\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=4pt
\TagsOnRight
%\nopagenumbers

\noindent{\bf Feladatok:}
\item{1a.)} Legyen $\eta$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Bizony\'{\i}tsa be,
hogy $Ee^{t\eta}=e^{t^2/2}$.

\item{1b)} Legyen $W(t)$, $t\ge0$, Wiener folyamat, 
$a$ val\'os sz\'am. Mutassa meg, hogy
$$
\exp\left\{aW(t)-\frac{a^2}2t\right\}, \quad t\ge0,
$$ 
marting\'al.

 \item{} {\it Megold\'as:}

\item{1a.)} 
$$
\align
Ee^{t\eta}&=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty e^{tx}e^{-x^2/2}\,dx
=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty e^{tx-x^2/2}\,dx \\
&=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{t^2/2}\int_{-\infty}^\infty e^{-t^2/2+tx-x^2/2}\,dx
=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{t^2/2}\int_{-\infty}^\infty e^{-(t-x)^2/2}\,dx
=e^{t^2/2}
\endalign
$$
\item{1b.)} Legyen $0\le s< t$. Ekkor $W(t)=W(s)+[W(t)-W(s)]=
W(s)+\sqrt{t-s}\frac{W(t)-W(s)}{\sqrt{t-s}}$, tov\'abb\'a
$W(s)$ ${\Cal F}_s$ m\'erhet\H{o} $\frac{W(t)-W(s)}{\sqrt{t-s}}$ 
pedig az ${\Cal F}_s$ $\sigma$-algebr\'at\'ol f\"uggetlen standard 
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
(Egy olyan $(W(t),{\Cal F}_t)$ marting\'allal dolgozunk, ahol 
r\"ogz\'{\i}tett $s>0$ sz\'amra a $W(u+s)-W(s)$, $u\ge0$, folyamat 
f\"uggetlen az ${\Cal F}_s$ $\sigma$-algebr\'at\'ol.)

\item{} Ez\'ert, ha $0\le s<t$, akkor
$$
\align
&\left.E\left(\exp\left\{aW(t)-\frac{a^2}2t\right\}\right|{\Cal F}_s\right)\\
&\qquad=\left.E\left(\exp
\left\{a \left(W(s)+\sqrt{t-s}\frac{W(t)-W(s}{\sqrt{t-s}}\right) 
-\frac{a^2}2t\right\}
\right|
{\Cal F}_s\right) \\
&\qquad=\exp\left\{aW(s)-\frac{a^2}2t\right\}
\left.E\left(\exp\left\{
a\sqrt{t-s}\frac{W(t)-W(s)}{\sqrt{t-s}} 
\right\}\right|{\Cal F}_s\right) \\
&\qquad=\exp\left\{aW(s)-\frac{a^2}2t\right\}
E\left(\exp\left\{
a\sqrt{t-s}\frac{W(t)-W(s)}{\sqrt{t-s}} 
\right\}\right)\\
&\qquad=\exp\left\{aW(s)-\frac{a^2}2t\right\}
\exp\left\{\frac{a^2(t-s)}2\right\}
=\exp\left\{aW(s)-\frac{a^2}2s\right\}.
\endalign
$$ 

\vfill\eject

Tekints\"uk a Kevei jegyzet 3. p\'eld\'aj\'at, \'es besz\'elj\"uk
meg r\'eszletesebben hogyan kell a benne szerepl\H{o} It\^o folyamatok
szorzat\'at kisz\'amolni. (A feladat eredm\'enye egy ezzel a k\'eplettel
ekvivalens \'all\'{\i}t\'as.)

Legyenek adva az 
$$
X_t=X_0+\int_0^t K_s\,ds+\int_0^t H_s\,dW_s
$$
\'es
$$
Y_t=Y_0+\int_0^t L_s\,ds+\int_0^t G_s\,dW_s
$$
It\^o folyamatok, \'es \'{\i}rjuk fel az $X_tY_t$ szorzatot 
It\^o folyamat form\'aj\'aban.

Az It\^o formul\'at kell alkalmazni az $X_tY_t=f(X_t,Y_t)$
folyamatra, ahol $f(x,y)=xy$, azaz az $f(x,y)$ k\'etv\'altoz\'os 
f\"uggv\'eny els\H{o} koordin\'at\'aj\'aba az $X_t$ a m\'asodik
koordin\'at\'aj\'aba az $Y_t$ It\^o folyamatot kell 
behelyettes\'{\i}teni. Ekkor 

\noindent
$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=y$, 
$\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x$, 
$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)=0$, 
$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)=0$, \hfill\break 
$\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x,y)= 
\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(x,y)=1$, 
azaz

\noindent
$\frac{\partial f}{\partial x}(X_t,Y_t)=Y_t$, 
$\frac{\partial f}{\partial y}(X_t,Y_t)=X_t$, 
$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(X_t,Y_t)=0$, 
$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(X_t,Y_t)=0$, \hfill\break
$\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(X_t,Y_t)= 
\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial y}(X_t,Y_t)=1$.

Az $X_t$ \'es $Y_t$ folyamatokat meghat\'aroz\'o
formul\'ak differenci\'alalakban \hfill\break 
$dX_t=K_t\,dt+H_t\,dW_t$
\'es $dY_t=L_t\,dt+G_t\,dW_t$ ($X_0$ \'es $Y_0$ kezdeti \'ert\'ekekkel).
Ez\'ert az It\^o formula szerint
$$
\align
dX_tY_t&=
\frac{\partial f}{\partial x}(X_t,Y_t)\,dX_t+ 
\frac{\partial f}{\partial y}(X_t,Y_t)\,dy_t \\
&\qquad +\frac12\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(X_t,Y_t)\,(dX_t)^2
+\frac12\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(X_t,Y_t)\,(dY_t)^2 \\
&\qquad+\frac12\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(X_t,Y_t)(dX_t \,dY_t)+
\frac12\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(X_t,Y_t)(dX_t \,dY_t) \\
&=Y_t\,dX_t+X_t\,dY_t+(\,dX_t\,dY_t)
=Y_t\,dX_t+X_t\,dY_t+H_t G_t\,dt,
\endalign
$$
azaz ezt az azonoss\'agot ``kiintegr\'alva''
$$
X_tY_t-X_0Y_0=\int_0^t Y_s\,dX_s+\int_0^t X_s\,dY_s+\int_0^t H_sG_s\,ds.
$$
A Kevei jegyzet ezt az azonoss\'agot \'{\i}rja fel kiss\'e \'atrendezett
alakban. Term\'eszetesen ebben az azonoss\'agban bizonyos integr\'alokat
r\'eszletesebben is fel\'{\i}rhatn\'ank. Nevezetesen,
$$
\int_0^t Y_s\,dX_s=
\int_0^t Y_s(K_s\,ds+H_s\,dW_s)=
\int_0^t Y_s K_s\,ds+ \int _0^t Y_s H_s\,dW_s,
$$
\'es
$$
\int_0^t X_s\,dY_s=
\int_0^t X_s(L_s\,ds+G_s\,dW_s)=
\int_0^t X_s L_s\,ds+ \int _0^t X_s G_s\,dW_s.
$$


