<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
 
\input amstex
\TagsOnRight
\parindent=20pt
%\parskip=2pt plus 1.2pt
\parskip=2.5pt plus 1.2pt
%\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\def\Re{\text{\rm Re}\,}
\def\Im{\text{\rm Im}\,}
\font\script =cmcsc10
\font\BBB=msbm10

\centerline{ \'Attekint\'es }
\centerline{\bf  Dynkin, Evgenyij Boriszovics  \'es Yushkevics, 
Alekszandr Adolfovics}
\centerline{\it T\'etelek \'es feladatok Markov folyamatokr\'ol}
\centerline{ c\'{\i}m\H{u} k\"onyv\'er\H{o}l}

\medskip\noindent
{\it M\'asodik fejezet: N\'eh\'any parci\'alis differenci\'alegyenlet
megold\'asa val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi m\'odszerrel.}

\medskip\noindent
E fejezet f\H{o} t\'em\'aja a k\"ovetkez\H{o} k\'et parci\'alis 
differenci\'alegyenlet vizsg\'alata. 

Legyen adva egy sz\'ep $G$ 
tartom\'any az $R^l$  $l$-dimenzi\'os Euklideszi t\'erben. Az 
els\H{o} probl\'ema az \'ugynevezett Dirichlet feladat 
megold\'asa ebben a tartom\'anyban, azaz a 
$$
\Delta f(u)=0, \text{ ha } u\in G, \quad \text{\'es } 
\lim_{u\to x} f(u)=\varphi(x), \text {ha } x\in\partial G,
$$
egyenlet megold\'asa, ahol $\partial G$ a $G$ tartom\'any hat\'ar\'at
jel\"oli, $\varphi(x)$ egy el\H{o}re megadott folytonos \'es
korl\'atos f\"ugg\-v\'eny a  $\partial G$ hat\'aron, \'es $\Delta$ 
az els\H{o} fejezetben bevezetett Laplace oper\'atort jel\"oli.

A m\'asodik probl\'ema az \'ugynevezett Poisson egyenlet, azaz a
$$
\Delta f(u)=-2, \text{ ha } u\in G, \quad\text{\'es }
\lim_{u\to x} f(u)=0, \text{ ha }x\in\partial G
$$
egyenlet megold\'asa.

Ezenk\'{\i}v\"ul e fejezet tartalmazza a fenti probl\'em\'ak 
megold\'as\'anak n\'eh\'any \'erdekes alkalmaz\'as\'at. P\'eld\'aul
megoldja a k\"ovetkez\H{o} feladatot. Legyen adva k\'et 
koncentrikus g\"ombfel\"ulet, \'es ind\'{\i}tsunk egy Wiener
folyamatot egy a k\'et g\"ombfel\"ulet k\"oz\"otti pontb\'ol.
Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy ez a Wiener folyamat
el\H{o}bb \'eri el a bels\H{o} g\"ombfel\"uletet, mint a 
k\"uls\H{o}t? Foglalkozik e k\"onyv azzal a k\'erd\'essel is, hogy 
a Dirichlet feladat megold\'asa egy\'ertelm\H{u}-e. Ha a $G$ 
tartom\'any (sz\'ep hat\'arral rendelkezik, \'es) korl\'atos, 
akkor nem neh\'ez bel\'atni egy maximumelv seg\'{\i}ts\'eg\'evel 
a megold\'as egy\'ertelm\H{u}s\'eg\'et. Nem korl\'atos 
tartom\'anyok eset\'en a helyzet bonyolultabb. Ezzel a
k\'erd\'essel is foglalkozik a k\"onyv. Megmutatja az itt megadott
megold\'as egy k\"ul\"onleges tulajdons\'ag\'at ebben az esetben.

A probl\'ema megold\'asa azon alapul, hogy az visszavezethet\H{o}
a Dirichlet feladat vizsg\'alat\'ara speci\'alis hat\'arfelt\'etelek
mellett. Ebben az esetben a Dirichlet feladat egyszer\H{u}en 
megoldhat\'o, \'es a megold\'as seg\'{\i}t a keresett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg kisz\'amol\'as\'aban.

\medskip

A bizony\'{\i}t\'asokban felhaszn\'aljuk a $\Delta f(x)=0$ egyenletet
kiel\'eg\'{\i}t\H{o}, \'ugynevezett harmonikus f\"uggv\'enyek 
k\"ovetkez\H{o} jellemz\'es\'et.

\medskip\noindent
{\bf 2.1 T\'etel a harmonikus f\"uggv\'enyek jellemz\'es\'er\H{o}l.} 
{\it Egy $f(\cdot)$ f\"uggv\'eny akkor \'es csak akkor harmonikus
egy $G$ ny\'{\i}lt halmazon, azaz akkor \'es csak akkor 
teljes\'{\i}ti a $\Delta f(u)=0$ egyenletet a $G$ ny\'{\i}lt 
halmaz minden $u\in G$ pontj\'aban, ha minden $a\in G$ pontra 
\'es olyan $a$ k\"oz\'eppont\'u \'es $r$ sugar\'u  
$C(a)=\{u\colon\; |a-u|=r\}$  g\"ombfel\"uletre, amelynek a 
belsej\'et tartalmaz\'o $\{u\colon\;|a-u|\le r\}$ g\"omb is a 
$G$ tartom\'anyban van, \'es a $C(a)$ g\"ombfel\"uleten  
lev\H{o} $\mu=\mu_{a,r}$ egyre norm\'alt egyenletes 
eloszl\'asra teljes\"ul az
$$
f(a)=\int_{C(a)} f(u)\mu(\,du)
$$
azonoss\'ag.}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es}\/ E k\"onyvben csak az van bebizony\'{\i}tva, 
hogy a fent megfogalmazott azo\-nos\-s\'ag\-b\'ol k\"ovetkezik, 
hogy az $f$  f\"uggv\'eny harmonikus, mert itt csak erre az 
\'all\'{\i}t\'asra  van sz\"uk\-s\'eg. A bizony\'{\i}t\'as sor\'an 
el\H{o}sz\"or azt l\'atj\'ak be, hogy egy  ezt az azonoss\'agot 
teljes\'{\i}t\H{o}  f\"uggv\'eny el\'eg sima. Ezt felhaszn\'alva, 
alkalmas Taylor sorfejt\'es seg\'{\i}ts\'eg\'evel 
bizony\'{\i}that\'o, hogy a fenti egyenletet teljes\'{\i}t\H{o}
f\"uggv\'enyek harmonikusak. Meg\-jegy\-zem, hogy a m\'asik 
ir\'any\'u \'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'asa az \'ugynevezett 
Green azo\-nos\-s\'a\-gon alapul, amely szerint
$$
\int_{\Omega} (u\Delta v-v\Delta u)\,dV
=\int_{\partial\Omega}(u D_nv-vD_nu)\,ds
$$
az $R^n$ $n$-dimenzi\'os Euklideszi t\'erben, ahol $\Omega$ egy 
korl\'atos ny\'{\i}lt halmaz sima $\partial\Omega$ hat\'arral, $u$ 
\'es $v$ k\'etszer folytonosan differenci\'alhat\'o f\"uggv\'enyek 
egy az $\Omega$ halmaz lez\'artj\'at tartalmaz\'o ny\'{\i}lt 
halmazon, $dV$ a Lebesgue m\'ert\'ek az $R^n$ t\'eren, $ds$ a 
Lebesgue m\'ert\'ek \'altal induk\'alt felsz\'{\i}ni m\'ert\'ek a 
$\partial\Omega$ hat\'arfel\"uleten \'es $D_nu$, 
$D_nv$ az $u$ \'es $v$ f\"uggv\'eny 
diffe\-ren\-ci\'al\-h\'a\-nya\-do\-sai a $\partial\Omega$ hat\'ar 
kifel\'e mutat\'o egys\'eg norm\'alvektor\'anak az ir\'any\'aban. 
Az utols\'o \'all\'{\i}t\'as pontosabban azt jelenti, hogy egy 
a $\partial\Omega$ hat\'aron lev\H{o} $x$ pontban $D_n u(x)$ 
\'es $D_nv(x)$ egyenl\H{o} a $\text{grad}\,u(x)$ \'es 
$\text{grad}\,v(x)$ gradiens vektorok skal\'arszorzat\'aval a 
$\partial\Omega$ hat\'arfel\"ulet $x$ pontbeli kifel\'e 
mutat\'o norm\'alis egys\'egvektor\'aval.

\medskip
A Dirichlet feladat megold\'as\'at az $l$-dimenzi\'os t\'erben 
az $l$-dimenzi\'os Wiener fo\-lya\-ma\-tok seg\'{\i}ts\'eg\'evel 
tudjuk megtal\'alni val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi 
m\'odszerekkel. Ebben a megold\'asban felhaszn\'aljuk a Wiener 
folyamat n\'eh\'any tu\-laj\-don\-s\'a\-g\'at. K\"u\-l\"o\-n\"o\-sen 
fontos szerepet  j\'atszik e tu\-laj\-don\-s\'a\-gok k\"oz\"ott 
a Wiener folyamat er\H{o}s Markov tulajdons\'aga.  Felid\'ezem 
a Wiener folyamat definici\'oj\'at \'es a r\'a \'erv\'enyes 
er\H{o}s Markov tulajdons\'ag megfogalmaz\'as\'at. El\H{o}sz\"or 
az 1-dimenzi\'os Wiener folyamat definici\'oj\'at adom meg.

\medskip\noindent
{\bf Egy dimenzi\'os Wiener folyamat definici\'oja.}\/ {\it Egy 
$X(t)$ sztochasztikus folyamat egy $(\Omega,\Cal A,P)$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n 1-dimenzi\'os Wiener folyamat 
egy $[0,a]$ intervallumban  (illetve a $[0,\infty)$ f\'elegyenesen),
ha $X(t)$ Gauss folyamat (azaz \"osszes v\'eges dimenzi\'os 
eloszl\'asa norm\'alis), $EX(t)=0$, $EX(s)X(t)=\min(s,t)$ minden 
$0\le s,t\le a$ (illetve $0\le s,t&lt;\infty$) param\'eterre, \'es 
minden $\oo\in\Omega$ elemi esem\'enyre az $X(\cdot,\oo)$ 
trajekt\'oria folytonos f\"uggv\'eny.}

\medskip\noindent
{\bf 2.2 T\'etel.} {\it L\'etezik Wiener folyamat, \'es annak v\'eges
dimenzi\'os eloszl\'asai egy\'ertelm\H{u}en meg vannak hat\'arozva.}

\medskip
Az $l$-dimenzi\'os, $l\ge1$, Wiener folyamat definici\'oja az 
1-dimenzi\'os Wiener folyamat seg\'{\i}ts\'eg\'evel egyszer\H{u}.

