóban a stacionárius sorozat Wold felbontásának felel meg.

A belső függvényeket és ezáltal a FELADAT A teljes megoldásrendszerét pontosan le lehet írni. E fejezetben csak heurisztikusan magyarázom el, hogy milyen alakú lehet egy belső függvény. A kiegészítésben részletesebben tárgyalom ezt a kérdést.

Egy tipikus belső függvény olyan g(z) = \frac{z−z_{0}}{1−zz̄_{0}} , |z_{0}| < 1, racionális törtfüggvény, amely az egységkört önmagába képezi. Tekinthetjük ilyen függvények szorzatát is. Tudjuk, hogy egy nem azonosan nulla analitikus függvény null-helyeinek nem lehet torlódási pontja az értelmezési tartomány belsejében. Viszont a null-helyek torlódhatnak az értelmezési tartomány (jelen esetben az egységkör) valamely határpontjához. Ezt a lehetőséget kihasználva lehet végtelen, úgynevezett Blaschke szorzatok segítségével definiálni belső függvényeket.

Más tipusú belső függvényt kaphatunk úgy, hogy egy R(z) = c\frac{z+e^{iϑ}}{z−e^{iϑ}}, c > 0, alakú függvényt veszünk, azaz az egységkör egy racionális törtfüggvény leképezését tekintjük a {z: Re z < 0} félsíkra, majd definiáljuk a h(z) = e^{R(z)} függvényt. A h(z) függvény az egységkör olyan leképezése önmagába, amelynek egyetlen pontban nincsen radiális limesze, az R(z) racionális törtfüggvénynek az egységkörvonal határán levő z = e^{iϑ} szinguláris pontjában. A h(z) függvény az egységkör olyan leképezése önmagára, amely az egységkör belsejében sehol sem tűnik el. Ilyen függvények szorzataként, illetve a szorzatok limeszét véve további belső függvényeket tudunk definiálni. Ilyen módon

g(z) = exp \{\frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} \frac{z + e^{iϑ}}{z − e^{iϑ}} dμ(ϑ)\}  (5.1)

alakú belső függvényeket kapunk, ahol μ szinguláris mérték. Az, hogy az ilyen függvények abszolút értékének a radiális limesze majdnem minden pontban 1 megmutatható a Fatou tétel segítségével. Az ilyen alakú belső függvényeket szinguláris belső függvénynek nevezik. Be lehet látni, hogy tetszőleges belső függvény előállítható egy Blaschke szorzat és egy szinguláris belső függvény szorzataként, és ez az előállítás egy 1 abszolút értékű tényező erejéig egyértelmű.

A Wold felbontást felírhatjuk X_{n} = ∑_{k=0}^{∞} c_{k}W_{n−k}, n = …, −1, 0, 1, …, alakban,

ahol a c_{k} együtthatók az előbb tárgyalt H_{0}(z) = ∑_{k=0}^{∞} c_{k}z^{k} függvény Taylor együtthatói, a

W_{k} valószínűségi változókat pedig a (3.2) képlet definiálja, azzal a kiegészítéssel, hogy a képletben szereplő h(t) függvény a H_{0}(z) függvény H_{0}(e^{it}), −π ≤ t ≤ π, radiális limesze. Felmerülhet az igény, hogy a (3.2) képletben definiált véletlen integrál kiszámítására találjunk egyszerűbb, jobban számolható módszert. Érdemes észrevenni, hogy mivel a H_{0}(z) függvény nem tűnik el az egységkör belsejében, ennek reciproka szintén analiti-

kus függvény az egységkörben, amely felírható \frac{1}{H_{0}(z)} = ∑_{k=0}^{∞} D_{k}z^{k} alakban, és az \frac{1}{h(t)}

ennek a függvénynek a radiális limesze. Ez azt sugallja, hogy \frac{1}{h(t)} függvény felírható

\frac{1}{h(t)} = ∑_{k=0}^{∞} D_{k}e^{ikt} alakban, ezért a (3.2) formula alapján

W_{n} = ∫_{−π}^{π} \frac{1}{\overline{h(t)}}e^{int}Z_{G}(dt) = ∫_{−π}^{π} ∑_{k=0}^{∞} D_{k}e^{i(n−k)t}Z_{G}(dt) = ∑_{k=0}^{∞} D_{k}X_{n−k}.

Az előbbi számolás megadja, legalábbis formális szinten azt, hogy hogyan lehet kiszámolni a Wold felbontásban szereplő W_{n} valószínűségi változókat az ismert X_{j}, j ≤ n, valószínűségi változók segítségével. Vegyük észre, hogy ebben a számolásban is kihasználtuk, hogy a H_{0}(z) függvény nem tűnik el az egységkör belsejében. Ez biztosítja azt, hogy az \frac{1}{H_{0}(z)} függvény analitikus az egységkör belsejében, és a radiális limesze az egységkör határán megegyezik az \frac{1}{h(t)} függvénnyel.

Valójában a probléma nehezebb, és a fenti gondolatmenet csak heurisztikus érvelésnek tekinthető. A probléma az, hogy az lim_{R→1} \frac{1}{H_{0}(Re^{iϑ})} = \frac{1}{h_{0}(e^{iϑ})} relációt csak a majdnem minden konvergencia értelemben tudjuk, míg az előbbi közelítés Wold felbontásban szereplő valószínűségi változóhoz való konvergenciának igazolásához a

lim_{R→1} ∫_{−π}^{π} |\frac{1}{H_{0}(Re^{iϑ})} − \frac{1}{h_{0}(e^{iϑ})}|^{2} g(ϑ) dϑ = 0

reláció igazolására lenne szükségünk. (Ekkor a sztochasztikus integrálok L_{2} izomorfiájából következik az állítás.) A következő fejezetben egy speciális modellt, az úgynevezett moving average és ARMA folyamatokat fogjuk vizsgálni. Megmutatjuk, hogy ebben a speciális esetben a fenti azonosság érvényes, ezért az általa sugallt közelítés segítségével megkaphatjuk a példában szereplő stacionárius folyamat Wold felbontását. Ezzel a módszerrel elő lehet állítani reguláris stacionárius sorozat Wold felbontását más esetekben is, de meg lehet mutatni, hogy van olyan reguláris stacionárius sorozat, amelynek a Wold felbontását nem lehet ilyen módon megkapni. Ilyen esetekben a Wold felbontást csak egy bonyolultabb eljárás segítségével kaphatjuk meg.

6. Moving average és ARMA folyamatok vizsgálata.

Külön foglalkozom két különböző gyakorlati alkalmazásokban fontos speciális stacionárius folyamattal, a ‘Moving Average’ (mozgó átlag) és ‘ARMA’ (autoregressive moving average) folyamattal. Ezen folyamatok spektrál sűrűsége speciális alakban írható fel. A g(t) spektrál sűrűség ezekben a modellekben az e^{it} függvény speciális alakú függvénye. Ez a speciális alakú függvény egy polinom, illetve egy racionális törtfüggvény abszolút értékének a négyzetével egyenlő. Ez a polinom, illetve racionális törtfüggvény nincs egyértelműen meghatározva, és érdemes megkeresni annak legjobban használható alakját. A ‘Moving Average’ és ‘ARMA’ folyamat spektrál sűrűségének speciális alakja miatt e modellekben viszonylag egyszerűen megoldható a FELADAT A-ban megfogalmazott probléma, ezért ebben az esetben a predikciós probléma vizsgálata kevésbé nehéz.

Megadom a Moving Average és ARMA folyamatok definicióját, és kiszámolom ezek spektrál sűrűségfüggvényét.

Moving average folyamatok definiciója. Legyen …, ε_{−1}, ε_{0}, ε_{1}, … független standard normális eloszlású valószínűségi változók sorozata, és rögzítsük a_{0}, a_{1}, …, a_{k} valós számok egy sorozatát. Az

X_{n} = ∑_{p=0}^{k} a_{p}ε_{n−p}, n = …, −1, 0, 1, …  (6.1)

sorozatot k-ad rendű mozgó átlagnak nevezzük.

(Ebben a definicióban a korábban bevezetett mozgó átlag fogalom speciális esetét tekintettük, mert a (6.1) formulában csak véges összegeket vettünk.) Az X_{n}, n = 0, ±1, ±2, …, sorozat g(t) spektrál sűrűség függvényét megadhatjuk g(t) = \frac{1}{2π} |P (e^{it})|^{2},

−π ≤ t ≤ π, alakban, ahol P (z) = ∑_{p=0}^{k} a_{p}z^{p}. E képlet bizonyítását az alábbi (tulaj-

donképp már általánosabb esetben elvégzett) számolás adja.

EX_{l}X_{l+n} = ∑_{p=0}^{k} ∑_{p′=0}^{k} a_{p}a_{p′}Eε_{l−p}ε_{n+l−p′} = E (∑_{p=0}^{k} a_{p}ε_{l−p}) ( ∑_{p′−0}^{k} a_{p′}ε_{n+l−p′} )

= \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} (∑_{p=0}^{k} a_{p}e^{−i(l−p)t}) (∑_{p′=0}^{k} a_{p′}e^{i(n+l−p′)t}) dt

= \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} e^{int} |∑_{p=0}^{k} a_{p}e^{i(l−p)t}|^{2} dt = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} e^{int} |∑_{p=0}^{k} a_{p}e^{ipt}|^{2} dt

= \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} e^{int}|P (e^{it})|^{2} dt,

és g(t) = g(−t) a g(t) = \frac{1}{2π} |P (e^{it})|^{2} függvényre.

Bevezetem az ARMA folyamatok definicióját is.

ARMA folyamatok definiciója. Legyen megadva a Moving Average folyamatok definiciójában szereplő …, ε_{−1}, ε_{0}, ε_{1}, … független standard normális eloszlású valószínűségi változók és az a_{0}, a_{1}, …, a_{k} valós számok sorozatán kívül valós számok egy másik b_{1}, …, b_{l} sorozata is. Azt mondjuk, hogy az (együttesen) normális eloszlású Y_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, valószínűségi változók stacionárius sorozata (k, l) rendű ARMA folyamat, ha teljesíti a

∑_{q=0}^{l} b_{q}Y_{n−q} = ∑_{p=0}^{k} a_{p}ε_{n−p}, , n = …, −1, 0, 1, …  (6.2)

azonosságot.

Próbáljuk meg kiszámolni az Y_{n} stacionárius sorozat g(λ) spektrál sűrűség függvényét (feltéve, hogy létezik az adott tulajdonságú stacionárius sorozat, és annak van

spektrál sűrűség függvénye). Vezessük be a Z_{n} = ∑_{q=0}^{l} b_{q}Y_{n−q}, n = …, −1, 0, 1 …,

stacionárius sorozatot. Az előző számoláshoz hasonlóan felírhatjuk, hogy

EZ_{s}Z_{s+n} = EZ_{0}Z_{n} = ∑_{q=0}^{l} ∑_{q′=0}^{l} b_{q}b_{q′}EY_{−q}Y_{n−q′}

= ∫_{−π}^{π} (∑_{q=0}^{l} b_{q}e^{iqt}) (∑_{q′=0}^{k} b_{q′}e^{i(n−q′)t}) g(t) dt

= ∫_{−π}^{π} e^{int} |∑_{q=0}^{l} b_{q}e^{iqt}|^{2} g(t) dt = ∫_{−π}^{π} e^{int}|R(e^{it})|^{2}g(t) dt,

ahol R(z) = ∑_{q=0}^{l} b_{q}z^{q}.

Összehasonlítva a (6.2) formula bal és jobb oldalán szereplő kifejezések kovariancia függvényére kapott kifejezéseket azt kapjuk, hogy

∫_{−π}^{π} e^{int}|R(e^{it})|^{2}g(t) dt = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} e^{int}|P (e^{it})|^{2} dt.

Mivel ennek az azonosságnak minden n = 0, ±1, … számra teljesülnie kell, innen

következik, hogy g(t) = \frac{1}{2π} |\frac{P (e^{it})}{R(e^{it})} |^{2}, −π ≤ t ≤ π.

