\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
 
\input amstex
\TagsOnRight
\parindent=20pt
%\parskip=2pt plus 1.2pt
\parskip=2.5pt plus 1.2pt
%\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\def\Re{\text{\rm Re}\,}
\def\Im{\text{\rm Im}\,}
\font\script =cmcsc10
 \font\BBB=msbm10

\centerline{ \'Attekint\'es }
\centerline{\bf  Dynkin, Evgenyij Boriszovics  \'es Yushkevics, 
Alekszandr Adolfovics}
\centerline{\it T\'etelek \'es feladatok Markov folyamatokr\'ol}
\centerline{ c\'{\i}m\H{u} k\"onyv\'er\H{o}l}

\medskip\noindent
{\it Els\H{o} fejezet: A rekurrencia felt\'etele.}

\medskip\noindent
Tekints\"unk egy k\"oz\"ons\'eges bolyong\'ast az $l$-dimenzi\'os 
r\'acson. Ismert, hogy ez $l=1,2$ esetben rekurrens, azaz egy 
pontb\'ol elindulva a bolyong\'as egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel 
valamikor visszat\'er a kiindul\'o pontba, m\'{\i}g $l\ge3$ dimenzi\'os
r\'acs eset\'eben a bolyong\'as tranziens, azaz csak 1-n\'el 
kisebb val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel t\'er vissza a kiindul\'o pontba. 
Az is igaz, hogy $l=1,2$ dimenzi\'oban tetsz\H{o}leges pontb\'ol 
kiindulva a bolyong\'as minden pontot 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel 
v\'egtelen sokszor l\'atogat meg, m\'{\i}g $l\ge3$ dimenzi\'oban a 
bolyong\'as b\'armely pontot csak v\'eges sokszor l\'atogat meg egy 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel. 

A k\"onyv els\H{o}  fejezet\'eben t\'argyalt f\H{o} probl\'ema a 
k\"ovetkez\H{o}: Tekints\"unk egy $l=3$ dimenzi\'os bolyong\'ast, 
\'es jellemezz\"uk a 3-dimenzi\'os t\'er eg\'esz koordin\'at\'aj\'u
pontjaib\'ol \'all\'o {\BBB Z}$^3$ r\'acsnak 
azokat a nagy r\'esz\-hal\-ma\-zait, amelyeket a bolyong\'as 
b\'arhonnan kiindulva egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel megl\'atogat. 
Az ilyen halmazokat rekurrens (az eredeti orosz sz\"oveg
megfogalmaz\'as\'aban masz\'{\i}v) halmazoknak nevezz\"uk. Az 
els\H{o} fejezet eredm\'enyei jellemzik a rekurrens halmazokat. 
A k\"onyv az $l=3$ dimenzi\'os esettel foglalkozik, de 
a bebizony\'{\i}tott eredm\'enyt  nem neh\'ez 
\'altal\'anos\'{\i}tani tetsz\H{o}leges $l\ge3$ 
dimenzi\'o eset\'ere. Az eml\'{\i}tett feladatot, illetve annak 
megold\'as\'at az teszi k\"ul\"on\"osen \'erdekess\'e, hogy szoros 
kapcsolatban van a Laplace oper\'ator, a harmonikus \'es 
szuperharmonikus f\"uggv\'enyek elm\'elet\'evel, illetve a 
fizik\'aban is fontos szerepet j\'atsz\'o kapacit\'as fogalm\'aval. 
Pontosabban, az itt felmer\"ul\H{o} fogalmak \'es ered\-m\'e\-nyek 
diszkr\'et v\'altozat\'at kell tekinteni. Ugyancsak \'erdekes,
hogy a vizsg\'alatban megjelen\H{o} eredm\'enyek azt is mutatj\'ak, 
hogy mennyire hasonl\'oan viselkedik a bolyong\'as \'es a Wiener 
folyamat.

Az anal\'{\i}zisben fontos szerepet j\'atszik az \'ugynevezett 
Laplace oper\'ator, amelynek definici\'oja az $l$-dimenzi\'os 
t\'erben a k\"ovetkez\H{o}.

\medskip\noindent
{\bf Laplace oper\'ator definici\'oja.}\/ {\it Tekints\"unk az 
$l$-dimenzi\'os t\'erben egy (sima) $f(x)=f(x_1,\dots,x_l)$ 
f\"uggv\'enyt. Alkalmazva erre a $\Delta$ Laplace oper\'atort 
a k\"ovetkez\H{o} $\Delta f$ f\"ugg\-v\'enyt kapjuk.
$$
\Delta f(x)=\Delta f(x_1,\dots,x_l)=
\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}(x_1,\dots,x_l)+\cdots+
\frac{\partial^2 f}{\partial x_l^2}(x_1,\dots,x_l).
$$
}

\medskip
Ugyancsak fontos szerepet j\'atszik az anal\'{\i}zisben az \'ugynevezett
harmonikus f\"ugg\-v\'eny fogalma.

\medskip\noindent
{\bf Harmonikus f\"uggv\'eny fogalma.} {\it Egy $f(x)=f(x_1,\dots,x_l)$
(sima) f\"uggv\'enyt harmonikusnak nevez\"unk egy $G\subset R^l$ 
ny\'{\i}lt halmazon, ha $\Delta f(x)=0$ minden $x\in G$ pontban. Egy
$f(x)=f(x_1,\dots,x_l)$ f\"uggv\'enyt harmonikusnak nevez\"unk, ha 
harmonikus az eg\'esz $R^l$ t\'eren.}

\medskip
Sz\"uks\'eg\"unk lesz a fenti fogalmak diszkr\'et megfelel\H{o}ire. 
Ebben a fejezetben egy $l$-dimenzi\'os bolyong\'ast tekint\"unk. Ez 
olyan (diszkr\'et idej\H{u}, stacion\'arius) Markov l\'anc, 
amelynek \'allapottere a {\BBB Z}$^l$, $l$-dimenzi\'os
eg\'esz koordin\'at\'aj\'u r\'acs, azaz az 
$x_1\bold e_1+\cdots+x_l\bold e_l$
alak\'u pontok halmaza,  ahol $x_1,\dots,x_l$ eg\'esz sz\'amok,
$e_k=(\undersetbrace \text{$k-1$-szer}\to{0,\dots,0},1,
\undersetbrace \text{$l-k$-szor}\to{0\dots,0})$, $1\le k\le l$, 
egys\'egvektorok, \'es egy l\'ep\'esben a bolyong\'as egy
$x=x_1\bold e_1+\cdots+x_l\bold e_l$ r\'acspontb\'ol $\frac1{2l}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel egy szomsz\'ed r\'acspontba
megy, azaz egy olyan r\'acspontba, amelynek egy koordin\'at\'aja 
k\"ul\"onb\"ozik az $x_1,\dots,x_l$ koordin\'at\'akt\'ol, \'es az 
1-gyel nagyobb vagy kisebb, mint az eredeti koordin\'ata. 
Jel\"olj\"uk $p(1,x,y)$ \'es $p(n,x,y)$ formul\'aval egy Markov
l\'anc, speci\'alisan egy bolyong\'as 1 illetve $n$-l\'ep\'eses 
\'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeit, $x,y\in E$, ahol $E$ a
Markov l\'anc \'allapottere, illetve defini\'aljuk a $p(1,x,y)$ 
1-l\'ep\'eses  \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek 
seg\'{\i}ts\'eg\'evel a k\"ovetkez\H{o}, a Markov l\'ancok 
elm\'elet\'eben fontos szerepet j\'atsz\'o $P$ oper\'atort.