\item{A.)} Legyen $Z(t)=e^{U(t)}$ \'es $Y(t)=e^{-U(t)}$, ahol 
$U(t)=\int_0^tX(s)\,dW(s)-\frac12\int_0^t X^2(s)\,ds$ egy olyan 
$X(s)$, $0\le s\le T$, sztochasztikus folyamattal, amelyre
$X(\cdot)\in{\Cal H}'$ ez\'ert az $\int_0^t X(s)\,dW(s)$ \'es
$\int_0^T X^2(s)\,ds$, $0\le t\le T$, \'es \'{\i}gy 
az el\H{o}bb fel\'{\i}rt $U(t)$  It\^o-folyamat l\'etezik. 
Mutassa meg, hogy igazak a
$$
dZ(t)=Z(t)X(t)\,dW(t), \quad Z(0)=1,
$$
\'es
$$
dY(t)=Y(t)[X^2(t)\,dt-X(t)\,dW(t)], \quad Y(0)=1,
$$
azonoss\'agok. 
\item{B.)} Mutassa meg, hogy ha a $Z(t)$ It\^o folyamat teljes\'{\i}ti
a 
$dZ(t)=Z(t)X(t)\,dW(t)$, $Z(0)=1$, azaz a 
$Z(t)=1+\int_0^t Z(s)X(s)\,dW(s)$ egyenletet az A) feladatban 
szerepl\H{o} $X(t)$ sztochasztikus folyamattal, akkor 
$$
d[Y(t)Z(t)]=0.
$$
Ez\'ert a $dZ(t)=Z(t)X(t)\,dW(t)$ egyenletnek az egyetlen a 
$Z(0)=1$ hat\'arfelt\'etelt teljes\'{\i}t\H{o} meg\-ol\-d\'a\-sa 
a Kevei jegyzet 6. p\'eld\'aj\'aban t\'argyalt $Z(t)=e^{U(t)}$  
szto\-chasz\-ti\-kus folyamat.

\medskip
\item{} {\it Megold\'as.} Legyen $f(x)=e^x$, $g(x)=e^{-x}$. Ekkor
$Z(t)=f(U_t)$, $Y(t)=g(U_t)$ \'es az It\^o formula szerint
$$
\align
dZ(t)&=f'(U_t)\,dU(t)+\frac12 f''(U_t)[\,dU(t)]^2 \\ 
&=e^{U(t)} \left[X(t)dW(t)-\frac12X^2(t)\,dt\right]+\frac12 e^{U(t)}X^2(t)\,dt \\
&=e^{U(t)}X(t)\,dW(t)=Z(t)X(t)\,dW(t),
\endalign
$$
\'es
$$
\align
dY(t)&=g'(U_t)\,dU(t)+\frac12 g''(U_t)[\,dU(t)]^2 \\
&=-e^{-U(t)} \left[X(t)dW(t)-\frac12X^2(t)\,dt\right]
+\frac12 e^{-U(t)}X^2(t)\,dt \\
&=e^{-U(t)}[-X(t)\,dW(t)+X^2(t)\,dt]=Y(t)[X^2(t)\,dt-X(t)\,dW(t)],
\endalign
$$
\'es ez volt az a) r\'esz bizony\'{\i}t\'asa.

\item{} A b) r\'esz bizony\'{\i}t\'asa.

\item{} Ha $Z(t)$ olyan It\^o folyamat, amelyre
$dZ(t)=Z(t)X(t)\,dW(t)$, akkor az el\H{o}z\H{o}
feladat \'es az a) r\'esz eredm\'enyei alapj\'an
$$
\align
d[Y(t)Z(t)]&=Y(t)\,dZ(t)+Z(t)\,dY(t)+\,dZ(t)\,dY(t) \\
&=Y(t)Z(t)X(t)\,dW(t)+Z(t)Y(t)[X^2(t)\,dt-X(t)\,dW(t)]\\
&\qquad -Z(t)X(t)Y(t)X(t)\,dt
=Y(t)Z(t)[0\cdot\,dW(t)+0\cdot\,dt]=0
\endalign
$$
Ez\'ert $Z(t)Y(t)=Z(0)Y(0)$ minden $0\le t\le T$ id\H{o}pontra.
Ha a $Z(0)=1$ rel\'aci\'o is teljes\"ul, akkor $Z(t)Y(Y(t)=1$.

\item{} Az a) r\'esz szerint $Z(t)=e^{U(t)}$ megold\'asa az
$dZ(t)=Z(t)X(t)\,dW(t)$ sztochasztikus differenci\'alegyenletnek,
\'es $Z(0)=1$. A b) r\'esz m\'ar bizony\'{\i}tott r\'esze szerint, 
ha $Z(t)$ megold\'asa ennek a sztochasztikus differenci\'alegyenletnek
a $Z(0)=1$ kezdeti felt\'etel mellett, akkor $Z(t)=Y^{-1}(t)=e^{U(t)}$ 
minden $0\le t\le T$ id\H{o}pontban.

\medskip
\item{} {\it Megjegyz\'es.} Az It\^o integr\'alok elm\'elet\'eben
fontos szerepet j\'atszanak a $Z(t)=e^{U(t)}$,
$U(t)=\int_0^tX(s)\,dW(s)-\frac12\int_0^t X^2(s)\,ds$, $0\le t\le T$, 
alak\'u folyamatok valamilyen $X\in{\Cal H}$ sztochasztikus 
folyamattal. Ezek hasonl\'o szerepet j\'atszanak, mint az 
$\exp\left\{\int_0^tA(s)\,ds\right\}$ alak\'u (determinisztikus) 
f\"uggv\'enyek az anal\'{\i}zisben, \'es szok\'as \H{o}ket 
Dol\'eans--exponential-nak nevezni. Egy ilyen sztochaszikus 
folyamatokr\'ol sz\'ol\'o marting\'al egyenl\H{o}tlens\'eg fontos 
szerepet j\'atszott az It\^o integr\'alok \'altal\'anos 
de\-fi\-ni\-ci\'o\-j\'a\-nak \'altalunk is\-mer\-te\-tett m\'odj\'aban.

