A Valószínűségszámítás II. előadássorozat első témája.

ELOSZLÁSFÜGGVÉNYEK KONVERGENCIÁJA ÉS EZZEL KAPCSOLATOS ISMERETEK

A valószínűségszámítás legfontosabb eredménye a centrális határeloszlástétel. Annak érdekében, hogy ezt jól megértsük, először bizonyos az eloszlásban való konvergenciával kapcsolatos ismereteket kell elsajátítanunk. E problémakör vizsgálatában különösen hasznosnak bizonyult a Fourier sorok és a Fourier transzformáció, illetve a velük kapcsolatos legfontosabb eredmények ismerete. Mivel nemcsak a független, valós értékű valószínűségi változók normalizált összegeiről szóló centrális határeloszlástételt kívánjuk vizsgálni, hanem annak több-változós megfelelőjét is, ezért nemcsak az egy, hanem a többváltozós eloszlásfüggvények konvergenciáját is tárgyalni fogom. Először ismertetem eloszlásfüggvények konvergenciájának a definicióját.

Eloszlásfüggvények konvergenciájának definiciója. Legyen F_{n}(x_{1}, …, x_{k}), n = 0, 1, 2, …, k-dimenziós, k ≥ 1, eloszlásfüggvények sorozata. Azt mondjuk, hogy az F_{n} eloszlásfüggvények eloszlásban konvergálnak az F_{0} eloszlásfüggvényhez n → ∞ esetén, ha

lim_{n→∞} F_{n}(x_{1}, …, x_{k}) = F_{0}(x_{1}, …, x_{k})

az F_{0}(x_{1}, …, x_{k}) eloszlásfüggvény minden folytonossági pontjában. Az eloszlásban való konvergenciát gyenge konvergenciának is nevezik az irodalomban.

Ha adva van F_{n} eloszlású ξ_{n} = (ξ_{n}^{(1)}, …, ξ_{n}^{(k)}), n = 1, 2, …, véletlen vektorok sorozata, és az F_{n} eloszlásfüggvények eloszlásban konvergálnak egy F_{0} eloszlásfüggvényhez, akkor gyakran mondjuk, hogy a ξ_{n} véletlen vektorok eloszlásban konvergálnak az F_{0} eloszlásfüggvényhez. Ha egy F_{0} eloszlású ξ_{0} = (ξ_{0}^{(1)}, …, ξ_{0}^{(k)}) véletlen vektor is adva van, akkor azt is mondhatjuk, hogy a ξ_{n} véletlen vektorok eloszlásban konvergálnak a ξ_{0} véletlen vektorhoz.

Meg kell értenünk az eloszlásban való konvergencia pontosabb jelentését. Külön magyarázatra szorul, hogy ebben a definicióban miért csak az F_{0}(x_{1}, …, x_{k}) eloszlásfüggvény folytonossági pontjaiban követeltük meg az F_{n}(x_{1}, …, x_{k}) függvények konvergenciáját. Ennek megértése érdekében először megjegyzem, hogy kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető a k-dimenziós Euklideszi téren definiált F (x_{1}, …, x_{k}) eloszlásfüggvények és a k-dimenziós tér Borel halmazainak B^{k} σ-algebráján definiált μ valószínűségi mértékek között a következő módon: Feleltessük meg az F eloszlásfüggvénynek azt a létező és egyértelműen meghatározott μ_{F} (úgynevezett Stieltjes) valószínűségi mértéket, amelyre

μ_{F} ({(u_{1}, …, u_{k}): u_{1} < x_{1}, …, u_{k} < x_{k}}) = F (x_{1}, …, x_{k})

minden x_{1}, …,x_{k} szám-k-asra. Bár az F_{n} eloszlásfüggvények konvergenciáját definiáltuk egy F_{0} eloszlásfüggvényhez, látni fogjuk, hogy helyesebb lett volna az F_{n} eloszlásfüggvények által meghatározott μ_{F_{n}} Stieltjes mértékek konvergenciájáról beszélni a μ_{F_{0}} Stieltjes mértékhez. Tanulságos lehet a következő egyszerű példa.

Példa: Legyen x_{0} = 0, és x_{n}, n = 1, 2, …, olyan számsorozat, amelyre x_{n} < 0, n = 1, 2, …, és lim_{n→∞} x_{n} = 0. Legyen μ_{F_{n}}, n = 0, 1, 2, …, az a (számegyenesen definiált) valószínűségi mérték, amely az x_{n} pontba van koncentrálva, azaz μ_{F_{n}}({x_{n}}) = 1, részletesebben μ_{F_{n}}(A) = 1, ha x_{n} ∈ A, és μ_{F_{n}}(A) = 0, ha x_{n} ∉ A. A μ_{F_{n}} mérték azon F_{n} eloszlásfüggvény által meghatározott Stieltjes mérték, amelyre F_{n}(x) = 0, ha x ≤ x_{n}, F_{n}(x) = 1, ha x > x_{n}. Vegyük észre, hogy lim_{n→∞} F_{n}(x) = F_{0}(x) minden x ≠ 0 számra. De az x = 0 pontban, azaz az F_{0} függvény szakadási pontjában ez a konvergencia nem teljesül, mert F_{n}(0) = 1, ha n ≥ 1, és F_{0}(0) = 0.

A fenti példában olyan esetet tekintettünk, amelyben az F_{n} eloszlások sorozata eloszlásban konvergál az F_{0} eloszláshoz, ha n → ∞. De annak érdekében, hogy ezen eloszlások sorozata teljesítse ezt a tekintett példában természetes tulajdonságot az eloszlásfüggvények konvergenciáját úgy kellett definiálni, hogy a határeloszlás függvény szakadási pontjában nem követeltük meg az eloszlásfüggvények konvergenciáját. További példákat és eredményeket is lehet mutatni, amelyek jelzik, hogy a fent megadott definició az eloszlásfüggvények konvergenciájának szerencsés definiciója. Ezzel a kérdéssel itt nem foglalkozom. Ehelyett egy olyan eredményt ismertetek, amely megadja az eloszlásfüggvények egy ekvivalens, és számunkra hasznos jellemzését.

Tétel eloszlások konvergenciájának jellemzéséről. Legyen F_{n}(x_{1}, …, x_{k}), n = 1, 2, …, k-változós eloszlásfüggvények sorozata. Ez a sorozat akkor és csak akkor konvergál eloszlásban egy k-változós F_{0}(x_{1}, …, x_{k}) eloszlásfüggvényhez, ha minden a kdimenziós térben folytonos és korlátos f(x_{1}, …, x_{k}) f üggvényre

∫ f(x_{1}, …, x_{k}) dF_{n}(x_{1}, …, x_{k}) → ∫ f(x_{1}, …, x_{k}) dF_{0}(x_{1}, …, x_{k}), ha n → ∞. (1)

A Tétel bizonyítása: Először azt mutatom meg, hogy az eloszlásban való konvergenciából következik az integrálok (1) formulában felírt konvergenciája.

Mivel az F_{0} eloszlásfüggvényre F_{0}(x_{1}, …, x_{k}) → 1, ha x_{j} → ∞ minden j = 1, …, k-ra, és F_{0}(x_{1}, …, x_{k}) → 0, ha x_{j} → −∞ valamelyik 1 ≤ j ≤ k-ra, ezért tetszőleges ε > 0-ra létezik olyan K téglatest, amelyre μ_{F_{0}}(K) > 1 − ε. (Adva egy F eloszlásfüggvény a továbbiakban μ_{F} -fel fogjuk jelölni az F eloszlás által indukált Stieltjes mértéket.) Továbbá, mivel F_{n} → F_{0}, ha n → ∞, ezért elérhető a K halmazt esetleg nagyobbra választva, hogy a μ_{F_{n}}(K) > 1 − ε reláció is teljesüljön minden F_{n}, n = 1, 2, …, eloszlásfüggvényre. Azt is feltehetjük, hogy a K halmaz határa null mértékű, ezért a K téglatest mindegyik csúcspontja folytonossági pontja az F_{0} eloszlásfüggvénynek. Itt azt kell kihasználni, hogy az F_{0} eloszlás vetülete a j-ik koordinátára olyan 1 dimenziós eloszlás, amelyiknek csak megszámlálható sok atomja van minden j = 1, …, k-ra. (Ezt a kérdést részletesebben tárgyalom a kiegészítésben.)

Az f függvény korlátossága miatt | ∫_{R^{k}\K} f(x_{1}, …, x_{k}) dF_{0}(x_{1}, …, x_{k})| < const. ε, és | ∫_{R^{k}\K} f(x_{1}, …, x_{k}) dF_{n}(x_{1}, …, x_{k})| < const. ε minden n = 1, 2, … -ra. Továbbá, az f folytonos függvény egyenletesen folytonos a K téglatesten. Ezért létezik olyan δ > 0 szám, amelyre |f(x) − f(y)| < ε, ha |x − y| ≤ δ, és x, y ∈ K. A K téglatest felbontható véges sok, közös belső ponttal nem rendelkező, legfeljebb δ átmérőjű Δ_{j}, j = 1, …, p(K) téglatest uniójára, amelyeknek a határai 0 mértékűek az F_{0} által indukált μ_{F_{0}} mérték szerint. Így lim_{n→∞} μ_{F_{n}}(Δ_{j}) = μ_{F_{0}}(Δ_{j}) minden j = 1, …, p(K)-ra, és az f függvény egyenletes folytonossága miatt a K halmazon

lim sup |∫_{K} f dF_{n} − ∫_{K} f dF_{0}| < ε.

A fenti egyenlőtlenségekből következik, hogy lim sup |∫ f dF_{n} − ∫ f dF_{0}| < const. ε, ahol const. független az ε-tól. Mivel ez igaz minden ε > 0-ra, innen következik a kívánt állítás.

Ezután megmutatom, hogy az (1) formulában szereplő integrálok konvergenciájából következik az eloszlásban való konvergencia.

