Feladatok: 1a.) Legyen η standard normális eloszlású valószínűségi változó. Bizonyítsa be, hogy

Ee^{tη} = e^{t^{2}/2}. 1b) Legyen W (t), t ≥ 0, Wiener folyamat, a valós szám. Mutassa meg, hogy

exp \{aW (t) − \frac{a^{2}}{2} t\} , t ≥ 0,

martingál. Megoldás:

1a.)

Ee^{tη} = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{−∞}^{∞} e^{tx}e^{−x^{2}/2} dx = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{−∞}^{∞} e^{tx−x^{2}/2} dx

= \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{t^{2}/2} ∫_{−∞}^{∞} e^{−t^{2}/2+tx−x^{2}/2} dx = \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{t^{2}/2} ∫_{−∞}^{∞} e^{−(t−x)^{2}/2} dx = e^{t^{2}/2}

1b.) Legyen 0 ≤ s < t. Ekkor W (t) = W (s)+[W (t)−W (s)] = W (s)+\sqrt{t − s}\frac{W (t)−W (s)}{\sqrt{t−s}}, továbbá W (s) F_{s} mérhető \frac{W (t)−W (s)}{\sqrt{t−s}} pedig az F_{s} σ-algebrától független standard normális eloszlású valószínűségi változó. (Egy olyan (W (t), F_{t}) martingállal dolgozunk, ahol rögzített s > 0 számra a W (u + s) − W (s), u ≥ 0, folyamat független az F_{s} σ-algebrától.) Ezért, ha 0 ≤ s < t, akkor

E (exp \{aW (t) − \frac{a^{2}}{2} t\}| F_{s})

= E (exp \{a (W (s) + \sqrt{t − s}\frac{W (t) − W (s}{\sqrt{t − s}}) − \frac{a^{2}}{2} t\}| F_{s})

= exp \{aW (s) − \frac{a^{2}}{2} t\} E (exp \{a\sqrt{t − s}\frac{W (t) − W (s)}{\sqrt{t − s}}\}| F_{s})

= exp \{aW (s) − \frac{a^{2}}{2} t\} E (exp \{a\sqrt{t − s}\frac{W (t) − W (s)}{\sqrt{t − s}}\})

= exp \{aW (s) − \frac{a^{2}}{2} t\} exp \{\frac{a^{2}(t − s)}{2}\} = exp \{aW (s) − \frac{a^{2}}{2} s\} .

Tekintsük a Kevei jegyzet 3. példáját, és beszéljük meg részletesebben hogyan kell a benne szereplő Itô folyamatok szorzatát kiszámolni. (A feladat eredménye egy ezzel a képlettel ekvivalens állítás.)

Legyenek adva az

X_{t} = X_{0} + ∫_{0}^{t} K_{s} ds + ∫_{0}^{t} H_{s} dW_{s}

és

Y_{t} = Y_{0} + ∫_{0}^{t} L_{s} ds + ∫_{0}^{t} G_{s} dW_{s}

Itô folyamatok, és írjuk fel az X_{t}Y_{t} szorzatot Itô folyamat formájában.

Az Itô formulát kell alkalmazni az X_{t}Y_{t} = f(X_{t}, Y_{t}) folyamatra, ahol f(x, y) = xy, azaz az f(x, y) kétváltozós függvény első koordinátájába az X_{t} a második koordinátájába az Y_{t} Itô folyamatot kell behelyettesíteni. Ekkor

\frac{∂f}{∂x}(x, y) = y, \frac{∂f}{∂y} (x, y) = x, \frac{∂^{2}f}{∂x^{2}} (x, y) = 0, \frac{∂^{2}f}{∂y^{2}} (x, y) = 0,

\frac{∂^{2}f}{∂x∂y} (x, y) = \frac{∂^{2}f}{∂y∂x}(x, y) = 1, azaz

\frac{∂f}{∂x}(X_{t}, Y_{t}) = Y_{t}, \frac{∂f}{∂y} (X_{t}, Y_{t}) = X_{t}, \frac{∂^{2}f}{∂x^{2}} (X_{t}, Y_{t}) = 0, \frac{∂^{2}f}{∂y^{2}} (X_{t}, Y_{t}) = 0,

\frac{∂^{2}f}{∂x∂y} (X_{t}, Y_{t}) = \frac{∂^{2}f}{∂y∂y} (X_{t}, Y_{t}) = 1.