\item{}
M\'asr\'eszt tudjuk, hogy ha adva van egy $A(t)$ f\"uggv\'eny, akkor 
a $\frac{dy}{dt}=A(t)y(t)$ dif\-fe\-ren\-ci\'al\-egyen\-let\-nek 
(differenci\'al alakban $dy=A(t)y(t)\,dt$), $y(0)=1$ 
hat\'arfelt\'etellel az egyetlen megold\'asa az 
$y(t)=\exp\left\{\int_0^tA(s)\,ds\right\}$ f\"ugggv\'eny. Az 
el\H{o}z\H{o} feladat arr\'ol sz\'ol, hogy a Dol\'eans--exponential 
hasonl\'o tulajdons\'aggal rendelkezik. Adva egy $X\in{\Cal H}'$
sztochasztikus folyamat, a $dZ(t)=X(t)Z(t)\,dW(t)$, $Z(0)=1$, 
szto\-chasz\-ti\-kus diffe\-ren\-ci\'al\-egyen\-let egyetlen 
megold\'asa a $Z(t)=e^{U(t)}$ szto\-chasz\-ti\-kus folyamat, ahol 
$U(t)=\int_0^tX(s)\,dW(s)-\frac12\int_0^t X^2(s)\,ds$. 

\item{3.)} Legyen adva egy $W(t)$ Wiener folyamat. Sz\'amoljuk ki 
az It\^o formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel az $\int_0^t W(s)\,dW(s)$
integr\'alt. (Ez a Kevei jegyzet 5. p\'eld\'aja.) 

\item{} {\it Megold\'as.}\/ Sz\'amoljuk ki az $W(t)^2$ kifejez\'est 
az It\^o formul\'at alkalmazva a $W(t)=\int_0^t 1\,dW(s)$ It\^o 
folyamatra az $f(x)=x^2$ f\"uggv\'ennyel. Azt kapjuk, hogy
$$
d(W^2(t))=2W(t)\,dW(t)+\frac12\cdot 2\,dt,
$$
azaz
$$
W^2(t)-W^2(0)=\int_0^t 2W(s)\,dW(s)+\int_0^t 1\,ds=2\int_0^tW(s)\,dW(s)+t,
$$
teh\'at $\int_0^tW(s)\,dW(s)=\frac12(W^2(t)-t)$.
 
\item{} Megjegyzem, hogy e sz\'amol\'as szerint $W^2(t)-t$ 
el\H{o}\'all\'{\i}that\'o, mint egy Wiener folyamat szerinti It\^o
integr\'al a k\"ovetkez\H{o} m\'odon. $W^2(t)-t=\int_0^t 2W(s)\,dW(s)$.
Tov\'abb\'a ezen It\^o integr\'al magf\"uggv\'enye teljes\'{\i}ti
az $E\int_0^T (2W(t))^2\,dt<\infty$ rel\'aci\'ot, teh\'at eleme az 
It\^o integr\'alok definici\'oj\'aban szerepl\H{o} ${\Cal H}$ 
halmaznak. Ezzel azt is bebizony\'{\i}tottuk, hogy $W^2(t)-t$ 
marting\'al, (\'es nem csak szemimarting\'al).

\medskip
\item{4a)} Tekints\"unk egy $X(t)=W(t)+\int_0^t \vartheta(s)\,ds$, 
$0\le t\le T$, It\^o folyamatot, ahol $W(t)$ egy Wiener folyamat,
$\int_0^T |\vartheta(s)|\,ds<\infty$ 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel,
\'es vegy\"uk minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra a $[0,T])$ intervallum
egy olyan feloszt\'as\'at $[t_{i-1}^{(n)},t^{(n)}_i)$, $i=1,\dots,n$, 
$0=t^{(n)}_0<t^{(1)}_1<\cdots<t^{n}_n=T$ intervallumokra, amelyekre
$\max\limits_{1\le i\le n}(t^{(n)}_i-t_{i-1}^{(n)})\to0$, ha $n\to\infty$.
Tekints\"uk az $U_n=\sum_{i=1}^n(X(t_i^{(n)})-X(t_{i-1}^{(n)}))^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. Mutassa meg, hogy
$U_n\Rightarrow T$, ha $n\to\infty$, ahol $\Rightarrow$ sztochasztikus
konvergenci\'at jelent.

\item{} {\it Megold\'as.}\/ Legyen 
$V(t,\omega)=\int_0^t\vartheta(s,\omega)\,ds$, \'es
$V_0(t,\omega)=\int_0^t|\vartheta(s,\omega)|\,ds$.
Ekkor  $V_n=\sum_{i=1}^n|V(t_i^{(n)})-V(t_{i-1}^{(n)})|<V_0(T)$,
mert $|V(t_i^{(n)})-V(t_{i-1}^{(n)})|<V_0(t_i^{(n)})-V_0(t_{i_1}^{(n)})$,
$i=1,\dots,n$. Ez\'ert a  
$V^{(1)}_n=\sum_{i=1}^n(V(t_i^{(n)})-V(t_{i-1}^{(n)}))^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okra 
$V^{(1)}_n\to0$ 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel,
mivel $V(t,\omega)$, $0\le t\le T$, 
1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel egyenletesen folytonos, \'es
$\max\limits_{1\le i\le n}(t^{(n)}_i-t_{i-1}^{(n)})\to0$, ha $n\to\infty$.
Ez\'ert
$$
\align
U_n&=\sum_{i=1}^n(X(t_i^{(n)})-X(t_{i-1}^{(n)}))^2
\!=\!\sum_{i=1}^n\!\left((W(t_i^{(n)})+V(t_i^{(n)}))
-(W(t_{i-1}^{(n)})+V(t_{i-1}^{(n)}))\right)^2 \\
&=\sum_{i=1}^n(W(t_i^{(n)})-W(t_{i-1}^{(n)}))^2
+\sum_{i=1}^n(V(t_i^{(n)})-V(t_{i-1}^{(n)}))^2 \\
&\qquad +2\sum_{i=1}^n(W(t_i^{(n)})-W(t_{i-1}^{(n)}))
(V(t_i^{(n)})-V(t_{i-1}^{(n)}))=I^{(n)}_1+I^{(n)}_2+I^{(n)}_3.
\endalign
$$
Az el\H{o}ad\'ason tanultuk, hogy $I^{(n)}_1\Rightarrow T$, (val\'oj\'aban azt
az er\H{o}sebb \'all\'{\i}t\'ast l\'attuk, hogy $L_2$ konvergencia is 
\'erv\'enyes), l\'attuk, hogy $I^{(n)}_2\rightarrow0$
(1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\H{u} konvergencia is \'erv\'enyes).
M\'asr\'eszt a Cauchy--Schwarz egyenl\H{o}tlens\'eg alapj\'an
$$
\align
|I^{(n)}_3|&=
2\left|\sum_{i=1}^n(W(t_i^{(n)})-W(t_{i-1}^{(n)}))
(V(t_i^{(n)})-V(t_{i-1}^{(n)}))\right| \\
&\le2
\left(\sum_{i=1}^n(W(t_i^{(n)})-W(t_{i-1}^{(n)}))^2\right)^{1/2}
\left(\sum_{i=1}^n(V(t_i^{(n)})-V(t_{i-1}^{(n)}))^2\right)^{1/2} \\
&=\sqrt{I_1^{(n)}I^{(n)}_2}\Rightarrow0.
\endalign
$$
innen k\"ovetkezik a feladat \'all\'{\i}t\'asa.