Felírtuk a moving average és ARMA folyamat spektrál sűrűségét g(λ) = |P (e^{iλ})|^{2},

illetve g(λ) = |\frac{P (e^{iλ})}{R(e^{iλ})} |^{2}, −π ≤ λ ≤ π, alakban. Az ezekben a kifejezésekben szereplő polinomoknak lehet gyökük az egységkör belsejében is. A következő lemmában megadjuk egy ilyen alakú spektrál sűrűség függvény egy esetleg különböző előállítását, amelyben olyan polinomok szerepelnek, amelyeknek nincs gyökük az egységkör belsejében. Ez lehetővé teszi, hogy egyszerű módon előállítsuk azt a (4.5) formulában definiált, a g(λ) spektrál sűrűség függvénytől függő H_{0}(z) függvényt, amely megadja egy g(λ) spektrál sűrűséggel rendelkező stacionárius sorozat Wold felbontásában szereplő együtthatókat.

6.1. Lemma. Lemma Moving Average és ARMA folyamatok spektrál sűrűség függvényének reprezentációjáról. Vegyünk egy olyan stacionárius sorozatot, amely-

nek g(λ) spektrál sűrűség függvénye felírható g(λ) = |\frac{P (e^{iλ})}{R(e^{iλ})} |^{2} alakban alkalmas P (z) és

R(z) polinomokkal. Ekkor léteznek olyan P̃(z) és R̃(z) polinomok, amelyeknek nincs

gyökük a \{z: |z| < 1\} komplex egységkörben, és g(λ) = |\frac{P̃(e^{iλ})}{R̃(e^{iλ})} |^{2}. A P̃(z) és R̃(z)

polinomok együtthatói valós számok, és feltehető, hogy 0 < \frac{P̃(0)}{R̃(0)} < ∞. A g(λ) spektrál sűrűség függvényhez tartozó FELADAT A-nak a (4.5) formulában megadott extremális megoldása a H_{0}(z) = \frac{P̃(z)}{R̃(z)} függvény.

Megjegyzés. Egy feladatban megmutatjuk azt, hogy ha egy spektrál sűrűség függvény

felírható a 6.1. lemmában megadott g(λ) = |\frac{P (e^{iλ})}{R(e^{iλ})} |^{2} alakban, akkor létezik olyan ARMA folyamat is, amelynek ez a spektrál sűrűség függvénye.

Bizonyítás. Legyenek a g(λ) spektrál sűrűség függvényének előállításaban szereplő P (z) és R(z) polinomok nem zéró gyökei v_{1}, …, v_{m} és w_{1}, …, w_{n}. Ekkor

g(λ) = |\frac{P (e^{iλ})}{R(e^{iλ})}|^{2} = \frac{P (e^{iλ})\overline{P (e^{iλ})}}{R(e^{iλ})\overline{R(e^{iλ})}} = C^{2} \frac{∏_{k=1}^{m}(e^{iλ} − v_{k})(e^{−iλ} − v̄_{k})}{∏_{k=1}^{n}(e^{iλ} − w_{k})(e^{−iλ} − w̄_{k})}  (6.3)

valamely alkalmas C > 0 számmal. A (6.3) formulában levő C > 0 számot úgy kapjuk meg, hogy tekintjük a P (z) és R(z) polinomok fő együtthatóinak a hányadosát, és vesszük annak abszolút értékét, azaz C = |\frac{a_{k}}{b_{l}} |. (A P (z) és R(z) polinomok zéró gyökeit figyelmen kívül hagyhattuk a (6.3) formulában, mert ezek az e^{iλ} ·e^{−iλ} ≡ 1 faktort adnák ebben a kifejezésben.)

Defináljuk a ṽ_{k} = v_{k}, ha |v_{k}| ≥ 1, ṽ_{k} = \frac{1}{v̄_{k}}, ha |v_{k}| < 1, 1 ≤ k ≤ m, számokat

és a P̃(z) = \frac{1}{A} ∏_{k=1}^{m}(z − ṽ_{k}) polinomot, ahol A = ∏_{k:|v_{k}|<1} |v_{k}|. Definiáljuk hasonló

módon a w̃_{k} = w_{k}, ha |w_{k}| ≥ 1, w̃_{k} = \frac{1}{w̄_{k}}, ha |w_{k}| < 1, 1 ≤ k ≤ n, számokat és a

R̃(z) = \frac{1}{B} ∏_{k=1}^{m}(z − w̃_{k}) polinomot, ahol B = ∏_{k:|w_{k}|<1} |w_{k}|. Pontosabban a P̃(z) és R̃(z)

polinomokat úgy definiáljuk, hogy az előbb bevezetett P̃(z) illetve R̃(z) polinomokból elhagyjuk azokat a (z − ṽ_{k}) és (z − w̃_{k}) tényezőket, amelyekre ṽ_{k} = w̃_{k}. Ilyen módon a \frac{P̃(z)}{R̃(z)} racionális törtfüggvény értékét nem változtattuk meg. (Ebben a definicióban

olyan (v_{k}, w_{k}) gyökpárokra is egyszerűsítettük a \frac{P̃(z)}{R̃(z)} racionális törtfüggvényt, ame-

lyekre v_{k} = \frac{1}{w̄_{k}}.)

A P̃(z) és R̃(z) polinomoknak nincs gyökük a komplex egységkör belsejében. Azt

állítom, hogy a |\frac{P̃(e^{iλ})}{R̃(e^{iλ})} |^{2} = |\frac{P (e^{iλ})}{R(e^{iλ})} |^{2} = g(λ), −π ≤ λ ≤ π, azonosság is teljesül. Valóban,

|\frac{P̃(e^{iλ})}{R̃(e^{iλ})}|^{2} = \frac{P̃(e^{iλ})\overline{P̃(e^{iλ})}}{R̃(e^{iλ})\overline{R̃(e^{iλ})}} = \frac{B^{2}C^{2}}{A^{2}} \frac{∏_{k=1}^{m}(e^{iλ} − ṽ_{k})(e^{−iλ} − ¯ ṽ_{k})}{∏_{k=1}^{n}(e^{iλ} − w̃_{k})(e^{−iλ} − ¯ w̃_{k})},  (6.4)

ezért a kívánt összefüggést megkapjuk összehasonlítva a (6.3) és 6.4 formulákat és bebizonyítva az (e^{iλ} − ṽ_{k})(e^{−iλ} − ¯ ṽ_{k}) = \frac{1}{|v_{k}|^{2}} (e^{iλ} − v_{k})(e^{−iλ} − v̄_{k}), ha |v_{k}| < 1, illetve (e^{iλ} − w̃_{k})(e^{−iλ} − ¯ w̃_{k}) = \frac{1}{|w_{k}|^{2}} (e^{iλ} − w_{k})(e^{−iλ} − w̄_{k}), ha |w_{k}| < 1 azonosságokat.

Viszont

(e^{iλ} − ṽ_{k})(e^{−iλ} − ¯ ṽ_{k}) = (e^{iλ} − \frac{1}{v̄_{k}} ) (e^{−iλ} − \frac{1}{v_{k}} ) = \frac{1}{|v_{k}|^{2}} (v̄_{k}e^{iλ} − 1)(v_{k}e^{−iλ} − 1)

= \frac{1}{|v_{k}|^{2}} |v̄_{k}e^{iλ} − 1|^{2} = \frac{1}{|v_{k}|^{2}} |v̄_{k} − e^{−iλ}|^{2}

= \frac{1}{|v_{k}|^{2}} |e^{iλ} − v_{k}|^{2} = \frac{1}{|v_{k}|^{2}} (e^{iλ} − v_{k})(e^{−iλ} − v̄_{k}),

ha |v_{k}| ≤ 1. A másik bizonyítandó azonosság hasonlóan igazolható.

Megjegyzés. A fentebb tárgyalt eljárás, amelyben a P (z) és R(z) polinomokat a P̃(z) és R̃(z) polinomokkal helyettesítettük, tekinthető úgy is, mint a 4.1. lemmában használt módszer adaptációja a most tárgyalt problémára. A 4.1. lemmában alkalmas racionális törtfüggvényekkel való szorzással eltüntettük egy az egységkör belsejében analitikus függvény nullhelyeit úgy, hogy az analitikus függvény radiális limeszének az abszolút értéke az egységkör határán nem változott. Jelen esetben is hasonló procedurát foly-

tattunk. A minket érdeklő g(λ) = |\frac{P (e^{iλ})}{R(e^{iλ})} |^{2} függvény egy az egységkör belsejében analitikus függvény (radiális) limesze az egységkör határán. (E függvénynek esetleg lehet véges sok szingularitása az egységkör belsejében.) Ennek v_{k} nullhelyei az egységkör belsejében megegyeznek a P (z) polinom v_{k}, |v_{k}| < 1, gyökeivel. Ezeket eltüntethetjük úgy, hogy a P (z) polinomot elosztjuk a megfelelő A_{v_{k}}(z) = \frac{z−v_{k}}{1−zv̄_{k}} = −\frac{1}{v̄_{k}} _{\frac{z−v_{k}}{z− \frac{1}{v̄_{k}}}} racionális

törtfüggvények szorzatával. Ezen eljárás hatására a |\frac{P (z)}{Q(z)}| függvény értéke nem változik meg az egységkör határán. A P (z) polinom helyettesítése a P̃(z) függvénnyel ennek a procedurának felel meg. (A (−1)-gyel való szorzás elhagyása nem okoz problémát.) Hasonló módon az R(z) függvény helyettesítése az R̃(z) függvénnyel lehetővé teszi az egységkör belsejében levő szingularitások eltüntetését.

Belátjuk, hogy a g(λ) spektrál sűrűség függvény g(λ) = g(−λ) szimmetriájából következik, hogy P̃(z) és R̃(z) valós együtthatós polinomok. A bizonyítás ezen lépésében nem használjuk fel azt, hogy a g(λ) spektrál sűrűség függvény definiciójában szereplő polinomokat hogyan definiáltuk. Azt mutatjuk meg, hogy abból a tényből, hogy g(λ) spektrál sűrűség függvény következnek a P̃(z) és R̃(z) polinomoknak a lemmában megfogalmazott tulajdonságai. Ennek érdekében először azt látjuk be, hogy az adott feltételből következik, hogy

P̃(e^{iλ})\overline{P̃(e^{iλ})} = P̃(e^{−iλ})\overline{P̃(e^{−iλ})},  R̃(e^{iλ})\overline{R̃(e^{iλ})} = R̃(e^{−iλ})\overline{R̃(e^{−iλ})}.

Illetve belátjuk a (formálisan) kissé általánosabb

P̃(z)P̂ (\frac{1}{z}) = P̃ (\frac{1}{z}) P̂(z),  R̃(z)R̂ (\frac{1}{z}) = R̃ (\frac{1}{z}) R̂(z)  (6.5)

egyenlőtlenséget, ahol P̂(z) = ∏_{k=1}^{m}(z − ¯ ṽ_{k}), R̂(z) = ∏_{k=1}^{n}(z − ¯ w̃_{k}), és a ṽ_{1}, … ṽ_{m} számok

a P̃(z), a w̃_{1}, … w̃_{n} számok pedig a R̃(z) polinom gyökei.

