\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\TagsOnRight
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}

\centerline{\bf AZ ERGOD T\'ETEL}

\bigskip\noindent
A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as, az anal\'{\i}zis \'es
a (matematikai) fizika egyik
fontos eredm\'enye az ergod t\'etel. Ezt az eredm\'enyt ismertetem,
illetve megmutatom, hogyan k\"ovetkezik bel\H{o}le a nagy sz\'amok
er\H{o}s t\"orv\'enye. C\'elom a legfontosabb eredm\'enyek \'es
fogalmak ismertet\'ese. B\'ar a bizony\'{\i}t\'asokat is
le\'{\i}rom, ezeket nem fogjuk k\'erdezni a vizsg\'an.

Az ergod t\'etel megfogalmaz\'as\'aban sz\"uks\'eg van a felt\'eteles
v\'arhat\'o \'ert\'ek \'altal\'anos, $\sigma$-algebr\'ak mint
felt\'etelek szerinti definici\'oj\'ara. B\'ar ez a nem trivi\'alis
fogalmat k\'es\H{o}bb fogjuk t\'argyalni, r\"oviden ismertetem ezt a
fogalmat. Ennek keret\'eben felid\'ezem a m\'ert\'ekelm\'eletben
tanult Radon--Nikodym t\'etelt, amelynek ismerete megker\"ulhetetlen
a felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek \'altal\'anos
definici\'oj\'anak meg\'ert\'es\'ehez.

\medskip
Az ergod t\'etel az \'ugynevezett dinamikus rendszerek
viselked\'es\'evel foglalkozik. Ismertetem a dinamikus rendszer
fogalm\'anak a definici\'oj\'at.

\medskip\noindent
{\bf Dinamikus rendszer definici\'oja.} {\it Egy olyan
$(X,\Cal A,\mu,T)$ rendszert nevez\"unk dinamikus rendszernek,
amelyben $(X,\Cal A,\mu)$ m\'ert\'ekter, $T$ pedig m\'ert\'ektart\'o
transzform\'aci\'o ezen a m\'ert\'ekt\'eren. R\'eszletesebben
megfogalmazva ez azt jelenti, hogy adva van egy $X$ alaphalmaz,
annak bizonyos `sz\'ep' halmazainak egy $\Cal A$ rendszere, amely
$\sigma$-algebra, egy $\mu$ m\'ert\'ek  ezen az $\Cal A$
$\sigma$-algebr\'an \'es egy $T\colon\;X\to X$,
m\'erhet\H{o} \'es  a $\mu$ m\'ert\'ekre n\'ezve m\'ert\'ektart\'o
transzform\'aci\'o az $X$ t\'eren. A $T$ transzform\'aci\'o
m\'erhet\H{o}s\'ege azt jelenti, hogy minden $A\in\Cal A$
(m\'erhet\H{o}) halmaz $T^{-1}(A)=\{y\colon\; Ty\in A\}$
\H{o}sk\'ep\'ere $T^{-1}(A)\in\Cal A$. Az, hogy a $T$
transzform\'aci\'o m\'ert\'ektart\'o a $\mu$ m\'ert\'ekre n\'ezve
azt jelenti, hogy $\mu(T^{-1}(A))=\mu(A)$ minden $A\in\Cal A$
halmazra.}

\medskip\noindent
{\it 1. megjegyz\'es.}\/ B\'ar a definici\'oban nem k\"ovetelt\"uk
meg, hogy a $\mu$ m\'ert\'ek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi (azaz
v\'eges, 1-re norm\'alt)  m\'ert\'ek legyen, a tov\'abbiakban m\'egis
csak ilyen dinamikus rendszerekkel fogunk foglalkozni, \'es a $\mu$
m\'ert\'eknek ezt a tulajdons\'ag\'at mindig fel fogjuk tenni.

\medskip\noindent
{\it 2. megjegyz\'es.}\/ Mind a m\'erhet\H{o}s\'eg, mind a
m\'ert\'ektart\'as definici\'oj\'aban a $T$ transzform\'aci\'o
$T^{-1}$ inverze \'es nem maga a $T$ transzform\'aci\'o szerepelt.
Mivel nem tett\"uk fel, hogy a $T$ transzform\'aci\'o
invert\'alhat\'o, azaz lehets\'eges, hogy $T(x)=T(y)$
valamely $x\neq y$ p\'arra, ez\'ert nem mindegy, hogy a $T$
transzform\'aci\'o vagy annak (esetleg t\"obb\'ert\'ek\H{u})
$T^{-1}$ inverze szerepel-e a definici\'oban. Az \'altalunk
bevezetett $T^{-1}$ transzform\'aci\'o seg\'{\i}ts\'eg\'evel
megadott definici\'ok bizonyultak szerencs\'esnek.

\medskip
Legyen adva egy $U(x)$, $x\in X$, val\'os \'ert\'ek\H{u}
(m\'erhet\H{o}) f\"uggv\'eny az $(X,\Cal A,\mu,T)$ dinamikus
rendszerben. Ekkor defini\'alhatjuk az
$U(x)$ f\"uggv\'eny $T^kU(x)=U(T^kx)$ eltoltjait minden
$k=0,1,\dots$ sz\'amra, ahol $T^kx$ azt jelenti, hogy a $T$
transzform\'aci\'ot $k$-szor alkalmazzuk szukcesszive az $x$ pontra.
Speci\'alisan $T^0x=x$ a $k=0$ esetben. Az ergod t\'etel azt mondja
ki, hogy nagyon \'altal\'anos felt\'etelek mellett a
$\frac1n\summ_{k=0}^{n-1}U(T^kx)$  \'atlagoknak a $\mu$ m\'ert\'ek
szerint majdnem minden $x$ pontban l\'etezik hat\'ar\'ert\'eke, ha
$n\to\infty$. Tov\'abb\'a ezt a hat\'ar\'ert\'eket
jellemezni tudjuk. Term\'eszetes lenne azt v\'arni, hogy ez
a limesz az $U(x)$ f\"uggv\'eny $\int_X U(x)\mu(\,dx)$ integr\'alja
azaz az $(X,\Cal A,\mu)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n
defini\'alt $U(x)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'eke. A helyzet azonban enn\'el bonyolultabb.
Csak bizonyos plusz felt\'etelek teljes\"ul\'ese eset\'en
\'erv\'enyes a
$$
\limm_{n\to\infty}\frac1n\summ_{k=0}^{n-1}U(T^kx)
=\int_X U(x)\mu(\,dx) \quad \text{a $\mu$ m\'ert\'ek szerint
1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel} \tag1
$$
azonoss\'ag. \'Altal\'anos esetben is l\'etezik a az (1) kifejez\'es
baloldal\'an szerepl\H{o} kifejez\'esnek limesze a $\mu$ m\'ert\'ek
szerint 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, de az egy bonyolultabb
kifejez\'es. Az (1) formula teljes\"ul\'es\'et a fizikusok \'ugy
szokt\'ak interpret\'alni, hogy az id\H{o}beli \'atlag (limesze)
egyenl\H{o} a t\'erbeli \'atlaggal. Ugyanis az (1) formula
baloldal\'an szerepl\H{o} kifejez\'es a k\"ovetkez\H{o} m\'odon is
megadhat\'o. Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} \'ugynevezett empirikus
$\mu_n$ m\'ert\'eket minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra \'es $x\in X$
pontra. $\mu_n(A|x)=\frac1n\#\{j\colon\;0\le j\le n-1,\, T^jx\in A\}$
minden $A\in\Cal A$ halmazra, ahol $\#(C)$ a $C$ halmaz
sz\'amoss\'ag\'at jel\"oli. Ezzel a jel\"ol\'essel
$\frac1n\summ_{k=0}^{n-1}U(T^kx)=\int_X U(v)\mu_n(\,dv|x)$
\'es az, hogy az (1) formula igaz $U(\cdot)$ f\"uggv\'enyek egy
nagy csal\'adj\'ara (minden a $\mu$ m\'ert\'ek szerint
integr\'alhat\'o f\"uggv\'enyre) \'ugy is interpret\'alhat\'o,
hogy az $U(\cdot)$ f\"uggv\'enyek id\H{o}beli \'atlaga, azaz a
$\mu_n(\cdot|x)$ empirikus m\'ert\'ek szerinti integr\'alja
tart e f\"uggv\'enyek $\int U(x)\mu(\,dx)$ t\'erbeli \'atlag\'ahoz.