\medskip
\item{4b)} Tekints\"unk egy $\alpha W(t)$ sztochasztikus folyamatot,
ahol $W(t)$ Wiener folyamat, $\alpha>0$, $\alpha\neq1$ val\'os sz\'am,
valamint tekints\"uk a 4a) feladatban defini\'alt $X(t)$ 
szto\-chasz\-ti\-kus 
folyamatot egy $[0,T]$ intervallumon. Bizony\'{\i}tsa be, hogy az 
$\alpha W(t)$ \'es $X(t)$ sztochasztikus folyamatok eloszl\'asa 
k\'et  egym\'asra n\'ezve szingul\'aris m\'ert\'ek a $C([0,T])$ 
t\'eren, azaz a $[0,T]$ intervallumon folytonos f\"uggv\'enyek 
Banach ter\'en a szupr\'emum norm\'aval.

\item{} {\it Megold\'as.}\/ Haszn\'aljuk a 4a) feladatban bevezetett
mennyis\'egeket. Tekints\"uk az ott defini\'alt $U_n$ valamint a 
$W_n^{(\alpha)}=\sum_{i=1}^n(\alpha W(t_i^{(n)})-\alpha W(t_{i-1}^{(n)}))^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. Tudjuk, hogy l\'etezik
az eg\'esz sz\'amoknak olyan $n_k$ r\'eszsorozata, amely\-re
$U_{n_k}\to T$ \'es $W_{n_k}^{(\alpha)}\to\alpha^2 T$
1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel.
Ez azt jelenti, hogy ki tudunk jel\"olni k\'et egym\'ast\'ol 
diszjunkt halmazt a $C([0,T])$ t\'eren \'ugy, hogy az $X(t)$
folyamat trajekt\'ori\'ai 
1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az els\H{o}, az $\alpha W(t)$
folyamat trajekt\'ori\'ai pedig 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
a m\'asodik halmazba esnek. Teh\'at a k\'et folyamat eloszl\'asa
egym\'asra n\'ezve szingul\'aris.


\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.}\/ A 4b) feladat gondolat\'anak finom\'{\i}t\'as\'aval
\'es n\'eh\'any az It\^o integr\'alokr\'ol sz\'ol\'o m\'ely t\'etel
felhaszn\'al\'as\'aval meg lehet mutatni, hogy mi\'ert term\'eszetes
az a Girsanov t\'etel megfogalmaz\'as\'aban, hogy amikor egy olyan
az $X(t)$ folyamatot meghat\'aroz\'o $P$ m\'ert\'ekkel ekvivalens
m\'ert\'eket keres\"unk, amely szerint az $X(t)$ folyamat marting\'al,
akkor azt az er\H{o}sebb megk\"ot\'est k\'{\i}v\'anjuk teljes\'{\i}teni,
hogy az $X(t)$ folyamat az \'uj m\'ert\'ek szerint legyen Wiener folyamat.

\medskip
A `Folytonos idej\H{u} Markov l\'ancok' c\'{\i}m\H{u} \'{\i}r\'asomban 
ismertettem a sz\"ulet\'esi (foly\-to\-nos idej\H{u} Markov l\'ancok) 
id\H{o}beli el\-osz\-l\'a\-s\'at le\'{\i}r\'o (forward) egyenletrendszer 
egy meg\-ol\-d\'a\-s\'at, ami a k\"ovetkez\H{o}k\'eppen n\'ez ki. 
Induljon a  sz\"ulet\'esi folyamat a nulla id\H{o}pontban nulla 
l\'etsz\'am\'u  popul\'aci\'oval, \'es
legyenek a sz\"ulet\'esi folyamat param\'eterei $\lambda_n>0$, 
$n=0,1,2,\dots$, sz\'amok, ahol a $\lambda_n$ param\'eter azt jelenti,
hogy ha a $t$ id\H{o}pontban a popul\'aci\'o \"ossz\-l\'et\-sz\'a\-ma $n$,
akkor a $[t,t+h]$ id\H{o}intervallumban $\lambda_n h+o(h)$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel sz\"uletik egy \'uj egyed. (Hal\'aloz\'as
nem t\"ort\'enik, \'es annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy legal\'abb 
k\'et egyed sz\"uletik a $[t,t+h)$ id\H{o}intervallumban $o(h)$.) A 
k\"ovetkez\H{o} megold\'ast kaptuk. L\'eteznek  
$\xi_0,\xi_1,\dots$ f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'ok \'ugy, hogy $\xi_n$ exponenci\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\lambda_n$ 
param\'eterrel, \'es a rendszer fejl\H{o}d\'ese a k\"ovetkez\H{o}.
Az els\H{o} egyed a $\xi_0$ id\H{o}pontban sz\"uletik, \'es miut\'an
megsz\"uletett az $n$-ik egyed, azut\'an $\xi_n$ id\H{o} m\'ulva
sz\"uletik meg az $n+1$-ik egyed. Teh\'at az $n$-ik egyed az
$S_n=\sum_{k=0}^{n-1}\xi_k$ id\H{o}pontban sz\"uletik meg. Arra vagyunk
kiv\'ancsiak, hogy mikor ``robban fel'' v\'eges id\H{on} bel\"ul a rendszer,
azaz milyen $\lambda_0,\lambda_1,\dots$ param\'eterek eset\'en t\"ort\'enik
meg az, hogy a popul\'aci\'o v\'eges id\H{o}n bel\"ul v\'egtelen lesz.