\medskip\noindent
{\bf Egy $l$-dimenzi\'os Wiener folyamat definici\'oja.}\/ {\it 
Egy $X_x(t)$, \'ert\'ekeit az $R^l$ $l$-di\-men\-zi\'os Euklideszi 
t\'eren felvev\H{o} sztochasztikus folyamat egy 
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n 
$l$-dimenzi\'os Wiener folyamat egy $[0,a]$ intervallumban  
(illetve a $[0,\infty)$ f\'elegyenesen) $x=(x_1,\dots,x_l)\in R^l$ 
kez\-d\H{o}\-\'er\-t\'ek\-kel, ha 
$X_x(t)=(x_1+X_1(t),\dots,x_l+X_l(t))$, \'es $X_1(t)$,\dots, 
$X_l(t)$ f\"uggetlen 1-dimenzi\'os Wiener folyamatok a $[0,a]$ 
intervallumon, illetve a $[0,\infty)$ f\'elegyenesen.}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.}\/ Egy $X_x(t)$ $l$-dimenzi\'os Wiener folyamat 
rendelkezik a k\"ovetkez\H{o} tu\-laj\-don\-s\'a\-gok\-kal:
\item{a)} $X_x(t)$ f\"uggetlen n\"ovekm\'eny\H{u} folyamat, azaz 
tetsz\H{o}leges $0&lt;t_1&lt;t_2&lt;\cdots&lt;t_k$ id\H{o}pontokra az 
$X_x(t_1)-x$, $X_x(t_2)-X_x(t_1)$,\dots, $X_x(t_k)-X_x(t_{k-1})$ 
v\'eletlen vektorok f\"uggetlenek. Ez k\"ovetkezik abb\'ol, hogy 
a tekintett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy\"uttesen 
Gauss eloszl\'as\'u vektort alkotnak, amelynek koordin\'at\'ai 
korrel\'alatlanok. Ez a tulajdons\'ag azt is jelenti, hogy egy 
Wiener folyamat Markov folyamat. N\'emi sz\'amol\'as azt is
mutatja, hogy egy Wiener folyamat stacion\'arius Markov folyamat.

\item{b)} Az $R^l$ Euklideszi t\'er tetsz\H{o}leges $x$ pont
k\"or\"uli elforgat\'asa (\'altal\'anosabban minden az $R^l$ 
t\'erben defini\'alt $T(u)=x+ (u-x)U$, $u\in R^l$, alak\'u 
transzorm\'aci\'o, ahol $U$ unit\'er (l\'{\i}ne\'aris) 
transzform\'aci\'o) egy $x$ pontb\'ol kiindul\'o 
$l$-dimenzi\'os Wiener folyamat olyan transzform\'aci\'oj\'at 
induk\'alja, amely nem v\'altoztatja meg annak 
el\-osz\-l\'a\-s\'at. Ezt l\'athatjuk, ha fel\'{\i}rjuk az 
$x$ pontb\'ol kiindul\'o $X_x(t)$ Wiener folyamat v\'eges 
dimenzi\'os eloszl\'asainak a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyeit. 
P\'eld\'aul az $X_x(t)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye 
$\varphi_{x,t}(u)=\frac1{(2\pi t)^{l/2}}e^{-(u-x,u-x)/2t}$,
ahol $(\cdot,\cdot)$ skal\'arszoratot jel\"ol.

\medskip
Adva egy $X_x(t)$ $l$-dimenzi\'os Wiener folyamat (valamely 
$x\in R^l$ kezd\H{o}ponttal a $0&lt;t&lt;\infty$ f\'elegyenesen) 
tekints\"unk egy r\"ogz\'{\i}tett $t&gt;0$ sz\'amot \'es a 
k\"ovetkez\H{o} k\'et sztochasztikus folyamatot:
$$
\text{Az }X_x(s), \; 0\le s\le t,\text{ \'es }
Y_x(u)=X_x(t+u)-X_x(t), \; u\ge0, \text { sztochasztikus folyamatok.}
$$
Ekkor az $X_x(s)$, $0\le s\le t$, \'es 
$Y_x(u)$, $u\ge0$, sztochasztikus folyamatok egym\'ast\'ol
f\"uggetlen Wiener folyamatok, amelyek k\"oz\"ul az els\H{o}
az $x$ pontb\'ol, a m\'asodik az orig\'ob\'ol indul ki. Ez a 
t\'eny fejezi ki a Wiener folyamat Markov tulajdons\'ag\'at. 
A k\"onyv megfogalmaz egy olyan anal\'og, er\H{o}s Markov 
tulajdons\'agnak nevezett \'all\'{\i}t\'ast, amelyben az 
$X_x(\cdot)$ Wiener folyamatot nem egy fix $t$ id\H{o}pontban, 
hanem egy alkalmasan defini\'alt, j\'o tulajdons\'agokkal 
rendelkez\H{o} v\'eletlen $\tau$ id\H{o}pontban 
\'all\'{\i}tjuk meg. Az er\H{o}s Markov tulajdons\'ag azt 
jelenti, hogy az  $X_x(\tau+u)-X_x(\tau)$, $u\ge0$, 
sztochasztikus folyamat olyan Wiener folyamat, amely 
f\"uggetlen az $X_x(\cdot)$ sztochasztikus folyamat 
viselked\'es\'et\H{o}l a (v\'eletlen) $\tau$ id\H{o}pontig. 
Ez az \'all\'{\i}t\'as pontosabb magyar\'azatot ig\'enyel. 
Megfogalmazok egy olyan eredm\'enyt egy speci\'alisan 
defini\'alt $\tau$ meg\'all\'asi id\H{o}pontra, amely az 
er\H{o}s Markov tulajdons\'ag \'erv\'enyess\'eg\'er\H{o}l 
sz\'ol\'o t\'etel speci\'alis eset\'enek tekinthet\H{o}. 
K\'es\H{o}bb t\'argyalni fogom az er\H{o}s Markov tulajdons\'ag 
\'altal\'anos megfogalmaz\'as\'at Wiener fo\-lya\-ma\-tok\-ra. 
A most megfogalmazott \'all\'{\i}t\'as ezen eredm\'eny
speci\'alis eset\'enek tekinthet\H{o}. De ennek 
magyar\'azat\'at csak jelzem, a r\'eszletes indokl\'ast elhagyom.

A sz\'amunkra \'erdekes \'all\'{\i}t\'as a k\"ovetkez\H{o}: 

\medskip\noindent
{\bf 2.3 T\'etel.} {\it Tekints\"unk egy valamely $x$ pontb\'ol 
kiindul\'o $X_x(t)$, $t\ge 0$, $l$-dimenzi\'os Wiener folyamatot. 
R\"ogz\'{\i}ts\"unk egy $r&gt;0$ sz\'amot, \'es tekints\"uk azt a 
$\tau$ v\'eletlen id\H{o}pontot, amikor a Wiener folyamat 
el\H{o}sz\"or \'eri el a $C(x)=\{u\colon\; |u-x|=r\}$  
g\"ombfel\"uletet. Ekkor $X_x(\tau)$ egyenletes eloszl\'as\'u 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o a $C(x)$ 
g\"ombfel\"uleten, \'es az $Y_x(t)=X_x(t+\tau)-X_x(\tau)$, $t&gt;0$, 
sztochasztikus folyamat egy az $X_x(\tau)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'ot\'ol f\"uggetlen, az orig\'ob\'ol kiindul\'o Wiener 
folyamat.}

\medskip
A 2.3 T\'etel al\'abbi k\"ovetkezm\'enye lesz sz\'amunkra fontos.

\medskip\noindent
{\bf A 2.3 T\'etel k\"ovetkezm\'enye.} {\it Legyen adva egy $G$ 
ny\'{\i}lt halmaz \'es egy korl\'atos $\varphi(x)$ f\"uggv\'eny 
a $G$ halmaz $\partial G$  hat\'ar\'an. Minden $u\in G$ pontra 
tekints\"unk egy az $u$ pontb\'ol kiindul\'o $X_u(t)$, $t\ge0$, 
Wiener folyamatot, \'es defini\'aljuk azt a $\tau_G(u)$ 
v\'eletlen id\H{o}pontot, amikor ez az $u$ pontb\'ol kiindul\'o 
$X_u(t)$ Wiener folyamat el\'eri a $\partial G$ hat\'art. 
Vegy\"uk a $\varphi(\cdot)$ f\"uggv\'eny
$\varphi(X_u(\tau_G(u))$ \'ert\'ek\'et ebben a (v\'eletlen) 
$X_u(\tau_G(u))\in\partial G$ pontban, illetve annak
$f(u)=E\varphi(X_u(\tau_G(u))))$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et. Ez a
v\'arhat\'o \'ert\'ek \'ugy \'ertend\H{o}, hogy a 
$\varphi(X_u(\tau_G(u)))$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot
csak azon $\oo\in\Omega$ pontok halmaz\'an integr\'aljuk, ahol
$\tau_G(\oo)&lt;\infty$. Ekkor 
teljes\"ul a $\Delta f(u)=0$ azonoss\'ag a $G$ tartom\'any minden 
$u\in G$ pontj\'aban.}
   
\medskip
Term\'eszetes azt v\'arni, hogy ha adva van  egy $G$ 
tartom\'any \'es egy a $\partial G$ hat\'aron defini\'alt 
$\varphi$ f\"uggv\'eny, akkor az \'altaluk meghat\'arozott 
Dirichlet feladatot meg tudjuk oldani a 2.3 T\'etel 
k\"o\-vet\-kez\-m\'e\-ny\'enek a se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel,
ha alkalmazzuk annak eredm\'eny\'et a Dirichlet feladatban 
szerepl\H{o} $\varphi$ f\"uggv\'ennyel. Ekkor minden 
$u\in G$ pontban teljes\"ul a $\Delta f(u)=0$ azonoss\'ag
a 2.3 T\'etel k\"ovetkem\'eny\'eben defini\'alt $f(\cdot)$ 
f\"uggv\'ennyel. A f\H{o} probl\'ema annak eld\"ont\'ese, 
a $\lim\limits_{u\to x} f(u)=\varphi(x)$ hat\'arfelt\'etel is 
teljes\"ul-e minden $x\in\partial G$ pontban. Azt v\'arjuk, 
hogy ha $\partial G$ sz\'ep halmaz, akkor erre a k\'erd\'esre 
igen a v\'alasz. Ez a felt\'etelez\'es helyes, de szeretn\'enk 
pontos k\'epet kapni arr\'ol, hogy mikor teljes\"ul ez a 
hat\'arfelt\'etel. A k\"onyv m\'asodik fejezet\'eben 
t\'argyalt egyik f\H{o} probl\'ema ennek a k\'erd\'esnek a 
vizsg\'alata.

Heurisztikus szinten egyszer\H{u}en le tudjuk vezetni a 2.3 
T\'etelb\H{o}l annak k\"o\-vet\-kez\-m\'e\-ny\'et, felhaszn\'alva a 
harmonikus f\"uggv\'enyek 2.1 T\'etelben megadott 
jellemz\'es\'et.

Tekints\"unk egy $a\in G$ pontot, \'es vegy\"unk egy olyan $r$ 
sugar\'u $a$ k\"oz\'eppont\'u $C(a)=\{u\colon\; |u-a|=r\}$ 
g\"ombfel\"uletet, amelynek a belseje is a $G$ tartom\'anyban 
van. Legyen $\tau_0$ az els\H{o} olyan id\H{o}pont, amikor az 
$a$ pontb\'ol indul\'o $X_a(t)$, $t\ge0$, Wiener folyamat 
el\'eri a $C(a)$ halmazt.  Akkor a 2.3 t\'etel szerint 
$X_a(\tau_0)$ egyenletes eloszl\'as\'u 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o a $C(a)$ halmazon, 
\'es f\"uggetlen az $Y_a(t)=X_a(\tau_0+t)-X_a(\tau_0)$, $t\ge0$, 
sztochasztikus folyamatt\'ol, amely egy az orig\'ob\'ol 
kiindul\'o Wiener folyamat. Ezt a t\'enyt felhaszn\'alva
az $f(a)=E\varphi(X_a(\tau_G(a)))$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et 
a k\"ovetkez\H{o} m\'odon  tudjuk kisz\'amolni. Te\-kint\-s\"uk 
az $X_a(\tau_0)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, 
\'es r\"ogz\'{\i}tve annak $u=X_a(\tau_0)$  \'ert\'ek\'et 
sz\'amoljuk ki az ett\"ol az \'ert\'ekt\H{o}l f\"ugg\H{o}
$E\varphi(u+Y_a(\tau_G(u)))$ v\'arhat\'o \'ert\'eket. Ezut\'an 
integr\'alva ezt az $u$ v\'altoz\'ot\'ol f\"ugg\H{o} 
kifejez\'est az $X_a(\tau_0)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'o eloszl\'asa szerint megkapjuk az $f(a)$ \'ert\'eket.
Az \'{\i}gy kapott formul\'ab\'ol \'es a 2.1 T\'etelb\H{o}l
k\"ovetkezik, hogy $f(\cdot)$ harmonikus f\"uggv\'eny.

