\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1.3pt
\TagsOnRight

\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\def\Re{\text{\rm Re}\,}
\font\script=cmcsc10

\centerline{\bf A Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as II.
el\H{o}ad\'assorozat  els\H{o} t\'em\'aja.}

\medskip
\centerline{\bf ELOSZL\'ASF\"UGGV\'ENYEK KONVERGENCI\'AJA}
\centerline{\bf \'ES EZZEL KAPCSOLATOS ISMERETEK}

\medskip\noindent
A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as legfontosabb
eredm\'enye a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel. Annak
\'erdek\'eben, hogy ezt j\'ol meg\'erts\"uk, el\H{o}sz\"or
bizonyos az eloszl\'asban val\'o konvergenci\'aval
kap\-cso\-la\-tos ismereteket  kell elsaj\'at\'{\i}tanunk.
E probl\'emak\"or vizsg\'alat\'aban k\"ul\"on\"osen hasznosnak
bizonyult a Fourier sorok \'es a
Fourier transzform\'aci\'o, illetve a vel\"uk kap\-cso\-la\-tos
legfontosabb eredm\'enyek ismerete. Mivel nemcsak a f\"uggetlen,
val\'os \'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
normaliz\'alt \"osszegeir\H{o}l sz\'ol\'o centr\'alis
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-telt k\'{\i}v\'anjuk vizsg\'alni,
hanem annak t\"obb-v\'altoz\'os megfelel\H{o}j\'et is, ez\'ert
nemcsak  az egy, hanem a t\"obbv\'altoz\'os eloszl\'asf\"uggv\'enyek
konvergenci\'aj\'at is t\'argyalni fogom. El\H{o}sz\"or
is\-mer\-te\-tem eloszl\'asf\"uggv\'enyek
kon\-ver\-gen\-ci\'a\-j\'a\-nak a definici\'oj\'at.

\medskip\noindent
{\bf Eloszl\'asf\"uggv\'enyek konvergenci\'aj\'anak definici\'oja.}
{\it Legyen $F_n(x_1,\dots,x_k)$, $n=0,1,2,\dots$, $k$-dimenzi\'os,
$k\ge1$, el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek sorozata. Azt mondjuk,
hogy az $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek eloszl\'asban konverg\'alnak
az $F_0$ eloszl\'asf\"uggv\'enyhez $n\to\infty$ eset\'en, ha
$$
\lim_{n\to\infty} F_n(x_1,\dots,x_k)=F_0(x_1,\dots,x_k)
$$
az $F_0(x_1,\dots,x_k)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny minden folytonoss\'agi
pontj\'aban. Az eloszl\'asban val\'o konvergenci\'at gyenge
konvergenci\'anak is nevezik az irodalomban.}
\medskip

Ha adva van $F_n$ eloszl\'as\'u
$\xi_n=(\xi_n^{(1)},\dots,\xi_n^{(k)})$, $n=1,2,\dots$, v\'eletlen
vektorok sorozata, \'es az $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek
eloszl\'asban konverg\'alnak egy $F_0$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-hez, akkor gyakran mondjuk, hogy
a $\xi_n$ v\'eletlen vektorok eloszl\'asban konverg\'alnak az $F_0$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-hez. Ha egy $F_0$ eloszl\'as\'u
$\xi_0=(\xi_0^{(1)},\dots,\xi_0^{(k)})$ v\'eletlen vektor is adva
van, akkor azt is mondhatjuk, hogy a $\xi_n$ v\'eletlen vektorok
eloszl\'asban konverg\'alnak a $\xi_0$ v\'eletlen vektorhoz.

\medskip
Meg kell \'erten\"unk az eloszl\'asban val\'o konvergencia pontosabb
jelent\'es\'et. K\"ul\"on magyar\'azatra szorul, hogy ebben a
definici\'oban mi\'ert csak az $F_0(x_1,\dots,x_k)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny folytonoss\'agi pontjaiban
k\"ovetelt\"uk meg az $F_n(x_1,\dots,x_k)$ f\"uggv\'enyek
kon\-ver\-gen\-ci\'a\-j\'at. Ennek meg\'ert\'ese \'erdek\'eben
el\H{o}sz\"or megjegyzem, hogy
k\"olcs\"on\"osen egy\-\'er\-tel\-m\H{u} megfeleltet\'es
l\'etes\'{\i}thet\H{o} a $k$-dimenzi\'os Euklideszi
t\'eren defini\'alt $F(x_1,\dots,x_k)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek \'es a $k$-di\-men\-zi\'os t\'er
Borel halmazainak $\Cal B^{k}$ $\sigma$-algebr\'aj\'an defini\'alt
$\mu$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek k\"oz\"ott a
k\"ovetkez\H{o} m\'odon: Feleltess\"uk meg az $F$
e\-losz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-nek azt a l\'etez\H{o} \'es
egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozott $\mu_F$ (\'ugynevezett Stieltjes)
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'eket, amelyre
$$
\mu_F(\{(u_1,\dots,u_k)\colon\; u_1<x_1,\dots,u_k<x_k\})
=F(x_1,\dots,x_k)
$$
minden $x_1$,\dots,$x_k$ sz\'am-$k$-asra. B\'ar az $F_n$
eloszl\'asf\"uggv\'enyek konvergenci\'aj\'at de\-fi\-ni\-\'al\-tuk
egy $F_0$ eloszl\'asf\"uggv\'enyhez, l\'atni fogjuk, hogy helyesebb
lett volna az $F_n$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek \'altal
meghat\'arozott $\mu_{F_n}$ Stieltjes m\'ert\'ekek
konvergenci\'aj\'ar\'ol besz\'elni a $\mu_{F_0}$ Stieltjes
m\'ert\'ekhez. Tanuls\'agos lehet a k\"ovetkez\H{o} egyszer\H{u}
p\'elda.

\medskip\noindent
{\it P\'elda:}\/ Legyen $x_0=0$, \'es $x_n$, $n=1,2,\dots$, olyan
sz\'amsorozat, amelyre $x_n<0$, $n=1,2,\dots$, \'es
$\limm_{n\to\infty}x_n=0$. Legyen $\mu_{F_n}$, $n=0,1,2,\dots$, az a
(sz\'amegyenesen defini\'alt) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek,
amely az $x_n$ pontba van koncentr\'alva, azaz $\mu_{F_n}(\{x_n\})=1$,
r\'eszletesebben $\mu_{F_n}(A)=1$, ha $x_n\in A$, \'es
$\mu_{F_n}(A)=0$, ha $x_n\notin A$. A $\mu_{F_n}$ m\'ert\'ek azon
$F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'eny \'altal meghat\'arozott
Stieltjes m\'ert\'ek, amelyre $F_n(x)=0$, ha $x\le x_n$,
$F_n(x)=1$, ha $x>x_n$. Vegy\"uk \'eszre, hogy
$\limm_{n\to\infty}F_n(x)=F_0(x)$ minden $x\neq0$ sz\'amra. De az
$x=0$ pontban, azaz az $F_0$ f\"uggv\'eny szakad\'asi pontj\'aban
ez a konvergencia nem teljes\"ul, mert $F_n(0)=1$, ha $n\ge1$, \'es
$F_0(0)=0$.

\medskip
A fenti p\'eld\'aban olyan esetet tekintett\"unk, amelyben
az $F_n$ eloszl\'asok sorozata eloszl\'asban konverg\'al az
$F_0$ eloszl\'ashoz, ha $n\to\infty$. De annak \'erdek\'eben,
hogy ezen eloszl\'asok sorozata teljes\'{\i}tse ezt a tekintett
p\'eld\'aban term\'eszetes tulajdons\'agot az
eloszl\'asf\"uggv\'enyek konvergenci\'aj\'at \'ugy kellett
defini\'alni, hogy a hat\'areloszl\'as f\"uggv\'eny szakad\'asi
pontj\'aban nem k\"ovetelt\"uk meg az eloszl\'asf\"uggv\'enyek
konvergenci\'aj\'at. To\-v\'ab\-bi p\'eld\'akat \'es eredm\'enyeket
is lehet mutatni, amelyek jelzik, hogy a fent megadott definici\'o
az eloszl\'asf\"uggv\'enyek konvergenci\'aj\'anak szerencs\'es
definici\'oja. Ezzel a k\'er\-d\'es\-sel itt nem foglalkozom.
Ehelyett egy olyan eredm\'enyt ismertetek, amely megadja az
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek egy ekvivalens, \'es sz\'amunkra
hasznos jellemz\'es\'et.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel eloszl\'asok konvergenci\'aj\'anak
jellemz\'es\'er\H{o}l.} {\it Legyen $F_n(x_1,\dots,x_k)$,
$n=1,2,\dots$, $k$-v\'altoz\'os el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek
sorozata. Ez a sorozat akkor \'es csak akkor konverg\'al
el\-osz\-l\'as\-ban egy $k$-v\'altoz\'os $F_0(x_1,\dots,x_k)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-hez, ha minden a $k$-dimenzi\'os
t\'erben folytonos \'es kor\-l\'a\-tos $f(x_1,\dots,x_k)$ f
\"uggv\'enyre
$$
\int f(x_1,\dots,x_k)\,dF_n(x_1,\dots,x_k)\to
\int f(x_1,\dots,x_k)\,dF_0(x_1,\dots,x_k),
\quad\text{ha }n\to\infty. \tag1
$$
}

\medskip\noindent
{\it A T\'etel bizony\'{\i}t\'asa:} El\H{o}sz\"or azt mutatom meg,
hogy az eloszl\'asban val\'o konvergenci\'ab\'ol
k\"o\-vet\-ke\-zik az integr\'alok (1) formul\'aban fel\'{\i}rt
konvergenci\'aja.

Mivel az $F_0$ eloszl\'asf\"uggv\'enyre $F_0(x_1,\dots,x_k)\to 1$,
ha $x_j\to\infty$ minden $j=1,\dots,k$-ra, \'es
$F_0(x_1,\dots, x_k)\to 0$, ha $x_j\to-\infty$ valamelyik
$1\le j\le k$-ra, ez\'ert tetsz\H{o}leges $\e>0$-ra l\'etezik olyan
$\bold K$ t\'eglatest, amelyre $\mu_{F_0}(\bold K)>1-\e$. (Adva egy
$F$ eloszl\'asf\"uggv\'eny a tov\'abbiakban $\mu_F$-fel fogjuk
jel\"olni az $F$ eloszl\'as \'altal induk\'alt Stieltjes
m\'ert\'eket.) To\-v\'ab\-b\'a, mivel $F_n\to F_0$, ha
$n\to\infty$, ez\'ert el\'erhet\H{o} a $\bold K$ halmazt esetleg
na\-gyobb\-ra v\'alasztva, hogy a $\mu_{F_n}(\bold K)>1-\e$
rel\'aci\'o is teljes\"ulj\"on minden $F_n$, $n=1,2,\dots$,
eloszl\'asf\"uggv\'enyre. Azt is feltehetj\"uk, hogy a $\bold K$
halmaz hat\'ara null m\'ert\'ek\H{u}, ez\'ert a $K$ t\'eglatest
mindegyik cs\'ucspontja folytonoss\'agi pontja az $F_0$
eloszl\'asf\"uggv\'enynek. Itt azt kell kihaszn\'alni, hogy az $F_0$
eloszl\'as vet\"ulete a $j$-ik koordin\'at\'ara olyan 1~dimenzi\'os
eloszl\'as, amelyiknek csak megsz\'aml\'alhat\'o sok atomja van
minden $j=1,\dots,k$-ra. (Ezt a k\'erd\'est r\'eszletesebben
t\'argyalom a kieg\'esz\'{\i}t\'esben.)

Az $f$ f\"uggv\'eny korl\'atoss\'aga miatt $|\int_{R^k\setminus
\bold K}f(x_1,\dots,x_k)\,dF_0(x_1,\dots,x_k)|<\const\e$, \'es
$|\int_{R^k\setminus \bold K}f(x_1,\dots, x_k)\,dF_n(x_1,\dots,x_k)|
<\const\e$ minden $n=1,2,\dots$-ra. To\-v\'ab\-b\'a, az $f$
folytonos f\"uggv\'eny {\it egyenletesen folytonos}\/ a $\bold K$
t\'eglatesten. Ez\'ert l\'etezik olyan $\delta>0$ sz\'am, amelyre
$|f(x)-f(y)|<\e$, ha $|x-y|\le\delta$, \'es $x,y\in K$. A $\bold K$
t\'eglatest felbonthat\'o v\'eges sok,
k\"oz\"os bels\H{o} ponttal nem rendelkez\H{o}, legfeljebb $\delta$
\'atm\'er\H oj\H{u} $\Delta_j$, $j=1,\dots, p(\bold K)$ t\'eglatest
uni\'oj\'ara, amelyeknek a hat\'arai 0 m\'ert\'ek\H{u}ek az $F_0$
\'altal induk\'alt $\mu_{F_0}$ m\'ert\'ek szerint. \'Igy
$\lim\limits_{n\to\infty}\mu_{F_n}(\Delta_j)
=\mu_{F_0}(\Delta_j)$ minden $j=1,\dots, p(\bold K)$-ra, \'es az $f$
f\"uggv\'eny egyenletes folytonoss\'aga miatt a $\bold K$ halmazon
$$
\limsup\left|\int_{\bold K}f\,dF_n-\int_{\bold K}f\,dF_0\right|<\e.
$$
A fenti egyenl\H{o}tlens\'egekb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy
$\limsup\left|\int f\,dF_n-\int f\,dF_0\right|<\const\e$, ahol
$\const$ f\"uggetlen az $\e$-t\'ol. Mivel ez igaz minden $\e>0$-ra,
innen k\"ovetkezik a k\'{\i}v\'ant \'all\'{\i}t\'as.

\medskip
Ezut\'an megmutatom, hogy az (1) formul\'aban szerepl\H{o}
integr\'alok konvergenci\'aj\'ab\'ol k\"ovetkezik az eloszl\'asban
val\'o konvergencia.

