\documentclass[12pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}

\usepackage{amssymb,amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{epsfig,wrapfig}
\usepackage{mathptmx}
\usepackage{helvet}
\usepackage{courier}

\begin{document}

\centerline{\bf Néhány megjegyzés a folytonos idejű Markov folyamatokról.}

\medskip
Teszek néhány kiegészítést a Kevei jegyzet tárgyalásához a folytonos 
idejű Markov folyamatokról. A fő kérdés az, hogy hogyan tudjuk jól 
megadni a foly\-to\-nos idejű stacionárius Markov folyamatokat. Adva egy 
$X_t$, $t\ge0$, stacion\'arius Mar\-kov folyamat szeretnénk meghatározni 
annak $P(t,x,B)=P(X_t\in B|X_0=x)$ át\-me\-net\-va\-ló\-szí\-nű\-sé\-ge\-it. 
(A Kevei jegyzet ezeket az átmenetvalószínűségeket \hfill\break
 $p_t(B|x)$-szel jelöli.)

Érdemes bevezetni a következő $T_t$, $t\ge 0$, operátorokat a Markov lánc  
${\cal E}$ ál\-la\-pot\-te\-rén definiált korlátos függgvények terén. Ha  
$f(x)$, $x\in{\cal E}$, korlátos függvény az ${\cal E}$ téren,
akkor legyen 
$$
T_tf(x)=\int f(y)P(t,x,\,dy), \quad x\in{\cal E}.
$$
(Ez \'ugy is interpret\'alhat\'o, hogy $T_tf(x)=E(f(X_t)|X_0=x)$.)

Be lehet l\'atni, hogy $T_tT_s=T_{t+s}$ minden $s,t\ge0$ sz\'amp\'arra,
$T_0=I$ ($I$ az identit\'as oper\'ator) $T_t\to I$, ha $t\to0$, 
$\|T_t\|\le1$ minden $t>0$ számra
a szuprémumnormában. Ha $f(x)\ge0$, akkor $T_tf(x)\ge0$. (Az hogy 
$g(x)\ge0$ valamely $g(x)$ f\"uggv\'enyre azt jelenti, hogy $g(x)\ge0$ 
minden $x\in{\cal E}$ pontban.) A $P(t,x.B)$ 
át\-me\-net\-va\-ló\-szí\-nű\-sé\-ge\-ket úgy próbáljuk megadni, hogy 
jó jellemzést adunk a  $T_t$ operátorokra. Ezt a Kol\-mo\-go\-rov-féle  
backward egyenletekkel tesszük a Markov folyamat 
úgynevezett infinitezimális generátora segítségével. 

Az $S$ infinitezim\'alis gener\'ator
definici\'oja a k\"ovetkez\H{o}. Adva egy (sz\'ep tulajdons\'ag\'u)
$f=f(x)$ f\"uggv\'eny az ${\cal E}$ \'allapott\'eren
ennek $(Sf)$ k\'epe az $S$ in\-fi\-ni\-te\-zi\-m\'a\-lis 
gener\'ator hat\'as\'ara az
$$
(Sf)(x)=\lim_{t\to0}\frac{E(f(X(t))|X(0)=x)-f(x)}t
=\lim_{t\to0}\frac{T_tf(x)-f(x)}t, \quad x\in{\cal E},
$$
f\"uggv\'eny.

Bevezetjük a $T^*_t$, $t\ge0$, operátorokat is a ${\cal E}$ téren 
definiált mértékek terén. Ezek tulajdonképpen a  $T_t$ operátorok 
adjungáltjai.

$$
(T^*_t\mu)(B)=\int P(t,x,B)\,\mu(\,dx)\quad \textrm{ minden mérhető }
B\subset{\cal E} \textrm{ halmazra.}
$$
(Ha $\mu$ valószínűségi mérték, akkor $(T_t\mu)(B)$ annak feltételes 
valószínűsége, hogy $X_t(\omega)\in B$, feltéve, hogy $X_0(\omega)$  
eloszlása $\mu$. Ezekre a transzformációkra is igaz, hogy
$T^*_tT^*_s=T^*_{t+s}$ minden $s,t\ge0$ sz\'amp\'arra,
$T^*_0=I$  $T^*_t\to I$, ha $t\to0$, $\|T^*_t\|\le1$ minden $t>0$ számra
a totális variáció normában. Ha $\mu\ge0$ akkor $T_t\mu\ge0$.

