\documentclass[12pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}

\usepackage{amssymb,amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{epsfig,wrapfig}
\usepackage{mathptmx}
\usepackage{helvet}
\usepackage{courier}

\begin{document}

\centerline{\bf Az It\^o integrál definiciója.}

\medskip
Kevei Péter Pénzügyi folyamatok folytonos időben című jegyzetének
Szto\-chasz\-ti\-kus integrál fejezetében bevezeti az It\^o integrál 
fogalmát. Röviden, bizonyos részletek elhagyásával az e fogalom
felépítséhez szükséges elméleti ismereteket is megadja. Azonban 
bizonyos helyeken állításait kissé le\-egy\-sze\-rű\-sít\-ve, nem teljesen 
pontosan fogalmazza meg. Ezen írásban ismertetem a Kevei jegy\-zet\-ben 
bevezetett It\^o integrál részletesebb, pontosabb definicióját, amelyben a 
felhasznált állításokat pontosabban fogalmazom meg. Ezt a tárgyalást 
H. P. McKean Stochastic Integrals című könyvének 2. fejezete alapján 
teszem. A felhasznált ered\-mé\-nye\-ket megfogalmazom, de azok 
bizonyítás\'at sokszor elhagyom. (Egyébként H. P. McKean is 
meglehetősen tömören, sok részlet elhagyásával adja meg a
bizonyításait.)

Bizonyos, jó tulajdonságokkal rendelkező $X_t=X_t(\omega)$ sztochasztikus 
fo\-lya\-ma\-tok\-nak de\-fi\-ni\-ál\-juk az It\^o integrálját. Először 
megadom, hogy milyen tu\-laj\-don\-sá\-gok\-kal rendelkező sztochasztikus
folyamatoknak definiáljuk az It\^o integrálját. 

Legyen adva egy $(\Omega,{\cal A},P)$ valószínűségi mező, azon egy 
$W_t=W_t(\omega)$ Wiener folyamat, ahol vagy $0\le t\le T$ valamely 
$T>0$ sz\'ammal vagy $0\le t<\infty$, és egy ${\cal F}_t$, 
($0\le t\le T$ vagy $0\le t<\infty)$ filtráció, azaz ${\cal F}_t$
$\sigma$-algebrák olyan csal\'adja, amelyekre ${\cal F}_s\subset{\cal F}_t$, 
ha  $s<t$, \'es ${\cal F}_t\subset{\cal A}$ minden $t$ időpontra. 
Továbbá megköveteljük, hogy $W_t$ ${\cal F}_t$-mérhető legyen minden 
$t$ időpontra, és a $W_t-W_s$ valószínűségi vál\-to\-zó legyen 
f\"uggetlen az ${\cal F}_s$ $\sigma$-algebrától, ha $s<t$. Azt 
mondjuk, hogy egy $X_t$ szto\-chasz\-ti\-kus folyamat 
adaptált erre az ${\cal F}_t$ filtrációra, ha $X_t$ ${\cal F}_t$ 
mérhető minden $t$ időpontra, \'es $X_t(\omega)$ mint az $\omega$ és 
$t$ változók kétv\'altoz\'os függvénye mérhető az 
$(\Omega\times[0,T],{\cal A}\times{\cal B}_{[0,T]})$ vagy 
$(\Omega\times[0,\infty),{\cal A}\times{\cal B}_{[0,\infty)})$
szorzattéren, ahol ${\cal B}_{[0,T]}$ a Borel $\sigma$-algebra a 
$[0,T]$ intervallumon, \'es ${\cal B}_{[0,\infty)}$ a Borel 
$\sigma$-algebra a $[0,\infty)$ f\'elegyenesen.

A Kevei jegyzet azzal az esettel foglalkozik, amikor az It\^o integrált
valamely $[0,T]$ intervallumban akarjuk definiálni. Ebben az esetben 
bevezeti a szto\-chasz\-ti\-kus folyamatokból álló
$$
{\cal H}=\left\{X=(X_t),\;t\in[0,T]\colon\; (X_t) \;{\cal F}_t 
\textrm{ adaptált, és } E\int_0^T X_t(\omega)^2\,dt<\infty\right\}
$$
és
\begin{eqnarray*}
{\cal H}'&=&\biggl\{X=(X_t), \;t\in[0,T]\colon\; (X_t) \;{\cal F}_t 
\textrm{ adaptált,} \\ 
&&\qquad\textrm{és } 
\int_0^T X_t(\omega)^2\,dt<\infty \textrm { 1 valószínűséggel} \biggr\}
\end{eqnarray*}
halmazokat. Elmagyarázza, hogyan lehet definiálni az 
$I_t(X)=\int_0^t X_udW_u$ It\^o integrált (egy\-szer\-re minden  
$t\in[0,T]$ paraméterre) az $X\in{\cal H}$ sztochasztikus
fo\-lya\-ma\-tok\-ra, és bebizonyítja ezen integrál
legfontosabb tulajdonságait. Azután azt ál\-lít\-ja, hogy az  
$I_t(X)=\int_0^t X_udW_u$ It\^o integrált hasonló m\'odon lehet 
definiálni minden $X\in{\cal H}'$ sztochasztikus folyamatra, és az 
$X\in{\cal H}$ esetben bebizonyított ered\-mé\-nyek továbbra is 
ér\-vény\-ben maradnak.