Legyen x = (x_{1}, …, x_{k}) az F_{0} eloszlásfüggvény folytonossági pontja. Ekkor minden ε > 0-hoz létezik olyan δ > 0 szám, hogy az y = (y_{1}, …, y_{k}) = (x_{1} − δ, …, x_{k} − δ) és z = (z_{1}, …, z_{k}) = (x_{1} + δ, …, x_{k} + δ) pontokra F_{0}(y) > F_{0}(x) − ε és F_{0}(z) < F_{0}(x) + ε. Léteznek továbbá olyan f_{1}(u) és f_{2}(u) folytonos függvények az R^{k} téren, amelyek teljesítik a következő tulajdonságokat: 0 ≤ f_{i}(u) ≤ 1 minden u ∈ R^{k}-ra, i = 1, 2. Továbbá f_{1}(u) = 1, u = (u_{1}, …, u_{k})-ra, ha u_{j} ≤ y_{j}, minden j = 1, …, k, és f_{1}(u) = 0, ha u_{j} ≥ x_{j} valamely 1 ≤ j ≤ k-re. Az f_{2}(·) függvény pedig a következő relációkat teljesíti: f_{2}(u) = 1, ha u_{j} ≤ x_{j} minden j = 1, …, k-ra, és f_{2}(u) = 0, ha u_{j} ≥ z_{j} valamely 1 ≤ j ≤ k-ra. Ekkor

lim inf_{n→∞} F_{n}(x) ≥ lim_{n→∞} ∫ f_{1}(u) dF_{n}(u) = ∫ f_{1}(u) dF_{0}(u) ≥ F_{0}(x) − ε
lim sup_{n→∞} F_{n}(x) ≤ lim_{n→∞} ∫ f_{2}(u) dF_{n}(u) = ∫ f_{2}(u) dF_{0}(u) ≤ F_{0}(x) + ε.

Mivel ezek az egyenlőtlenségek minden ε > 0-ra igazak, innen következik az állítás. A tételt bebizonyítottuk.

Eloszlásfüggvények konvergenciáját be tudjuk bizonyítani az (1) formulában megfogalmazott tulajdonság ellenőrzésének a segítségével. Felmerül a kérdés, nem lehet-e ezt a bizonyítandó tulajdonságot egyszerűsíteni, és megmutatni azt, hogy elegendő az (1) formulát csak olyan speciális (folytonos és korlátos) függvényekre ellenőrizni, amelyekre ez könnyebben megtehető. Kiderült, hogy a határeloszlástételek vizsgálatát végre lehet hajtani akkor is, ha csak az úgynevezett f_{t_{1},...,t_{k}}(x_{1}, …, x_{k}) = e^{i(t_{1}x_{1}+···+t_{k}x_{k})} trigonometrikus függvények integrálját vizsgáljuk az F_{n}(x_{1}, …, x_{k}) eloszlásfüggvények szerint, ahol i = \sqrt{−1}, és t_{1}, …, t_{k} valós számok, a tekintett függvények paraméterei. Emlékezzünk arra, hogy e^{iu} = cos u + i sin u. Innen származik a trigonometrikus függvény elnevezés. Ahhoz, hogy a határeloszlástételek tanulmányozását visszavezessük trigonometrikus függvények integráljának a vizsgálatára, illetve ezen integrálok viselkedését jobban megértsük szükségünk van a Fourier analízis néhány alapvető eredményének az ismeretére.

Mutatok egy példát arra, hogyan lehet egy számunkra hasznos, és korántsem egyszerű eredményt viszonylag könnyen bebizonyítani Fourier sorok segítségével. Az úgynevezett Stirling formulát fogom bebizonyítani, amely jó aszimptotikát ad az n! kifejezésre nagy n számokra. Azt is megtárgyalom, hogy a bizonyítás hátterében a határeloszlástételek vizsgálatában hasznos gondolatok rejtőznek.

Egy

f(t) = ∑_{j=−∞}^{∞} a_{j}e^{ijt}, −π ≤ t ≤ π,  (2)

konvergens végtelen sort, ahol az a_{j} együtthatók valós vagy komplex számok, Fourier sornak nevezünk. Vegyük észre, hogy az e^{ijt} függvények, j = 0, ±1, ±2, …, periódikusak 2π szerint, ezért a belőlük készített sor is periódikus 2π szerint. Ez teszi természetessé a −π ≤ t ≤ π, megkötést a (2) formulában. Egy alapos tárgyalás során tisztázni kell azt is, hogy mit értünk a (2) formulában felírt sor konvergenciáján. Mivel nem számok, hanem függvények végtelen összegéről van szó, ez a definició nem egyértelmű, több egymással nem ekvivalens és értelmes konvergenciafogalom definiálható. Fourier sorok vizsgálatában a leghasznosabb konvergenciafogalomnak az úgynevezett L_{2} konvergencia bizonyult. Eszerint a (2) formulában felírt (végtelen) összeg akkor konvergál egy f(t) függvényhez, ha teljesül az

∫_{−π}^{π} (f(t) − ∑_{j=−n}^{n} a_{j}e^{ijt})^{2} dt → 0 ha n → ∞

reláció. Az ilyen irányú vizsgálatok az analízisben nagyon fontosak. De számunkra ez nem lesz fontos, ezért az ilyen irányú kérdések vizsgálatával nem fogunk foglalkozni. Viszont a mi számunkra is fontos a trigonometrikus függvények következő ortogonalitásnak nevezett tulajdonsága.

∫_{−π}^{π} e^{int}\overline{e^{imt}} dt = ∫_{−π}^{π} e^{int}e^{−imt} dt = ∫_{−π}^{π} e^{i(n−m)t} dt = 0 ha n ≠ m,

és

∫_{−π}^{π} e^{int}\overline{e^{int}} dt = ∫_{−π}^{π} dt = 2π, n = 0, ±1, ±2, ….

E formulák felhasználásával, felhasználva a tagonkénti integrálás tulajdonságait egyszerűen kifejezhetjük a (2) formulában szereplő a_{n} úgynevezett Fourier együtthatókat a Fourier sor f(t) összegének a segítségével. Nevezetesen,

a_{n} = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} e^{−int}f(t) dt, n = 0, ±1, ±2, ….  (3)

Ez a formula hasznosnak bizonyult a Stirling formula alább ismertetett bizonyításában.

Stirling formula:

n! ∼ \sqrt{2πn} (\frac{n}{e})^{n} ,

azaz az első n egész szám szorzata, n! teljesíti az alábbi relációt:

lim_{n→∞} \frac{\sqrt{2πn} (\frac{n}{e})^{n}}{n!} = 1.

A Stirling formula bizonyítása: Először azt mutatom meg, hogy

n! = (\frac{n}{e})^{n} \frac{2π}{∫_{−π}^{π} e^{n(e^{it}−1−it)} dt}.  (4)

Tekintsünk egy ξ Poisson eloszlású valószínűségi változót λ = n paraméterrel, azaz legyen P (ξ = k) = \frac{n^{k}}{k!} e^{−n}, k = 0, 1, 2, . . .. Számítsuk ki a P_{n}(t) = Ee^{itξ} várható értéket minden t valós számra. Ez a következő P_{n}(t) Fourier sor kiszámítását jelenti:

P_{n}(t) = ∑_{k=0}^{∞} P (ξ = k)e^{itk} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{n^{k}}{k!} e^{−n+ikt} = e^{−n} ∑_{k=0}^{∞} \frac{(ne^{it})^{k}}{k!} = e^{−n+ne^{it}}.

Innen, illetve egy Fourier sor együtthatóinak a (3) formulában megadott kifejezéséből a Fourier sor segítségével k = n választással kapjuk, hogy

P (ξ = n) = \frac{n^{n}}{n!} e^{−n} = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} e^{−int}P_{n}(t) dt = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} e^{−int−n+ne^{it}} dt.

Ez a képlet ekvivalens a (4) formulával.

A (4) formula alapján a Stirling formula bizonyításához elég megmutatni azt, hogy

lim_{n→∞} \begin{matrix}√ & \overline{n} \\ √ & \overline{2π} \end{matrix} ∫_{−π}^{π} e^{n(e^{it}−1−it)} dt = 1,

amit úgyis írhatunk, hogy

lim_{n→∞} \frac{∫_{−π}^{π} e^{n(e^{it}−1−it)} dt}{∫_{−∞}^{∞} e^{−nt^{2}/2} dt} = 1,

mivel, mint a normális sűrűségfüggvény vizsgálatában láttuk, ∫_{−∞}^{∞} e^{−t^{2}/2} dt = \sqrt{2π},

ahonnan ∫_{−∞}^{∞} e^{−nt^{2}/2} dt = \sqrt{\frac{2π}{n}}. (Ez az azonosság kellett annak igazolásához, hogy a normális eloszlás sűrűségfüggvénye valóban sűrűségfüggvény.)

Viszont tekintve az e^{it} függvény Taylor sorát azt kapjuk, hogy

n(e^{it} − 1 − it) = −n (\frac{t^{2}}{2} + α(t)t^{3}) = −\frac{nt^{2}}{2} + β(t)n^{−1/8},

alkalmas |α(t)| ≤ const. és |β(t)| ≤ const. együtthatókkal, ha |t| ≤ n^{−3/8}. Innen e^{n(e^{it}−1−it)} = e^{−nt^{2}/2}e^{β(t)n^{−1/8}} = e^{−nt^{2}/2} (1 + γ(t)n^{−1/8}), γ(t) ≤ const. , ha t ≤ n^{−3/8}, és

lim_{n→∞} \frac{∫_{−n^{−3/8}}^{n^{−3/8}} e^{n(e^{it}−1−it)} dt}{∫_{−n^{−3/8}}^{n^{−3/8}} e^{−nt^{2}/2} dt} = 1.

Továbbá nem nehéz belátni, hogy

lim_{n→∞} \frac{∫_{−n^{−3/8}}^{n^{−3/8}} e^{−nt^{2}/2} dt}{∫_{−∞}^{∞} e^{−nt^{2}/2} dt} = lim_{n→∞} \frac{∫_{−n^{1/8}}^{n^{1/8}} e^{−t^{2}/2} dt}{∫_{−∞}^{∞} e^{−t^{2}/2} dt} = 1 − lim_{n→∞} \frac{2 ∫_{n^{1/8}}^{∞} e^{−t^{2}/2} dt}{\sqrt{2π}} = 1,

ezért elég megmutatni, hogy az ∫_{−π}^{−n^{−3/8}} e^{n(e^{it}−1−it)} dt és ∫_{n^{−3/8}}^{π} e^{n(e^{it}−1−it)} dt integrá-

lok elég kicsik, pontosabban ezek az integrálok \sqrt{n}-nel megszorozva is nullához tartanak.

(Ez a feltétel azért jelenik meg ebben a formában, mert \sqrt{n}∫_{−∞}^{∞} e^{−nt^{2}/2} dt = \sqrt{2π}.

Ennek bizonyításához jegyezzük meg, hogy |e^{z}| = e^{Re z} tetszőleges z komplex számra, ahol Re z a z szám valós részét jelöli. Innen

|e^{n(e^{it}−1−it)}| = e^{n(cos t−1)} ≤ e^{−const. n^{1/4}},

ha n^{3/8} ≤ |t| ≤ π, ahonnan következik a kívánt becslés.