\medskip\noindent
{\bf Egy Markov l\'anc \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egei 
\'altal defini\'alt $P$ oper\'ator.} {\it Legyen adva egy $E$ 
\'allapott\'eren defini\'alt (diszkr\'et idej\H{u},
stacion\'arius) Markov l\'anc $p(1,x,y)$, $x,y\in E$, egyl\'ep\'eses 
\'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekkel. Ez a k\"ovetkez\H{o}
$P$ oper\'atort defini\'alja az $E$ t\'eren \'ertelmezett $f(x)$, 
$x\in E$, f\"uggv\'enyek ter\'eben.
$$
Pf(x)=\sum_{y\in E}p(1,x,y)f(y), \quad x\in E,
$$ 
felt\'eve, hogy a fenti \"osszeg (abszolut) konvergens
minden $x\in E$ pontban.}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.}\/ Ha $x=(x(0),x(1),\dots,)$ egy Markov l\'anc 
$P(1,x,y)$, $x,y\in E$, egyl\'ep\'eses 
\'at\-me\-net\-va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gek\-kel, 
akkor $Pf(x)=E_x f(x(1))$, azaz $Pf(x)$ az $f(x(1))$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke a 
nulla id\H{o}pontban  $x$ pontb\'ol indul\'o $(x(0),x(1),\dots)$,
$x(0)=x$, Markov l\'ancban. Az $l$-dimenzi\'os r\'acson defini\'alt
bolyong\'as eset\'en
$$
Pf(x)=\frac1{2l}\sum_{k=1}^l [f(x+e_k)+f(x-e_k)].
$$

\medskip\noindent
{\bf A Laplace oper\'ator \'es harmonikus f\"uggv\'eny diszkr\'et
megfelel\H{o}i.} {\it Tekints\"unk egy bolyong\'ast az $l$-dimenzi\'os
r\'acson a kor\'abban bevezetett $p(1,x,y)$ egyl\'ep\'eses 
\'at\-me\-net\-va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gek\-kel. Ekkor 
bevezetj\"uk a k\"ovetkez\H{o} $A$ oper\'atort a $\text{\BBB Z}^l$
r\'acson defini\'alt f\"uggv\'enyekre, amely a $\Delta$ Laplace 
oper\'ator diszkr\'et megfelel\H{o}j\'enek tekinthet\H{o}.
$$
Af(x)=Pf(x)-Ef(x)=\frac1{2l}\sum_{k=1}^l [f(x+e_k)+f(x-e_k)-2f(x)]   
$$ 
minden $x\in\text{\BBB Z}^l$ pontban, ahol $f$ egy a $\text{\BBB Z}^l$
r\'acson \'ertelmezett f\"uggv\'eny, $P$ a bolyong\'as egyl\'ep\'eses
\'at\-me\-net\-va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gei \'altal defini\'alt
$P$ oper\'ator, \'es $E$ az idenitit\'asoper\'ator.

Egy a $\text{\BBB Z}^l$ r\'acson \'ertelmezett $f(x)$ f\"uggv\'enyt 
harmonikusnak nevez\"unk, ha $Af(x)=0$, azaz $Pf(x)=f(x)$ minden 
$x\in\text{\BBB Z}^l$ pontban.}

\medskip
Megfogalmazok n\'eh\'any a k\"onyvben bebizony\'{\i}tott fontos 
eredm\'enyt. Ezeket sz\'a\-mo\-zott t\'etelekben ismertetem, de ez a 
sz\'amoz\'as nem k\"oveti a k\"onyv jel\"ol\'es\'et.

\medskip\noindent
{\bf 1.1.~T\'etel.} {\it Egy a $\text{\BBB Z}^l$, $l\ge1$, r\'acson  
defini\'alt korl\'atos harmonikus f\"uggv\'eny konstans.}

\medskip\noindent
A k\"ovetkez\H{o} t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'anak legfontosabb 
l\'ep\'ese ezen eredm\'eny al\-kal\-ma\-z\'a\-sa.

\medskip\noindent
{\bf 1.2.~T\'etel.} {\it Ha  egy $B\subset \text{\BBB Z}^l$ halmaz 
rekurrens, $l\ge1$, akkor tetsz\H{o}leges pontb\'ol kiindul\'o 
$l$-dimenzi\'os bolyong\'as  1~val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel 
v\'egtelen sokszor megl\'atogatja. Ha  egy 
$B\subset \text{\BBB Z}^l$ halmaz tranziens, akkor 
tetsz\H{o}leges pontb\'ol kiindul\'o bolyong\'as 
1~val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel csak v\'eges sokszor 
l\'atogatja meg.}

\medskip\noindent
{\it Az 1.2 T\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/ A bizony\'{\i}t\'as
\'erdekes r\'esze annak megmutat\'asa, hogy ha a $B$ halmaz 
olyan, hogy van olyan $x$ pont, amelyre az $x$ pontb\'ol a 
$B$ halmazba jut\'as $\pi_B(x)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere 
$\pi_B(x)<1$, akkor $\bar\pi_B(x)$-szel jel\"olve
annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy az $x$ pontb\'ol
kiindul\'o bolyong\'as a $B$ halmazt v\'egtelen sokszor
megl\'atogatja igaz a $\bar\pi_B(x)=0$ rel\'aci\'o minden
$x\in\text{\BBB Z}^l$ pontra. Ezen \'all\'{\i}t\'as
bizony\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben vegy\"uk el\H{o}sz\"or
\'eszre azt, hogy $\bar\pi_B(x)$ korl\'atos harmonikus
f\"uggvv\'eny, ez\'ert konstans \'ert\'ek\H{u}, azaz 
$\bar\pi_B(x)=\bar\pi_B$ valamely $0\le\bar\pi_B\le 1$ 
sz\'ammal minden $x\in{\BBB Z}^l$ pontban. 

Vegy\"unk egy olyan $x$ pontot, amelyre $\pi_B(x)<1$.
Legyen $\tau_B(\oo)$ az az id\H{o}pont, amikor az $x$ pontb\'ol
kiindul\'o bolyong\'as el\H{o}sz\"or  megl\'atogatja az a 
$B$ halmazt, \'es legyen $X_{\tau_B}(\oo)$ a bolyong\'as 
helye ebben az id\H{o}pontban.  (Ha nincs ilyen id\H{o}pont, 
akkor $\tau_B(\oo)=\infty$ \'es nem defini\'aljuk az 
$X_{\tau_B}(\oo)$ mennyis\'eget.) Ekkor $P(\tau_B<\infty)<1$, 
\'es
$$
\bar\pi_B=\bar\pi_B(x)=\sum_{y\in B}
P(X_{\tau_B}(\oo)=y)\bar\pi_B(y)
=\sum_{y\in B} P(X_{\tau_B}(\oo)=y)\bar\pi_B
=\bar\pi_B P(\tau_B<\infty).
$$
Innen $\bar\pi_B=0$ a $P(\tau_B<\infty)<1$ rel\'aci\'o miatt.

A lemma m\'asik fele hagyom\'anyos m\'odon bizony\'{\i}that\'o.
Be lehet l\'atni teljes indukci\'oval, hogy ha $\pi_B(x)=1$
minden $x$ r\'acspontra, akkor a $B$ halmaz $m$-szeri 
meg\-l\'a\-to\-ga\-t\'a\-s\'a\-nak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege 
is~1 minden $x$ r\'acspontra \'es $m=1,2,\dots$ sz\'amra. A
bizony\'{\i}t\'as r\'eszleteit elhagyom.

\medskip
Az 1.2.~T\'etel eredm\'enye n\'emi hasonl\'os\'agot mutat a 
tranziens \'es rekurrens \'allapotok vi\-sel\-ke\-d\'e\-s\'et 
le\'{\i}r\'o eredm\'ennyel egy tetsz\H{o}leges Markov l\'anc 
eset\'en. Fontos sz\'amunkra a 1.2.~T\'etel al\'abbi 
k\"ovetkezm\'enye.

\medskip\noindent
{\bf 1.2.~T\'etel k\"ovetkezm\'enye.} {\it A $\text{\BBB Z}^l$ r\'acs 
k\'et  tranziens  halmaz\'anak az uni\'oja is tranziens. Speci\'alisan 
$l\ge3$ eset\'eben minden v\'eges sok elemb\H{o}l \'all\'o 
$D\subset\text{\BBB Z}^l$ halmaz tranziens.}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.}\/ Az, hogy korl\'atos, harmonikus f\"uggv\'enyek 
konstans \'ert\'ek\H{u}ek, nemcsak a $\text{\BBB Z}^l$ t\'eren, hanem 
az $R^d$ t\'eren \'ertelmezett f\"uggv\'enyekre is igaz. S\H{o}t, mind 
a k\'et esetben igaz az az \'elesebb \'all\'{\i}t\'as, mely szerint 
nem-negat\'{\i}v harmonikus f\"uggv\'enyek konstans \'ert\'ek\H{u}ek.