Az (1) formul\'aban megfogalmazott ($\mu$ m\'ert\'ek szerinti)
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi konvergenci\'at kifejez\H{o}
azonoss\'agot, illetve annak \'altal\'anosabb alakj\'at, amely
megadja az (1) formula hat\'ar\'ert\'ek\'et az \'altal\'anos esetben
nevezik ergod t\'etelnek. Ennek pontos
megfogalmaz\'as\'ahoz be kell vezetni a felt\'eteles v\'arhat\'o
\'ert\'ek \'altal\'anos definici\'oj\'at. A nagy sz\'amok
t\"orv\'enye k\"ovetkezik az ergod t\'etelb\H{o}l,
de ez k\"ul\"on indokl\'ast ig\'enyel.

\medskip
A pontos eredm\'eny megfogalmaz\'as\'ahoz el\H{o}sz\"or be kell
vezetni az invari\'ans halmazok fogalm\'at, \'es be kell
bizony\'{\i}tani azok egy egyszer\H{u} tulajdons\'ag\'at.

\medskip\noindent
{\bf Dinamikus rendszer invari\'ans halmazainak a definici\'oja.}
{\it Egy $(X,\Cal A,\mu,T)$ dinamikus rendszer valamely
Egy $A\in\Cal A$ halmaz\'at e rendszer invari\'ans halmaz\'anak
nevez\"unk, ha $T^{-1}(A)=A$.}

\medskip
Igaz a k\"ovetkez\H{o} (egyszer\H{u}) lemma.

\medskip\noindent
{\bf Lemma az invari\'ans halmazok viselked\'es\'er\H{o}l.}
{\it Egy dinamikus rendszer invari\'ans halmazai $\sigma$-algebr\'at
alkotnak, azaz, ha $A$ invari\'ans halmaz akkor annak komplementere,
$X\setminus A$ is az, \'es ha $A_1,A_2,\dots$ invari\'ans halmazok,
akkor a $\bigcupp_{n=1}^\infty A_n$ \'es
$\bigcapp_{n=1}^\infty A_n$ halmazok is invari\'ansak.}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.}\/ Az \'all\'{\i}t\'as egyszer\H{u}
k\"ovetkezm\'enye a $T^{-1}$ inverz transzform\'aci\'o
tulajdons\'againak.

\medskip
Jel\"olje $\Cal I\subset\Cal A$ az invari\'ans halmazok
$\sigma$-algebr\'aj\'at, \'es vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o}
definici\'ot.

\medskip\noindent
{\bf Ergodikus dinamikus rendszerek definici\'oja.} {\it Egy
$(X,\Cal A,\mu,T)$ dinamikus rend\-szert ergodikusnak nevez\"unk, ha
e rendszer invari\'ans halmazainak $\Cal I$ $\sigma$-algebr\'aja
trivi\'alis a k\"ovetkez\H{o} \'ertelemben. Minden $A\in\Cal I$
halmazra $\mu(A)=0$ vagy $\mu(A)=1$.}

\medskip
Vegy\"uk \'eszre, hogy amennyiben $x\in A$ egy $A\in\Cal I$
invari\'ans halmazra, akkor a
$\frac1n\summ_{k=0}^{n-1}U(T^kx)$  \'atlagokban szerepl\H{o}
$T^kx$ pontok mindegyike az $A$ halmazban van. Val\'oban, ha $A$
a $T$ transzform\'aci\'o invarians halmaza, akkor $A$ a $T^k$,
$k=1,2,\dots$, transzform\'aci\'oknak is invari\'ans halmaza, \'es
ugyanez \'erv\'enyes az $A$ halmaz $X\setminus A$ komplementer\'ere
is. Ha a $T^kx\notin A$, azaz $T^kx\in X\setminus A$ rel\'aci\'o
lenne \'erv\'enyes valamely $k\ge0$ sz\'amra, akkor abb\'ol az
k\"ovetkezne, hogy $x\in X\setminus A$, ami ellentmond az $x\in A$
felt\'etelnek. Ez a t\'eny azt jelzi, hogy az (1) formul\'aban
megfogalmazott azonoss\'ag nem lehet \'erv\'enyes az \'altal\'anos
esetben. Ugyanis term\'eszetesebb lenne a jobboldalon az
$\int_X U(x)\mu(\,dx)$ kifejez\'es helyett  az
$\frac1{\mu(A)}\int_X U(x)\mu(\,dx)$ kifejez\'est, azaz az $U$ 
f\"uggv\'enynek az $A$ halmazbeli \'atlag\'at venni, ha egy
olyan $x\in X$ pontot tekint\"unk a baloldalon, amely\-re $x\in A$
valamely  $A\in\Cal I$ invari\'ans halmazzal. S\H{o}t, mivel
\'altal\'aban nincs egy legkisebb az $x$ pontot tartalmaz\'o
invari\'ans $A$ halmaz, a k\'eplet m\'eg bonyolultabb. A
pontos eredm\'enyt a az invari\'ans halmazok \'altal gener\'alt
$\Cal I$ $\sigma$-algebra szerinti felt\'eteles v\'arhat\'o
\'ert\'ek seg\'{\i}ts\'eg\'evel lehet megfogalmazni. Ez az
eredm\'eny speci\'alisan azt adja, hogy az (1) formula
\'erv\'enyes akkor, ha az $(X,\Cal A,\mu,T)$ dinamikus rendszer
ergodikus, \'es az $U(x)$ f\"uggv\'eny integr\'alhat\'o a $\mu$
m\'ert\'ek szerint.

