\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
 
\input amstex
\TagsOnRight
\parindent=20pt
%\parskip=2pt plus 1.2pt
\parskip=2.5pt plus 1.2pt
%\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\def\Re{\text{\rm Re}\,}
\def\Im{\text{\rm Im}\,}
\font\script =cmcsc10
\font\BBB=msbm10

\centerline{ \'Attekint\'es }
\centerline{\bf  Dynkin, Evgenyij Boriszovics  \'es Yushkevics, 
Alekszandr Adolfovics}
\centerline{\it T\'etelek \'es feladatok Markov folyamatokr\'ol}
\centerline{ c\'{\i}m\H{u} k\"onyv\'er\H{o}l}

\medskip\noindent
{\it Negyedik fejezet: Hat\'arfelt\'etelek folytonos idej\H{u} 
Markov folyamatokra, k\"ul\"on\"os tekintettel a sz\"ulet\'esi 
\'es hal\'aloz\'asi folyamatokra.}

\medskip\noindent
A k\"onyv negyedik fejezete olyan folytonos idej\H{u} Markov 
folyamatok min\'el teljesebb le\'{\i}r\'as\'at pr\'ob\'alja 
megadni, amelyek v\'eges id\H{o} alatt el\'erhetik a 
f\'azist\'er egyik hat\'arpontj\'at. Folytonos idej\H{u} 
Markov folyamatokat \'altal\'aban a Markov folyamat 
in\-fi\-ni\-te\-zi\-m\'a\-lis ope\-r\'a\-to\-r\'a\-nak 
vagy annak egy ebben a k\"onyvben
karakterisztikus oper\'atornak nevezett v\'altozat\'anak a 
seg\'{\i}ts\'eg\'evel \'{\i}rnak le. A Markov folyamatok 
n\'eh\'any m\'ely t\'etele biztos\'{\i}tja, hogy ha a Markov 
folyamat nem ker\"ul v\'eges id\H{o} alatt az \'allapott\'er 
egy hat\'arpontj\'aba, akkor ez az oper\'ator, `amely 
infinitezim\'alisan megadja a Markov folyamat v\'egtelen kis 
id\H{o} alatt t\"ort\'en\H{o} v\'altoz\'as\'at', 
egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozza egy adott kezdeti 
\'allapotb\'ol ind\'{\i}tott Markov folyamat eloszl\'as\'at. 
De probl\'em\'at okoz az, ha a Markov folyamat v\'eges id\H{o} 
alatt el\'erheti az \'allapott\'er egy hat\'arpontj\'at, mert 
ekkor nem vil\'agos, hogy mi t\"ort\'enik ezut\'an. E fejezet 
f\H{o} t\'em\'aja annak t\'argyal\'asa, hogy hogyan lehet 
folytatni egy Markov folyamatot egy hat\'arpont el\'er\'ese 
ut\'an \'ugy, hogy az tov\'abbra is Markov folyamat maradjon.

E k\'erd\'es vizsg\'alata komoly probl\'em\'at jelent a 
legegyszer\H{u}bb esetekben is, amikor az infinitezim\'alis 
vagy karakterisztikus oper\'atort egyszer\H{u}en defini\'aljuk, 
\'es a Markov folyamatot k\"onnyen meg tudjuk konstru\'alni az 
infinitezim\'alis vagy karakterisztikus oper\'ator 
seg\'{\i}ts\'eg\'evel addig a v\'eletlen id\H{o}pontig, amikor 
a Markov folyamat el\'eri az \'allapott\'er egy hat\'arpontj\'at. 
A fejezet els\H{o} alfejezete ismerteti bizony\'{\i}t\'as 
n\'elk\"ul azt, hogy hogyan tudjuk megadni az \"osszes olyan 
Markov folyamatot a $(-\infty,0]$ f\'elegyenesen, amely Wiener
folyamatk\'ent viselkedik a $(-\infty,0)$ ny\'{\i}lt 
f\'elegyenesen, \'es ha el\'eri a 0 hat\'arpontot, akkor \'ugy
viselkedik, hogy tov\'abbra is Markov folyamat maradjon. A 
k\"onyv r\"oviden megeml\'{\i}ti e probl\'ema egy term\'eszetes 
egyszer\H{u} \'altal\'anos\'{\i}t\'as\'at is, azt az esetet, 
amikor Wiener folyamat helyett \'ugynevezett diffuzi\'os 
folyamatot tekint\"unk. Ezut\'an r\'at\'er az ebben a fejezetben 
r\'eszletesen t\'argyalt \'ugynevezett sz\"ulet\'esi \'es 
ha\-l\'a\-lo\-z\'a\-si folyamatok vizsg\'alat\'ara. Ez az 
el\H{o}bb eml\'{\i}tett Wiener illetve diffuzi\'os folyamat egy 
technikailag egyszer\H{u}bben vizsg\'alhat\'o `diszkr\'et 
\'allapott\'errel rendelkez\H{o}' v\'altozata, amelyben az 
\'allapott\'er a nem negat\'{\i}v sz\'amok halmaza. Ez a modell 
hasonl\'oan viselkedik a Wiener folyamatokhoz, ez\'ert ennek 
t\'argyal\'asa seg\'{\i}t az el\'erhet\H{o} hat\'arpontokkal 
rendelkez\H{o} tartom\'anyokon defini\'alt Wiener folyamatok 
viselked\'es\'enek a jobb meg\'ert\'es\'eben is. A fejezet
vizsg\'alat\'anak fontos r\'esze ennek a hasonl\'o 
viselked\'esnek a megmutat\'asa. 

Le\'{\i}rom r\"oviden, inform\'alis m\'odon azt, hogy hogyan 
lehet jellemezni azokat a Mar\-kov folyamatokat, amelyek Wiener 
folyamatk\'ent viselkednek a $(-\infty,0)$ f\'elegyenesen, a 0
pont pedig hat\'arpontjuk. Lehets\'eges, hogy a Wiener folyamat
0 pontja elnyel\H{o} fal, azaz ha a r\'eszecske el\'eri a 0 
pontot, akkor \"or\"okre ottmarad. Elk\'epzelhet\H{o}, hogy a 
0 pont elt\"untet\H{o} (extinction) fal, azaz a r\'eszecske a 
0 pontot el\'er\'ese ut\'an elt\H{u}nik. Ez azt jelenti, hogy a 0 
pont el\'er\'ese ut\'an a Markov folyamat megsz\H{u}nik l\'etezni. 
Lehet, hogy a 0 pont t\"ukr\"oz\H{o} fal, azaz a Markov folyamat
a 0 pont el\'er\'ese ut\'an \'ugy viselkedik, mint egy $-|W(t)|$
sztochasztikus folyamat, ahol $W(t)$ egy Wiener folyamat a 
$(-\infty,\infty)$ egyenesen. Lehets\'eges tov\'abb\'a, hogy 
a Markov folyamat egy ideig v\'ar, \'es ez a v\'eletlen 
v\'arakoz\'asi id\H{o} exponenci\'alis valamilyen $a>0$ 
param\'eterrel, (az exponenci\'alis v\'arakoz\'asi id\H{o} 
sz\"uks\'eges a Markov tulajdons\'ag meg\H{o}rz\'es\'ehez),
majd  v\'eletlenszer\H{u}en a $(-\infty,0)$ f\'el\-egye\-nes 
valamely pontj\'aba ugrik, ahonnan egy Wiener folyamatk\'ent 
folytatja a p\'aly\'aj\'at. Ebben az esetben egy technikai 
felt\'etelt is tesz\"unk az ugr\'as nagys\'ag\'ar\'ol, ami 
az\'ert sz\"uks\'eges, hogy kiz\'arjuk a t\'uls\'agosan 
szab\'alytalan Markov folyamatokat, amelyeknek a 
trajekt\'ori\'ai cs\'uny\'an viselkednek. Azt k\"ovetelj\"uk
meg, hogy a Markov folyamat trajekt\'ori\'ai jobbr\'ol
folytonos (continue \`a droite) f\"uggv\'enyek legyenek.

Ha a vizsg\'alt Markov folyamat el\'eri a 0 pontot, akkor 
v\'alaszthatjuk bizonyos val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel ezen 
lehets\'eges folytat\'asok valamelyik\'et, \'es kiss\'e 
pontatlanul fogalmazva azt mondhatjuk, hogy ezzel 
le\'{\i}rtuk az \"osszes lehet\H{o}s\'eget. Val\'oj\'aban
a helyzet kiss\'e bonyolultabb, mert a v\'eletlen v\'arakoz\'asi
id\H{o} ut\'an bek\"ovetkez\H{o} v\'eletlen ugr\'as 
le\-het\-s\'e\-ges megval\'osul\'asa \"osszetettebb 
jelens\'eg. Ha a Markov folyamat egy $t_0$ id\H{o}pontban 
meg\-l\'a\-to\-gat\-ja a 0 pontot, akkor 
el\H{o}fordulhat az is, hogy a 0 pont ezt k\"ovet\H{o} 
l\'atogat\'asi id\H{o}pontjai torl\'odnak ehhez a $t_0$ 
id\H{o}ponthoz, \'es e l\'atogat\'asok k\"oz\"ott a 
Markov folyamat kis ugr\'asokat v\'egez. Az \"osszes
lehet\H{o}s\'eget \'ugy tudjuk pontosan le\'{\i}rni,
hogy megadjuk a Markov folyamat $\Cal U$ karakterisztikus 
ope\-r\'a\-to\-r\'a\-nak a hat\'as\'at a $(-(\infty,0]$ 
f\'elegyenes minden pontj\'aban, teh\'at az $x=0$ pontban 
is. Em\-l\'e\-kez\-te\-tek a karakterisztikus oper\'ator 
definici\'oj\'ara. Egy Markov folyamat \'allapotter\'en 
defini\'alt f\"uggv\'enyek alkalmas oszt\'aly\'an 
defini\'alt $\Cal U$ karakterisztikus oper\'ator a 
k\"ovetkez\H{o}:
$$
\Cal Uf(x)=\lim_{U\downarrow x}\frac{E_x f(x(\tau))-f(x)}{E_x\tau}
\tag4.1
$$
ahol $U\downarrow x$ azt jelenti hogy ny\'{\i}lt halmazoknak
az $x$ pontra sz\H{u}k\"ul\H{o} sorozat\'at tekintj\"uk, $E_x$ 
az $x$ pontb\'ol kiindul\'o Markov folyamatra vett v\'arhat\'o 
\'ert\'ek, \'es $\tau$ az els\H{o} id\H{o}pont, amikor az $x$ 
pontb\'ol kiindul\'o $x(t)$, $t\ge0$, Markov folyamat kil\'ep 
az $U$ halmazb\'ol.

A keresett Markov folyamat karakterisztikus oper\'ator\'ara
$\Cal U f(x)=\frac12\Delta f(x)$, ha $x<0$. Defini\'alni kell 
m\'eg a $\Cal U f(0)$ mennyis\'eget. Erre a k\"ovetkez\H{o} 
formula \'erv\'enyes.
$$
\beta \Cal U f(0)+\alpha f'(0)+\gamma f(0)
+\int_{-\infty}^0[f(0)-f(y)]\pi(\,dy)=0,  \tag4.2
$$
ahol $\alpha$, $\beta$ \'es $\gamma$ nem negat\'{\i}v 
konstansok, $\pi$ olyan m\'ert\'ek a $(-\infty,0)$ 
f\'elegyenesen, amelyre 
$$
\pi((-\infty,-1))-\int_{-1}^0y\pi(\,dy)<\infty.
$$
Az $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ \'es $\delta=\pi(-\infty,0)$ 
sz\'amok nem lehetnek egyszerre null\'ak.

Mint a k\"onyv egy heurisztikus indokl\'asban megindokolja, 
ha  $\alpha=\gamma=\delta=0$, \'es $\beta\neq0$, akkor ez a 
formula azt jelenti, hogy a 0 pont elnyel\H{o} fal, ha 
$\alpha\neq0$, $\beta=\gamma=\delta=0$, akkor a 0 pont 
t\"ukr\"oz\H{o} fal, ha $\gamma\neq0$, 
$\alpha=\beta=\delta=0$, akkor a 0 pont elt\"untet\H{o} 
(extinction) fal, ha $\alpha=\beta=\gamma$, \'es
$0<\delta<\infty$, akkor egy v\'eletlen ugr\'as 
t\"ort\'enik $\pi/\delta$ eloszl\'assal. Hasonl\'o, de 
bonyolultabb ugr\'as t\"ort\'enik, ha $\alpha=\beta=\gamma=0$, 
\'es $\delta=\infty$. Az \'altal\'anos esetben 
e hat\'asok kever\'eke t\"ort\'enik.

Ha Wiener folyamat helyett diffuzi\'os folyamatot tekint\"unk 
a $(-\infty,0)$ f\'elegyenesen, aminek az infinitezim\'alis 
oper\'atora (a $\frac12\frac{d^2}{d x^2}$ oper\'ator 
helyett)
$$
L=a(x)\frac{d^2}{d x^2}+b(x)\frac d{d x},
$$
akkor hasonl\'o, de \"osszetettebb jelens\'eg l\'ep fel. 
Speci\'alisan, ebben az esetben meg kell hat\'arozni azt is, 
hogy milyen $a(x)$ \'es $b(x)$ egy\"utthat\'ok eset\'en \'eri 
el a diffuzi\'os folyamat v\'eges id\H{o} alatt a 0 pontot.

A fejezet tov\'abbi r\'esz\'eben a szerz\H{o}k bevezetik a 
sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi folyamatokat, amelyek a 
diffuzi\'os folyamatok diszkretiz\'alt v\'altozat\'anak
tekinthet\H{o}k. Ezek a fo\-lya\-ma\-tok a diffuzi\'os 
folyamatokhoz hasonl\'o viselked\'est mutatnak, ez\'ert 
seg\'{\i}tenek meg\'erteni azok viselked\'es\'et. 
M\'asr\'eszt a sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi 
folyamatok t\'argyal\'asa egyszer\H{u}bb.

Ismertetem a sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi folyamat 
definici\'oj\'at.

\medskip\noindent
{\bf A sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi folyamat definici\'oja.} 
{\it Legyen adva egy $p_0,p_1,\dots$ sz\'am\-so\-ro\-zat, amelynek 
tagjaira $p_0=1$, $0<p_n<1$ minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra, \'es 
legyen $q_n=1-p_n$ minden $n=0,1,2,\dots$ sz\'amra. Legyen 
tov\'abb\'a adva egy $a_0,a_1,\dots$, $a_n>0$, $n=0,1,2,\dots$ 
sz\'amsorozat. E sz\'amsorozatok seg\'{\i}ts\'eg\'evel a 
k\"ovetkez\H{o}k\'eppen defini\'aljuk az \'altaluk 
meghat\'arozott sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi folyamatot.

Az $X(t)$ sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi folyamat olyan 
folytonos idej\H{u} Markov folyamat valamely $0\le t< T(\oo)$ 
v\'eletlen  id\H{o}intervallumban, $0<T(\oo)\le\infty$, amely 
\'ert\'ekeit a nem negat\'{\i}v eg\'esz sz\'amok halmaz\'an 
veszi fel, \'es a k\H{o}vetkez\H{o}k\'epp viselkedik. A Mar\-kov 
folyamat valamely $k_0$, $0\le k_0<\infty$, \'allapotb\'ol 
indul a $t=0$ id\H{o}pontban, azut\'an \'atugrik egy $k_1$, 
$0\le k_1<\infty$ \'allapotba valamely v\'eletlen id\H{o} 
m\'ulva, \'es \'{\i}gy tov\'abb; ha eljutott valamely $k$ 
\'allapotba, akkor v\'eletlen ideig ott marad, majd \'atugrik 
egy \'uj \'allapotba. Ezen v\'eletlen ugr\'asok hely\'et \'es
id\H{o}pontj\'at a Markov folyamat $a_n$ \'es $p_n$ 
param\'eterei a k\"ovetkez\H{o}k\'epp hat\'arozz\'ak meg.  