A g(λ) = \frac{P̃(e^{iλ})\overline{P̃(e^{iλ})}}{R̃(e^{iλ})\overline{R̃(e^{iλ})}} = \frac{P̃(e^{−iλ})\overline{P̃(e^{−iλ})}}{R̃(e^{−iλ})\overline{R̃(e^{−iλ})}} = g(−λ) azonosságból analitikus kiterjesz-

téssel azt kapjuk, hogy \frac{P̃(z)P̂(\frac{1}{z})}{R̃(z)R̂(\frac{1}{z})} = \frac{P̃( \frac{1}{z})P̂(z)}{R̃( \frac{1}{z})R̂(z)}. (Ezen azonosság igazolása érdekében

vegyük észre, hogy egy z = e^{iλ} számra, ahol λ valós szám, és a P̃(z) polinom egy ṽ_{j} gyökére \overline{z − ṽ_{j}} = e^{−iλ} −¯ṽ_{j} = \frac{1}{z} −¯ṽ_{j}, és ezt az azonosságot összeszorozva a P̃(z) polinom

minden v_{j} gyökére azt kapjuk, hogy \overline{P̃(z)} = CP̂(\frac{1}{z}) alkalmas C konstanssal. Hasonló azonosságot tudunk felírni az R̃(z) polinonomra is.) A (6.5) képlet első azonosságának két oldalán szereplő kifejezések gyökhelyei a

ṽ_{1}, …, ṽ_{m}, \frac{1}{¯ṽ_{1}} , …, \frac{1}{¯ṽ_{m}} illetve az \frac{1}{ṽ_{1}} , …, \frac{1}{ṽ_{m}} , ¯ ṽ_{1}, …, ¯ ṽ_{m}

számok. Igaz az is, hogy a \{ṽ_{1}, …, ṽ_{m}, \frac{1}{¯ṽ_{m}} , …, \frac{1}{¯ṽ_{m}} \} és \{w̃_{1}, …, w̃_{n}, \frac{1}{¯w̃_{1}} , …, \frac{1}{¯w̃_{n}} \}, halmazok diszjunktak, azaz a vizsgált kifejezések gyökei és pólusai különböznek, és a felsorolt gyökök valóban megjelennek. Innen következik, hogy P̃(z)P̂ (\frac{1}{z}) = P̃(\frac{1}{z})P̂ (z), azaz érvényes a (6.5) formula első relációja. De akkor igaz a (6.5) formula második relációja is.

A P̃(z)P̂ (\frac{1}{z}) függvény gyökhelyei közül a P̃(z) polinom tartalmazza az 1-nél nagyobb, a P̂ (\frac{1}{z}) függvény az 1-nél kisebb abszolút értékűeket. Ezért (6.5) azonosságból, illetve az azonosság két oldalán szereplő polinomok gyökeinek viselkedéséből következik, hogy P̃(z) és P̂(z) 1-nél nagyobb abszolút értékű gyökei megegyeznek, és e polinomoknak nincsenek 1-nél kisebb abszolút értékű gyökei.

Ellenőrizni kell még az 1 abszolút értékű gyökök viselkedését. Ha egy v számra |v| = 1, és a v szám nullhelye vagy a P̃(z) vagy a P̂ (\frac{1}{z}) függvénynek, akkor ez a v = \frac{1}{v̄} szám gyöke a másik függvénynek is, mégpedig ugyanolyan multiplicitással.

Ebből következik, hogy a P̃(z)P̂ (\frac{1}{z}) függvény rögzített, 1 abszolút értékű gyökei párba állíthatóak úgy, hogy egyikük a P̃(z), a másikuk pedig a P̂ (\frac{1}{z}) függvénynek a gyöke. Hasonló tulajdonsága van a P̃ (\frac{1}{z}) P̂(z) függvénynek is. Ez azt jelenti, hogy a (6.5) formula alapján a P̃(z) és P̂(z) polinomnak ugyanazok a gyökei. Innen az is következik, hogy a P̃(z) polinom megszorítása a valós számegyenesre teljesíti a P̃(y) = \overline{P̃(y)} azonosságot, ezért P̃(z) valós együtthatós polinom. Hasonlóan látható, hogy az R̃(z) polinom valós együtthatós. Esetleges (−1)-gyel való szorzással elérhetjük azt is, hogy 0 < \frac{P̃(0)}{R̃(0)} < ∞.

Láttuk, hogy h_{0}(z) = \frac{P̃(z)}{R̃(z)} olyan valós együtthatós analitikus függvény a komplex

egységkörben, (a h_{0}(z) függvény azért analitikus, mert az R̃(z) függvénynek nincs gyöke az egységkör belsejében), amelynek létezik olyan h_{0}(e^{iϑ}) radiális limesze, amely teljesíti az |h_{0}(e^{iϑ})|^{2} = g(ϑ) azonosságot. Be lehet látni közvetlenül, hogy a h_{0}(z) függvény eleme a H_{2} Hardy osztálynak. Innen következik, hogy ez a h_{0}(z) függvény a FELADAT A egyik megoldása. Egy ennél tartalmasabb állítást fogunk igazolni. Megmutatjuk, hogy h_{0}(z) = \frac{P̃(z)}{R̃(z)} megegyezik a (4.5) relációban a \frac{1}{2} log g(ϑ) = log |P̃(e^{iϑ})| − log |R̃(e^{iϑ})|, −π ≤ ϑ ≤ π, függvény segítségével definiált H_{0}(z) függvénnyel. Ebből az állításból az is következik, hogy a \frac{P̃(z)}{R̃(z)} a FELADAT A optimális, a Wold felbontásnak megfelelő megoldása. (Ennek az optimális megoldásnak a megtalálása érdekében biztosítanunk kellett, hogy a P̃(z) polinomnak nincs gyöke az egységkör belsejében.)

Azt kell megmutatnunk, hogy a \frac{P̃(z)}{R̃(z)} racionális törtfüggvény teljesíti a (4.5) re-

lációban felírt azonosságot az \frac{1}{2} log g(ϑ) = log |P̃(e^{iϑ})| − log |R̃(e^{iϑ})|, −π ≤ ϑ ≤ π, függvénnyel. Először megmutatom, hogy a kívánt összefüggés következik az

log (\frac{Re^{iφ} − z_{0}}{−z_{0}} ) = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} \frac{e^{iϑ} + Re^{iφ}}{e^{iϑ} − Re^{iφ}} log |\frac{e^{iϑ} − z_{0}}{−z_{0}} | dϑ, ha 0 ≤ R < 1  (6.6)

azonosságból, amely érvényes minden olyan z_{0} számra, amelyre |z_{0}| ≥ 1. (A (6.6) reláció érvényességének érdekében fel kell tennünk, hogy |z_{0}| ≥ 1.) Ezután bebizonyítjuk a (6.6) azonosságot.

Összegezzük a (6.6) formulát minden z_{0} = ṽ_{1}, …, ṽ_{m} illetve minden z_{0} = w̃_{1}, …, w̃_{n} számra, ahol ṽ_{1}, …, ṽ_{m}, illetve w̃_{1}, …, w̃_{n}, a P̃(z) és R̃(z) polinom gyökei. Vonjuk ki a két azonosságot egymásból. Ezután némi átalakítással azt kapjuk, hogy

\frac{P (Re^{iφ})}{R(Re^{iφ})} = exp \{\frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} \frac{e^{iϑ} + Re^{iφ}}{e^{iϑ} − Re^{iφ}} \frac{1}{2} log g(ϑ) dϑ\} , ha 0 ≤ R < 1.  (6.7)

A (6.7) azonosság igazolásában felhasználjuk az \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} \frac{e^{iϑ}+Re^{iφ}}{e^{iϑ}−Re^{iφ}} dϑ = 1, ha 0 ≤ R < 1 azonosságot is. (Ez a 6.6) formulához hasonló, de egyszerűbben bizonyítható reláció.) Ezenkívül azt kell észrevenni, hogy a \frac{ṽ_{1}···ṽ_{m}w̃_{1}^{−1}···w̃_{n}^{−1}}{|ṽ_{1}···ṽ_{m}w̃_{1}^{−1}···w̃_{n}^{−1}|} tört értéke +1 vagy −1, mert mind a ṽ_{1} ⋯ ṽ_{m}, mind a w̃_{1} ⋯ w̃_{n} szorzat valós szám annak következtében, hogy a P̃(z) és R̃(z) polinomok együthatói valós számok. Mivel a \frac{P̃(z)}{R̃(z)} függvényt egy esetleges −1-gyel való szorzás segítségével úgy választottuk, hogy \frac{P̃(0)}{R̃(0)} > 0, ezért ez a tényező

kiesik a számolás során. Ez azt jelenti, hogy a (6.7) formula érvényes, azaz a \frac{P̃(z)}{R̃(z)} függvény teljesíti a (4.5) formulát. Hátra van még a (6.6) azonosság igazolása.

Ha |z_{0}| > 1, akkor a (6.6) formula baloldalán szereplő kifejezés analitikus függvény a {z: |z| < |z_{0}|} körben, ezért az analitikus függvények Herglotz–integrál előállításáról szóló tétel alapján (lásd például a Petruska György komplex függvénytan jegyzet (9.2.10) tételét), a (6.6) azonosság érvényes. Valóban, a képlet mind a két oldalán analitikus függvény szerepel, és a harmonikus függvények előállításáról szóló formula alapján látható, hogy e kifejezések reális részei egyenlőek. Ezért elég azt ellenőrizni, hogy mind a két kifejezés nullával egyenlő, ha Re^{iφ} = 0. Ekkor a jobboldali kifejezés értéke \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} log |\frac{e^{iϑ}−z_{0}}{−z_{0}} | dϑ = ∮_{|r|=1} log |\frac{r−z_{0}}{−z_{0}} | dr = log |\frac{−z_{0}}{−z_{0}} | = 0, mert a log |\frac{z−z_{0}}{−z_{0}} | =

Re log (\frac{z−z_{0}}{−z_{0}} ) függvény harmonikus a \{z: |z| < |z_{0}|\} tartományban, és ezért e függvény körintegrálja az egységkörön egyenlő e függvény értékével az origóban. A baloldal értéke szintén 0 ebben az esetben.

Ha |z_{0}| = 1, akkor válasszunk olyan z_{n}, |z_{n}| > 1, n = 1, 2, …, sorozatot, amelyre lim_{n→∞} z_{n} = z_{0}. Ekkor felírva a (6.6) azonosságot, mindenütt z_{n}-et írva z_{0} helyett, n → ∞ határátmenettel megkapjuk a (6.6) azonosságot ezzel a z_{0} számmal is. (Vegyük észre, hogy a jobboldalon tekintett integrál \frac{e^{iϑ}+Re^{iφ}}{e^{iϑ}−Re^{iφ}} magfüggvényének az abszolút értéke egyenletesen korlátos, ha R < 1. Ez segít a határátmenet jogosságának az indoklásában.) A 6.1 Lemma bizonyítását befejeztük.

Eredményeinkből az is következik, hogy amennyiben egy stacionárius sorozat g(λ)

spektrál sűrűségfüggvénye g(λ) = |\frac{P (e^{iλ})}{R(e^{iλ})} |^{2} alakban adható meg egy racionális törtfüggvény segítségével, akkor a stacionárius sorozat reguláris. Ehhez azt kell ellenőrizni, hogy az ∫_{−π}^{π} log g(λ) dλ > −∞ feltétel teljesül. Ez a feltétel teljesül, bár a g(λ) spektrál sűrűség függvény vehet fel nagyon kis értékeket, ha a P (z) függvénynek van gyöke az egységkör vonalon. Ez azonban nem rontja el a log g(λ) függvény integrálhatóságát. Viszont a g(λ) spektrál sűrűség előállítását megadó racionális törtfüggvény R(z) nevezőjének nem lehet gyöke az egységkör vonalon, mert a g(λ) függvény integrálható kell hogy legyen. Be lehet látni továbbá a következő állítást is.

Feladat: E feladat megfogalmazásában az előbb bevezetett jelöléseket fogom használni.

Mutassuk meg, hogy g(t) = \frac{1}{2π} |\frac{P (e^{it})}{R(e^{it})} |^{2} alakú, spektrál sűrűség függvény esetén létezik g(t) spektrálsűrűségfüggvénnyel rendelkező Y_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, stacionárius Gauss sorozat, és független standard normális valószínűségi változók olyan …, ε_{−1}, ε_{0}, ε_{1}, … sorozata, amelyek teljesítik a (6.2) formulát.