A popul\'aci\'o akkor \'eri el a v\'egtelen l\'etsz\'amot $T$ id\H{o}n
bel\"ul, ha $\sum_{n=0}^\infty\xi_n<T$. Teh\'at a rendszer akkor 
``robban fel'' v\'eges id\H{on} bel\"ul, ha $\sum_{n=0}^\infty\xi_n<\infty$. 
A va\-l\'{o}\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egs\-z\'a\-m\'{\i}\-t\'as bizonyos 
klasszikus eredm\'enyei szerint f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'ok \"osszegei vagy 1~val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel 
konverg\'alnak vagy 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel diverg\'alnak, \'es 
Kolmogorov h\'a\-rom\-sor t\'etele megmondja, hogy mikor melyik eset 
k\"ovetkezik be.

\medskip
\item{5.)} Legyen $\xi_n$, $n=0,1,2,\dots$, f\"uggetlen, exponenci\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata $\lambda_n>0$, 
$n=0,1,2,\dots$, param\'eterekkel. Bizony\'{\i}tsa be, hogy a 
$\sum_{n=0}^\infty\xi_n$ \"osszeg 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konvergens, 
ha $\sum_{n=0}^\infty\frac1{\lambda_n}<\infty$ \'es 
1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
divergens, ha $\sum_{n=0}^\infty\frac1{\lambda_n}=\infty$. Teh\'at a feladat 
megfogalmaz\'asa el\H{o}tt tekintett sz\"ulet\'esi folyamat akkor
``robban fel'' v\'eges id\H{o}n bel\"ul 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, ha
$\sum_{n=0}^\infty\frac1{\lambda_n}<\infty$.

\item{} {\it Megold\'as.}\/ Egy $\lambda$ param\'eter\H{u} exponenci\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke
$\frac1\lambda$, sz\'or\'asn\'egyzete $\frac1{\lambda^2}$. Ez\'ert, ha
$\sum\limits_{n=0}^\infty \frac1{\lambda_n}<\infty$, akkor 
$\sum\limits_{n=0}^\infty E\xi_n=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac1{\lambda_n}<\infty$, 
\'es $\sum\limits_{n=0}^\infty\text{Var}\,\xi_n
=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac1{\lambda_n^2}<\infty$.
Bizonyos eredm\'enyek alapj\'an ebb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy a
$\sum\limits_{n=0}^\infty\xi_n$ \"osszeg 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel 
konvergens. 

\item{} Be akarjuk, l\'atni, hogy ha
$\sum_{n=0}^\infty \frac1{\lambda_n}=\infty$, akkor a 
$\sum_{n=0}^\infty \xi_n$ \"osszeg 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel divergens. 
Feltehetj\"uk, hogy $\lambda_n\to\infty$, ha $n\to\infty$, mert ellenkez\H{o}
esetben v\'egtelen sok olyan $n_i$ index van, amelyre $P(\xi_{n_i}>1)>c$
valamilyen $c>0$ sz\'ammal, \'es ekkor a
$\sum_{n=0}^\infty\xi_n$ \"osszeg 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel diverg\'al
a Borel--Cantelli lemma alapj\'an. M\'asr\'eszt, ha $\lambda\to\infty$ 
\'es $\xi(\lambda)$ exponenci\'alis eloszl\'as\'u 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\lambda$ pa\-ra\-m\'e\-ter\-rel, 
akkor $\lambda E(\xi(\lambda)I(\{\xi(\lambda)<1\}))\to1$,
ahol $I(A)$ egy $A$ halmaz in\-di\-k\'a\-tor\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et
jel\"oli. Val\'oban, 
$$
\lambda E(\xi(\lambda)I(\{\xi(\lambda)<1\}))
=\lambda\int_0^1 \lambda x e^{-\lambda x}\,dx
=\int_0^{\lambda} ye^{-y}\,dy
\to\int_0^\infty ye^{-y}\,dy=1,
$$
ha $\lambda\to\infty$. Innen k\"ovetkezik, hogy
$\sum_{n=0}^\infty E(\xi_nI(\{\xi_n<1\}))=\infty$, ha
$\sum_{n=0}^\infty \frac1{\lambda_n}=\infty$.  A Kolmogorov-f\'ele h\'aromsor
t\'etelb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy ekkor a 
$\sum_{n=0}^\infty \xi_n$ \"osszeg 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel divergens. 




\medskip\noindent
Mind a `Folytonos idej\H{u} Markov l\'ancok' c\'{\i}m\H{u} \'{\i}r\'asom
mind Kevei P\'eter jegyzete t\'argyalja azt, hogyan lehet fel\'{\i}rni
a folytonos idej\H{u} diszkr\'et \'allapotter\H{u} Markov l\'ancok
\'at\-me\-net\-va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-geit meghat\'aroz\'o 
Kolmogorov-f\'ele backword \'es forward egyenleteket. Mind a k\'et 
\'{\i}r\'as kiss\'e \'altal\'anosabban t\'argyalja a k\'erd\'est. Az 
\'en \'{\i}r\'asom a nem felt\'etetlen\"ul stacion\'arius Markov 
l\'ancokra is fel\'{\i}rja ezeket az egyenleteket, majd megfogalmazza, 
hogy mit mondanak ezek az egyenletek abban a speci\'alis esetben, ha 
stacion\'arius Markov l\'ancokat tekint\"unk. A Kevei jegyzet 
\'altal\'anos stacion\'arius Markov folyamatokat tekint, \'es azokra 
fogalmazza meg az egyenleteket. Ezt \'uj, alkalmasan defini\'alt 
mennyis\'egek, a Markov folyamat \'ugynevezett infinitezim\'alis
gener\'ator\'anak, illetve ezen oper\'ator adjung\'altj\'anak a 
seg\'{\i}ts\'eg\'evel teszi meg. Ez az eredm\'eny speci\'alis 
esetk\'ent tartalmazza a folytonos idej\H{u} stacion\'arius 
Markov l\'ancokra \'erv\'enyes Kolmogorov egyenleteket. 
Ma\-gya\-r\'a\-zat\-ra szorul, hogy honnan l\'athat\'o, hogy ez a 
k\'et \'{\i}r\'asban k\"ul\"onb\"oz\H{o} m\'odon bebizony\'{\i}tott 
\'es m\'as fogalmakat haszn\'al\'o egyenlet ugyanazt \'all\'{\i}tja. 
A k\"ovetkez\H{o} feladat c\'elja ennek a magyar\'azatnak a megad\'asa.