\medskip
Az anal\'{\i}zisben vizsg\'alj\'ak az \'ugynevezett Poisson 
egyenletet, azaz a
$$
\Delta u(x)=-\varphi(x), \quad \lim_{|x|\to\infty} u(x)=0
$$
egyenletet az $R^l$ t\'erben valamely r\"ogz\'{\i}tett 
$\varphi(x)$ f\"uggv\'ennyel. A k\"ovetkez\H{o} eredm\'eny igaz.

\medskip\noindent
{\bf 1.3.~T\'etel.} {\it Ha az $l\ge3$ dimenzi\'oban 
tekintj\"uk a Poisson egyenletet, \'es $\varphi(x)$ el\'eg 
sz\'ep (p\'eld\'aul sima \'es integr\'ahat\'o) f\"uggv\'eny, 
akkor a $\Delta u=-\varphi$ Poisson egyenlet megold\'asa az
$$
u(x)=\int_{R^l}C\frac{\varphi(y)}{|x-y|^{l-2}}\,dy
$$
f\"uggv\'eny valamely alkalmas $C=C_l>0$ konstanssal.}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.}\/ Ez az eredm\'eny szoros kapcsolatban van 
azzal a t\'ennyel, hogy az $\frac1{|x-y|^{l-2}}$ f\"uggv\'eny,
(mint az $x$ v\'altoz\'o f\"uggv\'enye $y$ param\'eterrel) 
az $R^l$ t\'er, $l\ge3$, minden pontj\'aban harmonikus, 
kiv\'eve az $y$ pontot. Ez a f\"uggv\'eny, alkalmas elm\'eleti 
h\'att\'er kidolgoz\'asa ut\'an \'ugy is tekinthet\H{o}, mint 
a $\Delta u(x)=-C\delta(y)$ egyenlet megold\'asa valamely 
alkalmas $C>0$ sz\'ammal, ahol $\delta(y)$ az $y$ pontba 
koncentr\'alt Dirac-delta f\"uggv\'eny. Az $l=2$ dimenzi\'o 
esete kiss\'e elt\'er. Ekkor a $\log |x-y|$ f\"uggv\'eny 
j\'atszik hasonl\'o szerepet, mint az $\frac1{|x-y|^{l-2}}$ 
f\"uggv\'eny az $l\ge3$ dimenzi\'oban.

\medskip
A t\'argyalt k\"onyv els\H{o} fejezet\'eben sz\"uks\'eg van a 
fenti eredm\'eny egy diszkr\'et v\'al\-to\-za\-t\'a\-ra. A 
k\"ovetkez\H{o} eredm\'enyt bizony\'{\i}tj\'ak be a k\"onyvben.

\medskip\noindent
{\bf 1.4.~T\'etel.} {\it Tekints\"uk az
$$
Au(x)=Pu(x)-u(x)=-\varphi(x), \quad x\in \text{\BBB Z}^l,
$$
(diszkr\'et Poisson) egyenletet a $\text{\BBB Z}^l$, 
$l\ge3$, dimenzi\'os r\'acson. Ha $\varphi(x)$ sz\'ep 
f\"uggv\'eny (p\'eld\'aul ha a $\varphi(x)$ f\"uggv\'eny 
teljes\'{\i}ti a $\summ_{x\in\text{\BBB Z}^l}|\varphi(x)|<\infty$
felt\'eltelt), akkor az egyenlet (v\'egtelenben elt\"un\H{o}) 
megold\'asa a k\"ovetkez\H{o} $u(x)$ f\"uggv\'eny.
$$
u(x)=G\varphi(x)=\sum_{n=0}^\infty P^n\varphi(x)
=\sum_{y\in\text{\BBB Z}^l} g(x,y) \varphi(y),
$$
ahol
$$
g(x,y)=\bar g(x-y)=\summ_{n=0}^\infty p(n,x,y),
$$
\'es $p(n,x,y)$ a bolyong\'as $n$-l\'ep\'eses 
\'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege az $x$ pontb\'ol az $y$ 
pontba. To\-v\'ab\-b\'a,
$$
g(x,y)=\bar g(x-y)\sim\frac{C_l}{|x-y|^{l-2}}, 
\quad\text{ha } |x-y|\to\infty
$$
alkalmas $C_l>0$ sz\'ammal.}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.}\/ Mivel az $A=P-E$ a Laplace oper\'ator 
diszkr\'et megfelel\H{o}je a 1.4.~T\'etelben vizsg\'alt egyenlet 
tekinthet\H{o}  a Poisson egyenlet diszkr\'et v\'altozat\'anak. 
Ezen egyenlet megold\'asa is hasonl\'o a Poisson egyenlet 
megold\'as\'ahoz. A diszkr\'et esetben az $R^l$ t\'eren tekintett 
integr\'alt egy a $\text{\BBB Z}^l$ r\'acson vett \"osszeggel 
helyettes\'{\i}tj\"uk, \'es az $\frac1{|x-y|^{l-2}}$ 
magf\"uggv\'eny helyett olyan $g(x,y)=\bar g(x-y)$ 
magf\"uggv\'enyt vesz\"unk, amelynek v\'eg\-te\-len\-ben val\'o 
viselked\'ese hasonl\'o, mert $\bar g(y)\sim\frac{C_l}{|y|^{l-2}}$, 
ha $|y|\to\infty$.

\medskip\noindent
{\it 2. megjegyz\'es.}\/ Az 1.3~T\'etel ut\'an tett
megjegyz\'es magyar\'azatot ad arra, hogy az
$\frac1{|x-y|^{l-2}}$ f\"uggv\'eny, $l\ge3$, mi\'ert 
j\'atszik  fontos szerepet a Poisson egyenlet 
vizsg\'alat\'aban. Hasonl\'o szerepet j\'atszik a $g(x,y)$ 
f\"uggv\'eny a Poisson egyenlet $Au(x)=-\varphi(x)$
disz\-kre\-ti\-z\'alt megfelel\H{o}j\'enek a vizsg\'alat\'aban.
Ugyanis a $g(x,y)$ f\"uggv\'eny $l\ge3$ dimenzi\'o
eset\'en (mint az $x$ v\'altoz\'o f\"uggv\'enye 
r\"ogz\'{\i}tett $y$ param\'eterrel) az $y$ pont kiv\'etel\'evel
harmonikus f\"uggv\'eny a $\text{\BBB Z}^l$ r\'acson, azaz
$Ag(x,y)=0$, kiv\'eve az $x=y$ pontot.

\medskip
Az 1.4.~T\'etelben megfogalmazott azonoss\'ag bizony\'{\i}t\'asa 
viszonylag egyszer\H{u}. A bizony\'{\i}t\'asban felhaszn\'aljuk, 
hogy a $P^n$ oper\'atornak a k\"ovetkez\H{o} jellemz\'ese van.
$$
P^nf(x)=\sum_{y\in\text{\BBB Z}^l} p(n,x,y)f(y), \quad n=0,1,2,\dots.
$$
T\"obb munk\'at ig\'enyel a $g(x,y)$ f\"uggv\'eny v\'egtelenbeli 
aszimptotikus viselked\'es\'et le\'{\i}r\'o formula 
bizony\'{\i}t\'asa. E formula igazol\'asa \'erdek\'eben 
el\H{o}sz\"or bel\'atjuk, hogy $l\ge3$ dimenzi\'o eset\'en
$g(x,y)<\infty$ minden $x,y\in\text{\BBB Z}^l$ eset\'en. Ezt 
\'ugy tudjuk egyszer\H{u}en megmutatni, hogy el\H{o}sz\"or 
a $p_n(x,y)$ \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket, majd a 
$g(x,y)$ f\"uggv\'enyt kifejezz\"uk Fourier transzform\'aci\'o 
seg\'{\i}ts\'eg\'evel a k\"ovetkez\H{o} m\'odon.
$$
p(n,x,y)=\frac1{(2\pi)^l}\int_{[-\pi,\pi)^l}
e^{(i(\vartheta,x-y)}\Phi^n(\vartheta)\,d\vartheta, \tag1.1
$$
ahol
$$
\Phi(\vartheta)=\frac1l\sum_{j=1}^l\cos\vartheta_j.
$$
E sz\'amol\'asban felhaszn\'aljuk, hogy
$$
\sum_{y\in\text{\BBB Z}^l} e^{i(\vartheta,y-x)}p(n,x,y)
=Ee^{i(\vartheta,\xi_1+\cdots+\xi_n)}
=\(Ee^{i(\vartheta,\xi_1)}\)^n=\Phi(\vartheta)^n,
$$
ahol $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, \'es
$P(\xi_1=e_j)=P(\xi_1=-e_j)=\frac1{2l}$ , $j=1,\dots,l$.