Legyen $x=(x_1,\dots,x_k)$ az $F_0$ eloszl\'asf\"uggv\'eny
folytonoss\'agi pontja. Ekkor minden $\e>0$-hoz l\'etezik olyan
$\delta>0$ sz\'am, hogy az
$y=(y_1,\dots,y_k)=(x_1-\delta,\dots,x_k-\delta)$
\'es $z=(z_1,\dots,z_k)=(x_1+\delta,\dots,x_k+\delta)$  pontokra
$F_0(y)>F_0(x)-\e$ \'es $F_0(z)<F_0(x)+\e$. L\'eteznek tov\'abb\'a
olyan $f_1(u)$ \'es $f_2(u)$ folytonos f\"uggv\'enyek az $R^k$
t\'eren, amelyek teljes\'{\i}tik a k\"ovetkez\H{o}
tulajdons\'agokat: $0\le f_i(u)\le1$ minden $u\in R^k$-ra, $i=1,2$.
Tov\'abb\'a $f_1(u)=1$, $u=(u_1,\dots,u_k)$-ra, ha $u_j\le y_j$,
minden $j=1,\dots,k$, \'es  $f_1(u)=0$, ha $u_j\ge x_j$
valamely $1\le j\le k$-re. Az $f_2(\cdot)$ f\"uggv\'eny pedig
a k\"ovetkez\H{o} rel\'aci\'okat teljes\'{\i}ti: $f_2(u)=1$, ha
$u_j\le x_j$ minden $j=1,\dots,k$-ra, \'es $f_2(u)=0$, ha
$u_j\ge z_j$ valamely $1\le j\le k$-ra. Ekkor
$$
\align
\liminf_{n\to\infty} F_n(x)&\ge \lim_{n\to\infty}\int
f_1(u)\,dF_n(u)=\int f_1(u)\,dF_0(u)\ge
F_0(x)-\e\\
\limsup_{n\to\infty}F_n(x)&\le \lim_{n\to\infty} \int
f_2(u)\,dF_n(u)=\int f_2(u)\,dF_0(u)\le
F_0(x)+\e. \endalign
$$
Mivel ezek az egyenl\H{o}tlens\'egek minden $\e>0$-ra igazak, innen
k\"ovetkezik az \'all\'{\i}t\'as. A t\'etelt bebizony\'{\i}tottuk.

\medskip
Eloszl\'asf\"uggv\'enyek konvergenci\'aj\'at be tudjuk
bizony\'{\i}tani az (1) formul\'aban megfogalmazott tulajdons\'ag
ellen\H{o}rz\'es\'enek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Felmer\"ul a
k\'erd\'es, nem lehet-e ezt a bizony\'{\i}tand\'o tulajdons\'agot
egyszer\H{u}s\'{\i}teni, \'es megmutatni azt, hogy elegend\H{o} az
(1) formul\'at csak olyan speci\'alis (folytonos \'es korl\'atos)
f\"uggv\'enyekre ellen\H{o}rizni, amelyekre ez k\"onnyebben
megtehet\H{o}. Kider\"ult, hogy a hat\'areloszl\'ast\'etelek
vizsg\'alat\'at v\'egre lehet hajtani akkor is, ha csak az
\'ugynevezett
$f_{t_1,\dots,t_k}(x_1,\dots,x_k)=e^{i(t_1x_1+\cdots+t_kx_k)}$
trigonometrikus f\"uggv\'enyek integr\'alj\'at vizsg\'aljuk az
$F_n(x_1,\dots,x_k)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek szerint, ahol
$i=\sqrt{-1}$, \'es $t_1,\dots,t_k$ val\'os sz\'amok, a tekintett
f\"uggv\'enyek param\'eterei. Eml\'ekezz\"unk arra, hogy
$e^{iu}=\cos u+i\sin u$. Innen sz\'armazik a trigonometrikus
f\"uggv\'eny elnevez\'es. Ahhoz, hogy a hat\'areloszl\'ast\'etelek
tanulm\'anyoz\'as\'at visszavezess\"uk trigonometrikus
f\"uggv\'enyek integr\'alj\'anak a vizsg\'alat\'ara, illetve ezen
integr\'alok vi\-sel\-ke\-d\'e\-s\'et jobban meg\'erts\"uk
sz\"uks\'eg\"unk van a Fourier anal\'{\i}zis n\'eh\'any alapvet\H{o}
ered\-m\'e\-ny\'e\-nek az ismeret\'ere.

Mutatok egy p\'eld\'at arra, hogyan lehet egy sz\'amunkra hasznos,
\'es kor\'antsem egy\-sze\-r\H{u} eredm\'enyt viszonylag k\"onnyen
bebizony\'{\i}tani Fourier sorok seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Az
\'ugy\-ne\-ve\-zett Stirling formul\'at fogom bebizony\'{\i}tani,
amely j\'o aszimptotik\'at ad az $n!$ kifejez\'esre nagy $n$
sz\'amokra. Azt is megt\'argyalom, hogy a bizony\'{\i}t\'as
h\'atter\'eben a ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-te\-lek
vizsg\'alat\'aban hasznos gondolatok rejt\H{o}znek.

Egy
$$
f(t)=\sum_{j=-\infty}^\infty a_je^{ijt}, \quad -\pi\le t\le \pi,
\tag2
$$
konvergens v\'egtelen sort, ahol az $a_j$ egy\"utthat\'ok val\'os
vagy komplex sz\'amok, Fourier sornak nevez\"unk. Vegy\"uk
\'eszre, hogy az $e^{ijt}$ f\"uggv\'enyek, $j=0,\pm1,\pm2,\dots$,
pe\-ri\-\'odi\-ku\-sak $2\pi$ szerint, ez\'ert a bel\H{o}l\"uk
k\'esz\'{\i}tett sor is peri\'odikus $2\pi$ szerint. Ez teszi
ter\-m\'e\-sze\-tes\-s\'e a $-\pi\le t\le \pi$, megk\"ot\'est a
(2) formul\'aban. Egy alapos t\'argyal\'as sor\'an tiszt\'azni kell
azt is, hogy mit \'ert\"unk a (2) formul\'aban fel\'{\i}rt sor
konvergenci\'aj\'an. Mivel nem sz\'amok, hanem f\"uggv\'enyek
v\'egtelen \"osszeg\'er\H{o}l van sz\'o, ez a definici\'o nem
egy\'ertelm\H{u}, t\"obb egym\'assal nem ekvivalens \'es
\'ertelmes konvergenciafogalom defini\'alhat\'o. Fourier sorok
vizsg\'alat\'aban a leghasznosabb konvergenciafogalomnak az
\'ugynevezett $L_2$  konvergencia bizonyult. Eszerint a (2)
formul\'aban fel\'{\i}rt (v\'egtelen) \"osszeg akkor konverg\'al
egy $f(t)$ f\"uggv\'enyhez, ha teljes\"ul az
$$
\int_{-\pi}^\pi\(f(t)-\sum_{j=-n}^n a_je^{ijt}\)^2\,dt\to0
\quad\text{ha } n\to\infty
$$
rel\'aci\'o. Az ilyen ir\'any\'u vizsg\'alatok az anal\'{\i}zisben
nagyon fontosak. De sz\'amunkra ez nem lesz fontos, ez\'ert az ilyen
ir\'any\'u k\'erd\'esek vizsg\'alat\'aval nem fogunk foglalkozni.
Vi\-szont a mi sz\'amunkra is fontos a trigonometrikus f\"uggv\'enyek
k\"ovetkez\H{o} ortogonalit\'asnak nevezett tulajdons\'aga.
$$
\int_{-\pi}^\pi e^{int} \overline{e^{imt}}\,dt=
\int_{-\pi}^\pi e^{int} e^{-imt}\,dt=
\int_{-\pi}^\pi e^{i(n-m)t}\,dt=0 \quad\text{ha } n\neq m,
$$
\'es
$$
\int_{-\pi}^\pi e^{int} \overline{e^{int}}\,dt
=\int_{-\pi}^\pi\,dt=2\pi, \quad n=0,\pm1,\pm2,\dots.
$$
E formul\'ak felhaszn\'al\'as\'aval, felhaszn\'alva a tagonk\'enti
integr\'al\'as tulajdons\'agait egy\-sze\-r\H{u}\-en kifejezhetj\"uk
a (2) formul\'aban szerepl\H{o} $a_n$ \'ugynevezett Fourier
egy\"utthat\'okat a Fourier sor $f(t)$ \"osszeg\'enek a
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Nevezetesen,
$$
a_n=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{-int}f(t)\,dt,
\quad n=0,\pm1,\pm2,\dots. \tag3
$$
Ez a formula hasznosnak bizonyult a Stirling formula al\'abb
ismertetett bizony\'{\i}t\'as\'aban.

\medskip\noindent
{\bf Stirling formula:}
{\it
$$
n!\sim\sqrt{2\pi n}\(\frac ne\)^n,
$$
azaz az els\H{o} $n$ eg\'esz sz\'am szorzata, $n!$ teljes\'{\i}ti az
al\'abbi rel\'aci\'ot:
$$
\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{2\pi n}\(\frac ne\)^n}{n!}=1.
$$
}

\medskip\noindent
{\it A Stirling formula bizony\'{\i}t\'asa:} El\H{o}sz\"or azt
mutatom meg, hogy
$$
n!=\(\frac ne\)^n\frac{2\pi}{\dsize\int_{-\pi}^\pi
e^{n(e^{it}-1-it)}\,dt}. \tag4
$$
Tekints\"unk egy $\xi$ Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot $\lambda=n$ param\'eterrel,
azaz le\-gyen $P(\xi=k)=\frac{n^k}{k!}e^{-n}$, $k=0,1,2,\dots$.
Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $P_n(t)=Ee^{it\xi}$ v\'arhat\'o \'ert\'eket
minden $t$ val\'os sz\'amra. Ez a k\"ovetkez\H{o} $P_n(t)$ Fourier
sor kisz\'am\'{\i}t\'as\'at jelenti:
$$
P_n(t)=\sum_{k=0}^\infty P(\xi=k)e^{itk}
=\sum_{k=0}^\infty \frac{n^k}{k!}e^{-n+ikt}
=e^{-n}\sum_{k=0}^\infty \frac{(ne^{it})^k}{k!}
=e^{-n+ne^{it}}.
$$
Innen, illetve egy Fourier sor egy\"utthat\'oinak a (3) formul\'aban
megadott kifejez\'es\'eb\H{o}l a Fourier sor seg\'{\i}ts\'eg\'evel
$k=n$ v\'alaszt\'assal kapjuk, hogy
$$
P(\xi=n)=\frac{n^n}{n!}e^{-n}
=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{-int}P_n(t)\,dt
=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{-int-n+ne^{it}}\,dt.
$$
Ez a k\'eplet ekvivalens a (4) formul\'aval.

A (4) formula alapj\'an a Stirling formula bizony\'{\i}t\'as\'ahoz
el\'eg megmutatni azt, hogy
$$
\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt n}{\sqrt {2\pi}}\int_{-\pi}^\pi
e^{n(e^{it}-1-it)}\,dt=1,
$$
amit \'ugyis \'{\i}rhatunk, hogy
$$
\lim_{n\to\infty}\frac{\dsize\int_{-\pi}^\pi e^{n(e^{it}-1-it)}\,dt}
{\dsize\int_{-\infty}^\infty e^{-nt^2/2}\,dt}=1,
$$
mivel, mint a norm\'alis s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny
vizsg\'alat\'aban l\'attuk,
$\int_{-\infty}^\infty e^{-t^2/2}\,dt=\sqrt{2\pi}$, ahonnan
$\int_{-\infty}^\infty e^{-nt^2/2}\,dt=\sqrt{\frac{2\pi}n}$. (Ez
az azonoss\'ag kellett annak igazol\'as\'ahoz, hogy a norm\'alis
eloszl\'as s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye val\'oban
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny.)

Viszont tekintve az $e^{it}$ f\"uggv\'eny Taylor sor\'at azt
kapjuk, hogy
$$
n(e^{it}-1-it)=-n\(\frac{t^2}2+\alpha(t)t^3\)=-\frac{nt^2}2
+\beta(t)n^{-1/8},
$$
alkalmas $|\alpha(t)|\le \const$ \'es $|\beta(t)|\le \const$
egy\"utthat\'okkal, ha $|t|\le n^{-3/8}$. Innen
$e^{n(e^{it}-1-it)}=e^{-nt^2/2}e^{\beta(t)n^{-1/8}}=e^{-nt^2/2}
\(1+\gamma(t)n^{-1/8}\)$, $\gamma(t)\le \const$, ha $t\le n^{-3/8}$,
\'es
$$
\lim_{n\to\infty}\frac{\dsize\int_{-n^{-3/8}}^{n^{-3/8}}
e^{n(e^{it}-1-it)}\,dt}
{\dsize\int_{-n^{-3/8}}^{n^{-3/8}} e^{-nt^2/2}\,dt}=1.
$$
Tov\'abb\'a nem neh\'ez bel\'atni, hogy
$$
\lim_{n\to\infty}\frac{\dsize\int_{-n^{-3/8}}^{n^{-3/8}}
e^{-nt^2/2}\,dt} {\dsize\int_{-\infty}^\infty e^{-nt^2/2}\,dt}=
\lim_{n\to\infty}\frac{\dsize\int_{-n^{1/8}}^{n^{1/8}}
e^{-t^2/2}\,dt} {\dsize\int_{-\infty}^\infty e^{-t^2/2}\,dt}=
1-\lim_{n\to\infty}\frac{2\dsize\int_{n^{1/8}}^{\infty}
e^{-t^2/2}\,dt} {\sqrt{2\pi}}=1,
$$
ez\'ert el\'eg megmutatni, hogy az
$\dsize\int_{-\pi}^{-n^{-3/8}} e^{n(e^{it}-1-it)}\,dt$ \'es
$\dsize\int^{\pi}_{n^{-3/8}} e^{n(e^{it}-1-it)}\,dt$
in\-teg\-r\'a\-lok el\'eg kicsik, pontosabban ezek az integr\'alok
$\sqrt n$-nel megszorozva is null\'ahoz tartanak. (Ez a felt\'etel
az\'ert jelenik meg ebben a form\'aban, mert $\sqrt n
{\dsize\int_{-\infty}^\infty e^{-nt^2/2}\,dt}=\sqrt{2\pi}$.
Ennek bizony\'{\i}t\'as\'ahoz jegyezz\"uk meg, hogy $|e^z|=e^{\Re z}$
tetsz\H{o}leges $z$ komplex sz\'amra, ahol $\Re z$  a $z$ sz\'am
val\'os r\'esz\'et jel\"oli. Innen
$$
|e^{n(e^{it}-1-it)}|=e^{n(\cos t-1)}\le e^{-\const n^{1/4}},
$$
ha $n^{3/8}\le|t|\le \pi$, ahonnan k\"ovetkezik a k\'{\i}v\'ant
becsl\'es.