Olyan folytonos idej\H{u} stacion\'arius Markov l\'ancokat fogunk tekinteni,
amelyeknek az \'allapottere a pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amok $\{1,2,\dots\}$
halmaza. Val\'oj\'aban az \'ervel\'esek meg\-v\'al\-toz\-ta\-t\'a\-sa 
n\'elk\"ul v\'alaszthattunk volna \'altal\'anosabban egy  
tetsz\H{o}leges megsz\'aml\'alhat\'o $\{E_1,E_2,\dots,\}$ halmazt
\'allapott\'ernek a diszkr\'et topol\'ogi\'aval, (azaz olyan 
to\-po\-l\'o\-gi\'a\-val amelyben minden 1 elem\H{u} halmaz ny\'{\i}lt). 
Olyan Markov l\'ancokat fogunk tekinteni,
amelyek $P(t,i,j)=P(X_t=j|X_0=i)$ \'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeire 
teljes\"ulnek az al\'abbi aszimptotikus rel\'aci\'ok:
$$
P(h,i,i)=1-c_ih+o(h), \quad P(h,i,j)=c_i p_{i,j} h+o(h) \;\; \text{ kis }h>0 
\text{ sz\'amokra}, \tag1
$$
\'es
$$
c_i\ge0, \;\; p_{i,i}=0,\;\; p_{i,j}\ge0,\;\; \sum_{j=1}^\infty p_{i,j}=1
\text{ minden } i,j=1,2,\dots \text{ indexre}. \tag2 
$$
Megjegyzem, hogy a (2) tulajdons\'ag k\"ovetkezik az (1) tulajdons\'agb\'ol
\'es n\'eh\'any re\-gu\-la\-ri\-t\'a\-si felt\'etelb\H{o}l.
Val\'oj\'aban, ahhoz, hogy az eredm\'enyeket bebizony\'{\i}tsuk, 
er\H{o}sebb felt\'etelek kellenek, amelyek biztos\'{\i}tj\'ak, hogy a 
sz\'amol\'asok sor\'an fell\'ep\H{o} $o(h)$ nagy\-s\'ag\-ren\-d\H{u} 
mennyis\'egek \'altal okozott hib\'ak elhanyagolhat\'oak.
Az \'en \'{\i}r\'asomban ezek a k\'erd\'esek t\'argyalva vannak, a Kevei
jegyzet, amely csak egy \'atfog\'o k\'epet k\'{\i}v\'an adni err\H{o}l
a probl\'emak\"orr\H{o}l nem vizsg\'alja az ilyen technikai r\'eszleteket.


\medskip
\item{6.)} Tekints\"unk egy olyan folytonos idej\H{u} $X(t)$, $t\ge0$,
stacion\'arius Markov l\'ancot
az ${\Cal E}=\{1,2,\dots\}$ \'allapott\'eren, amelynek $P(t,i,j)$ 
\'atmenetval\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egei kiel\'eg\'{\i}tik az (1) \'es
(2) rel\'aci\'ot. Sz\'amolja ki e Markov l\'anc $S$ infinitezim\'alis
gener\'ator\'at \'es annak $S^*$ adjung\'alj\'at. Ezen eredm\'enyek \'es
a Kevei jegyzetben ismertetett Kolmogorov-f\'ele forward \'es backward
egyenletek seg\'{\i}t\'eg\'evel (a Kevei jegyzet ezeket el\H{o}re \'es
h\'atra egyenletnek nevezi), \'{\i}rja fel az ezen egyenletek \'altal
a tekintett Markov l\'anc \'atmenetval\'osz\"{\i}n\H{u}s\'egeinek az
id\H{o} param\'eter szerinti $\frac{dP(t,i,j)}{dt}$ deriv\'altj\'at.

\item{} {\it Eml\'ekeztet\H{o}.} Az $S$ infinitezim\'alis gener\'ator
definici\'oja a k\"ovetkez\H{o}. Adva egy (sz\'ep tulajdons\'ag\'u)
$f=f(i)$ f\"uggv\'eny az ${\Cal E}=\{1,2,\dots\}$ \'allapott\'eren
ennek $(Sf)$ k\'epe az $S$ infinitezim\'alis gener\'ator hat\'as\'ara
az
$$
(Sf)(i)=\lim_{h\to0}\frac{E(f(X(h))|X(0)=i)-f(i)}h, \quad i\in
{\Cal E}=\{1,2,\dots\},
$$
f\"uggv\'eny.

\item{} Az $S$ infinitezim\'alis gener\'ator $S^*$ adjung\'altja egy a
Markov l\'anc ${\Cal E}=\{1,2,\dots\}$ \'al\-la\-pot\-t\'e\-ren 
defini\'alt (sz\'ep tulajdons\'ag\'u) $\mu=(\mu(1),\mu(2),\dots)$ 
(el\H{o}jeles) m\'ert\'eket arra a szint\'en az ${\Cal E}=\{1,2,\dots\}$
\'allapotter\'en defini\'alt $S^*\mu$ m\'ert\'ekre k\'epez le, amelyet az
$$
\int (Sf)\,d\mu=\int f\,d(S^*\mu)
$$
azaz 
$$
\sum_{i=1}^\infty (Sf)(i)\mu(i)=\sum_{i=1}^\infty f(i)(S^*\mu)(i)
$$
azonoss\'ag hat\'aroz meg minden olyan $f$ f\"uggv\'enyre, amelyre
az $(Sf)$ infinitezim\'alis gener\'ator l\'etezik. Be lehet l\'atni, 
hogy az ilyen $f$ f\"uggv\'enyek el\'eg sokan vannak, ez\'ert a fenti
rel\'aci\'o egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozza az $S^*\mu$ m\'ert\'eket.