Vegy\"uk \'eszre, hogy $g(x,y)$ annak v\'arhat\'o \'ert\'ek\'evel 
egyenl\H{o}, hogy az $x$ pontb\'ol kiindul\'o bolyong\'as 
h\'anyszor l\'atogatja meg az $y$ pontot.

A fenti formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel bel\'athatjuk, hogy $l\ge$ 
esetben $g(x,y)<\infty$, s\H{o}t a $g(x,y)$ f\"uggv\'enyt 
explicite kifejezhetj\"uk, mint
$$
g(x,y)=\sum_{n=0}^\infty p(n,x,y)=\frac1{(2\pi)^l}
\int_{[-\pi,\pi)^l} e^{i(\vartheta,x-y)}\frac1{1-\Phi(\vartheta)}
\,d\vartheta. \tag1.2
$$
Az (1.2) formul\'at megkaphatjuk az (1.1) formula \"osszegez\'es\'enek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel az $n$ v\'al\-to\-z\'o szerint. Annak 
\'erdek\'eben, hogy az (1.2) formula igazol\'as\'ahoz sz\"uks\'eges 
sz\'amol\'asokat elv\'egezhess\"uk el\H{o}sz\"or megmutatjuk, hogy 
az $\frac1{1-|\Phi(\vartheta)|}$ f\"uggv\'eny integr\'alhat\'o a 
$[\pi,\pi)^l$ halmazon az $l\ge3$ esetben. Az (1.2)~formula, illetve 
a Fourier anal\'{\i}zis n\'eh\'any  eredm\'enye lehet\H{o}v\'e teszi, 
hogy a $g(x,y)$ f\"uggv\'eny  aszimptotikus viselked\'es\'et 
le\'{\i}rjuk $x-y\to\infty$ eset\'en.

Ismeretes, hogy egy sima f\"uggv\'eny Fourier egy\"utthat\'oi 
gyorsan tartanak null\'ahoz a v\'egtelenben. Min\'el sim\'abb a 
f\"uggv\'eny, ann\'al gyorsabban tartanak a Fourier 
egy\"utt\-ha\-t\'ok a v\'egtelenben null\'ahoz. Ha a f\"uggv\'enynek 
szingularit\'asa van egy pontban, egy\'ebk\'ent pedig minden\"utt 
sima, akkor a Fourier egy\"utthat\'ok v\'egtelenben val\'o 
vi\-sel\-ke\-d\'e\-s\'et ez a szingularit\'as hat\'arozza meg.

Jelen esetben n\'emi sz\'amol\'as mutatja, hogy a $[-\pi,\pi)^l$ 
tartom\'anyban tekintett $\frac1{1-\Phi(\vartheta)}$
f\"uggv\'enynek egyetlen szingularit\'asa van az orig\'oban, 
ahol $\frac1{1-\Phi(\vartheta)}\sim C|\vartheta|^{-2}$. Ez\'ert 
az anal\'{\i}zis \'altal\'anos m\'odszereit felhaszn\'alva be 
lehet bizony\'{\i}tani az 1.4.~T\'etel utols\'o 
\'all\'{\i}t\'as\'at is.

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.}\/ A 1.4.~T\'etelben defini\'alt $g(x,y)$ 
f\"uggv\'eny term\'eszetes folytonos megfelel\H{o}je a
$$
g^*(x,y)=\int_0^\infty \varphi_l((y-x),t)\,dt
=\int_0^\infty\frac1{(2\pi t)^{l/2}} e^{-(y-x)^2/2t}\,dt
$$
f\"uggv\'eny, ahol $\varphi_l(\cdot,t)$ az $l$-dimenzi\'os,
nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u}, \'es $tE$ 
kovarianciam\'atrix\'u norm\'alis s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny,
\'es $l\ge3$. Alkalmazva a $\bar t=\frac t{|y-x|^2}$ 
helyettes\'{\i}t\'est azt kapjuk, hogy
$$
g^*(x,y)
=\frac1{|y-x|^{l-2}}
\int_0^\infty\frac1{(2\pi \bar t)^{l/2}} e^{-1/2\bar t}\,d\bar t
=\frac {C_l}{|y-x|^{l-2}}.
$$

\medskip
A k\"onyv vizsg\'alataiban fontos szerepet j\'atszanak az 
\'ugynevezett szuperharmonikus \'es excessz\'{\i}v f\"uggv\'enyek. 
Megadjuk ezek definici\'oj\'at mind az $R^l$ Euklideszi t\'eren 
mind a $\text{\BBB Z}^l$ $l$-dimenzi\'os r\'acson \'ertelmezett 
f\"uggv\'enyek eset\'eben.

\medskip\noindent
{\bf Szuperharmonikus \'es excessz\'{\i}v f\"uggv\'enyek 
definici\'oja.} {\it Egy az $R^l$ Euklideszi t\'eren defini\'alt 
(sima) $f(x)$ f\"uggv\'enyt szuperharmonikusnak nevez\"unk, ha 
$-\Delta f(x)\ge 0$ minden $x\in R^l$ pontban. Egy az $R^l$ 
$l$-dimenzi\'os t\'eren defini\'alt $f(x)$ f\"uggv\'eny 
excessz\'{\i}v, ha egyr\'eszt szuperharmonikus, m\'asr\'eszt 
$f(x)\ge 0$ minden $x\in R^l$ pontban.

Egy a $\text{\BBB Z}^l$ $l$-dimenzi\'os r\'acson defini\'alt 
$f(x)$ f\"uggv\'enyt szuperharmonikusnak ne\-ve\-z\"unk, ha 
$-A f(x)=f(x)-Pf(x)\ge 0$ minden $x\in \text{\BBB Z}^l$ pontban. 
Egy a $\text{\BBB Z}^l$ $l$-dimenzi\'os r\'acson defini\'alt $f(x)$ 
f\"uggv\'eny excessz\'{\i}v, ha egyr\'eszt szuperharmonikus,
m\'asr\'eszt $f(x)\ge 0$ minden $x\in\text{\BBB Z}^l$ pontban.}

A k\"onyv jellemzi a r\'acson defini\'alt excessziv 
f\"uggv\'enyeket.

\medskip\noindent
{\bf 1.5.~T\'etel. R\'acson defini\'alt excessz\'{\i}v 
f\"uggv\'enyek jellemz\'ese.} {\it Legyen $f(x)$, 
$x\in\text{\BBB Z}^l$, az $l$-dimenzi\'os r\'acson defini\'alt
excessz\'{\i}v f\"uggv\'eny. Akkor $f$ fel\'{\i}rhat\'o
$$
f=G\varphi+h, \quad G\varphi(x)=\sum_{n=0}^\infty P^n\varphi(x),
$$
alakban, ahol $\varphi(x)\ge0$ minden $x\in\text{\BBB Z}^l$ 
pontban, \'es $h(x)$ a $\text{\BBB Z}^l$ r\'acson defini\'alt 
nem negat\'{\i}v harmonikus f\"uggv\'eny. Az $f$ f\"uggv\'eny 
fenti el\H{o}\'all\'{\i}t\'as\'aban szerepl\H{o} $\varphi$ 
f\"uggv\'eny megadhat\'o $\varphi(x)=-A f(x)=f(x)-Pf(x)$ alakban, 
\'es $h(x)=\limm_{n\to\infty}P^n f(x)$. (A t\'etel azt is 
\'all\'{\i}tja, hogy ez a limesz l\'etezik. Tov\'abb\'a a
$G\varphi(x)=\summ_{n=0}^\infty P^n\varphi(x)$ \"osszeg (abszolut)
konvergens. S\H{o}t, $G\varphi(x)\le f(x)$.) }

\medskip\noindent
{\it 1.~Megjegyz\'es.}\/ A fenti reprezent\'aci\'oban szerepl\H{o} 
$h(x)$ nem negat\'{\i}v harmonikus f\"ugg\-v\'eny 
sz\"uk\-s\'eg\-sze\-r\H{u}\-en egy nem negat\'{\i}v konstanssal 
egyenl\H{o}. A t\'etelnek l\'etezik az $R^l$ t\'erben 
\'er\-v\'e\-nyes meg\-fe\-le\-l\H{o}\-je. Ebben az esetben is
fel\'{\i}rhatjuk, hogy $f=G\varphi+h$, tov\'abb\'a 
$\varphi(x)=-\Delta f(x)$, \'es 
$G\varphi(x)=C_l\int\frac{\varphi(y)}{|x-y|^{l-2}}\,dy$ az 
$l\ge3$ esetben.