\medskip
A r\'eszletesebb, pontosabb bizony\'{\i}t\'asban kiss\'e
m\'ask\'epp \'ervel\"unk. Defini\'alunk egy alkalmas 
szorzatteret, rajta egy szorzat val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
m\'ert\'eket \'ugy, hogy a szorzatt\'er k\'et 
koordin\'at\'aj\'anak a m\'ert\'eke megegyezzen az 
$X_a(\tau_0)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o 
\'es az $Y_a(t)$, $t\ge0$, Wiener folyamat eloszl\'as\'aval. 
Ezen a szorzatt\'eren egy alkalmasan defini\'alt 
f\"uggv\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel bebizony\'{\i}tunk
egy formul\'at, amelyb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy az $
f(\cdot)$ f\"uggv\'eny harmonikus.

Egy $(C(a)\times B_\infty,\Cal B\times\Cal A, \mu_a\times P_W)$
alak\'u szorzatteret vezet\"unk be, ahol mind $(C(a),\Cal B,\mu_a)$ 
mind $(B_\infty,\Cal A,P_W)$ egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi  
mez\H{o}, \'es ezeket a k\"o\-vet\-kez\H{o}\-k\'epp 
defini\'aljuk. Az els\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}  
a $C(a)=\{u\colon\; |u-a|=r\}$ g\"ombfel\"ulet, rajta a $\Cal B$ 
Borel $\sigma$-algebr\'aval \'es a $\mu_a$ egyre norm\'alt 
egyenletes eloszl\'assal. A m\'asodik val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
mez\H{o}ben a Wiener m\'ert\'eket defini\'aljuk. Itt a
$B_\infty$ alapt\'er a $t\ge0$ f\'el\-egye\-ne\-sen defini\'alt, 
\'ert\'ek\"uket az $R^l$ $l$-dimenzi\'os Euklideszi t\'eren
felvev\H{o} folytonos f\"uggv\'enyek tere. Ebben bevezetj\"uk a
$\{v(\cdot)\colon\; v(\cdot)\in B_\infty,\, v(t)\in B\}$ alak\'u
hengerhalmazok \'altal gener\'alt $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'at, 
ahol $t\ge0$ tet\-sz\H{o}\-le\-ges nem negat\'{\i}v val\'os sz\'am, 
\'es $B$ valamely Borel m\'erhet\H{o} halmaz az $R^l$ Euklideszi 
t\'erben. V\'eg\"ul a $P_W$ m\'ert\'ek az orig\'ob\'ol kiindul\'o 
$l$-dimenzi\'os Wiener folyamat eloszl\'asa a $(B_\infty,\Cal A)$ 
t\'erben. 

A fenti szorzatt\'erben defini\'alunk egy $\eta(u,v(\cdot))$ 
f\"uggv\'enyt, ahol $u\in C(a)$, $v(\cdot)\in B_\infty$, az 
$\eta(u,v(\cdot))$ f\"uggv\'eny \'ert\'ek\'et a $\partial G$ 
halmazban veszi fel, \'es egyenl\H{o} azzal az $x\in\partial G$ 
ponttal, amelyet az $u+v(t)$ folytonos f\"uggv\'eny el\H{o}sz\"or 
vesz fel a $\partial G$ halmazon. Azaz vessz\"uk azt a legkisebb 
$t\ge0$ sz\'amot, amelyre $u+v(t)\in\partial G$, \'es 
$\eta(u,v(\cdot))=u+v(t)$ ezzel a $t$ sz\'ammal.  Azokra 
az $(u,v(\cdot))$ argumentumokra, amelyekre nincs ilyen $t$ 
sz\'am, nem defini\'aljuk a $\eta(u,v(\cdot))$ f\"uggv\'enyt.
Ha adva van egy $\varphi(x)$ f\"uggv\'eny a $\partial G$ halmazon, 
akkor defini\'aljuk a $\varphi(\eta(u,v(\cdot)))$ 
f\"uggv\'enyt is. Ezt azokra az $(u,v(\cdot))$ argumentumokra is 
defini\'alni akarjuk, amelyekre az $\eta(u,v(\cdot))$ 
f\"uggv\'enyt nem defini\'altuk. Ebben az esetben a 
$\varphi(\eta(u,v(\cdot)))=0$ k\'eplettel adjuk meg e 
f\"uggv\'eny \'ert\'ek\'et.

Vegy\"uk \'eszre, hogy a 2.3 T\'etel k\"ovetkezm\'eny\'eben 
defini\'alt $X_a(\tau_G(a))$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o 
teljes\'{\i}ti a 
$X_a(\tau_G(a))(\oo)=\eta(X(\tau_0)(\oo),Y(\cdot)(\oo))$ azonoss\'agot,
mert az azonoss\'ag jobboldal\'an lev\H{o} kifejez\'es azzal az 
$x\in\partial G$ ponttal egyenl\H{o}, amelyet az $X_a(\tau_0)(\oo)$ 
pontb\'ol kiindul\'o $Y_a(t)(\oo)+X(\tau_0)(\oo))=X_a(\tau_0+t)(\oo)$, 
$t\ge0$, trajekt\'oria el\H{o}sz\"or meg\-l\'a\-to\-gat. 
M\'asr\'eszt a 2.3 T\'etel alapj\'an \'all\'{\i}thatjuk, hogy a 
$T(\oo)=(X_a(\tau_0)(\oo),Y_a(\cdot)(\oo))$ le\-k\'e\-pe\-z\'es 
m\'ert\'ektart\'o lek\'epez\'es az $(\Omega,\Cal A,P)$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}b\H{o}l az el\H{o}bb 
defini\'alt
$$
(C(a)\times B_\infty,\Cal B\times\Cal A, \mu_a\times P_W)
$$
szorzatt\'erbe. Ez\'ert
$$
\align
f(a)&amp;=E(\varphi(X_a(\tau_G(a)))
=E\varphi(\eta(X_a(\tau_0)(\oo),Y_a(\cdot)(\oo)))\\
&amp;=\int_{C(a)\times B_\infty}\varphi(\eta(u,v(\cdot)))
(\mu_a\times P_W)(\,du,dv(\cdot)).
\endalign
$$  
M\'asr\'eszt fel\'{\i}rhatjuk minden $u\in C(a)$ pontra, hogy
$$
f(u)=\int_{B_\infty}\varphi(\eta(u,v(\cdot)))P_W(\,dv(\cdot)).
$$  
Ez\'ert a Fubini t\'etel alapj\'an
$$
f(a)=\int_{C(a)} \(\int_{B_\infty}\varphi(\eta(u,v(\cdot)))
P_W(\,dv(\cdot))\)\mu_a(\,du)=\int_{C(a)} f(u)\mu_a(\,du),
$$
\'es ezt az azonoss\'agot kellett igazolnunk, ahhoz hogy bel\'assuk,
hogy az $f(\cdot)$ f\"uggv\'eny harmonikus.

R\"oviden ismertetem az er\H{o}s Markov tulajdons\'agot, amelynek 
speci\'alis eset\'et felhaszn\'altuk az el\H{o}z\H{o} eredm\'eny 
bizony\'{\i}t\'as\'aban. El\H{o}tte megfogalmazok egy egyszer\H{u}, 
a k\"onyv\-ben is bizony\'{\i}tott eredm\'enyt, amely szint\'en
fel van haszn\'alva a fenti bizony\'{\i}t\'as r\'esz\-le\-tei\-nek
a kidolgoz\'as\'aban.

\medskip\noindent
{\bf 2.4 T\'etel.} {\it Tekints\"unk egy az orig\'ob\'ol 
kiindul\'o Wiener folyamatot, \'es legyen $\tau$ az a v\'eletlen 
id\H{o}pont, amikor ez a Wiener folyamat el\H{o}sz\"or 
el\'eri az orig\'o k\"oz\'eppont\'u $R$ sugar\'u g\"ombfel\"uletet 
valamely $R&gt;0$ sz\'amra. Ekkor $P(\tau&lt;\infty)=1$, s\H{o}t az 
$E\tau&lt;\infty$ rel\'aci\'o is teljes\"ul.}

\medskip
Az er\H{o}s Markov tulajdons\'ag azt jelenti, hogy nemcsak 
r\"ogz\'{\i}tett $T$ id\H{o}\-pon\-tok\-ra igaz az, hogy a 
Markov folyamat $T$ id\H{o} ut\'ani viselked\'es\'et\H{o}l
f\"ugg\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok 
felt\'eteles eloszl\'asa felt\'eve a $T$ id\H{o} el\H{o}tti 
esem\'enyek $\sigma$-algebr\'aj\'at egyenl\H{o} azok
felt\'eteles eloszl\'as\'aval, felt\'eve a $T$ 
id\H{o}pontbeli esem\'enyek $\sigma$-algebr\'aj\'at, hanem 
ez a tulajdons\'ag \'erv\'enyben marad az olyan v\'eletlen 
$T$ id\H{o}pontokra is, amelyek nem tartalmaznak plusz 
inform\'aci\'ot a j\H{o}v\H{o}re n\'ezve. Annak \'erdek\'eben, 
hogy ezt az \'all\'{\i}t\'ast pontosan meg\-fo\-gal\-maz\-zuk 
el\H{o}sz\"or defini\'alni kell az ilyen tulajdons\'ag\'u 
id\H{o}pontokat. Ezeket az irodalomban meg\'all\'asi szab\'alynak 
(meg\'all\'asi szab\'aly \'altal meghat\'arozott id\H{o}pontnak) 
nevezik. Ezenk\'{\i}v\"ul defini\'alni kell azt a 
$\sigma$-algebr\'at is, amely a v\'eletlen $T$ id\H{o}pontig 
\"osszegy\"ujt\"ott inform\'aci\'ot tartalmazza. Ebben a 
jegyzetben az er\H{o}s Markov tulajdons\'agot csak Wiener 
folyamatokra fogalmazom meg, \'es olyan definici\'ot ismertetek, 
amely kihaszn\'alja azt, hogy a Wiener folyamat f\"uggetlen 
n\"ovekm\'eny\H{u} folyamat. Ilyen folyamatokra egyszer\H{u}bb
az er\H{o}s Markov tulajdons\'ag megfogalmaz\'asa \'es 
bizony\'{\i}t\'asa. Megjegyzem azt is, hogy az itt meg\'all\'asi 
szab\'aly \'altal meghat\'arozott id\H{o}pontnak ne\-ve\-zett 
fogalmat a k\"onyv Markov id\H{o}pontnak h\'{\i}vja.