\medskip
\item{} {\it Megold\'as.} 
$$
E(f(X(h))|X(0)=i)=\sum_{j=1}^\infty P(h,i,j)f(j)=
(1-c_ih)f(i)+\sum_{j\,\colon\;j\neq i} c_ip_{i,j}f(j)h+o(h)
$$
az (1) re\'aci\'o szerint. (Val\'oj\'aban az (1) rel\'aci\'o egy er\H{o}sebb
v\'altozata kellene, amely szerint a $o(h)$ hibatagok \"osszege is 
elhanyagolhat\'o.) Innen kapjuk, hogy
$$
\align
E(f(X(h))|X(0)=i)-f(i)
=h\left(-c_if(i)+\sum_{j\,j\neq i} c_ip_{i,j}f(j)+o(1)\right).
\endalign
$$
Elosztva ezen egyenlet mindk\'et oldal\'at $h$-val, majd v\'eve a
$h\to0$ hat\'ar\'atmenetet, azt kapjuk, hogy
$$
(Sf)(i)=-c_if(i)+c_i\sum_{j\colon\;j\neq i} p_{i,j}f(j).
$$
\'Igy kisz\'amoltuk az $(Sf)$ f\"uggv\'eny \'ert\'ek\'et minden 
$i\in{\Cal E}=\{1,2,\dots\}$ pontban. (Ter\-m\'e\-sze\-te\-sen egy 
prec\'{\i}z bizony\'{\i}t\'asban az elv\'egzett hat\'ar\'atmenetek 
r\'eszletesebb indokl\'ast ig\'e\-nyel\-tek volna, \'es a 
felt\'eteleket is pontosabban meg kellett volna fogalmazni.)

\item{} Az $(Sf)$ kisz\'am\'{\i}t\'as\'ar\'ol kapott k\'epletet a 
k\"ovetkez\H{o}k\'epp is interpret\'alhatjuk. De\-fi\-ni\-\'al\-juk 
a $(B(i,j))$, $i,j=1,2,\dots$, v\'egtelen m\'atrixot, amelyet a 
$B(i,i)=-c_i$, \'es $B(i,j)=c_jp_{j,i}$, ha $i\neq j$, $i,j=1,2,\dots$, 
k\'eplettel defini\'alunk. Tekints\"uk az $f=(f(1),f(2),\dots,)$ 
\'es $\mu=(\mu(1),\mu(2),\dots)$ v\'egtelen (sor)vektorokat. Ekkor 
$$
(Sf)=(Sf)(1),(Sf)(2),\dots)=fB.
$$ 
Innen k\"ovetekezik, hogy 
$\sum_{i=1}^\infty (Sf)(i)\mu(i)=fB\mu^*=\mu B^*f^*$.
Ez\'ert defini\'alva az $S^*\mu=\mu B^*$ vektort azt kapjuk, hogy
$$
\sum_{i=1}^\infty (Sf)(i)\mu(i)=\mu B^*f=\sum_{i=1}^\infty f(i) (S^*\mu)(i)
$$ 
az el\H{o}bb defini\'alt $S^*\mu$ vektorral minden olyan $f$ 
f\"uggv\'enyre, amelyre $(Sf)$ defini\'alva van. Innen
$$
(S^*\mu)(j)=-c_j\mu(j)+\sum_{k\colon\; k\neq j}c_k p_{k,j}\mu(k),\quad 
j\in{\Cal E}=\{1,2,\dots\}.
$$

\item{} Sz\'amoljuk ki, hogy mit ad a Kolomogorov-f\'ele forward 
\'es backward egyenlet a te\-kin\-tett modellben az $(Sf)$ \'es $S\mu$ 
ismeret\'eben. Tekints\"uk el\H{o}sz\"or a Kevei jegyzet (28) 
k\'eplet\'eben le\'{\i}rt Kolmogorov-f\'ele backward egyenletet 
a $B=\{j\}$ halmazzal \'es $x=i$ ponttal. Ekkor 
$\frac\partial{\partial t}p_t(B,x)=\frac{dP(t,i,j)}{dt}$, \'es
$(Sp_t(B|\cdot))(x)=(Sf)(i)$, az $f(i)=P(t,i,j)$, $i=1,2,\dots$, 
f\"uggv\'ennyel
(r\"ogz\'{\i}tett $j$ param\'eterrel). Ez\'ert a Kolmogorov-f\'ele
backward egyenlet \'es az $(Sf)$-re adott k\'eplet szerint   
$$
\frac{dP(t,i,j)}{dt}=
-c_iP(t,i,j)+c_i\sum_{k\colon\;k\neq i} p_{i,k}P(t,k,j).
$$

\item{} Tekints\"uk a Kolmogorov-f\'ele forward egyenletet. Ez
a Kevei jegyzet (30) k\'eplet\'eben van megadva. Megint
v\'alasszunk $B=\{j\}$-t, \'es $x=i$-t. Ekkor 
$\frac\partial{\partial t}p_t(B,x)=\frac{dP(t,i,j)}{dt}$, \'es
$(S^*p_t(\cdot|x))(B)=(S^*\mu)(j)$ a $\mu(j)=P(t,i,j)$, $j=1,2, \dots$,
m\'ert\'ekkel, (r\"ogz\'{\i}tett $i$ sz\'ammal). A Komogorov-f\'ele 
forward egyenlet a mi eset\"unkben azt adja, hogy
$$
\frac{dP(t,i,j)}{dt}=
-c_j P(t,i,j)+\sum_{k\colon\; k\neq j}c_kp_{k,j}P(t,i,k).
$$
A most kapott k\'epletek a Kolmogorov-f\'ele forward \'es backward 
egyenletekr\H{o}l a tekintett modellben megegyeznek a Folytonos 
idej\H{u} Markov l\'ancok jegyzet meg\-fe\-le\-l\H{o} eredm\'enyeivel, 
azzal a megjegyz\'essel, hogy nincs jelent\H{o}s\'ege annak, hogy a 
tekintett k\'epletekben szerepl\H{o} \"osszegekben kihagyjuk-e azt 
a tagot, amelyre $k=i$ vagy $k=j$, mert $p_{i,i}=p_{j,j}=0$ 
a (2) formula szerint.