Megjegyzem, hogy a fenti bizonyítás hátterében a következő észrevétel van. Ha tekintünk n független 1 paraméterű Poisson eloszlású valószínűségi változót, akkor ezek összege n paraméterű Poisson eloszlású valószínűségi változó. Annak valószínűségét akarjuk becsülni, hogy n független Poisson eloszlású valószínűségi változó összege egy előírt értéket vesz fel. A centrális határeloszlásérték sugall ennek a valószínűségnek az aszimptotikájára egy értéket, és tulajdonképpen ennek helyességét igazoltuk. A bizonyítás azon alapult, hogy az Ee^{itξ}, −π ≤ t ≤ π, várható értéket kifejező Fourier sort ki tudtuk számolni, illetve az így kapott kifejezésre jó aszimptotikus formulát tudtunk adni. Megjegyzem, hogy mind a centrális, mind a lokális centrális határeloszlástétel a várható értékhez közeli értékek esetén ad jó becslést független valószínűségi változók eloszlás, illetve sűrűségfüggvényére. Egy n paraméterű Poisson eloszlású valószínűségi változó várható értéke n, és a Stirling formula bizonyításában itt számítottuk ki egy ilyen valószínűségi változó sűrűségfüggvényét.

Az előbb felhasznált eredmény bizonyításában egy általánosabb probléma megoldására kidolgozott módszert alkalmaztunk egy speciális esetben. Legyen adva független,

egész értékeket fölvevő ξ_{1}, …, ξ_{n} valószínűségi változók sorozata. Jelölje S_{n} = ∑_{j=1}^{n} ξ_{j} ezen valószínűségi változók összegét, és próbáljunk jó becslést adni a P (S_{n} = k) alakú valószínűségekre. Ennek érdekében vezessük be a a ξ_{j} valószínűségi változók eloszlása által meghatározott U_{j}(t) = Ee^{itξ_{j}} = ∑_{k} e^{itk}P (ξ_{j} = k) Fourier sorokat. Vegyük továbbá

észre, hogy mivel független valószínűségi változók szorzatának a várható értéke egyenlő a szorzatban szereplő valószínűségi változók várható értékének a szorzatával, (ez az azonosság érvényes mind valós mind komplex értékű valószínűségi változókra) ezért az S_{n} valószínűségi változóhoz tartozó Ee^{itS_{n}} kifejezés kiszámolható a következő módon.

\begin{aligned}∑_{k} P (S_{n} = k)e^{itk} & = Ee^{itS_{n}} = Ee^{it(ξ_{1}+···+ξ_{n})} = E(e^{itξ_{1}}e^{itξ_{2}} ⋯ e^{itξ_{n}}) \\ & = Ee^{itξ_{1}}Ee^{itξ_{2}} ⋯ Ee^{itξ_{n}} = ∏_{j=1}^{n} U_{j}(t). \end{aligned}  (5)

Ezért, ha az (5) képlet jobboldalán szereplő kifejezésre jó becslést tudunk adni, akkor a (3) inverziós formula segítségével jó becslést kapunk a P (S_{n} = k) valószínűségekre is. (Itt a k paraméter játssza az n paraméter és az (5) formula jobboldalán levő szorzat az f(t) függvény szerepét a (3) formulában.) Továbbá nagyon általános feltételek mellett az (5) formula jobboldalán szereplő produktumot jól meg tudjuk becsülni nulla körüli alkalmas Taylor sorfejtés segítségével. Ahhoz a kérdéshez, hogy hogyan lehet az (5) formula jobboldalán szereplő kifejezést jól megbecsülni, és ennek érdekében milyen feltételeket kell tenni, később visszatérek.

A Stirling formulát e módszer segítségével bizonyítottuk be. Azt a speciális esetet vizsgáltuk, amikor Poisson eloszlású valószínűségi változókat tekintünk. E módszer kidolgozásával az általános esetre csak később fogok foglalkozni. Ehelyett most azt a kérdést tekintem, hogy hogyan tudjuk ezt a módszert adaptálni annak a problémának a vizsgálatára, amikor független valószínűségi változók összegének az eloszlása érdekel minket. Tehát a P (S_{n} = x) valószínűség helyett a P (S_{n} < x) valószínűségre kívánunk jó becslést adni. E kérdés vizsgálatának az érdekében bevezetem a Fourier sorok ‘folytonos paraméterű’ megfelelőit, a számegyenesen vagy az R^{k} k-dimenziós Euklideszi téren definiált függvények és mértékek Fourier transzformáltját.

Függvények és mértékek Fourier transzformáltjának a definiciója. Legyen f(x_{1}, …, x_{k}) k-változós integrálható függvény, azaz tegyük fel, hogy

∫_{R^{k}} |f(x_{1}, …, x_{k})| dx_{1} … dx_{k} < ∞.

Az f(·) függvény Fourier transzformáltja az

f̃(t_{1}, …, t_{k}) = ∫_{R^{k}} e^{i(t_{1}x_{1}+···+t_{k}x_{k})}f(x_{1}, …, x_{k}) dx_{1} … dx_{k}

függvény, ahol −∞ < t_{j} < ∞, 1 ≤ j ≤ k.

Legyen μ egy véges mérték az R^{k} k-dimenziós Euklideszi téren. E μ mérték Fourier transzformáltja a

φ(t) = φ(t_{1}, …, t_{k}) = ∫ e^{i(t,x)}μ( dx) = ∫ e^{i(t_{1}x_{1}+···+t_{k}x_{k})}μ( dx_{1}, …, dx_{k})

függvény, ahol t = (t_{1}, …, t_{k}) a k-dimenziós tér tetszőleges pontja, és a következő jelölést használtuk. Ha t = (t_{1}, …, t_{k}) és x = (x_{1}, …, x_{k}) két k-dimenziós vektor, akkor (t, x) = t_{1}x_{1} + ⋯ + t_{k}x_{k} a t és x vektor skaláris szorzata.

Ha F (x) = F (x_{1}, …, x_{k}) egy k változós eloszlás függvény, akkor tekintsük az F eloszlás szerint indukált μ_{F} Stieltjes mértéket. Ennek a μ_{F} Stieltes mértéknek a φ(t) = φ(t_{1}, …, t_{k}) Fourier transzformáltját az F (x) eloszlásfüggvény karakterisztikus függvényének nevezzük. Ha adva van egy F (x_{1}, …, x_{k}) eloszlású (ξ_{1}, …, ξ_{k}) véletlen vektor, akkor ennek karakterisztikus függvényét is definiáljuk, és ez az F (x_{1}, …, x_{k}) eloszlás karakterisztikus függvényével egyenlő.

Célunk az, hogy eloszlások aszimptotikus viselkedését jól leírjuk ezek Fourier transzformáltjának, azaz karakterisztikus függvényének a segítségével. Azt szeretnénk megmutatni, hogy eloszlásfüggvények karakterisztikus függvényeinek a konvergenciájából következik az eloszlásfüggvények konvergenciája is. Fourier sorok együtthatóit a (2) relációban megfogalmazott viszonylag egyszerű inverziós képlet segítségével tudtuk vizsgálni. Fourier transzformáltak esetében azonban nincs olyan egyszerű inverziós formula, amelynek felhasználásával ki tudunk számolni egy mértéket a Fourier transzformáltja segítségével. Ezért ebben az esetben egy körülményesebb eljárást alkalmazunk. Szükségünk van egy olyan eredményre, amely azt fejezi ki, hogy a trigonometrikus függvények, pontosabban azok lineáris kombinációi, a folytonos függvények elég gazdag családját alkotják. Ilyen állítást fejez ki Weierstrass második approximációs tétele.

Weierstrass második approximációs tétele. Tetszőleges folytonos és 2π szerint

periodikus f(x) függvényre és ε > 0 valós számra létezik olyan P_{n}(x) = ∑_{k=−n}^{n} a_{k}e^{ikx}

trigonometrikus polinom, amelyre

sup_{−∞<x<∞} |f(x) − P_{n}(x)| < ε.

(A P_{n} polinom foka és a benne szereplő a_{k} együtthatók függnek mind az f(·) folytonos függvénytől és az ε > 0 számtól. Ha az f(·) függvény valós értékű, akkor az a_{k} együtthatókat választhatjuk úgy, hogy a_{−k} = ā_{k} minden k = 0, 1, …, n indexre, ahol z̄ a z szám konjugáltja. Ekkor a P_{n}(t) trigonometrikus polinom is valós értékű.)

Igaz ennek az állításnak a következő többdimenziós változata is. Ha adott egy f(x_{1}, …, x_{k}) folytonos függvény a k-dimenziós euklideszi térben, amely minden koordinátájában 2π szerint periodikus, azaz f(x_{1} + 2j_{1}π, …, x_{k} + 2j_{k}π) = f(x_{1}, …, x_{k}) minden egész j_{1}, … j_{k} számra, és egy ε > 0 valós szám, akkor létezik olyan k változós

P_{n}(x_{1}, …, x_{k}) = ∑_{(j_{1},...,j_{k}): |j_{1}|+···+|j_{k}|≤n} a_{j_{1},...,j_{k}}e^{i(j_{1}x_{1}+···+j_{k}x_{k})}

trigonometrikus polinom, ahol j_{1}, …, j_{k} egész számok, amelyre

|f(x_{1}, …, x_{k}) − P_{n}(x_{1}, …, x_{k})| < ε minden valós x_{1}, …, x_{k} számra.

Megjegyzés: A továbbiakban egy

P_{n}(x_{1}, …, x_{k}) = ∑_{(j_{1},...,j_{k}): |j_{1}|+···+|j_{k}|≤n} a_{j_{1},...,j_{k}}e^{i(j_{1}x_{1}/K_{1}+···+j_{k}x_{k}/K_{k})}

alakú kifejezést, ahol K_{1}, …, K_{k} tetszőleges pozitív valós számok trigonometrikus polinomnak fogunk nevezni. Weierstrass második approximációs tételéből következik (alkalmas átskálázással), hogy a folytonos, minden koordinátájában periódikus f(x_{1}, …, x_{k}) függvények, (azaz az olyan f(x_{1}, …, x_{k}) függvények, amelyekre f(x_{1} + \frac{K_{1}j_{1}}{2π} , …, x_{k} + \frac{K_{k}j_{k}}{2π}) = f(x_{1}, …, x_{k}) alkalmas K_{1} > 0, … K_{k} > 0 valós és tetszőleges j_{1}, …, j_{k} egész számokkal) tetszőleges pontossággal közelíthetőek trigonometrikus polinomokkal a szuprémum normában.)