\medskip\noindent
{\it 2.~Megjegyz\'es.}\/ Az anal\'{\i}zisben bebizony\'{\i}tj\'ak,
hogy egy (sima) $f(x)$ f\"uggv\'eny az $R^l$ t\'eren akkor \'es
csak akkor szuperharmonikus, ha $f(x)\ge\oint_{|y-x|=r} f(y)\,dy$
minden $x\in R^l$ pontra \'es $r>0$ sz\'amra. Itt $dy$ azt jel\"oli,
hogy az $|y-x|=r$ halmazon, azaz az $x$ k\"oz\'eppont\'u \'es 
$r$ sugar\'u g\"omb\"on integr\'alunk az (egyre norm\'alt) egyenletes 
eloszl\'as szerint.

\medskip
Tekints\"uk egy tetsz\H{o}leges $B\subset\text{\BBB Z}^l$ halmazra 
a k\"ovetkez\H{o} $\pi_B(x)$ f\"uggv\'enyt.
$$
\align
\pi_B(x)=P&(\text{az $x$ pontb\'ol kiindul\'o $(x(0),x(1),\dots)$ 
bolyong\'as}\\
&\qquad\qquad \text{megl\'atogatja a $B$ halmazt}).
\endalign
$$ 
Nem neh\'ez bel\'atni, hogy $\pi_B(x)$ excessz\'{\i}v 
f\"uggv\'eny. Ha $B$ rekurrens halmaz, akkor 
$\pi_B(x)\equiv1$, ami nem k\"ul\"un\"osen \'erdekes eset. 
\'Erdekesebb az az eset, ha $B$ tranziens halmaz. Ekkor fel 
lehet \'{\i}rni a $\pi_B(x)$ f\"uggv\'eny 1.5.~T\'etelben 
szerepl\H{o} felbont\'as\'at. N\'emi sz\'amol\'assal ez azt adja,
hogy ha $B$ tranziens halmaz, akkor
$$
\pi_B(x)=G\varphi_B(x),
$$
ahol a $\varphi_B(x)=\pi_B(x)-P\pi_B(x)$ f\"uggv\'eny \'ugy is
jellemezhet\H{o}, hogy
$$
\align
\varphi_B(x)&=P(\text{egy $x(0)=x$ pontb\'ol kiindul\'o bolyong\'asra} \\
&\qquad\qquad x=x(0)\in B
\text{ \'es $x(n)\notin B$ minden $n=1,2,\dots$ id\H{o}pontban}).
\endalign
$$

Megfogalmazok t\'etel form\'aj\'aban egy a k\"onyv bizonyos 
\'ervel\'eseiben fontos szerepet j\'atsz\'o azonoss\'agot. Ebben 
az $E_x$ jel\"ol\'es v\'arhat\'o \'ert\'eket jelent abban az 
esetben, ha egy $x$ pontb\'ol kiindul\'o Markov l\'anc
\'ert\'ekeit\H{o}l f\"ugg\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et tekintj\"uk.


\medskip\noindent
{\bf 1.6.~T\'etel.} {\it Tekints\"unk egy $x\in\text{\BBB Z}^l$, 
$l\ge3$, pontb\'ol kiindul\'o Markov l\'ancot, \'es egy nem 
negat\'{\i}v $\varphi(x)$, $x\in\text{\BBB Z}^l$, f\"uggv\'enyt. 
Legyen $f(x)=G\varphi(x)$. Tekints\"unk egy $B\subset\text{\BBB Z}^l$ 
halmazt, \'es jel\"olje $\tau=\tau_B$ azt a v\'eletlen 
id\H{o}pontot, amikor az $(x(0),x(1),\dots)$ bolyong\'as 
el\H{o}sz\"or megl\'atogatja a $B$ halmazt. Ekkor igaz a 
k\"ovetkez\H{o} azonoss\'ag.
$$
f(x)=E_x\(\sum_{n=0}^{\tau-1}\varphi(x(n))\)+E_x f(x(\tau)).
$$
Ez az azonoss\'ag \'ugy \'ertend\H{o}, hogy abban az esetben, 
ha a bolyong\'as soha nem l\'atogatja meg a $B$ halmazt, akkor 
$\tau=\infty$, \'es $f(x(\tau))=0$.}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.}\/ Az e t\'etelben kimondott azonoss\'ag 
h\'atter\'eben az \'ugynevezett er\H{o}s Markov tulajdons\'ag 
van, \'es val\'oj\'aban minden $\tau$ meg\'all\'asi szab\'alyra 
\'erv\'enyes ez az azonoss\'ag.

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'asv\'azlat:}\/ Tekints\"unk egy $x$ pontb\'ol
kiindul\'o Markov l\'ancot, \'es vegy\"uk a $\text{\BBB Z}^l$ 
r\'acson \'ertelmezett $\varphi(x)$, $x\in{\BBB Z}^l$, f\"uggv\'enyt.
Ekkor
$$
f(x)=E_x\(\sum_{n=0}^\infty\varphi(x(n))\)
=E_x\(\sum_{n=0}^{\tau-1}\varphi(x(n))\)+
E_x\(\sum_{n=\tau}^\infty\varphi(x(n))\).
$$
M\'asr\'eszt 
$E_x\left.\(\summ_{n=\tau}^\infty\varphi(x(n))\right|x(\tau)=y\)=f(y)$
minden $y\in{\text{\BBB Z}^l}$ pontban. Ez\'ert
$$
E_x\(\sum_{n=\tau}^\infty\varphi(x(n))\)
=\sum_{y\in\text{\BBB Z}^l}P_x(x(\tau)=y)f(y)=E_xf(x(\tau)).
$$

\medskip\noindent
R\'at\'erek a kapacit\'as fogalm\'anak ismertet\'es\'ere, 
amelyben az el\H{o}bb defini\'alt $\pi_B(x)$ \'es $\varphi_B(x)$ 
f\"uggv\'enyek fontos szerepet j\'atszanak. A bevezetend\H{o} 
kapacit\'as a fizik\'aban is fon\-tos szerepet j\'atsz\'o 
kapacit\'as term\'eszetes diszkr\'et megfelel\H{o}je. Ezt 
bizonyos optimum fel\-adat megold\'asak\'ent kapjuk. A fizik\'aban 
egy $B$ (sz\'ep halmaz) kapacit\'asa annak a maxim\'alis 
t\"olt\'esmennyis\'egnek az \'ert\'eke, amelyet \'ugy 
helyezhet\"unk el a $B$ halmazban, hogy az \'altala 
l\'etrehozott potenci\'al \'ert\'eke a t\'er minden pontj\'aban 
kisebb vagy egyenl\H{o}, mint~1. A diszkr\'et r\'acs eset\'eben 
is hasonl\'o optimum elv seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'aljuk
a kapacit\'ast. \'Erdemes ennek megfogalmaz\'asa \'erdek\'eben 
bevezetni a k\"ovetkez\H{o} $\Cal K_B$ f\"uggv\'enyoszt\'alyt.

\medskip\noindent
{\bf A kapacit\'as definici\'oj\'aban megjelen\H{o} $\Cal K_B$ 
f\"uggv\'enyoszt\'aly definici\'oja.} {\it Legyen adva egy 
$B\subset \text{\BBB Z}^l$ halmaz. A $\Cal K_B$ 
f\"uggv\'enyoszt\'aly azon a $\text{\BBB Z}^l$ halmazon 
defini\'alt $\varphi(x)$, $x\in\text{\BBB Z}^l$, 
f\"uggv\'enyekb\H{o}l \'all, amelyekre, $\varphi(x)\ge0$ 
minden $x\in\text{\BBB Z}^l$ pontban, $\varphi(x)=0$, ha 
$x\notin B$, \'es $G\varphi(x)\le1$ minden $x\in\text{\BBB Z}^l$ 
pontban.}

\medskip
Nem neh\'ez bel\'atni, hogy egy tranziens $B\subset\text{\BBB Z}^l$ 
halmaz eset\'eben $\varphi_B(x)\in\Cal K_B(x)$, mert 
$\varphi_B(x)=0$, ha $x\notin B$, \'es 
$G\varphi_B(x)=\pi_B(x)\le1$. S\H{o}t, a $\varphi_B(x)$ 
f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti az al\'abbi sz\'els\H{o}\'ert\'ek 
tulajdons\'agokat is.