Az X_{t} és Y_{t} folyamatokat meghatározó formulák differenciálalakban dX_{t} = K_{t} dt + H_{t} dW_{t} és dY_{t} = L_{t} dt + G_{t} dW_{t} (X_{0} és Y_{0} kezdeti értékekkel). Ezért az Itô formula szerint

dX_{t}Y_{t} = \frac{∂f}{∂x} (X_{t}, Y_{t}) dX_{t} + \frac{∂f}{∂y} (X_{t}, Y_{t}) dy_{t}

+ \frac{1}{2} \frac{∂^{2}f}{∂x^{2}} (X_{t}, Y_{t}) (dX_{t})^{2} + \frac{1}{2} \frac{∂^{2}f}{∂y^{2}} (X_{t}, Y_{t}) (dY_{t})^{2}

+ \frac{1}{2} \frac{∂^{2}f}{∂x∂y} (X_{t}, Y_{t})(dX_{t} dY_{t}) + \frac{1}{2} \frac{∂^{2}f}{∂y∂x}(X_{t}, Y_{t})(dX_{t} dY_{t})

= Y_{t} dX_{t} + X_{t} dY_{t} + ( dX_{t} dY_{t}) = Y_{t} dX_{t} + X_{t} dY_{t} + H_{t}G_{t} dt,

azaz ezt az azonosságot “kiintegrálva”

X_{t}Y_{t} − X_{0}Y_{0} = ∫_{0}^{t} Y_{s} dX_{s} + ∫_{0}^{t} X_{s} dY_{s} + ∫_{0}^{t} H_{s}G_{s} ds.

A Kevei jegyzet ezt az azonosságot írja fel kissé átrendezett alakban. Természetesen ebben az azonosságban bizonyos integrálokat részletesebben is felírhatnánk. Nevezetesen,

∫_{0}^{t} Y_{s} dX_{s} = ∫_{0}^{t} Y_{s}(K_{s} ds + H_{s} dW_{s}) = ∫_{0}^{t} Y_{s}K_{s} ds + ∫_{0}^{t} Y_{s}H_{s} dW_{s},

és

∫_{0}^{t} X_{s} dY_{s} = ∫_{0}^{t} X_{s}(L_{s} ds + G_{s} dW_{s}) = ∫_{0}^{t} X_{s}L_{s} ds + ∫_{0}^{t} X_{s}G_{s} dW_{s}.

A.) Legyen Z(t) = e^{U(t)} és Y (t) = e^{−U(t)}, ahol U(t) = ∫_{0}^{t} X(s) dW (s) − \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} X^{2}(s) ds egy olyan X(s), 0 ≤ s ≤ T, sztochasztikus folyamattal, amelyre X(·) ∈ H′ ezért az ∫_{0}^{t} X(s) dW (s) és ∫_{0}^{T} X^{2}(s) ds, 0 ≤ t ≤ T, és így az előbb felírt U(t) Itô-folyamat létezik. Mutassa meg, hogy igazak a

dZ(t) = Z(t)X(t) dW (t), Z(0) = 1,

és

dY (t) = Y (t)[X^{2}(t) dt − X(t) dW (t)], Y (0) = 1,

azonosságok.

B.) Mutassa meg, hogy ha a Z(t) Itô folyamat teljesíti a dZ(t) = Z(t)X(t) dW (t), Z(0) = 1, azaz a Z(t) = 1+∫_{0}^{t} Z(s)X(s) dW (s) egyenletet az A) feladatban szereplő X(t) sztochasztikus folyamattal, akkor

d[Y (t)Z(t)] = 0.

Ezért a dZ(t) = Z(t)X(t) dW (t) egyenletnek az egyetlen a Z(0) = 1 határfeltételt teljesítő megoldása a Kevei jegyzet 6. példájában tárgyalt Z(t) = e^{U(t)} sztochasztikus folyamat.

Megoldás. Legyen f(x) = e^{x}, g(x) = e^{−x}. Ekkor Z(t) = f(U_{t}), Y (t) = g(U_{t}) és az Itô formula szerint

dZ(t) = f′(U_{t}) dU(t) + \frac{1}{2}f′′(U_{t})[ dU(t)]^{2}

= e^{U(t)} [X(t)dW (t) − \frac{1}{2}X^{2}(t) dt] + \frac{1}{2}e^{U(t)}X^{2}(t) dt

= e^{U(t)}X(t) dW (t) = Z(t)X(t) dW (t),

és

dY (t) = g′(U_{t}) dU(t) + \frac{1}{2}g′′(U_{t})[ dU(t)]^{2}

= −e^{−U(t)} [X(t)dW (t) − \frac{1}{2}X^{2}(t) dt] + \frac{1}{2}e^{−U(t)}X^{2}(t) dt

= e^{−U(t)}[−X(t) dW (t) + X^{2}(t) dt] = Y (t)[X^{2}(t) dt − X(t) dW (t)],

és ez volt az a) rész bizonyítása.

A b) rész bizonyítása.