A helyzet azonban ennél bonyolultabb. Az $X\in{\cal H}'$ esetben az 
It\^o integrált másképp kell definiálni, és csak hasonló, de nem 
megegyező eredmények ér\-vé\-nye\-sek, mint az $X\in{\cal H}$ 
esetben. Ahhoz hogy a különbségeket megértsük át kell tekintenünk az 
It\^o integrál definicióját és a definició megadásához szükséges 
ered\-mé\-nye\-ket mind a két esetben.

Definálhatjuk a $[0,\infty)$ félegyenesen definiált megfelelő
tulajdonság\'u adaptált sztochasztikus folyamatok It\^o 
integrálját is, de ezek definicióját egyszerű módon 
vissza\-ve\-zet\-het\-jük a véges intervallumon definiált 
sztochasztikus folyamatok in\-teg\-rál\-já\-nak a definiciójára. 
Ezért elsősorben ezzel az utóbbi integr\'allal foglalkozom, és 
ennek segítségével elmagyarázom a $[0,\infty)$ félegyenesen 
definiált szto\-chasz\-ti\-kus folyamatok It\^o integráljának a 
definicióját. 

Azt mondjuk, hogy egy a $[0,\infty)$ félegyenesen definiált 
$X(t)$ adaptált szto\-chasz\-ti\-kus folyamat eleme a ${\cal H}$ 
halmaznak, ha minden $T>0$ számra $E\int_0^TX_t^2(\omega)\,dt<\infty$,  
és akkor eleme a ${\cal H}'$ halmaznak, ha minden $T>0$ sz\'amra 
$\int_0^TX_t^2(\omega)<\infty$ 1~valószínűséggel minden $T>0$ 
számra. Ez azt jelenti, hogy egy $X_t$, $0\le t<\infty$, adap\-tált 
sztochasztikus folyamat akkor és csak akkor eleme a ${\cal H}$ 
halmaznak, ha ez igaz az $X_t$, $0\le t<\infty$, sztochasztikus 
folyamat megszorítására tetszőleges $[0,T]$ intervallumra, és 
hasonl\'oan akkor és csak akkor eleme a ${\cal H}'$ halmaznak, 
ha ez igaz az $X_t$, $0\le t<\infty$, sztochasztikus folyamat 
megszorítására tetszőleges $[0,T]$ intervallumra. Ennek alapján tudjuk 
de\-fi\-ni\-ál\-ni a $[0,\infty)$ f\'elegyenesen definiált ${\cal H}$ 
vagy ${\cal H}'$-beli $X_t$, $0\le t<\infty$, sztochasztikus
folyamatok It\^o integrálját tetszőleges $[0,T]$ intervallumban. 
Mivel az így definiált It\^o integrálok definiciója
konzisztens különböző intervallumokon, ezek kiterjeszt\'es\'evel
de\-fi\-ni\-ál\-ni tudjuk az It\^o integrált a teljes $[0,\infty)$ 
félegyenesen is.

Mind az  $X\in{\cal H}$ mind az $X\in{\cal H}'$ esetben az It\^o integrált 
először \'ugy\-ne\-ve\-zett egyszerű folyamatokra de\-fi\-ni\-ál\-juk, és 
bebizonyítjuk az elemi folyamatok in\-teg\-rál\-jai\-nak néhány olyan 
tu\-laj\-don\-sá\-gát, amelyek lehetővé teszik a definició 
ki\-ter\-jesz\-té\-sét az általános esetre.