Ahhoz, hogy belássuk, hogy eloszlások karakteresztikus függvényeinek konvergenciájából következik maguknak az eloszlásfüggvényeknek a konvergenciája először meg kell mutatnunk, hogy egy eloszlást meghatároz a karakterisztikus függvénye. Ezt mondja ki a következő tétel.

Tétel valószínűségi mértékek és karakterisztikus függvényük kapcsolatáról. Egy valószínűségi mértéket egyértelműen meghatároz a karakterisztikus függvénye.

A tétel bizonyítása azon alapul, hogy Weierstrass második approximációs tétele alapján folytonos függvényeket jól lehet approximálni trigonometrikus polinomokkal, így egy valószínűségi mérték szerinti integráljuk is jól közelíthető alkalmas trigonometrikus polinomok e mérték szerinti integráljával, azaz a mérték karakterisztikus függvényének különböző helyeken felvett értékeinek lineáris kombinációival. De a Weierstrass-féle approximációs tétel csak periódikus függvények jó approximációját biztosítja. E nehézség leküzdésének az érdekében először a következő (egyszerű) lemmát látjuk be.

Lemma valószínűségi mértékek viselkedéséről a végtelen környezetében. Legyen μ valószínűségi mérték a k-dimenziós euklideszi tér Borel mérhető részhalmazain és ε > 0 valós szám. Létezik olyan K = K(μ, ε) szám, amelyre a

K^{k}(K) = \underbrace{[−K, K] × ⋯ × [−K, K]}_{k-szoros szorzat}

k-dimenziós kocka teljesíti a μ(K(K)^{k}) > 1 − ε egyenlőtlenséget.

A lemma bizonyítása. Tekintsük azokat a K(K)^{k} = \underbrace{[−K, K] × ⋯ × [−K, K]}_{k-szoros szorzat} azt a k-

dimenziós kockákat az R^{k} térben, amelyeknek mindegyik oldala a [−K, K] intervallum.

Mivel ⋃_{K=1}^{∞} K(K)^{k} = R^{k} és K(K)^{k}, K = 1, 2, …, monoton növekvő halmazsorozat,

ezért lim_{K→∞} μ(K(K)^{k}) = μ(R^{k}) = 1, azaz μ(K(K)^{k}) ≥ 1 − ε, ha K ≥ K(ε).

A tétel bizonyítása. Azt kell bebizonyítani, hogy ha μ_{1} és μ_{2} két olyan valószínűségi mérték az R^{k} Euklideszi téren, amelyek Fourier transzformáltjai megegyeznek, akkor μ_{1} = μ_{2}. Ennek érdekében megmutatom alkalmas az R^{k} Euklideszi téren definiált F függvényosztályokra, hogy ∫ f dμ_{1} = ∫ f dμ_{2}, ha f ∈ F. Sikerült ezt a relációt olyan F függvényosztályra is belátni, amelyre ez a tulajdonság implikálja, hogy μ_{1} = μ_{2}.

Az ∫ f dμ_{1} = ∫ f dμ_{2}, ha f ∈ F nyílvánvalóan következik a tétel feltételeiből, ha F az R^{k} téren definiált valamely K = (K_{1}, …, K_{k}) vektor szerint periodikus trigonometrikus polinomokból áll. Weierstrass második approximációs tétele alapján ez az azonosság érvényben marad akkor is, ha F a minden változójában periódikus, folytonos függvényekből áll. Ugyanis tetszőleges f_{K}(·) K periódusú folytonos függvényhez és ε > 0 számhoz létezik olyan

g_{ε}(x_{1}, …, x_{k}) = g_{ε,f_{K}} (x_{1}, ⋯, x_{k}) = ∑ c_{j_{1},...,j_{k}}^{ε}e^{i2π(j_{1}x_{1}+···+j_{k}x_{k})/K}

trigonometrikus polinom, amelyre sup_{x∈R^{k}} |f_{K}(x) − g_{ε}(x)| ≤ ε, és ezért

|∫ f_{K}(x) dμ_{j}(x) − ∫ g_{ε}(x) dμ_{j}(x)| ≤ ε, j = 1, 2.

Ugyancsak igaz marad az ∫ f dμ_{1} = ∫ f dμ_{2}, ha f ∈ F azonosság akkor, ha F az összes kompakt tartójú folytonos függvények osztálya. Ugyanis, ha f(·) kompakt tartójú folytonos függvény, akkor minden elég nagy K > 0 számra a [−K, K] × ⋯ × [−K, K] kocka tartalmazza az f(·) függvény tartóját, és definiálhatjuk az f(·) függvény 2K periódusú f_{K}(·) periodikus kiterjesztését az

f_{K}(x_{1} + 2Kl_{1}, ⋯, x_{k} + 2Kl_{k}) = f(x_{1}, ⋯, x_{k}), −K ≤ x_{j} < K,

l_{j} = 0, ±1, ±2, …, j = 1, …, k, képlet segítségével. Továbbá igaz az ∫ f(x) dμ_{j}(x) = lim_{K→∞} ∫ f_{K}(x) dμ_{j}(x), j = 1, 2, reláció az előző lemma szerint, és a kívánt azonosság teljesül periódikus függvényekre.

A bizonyítás következő lépése annak megmutatása, hogy az ∫ f dμ_{1} = ∫ f dμ_{2}, ha f ∈ F azonosság akkor is érvényes, ha F az olyan P = [K_{1}, L_{1}) × ⋯ × [K_{k}, L_{k}) téglatestek indikátorfüggvényeiből áll, amelyek x_{j} = K_{j} és x_{j} = L_{j}, 1 ≤ j ≤ k, határsíkjainak a mértéke nulla mind a μ_{1} mind a μ_{2} mérték szerint.

Ezt az állítást vissza lehet vezetni alkalmas limeszeljárás segítségével a kompakt tartójú függvények esetére. Azt a tényt érdemes felhasználni, hogy minden ε > 0 számra és P téglatestre létezik olyan f_{ε,P}(·) folytonos és kompakt tartójú függvény, amelyre 0 ≤ f_{ε,P}(x) ≤ 1 minden x ∈ R^{k} pontra, f_{ε,P}(x) = 1, ha x ∈ P és f_{ε,P}(x) = 0, ha ρ(x, P) > ε. A továbbiakban ρ(·, ·) jelöli a szokásos euklideszi távolságot az R^{k} téren. Ilyen f_{ε,P}(x) = 1 halmazokat tekintve minden ε > 0 számra, véve e függvények integrálját a μ_{1} és μ_{2} mérték szerint ε > 0 határátmenettel megkapjuk a kívánt állítást.

A következő módon lehet például a kívánt tulajdonságú f_{ε,P} függvényt konstruálni. Legyen f_{ε,P}(x) = 1 − g_{ε,P}(x), és g_{ε,P}(x) = min (1, \frac{1}{ε}ρ(x, P)), ahol ρ(·, ·) a szokásos metrika az Euklideszi téren.

A bizonyítás befejezéséhez elég megmutatni, hogy a μ_{1}(P) = μ_{2}(P) azonosság teljesüléséből minden olyan P_{1} és P_{2} téglatestre, amelynek határsíkjai nulla mértékűek mind a μ_{1} mind a μ_{2} mérték szerint következik, hogy μ_{1} = μ_{2}. Ezt például úgy lehet megindokolni, hogy a bebizonyított azonosság érvényben marad ilyen téglatestek diszjunkt unióira is, illetve az általuk generált σ-algebrára is. Viszont ez a σ-algebra megegyezik a Borel σ-algebrával az egész téren.

Rátérek annak az eredménynek az ismertetésére, amely pontosan leírja eloszlásfüggvények és eloszlásfüggvények karakterisztikus függvényeinek konvergenciája közötti kapcsolatot. Ezt az eredményt, — fontossága miatt, — eloszlások konvergenciájáról szóló alaptétel-nek fogom nevezni. Megtárgyalom e tétel feltételeinek a tartalmát. De a tétel részletes bizonyítását csak a kiegészítésben ismertetem. Az előadás fő részében megelégszem ezen eredmény egy olyan gyengített változatának a bizonyításával, amely elegendő lesz céljainkra.

Eloszlások konvergenciájáról szóló Alaptétel. Legyen F_{n}(x_{1}, …, x_{k}) eloszlásfüggvények egy sorozata az R^{k} k-dimenziós euklideszi téren φ_{n}(t_{1}, …, t_{k}) karakterisztikus függvényekkel, n = 1, 2, . . .. Ha a φ_{0}(t_{1}, …, t_{k}) = lim_{n→∞} φ_{n}(t_{1}, …, t_{k}) határérték létezik minden (t_{1}, …, t_{k}) pontban, és a φ_{0}(t_{1}, …, t_{k}) limeszfüggvény folytonos az origóban, akkor létezik olyan F_{0}(x_{1}, …, x_{k}) eloszlásfüggvény a k-dimenziós térben, amelynek a φ_{0}(t_{1}, …, t_{k}) függvény a karakterisztikus függvénye. Sőt, a φ_{0} függvény folytonosságáról tett feltétel némileg gyengíthető. Elég feltenni azt, hogy a φ_{0}(t_{1}, …, t_{k}) függvény megszorítása mindegyik koordinátatengelyre folytonos az origóban. A fenti feltételek teljesülése esetén az F_{n}(x_{1}, …, x_{k}) eloszlásfüggvények eloszlásban konvergálnak ahhoz az F_{0}(x_{1}, …, x_{k}) eloszlásfüggvényhez, amelynek φ_{0}(t_{1}, …, t_{k}) a karakterisztikus függvénye.

Megfordítva, ha F_{n}(x_{1}, …, x_{k}), n = 1, 2, …, eloszlásfüggvényeknek egy az R^{k} k-dimenziós euklideszi téren definiált sorozata, amely egy F_{0}(x_{1}, …, x_{k}) eloszlásfüggvényhez konvergál eloszlásban, φ_{n}(t_{1}, …, t_{k}), n = 1, 2, …, jelöli az F_{n}(x_{1}, …, x_{k}), φ_{0}(t_{1}, …, t_{k}) pedig az F_{0}(x_{1}, …, x_{k}) karakterisztikus függvényét, akkor φ_{0}(t_{1}, …, t_{k}) = lim_{n→∞} φ_{n}(t_{1}, …, t_{k}) minden (t_{1}, …, t_{k}) ∈ R^{k} pontban. Továbbá, ez a konvergencia egyen-

letes az R^{k} tér minden kompakt részhalmazán. Ezért a φ_{0}(t_{1}, …, t_{k}) függvény folytonos.