Ha Z(t) olyan Itô folyamat, amelyre dZ(t) = Z(t)X(t) dW (t), akkor az előző feladat és az a) rész eredményei alapján

d[Y (t)Z(t)] = Y (t) dZ(t) + Z(t) dY (t) + dZ(t) dY (t)
= Y (t)Z(t)X(t) dW (t) + Z(t)Y (t)[X^{2}(t) dt − X(t) dW (t)]
− Z(t)X(t)Y (t)X(t) dt = Y (t)Z(t)[0 · dW (t) + 0 · dt] = 0

Ezért Z(t)Y (t) = Z(0)Y (0) minden 0 ≤ t ≤ T időpontra. Ha a Z(0) = 1 reláció is teljesül, akkor Z(t)Y (Y (t) = 1.

Az a) rész szerint Z(t) = e^{U(t)} megoldása az dZ(t) = Z(t)X(t) dW (t) sztochasztikus differenciálegyenletnek, és Z(0) = 1. A b) rész már bizonyított része szerint, ha Z(t) megoldása ennek a sztochasztikus differenciálegyenletnek a Z(0) = 1 kezdeti feltétel mellett, akkor Z(t) = Y^{−1}(t) = e^{U(t)} minden 0 ≤ t ≤ T időpontban.

Megjegyzés. Az Itô integrálok elméletében fontos szerepet játszanak a Z(t) = e^{U(t)}, U(t) = ∫_{0}^{t} X(s) dW (s) − \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} X^{2}(s) ds, 0 ≤ t ≤ T, alakú folyamatok valamilyen X ∈ H sztochasztikus folyamattal. Ezek hasonló szerepet játszanak, mint az exp {∫_{0}^{t} A(s) ds} alakú (determinisztikus) függvények az analízisben, és szokás őket Doléans–exponential-nak nevezni. Egy ilyen sztochaszikus folyamatokról szóló martingál egyenlőtlenség fontos szerepet játszott az Itô integrálok általános definiciójának általunk ismertetett módjában.

Másrészt tudjuk, hogy ha adva van egy A(t) függvény, akkor a \frac{dy}{dt} = A(t)y(t) differenciálegyenletnek (differenciál alakban dy = A(t)y(t) dt), y(0) = 1 határfeltétellel az egyetlen megoldása az y(t) = exp {∫_{0}^{t} A(s) ds} függgvény. Az előző feladat arról szól, hogy a Doléans–exponential hasonló tulajdonsággal rendelkezik. Adva egy X ∈ H′ sztochasztikus folyamat, a dZ(t) = X(t)Z(t) dW (t), Z(0) = 1, sztochasztikus differenciálegyenlet egyetlen megoldása a Z(t) = e^{U(t)} sztochasztikus folyamat, ahol U(t) = ∫_{0}^{t} X(s) dW (s) − \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} X^{2}(s) ds.

3.) Legyen adva egy W (t) Wiener folyamat. Számoljuk ki az Itô formula segítségével az ∫_{0}^{t} W (s) dW (s) integrált. (Ez a Kevei jegyzet 5. példája.)

Megoldás. Számoljuk ki az W (t)^{2} kifejezést az Itô formulát alkalmazva a W (t) = ∫_{0}^{t} 1 dW (s) Itô folyamatra az f(x) = x^{2} függvénnyel. Azt kapjuk, hogy

d(W^{2}(t)) = 2W (t) dW (t) + \frac{1}{2} · 2 dt,

azaz

W^{2}(t) − W^{2}(0) = ∫_{0}^{t} 2W (s) dW (s) + ∫_{0}^{t} 1 ds = 2 ∫_{0}^{t} W (s) dW (s) + t,

tehát ∫_{0}^{t} W (s) dW (s) = \frac{1}{2}(W^{2}(t) − t).

Megjegyzem, hogy e számolás szerint W^{2}(t)−t előállítható, mint egy Wiener folyamat szerinti Itô integrál a következő módon. W^{2}(t)−t = ∫_{0}^{t} 2W (s) dW (s). Továbbá ezen Itô integrál magfüggvénye teljesíti az E ∫_{0}^{T} (2W (t))^{2} dt < ∞ relációt, tehát eleme az Itô integrálok definiciójában szereplő H halmaznak. Ezzel azt is bebizonyítottuk, hogy W^{2}(t) − t martingál, (és nem csak szemimartingál).

4a) Tekintsünk egy X(t) = W (t) + ∫_{0}^{t} ϑ(s) ds, 0 ≤ t ≤ T, Itô folyamatot, ahol W (t) egy Wiener folyamat, ∫_{0}^{T} |ϑ(s)| ds < ∞ 1 valószínűséggel, és vegyük minden n = 1, 2, … számra a [0, T]) intervallum egy olyan felosztását [t_{i−1}^{(n)}, t_{i}^{(n)}), i = 1, …, n,