Ha a Markov folyamat valamely $t$ id\H{o}pontban jutott 
a $k$ \'allapotba, \'es $k\ge1$, akkor az v\'eletlen 
$a_k$ param\'eter\H{u} exponenci\'alis eloszl\'as\'u 
id\H{o}tartamig a $k$ \'allapotban marad, (ez a 
v\'eletlen id\H{o}tartam f\"uggetlen a Markov folyamat 
kor\'abbi viselked\'es\'et\H{o}l), \'es ut\'ana $p_k$ 
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel a $k+1$, $q_k=1-p_k$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a $k-1$ \'allapotba l\'ep. 
Ha a Markov fo\-lya\-mat valamely $t$ id\H{o}pontban a $0$
\'allapotba jutott, akkor v\'eletlen $a_0$ param\'eter\H{u} 
exponenci\'alis eloszl\'as\'u id\H{o}tartamig a $0$ 
\'allapotban marad, (ez az id\H{o}tartam szint\'en 
f\"uggetlen a Markov folyamat kor\'abbi 
viselked\'es\'et\H{o}l), \'es ut\'ana $p_0=1$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az 1~\'allapotba ker\"ul.

Jel\"olje $T_n=T_n(\oo)$ az $n$-ik ugr\'as id\H{o}pontj\'at 
az $X(t)$ folyamat \'ert\'ek\'eben, \'es legyen
$$
T=T(\oo)=\lim_{n\to\infty} T_n(\oo). \tag4.3
$$
Az $X(t)$ folyamatot a $[0,T(\oo))$ intervallumban 
defini\'aljuk az el\H{o}bb defini\'alt $T(\oo)$ 
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'oval.}

\medskip
Szeml\'eletesen az el\H{o}bb ismertetett Markov folyamat a 
k\"ovetkez\H{o}t jelenti. Van egy popul\'aci\'o, amelyiknek 
l\'etsz\'ama id\H{o}nk\'ent megv\'altozik, mert vagy meghal 
valaki vagy \'uj egyed sz\"uletik. E popul\'aci\'o  
l\'etsz\'am\'anak id\H{o}beli v\'altoz\'asa Markov folyamatot
alkot, \'es ennek a Markov folyamatnak a viselked\'es\'et 
vizsg\'aljuk. Ha a popul\'aci\'o l\'etsz\'ama egy adott 
id\H{o}pontban $n$, akkor exponenci\'alis ideig ($a_n$ 
param\'eterrel) kell v\'arni, m\'{\i}g a poul\'aci\'o 
l\'etsz\'ama megv\'altozik. Ekkor $p_n$  
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel \'uj egyed sz\"uletik, \'es $q_n$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel meghal valaki. Ha $n=0$ akkor a 
helyzet kiss\'e m\'odosul, mert ekkor csak \'uj egyed 
sz\"ulethet. El\H{o}fordulhat, hogy a popul\'aci\'o
l\'etsz\'ama v\'eges id\H{o} alatt v\'egtelenre n\"ovekszik. 
Az els\H{o} k\'erd\'es az, hogy ez a Markov folyamat milyen 
$p_n$ \'es $a_n$, $n=0,1,\dots$, param\'eterei eset\'en 
k\"ovetkezik be. Ha ez bek\"ovetkezik akkor az egyik 
lehet\H{o}s\'eg az, hogy a Markov folyamatot ebben az
id\H{o}pontban meg\'all\'{\i}tjuk. Ez\'ert volt term\'eszetes 
a Markov folyamatot csak egy v\'eletlen id\H{o}pontig tekinteni.
A sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi folyamat definici\'oj\'aban
szerepl\H{o} $T(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel ezzel a v\'eletlen id\H{o}ponttal
egyenl\H{o}.

A m\'asodik vizsg\'aland\'o k\'erd\'es az, hogy ha a Markov 
folyamat v\'eges id\H{o} alatt v\'egtelen 
nagys\'ag\'ura n\"ovekszik (amit \'ugy is interpret\'alhatunk, 
hogy a Markov folyamat v\'eges id\H{o} alatt el\'eri az 
\'allapott\'er $\infty$ hat\'arpontj\'at), akkor 
hogyan folytathatjuk a Markov folyamatot (a $\infty$ ponttal
kib\H{o}v\'{\i}tve az \'allapotteret) \'ugy, hogy az \'{\i}gy
kapott sztochasztikus  folyamat tov\'abbra is Markov folyamat 
maradjon (ugyanazokkal az 
\'at\-me\-net\-va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gek\-kel,
ha a kiindul\'o pont a $0,1,\dots$ pontok valamelyike. A 
k\"onyv e fejezet\'enek f\H{o} t\'em\'aja ezen 
k\'erd\'esek megv\'alaszol\'asa. 

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Annak \'erdek\'eben, hogy val\'oban 
Markov folyamatot defini\'aljunk sz\"uks\'eges volt feltenni, 
hogy a v\'arakoz\'asi id\H{o}k egy sz\"ulet\'es vagy 
hal\'aloz\'as bek\"ovetkezt\'eig exponenci\'alis eloszl\'as\'uak. 
Feltett\"uk, hogy $0<p_n<1$ minden $n\ge1$ indexre szigor\'u 
egyenl\H{o}tlens\'eggel. Ennek a felt\'etelez\'esnek technikai
okai voltak.

\medskip
 El\H{o}sz\"or azzal a k\'erd\'essel foglalkozunk, hogy mikor 
\'eri el a Markov folyamat v\'eges id\H{o}n bel\"ul a $\infty$ 
hat\'arpontot. E k\'erd\'es megv\'alaszol\'asa  \'erdek\'eben 
els\H{o} l\'ep\'esben azt vizsg\'aljuk, hogy egy sz\"ulet\'esi 
\'es hal\'aloz\'asi folyamat mikor konverg\'al $\infty$-hez, ha  
a Markov fo\-lya\-mat l\'ep\'eseinek sz\'ama tart a v\'egtelenhez.
E k\'erd\'es megv\'alaszol\'as\'ahoz \'erdemes tudni azt, hogy 
ha a Markov folyamatot elind\'{\i}tjuk egy $[a,b]$ intervallum 
belsej\'eb\H{o}l, akkor mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, 
hogy a Markov folyamat kil\'ep ebb\H{o}l az intervallumb\'ol, 
\'es a $b$ jobboldali v\'egpont ir\'any\'aban l\'ep ki ezen 
intervallumb\'ol el\H{o}sz\"or. 

Ha Wiener folyamatot tekint\"unk, akkor ismerj\"uk az anal\'og 
k\'erd\'esre a v\'alaszt. Ha adva van egy $[a,b]$ intervallum, 
\'es a Wiener folyamat egy $x$, $a<x<b$, pontb\'ol indul el, akkor 
annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a Wiener folyamat az $a$ 
\'es $b$ pontok k\"oz\"ul el\H{o}sz\"or a $b$ pontot \'eri el 
$\frac{x-a}{b-a}$, \'es annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, 
hogy az $a$ pontot  \'eri el el\H{o}sz\"or $\frac{b-x}{b-a}$. 
Bevezet\"unk egy olyan \'ugynevezett kanonikus sk\'al\'at egy
sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi folyamat \'allapotter\'en,
amelynek alkalmaz\'asa eset\'en ezen sz\"ulet\'esi \'es 
hal\'aloz\'asi folyamat  kil\'ep\'esi val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egei 
egy adott intervallumb\'ol hasonl\'o k\'epleteket 
teljes\'{\i}tenek, mint a Wiener folyamat megfelel\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egei. Pontosabban sz\'olva a 
$\{0,1,2,\dots\}$ nem negat\'{\i}v eg\'esz sz\'amokb\'ol 
\'all\'o \'allapott\'eren defini\'alt sz\"ulet\'esi \'es 
hal\'aloz\'asi folyamat helyett egy alkalmas 
$u_0,u_1,\dots$, $u_0<u_1<\dots$, pontokb\'ol \'all\'o 
\'allapotteren defini\'alt szint\'en sz\"ulet\'esi \'es 
hal\'aloz\'asi folyamatnak nevezett Markov folyamatot 
tekint\"unk, amelyben egy l\'ep\'esen bel\"ul az $u_n$ 
\'allapotb\'ol vagy az $u_{n+1}$ vagy az $u_{n-1}$ 
\'allapotba juthatunk. Ezen \'al\-la\-pot\-v\'al\-to\-z\'as 
bek\"ovetkez\'es\'eig exponenci\'alis eloszl\'asi 
v\'arakoz\'asi id\H{o} telik el $a_n$ param\'eterrel, \'es 
$p_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel jutunk az $u_n$ pontb\'ol
az $u_{n+1}$ pontba, \'es  $q_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel 
az $u_{n-1}$ pontba. E m\'odos\'{\i}tott \'es eredeti 
sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi folyamat k\"oz\"ott 
egyszer\H{u} kap\-cso\-lat van,  \'es az $u_n$ pontok (a 
kanonikus sk\'ala) v\'alaszt\'asa eset\'en a minket 
\'erdekl\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek hasonl\'oan 
viselkednek, mint az anal\'og val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek 
a Wiener folyamat eset\'eben. A tov\'abbiak ban a sz\"ulet\'esi
\'es hal\'aloz\'asi folyamatokat \'ugy fogjuk tekinteni, hogy
azok \'ert\'ekeiket a kanonikus sk\'al\'an veszi fel, azaz
lehets\'eges \'ert\'ekeik az $u_0,u_1,\dots$ sz\'amok a
$0,1,2,\dots$ sz\'amok helyett.

Defini\'aljuk az $u_n$ sz\'amokat a k\"ovetkez\H{o} m\'odon: 
Legyen $u_0=0$, $u_1=1$, \'es ezut\'an defini\'aljuk 
rekurz\'{\i}v m\'odon az $u_n$ sz\'amokat a 
$$
q_n=\frac{u_{n+1}-u_n}{u_{n+1}-u_{n-1}}, \quad
p_n=\frac{u_{n}-u_{n-1}}{u_{n+1}-u_{n-1}}, \quad n\ge1,
$$
k\'epletek seg\'{\i}ts\'eg\'evel. (Ez annak felel meg, hogy 
$[a,b]=[u_{n-1},u_{n+1}]$, $x=u_n$ eset\'en a kil\'ep\'esi 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekre olyan k\'epleteket kapjunk, 
mint a Wiener folyamatok eset\'eben.) N\'emi sz\'amol\'as 
azt adja, hogy ilyen v\'alaszt\'assal
$$
u_0=0,\; u_1=1,\; u_n=\delta_0+\cdots\delta_{n-1}
=1+\frac{q_1}{p_1}+\cdots+\frac{q_1\cdots q_{n-1}}{p_1\cdots p_{n-1}},
\quad n\ge1, \tag4.4
$$
ahol
$$
\delta_k=\frac{q_1\cdots q_k}{p_1\cdots p_k},\quad k\ge1. \tag4.5
$$
Legyen
$$
r=\lim_{n\to\infty}u_n=1+\lim_{n\to\infty}
\(\frac{q_1}{p_1}+\cdots+\frac{q_1\cdots q_{n-1}}{p_1\cdots p_{n-1}}\),
\tag4.6
$$
\'es nevezz\"uk az $\Cal E=\{u_0,u_1,\dots\}$ halmazt a Markov
folyamat \'allapotter\'enek, \'es az $r$ pontot az \'allapott\'er 
hat\'arpontj\'anak.

Tekints\"unk egy $[a,b]$ intervallumot, \'es egy $a\le u\le b$ 
pontot, amelyekre $a=u_j$, $b=u_k$, $u=u_s$ valamely 
$u_j,u_k,u_s\in\Cal E$ pontokkal. A k\"ovetkez\H{o} t\'etelben 
megadjuk annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy
az $u=u_s$ pontb\'ol kiindul\'o sz\"ulet\'esi folyamat 
el\H{o}bb \'eri el a $b$ pontot, mint az $a$ pontot, illetve 
annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy az $a=u_0=0$ esetben 
valamikor el\'eri a $b$ pontot. Ugyancsak megadjuk a 
megfelel\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket akkor, ha $b=r$.

\medskip\noindent
{\bf 4.1.\ T\'etel.} {\it Legyen adva egy $X(t)$ sz\"ulet\'esi 
\'es hal\'aloz\'asi folyamat, a kanonikus sk\'a\-l\'a\-z\'as\-sal. 
Tekints\"unk egy $[a,b]$ intervallumot, \'es egy $a\le u\le b$ 
pontot, amelyekre $a=u_j$, $b=u_k$, $u=u_s$ valamely 
$u_j,u_k,u_s\in\Cal E$ pontokkal. Jel\"olje $p(u;a,b)$  
annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy az $u=u_s$ 
pontb\'ol kiindul\'o sz\"ulet\'esi folyamat el\H{o}bb \'eri 
el a $b$ pontot, mint az $a$ pontot, \'es $q(u;a,b)$ annak 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy el\H{o}bb \'erje el az 
$a$ pontot, mint a $b$ pontot. Legyen $p(u;b)$ annak 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az $u$ pontb\'ol 
kiindul\'o sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi folyamat 
valamikor el\'eri a $b$ pontot, ahol $u=u_s$, $b=u_k$, 
$u_s,u_k\in\Cal E$, \'es $u\le b$. Ekkor a k\"ovetkez\H{o}
azonoss\'agok \'erv\'enyesek:
$$
p(u;a,b)=\frac{u-a}{b-a}, \quad q(u;a,b)=\frac{b-u}{b-a}, 
\quad p(u;b)=1.
$$
Ha $p(u;a,r)$ \'es $q(u;a,r)$ jel\"oli a
$p(u;a,b)$ \'es $q(u;a,b)$ mennyis\'egeket abban az 
esetben, ha a $b=u_k$ param\'etert a $b=r$ param\'eterrel 
helyettes\'{\i}tj\"uk, akkor az al\'abbi azonoss\'agok 
\'erv\'enyesek:
$$
p(u;a,r)=\left\{
\aligned
&\frac{u-a}{r-a}, \quad \text{ha }r<\infty \\
&0, \quad \text{ha }r=\infty,
\endaligned  \right.
$$
$$
q(u;a,r)=\left\{
\aligned
&\frac{r-u}{r-a}, \quad \text{ha }r<\infty \\
&1, \quad \text{ha }r=\infty.
\endaligned  \right.
$$
}

\medskip
R\"oviden ismertetem 4.1.~t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'anak
a f\H{o} gondolat\'at. Ha $a=u_m$, \'es $b=u_n$, akkor minden
$u=u_l$, $m<l<n$, sz\'amra fel\'{\i}rhatjuk a
$$
p(u_l)=q_l p(u_{l-1})+p_l p(u_{l+1})
$$
azonoss\'agot a $p(u_n)=1$, $p(u_m)=0$ hat\'arfelt\'etelekkel,
ahol $p(u)$, $u\in\Cal E$, annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et
jel\"oli, hogy az $u$ pontb\'ol kiindul\'o sz\"ulet\'esi 
\'es hal\'aloz\'asi folyamat el\H{o}bb \'eri el a $b$, mint 
az $a$ pontot. Ennek az egyenletrendszernek a 
seg\'{\i}ts\'eg\'evel be lehet bizony\'{\i}tani a $p(u;a,b)$
kifejez\'esre kapott formul\'at. A $q(u;a,b)$ kifejez\'esre
adott formula hasonl\'oan bizony\'{\i}that\'o. A $p(u;b)$
kifejez\'esre hasonl\'o rel\'aci\'okat \'{\i}rhatunk fel
$a=u_0=0$ v\'alaszt\'assal. Az egyetlen k\"ul\"onbs\'eg az,
hogy a $p(a)=0$ hat\'arfelt\'etel elt\H{u}nik, helyette
az $p(u_0)=p(u_1)$ azonoss\'ag jelenik meg. Innen kapjuk
a kifejez\'est a $p(b;u)$ kifejez\'esre. A t\'etel t\"obbi
\'all\'{\i}t\'as\'at a t\'etel m\'ar bebizony\'{\i}tott 
r\'esz\'enek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel kapjuk $b\uparrow r$ 
hat\'ar\'atmenet seg\'{\i}ts\'eg\'evel.