\medskip
Megjegyzem, hogy a fenti bizony\'{\i}t\'as h\'atter\'eben a
k\"ovetkez\H{o} \'eszrev\'etel van. Ha tekint\"unk $n$ f\"uggetlen
1 param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot, akkor ezek \"osszege $n$ param\'eter\H{u} Poisson
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et akarjuk becs\"ulni, hogy $n$
f\"uggetlen Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o \"osszege egy el\H{o}\'{\i}rt \'ert\'eket vesz fel.
A centr\'alis hat\'areloszl\'as\'ert\'ek sugall ennek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egnek az aszimptotik\'aj\'ara egy
\'ert\'eket, \'es tulajdonk\'eppen ennek helyess\'eg\'et
igazoltuk. A bizony\'{\i}t\'as azon alapult, hogy az $Ee^{it\xi}$,
$-\pi\le t\le \pi$, v\'arhat\'o \'ert\'eket kifejez\H{o}
Fourier sort ki tudtuk sz\'amolni, illetve az \'{\i}gy kapott
kifejez\'esre j\'o aszimptotikus formul\'at tudtunk adni.
Megjegyzem, hogy mind a centr\'alis, mind a lok\'alis
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel a v\'arhat\'o \'ert\'ekhez
k\"ozeli \'ert\'ekek eset\'en ad j\'o becsl\'est f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'as, illetve
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'ere. Egy $n$ param\'eter\H{u}
Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'eke $n$, \'es a Stirling formula
bizony\'{\i}t\'as\'aban itt sz\'am\'{\i}tottuk ki egy ilyen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.

Az el\H{o}bb felhaszn\'alt eredm\'eny bizony\'{\i}t\'as\'aban egy
\'altal\'anosabb probl\'ema meg\-ol\-d\'a\-s\'a\-ra kidolgozott
m\'od\-szert  alkalmaztunk egy speci\'alis esetben. Legyen adva
f\"uggetlen, eg\'esz \'ert\'ekeket f\"olvev\H{o} $\xi_1,\dots,\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok sorozata. Jel\"olje
$S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j$ ezen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \"osszeg\'et, \'es pr\'ob\'aljunk j\'o becsl\'est adni
a $P(S_n=k)$ alak\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekre. Ennek
\'erdek\'eben vezess\"uk be a a $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok eloszl\'asa \'altal meghat\'arozott
$U_j(t)=Ee^{it\xi_j}=\summ_k e^{itk}P(\xi_j=k)$ Fourier sorokat.
Vegy\"uk tov\'abb\'a \'eszre, hogy mivel f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok szorzat\'anak a
v\'ar\-ha\-t\'o \'ert\'eke egyenl\H{o} a szorzatban szerepl\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok v\'ar\-ha\-t\'o
\'ert\'ek\'enek a szorzat\'aval, (ez az azonoss\'ag \'erv\'enyes
mind val\'os mind komplex \'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okra) ez\'ert az $S_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz tartoz\'o $Ee^{itS_n}$
kifejez\'es kisz\'amolhat\'o a k\"ovetkez\H{o} m\'odon.
$$
\aligned
\sum_k P(S_n=k)e^{itk}&=Ee^{itS_n}=Ee^{it(\xi_1+\cdots+\xi_n)}
=E(e^{it\xi_1}e^{it\xi_2}\cdots e^{it\xi_n})\\
&=Ee^{it\xi_1}Ee^{it\xi_2}\cdots Ee^{it\xi_n}=\prodd_{j=1}^n U_j(t).
\endaligned \tag5
$$
Ez\'ert, ha az (5) k\'eplet jobboldal\'an szerepl\H{o} kifejez\'esre
j\'o becsl\'est tudunk adni, akkor a (3) inverzi\'os formula
seg\'{\i}ts\'eg\'evel j\'o becsl\'est kapunk a $P(S_n=k)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekre is. (Itt a $k$ param\'eter j\'atssza
az $n$ param\'eter \'es az (5) formula jobboldal\'an lev\H{o}
szorzat az $f(t)$ f\"uggv\'eny szerep\'et a (3) formul\'aban.)
Tov\'abb\'a nagyon \'altal\'anos felt\'etelek mellett az (5) formula
jobboldal\'an szerepl\H{o} produktumot j\'ol meg tudjuk becs\"ulni
nulla k\"or\"uli al\-kal\-mas Taylor sorfejt\'es
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ahhoz a k\'erd\'eshez, hogy hogyan lehet az
(5) formula jobboldal\'an szerepl\H{o} kifejez\'est j\'ol
megbecs\"ulni, \'es ennek \'erdek\'eben milyen felt\'eteleket kell
tenni, k\'es\H{o}bb visszat\'erek.

A Stirling formul\'at e m\'odszer seg\'{\i}ts\'eg\'evel
bizony\'{\i}tottuk be. Azt a speci\'alis ese\-tet vizsg\'altuk,
amikor Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat tekint\"unk. E m\'odszer kidolgoz\'as\'aval az
\'altal\'anos esetre csak k\'es\H{o}bb fogok foglalkozni.
Ehelyett most azt a  k\'erd\'est tekintem, hogy hogyan tudjuk
ezt a m\'odszert adapt\'alni  annak a probl\'em\'anak a
vizsg\'alat\'ara, amikor f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek az
eloszl\'asa \'erdekel minket. Teh\'at a $P(S_n=x)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg helyett a $P(S_n<x)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre k\'{\i}v\'anunk j\'o becsl\'est adni.
E k\'erd\'es vizsg\'alat\'anak az \'erdek\'eben be\-ve\-ze\-tem a
Fourier sorok `folytonos param\'eter\H{u}' megfelel\H{o}it, a
sz\'amegyenesen vagy az $R^k$ $k$-dimenzi\'os Euklideszi t\'eren
defini\'alt f\"ugg\-v\'e\-nyek \'es m\'ert\'ekek Fourier
transz\-for\-m\'alt\-j\'at.

\medskip\noindent
{\bf F\"uggv\'enyek \'es m\'ert\'ekek Fourier transzform\'altj\'anak
a definici\'oja.} {\it Legyen $f(x_1,\dots,x_k)$ $k$-v\'altoz\'os
integr\'alhat\'o f\"uggv\'eny, azaz tegy\"uk fel, hogy
$$
\int_{R^k} |f(x_1,\dots,x_k)|\,dx_1\dots\,dx_k<\infty.
$$
Az $f(\cdot)$ f\"uggv\'eny Fourier transzform\'altja az
$$
\tilde f(t_1,\dots,t_k)=\int_{R^k} e^{i(t_1x_1+\cdots+t_kx_k)}
f(x_1,\dots,x_k)\,dx_1\dots\,dx_k
$$
f\"uggv\'eny, ahol $-\infty<t_j<\infty$, $1\le j\le k$.

Legyen $\mu$ egy v\'eges m\'ert\'ek az $R^k$ $k$-dimenzi\'os
Euklideszi t\'eren. E $\mu$ m\'ert\'ek Fourier transzform\'altja a
$$
\align
\varphi(t)=\varphi(t_1,\dots,t_k)
=\int e^{i(t,x)}\mu(\,dx) =\int
e^{i(t_1x_1+\cdots+t_kx_k)}\mu(\,dx_1,\dots,\,dx_k)
\endalign
$$
f\"uggv\'eny, ahol \ $t=(t_1,\dots,t_k)$ a $k$-dimenzi\'os t\'er
tetsz\H{o}leges pontja, \'es a k\"ovetkez\H{o} jel\"ol\'est
haszn\'altuk. Ha $t=(t_1,\dots,t_k)$ \'es $x=(x_1,\dots,x_k)$ k\'et
$k$-dimenzi\'os vektor, akkor $(t,x)=t_1x_1+\cdots+t_kx_k$ a $t$
\'es $x$ vektor skal\'aris szorzata.

Ha $F(x)=F(x_1,\dots,x_k)$ egy $k$ v\'altoz\'os eloszl\'as
f\"uggv\'eny, akkor tekints\"uk az $F$ eloszl\'as szerint
induk\'alt $\mu_F$ Stieltjes m\'ert\'eket. Ennek a $\mu_F$
Stieltes m\'ert\'eknek a $\varphi(t)=\varphi(t_1,\dots,t_k)$
Fourier transz\-for\-m\'alt\-j\'at az $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'enek nevezz\"uk. Ha adva van egy
$F(x_1,\dots,x_k)$ eloszl\'as\'u $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ v\'eletlen
vektor, akkor ennek karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et is
defini\'aljuk, \'es ez az $F(x_1,\dots,x_k)$ eloszl\'as
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'evel egyenl\H{o}.}

\medskip \noindent

C\'elunk az, hogy eloszl\'asok aszimptotikus viselked\'es\'et
j\'ol le\'{\i}rjuk ezek Fourier transz\-for\-m\'alt\-j\'a\-nak,
azaz karakterisztikus f\"uggv\'eny\'enek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
Azt szeretn\'enk megmutatni, hogy eloszl\'asf\"uggv\'enyek
karakterisztikus f\"uggv\'enyeinek a
kon\-ver\-gen\-ci\'a\-j\'a\-b\'ol k\"ovetkezik az
eloszl\'asf\"uggv\'enyek konvergenci\'aja is. Fourier sorok
egy\"utthat\'oit a (2)~re\-l\'a\-ci\'o\-ban megfogalmazott
viszonylag egyszer\H{u} inverzi\'os k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel
tudtuk vizs\-g\'al\-ni. Fourier transzform\'altak eset\'eben
azonban nincs olyan egyszer\H{u} inverzi\'os formula, amely\-nek
felhaszn\'al\'as\'aval ki tudunk sz\'amolni egy m\'ert\'eket a
Fourier transzform\'altja se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel. Ez\'ert
ebben az esetben egy k\"o\-r\"ul\-m\'e\-nye\-sebb elj\'ar\'ast
alkalmazunk. Sz\"uk\-s\'e\-g\"unk van egy olyan eredm\'enyre, amely
azt fejezi ki, hogy a trigonometrikus f\"ugg\-v\'e\-nyek, pontosabban
azok line\'aris kombin\'aci\'oi, a folytonos f\"ugg\-v\'e\-nyek
el\'eg gazdag csa\-l\'ad\-j\'at alkotj\'ak. Ilyen \'all\'{\i}t\'ast
fejez ki Weierstrass m\'asodik app\-ro\-xi\-m\'a\-ci\'os t\'etele.

\medskip\noindent
{\bf Weierstrass m\'asodik approxim\'aci\'os t\'etele.} {\it
Tetsz\H{o}leges folytonos \'es $2\pi$ szerint periodikus $f(x)$
f\"uggv\'enyre \'es $\e>0$ val\'os sz\'amra l\'etezik olyan
$P_n(x)=\summ_{k=-n}^n a_k e^{ikx}$ trigonometrikus polinom, amelyre
$$
\sup_{-\infty<x<\infty} |f(x)-P_n(x)|<\e.
$$
(A $P_n$ polinom foka \'es a benne szerepl\H{o} $a_k$ egy\"utthat\'ok
f\"uggnek mind az $f(\cdot)$ folytonos f\"uggv\'enyt\H{o}l \'es az
$\e>0$ sz\'amt\'ol. Ha az $f(\cdot)$ f\"uggv\'eny val\'os
\'ert\'ek\H{u}, akkor az $a_k$ egy\"utt\-ha\-t\'o\-kat
v\'alaszthatjuk \'ugy, hogy $a_{-k}=\bar a_k$ minden $k=0,1,\dots,n$
indexre, ahol $\bar z$ a $z$ sz\'am konjug\'altja. Ekkor a $P_n(t)$
trigonometrikus polinom is val\'os \'ert\'ek\H{u}.)

Igaz ennek az \'all\'{\i}t\'asnak a k\"ovetkez\H{o} t\"obbdimenzi\'os
v\'altozata is. Ha adott egy $f(x_1,\dots,x_k)$ foly\-to\-nos
f\"uggv\'eny a $k$-dimenzi\'os euklideszi t\'erben, amely minden
koordin\'at\'aj\'aban $2\pi$ szerint periodikus, azaz
$f(x_1+2j_1\pi,\dots,x_k+2j_k\pi)=f(x_1,\dots,x_k)$ minden eg\'esz
$j_1,\dots j_k$ sz\'amra, \'es egy $\e>0$ val\'os sz\'am,
akkor l\'etezik olyan $k$ v\'altoz\'os
$$
P_n(x_1,\dots,x_k)=\sum_{(j_1,\dots,j_k)\colon\; |j_1|+\cdots+|j_k|\le n}
a_{j_1,\dots,j_k}e^{i(j_1x_1+\cdots+j_kx_k)}
$$
trigonometrikus polinom, ahol $j_1,\dots,j_k$ eg\'esz sz\'amok,
amelyre
$$
|f(x_1,\dots,x_k)-P_n(x_1,\dots,x_k)|<\e \quad \text {minden val\'os }
x_1,\dots,x_k\text{ sz\'amra.}
$$
}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:} A tov\'abbiakban egy
$$
P_n(x_1,\dots,x_k)=\sum_{(j_1,\dots,j_k)\colon\; |j_1|+\cdots+|j_k|\le n}
a_{j_1,\dots,j_k}e^{i(j_1x_1/K_1+\cdots+j_kx_k/K_k)}
$$
alak\'u kifejez\'est, ahol $K_1,\dots,K_k$ tetsz\H{o}leges
pozit\'{\i}v val\'os sz\'amok trigonometrikus polinomnak fogunk
nevezni. Weierstrass m\'asodik approxim\'aci\'os t\'etel\'eb\H{o}l
k\"ovetkezik (al\-kal\-mas \'atsk\'al\'az\'assal), hogy a folytonos,
minden koordin\'at\'aj\'aban peri\'odikus $f(x_1,\dots,x_k)$
f\"uggv\'enyek, (azaz az olyan $f(x_1,\dots,x_k)$ f\"uggv\'enyek,
amelyekre
$f(x_1+\frac{K_1j_1}{2\pi},\dots,x_k+\frac{K_kj_k}{2\pi})
=f(x_1,\dots,x_k)$
alkalmas $K_1>0$,\dots $K_k>0$ val\'os \'es tetsz\H{o}leges
$j_1,\dots,j_k$ eg\'esz sz\'amokkal) tetsz\H{o}leges pontoss\'aggal
k\"ozel\'{\i}thet\H{o}ek trigonometrikus polinomokkal a
szup\-r\'e\-mum norm\'aban.)