A $T^*_t$ operátorok segítségével is meg lehet határozni a $P(t,x,B)$
át\-me\-net\-va\-ló\-szí\-nű\-sé\-ge\-ket, és ez történik a 
Kolmogorov-féle forward egyenletekben. Ezek tárgyalásához be kell 
vezetnünk az $S^*$ operátort, amely valójában az $S$ operátor 
adjungáltja. Ennek definiciója a következő. 

(Ezt a transzform\'aci\'ot is csak a `sz\'ep' (előjeles) $\mu$ 
m\'ert\'ekekre defini\'aljuk.)
$$
\int (Sf (x))\,d\mu=\int f(x) (S^*\mu)(\,dx)
$$
minden olyan $f$ f\"uggv\'enyre, amelyre $Sf$ l\'etezik. Az ilyen
$f$ függvények elég sokan vannak, ezért ezek az azonosságok 
meghatározzák az $S^*\mu$ mértéket.






\medskip\medskip\medskip\medskip\medskip\medskip\medskip\medskip

Néhány megjegyzés a Kevei könyv számolásaihoz.

55. oldal -5. sor:
$$
\varphi_{t+\tau}(x)=E_X\varphi_t(X_\tau),
$$
mert $\varphi_t(X_{\tau})=P(t, X_\tau, B)$, \'es $X_\tau$ $P_x$
m\'ert\'ek szerinti eloszl\'asa
$P(\tau, x,\,dy)$, ez\'ert
$$
E_x\varphi_t(X_\tau)=\int P(t, y, B) 
P(\tau, x,\,dy)=P(t+\tau, x,B)=\varphi_{t+\tau}(x)
$$
a Chapman--Kolmogorov azonoss\'ag alapj\'an.


\medskip
56. oldal 6. sor 

\'Erdemesebb \'ugy \'{\i}rni, hogy
\begin{eqnarray*}
\int f(y)p_{t+\tau}(dy|x)
&=&E(f(X_{t+\tau})|X_0=x)
=E(E(f(X_{t+\tau})|X_t)|X_0=x) \\
&=&\int E(f(X_{t+\tau})|X_t=y)p_t(\,dy|x)  
=\int E_yf(X_\tau)p_t(\,dy|x).
\end{eqnarray*}

A Kevei jegyzet tartalmaz egy azonoss\'agot a 
$\frac{\partial}{\partial t}p_t(B|x)$ kifejez\'esre a
Kol\-mo\-go\-rov-féle backward egyenlet alapj\'an a (30) formul\'aban
\'es a Kolmogorov-féle for\-ward egyenlet alapj\'an a (32) formul\'aban.
Az első azonosságban az $S$ a második azo\-nos\-ság\-ban az $S^*$ 
operátor szerepel.
Mind a két azonosság bizonyos a jegyzetben nem ismertetett de általános
feltételek mellett igaz.

Szép esetekben nemcsak a $p_t(B|x)$ feltételes eloszlások, hanem azok 
$p_t(y|x)$ feltételes sűrűségfüggvényei is léteznek, és a fenti 
egyenletekből a következő egyenletek következnek.
$$
\frac{\partial}{\partial t}p_t(y|x)=Sp_t(y|\cdot)(x),
$$

$$
\frac{\partial}{\partial t}p_t(y|x)=S^*p_t(\cdot|x)(y).
$$
A második azonosság jobboldala úgy értendő, hogy hogy olyan eseteket
n\'ez\"unk, amikor az
 $S^*(p_t(B|x)$, $B\in{\cal B}$, mértéknek létezik $S^*(p_t(y|x)$
sűrűségfüggvénye minden $x$ pontban, és ezt a sűrűségfüggvényt vesszük  
az $y$ pontban. (Valójában olyan eseteket nézünk, amikor a  $p_t(B|x)$, 
$B\in{\cal B}$ feltételes eloszlásnak is létezik
$p_t(y|x)$ sűrűségfüggvénye minden $x$ feltétel esetén.)