\medskip
A 4.1.~t\'etel eredm\'enye lehet\H{o}v\'e teszi annak 
megad\'as\'at, hogy mikor rekurz\'{\i}v \'es mikor 
tranzit\'{\i}v az az $X_0,X_1,\dots$ Markov l\'anc, amelyet 
\'ugy kapunk, hogy felt\"untetj\"uk egy sz\"ulet\'esi \'es 
hal\'aloz\'asi folyamat \'allapot\'at az egym\'ast 
k\"ovet\H{o} ugr\'asok ut\'an, de nem jegyezz\"uk meg, hogy 
ezek az ugr\'asok mely id\H{o}ponoktban k\"ovetkeztek be.  
A k\"ovetkez\H{o} eredm\'enyt kapjuk.

\medskip\noindent
{\bf 4.2.\ T\'etel.} {\it Tekints\"unk egy sz\"ulet\'esi \'es 
hal\'aloz\'asi folyamatot a kanonikus sk\'al\'az\'assal, \'es
defini\'aljuk azt az $X_0,X_1,\dots$ Markov l\'ancot, amelyet 
\'ugy kapunk, hogy felt\"untetj\"uk e sz\"ulet\'esi \'es 
hal\'aloz\'asi folyamat \'allapot\'at az egym\'ast k\"ovet\H{o} 
ugr\'asok ut\'an. Ha a sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi 
folyamat $\Cal E$ \'allapotter\'enek $r$ hat\'arpontj\'ara 
$r=\infty$, akkor egy  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a Markov 
l\'anc a $\Cal E$ \'allapott\'er minden pontj\'at v\'egtelen 
sokszor l\'atogatja meg, ez\'ert a Markov l\'anc nem 
konverg\'al az $r$ ponthoz. Ilyenkor azt mondjuk, hogy az $r$ 
hat\'arpont a sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi folyamat 
tasz\'{\i}t\'o hat\'arpontja.

Ha $r<\infty$, akkor egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a Markov 
l\'anc a $\Cal E$ \'allapott\'er minden pontj\'at v\'eges 
sokszor l\'atogatja meg, ez\'ert a Markov l\'anc konverg\'al 
az $r$ ponthoz. Ilyenkor azt mondjuk, hogy az $r$ hat\'arpont
a sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi folyamat vonz\'o 
hat\'arpontja.}

\medskip 
Meg k\'{\i}v\'anjuk hat\'arozni, hogy a sz\"ulet\'esi \'es 
hal\'aloz\'asi folyamat mikor \'eri el a f\'azist\'er $r$ 
hat\'arpontj\'at v\'eges id\H{o} alatt. (Mint a k\'es\H{o}bbi 
eredm\'enyekb\H{o}l kider\"ul, ennek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege 
mindig vagy nulla vagy egy.) Ha $r=\infty$, \'es \'{\i}gy az 
$r$ pont a sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi folyamat 
tasz\'{\i}t\'o hat\'arpontja akkor ez nem t\"ort\'enik meg.
Ha $r<\infty$, azaz $r$ a sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi 
folyamat vonz\'o hat\'arpontja akkor a k\'erd\'es 
megv\'alaszol\'asa tov\'abbi vizsg\'alatokat ig\'enyel. Ebben 
az esetben a v\'alasz az egyes ugr\'asok k\"oz\"ott eltelt 
id\H{o}t meghat\'aroz\'o $a_n$ param\'eterekt\H{o}l is f\"ugg. 
Annak \'erdek\'eben, hogy a k\'erd\'est megv\'alaszoljuk, 
\'erdemes meghat\'arozni annak az id\H{o}nek a v\'arhat\'o 
\'ert\'ek\'et, ami ahhoz sz\"uks\'eges, hogy egy valamilyen 
$u\in[a,b]$ pontb\'ol indul\'o sz\"ulet\'esi \'es 
hal\'aloz\'asi folyamat kil\'epjen az $[a,b]$ intervallumb\'ol.

E v\'arhat\'o \'ert\'ek kisz\'amol\'asa eset\'eben is 
\'erdemes megvizsg\'alni a Wiener folyamatokra 
megfogalmazhat\'o anal\'og probl\'em\'at, \'es megkeresni 
a hasonl\'os\'agot a k\'et feladat megold\'asa k\"oz\"ott.

Legyen adva egy $[a,b]$ intervallum, ind\'{\i}tsunk el egy Wiener
folyamatot az $[a,b]$ intervallum valamely $u$, $a\le u\le b$
pontj\'ab\'ol, \'es sz\'am\'{\i}tsuk ki annak az id\H{o}nek a 
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et, ami ahhoz sz\"uks\'eges, hogy a 
Wiener folyamat el\'erje az $[a,b]$ intervallum valamelyik 
v\'egpontj\'at. Be lehet l\'atni, hogy ez a v\'arhat\'o 
\'ert\'ek $-(u-a)(u-b)$-vel egyenl\H{o}.

 Ennek az eredm\'enynek lehet a k\"ovetkez\H{o} geometriai 
interpret\'aci\'ot adni: Tekints\"uk a $-x^2$ parabol\'at, 
\'es azt az egyenest, amelyik e parabola $(a,-a^2)$ \'es 
$(b,-b^2)$ pontjait k\"oti \"ossze. Ekkor a minket
\'erdekl\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg megegyezik az $x=u$ 
egyenesnek e parabola \'es egyenes k\"oz\'e es\H{o} 
szakasz\'anak a hossz\'aval. Az\'ert \'erdemes ezt a 
geometriai k\'epet megfogalmazni, mert a sz\"ulet\'esi 
\'es hal\'aloz\'asi folyamatra megfogalmazott anal\'og 
k\'erd\'esre hasonl\'o, geometriailag megfogalmazhat\'o 
\'all\'{\i}t\'as \'erv\'enyes, csak ott a parabola 
szerep\'et egy m\'asik, a k\"onyvben az $x(t)$ sz\"ulet\'esi 
\'es hal\'aloz\'asi folyamat karakterisztik\'aj\'anak 
nevezett $S(u)$ f\"uggv\'eny veszi \'at. Defini\'aljuk 
ezt a f\"uggv\'enyt.  

Az $S(u)$ f\"uggv\'eny megtal\'al\'asa \'erdek\'eben 
vezess\"uk be az $m(u_n)=m(u_n;a,b)$ f\"uggv\'enyt 
valamely $a=u_k$ \'es $b=u_l$ param\'eterekre, amelyik 
egyenl\H{o} annak a $\tau(a,b)$ id\H{o}nek a v\'arhat\'o 
\'ert\'ek\'evel, ami ahhoz kell hogy az $u_n$ 
pontb\'ol kiindul\'o sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi 
folyamat el\'erje vagy az $a$ vagy a $b$ pontot.

A k\"onyv bel\'atja, hogy $m(u_n)<\infty$ minden 
$u_k\le u_n\le u_l$ sz\'amp\'arra. Nem neh\'ez bel\'atni, 
hogy az $m(u_n)$ f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti
az
$$
m(u_n)=\frac 1{a_n}+q_n m(u_{n-1})+p_n m(u_{n+1}) \tag4.7
$$
egyenletet \'es az $m(a)=m(b)=0$ hat\'arfelt\'eteleket.

Ahhoz, hogy a (4.7) k\'epletet fel\'{\i}rhassuk, \'es
sz\'amolni tudjunk vele meg kell mutatni, hogy
$m(a,b)=E_{u_n}\tau(a,b)<\infty$. Ennek \'erdek\'eben
a szerz\H{o}k bebizony\'{\i}tj\'ak a k\"ovetkez\H{o}, 
k\'es\H{o}bbi vizsg\'alatokban is haszn\'alt eredm\'enyt.

\medskip\noindent
{\bf 4.3.\ Lemma.} {\it Legyen adva egy Markov l\'anc valamely
$E$ \'allapott\'eren, \'es legyen $I\subset E$ ezen \'allapott\'er
egy (v\'eges vagy v\'egtelen) r\'eszhalmaza. Jel\"olje $\tau$ az
$I$ halmazb\'ol val\'o els\H{o} kil\'ep\'es id\H{o}pontj\'at. Ha
l\'eteznek olyan $t<\infty$ \'es $\alpha>0$ sz\'amok, amelyekre
$$
P_u(\tau<t)\ge\alpha \quad \text{minden } u\in I \text{ pontban,}
$$
akkor 
$$
P_u(\tau<\infty)=1,\quad \text{\'es}\quad  E_u\tau<\infty
$$
minden $u\in I$ pontban.}

\medskip
Az $S_n=S(u_n)$, $n=0,1,2,\dots$ sorozatot a (4.4) formul\'ahoz
hasonl\'oan defini\'aljuk azzal a k\"ul\"onbs\'eggel, 
hogy minden $u_n\in\Cal E$ pontban defini\'aljuk, \'es az 
$$
S_0=S(u_0)=0
$$
hat\'arfelt\'etelt v\'alasztjuk, \'es bevezetj\"uk az $S_{-1}=0$
mennyis\'eget is. Ekkor az
$$
(S_{n+1}-S_n)p_n=(S_n-S_{n-1})q_n-\frac1{a_n}, 
\quad n\ge1, \quad \text{\'es } S_1=-\frac1{a_0}, 
$$
azonoss\'agot \'{\i}rhatjuk fel. Ezt az azonoss\'agot 
\'erdemes \'at\'{\i}rni a (4.5) formul\'aban defini\'alt 
$\delta_k$ mennyis\'egek seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ekkor azt 
kapjuk, hogy 
$$
p_n=\frac{\delta_{n-1}}{\delta_{n-1}+\delta_n}, \quad
q_n=\frac{\delta_n}{\delta_{n-1}+\delta_n},
$$
\'es
$$
\frac{S_n-S_{n-1}}{\delta_n}=\frac{S_n-S_{n-1}}{\delta_{n-1}}
-\frac1{a_n}\frac{\delta_{n-1}+\delta_n}{\delta_{n-1}\delta_n}.
\tag4.8
$$
Tekints\"uk a $v_n=-\frac{S_{n+1}-S_n}{\delta_n}$, $n=1,2,\dots$,
\'es $v_0=\frac1{a_n}$ sorozatot. Ekkor a (4.8) formula alapj\'an
$$
v_n=v_{n-1}+2\mu_n \quad n\ge1, \quad v_0=2\mu_0, \tag4.9
$$
ahol
$$
2\mu_n=\frac1{a_n}\frac{\delta_{n-1}+\delta_n}{\delta_{n-1}\delta_n},
\quad n\ge1,\quad\text{\'es }2\mu_0=\frac1{a_n}. \tag4.10
$$
Megjegyzem, hogy az $S_n$ \'es $v_n$ sz\'amokat ki lehet 
fejezni a sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi folyamat 
$p_n$, $q_n=1-p_n$ \'es $a_n$, $n=0,1,2,\dots$ 
param\'eterei seg\'{\i}ts\'eg\'evel a k\"ovetkez\H{o} 
m\'odon:
$$
\align
v_n&=\sum_{k=0}^n\mu_k=\frac1{a_0}+\sum_{k=1}^n\frac1{a_k}
\frac{p_1\cdots p_{k-1}}{q_1\cdots q_k}, \quad n\ge0,  \\
S_n&=-\sum_{m=0}^{n-1}v_m\delta_m=-\sum_{0\le k\le m\le n-1}\frac1{a_k}
\frac{q_{k+1}\cdots q_m}{p_k\cdots p_m}, \quad n\ge1.
\endalign
$$

Defini\'aljuk az el\H{o}bb bevezetett $S_n$ \'es $v_n$ 
sorozat seg\'{\i}ts\'eg\'evel a k\"ovetkez\H{o} $S(u)$
\'es  $v(u)$ f\"uggv\'enyeket. Az $S(u)$ f\"uggv\'enyt 
a  $0\le t<r$ intervallumon defini\'aljuk, ahol az $r$
sz\'amot a (4.6) formul\'aban vezett\"uk be, az 
$S(u)=\frac{u_{n+1}-u}{u_{n+1}-u_n}S_n 
+\frac{u-u_n}{u_{n+1}-u_n}S_{n+1}$, ha $u_n\le u\le u_{n+1}$, 
$n=0,1,\dots$ A k\'eplet seg\"{\i}ts\'eg\'evel. Azaz 
$S(u_n)=S_n$, \'es az $S(u)$ f\"uggv\'eny line\'aris az 
$[u_n,u_{n+1}]$ intervallumokban. A $v(u)$ f\"uggv\'enyt 
a $\bigcupp_{n=0}^\infty(u_n,u_{n+1})$ halmazon 
defini\'aljuk a $v(u)=v_n$ k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel 
az $u_n\le u<u_{n+1}$ intervallumban. 

Adva egy $z(u_n)$ sorozat, $A\le n\le B+1$, valamely 
$0\le A\le B\le \infty$ sz\'amokkal az $\Cal E$ halmaz
egy r\'eszhalmaz\'an,
defini\'aljuk annak $D_u z(u)$ deriv\'altj\'at a 
$\bigcupp_{n=A}^B (u_n,u_{n+1})$ halmazon a
$$
D_u z(u)=\frac{z(u_{n+1})-z(u_n)}{u_{n+1}-u_n}, \quad\text{ha }
u_n<u<u_{n+1} \tag4.11
$$
k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ekkor a $v_n$ sorozat 
definici\'oja miatt
$$
D_uS(u)=-v(u), \tag4.12
$$
ha $u\in (u_n,u_{n+1})$ minden $(u_n,u_{n+1})$ intervallumban. 
Nem neh\'ez bel\'atni, hogy a $v(u)$ f\"uggv\'eny szigor\'uan 
mononton n\"ovekv\H{o}, \'es az $S(u)$ f\"uggv\'eny monoton
cs\"okken\H{o}, konk\'av f\"uggv\'eny a $[0,r)$
intervallumban. Az $S(u)$ f\"uggv\'enyt kiterjeszthetj\"uk 
a z\'art $[0,r]$ intervallumra is az 
$S(r)=\limm_{u\to r}S(u)$ k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel. 
Ezt az $S(u)$ f\"uggv\'enyt nevezz\"uk az $x(t)$ 
sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi folyamat
karakterisztik\'aj\'anak. 

Jel\"olje $m(u;a,b)$ annak az id\H{o}nek a v\'arhat\'o 
\'ert\'ek\'et, ami ahhoz sz\"uks\'eges, hogy az $u$ 
pontb\'ol kiindul\'o sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi 
folyamat el\'erje az $a$ vagy $b$ pont valamelyik\'et 
$m(u;b)$ annak az id\H{o}nek a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et, 
ami ahhoz sz\"uks\'eges, hogy az $u$ pontb\'ol kiindul\'o 
sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi folyamat el\'erje a 
$b$ pontot, ahol $a=u_k$, $b=u_l$, $u=u_s$, \'es 
$a\le u\le b$. Hasonl\'oan defini\'aljuk az $m(u;a,r)$, 
\'es $m(u;r)$ mennyis\'egeket, ha a $b=u_l$ sz\'amot 
a $b=r$ sz\'ammal helyettes\'{\i}tj\"uk. Mind az $S_n$ 
mind az $m(u_n;a,b)$ \'es $m(u_n;b)$ sorozatok 
teljes\'{\i}tik a (4.7) formul\'at. K\'et olyan sorozatnak
az $m(u_n)$-nel jel\"olt k\"ul\"onbs\'ege, amely 
teljes\'{\i}ti a (4.7) formul\'at teljes\'{\i}ti az
$$
m(u_n)=q_n m(u_{n-1})+p_n m(u_{n+1}) 
$$
azonoss\'agot. Az ilyen rel\'aci\'ot teljes\'{\i}t\H{o} 
sorozatok egyszer\H{u}en jellemezhet\H{o}ek. Ezt a 
t\'enyt felhaszn\'alva a k\"onyv bebizony\'{\i}tja, hogy 
az el\H{o}bb defini\'alt mennyis\'egek teljes\'{\i}tik 
az al\'abbi azonoss\'agot.