\medskip\noindent
{\bf A meg\'all\'asi szab\'aly fogalm\'anak definici\'oja.}\/ 
{\it Legyen adva $\Cal F_t$, $t\ge0$, $\sigma$-algebr\'aknak a 
pozit\'{\i}v f\'elegyenes pontjaival indexezett n\"ovekv\H{o} 
csal\'adja, azaz legyen $\Cal F_s\subset\Cal F_t$, ha $t\ge s$, 
\'es legyenek ezek a $\sigma$-algebr\'ak r\'esz $\sigma$-algebr\'ai 
egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} 
$\Cal A$ $\sigma$-algebr\'aj\'anak. Egy $\tau$ nem negat\'{\i}v 
\'ert\'ekeket felvev\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'ot meg\'all\'asi szab\'alynak nevez\"unk
az $\Cal F_t$ $\sigma$-algebra rendszerre n\'ezve, ha minden 
$t\ge0$ sz\'amra $\{\tau\le t\}\in\Cal F_t$. K\'enyelmi 
okokb\'ol megengedj\"uk azt is, hogy a $\tau$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o ne legyen minden\"utt 
de\-fi\-ni\-\'al\-va, azaz lehets\'eges az is, hogy 
$P(\tau&lt;\infty)&lt;1$.

Legyen adva egy $X(t)$, $t\ge0$, sztochasztikus folyamat egy 
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Azt 
mondjuk, hogy egy $\tau$ nem negat\'{\i}v \'ert\'ekeket 
felvev\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o meg\'all\'asi
szab\'aly erre a sztochasztikus folyamatra n\'ezve, ha az 
meg\'all\'asi szab\'aly az $\Cal F_t=\sigma(X(s),\,s\le t)$, 
$t\ge0$, n\"ovekv\H{o} $\sigma$-algebra csal\'adra n\'ezve.}

\medskip\noindent
{\bf Egy meg\'all\'asi szab\'aly \'altal meghat\'arozott 
id\H{o}pontig \"osszegy\"ujt\"ott in\-for\-m\'a\-ci\'ot 
tar\-tal\-ma\-z\'o $\sigma$-algebra de\-fi\-ni\-ci\'oja.} 
{\it Legyen $\tau$ meg\'all\'asi szab\'aly egy 
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n egy 
$\Cal F_t$, $t\ge0$, n\"ovekv\H{o} $\sigma$-algebra rendszerre 
vagy egy $X(t)$, $t\ge0$, sztochasztikus folyamatra n\'ezve. 
Ekkor az $\Cal F_\tau$ $\sigma$-algebr\'at, amelynek 
szeml\'eletes tartalma az, hogy ez a $\tau$ id\H{o}pontig 
\"ossze\-gy\"uj\-t\"ott inform\'aci\'ot tartalmaz\'o 
$\sigma$-algebra, a k\"ovetkez\H{o}k\'epp defini\'aljuk. Egy 
az $(\Omega,\Cal A,P)$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi 
mez\H{o}ben lev\H{o} $B$ esem\'eny akkor \'es csak akkor 
teljes\'{\i}ti a $B\in\Cal F_\tau$ rel\'aci\'ot, ha 
$B\cap\{\tau\le t\}\in\Cal F_t$ minden $t\ge0$ sz\'amra.}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.}\/ Nem neh\'ez bel\'atni, hogy a fenti 
definici\'oban megadott $\Cal F_\tau$ halmazrendszer val\'oban 
$\sigma$-algebra.

\medskip
A fenti fogalmak seg\'{\i}ts\'eg\'evel meg tudjuk fogalmazni az 
er\H{o}s Markov tulajdons\'agot Wiener folyamatokra.

\medskip\noindent
{\bf 2.5 T\'etel az er\H{o}s Markov tulajdons\'ag 
\'erv\'enyess\'eg\'er\H{o}l Wiener folyamatokra.} {\it Legyen 
$X_x(t)$, $t\ge 0$, ($l$-dimenzi\'os) Wiener folyamat (valamely $x$ 
kezd\H{o}ponttal), \'es legyen $\tau$ meg\'all\'asi szab\'aly 
erre a Wiener folyamatra n\'ezve. Ekkor az $Y_x(t)=X_x(\tau+t)-X_x(\tau)$, 
$t\ge0$, sztochasztikus folyamat egy az orig\'ob\'ol kiindul\'o 
Wiener folyamat, amely f\"uggetlen az $\Cal F_\tau$ 
$\sigma$-algebr\'at\'ol.} 

Ahhoz, hogy ezt az eredm\'enyt az \'altalunk vizsg\'alt esetben 
alkalmazni tudjuk be kell m\'eg l\'atnunk az al\'abbi heurisztikusan 
mag\'at\'ol \'ertet\H{o}d\H{o}, de bizony\'{\i}t\'asra szorul\'o 
\'allit\'ast is.

\medskip\noindent
{\bf 2.6 T\'etel.} {\it Legyen $X_x(t)$, $t\ge 0$, $l$-dimenzi\'os 
Wiener folyamat valamely $x$ kezd\H{o}ponttal, \'es $G$ egy 
ny\'{\i}lt halmaz az $R^l$ $l$-dimenzi\'os Euklideszi t\'erben. 
Jel\"olje $\tau$ azt a legkisebb $t\ge0$ sz\'amot, amelyre 
$X(t)\in\partial G$, ahol $\partial G$ a $G$ halmaz hat\'ara. 
Ekkor $\tau$ meg\'all\'asi szab\'aly, \'es $X_x(\tau)$ egy 
$\Cal F_\tau$ m\'erhet\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'o. Abban a speci\'alis esetben, amikor $G$ egy $x$ 
k\"oz\'eppont\'u $r$ sugar\'u g\"omb $X_x(\tau)$ egyenletes 
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o az $x$ 
k\"oz\'eppont\'u \'es $r$ sugar\'u g\"ombfel\"uleten.} 

\medskip
Nem t\'argyalom a 2.6 T\'etel bizony\'{\i}t\'as\'at, csak 
n\'eh\'any megjegyz\'est teszek annak f\H{o} gondolat\'ar\'ol. 
Tekints\"uk az $X_x(s)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat 
az olyan $s$ argumentumokra, amelyek racion\'alis sz\'amok. \'Irjuk 
fel ezen (megsz\'aml\'alhat\'o sz\'amoss\'ag\'u) 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o seg\'{\i}ts\'eg\'evel 
az $\{\oo\colon\;\tau(\oo)\le t\}$ \'es 
$\{\oo\colon\;X_x(\tau)(\oo)\in F\}$ esem\'enyeket minden $t\ge0$ 
sz\'amra \'es z\'art $F\subset\partial G$ halmazra alkalmas 
m\'odon ezen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok 
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Alkalmas reprezent\'aci\'o 
seg\'{\i}ts\'eg\'evel be tudjuk bizony\'{\i}tani, hogy $\tau$ 
meg\'all\'asi szab\'aly, \'es $X_x(\tau)$ egy $\Cal F_\tau$ 
m\'erhet\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. A 
reprezent\'aci\'o megkeres\'ese so\-r\'an kihaszn\'aljuk
azt, hogy az $X_x(\cdot)(\oo)$ trajekt\'ori\'ak folytonos 
f\"uggv\'enyek. A 2.6~T\'e\-tel utols\'o \'all\'{\i}t\'as\'anak 
bizony\'{\i}t\'as\'aban azt \'erdemes felhaszn\'alni, hogy ha 
$G$ egy $x$ k\"oz\'eppont\'u \'es $r$ sugar\'u g\"omb, akkor 
az $X_x(\tau)-x$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o 
\'ert\'ekeit az orig\'o k\"oz\'eppont\'u \'es $r$ sugar\'u 
g\"omb\"on veszi fel, \'es eloszl\'asa invari\'ans az $R^l$ 
Euklideszi t\'er minden unit\'er transzform\'aci\'oj\'ara 
n\'ezve. Ezenk\'{\i}v\"ul a 2.4 T\'etel szerint 
$P(\tau&lt;\infty)=1$.

\medskip
R\'at\'erek a Dirichlet feladatban szerepl\H{o} m\'asik felt\'etel 
vizsg\'alat\'ara, annak a k\'er\-d\'es\-nek a 
tanulm\'anyoz\'as\'ara, hogy mi\'ert igaz az, hogy egy sz\'ep 
hat\'arral rendelkez\H{o} $G$ tartom\'any \'es a hat\'aron 
defini\'alt folytonos \'es korl\'atos $\varphi$ f\"uggv\'eny 
eset\'eben a 2.3 T\'etel k\"o\-vet\-kez\-m\'e\-ny\'e\-ben 
defini\'alt $f(u)=\varphi(X_u(\tau_G(u)))$, $u\in G$, f\"uggv\'eny 
teljes\'{\i}ti a $\limm_{u\to x}f(u)=\varphi(x)$ azonoss\'agot 
is minden $x\in\partial G$ pontban. 

Bevezetj\"uk a k\'es\H{o}bbiekben hasznosnak bizonyult 
regul\'aris pont fogalm\'at.

\medskip\noindent
{\bf Regul\'aris pont definici\'oja.} {\it Legyen adva egy $G$ 
ny\'{\i}lt halmaz az $R^l$ Euklideszi t\'erben. Azt mondjuk, 
hogy a $G$ halmaz egy $a\in\partial G$ hat\'arpontja regul\'aris, 
ha minden $h&gt;0$ sz\'amra 
$$
P(\hat\tau_G(u)&gt;h)\to0 \quad\text{ha } u\to a,
$$
ahol $\hat\tau_G(u)=\inf\{t\colon\;t\ge0,\,X_u(t)\notin G\}$, \'es 
$X_u(t)$ az $u$ pontb\'ol kiindul\'o Wiener fo\-lya\-ma\-tot  
jel\"oli.} 

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.}\/ Ha $u\in G$, akkor $\hat\tau_G(u)=\tau_G(u)$
a 2.3 T\'etel k\"ovetkezm\'eny\'eben defini\'alt $\tau_G(u)$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oval, \'es ha 
$u\notin G$ akkor $\hat\tau_G(u)=0$. K\'enyelmi
okok miatt volt \'erdemes volt bevezetni a $\hat\tau_G(u)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot. Ezzel k\'enyelmesebb 
dolgozni, mint a $\tau_G(u)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'oval, mert ez minden $u\in R^l$ param\'eterre 
defini\'alva van.

\medskip
A k\"onyv bebizony\'{\i}tja a k\"ovetkez\H{o} eredm\'enyt.

\medskip\noindent
{\bf 2.7 T\'etel.} {\it Ha az $a$ pont a $\partial G$ halmaz 
regul\'aris pontja, a $\varphi(\cdot)$ f\"uggv\'eny korl\'atos 
a $\partial G$ halmazon, \'es folytonos az $a$ pontban, akkor a 
2.3 T\'etel k\"ovetkezm\'eny\'eben konstru\'alt 
$f(u)=E\varphi(X_u(\tau_G(u)))$, $u\in G$, f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti a 
$\limm_{u\to a}f(u)=\varphi(a)$ azonoss\'agot is az $a$ pontban.}

\medskip
A 2.7 T\'etel viszonylag egyszer\H{u} bizony\'{\i}t\'asa azon 
alapul, hogy a
$$
Z(h)=\supp_{0\le t\le h}|X_u(t)-X_u(0)|
$$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asa, ahol $X_u(t)$, 
$t\ge0$, egy az $u$ pontb\'ol kiindul\'o Wiener folyamat,
nem f\"ugg az $u$ sz\'amt\'ol, \'es $Z(h)$ sztochasztikusan 
konverg\'al null\'ahoz, ha $h\to0$.