E tétel szerint ahhoz, hogy valamely F_{n} eloszlásfüggvények eloszlásban konvergáljanak az kell, hogy ezen eloszlásfüggvények karakterisztikus függvényei konvergáljanak, és ezenkívül a határfüggvény legyen az origóban folytonos. Az, hogy a karakterisztikus függvények konvergenciája az eloszlásban való konvergencia szükséges feltétele következik az eloszlások konvergenciájának jellemzéséről szóló tételből, illetve abból, hogy az e^{i(t,x)} többváltozós trigonometrikus függvények folytonosak és korlátosak. A következő példa célja az, hogy segítsen megérteni annak a plusz feltételnek a szerepét, mely szerint a karakterisztikus függvények határértéke folytonos az origóban.

Példa: Legyen F_{n}(x) az egyenletes eloszlás eloszlásfüggvénye a [−n, n] intervallumban, n = 1, 2, …, azaz legyen F_{n}(x) sűrűségfüggvénye az f_{n}(x) = \frac{1}{2n}, ha −n ≤ x ≤ n, és f_{n}(x) = 0, ha |x| > n függvény. Az F_{n}(x) eloszlás karakterisztikus függvénye a φ_{n}(t) =

∫_{−n}^{n} e^{itx} \frac{1}{2n} dx = \frac{e^{int}−e^{−int}}{2int} = \frac{sin nt}{nt}, ha t ≠ 0, és φ_{n}(0) = 1 függvény. Innen lim_{n→∞} φ_{n}(t) =

0, ha t ≠ 0, és lim_{n→∞} φ_{n}(0) = 1. Ez azt jelenti, hogy az F_{n}(·) eloszlásfüggvények karakterisztikus függvényei minden pontban konvergálnak, és a határfüggvény folytonos az origót kivéve minden pontban. Maguk az F_{n} eloszlásfüggvények nem konvergálnak egy eloszláshoz. Szemléletesen szólva azt mondhatjuk, hogy ezek az eloszlások ‘kifolynak a végtelenbe’.

A karakterisztikus függvények limeszének a folytonossága az origóban az ilyen ‘az eloszlások kifolyásának a végtelenbe’ hatások kiküszöbölését biztosítja. Az alábbi tételben ilyen tartalmú állítást bizonyítok be. Ezen eredmény megfogalmazása előtt bevezetem be a következő definiciót.

Eloszlások feszességének a definiciója. Azt mondjuk, hogy az F_{n}(x_{1}, …, x_{k}) eloszlásfüggvények (illetve az általuk meghatározott μ_{F_{n}} Stieltjes mértékek) sorozata feszes, ha tetszőleges ε > 0 számra létezik olyan K = K(ε) szám, hogy a K(K)^{k} = \underbrace{[−K, K] × ⋯ × [−K, K]}_{k-szoros szorzat} k-dimenziós kockára μ_{F_{n}}(K(K)^{k}) ≥ 1−ε minden n = 1, 2, …

indexre.

Tétel eloszlások feszességének biztosításáról a karakterisztikus függvény tulajdonságai alapján. Legyen adva (egyváltozós) eloszlásfüggvények F_{n}(x), sorozata φ_{n}(t) karakterisztikus függvényekkel a számegyenesen, n = 1, 2, . . .. Ha teljesül a

lim_{δ→0} lim sup_{n→∞} \frac{1}{2δ} ∫_{−δ}^{δ} Re (1 − φ_{n}(t)) dt = 0  (6)

reláció, ahol Re z a z komplex szám valós részét jelöli, akkor az F_{n}(x) eloszlásfüggvények sorozata feszes.

Következmény. Ha az F_{n}(x) eloszlásfüggvények φ_{n}(t) karakterisztikus függvényei egy a nulla pontban folytonos φ_{0}(t) függvényhez konvergálnak az origó egy kis környezetében, akkor feszesek. Ez az állítás többváltozós eloszlásfüggvények sorozatára is érvényes. Sőt, ebben az esetben elég azt feltenni, hogy a határfüggvény megszorítása bármely koordinátatengelyre folytonos az origóban.

A következmény bizonyítása. Mivel φ_{0}(0) = lim_{n→∞} φ_{n}(0) = 1, ezért a φ_{0}(t) függvény folytonosságából az origóban következik, hogy minden ε > 0 számhoz létezik olyan δ_{0} = δ_{0}(ε) szám, amelyre 0 ≤ Re (1 − φ_{0}(t)) ≤ ε, ha |t| < δ_{0}. Továbbá 0 ≤ Re (1 − φ_{n}(t)) ≤ 2 minden n és t számra, és lim_{n→∞} Re (1 − φ_{n}(t)) = Re (1 − φ_{0}(t)) az origó egy kis környezetében. Ezért a Lebesgue tétel alapján létezik a

lim_{n→∞} \frac{1}{2δ} |∫_{−δ}^{δ} Re (1 − φ_{n}(t)) dt| = \frac{1}{2δ} |∫_{−δ}^{δ} Re (1 − φ_{0}(t) dt| ≤ ε

határérték minden δ < δ_{0} számra. Ez azt jelenti, hogy teljesül a (6) feltétel, és a fenti tétel alapján az F_{n}(x) függvények feszesek ebben az esetben.

Hasonlóan látható, hogy ha a k-változós F_{n}(x_{1}, …, x_{k}) eloszlásfüggvények teljesítik a Következményben megfogalmazott feltételeket, akkor feszesek. Ugyanis az előző érvelésből következik, hogy ebben az esetben μ_{F_{n}}(\{(x_{1}, …, x_{k}): |x_{j}| < K\}) ≤ \frac{ε}{k} tetszőleges 1 ≤ j ≤ k koordinátára alkalmas K = K(ε) számmal minden n = 1, 2, … indexre, és innen következik a μ_{F_{n}} mértékek feszessége.

Megjegyzés. Be lehet látni, hogy a (6) formulában megfogalmazott feltétel szükséges és elégséges feltétele annak, hogy az F_{n} eloszlásfüggvények feszesek legyenek. Erre a tényre azonban nem lesz szükségünk.

A tétel bizonyítása. Írjuk fel a következő azonosságot:

\frac{1}{2δ} ∫_{−δ}^{δ} Re [1 − φ_{n}(t)] dt = ∫_{−δ}^{δ} \frac{1}{2δ} ∫_{−∞}^{∞} [1 − cos tx] dF_{n}(x) dt

= ∫_{−∞}^{∞} \frac{1}{2δ} ∫_{−δ}^{δ}[1 − cos tx] dt dF_{n}(x) = ∫_{−∞}^{∞} [\frac{t}{2δ} − \frac{sin tx}{2δx}]_{t=−δ}^{t=δ} dF_{n}(x) (7)

= ∫_{−∞}^{∞} (1 − \frac{sin δx}{δx}) dF_{n}(x) = ∫_{−K}^{K} (1 − \frac{sin δx}{δx}) dF_{n}(x)

+ ∫_{|x|>K} (1 − \frac{sin δx}{δx}) dF_{n}(x) = I_{1,n}^{δ}(K) + I_{2,n}^{δ}(K).

Mivel (1 − \frac{sin δx}{δx}) ≥ 0 minden x-re és δ-ra, ezért a (7) formula baloldala felső becslést ad az I_{2,n}^{δ}(K) kifejezésre tetszőleges δ > 0 n ≥ 1 és K > 0 számokra. Ezért a (6) formula alapján tetszőleges ε > 0 számhoz létezik olyan δ = δ(ε) > 0 szám és n_{0} = n_{0}(δ)

küszöbindex, amelyekre \frac{ε}{2} ≥ ∫_{|x|>K} (1 − \frac{sin δx}{δx}) dF_{n}(x) ezzel a δ számmal minden n ≥

n_{0} index-szel és K > 0 számmal. Legyen K = \frac{2}{δ}. Akkor minden |x| ≥ K-ra 1 − \frac{sin δx}{δx} ≥

\frac{1}{2}. Ezért az előző becslésből következik, hogy \frac{ε}{2} ≥ ∫_{|x|>K} (1 − \frac{sin δx}{δx}) dF_{n}(x) ≥ \frac{1}{2}[(1−

F_{n}(K)) + F_{n}(−K)], azaz ε ≥ [(1 − F_{n}(K)) + F_{n}(−K)] ezzel a K számmal, ha n ≥ n_{0}. A K > 0 szám esetleges megnövelésével elérhetjük, hogy a fenti egyenlőtlenség minden n ≥ 1 számra érvényes legyen. Tehát az F_{n}, n = 1, 2, …, eloszlásfüggvények feszesek.

Megfogalmazom és bebizonyítom az Eloszlások konvergenciájáról szóló Alaptétel egy számunkra hasznos egyszerűsített változatát.

Eloszlások konvergenciájáról szóló Alaptétel egyszerűsített változata. Az R^{k} Euklideszi téren definiált F_{n}(x_{1}, …, x_{k}) eloszlásfüggvények akkor és csak akkor konvergálnak egy F_{0}(x_{1}, …, x_{k}) eloszlásfüggvényhez n → ∞ esetén, ha az F_{n}(x_{1}, …, x_{k}) eloszlásfüggvények φ_{n}(t_{1}, …, t_{k}) karakterisztikus függvényei az F_{0}(x_{1}, …, x_{k}) eloszlásfüggvény φ_{0}(t_{1}, …, t_{k}) karakterisztikus függvényéhez konvergálnak minden (t_{1}, …, t_{k}) ∈ R^{k} pontban.

A fenti tétel lehetővé teszi eloszlásfüggvények konvegenciájának a bizonyítását akkor, ha megvan a jelölt a határeloszlásra. Az alaptétel a jelölt megtalalálásában, illetve annak a kérdésnek az eldöntésében is segít, hogy érdemes-e ilyen jelöltet keresni.

A most megfogalmazott tétel bizonyítása érdekében először bebizonyítok egy lemmát a karakterisztikus függvény folytonosságáról.

Lemma a karakterisztikus függvények folytonosságáról. Egy F (x_{1}, …, x_{k}) eloszlásfüggvény φ(t_{1}, …, t_{k}) karakterisztikus függvénye folytonos, sőt egyenletesen folytonos függvény az R^{k} téren.

A lemma bizonyítása. Tekintsünk egy tetszőleges (t_{1}, …, t_{k}) és egy kis abszolut értékű (h_{1}, …, h_{k}) vektort az R^{k} téren, és írjuk fel a következő egyenlőtlenséget.

\begin{matrix}|φ(t_{1} + h_{1}, …, t_{k} + h_{k}) − φ(t_{1}, …, t_{k})| \\ ≤ ∫ |e^{i((t_{1}+h_{1})x_{1}+···+(t_{k}+h_{k})x_{k})} − e^{i(t_{1}x_{1}+···+t_{k}x_{k})}| F ( dx_{1}, …, dx_{k}) \\ ≤ ∫ |e^{i(h_{1}x_{1}+···+h_{k}x_{k})} − 1| F ( dx_{1}, …, dx_{k}). \end{matrix}  (8)

Rögzítsünk egy kis ε > 0 számot, és válasszunk egy olyan nagy K = K(ε) > 0 számot, amelyre az F eloszlásfüggvény által meghatározott μ_{F} Stieltjes mértékre

μ_{F} (\{(x_{1}, …, x_{k}): |x_{j}| > K valamely 1 ≤ j ≤ k indexre\}) ≤ \frac{ε}{4}.