\medskip\noindent
{\bf 4.4.\ T\'etel.} {\it Egy sz\"ulet\'esi \'es 
hal\'aloz\'asi folyamatra az el\H{o}bb defini\'alt 
$m(u;a,b)$, $m(u,b)$, $m(u;a,r)$ \'es $m(u;r)$ v\'arhat\'o
\'ert\'ekek teljes\'{\i}tik a k\"ovetkez\H{o} azonoss\'agokat.
$$
\align
m(u;a,b)&=S(u)-\frac{(b-u)S(a)+(u-a)S(b)}{b-a}, \\
m(u;b)&=S(u)-S(b), \\
m(u;a,r)&=S(u)-\frac{(r-u)S(a)+(u-a)S(r)}{r-a}, 
\quad \text{ha } r<\infty, \\
m(u;r)&=S(u)-S(r), \quad \text{ha }r<\infty.
\endalign
$$
}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.} Ki tudn\'ank sz\'amolni az $m(u;a,r)$ 
\'es $m(u;r)$ mennyis\'egeket az $r=\infty$ eset\-ben is, 
de erre nincs sz\"uks\'eg\"unk.

\medskip
A 4.4.\ t\'etel azt mondja ki, hogy egy sz\"ulet\'esi \'es 
hal\'aloz\'asi folyamat eset\'en egy intervallum 
hat\'ar\'anak el\'er\'es\'ehez sz\"uks\'eges id\H{o} 
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et egy hasonl\'o geometriai 
k\'eppel interpret\'alhat\'o k\'eplet fejezi ki, mint 
a Wiener folyamat eset\'en, csak ebben az esetben a 
$-x^2$ f\"uggv\'eny szerep\'et az $S(u)$ f\"uggv\'eny 
veszi \'at, amelyet karakterisztik\'anak nevez\"unk.
A k\'et eset k\"oz\"otti hasonl\'os\'agot m\'eg jobban 
ki tudjuk fejezni a k\"ovetkez\H{o} fogalmak 
bevezet\'es\'enek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel.

Vezess\"uk be a $\mu$ m\'ert\'eket a sz\'amegyenesen, amely 
az $\Cal E=\{u_0,u_1,\dots\}$ halmazra van koncentr\'alva,
\'es $\mu(u_n)=\mu_n$, $n=0,1,2,\dots$ a (4.10) k\'epletben
defini\'alt $\mu_n$ sz\'amokkal. Defini\'aljuk egy olyan a 
$\bigcupp_{n=0}^\infty (u_n,u_{n+1})$ halmazon defini\'alt
$z(u)$ f\"uggv\'eny
deriv\'altj\'at a $\mu$ m\'ert\'ek szerint, amelyik minden 
$(u_n,u_{n+1})$ intervallumon konstans, a k\"ovetkez\H{o} 
m\'odon. A $D_\mu(z)$ deriv\'alt egy olyan a 
$\Cal E=\{u_0,u_1,\dots\}$ halmazon defini\'alt f\"uggv\'eny,
amelynek \'ert\'ekeit a
$$
\aligned
D_\mu z(u_n)&=\frac{z(u'')-z(u')}{\mu_n}, 
\quad u'\in (u_{n-1},u_n),\;\;
u''\in(u_n,u_{n+1}), \;n\ge1, \\
D_\mu z(u_0)&=\frac{z(u'')}{\mu_0}, \qquad\qquad\quad u''\in(u_0,u_1)
\endaligned \tag4.13
$$
k\'eplet adja meg.

Ekkor a (4.9) formula fel\'{\i}rhat\'o $D_\mu v=2$ 
alakban, \'es a (4.12) formula szerint 
$$
D_\mu D_u S(u)=-2.
$$

\noindent
Tekints\"uk a 4.4.\ T\'etel megfogalmaz\'asa el\H{o}tt 
bevezetett $m(u;a,b)$, $m(u;b)$, $m(u;a,r)$ \'es $m(u;r)$ 
mennyis\'egeket, amelyeket bizonyos $u=u_s$, $u_s\in\Cal E$ 
param\'eterekre de\-fi\-ni\-\'al\-tunk. R\"ogz\'{\i}tett
$a$, $b$ vagy $r$ param\'eterre jel\"olje $m(u_n)$ az \'{\i}gy
defini\'alt mennyis\'egeket (azon $u_n$ param\'eterekre,
amelyekre ezeknek \'ertelme van). Erre a sorozatra is 
teljes\"ul a 
$$
D_\mu D_u m(u)=-2
$$
azonoss\'ag.

Ez az azonoss\'ag \'erdekes hasonl\'os\'agot mutat a 
hat\'ar el\'er\'es\'ehez sz\"uks\'eges id\H{o} 
v\'ar\-ha\-t\'o \'ert\'ek\'evel a Wiener folyamat 
eset\'en. Jel\"olje ebben az esetben is $m(u)$ annak 
az id\H{o}nek a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et, ami ahhoz 
sz\"uks\'eges, hogy az $u$ pontb\'ol kiindul\'o Wiener 
folyamat el\'erje az $[a,b]$ intervallum valamely 
hat\'ar\'ert\'ek\'et. Ezt \'ugy is fel\'{\i}rhatjuk, 
mint a $\frac {d^2}{du^2} m(u)=-2$, $m(a)=0$, $m(b)=0$ 
egyenlet megold\'as\'at. Ez hasonl\'o a sz\"ulet\'esi 
\'es hal\'aloz\'asi folyamat viselked\'es\'ehez, csak 
itt a $\frac {d^2}{du^2}$, (az egydimenzi\'os Laplace) 
oper\'ator j\'atszik olyan szerepet, mint a $D_\mu D_u$  
oper\'ator a sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi 
folyamatok eset\'eben. A Laplace oper\'ator
$\frac12$-del szorozva, azaz a $\frac\Delta2$ 
oper\'ator a karakterisztikus (vagy infinitezim\'alis)
oper\'ator a Wiener folyamatok eset\'eben. Mint a 
k\'es\H{o}bbi vizsg\'alatokb\'ol kider\"ul a 
az $\frac12D_\mu D_u$ oper\'ator a karakterisztikus 
oper\'ator a sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi 
fo\-lya\-ma\-tok eset\'eben. A k\"onyv azt is 
megmutatja, hogy a diffuzi\'os folyamatok 
eset\'eben is hasonl\'o eredm\'enyek igazak.

A $D_\mu D_u$ oper\'atort fel tudtuk \'{\i}rni az 
$S(u)$ f\"uggv\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel, amit a 
sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi folyamat 
karakterisztik\'aj\'anak nevez\"unk. Az $S(u)$ 
f\"uggv\'enyt meghat\'arozz\'ak a $p_n$, $a_n$, 
$n=0,1,2,\dots$ param\'eterek, de ez az 
\'all\'{\i}t\'as megford\'{\i}that\'o. Az $S(u)$ 
f\"uggv\'eny meghat\'arozza ezeket a param\'etereket.
Ez\'ert egy sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi 
folyamatot meghat\'aroz annak $S(u)$ 
karakterisztik\'aja, \'es ez az ilyen folyamatok 
term\'eszetes meg\-ad\'a\-si m\'odja.

\medskip 
A m\'ar ismertetett eredm\'enyek seg\'{\i}tenek azon 
k\'erd\'es megv\'alaszol\'as\'aban, hogy mikor \'eri 
el egy fel\'uj\'{\i}t\'asi folyamat v\'eges id\H{o}n 
bel\"ul az \'allapott\'er $r$ hat\'arpontj\'at. A 
k\"ovetkez\H{o} t\'etel jellemzi azt, hogy mikor 
teljes\"ul 1 illetve 0 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel 
a $T(\oo)=\infty$ esem\'eny a (4.3) formul\'aban 
defini\'alt $T(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'ora.

\medskip\noindent
{\bf 4.5.\ T\'etel.} {\it Tekints\"unk egy sz\"ulet\'esi 
\'es hal\'aloz\'asi folyamatot valamely $S(u)$ 
karakterisztik\'aval. Az, hogy $T(\oo)<\infty$
vagy $T(\oo)=\infty$ att\'ol f\"ugg, hogy $S(r)<\infty$ 
vagy $S(r)=\infty$. Pontosabban,
$$
P_u(T(\oo)<\infty) \quad\text{\'es }E_u T(\oo)<\infty \quad
\text{minden } u\in\Cal E \; \text{pontra},
$$
ha
$S(r)>-\infty$, \'es
$$
P_u(T(\oo)=\infty) \quad
\text{minden } u\in\Cal E \; \text{pontra},
$$
ha $S(r)=-\infty$.}

\medskip
Egy sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi folyamat $r$ 
hat\'arpontj\'at el\'erhet\H{o}nek mondjuk, ha ezt 
a folyamatot b\'armely $u\in\Cal E$ pontb\'ol ind\'{\i}tva 
$P_u(T(\oo)<\infty)=1$, \'es nem el\'erhet\H{o}nek, 
ha b\'armely $u\in\Cal E$ pontra $P_u(T(\oo)=\infty)=1$.

A k\"ovetkez\H{o} t\'etel tekinthet\H{o} a 4.5.\ t\'etel 
egy v\'altozat\'anak.

\medskip\noindent
{\bf 4.5$'$.\ T\'etel.} {\it Tekints\"unk egy $x(t)$ 
sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi folyamatot valamely $S(u)$ 
karakterisztik\'aval. A k\"ovetkez\H{o} lehet\H{o}segek vannak.

\medskip
\item{(i)} $r<\infty$, \'es $S(r)>-\infty$. Ekkor 
$P_u(T(\oo)<\infty)=1$, \'es $\limm_{t\uparrow T}x(t)=r$ 
egy va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel minden 
$u\in\Cal E$ pontra. (Sz\"ulet\'esi \'es 
hal\'aloz\'asi folyamat, el\'erhet\H{o}, vonz\'o
$r<\infty$ hat\'arponttal.)
\item{(ii)} $r<\infty$, \'es $S(r)=-\infty$. Ekkor 
$P_u(T(\oo)=\infty)=1$, \'es $\limm_{t\uparrow T}x(t)=r$ 
egy va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel
minden $u\in\Cal E$ pontra.
(Sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi folyamat, 
nem el\'erhet\H{o}, vonz\'o $r<\infty$ hat\'arponttal.)
\item{(iii)} $r=\infty$, \'es $S(r)=\infty$. Ekkor 
$P_u(T(\oo)=\infty)=1$, \'es $T\to\infty$ eset\'en a 
sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi folyamat minden
\'allapotot v\'egtelen sokszor megl\'atogat egy 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel minden $u\in\Cal E$ pontra.
(Sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi folyamat, nem 
el\'erhet\H{o}, tasz\'{\i}t\'o $r=\infty$ hat\'arponttal.)


}\medskip

A tov\'abbi vizsg\'alatok f\H{o} k\'erd\'ese az, hogy az 
(i)~esetben, amikor $r<\infty$, \'es $S(r)>-\infty$, hogyan 
tudjuk a sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi folyamatot a 
$T(\oo)$ id\H{o}pont ut\'an \'ugy folytatni, hogy az 
tov\'abbra is Markov folyamat maradjon. El\H{o}sz\"or ezt 
a k\'erd\'est pontosabban meg kell fogalmaznunk. A 
pontosabb megfogalmaz\'asban defini\'aljuk a 
sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi folyamatok 
$A$~oszt\'alyba tartoz\'o folytat\'asait, 
\'es c\'elunk az lesz, hogy jellemezz\"uk az \"osszes 
$A$~oszt\'alyba tartoz\'o sztochasztikus folyamatot.

Egy sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi folyamat 
$A$~oszt\'alyba tartoz\'o folytat\'asai olyan
Markov folyamatok, amelyek ennek a sz\"ulet\'esi \'es 
hal\'aloz\'asi folyamatnak folytat\'asai bizonyos 
$t>T$ id\H{o}pontokra, \'es \'allapotter\"uk az 
$\Cal E$ halmaz kib\H{o}v\'{\i}t\'ese a sz\"ulet\'esi 
\'es hal\'aloz\'asi folyamat $r$ hat\'arpontj\'aval. 
Teljes\'{\i}tik nemcsak a Markov, hanem az er\H{o}s 
Markov tulajdons\'agot is. A legl\'enyegesebb \'uj 
felt\'etel az, hogy egy $A$ oszt\'alyba tartoz\'o 
sztochasztikus folyamat trajek\'ori\'ai minden 
pontjukban jobbr\'ol folytonos f\"uggv\'enyek. Ez azt 
jelenti, hogy az $r$ hat\'arpont el\'er\'ese ut\'an a 
trajekt\'oria nem viselkedhet nagyon szab\'alytalanul. Ez 
bizonyos, a t\"obbi felt\'etelnek eleget tev\H{o} Markov 
folyamatokat kiz\'ar az $A$~oszt\'alyba tartoz\'o 
sztochasztikus folyamatok k\"oz\"ul. Megadjuk az 
$A$~oszt\'alyba tartoz\'o sztochasztikus folyamatok 
pontos definici\'oj\'at.

\medskip\noindent
{\bf Sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi folyamatok 
$A$~oszt\'alyba tartoz\'o folytat\'asainak a 
de\-fi\-ni\-ci\'o\-ja.} {\it Legyen adva egy $\bar x(t)$, 
$0\le t<T$, sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi folyamat 
el\'erhet\"o \'es vonz\'o hat\'arponttal, amely \'ert\'ekeit 
a kanonikus sk\'al\'an veszi fel. Azt mondjuk, hogy egy 
$x(t)$ sztochasztikus folyamat az $\bar x(t)$ sz\"ulet\'esi
\'es hal\'aloz\'asi folyamat $A$~oszt\'alyba tartoz\'o 
folytat\'asa, ha teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o} felt\'eteleket.

\medskip
\item{(1)} Az $x(t)$ sztochasztikus folyamat trajekt\'ori\'ai 
az $\bar x(t)$ folyamat $[0,T(\oo))$ intervallumban
megadott trajekt\'ori\'ainak a folytat\'asai valamely 
$[0,\zeta(\oo))$ intervallumba, 
$T(\oo)\le \zeta(\oo)\le\infty$. Az $x(t)$ folyamat 
trajekt\'ori\'ainak adott id\H{o}pontbeli \'ert\'ekei az 
$u_n\in\Cal E$ sz\'amok valamelyike vagy az $\Cal E$ 
halmaz \'allapott\'er $r$ hat\'arpontja.

\item{(2)} Az $x(t)$ sztochasztikus folyamat 
trajekt\'ori\'ainak $P_u$, $u\in\Cal E$, eloszl\'asa, 
(ha az $x(t)$ sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi folyamat 
az $u$ pontb\'ol indul) egy b\H{o}vebb halmazrendszeren 
defini\'alt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek, mint 
az $u$ pontb\'ol kiindul\'o $\bar x(t)$ folyamat 
eloszl\'asa. Azon esem\'enyek 
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, amelyek a 
sztochasztikus folyamat $T(\oo)$ idej\'eig 
be\-k\"o\-vet\-ke\-zett  esem\'enyeit\H{o}l f\"uggenek 
megegyezik a k\'et esetben. Emellett el\H{o} van 
\'{\i}rva az $x(t)$ sztochasztikus folyamat $P_r$ 
eloszl\'asa abban az esetben is, ha az $x(t)$ 
szto\-chasz\-ti\-kus folyamat az $r$ pontb\'ol indul.