Segítség: Definiáljuk véletlen integrálok segítségével az Y_{n} = ∫ e^{int} \frac{1}{\sqrt{2π}} \frac{P (e^{it})}{R(e^{it})}Z( dt), és ε_{n} = ∫ e^{int}Z( dt), n = …, −1, 0, 1, …, sorozatokat, ahol Z( dt) a [−π, π] intervallumon vett \frac{1}{2π} λ normalizált Lebesgue mértéknek megfelelő véletlen spektrál mérték. Mutassuk meg, hogy ezek a sorozatok teljesítik a (6.2) formulát, ha az a_{p} és b_{q} együtthatókat a P (z) = ∑_{p=0}^{k} a_{p}z^{p} és R(z) = ∑_{q=0}^{l} b_{q}z^{l} formulák határozzák meg. Mutassuk meg, hogy az

Y_{n} sorozatnak g(t) a spektrál sűrűség függvénye. Az Y_{n} valószínűségi változókat érdemes átírni a 2.3 lemmában megfogalmazott véletlen spektrál mértékek szerinti integrálok helyettesítési szabályának a segítségével.

Előfordulhat, hogy egy moving average folyamat g(ϑ) spektrál sűrűségének van gyöke a −π ≤ ϑ ≤ π intervallumban, vagy ami ezzel ekvivalens, a g(ϑ) spektrál sűrűség függvény g(ϑ) = |P (e^{iϑ})|^{2} előállításában szereplő P (z) polinom egyik gyöke az egységkör határán van. Ez a legnehezebb eset. Az alábbi példában ilyen modellre adunk egy látszólag egyszerű példát.

Példa. Legyen ε_{n}, n = 0, ±1, ±2, …, független standard normális valószínűségi változók sorozata, és definiáljuk az X_{n} = ε_{n}+ε_{n−1}, n = 0, ±1, ±2, …, moving average sorozatot. Adjuk meg az X_{n}, n = 0, ±1, ±2, …, sorozat Wold felbontását.

A példa tárgyalása. A vizsgálandó stacionárius sorozat spektrál sűrűsége

g(ϑ) = |1 + e^{iϑ}|^{2} = |P (e^{iϑ})|^{2}

a P (z) = 1+z polinommal. Mivel e polinom egyetlen gyöke a z = −1 pont ezért a Wold felbontást a H_{0}(z) = 1 + z függvény adja meg. Ez azt jelenti, hogy a Wold felbontás X_{n} = V_{n}+V_{n−1} alakban adható meg alkalmas V_{n}, n = 0, ±1, ±2, …, független standard normális valószínűségi változók segítségével. A fő probléma a V_{n} valószínűségi változók megadása.

Az X_{n}, n = 0, ±1, ±2, …, stacionárius sorozat előállítható X_{n} = ∫ e^{inϑ}Z( dϑ), n = 0, ±1, ±2, …, alakban, ahol Z(·) egy g(ϑ) = \frac{1}{2π} |1 + e^{iϑ}|^{2}, −π ≤ ϑ ≤ π, spektrál sűrűség függvénnyel definiált spektrál mértékhez tartozó, és az X_{n}, n = 0, ±1, ±2, …, sorozat által meghatározott véletlen spektrál mérték. Továbbá az általános elmélet szerint

V_{n} = ∫ e^{inϑ} \frac{1}{\overline{H_{0}(e^{−iϑ})}} dZ(ϑ) = ∫ e^{inϑ} \frac{1}{1 + e^{−iϑ}} dZ(ϑ)

alakban adható meg. Ez a formula azonban nem jól számolható. Ha felírjuk az \frac{1}{H_{0}(z)}

Taylor sorát azt kapjuk, hogy \frac{1}{H_{0}(z)} = \frac{1}{1+z} = ∑_{k=0}^{∞}(−1)^{k}z^{k}. Ez formálisan azt sugallná,

hogy

V_{n} = ∫ e^{inϑ} \frac{1}{1 + e^{−iϑ}} dZ(ϑ) = ∫ e^{inϑ} ∑_{k=0}^{∞}(−1)^{k}e^{−ikϑ} dZ(ϑ)

= ∑_{k=0}^{∞}(−1)^{k} ∫ e^{i(n−k)ϑ} dZ(ϑ) = ∑_{k=0}^{∞}(−1)^{k}X_{n−k}.

Ez azonban egy divergens sor, így ez az előállítás értelmetlen.

Viszont a szövegben tárgyalt heurisztikus gondolatmenet a következő megoldást sugallja.

V_{n} = lim_{R→1} ∫ e^{inϑ} \frac{1}{1 + Re^{−iϑ}} dZ(ϑ) = lim_{R→1} ∫ e^{inϑ} ∑_{k=0}^{∞}(−1)^{k}R^{k}e^{−ikϑ} dZ(ϑ)

= lim_{R→1} ∑_{k=0}^{∞}(−1)^{k}R^{k} ∫ e^{i(n−k)ϑ} dZ(ϑ) = lim_{R→1} ∑_{k=0}^{∞}(−1)^{k}R^{k}X_{n−k},

ahol a konvergens R számsorozat elemei 1-nél kisebb számok. Azaz azt sejtjük, hogy a

V_{n,R} = ∑_{k=0}^{∞}(−1)^{k}R^{k}X_{n−k} számok konvergálnak a V_{n} valószínűségi változóhoz, ha R →

1. Vegyük észre azt is, hogy a ∑_{k=0}^{∞}(−1)^{k}R^{k}X_{n−k} = ∫ e^{inϑ} \frac{1}{1+Re^{−iϑ}} dZ( dϑ), azonosság is

érvényes minden 0 < R < 1 számra abban az értelemben, hogy a baloldalon vett végtelen összeg az X_{n}, n = 0, ±1, …, stacionárius sorozat G, G( dϑ) = g(ϑ) dϑ, spektrál mértéke szerinti L_{2} konvergenciában tart a jobboldalhoz, azaz

lim_{N→∞} E [∑_{k=0}^{N}(−1)^{k}R^{k}X_{n−k} − ∫ e^{inϑ} \frac{1}{1 + Re^{−iϑ}} dZ( dϑ)]^{2}

= lim_{N→∞} ∫ |e^{inϑ} (∑_{k=0}^{N}(−1)^{k}R^{k}e^{−ikϑ} − \frac{1}{1 + Re^{−iϑ}} )|^{2} dG( dϑ) = 0,

mivel az integrandus az utolsó kifejezés jobboldalán egyenletesen konvergál nullához minden 0 < R < 1 számra, ha N → ∞.

Belátjuk, hogy a lim_{R→1} V_{n,R} = V_{n} állítás igaz a következő értelemben: lim_{R→1} E(V_{n,R} −

V_{n})^{2} = 0. Valóban,

E(V_{n} − V_{n,R})^{2} = E (∫ e^{inϑ} (\frac{1}{1 + e^{−iϑ}} − \frac{1}{1 + Re^{−iϑ}} ) dZ(ϑ))^{2}

= ∫ |\frac{1}{1 + e^{−iϑ}} − \frac{1}{1 + Re^{−iϑ}} |^{2} G( dϑ),

ahol G( dϑ) = \frac{1}{2π} |1 + e^{−iϑ}|^{2} dϑ, az X_{n} stacionárius sorozat spektrál mértéke.

E(V_{n} − V_{n,R})^{2} = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} |\frac{1}{1 + e^{−iϑ}} − \frac{1}{1 + Re^{−iϑ}} |^{2} |1 + e^{−iϑ}|^{2} dϑ

= \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} \frac{(1 − R)^{2}}{|1 + Re^{−iϑ}|^{2}} dϑ.

Ez a kifejezés nullához tart, bár lim_{R→1} ∫_{−π}^{π} \frac{1}{|1+Re^{−iϑ}|^{2}} dϑ = ∞ a ±π pont kis környezetének

hozadéka miatt ezen integrálhoz. Viszont az (1 − R)^{2} faktor miatt az eredeti integrál nullához tart R → 1 esetén. Ennek igazolása érdekében érdemes az integrandust a következő alakban írni. \frac{(1−R)^{2}}{|1+Re^{−iϑ}|^{2}} = \frac{(1−R)^{2}}{1+R^{2}+2R cos ϑ} = \frac{(1−R)^{2}}{(1−R)^{2}+2R(1+cos ϑ)}. Ez az integrandus minden ϑ-ra és R-re kisebb vagy egyenlő, mint 1, és ϑ ≠ ±1 esetén nullához tart, ha R → 1.

1. megjegyzés. Az előző példában kiszámolt V_{n} valószínűségi változók valójában az X_{n}, n = 0, ±1, ±2, …, változók definiciójában szereplő ε_{n}, n = 0, ±1, ±2, … független, standard normális valószínűségi változók. Ez a vizsgált sorozatok véletlen spektrál mérték szerinti integrál előállításából, és a véletlen spektrál mérték szerinti integrálok helyettesitési szabályából azonnal látszik, (elemi bizonyítása is egyszerű) ugyanis, ha az ε_{n} véletlen sorozatot ε_{n} = ∫ e^{inϑ}dZ_{0}(ϑ) véletlen spektrál mérték szerinti integrálként állítjuk elő, akkor X_{n} = ε_{n} + ε_{n−1} = ∫ e^{inϑ}(1 + e^{−iϑ})dZ_{0}(ϑ), azaz dZ(ϑ) = (1 + e^{−iϑ})dZ_{0}(ϑ).

2. megjegyzés. Tekintsünk egy a (6.1) formulában megadott X_{n}, n = 0, ±1, …, mov-

ing average folyamatot. Ha a P (z) = ∑_{p=0}^{k} a_{p}z^{p} polinomnak nincs gyöke a {z: |z| < 1}

egységkör belsejében, akkor a (6.1) formulában megadott képlet az X_{n}, n = 0, ±1, …, folyamat Wold felbontása, mert P (z) = H_{0}(z), és ε_{n}, n = 0, ±1, … független standard normális valószínűségi változók sorozata. A fő feladat az, hogy mindegyik ε_{n} valószínűségi változót fejezzük ki az X_{k}, k ≤ n, valószínűségi változók lineáris kombinációjaként. Láttuk, hogy ennek érdekében egy akalmas véletlen spektrál mérték szerinti integrált kell kiszámolni, amelynek magfüggvénye az e^{inϑ} \frac{1}{\overline{H_{0}(e^{iϑ})}} = \frac{e^{inϑ}}{P (e^{−iϑ})}

függvény. Ennek az integrálnak a kiszámítása érdekében érdemes kiszámolni az \frac{1}{P (z)} függvénynek a nulla pont körüli hatványsorát. Ezt könnyebben tudjuk kiszámolni, ha az \frac{1}{P (z)} függvényt előállítjuk elemi \frac{1}{(z−z_{j})^{l}} alakú kifejezések lineáris kombinációként, ahol z_{j} a P (z) polinom (esetleg többszörös) gyöke.

A fent vázolt módszer alkalmazásában akkor jelenik meg nehézség, ha a P (z) polinomnak van 1 abszolút értékű gyöke. Ilyen esetet tárgyaltunk az előző feladatban, amelyben a P (z) = 1 + z függvény jelent meg. Bizonyos modellekben olyan P (z) polinom jelenhet meg, amelynek többszörös multiplicitású 1 abszolút értékű sajátértéke is létezik. Ilyen modell például az X_{n} = ε_{n} + 2ε_{n−1} + ε_{n−2}, n = 0, ±1, … mozgó átlag. Ehhez a modellhez a P (z) = (1 + z)^{2} polinom tartozik. Az ilyen modellek is tárgyalhatóak hasonlóan az X_{n} = ε_{n} + ε_{n−1} mozgó átlaghoz, bár az egyes lépések jogosságának az igazolása kissé több munkát igényel.

Kiegészítés

a) Stacionárius sorozatok felbontása. Reguláris és szinguláris sorozatok.

Ismertetem az 1.1. és 1.2. Tételben kimondott eredmények vázlatos bizonyítását. Bizonyos részletek kidolgozását az olvasóra bízom. A magyarázatban bevezetem a következő jelölést. Jelölje H_{Y}, H_{n,Y} és S_{Y} az (1.1) formulában bevezetett mennyiségek megfelelőit akkor, ha a definicióban felhasznált stacionárius Gauss sorozat az Y_{n}, n = …, −1, 0, 1, … sorozat.