0 = t_{0}^{(n)} < t_{1}^{(1)} < ⋯ < t_{n}^{n} = T intervallumokra, amelyekre max_{1≤i≤n}(t_{i}^{(n)} − t_{i−1}^{(n)}) → 0,

ha n → ∞. Tekintsük az U_{n} = ∑_{i=1}^{n}(X(t_{i}^{(n)}) − X(t_{i−1}^{(n)}))^{2} valószínűségi változókat. Mutassa meg, hogy U_{n} ⇒ T, ha n → ∞, ahol ⇒ sztochasztikus konvergenciát jelent. Megoldás. Legyen V (t, ω) = ∫_{0}^{t} ϑ(s, ω) ds, és V_{0}(t, ω) = ∫_{0}^{t} |ϑ(s, ω)| ds. Ekkor V_{n} = ∑_{i=1}^{n} |V (t_{i}^{(n)}) − V (t_{i−1}^{(n)})| < V_{0}(T), mert |V (t_{i}^{(n)}) − V (t_{i−1}^{(n)})| < V_{0}(t_{i}^{(n)}) − V_{0}(t_{i_{1}}^{(n)}), i = 1, …, n. Ezért a V_{n}^{(1)} = ∑_{i=1}^{n}(V (t_{i}^{(n)}) − V (t_{i−1}^{(n)}))^{2} valószínűségi változókra V_{n}^{(1)} → 0 1 valószínűséggel, mivel V (t, ω), 0 ≤ t ≤ T, 1 valószínűséggel egyenletesen folytonos, és max_{1≤i≤n}(t_{i}^{(n)} − t_{i−1}^{(n)}) → 0, ha n → ∞. Ezért

U_{n} = ∑_{i=1}^{n}(X(t_{i}^{(n)}) − X(t_{i−1}^{(n)}))^{2} =∑_{i=1}^{n}((W (t_{i}^{(n)}) + V (t_{i}^{(n)})) − (W (t_{i−1}^{(n)}) + V (t_{i−1}^{(n)})))^{2}

= ∑_{i=1}^{n}(W (t_{i}^{(n)}) − W (t_{i−1}^{(n)}))^{2} + ∑_{i=1}^{n}(V (t_{i}^{(n)}) − V (t_{i−1}^{(n)}))^{2}

+ 2 ∑_{i=1}^{n}(W (t_{i}^{(n)}) − W (t_{i−1}^{(n)}))(V (t_{i}^{(n)}) − V (t_{i−1}^{(n)})) = I_{1}^{(n)} + I_{2}^{(n)} + I_{3}^{(n)}.

Az előadáson tanultuk, hogy I_{1}^{(n)} ⇒ T, (valójában azt az erősebb állítást láttuk, hogy L_{2} konvergencia is érvényes), láttuk, hogy I_{2}^{(n)} → 0 (1 valószínűségű konvergencia is érvényes). Másrészt a Cauchy–Schwarz egyenlőtlenség alapján

|I_{3}^{(n)}| = 2 |∑_{i=1}^{n}(W (t_{i}^{(n)}) − W (t_{i−1}^{(n)}))(V (t_{i}^{(n)}) − V (t_{i−1}^{(n)}))|

≤ 2 (∑_{i=1}^{n}(W (t_{i}^{(n)}) − W (t_{i−1}^{(n)}))^{2})^{1/2} (∑_{i=1}^{n}(V (t_{i}^{(n)}) − V (t_{i−1}^{(n)}))^{2})^{1/2}

= \sqrt{I_{1}^{(n)}I_{2}^{(n)}} ⇒ 0.

innen következik a feladat állítása.

4b) Tekintsünk egy αW (t) sztochasztikus folyamatot, ahol W (t) Wiener folyamat, α > 0, α ≠ 1 valós szám, valamint tekintsük a 4a) feladatban definiált X(t) sztochasztikus folyamatot egy [0, T] intervallumon. Bizonyítsa be, hogy az αW (t) és X(t) sztochasztikus folyamatok eloszlása két egymásra nézve szinguláris mérték a C([0, T]) téren, azaz a [0, T] intervallumon folytonos függvények Banach terén a szuprémum normával.

Megoldás. Használjuk a 4a) feladatban bevezetett mennyiségeket. Tekintsük az ott definiált U_{n} valamint a W_{n}^{(α)} = ∑_{i=1}^{n}(αW (t_{i}^{(n)}) − αW (t_{i−1}^{(n)}))^{2} valószínűségi változókat. Tudjuk, hogy létezik az egész számoknak olyan n_{k} részsorozata, amelyre U_{n_{k}} → T és W_{n_{k}}^{(α)} → α^{2}T 1 valószínűséggel. Ez azt jelenti, hogy ki tudunk jelölni két egymástól diszjunkt halmazt a C([0, T]) téren úgy, hogy az X(t) folyamat trajektóriái 1 valószínűséggel az első, az αW (t) folyamat trajektóriái pedig 1 valószínűséggel a második halmazba esnek. Tehát a két folyamat eloszlása egymásra nézve szinguláris.