\item{(3)} Az $x(t)$ sztochasztikus folyamat 
teljes\'{\i}ti az er\H{o}s Markov tulajdons\'agot, azaz, 
tet\-sz\H{o}\-le\-ges $\tau(\oo)$ $\tau(\oo)<\zeta(\oo)$, 
meg\'all\'asi szab\'alyra, az $y(t)=x(t+\tau)$ 
sztochasztikus folyamat felt\'eteles eloszl\'asa 
felt\'eve az $x(t)$ sztochasztikus folyamat $\tau$ 
id\H{o}pontig t\"ort\'en\H{o} viselked\'ese \'altal 
gener\'alt $\sigma$-algebr\'at csak az
$x(\tau(\oo))=u\in \Cal E\cup\{r\}$ sz\'amt\'ol f\"ugg, 
\'es megegyezik a $P_u$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
m\'ert\'ekkel.

\item{(4)} Az $x(t)$ folyamat trajekt\'ori\'ai jobbr\'ol 
folytonosak, azaz $x(t+h,\oo)\to x(t,\oo)$ ha $h\downarrow0$ 
minden $\oo$ elemi esem\'enyre \'es $0\le t<\zeta(\oo)$ 
sz\'amra. (Ez azt jelenti, hogy ha $x(t)=u$ \'es $u\neq r$, a
kkor $x(\cdot)$ a $t$ id\H{o}pont ut\'an egy r\"ovid ideig az 
$u$ pontban marad, \'es ha $x(t)=r$, akkor kis id\H{o} alatt 
a trajekt\'oria csak kev\'ess\'e tud elt\'avolodni az 
$r$~pontt\'ol.)

\item{(5)} $x(T(\oo),\oo)=r$. (Ez a rel\'aci\'o akkor 
\'erv\'enyes, ha $\zeta(\oo)>T(\oo)$, azaz $x(T(\oo))$
defini\'alva van.)

\medskip}
C\'elunk egy $\bar x(t)$ sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi 
folyamat \"osszes $A$~tulajdons\'ag\'u folytat\'as\'anak 
megtal\'al\'asa. A Markov folyamatok \'altal\'anos 
elm\'elet\'enek eredm\'enyeib\H{o}l k\"ovetkezik, hogy 
e folyamatok jellemz\'es\'ehez el\'eg megadni azoknak a 
(4.1) formul\'aban defini\'alt $\Cal U$ karakterisztikus 
oper\'ator\'at. A k\"onyv ezt a karakterisztikus 
oper\'atort megadja explicit alakban. Tegy\"unk 
el\H{o}sz\"or n\'eh\'any megjegyz\'est a (4.1)~k\'eplet 
pontos \'ertelmez\'es\'er\H{o}l. El\H{o}fordulhat, hogy
az $x(t)$ Markov folyamat soha nem l\'ep ki az $U$ 
tartom\'anyb\'ol. Ekkor definici\'o szerint 
$\tau(\oo)=\zeta(\oo)$ a (4.1)~k\'eplet nevez\H{o}j\'eben 
szerepl\H{o} $E_x\tau$ definici\'oj\'aban. A 
sz\'aml\'al\'oban szerepl\H{o} $Ef(x(\tau))$ 
definici\'oj\'aban viszont a $\tau=\zeta$ esem\'enyt nem 
vessz\"uk figyelembe. He $E_x(\tau)=\infty$ az $x$ pont
minden $U$ k\"ornyezet\'ere, akkor $\Cal U f(x)=0$.

A $\Cal U f(u)$ mennyis\'eget egyszer\H{u} kisz\'amolni egy 
sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi folyamatban, illetve 
annak $A$~tulajdons\'ag\'u kiterjeszt\'es\'eben minden 
$u\in\Cal E$ pontban. Err\H{o}l sz\'ol a k\"ovetkez\H{o} 
eredm\'eny.

\medskip\noindent
{\bf 4.6.\ T\'etel.} {\it Tekints\"uk egy sz\"ulet\'esi \'es 
hal\'aloz\'asi folyamatnak vagy annak $A$~tulajdons\'ag\'u 
folytat\'as\'anak az $\Cal U$ karakterisztikus oper\'ator\'at. 
Ez teljes\'{\i}ti a
$$
\Cal U f(u)=\frac12 D_\mu D_u f(u) \quad\text{minden } 
u\in\Cal E \text{ pontban.}
$$
rel\'aci\'ot, ahol a $D_u$ \'es $D_\mu$ oper\'atorokat a 
(4.11) \'es (4.13) k\'epletekben defin\'altuk.}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.}\/ Sz\'amoljuk ki a $\Cal U$ oper\'atort 
egy $u\in\Cal E$ pontban. Nem neh\'ez bel\'atni, hogy ha az 
$u_n\in\Cal E$ pont $U$ k\"ornyezete el\'eg kicsi, akkor az 
csak az $u_n$ pontot tartalmazza. Ez\'ert
$$
\Cal U f(u_n)=\frac{q_nf(u_{n-1})+p_nf(u_{n+1})-f(u_n)}{\frac1{a_n}}.
$$
M\'asr\'eszt $q_n=\frac{\delta_n}{\delta_{n-1}+\delta_n}$ \'es
$p_n=\frac{\delta_{n-1}}{\delta_{n-1}+\delta_n}$, ez\'ert
$$
\align
\Cal Uf(u_n)&=\frac{\frac{f(u_{n+1})-f(u_n)}{\delta_n}-
\frac{f(u_n)-f(u_{n-1})}{\delta_{n-1}}} 
{\frac1{a_n}\frac{\delta_{n-1}+\delta_n}{\delta_{n-1}\delta_n}}\\
&=\frac{D_uf(u'')-D_u f(u')}
{\frac1{a_n}\frac{\delta_{n-1}+\delta_n}{\delta_{n-1}\delta_n}}
=\frac{D_uf(u'')-D_u f(u')}{2\mu_n}=\frac12 D_\mu D_u f(u_n),
\endalign
$$
ahol $u'\in(u_{n-1},u_n)$, \'es $u''\in(u_n,u_{n+1})$.

\medskip
Az $A$~tulajdons\'ag\'u folytat\'asok megtal\'al\'as\'anak 
f\H{o} neh\'ezs\'ege a hozz\'ajuk tartoz\'o $\Cal U f(r)$ 
mennyis\'eg meghat\'aroz\'asa. E feladat megold\'as\'anak
\'erdek\'eben tekints\"uk a k\"o\-vet\-ke\-z\H{o} 
probl\'em\'akat.

Minden $y=u_n\in\Cal E$ pontra defini\'aljuk az $r$ pont
$U_y$ k\"ornyezet\'et, mint az 
$U_y=\{u_{n+1},u_{n+2},\dots\}\cup\{r\}$ halmazt. Jel\"olje 
$\tau_y$ azt az els\H{o} id\H{o}pontot, amikor egy az
$r$ pontb\'ol kiindul\'o sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi
folyamat $A$~oszt\'alyba tartoz\'o folytat\'asa az $U_y$ 
halmazb\'ol kil\'ep, azaz az els\H{o} olyan id\H{o}pontot, 
amikor ez a sztochasztikus folyamat vagy az $u_0$, $u_1$,\dots 
$u_n$ \'ert\'ekek valamelyik\'et veszi fel, vagy elt\H{u}nik. 
Az els\H{o} feladat az $x(t)$ sztochasztikus folyamat 
eloszl\'as\'anak megad\'asa a $t=\tau_y$ id\H{o}pontban. 
Mint l\'atni fogjuk ez az eloszl\'as a sz\"ulet\'esi \'es 
hal\'aloz\'asi folyamat $p_n$ \'es $a_n$ param\'eterein 
k\'{\i}v\"ul e folyamat $A$~oszt\'alyba tartoz\'o 
folytat\'asainak tov\'abbi param\'etereit\H{o}l is f\"ugg. 
A k\"ovetkez\H{o} feladat az, hogy amennyiben ezeket (\'es 
esetleg m\'as param\'etereket is) r\"ogz\'{\i}t\"unk, akkor 
sz\'amoljuk ki az $E_r\tau_y$ v\'arhat\'o \'ert\'eket is. 
Ha e feladatokat megoldottuk, akkor ki tudjuk sz\'amolni
az $\Cal U f(r)$ mennyis\'eget, azaz a  karakterisztikus 
oper\'ator hat\'as\'anak az \'ert\'eket az $r$ pontban is.

A fenti probl\'em\'ak megold\'as\'at \'erdemes a k\"ovetkez\H{o} 
megjegyz\'essel kezdeni. Abban az esetben, ha $x(t)$ egy 
sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi  folyamat $A$~oszt\'alyba 
tartoz\'o folytat\'asa, \'es az $r$ pont ennek elnyel\H{o} 
pontja, azaz ha az $x(t)$ folyamat az $r$ pont 
megl\'atogat\'asa ut\'an \"or\"okk\'e ott marad, akkor 
$P_r(\tau_y=\infty)=1$, \'es $E_r\tau_y=\infty$. 
Ellenkez\H{o} esetben a k\"ovetkez\H{o} eredm\'eny \'erv\'enyes.

\medskip\noindent
{\bf 4.7.\ Lemma.} {\it Ha $x(t)$ egy sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi
folyamat olyan $A$~oszt\'alyba tartoz\'o folytat\'asa, amelynek az $r$
pont nem elnyel\H{o} pontja, akkor
$$
P_r(\tau_y<\infty)=1, \quad \text{\'es} \quad E_r\tau_y<\infty
$$
minden $y\in{\Cal E}$ pontra.}

\medskip
Megjegyzem, hogy a 4.7.\ lemma igazol\'as\'aban fontos szerepet
j\'atszik a 4.3.~lemma alkalmaz\'asa.

\medskip 
Ezut\'an a k\"onyv tekinti egy sz\"ulet\'esi \'es 
hal\'aloz\'asi folyamat $x(t)$ $A$~oszt\'alyba tartoz\'o 
folytat\'as\'at, \'es azt vizsg\'alja, hogy milyen lehet 
az $x(\tau_y)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o 
$P_r$ m\'ert\'ek szerinti eloszl\'asa, ahol $\tau_y$ az
az els\H{o} id\H{o}pont, amikor az $r$ pontb\'ol 
ind\'{\i}tott $x(t)$ Markov folyamat el\H{o}sz\"or kil\'ep
az $U_y$ halmazb\'ol.  Itt $y\in\Cal E$ tetsz\H{o}legesen 
v\'alasztott pont.

A k\"onyv el\H{o}sz\"or megoldja ezt a feladatot egy 
term\'eszetes speci\'alis esetben. Akkor, ha az $x(t)$ 
Markov folyamat az $r$ hat\'arpontba \'erve \'ugy 
visekedik, hogy ot ex\-po\-nen\-ci\'a\-lis eloszl\'as\'u ideig 
v\'ar, majd $\pi(u_k)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az 
$u_k$ pontba ugrik, $u_k\in\Cal E$, \'es 
$\summ_{k=-1}^\infty\pi(u_k)=1$. Itt a k\"onyv a 
k\"ovetkez\H{o}, a jel\"ol\'est kiss\'e 
leegyszer\H{u}s\'{\i}t\H{o} konvenci\'ot vezeti be. Azt 
az esem\'enyt, hogy a r\'eszecske elt\H{u}nik, \'ugy 
interpret\'alja, hogy a r\'eszecske az $u_{-1}=-1$ 
\'allapotba ker\"ul, \'es onnan m\'ar t\"obb\'e nem 
l\'ep ki. Ennek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et 
$\pi(-1)$-nel jel\"oli. A szerz\H{o}k megmutatj\'ak, 
hogy ebben az esetben a $\pi_y(u)=P_r(x(\tau_y)=u)$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek, ahol  $u=u_k$, 
$-1\le k\le n$, ha $y=u_n$, a k\"ovetkez\H{o}k\'epp 
adhat\'oak meg.
$$
\pi_y(u)=\frac{\pi(u)}{\summ_{u\le y}\pi(u)+\alpha(y)},
\quad \text{ha } u<y,
\tag4.14 
$$
\'es
$$
\pi_y(y)=\frac{\pi(y)+\alpha(y)}{\summ_{u\le y}\pi(u)+\alpha(y)}, 
\tag4.15
$$
ahol 
$$
\alpha(y)=\frac1{r-y}\sum_{y<z<r}(r-z)\pi(z). \tag4.16
$$

A most eml\'{\i}tett formula megadja a $\pi_y(u)$, $u\le y$, 
eloszl\'ast egy sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi folyamat 
$A$~oszt\'alyba tart\'oz\'o b\H{o}v\'{\i}t\'eseinek egy 
nagy csal\'adj\'ara, de nem \'{\i}rja le az \"osszes 
lehet\H{o}s\'eget. A tekintett p\'eld\'aban ugyanis olyan 
modelleket tekintett\"unk, amelyekben az $r$ hat\'arpont 
valamely $t$ id\H{o}pontbeli el\'er\'ese ut\'an van egy 
k\"ovetkez\H{o} id\H{o}pont, amikor a folyamat az $r$ 
pontb\'ol valamelyik $u_n$ pontba ugrik. De nem minden 
modellben van ilyen tulajdons\'ag\'u `k\"ovetkez\H{o} 
id\H{o}pont'. El\H{o}fordulhat az is, hogy az $r$ 
pontb\'ol t\"ort\'en\H{o} ugr\'asok id\H{o}pontjai 
(jobbr\'ol) konverg\'alnak a $t$ id\H{o}ponthoz. A 
k\"ovetkez\H{o} t\'etelben ismertetett eredm\'enyben 
megadjuk az \"osszes lehets\'eges $\pi_y(\cdot)$ 
eloszl\'ast egy sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi 
folyamat valamely $A$~oszt\'alyba tartoz\'o $x(t)$
folytat\'as\'anak az eset\'eben. Ezek az 
eloszl\'asok a sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi 
folyamat param\'eterein k\'{\i}v\"ul f\"uggnek m\'eg 
egy $\pi=(\pi(u_{-1}),\pi(u_0),\pi(u_1),\dots)$ nem 
negat\'{\i}v sz\'amokb\'ol \'all\'o sorozatt\'ol, amit 
az ugr\'as m\'er\-t\'e\-k\'e\-nek \'es egy $\alpha\ge0$ 
sz\'amt\'ol, amit t\"ukr\"oz\'esi egy\"utthat\'onak 
neveznek. Ha a $\pi$ vektort \'es $\alpha$ sz\'amot 
megszorozzuk ugyanazzal a pozit\'{\i}v sz\'ammal akkor 
azok ugyanazt a $\pi_y$ eloszl\'ast fogj\'ak defini\'alni, 
minden $y\in\Cal E$ pontra, de ett\H{o}l a pozit\'{\i}v
egy\"utthat\'oval val\'o szorz\'ast\'ol eltekintve 
k\"ul\"onb\"oz\H{o} $(\pi,\alpha)$ p\'arok 
k\"ul\"onb\"oz\H{o} eloszl\'asokat defini\'alnak. A 
$\summ_n\pi(u_n)$ \"osszeg lehet divergens. \'Erdemes
megjegyezni, hogy a 4.7.~lemma szerint $\pi_y(\cdot)$
egy val\'odi eloszl\'as a $\{u_{-1},u_0,\dots,y\}$ 
halmazon minden $y\in\Cal E$ pontra, ha $r$ az 
$x(t)$ szto\-chasz\-ti\-kus folyamatnak nem elnyel\H{o} 
fala, m\'{\i}g az ellenkez\H{o} esetben $\pi_y(u)=0$
minden $u\in\{u_{-1},u_0,\dots,y\}$ pontban. A pontos 
eredm\'eny a k\"ovetkez\H{o}t \'all\'{\i}tja.