\medskip\noindent
{\bf 1.7.~T\'etel.} {\it Legyen $B\subset\text{\BBB Z}^l$ 
tranziens halmaz, $l\ge3$.
Ekkor a $\varphi_B(x)$, $x\in\text{\BBB Z}^l$, f\"uggv\'enyre
$\varphi\in\Cal K_B$, \'es ez a f\"uggv\'eny
teljes\'{\i}ti az al\'abbi sz\'els\H{o}\'ert\'ek tulajdons\'agokat.

\item{a)} $\pi(x)=G\varphi(x)\le\pi_B(x)=G\varphi_B(x)$ minden
$\varphi\in\Cal K_B$ f\"uggv\'enyre \'es $x\in\text{\BBB Z}^l$ pontra.

\item{b)} $\summ_{x\in B}\varphi(x)\le\summ_{x\in B}\varphi_B(x)$
minden $\varphi\in\Cal K_B$ f\"uggv\'enyre.
}

\medskip\noindent
{\it Az 1.7 T\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/ L\'attuk, hogy 
$\varphi_B\in{\Cal K}_B$ egy tranziens $B$ halmazra, \'es  
teljes\"ul a $G\varphi_B(x)=\pi_B(x)=1$ azonoss\'ag minden 
$x\in B$ pontra. Az 1.7~T\'etel a) r\'esze az 1.6 T\'etel 
k\"o\-vet\-kez\-m\'enye, mert e t\'etel \'es a minden 
$x\in\text{\BBB Z}^l$ pontra \'es $\varphi\in{\Cal K}_B$
f\"uggv\'enyre teljes\"ul\H{o} $G\varphi(x)\le1$ 
egyenl\H{o}tlens\'eg alapj\'an 
$G\varphi(x)=E_xG\varphi(x(\tau))\le P_x(x(\tau)<\infty)=\pi_B(x)$ 
minden $\varphi\in\Cal K_B$ f\"uggv\'enyre, ahol $\tau$ a 
$B$ halmaz els\H{o} el\'er\'es\'enek az ideje.

A b) r\'esz bizony\'{\i}t\'as\'anak \'erdek\'eben 
r\"ogz\'{\i}ts\"unk egy $B$ tranziens halmazt, \'es 
de\-fi\-ni\-\'al\-juk e halmaz seg\'{\i}ts\'eg\'evel az
$(f,g)=\summ_{x\in B} f(x)g(x)$ skal\'ar szorzatot, felt\'eve, 
hogy ez az \"osszeg (abszolut) konvergens.  A $\Cal K_B$ t\'er 
f\"uggv\'enyeire a $G$ oper\'ator \'{\i}gy \'{\i}rhat\'o fel: 
$G\varphi(x)=\summ_{y\in B}g(x,y)\varphi(y)$ minden $x\in B$ pontra, ha 
$\varphi\in{\Cal K}_B$. (Jelen esetben el\'eg az $y\in B$ pontokra 
\"osszegezni, mert $\varphi(y)=0$, ha $y\notin B$.) Ez\'ert az 
1.7~T\'etel a) r\'esze alapj\'an 
$G\varphi(x)\le\pi_B(x)=1$ minden $\varphi\in\Cal K_B$ 
f\"uggv\'enyre \'es $x\in B$ pontra, \'es 
$G\varphi_B(x)=\pi_B(x)=1$, ha $x\in B$. Innen
$$
\sum_{x\in B}\varphi(x)=(\varphi, G\varphi_B)=(G\varphi,\varphi_B)
\le (1,\varphi_B)=\sum_{x\in B}\varphi_B(x)
$$
minden $\varphi\in\Cal K_B$ f\"uggv\'enyre. A fenti sz\'amol\'asban
felhaszn\'altuk, hogy
$(\varphi,G\varphi_B)=(G\varphi,\varphi_B)$ a $g(x,y)=g(y,x)$ 
azonoss\'ag miatt.

\medskip
A 1.7.~T\'etel alapj\'an defini\'alhatjuk a $B\subset\text{\BBB Z}^l$
alak\'u tranziens halmazok kapacit\'as\'at a fizik\'aban 
defini\'alt kapacit\'as term\'eszetes anal\'ogi\'ajak\'ent. Egy 
$\varphi\in\Cal K_B$ f\"uggv\'enyt tekinthet\"unk egy $B$ 
halmazon defini\'alt t\"olt\'eseloszl\'asnak,
ahol $\varphi(x)$ az $x$ pontba helyezett t\"olt\'es. Ez induk\'al 
egy $\pi(x)=G\varphi(x)$, $x\in\text{\BBB Z}^l$, potenci\'alt, amely
minden pontban kisebb vagy egyenl\H{o} mint~1. Egy 
$\varphi\in\Cal K_B$ f\"uggv\'eny \'altal tartalmazott t\"olt\'es 
$\summ_{x\in B}\varphi(x)$. Ke\-res\-s\"uk a legt\"obb
t\"olt\'est tartalmaz\'o $\varphi\in\Cal K_B$ t\"olt\'eseloszl\'ast, 
amit egyens\'ulyi eloszl\'asnak nevez\"unk, \'es az \'altala 
tartalmazott t\"olt\'est kapacit\'asnak. A 1.7.~T\'etel szerint 
$\varphi_B(x)$, $x\in\text{\BBB Z}^l$, az egyens\'ulyi eloszl\'as,
\'es $C(B)=\summ_{x\in B}\varphi_B(x)$ a $B$ halmaz kapacit\'asa.
A $\varphi_B$ egyens\'ulyi eloszl\'as \'altal l\'etrehozott 
potenci\'al a $\pi_B(x)=G\varphi_B(x)$, $x\in\text{\BBB Z}^l$,
f\"uggv\'eny.

Megfogalmazom az 1.~fejezet f\H{o} eredm\'eny\'et, egy Wiener 
\'altal bizony\'{\i}tott t\'etelt, amely jellemzi a 3-dimenzi\'os 
r\'acs tranziens \'es rekurrens r\'eszhalmazait. Egy halmaz akkor 
rekurrens, ha valamilyen \'ertelemben nagy. Ezt a tulajdons\'agot 
a kapacit\'as seg\'{\i}ts\'eg\'evel tudjuk j\'ol kifejezni. 
Megjegyzem, hogy mint l\'attuk az $l\ge3$ dimenzi\'os r\'acs 
v\'eges r\'eszhalmazai tranziensek, ez\'ert l\'etezik kapacit\'asuk.

\medskip\noindent
{\bf 1.8.~T\'etel. Wiener t\'etele tranziens \'es rekurrens halmazok 
jellemz\'es\'er\H{o}l.}
{\it Legyen $B\subset\text{\BBB Z}^3$ a h\'arom dimenzi\'os t\'er 
r\'acs\'anak egy r\'eszhalmaza, \'es defini\'aljuk a $B$ halmaz
$$
B_k=\{x\:x\in B,\; 2^{k-1}\le |x|<2^k\},\quad k=1,2,\dots, 
$$
alak\'u r\'eszhalmazait. Ha
$$
\sum_{k=1}^\infty \frac{C(B_k)}{2^k}<\infty, 
$$
akkor a $B$ halmaz tranziens, ha
$$
\sum_{k=1}^\infty \frac{C(B_k)}{2^k}=\infty, 
$$
akkor a $B$ halmaz rekurrens. A fenti formul\'akban $C(B_k)$ a 
$B_k$ halmaz kapacit\'as\'at jel\"oli.}

\medskip
R\"oviden ismertetem a 1.8.~T\'etel bizony\'{\i}t\'as\'anak
n\'eh\'any fontos gondolat\'at. 