Egy valamely $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n defini\'alt $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'al\-to\-z\'o v\'ar\-ha\-t\'o \'ert\'eke szeml\'eletesen azt
fejezi ki, hogy mit v\'arunk, mekkora lesz e v\'altoz\'o
\'er\-t\'e\-ke. Ez a megit\'el\'es\"unk v\'altozhat akkor, ha
tov\'abbi
inform\'aci\'okkal rendelkez\"unk, bizonyos esem\'enyekr\H{o}l
tudjuk, hogy bek\"ovetkeztek-e vagy sem. Vegy\"uk az \"osszes
olyan esem\'enyt, amelynek be vagy be nem k\"ovetkez\'es\'et meg
tudjuk \'allap\'{\i}tani. A felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek
\'altal\'anos definici\'oj\'aban azt akarjuk kifejezni, hogy ezen
rendelkez\'es\"unkre \'all\'o plusz ismeretek alapj\'an hogyan
\'ert\'ekeln\'enk a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o nagys\'ag\'at. Vagy\"uk \'eszre, hogy az \'altalunk
megfigyelhet\H{o} esem\'enyek egy\"uttese (azon esem\'enyek,
amelyekr\H{o}l tudjuk, hogy bek\"ovetkeztek-e vagy nem)
$\sigma$-algebr\'at alkotnak. Val\'oban, ha egy esem\'eny
bek\"ovetkezt\'et meg tudjuk \'allap\'{\i}tani, akkor meg tudjuk
\'allap\'{\i}tani ezen esem\'eny komplementer\'enek a
bek\"ovetkezt\'et vagy be nem k\"ovetkezt\'et is, ha
meg\-sz\'am\-l\'al\-ha\-t\'o sok esem\'eny mindegyik\'er\H{o}l
k\"ul\"on k\"ul\"on el tudjuk d\"onteni, hogy bek\"ovetkezett-e,
akkor el tudjuk d\"onteni, hogy bek\"ovetkezett-e ezen esem\'enyek
mindegyike, vagy igaz-e az, hogy ezen esem\'enyek k\"oz\"ul
legal\'abb egy bek\"ovetkezett. Ezen t\'enyek jelentik azt, hogy
a megfigyelhet\H{o} esem\'enyek $\sigma$-algebr\'at alkotnak.

Ez\'ert az \'altal\'anos esetben egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n defini\'alt $\xi$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'onak egy
$\Cal F\subset\Cal A$
$\sigma$-algebra szerinti $E(\xi|\Cal F)$ felt\'eteles v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et defini\'aljuk, ahol $\Cal F$ szeml\'eletes tartalma
az \'altalunk \"osszegy\"ujt\"ott inform\'aci\'o. Azt, hogy a
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek ezen inform\'aci\'okt\'ol f\"ugg
a felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'eknek az a tulajdons\'aga
fejezi ki, hogy az $E(\xi|\Cal F)$ felt\'eteles v\'arhat\'o
\'ert\'ek egy $\Cal F$ m\'erhet\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o.

Az $E(\xi|\Cal F)$ felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek
definici\'oj\'anak megad\'as\'ahoz fel kell id\'ezn\"unk a
m\'ert\'ekelm\'elet egyik fontos \'es m\'ely eredm\'eny\'et,
a Radon--Nikodym t\'etelt. El\H{o}sz\"or \'erts\"uk meg azt a
k\'erd\'est, amelyre a Radon--Nikodym t\'etel adja meg a v\'alaszt.

\medskip\noindent
{\bf K\'erd\'es.} {\it Legyen adva egy $\mu$ ($\sigma$-v\'eges)
m\'ert\'ek egy $(\Omega,\Cal F)$ m\'erhet\H{o} t\'eren \'es egy
az $(\Omega,\Cal F)$ t\'eren defini\'alt $\Cal F$ m\'erhet\H{o}
$g(\cdot)$ f\"uggv\'eny, amelyre $\int |g(\oo)|\,\mu(\,d\oo)<\infty$.
Ekkor a $\nu(A)=\int_A g(\oo)\mu(\,d\oo)$ halmazf\"uggv\'eny,
$A\in\Cal F$, el\H{o}jeles m\'ert\'ek az $(\Omega,\Cal F)$ t\'eren.
(Azaz, $\nu$ $\sigma$-addit\'{\i}v halmazf\"uggv\'eny. L\'assuk be,
hogy ez k\"ovetkezik a Lebesgue t\'etelb\H{o}l.) K\'erd\'es:
Mely $\nu$ el\H{o}jeles m\'ert\'ekek \'all\'{\i}that\'oak el\H{o}
ilyen m\'odon, azaz az $(\Omega,\Cal F)$ t\'eren lev\H{o} $\nu$
m\'ert\'ekek k\"oz\"ul melyekhez l\'etezik olyan $g(\oo)$ $\Cal F$
m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny, amelyre $\nu(A)=\int_A g(\oo)\nu(\,d\oo)$
minden $A\in\Cal F$ halmazra?  Ha l\'etezik ilyen $g(\oo)$
f\"uggv\'eny, akkor az meg van-e ha\-t\'a\-roz\-va
egy\'ertelm\H{u}en?}

\medskip
Vil\'agos, hogy egy a fenti integr\'alel\H{o}\'all\'{\i}t\'as
seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'alhat\'o $\nu$ el\H{o}jeles m\'ert\'ek
v\'eges, azaz $|\nu(A)|\le K$ minden $A\in\Cal F$ halmazra egy
alkalmas $K<\infty$ sz\'ammal. (A $K=\int |g(\oo)|\mu(\,d\oo)$ egy
alkalmas v\'alaszt\'as.) Ezenk\'{\i}v\"ul, ha $\mu(A)=0$ valamely
$A\in\Cal F$ halmazra, akkor $\nu(A)=\int_A g(\oo)\mu(\,d\oo)=0$.
Ez az \'eszrev\'etel tette term\'eszetess\'e a k\"ovetkez\H{o}
definici\'o bevezet\'es\'et.