\medskip\noindent
{\bf 4.8.\ T\'etel.} {\it Legyen adva egy sz\"ulet\'esi 
\'es hal\'aloz\'asi folyamat $A$~oszt\'alyba tartoz\'o 
%\'es $r$ pontb\'ol indul\'o 
$x(t)$ folytat\'asa. Akkor 
l\'etezik egy olyan multiplikativ faktor erej\'eig 
egy\'ertelm\H{u}en meg\-ha\-t\'a\-ro\-zott  $\alpha\ge0$ 
t\"ukr\"oz\'esi egy\"utthat\'onak nevezett konstans 
\'es $\pi=(\pi(u_{-1}),\pi(u_0),\pi(u_1),\dots)$ nem 
negat\'{\i}v sz\'amokb\'ol \'all\'o a
$$
\sum_u (r-u)\pi(u)<\infty \tag 4.17
$$
felt\'etelt teljes\'{\i}t\H{o}, az ugr\'as m\'ert\'ek\'enek 
nevezett sorozat, amelyek rendelkeznek a k\"ovetkez\H{o} 
tulajdons\'agokkal.

\item{(1)} Az $x(t)$ folyamat \'altal meghat\'arozott 
$\alpha$ sz\'am \'es $\pi$ vektor elemei akkor \'es csak 
akkor egyenl\H{o}ek mind null\'aval, ha $r$ az $x(t)$ 
sztochasztikus folyamat elnyel\H{o} pontja.

\item{(2)} Ha az $\alpha$ sz\'am \'es a $\pi$ vektor elemei 
k\"oz\"ul legal\'abb egy nem egyenl\H{o} null\'aval, akkor 
minden $y\in\Cal E$ pontra az $x(t)$ sztochasztikus folyamat 
\'altal meghat\'arozott $\pi_y$ eloszl\'ast a (4.14), (4.15) 
valamint az
$$
\alpha(y)=\frac1{r-y}\[\alpha+\sum_{y<z<r} (r-z)\pi(z)\] \tag4.18
$$
k\'epletek hat\'arozz\'ak meg ezzel az $\alpha$ sz\'ammal 
\'es $\pi$ vektorral.

}\medskip
Csak r\"oviden v\'azolom ezen eredm\'eny bizony\'{\i}t\'as\'anak 
f\H{o} gondolatait. Azt, hogy az el\H{o}sz\"or tekintett 
viszonylag egyszer\H{u} modellben a $\pi_y(u)$, $u\le y$, 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket a (4.14)---(4.16) k\'epletek 
seg\'{\i}ts\'eg\'evel lehet megadni a 4.1.~T\'etel 
seg\'{\i}ts\'eg\'evel bi\-zo\-ny\'{\i}t\-hat\-juk. Ez 
ugyanis lehet\H{o}v\'e teszi ezen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek 
kisz\'am\'{\i}t\'as\'at felhaszn\'alva azt, hogy tudjuk, hogy 
ha egy $z$, $x<z<r$, pontba ker\"ul\"unk, akkor milyen 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel jutunk innen az $x$ \'es $r$ 
pontok k\"oz\"ul el\H{o}sz\"or az $x$, illetve az $r$ 
pontba. Azt kapjuk, hogy
$$
\align
\pi_y(u)&=\pi(u)+\sum_{y<z<r} \pi(z)\frac{z-y}{r-y}\pi_y(u), 
\quad\text{ha }u<y,\\
\pi_y(y)&=\pi(y)+\sum_{y<z<r} 
\pi(z)\[\frac{z-y}{r-y}\pi_y(y)+\frac{r-z}{r-y}\],
\endalign
$$
azaz
$$
\align
\pi_y(u)&=\frac{\pi(u)}{1-\frac1{r-y}\summ_{y<z<r}(z-y)\pi(z)},
\quad\text{ha }u<y,\\
\pi_y(y)&=\frac{\pi(y)+\alpha(y)}{1-\frac1{r-y}\summ_{y<z<r}(z-y)\pi(z)},
\endalign
$$
Innen megkapjuk a (4.14) \'es (4.15) formul\'akat, ha
felhaszn\'aljuk az 
$$
\align
&1-\frac1{r-y}\summ_{y<z<r}(z-y)\pi(z)
=\sum_{z<r}\pi(z) -\frac1{r-y}\summ_{y<z<r}(z-y)\pi(z) \\
&\qquad=\sum_{z\le y}\pi(z) +\frac1{r-y}\summ_{y<z<r}(r-z)\pi(z)
=\sum_{z\le y}\pi(z) +\alpha(y)
\endalign
$$
azonoss\'agot.

A 4.8. t\'etel bizony\'{\i}t\'asa nehezebb. E t\'etel 
bizony\'{\i}t\'as\'aban a $\pi$ ugr\'as m\'ert\'ek 
sorozatot, illetve az $\alpha$ t\"ukr\"oz\'esi
egy\"utthat\'ot is meg kell tal\'alni. Ebben az esetben 
a bizony\'{\i}t\'as kiindul\'o l\'ep\'ese az, hogy az 
$y\in\Cal E$ ponton k\'{\i}v\"ul r\"ogz\'{\i}t\"unk egy 
$x\in\Cal E$, $x>y$, pontot is, \'es az el\H{o}z\H{o} 
esethez hasonl\'oan a $\pi_y(u)$, $u<y$, 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket kisz\'amoljuk a 
$\pi_x(u)$, $u<x$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek 
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ekkor a $\pi_y(u)$, $u\le y$, 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket a k\"ovetkez\H{o}, a 
(4.14)---(4.16) formul\'akhoz nagyon hasonl\'o k\'epletek 
seg\'{\i}ts\'eg\'evel lehet kifejezni:
$$
\align
\pi_y(u)&=\frac{\pi_x(u)}
{\summ_{u\le y}\pi_x(u)+\alpha_x(y)}, \quad\text{ha } u<y, \\
\pi_y(y)&=\frac{\pi_x(y)+\alpha_x(y)}
{\summ_{u\le y}\pi_x(u)+\alpha_x(y)}, 
\endalign
$$
ahol
$$
\alpha_x(y)=\frac1{r-y}\sum_{y<z\le x}(r-z)\pi_x(z). \tag4.19
$$
Ezut\'an az $x\to r$ hat\'ar\'atmenet
seg\'{\i}ts\'eg\'evel be lehet l\'atni a k\'{\i}v\'ant 
formul\'at.

A r\'eszletek kidolgoz\'asa sor\'an a bizony\'{\i}t\'as 
egyik fontos l\'ep\'ese annak igazol\'asa, hogy l\'etezik 
egy olyan $\pi=(\pi(u_{-1}),\pi(u_0),\pi(u_1),\dots)$ nem 
negat\'{\i}v sz\'amokb\'ol \'all\'o sorozat, amelyre igaz,
hogy tetsz\H{o}leges $y\in\Cal E$ pontra a 
$\{\pi_y(u)\colon\;u<y,\;u\in\Cal E\cup \{u_{-1}\}\}$
vektor ennek a $\pi$ vektor $\Cal E\cup\{u_{-1}\}$ 
halmazra val\'o megszor\'{\i}t\'as\'anak a konstansszorosa. 
Jel\"olje $\lambda(x)$ azt a sz\'amot, amellyel a $\pi_x(u)$, 
$u<x$, vektort beszorozva megkapjuk a $\pi$ vektornak az
$u_{-1}$, $u_0$, $u_1$,\dots $u_n=x$ param\'eterekhez 
tartoz\'o koordin\'at\'ait. A $\pi_y(u)$, $u<y$, \'es
$\pi_y(y)$-ra kapott kifejez\'esekbe behelyettes\'{\i}tve
a $\pi_x(u)=\frac{\pi(u)}{\lambda(x)}$ azonoss\'agokat
azt kapjuk, hogy a (4.14) \'es (4.15) formul\'ak
\'erv\'enyesek az 
$$
\alpha(y)=\alpha_x(y)\lambda(x), \quad (x>y), \tag4.20
$$
konstanssal. Az utols\'o formula azt is jelenti, hogy 
az ott fel\'{\i}rt azonoss\'ag jobboldala nem f\"ugg 
az $x$ param\'etert\H{o}l. Tov\'abb\'a a (4.14) formula
seg\'{\i}ts\'eg\'evek kapjuk, hogy a $\lambda(y)$ 
sz\'amok, $y\in\Cal E$, teljes\'{\i}tik a
$$
\lambda(y)=\sum_{u\le y}\pi(y)+\alpha(y) \tag4.21
$$
rel\'aci\'ot.

Ilyen m\'odon megtal\'altuk azt az $\alpha(y)$ sz\'amot, 
amellyel \'erv\'enyesek a (4.14) \'es (4.15) rel\'aci\'ok, 
de m\'eg meg kell mutatnunk, hogy ez az $\alpha(y)$ sz\'am 
kifejezhet\H{o} a $\pi$ vektor \'es az (eddig m\'eg nem 
defini\'alt) $\alpha$ t\"uk\"oz\'esi egy\"utthat\'o 
seg\'{\i}ts\'eg\'evel a (4.18) formul\'aban megadott 
m\'odon. Ennek \'erdek\'eben el\H{o}sz\"or 
megmutatjuk a (4.20), (4.19) \'es (4.14), (4.15), (4.21) 
azonoss\'agok seg\'{\i}ts\'eg\'evel (az utols\'o h\'arom 
azonoss\'agot az $x$ \'es nem az $y$ param\'eterre 
alkalmazva), hogy teljes\"ul az
$$
\alpha(y)=\frac1{r-y}\[\alpha(x)(r-x)
+\sum_{y<z\le x}\pi(z)(r-z)\]
$$
azonoss\'ag is. Speci\'alisan ezen azonoss\'ag 
jobboldala nem f\"ugg az $x$ param\'etert\H{o}l. 
Alkalmazva ebben a k\'epletben az  $x\to r$ 
hat\'ar\'atmenetet megkapjuk el\H{o}sz\"or a (4.17) 
egyenl\H{o}tlens\'eget, majd a (4.18) azonoss\'agot 
$\alpha=\limm_{x\to r}\alpha(x)(r-x)$ v\'alaszt\'assal.
Spe\-ci\-\'ali\-san ez a limesz l\'etezik, \'es ez 
lehet\H{o}v\'e teszi (a $\pi$ vektor ismeret\'eben) 
az $\alpha$ t\"ukr\"oz\'esi egy\"utt\-ha\-t\'o
definici\'oj\'at is.

\medskip
A 4.~fejezet 4.8. t\'etelt bizony\'{\i}t\'o alfejezete 
tartalmaz n\'eh\'any megjegyz\'est a t\'e\-tel\-ben 
szerepl\H{o} param\'eterek jelent\'es\'er\H{o}l.
Ha $\alpha=0$, \'es $\sum\pi(u)<\infty$, akkor
feltehetj\"uk azt is, hogy $\sum\pi(u)=1$. Ez 
megegyezik az els\H{o}k\'ent t\'argyalt speci\'alis
esettel. Ha $\pi(u_n)=0$ minden $u_n$ indexre, \'es 
$\alpha>0$, akkor $\pi_y(y)=1$, \'es $\pi_y(u)=0$ 
minden $u<y$ \'allapotra. Ekkor v\'egtelen sok 
ugr\'as t\"ort\'enik, miel\H{o}tt a r\'eszecske 
el\'eri az $y$ pontot, de ezek az ugr\'asok
kicsik. A rendszer viselked\'ese ekkor hasonl\'{\i}t 
a Wiener folyamathoz, amely t\"ukr\"oz\H{o}dik a 
hat\'arpontban, ez\'ert az itt megjelen\H{o}
viselked\'est t\"ukr\"oz\'esnek nevezz\"uk.

Ha $\alpha=0$, \'es $\sum \pi(u)=\infty$ akkor is
v\'egtelen sok ugr\'as k\"ovetkezik be, miel\H{o}tt
a r\'eszecske el\'er egy $y$ pontot. Ez r\'eszben
hasonl\'{\i}t a t\"ukr\"oz\'es eset\'ehez,
de ilyenkor vi\-szony\-lag nagy ugr\'asok is 
t\"ort\'enhetnek. Viszont annak \'erdek\'eben, hogy
a $A$~oszt\'alyba tartoz\'o folyamatok 
(4)~tulajdons\'aga is teljes\"ulj\"on az ugr\'asok
nagys\'ag\'ara bizonyos kor\-l\'a\-tot is fel kell
tenni. Ilyen felt\'etel a (4.17) rel\'aci\'o.
Az \'altal\'anos eset, amikor $\alpha>0$ \'es
$\pi>0$ egyszerre lehets\'eges akkor a folyamat
egy t\"ukr\"oz\'es \'es ugr\'as kever\'eke. Ezt
a k\'erd\'est t\'argyalja a fejezet ut\'an megadott
Feladatok r\'esz.

\medskip
A k\"ovetkez\H{o} vizsg\'alt k\'erd\'es az, hogy
egy sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi folyamat
$A$~oszt\'alyba tartoz\'o $x(t)$ folytat\'asa
eset\'en hogyan tudjuk kisz\'amolni az
$E_r\tau_y$ v\'arhat\'o \'ert\'eket. Vegy\"uk \'eszre,
hogy ha az $r$ pont az $x(t)$ sztochasztikus
folyamat elnyel\H{o} pontja akkor $E\tau_y=\infty$
minden $y\in\Cal E$ pontra. M\'asr\'eszt a 4.7.~lemma
alapj\'an $E\tau_y<\infty$ minden $y\in\Cal E$ pontra,
ha az $r$ pont nem elnyel\H{o} pontja az $x(t)$ 
sztochasztikus folyamatnak. Az al\'abbiakban ismertetem 
azt az eredm\'enyt, amely megadja az $x(t)$ folyamat 
\'altal meghat\'arozott $\tau_y$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'o $m(y)=E_r\tau_y$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et
minden $y\in\Cal E$ pontban. Ez a v\'arhat\'o \'ert\'ek 
f\"ugg a kiindul\'o $\bar x(t)$ sz\"ulet\'esi 
\'es hal\'aloz\'asi folyamat $p_n$ \'es $a_n$ 
param\'etereit\H{o}l, az $x(t)$ folyamatot
jellemz\H{o} \'es a 4.8.~t\'etelben bevezetett 
$\alpha\ge0$ t\"ukr\"oz\'esi egy\"utthat\'ot\'ol, a 
$\pi=(\pi(u_{-1}),\pi(u_0),\pi(u_1),\dots)$ nem 
negat\'{\i}v sz\'amokb\'ol \'all\'o \'es ugr\'as
m\'ert\'eknek nevezett sorozatt\'ol, valamint egy 
\'uj abszorpci\'os egy\"utthat\'onak nevezett $\beta\ge0$ 
konstanst\'ol. Ha az $\alpha$, \'es $\beta$ sz\'amokat 
\'es a $\pi$ vektort beszorozzuk ugyanazzal a 
pozit\'{\i}v konstanssal, akkor azok ugyanazt az 
$m(y)=E_r\tau_y$ v\'arhat\'o \'ert\'eket 
hat\'arozz\'ak meg.