\medskip

\item{7.)} Mutassa meg, hogy a Poisson folyamat $\frac{P(i,j,t)}{dt}$
deriv\'altjaira az el\H{o}z\H{o} feladatban bizony\'{\i}tott \'es a
Kevei jegyzetben t\'argyalt formul\'ak ugyanazt az eredm\'enyt adj\'ak.

\medskip\noindent
A Kevei jegyzetben meg van fogalmazva (\'es fel van haszn\'alva 
Gronwall-lemma), amely a k\"ovetkez\H{o}t mondja.

\medskip\noindent
{\it Legyen $\alpha(t)$  \'es $\beta(t)$ k\'et integr\'alhat\'o 
f\"uggv\'eny egy $[a,b]$ intervallumon, amelyekre teljes\"ul az
$$
\alpha(t)\le \beta(t)+H\int_a^t \alpha(s)\,ds, \quad t\in[a,b],
$$
egyenl\H{o}tlens\'eg valamely $H\ge0$ sz\'ammal. Ekkor
$$
\alpha(t)\le \beta(t)+H\int_a^t e^{H(t-s)}\,ds
$$
minden $a\le t\le b$ sz\'amra.}

\medskip
\item{8.)} Bizony\'{\i}tsa be a Gronwall lemm\'at.

\item{} {\it Megold\'as:} Adjunk el\H{o}sz\"or j\'o becsl\'est az 
$A(t)=\int_a^t\alpha(s)\,ds$, $0\le t\le b$, f\"uggv\'enyre. Mivel
$\frac d{dt}\left(e^{-Ht}A(t)\right)=e^{-Ht}[\alpha(t)-HA(t)]\le e^{-Ht}\beta(t)$
a lemma felt\'etele miatt, \'es $A(a)=0$, ez\'ert 
$e^{-Ht}A(t)\le\int_a^t e^{-Hs}\beta(s)\,ds$ minden $a\le t\le b$ sz\'amra.
Innen $\alpha(t)\le \beta(t)+H\cdot A(t)\le \beta(t)+
H\int_a^t e^{H(t-s)}\beta(s)\,ds$ minden $a\le t\le b$ sz\'amra.

\medskip
A Kevei jegyzet bebizony\'{\i}tja azt, hogy ha egy $Y(t)$ sztochasztikus
folyamat teljes\'{\i}ti a $dY(t)=-\mu Y(t)\,dt+\sigma dW(t)$ sztochasztikus
differenci\'alegyenletet ($\mu>0$, $\sigma>0$) akkor az csak 
$Y(t)=e^{-\mu t}\left(Y(0)+\int_0^t e^{\mu s}\sigma dW(s)\right)$ alak\'u
lehet, (ahol $Y(0)$ f\"uggetlen a $W(t)$ Wiener folyamatt\'ol. A 
k\"ovetkez\H{o} feladat ezen \'all\'{\i}t\'as megford\'{\i}t\'as\'at
fogalmazza meg.

\medskip
\item{9.} Bizony\'{\i}tsa be az It\^o formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel,
hogy az
$$
Y(t)=e^{-\mu t}\left(Y(0)+\int_0^t e^{\mu s}\sigma dW(s)\right)
$$
sztochasztikus folyamat teljes\'{\i}ti a 
$dY(t)=-\mu Y(t)\,dt+\sigma dW(t)$ sztochasztikus 
dif\-fe\-ren\-ci\'al\-egyen\-le\-tet, \'es az \'ert\'eka a nulla
id\H{o}ontban $Y(0)$.

\medskip
\item{} {\it Megold\'as.}\/ Defini\'aljuk a
$Z(t)=e^{\mu t} Y(t)=Y(0)+\int_0^t e^{\mu s}\sigma dW(s)$,
sztochasztikus folyamatot, az $f(t,x)=e^{-\mu t}x$ f\"uggv\'enyt,
\'es alkalmazzuk az It\^o formul\'at az $Y(t)=f(t,Z(t))$ folyamatra.
Azt kapjuk, hogy
$$
\align
dY(t)&=
\left.\frac {\partial f(t,x)}{\partial t}\right|_{(t,x)=(t,Z(t))}\,dt+
\left.\frac{\partial f(t,x)}{\partial x}\right|_{(t,x)=(t,Z(t))}\,dZ(t) \\
&\quad +\frac12\left.\frac{\partial^2 f(t,x)}{\partial x^2}\right|
_{(t,x)=(t,Z(t))} \,(dZ(t))^2 \\
&=-\mu e^{-\mu t}Z(t)\,dt+ e^{-\mu t}\,dZ(t)
=-\mu Y(t)\,dt+\sigma \,dW(t),
\endalign
$$
mert
$\frac{\partial f(t,x)}{\partial t}=-\mu e^{\mu t} x$,
$\frac{\partial f(t,x)}{\partial x}=e^{\mu t}$,
$\frac{\partial^2 f(t,x)}{\partial x^2}=0$,
$e^{-\mu t}Z(t)=Y(t)$, \'es $dZ(t)=e^{\mu t}\sigma\, dW(t)$.
A defini\'alt $Y(t)$ folyamat \'ert\'eke a nulla id\H{o}pontban
$Y(0)$, teh\'at ez a sztochasztikus folyamat teljes\'{\i}ti a
k\'{\i}v\'ant felt\'eteleket.

\item{10.)} A Kevei jegyzet eredm\'enyei alapj\'an a stacion\'arius 
Ornstein--Uhenbeck folyamat stacion\'arius megold\'asa egy olyan 
$Y(t)$, $t\ge0$, Gauss folyamat, amelyre $EY(t)=0$, 
$\text{Cov}\,(Y(s),Y(t))=\frac{\sigma^2}{2\mu}e^{-\mu |t-s|}$, $s,t\ge0$.
Legyen $W(t)$, $t\ge0$, Wiener folyamat, \'es defini\'aljuk az
$U(t)=\frac{\sigma}{\sqrt{2\mu}}\frac{W(e^{-2\mu t})}{e^{-\mu t}}$, 
$-\infty<t<\infty$ , sztochasztikus folyamatot. Ez olyan 
stacion\'arius Gauss folyamat, amelyre $EU(t)=0$, 
$\text{Cov}\,(U(s),U(t))=\frac{\sigma^2}{2\mu}e^{-\mu |t-s|}$,
teh\'at ennek megszor\'{\i}t\'asa a $t\ge 0$ f\'elegyenesre
ugyanolyan eloszl\'as\'u, mint a stacion\'arius Ornstein--Uhlenbeck 
folyamat.











\bye