Szeretn\'enk a 2.7 T\'etel felt\'etel\'eben szerepl\H{o} 
regul\'aris pontnak egy egyszer\H{u}bb, jobb jellemz\'es\'et 
adni. Ilyen jelleg\H{u} eredm\'eny a k\"ovetkez\H{o}, a 
k\"onyvben bizony\'{\i}tott \'all\'{\i}t\'as, amelyet a 
2.8 T\'etelben fogalmazok meg.

\medskip\noindent
{\bf 2.8 T\'etel.} {\it Tekints\"unk egy $G$ ny\'{\i}lt halmazt 
az $R^l$ Euklideszi t\'erben, valamint a $G$ halmaz egy 
$a\in\partial G$ hat\'arpontj\'at \'es egy az $a$ pontb\'ol 
indul\'o $X_a(t)$, $t\ge0$, Wiener folyamatot. Defini\'aljuk
a $\sigma=\sigma(a)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot 
a $\sigma(a)=\inf\{t\colon\;t&gt;0,\,X_a(t)\notin G\}$
k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ha $P(\sigma(a)(\oo)=0)=1$, 
akkor $a$ a $\partial G$ halmaz regul\'aris pontja.}

\medskip
A $\sigma(a)(\oo)=0$ esem\'eny azt jelenti, hogy nemcsak 
$X_a(0,\oo)=a\notin G$, hanem azon $t&gt;0$ id\H{o}pontoknak, 
amelyekre $X_a(t,\oo)\notin G$ a 0 pont torl\'od\'asi 
pontja. B\'ar a k\"onyv f\H{o} r\'esze (amelybe nem 
tartoznak bele a feladatok) nem bizony\'{\i}tja, a 
szerz\H{o}k megjegyzik, hogy a fenti \'all\'{\i}t\'asok 
megford\'{\i}that\'oak a k\"ovetkez\H{o} \'ertelemben. Ha 
teljes\"ul a $\limm_{u\to a}f(u)=\varphi(a)$ azonoss\'ag 
minden a $\partial G$ halmazon defini\'alt korl\'atos 
\'es az $a$ pontban folytonos $\varphi(\cdot)$  
f\"uggv\'enyre a 2.3 T\'etel k\"ovetkezm\'eny\'eben 
defini\'alt (a $\varphi$ f\"uggv\'enyt\H{o}l f\"ugg\H{o} 
\'es a $G$ halmazon defini\'alt) $f(u)$ f\"uggv\'ennyel, 
akkor az $a$ pont regul\'aris, \'es teljes\"ul a 
$P(\sigma(a)(\oo)=0)=1$ azonoss\'ag is.

\medskip
Ha el akarjuk d\"onteni, hogy teljes\"ul-e a 2.8 T\'etel 
felt\'etel\'eben szerepl\H{o} $P(\sigma(a)(\oo)=0)=1$ 
azonoss\'ag, akkor hasznos lehet a k\"ovetkez\H{o} 
nulla--egy t\"orv\'eny, amelynek eredeti alakj\'at 
Blumenthal bizony\'{\i}totta be.

\medskip\noindent
{\bf 2.9 T\'etel a Blumenthal-f\'ele nulla--egy 
t\"orv\'enyr\H{o}l.} {\it A 2.8 T\'etelben defini\'alt 
$\sigma(a)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o 
teljes\'{\i}ti a $P(\sigma(a)(\oo)=0)=1$ vagy 
$P(\sigma(a)(\oo)=0)=0$ azo\-nos\-s\'a\-gok 
valamelyik\'et. 

Kiss\'e \'altal\'anosabban a k\"ovetkez\H{o}t 
\'all\'{\i}thatjuk. Legyen adva egy $X(t)$, $t\ge0$, 
($l$-v\'altoz\'os) Wiener folyamat, \'es defini\'aljuk az 
$\Cal F_t=\sigma(X(u),0\le u\le t)$ $\sigma$-algebr\'akat 
minden $t&gt;0$ sz\'amra, \'es defini\'aljuk az 
$\Cal F_{0+}=\bigcapp_{t&gt;0}\Cal F_t$ $\sigma$-algebr\'at is. 
Ekkor minden $A\in\Cal F_{0+}$ esem\'enyre $P(A)=0$ vagy 
$P(A)=1$. Tov\'abb\'a,
$\{\oo\colon\;\sigma(a)(\oo)=0\}\in\Cal F_{0+}$.}

\medskip
A fenti nulla-egy t\"orv\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel sok 
\'erdekes esetben be lehet bizony\'{\i}tani, hogy egy $G$ 
halmaz valamely $a\in\partial G$ hat\'arpontja regul\'aris. 
P\'eld\'aul, ha k\'et-dimenzi\'os esetben egy $G$ tartom\'anyt 
tekint\"unk, \'es tudjuk egy $a\in\partial G$ pontr\'ol, hogy 
van olyan $K$ h\'aromsz\"og, amelynek egyik cs\'ucspontja az $a$ 
pont, \'es teljes eg\'esz\'eben a $G$ tartom\'anyon k\'{\i}v\"ul 
van, akkor azt is tudjuk, hogy $a$ regul\'aris pont. Ehhez 
elegend\H{o} a nulla-egy t\"orv\'eny alapj\'an azt megmutatni, 
hogy $P(\sigma(a)(\oo)&gt;0)&lt;1$. Viszont ellenkez\H{o} esetben 
az $a$ pontb\'ol kiindul\'o Wiener folyamat 
1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel pozit\'{\i}v ideig a $G$ 
halmazban tart\'ozkodna, \'es addig nem l\'atogatn\'a meg a 
$K$ h\'aromsz\"og belsej\'et. De ekkor a Wiener folyamat 
szimmetri\'aja miatt 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel 
pozit\'{\i}v ideig nem l\'atogatn\'a meg a $K$ h\'aromsz\"og 
semmilyen $a$ pont k\"or\"uli elforgatottj\'at. De mivel az 
$a$ pont kis k\"ornyezete v\'eges sok ilyen elforgatott
h\'aromsz\"oggel lefedhet\H{o}, ez ellentmond\'ashoz vezetne.

\medskip
Legyen adva egy $G$ tartom\'any olyan $\partial G$ hat\'arral, 
amelynek minden pontja re\-gu\-l\'a\-ris, \'es legyen adva
egy a $\partial G$ hat\'aron egy folytonos \'es korl\'atos 
$\varphi(\cdot)$ f\"uggv\'eny. Wiener folyamatok 
se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel megadtuk a 
$\Delta f(u)=0$, ha $u\in G$, \'es 
$\limm_{u\to x}f(u)=\varphi(x)$, ha $x\in\partial G$ 
egyenletnek, azaz a Dirichlet probl\'em\'anak 
egy megold\'as\'at. Felmer\"ul a k\'erd\'es, hogy ennek az 
egyenletnek egy\'ertelm\H{u}-e a megold\'asa. A v\'alasz 
igenl\H{o} abban az esetben, ha $G$ korl\'atos halmaz,
\'{\i}gy annak lez\'artja kompakt. Ugyanis a Laplace 
oper\'atorra \'erv\'enyes maximum elv sze\-rint, ha egy 
\"osszef\"ugg\H{o}, ny\'{\i}lt halmazon harmonikus
f\"uggv\'enynek van maximuma, akkor az konstanssal 
egyenl\H{o}. Ez egy\'ebk\'ent k\"onnyen l\'athat\'o a 
harmonikus f\"uggv\'enyek 2.1~T\'e\-tel\-ben megadott 
jellemz\'ese alapj\'an. Ezt a t\'enyt felhaszn\'alva 
k\"onnyen be\-bi\-zo\-ny\'{\i}t\-hat\-juk a Dirichlet feladat 
megold\'as\'anak egy\'ertelm\H{u}s\'eg\'et ebben az esetben.

Ha a tartom\'any nem korl\'atos, akkor el\H{o}fordulhat, 
hogy a Dirichlet feladat meg\-ol\-d\'a\-sa nem 
egy\'ertelm\H{u}. Tekints\"uk p\'eld\'aul a 
k\'et-dimenzi\'os t\'er $\{(x,y)\colon\; x\ge0\}$ 
f\'els\'{\i}kj\'an az $f_1(x,y)=e^x\cos y$, \'es
$f_2(x,y)=e^{-x}\cos y$ f\"uggv\'enyeket. Ez k\'et 
harmonikus f\"uggv\'eny, amelyek megegyeznek a tartom\'any 
$x=0$ egyenes \'altal meghat\'arozott hat\'ar\'an. Mind a 
k\'et f\"uggv\'eny \'ert\'eke $\cos y$ ezen a hat\'aron. 
(Egy\'ebk\'ent ezeket a f\"uggv\'enyeket \'ugy k\"onny\H{u} 
megtal\'alni, mint az $e^z$ \'es $e^{-z}$ analitikus 
f\"uggv\'enyek re\'alis r\'esz\'et, mivel az ilyen
f\"uggv\'enyek harmonikusak.) Egy m\'asik ilyen p\'elda az 
$f_1(x,y)=\log(x^2+y^2)$ \'es $f_2(x,y)\equiv0$
f\"uggv\'enyek a $G=\{(x,y)\colon\; x^2+y^2&gt;0\}$ 
tartom\'anyon, azaz az orig\'o k\"oz\'eppont\'u 
egys\'egk\"or k\"ulsej\'eben. Ezen f\"uggv\'enyp\'arokban 
az $f_1(x,y)$ f\"uggv\'eny nem korl\'atos. Vi\-szont 
magasabb dimenzi\'oban p\'eld\'at mutatok arra, hogy nem 
korl\'atos tartom\'anyokban el\H{o}fordulhat az is, hogy 
a Dirichlet probl\'em\'anak k\'et k\"ul\"onb\"oz\H{o}, 
korl\'atos megold\'asa van.

Vegy\"uk h\'arom dimenzi\'oban a 
$G=\{(x,y,z)\colon\;x^2+y^2+z^2&gt;1\}$ tartom\'anyt \'es azon 
az $f_1(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2)^{-1/2}$ \'es az
$f_2(x,y,z)\equiv1$ f\"uggv\'enyeket. Ez k\'et a $G$ 
tartom\'anyon, korl\'atos \'es harmonikus f\"uggv\'eny, 
amelyeknek az \'ert\'eke a hat\'aron 1-gyel egyenl\H{o}.

Mint l\'attuk, a Dirichlet feladat megold\'asa nem 
korl\'atos tartom\'anyokban nem felt\'etlen\"ul 
egy\'ertelm\H{u}. Viszont az itt t\'argyalt 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi megold\'asnak
min\-dig megvan a k\"o\-vet\-ke\-z\H{o} minimum 
tulajdons\'aga.