\medskip\noindent
{\bf 4.9.\ T\'etel.} {\it Legyen adva egy $\bar x(t)$ 
sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi folyamat $A$~oszt\'alyba 
tartoz\'o $x(t)$ folytat\'asa, \'es tekints\"uk minden 
$y\in\Cal E$ pontra a kor\'abban defini\'alt $\tau_y$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot \'es annak 
$m(y)=E_r(\tau_y)$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et. L\'etezik 
egy olyan $\beta\ge0$ konstans, amelyik nem egyenl\H{o} 
null\'aval akkor, ha $\alpha=0$ \'es $\pi=0$ a  
4.8.~t\'etelben meghat\'arozott $\alpha$ sz\'ammal \'es 
$\pi$ vektorral, \'es amelyikkel \'erv\'enyes az
$$
m(y)=E_r(\tau_y)=\frac{\beta+\alpha v(r)
+\summ_{y<z<r}\pi(z)[S(z)-S(r)]
-\alpha(y)[S(y)-S(r)]}{\lambda(y)}, \tag4.22
$$
azonos\'ag minden $y\in\Cal E$ pontban, ahol a (4.22) 
formul\'aban szerepl\H{o} kifejez\'esek a 
k\"o\-vet\-ke\-z\H{o}\-k\'epp vannak defini\'alva. 
$S(\cdot)$  az $\bar x(t)$ sz\"ulet\'esi \'es 
hal\'aloz\'asi folyamat 
ka\-rak\-te\-risz\-ti\-k\'a\-j\'a\-nak nevezett 
f\"uggv\'eny, $v(r)=\limm_{u\to r}v(u)$ a $-S(t)$ 
f\"uggv\'eny (monoton n\"ovekv\H{o}, nem negat\'{\i}v) 
a (4.11) \'es  (4.12)~formul\'akban defini\'alt 
deriv\'altj\'anak a limesze az $r$ pontban, $\alpha$ 
a 4.8.~t\'etelben  bevezetett t\"ukr\"oz\'esi 
egy\"utthat\'o, $\pi(z)$ a  4.8.~t\'etelben bevezett 
$\pi$ ugr\'as m\'er\-t\'ek\-nek nevezett sorozat 
megfelel\H{o} koordin\'at\'aja, az $\alpha(y)$ \'es 
$\lambda(y)$ sz\'amok e mennyis\'egek 
se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel a (4.18) \'es (4.21) 
formul\'akban vannak kifejezve. E k\'epletben az
$\alpha v(r)$ ki\-fe\-je\-z\'est az $\alpha=0$, 
$v(r)=\infty$ esetben az 
$$
\alpha v(r)=0, \quad\text{ha} \quad \alpha=0 \text{ \'es } v(r)=0
$$
k\'eplettel defini\'aljuk.

Az $x(t)$ folyamat vizsg\'alat\'aban megjelent $\alpha$, $v(r)$
sz\'amok, $S(t)$ karakterisztika \'es a $\pi$ az ugr\'as 
m\'ert\'eknek nevezett sorozat teljes\'{\i}tik az
$$
\alpha v(r)<\infty \tag4.23
$$
\'es
$$
\sum_u \pi(u)[S(u)-S(r)]<\infty \tag4.24
$$
egyenl\H{o}tlens\'egeket.}

\medskip
 Ha $\alpha=0$ \'es $\pi=0$, azaz, ha $r$ elnyel\H{o} pontja
az $x(t)$ sztochasztikus folyamatnak akkor a (4.22) k\'epletben
meghat\'arozott $m(y)$ mennyis\'egre $m(y)=\infty$. A t\"obbi
esetben $m(y)<\infty$. Vegy\"uk \'eszre, hogy, ha az $\alpha$ 
\'es $\beta$ sz\'amokat \'es $v$ vektort megszorozzuk 
ugyanazzal a pozit\'{\i}v sz\'ammal, akkor a (4.22) formula 
jobboldal\'an szerepl\H{o} kifejez\'es \'ert\'eke nem 
v\'altozik. Ez azt jelenti, hogy az $(\alpha,\beta,\pi)$ 
vektor csak egy pozit\'{\i}v konstans szorz\'o erej\'eig 
van meghat\'arozva.

\medskip
A 4.9. t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'anak nem t\'argyalom
minden r\'eszlet\'et, csak n\'eh\'any meg\-jegy\-z\'est 
teszek a bizony\'{\i}t\'assal kapcsolatban. 

A 4.9. t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'aban hasonl\'oan a 4.8. t\'etel 
bizony\'{\i}t\'as\'ahoz, vesz\"unk k\'et $x,y\in\Cal E$, 
$y<x$ pontot, \'es el\H{o}sz\"or az $m(x)$ \'es $m(y)$ 
v\'arhat\'o \'ert\'eket hasonl\'{\i}tjuk \"ossze,
\'es megvizsg\'aljuk mit kapunk az $x\to r$ 
hat\'ar\'atmenet v\'egrehajt\'asa eset\'en. Jelen eset\-ben 
a k\'{\i}v\'ant formul\'ak bizony\'{\i}t\'as\'anak 
\'erdek\'eben a 4.4. \'es 4.3. t\'etelek eredm\'enyeit 
\'erdemes alkalmazni. A 4.4. t\'etel megadja azon id\H{o} 
$m(z;y,r)$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et, ami ahhoz sz\"uks\'eges, 
hogy a $z$  pontb\'ol kiindul\'o sz\"ulet\'esi \'es 
hal\'aloz\'asi folyamat el\'erje az $y$ \'es $r$ pont 
valamelyik\'et, ($y<z<r$). R\'eszletesebben kifejtve, a
4.4.~t\'etel 3. formul\'aja alapj\'an fel\'{\i}rhatjuk, hogy
$$
m(z;y,r)=S(z)-\frac{(r-z)S(y)+(z-y)S(r)}{r-y}
=[S(z)-S(r)]-\frac{r-z}{r-y}[S(y)-S(r)],
$$
\'es mivel egy $z$ pontb\'ol kiindulva, $y<z<r$, az $y$ \'es 
$r$ pontok k\"oz\"ul $\frac{r-z}{r-y}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel el\H{o}sz\"or az $y$ pontot 
\'es $\frac{z-y}{r-y}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
el\H{o}sz\"or az $r$ pontot \'erj\"uk el, ez\'ert
$$ 
m(y)=m(x)+\sum_{y< z\le x}\pi_x(z)\[m(z;y,r)+\frac{z-y}{r-y}m(y)\].
$$
Ezek a formul\'ak, tov\'abb\'a a kor\'abban a $p_x(z)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekre kapott kifejez\'esek
le\-he\-t\H{o}\-v\'e teszik, hogy egy alkalmas formul\'at
\'{\i}rjunk fel az $m(x)$ \'es $m(y)$ v\'arhat\'o \'ert\'ekek
kapcsolat\'ar\'ol. N\'eh\'any kor\'antsem trivi\'alis
\'atalak\'{\i}t\'ast v\'egrehajtva azt kapjuk, hogy
$$
\align
&\lambda(y)m(y)+\alpha(y)[S(y)-S(r)] \\
&\qquad =\lambda(x)m(x)+\alpha(x)[S(x)-S(r)]
+\sum_{y<z\le x}\pi(z)[S(z)-S(r)].
\endalign
$$
Azt kell tanulm\'anyozni, mit kapunk ezen azonoss\'ag 
seg\'{\i}ts\'eg\'evel az $x\to r$ hat\'ar\-\'at\-me\-net
v\'egrehajt\'asa eset\'en. Mivel az azonoss\'ag baloldala 
nem f\"ugg az $x$ sz\'amt\'ol, nem neh\'ez bel\'atni ilyen 
m\'odon a (4.24) egyenl\H{o}tlens\'eget. 
M\'asr\'eszt vizsg\'alnunk kell az 
$\alpha(x)[S(x)-S(r)]$ kifejez\'es limesz\'et 
$x\to r$ hat\'ar\'atmenet eset\'en. N\'emi nem 
trivi\'alis sz\'amol\'as azt adja, felhaszn\'alva az 
$S(\cdot)$ f\"uggv\'eny tulajdons\'agait, hogy
$$
\lim_{x\uparrow r}\alpha(x)[S(x)-S(r)]=\alpha v(r).
$$
Ennek seg\'{\i}ts\'eg\'evel be lehet l\'atni a (4.22) 
formul\'at a
$$
\beta=\lim_{x\uparrow r}\lambda(x)m(x) \tag4.25
$$
v\'alaszt\'assal. Speci\'alisan az is k\"ovetkezik 
ebb\H{o}l a  gondolatmenetb\H{o}l, hogy a $\beta$ 
sz\'amot defini\'al\'o limesz val\'oban l\'etezik.  
V\'eg\"ul a (4.23) formula k\"ovetkezik a (4.22)
formul\'ab\'ol.

\medskip
A szerz\H{o}k ismertetnek egy olyan eredm\'enyt is, amely 
egyben megmagyar\'azza, hogy a (4.22) formul\'aban 
szerepl\H{o} $\beta$ sz\'amot mi\'ert h\'{\i}vj\'ak
abszorpci\'os egy\"utthat\'onak. Azt vizsg\'alj\'ak, 
hogy az $x(t)$ sztochasztikus folyamat mennyi id\H{o}t 
t\"olt az $r$ hat\'arpontban azel\H{o}tt hogy az
az $r$ pontb\'ol el\H{o}sz\"or kil\'ep egy $U_y$ 
halmazb\'ol. Bebizony\'{\i}tj\'ak a k\"ovetkez\H{o}
t\'etelt.

\medskip\noindent
{\bf 4.10.\ T\'etel.} {\it A 4.9. t\'etelben tekintett $x(t)$ 
sztochasztikus folyamat az ott haszn\'alt jel\"ol\'esekkel 
teljes\'{\i}ti minden $y\in\Cal E$ pontban az
$$
E_r\xi_y=\frac\beta{\lambda(y)}
$$
rel\'aci\'ot, ahol $\xi_y$ jel\"oli azt annak az id\H{o}nek
a (Lebesgue) m\'ert\'ek\'et, amelyet az $r$ pontb\'ol 
kiindul\'o $x(t)$ folyamat az $r$ hat\'arpontban  
t\"olt\"ott,  miel\H{o}tt kil\'epett az $U_y$ halmazb\'ol.}

\medskip
Ez azt jelenti, hogy az az id\H{o}, amit az $r$ pontb\'ol
kiindul\'o $x(t)$ folyamat az $r$ pontban t\"olt,
miel\H{o}tt el\H{o}sz\"or kil\'ep az $r$ pont egy $U_y$ 
k\"ornyezet\'eb\H{o}l ar\'anyos a $\beta$ sz\'ammal.

Nem neh\'ez bel\'atni a (4.18) \'es (4.21) k\'epletek 
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy
$$
\lim_{y\uparrow r} \lambda(y)=\left\{
\aligned
&\sum_u \pi(u) \quad\text{ha } \alpha=0 \\
&\infty \quad\text{ha } \alpha>0,
\endaligned \right.
$$
\'es ez a limesz v\'eges, ha $\alpha=0$ \'es 
$\summ_u \pi(u)<\infty$, \'es v\'egtelen, ha $\alpha>0$ vagy 
$\summ_u\pi(u)=\infty$. Az els\H{o} esetben van egy v\'eges 
id\H{o}intervallum, ameddig az $r$ pontban tart\'ozkod\'o 
$x(t)$ folyamat az $r$ pontban marad, m\'{\i}g a m\'asodik
esetben azon id\H{o}pontok halmaza, amikor az $x(t)$ 
folyamat  az $r$ pontban tart\'ozkodik nem tartalmaz 
intervallumot. Viszont be lehet l\'atni, hogy ebben az 
esetben azon $t$ id\H{o}pontok halmaza, amelyet az $r$ 
pontb\'ol kiindul\'o $x(t)$ folyamat az $U_y$ b\'ol val\'o
kil\'ep\'es el\H{o}tt az $r$ pontban t\"olt a $P_r$ 
m\'ert\'ek szerint egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
pozit\'{\i}v m\'ert\'ek\H{u} Cantor halmaz, \'es e halmaz 
m\'ert\'eke ar\'anyos a $\beta$ param\'eterrel.

L\'attuk, hogy egy sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi folyamat 
$A$~oszt\'alyba tartoz\'o folytat\'as\'anak teljes\'{\i}tenie 
kell a (4.17) \'es (4.23)  egyenl\H{o}tlens\'eget. Be lehet 
viszont l\'atni, felhaszn\'alva az $S(t)$ f\"uggv\'eny 
tulajdons\'agait, hogy a (4.23) egyenl\H{o}tlens\'egb\H{o}l 
k\"ovetkezik a (4.17) egyenl\H{o}tlens\'eg. Bizonyos esetekben 
ez a k\'et egyenl\H{o}tlens\'eg ekvivalens. Az ilyen esetek
megad\'as\'anak \'erdek\'eben bevezetj\"uk a k\"ovetkez\H{o} 
fogalmat. Egy sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi folyamat $r$ 
hat\'arpontj\'at bel\"ulr\H{o}l el\'erhet\H{o}nek nevezz\"uk, 
ha $v(r)<\infty$. Ebben az esetben a (4.17) \'es (4.23) 
egyenl\H{o}tlens\'egek ekvivalensek. Ez az \'all\'{\i}t\'as
viszont nem felt\'etlen\"ul igaz akkor, ha az $r$ pont nem 
bel\"ulr\H{o}l el\'erhet\H{o}.

\medskip
Az eddig t\'argyalt eredm\'enyek lehet\H{o}ve teszik hogy 
kisz\'am\'{\i}tsuk az $\Cal U f(r)$ meny\-nyis\'eget, azaz a 
karakterisztikus oper\'ator \'ert\'ek\'et az $r$ pontban.
Az \'altal\'anos feladat az, hogy \'{\i}rjuk le a 
sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi folyamatok 
$A$~oszt\'alyba tartoz\'o  folytat\'as\'anak $\Cal U$ 
karakterisztikus oper\'atorait. Azt m\'ar l\'attuk, hogy 
egy ilyen sztochasztikus folyamatra 
$\Cal U f(y)=\frac12D_\mu D_u f(y)$, ha $y\in\Cal E$, 
(megadtuk a $D_\mu$ \'es $D_u$ oper\'atorok pontos 
le\'{\i}r\'as\'at), de hi\'anyzik m\'eg a $\Cal Uf(r)$-nek
a megad\'asa. Ez a sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi 
folyamat $S(u)$ karakterisztik\'aj\'an k\'{\i}v\"ul f\"ugg 
egy $\alpha$ t\"ukr\"oz\'esi, $\beta$ abszorpci\'os 
egy\"utthat\'ot\'ol \'es \'es egy 
$\pi=(\pi(u_{-1}),\pi(u_0),\pi(u_1),\dots)$  
ugr\'as m\'ert\'ek\'enek nevezett sorozatt\'ol. A 
tov\'abbiakban  bevezetj\"uk a $\gamma=\pi(u_{-1})=\pi(-1)$ 
jel\"ol\'est, \'es a $\pi$ vektor koordin\'at\'ai k\"oz\"ul 
elhagyjuk ezt az elemet. A $\gamma\ge0$ sz\'amot 
elt\H{u}n\'esi (extinction) egy\"utthat\'onak fogjuk 
h\'{\i}vni. Megfogalmazom a $\Cal U$ karakterisztikus
oper\'atort le\'{\i}r\'o t\'etelt, azt\'an teszek 
n\'eh\'any megjegyz\'est ezzel kapcsolatban, v\'eg\"ul 
elmagyar\'azom a t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'anak
f\H{o} l\'ep\'eseit.