Megjegyzés. A 4b) feladat gondolatának finomításával és néhány az Itô integrálokról szóló mély tétel felhasználásával meg lehet mutatni, hogy miért természetes az a Girsanov tétel megfogalmazásában, hogy amikor egy olyan az X(t) folyamatot meghatározó P mértékkel ekvivalens mértéket keresünk, amely szerint az X(t) folyamat martingál, akkor azt az erősebb megkötést kívánjuk teljesíteni, hogy az X(t) folyamat az új mérték szerint legyen Wiener folyamat.

A ‘Folytonos idejű Markov láncok’ című írásomban ismertettem a születési (folytonos idejű Markov láncok) időbeli eloszlását leíró (forward) egyenletrendszer egy megoldását, ami a következőképpen néz ki. Induljon a születési folyamat a nulla időpontban nulla létszámú populációval, és legyenek a születési folyamat paraméterei λ_{n} > 0, n = 0, 1, 2, …, számok, ahol a λ_{n} paraméter azt jelenti, hogy ha a t időpontban a populáció összlétszáma n, akkor a [t, t+h] időintervallumban λ_{n}h+o(h) valószínűséggel születik egy új egyed. (Halálozás nem történik, és annak valószínűsége, hogy legalább két egyed születik a [t, t + h) időintervallumban o(h).) A következő megoldást kaptuk. Léteznek ξ_{0}, ξ_{1}, … független valószínűségi változók úgy, hogy ξ_{n} exponenciális eloszlású valószínűségi változó λ_{n} paraméterrel, és a rendszer fejlődése a következő. Az első egyed a ξ_{0} időpontban születik, és miután megszületett az n-ik egyed, azután ξ_{n} idő múlva születik meg az n + 1-ik egyed. Tehát az n-ik egyed az S_{n} = ∑_{k=0}^{n−1} ξ_{k} időpontban születik meg. Arra vagyunk kiváncsiak, hogy mikor “robban fel” véges időn belül a rendszer, azaz milyen λ_{0}, λ_{1}, … paraméterek esetén történik meg az, hogy a populáció véges időn belül végtelen lesz.

A populáció akkor éri el a végtelen létszámot T időn belül, ha ∑_{n=0}^{∞} ξ_{n} < T. Tehát a rendszer akkor “robban fel” véges időn belül, ha ∑_{n=0}^{∞} ξ_{n} < ∞. A valószínűségszámítás bizonyos klasszikus eredményei szerint független valószínűségi változók összegei vagy 1 valószínűséggel konvergálnak vagy 1 valószínűséggel divergálnak, és Kolmogorov háromsor tétele megmondja, hogy mikor melyik eset következik be.

5.) Legyen ξ_{n}, n = 0, 1, 2, …, független, exponenciális eloszlású valószínűségi változók sorozata λ_{n} > 0, n = 0, 1, 2, …, paraméterekkel. Bizonyítsa be, hogy a ∑_{n=0}^{∞} ξ_{n} összeg 1 valószínűséggel konvergens, ha ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{λ_{n}} < ∞ és 1 valószínűséggel divergens, ha ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{λ_{n}} = ∞. Tehát a feladat megfogalmazása előtt tekintett születési folyamat akkor “robban fel” véges időn belül 1 valószínűséggel, ha ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{λ_{n}} < ∞.

Megoldás. Egy λ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változó várható

értéke \frac{1}{λ}, szórásnégyzete \frac{1}{λ^{2}} . Ezért, ha ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{λ_{n}} < ∞, akkor ∑_{n=0}^{∞} Eξ_{n} = ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{λ_{n}} < ∞,

és ∑_{n=0}^{∞} Var ξ_{n} = ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{λ_{n}^{2}} < ∞. Bizonyos eredmények alapján ebből következik, hogy

a ∑_{n=0}^{∞} ξ_{n} összeg 1 valószínűséggel konvergens.

Be akarjuk, látni, hogy ha ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{λ_{n}} = ∞, akkor a ∑_{n=0}^{∞} ξ_{n} összeg 1 valószínűséggel divergens. Feltehetjük, hogy λ_{n} → ∞, ha n → ∞, mert ellenkező esetben végtelen sok olyan n_{i} index van, amelyre P (ξ_{n_{i}} > 1) > c valamilyen c > 0 számmal, és ekkor a ∑_{n=0}^{∞} ξ_{n} összeg 1 valószínűséggel divergál a Borel–Cantelli lemma alapján. Másrészt, ha λ → ∞ és ξ(λ) exponenciális eloszlású valószínűségi változó λ paraméterrel, akkor λE(ξ(λ)I({ξ(λ) < 1})) → 1, ahol I(A) egy A halmaz indikátorfüggvényét jelöli. Valóban,

λE(ξ(λ)I({ξ(λ) < 1})) = λ ∫_{0}^{1} λxe^{−λx} dx = ∫_{0}^{λ} ye^{−y} dy → ∫_{0}^{∞} ye^{−y} dy = 1,

ha λ → ∞. Innen következik, hogy ∑_{n=0}^{∞} E(ξ_{n}I(\{ξ_{n} < 1\})) = ∞, ha ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{λ_{n}} = ∞. A Kolmogorov-féle háromsor tételből következik, hogy ekkor a ∑_{n=0}^{∞} ξ_{n} összeg 1 valószínűséggel divergens.