\medskip
Az 58. oldal 3. kiemelt k\'eplet\'et jobb lett volna \'{\i}gy \'{\i}rni:
$$
\int(Sf)(y)\mu(\,dy)=\int \frac{f''(y)}2g(y)\,dy
=\int f(y)\frac{g''(y)}2\,dy.
$$

\medskip
A diffúziós folyamatok bevezetésének az indoklásánál érdemes lett volna
te\-kin\-te\-ni az alábbi példát. Vegyünk egy $W(t)$ Wiener folyamatot, és 
definiáljuk az $Y(t)=Y_{\mu,\sigma}(t)=\sigma W(t)+\mu t$ sztochasztikus 
folyamatot, valamely $\mu$  és $\sigma$ valós szá\-mok\-kal. Legyen $h>0$
egy kis szám, és definiáljuk a $\Delta Y(t)=Y(t+h)-Y(t)$ kü\-lönb\-sé\-get. 
Ekkor
\begin{eqnarray*}
E(\Delta Y(t)|Y(t)=y)&=& E\Delta Y(t)=\mu h \\
E(\Delta^2 Y(t)|Y(t)=y)&=& \textrm{Var}\, \Delta Y(t)+(E\Delta Y(t))^2
=\sigma^2 h+(\mu h)^2=\sigma^2 h+o(h).
\end{eqnarray*}
A diffúzi\'os folyamat definici\'oj\'at a k\"ovetkez\H{o}k\'epp
interpret\'alhatjuk. Olyan szto\-chasz\-ti\-kus folyamatokat vesz\"nk,
amelyek lokálisan úgy viselkednek, mint az előb\-bi $Y(t)$ sztochasztikus
folyamat, csak a $E(\Delta Y(t)|Y(t)=y)$ feltételes várható 
ér\-té\-kben és $E(\Delta^2 Y(t)|Y(t)=y)$ feltételes második momentumban 
szereplő $\mu$ \'es $\sigma$ pa\-ra\-mé\-te\-rek értékei az $Y(t)=y$ 
feltételtől függő $\mu(y)$ \'es $\sigma(y)$ számok.

A Kevei jegyzet tekint egy olyan sztochasztikus differenci\'alegyenlet
által de\-fi\-ni\-ált sztochasztikus folyamatot, amely tekinthető példának
diffúziós folyamatokra.  Egy későbbi eredményben (a 8. tételben a 63. 
oldalon) belátja, hogy ennek a szto\-chasz\-ti\-kus differenciálegyenletnek 
van (erős) megoldása, ha a szto\-chasz\-ti\-kus 
dif\-fe\-ren\-ciál\-egyen\-let\-ben szereplő együtthatók teljesítenek 
bizonyos fel\-té\-te\-le\-ket. Szem\-lé\-le\-e\-sen várható, hogy az ilyen 
sztochasztikus differenciálegyenletek meg\-ol\-dá\-sai 
diffúziós folyamatok. Ez be is van bizonyítva, bár a Kevei jegyzet nem 
tartalmazza a bizonyítást.

Megjegyzem, hogy a diffúziós folyamat végső definiciójában szereplő
(i) fel\-té\-tel, egy Lindeberg tipusú feltétel. Azt fejezi ki, hogy
a $\Delta Y(t)$ különbség vi\-szony\-lag nagy értékeinek a hatása 
elhanyagolható.

\medskip\noindent
Néhány megjegyzés az Ornstein-Uhlenbeck folyamatokról.

\medskip\noindent
A Kevei jegyzet megmutatja, hogy a $dY(t)=-\mu\,dt+\sigma \,dW(t)$, 
$\mu>0$, $\sigma>0$ sztochasztikus differenciálegyenlet megoldása, amit
Ornstein--Uhlenbeck folyamatnak neveznek, csak
$$
Y(t)=e^{-\mu t}\left(Y(0)+\int_0^t e^{\mu s}\sigma dW(s)\right)
$$  
alak\'u lehet, ahol  $Y(0)$ ${\cal F}_0$ mérhető valószínűségi változó.
Egy feladatsorban tárgyalt számolás azt is mutatja, hogy ez a 
sztochasztikus folyamat valóban meg\-ol\-dá\-sa a felírt 
sztochasztikus differenciálegyenletnek.

Tov\'abb\'a azt is megmutatja a Kevei jegyzet, hogy ha az $Y(0)$
kezdeti felt\'etel  nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} 
$\frac{\sigma^2}{2\mu}$ szórásnégyzetű normális eloszlású 
valószínűségi változó, akkor az $Y(t)$ Ornstein--Uhlenbeck folyamat 
egy (stcacionárius) Gauss folyamat $Y(t)=0$ várható értékkel és 
$\textrm{Cov}\, (Y_s,Y_t)=\frac{\sigma^2}{2\mu}e^{-\mu|t-s|}$ kovarianciával.