Az 1.1 Tétel bizonyítása. Lássuk először be, hogy az (1.2) képletben megadott felbontás egyértelmű. Ennek érdekében először azt igazoljuk, hogy egy a tétel feltételeit teljesítő felbontásra H_{Z} = S_{X} = S. Valóban, H_{n} a H_{n,Y} és H_{n,Z} alterek direkt összege minden n indexre. Véve ezek metszetét azt kapjuk, hogy S az S_{Y} és S_{Z} terek direkt összege, de mivel S_{Y} = ∅ az Y_{n} sorozat regularitása miatt, ezért S = S_{Z}, és mivel S_{Z} = H_{Z}, S = H_{Z}. Innen és a tétel feltételeiből következik, hogy Y_{n} az X_{n} valószínűségi változó merőleges vetülete és Z_{n} az X_{n} valószínűségi változó vetülete a H Hilbert tér S alterére. Ezért a keresett (1.2) felbontás, (ha az létezik egyáltalán), egyértelmű.

Az előző gondolatmenet azt is sugallja, hogy hogyan próbáljuk meg előállítani a keresett (1.2) felbontást. Legyen Y_{n} az X_{n} vektor merőleges vetülete, és a Z_{n} vektor az X_{n} vektor vetülete az S = S_{X} altérre. Ekkor tetszőleges m számra az X téren definiált U_{m} shift transzformáció teljesíti a H_{n+m} = U_{m}H_{n}, S = U_{m}S, H_{Y} = U_{m}H_{Y} azonosságokat, és H az S és H_{Y} alterek ortogonális összege. Innen mivel

X_{n+m} = Y_{n+m} + Z_{n+m},

és

X_{n+m} = U_{m}X_{n} = U_{m}(Y_{n} + Z_{n}) = U_{m}Y_{n} + U_{m}Z_{n},

következik, hogy

Y_{n+m} = U_{m}Y_{n} és Z_{n+m} = U_{m}Z_{n}

minden n és m indexre, és az Y_{n} és X_{n} sorozatok az X_{n} sorozat (stacionárius) alárendelt sorozatai. (Az utolsó azonosság igazolásában felhasználjuk, hogy U_{m}Z_{n} ∈ S, és U_{m}Y_{n} ∈ H_{Y}, továbbá H_{Y} az S altér ortogonális kiegészítője a H Hilbert térben.)

Továbbá, mivel

H_{n} = H_{Y,n} ⊕ H_{Z,n} és H_{n} = H_{Y,n} ⊕ S

ezért H_{Z,n} = S minden n indexre. Az utolsó relációban metszetet, illetve uniót véve kapjuk, hogy

S_{Z} = H_{Z,n} = S = H_{Z}

(minden n indexre), ezért Z_{n} szinguláris sorozat. Be kell még látnunk azt, hogy az Y_{n} sorozat reguláris, azaz S_{Y} = ∅. Azt mutatjuk meg, hogy egyrészt S_{Y} ortogonális S-re, mert S_{Y} ⊂ H_{Y,n}, és H_{Y,n} ortogonális S-re (az Y_{n} vektorok definiciója miatt), másrészt S_{Y} ⊂ S. Ugyanis S_{Y} ⊂ H_{Y,n} ⊂ H_{n} minden n indexre, és metszetet véve minden n indexre kapjuk a második állítást. Az S_{Y} altér viszont csak úgy tudja mind a két feltételt teljesíteni, hogy S_{Y} = ∅. A tételt beláttuk.

Az 1.2 Tétel bizonyítása. Vezessük be a D_{n} = H_{n}⊖H_{n−1} altereket, n = …, −1, 0, 1, …, azaz legyen D_{n} az (1.1) formulában definiált H_{n−1} altér ortogonális kiegészítője a H_{n} Hilbert térben. Nem nehéz belátni, hogy UD_{n} = D_{n+1} az U shift transzformációra minden n indexre. Továbbá az X_{n} folyamat regularitását felhasználva meg lehet mutatni, hogy H_{n} = ⋯ ⊕ D_{n−2} ⊕ D_{n−1} ⊕ D_{n} minden n indexre.

A D_{n} Hilbert terek egy dimenziósak, kivéve azt az elfajuló esetet, amikor X_{n} ≡ 0 minden n indexre. Az utóbbi esetben a D_{n} alterek null dimenziósak. Ugyanis a D_{n} terek dimenziója megegyezik minden n-re a UD_{n} = D_{n+1} reláció miatt, és D_{0} dimenziója 1, ha X_{0} ∉ H_{−1}, és nulla ha X_{0} ∈ H_{−1}. De az utóbbi esetben D_{n} = ∅, és H_{n} = ⋯ ⊕ D_{n−2} ⊕ D_{n−1} ⊕ D_{n} = ∅ minden n indexre.

Válasszunk ki egy 1-re normált V_{0} vektort a D_{0} (egy dimenziós) Hilbert térben, és definiáljuk a V_{n} = U^{n}V_{0} vektort minden n = …, −1, 0, 1, … indexre. Ekkor a V_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, valószínűségi változók sorozata az X_{n} sorozatnak alárendelt független valószínűségi változók sorozatát alkotja, és a H_{0} = ⋯ ⊕ D_{−2} ⊕ D_{−1} ⊕ D_{0} azonosság

miatt felírható az X_{0} = ∑_{k=0}^{∞} c_{k}V_{−k} azonosság alkalmas c_{k}, ∑_{k=0}^{∞} c_{k}^{2} < ∞, együtthatókkal.

Ezután az X_{n} = U^{n}X_{0} és V_{n−k} = U^{n}V_{−k} azonosságok segítségével azt kapjuk, hogy

X_{n} = ∑_{k=0}^{∞} c_{k}V_{n−k} minden n indexre. Az, hogy a V_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, sorozat

reguláris könnyen látható. Az 1.2. Tételt bebizonyítottuk.

b.) A felhasznált komplex függvénytani eredmények. Hardy féle H_{p} függvényosztályok.

A jegyzet fő tárgyát képező predikciós feladatok vizsgálatában fontos szerepet játszottak a 3. fejezetben bevezetett Hardy féle H_{p} függvényosztályok tulajdonságai. Ezek olyan az egységkör belsejében analitikus függvényekből állnak, amelyeknek véve az R sugarú körbe vett megszorításait, illetve azok természetes átskálázásait, olyan a [−π, π] intervallumon definiált függvényeket kapunk, amelyeknek van limeszük az L_{p} normában, ha R → 1. Érdemes bevezetni és a H_{p} függvényosztályokkal együtt tárgyalni ezek természetes megfelelőit, a H_{p} függvényosztályokat. Ezeket hasonlóan definiáljuk, mint a H_{p} függvényosztályokat, de elemei harmonikus, és nem feltétlenül analitikus függvények. Emlékeztetek arra, hogy egy kétváltozós f(x, y) függvény akkor harmonikus egy D tartományban, ha \frac{∂^{2}f}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}f}{∂y^{2}} = 0 minden (x, y) ∈ D pontban. Megengedjük azt is, hogy az f(x, y) harmonikus függvény komplex szám értékű legyen.

Röviden felidézem a kapcsolatot a (kétváltozós) harmonikus és analitikus függvények között. A bizonyításokat elhagyom ebből a tárgyalásból. Célom az eredmények, illetve a mögöttük rejlő kép és motiváció elmagyarázása. A részletesen kidologozott bizonyítások megtalálhatóak például Petruska György Komplex Függvénytan jegyzetének 9. és 10. fejezetében.

Egy analitikus függvénynek mind a valós mind az imaginárius része harmonikus függvény, és ezek között jól megfogalmazható kapcsolat van. Egy analitikus függvény valós és komplex része egymásnak úgynevezett harmonikus társa. Az egyikük ismeretében a másik is kiszámítható az úgynevezett Riemann–Cauchy egyenletek segítségével, és az egy additív konstans erejéig egyértelműen meghatározott.

Jelölje S(0, R) a 0 központú és R sugarú körlapot. Minket elsősorban az S(0, R), 0 < R ≤ 1, körlap belsejében definiált analitikus és harmonikus függvények viselkedése érdekel. (Megengedettek a komplex szám értékű harmonikus függvények is.) A következő eredmény az ilyen függvények jellemzését tartalmazza.

B1. Tétel. Egy f(z) függvény akkor és csak analitikus a {z: |z| < R} körlapon, ha felírható minden z = re^{iφ}, r < R, pontban

f(z) = f(re^{iφ}) = ∑_{n=0}^{∞} β_{n}r^{n}e^{inφ}

(hatványsor) alakban.

Egy f(x, y) függvény akkor és csak harmonikus az {(x, y): x^{2} + y^{2} < R^{2}} körlapon, ha felírható minden (x, y) = re^{iφ}, r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}, r < R, pontban

f(x, y) = f(re^{iφ}) = ∑_{n=−∞}^{∞} β_{n}r^{|n|}e^{inφ}

alakban olyan β_{n} együtthatókkal, amelyekkel a fenti sorok konvergensek.

Egy a következő eredmények vizsgálatában fontos kérdés az, hogy adva valamely g(φ), −π < φ < π, függvény, hogyan lehet meghatározni egy olyan u(re^{iφ}) harmonikus függvényt az S(0, R) körlapon, amelynek határértéke az r → R határátmenet esetén a g(φ) függvénnyel egyenlő, illetve egy olyan analitikus függvényt ugyanezen a körlapon, amelynek valós része ehhez a g(φ) függvényhez konvergál. A vizsgálatok azt mutatták, hogy ezekben a problémákban a sugárirányú (radiális) határátmenetet érdemes tekinteni, mint a függvény limeszét a határon. A harmonikus függvényekről szóló, számunkra legfontosabb eredményeket a 4.2., 4.3. és 4.4. Tételben (ez utóbbi a Fatou tétel) fogalmaztam meg. Érdemes megjegyezni, hogy ezek az eredmények is mutatnak némi hasonlóságot az analitikus függvényekről szóló eredményekkel, csak itt a Poisson magfüggvény játssza azt a szerepet, amit a \frac{1}{z−ζ} magfüggvény játszik a Cauchy formulában. A Fatou tétel, a legélesebb változata azon eredményeknek, amelyek arról szólnak, hogy milyen feltételek mellett tudjuk biztosítani azt, hogy a (4.1) képletben bevezetett, az irodalomban Poisson formulának nevezett kifejezés segítségével megadott harmonikus függvény teljesítse a kívánt határfeltételt. A Fatou tétel erősségét és jelentőségét az adja, hogy a benne szereplő g(φ) határfüggvény, illetve μ határmérték folytonosságáról enyhe feltételt írtunk elő. Ezenkívül ezt a határfeltételt a tekintett körlap szélén írhatjuk elő, ahol a harmonikus, illetve analitikus függvények vizsgálata már nehezebb problémákat vet fel.

A harmonikus függvényeknek még egy fontos tulajdonságát említem meg. Ha f(x) harmonikus függvény egy D tartományon, és x ∈ D, akkor ha egy olyan x középpontú S(x) körvonalat tekintünk, amely belsejével együtt szintén benne van a D tartományban, akkor az f(x) szám egyenlő az f(·) függvény integrálközepével az S(x) körvonalon. (Ez a tulajdonság egyben jellemzi is a harmonikus függvényeket.) E tény egyik következménye az, hogy az analitikus függvények vizsgálatában fontos szerepet játszó maximum elv alkalmazható harmonikus függvényekre is.

Felidézem a korlátos változású mérték definicióját, mert erre később szükségünk lesz.

Korlátos változású mérték definiciója. Legyen μ egy mérték, azaz σ-additív halmazfüggvény valamely (X, A) téren. (Megengedjük, hogy a μ(A), A ∈ A, mérték komplex értékű legyen.) A μ mérték ∥μ∥ (totális variáció) normáját a

∥μ∥ = sup_{B_{1},...,B_{n}} ∑_{j=1}^{n} |μ(B_{j})|

képlettel definiáljuk, ahol a szuprémumot az X halmaz összes véges B_{1}, …, B_{n} véges particiójára vesszük. Akkor mondjuk, hogy a μ mérték korlátos változású, ha a ∥μ∥ norma véges.