Mind a ‘Folytonos idejű Markov láncok’ című írásom mind Kevei Péter jegyzete tárgyalja azt, hogyan lehet felírni a folytonos idejű diszkrét állapotterű Markov láncok átmenetvalószínűségeit meghatározó Kolmogorov-féle backword és forward egyenleteket. Mind a két írás kissé általánosabban tárgyalja a kérdést. Az én írásom a nem feltétetlenül stacionárius Markov láncokra is felírja ezeket az egyenleteket, majd megfogalmazza, hogy mit mondanak ezek az egyenletek abban a speciális esetben, ha stacionárius Markov láncokat tekintünk. A Kevei jegyzet általános stacionárius Markov folyamatokat tekint, és azokra fogalmazza meg az egyenleteket. Ezt új, alkalmasan definiált mennyiségek, a Markov folyamat úgynevezett infinitezimális generátorának, illetve ezen operátor adjungáltjának a segítségével teszi meg. Ez az eredmény speciális esetként tartalmazza a folytonos idejű stacionárius Markov láncokra érvényes Kolmogorov egyenleteket. Magyarázatra szorul, hogy honnan látható, hogy ez a két írásban különböző módon bebizonyított és más fogalmakat használó egyenlet ugyanazt állítja. A következő feladat célja ennek a magyarázatnak a megadása.

Olyan folytonos idejű stacionárius Markov láncokat fogunk tekinteni, amelyeknek az állapottere a pozitív egész számok {1, 2, … } halmaza. Valójában az érvelések megváltoztatása nélkül választhattunk volna általánosabban egy tetszőleges megszámlálható {E_{1}, E_{2}, …, } halmazt állapottérnek a diszkrét topológiával, (azaz olyan topológiával amelyben minden 1 elemű halmaz nyílt). Olyan Markov láncokat fogunk tekinteni, amelyek P (t, i, j) = P (X_{t} = j|X_{0} = i) átmenetvalószínűségeire teljesülnek az alábbi aszimptotikus relációk:

P (h, i, i) = 1 − c_{i}h + o(h), P (h, i, j) = c_{i}p_{i,j}h + o(h) kis h > 0 számokra, (1)

és

c_{i} ≥ 0, p_{i,i} = 0, p_{i,j} ≥ 0, ∑_{j=1}^{∞} p_{i,j} = 1 minden i, j = 1, 2, … indexre.  (2)

Megjegyzem, hogy a (2) tulajdonság következik az (1) tulajdonságból és néhány regularitási feltételből. Valójában, ahhoz, hogy az eredményeket bebizonyítsuk, erősebb feltételek kellenek, amelyek biztosítják, hogy a számolások során fellépő o(h) nagyságrendű mennyiségek által okozott hibák elhanyagolhatóak. Az én írásomban ezek a kérdések tárgyalva vannak, a Kevei jegyzet, amely csak egy átfogó képet kíván adni erről a problémakörről nem vizsgálja az ilyen technikai részleteket.

6.) Tekintsünk egy olyan folytonos idejű X(t), t ≥ 0, stacionárius Markov láncot az E = {1, 2, … } állapottéren, amelynek P (t, i, j) átmenetvalószínűségei kielégítik az (1) és (2) relációt. Számolja ki e Markov lánc S infinitezimális generátorát és annak S^{∗} adjungálját. Ezen eredmények és a Kevei jegyzetben ismertetett Kolmogorovféle forward és backward egyenletek segítégével (a Kevei jegyzet ezeket előre és hátra egyenletnek nevezi), írja fel az ezen egyenletek által a tekintett Markov lánc átmenetvalószïnűségeinek az idő paraméter szerinti \frac{dP (t,i,j)}{dt} deriváltját.

Emlékeztető. Az S infinitezimális generátor definiciója a következő. Adva egy (szép tulajdonságú) f = f(i) függvény az E = {1, 2, … } állapottéren ennek (Sf) képe az S infinitezimális generátor hatására az

(Sf)(i) = lim_{h→0} \frac{E(f(X(h))|X(0) = i) − f(i)}{h}, i ∈ E = \{1, 2, … \},

függvény.

Az S infinitezimális generátor S^{∗} adjungáltja egy a Markov lánc E = {1, 2, … } állapottéren definiált (szép tulajdonságú) μ = (μ(1), μ(2), …) (előjeles) mértéket arra a szintén az E = {1, 2, … } állapotterén definiált S^{∗}μ mértékre képez le, amelyet az

∫ (Sf) dμ = ∫ f d(S^{∗}μ)

azaz

∑_{i=1}^{∞}(Sf)(i)μ(i) = ∑_{i=1}^{∞} f(i)(S^{∗}μ)(i)

azonosság határoz meg minden olyan f függvényre, amelyre az (Sf) infinitezimális generátor létezik. Be lehet látni, hogy az ilyen f függvények elég sokan vannak, ezért a fenti reláció egyértelműen meghatározza az S^{∗}μ mértéket.