Ilyen K szám létezik a valószínűségi mértékek a végtelen környezetében való viselkedéséről szóló lemma alapján. Ezután válasszunk olyan δ = δ(ε, K) számot, amelyre

|e^{i(h_{1}x_{1}+···+h_{k}x_{k})} − 1| ≤ \frac{ε}{2}, ha |h_{j}| ≤ δ és |x_{j}| ≤ K minden 1 ≤ j ≤ k indexre.

Vegyük észre, hogy |e^{i(h_{1}x_{1}+···+h_{k}x_{k})} − 1| ≤ 2 minden (x_{1}, …, x_{k}) és (h_{1}, …, h_{k}) vektorra. A (8) egyenlőtlenséget alkalmazva, és az egyenlőtlenség jobboldalán szereplő integrált felbontva a K = {(x_{1}, …, x_{k}): |x_{j}| ≤ K, minden 1 ≤ j ≤ k indexre} tartományon és a tartomány komplementerén vett integrálok összegére azt kapjuk az előbb választott K és δ számokkal, hogy

|φ(t_{1} + h_{1}, …, t_{k} + h_{k}) − φ(t_{1}, …, t_{k})|

≤ ∫_{K} |e^{i(h_{1}x_{1}+···+h_{k}x_{k})} − 1| F ( dx_{1}, …, dx_{k}) + \frac{ε}{2} ≤ ε,

ha |h_{j}| ≤ δ minden 1 ≤ j ≤ k indexre. Innen következik a lemma állítása.

Az eloszlások konvergenciájáról szóló Alaptétel egyszerűsített változatának bizonyítása. Az eloszlások konvergenciájának jellemzéséről szóló tételből közvetlenül látszik, hogy eloszlásfüggvények konvergenciájából következik a karakterisztikus függvények konvergenciája. Az ellenkező írányú állítás bizonyításának érdekében lássuk be először azt, hogy eloszlások karakterisztikus függvényeinek konvergenciájából egy egy eloszlásfüggvény karakterisztikus függvényéhez következik, hogy a tekintett eloszlásfüggvények feszesek.

Valóban, mivel a határfüggvény, lévén karakterisztikus függvény, folytonos az origóban ebben az esetben, ezért a az eloszlások feszességének biztosításáról a karakterisztikus függvény tulajdonságai alapján tétel következményéből következik a tekintett eloszlások feszessége.

Ezt a tényt felhasználva hasonlóan bizonyítjuk be azt, hogy az eloszlásfüggvények konvergenciája következik a karakterisztikus függvények konvergenciájából, mint az analóg állítást arról, hogy egy eloszlást meghatároz annak karakterisztikus függvénye. Az egyetlen lényeges különbség a két bizonyítás között az, hogy jelen esetben az eloszlások feszessége veszi át a valószínűségi mértékek viselkedéséről a végtelen környezetében lemma szerepét.

Azt akarjuk bebizonyítani, hogy tetszőleges folytonos és korlátos f(x_{1}, …, x_{k}) függvényre az R^{k} térben

lim_{n→∞} ∫ f(x_{1}, …, x_{k})F_{n}( dx_{1}, …, dx_{k}) = ∫ f(x_{1}, …, x_{k})F_{0}( dx_{1}, …, dx_{k}). (9)

Viszont az eloszlások feszessége és az f folytonos függvény korlátossága miatt minden ε > 0 számhoz létezik olyan K > 0 szám és f_{K} folytonos függvény az R^{k} téren, amelyre az f_{K} függvény tartója a K = K(K) = [−K, K] × ⋯ × [−K, K] téglatestben van, és

|∫ f(x_{1}, …, x_{k})F_{n}( dx_{1}, …, dx_{k}) − ∫ f_{K}(x_{1}, …, x_{k})F_{n}( dx_{1}, …, dx_{k})| < ε (10)

minden n = 1, 2, … indexre. Egy ilyen konstrukciót úgy kaphatunk, hogy veszünk (kihasználva az F_{n} eloszlások feszességét) egy olyan K(\frac{K}{2} ) téglatestet, amelyre teljesül a μ_{F_{n}} (R^{k} \ K(\frac{K}{2} )) ≤ \frac{ε}{2M}, egyenlőtlenség minden n = 0, 1, 2, … indexre, ahol M = sup_{x_{1},...,x_{k})} |f(x_{1}, …, x_{k})|, és vesszük azt a függvényt, amely megegyezik az f(·)

függvénnyel a K(\frac{K}{2} ) téglatesten, azon kívül pedig eltűnik. Ezután ezt a függvényt ‘kisimítjuk’ a téglatesten kívül, azért hogy folytonos legyen. (Ilyen ‘simításra’ egyszerű, standard módszerek vannak az analízisben. Legegyszerűbben úgy kapunk ilyen f_{K}(·) függvényt, hogy az f(x_{1}, …, x_{k}) függvényt megszorozzuk egy olyan h(x_{1}, …, x_{k}) folytonos függvénnyel, amelyre 0 ≤ h(x_{1}, …, x_{k}) ≤ 1 minden (x_{1}, …, x_{k}) ∈ R^{k} pontban, h(x_{1}, …, x_{k}) = 1, ha (x_{1}, …, x_{k}) ∈ K(\frac{K}{2} ), és

h(x_{1}, …, x_{k}) = 0, ha ρ ((x_{1}, …, x_{k}), K (\frac{K}{2} )) ≥ 1.

Ilyen h(·) függvényt nem nehéz konstruálni.)

Ezután vehetjük az f_{K} függvény minden koordinátájában 2K periódusú f̄_{K} periódikus kiterjesztését hasonlóan ahhoz, ahogy annak bizonyításában tettük, hogy a karakterisztikus függvény meghatározza az eloszlást. Ezután a f̄_{K} folytonos periódikus függvényt közelíthetjük olyan 2K periódusú P (x_{1}, …, x_{k}) trigonometrikus polinommal Weierstrass második approximációs tétele alapján, amelyre sup |f̄_{K}(x_{1}, …, x) − P (x_{1}, …, x_{k})| ≤ ε. Ekkor a (10) egyenlőtlenség érvényben marad 2ε felső becsléssel az ε felső becslés helyett, ha az f_{K} függvényt a f̄_{K} függvénnyel helyettesítjük. Továbbá, érvényes az

|∫ f(x_{1}, …, x_{k})F_{n}( dx_{1}, …, dx_{k}) − ∫ P (x_{1}, …, x_{k})F_{n}( dx_{1}, …, dx_{k})| < 3ε

egyenlőtlenség az így konstruált P (·) trigonometrikus polinommal minden n = 1, 2, … indexre. Mivel ez az egyenlőtlenség minden ε > 0-ra igaz (alkalmas trigonometrikus P (·) polinommal), és a karakterisztikus függvények konvergenciájából következik a

lim_{n→∞} ∫ P (x_{1}, …, x_{k})F_{n}( dx_{1}, …, dx_{k}) = ∫ P (x_{1}, …, x_{k})F_{0}( dx_{1}, …, dx_{k})

reláció minden trigonometrikus polinomra, innen ε → 0 határátmenettel megkapjuk a (9) relációt, és így a tétel állítását.

A fenti eredmények alapján eloszlásfüggvények aszimptotikus viselkedéséről szóló határeloszlástételek bizonyítását visszavezethetjük az eloszlásfüggvények karakterisztikus függvényeinek vizsgálatára. Ahhoz azonban, hogy jó, tartalmas eredményeket kapjunk szükségünk van arra, hogy az eloszlásfüggvények tulajdonságairól szóló feltételekről megértsük, hogy azok mit jelentenek a karakterisztikus függvényekre, azaz az eloszlásfüggvények Fourier transzformáltjaira. Meglehetősen jó ‘szótárat’ lehet készíteni, amely leírja, hogy egy függvény bizonyos tulajdonságai hogyan tükröződnek a függvény Fourier transzformáltjainak a tulajdonságaiban, és vice versa. Ezen előadásban nem foglalkozom e ‘szótár’ kidolgozásával. Megelégszem a határeloszlástételek vizsgálatában legfontosabb ilyen irányú eredmény bizonyításával. Ez arról szól, hogy egy valószínűségi változó momentumait hogyan lehet kifejezni a valószínűségi változó karakterisztikus függvényének a segítségével.

Tétel valószínűségi változók momentumainak kifejezéséről karakterisztikus függvényük segítségével. Legyen ξ olyan valószínűségi változó, amelyre E|ξ|^{k} < ∞ valamilyen k pozitív egész számra. Jelölje F (x) a ξ valószínűségi változó eloszlás, és φ(t) annak karakterisztikus függvényét. Ekkor a φ(t) karakterisztikus függvény deriváltjai

megadhatóak a \frac{d^{j}}{dt^{j}} φ(t) = ∫_{−∞}^{∞} i^{j}u^{j}e^{itu}F ( du) képlettel minden 0 ≤ j ≤ k és −∞ <

t < ∞ számra. Speciálisan, \frac{d^{j}φ(t)}{dt^{j}} |_{t=0} = ∫_{−∞}^{∞} i^{j}u^{j}F ( du) = i^{j}Eξ^{j} minden 0 ≤ j ≤ k

számra.

A tétel bizonyítása. Teljesüljön az E|ξ|^{k} = ∫_{−∞}^{∞} |x|^{k}F ( dx) < ∞ feltétel valamely pozitív

egész k számra. Azt fogjuk belátni, hogy ha valamilyen 0 ≤ j < k számra \frac{d^{j}}{dt^{j}} φ(t) =

∫_{−∞}^{∞} i^{j}u^{j}e^{itu}F ( du) minden −∞ < t < ∞ számra, akkor

\frac{d^{j+1}}{dt^{j+1}} φ(t) = ∫_{−∞}^{∞} i^{j+1}u^{j+1}e^{itu}F ( du)

minden −∞ < t < ∞ számra. Innen indukcióval következik a tétel fő állítása, mivel az indukciós feltevés érvényes j = 0 esetén. A momentumokat a karakterisztikus függvény segítségével megadó formula megkapható, ha alkalmazuk ezt az eredményt t = 0 választással.