\medskip\noindent
{\bf Egy el\H{o}jeles m\'ert\'ek egy m\'ert\'ek szerinti
abszolut folytonoss\'ag\'anak a de\-fi\-ni\-ci\'o\-ja.} {\it Legyen
$\mu$ (esetleg $\sigma$)-v\'eges ($\sigma$-addit\'{\i}v) m\'ert\'ek
\'es $\nu$ v\'eges ($\sigma$-addit\'{\i}v) el\H{o}jeles m\'ert\'ek
egy $\Omega$ t\'eren \'ertelmezett $\Cal F$ $\sigma$-algebr\'an. Azt
mondjuk, hogy a $\nu$ el\H{o}jeles m\'ert\'ek abszolut foly\-to\-nos
a $\mu$ m\'ert\'ek szerint, ha minden olyan $B\in\Cal F$ halmazra,
amelyre $\mu(B)=0$ a $\nu(B)=0$ rel\'aci\'o is teljes\"ul.}

\medskip
A Radon--Nikodym t\'etel azt mondja ki, hogy a $\nu$
el\H{o}jeles m\'ert\'ek fent megfogalmazott abszolut
folytonoss\'aga (\'es v\'egess\'ege) nemcsak sz\"uks\'eges,
hanem el\'egs\'eges felt\'etele is $\nu$ k\'{\i}v\'ant alak\'u
el\H{o}\'all\'{\i}t\'as\'anak. Tov\'abb\'a ez az
el\H{o}\'all\'{\i}t\'as l\'enyeg\'eben egy\'ertelm\H{u}. Ez az
egy\'ertelm\H{u}s\'eg a k\"ovetkez\H{o}t jelenti. Vil\'agos, hogy
ha a $g(\oo)$ f\"uggv\'enyt megv\'altoztatjuk egy a $\mu$
m\'ert\'ek szerint null m\'ert\'ek\H{u} halmazon, akkor a
$\nu(A)=\int_A g(\oo)\mu(\,d\oo)$ integr\'alok \'ert\'ekei nem
v\'altoznak. Teh\'at ennyi szabads\'agunk van a $g(\cdot)$
f\"uggv\'eny meg\-v\'a\-lasz\-t\'a\-s\'a\-ban. A Radon--Nikodym
t\'etel azt is kimondja, hogy t\"obb szabads\'agunk m\'ar nincs.
V\'eg\"ul szeretn\'em hangs\'ulyozni, hogy a Radon--Nikodym t\'etelben
megjelen\H{o} $g(\cdot)$ f\"uggv\'eny {\it $\Cal F$ m\'erhet\H{o}.}
Ezt az\'ert fontos \'erteni, mert sok esetben olyan
$(\Omega,\Cal F)$ t\'erben al\-kal\-maz\-zuk a Radon--Nikodym
t\'etelt, ahol term\'eszetes m\'odon megjelenik az $\Cal F$
$\sigma$ algebra mellett egy szint\'en az $X$ t\'eren
defini\'alt b\H{o}vebb $\Cal A$ $\sigma$-algebra is,
amelyre $\Cal F\subset \Cal A$. Fontos \'erteni, hogy olyan
$g(\cdot)$ f\"uggv\'enyeket tekint\"unk ilyen esetekben is,
amelyek a (sz\H{u}kebb) $\Cal F$ $\sigma$-algebra szerint is
m\'erhet\H{o}ek.

\medskip\noindent
{\bf Radon--Nikodym t\'etel.} {\it Legyen adva egy $\Omega$ t\'er,
rajta egy $\Cal F$ $\sigma$-algebra, tov\'abb\'a ezen az $\Cal F$
$\sigma$-algebr\'an egy $\mu$ ($\sigma$-v\'eges) m\'ert\'ek \'es
$\nu$ (v\'eges) el\H{o}jeles m\'ert\'ek. (Az, hogy egy $\nu$
el\H{o}jeles m\'ert\'ek v\'eges azt jelenti, hogy
$|\nu(A)|<\infty$ minden $A\in\Cal F$
halmazra.) Tegy\"uk fel, hogy a $\nu$ el\H{o}jeles m\'ert\'ek
abszolut folytonos a $\mu$ m\'ert\'ekre n\'ezve. Akkor l\'etezik
olyan az $\Omega$ t\'eren defini\'alt val\'os \'ert\'ek\H{u}
$f(\oo)$ f\"uggv\'eny, amelyre $\int|f(\oo)|\,d\mu(\oo)<\infty$,
\'es teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o} k\'et tulajdons\'agot.

\medskip
\item{a)} $f(\oo)$ $\Cal F$ m\'erhet\H{o}.
\item{b)} $\nu(C)=\int_C f(\oo)\,d\mu(\oo)$ minden
$C\in\Cal F$ halmazra.

\medskip
Tov\'abb\'a ez az $f(\oo)$ f\"uggv\'eny egy\'ertelm\H{u}en meg van
hat\'arozva a k\"ovetkez\H{o} \'er\-te\-lem\-ben. Ha k\'et $f_1(\oo)$
\'es $f_2(\oo)$ $\Cal F$ m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti
a fenti rel\'aci\'ot minden $C\in\Cal F$ halmazra, akkor
$f_1(\oo)=f_2(\oo)$ a $\mu$ m\'ert\'ek szerint majdnem minden
$\oo\in\Omega$ pontban.}

\medskip
A t\'etelben kimondott tulajdons\'ag\'u $f(\oo)$ f\"uggv\'enyt a
$\nu$ el\H{o}jeles m\'ert\'ek $\mu$ m\'ert\'ek szerinti
Radon--Nikodym deriv\'altj\'anak nevezik az irodalomban, \'es
$\frac{d\nu}{d\mu}(\oo)$-val jel\"olik.

\medskip
A Radon--Nikodym t\'etel felhaszn\'al\'as\'aval tudjuk egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\Cal F$ $\sigma$-algebra
szerinti $E(\xi|\Cal F)$ felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et
defini\'alni az \'altal\'anos esetben. Ezt a felt\'eteles
v\'arhat\'o \'ert\'eket csak akkor defini\'aljuk, ha $E|\xi|<\infty$.