Megoldás.

E(f(X(h))|X(0) = i) = ∑_{j=1}^{∞} P (h, i, j)f(j) = (1 − c_{i}h)f(i) + ∑_{j : j≠i} c_{i}p_{i,j}f(j)h + o(h)

az (1) reáció szerint. (Valójában az (1) reláció egy erősebb változata kellene, amely szerint a o(h) hibatagok összege is elhanyagolható.) Innen kapjuk, hogy

E(f(X(h))|X(0) = i) − f(i) = h (−c_{i}f(i) + ∑_{j j≠i} c_{i}p_{i,j}f(j) + o(1)) .

Elosztva ezen egyenlet mindkét oldalát h-val, majd véve a h → 0 határátmenetet, azt kapjuk, hogy

(Sf)(i) = −c_{i}f(i) + c_{i} ∑_{j: j≠i} p_{i,j}f(j).

Így kiszámoltuk az (Sf) függvény értékét minden i ∈ E = {1, 2, … } pontban. (Természetesen egy precíz bizonyításban az elvégzett határátmenetek részletesebb indoklást igényeltek volna, és a feltételeket is pontosabban meg kellett volna fogalmazni.)

Az (Sf) kiszámításáról kapott képletet a következőképp is interpretálhatjuk. Definiáljuk a (B(i, j)), i, j = 1, 2, …, végtelen mátrixot, amelyet a B(i, i) = −c_{i}, és B(i, j) = c_{j}p_{j,i}, ha i ≠ j, i, j = 1, 2, …, képlettel definiálunk. Tekintsük az f = (f(1), f(2), …,) és μ = (μ(1), μ(2), …) végtelen (sor)vektorokat. Ekkor

(Sf) = (Sf)(1), (Sf)(2), …) = fB.

Innen követekezik, hogy ∑_{i=1}^{∞}(Sf)(i)μ(i) = fBμ^{∗} = μB^{∗}f^{∗}. Ezért definiálva az S^{∗}μ = μB^{∗} vektort azt kapjuk, hogy

∑_{i=1}^{∞}(Sf)(i)μ(i) = μB^{∗}f = ∑_{i=1}^{∞} f(i)(S^{∗}μ)(i)

az előbb definiált S^{∗}μ vektorral minden olyan f függvényre, amelyre (Sf) definiálva van. Innen

(S^{∗}μ)(j) = −c_{j}μ(j) + ∑_{k: k≠j} c_{k}p_{k,j}μ(k), j ∈ E = {1, 2, … }.

Számoljuk ki, hogy mit ad a Kolomogorov-féle forward és backward egyenlet a tekintett modellben az (Sf) és Sμ ismeretében. Tekintsük először a Kevei jegyzet (28) képletében leírt Kolmogorov-féle backward egyenletet a B = {j} halmazzal és x = i ponttal. Ekkor \frac{∂}{∂t}p_{t}(B, x) = \frac{dP (t,i,j)}{dt}, és (Sp_{t}(B|·))(x) = (Sf)(i), az f(i) = P (t, i, j), i = 1, 2, …, függvénnyel (rögzített j paraméterrel). Ezért a Kolmogorov-féle backward egyenlet és az (Sf)-re adott képlet szerint

\frac{dP (t, i, j)}{dt} = −c_{i}P (t, i, j) + c_{i} ∑_{k: k≠i} p_{i,k}P (t, k, j).

Tekintsük a Kolmogorov-féle forward egyenletet. Ez a Kevei jegyzet (30) képletében van megadva. Megint válasszunk B = \{j\}-t, és x = i-t. Ekkor \frac{∂}{∂t}p_{t}(B, x) = \frac{dP (t,i,j)}{dt}, és (S^{∗}p_{t}(·|x))(B) = (S^{∗}μ)(j) a μ(j) = P (t, i, j), j = 1, 2, …, mértékkel, (rögzített i számmal). A Komogorov-féle forward egyenlet a mi esetünkben azt adja, hogy

\frac{dP (t, i, j)}{dt} = −c_{j}P (t, i, j) + ∑_{k: k≠j} c_{k}p_{k,j}P (t, i, k).

A most kapott képletek a Kolmogorov-féle forward és backward egyenletekről a tekintett modellben megegyeznek a Folytonos idejű Markov láncok jegyzet megfelelő eredményeivel, azzal a megjegyzéssel, hogy nincs jelentősége annak, hogy a tekintett képletekben szereplő összegekben kihagyjuk-e azt a tagot, amelyre k = i vagy k = j, mert p_{i,i} = p_{j,j} = 0 a (2) formula szerint.