N\'emi sz\'amol\'as azt mutatja, hogy a
$\summ_{k=1}^\infty \pi_{B_k}(0)$ \'es
$\summ_{k=1}^\infty \frac{C(B_k)}{2^k}$ \"osszegek, ahol 
$\pi_{B_k}(0)$ annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et jel\"oli, 
hogy az orig\'ob\'ol kiindul\'o bolyong\'as megl\'atogatja a 
$B_k$ halmazt, equikonvergensek. Ez abb\'ol k\"ovetkezik, hogy 
$$
\pi_{B_k}(0)=G\varphi_{B_k}(0)=\summ_{y\in B_k}g(0,y)\varphi_{B_k}(y),
\quad \frac{C(B_k)}{2^k}=\summ_{y\in B_k}\frac{\varphi_{B_k}(y)}{2^k},
$$
\'es $Q_12^{-k}\le g(0,y)\le Q_22^{-k}$ alkalmas 
$0<Q_1<Q_2<\infty$ sz\'amokkal, ha $y\in B_k$. 

Ha $\summ_{k=1}^\infty \frac{C(B_k)}{2^k}<\infty$, vagy ami 
ezzel ekvivelens $\summ_{k=1}^\infty \pi_{B_k}(0)<\infty$, 
akkor egyszer\H{u} Borel--Cantelli lemma tipus\'u 
\'ervel\'essel kapjuk, hogy az orig\'ob\'ol kiindul\'o 
bolyong\'as csak v\'eges sok $B_k$ halmazt l\'atogat meg 
1~val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, ez\'ert a
$B=\bigcupp_{k=1}^\infty B_k$ halmaz tranziens.

A rekurrenci\'ar\'ol sz\'ol\'o \'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'asa 
bonyolultabb, mert a $\summ_{k=1}^\infty \pi_{B_k}(0)=\infty$ 
rel\'aci\'o \"onmag\'aban nem elegend\H{o} egy Borel--Cantelli 
lemma tipus\'u \'ervel\'es v\'eg\-re\-haj\-t\'a\-s\'a\-hoz.
Ez\'ert egy olyan bonyolultabb esem\'eny 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere adunk j\'o becsl\'est, amellyel 
jobban tudunk dolgozni. Ennek \'erdek\'eben el\H{o}sz\"or 
vegy\"uk \'eszre azt, hogy ha a 1.8.~T\'e\-tel\-ben szerepl\H{o} 
\"osszegben csak a $4k$, $k=1,2,\dots$ vagy $4k+1$ vagy $4k+2$ 
vagy $4k+3$, $k=0,1,2,\dots$, alak\'u tagokra \"osszegz\"unk abban 
az esetben,  amikor a rekurrencia felt\'etele teljes\"ul, akkor 
4 olyan \"osszeget kapunk, amelyek k\"oz\"ul legal\'abb az egyik 
divergens.

Tegy\"uk fel p\'eld\'aul, hogy
$$
\sum_{k=1}^\infty \frac{C(B_{4k})}{2^{4k}}=\infty, 
$$
\'es l\'assuk be, hogy ebben az esetben a $B$ halmaz rekurrens.
Az\'ert \'erdemes ilyen ese\-tek\-re reduk\'alni az eredeti 
\'all\'{\i}t\'ast, mert a $B_{4k}$ halmazok t\'avol vannak 
egym\'ast\'ol, \'es ez seg\'{\i}t olyan f\"uggetlens\'eg
tipus\'u \'all\'{\i}t\'asok megfogalmaz\'as\'aban \'es 
bizony\'{\i}t\'as\'aban, amelyek a Borel--Cantelli lemma 
divergens \"osszegekr\H{o}l sz\'ol\'o fel\'enek a sz\'amunkra 
megfelel\H{o} m\'odos\'{\i}t\'as\'at adj\'ak. A $\pi_{B_k}(0)$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek becsl\'ese helyett olyan $A_k$ 
esem\'enyeket defini\'alunk, amelyek 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et szint\'en j\'ol meg tudjuk 
becs\"ulni, \'es amely esem\'enyek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere
adott becsl\'esek hasznosabbak a sz\'amunkra.

Tudjuk, hogy a bolyong\'as egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel 
v\'egtelenbe tart. Ez\'ert, ha valamely $x$ pontb\'ol 
ind\'{\i}tjuk a bolyong\'ast, \'es $k$ el\'eg nagy sz\'am, 
akkor l\'etezik egy legkisebb (v\'eletlen) $\tau_k$ id\H{o}pont, 
amikor a bolyong\'as az 
$S_k=\{y\colon\; y\in\text{\BBB Z}^3,\, 
2^{4k-2}\le |y|\le 2^{4k-2}+1\}$
halmazt megl\'atogatja. Tekints\"uk azt a hasonl\'oan defini\'alt 
$\tau_{k+1}$ id\H{o}pontot, amikor a bolyong\'as az
$S_{k+1}=\{y\colon\; y\in\text{\BBB Z}^3,\, 2^{4k+2}
\le |y|\le 2^{4k+2}+1\}$
halmazt el\H{o}sz\"or megl\'atogatja. Je\-l\"ol\-je $A_k$ azt az 
esem\'enyt, hogy a bolyong\'as a $[\tau_k,\tau_{k+1}]$ 
id\H{o}intervallumban megl\'atogatja $B_{4k}$ halmazt. N\'emi 
munk\'aval be lehet l\'atni, hogy 
$$
P_y(A_k)\ge Q_1\frac{C(B_{4k})}{2^{4k}}\quad 
\text{minden $y\in S_k$ pontra,}
$$
ahol a $Q_1>0$ sz\'am nem f\"ugg sem a $k$ indext\H{o}l sem 
az $y\in S_k$ pontt\'ol.

Ezen \'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'asa hasonl\'o a 
$\pi_{B_k}(0)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg becsl\'es\'ehez,
csak n\'emileg t\"obb figyelmet ig\'enyel. Azt kell 
kihaszn\'alni, hogy mivel az $S_{k+1}$ s\'av pontjai viszonylag 
t\'avol vannak az $B_{4k}$ halmaz pontjait\'ol, ez\'ert annak a 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a bo\-lyon\-g\'as a $\tau_{k+1}$
id\H{o}pont ut\'an l\'atogatja meg a $B_{4k}$ halmazt sokkal 
kisebb, mint annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a 
bolyong\'as a $\tau_k$ id\H{o}pont ut\'an l\'atogatja meg a 
$B_{4k}$ halmazt.

Az utols\'o egyenl\H{o}tlens\'eg \'es az er\H{o}s Markov 
tulajdons\'ag seg\'{\i}ts\'eg\'evel be lehet l\'atni az 
al\'abbi egyenl\H{o}tlens\'eget is. Ha $|x|<2^{4m-2}$ akkor
$$
P_x(\bar A_m\cap\bar A_{m+1}\cap\cdots\cap\bar A_{m+s})
\le\prod_{k=m}^{m+s}\(1-Q_1\frac{C(B_{4k})}{2^{4k}}\)
$$
minden $s=0,1,2,\dots$ sz\'amra, ahol $\bar A$ az $A$ halmaz 
komplementer\'et jel\"oli. Mivel a $\summ_{k=1}^\infty
\frac{C(B_{4k})}{2^{4k}}=\infty$ rel\'aci\'ob\'ol k\"ovetkezik, 
hogy $\prodd_{k=m}^\infty \(1-Q_1\frac{C(B_{4k})}{2^{4k}}\)=0$, 
ez\'ert a fenti egyenl\H{o}tlens\'egb\H{o}l k\"ovetkezik, 
hogy $P_x\(\bigcapp_{k=0}^\infty\bar A_{m+k}\)=0$, azaz 
$P_x\(\bigcupp_{k=0}^\infty A_{m+k}\)=1$ az adott felt\'etel 
mellett. Ebb\H{o}l viszont az k\"ovetkezik, hogy a 
$\summ_{k=1}^\infty\frac{C(B_{4k})}{2^{4k}}=\infty$ felt\'etel 
teljes\"ul\'ese eset\'en a bolyong\'as b\'armely $x$ pontb\'ol 
kiindulva 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel megl\'atogatja a 
$B=\bigcupp_{k=1}^\infty B_k$ halmazt, azaz a $B$ halmaz
rekurrens.