\medskip
Ahhoz, hogy bel\'assuk, hogy eloszl\'asok karakteresztikus
f\"uggv\'enyeinek kon\-ver\-gen\-ci\'a\-j\'a\-b\'ol k\"ovetkezik
maguknak az eloszl\'asf\"uggv\'enyeknek a konvergenci\'aja
el\H{o}sz\"or meg kell mutatnunk, hogy egy eloszl\'ast meghat\'aroz
a karakterisztikus f\"uggv\'enye. Ezt mond\-ja ki a k\"ovetkez\H{o}
t\'etel.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek \'es
karakterisztikus f\"uggv\'eny\"uk kap\-cso\-la\-t\'a\-r\'ol.}
{\it Egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'eket
egy\-\'er\-tel\-m\H{u}\-en meg\-ha\-t\'a\-roz a
karakterisztikus f\"uggv\'enye.}

\medskip
A t\'etel bizony\'{\i}t\'asa azon alapul, hogy Weierstrass m\'asodik
approxim\'aci\'os t\'etele alapj\'an folytonos f\"uggv\'enyeket
j\'ol lehet approxim\'alni trigonometrikus polinomokkal, \'{\i}gy
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek szerinti integr\'aljuk is
j\'ol k\"ozel\'{\i}thet\H{o} alkalmas trigonometrikus polinomok e
m\'ert\'ek szerinti integr\'alj\'aval, azaz a m\'ert\'ek
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'enek k\"ul\"onb\"oz\H{o} helyeken
felvett \'ert\'ekeinek line\'aris kombin\'aci\'oival. De a
Weierstrass-f\'ele app\-ro\-xi\-m\'a\-ci\'os t\'etel csak
peri\'odikus f\"uggv\'enyek j\'o app\-ro\-xi\-m\'a\-ci\'o\-j\'at
biztos\'{\i}tja. E neh\'ezs\'eg lek\"uzd\'es\'enek az \'erdek\'eben
el\H{o}sz\"or a k\"ovetkez\H{o} (egyszer\H{u}) lemm\'at l\'atjuk be.

\medskip\noindent
{\bf Lemma val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek
viselked\'es\'er\H{o}l a v\'egtelen k\"ornyezet\'eben.} {\it
Le\-gyen $\mu$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek a
$k$-dimenzi\'os euklideszi t\'er Borel m\'erhet\H{o}
r\'esz\-hal\-ma\-zain \'es $\e>0$ val\'os sz\'am. L\'etezik olyan
$K=K(\mu,\e)$ sz\'am, amelyre a
$$\bold K^k(K)=\underbrace{[-K,K]\times\cdots\times [-K,K]}
_{k\text{-szoros szorzat}}
$$
$k$-dimenzi\'os kocka teljes\'{\i}ti a
$\mu(\bold K(K)^k)>1-\e$ egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'e\-get.}

\medskip\noindent
{\it A lemma bizony\'{\i}t\'asa.} Tekints\"uk azokat a
$\bold K(K)^k=\underbrace {[-K,K]\times\cdots\times [-K,K]}
_{k\text{\rm{-szoros szorzat}}}$ azt a $k$-dimenzi\'os kock\'akat
az $R^k$ t\'erben, amelyeknek mindegyik oldala a $[-K,K]$
intervallum. Mivel $\bigcupp_{K=1}^\infty \bold K(K)^k= R^k$ \'es
$\bold K(K)^k$, $K=1,2,\dots$, monoton n\"ovekv\H{o} halmazsorozat,
ez\'ert $\limm_{K\to\infty}\mu(\bold K(K)^k)=\mu(R^k)=1$, azaz
$\mu(\bold K(K)^k)\ge 1-\e$, ha $K\ge K(\e)$.

\medskip\noindent
{\it A t\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Azt kell bebizony\'{\i}tani,
hogy ha $\mu_1$ \'es $\mu_2$ k\'et olyan
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek az $R^k$ Euklideszi t\'eren,
amelyek Fourier transzform\'altjai meg\-egyez\-nek, akkor
$\mu_1=\mu_2$. Ennek \'erdek\'eben megmutatom alkalmas az $R^k$
Euklideszi t\'eren defini\'alt $\Cal F$ f\"uggv\'enyoszt\'alyokra,
hogy $\int f\,d\mu_1=\int f\,d\mu_2$, ha $f\in\Cal F$. Siker\"ult
ezt a rel\'aci\'ot olyan $\Cal F$ f\"uggv\'enyoszt\'alyra is
bel\'atni, amelyre ez a tulajdons\'ag implik\'alja, hogy
$\mu_1=\mu_2$.

Az $\int f\,d\mu_1=\int f\,d\mu_2$, ha $f\in\Cal F$
ny\'{\i}lv\'anval\'oan k\"ovetkezik a t\'etel felt\'eteleib\H{o}l,
ha $\Cal F$ az $R^k$ t\'eren defini\'alt valamely
$K=(K_1,\dots,K_k)$ vektor szerint periodikus 
tri\-go\-no\-met\-ri\-kus polinomokb\'ol \'all. Weierstrass 
m\'asodik approxim\'aci\'os t\'etele alapj\'an ez az 
azo\-nos\-s\'ag \'erv\'enyben marad akkor is,
ha $\Cal F$ a minden v\'altoz\'oj\'aban peri\'odikus, folytonos
f\"ugg\-v\'e\-nyek\-b\H{o}l \'all. Ugyanis tetsz\H{o}leges 
$f_K(\cdot)$ $K$ pe\-ri\-\'o\-dus\'u folytonos f\"uggv\'enyhez 
\'es $\e>0$ sz\'amhoz l\'etezik olyan
$$
g_{\e}(x_1,\dots,x_k)=g_{\e,f_K}(x_1,\cdots,x_k)=\summ
c^{\e}_{j_1,\dots,j_k}e^{i2\pi(j_1x_1+\cdots+j_kx_k)/K}
$$
trigonometrikus polinom, amelyre
$\supp_{x\in R^k}|f_K(x)-g_\e(x)|\le\e$, \'es ez\'ert
$$
\left|\int f_K(x)\,d\mu_j(x)-\int g_\e(x)\,d\mu_j(x)\right|\le\e,
\quad j=1,2.
$$

Ugyancsak igaz marad az $\int f\,d\mu_1=\int f\,d\mu_2$, ha
$f\in\Cal F$ azonoss\'ag akkor, ha $\Cal F$ az \"osszes kompakt
tart\'oj\'u folytonos f\"uggv\'enyek oszt\'alya.
Ugyanis, ha $f(\cdot)$ kompakt tart\'oj\'u folytonos
f\"uggv\'eny, akkor minden el\'eg nagy $K>0$ sz\'amra a
$[-K,K]\times\cdots\times [-K,K]$ kocka tartalmazza az $f(\cdot)$
f\"uggv\'eny tart\'oj\'at, \'es defini\'alhatjuk az $f(\cdot)$
f\"uggv\'eny $2K$ peri\'odus\'u $f_K(\cdot)$ periodikus
kiterjeszt\'es\'et az
$$
f_K(x_1+2Kl_1,\cdots,x_k+2Kl_k)=f(x_1,\cdots,x_k),\quad -K\le x_j<K,
$$
$l_j=0,\pm1,\pm2,\dots$, $j=1,\dots,k$, k\'eplet
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Tov\'abb\'a igaz az
$\int f(x)\,d\mu_j(x)=\limm_{K\to\infty}\int f_K(x)\,d\mu_j(x)$,
$j=1,2$, rel\'aci\'o az el\H{o}z\H{o} lemma szerint, \'es a
k\'{\i}v\'ant azonoss\'ag teljes\"ul peri\'odikus f\"uggv\'enyekre.

A bizony\'{\i}t\'as k\"ovetkez\H{o} l\'ep\'ese annak megmutat\'asa,
hogy az $\int f\,d\mu_1=\int f\,d\mu_2$, ha $f\in\Cal F$
azonoss\'ag akkor is \'erv\'enyes, ha $\Cal F$ az olyan
$\bold P=[K_1,L_1)\times\cdots\times [K_k,L_k)$ t\'eglatestek
indik\'atorf\"uggv\'enyeib\H{o}l \'all, amelyek $x_j=K_j$ \'es
$x_j=L_j$, $1\le j\le k$, hat\'ars\'{\i}kjainak a m\'ert\'eke nulla
mind a $\mu_1$ mind a $\mu_2$ m\'ert\'ek szerint.

Ezt  az \'all\'{\i}t\'ast vissza lehet vezetni alkalmas
limeszelj\'ar\'as seg\'{\i}ts\'eg\'evel a kompakt tart\'oj\'u
f\"uggv\'enyek eset\'ere. Azt a t\'enyt \'erdemes felhaszn\'alni,
hogy minden $\e>0$ sz\'amra \'es $\bold P$ t\'eglatestre
l\'etezik olyan $f_{\e,\bold P}(\cdot)$ folytonos \'es kompakt
tart\'oj\'u f\"uggv\'eny, amelyre $0\le f_{\e,\bold P}(x)\le1$
minden $x\in R^k$ pontra, $f_{\e,\bold P}(x)=1$, ha $x\in \bold P$
\'es $f_{\e,\bold P}(x)=0$, ha $\rho(x,\bold P)>\e$. A
tov\'abbiakban $\rho(\cdot,\cdot)$ jel\"oli a szok\'asos euklideszi
t\'avols\'agot az $R^k$ t\'eren. Ilyen $f_{\e,\bold P}(x)=1$
halmazokat tekintve minden $\e>0$ sz\'amra, v\'eve e f\"uggv\'enyek
integr\'alj\'at a $\mu_1$ \'es $\mu_2$ m\'ert\'ek szerint $\e>0$
hat\'ar\'atmenettel megkapjuk a k\'{\i}v\'ant \'all\'{\i}t\'ast.

A k\"ovetkez\H{o} m\'odon lehet p\'eld\'aul a k\'{\i}v\'ant
tulajdons\'ag\'u $f_{\e,\bold P}$ f\"uggv\'enyt konst\-ru\-\'al\-ni.
Legyen $f_{\e,\bold P}(x)=1-g_{\e,\bold P}(x)$, \'es
$g_{\e,\bold P}(x)=\min\(1,\frac1\e \rho(x,\bold P)\)$, ahol
$\rho(\cdot,\cdot)$ a szok\'asos metrika az Euklideszi t\'eren.

A bizony\'{\i}t\'as befejez\'es\'ehez el\'eg megmutatni, hogy a
$\mu_1(P)=\mu_2(P)$ azonoss\'ag teljes\"ul\'es\'eb\H{o}l minden
olyan $P_1$ \'es $P_2$ t\'eglatestre, amelynek hat\'ars\'{\i}kjai
nulla m\'ert\'ek\H{u}ek mind a $\mu_1$ mind a $\mu_2$ m\'ert\'ek
szerint k\"ovetkezik, hogy $\mu_1=\mu_2$. Ezt p\'eld\'aul \'ugy
lehet megindokolni, hogy a bebizony\'{\i}tott azonoss\'ag
\'erv\'enyben marad ilyen t\'eglatestek disz\-junkt uni\'oira is,
illetve az \'altaluk gener\'alt $\sigma$-algebr\'ara is. Viszont
ez a $\sigma$-algebra meg\-egye\-zik a Borel $\sigma$-algebr\'aval 
az eg\'esz t\'eren.

\medskip
R\'at\'erek annak az eredm\'enynek az ismertet\'es\'ere, amely
pontosan le\'{\i}rja el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek \'es
eloszl\'asf\"uggv\'enyek karakterisztikus f\"uggv\'enyeinek
konvergenci\'aja k\"oz\"otti kap\-cso\-la\-tot. Ezt az eredm\'enyt,
--- fontoss\'aga miatt,  --- {\it eloszl\'asok konvergenci\'aj\'ar\'ol
sz\'ol\'o alapt\'etel}-nek fogom nevezni. Megt\'argyalom
e t\'etel felt\'eteleinek a tartalm\'at. De a t\'etel r\'eszletes
bizony\'{\i}t\'as\'at csak a kieg\'esz\'{\i}t\'esben ismertetem. Az
el\H{o}ad\'as f\H{o} r\'esz\'eben megel\'egszem ezen eredm\'eny egy
olyan gyeng\'{\i}tett v\'altozat\'anak a bizony\'{\i}t\'as\'aval,
amely elegend\H{o} lesz c\'eljainkra.

\medskip\noindent
{\bf Eloszl\'asok konvergenci\'aj\'ar\'ol sz\'ol\'o Alapt\'etel.}
{\it Legyen $F_n(x_1,\dots,x_k)$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek
egy sorozata az $R^k$ $k$-dimenzi\'os euklideszi t\'eren
$\varphi_n(t_1,\dots,t_k)$ karakterisztikus f\"uggv\'enyekkel,
$n=1,2,\dots$. Ha a $\varphi_0(t_1,\dots,t_k)
=\limm_{n\to\infty}\varphi_n(t_1,\dots,t_k)$ hat\'ar\'ert\'ek
l\'etezik minden $(t_1,\dots,t_k)$ pontban, \'es a
$\varphi_0(t_1,\dots,t_k)$ limeszf\"uggv\'eny folytonos az
orig\'oban, akkor l\'etezik olyan $F_0(x_1,\dots,x_k)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny a $k$-dimenzi\'os t\'erben, amelynek a
$\varphi_0(t_1,\dots,t_k)$ f\"uggv\'eny a karakterisztikus
f\"uggv\'enye. S\H{o}t, a $\varphi_0$ f\"uggv\'eny
folytonoss\'ag\'ar\'ol tett felt\'etel n\'emileg
gyeng\'{\i}thet\H{o}. El\'eg feltenni azt, hogy a
$\varphi_0(t_1,\dots,t_k)$ f\"uggv\'eny meg\-szo\-r\'{\i}\-t\'a\-sa
mindegyik koordin\'atatengelyre folytonos az orig\'oban.
A fenti felt\'etelek teljes\"ul\'ese eset\'en az
$F_n(x_1,\dots,x_k)$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek
eloszl\'asban konverg\'alnak ahhoz az $F_0(x_1,\dots,x_k)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez, amelynek
$\varphi_0(t_1,\dots,t_k)$ a karakterisztikus f\"uggv\'enye.