Emlékeztetek arra is, hogy az analízis eredményei szerint minden monoton függvény majdnem mindenütt differenciálható, és ez azt jelenti, hogy az általa indukált μ Stieltjes mértékre a Fatou tételben szereplő μ′(φ) derivált majdnem minden φ pontban létezik. Hasonló állítás érvényes korlátos változású függvények által indukált Stieltjes mértékekre is, mivel egy korlátos változású függvény előállítható két monoton függvény különbségeként.

Megadom a H_{p}, 1 ≤ p ≤ ∞, függvényosztályok definicióját.

A H_{p} függvényosztályok definiciója. A H_{p} függvényosztály, 1 ≤ p ≤ ∞, azokból a {(x, y): x^{2} + y^{2} < 1} egységkörben harmonikus H(x, y) függvényekből áll, amelyekre (x, y) = re^{iφ}, r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} jelöléssel

∥H_{p}∥^{p} =^{def} sup_{r<1} ∥H(re^{iφ})∥_{p}^{p} = sup_{r<1} ∫_{−π}^{π} |H(re^{iφ})|^{p} dφ < ∞, ha 1 ≤ p < ∞,

és

∥H_{∞}∥ =^{def} sup_{r<1} ∥H(re^{iφ})∥_{∞} = sup_{r<1, −π≤φ<π} |H(re^{iφ})| < ∞, ha p = ∞.

Az érdekesség kedvéért megjegyzem, hogy a H_{p} terek definiciójában szereplő ∥H_{p}∥ mennyiség definiciójában a szuprémumot limesszel is helyettesíthettük volna, mert minden az S(0, 1) körlapon harmonikus u függvényre ν_{p}(r) = ∫_{−π}^{π} |u(re^{iφ})|^{p} dφ, 1 ≤ p < ∞, és ν_{∞}(r) = sup_{−π≤φ≤π} |u(re^{iφ})| kifejezés az r változó folytonos függvénye a (0, 1) interval-

lumon. Ez egy érdekes tény, de erre a továbbiakban nem lesz szükségünk.

A következő eredmény megadja többek között a H_{p} függvényosztály elemeinek jellemzését, azok radiális limeszét, és e radiális limesz kapcsolatát az őt meghatározó H_{p} térbeli függvénnyel. Az 1 < p ≤ ∞ és a p = 1 esetek különböznek. Az első esetben (a [−π, π] intervallumon a Lebesgue mérték által meghatározott) L_{p} térbeli függvények jelennek meg lehetséges limeszként, míg a másodikban a korlátos változású mértékek. A pontosan megfogalmazott tétel a következőt mondja.

B2. Tétel a H_{p} függvényosztályok jellemzéséről. Legyen u(x, y) = u(re^{iφ}) harmonikus függvény az S(0, 1) egységkörben. Rögzítsünk egy 1 < p ≤ ∞ paramétert. Az u ∈ H_{p} reláció akkor és csak akkor teljesül, ha létezik olyan ũ ∈ L_{p} függvény (ahol az L_{p} teret a [−π, π] intervallumon definiáljuk a Lebesgue mértékkel), amelyre

u(re^{iφ}) = ∫_{−π}^{π} \frac{1 − r^{2}}{1 + r^{2} − 2r cos(ϑ − φ)}ũ(ϑ) dϑ, 0 ≤ r < 1, −π ≤ φ ≤ π.

Az u ∈ H_{1} reláció akkor és csak akkor teljesül, ha létezik olyan korlátos változású μ mérték a [−π, π] intervallum Borel mérhető halmazain, amelyre

u(re^{iφ}) = ∫_{−π}^{π} \frac{1 − r^{2}}{1 + r^{2} − 2r cos(ϑ − φ)} dμ(ϑ), 0 ≤ r < 1, −π ≤ φ ≤ π.

Továbbá ∥u∥_{p} = ∥ũ∥_{p}, ha 1 < p ≤ ∞, és ∥u∥_{1} = ∥μ∥, ha p = 1.

Az u ∈ H_{p} függvény egyértelműen meghatározza az őt definiáló ũ függvényt, ha 1 < p ≤ ∞, és az őt definiáló μ mértéket, ha p = 1. Továbbá egy u ∈ H_{p} függvény u(re^{iφ}) =

∑_{n=−∞}^{∞} β_{n}|r|^{n}e^{inφ} alakú előállításban szereplő β_{n} együtthatók és az őt meghatározó ũ

függvény illetve ∥μ∥ mérték Fourier együtthatói megegyeznek, azaz

β_{n} = ∫_{−π}^{π} e^{−inϑ}ũ(ϑ) dϑ, ha 1 < p ≤ ∞, n = 0, ±1, ±2, …

és

β_{n} = ∫_{−π}^{π} e^{−inϑ} dμ(ϑ), ha p = 1, n = 0, ±1, ±2, ….

A következő eredmény tulajdonképpen a harmonikus függvények Poisson integrál alakú előállításáról szóló eredmények következménye.

B3. Tétel. Legyen u(·) ∈ H_{p}, és legyen ũ(·) az a [−π, π] intervallumon definiált függvény p > 1 esetben, és az a μ korlátos változású mérték a [−π, π] intervallum Borel részhalmazain a p = 1 esetben, amely meghatározza az u(·) függvényt a B2. tételben megadott módon. Ekkor majdnem minden φ ∈ [−π, π] számra igaz a

lim_{r→1} u(re^{iφ}) = \{ \begin{matrix}ũ(φ), ha 1 < p ≤ ∞ \\ \frac{dμ}{dλ}(φ), ha p = 1 \end{matrix}

reláció, azaz ũ(φ) illetve \frac{dμ}{dλ}(φ) az u(re^{iφ}) függvény iránymenti határértéke az r = 1 esetben.

A B2 tételben az egy u ∈ H_{p} függvény sorfejtésében szereplő β_{n} együtthatók tulajdonságairól megfogalmazott eredményből következik az is, hogy az u függvény akkor és csak akkor analitikus (akkor teljesül a β_{n} = 0 reláció minden n = −1, −2, … indexre), ha az u függvényt olyan ũ ∈ L_{p} függvény meghatározza meg a p > 1 esetben, illetve olyan μ korlátos változású mérték határozza meg a p = 1 esetben, amelynek β_{n} Fourier együtthatói nullával egyenlőek minden n ≤ −1 paraméterre. Ez a tény teszi természetessé a következő definiciót.

Analitikus mértékek definiciója. Egy a [−π, π] intervallum Borel mérhető részhalmazain definiált korlátos változású μ mértéket analitikusnak nevezünk, ha

∫ e^{inϑ} d μ(ϑ) = 0, minden n = 1, 2, … számra.

A fenti eredményekben láttuk, hogy a H_{p} térbeli függvényeknek mindig van radiális limesze, és a lehetséges limeszfüggvények halmaza megegyezik az L_{p}([−π, π]) tér elemeivel, ha p > 1, és a [−π, π] intervallum Borel mérhető részhalmazain definiált korlátos változású mértékek halmazával, ha p = 1. Természetes módon felmerül az a Hardy függvényosztályok vizsgálatában fontos kérdés, hogy hogyan szűkül a lehetséges (radiális) limeszek halmaza, ha a H_{p} tér helyett a szűkebb a 3. fejezetbem bevezetett H_{p} függvénytér elemeinek a (radiális) limeszét tekintjük. Erre a kérdésre csak részleges választ fogunk adni, de ez a részleges válasz is elegendő a predikció elméleti vizsgálatainkban felmerült hasonló jellegű problémák megoldásához.

E kérdés tanulmányozásában érdemes az S(0, 1) körön analitikus g(z) = g(re^{iϑ}) függvények által meghazározott log |g(0)| szám és ∫_{−π}^{π} log |g(re^{iϑ})| dϑ integrálok viselkedését vizsgálni 0 < r < 1 paraméterekre, illetve a log |g(0)| szám és az előbbi integrálok kapcsolatát tekinteni. Bizonyos formulákat kissé általánosabb esetekben is érdemes vizsgálni. Tekinthetünk olyan eseteket is, amelyekben az analitikus g(·) függvénynek lehet véges sok szingularitása is.

Emlékeztetek arra, hogy ha g(z) olyan analitikus függvény egy D egyszeresen összefüggő tarományban, amely sehol nem vesz fel null értéket, akkor lehet venni a g(z) függvény logaritmusát a D tartományban, amely ebben az esetben analitikus függvény, ezért a reális része harmonikus függvény. Továbbá teljesül a Re log g(z) = log |g(z)| azonosság. Ezért, ha g(z) egy az S(0, 1) egységkörön definiált, és ott el nem tűnő analitikus függvény, akkor a harmonikus függvények tulajdonságai miatt log |g(0)| = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} log |g(re^{iϑ})| dϑ minden 0 < r < 1 paraméterre. Ha g(z) nem azonosan nullával egyenlő analitikus függvény az S(0, 1) körön, de lehetnek nullhelyei, akkor ezeknek a nullhelyeknek nem lehet torlódási pontja az S(0, 1) kör belsejében. Ezért minden 0 < r < 1 számra a g(z) függvénynek csak véges sok nullhelye van az r sugarú kör belsejében. Ha ezek a nullhelyek valamely a_{1}, …, a_{k} pontokban vanak, akkor a g(z) függvényt elosztva olyan racionális törtfüggvények szorzatával, amelyek az r sugarú körvonalat önmagába viszik, az a_{j}, 1 ≤ j ≤ k, nullhelyeket pedig az origóba, olyan g̃(z) függvényt kapunk, amelynek nincs nullhelye, ezért alkalmazhatjuk rá az előbb felírt azonosságot. Továbbá |g̃(re^{iφ})| = r^{k}|g(re^{iφ})| minden −π ≤ φ ≤ π számra, mert z g̃(z) függvény definiciójában olyan függvények szorzatával osztottuk el a g(z) függvényt, amelyeknek az abszolút értéke r-rel egyenlő az r sugarú körvonalon. Ezen észrevételek kidolgozásával egy hasznos azonosságot lehet kapni. Ez a Jensen formulának nevezett eredmény, amely kissé általánosabb feltételek mellett is megfogalmazható, olyan esetekben is, amikor a g(z) függvénynek véges sok pólusa is lehet. Ez a formula a következőt mondja.

B4. Tétel. Jensen formula. Legyen g(z) meromorf függvény egy {z: |z| < R} sugarú körlapon. Tekintsünk egy r < R számot, és legyenek a g(z) függvény zérushelyei és pólusai az r sugarú kör belsejében az origót nem számítva és a nullhelyeket, illetve pólusokat multiplicitással felsorolva valamely a_{1}, …, a_{n}, illetve b_{1}, …, b_{m} pontok. Teljesüljön a g(z) = A_{q}z^{q} +⋯ reláció az origó kis környezetében. (Ez a formula adja meg, hogy az origó hányszoros gyöke vagy pólusa a g(z) függvénynek.) Ekkor teljesül az

log |A_{q}r^{q}| + ∑_{k=1}^{n} log \frac{r}{|a_{k}|} − ∑_{j=1}^{m} log \frac{r}{|b_{j}|} = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} log |g(re^{iϑ})| dϑ

azonosság.

A Jensen formulának egyszerű következménye az alábbi Jensen egyenlőtlenség. (Ez nem egyezik meg az irodalomban általában Jensen egyenlőtlenség néven használt relációval). A Jensen egyenlőtlenség bizonyítása az előző azonosságot alkalmazza abban az esetben, amikor a g(z) függvénynek nincs pólusa, és az origó se nem pólus, se nem gyök, azaz q = 0 a Jensen formulában.

B5. Tétel. Jensen egyenlőtlenség. Ha g(z) analitikus függvény egy {z: |z| < R}, R sugarú és nulla középpontú körlapon, és g(0) ≠ 0, akkor minden r < R számra

log |g(0)| ≤ \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} log |g(re^{iϑ})| dϑ.