A Dynkin-Yushkevich k\"onyv els\H{o} fejezete egy \'erdekes 
p\'eld\'aval fejez\H{o}dik be. Ebben Wiener t\'etele 
seg\'{\i}ts\'eg\'evel (1.8.~T\'etel) meghat\'arozz\'ak, hogy a 
3-dimenzi\'os r\'acs bizonyos r\'eszhalmazai rekurrensek-e 
vagy tranziensek. Nem neh\'ez bel\'atni, felhaszn\'alva azt 
a t\'enyt, hogy a k\'et dimenzi\'os  bolyong\'as \'allapotai 
rekurrensek, hogy a 3-dimenzi\'os r\'acs 
$B_0=\{(n,0,0)\colon\; -\infty<n<\infty\}$ r\'eszhalmaza
rekurrens. L\'enyegesen nehezebb annak eld\"ont\'ese, hogy 
a $B_0$ halmaz mely r\'eszhalmazai rekurrensek, \'es melyek 
tranziensek. Azt v\'arjuk, hogy a $B_0$ halmaz egy el\'eg 
s\H{u}r\H{u} r\'eszhalmaza rekurrens, m\'{\i}g egy nem 
el\'eg s\H{u}r\H{u} r\'eszhalmaza tranziens. De nem vil\'agos, 
mikor tekinthetj\"uk $B_0$ egy r\'eszhalmaz\'at el\'eg 
s\H{u}r\H{u}nek. Erre a k\'erd\'esre ad v\'alaszt az al\'abbi 
t\'etel.

\medskip\noindent
{\bf 1.9.~T\'etel.} {\it Tekints\"uk a $\text{\BBB Z}^3$ 
3-dimenzi\'os r\'acs egy $B=\{(b_n,0,0),\; n=1,2,\dots\}$ alak\'u 
r\'eszhalmaz\'at, ahol $1\le b_1<b_2< \cdots$, pozit\'{\i}v 
eg\'esz sz\'amok szigor\'uan monoton sorozata. Ha
$\summ_{n=1}^\infty \frac1{b_n}<\infty$, akkor a $B$ halmaz 
tranziens. Ha $\summ_{n=1}^\infty \frac1{b_n}=\infty$, \'es
$b_{n+1}-b_n\ge c\log b_n$ minden el\'eg nagy $n$ sz\'amra 
alkalmas $c>0$ konstanssal, akkor a $B$ halmaz rekurrens.} 

\medskip
Term\'eszetesen egy tranziens halmaz minden r\'eszhalmaza  
tranziens, \'es minden egy rekurrens halmazt tartalmaz\'o halmaz 
rekurrens. \'Igy a 1.9.~T\'etel el\'eg j\'o le\'{\i}r\'as\'at 
adja annak, hogy a $B_0=\{(n,0,0)\colon\;-\infty<n<\infty\}$, 
halmaz mely r\'eszhalmazai rekurrensek \'es melyek tranziensek. 
\'Erdemes megjegyezni, hogy a rekurrencia felt\'etelei k\"oz\"ott 
a $\summ_{n=1}^\infty \frac1{b_n}=\infty$ rel\'aci\'o mellett
a $b_{n+1}-b_n\ge c\log b_n$ el\'eg nagy $n=1$ sz\'amokra 
felt\'etel is szerepel. Ez egy olyan t\'{\i}pus\'u 
felt\'etel, amely azt k\"oveteli meg, hogy a $b_n$ sorozat
el\'eg regul\'arisan v\'altozz\'ek. A k\"onyv megeml\'{\i}t 
egy eredm\'enyt, amely azt mutatja, hogy ez a felt\'etel nem 
hagyhat\'o el. A 1.9.~T\'etel speci\'alisan azt \'all\'{\i}tja, 
hogy egy $(b_n,0,0)$, $1\le b_1<b_2<\dots$, pontokb\'ol \'all\'o
halmaz rekurrens, ha $b_n\sim cn\log n$, \'es tranziens, ha 
$b_n\sim cn(\log n)^{1+\alpha}$, $c>0$ \'es $\alpha>0$.

A 1.9.~T\'etel bizony\'{\i}t\'asa a Wiener t\'etel 
seg\'{\i}ts\'eg\'evel egyszer\H{u}, ha j\'o becsl\'es\"unk van 
bizonyos $B\subset B_0$ halmazok $C(B)$ kapacit\'as\'ara.
Val\'oj\'aban elegend\H{o} a 1.8.~T\'etel megfogalmaz\'as\'aban
szerepl\H{o} $B_k$ halmazok $C(B_k)$ kapacit\'as\'at 
megbecs\"ulni. A bizony\'{\i}t\'as f\H{o} r\'esze annak 
igazol\'asa, hogy $C(B)\le\text{a $B$ halmaz elemsz\'ama}$,
 m\'{\i}g ha $b_{n+1}-b_n\ge c\log b_n$ minden $n=1,2,\dots$ 
sz\'amra, akkor l\'etezik olyan $M>0$ sz\'am, amelyre
$$
C(B_k)\ge\frac1M\cdot(\text{a $B_k$ halmaz elemsz\'ama})
$$
minden $k=1,2,\dots$ sz\'amra, ahol 
$B_k=\{(b_n,0,0)\colon\; 2^{k-1}\le b_n<2^k\}$ .

A 1.9.~T\'etel egyszer\H{u}en k\"ovetkezik a fenti k\'et
egyenl\H{o}tlens\'egb\H{o}l \'es a $2^{k-1}\le b_l<2^k$, ha
$b_l\in B_k$ rel\'aci\'ob\'ol. Ugyanis, innen k\"ovetkezik, hogy 
egyr\'eszt
$$
\sum_{l\colon\; b_l\in B_k}\frac1{b_l}\ge\sum_{l\colon\;b_l\in B_k}
\frac1{2^k}=\frac1{2^k}\text{(a $B_k$ halmaz elemsz\'ama)}
\ge\frac{C(B_k)}{2^k},
$$
m\'asr\'eszt, ha $b_{n+1}-b_n\ge c\log b_n$ minden $n=1,2,\dots$ 
sz\'amra, akkor
$$
\sum_{l\colon\; b_l\in B_k}\frac1{b_l}\le\sum_{l\colon\;b_l\in B_k}
\frac1{2^{k-1}}=\frac2{2^k}\text{(a $B_k$ halmaz elemsz\'ama)}
\le2M\frac{C(B_k)}{2^k}.
$$

Az els\H{o} egyenl\H{o}tlens\'eg bizony\'{\i}t\'asa egyszer\H{u}, 
mert $\varphi_B(x)\le1$ minden $x\in B$ pontra. Ez\'ert
$$
C(B)=\summ_{x\in B}\varphi_B(x)\le \summ_{x\in B}1=
\text{a $B$ halmaz elemsz\'ama}.
$$
A m\'asik ir\'any\'u egyenl\H{o}tlens\'eg bizony\'{\i}t\'asa 
bonyolultabb. Itt azt l\'atjuk be, hogy ha
$b_{n+1}-b_n\ge c\log b_n$ minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra 
alkalmas $c>0$ konstanssal, akkor l\'etezik olyan $M>0$ sz\'am, 
amelyre igaz minden $k=1,2,\dots$ sz\'amra, hogy ha azt a 
$\varphi_{0,B_k}$ f\"uggv\'enyt defini\'aljuk a $\text{\BBB Z}^3$ 
r\'acson, amelyre $\varphi_{0,B_k}(b_n)=\frac1M$, ha $b_n\in B_k$, 
\'es $\varphi_{0,B_k}(x)=0$ egy\'ebk\'ent akkor egy olyan 
$\varphi_{0,B_k}$ f\"uggv\'enyt kapunk, amelyre teljes\"ul a 
$\varphi_{0,B_k}\in\Cal K_{B_k}$ tulajdons\'ag. Ez ugyanis azt 
jelenti a 1.7.~T\'etel b) r\'esze szerint, hogy
$$
C(B_k)=\summ_{x\in B_k}\varphi_{B_k}(x) 
\ge\summ_{x\in B_k}\varphi_{0,B_k}(x)
=\summ_{x\in B_k}\frac1M=\frac1M\cdot
\text{a $B_k$ halmaz elemsz\'ama}.
$$

A f\H{o} neh\'ezs\'eg annak bizony\'{\i}t\'asa, hogy 
$G\varphi_{0,B_k}(x)=\summ_{y\in B_k}\varphi_{0,B_k}(y)g(x,y)\le1$ 
minden $x\in\text{\BBB Z}^3$ pontban, mert ez kell a 
$\varphi_{0,B_k}\in\Cal K_{B_k}$ rel\'aci\'o 
bizony\'{\i}t\'as\'ahoz. Ez az a pont, ahol a 
$b_{n+1}-b_n\ge c\log b_n$ felt\'etelre 
sz\"uks\'eg\"unk van.

 \bye