Megford\'{\i}tva, ha $F_n(x_1,\dots,x_k)$, $n=1,2,\dots$,
eloszl\'asf\"uggv\'enyeknek egy az $R^k$ $k$-dimenzi\'os euklideszi
t\'eren defini\'alt sorozata, amely egy $F_0(x_1,\dots,x_k)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-hez kon\-ver\-g\'al eloszl\'asban,
$\varphi_n(t_1,\dots,t_k)$, $n=1,2,\dots$,  jel\"oli az
$F_n(x_1,\dots,x_k)$, $\varphi_0(t_1,\dots,t_k)$ pedig az
$F_0(x_1,\dots,x_k)$ karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et,
akkor $\varphi_0(t_1,\dots,t_k)=\limm_{n\to\infty}
\varphi_n(t_1,\dots,t_k)$ minden $(t_1,\dots,t_k)\in
R^k$ pontban. Tov\'abb\'a, ez a konvergencia egyenletes az $R^k$
t\'er minden kompakt r\'eszhalmaz\'an. Ez\'ert a
$\varphi_0(t_1,\dots,t_k)$ f\"uggv\'eny folytonos.}
\medskip

E t\'etel szerint ahhoz, hogy valamely $F_n$
eloszl\'asf\"uggv\'enyek eloszl\'asban kon\-ver\-g\'al\-ja\-nak
az kell, hogy ezen eloszl\'asf\"uggv\'enyek karakterisztikus
f\"uggv\'enyei konverg\'aljanak, \'es ezenk\'{\i}v\"ul a
hat\'arf\"uggv\'eny legyen az orig\'oban folytonos. Az, hogy a
ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"uggv\'enyek konvergenci\'aja az
eloszl\'asban val\'o konvergencia sz\"uks\'eges felt\'etele
k\"ovetkezik az {\it el\-osz\-l\'a\-sok konvergenci\'aj\'anak
jellemz\'es\'er\H{o}l}\/ sz\'ol\'o t\'etelb\H{o}l, illetve
abb\'ol, hogy az $e^{i(t,x)}$
t\"obbv\'altoz\'os trigonometrikus f\"uggv\'enyek folytonosak
\'es korl\'atosak. A k\"ovetkez\H{o} p\'elda c\'elja az, hogy
seg\'{\i}tsen meg\'erteni  annak a plusz felt\'etelnek a
szerep\'et, mely szerint a ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus
f\"uggv\'enyek hat\'ar\'ert\'eke folytonos az orig\'oban.

\medskip\noindent
{\it P\'elda:}\/ Legyen $F_n(x)$ az egyenletes eloszl\'as
eloszl\'asf\"uggv\'enye a $[-n,n]$ intervallumban, $n=1,2,\dots$,
azaz legyen $F_n(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye az
$f_n(x)=\frac1{2n}$, ha $-n\le x\le n$, \'es $f_n(x)=0$, ha
$|x|>n$ f\"uggv\'eny. Az $F_n(x)$ eloszl\'as karakterisztikus
f\"uggv\'enye a
$\varphi_n(t)=\int_{-n}^ne^{itx}\frac1{2n}\,dx
=\frac{e^{int}-e^{-int}}{2int} =\frac{\sin nt}{nt}$, ha $t\neq0$,
\'es $\varphi_n(0)=1$ f\"uggv\'eny. Innen
$\limm_{n\to\infty}\varphi_n(t)=0$, ha $t\neq0$, \'es
$\limm_{n\to\infty}\varphi_n(0)=1$. Ez azt jelenti, hogy az
$F_n(\cdot)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek karakterisztikus
f\"uggv\'enyei minden pontban konverg\'alnak, \'es a
hat\'arf\"uggv\'eny folytonos az orig\'ot kiv\'eve minden pontban.
Maguk az $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek nem konverg\'alnak egy
eloszl\'ashoz. Szeml\'eletesen sz\'olva azt mondhatjuk, hogy
ezek az eloszl\'asok `kifolynak a v\'egtelenbe'.

A karakterisztikus f\"uggv\'enyek limesz\'enek a folytonoss\'aga
az orig\'oban az ilyen `az eloszl\'asok kifoly\'as\'anak a
v\'egtelenbe' hat\'asok kik\"usz\"ob\"ol\'es\'et biztos\'{\i}tja.
Az al\'abbi t\'etelben ilyen tartalm\'u \'all\'{\i}t\'ast
bizony\'{\i}tok be. Ezen eredm\'eny megfogalmaz\'asa el\H{o}tt
bevezetem be a k\"ovetkez\H{o} definici\'ot.

\medskip\noindent
{\bf Eloszl\'asok feszess\'eg\'enek a definici\'oja.}
{\it Azt mondjuk, hogy az $F_n(x_1,\dots,x_k)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek (illetve az \'altaluk
meghat\'arozott $\mu_{F_n}$ Stieltjes m\'ert\'ekek) sorozata
fe\-szes, ha tetsz\H{o}leges $\e>0$ sz\'amra l\'etezik olyan
$K=K(\e)$ sz\'am, hogy a
$\bold K(K)^k=\underbrace {[-K,K]\times\cdots\times [-K,K]}
_{k\text{\rm{-szoros szorzat}}}$ $k$-dimenzi\'os kock\'ara
$\mu_{F_n}(\bold K(K)^k)\ge1-\e$ {\rm minden} $n=1,2,\dots$
indexre.}

\medskip\noindent
{\bf T\'etel eloszl\'asok feszess\'eg\'enek
biztos\'{\i}t\'as\'ar\'ol a karakterisztikus f\"uggv\'eny
tulajdons\'agai alapj\'an.} {\it Legyen adva (egyv\'altoz\'os)
eloszl\'asf\"uggv\'enyek $F_n(x)$, sorozata $\varphi_n(t)$
ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"uggv\'enyekkel a sz\'amegyenesen,
$n=1,2,\dots$. Ha teljes\"ul a
$$
\lim_{\delta\to0}\limsup_{n\to\infty}\frac1{2\delta}\int_{-\delta}
^\delta\Re \(1-\varphi_n(t)\)\,dt=0 \tag6
$$
rel\'aci\'o, ahol $\Re z$ a $z$ komplex sz\'am val\'os r\'esz\'et
jel\"oli, akkor az $F_n(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek sorozata
feszes.}

\medskip\noindent
{\bf K\"ovetkezm\'eny.} {\it Ha az $F_n(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek
$\varphi_n(t)$ karakterisztikus f\"uggv\'enyei egy a nulla pontban
folytonos $\varphi_0(t)$ f\"uggv\'enyhez konverg\'alnak az orig\'o
egy kis k\"ornyezet\'eben, akkor feszesek. Ez az \'all\'{\i}t\'as
t\"obbv\'altoz\'os eloszl\'asf\"uggv\'enyek sorozat\'ara is
\'erv\'enyes. S\H{o}t, ebben az eset\-ben el\'eg azt feltenni, hogy
a hat\'arf\"uggv\'eny megszor\'{\i}t\'asa b\'armely
koordin\'atatengelyre folytonos az orig\'oban.}

\medskip\noindent
{\it A k\"ovetkezm\'eny bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Mivel
$\varphi_0(0)=\limm_{n\to\infty}\varphi_n(0)=1$, ez\'ert
a $\varphi_0(t)$ f\"uggv\'eny folytonoss\'ag\'ab\'ol az orig\'oban
k\"ovetkezik, hogy minden $\e>0$ sz\'amhoz l\'etezik olyan
$\delta_0=\delta_0(\e)$  sz\'am, amelyre $0\le \Re(1-\varphi_0(t))\le\e$,
ha $|t|<\delta_0$. Tov\'abb\'a $0\le \Re(1-\varphi_n(t))\le2$ minden
$n$ \'es $t$ sz\'amra, \'es
$\limm_{n\to\infty}\Re(1-\varphi_n(t))=\Re(1-\varphi_0(t))$ az
orig\'o egy kis k\"ornyezet\'eben.  Ez\'ert a Lebesgue t\'etel
alapj\'an l\'etezik a
$$
\limm_{n\to\infty}\frac1{2\delta}\left|\int_{-\delta}
^\delta\Re \(1-\varphi_n(t)\)\,dt\right|
=\frac1{2\delta}\left|\int_{-\delta}^\delta\Re(1-\varphi_0(t)\,dt\right|
\le\e
$$
hat\'ar\'ert\'ek minden $\delta<\delta_0$ sz\'amra. Ez azt
jelenti, hogy teljes\"ul a (6) felt\'etel, \'es a fenti t\'etel
alapj\'an az $F_n(x)$ f\"uggv\'enyek feszesek ebben az esetben.

Hasonl\'oan l\'athat\'o, hogy ha a $k$-v\'altoz\'os
$F_n(x_1,\dots,x_k)$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek
teljes\'{\i}tik a K\"ovetkezm\'enyben megfogalmazott
felt\'eteleket, akkor feszesek. Ugyanis az el\H{o}z\H{o}
\'ervel\'esb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy ebben az esetben
$\mu_{F_n}(\{(x_1,\dots,x_k)\colon\;|x_j|<K\})\le\frac\e k$
tetsz\H{o}leges $1\le j\le k$ koordin\'at\'ara
alkalmas $K=K(\e)$ sz\'ammal minden $n=1,2,\dots$ indexre,
\'es innen k\"ovetkezik a $\mu_{F_n}$ m\'ert\'ekek feszess\'ege.

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.}\/ Be lehet l\'atni, hogy a (6) formul\'aban
megfogalmazott felt\'etel sz\"uks\'eges \'es el\'egs\'eges
felt\'etele annak, hogy az $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek feszesek
legyenek. Erre a t\'enyre azonban nem lesz sz\"uks\'eg\"unk.

\medskip\noindent
{\it A t\'etel bizony\'{\i}t\'asa.} \'Irjuk fel a k\"ovetkez\H{o}
azonoss\'agot:
$$ \allowdisplaybreaks
\align
&\frac1{2\delta}\int_{-\delta}^\delta
\Re[1-\varphi_n(t)]\,dt=\int_{-\delta}^\delta\frac1{2\delta}
\int_{-\infty}^\infty \[1-\cos tx\]\,dF_n(x)\,dt\\
&\qquad=\int_{-\infty}^\infty\frac1{2\delta}\int_{-\delta}^\delta
[1-\cos tx]\,dt\,dF_n(x)
=\int_{-\infty}^\infty\[\frac t{2\delta}-\frac{\sin tx}{2\delta
x}\]_{t=-\delta}^{t=\delta}\,dF_n(x)  \tag7 \\
&\qquad=\int_{-\infty}^\infty\(1-\frac{\sin\delta x}{\delta
x}\)\,dF_n(x) =\int_{-K}^K\(1-\frac{\sin\delta x}{\delta x}\)\,dF_n(x)
\\ &\qquad\qquad+\int_{|x|>K}\(1-\frac{\sin\delta x}{\delta x}\)
\,dF_n(x)=I^{\delta}_{1,n}(K)+I^{\delta}_{2,n}(K).
\endalign
$$
Mivel
$\(1-\frac{\sin\delta x}{\delta x}\)\ge0$ minden $x$-re \'es
$\delta$-ra, ez\'ert a (7) formula baloldala fels\H{o} becsl\'est ad
az $I^{\delta}_{2,n}(K)$ kifejez\'esre tetsz\H{o}leges $\delta>0$
$n\ge1$ \'es $K>0$ sz\'amokra. Ez\'ert a (6) formula alapj\'an
tetsz\H{o}leges $\e>0$ sz\'amhoz l\'etezik olyan
$\delta=\delta(\e)>0$ sz\'am \'es $n_0=n_0(\delta)$ k\"usz\"obindex,
amelyekre $\frac\e2\ge\dsize\int_{|x|>K}
\(1-\frac{\sin\delta x}{\delta x}\)\,dF_n(x)$ ezzel a $\delta$ sz\'ammal
minden $n\ge n_0$ index-szel \'es $K>0$ sz\'ammal.
Legyen $K=\frac2\delta$. Akkor minden $|x|\ge K$-ra
$1-\frac{\sin\delta x}{\delta x}\ge\frac12$. Ez\'ert az
el\H{o}z\H{o} becsl\'esb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy $\frac\e2\ge
\dsize\int_{|x|>K}\(1-\frac{\sin\delta x}{\delta x}\)\,dF_n(x)\ge
\frac12[(1-F_n(K))+F_n(-K)]$, azaz $\e\ge [(1-F_n(K))+F_n(-K)]$
ezzel a $K$ sz\'ammal, ha $n\ge n_0$. A $K>0$ sz\'am esetleges
megn\"ovel\'es\'evel el\'erhetj\"uk, hogy a fenti
egyenl\H{o}tlens\'eg minden $n\ge1$ sz\'amra \'erv\'enyes legyen.
Teh\'at az $F_n$, $n=1,2,\dots$, eloszl\'asf\"uggv\'enyek feszesek.

\medskip\noindent
Megfogalmazom \'es bebizony\'{\i}tom az
{\it Eloszl\'asok konvergenci\'aj\'ar\'ol sz\'ol\'o Alapt\'etel}
egy sz\'amunkra hasznos egyszer\H{u}s\'{\i}tett v\'altozat\'at.

\medskip\noindent
{\bf Eloszl\'asok konvergenci\'aj\'ar\'ol sz\'ol\'o Alapt\'etel
egyszer\H{u}s\'{\i}tett v\'altozata.} {\it Az $R^k$ Euklideszi
t\'eren defini\'alt $F_n(x_1,\dots,x_k)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek
akkor \'es csak akkor konverg\'alnak egy $F_0(x_1,\dots,x_k)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez $n\to\infty$ eset\'en, ha az
$F_n(x_1,\dots,x_k)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek
$\varphi_n(t_1,\dots,t_k)$ karakterisztikus f\"uggv\'enyei
az $F_0(x_1,\dots,x_k)$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny
$\varphi_0(t_1,\dots,t_k)$ karakterisztikus f\"uggv\'eny\'ehez
konverg\'alnak minden $(t_1,\dots,t_k)\in R^k$ pontban.}

\medskip
A fenti t\'etel lehet\H{o}v\'e teszi eloszl\'asf\"uggv\'enyek
konvegenci\'aj\'anak a bizony\'{\i}t\'as\'at akkor, ha megvan a
jel\"olt a hat\'areloszl\'asra. Az alapt\'etel a jel\"olt
megtalal\'al\'as\'aban, illetve annak a k\'erd\'esnek az
eld\"ont\'es\'eben is seg\'{\i}t, hogy \'erdemes-e ilyen
jel\"oltet keresni.

A most megfogalmazott t\'etel bizony\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben
el\H{o}sz\"or bebizony\'{\i}tok egy lem\-m\'at a karakterisztikus
f\"uggv\'eny folytonoss\'ag\'ar\'ol.