\medskip\noindent
{\bf 2.10 T\'etel a Dirichlet feladat 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi
 megold\'as\'anak minimum tulajdons\'ag\'ar\'ol.} 
{\it Tekints\"uk a $\Delta f(u)=0$, ha $u\in G$, \'es 
$\limm_{u\to x}f(u)=\varphi(x)$, ha $x\in G$ egyenletet egy 
olyan  nem felt\'etlen\"ul korl\'atos $G$ tartom\'anyban, 
amelynek minden hat\'arpontja regul\'aris egy olyan a 
$\partial G$ hat\'aron folytonos \'es korl\'atos
$\varphi$ f\"uggv\'ennyel, amely\-re $\varphi(x)\ge0$ 
minden $x\in\partial G$ pontban. Ekkor a 2.3 T\'etel 
k\"ovetkezm\'eny\'eben de\-fi\-ni\-\'alt  
$f(u)=E\varphi(X_u(\tau_G(u)))$, $u\in G$, f\"uggv\'eny 
ennek a feladatnak minim\'alis megold\'asa a fel\-adat 
nem-negat\'{\i}v megold\'asai k\"oz\"ott, azaz, ha 
vala\-mely $f_1(u)$ f\"uggv\'eny szint\'en meg\-ol\-d\'asa 
ennek a feladatnak, \'es ezenk\'{\i}v\"ul $f_1(u)\ge0$ minden 
$u\in G$ pontban, akkor $f(u)\le f_1(u)$ minden $u\in G$ pontban.}

\medskip
Ismertetem e t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'anak az alapgondolat\'at, 
mert annak m\'as \'erdekes k\"o\-vet\-kez\-m\'e\-nye is  
van. Tekints\"uk egy orig\'o k\"oz\'eppont\'u $R$ 
sugar\'u g\"omb  belsej\'et, \'es annak metszet\'et a $G$ 
tartom\'annyal. Vegy\"uk az $f_1(u)$ f\"uggv\'eny 
$f_{1,R}(u)$ megszor\'{\i}t\'as\'at erre a tartom\'anyra, 
mint a Laplace egyenlet (egy\'ertelm\H{u}) megold\'as\'at 
ebben a tar\-to\-m\'any\-ban, \'es azt a m\'odos\'{\i}tott 
feladatot, amelyben ugyanezt a parci\'alis 
dif\-fe\-ren\-ci\'al\-egyen\-le\-tet te\-kint\-j\"uk csak 
a hat\'arfelt\'etelt az $R$-sugar\'u g\"omb hat\'ar\'an
megv\'altoztatjuk, azt ott null\'anak vessz\"uk. 
Fel\'{\i}rjuk ennek az egyenletnek az $f_R(u)$ 
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'asi 
megold\'as\'at. Nem neh\'ez bel\'atni, hogy
$f_R(u)\le f_{1,R}(u)$ e tartom\'any minden $u$ pontj\'aban, 
\'es $R\to\infty$ hat\'ar\'atmenettel megkapjuk a 2.10 
T\'etel bizony\'{\i}t\'as\'at.

\medskip
Alaposabb vizsg\'alattal ezen gondolatmenet tov\'abbi 
k\"ovetkezm\'enyeit is be\-bi\-zo\-ny\'{\i}t\-hat\-juk. \'Igy 
p\'eld\'aul l\'athatjuk, hogy a Dirichlet feladat egy 
korl\'atos, azaz egy az eg\'esz tartom\'anyban egy 
univerz\'alis konstansn\'al kisebb megold\'asa csak akkor 
k\"ul\"onb\"ozhet a fel\-adat  \'altalunk megadott 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi 
megold\'as\'at\'ol, ha a $G$ tar\-to\-m\'any\-nak van olyan 
pont\-ja, ahonnan kiindulva a Wiener folyamat egyn\'el kisebb 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel l\'atogatja meg a $G$ tartom\'any 
$\partial G$  hat\'ar\'at. Vegy\"uk \'eszre, hogy ez 
magyar\'azza meg a Dirichlet feladat nem egy\'ertelm\H{u} 
megold\'as\'ara adott k\'et \'es h\'arom-dimenzi\'os 
p\'eld\'ank viselked\'es\'enek a k\"u\-l\"onb\-s\'e\-get. 
K\'et-dimenzi\'os esetben egy tetsz\H{o}leges pontb\'ol 
kiindul\'o  Wiener folyamat egy 
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel megl\'atogatja egy 
kis g\"omb belsej\'et, m\'{\i}g a h\'arom \'es magasabb 
dimenzi\'os esetben az anal\'og \'all\'{\i}t\'as nem igaz. 
Egy\'ebk\'ent a megkonstru\'alt p\'eld\'ak a az orig\'on 
k\'{\i}v\"ul harmonikus f\"uggv\'enyek legfontosabb 
p\'eld\'aj\'an alapultak. Ez a f\"uggv\'eny a k\'et 
dimenzi\'os esetben a $\log|x|$, m\'{\i}g a $l\ge3$ 
dimenzi\'os esetben ez az $|x|^{(l-2)}$ f\"uggv\'eny.

\medskip
A k\"onyv t\'argyalja n\'eh\'any 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi probl\'ema 
megold\'as\'at. Ezen fel\-ada\-tok meg\-ol\-d\'a\-s\'a\-ban 
\"osszehasonl\'{\i}tja a Dirichlet feladat 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi 
meg\-ol\-d\'a\-s\'at a feladat bizonyos esetekben j\'ol 
ismert megold\'as\'aval. 

A k\"onyv tekinti t\"obbek a k\"ovetkez\H{o} probl\'em\'at. 
Legyen adva k\'et orig\'o k\"oz\'eppont\'u $r$ \'es $R$ 
sugar\'u g\"ombfel\"ulet az $l$-dimenzi\'os Euklideszi 
t\'erben, $r&lt;R$. Tekints\"unk egy a k\'et g\"ombfel\"ulet 
\'altal hat\'arolt g\"ombgy\H{u}r\H{u} belsej\'eben lev\H{o} 
$x$ pontot, \'es  ind\'{\i}tsunk el abb\'ol egy Wiener 
folyamatot. Sz\'amoljuk ki  annak 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy ez a Wiener folyamat 
el\H{o}bb \'eri el az $r$ sugar\'u g\"ombfel\"uletet,
mint az $R$ sugar\'ut. 

E feladat megold\'asa \'erdek\'eben tekints\"uk a 
k\"ovetkez\H{o} feladatot. Tal\'aljuk meg azt a harmonikus 
f\"uggv\'enyt ebben a g\"ombgy\H{u}r\H{u}ben, amelynek a 
hat\'ar\'ert\'eke az $r$ sugar\'u g\"ombfel\"uleten 1, 
\'es az $R$ sugar\'u g\"ombfel\"uleten 0. Az eddigi 
eredm\'enyekb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy e f\"uggv\'eny
\'ert\'eke az $x$ helyen egyenl\H{o} a keresett 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel. Viszont a vizsg\'alt 
egyenlet megold\'as\'at meg tudjuk tal\'alni, mert az 
$f(x)=C_1\log |x|+C_2$ alak\'u f\"uggv\'enyek harmonikusak
a k\'et-dimenzi\'os, az $f(x)=C_1|x|^{-(l-2)}+C_2$ alak\'u
f\"uggv\'enyek pedig harmonikusak az $l\ge3$ dimenzi\'os 
t\'er orig\'ot nem tartalmaz\'o halmazain. Tov\'abb\'a a 
$C_1$ \'es $C_2$ konstansok alkalmas megv\'alaszt\'as\'aval 
azt is biztos\'{\i}tani tudjuk, hogy a hat\'arfelt\'etelek 
teljes\"uljenek.

Az \'{\i}gy kapott eredm\'enynek van n\'eh\'any \'erdekes 
k\"ovetkezm\'enye. Ha  alkalmas m\'odon vizsg\'aljuk ennek 
az eredm\'enynek a viselked\'es\'et az $R\to\infty$ \'es 
$r\to0$ ha\-t\'ar\-\'at\-me\-ne\-tek eset\'en, akkor be 
tudjuk l\'atni a k\"ovetkez\H{o} \'all\'{\i}t\'asokat is. 
Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy Wiener folyamat 
megl\'atogasson egy el\H{o}re r\"ogz\'{\i}tett pontot 
nulla, annak va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy 
megl\'atogasson egy olyan g\"omb\"ot, amely nem 
tartalmazza a Wiener fo\-lya\-mat kezd\H{o}pontj\'at a 
k\'et-dimenzi\'os esetben egy, a h\'arom vagy magasabb 
dimenzi\'os esetben pozit\'{\i}v, de szigor\'uan kisebb, 
mint egy.

A k\"onyv tekinti a k\"ovetkez\H{o} feladatot is. 
Tekints\"unk a k\'et-dimenzi\'os t\'erben egy 
sz\"ogtartom\'anyt, amelynek hat\'arai egy $O$ pontb\'ol 
kiindul\'o $OA$ \'es $OB$ f\'elegyenes, \'es e k\'et 
f\'elegyenes \'altal k\"ozbez\'art sz\"og $\vartheta$. 
Vegy\"unk egy $X$ pontot a sz\"ogtartom\'any belsej\'eben, 
\'es sz\'amoljuk ki annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, 
hogy egy az $X$ pontb\'ol kiindul\'o Wiener folyamat el\H{o}bb 
\'eri el az $OA$ f\'elegyenest, mint az $OB$ f\'elegyenest.

Legyen $\alpha$ az $OA$ \'es $OX$ f\'elegyenesek \'altal 
k\"ozbez\'art sz\"og. A k\"onyv bebizony\'{\i}tja, hogy 
a keresett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg egyenl\H{o} az 
$f(\alpha)=\frac\alpha\vartheta$ sz\'ammal. Ennek 
\'erdek\'eben el\H{o}sz\"or azt veszi \'eszre, hogy
egy annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az $X$ 
pontb\'ol kiindul\'o Wiener  folyamat valamikor el\'eri 
a tartom\'any hat\'ar\'at, azaz vagy az $OA$ vagy az 
$OB$ egyenest, \'es az nem az $O$ pontban t\"ort\'enik.  
Ny\'{\i}lv\'anval\'o, hogy $f(0)=0$ \'es $f(\vartheta)=1$. 
Azt sem neh\'ez bel\'atni szimmetria meggondol\'asok 
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy ha 
$f(\alpha_1)=\frac{\alpha_1}\vartheta$ \'es
$f(\alpha_2)=\frac{\alpha_2}\vartheta$ valamely 
$0\le \alpha_1,\alpha_2\le\vartheta$, sz\"ogekre, azaz igaz a
bizony\'{\i}tand\'o \'all\'{\i}t\'as abban az esetben, ha
az $OA$ \'es $OX$ f\'elegyenesek $\alpha_1$ vagy $\alpha_2$ 
sz\"oget z\'arnak be, akkor
$f(\frac{\alpha_1+\alpha_2}2)=\frac{\alpha_1+\alpha_2}{2\vartheta}$. 
Ezen \"osszef\"ugg\'es seg\'{\i}ts\'eg\'evel be lehet 
l\'atni a feladat \'all\'{\i}t\'as\'at az \'altal\'anos
esetben is.

Ezen feladat megold\'as\'anak is van \'erdekes 
k\"ovetkezm\'enye. \'Igy p\'eld\'aul 
ki\-sz\'a\-mol\-hat\-juk annak 
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy az a pont, ahol a 
fels\H{o} f\'elsik egy $X=(x_1,x_2)$ pontj\'ab\'ol 
kiindul\'o Wiener folyamat el\H{o}sz\"or el\'eri az 
abszcissza tengelyt a $(-\infty, y)$ intervallumban van
valamely $y$ sz\'ammal. Tekints\"uk ugyanis azt a 180 
fokos sz\"ogtartom\'anyt, ahol a sz\"ogtartom\'any 
cs\'ucspontja az $O=(y,0)$ pont, az $OA$ f\'elegyenes
az abszcissza $(-\infty,y)$, az $OB$ f\'elegyenes pedig 
az abszcissza $(y,\infty)$ f\'elegyenese. Tekintve az 
$OA$ \'es $OX$ f\'elegyenesek sz\"og\'et az el\H{o}z\H{o} 
feladat eredm\'enye alapj\'an ki tudjuk sz\'amolni a
keresett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget. Ezen 
sz\'amol\'asok alapj\'an ki lehet sz\'amolni az 
$X=(x_1,x_2)$ pontb\'ol kiindul\'o Wiener folyamat 
\'es az abszcissza tengely els\H{o} 
metsz\'espontj\'anak az eloszl\'as\'at. Azt kapjuk, 
hogy ezen eloszl\'as s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye 
a $p(x_1,x_2,y)=\frac1\pi\frac{x_1}{x_2^2+(y-x_1)^1}$.