Vegyük észre, hogy ez az azonosság nagyon hasonló a vizsgálatainkban fontos szerepet játszó Szegő tételhez. (Ez utóbbi a jegyzet 4.6. tétele.) A lényeges különbség a két eredmény között az, hogy a Szegő tételben, az S(0, 1) körlapon dolgozva, a (4.8) formula jobboldalán az R = 1 határkörön vettük az integrált, míg a Jensen egyenlőtlenségben egy r < R sugarú belső körben integráltunk. A fő probléma az, hogy a Jensen egyenlőtlenség alapjául szolgáló Jensen azonosságban kihasználtuk azt, hogy egy nem azonosan nulla analitikus függvény nullhelyeinek nincs belső torlódási pontja, míg a Szegő tétel esetében figyelembe kell venni azt, hogy egy g(z) analitikus függvény nullhelyeinek lehet torlódási pontja az analitikus függvény értelmezési tartományának a határán, sőt a g(z) függvény eltűnhet a határ bizonyos pontjaiban, és az ilyen esetek lehetőségének a hatását is kontrollálni kell.

Ahhoz, hogy a Szegő tételt be tudjuk bizonyítani, és hasonló jelenségeket vizsgálni tudjunk szükségünk van némi kontrollra egy az S(0, 1) körben analitikus g(z) függvény nullhelyeinek a viselkedéséről abban az esetben, ha sup_{r<1} ∫ log |g(re^{iφ})| dφ < ∞. Olyan

típusú eredményre van szükségünk, amely arról szól, hogy a nullhelyek abszolút értékei nem sűrűsödhetnek be túlságosan az 1 pont körül. Ilyen jellegű eredményt mond ki az alábbi tétel.

B6. Tétel. Legyen g(z) analitikus függvény az S(0, 1) egységkörön. Akkor és csak akkor teljesül a

sup_{0<r<1} ∫_{−π}^{π} log |g(re^{iφ})| dφ < ∞  (B1)

egyenlőtlenség, ha a g(z) függvény a_{1}, a_{2}, … nullhelyei teljesítik a

∑_{k=1}^{∞}(1 − |a_{k}|) < ∞  (B2)

egyenlőtlenséget. Az utolsó kifejezésben az a_{k} nullhelyet annyiszor számoltuk, amennyi az a_{k} nullhely multiplicitása.

Ha a fenti (equivalens) relációk teljesülnek, akkor a g(z) függvény teljesíti a

lim_{r→1} \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} log |g(re^{iφ})| dφ = log |A_{q}| − ∑_{k=1}^{∞} log |a_{k}|

azonosságot, ahol a g(z) függvény Taylor sora g(z) = A_{q}z^{q} + ⋯ alakú.

Külön lemma formájában mondom ki az alábbi egyszerűen bizonyítható állítást annak fontossága miatt a Hardy függvényosztályok vizsgálatában. Ez azt állítja, hogy a B6. tételben megfogalmazott relációk teljesülnek a Hardy terekben.

B7. Lemma. A 3. fejezetben definiált H_{p} függvényosztályok minden 0 < p ≤ ∞ paraméterre teljesítik a (B1) és ezért a (B2) relációt.

Ha egy g(z) függvénynek véges sok nullhelye van, akkor alkalmas racionális törtfüggvénnyel való beszorzással ezeket a nullhelyeket el tudtuk tüntetni, és a beszorzás segítségével kapott függvények tulajdonságaiból értékes következtetéseket tudunk tenni az eredeti g(z) függvény viselkedéséről. A következő eredmény hasonló lehetőséget biztosít akkor, ha egy az S(0, 1) egységkörön analitikus függvénynek végtelen sok a_{k} nullhelye is lehet, de ezek a nullhelyek teljesítik a (B2) relációt.

B8. Tétel. Keressünk olyan az S(0, 1) egységkörben analitikus, és korlátos függvényt, amelynek a nullhelyei olyan a_{1}, a_{2}, … számok, |a_{k}| < 1 minden 1 ≤ k < ∞ indexre, amelyek teljesítik a (B2) relációt. Az alábbi B(z) függvény ilyen tulajdonságú.

B(z) = Cz^{q} ∏_{k=q+1}^{∞} \frac{|a_{k}|}{a_{k}} \frac{a_{k} − z}{1 − zā_{k}} ,  (B3)

ahol q a nullával egyenlő gyökök száma, a_{k} = 0, ha 1 ≤ k ≤ q, és a_{k} ≠ 0, ha k ≥ q + 1, továbbá C tetszőleges egy abszolút értékű komplex szám. Az f(z) függvényt definiáló szorzat egyenletesen konvergál az S(0, 1) nyílt kör minden zárt részhalmazában.

Megjegyzem, hogy a B8. tétel konstrukciója, hasonló a Weierstrass tétel konstrukciójához. A Weierstrass tételben olyan analitikus egész függvényeket keresünk, amelyeknek nullhelyei egy előírt, véges torlódási ponttal nem rendelkező ponthalmazon vannak. Ezt egy alkalmas szorzat segítségével állítjuk elő, amelyben bizonyos tagokat azért vezetünk be, hogy biztosítsuk a szorzat konvergenciáját. Jelen esetben az 1 abszolút értékű \frac{|a_{k}|}{a_{k}} faktorok biztosítják a szorzat konvergenciáját. Ezek bevezetése természetes. Ezek a faktorok biztosítják, hogy a z = 0 esetben B(z) = B(0) kifejezés (B3) definiciójában szereplő végtelen szorzat pozitív valós szám, ‘a végtelen szorzat közelítő szorzatai nem forognak el’. Bevezetem a következő fogalmat.

Blaschke szorzat definiciója. Legyen a_{1}, a_{2}, … egy a (B2) feltételt teljesítő pontsorozat az S(0, 1) körlap belsejében. A (B3) formulában definiált B(z) függvényt az a_{1}, a_{2}, … sorozathoz és C, |C| = 1 komplex számhoz tartozó Blaschke szorzatnak nevezik.

A Hardy terek vizsgálatában fontos a Blaschke szorzatok tulajdonságainak a megértése. A következő tétel eredménye ilyen típusú eredményt mond ki.

B9. Tétel. Ha a B(z) függvény egy Blaschke szorzat, azaz (B3) alakban írható fel, akkor B(z) olyan analitikus függvény az S(0, 1) körlapon, amelyre |B(z)| ≤ 1 minden |z| < 1 argumentumra, és lim_{r→1} B(re^{iφ}) = 1 majdnem minden −π ≤ φ ≤ π számra.

Megfogalmazok egy olyan eredményt a H_{p}-beli függvények tulajdonságairól, amely a 3. fejezetben megfogalmazott 3.3. tétel természetes általánosítása arra az esetre, amikor a H_{p} tereket nemcsak a p = 2 hanem minden 0 < p ≤ ∞ paraméterre tekintjük. Előtte azonban a teljesség kedvéért megfogalmazom a következő eredményt.

B10. Tétel. Rögzítsünk egy f(z) reguláris függvényt az S(0, 1) körlapon, és definiáljuk a ν_{0}(r) = ν_{0}(r, f) = ∫_{−π}^{π} log |f(r^{iφ})| dφ, ν_{p}(r) = ν_{p}(r, f) = ∫_{−π}^{π} |f(re^{iφ})|^{p} dφ, ha 0 < p < ∞, és ν_{∞}(r) = ν_{∞}(r, f) = sup_{−π≤φ<leπ} |f(re^{iφ})| függvényeket. A ν_{p}(r függvény monoton

a 0 ≤ r < 1 változóban minden 0 ≤ p ≤ ∞ paraméterre.

A következő eredmény úgy tekinthető, mint a 3.3. tétel legfontosabb részének természetes általánosítása minden 0 < p ≤ ∞ paraméterre.

B11. Tétel. Egy f ∈ H_{p}, 0 < p < ∞, függvénynek létezik radiális limesze majdnem minden irányban, azaz

(i) A lim_{r→1} f(re^{iφ}) = f̃(φ) azonosság teljesül majdnem minden φ ∈ [−π, π] pontban egy

alkalmas a [−π, π] intervallumon definiált f̃(·) függvénnyel. (ii) Az (i) pontban szereplő f̃ függvény az L_{p}([−π, π]) tér eleme, és teljesíti az ∥f∥_{p} =

∥f̃∥_{p} azonosságot, ahol az ∥f∥_{p} mennyiséget a 3. fejezetben a H_{p} halmazosztály definiciójában vezettük be.

(iii) A lim_{r→1} f(re^{iφ}) = f̃(φ) konvergencia teljesül az L_{p} értelemben is, ha 0 < p < ∞.

(iv) ∫_{−π}^{π} | log |f̃(φ)|| dφ < ∞, kivéve, ha f(z) ≡ 0 a z ∈ S(0, 1) egységkörben. Speciálisan, az f̃ függvény vagy majdnem mindenütt nulla, vagy csak egy (a Lebesgue mérték szerint) null mértékű halmazon lehet nulla.

Mivel az igazán érdekes 1 ≤ p ≤ ∞ esetben H_{p} ⊂ H_{p}, a H_{p} terek tulajdonságaiból következik, hogy az 1 ≤ p ≤ ∞ esetbetben egy f ∈ H_{p} függvényt egyértelműen meghatároz annak f̃(·) radiális limesze, és az f függvény 0 pont körüli Taylor sorfejtésének az együtthatói megegyeznek az f̃ függvény megfelelő Fourier együtthatóival. Innen az is következik, hogy az f ∈ H_{p} függvények, 1 ≤ p ≤ ∞, radiális limeszei azok és csak azok az f̃ ∈ L_{p} függvények, amelyekre ∫_{−π}^{π} e^{inφ}f̃(φ) dφ = 0 minden n = 1, 2, … számra.

Kihasználva ezeket a tulajdonságokat valamint azt a tényt, hogy egy analitikus mérték egy olyan H_{1} térbeli függvénynek a radiális limesze, amely benne van a H_{1} térben is, és a H_{1} térbeli függvények radiális limeszei L_{1} térbeli függvények be lehet bizonyítani a következő tételt.

B12. Tétel. Minden analitikus mérték abszolút folytonos a Lebesgue mértékre nézve, azaz létezik sűrűségfüggvénye a [−π, π] intervallumon.

Megjegyzem, hogy a H_{p} terek fent említett tulajdonságainak felhasználásával be lehet bizonyítani a következő eredményt is.

B13. Tétel. A H_{p} tér, 1 ≤ p ≤ ∞, Banach tér, sőt az is igaz, hogy az f → f̃ leképezés (minden f ∈ H_{p} függvénynek megfeleltetjük annak f̃ radiális limeszét) a H_{p} tér egy izomorf és norma tartó leképezését adja az L_{p} Banach tér azon zárt alterébe, amely azon f̃ függvényekből áll, amelyek teljesítik az ∫_{−π}^{π} e^{inφ}f̃(φ) dφ = 0 azonosságot minden n = 1, 2, … számra.

A fenti eredményekből következik, hogy minden 1 ≤ p ≤ ∞ paraméterre egy a [−π, π] intervallumon definiált f függvény akkor és csak akkor állítható elő, mint valamely F ∈ H_{p} függvény radiális limesze, ha f ∈ L_{p}, és az f függvény negatív indexű Fourier együtthatói mind nullával egyenlőek, azaz ∫_{−π}^{π} e^{inφ}f(φ) dφ = 0 minden n = 1, 2, … számra. Továbbá azt is tudjuk a B11. tétel (iv) pontja alapján, hogy egy ilyen f függvényre teljesülnie kell az ∫_{−π}^{π} | log |f(φ)|| dφ < ∞ egyenlőtlenségnek is, hacsak az f függvény nem tűnik el majdnem mindenütt.

De ez nem egy teljesen kielégítő kép a jellemezni kívánt függvénycsaládról, mert az, hogy egy függvénynek mikor tűnnek el a negatív indexű Fourier együtthatói csak nehezen ellenőrizhető az általános esetben, és a B11. tétel (iv) pontjában megfogalmazott tulajdonság csak szükséges, de nem elégséges feltétele annak, hogy f a kívánt függvényosztályba tartozzon.

Lényegesen jobb leírása van az alábbi FELADAT B-ben megkövetelt tulajdonságokkal rendelkező függvénycsaládnak. Ez a FELADAT B természetes általánosítása a 3. fejezet végén megfogalmazott FELADAT A-nak, amelynek megoldása fontos szerepet játszik a predikció elméletben.