A Kevei jegyzet tartalmazza annak az állításnak a bizonyítását is, 
hogy egy $Y(t)$ Ornstein--Uhlenbeck folyamat tetszőleges $Y(0)$ 
kezdeti feltétellel, (ahol $Y(0)$ ${\cal F}_0$ mérhető valószínűségi 
változó), stacionárius Markov folyamat, amelynek \hfill\break 
$P(t,x,\cdot)$
átmenetvalószínűségei $e^{-\mu t}x$  várható értékű, 
$\frac{\sigma^2}{2\mu}(1-e^{-2\mu t})$ szó\-rás\-négy\-ze\-tű 
nor\-m\'a\-lis eloszl\'as\'u valószínűségi változók eloszlásai, azaz  
$$
P(Y(t+s)\in A|Y(s)=x)=P(\xi\in A),
$$ 
ahol $\xi$ $e^{-\mu t}x$  várható értékű, 
$\frac{\sigma^2}{2\mu}(1-e^{-2\mu t})$ szórásnégyzetű 
norm\'alis eloszl\'as\'u valószínűségi változó.

Ez következik az alábbi a Kevei jegyzetben bizonyított azonosságból,
amely tetszőleges $Y(0)$ kezdeti feltétel mellett érvényes,
\begin{eqnarray*}
&&P(Y(t)\in A|Y(u), 0\le u\le s,\; Y(s)=x) \\
&&\qquad=P(Y(t)-e^{-\mu(t-s)}Y(s)\in A-e^{-\mu(t-s)}x) \\
&&\qquad =P(Y(t)-e^{-\mu(t-s)}Y(s)+e^{-\mu(t-s)}x\in A),
\end{eqnarray*}
valamint abból az észrevételből, hogy
$$
Y(t)-e^{-\mu(t-s)}Y(s)+e^{-\mu(t-s)}x=e^{-\mu t}\int_s^t\sigma^2e^{\mu u}\,dW(u)
+e^{-\mu(t-s)}x
$$
norm\'alis eloszl\'as\'u valószínűségi változó.

Az Ornstein--Uhlenbeck folyamatnak, mint stacionárius Markov folyamatnak
ismerve az átmenetvalószínűségeit, nem nehéz e sztochasztikus folyamatokat
dif\-fú\-ziós folyamatk\'ent definiálni. Ehhez azt kell észrevenni, hogy
az át\-me\-net\-va\-ló\-szí\-nű\-sé\-gek kis $t$ paraméterre olyan 
normális eloszlású
valószínűségi változók eloszlásai, amelyek várható értéke
$e^{-\mu t}x=x(1-\mu t)+o(t)$  \'es szó\-rás\-négy\-ze\-te 
$\frac{\sigma^2}{2\mu}(1-e^{-2\mu t})=\sigma^2 t+o(t)$. Innen adódik, hogy
\begin{eqnarray*}
E\Delta Y(t)|Y(t)=y)&=&-\mu y h+o(h), \\
E(\Delta Y(t))^2|Y(t)=y)&=&\sigma^2 h+o(h),
\end{eqnarray*}
ahol, a Kevei jegyzethez hasonlóan a $\Delta Y(t)=E(Y(t+h)-Y(t))$ jelölést
hasz\-nál\-tuk. Nem nehéz belátni, hogy az
$$
E(\Delta Y(t))^4|Y(t)=y)=O(h^2).
$$
reláció szintén érvényes. Nem nehéz belátni, hogy ezekből a relációkból
kö\-vet\-kez\-nek a diffúziós folyamatot definiáló a Kevei jegyzet 
59. oldalán felírt (i), (ii) és~(iii) relációk 
$\mu(y)=-\mu y$, $\sigma^2(y)=\sigma^2$
választással. 

\medskip
A Kevei jegyzet utolsó fejezete az It\^o folyamatokról szóló sztochasztikus
differenciálegyenletetekkel foglalkozik. Definiálja a sztochasztikus
dif\-fe\-ren\-ciál\-e\-gyen\-le\-tek erős megoldását, és a fejezet fő 
eredményében, a  8. tételben belátja, hogy ha a sztochasztikus 
differenciálegyeltben szereplő függvények teljesítenek bizonyos 
feltételeket, akkor az egyenletnek létezik egyértelmű erős megoldása.