A fenti eredm\'eny lehet\H{o}v\'e teszi a Dirichlet 
probl\'ema megold\'as\'at a f\'els\'{\i}kon. Azut\'an 
n\'eh\'any komplex f\"uggv\'enytani eredm\'eny 
lehet\H{o}v\'e teszi a Dirichlet feladat megold\'as\'at 
egy k\"or belsej\'eben. Az \'{\i}gy kapott formula az 
irodalomban Poisson formula n\'even ismeretes.

\medskip
R\'at\'erek a Poisson egyenlet vizsg\'alat\'ara. Ebben
a k\"ovetkez\H{o} eredm\'eny hasznos.

\medskip\noindent
{\bf 2.11 T\'etel.} {\it Tekints\"unk egy $x\in R^l$ 
pontot az $l$-dimenzi\'os
Euklideszi t\'erben, valamint egy az $x$ pontb\'ol 
kiindul\'o $X_x(t)$, 
$t\ge0$, $l$-dimenzi\'os Wiener folyamatot \'es az $x$ 
k\"oz\'eppont\'u $r$ sugar\'u $S$ g\"ombfel\"uletet
valamely $r$ sug\'arral az $R^l$ $l$-dimenzi\'os 
Euklideszi t\'erben. Legyen $\tau$ az az els\H{o} 
(v\'eletlen) id\H{o}pont, amikor a Wiener folyamat el\'eri
az $S$ g\"ombfel\"uletet. Ekkor $E\tau=\frac1lr^2$.}

\medskip
A 2.4 T\'etel alapj\'an tudjuk, hogy $E\tau&lt;\infty$. A 
k\"onyv megmutatja ezen t\'eny, \'es a Wiener folyamat 
homogenit\'asa alapj\'an (ez azt jelenti, hogy a 
$W(t)-EW(0)$ \'es $a^{-1/2}(W(at)-W(0))$ sztochasztikus 
folyamatok eloszl\'asa minden $a&gt;0$ sz\'amra megegyezik), 
hogy $E\tau=cr^2$ minden $r&gt;0$ sz\'amra valamilyen $c&gt;0$ 
egy\"utthat\'oval. De a $c&gt;0$ egy\"utthat\'o \'ert\'ek\'et 
csak n\'eh\'any a k\"onyv feladataiban szerepl\H{o}
 \'all\'{\i}t\'as seg\'{\i}ts\'eg\'evel bizony\'{\i}tja be. 
Ugyanakkor tanuls\'agos lehet felid\'ezni a Wiener folyamatok
egy nagyon fontos, Paul L\'evyt\H{o}l sz\'armaz\'o 
jellemz\'es\'et, amely magyar\'azatot ad arra is, hogy mi\'ert 
$\frac1l$ ez a $c$ konstans az $l$-dimenzi\'os esetben. 
Val\'oj\'aban nek\"unk ennek a t\'etelnek csak az 
egyszer\H{u}bb fel\'ere van sz\"uks\'eg\"unk, \'es
nem Paul L\'evy tartalmasabb \'es nehezebben 
bizony\'{\i}tht\'o eredm\'eny\'ere.

\medskip\noindent
{\bf 2.12 T\'etel Paul L\'evy Wiener folyamatok 
tulajdons\'agair\'ol adott jel\-lem\-z\'e\-s\'e\-r\H{o}l.} 
{\it Legyen $X(t)$, $t\ge0$, egyv\'altoz\'os 
(az orig\'ob\'ol kiindul\'o) Wiener folyamat. Ekkor
$X(t)$ \'es  $X^2(t)-t$, $t\ge0$, marting\'alok.

Megford\'{\i}tva, ha egy $X(t)$, $t\ge0$, sztochasztikus 
folyamat olyan, hogy mind $X(t)$ mind $X^2(t)-t$, $t\ge0$, 
marting\'al, \'es ezenk\'{\i}v\"ul a sztochasztikus folyamat
$X(\cdot,\oo)$ trajekt\'ori\'ai folytonosak, akkor az $X(t)$ 
sztochasztikus folyamat egy (az orig\'ob\'ol kiindul\'o) 
Wiener folyamat.}

\medskip
Nem neh\'ez bel\'atni, hogy nemcsak az igaz, hogy egy 
egy-dimenzi\'os $X(t)$ Wiener folyamatra $X^2(t)-t$ egy 
marting\'al, hanem az is, hogy ha vesz\"unk egy 
$l$-dimenzi\'os valamely  $x=(x_1,\dots,x_l)\in R^l$ 
pontb\'ol kiindul\'o $X_x(t)=(X_1(t),\dots,X_l(t))$,
$l$-dimenzi\'os Wiener folyamatot, \'es defini\'aljuk 
seg\'{\i}ts\'eg\'evel a 
$Z(t)=\summ_{j=1}^l (X_j(t)-x_j)^2-lt$, $t\ge0$, 
sztochasztikus folyamatot, akkor $Z(t)$ (az 
$\Cal F_t=\sigma(X_x(s),\,0\le s\le t)$ $\sigma$-algebr\'aval) 
marting\'al. Tudjuk, hogy nagyon \'altal\'anos felt\'etelek 
mellett egy $Z(t)$ marting\'alra \'es egy $\tau$ meg\'all\'asi
szab\'alyra \'erv\'enyes az $EZ(\tau)=EZ_0$ azonoss\'ag. Ez 
az azonoss\'ag a most defini\'alt $Z(t)$ marting\'alra \'es 
a 2.11 T\'etel megfogalmaz\'as\'aban defini\'alt $\tau$ 
meg\'all\'asi szab\'alyra is \'erv\'enyes. Ez\'ert
$0=EZ(\tau)=E\(\summ_{j=1}^l X_j^2(\tau)\)-lE\tau=r^2-lE\tau$. 
Innen k\"ovetkezik a 2.11 T\'etel \'all\'{\i}t\'asa.

Megfogalmazom a Poisson egyenlet 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi megold\'as\'ar\'ol
sz\'ol\'o ered\-m\'enyt.

\medskip\noindent
{\bf 2.13 T\'etel a Poisson egyenlet 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi megold\'as\'ar\'ol.}
{\it Legyen $G$ egy korl\'atos, ny\'{\i}lt halmaz az $R^l$ 
$l$-dimenzi\'os Euklideszi t\'eren regul\'aris $\partial G$ 
hat\'arral. Te\-kint\-s\"unk minden $u\in G$ pontra egy $u$ 
pontb\'ol  kiindul\'o $X_u(t)$, $t\ge0$, Wiener folyamatot, 
\'es legyen $\tau_G(u)$ az a v\'eletlen id\H{o}pont, amikor ez 
a Wiener folyamat el\H{o}sz\"or el\'eri a $G$ tartom\'any 
$\partial G$  hat\'ar\'at. Defini\'aljuk az $f(u)=E\tau_G(u)$ 
f\"uggv\'enyt. Ekkor $f(u)&lt;\infty$, \'es az $f(u)$ f\"uggv\'eny 
teljes\'{\i}ti a Poisson egyenletet, azaz $\Delta f(u)=-2$ 
minden $u\in G$ pontban, \'es $\limm_{u\to x}f(u)=0$ minden 
$x\in\partial G$ pontban.}

\medskip\noindent
{\it A 2.13 T\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Az $f(u)&lt;\infty$ 
tulajdons\'ag teljes\"ul a 2.4 T\'etel alapj\'an, mivel a 
korl\'atos $G$ halmaz r\'esze egy g\"ombnek. Tekints\"unk egy 
$a\in G$ pontot \'es egy olyan $a$ k\"oz\'eppont\'u \'es $r$
sugar\'u $C(a)=C(a,r)$ g\"ombfel\"uletet, amelynek a belseje 
is r\'esze a $G$ halmaznak. A Wiener folyamat er\H{o}s Markov 
tulajdons\'aga \'es a 2.11 T\'etel alapj\'an fel\'{\i}rhatjuk 
a 2.3 T\'etel bizony\'{\i}t\'as\'ahoz hasonl\'oan az
$$
f(a)=\int_{C(a)} f(u)\mu_a(\,du)+\frac 1l r^2
$$
azonoss\'agot, ahol $\mu_a$ az egyenletes eloszl\'as a $C(a)$
g\"ombfel\"uleten. 

Val\'oban, ez az azonoss\'ag az\'ert igaz, mert a $\partial G$ 
hat\'ar el\'er\'es\'ehez sz\"uks\'eges id\H{o} egyenl\H{o} a 
$C(a)$ g\"ombfel\"ulet el\'er\'es\'ehez sz\"uks\'eges $\tau_0$ 
id\H{o}nek \'es annak az id\H{o}nek az \"ossze\-g\'e\-vel, ami 
ahhoz kell, hogy a $C(a)$ g\"ombfel\"ulet els\H{o} 
megl\'atogatott pontj\'ab\'ol el\'erj\"uk a $\partial G$ 
hat\'art. Ezen \"osszeg tagjainak a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et
ki tudjuk sz\'amolni. A Dirichlet probl\'ema vizsg\'alat\'aban 
alkalmazott m\'odszerhez hasonl\'oan be tudjuk l\'atni, hogy a 
m\'a\-so\-dik tag v\'arhat\'o \'ert\'eke az 
$\int_{C(a)}f(u)\mu_a(\,du)$ kifejez\'essel egyenl\H{o}. 
Azt a t\'enyt kell felhaszn\'alni, hogy a $C(a)$ 
halmaz els\H{o} megl\'atogatott pontja, azaz az $X_u(\tau_0)$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \'ert\'eke egyenletes 
eloszl\'as\'u a $C(a)$ halmazon, \'es az 
$Y_u(t)=X_u(\tau_0+t)-X(\tau_0)$, $t\ge0$, szto\-chasz\-ti\-kus
folyamat a $(\tau_0,X_u(\tau_0))$ v\'eletlen vektort\'ol 
f\"uggetlen Wiener folyamat a Wiener folyamatok er\H{o}s Markov
tulajdons\'aga miatt. (Val\'oj\'aban el\'eg csak $Y_u(t)$, $t\ge0$,
\'es $X_u(\tau_0)$ f\"uggetlens\'eg\'et tudni e formula
kisz\'amol\'as\'ahoz.) Az els\H{o} tag v\'arhat\'o \'ert\'eke 
$E\tau_0=\frac1lr^2$ a 2.11 T\'etel alapj\'an. Ezen 
rel\'aci\'okb\'ol k\"ovetkezik az el\H{o}bb fel\'{\i}rt 
azonoss\'ag. 

Defini\'aljuk a $g(u)=f(u)+\frac1l u^2$ f\"uggv\'enyt. A 
bizony\'{\i}tand\'o $\Delta f(u)=-2$ azonoss\'ag ekvivalens a 
$\Delta g(u)=0$ azonoss\'aggal minden $u\in G$
pontra. A harmonikus f\"uggv\'enyek 2.1 T\'etelben adott 
jellemz\'ese alapj\'an ez ekvivalens a
$$
g(a)=f(a)+\frac1{l}a^2=\int_{C(a)} \(f(u)+\frac1lu^2\)\mu_a(\,du)
=\int_{C(a)} g(u) \mu_a(\,du)
$$
azonoss\'aggal minden $a\in G$ pontra \'es olyan $a$ 
k\"oz\'eppont\'u, $r$ sugar\'u g\"ombfel\"uletre, amelynek a
belsej\'et is tartalmazza a $G$ halmaz. 