FELADAT B. Legyen adva egy α(·) függvény a [−π, π] intervallumon, amelyre α(ϑ) ≥ 0 majdnem minden ϑ ∈ [−π, π] számra, és definiáljuk minden 0 < p ≤ ∞ paraméterre a következő

H_{p}(α) = {h(·): h ∈ H_{p}, és lim_{r→∞} |h(re^{iϑ})| = α(ϑ)
majdnem minden ϑ ∈ [−π, π] számra.}  (B4)

függvényekből álló halmazt. Határozzuk meg, hogy mely függvények elemei a H_{p}(α) halmaznak. Speciálisan, mely α(·) függvényekre nem üres a H_{p}(α) halmaz? Mutassuk meg, hogy ha H_{p}(α) nem üres halmaz, akkor a FELADAT B-nek van egy maximális h_{0}(z) ∈ H_{p}(α) megoldása, amelyre teljesül a |h_{0}(z)| ≥ |h(z)| egyenlőtlenség minden h ∈ H_{p}(α) függvényre és z, |z| < 1, komplex számra.

A FELADAT A-ban hasonló feladatot vizsgáltunk p = 2, esetben α(ϑ) = \sqrt{g(ϑ)} választással, ahol g(·) egy spektrál sűrűség függvény volt. Mivel g(−ϑ) = g(ϑ) egy g(·) spektrál sűrűség függvényre, ezért az α(−ϑ) = α(ϑ) tulajdonság is teljesül a FELADAT A-ban. A FELADAT A-ban (felhasználva az α(·) függvény most említett speciális tulajdonságát) olyan h ∈ H_{2} függvényeket keresünk, amelyek hatványsorában valós együtthatók szerepelnek.

A FELADAT A megoldását nem nehéz megtalálni a FELADAT B eredményének a segítségével. Másrészt a FELADAT B megoldása megkapható a FELADAT A 4. fejezetben ismertetett megoldási módszerének a finomításával. Az első lépésben egy olyan eredményt bizonyítunk be, amely a 4.1 Lemma általánosításának tekinthető, és lehetővé teszi, hogy egy f ∈ H_{p}(α) függvény ismeretében olyan új g ∈ H_{p}(α) fügvényt találjunk, amelynek nincs nullhelye az S(0, 1) egységkörben. Ráadásul erre a függvényre teljesül az |f(z)| ≤ |g(z)| egyenlőtlenség minden z ∈ S(0, 1) pontban. Ez következik az alábbi eredményből.

B14. Tétel. Legyen f ∈ H_{p} valamely 0 < p ≤ ∞ paraméterrel. Ez az f függvény felírható fz) = B(z)g(z) alakban, ahol B(z) egy Blaschke szorzat, g ∈ H_{p}, és g(z) ≠ 0 minden z ∈ S(0, 1) pontban. Továbbá ∥g∥_{p} = ∥f∥_{p} a Hardy függvényosztályok definiciójában bevezetett ∥ · ∥_{p} kifejezéssel.

A B9. tételből következik az, hogy ha f ∈ H_{p}(α) akkor a B14. tételben konstruált g függvényre g ∈ H_{p}(α). A g(z) ≠ 0 tulajdonság lehetővé teszi, hogy definiáljuk a log g(z) analitikus függvényt. Továbbá a Blaschke szorzat tulajdonságaiból az is következik, hogy |g(z)| ≥ |f(z)| minden z ∈ S(0, 1) pontban, sőt szigorú egyenlőtlenség van akkor, ha az f(z) függvénynek vannak nullhelyei. Ezután, ha bebizonyítjuk a 4.6. tételben kimondott Szegő tételt akkor a 4.5. lemma bizonyításának természetes módosításával bizonyos feltételek teljesülése esetén mellett meg tudjuk konstruálni a FELADAT B egyik megoldását. A következő eredményt kapjuk.

B15. Tétel. Rögzítsünk valamely 0 < p ≤ ∞ számot, és legyen α(ϑ) olyan függvény a [−π, π] intervallumon, amely teljesíti az ∫_{−π}^{π} | log |α(ϑ)|| dϑ < ∞ feltételt, továbbá ∫_{−π}^{π} |α(ϑ)|^{p} dϑ < ∞, ha 0 < p < ∞, és sup |α(ϑ)| < ∞, ha p = ∞. Ekkor az

F_{0}(z) = exp \{\frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} \frac{e^{iϑ} + z}{e^{iϑ} − z} log α(ϑ) dϑ\}  (B5)

függvényre F_{0} ∈ H_{p}(α). Továbbá minden f ∈ H_{p}(α) függvény f(z) = F_{0}(z)h(z) alakban adható meg, ahol h(z) olyan analitkus függvény az S(0, 1) egységkörön, amelyre |h(z)| ≤ 1 minden z számra az egységkör belsejében, és lim_{r→1} |h(re^{iϑ})| = 1 majdnem minden ϑ ∈

[−π, π] pontban.

A H_{p} osztálybeli függvények radiális limeszének a B11. tétel (ii) és (iv) pontjában megfogalmazott tulajdonságaiból következik, hogy a B15. tételben az α(·) függvényre előírt tulajdonságok nemcsak elégséges, hanem szükséges feltételei is annak, hogy a H_{p}(α) halmaz ne legyen üres. A B15. tétel (B5) formulájában definiált F_{0}(z) függvényt az α(·) függvényhez tartozó külső függvénynek, a szintén a B15. tételben bevezetett h(z) függvényt pedig belső függvénynek nevezzük. A FELADAT B megoldásához, azaz a H_{p}(α) halmaz pontos megadásához az α(·) függvényhez tartozó külső függvény megadásán kívül a belső függvények jellemzése is szükséges. Először leírom a belső függvények definicióját. Ez nem függ az α(·) függvénytől.

Belső függvények definiciója. Azokat az S(0, 1) egységkör belsejében analitikus h(z) függvényeket nevezzük belső függvénynek, amelyekre |h(z)| ≤ 1 minden z ∈ S(0, 1) pontban, és létezik a lim_{r→1} h(re^{iϑ)} = h̃(ϑ) radiális limesz egy olyan h̃(ϑ) függvénnyel, amelyre

|h̃(ϑ)| = 1 majdnem minden ϑ ∈ [−π, π] számra.

Megjegyzés. Az irodalomban azokat a függvényeket nevezik az α(·) függvényhez tartozó külső függvénynek, amelyeket a (B5) formulában szereplő függvényeket egy 1 abszolút értékű komplex számmal beszorozva kapunk. Ráadásul e függvényosztálynak a következő ‘intrinsic’ jellemzését adják.

Egy F (z) ∈ H_{p}(α) akkor és csak akkor az α(·) függvényhez tartozó külső függvény, ha |f(z)| ≤ |F (z)| minden z ∈ S(0, 1) pontban minden f ∈ H_{p}(α) függvényre. Az e jegyzetben is ismertetett eredményekből az is következik, hogy az |f(z)| < |F (z)| szigorú egyenlőtlenség is érvényes minden z ∈ S(0, 1) pontban akkor, ha az f ∈ H_{p}(α) függvény nem az α(·) függvényhez tartozó külső függvény.

Írjuk le a belső függvények családját. Belső függvények a (B3) formulában definiált B(z) Blaschke szorzatok, amelyeket olyan a_{k} ∈ S(0, 1) komplex számok segítségével definiálunk, amelyek teljesítik a (B2) relációt. Továbbá az is igaz, hogy minden h(z) belső függvény előáll h(z) = B(z)S(z) alakban, ahol S(z) olyan belső függvény, amely sehol sem tűnik el az S(0, 1) egységkörön. Adjuk meg az összes ilyen tulajdonságú belső függvényt. Mint látni fogjuk az egy abszolút értékű konstans függvényeken kívül más ilyen függvény is van.

Mivel az ilyen tulajdonságú S(z) függvények nem tünnek el az S(0, 1) egységkörön, ezért definiálhatjuk ezen függvények log S(z) logaritmusát ezen a halmazon. Ezek analitikus függvények, ezért a keresett függvényekre Re log S(z) = log |S(z)| harmonikus függvény az S(0, 1) egységkörben. Továbbá lim_{r→1} log |S(re^{iϑ)}| = 0 majdnem minden

ϑ ∈ [−π, π] számra, és log |S(re^{iϑ})| ≤ 0, ha r < 1. Először az ilyen tulajdonságú log |S(e^{iϑ})| függvényeket keressük. Felhasználva a Fatou tételt (ez a 4.4 tétel) azt kapjuk, hogy a (4.4) formula jobboldala nem triviális, kívánt tulajdonságú log |S(z)| = Re log S(z) függvényeket definiál, ha ebben képletben egy pozitív szinguláris μ mérték −1-szerese szerint integrálunk. (Egy a [−π, π] intervallum Borel részhalmazain definiált μ mérték szinguláris, ha a tartója nulla Lebesgue mértékű halmaz.) Azért integráltunk egy pozitív mérték (−1)-szerese szerint, hogy biztosítsuk a log |S(re^{iϑ})| ≤ 0, ha r < 1 tulajdonságot. Véve az így kapott függvények analitikus kiegészítését, majd annak exponensét az S(0, 1) egységkörön el nem tűnő belső függvényeket kapunk. Ezeket az

S(z) = C exp \{\frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} \frac{z + e^{iϑ}}{z − e^{iϑ}} dμ(ϑ)\} ,  (B6)

képlettel adhatjuk meg, ahol μ tetszőleges szinguláris (pozitív) mérték a [−π, π] intervallum Borel mérhető részhalmazain, és C egy 1 abszolút értékű komplex szám. A (B6) képlettel definiálható S(z) függvényeket szinguláris belső függvénynek nevezik az irodalomban. Be lehet látni, hogy minden belső függvény felírható egy Blaschke szorzat és egy szinguláris belső függvény szorzataként, és ez a reprezentáció, eltekintve az egyes faktorok 1 abszolút értékű számmal való szorzásától egyértelmű.

Érdemes a következő észrevételt tenni. A (B6) formula integráljában szereplő g(z) = \frac{z+e^{iϑ}}{z−e^{iϑ}} magfüggvény a \{z: |z| < 1\} egységkört a \{z: Re z < 0\} félsíkba képező racionális törtfüggvény minden ϑ ∈ [−π, π] paraméterre. Innen következik, hogy egy S(z) szinguláris belső függvényre |S(z)| < 1 szigorú egyenlőtlenséggel minden z ∈ S(0, 1) pontban. Hasonló egyenlőtlenség érvényes a Blaschke szorzatokra is.

A fenti eredmények lehetőséget adnak a FELADAT B megoldásának a leírására. Ez a tartalma a következő tételnek.

B16. Tétel. Akkor és csak akkor nem üres a (B4) formulában definiált H_{p}(α) függvényhalmaz (eltekintve az α(ϑ) ≡ 0 elfajuló esettől), ha az α(ϑ) ≥ 0 függvény teljesíti az ∫_{−π}^{π} | log |α(ϑ)|| dϑ < ∞, valamint az ∫_{−π}^{π} |α(ϑ)|^{p} dϑ < ∞, ha 0 < p < ∞, vagy sup |α(ϑ)| < ∞, ha p = ∞ feltételeket. Ha ezek a feltételek teljesülnek akkor a H_{p}(α) halmaz megegyezik a következő képlettel megadott f(z) függvények családjával.

f(z) = F_{0}(z)B(z)S(z),  (B7)

ahol F_{0}(·) a (B5) képletben megadott az α(·) függvényhez tartozó külső függvény, B(·) a (B3) képletben definiált Blaschke szorzat (valamely a (B2) formulát kiegégítő a_{k} paraméterekkel), és S(z) a (B6) formulában (valamilyen szinguláris μ mérték segítségével) definiált szinguláris belső függvény. A H_{p}(α) halmazban tartalmazott f(z) függvények (B7) formulában megadott előállítása, eltekintve attól, hogy az egyes tényezőket esetleg megszorozhatjuk egy 1 abszolút értékű konstanssal, egyértelmű.