Viszont

\frac{d^{j+1}}{dt^{j+1}} φ(t) = lim_{h→0} \frac{\frac{d^{j}}{dt^{j}} φ(t + h) − \frac{d^{j}}{dt^{j}} φ(t)}{h} = lim_{h→0} ∫_{−∞}^{∞} \frac{i^{j}u^{j}e^{i(t+h)u} − i^{j}u^{j}e^{itu}}{h} F ( du),

és az integrandus teljesíti az

lim_{h→0} \frac{i^{j}u^{j}e^{i(t+h)u} − i^{j}u^{j}e^{itu}}{h} = i^{j}u^{j+1}e^{itu} lim_{h→0} \frac{e^{ihu} − 1}{hu} = i^{j+1}u^{j+1}e^{itu}

relációt. Azt kell megmutatnunk, hogy jogunk van a limeszelésben az integrálás és limeszképzés sorrendjét felcserélni. Ehhez a Lebesgue dominált konvergenciatétele alapján elég azt megmutatni, hogy létezik olyan K(u) függvény, amelyre

|\frac{i^{j}u^{j}e^{i(t+h)u} − i^{j}u^{j}e^{itu}}{h} | ≤ K(u) minden |h| ≤ \frac{1}{2} számra,

és ∫_{−∞}^{∞} K(u)F ( du) < ∞. Vegyük észre, hogy

|\frac{i^{j}u^{j}e^{i(t+h)u}i^{j}u^{j} − e^{itu}}{h} | = |u|^{j+1} |\frac{e^{ihu} − 1}{hu}|

≤ |u|^{j+1} (sup_{v} |\frac{1 − cos v}{v} | + sup_{v} |\frac{sin v}{v} |) ≤ 3|u|^{j+1},

mert |\frac{sin v}{v} | ≤ 1, és |\frac{1−cos v}{v} | ≤ 2. Ezért választhatjuk a kívánt K(u) függvényt, mint K(u) = 3|u|^{j+1}, és nyílván ∫_{−∞}^{∞} K(u)F ( du) < ∞, ha j ≤ k.

Kiegészítés A: Eloszlásfüggvények tulajdonságairól.

Az előadásban felhasználtuk az eloszlásfüggvények következő tulajdonságát.

Tétel többváltozós eloszlásfüggvények tulajdonságairól. Legyen F (x_{1}, …, x_{k}) k-változós eloszlásfüggvény, és jelölje μ_{F} az F (x_{1}, …, x_{k}) eloszlásfüggvény által meghatározott Stieltjes mértéket. Vezessük be minden 1 ≤ j ≤ k indexre a μ_{F} mérték μ_{j} vetületetét az R^{k} tér j-ik koordinátára, azaz a következő μ_{j} = μ_{F,j} valószínűségi mértéket a számegyenes B Borel σ-algebráján.

μ_{j}(B) = μ_{F} ({(u_{1}, …, u_{j}, …, u_{k}): u_{j} ∈ B} minden B ∈ B halmazra.

A μ_{j} mértéknek csak megszámlálhatóan sok atomja van, azaz legfeljebb megszámlálhatóan sok olyan x ∈ R^{1} pont van, amelyre μ_{j}({x}) > 0. Ha (x_{1}, …, x_{k}) ∈ R^{k} olyan pont, amelyre μ_{j}({x_{j}}) = 0 minden 1 ≤ j ≤ k indexre, akkor az F eloszlásfüggvény folytonos ebben az (x_{1}, …, x_{k}) pontban.

A tétel bizonyítása: Mivel μ_{j} valószínűségi mérték, ezért tetszőleges n pozitív egész számra azon x pontokból álló A_{n} halmaz, mely pontokra μ_{j}(\{x\}) ≥ \frac{1}{n}, véges. (Az A_{n} halmaz legfeljebb n pontból áll.) Mivel a μ_{j} mérték atomjainak halmaza megegyezik az A_{n} halmazok uniójával, ezért μ_{j}-nek legfeljebb megszámlálható sok atomja van.

Ha az (x_{1}, …, x_{k}) ∈ R^{k} olyan pont, amelyre x_{j} nem atomja a μ_{j} mértéknek semelyik 1 ≤ j ≤ k indexre, akkor a μ_{j} mértékek folytonossági tulajdonsága alapján minden ε > 0 számra létezik olyan δ > 0 szám, amelyre μ_{j}(\{u: x_{j} − δ ≤ u ≤ x_{j} + δ\}) ≤ \frac{ε}{k} mindegyik 1 ≤ j ≤ k indexre. Innen következik, hogy

F (x_{1} + δ, …, x_{k} + δ) − F (x_{1} − δ, …, x_{k} − δ) ≤ ∑_{j=1}^{k} μ_{j}({u_{j}: x_{j} − δ ≤ u_{j} ≤ x_{j} + δ}) ≤ ε,

és az F eloszlásfüggvény monotonítási tulajdonságai alapján

|F (x_{1} +v_{1}, …, x+v_{k})−F (x_{1}, …, x_{k})| ≤ F (x_{1} +δ, …, x+δ)−F (x_{1} −δ, …, x_{k} −δ) ≤ ε,

ha |v_{j}| ≤ δ, 1 ≤ j ≤ k. Innen következik az F függvény folytonossága az (x_{1}, …, x_{k}) pontban.

Kiegészítés B. Az eloszlások konvergenciájáról szóló Alaptétel bizonyítása.

E tétel bizonyítása előtt bebizonyítok egy önmagában is érdekes eredményt eloszlások relatív kompaktságának és feszességének kapcsolatáról. Ennek érdekében először bevezetem a következő definiciót.

Eloszlások relatív kompaktságának a definiciója. Legyen adva F_{n}(x_{1}, …, x_{k}), n = 1, 2, …, eloszlásfüggvények sorozata a k-dimenziós euklideszi térben, és jelölje μ_{F_{n}} az F_{n} eloszlásfüggvény által meghatározott Stieltjes mértéket az R^{k} térben. Azt mondjuk, hogy az F_{n} eloszlásfüggvények illetve μ_{F_{n}} valószínűségi mértékek sorozata relatív kompakt, ha az F_{n} (vagy μ_{F_{n}}), sorozat tetszőleges F_{n_{k}} (illetve μ_{F_{n_{k}}}), k = 1, 2, …, részsorozatának létezik F_{n_{k_{j}}} (illetve μ_{F_{n_{k_{j}}}}), j = 1, 2, …, eloszlásban konvergens részsorozata.

Tétel eloszlások relatív kompaktságának és feszességének kapcsolatáról. Legyen μ_{n}, n = 1, 2, …, valószínűségi mértékek feszes sorozata az az R^{k} k-dimenziós euklideszi téren. Ez a valószínűségi mértékekből álló sorozat relatív kompakt.

Megjegyzés. Igaz a tétel megfordítása is, amely szerint valószínűségi mértékek sorozatának relatív kompaktságából következik e sorozat feszessége is. Ennek az állításnak a bizonyítása lényegesen egyszerűbb. De mivel erre az eredményre nem lesz szükségünk, ezt nem bizonyítom.

A tétel bizonyítása. Azt kell belátnunk, hogy a μ_{n} sorozat tetszőleges részsorozatának létezik eloszlásban konvergens részorozata. Az egyszerűbb jelölés érdekében a részsorozat újraindexelésével jelöljük ezt a részsorozatot is μ_{n}-nel. Azt kell belátnunk, hogy ennek az új (szintén feszes) μ_{n} mértéksorozatnak létezik eloszlásban konvergens részsorozata.

Jelölje F_{n}(x) = F_{n}(x_{1}, …, x_{k}) a μ_{n} mérték által meghatározott F_{n}(x_{1}, …, x_{k}) = μ_{n}({(u_{1}, …, u_{k}): u_{j} < x_{j}, j = 1, …, k}) eloszlásfüggvényt. Legyen

x^{(p)} = (x_{1}^{(p)}, …, x_{k}^{(p)}) , p = 1, 2, …,

a racionális koordinátájú x^{(p)} ∈ R^{k} pontok (megszámlálható) halmaza valamilyen indexeléssel felsorolva. Először belátjuk az úgynevezett átlós módszer segítségével, hogy egy alkalmas n_{j}, j = 1, 2, …, számsorozatra a

lim_{j→∞} F_{n_{j}} (x_{1}^{(p)}, …, x_{k}^{(p)}) = F̃ (x_{1}^{(p)}, …, x_{k}^{(p)})  (11)

határérték létezik minden p = 1, 2, … számra.

Valóban, mivel 0 ≤ F_{n}(x) ≤ 1 létezik az egész számoknak olyan n̄_{j} = (n_{j,1}) részsorozata, amelyre létezik a lim_{j→∞} F_{n_{j,1}}(x^{(1)}) = F̃(x^{(1)}) határérték. Ennek létezik

olyan n_{j,2} részsorozata, melyre létezik a lim_{j→∞} F_{n_{j,2}}(x^{(2)}) = F̃(x^{(2)}) határérték. Ezt az eljárást folytatva kapunk egymásba skatulyázott n_{j,p}, j = 1, 2, …, sorozatot minden p = 1, 2, … indexre, amelyekre {n_{p+1,j}, j = 1, 2, … } ⊂ {n_{p,j}, j = 1, 2, … }, p = 1, 2, …, és minden p = 1, 2, … számra létezik a lim_{j→∞} F_{n_{j,p}}(x^{(p)}) = F̃(x^{(p)})

határérték. Ekkor az n_{j} = n_{j,j} sorozat teljesíti a (11) relációt.

Vezessük be az

F (x_{1}, …, x_{k}) = sup ; {n_{j}: x_{s}^{(n_{j})}<x_{s}, s=1,...,k} F̃ (x_{1}^{(n_{j})}, …, x_{1}^{(n_{j})})  (12)

függvényt. Azt állítom, hogy F (x_{1}, …, x_{k}) eloszlásfüggvény, és az F_{n_{j}}(x_{1}, …, x_{k}) eloszlásfüggvények eloszlásban konvergálnak ehhez az F (x_{1}, …, x_{k}) eloszlásfüggvényhez, ha az n_{j} számsorozat teljesíti a (11) relációt. Ha ezt az állítást belátjuk, akkor befejeztük a Tétel bizonyítását.

Annak érdekében, hogy megmutassuk azt, hogy F (x_{1}, …, x_{k}) eloszlásfüggvény felhasználjuk az eloszlásfüggvények következő ,,belső” azaz csak az F függvény tulajdonságaitól függő jellemzését. Az F (x_{1}, …, x_{k}) függvény akkor és csak akkor eloszlásfüggvény, ha teljesíti a következő négy tulajdonságot.