\medskip\noindent
{\bf Egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o valamely
$\sigma$-algebra szerinti felt\'eteles v\'arhat\'o
\'er\-t\'e\-k\'e\-nek a definici\'oja.} {\it Legyen adva egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}, azon egy
$\xi$, $E|\xi|<\infty$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \'es
egy $\Cal F\subset\Cal A$ $\sigma$-algebra. Az $\eta=E(\xi|\Cal F)$
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek az az $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelyre

\medskip
\item{a)} $\eta$ $\Cal F$ m\'erhet\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o.
\item{b)} $\int_B\eta(\oo)P(\,d\oo)=\int_B\xi(\oo)P(\,d\oo)$
minden $B\in\Cal F$ halmazra.}

\medskip
A k\"ovetkez\H{o} eredm\'eny azt mondja ki, hogy a fenti definici\'o
\'ertelmes.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel a felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'eket defini\'al\'o
definici\'o jogoss\'ag\'ar\'ol.} {\it L\'etezik a felt\'eteles
v\'arhat\'o \'ert\'ek definici\'oj\'aban megfogalmazott a) \'es b)
tulajdons\'agot teljes\'{\i}t\H{o} $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, \'es az egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
meghat\'arozott. Azaz, ha $\eta$ \'es $\bar\eta$ k\'et olyan
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelyek mindegyike
teljes\'{\i}ti mind az a) mind a b) tulajdons\'agot, akkor
$P(\eta=\bar\eta)=1$.}

\medskip\noindent
{\it A t\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Defini\'aljuk a
$\nu(B)=\int_B \xi(\oo)P(\,d\oo)$, $B\in\Cal F$,
halmazf\"uggv\'enyt az $\Cal F$ $\sigma$-algebr\'an. Ekkor $\nu$
egy v\'eges \'es a $P$ m\'ert\'ekre abszolut folytonos
el\H{o}jeles m\'ert\'ek a $\Cal F$ $\sigma$-algebr\'an. Ez\'ert
l\'etezik az $\eta(\oo)=\frac{d\nu}{dP}(\oo)$ Radon--Nikodym
deriv\'alt a $\Cal F$ $\sigma$-algebr\'an, amely teljes\'{\i}ti
mind az a) mind a b) tulajdons\'agot. Ha $\eta$ \'es
$\bar\eta$ teljes\'{\i}ti mind az a) mind a b) tulajdons\'agot,
akkor $\eta-\bar\eta$ $\Cal F$ m\'erhet\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, \'es
$\int_{B}(\eta-\bar\eta)\,dP=0$ minden $B\in\Cal F$ halmazra,
speci\'alisan a
$B_1=\{\oo\colon\;\eta(\oo)-\bar\eta(\oo)>0\}$
$B_2=\{\oo\colon\;\eta(\oo)-\bar\eta(\oo)<0\}$ halmazokra is. Innen
$P(B_1)=P(B_2)=0$, azaz $P(\eta\neq\bar\eta)=0$. Innen k\"ovetkezik
a t\'etel \'all\'{\i}t\'asa.

\medskip\noindent
{\bf Megjegyz\'es.} {\it Legyen $(X,\Cal A,\mu,T)$ egy ergodikus
dinamikus rendszer, $U(\cdot)$ egy $\Cal A$ m\'er\-he\-t\H{o}
f\"uggv\'eny, amelyre $\int_X U(v)\mu(\,dv)<\infty$. Ekkor
$E(U(x)|\Cal I)=EU$, ahol az $U(\cdot)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o v\'arhat\'o
\'es felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et
az $(X,\Cal A,\mu)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n
tekintj\"uk, \'es $\Cal I$ az invari\'ans halmazokb\'ol \'all\'o
$\sigma$-algebra.}

\medskip
Megfogalmazom az ergod t\'etelt.

\medskip\noindent
{\bf Ergod t\'etel.} {\it Legyen $(X,\Cal A,\mu,T)$ egy dinamikus
rendszer, $U(x)$ egy $\Cal A$ m\'erhet\H{o} val\'os \'ert\'ek\H{u}
f\"uggv\'eny, amelyre $\int_X |U(x)|\mu(\,dx)<\infty$. Ekkor
$$
\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{j=0}^{n-1}U(T^jx)=E(U|\Cal I)(x) \quad
\text{a $\mu$ m\'ert\'ek szerint majdnem minden $x\in X$ pontra,}
$$
ahol $\Cal I$ az invari\'ans halmazok $\sigma$-algebr\'aja. Ha az
$(X,\Cal A,\mu,T)$ dinamikus rendszer ergodikus, akkor
$E(U|\Cal I)(x)=EU=\int U(x)\mu(\,dx)$.}

Meg akarom mutatni, hogy a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'enye
k\"ovetkezik az ergod t\'etelb\H{o}l. F\"uggetlen, egyforma 
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
$\xi_1,\xi_2,\dots$ sorozat\'anak viselked\'ese mutat n\'emi 
hasonl\'os\'agot a
dinamikus rendszerekhez. Ha a $\xi_1,\xi_2,\dots$ sorozatnak
megfeleltetj\"uk a $\xi_2,\xi_3,\dots$ sorozatot akkor
az hasonl\'{\i}t a m\'ert\'ektart\'o shift transzform\'aci\'ohoz.
De ahhoz, hogy az ergod t\'etelt alkalmazni tudjuk egy olyan
rendszerrel kell dolgozni, ahol val\'odi (m\'ert\'ektart\'o)
shift transzform\'aci\'o van. A nagy sz\'amok er\H{o}s
t\"orv\'eny\'et vissza lehet vezetni egy ilyen rendszer
vizsg\'alat\'ara. \'Erdemes ezt a visszavezet\'est egy
\'altal\'anosabb modellben is megcsin\'alni. Bevezetem a
k\"ovetkez\H{o} fogalmat.

\medskip\noindent
{\bf Stacion\'arius sorozatok definici\'oja.}\/ {\it Legyen adva
$\xi_0,\xi_1,\xi_2,\dots$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
egy sorozata egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n. Azt mondjuk, hogy ez a sorozat stacion\'arius, ha
minden $0\le n_1<n_2<\dots<n_k$ \'es $m\ge 1$ sz\'amokra a
$(\xi_{n_1},\xi_{n_2},\dots,\xi_{n_k})$ \'es
$(\xi_{n_1+m},\xi_{n_2},\dots,\xi_{n_k+m})$ v\'eletlen vektorok
eloszl\'asa megegyezik.}

\medskip
Vegy\"uk \'eszre, hogy f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
$\xi_0,\xi_1,\dots$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
sorozata stacion\'arius.