Az elnevezés sugallja, hogy definiálták sztochasztikus 
dif\-fe\-ren\-ciál\-egyen\-le\-tek\-nek mind erős mind gyenge 
megoldását. Valóban, erős megoldásról beszélünk akkor, ha az a Wiener 
folyamat, amely szerint definiáljuk a sztochasztikus 
dif\-fe\-ren\-ciál\-egyen\-let\-ben szereplő It\^o integrálokat a 
kiinduló időpontban már definiálva van. Gyen\-ge meg\-ol\-dá\-sról 
akkor beszélünk, ha ez a Wiener folyamat nincs de\-fi\-ni\-ál\-va
a kiinduló időpontban, hanem a szto\-chasz\-ti\-kus differenciálegyenletet
ki\-elé\-gí\-tő sztochasztikus folyamattal együtt definiáljuk, és ennek
értéke egy adott idő\-pont\-ban függhet a sztochasztikus differenciálegyenlet
megoldásának korábbi értékeitől.

Van néhány további olyan eredmény a sztochasztikus 
dif\-fe\-ren\-ciál\-egyen\-le\-tek\-ről, amelyek hasznosak, de 
amelyeket a Kevei jegyzet nem tárgyal. Ezek másutt be vannak bizonyítva. 
Ezenkívül ezek olyan hasznos eredmények, amilyeneket természetesen várunk.

Be lehet látni, hogy ha a 8. tétel feltételei teljesülnek, akkor a
megoldásként kapott sztochasztikus folyamat Markov folyamat. Továbbá,
ha az egyenletben szereplő együtthatók nem függnek a $t$ időparamétertől,
azaz $f(x,t)=f(x)$ \'es $\sigma(x,t)=\sigma(x)$
akkor a megoldás stacionárius Markov folyamat. Az is igaz, hogy ez a
Markov folyamat diffúziós folyamat, amelyet a $\mu(x)=f(x)$
és $\sigma^2(x)$  meny\-nyiségek határoznak meg.

\medskip
Kiegészítések a 8. tétel bizonyításához:

\medskip
 A 62. oldalon a 34. k\'epletben helyesen $EX_0=\xi$.

\medskip
A 63. oldal 2. kiemelt képletében, ahol a sztochasztikus 
differenciálegyenlet az általános esetben van felírva, azaz akkor 
amikor egy $r$-dimenziós Wiener folyamat szerint integrálunk, és 
$d$ egyenletb\H{o}l \'all\'o sztochaszikus 
dif\-fe\-ren\-ciál\-egyen\-le\-tet
vizsgálunk, azaz $X_t$ egy $d$-dimenziós v\'eletlen vektor, az 
egyenlet után érdemes lett volna kiegészítésként odaírni, hogy ahol  
$X_s=(X^1_s,\cdots,X^d_s)$. 

\medskip
A 64.oldal 3. kiemelt képletében az $E(X_t-X_s)^2$ kifejezés 
becsl\'es\'eben az első tag helyesen a következő:
$$
E\left(\int_0^t(f(X_s,s)-f(Y_s,s))\,ds\right)^2.
$$
Ezt az integrált a Cauchy--Schwartz egyenlőtlenség és a 8. tétel
feltételei alapján a következő m\'odon becsüljük meg.
\begin{eqnarray*}
&&E\left(\int_0^t(f(X_s,s)-f(Y_s,s))\,ds\right)^2
\le E\left[ \int_0^t1\,ds\cdot \int_0^t(f(X_s,s)-f(Y_s,s))^2\,ds\right] \\
&&\qquad \le t E\left(\int_0^t K^2(X_s-Y_s)^2\,ds\right)
\le TK^2 \int_0^t E(X_s-Y_s)^2\,ds.
\end{eqnarray*}

A 8. tétel bizonyításának a végén meg kellene jegyezni, hogy a bizonyított
egyenlőtlenségekből (és a martingálokra vonatkozó maximum egyenlőtlenségből) 
az $E\sup\limits_{0\le t\le T}|X_t|^2\le C(1+E|\xi|^2)$  egyenlőtlenség is
bizonyíthat\'o. 



\end{document}