\medskip\noindent
{\bf Lemma a karakterisztikus f\"uggv\'enyek
folytonoss\'ag\'ar\'ol.} {\it Egy $F(x_1,\dots,x_k)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny $\varphi(t_1,\dots,t_k)$
karakterisztikus f\"uggv\'enye folytonos, s\H{o}t egyenletesen
foly\-to\-nos f\"ugg\-v\'eny az $R^k$ t\'eren.}

\medskip\noindent
{\it A lemma bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Tekints\"unk egy
tetsz\H{o}leges $(t_1,\dots,t_k)$ \'es egy kis abszolut
\'ert\'ek\H{u} $(h_1,\dots,h_k)$ vektort az $R^k$ t\'eren, \'es
\'{\i}rjuk fel a k\"ovetkez\H{o} egyenl\H{o}tlens\'eget.
$$
\aligned
&|\varphi(t_1+h_1,\dots,t_k+h_k)-\varphi(t_1,\dots,t_k)|\\
&\qquad \le \int \left|e^{i((t_1+h_1)x_1+\cdots+(t_k+h_k)x_k)}
- e^{i(t_1x_1+\cdots+t_kx_k)}\right| F(\,dx_1,\dots,\,dx_k)\\
&\qquad \le \int \left|e^{i(h_1x_1+\cdots+h_kx_k)}-1\right|
F(\,dx_1,\dots,\,dx_k).
\endaligned \tag8
$$
R\"ogz\'{\i}ts\"unk egy kis $\e>0$ sz\'amot, \'es v\'alasszunk egy
olyan nagy $K=K(\e)>0$ sz\'amot, amelyre az $F$ eloszl\'asf\"uggv\'eny
\'altal meghat\'arozott $\mu_F$ Stieltjes m\'ert\'ekre
$$
\mu_F(\{(x_1,\dots,x_k)\colon\; |x_j|>K
\text{ valamely $1\le j\le k$ indexre}\})\le \frac\e4.
$$
Ilyen $K$ sz\'am l\'etezik a {\it val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'ert\'ekek a v\'egtelen k\"ornyezet\'eben val\'o
vi\-sel\-ke\-d\'e\-s\'e\-r\H{o}l} sz\'ol\'o lemma alapj\'an.
Ezut\'an v\'alasszunk olyan $\delta=\delta(\e,K)$ sz\'amot, amelyre
$$
\left|e^{i(h_1x_1+\cdots+h_kx_k)}-1\right|\le \frac\e2,\quad
\text{ha $|h_j|\le\delta$ \'es $|x_j|\le K$ minden $1\le j\le k$
indexre.}
$$

Vegy\"uk \'eszre, hogy
$\left|e^{i(h_1x_1+\cdots+h_kx_k)}-1\right|\le 2$ minden
$(x_1,\dots,x_k)$ \'es $(h_1,\dots,h_k)$ vektorra. A (8)
egyenl\H{o}tlens\'eget alkalmazva, \'es az egyenl\H{o}tlens\'eg
jobboldal\'an szerepl\H{o} integr\'alt felbontva a
$\bold K=\{(x_1,\dots,x_k)\colon\;|x_j|\le K,\text {minden }
1\le j\le k \text{ indexre}\}$
tartom\'anyon \'es a tartom\'any komplementer\'en vett integr\'alok
\"osszeg\'ere azt kapjuk az el\H{o}bb v\'alasztott $K$ \'es
$\delta$ sz\'amokkal, hogy
$$
\align
&|\varphi(t_1+h_1,\dots,t_k+h_k)-\varphi(t_1,\dots,t_k)|\\
&\qquad \le \int_{\bold K} \left|e^{i(h_1x_1+\cdots+h_kx_k)}-1\right|
F(\,dx_1,\dots,\,dx_k)+\frac\e2\le\e,
\endalign
$$
ha $|h_j|\le\delta$ minden $1\le j\le k$ indexre. Innen
k\"ovetkezik a lemma \'all\'{\i}t\'asa.

\medskip\noindent
{\it Az eloszl\'asok konvergenci\'aj\'ar\'ol sz\'ol\'o Alapt\'etel
egyszer\H{u}s\'{\i}tett v\'altozat\'anak bizony\'{\i}t\'asa.}
Az {\it eloszl\'asok konvergenci\'aj\'anak
jellemz\'es\'er\H{o}l}\/ sz\'ol\'o t\'etelb\H{o}l k\"ozvetlen\"ul
l\'atszik, hogy eloszl\'asf\"uggv\'enyek konvergenci\'aj\'ab\'ol
k\"ovetkezik a karakterisztikus f\"uggv\'enyek konvergenci\'aja.
Az ellenkez\H{o} \'{\i}r\'any\'u \'all\'{\i}t\'as
bizony\'{\i}t\'as\'anak \'erdek\'eben l\'assuk be el\H{o}sz\"or
azt, hogy eloszl\'asok karakterisztikus f\"uggv\'enyeinek
konvergenci\'aj\'ab\'ol egy egy el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'ehez k\"ovetkezik, hogy a tekintett
eloszl\'asf\"uggv\'enyek fe\-sze\-sek.

Val\'oban, mivel a hat\'arf\"uggv\'eny, l\'ev\'en karakterisztikus
f\"uggv\'eny, folytonos az ori\-g\'o\-ban ebben az esetben, ez\'ert
a {\it az eloszl\'asok feszess\'eg\'enek
biztos\'{\i}t\'as\'ar\'ol a karakterisztikus f\"uggv\'eny
tulajdons\'agai alapj\'an} t\'etel k\"ovetkezm\'eny\'eb\H{o}l
k\"o\-vet\-ke\-zik a tekintett eloszl\'asok feszess\'ege.

Ezt a t\'enyt felhaszn\'alva hasonl\'oan bizony\'{\i}tjuk be azt,
hogy az eloszl\'asf\"uggv\'enyek konvergenci\'aja k\"ovetkezik
a karakterisztikus f\"ugg\-v\'e\-nyek konvergenci\'aj\'ab\'ol,
mint az anal\'og \'all\'{\i}t\'ast arr\'ol, hogy egy eloszl\'ast
meg\-ha\-t\'a\-roz annak karakterisztikus f\"uggv\'enye. Az egyetlen
l\'enyeges k\"ul\"onbs\'eg a k\'et bizony\'{\i}t\'as k\"oz\"ott
az, hogy jelen esetben az el\-osz\-l\'a\-sok feszess\'ege veszi
\'at a {\it val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'er\-t\'e\-kek
vi\-sel\-ke\-d\'e\-s\'e\-r\H{o}l a v\'egtelen
k\"or\-nye\-ze\-t\'e\-ben} lem\-ma szerep\'et.

Azt akarjuk bebizony\'{\i}tani, hogy tetsz\H{o}leges folytonos \'es
korl\'atos $f(x_1,\dots,x_k)$ f\"uggv\'enyre az $R^k$ t\'erben
$$
\limm_{n\to\infty}\int f(x_1,\dots,x_k)F_n(\,dx_1,\dots,\,dx_k)=
\int f(x_1,\dots,x_k)F_0(\,dx_1,\dots,\,dx_k). \tag9
$$
Viszont az eloszl\'asok feszess\'ege \'es az $f$ folytonos
f\"uggv\'eny korl\'atoss\'aga miatt minden $\e>0$ sz\'amhoz
l\'etezik olyan $K>0$ sz\'am \'es $f_K$  folytonos f\"uggv\'eny
az $R^k$ t\'eren, amelyre az $f_K$ f\"uggv\'eny tart\'oja a
$\bold K=\bold K(K)=[-K,K]\times\cdots\times[-K,K]$ t\'eglatestben
van, \'es
$$
\left|\int f(x_1,\dots,x_k)F_n(\,dx_1,\dots,\,dx_k)-
\int f_K(x_1,\dots,x_k)F_n(\,dx_1,\dots,\,dx_k)\right|<\e \tag10
$$
minden $n=1,2,\dots$ indexre. Egy ilyen konstrukci\'ot \'ugy
kaphatunk, hogy vesz\"unk (kihaszn\'alva az $F_n$ eloszl\'asok
feszess\'eg\'et) egy olyan $\bold K(\frac K2)$ t\'eglatestet,
amelyre teljes\"ul a
$\mu_{F_n}\(R^k\setminus \bold K(\frac K2)\)\le \frac\e{2M}$,
egyenl\H{o}tlens\'eg minden $n=0,1,2,\dots$ indexre, ahol
$M=\supp_{x_1,\dots,x_k)}|f(x_1,\dots,x_k)|$, \'es vessz\"uk
azt a f\"uggv\'enyt, amely megegyezik az $f(\cdot)$ f\"ugg\-v\'ennyel
a $\bold K(\frac K2)$ t\'eglatesten, azon k\'{\i}v\"ul pedig
elt\H{u}nik. Ezut\'an ezt a f\"uggv\'enyt `kisim\'{\i}tjuk' a
t\'eglatesten k\'{\i}v\"ul, az\'ert hogy folytonos legyen. (Ilyen
`sim\'{\i}t\'asra' egyszer\H{u}, standard m\'odszerek vannak az
anal\'{\i}zisben. Legegyszer\H{u}bben \'ugy kapunk ilyen
$f_K(\cdot)$ f\"uggv\'enyt, hogy az $f(x_1,\dots,x_k)$
f\"uggv\'enyt megszorozzuk egy olyan $h(x_1,\dots,x_k)$
foly\-to\-nos f\"uggv\'ennyel, amelyre $0\le h(x_1,\dots,x_k)\le 1$
minden $(x_1,\dots,x_k)\in R^k$ pontban, $h(x_1,\dots,x_k)=1$, ha
$(x_1,\dots,x_k)\in\bold K(\frac K2)$, \'es
$$
h(x_1,\dots,x_k)=0, \quad\text {ha }
\rho\((x_1,\dots,x_k), \bold K\(\frac K2\)\)\ge1.
$$
Ilyen $h(\cdot)$ f\"uggv\'enyt nem neh\'ez konstru\'alni.)

Ezut\'an vehetj\"uk az $f_K$ f\"uggv\'eny minden
koordin\'at\'aj\'aban $2K$ peri\'odus\'u $\bar f_K$
pe\-ri\'o\-di\-kus kiterjeszt\'es\'et hasonl\'oan ahhoz, ahogy
annak bizony\'{\i}t\'as\'aban tett\"uk, hogy a
ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"uggv\'eny meghat\'arozza az
eloszl\'ast. Ezut\'an a $\bar f_K$ folytonos peri\'odikus
f\"ugg\-v\'enyt k\"ozel\'{\i}thetj\"uk
olyan $2K$ peri\'odus\'u $P(x_1,\dots,x_k)$ trigonometrikus
polinommal Weierstrass m\'asodik approxim\'aci\'os t\'etele
alapj\'an, amelyre
$\supp |\bar f_K(x_1,\dots,x)-P(x_1,\dots,x_k)|\le\e$.
Ekkor a (10) egyenl\H{o}tlens\'eg \'erv\'enyben marad $2\e$
fels\H{o} becsl\'essel az $\e$ fels\H{o} becsl\'es helyett, ha
az $f_K$ f\"uggv\'enyt a $\bar f_K$ f\"uggv\'ennyel
helyettes\'{\i}tj\"uk. Tov\'abb\'a, \'erv\'enyes az
$$
\left|\int f(x_1,\dots,x_k)F_n(\,dx_1,\dots,\,dx_k)-
\int P(x_1,\dots,x_k)F_n(\,dx_1,\dots,\,dx_k)\right|<3\e
$$
egyenl\H{o}tlens\'eg az \'{\i}gy konstru\'alt $P(\cdot)$
trigonometrikus polinommal minden $n=1,2,\dots$ indexre. Mivel ez az
egyenl\H{o}tlens\'eg minden $\e>0$-ra igaz (alkalmas trigonometrikus
$P(\cdot)$ polinommal), \'es a karakterisztikus f\"uggv\'enyek
konvergenci\'aj\'ab\'ol k\"ovetkezik a
$$
\lim_{n\to\infty}\int P(x_1,\dots,x_k)F_n(\,dx_1,\dots,\,dx_k)=
\int P(x_1,\dots,x_k)F_0(\,dx_1,\dots,\,dx_k)
$$
rel\'aci\'o minden trigonometrikus polinomra, innen $\e\to0$
hat\'ar\'atmenettel megkapjuk a (9) rel\'aci\'ot, \'es \'{\i}gy a
t\'etel \'all\'{\i}t\'as\'at.

\medskip
A fenti eredm\'enyek alapj\'an  eloszl\'asf\"uggv\'enyek
aszimptotikus viselked\'es\'er\H{o}l sz\'ol\'o
hat\'areloszl\'ast\'etelek bizony\'{\i}t\'as\'at
visszavezethetj\"uk az eloszl\'asf\"uggv\'enyek
ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"uggv\'enyeinek
vizs\-g\'a\-la\-t\'a\-ra. Ahhoz azonban, hogy  j\'o, tartalmas
eredm\'enyeket kapjunk sz\"uks\'eg\"unk van arra,
hogy  az eloszl\'asf\"uggv\'enyek tulajdons\'agair\'ol sz\'ol\'o
fel\-t\'e\-te\-lek\-r\H{o}l meg\'erts\"uk, hogy azok mit
jelentenek a karakterisztikus f\"uggv\'enyekre, azaz az
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek Fourier transzform\'altjaira.
Meglehet\H{o}sen j\'o `sz\'ot\'arat' lehet k\'esz\'{\i}teni, amely
le\'{\i}rja, hogy egy f\"uggv\'eny bizonyos tulajdons\'agai hogyan
t\"ukr\"oz\H{o}dnek a f\"uggv\'eny Fourier transzform\'altjainak a
tulajdons\'agaiban, \'es vice versa. Ezen el\H{o}ad\'asban nem
foglalkozom e `sz\'ot\'ar' kidolgoz\'as\'aval. Megel\'egszem a
hat\'areloszl\'ast\'etelek vizsg\'alat\'aban legfontosabb ilyen
ir\'any\'u eredm\'eny bizony\'{\i}t\'as\'aval. Ez arr\'ol sz\'ol,
hogy egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o momentumait hogyan
lehet kifejezni a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"uggv\'eny\'enek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok momentumainak
kifejez\'es\'er\H{o}l karakterisztikus f\"uggv\'eny\"uk
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.} {\it Legyen $\xi$ olyan
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelyre $E|\xi|^k<\infty$
valamilyen $k$ pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amra. Jel\"olje $F(x)$ a
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as, \'es
$\varphi(t)$ annak karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et. Ekkor a
$\varphi(t)$ karakterisztikus f\"uggv\'eny deriv\'altjai
megadhat\'oak a $\frac{d^j}{dt^j}\varphi(t)=\dsize\int_{-\infty}^\infty
i^ju^j e^{itu}F(\,du)$ k\'eplettel minden $0\le j\le k$ \'es
$-\infty<t<\infty$ sz\'amra. Speci\'alisan,
$\left.\dfrac{d^j\varphi(t)}{dt^j}\right|_{t=0}
=\dsize\int_{-\infty}^\infty i^ju^j F(\,du)=i^jE\xi^j$ minden $0\le
j\le k$ sz\'amra.}

\medskip\noindent
{\it A  t\'etel bizony\'{\i}t\'asa.} Teljes\"ulj\"on az
$E|\xi|^k=\int_{-\infty}^\infty |x|^kF(\,dx)<\infty$ felt\'etel
valamely pozit\'{\i}v eg\'esz $k$ sz\'amra. Azt fogjuk bel\'atni,
hogy ha valamilyen $0\le j<k$ sz\'amra
$\frac{d^j}{dt^j}\varphi(t)=\dsize\int_{-\infty}^\infty
i^ju^j e^{itu}F(\,du)$ minden
$-\infty<t<\infty$ sz\'amra, akkor
$$
\frac{d^{j+1}}{dt^{j+1}}\varphi(t)=\dsize\int_{-\infty}^\infty
i^{j+1}u^{j+1} e^{itu}F(\,du)
$$
minden $-\infty<t<\infty$ sz\'amra. Innen indukci\'oval k\"ovetkezik
a t\'etel f\H{o} \'all\'{\i}t\'asa, mivel az indukci\'os feltev\'es
\'erv\'enyes $j=0$ eset\'en. A momentumokat a karakterisztikus
f\"uggv\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel megad\'o formula megkaphat\'o,
ha alkalmazuk ezt az eredm\'enyt $t=0$ v\'a\-lasz\-t\'as\-sal.