7.) Mutassa meg, hogy a Poisson folyamat \frac{P (i,j,t)}{dt} deriváltjaira az előző feladatban bizonyított és a Kevei jegyzetben tárgyalt formulák ugyanazt az eredményt adják.

A Kevei jegyzetben meg van fogalmazva (és fel van használva Gronwall-lemma), amely a következőt mondja.

Legyen α(t) és β(t) két integrálható függvény egy [a, b] intervallumon, amelyekre teljesül az

α(t) ≤ β(t) + H ∫_{a}^{t} α(s) ds, t ∈ [a, b],

egyenlőtlenség valamely H ≥ 0 számmal. Ekkor

α(t) ≤ β(t) + H ∫_{a}^{t} e^{H(t−s)} ds

minden a ≤ t ≤ b számra.

8.) Bizonyítsa be a Gronwall lemmát.

Megoldás: Adjunk először jó becslést az A(t) = ∫_{a}^{t} α(s) ds, 0 ≤ t ≤ b, függvényre. Mivel \frac{d}{dt} (e^{−Ht}A(t)) = e^{−Ht}[α(t) − HA(t)] ≤ e^{−Ht}β(t) a lemma feltétele miatt, és A(a) = 0, ezért e^{−Ht}A(t) ≤ ∫_{a}^{t} e^{−Hs}β(s) ds minden a ≤ t ≤ b számra. Innen α(t) ≤ β(t) + H · A(t) ≤ β(t) + H ∫_{a}^{t} e^{H(t−s)}β(s) ds minden a ≤ t ≤ b számra.

A Kevei jegyzet bebizonyítja azt, hogy ha egy Y (t) sztochasztikus folyamat teljesíti a dY (t) = −μY (t) dt+σdW (t) sztochasztikus differenciálegyenletet (μ > 0, σ > 0) akkor az csak Y (t) = e^{−μt} (Y (0) + ∫_{0}^{t} e^{μs}σdW (s)) alakú lehet, (ahol Y (0) független a W (t) Wiener folyamattól. A következő feladat ezen állítás megfordítását fogalmazza meg.

9. Bizonyítsa be az Itô formula segítségével, hogy az

Y (t) = e^{−μt} (Y (0) + ∫_{0}^{t} e^{μs}σdW (s))

sztochasztikus folyamat teljesíti a dY (t) = −μY (t) dt + σdW (t) sztochasztikus differenciálegyenletet, és az értéka a nulla időontban Y (0).

Megoldás. Definiáljuk a Z(t) = e^{μt}Y (t) = Y (0) + ∫_{0}^{t} e^{μs}σdW (s), sztochasztikus folyamatot, az f(t, x) = e^{−μt}x függvényt, és alkalmazzuk az Itô formulát az Y (t) = f(t, Z(t)) folyamatra. Azt kapjuk, hogy

dY (t) = \frac{∂f(t, x)}{∂t}|_{(t,x)=(t,Z(t))} dt + \frac{∂f(t, x)}{∂x}|_{(t,x)=(t,Z(t))} dZ(t)

+ \frac{1}{2} \frac{∂^{2}f(t, x)}{∂x^{2}} |_{(t,x)=(t,Z(t))} (dZ(t))^{2}

= −μe^{−μt}Z(t) dt + e^{−μt} dZ(t) = −μY (t) dt + σ dW (t),

mert \frac{∂f(t,x)}{∂t} = −μe^{μt}x, \frac{∂f(t,x)}{∂x} = e^{μt}, \frac{∂^{2}f(t,x)}{∂x^{2}} = 0, e^{−μt}Z(t) = Y (t), és dZ(t) = e^{μt}σ dW (t). A definiált Y (t) folyamat értéke a nulla időpontban Y (0), tehát ez a sztochasztikus folyamat teljesíti a kívánt feltételeket.

10.) A Kevei jegyzet eredményei alapján a stacionárius Ornstein–Uhenbeck folyamat stacionárius megoldása egy olyan Y (t), t ≥ 0, Gauss folyamat, amelyre EY (t) = 0, Cov (Y (s), Y (t)) = \frac{σ^{2}}{2μ}e^{−μ|t−s|}, s, t ≥ 0. Legyen W (t), t ≥ 0, Wiener folyamat,

és definiáljuk az U(t) = \frac{σ}{\sqrt{2μ}} \frac{W (e^{−2μt})}{e^{−μt}}, −∞ < t < ∞ , sztochasztikus folyamatot. Ez olyan stacionárius Gauss folyamat, amelyre EU(t) = 0, Cov (U(s), U(t)) = \frac{σ^{2}}{2μ}e^{−μ|t−s|}, tehát ennek megszorítása a t ≥ 0 félegyenesre ugyanolyan eloszlású, mint a stacionárius Ornstein–Uhlenbeck folyamat.