\medskip
{\it Feladat.}
\medskip

\item{} Legyen $\xi_0,\xi_1,\dots$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok egy Gauss sorozata, azaz negy olyan so\-ro\-zat,
amelyre $(\xi_{n_1},\dots,\xi_{n_k})$ (t\"obbv\'altoz\'os)
norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor minden
$\{n_1,\dots,n_k\}\subset\{0,1,2,\dots\}$ indexhalmazra. Ha
$E\xi_n=M$ valamely $M$ sz\'ammal, \'es $E\xi_i\xi_j=a(i-j)$,
azaz $E\xi_i\xi_j$ csak az $i-j$ k\"ul\"onbs\'egt\H{o}l f\"ugg,
akkor a $\xi_0,\xi_1,\dots$ sorozat stacion\'arius.

\medskip
Legyen $(X,\Cal A,\mu,T)$ egy dinamikus rendszer, $U(x)$ egy
m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny ezen a t\'eren. Defini\'aljuk a
$\xi_k(x)=U(T^kx)$, $k=0,1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sorozat\'at az $(X,\Cal A,\mu)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Ekkor a $\xi_0,\xi_1,\dots$
sorozat stacion\'arius. Megford\'{\i}tva, adva egy stacion\'arius
sorozat tudunk konstru\'alni egy dinamikus rendszert, \'es abban
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot \'es annak eltoltjait
\'ugy, hogy ezek hasonl\'{\i}tanak az eredeti stacion\'arius
sorozathoz. Ilyen m\'odon az ergod t\'etelb\H{o}l \'erdekes
eredm\'enyeket kaphatunk az eredeti stacion\'arius sorozatra.

Vezess\"uk be az $(R^{\infty},\Cal B^{\infty})$ m\'erhet\H{o} teret,
ahol az $R^\infty$ halmaz pontjai az $x=(x_0,x_1,\dots)$ val\'os
sz\'amokb\'ol \'all\'o v\'egtelen sorozatok, \'es $\Cal B^{\infty}$
a Borel $\sigma$-algebra az $R^\infty$ t\'eren, azaz az
$\{x_0<a_0,x_1<a_1,\dots,x_k<a_k\}$ alak\'u halmazok \'altal
gener\'alt legsz\H{u}kebb $\sigma$-algebra. Vezess\"uk be a
k\"ovetkez\H{o} $T$ transzform\'aci\'ot az $R^\infty$
t\'eren. $T(x_0,x_1,x_2,\dots)=(x_1,x_2,\dots)$. Adva egy
$\xi_0(\oo),\xi_1(\oo),\dots$ stacion\'arius sorozat egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n
defini\'aljuk a k\"ovetkez\H{o} $Z\colon\;\Omega\to R^\infty$
lek\'epez\'est. $Z(\oo)=(\xi_0(\oo),\xi_1(\oo),\dots,)$. Ekkor $Z$
m\'erhet\H{o} lek\'epez\'es az $(\Omega,\Cal A)$ t\'erb\H{o}l az
$(R^\infty,\Cal B^{\infty})$ m\'erhet\H{o} t\'erbe. Ez
term\'eszetes m\'odon induk\'alja a k\"ovetkez\H{o} a
k\"ovetkez\H{o} $\mu$ m\'ert\'eket az $(R^\infty,\Cal B^\infty)$
t\'eren. $\mu(A)=P(\{\oo\colon Z(\oo)\in A\})$ minden
$A\in\Cal B^\infty$ halmazra. Szavakban elmondva ez azt jelenti,
hogy az $A$ halmaz $\mu$ m\'ert\'eke az $A$ halmaz
\H{o}sk\'ep\'enek a $P$ m\'ert\'eke a $Z$ transzform\'aci\'ora
n\'ezve. Ez egy term\'eszetes konstrukci\'o a
m\'ert\'ekelm\'eletben, \'es e konstrukci\'oban a $Z$
transzform\'aci\'o egy m\'ert\'ektart\'o lek\'epez\'es az
$(\Omega,\Cal A,P)$ t\'erb\H{o}l az
$(R^\infty,\Cal B^\infty,\mu)$ t\'erbe.

Ezzel a konstrukci\'oval a $(R^\infty,\Cal B^\infty,\mu,T)$
rendszer dinamikus rendszer. Az a tulajdons\'ag ugyanis, hogy a
$\xi_1(\oo),\xi_2(\oo),\dots$ sorozat stacion\'arius abban
t\"ukr\"oz\H{o}dik a k\'ept\'erben, hogy a $T$ transzform\'aci\'o
m\'ert\'ektart\'o. (A $\mu(T^{-1}(A))=\mu(A)$ azonoss\'ag k\"onnyen
ellen\H{o}rizhet\H{o} az
$A=\{(x_0,x_1,\dots)\colon\; x_0\in B_0,x_1\in B_1,\dots,x_k\in B_k\}$
alak\'u halmazokra, ahol $B_0,\dots,B_k$ Borel m\'erhet\H{o}
halmazok a sz\'amegyenesen, \'es \'altal\'anos itt nem ismertetett
m\'ert\'ekelm\'eleti eredm\'enyekb\H{o}l innen k\"ovetkezik, hogy
$T$ m\'ert\'ektart\'o. Vezess\"uk be a $\bar\xi_k(x)=x_k$,
$k=0,1,2,\dots$, ha $x=(x_0,x_1,\dots)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat az $(R^\infty,\Cal B^\infty,\mu)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Ekkor az
$(R^\infty,\Cal B^\infty,\mu,T)$ dinamikus rendszerben defini\'altuk
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy olyan
$\bar\xi_0,\bar\xi_1,\dots$ sorozat\'at, amelynek ugyanolyan az
eloszl\'asa, mint a kiindul\'o $\xi_0,\xi_1,\dots$ stacion\'arius
sorozatnak. Ez lehet\H{o}v\'e teszi, hogy stacion\'arius sorozatok
vizsg\'alat\'at visszavezess\"uk dinamikus rendszerek vizsg\'alat\'ara.