(i) F (x_{1}, …, x_{k}) minden változójának balról folytonos függvénye. (ii) lim_{x_{j}→∞ minden j=1,...,k számra} F (x_{1}, …, x_{k}) = 1.

(iii) lim_{x_{j}→−∞ valamely 1≤j≤k számrra} F (x_{1}, …, x_{k}) = 0.

Végül definiáljuk egy az R^{k} téren definiált F függvényre és egy K = [a_{1}, b_{1}) × ⋯ × [a_{k}, b_{k}) téglatestre a

μ(K) = μ_{F} (K) = ∑_{\begin{matrix}x_{j}= a_{j} vagy b_{j} \\ j=1,...,k \end{matrix}}(−1)^{χ(x_{1},...,x_{k})}F (x_{1}, …, x_{k})

mennyiséget, ahol χ(x_{1}, …, x_{k}) jelöli az a_{j}-k számát az x_{1}, …, x_{k} sorozatban. Ekkor

(iv) μ_{F} (K) ≥ 0 minden K téglatestre.

Mivel a racionális koordinátájú pontokban definiált F̃(x_{1}, …, x_{k}) függvény minden koordinátájának monoton függvénye, ezért a (12) formulában definiált F (·) függvény teljesíti az (i) tulajdonságot. Továbbá ebből a monotonításból az is következik, hogy a (12) formulában a sup helyett limeszt írhatunk, ahol olyan (x_{1}^{(p)}, …, x_{k}^{(p)}), p =

1, 2, …, sorozatot tekintünk a limeszben, amelyre x_{j}^{(p)} < x_{j} minden 1 ≤ j ≤ k és p = 1, 2, … indexre. Továbbá lim_{p→∞} x_{j}^{(p)} = x_{j} minden j = 1, …, k számra. Te-

kintsünk olyan K(p) racionális koordinátájú téglatestesteket, amelyekben minden pont összes koordinátája szigorúan monoton növekvő módon tart a K téglatest megfelelő pontjának a koordinátához. Ekkor μF̃(K(p)) ≥ 0, mivel F̃ eloszlásfüggvények limesze. Ezért μ_{F} (K) = lim_{p→∞} μF̃(K(p)) ≥ 0, azaz az F függvény teljesíti a (iv) tulajdonságot.

Vegyük észre, hogy a (ii) és (iii) tulajdonság érvényes akkor, ha az F_{n} függvényeket a F̃ függvénnyel helyettesítjük, és a limeszt csak racionális koordinátájú pontokban tekintjük. (A bizonyásnak ebben a pontjában használjuk ki, hogy a μ_{n} mértékek feszesek.) Innen és a (12) formulából következik, hogy az F függvény a (ii) és (iii) tulajdonságokat is teljesíti.

Annak érdekében, hogy megmutassuk azt, hogy az F_{n_{k}} eloszlásfüggvények eloszlásban konvergálnak az F eloszlásfüggvényhez tekintsük az F függvény valamely x = (x_{1}, …, x_{k}) folytonossági pontját, majd minden rögzített ε > 0 számhoz válasszunk olyan δ = δ(ε) számot, amelyre F (x) − ε ≤ F (x − δ) ≤ F (x) ≤ F (x + δ) ≤ F (x) + ε, ahol x ± δ = (x_{1} ± δ, …, x_{k} ± δ). Válasszunk ezután két olyan racionális koordinátájú r = (r_{1}, …, r_{k}) ∈ R^{k} és r̄ = (r̄_{1}, …, r̄_{k}) ∈ R^{k} pontot, amelyekre x_{j}−δ < r_{j} < x_{j} < r̄_{j} < x_{j} + δ minden j = 1, …, k indexre. Ekkor a F̃(·) függvény monotonitási tulajdonságai és az F függvény definiciója alapján

F (x) − ε ≤ F (x − δ) < F̃(r) ≤ F (x) ≤ F̃(r̄) ≤ F (x + δ) ≤ F (x) + ε

Innen, a F̃ függvény definiciója és az F_{n_{j}} függvények monotonitási tulajdonságai miatt

F (x) − ε ≤ lim_{j→∞} F_{n_{j}}(r) ≤ lim inf_{j→∞} F_{n_{j}}(x)

≤ lim sup_{j→∞} F_{n_{j}}(x) ≤ lim_{j→∞} F_{n_{j}}(r̄) ≤ F (x) + ε,

ezért

−ε ≤ lim inf_{j→∞} F_{n_{j}}(x) − F (x) ≤ lim sup_{j→∞} F_{n_{j}(x)} − F (x) ≤ ε.

Mivel ez a reláció minden ε > 0-ra igaz, innen következik, hogy lim_{j→∞} F_{n_{j}}(x) = F (x). A

tétel bizonyítását befejeztük.

Az eloszlások konvergenciájáról szóló Alaptétel bizonyítása. Lássuk először azt be, hogy ha az F_{n}(x_{1}, …, x_{k}) eloszlásfüggvények φ_{n}(t_{1}, …, t_{k}) karakterisztikus függvényei konvergálnak egy φ_{0}(t_{1}, …, t_{k}) függvényhez a tételben megfogalmazott folytonossági tulajdonsággal, akkor φ_{0}(t_{1}, …, t_{k}) egy F_{0}(x_{1}, …, x_{k}) eloszlásfüggvény karakterisztikus függvénye, és az F_{n}(·) eloszlásfüggvények az F_{0}(·) eloszlásfüggvényhez konvergálnak.

Ebben az esetben a Tétel eloszlások feszességének biztosításáról a karakterisztikus függvény tulajdonságai alapján eredményéből, illetve annak következményéből kapjuk, hogy az F_{n}(·) eloszlásfüggvények feszesek. Így az eloszlások relatív kompaktságának és feszességének kapcsolatáról szóló tétel alapján ezek az eloszlások relatív kompaktak. Továbbá ezen eloszlássorozat minden konvergens részsorozata ugyanahhoz az F_{0}(·) eloszlásfüggvényhez konvergál, és ennek az F_{0}(·) eloszlásfüggvénynek a φ_{0}(·) függvény a karakterisztikus függvénye. Ugyanis az F_{n}(·) eloszlásfüggvénysorozatnak egy konvergens részsorozatának a karakterisztikus függvényei konvergálnak a határeloszlás karakterisztikus függvényéhez, és ez a φ_{0}(·) függvény. Viszont a φ_{0}(·) karakterisztikus függvény egyértelműen meghatározza az F_{0}(·) eloszlásfüggvényt.

A már bizonyított állításokból következik, hogy az F_{n}(·) eloszlásfüggvények konvergálnak az F_{0}(·) eloszlásfüggvényhez. Ugyanis, ha ez nem lenne igaz, akkor létezne az F_{0}(·) eloszlásfüggvénynek olyan (x_{1}, …, x_{k}) folytonossági pontja, egy olyan ε > 0 szám és pozitív egész számok olyan növekvő n_{k}, k = 1, 2, …, sorozata amelyekre teljesül az |F_{n_{k}}(x_{1}, …, x_{k}) − F_{0}(x_{1}, …, x_{k})| > ε egyenlőtlenség minden k = 1, 2, … indexre. Ez viszont ellentmond annak, hogy az F_{n_{k}}(·) eloszlásfüggvénysorozatnak van az F_{0}(·) eloszlásfüggvényhez konvergáló részsorozata.

A tétel másik felének belátása érdekében vegyük észre, hogy ha F_{n}(x_{1}, …, x_{k}) eloszlásfüggvények sorozata egy F_{0}(x_{1}, …, x_{k}) eloszlásfüggvényhez konvergál eloszlásban, akkor az eloszlások konvergenciájának jellemzéséről szóló tételből következik, hogy ezen eloszlásfüggvények φ_{n}(t_{1}, …, t_{k}) karakterisztikus függvényei konvergálnak az F_{0} eloszlás φ_{0}(t_{1}, …, t_{k}) karakterisztikus függvényéhez minden (t_{1}, …, t_{k}) pontban. Az alaptétel bizonyításának befejezéséhez azt kell még megmutatni, hogy ez a konvergencia minden kompakt halmazon egyenletes.

Ezen állítás bizonyításának az érdekében vegyük észre, hogy mivel az F_{n} eloszlásfüggvények eloszlásban konvergálnak, ezért feszesek. Tehát tetszőleges ε > 0-hoz létezik olyan K = K(ε) szám, amelyre egy F_{n} eloszlású ξ_{n} = (ξ_{n}^{(1)}, …, ξ_{n}^{(k)}), n = 0, 1, 2, …, véletlen vektor teljesíti a P (|ξ_{n}| > K) < \frac{ε}{6} egyenlőtlenséget minden n = 0, 1, 2, … számra. (A bizonyítás további részében ξ(ω), t ∈ R^{k}, x ∈ R^{k}, a k-dimenziós tér pontjait jelöli, és (t, x), t ∈ R^{k}, x ∈ R^{k}, jelöli a t és x vektor skalárszorzatát.) Válasszunk egy olyan kis δ = δ(K, ε) számot, amelyre |e^{i(t,x)} − 1| < \frac{ε}{6}, ha t ∈ R^{k}, x ∈ R^{k}, |t| < K, és |x| < δ. Válasszunk ezután egy olyan véges T = {t^{(1)}, …, t^{(s)}} ⊂ K, s = s(K, δ), ponthalmazt a K ⊂ R^{k} kompakt halmazban, amelyre igaz, hogy tetszőleges t ∈ K ponthoz létezik olyan t^{(j)} ∈ T pont, amelyre ρ(t, t^{(j)}) < δ. Ekkor

|φ_{n}(t) − φ_{n}(t^{(j)})| = |Ee^{i(t,ξ_{n})} − e^{i(t^{(j)},ξ_{n})}|

≤ E |e^{i(t−t^{(j)},ξ_{n})} − 1| I (|ξ_{n}| ≤ K) + P (|ξ_{n}| > K) ≤ \frac{ε}{3}

minden n = 0, 1, 2, … számra egy F_{n} eloszlású ξ_{n} vektorral. Továbbá választhatunk olyan n_{0} = n_{0}(ε) küszöbindexet, amelyre teljesül a sup_{n≥n_{0}} sup_{t^{(j)}∈T} |φ_{n}(t^{(j)}) − φ_{0}(t^{(j)})| < \frac{ε}{3}

egyenlőtlenség. Az utolsó két egyenlőtlenségből következik, hogy sup_{t∈K} |φ_{n}(t)−φ_{0}(t)| < ε,

ha n ≥ n_{0}, tehát a φ_{n}(t) → φ_{0}(t) konvergencia egyenletes a K halmazon.