Viszont
$$
\frac{d^{j+1}}{dt^{j+1}}\varphi(t)=
\lim_{h\to0}\frac{\frac{d^j}{dt^j}\varphi(t+h)-\frac{d^j}{dt^j}
\varphi(t)}h =\lim_{h\to0}\int_{-\infty}^\infty
\frac{i^{j}u^{j} e^{i(t+h)u}-i^{j}u^{j} e^{itu}}hF(\,du),
$$
\'es az integrandus teljes\'{\i}ti az
$$
\limm_{h\to0}\frac{i^{j}u^{j} e^{i(t+h)u}-i^{j}u^{j}
e^{itu}}h=i^ju^{j+1}e^{itu}\limm_{h\to0}\frac{e^{ihu}-1}{hu}
=i^{j+1}u^{j+1} e^{itu}
$$
rel\'aci\'ot. Azt kell megmutatnunk,
hogy jogunk van a limeszel\'esben az integr\'al\'as \'es
limeszk\'epz\'es sorrendj\'et felcser\'elni. Ehhez a Lebesgue
domin\'alt konvergenciat\'etele alap\-j\'an el\'eg
azt megmutatni, hogy l\'etezik olyan $K(u)$ f\"uggv\'eny, amelyre
$$
\left|\frac{i^{j}u^{j} e^{i(t+h)u}- i^{j}u^{j}e^{itu}}h\right|
\le K(u)\qquad\text{ minden $|h|\le\frac12$ sz\'amra},
$$
\'es $\int_{-\infty}^\infty K(u)F(\,du)<\infty$. Vegy\"uk \'eszre, hogy
$$
\align
\left|\frac{i^{j}u^{j} e^{i(t+h)u} i^{j}u^{j}-
e^{itu}}h\right|&=|u|^{j+1}\left|\frac{e^{ihu}-1}{hu}\right|\\
&\le |u|^{j+1}\(\sup_v\left|\frac{1-\cos v}v\right|
+\sup_v\left|\frac{\sin v}v\right|\)\le 3|u|^{j+1},
\endalign
$$
mert $\left|\frac{\sin v}v\right|\le1$, \'es
$\left|\frac{1-\cos v}v\right|\le2$.
Ez\'ert v\'alaszthatjuk a k\'{\i}v\'ant
$K(u)$ f\"uggv\'enyt, mint $K(u)=3|u|^{j+1}$, \'es
ny\'{\i}lv\'an $\int_{-\infty}^\infty K(u)F(\,du)<\infty$, ha $j\le k$.

\beginsection Kieg\'esz\'{\i}t\'es A: Eloszl\'asf\"uggv\'enyek
tulajdons\'agair\'ol.

Az el\H{o}ad\'asban felhaszn\'altuk az eloszl\'asf\"uggv\'enyek
k\"ovetkez\H{o} tulajdons\'ag\'at.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel t\"obbv\'altoz\'os eloszl\'asf\"uggv\'enyek
tulajdons\'agair\'ol.} {\it Legyen $F(x_1,\dots,x_k)$
$k$-v\'altoz\'os eloszl\'asf\"uggv\'eny, \'es jel\"olje $\mu_F$
az $F(x_1,\dots,x_k)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny \'altal
meg\-ha\-t\'a\-ro\-zott  Stieltjes m\'ert\'eket. Vezess\"uk be
minden $1\le j\le k$ indexre a $\mu_F$ m\'ert\'ek $\mu_j$
vet\"uletet\'et  az $R^k$ t\'er $j$-ik koordin\'at\'ara, azaz a
k\"ovetkez\H{o}  $\mu_j=\mu_{F,j}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'er\-t\'e\-ket a  sz\'amegyenes $\Cal B$ Borel
$\sigma$-algebr\'aj\'an.
$$
\mu_j(B)=\mu_F(\{(u_1,\dots,u_j,\dots,u_k)\colon\; u_j\in B\} \quad
\text{minden $B\in \Cal B$ halmazra.}
$$
A $\mu_j$ m\'ert\'eknek csak megsz\'aml\'alhat\'oan sok atomja van,
azaz legfeljebb meg\-sz\'am\-l\'al\-ha\-t\'o\-an sok olyan
$x\in R^1$ pont van, amelyre $\mu_j(\{x\})>0$. Ha
$(x_1,\dots,x_k)\in R^k$ olyan pont,  amelyre
$\mu_j(\{x_j\})=0$ minden $1\le j\le k$ indexre, akkor az $F$
eloszl\'asf\"uggv\'eny folytonos ebben az $(x_1,\dots,x_k)$ pontban.}

\medskip\noindent
{\it A t\'etel bizony\'{\i}t\'asa:}\/ Mivel $\mu_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek, ez\'ert tetsz\H{o}leges $n$
pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amra azon $x$ pontokb\'ol \'all\'o $A_n$
halmaz, mely pontokra $\mu_j(\{x\})\ge\frac1n$, v\'eges.
(Az $A_n$ halmaz legfeljebb $n$ pontb\'ol \'all.) Mivel a $\mu_j$
m\'ert\'ek atomjainak halmaza megegyezik az $A_n$ halmazok
uni\'oj\'aval, ez\'ert $\mu_j$-nek legfeljebb megsz\'aml\'alhat\'o
sok atomja van.

Ha az $(x_1,\dots,x_k)\in R^k$ olyan pont, amelyre $x_j$ nem atomja
a $\mu_j$ m\'ert\'eknek semelyik $1\le j\le k$ indexre, akkor a
$\mu_j$ m\'ert\'ekek folytonoss\'agi tulajdons\'aga alapj\'an minden
$\e>0$ sz\'amra l\'etezik olyan $\delta>0$ sz\'am, amelyre
$\mu_j(\{u\colon\; x_j-\delta\le u\le x_j+\delta\})\le \frac\e k$
mindegyik $1\le j\le k$ indexre. Innen k\"ovetkezik, hogy
$$
F(x_1+\delta,\dots,x_k+\delta)-F(x_1-\delta,\dots,x_k-\delta)\le
\summ_{j=1}^k\mu_j(\{u_j\colon\;x_j-\delta
\le u_j\le x_j+\delta\})\le\e,
$$
\'es az $F$ eloszl\'asf\"uggv\'eny monoton\'{\i}t\'asi
tulajdons\'agai alapj\'an
$$
|F(x_1+v_1,\dots,x+v_k)-F(x_1,\dots,x_k)|\le
F(x_1+\delta,\dots,x+\delta)-F(x_1-\delta,\dots,x_k-\delta)\le\e,
$$
ha $|v_j|\le\delta$, $1\le j\le k$. Innen k\"ovetkezik az $F$
f\"uggv\'eny folytonoss\'aga az $(x_1,\dots,x_k)$ pontban.

\beginsection Kieg\'esz\'{\i}t\'es B.
Az eloszl\'asok konvergenci\'aj\'ar\'ol sz\'ol\'o Alapt\'etel
bizony\'{\i}t\'asa.

E t\'etel bizony\'{\i}t\'asa el\H{o}tt bebizony\'{\i}tok egy
\"onmag\'aban is \'erdekes eredm\'enyt eloszl\'asok relat\'{\i}v
kompakts\'ag\'anak \'es feszess\'eg\'enek kapcsolat\'ar\'ol.
Ennek \'erdek\'eben el\H{o}sz\"or be\-ve\-ze\-tem a k\"ovetkez\H{o}
definici\'ot.

\medskip\noindent
{\bf Eloszl\'asok relat\'{\i}v kompakts\'ag\'anak a definici\'oja.}
{\it Legyen adva $F_n(x_1,\dots,x_k)$, $n=1,2,\dots$,
eloszl\'asf\"uggv\'enyek sorozata a $k$-dimenzi\'os euklideszi
t\'erben, \'es jel\"olje $\mu_{F_n}$ az $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'eny
\'altal meghat\'arozott Stieltjes m\'ert\'eket az
$R^k$ t\'erben. Azt mondjuk, hogy az $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek
illetve $\mu_{F_n}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek sorozata
relat\'{\i}v kompakt, ha az $F_n$ (vagy $\mu_{F_n}$),
sorozat tetsz\H{o}leges $F_{n_k}$ (illetve $\mu_{F_{n_k}}$),
$k=1,2,\dots$,
r\'eszsorozat\'anak l\'etezik $F_{n_{k_j}}$ (illetve
$\mu_{F_{n_{k_j}}}$), $j=1,2,\dots$, eloszl\'asban konvergens
r\'eszsorozata.}

\medskip\noindent
{\bf T\'etel eloszl\'asok relat\'{\i}v kompakts\'ag\'anak \'es
feszess\'eg\'enek kapcsolat\'ar\'ol.} {\it Le\-gyen $\mu_n$,
$n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek feszes
sorozata az az $R^k$ $k$-dimenzi\'os euklideszi t\'eren.
Ez a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekekb\H{o}l \'all\'o
sorozat relat\'{\i}v kompakt.}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.}\/ Igaz a t\'etel megford\'{\i}t\'asa is, amely
szerint val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek so\-ro\-za\-t\'a\-nak
relat\'{\i}v kompakts\'ag\'ab\'ol k\"ovetkezik e sorozat
feszess\'ege is. Ennek az \'all\'{\i}t\'asnak a bizony\'{\i}t\'asa
l\'enyegesen  egy\-sze\-r\H{u}bb. De mivel erre
az eredm\'enyre nem lesz sz\"uks\'eg\"unk, ezt nem bizony\'{\i}tom.

\medskip\noindent
{\it A t\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}
Azt kell bel\'atnunk, hogy a $\mu_n$ sorozat tetsz\H{o}leges
r\'eszsorozat\'anak l\'etezik eloszl\'asban konvergens r\'eszorozata.
Az egyszer\H{u}bb jel\"ol\'es \'erdek\'eben a r\'esz\-so\-ro\-zat
\'ujraindexel\'es\'evel jel\"olj\"uk ezt a r\'eszsorozatot is
$\mu_n$-nel. Azt kell bel\'atnunk, hogy ennek az \'uj (szint\'en
feszes) $\mu_n$ m\'ert\'eksorozatnak l\'etezik el\-osz\-l\'as\-ban
konvergens r\'eszsorozata.

Jel\"olje $F_n(x)=F_n(x_1,\dots,x_k)$ a $\mu_n$ m\'ert\'ek
\'altal meghat\'arozott
$F_n(x_1,\dots,x_k)=\mu_n(\{(u_1,\dots,u_k)\colon\;
u_j<x_j,\;j=1,\dots,k\})$ eloszl\'asf\"uggv\'enyt. Legyen
$$
x^{(p)}=\(x_1^{(p)},\dots,x_k^{(p)}\),\quad p=1,2,\dots,
$$
a racion\'alis koordin\'at\'aj\'u $x^{(p)}\in R^k$ pontok
(megsz\'aml\'alhat\'o) halmaza valamilyen indexel\'essel felsorolva.
El\H{o}sz\"or bel\'atjuk  az \'ugynevezett \'atl\'os
m\'odszer se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel, hogy egy alkalmas $n_j$,
$j=1,2,\dots$, sz\'amsorozatra a
$$
\limm_{j\to\infty}
F_{n_j}\(x_1^{(p)},\dots,x_k^{(p)}\)= \tilde
F\(x_1^{(p)},\dots,x_k^{(p)}\) \tag11
$$
hat\'ar\'ert\'ek l\'etezik minden $p=1,2,\dots$ sz\'amra.

Val\'oban, mivel $0\le F_n(x)\le1$ l\'etezik az eg\'esz
sz\'amoknak olyan $\bar n_j=(n_{j,1})$ r\'eszsorozata, amelyre
l\'etezik a $\limm_{j\to\infty}F_{n_{j,1}}(x^{(1)})=\tilde F(x^{(1)})$
hat\'ar\'ert\'ek. Ennek l\'etezik olyan $n_{j,2}$ r\'eszsorozata,
melyre l\'etezik a $\limm_{j\to\infty}F_{n_{j,2}}(x^{(2)})=\tilde
F(x^{(2)})$ hat\'ar\'ert\'ek. Ezt az elj\'ar\'ast
folytatva kapunk egym\'asba skatuly\'azott $n_{j,p}$, $j=1,2,\dots$,
sorozatot minden $p=1,2,\dots$ indexre, amelyekre
$\{n_{p+1,j},\;j=1,2,\dots\}\subset \{n_{p,j},\;j=1,2,\dots\}$,
$p=1,2,\dots$, \'es minden $p=1,2,\dots$ sz\'amra l\'etezik a
$\limm_{j\to\infty}F_{n_{j,p}}(x^{(p)})=\tilde F(x^{(p)})$
hat\'ar\'ert\'ek. Ekkor az $n_j=n_{j,j}$ sorozat teljes\'{\i}ti a
(11) rel\'aci\'ot.

Vezess\"uk be az
$$
F(x_1,\dots,x_k)=\sup_{\left\{n_j\colon\; x_s^{(n_j)}<x_s,
\;s=1,\dots,k\right\}}
\tilde F\(x_1^{(n_j)},\dots,x_1^{(n_j)}\) \tag12
$$
f\"uggv\'enyt. Azt \'all\'{\i}tom, hogy $F(x_1,\dots,x_k)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny, \'es az $F_{n_j}(x_1,\dots,x_k)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyek eloszl\'asban konverg\'alnak ehhez az
$F(x_1,\dots,x_k)$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-hez, ha az $n_j$
sz\'amsorozat teljes\'{\i}ti a (11) rel\'aci\'ot. Ha ezt
az \'all\'{\i}t\'ast bel\'atjuk, akkor befejezt\"uk a T\'etel
bizony\'{\i}t\'as\'at.