Tekints\"uk p\'eld\'aul f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
$\xi_0,\xi_1,\dots$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
sorozat\'at. Defini\'aljuk a k\"ovetkez\H{o} $(X,\Cal A,\mu,T)$
dinamikus rendszert. Legen $X=R^\infty$, $\Cal A=\Cal B^\infty$,
\'es defini\'aljuk a $\mu$ m\'ert\'eket a k\"ovetkez\H{o} m\'odon.
Legyen $\mu\{(x_0,x_1,\dots,)\colon\;x_0<a_0,x_1<a_1,\dots,x_k<a_k\}
=P(\xi_0<a_0)P(\xi_1<a_1)\cdots P(\xi_k<a_k)$ minden $k$ eg\'esz
\'es $a_1,\dots,a_k$ val\'os sz\'amokra. Legyen a $\mu$ m\'ert\'ek
ennek egy\'ertelm\H{u} kiterjeszt\'ese az $(R^\infty,\Cal B^\infty)$
t\'erre. Defini\'aljuk a $T$ shift transzform\'aci\'ot \'ugy, mint
kor\'abban, teh\'at legyen $T((x_0,x_1,\dots))=(x_1,x_2,\dots)$.
V\'eg\"ul legyen $\bar\xi_k(x)=x_k$, $k=0,1,2,\dots,$ ha
$x=(x_0,x_1,\dots)$. Ekkor $(R^\infty,\Cal B^\infty,\mu,T)$ egy
dinamikus rendszer, teh\'at alkalmazhat\'o r\'a az ergod t\'etel.
Tov\'abb\'a a $\xi_0,\xi_1,\dots$, \'es $\bar\xi_0,\bar\xi_1,\dots)$
sorozatoknak ugyanaz az eloszl\'asa, ez\'ert egyszerre
teljes\'{\i}tik vagy nem teljes\'{\i}tik a nagy sz\'amok er\H{o}s
t\"orv\'eny\'et. Ahhoz teh\'at, hogy bel\'assuk, hogy a nagy
sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'enye teljes\"ul a $\xi_0,\xi_1,\dots$
sorozatra, ha $E|\xi_0|<\infty$, el\'eg bel\'atni, hogy
$\limm_{n\to\infty}\frac1n\summ_{k=0}^{n-1}\bar\xi_k=\mu(\bar\xi_0)$
$\bar\xi_0,\bar\xi_1,\dots$ sorozatra, ha $E|\xi_0|<\infty$.
Ahhoz, hogy ezt levezess\"uk az ergod t\'etelb\H{o}l \'ugy, hogy azt
az el\H{o}bb konstru\'alt $(R^\infty,\Cal B^\infty,\mu,T)$ dinamikus
rendszerre alkalmazzuk az $U(x_0,x_1,\dots)=x_0$ f\"uggv\'ennyel
el\'eg azt megmutatni, hogy ez a dinamikus rendszer ergodikus.
Ez k\"ovetkezik az al\'abb megfogalmazott lemm\'ab\'ol, illetve a
kor\'abban t\'argyalt Kolmogorov-f\'ele nulla egy
t\"orv\'enyb\H{o}l.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel az invari\'ans halmazok egy tulajdons\'ag\'ar\'ol.} {\it
Tekints\"unk egy $(R^\infty,\Cal B^\infty,\mu,T)$ dinamikus rendszert,
a kor\'abban defini\'alt $R^\infty$ t\'errel, $\Cal B^\infty$
$\sigma$-algebr\'aval \'es $T(x_0,x_1,\dots)$ shift
transzform\'aci\'oval. Vezess\"uk be a $\bar\xi_k(x)=x_k$,
$k=0,1,2,\dots$, ha $x=(x_0,x_1,\dots)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat \'es
$\Cal F_n=\sigma(\bar\xi_n,\bar\xi_{n+1},\dots)$ valamint
$\Cal F_\infty=\bigcapp_{n=1}^\infty\Cal F_n$ $\sigma$-algebr\'akat.
Ha $A$ invari\'ans halmaz, azaz $T^{-1}(A)=A$, akkor $A\in\Cal F$.}

\medskip\noindent
{\bf K\"ovetkezm\'eny.} {\it Ha a t\'etelben bevezetett $\bar\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek, akkor a
tekintett dinamikus rendszer ergodikus. Ugyanis minden $A\in\Cal I$
halmazra $A\in\Cal F_\infty$, ez\'ert $\mu(A)=0$ vagy $\mu(A)=1$ a
Kolmogorov-f\'ele nulla egy t\"orv\'eny alapj\'an.}

\medskip\noindent
A k\"ovetkezm\'eny alapj\'an a nagy sz\'amok t\"orv\'enye
k\"ovetkezik az ergod t\'etelb\H{o}l, mert olyan dinamikus
rendszert tekintett\"unk a bizony\'{\i}t\'asban, amely ergodikus.

\medskip\noindent
{\it A t\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Legyen egy $A\in \Cal A$
halmaz indik\'ator f\"uggv\'enye az $I_A(x_0,x_1,\dots)$
f\"uggv\'eny. Ekkor a $T^{-n}(A)$ halmaz indik\'ator f\"uggv\'enye
az $I_A(x_n,x_{n+1},\dots)$ f\"uggv\'eny. Ha $A$ invari\'ans halmaz
akkor $A=T^{-n}(A)$ minden pozit{\i}v eg\'esz $n$ sz\'amra, \'es
indik\'ator f\"uggv\'enye csak az $x_n,x_{n+1},\dots$
koordin\'at\'akt\'ol f\"ugg. Innen k\"ovetkezik, hogy $A\in\Cal F_n$.
Mivel ez minden $n$ sz\'amra igaz, $A\in\Cal F_\infty$.

\beginsection Kieg\'esz\'{\i}t\'es: Az ergod t\'etel
bizony\'{\i}t\'asa.

A nagy sz\'amok t\"orv\'eny\'enek egy bizony\'{\i}t\'asa a
Kolmogorov egyenl\H{o}tlens\'egen alapult, ami egy maximum tipus\'u
egyenl\H{o}tlens\'eg.
Az ergod t\'etel egy m\'asik maximum ergod t\'etelnek nevezett
maximum tipus\'u egyenl\H{o}tlens\'egen alapul. Ismertetem ezt a
kiss\'e szokatlan eredm\'enyt, illetve annak legegyszer\H{u}bb
ismert, Adriano Garciat\'ol sz\'armaz\'o bizony\'{\i}t\'as\'at.