Ez ut\'obbi \'all\'{\i}t\'as igaz az $f(a)$ kifejez\'esre
bebizony\'{\i}tott azonoss\'ag \'es az
$$
\int_{C(a)} |u|^2\mu_a(\,du)=|a|^2+r^2
$$
rel\'aci\'o alapj\'an. Az utols\'o rel\'aci\'o k\"ovetkezik az
$$
\int_{C(a)} |u|^2\mu_a(\,du)=
\int_{C(a)} |u-a|^2\mu_a(\,du)+|a|^2
+2\sum_{j=1}^l\int_{C(a)}(u_j-aj)\mu_a(\,du)=r^2+|a|^2
$$
azonoss\'agb\'ol. E sz\'amol\'asban kihaszn\'altuk, hogy szimmetria
okok alapj\'an
$\int_{C(a)}(u_j-aj)\mu_a(\,du)=0$ minden $1\le j\le l$ indexre.

Annak a bizony\'{\i}t\'asa, hogy korl\'atos, \'es regul\'aris
hat\'arral rendelkez\H{o} $G$ tartom\'anyra $\limm_{u\to x}f(u)=0$, 
ha $u\to x\in\partial G$ hasonl\'o a Dirichlet feladat anal\'og
\'all\'{\i}t\'as\'anak a bizony\'{\i}t\'as\'ahoz. Annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy regul\'aris $x\in\partial G$ 
ponthoz k\"ozeli pontb\'ol indul\'o Wiener folyamat nagyon hamar
el\'eri a $\partial G$ hat\'art majdnem 1, \'es a hat\'ar
el\-\'er\'e\-s\'e\-hez sz\"uks\'eges id\H{o} felt\'eteles 
v\'arhat\'o \'ert\'eke, felt\'eve, hogy a Wiener folyamat nem 
\'erte el a hat\'art egy adott id\H{o}pontig korl\'atos. 

\medskip
\'Erdemes megjegyezni, hogy annak az id\H{o}nek a v\'arhat\'o 
\'ert\'eke, ami ahhoz sz\"uks\'eges, hogy egy olyan 
$l$-dimenzi\'os Wiener folyamat,  amely k\'et $r$ \'es $R$ 
sugar\'u koncentrikus g\"ombfel\"ulet k\"oz\"otti 
g\"ombgy\H{u}r\H{u} valamely $u$ pontj\'ab\'ol indul el\'erje 
a g\"ombgy\H{u}r\H{u} hat\'ar\'at hasonl\'oan 
kisz\'am\'{\i}that\'o, mint annak 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy ez az $u$ pontb\'ol 
kiindul\'o Wiener folyamat a bels\H{o} g\"ombfel\"uletet 
kor\'abban \'eri el, mint a k\"uls\H{o}t. Ha $f(u)$-val
jel\"olj\"uk ezt a v\'arhat\'o \'ert\'eket, akkor 
$f(u)-\frac1l|u|^2$ olyan harmonikus f\"uggv\'eny a 
g\"ombgy\H{u}r\H{u}ben, amelynek \'ert\'eke a 
k\"orgy\H{u}r\H{u}t hat\'arol\'o $r$ illetve $R$ sugar\'u
hat\'ar g\"ombfel\"uleten $-\frac rl$ illetve $-\frac Rl$.

\medskip
A k\"onyv m\'asodik fejezete n\'eh\'any olyan megjegyz\'essel 
z\'arul, amelyekben a szerz\H{o}k r\"oviden elmagyar\'azz\'ak, 
hogy a Wiener folyamatok \'es parci\'alis
differenci\'alegyenletekr\H{o}l kifejtett gondolatok alaposabb 
kidolgoz\'asa milyen \'altal\'anosabb probl\'em\'ak 
vizs\-g\'a\-la\-t\'a\-ban ny\'ujt seg\'{\i}ts\'eget. E 
magyar\'azatok nem tartalmazz\'ak a nehezebb r\'eszletek 
kidolgoz\'as\'at.

R\"oviden t\'argyalj\'ak a folytonos idej\H{u} (stacion\'arius) 
Markov  folyamatok elm\'elet\'eben fontos szerepet j\'atsz\'o 
infinitezim\'alis oper\'atorok fogalm\'at. Ez a 
k\"ovetkez\H{o}t jelenti. Bevezetj\"uk egy $X(t)$,
$t\ge0$, folytonos idej\H{u} Markov folyamat \'allapotter\'en 
defini\'alt $f$ (val\'os \'ert\'ek\H{u}) f\"uggv\'enyek egy
alkalmas $\Cal F$ oszt\'aly\'at, \'es arra vagyunk kiv\'ancsiak, 
hogy ha a 0 id\H{o}pontban elind\'{\i}tjuk a Markov folyamatot 
egy $x$ kezd\H{o}pontb\'ol, akkor hogyan fejl\H{o}dik kis $t$
param\'eterre az $Ef(X(t))$ v\'arhat\'o \'ert\'ek az 
$f\in\Cal F$ f\"uggv\'enyekre. Pon\-to\-sab\-ban, az
$$
Af(x)=\lim_{t\to 0}\frac{Ef(X(t))-f(x)}t, \quad f\in\Cal F,
$$
\'ugynevezett infinitezim\'alis oper\'atort tekintj\"uk. 
Pontosabb definici\'o eset\'en meg kell mondanunk azt is, 
hogy hogyan defini\'aljuk a $\Cal F$ f\"uggv\'enyoszt\'alyt, 
s\H{o}t azt is, hogy az infinitezim\'alis oper\'ator 
definici\'oj\'aban szerepl\H{o} limeszt hogyan \'ertelmezz\"uk.

Egy folytonos idej\H{u} Markov folyamatot 
egy\'ertelm\H{u}en meghat\'aroz kezdeti, 0 
id\H{o}\-pon\-tbeli eloszl\'asa \'es  infinitezim\'alis 
oper\'atora. S\H{o}t a Markov folyamat finomabb 
tulajdons\'agait annak infinitezim\'alis oper\'atora
seg\'{\i}ts\'eg\'evel tudjuk j\'ol tanulm\'anyozni. 
A Wiener folyamat infinitezim\'alis oper\'atora az 
$\frac12\Delta$ oper\'ator, \'es az, hogy a Laplace 
ope\-r\'a\-tort a Wiener folyamat seg\'{\i}ts\'eg\'evel 
tudtuk j\'ol tanulm\'anyozni szoros kapcsolatban van 
ezzel a t\'ennyel.

A k\"onyv m\'asodik fejezete r\"oviden t\'argyal egy 
m\'asik, az infinitezim\'alis oper\'atorhoz hasonl\'o 
oper\'atort, amelyet karakterisztikus oper\'atornak
neveznek. Ebben a Markov folyamat viselked\'es\'et nem 
egy r\"ovid fix id\H{o}intervallumban vizsg\'aljuk, 
hanem egy kis v\'eletlen id\H{o}intervallumban. Azt az 
id\H{o}intervallumot vessz\"uk, ami ahhoz sz\"uks\'eges, 
hogy a Markov folyamat kil\'epjen egy $x$ pont kis $U$ 
k\"ornyezet\'eb\H{o}l. Pontosabban, az
$$
\Cal U f(x)=\lim_{U\to x}\frac{Ef(X(\tau))-f(x)}{EX(\tau)}
$$
kifejez\'est tekintj\"uk, ahol az $x$ pontnak erre a pontra
h\'uzod\'o kis, ny\'{\i}lt $U$ k\"ornyezeteit vessz\"uk, 
\'es $\tau$ az a v\'eletlen id\H{o}, ami ahhoz kell, hogy 
a Markov folyamat kil\'epjen az $U$ halmazb\'ol. A Wiener 
folyamat karakterisztikus oper\'atora, hasonl\'oan annak 
in\-fi\-ni\-te\-zi\-m\'a\-lis oper\'ator\'ahoz 
$\frac12\Delta$-val egyenl\H{o}.

Felmer\"ul a k\'erd\'es, hogy milyen oper\'atorok jelenhetnek 
meg, mint alkalmas Mar\-kov fo\-lya\-ma\-tok infinitezim\'alis 
oper\'atorai, \'es a Markov folyamatok milyen 
dif\-fe\-ren\-ci\'al\-ope\-r\'a\-to\-rok vizsg\'alat\'aban 
ny\'ujtanak seg\'{\i}ts\'eget. Tekints\"uk el\H{o}sz\"or 
azokat a Markov fo\-lya\-ma\-to\-kat, amelyek 
el\H{o}\'allnak, mint egy t\"obb v\'altoz\'os Wiener 
folyamat line\'aris transz\-for\-m\'a\-ci\'oi, azaz 
fel\'{\i}rhat\'ok a k\"ovetkez\H{o} form\'aban:
$$
Y_j(t)=X_j(0)+c_{j,1}(X_1(t)-X_1(0))+\cdots+c_{j,l}(X_l(t)-X_l(0))+b_jt, 
\quad 1\le j\le l,
$$
ahol $(X_1(t),\dots,X_l(t))$ egy $l$-dimenzi\'os Wiener 
folyamat, \'es a $c_{j,s}$ \'es $b_j$ sz\'amok, $1\le j,s\le l$,
tetsz\H{o}leges konstansok. 

Ennek a Markov folyamatnak az infinitezim\'alis (vagy 
karakterisztikus) oper\'atora a k\"ovetkez\H{o} 
differenci\'aloper\'ator:
$$
L=\frac12\sum_{j=1}^l\sum_{s=1}^l a_{j,s} 
\frac{\partial^2}{\partial x_j\partial x_s}+\sum_{j=1}^l
b_j\frac\partial{\partial x_j}.
$$
ahol az $A=(a_{j,s})$, $1\le j,s\le l$, m\'atrix $A=CC^*$ 
alakban \'{\i}rhat\'o a $C=(c_{j,s})$, $1\le j,s\le l$, 
m\'atrix seg\'{\i}ts\'eg\'evel, \'es $C^*$ a $C$ m\'atrix 
adjung\'altja. K\"onnyen l\'athat\'o, hogy a fenti 
formul\'aban defini\'alt $A$ m\'atrix pozit\'{\i}v 
szemidefinit.

Be lehet l\'atni, hogy l\'eteznek olyan Markov folyamatok 
is, amelyeknek in\-fi\-ni\-te\-zi\-m\'a\-lis oper\'atorai 
hasonl\'oak az el\H{o}bb defini\'alt $L$ oper\'atorhoz,
de a benne szerepl\H{o} $a_{j,s}$ \'es $b_j$ egy\"utthat\'ok 
nem felt\'etlen\"ul konstansok, hanem sima f\"uggv\'enyek 
az $R^l$ t\'eren. Az \'altaluk defini\'alt $A$ m\'atrix 
tov\'abbra is pozit\'{\i}v szemidefinit minden $x\in R^l$ 
argumentum eset\'en. Az ilyen infinitezim\'alis oper\'atorral 
rendelkez\H{o} Markov folyamatokat diffuzi\'os 
folyamatoknak h\'{\i}vj\'ak. Egy m\'elyebb appar\'atus 
kidolgoz\'as\'aval a diffuzi\'os fo\-lya\-ma\-tok 
infinitezim\'alis oper\'atorainak vizsg\'alat\'ara
lehet kidolgozni j\'o 
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'a\-si 
m\'odszereket. 




\bye
</pre></body></html>