Annak \'erdek\'eben, hogy megmutassuk azt, hogy
$F(x_1,\dots,x_k)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny felhaszn\'aljuk az
eloszl\'asf\"uggv\'enyek k\"ovetkez\H{o} ,,bels\H{o}"
azaz csak az $F$ f\"uggv\'eny tu\-laj\-don\-s\'a\-gai\-t\'ol
f\"ugg\H{o} jellemz\'es\'et. Az $F(x_1,\dots,x_k)$ f\"uggv\'eny akkor
\'es csak akkor el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny, ha teljes\'{\i}ti a
k\"ovetkez\H{o} n\'egy tulajdons\'agot.

\medskip
\item {(i)} $F(x_1,\dots,x_k)$ minden v\'altoz\'oj\'anak balr\'ol
folytonos f\"uggv\'enye.
\item {(ii)} $\lim\limits\Sb x_j\to\infty \\ \text{minden }
j=1,\dots,k\text{ sz\'amra}\endSb F(x_1,\dots,x_k)=1$.
\item{(iii)} $\lim\limits\Sb x_j\to-\infty \\ \text{valamely }1\le
j\le k\text{ sz\'amrra}\endSb F(x_1,\dots,x_k)=0$.
\itemitem{} V\'eg\"ul defini\'aljuk egy az $R^k$ t\'eren defini\'alt
$F$ f\"uggv\'enyre \'es egy
$\bold K=[a_1,b_1)\times\cdots\times[a_k,b_k)$ t\'eg\-la\-test\-re a
$$
\mu(\bold K)=\mu_F(\bold K)=\sum\Sb x_j=\; a_j\text{ vagy
}b_j\\j=1,\dots,k\endSb (-1)^{\chi(x_1,\dots,x_k)}F(x_1,\dots,x_k)
$$
mennyis\'eget, ahol $\chi(x_1,\dots,x_k)$ jel\"oli az $a_j$-k
sz\'am\'at az $x_1,\dots,x_k$ sorozatban. Ekkor
\itemitem{(iv)} $\mu_F(\bold K)\ge 0$ minden $\bold K$ t\'eglatestre.
\medskip

Mivel a racion\'alis koordin\'at\'aj\'u pontokban defini\'alt
$\tilde F(x_1,\dots,x_k)$ f\"uggv\'eny minden
koor\-di\-n\'a\-t\'a\-j\'a\-nak monoton f\"uggv\'enye, ez\'ert a
(12)~formul\'aban defini\'alt $F(\cdot)$ f\"uggv\'eny
teljes\'{\i}ti az (i) tulajdons\'agot. Tov\'abb\'a ebb\H{o}l a
monoton\'{\i}t\'asb\'ol az is k\"ovetkezik, hogy a (12)
formul\'aban a $\sup$ helyett limeszt \'{\i}rhatunk, ahol olyan
$\(x_1^{(p)},\dots,x_k^{(p)}\)$, $p=1,2,\dots$, sorozatot
tekint\"unk a limeszben, amelyre $x_j^{(p)}<x_j$ minden $1\le j\le k$
\'es $p=1,2,\dots$ indexre. Tov\'abb\'a $\limm_{p\to\infty}
x_j^{(p)}=x_j$ minden $j=1,\dots,k$ sz\'amra. Te\-kint\-s\"unk olyan
$\bold K(p)$ racion\'alis koordin\'at\'aj\'u t\'eglatestesteket,
amelyekben minden pont \"osszes koordin\'at\'aja szigor\'uan monoton
n\"ovekv\H{o} m\'odon tart a $\bold K$ t\'egla\-test megfelel\H{o}
pontj\'anak a koordin\'at\'ahoz. Ekkor
$\mu_{\tilde F}(\bold K(p))\ge0$, mivel $\tilde F$
eloszl\'asf\"uggv\'enyek limesze. Ez\'ert
$\mu_F(\bold K)=\limm_{p\to\infty}\mu_{\tilde F}(\bold K(p))\ge0$,
azaz az $F$ f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti a (iv) tulajdons\'agot.
Vegy\"uk \'eszre, hogy a (ii) \'es (iii) tulajdons\'ag \'erv\'enyes
akkor, ha az $F_n$ f\"uggv\'enyeket a $\tilde F$ f\"uggv\'ennyel
helyettes\'{\i}tj\"uk, \'es a limeszt csak racion\'alis
koordin\'at\'aj\'u pontokban te\-kint\-j\"uk. (A bizony\'asnak ebben
a pontj\'aban haszn\'aljuk ki, hogy a $\mu_n$ m\'ert\'ekek
fe\-sze\-sek.) Innen \'es a (12) formul\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy
az $F$ f\"uggv\'eny a (ii) \'es (iii) tulajdons\'agokat is
teljes\'{\i}ti.

Annak \'erdek\'eben, hogy megmutassuk azt, hogy az $F_{n_k}$
eloszl\'asf\"uggv\'enyek el\-osz\-l\'as\-ban konverg\'alnak az $F$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez te\-kint\-s\"uk az $F$ f\"uggv\'eny
valamely $x=(x_1,\dots,x_k)$ folytonoss\'agi pontj\'at, majd minden
r\"ogz\'{\i}tett $\e>0$ sz\'amhoz v\'alasszunk olyan
$\delta=\delta(\e)$ sz\'amot, amelyre
$F(x)-\e\le F(x-\delta)\le F(x)\le F(x+\delta)\le F(x)+\e$, ahol
$x\pm\delta=(x_1\pm \delta,\dots,x_k\pm\delta)$. V\'alasszunk
ezut\'an k\'et olyan racion\'alis koordin\'at\'aj\'u
$r=(r_1,\dots,r_k)\in R^k$ \'es
$\bar r=(\bar r_1,\dots,\bar r_k)\in R^k$ pontot, amelyekre
$x_j-\delta <r_j<x_j<\bar r_j<x_j+\delta$ minden $j=1,\dots,k$
indexre. Ekkor a $\tilde F(\cdot)$ f\"uggv\'eny monotonit\'asi
tulajdons\'agai \'es az $F$ f\"uggv\'eny definici\'oja alapj\'an
$$
F(x)-\e\le F(x-\delta)<\tilde F(r)\le F(x)\le \tilde F(\bar r)\le
F(x+\delta)\le F(x)+\e
$$
Innen, a $\tilde F$ f\"uggv\'eny definici\'oja \'es az $F_{n_j}$
f\"uggv\'enyek monotonit\'asi tulajdons\'agai miatt
$$
\align
F(x)-\e&\le \lim_{j\to\infty}F_{n_j}(r) \le
\liminf_{j\to\infty}F_{n_j}(x)\\
&\le\limsup_{j\to\infty}F_{n_j}(x)\le
\lim_{j\to\infty}F_{n_j}(\bar r)\le F(x)+\e,
\endalign
$$
ez\'ert
$$
-\e\le \liminf_{j\to\infty}F_{n_j}(x)-F(x) \le
\limsup_{j\to\infty}F_{n_j(x)}-F(x)\le\e.
$$
Mivel ez a rel\'aci\'o minden $\e>0$-ra igaz, innen k\"ovetkezik,
hogy $\limm_{j\to\infty}F_{n_j}(x)=F(x)$.
A t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'at befejezt\"uk.

\medskip\noindent
{\it Az eloszl\'asok konvergenci\'aj\'ar\'ol sz\'ol\'o Alapt\'etel
bizony\'{\i}t\'asa.} L\'assuk el\H{o}sz\"or azt be, hogy ha az
$F_n(x_1,\dots,x_k)$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek
$\varphi_n(t_1,\dots,t_k)$ karakterisztikus f\"uggv\'enyei
konverg\'alnak egy $\varphi_0(t_1,\dots,t_k)$ f\"uggv\'enyhez a
t\'etelben megfogalmazott folytonoss\'agi tulajdons\'aggal, akkor
$\varphi_0(t_1,\dots,t_k)$ egy $F_0(x_1,\dots,x_k)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"uggv\'enye,
\'es az $F_n(\cdot)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek az $F_0(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez konverg\'alnak.

Ebben az esetben a {\it T\'etel eloszl\'asok feszess\'eg\'enek
biztos\'{\i}t\'as\'ar\'ol a karakterisztikus f\"uggv\'eny
tulajdons\'agai alapj\'an} eredm\'eny\'eb\H{o}l, illetve annak
k\"ovetkezm\'eny\'eb\H{o}l kapjuk, hogy az $F_n(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyek feszesek. \'Igy az {\it eloszl\'asok
relat\'{\i}v kompakts\'ag\'anak \'es feszess\'eg\'enek
kapcsolat\'ar\'ol} sz\'ol\'o t\'etel alapj\'an ezek az eloszl\'asok
relat\'{\i}v kompaktak. Tov\'abb\'a ezen eloszl\'assorozat minden
konvergens r\'eszsorozata ugyanahhoz az $F_0(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez konverg\'al, \'es ennek az $F_0(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'enynek a $\varphi_0(\cdot)$ f\"uggv\'eny a
karakterisztikus f\"uggv\'enye. Ugyanis az $F_n(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'enysorozatnak egy konvergens r\'eszsorozat\'anak
a karakterisztikus f\"uggv\'enyei konverg\'alnak a hat\'areloszl\'as
ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"uggv\'eny\'ehez, \'es ez a
$\varphi_0(\cdot)$ f\"uggv\'eny. Viszont a $\varphi_0(\cdot)$
ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"uggv\'eny egy\'ertelm\H{u}en
meghat\'arozza az $F_0(\cdot)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyt.

A m\'ar bizony\'{\i}tott \'all\'{\i}t\'asokb\'ol k\"ovetkezik, hogy
az $F_n(\cdot)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek konverg\'alnak az
$F_0(\cdot)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyhez. Ugyanis, ha ez nem lenne
igaz, akkor l\'etezne az $F_0(\cdot)$ eloszl\'asf\"uggv\'enynek
olyan $(x_1,\dots,x_k)$ folytonoss\'agi pontja, egy olyan $\e>0$
sz\'am \'es pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amok olyan n\"ovekv\H{o} $n_k$,
$k=1,2,\dots$, sorozata amelyekre teljes\"ul az
$|F_{n_k}(x_1,\dots,x_k)-F_0(x_1,\dots,x_k)|>\e$
egyenl\H{o}tlens\'eg minden $k=1,2,\dots$
indexre. Ez viszont ellentmond annak, hogy az $F_{n_k}(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'enysorozatnak van az $F_0(\cdot)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-hez konverg\'al\'o r\'eszsorozata.

A t\'etel m\'asik fel\'enek bel\'at\'asa \'erdek\'eben vegy\"uk
\'eszre, hogy ha $F_n(x_1,\dots,x_k)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek
sorozata egy $F_0(x_1,\dots,x_k)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-hez konverg\'al
el\-osz\-l\'as\-ban, akkor az {\it eloszl\'asok
konvergenci\'aj\'anak jellemz\'es\'er\H{o}l} sz\'ol\'o
t\'etelb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy ezen
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek $\varphi_n(t_1,\dots,t_k)$
karakterisztikus f\"uggv\'enyei konverg\'alnak az $F_0$
el\-osz\-l\'as $\varphi_0(t_1,\dots,t_k)$ karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'ehez minden $(t_1,\dots,t_k)$
pontban. Az alap\-t\'e\-tel bi\-zo\-ny\'{\i}\-t\'a\-s\'a\-nak
befejez\'es\'ehez azt kell m\'eg megmutatni, hogy ez a
konvergencia minden kompakt halmazon egyenletes.

Ezen \'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'as\'anak az \'erdek\'eben
vegy\"uk \'eszre, hogy mivel az $F_n$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek eloszl\'asban konverg\'alnak,
ez\'ert feszesek. Teh\'at tetsz\H{o}leges $\e>0$-hoz l\'etezik
olyan $K=K(\e)$ sz\'am, amelyre egy $F_n$ eloszl\'as\'u
$\bold\xi_n=(\xi^{(1)}_n,\dots,\xi^{(k)}_n)$, $n=0,1,2,\dots$,
v\'eletlen vektor teljes\'{\i}ti a $P(|\xi_n|>K)<\frac\e6$
egyenl\H{o}tlens\'eget minden $n=0,1,2,\dots$ sz\'amra. (A
bizony\'{\i}t\'as tov\'abbi r\'esz\'eben $\xi(\oo)$, $t\in R^k$,
$x\in R^k$, a $k$-dimenzi\'os t\'er pontjait jel\"oli, \'es
$(t,x)$, $t\in R^k$, $x\in R^k$, jel\"oli a $t$ \'es
$x$ vektor skal\'arszorzat\'at.) V\'alasszunk egy olyan kis
$\delta=\delta(K,\e)$ sz\'amot, amelyre
$\left|e^{i(t,x)}-1\right|<\frac\e6$, ha $t\in R^k$,
$x\in R^k$, $|t|<K$, \'es $|x|<\delta$. V\'alasszunk ezut\'an egy
olyan v\'eges $\bold T=\left\{t^{(1)},\dots,t^{(s)}\right\}\subset
\bold K$, $s=s(\bold K,\delta)$, ponthalmazt a $\bold K\subset R^k$
kompakt halmazban, amelyre igaz, hogy tetsz\H{o}leges $t\in \bold K$
ponthoz l\'etezik olyan $t^{(j)}\in \bold T$ pont, amelyre
$\rho(t,t^{(j)})<\delta$. Ekkor
$$  \allowdisplaybreaks
\align
\left|\varphi_n(t)-\varphi_n(t^{(j)})\right|&=
\left|Ee^{i(t,\bold\xi_n)}-e^{i(t^{(j)},\bold\xi_n)}\right| \\
&\le E\left|e^{i(t-t^{(j)},\bold\xi_n)}-1\right|
I\(|\bold\xi_n|\le K\)+P(|\bold\xi_n|>K) \le \frac{\e}3
\endalign
$$
minden $n=0,1,2,\dots$ sz\'amra egy $F_n$ eloszl\'as\'u $\bold\xi_n$
vektorral. Tov\'abb\'a v\'alaszthatunk olyan
$n_0=n_0(\e)$ k\"u\-sz\"ob\-in\-dexet, amelyre teljes\"ul a
$\supp_{n\ge n_0}\supp_{t^{(j)}\in\bold T}\left|\varphi_n(t^{(j)})-
\varphi_0(t^{(j)})\right|<\frac\e3$ egyenl\H{o}tlens\'eg. Az
utols\'o k\'et egyenl\H{o}tlens\'egb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy
$\supp_{t\in\bold K}|\varphi_n(t)-\varphi_0(t)|<\e$, ha $n\ge n_0$,
teh\'at a $\varphi_n(t)\to\varphi_0(t)$ konvergencia egyenletes a
$\bold K$ halmazon.





\bye