\medskip\noindent
{\bf Maximum ergod t\'etel.} {\it Legyen $(X,\Cal A,\mu,T)$ egy
dinamikus rendszer, $U(x)$ az $X$ t\'eren defini\'alt m\'erhet\H{o}
f\"uggv\'eny, amelyre $\int |U(x)|\mu(\,dx)<\infty$. Vezess\"uk be
az $S_k(x)=U(x)+U(Tx)+\cdots+U(T^{k-1}x)$, $k=1,2,\dots$,
\'es $M_n(x)=\max\{0,S_1(x),\dots,S_n(x)\}$ mennyis\'egeket. Ekkor
$$
\int_{M_n(x)>0}U(x)\mu(\,dx)\ge0.
$$
}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.}\/ Mivel $M_n(x)\ge S_k(x)$ minden $1\le k\le n$
indexre
$$
U(x)+M_n(Tx)\ge U(x)+S_k(Tx)=S_{k+1}(x) \quad\text{minden $1\le k\le n$
sz\'amra,}
$$
ez\'ert
$$
U(x)\ge S_k(x)-M_n(Tx),\quad 2\le k\le n.
$$
Tov\'abb\'a
$$
U(x)\ge S_1(x)-M_n(Tx),
$$
mert $S_1(x)=U(x)$, \'es $M_n(Tx)\ge0$. Ezen egyenl\H{o}tlens\'egek
alapj\'an 
$$
U(x)\ge \max(S_1(x),\dots,S_n(x))-M_n(Tx),
$$ 
\'es mivel
$M_n(x)=\max(S_1(x),\dots,S_n(x))$ az $\{x\colon\;M_n(x)>0\}$ halmazon
$$
\int_{M_n(x)>0}U(x)\mu(\,dx)\ge \int_{M_n(x)>0}[M_n(x)-M_n(Tx)]\mu(\,dx).
\tag2
$$
Tov\'abb\'a 
$$
\int_{M_n(x)>0}M_n(x)\mu(\,dx)=\int M_n(x)\mu(\,dx),
$$
\'es 
$$
\int_{M_n(x)>0}M_n(Tx)\mu(\,dx)\le\int M_n(Tx)\mu(\,dx).
$$
Ez\'ert a (2) egyenl\H{o}tlens\'egb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy
$$
\int_{M_n(x)>0}U(x)\mu(\,dx)
\ge \int M_n(x)\mu(\,dx)-\int M_n(Tx)\mu(\,dx)=0.
$$
A t\'etelt bel\'attuk.

\medskip\noindent
{\it Az ergod t\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Vezess\"uk be az
$\bar U(x)=U(x)-E(U(x)|\Cal I)$ f\"uggv\'enyt. Ekkor
$E(\bar U(x)|\Cal I)=0$, \'es $\frac1n\summ_{k=0}^{n-1}\bar U(T^kx)=
\frac1n\summ_{k=0}^{n-1} U(T^kx)-E(\bar U(x)|\Cal I)$. (Azt a t\'enyt
haszn\'aljuk ki, hogy mivel $E(\bar U(x)|\Cal I)$ $\Cal I$
m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny, ez\'ert
$E(\bar U(T^kx)|\Cal I)=E(\bar U(x)|\Cal I)$.) Innen k\"ovetkezik,
hogy el\'eg azt bel\'atni, hogy
$$
\limm_{n\to\infty}\frac1n\summ_{k=0}^{n-1}U(T^kx)=0
\quad \mu \text{ majdnem minden\"utt},
$$ 
ha $E(U(x)|\Cal I)=0$ a $\mu$ m\'ert\'ek szerint majdnem minden 
$x\in X$ pontban.

Ennek bizony\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben vezess\"uk be a
$\tilde U(x)=\limsupp_n\frac1n\summ_{k=0}^{n-1} U(T^kx)$
f\"ugg\-v\'enyt \'es valamely r\"ogz\'{\i}tett $\e>0$ sz\'amra a
$D=D(\e)=\{\tilde U(x)>\e\}$ esem\'enyt. Ekkor $\tilde U(x)$ $\Cal I$
m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny, \'es ez\'ert $D\in\Cal I$. Legyen
$$
U^*(x)=[U(x)-\e]I_D(x),
$$
\'es vezess\"uk be a maximum ergod t\'etel megfogalmaz\'as\'aban
defini\'alt $S_k^*(x)$ \'es $M_n^*(x)$ f\"uggv\'enyeket, ha $U^*(x)$
j\'atssza az $U(x)$ f\"uggv\'eny szerep\'et. Ekkor a maximum ergod
t\'etel alapj\'an
$$
\int_{M_n^*(x)>0} U^*(x)\mu(\,dx)\ge0. \tag3
$$
Legyen
$$
F_n=\{M_n^*(x)>0\}=\left\{\max_{1\le k\le n} S_k^*(x)>0\right\}.
$$
Az $F_n$ halmazok monoton n\H{o}nek az
$$
F=\left\{\sup_{k\ge 1} S_k^*(x)>0\right\}=
\left\{\sup_{k\ge 1} \frac{S_k^*(x)}k>0\right\}=
\left\{\sup_{k\ge 1} \frac{S_k(x)}k>\e\right\}\cap D=D \tag4
$$
halmazhoz, ahol $S_k(x)=\summ_{j=0}^{k-1} U(T^jx)$, mivel
$D$ $\Cal I$ invari\'ans halmaz, ahonnan 
$\frac{S_k^*(x)}k=I_D(x)\(\frac1k\summ_{j=0}^{k-1} U(T^jx)-\e\)
=I_D(x)\(\frac{S_k(x)}k-\e\)$ \'es 
$\supp_{k\ge1}\frac{S_k(x)}k\ge \tilde U(x)$. Tov\'abb\'a, mivel 
$U^*(x)\le|U(x)|+\e$, \'es $E|U(x)|<\infty$ a Lebesgue t\'etel 
alapj\'an
$$
\int_{F_n}U^*(x)\mu(\,dx)\to\int_{F}U^*(x)\mu(\,dx).
$$
Ez\'ert a (4) majd a (3) formula alapj\'an
$$
\int_D U^*(x)\mu(\,dx)=\int_F U^*(x)\mu(\,dx)
=\lim_{n\to\infty}\int_{F_n} U^*(x)\mu(\,dx)\ge0.
$$
Innen
$$
\align
0\le \int_D U^*(x)\mu(\,dx)
&=\int_D U(x)\mu(\,dx)-\e\mu(D)\\
&=\int_D E(U(x)|\Cal I)\mu(\,dx)-\e\mu(D)=-\e\mu(D),
\endalign
$$
ez\'ert $\mu(D)=\mu(D(\e))=0$. (A fenti sz\'amol\'asban a felt\'eteles
v\'arhat\'o \'ert\'ekhez val\'o \'att\'er\'esn\'el megint kihaszn\'altuk,
hogy $D\in\Cal I$.) Mivel ez a rel\'aci\'o minden $\e>0$ sz\'amra igaz,
ez\'ert a $D$ halmaz definici\'oja alapj\'an
$$
\tilde U(x)=\limsupp_{n\to\infty}\frac{S_n(x)}n\le 0
\quad\mu \text{ majdnem minden $x$ pontra}.
$$
Alkalmazva ezt az eredm\'enyt a $-U(x)$ f\"uggv\'enyre
is azt kapjuk, hogy $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{S_n(x)}n=0$ 
$\mu$ majdnem minden $x$ pontra. Az ergod t\'etelt bel\'attuk.


\bye