\medskip\noindent
{\bf 4.11.\ T\'etel.} {\it Egy sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi 
folyamat $A$~oszt\'alyba tartoz\'o $x(t)$ folytat\'as\'at a 
k\"ovetkez\H{o}k\'epp adhatjuk meg. Vesz\"unk egy $p_n$, 
$n=0,1,\dots$, $p_0=1$, $0<p_n<1$, ha $n\ge 1$, $a_n$, $a_n>0$, 
$n=0,1,2,\dots$, sorozatot, tekint\"unk egy e param\'eterek 
\'altal meghat\'arozott $\bar x(t)$ sz\"ulet\'esi \'es 
hal\'aloz\'asi folyamatot, defini\'aljuk e folyamat $S(u)$, 
$0\le u\le r$, karakterisztik\'aj\'at, annak $v(u)$ 
deriv\'altj\'at \'es az \'altala meghat\'arozott $D_u$ 
\'es $D_\mu$ oper\'atorokat a m\'ar le\'{\i}rt m\'odon. 
E sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi folyamat egy $x(t)$ 
$A$~oszt\'alyba tartoz\'o folytat\'as\'at olyan  
$\alpha\ge0$ t\"ukr\"oz\'esi, $\beta\ge0$ abszorpci\'os, 
$\gamma\ge0$ t\"ukr\"oz\'esi  egy\"utthat\'ok \'es 
$\pi=(\pi(u_0),\pi(u_1),\dots)$, $\pi(u_n)\ge0$, 
$n=0,1,\dots$,   ugr\'as m\'ert\'ek\'enek nevezett sorozat 
seg\'{\i}ts\'eg\'evel adjuk meg. Ezek a mennyis\'egek 
teljes\'{\i}tik a (4.23), (4.24) \'es
$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2+\summ_u \pi(u)^2>0$ 
felt\'eteleket. (A (4.23) felt\'etel \'ertelmez\'es\'eben 
az $\alpha v(r)=0$, ha $\alpha=0$ \'es $v(r)=\infty$ 
konvenci\'ot alkalmazzuk.) Az $x(t)$ sztochasztikus
folyamatot annak $\Cal U$ karakterisztikus oper\'ator\'anak
a seg\'{\i}ts\'eg\'evel adjuk meg, amelyet a 
k\"ovetkez\H{o}k\'epp defini\'alunk.
$$
\Cal U f(u)=\frac12 D_\mu D_u f(u) \quad \text{ha }u\in\Cal E,
$$
\'es
$$
\beta\Cal U f(r)+\alpha f'(r)+\gamma f(r)
+\sum_ u\pi(u)[f(r)-f(u)]=0 \tag4.26
$$
egy olyan $f(u)$, $u\in\Cal E\cup\{r\}$ sorozatra, amely 
tekinthet\H{o} egy a $[0,r]$ intervallumon defini\'alt, az 
$r$ pontban differenci\'alhat\'o f\"uggv\'eny 
megszor\'{\i}t\'as\'anak erre a halmazra. A (4.26) formula
\'ugy \'ertelmezhet\H{o}, hogy egy $f(u)$, 
$u\in\Cal E\cup\{r\}$, sorozatot azonos\'{\i}tunk egy ilyen 
a $[0,r]$ halmazon defini\'alt $f(u)$ f\"uggv\'ennyel, \'es
csak olyan sorozatokat tekint\"unk, amelyekre ez az $f(u)$
f\"uggv\'eny az $r$ pontban differenci\'alhat\'o. Az $x(t)$
folyamat jel\-lem\-z\'e\-s\'e\-ben szerepl\H{o} $\alpha$, 
$\beta$ \'es $\gamma$ konstansok, illetve $\pi$ vektor egy 
pozit\'{\i}v konstanssal val\'o szorz\'as erej\'eig 
egy\'ertelm\H{u}en meg vannak hat\'arozva.}

\medskip
A k\"onyvben az van bebizony\'{\i}tva, hogy egy sz\"ulet\'esi 
\'es hal\'aloz\'asi folyamat $A$~osz\-t\'aly\-ba tartoz\'o 
folytat\'asa csak ilyen alak\'u lehet. Annak a k\'erd\'esnek
a megv\'alaszol\'asa, hogy egy ilyen karakterisztikus 
oper\'ator val\'oban defini\'al-e  egy k\'{\i}v\'ant 
tulajdons\'ag\'u Markov folyamatot, m\'as e k\"onyvben 
nem t\'argyalt m\'odszerek kidolgoz\'as\'at 
ig\'enyli. Ez\'ert a k\"onyv bizony\'{\i}t\'as
n\'elk\"ul ismerteti a v\'alaszt erre a k\'erd\'esre.
Viszont az utols\'o al\-fejezetben bebizony\'{\i}tja, hogy az
\'{\i}gy defini\'alt $\Cal U$ karakterisztikus oper\'ator 
egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozza a sz\"ulet\'esi \'es 
hal\'aloz\'asi folyamat $x(t)$ $A$~oszt\'alyba tartoz\'o 
folytat\'as\'anak az eloszl\'as\'at. \'Erdemes
megjegyezni, hogy a (4.26) formula nagyon hasonl\'{\i}t a  
$[-\infty,0]$ f\'elegyenesen defini\'alt Wiener folyamat 
karakterisztikus  oper\'ator\'anak a 0
hat\'arpontbeli \'ert\'ek\'et megad\'o (4.2) k\'eplethez.

Az \'altal\'anos, de a k\"onyvben nem ismertetett 
elm\'eletb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy a 4.9. t\'etelben 
megadott $\Cal U$ oper\'ator mindig defini\'al egy Markov 
folyamatot. Ez egyben egy sz\"ulet\'esi \'es 
hal\'aloz\'asi folyamatnak az $A$~oszt\'alyba tartoz\'o 
folytat\'asa, kiv\'eve azt az esetet,
ha
$$
\alpha=\beta=0, \quad\text{\'es} \quad \sum_u \pi(u)<\infty.
$$
Ekkor ugyanis az $A$~oszt\'alyba tartoz\'o folytat\'as 
definici\'oj\'anak (4) \'es (5) pontban megfogalmazott, 
a sztochasztikus folyamat trajekt\'ori\'ainak $T$ 
id\H{o}pontbeli jobboldali foly\-to\-nos\-s\'a\-g\'at 
el\H{o}\'{\i}r\'o felt\'etele nem teljes\"ul. \'Erdemes 
megjegyezni, hogy ez az eset hasonl\'o a 4.8. t\'etel 
t\'argyal\'asa el\H{o}tt vizsg\'alt speci\'alis esethez. 
A l\'enyeges k\"ul\"onbs\'eg k\"oz\"ott\"uk az, hogy ott 
az $r$ hat\'arpontb\'ol val\'o valamely $u\in\Cal E$ pontba 
t\"ort\'en\H{o} ugr\'as bek\"ovetkez\'es\'ehez 
exponenci\'alis eloszl\'as\'u ideig v\'arni kell, m\'{\i}g 
az itt eml\'{\i}tett esetben a $\beta=0$ felt\'etel azt
jelenti, hogy azonnal megt\"ort\'enik az ugr\'as. A 
k\'{\i}v\'ant folytonoss\'agi tulajdons\'ag ez\'ert nem 
teljes\"ul az adott esetben.

\medskip
A 4.10. t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'ahoz el\H{o}sz\"or 
fel kell \'{\i}rni a karakterisztikus oper\'ator 
\'ert\'ek\'et az $r$ pontban, azaz azt az $\Cal Uf(r)$ 
kifejez\'est, amit vizsg\'alni akarunk. Ez a $\Cal U$ 
oper\'ator definici\'oja, illetve (4.14), (4.15) \'es 
(4.21) formula alapj\'an \'{\i}gy \'{\i}rhat\'o fel:
$$
\Cal U f(r)=\lim_{y\uparrow r}
\frac{\summ_{0<u\le y}\pi(u)f(u)+\alpha(y)f(y)-\lambda(y)f(r)}
{\lambda(y) m(y)}.
$$
Illetve mivel $\lambda(y)$ a (4.21) formula \'es a 
$\gamma=\pi(u(-1)$ jel\"ol\'es bevezet\'ese miatt 
$$
\lambda(y)=\sum_{-1\le u\le y}\pi(u)+\alpha(y)
=\gamma+\sum_{0\le u\le y}\pi(u)+\alpha(y)
$$
ezt a formul\'at \'at\'{\i}rhatjuk, mint
$$
\Cal U f(r)=\lim_{y\uparrow r}
\frac{\summ_{0<u\le y}\pi(u)[f(u)-f(r)]
+\alpha(y)[f(y)-f(r)]-\gamma f(r)}
{\lambda(y) m(y)}. \tag4.27
$$
A (4.27) kifejez\'esben szerepl\H{o} t\"ort 
nevez\H{o}j\'ere a (4.25) rel\'aci\'o szerint igaz a 
$$
\limm_{y\uparrow r}\lambda(y) m(y)=\beta
$$ 
azonoss\'ag. N\'emi vizsg\'alat azt mutatja, hogy amennyiben 
az $f(u)$  f\"uggv\'eny deriv\'alhat\'o az $r$ pontban, 
akkor e t\"ort sz\'aml\'al\'oja konverg\'al a 
$$
\summ_u\pi(u)[f(u)-f(r)]+\alpha f'(r)-\gamma f(r)
$$
kifejez\'eshez, ha $y\uparrow r$. Ezen \'all\'{\i}t\'as
igazol\'as\'ahoz azt kell megmutatni, hogy a 
$$
\summ_{0<u\le y}\pi(u)[f(u)-f(r)]
$$ 
\"osszeg az adott  esetben konverg\'al a 
$\summ_u\pi(u)[f(u)-f(r)]$ v\'egtelen \"osszeghez, ha 
$y\uparrow r$, \'es az ut\'obbi \"osszeg v\'eges. Ez 
azonban k\"onnyen igazolhat\'o a (4.17) formula \'es az 
$f(u)-f(r)\sim f'(r)(u-r)$, ha $u\uparrow r$ rel\'aci\'o 
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. 

A fenti, a (4.27) formula sz\'aml\'al\'oj\'ara \'es 
nevez\H{o}j\'ere kapott aszimptotikus rel\'aci\'ok 
implik\'alj\'ak a (4.26) formul\'at a $\beta>0$ esetben. 
A $\beta=0$ esetben ezt a hat\'ar\'atmenetet nincs jogunk 
elv\'egezni. De akkor mondhatjuk azt, hogy a $\Cal U f(r)$ 
formul\'at megad\'o limesz csak akkor l\'etezik, ha
a sz\'aml\'al\'o tart a null\'ahoz $u\uparrow r$ 
eset\'en, azaz, ha
$$
\summ_u\pi(u)[f(u)-f(r)]+\alpha f'(r)-\gamma f(r)=0.
$$
Ez viszont megegyezik a (4.26) formul\'aval a $\beta=0$ esetben.
Ez azt jelenti, hogy az $\Cal U f(r)$ kifejez\'es, (ha 
egy\'altal\'an l\'etezik) teljes\'{\i}ti a (4.26) formul\'at. 
Itt meg kell jegyezni azt is, hogy abban az esetben, ha $r$ 
elnyel\H{o} \'allapot, (ezt az esetet nem t\'argyaltuk az 
el\H{o}z\H{o} vizsg\'alatokban), akkor 
$\alpha=\gamma=\pi=\Cal U=0$, $\beta>0$, teh\'at a (4.26)
formula ebben az esetben is \'erv\'enyes.

A fenti \'ervel\'es azt bizony\'{\i}tja, hogy a karakterisztikus 
oper\'ator csak olyan lehet, amelynek az \'ert\'eke az $r$ 
pontban teljes\'{\i}ti a (4.26) formul\'at. Az, hogy egy 
sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi folyamat $A$~oszt\'alyba 
tartoz\'o folytat\'asa val\'oban l\'etezik ilyen 
karakterisztikus oper\'atorral (enyhe megszor\'{\i}t\'asok
eset\'en), m\'as e k\"onyvben nem t\'argyalt 
vizsg\'alatokb\'ol k\"ovetkezik.

\medskip
A k\"onyv m\'eg tartalmazza annak bizony\'{\i}t\'as\'at, hogy 
a karakterisztikus oper\'ator egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozza 
egy sz\"ulet\'esi \'es hal\'aloz\'asi folyamat $A$~oszt\'alyba 
tartoz\'o folytat\'as\'anak az eloszl\'as\'at. R\"oviden 
ismertetem, ezen \'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'as\'anak 
legfontosabb gondolatait. Ezek a Markov folyamatok 
elm\'elet\'enek n\'eh\'any fontos m\'odszer\'enek az 
alkalmaz\'as\'an alapulnak.

\medskip
Azt kell bel\'atni, hogy a megadott $\Cal U f$ oper\'ator
\'ert\'ekei, ha az $\Cal U$ oper\'atort az $\Cal E\cup\{r\}$ 
halmazon folytonos f\"uggv\'enyek ter\'en alkalmazzuk
meghat\'arozz\'ak a $p(t,u,v)=P_u(x(t)=v)$ \'es $P(\zeta>t)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket. Ezt az \'all\'{\i}t\'ast
az anal\'{\i}zis eredm\'enyei
alapj\'an vissza lehet vezetni annak bizony\'{\i}t\'as\'ara 
hogy a $\Cal U$ oper\'ator hat\'asa a folytonos f\"uggv\'enyek
ter\'ere egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozza az \'ugynevezett
rezolvenst, azaz a
$$
R_\lambda f(u)=\int_0^\infty e^{-\lambda t} E_u f(x(t))\,dt
%=\int_0^\infty e^{-\lambda t} p(t,u,v)\,dv\,dt
$$
f\"uggv\'enyt minden folytonos $f$ f\"uggv\'enyre \'es $\lambda>0$
sz\'amra. Ez a k\'eplet \'ugy \'ertend\H{o}, hogy a $t\ge\zeta$
eset\'eben, vagyis akkor, ha $x(t)$ nincs defini\'alva, 
$f(x(t))=0$. \'Erv\'enyes a rezolvens k\"ovetkez\H{o}
jellemz\'ese is:
$$
R_\lambda=\int_0^\infty e^{-\lambda t}P_t \,dt,
$$
ahol $P_t$, $t\ge0$, a Markov folyamat kor\'abban is t\'argyalt
f\'elcsoportja.

A k\"onyv bel\'atja, hogy amennyiben $f$ folytonos f\"uggv\'eny
akkor az $F(u)=F_\lambda(u)=R_\lambda f(u)$ f\"uggv\'eny is
folytonos minden $\lambda>0$ sz\'amra. Ezenk\'{\i}v\"ul igaz
az al\'abbi (a rezolvensek elm\'elet\'eben nagyon \'altal\'anos
felt\'etelek mellett \'erv\'enyes) azonoss\'ag.
$$
R_\lambda-R_\mu=(\mu-\lambda)R_\mu R_\lambda \quad\text{minden }
\lambda>0,\; \mu>0 \text{ sz\'amp\'arra.}
$$
Ezen \"osszef\"ugg\'esek seg\'{\i}ts\'eg\'evel a k\"onyv bel\'atja
a k\"ovetkez\H{o} lemm\'at.

\medskip\noindent
{\bf 4.12. Lemma.} {\it Ha $f$ folytonos f\"uggv\'eny az 
$\Cal E\cup\{u\}$ halmazon, akkor minden $\lambda>0$ 
param\'eterre az $F(u)=F_\lambda(u)=R_\lambda f(u)$
f\"uggv\'eny olyan folytonos f\"uggv\'eny az
$\Cal E\cup\{u\}$ halmazon, amely teljes\'{\i}ti a
$$
f=\lambda F-\Cal U F \tag4.28
$$
azonoss\'agot.}

\medskip
Ezen eredm\'eny alapj\'an a k\'{\i}v\'ant 
egy\'ertelm\H{u}s\'eg bizony\'{\i}t\'as\'ahoz el\'eg 
megmutatni azt, hogy r\"ogz\'{\i}tett folytonos $F$ 
f\"uggv\'enyre a (4.28) egyenletet egyetlen (folytonos) $f$ 
f\"uggv\'eny el\'eg\'{\i}ti ki. Ezt a k\"ovetkez\H{o}k\'epp
l\'athatjuk be. El\'eg megmutatni, hogy a
$\lambda F-\Cal U F\equiv0$ egyenletet egyed\"ul az $F\equiv0$
f\"uggv\'eny el\'eg\'{\i}ti ki a folytonos f\"uggv\'enyek 
ter\'eben. Ha ez nem teljes\"ulne, akkor l\'etezne olyan 
folytonos $F$ megold\'asa ennek az egyenletnek, amely 
bizonyos pontokban szigor\'uan poz\'{\i}tiv, s\H{o}t 
l\'etezne olyan $u$ pont, amelyre $F(u)=\max F(v)=M>0$, 
azaz az $F$ f\"uggv\'eny maximuma felv\'etetik. De az 
$\Cal U$ oper\'ator definici\'oja szerint 
$\Cal U F(u)\le 0$, ez\'ert 
$F(u)=\frac1\lambda \Cal U F(u)\le0$ ebben az $u$ pontban.
Viszont $F(u)=M>0$ az $u$ pontban, \'es ez ellentmond\'as.


\bye