Azt mondjuk, hogy egy $X_t$, $0\le t\le T$, sztochasztikus folyamat 
egyszerű folyamat, ha léteznek olyan $0=t_0<t_1<\cdots<t_n=T$ időpontok, 
amelyekre az $X_t$ folyamat egy konstans $\xi_i$
valószínűségi változóval egyenlő a $t\in[t_i,t_{i+1})$ intervallumban, 
és $\xi_i$ ${\cal F}_{t_i}$ mérhető. 
Az elemi folyamatok It\^o integrálj\'at a következő természetes módon
definiáljuk: Legyen $t_k\le t\le t_{k+1}$ valamely $0\le k\le n-1$ sz\'ammal.
Ekkor
$$
I_t(X)=\int_0^t X_udW_u=\sum_{i=0}^k\xi_i(W_{t_{i+1}}-W_{t_i})+\xi_k(W_t-W_{t_k}).
$$

A Kevei jegyzet 4. tételében megfogalmazott eredmény a következőt
állítja.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyenek $X$ és $Y$ olyan egyszerű folyamatok,
amelyeknek az értékei minden idő\-pont\-ban véges második momentummal 
rendelkező valószínűségi változók. Ekkor

\noindent
(i) $(I_t(X),{\cal F}_t)$, $0\le t\le T$, folytonos marting\'al, 
amelyre $I_0(X)\equiv0$.

\noindent
(ii) 
Tetszőleges $t>s$  számpárra
$$
E\left[\left.\left(\int_s^t X_u\,dW_u\right)^2\right|{\cal F}_s\right]
=E\left[\left.\int_s^t X_u^2\,du\right|{\cal F}_s\right].
$$
\ \ \ \ \ \ \ Speciálisan $s=0$ választással $EI_t(X)^2=E\int_0^tX_u^2\,du$.

\noindent
(iii) Az integrál lineáris, azaz
$$
I(\alpha X+\beta Y)=\alpha I(X)+\beta I(Y), \quad \alpha,\beta\in R
$$

\noindent
(iv) $E\left[\sup_{0\le t\le T}\left(\int_0^t X_u\,dW_u\right)^2\right]
\le 4 E\int_0^TX_u^2\,du.$}

\medskip
Megjegyzem, hogy a Tétel (ii) állítása helyettesíthető azzal az
állítással, hogy 
$\left(\left(\int_0^t X_u\,dW_u\right)^2-\int_0^t X_u^2\,du,
{\cal F}_t\right)$, $0\le t\le T$, martingál.

\medskip
A Kevei jegyzet 3. lemmája egy másik fontos eredmény, amit felhasználnak
$X=(X_t)\in{\cal H}$ sztochasztikus folyamatok It\^o integráljának a 
definiciójában. Ez a következőt mondja.

\medskip\noindent
{\bf Lemma.} {\it Tetszőleges a $[0,T]$ intervallumban defini\'alt 
$X=(X_t)\in{\cal H}$ szto\-chasz\-ti\-kus folyamathoz létezik 
$X^n=(X^n_t)$ egyszerű folyamatok olyan sorozata, amelyre
$$
\lim_{n\to\infty}E\int_0^T(X_u-X^n_u)^2\,du=0.
$$
}

\medskip
A Lemma és a Tétel, pontosabban a T\'etel (iv) pontja lehetővé teszi, 
hogy minden $X\in{\cal H}$ szto\-chasz\-ti\-kus folyamathoz $X^n=(X^n_t)$ 
egyszerű folyamatok olyan sorozatát konstruáljuk amelyre létezik 
egy olyan $I(X)=I_t(X)$, $0\le t\le T$, szto\-chasz\-ti\-kus folyamat, 
amelyre
$$
I_t(X^n)\to I_t(X) \textrm{ a } t\in[0,T] \textrm{ intervallumban 
egyenletesen 1 valószínűséggel.}
$$
Ez az $I(X)$ sztochasztikus folyamat egyértelműen meg van határozva, 
(azaz \'ert\'eke nem f\"ugg att\'ol, hogy melyik a felt\'eteleknek
eleget tev\H{o} $I_t(X^n)$ sorozat ha\-t\'ar\-\'er\-t\'e\-ke\-k\'ent 
defini\'aljuk), és az $X\in{\cal H}$ sztochasztikus folyamat It\^o 
integrálját az $\int_0^t X_u\,dW_u=I_t(X)$, $0\le t\le T$, képlet 
segítségével definiáljuk. Be lehet látni azt is, hogy a Tételben 
megfogalmazott állítások nemcsak az egyszerű, hanem az 
$X\in{\cal H}$ sztochasztikus folyamatok It\^o integr\'aljaira is 
érvényesek.

\medskip
A Kevei jegyzet azt állítja, hogy az It\^o integrál definiciója 
az $X\in{\cal H}'$ szto\-chasz\-ti\-kus folyamatokra is kiterjeszthető,
és a Tételben megfogalmazott ál\-lí\-tá\-sok továbbra is érvényben maradnak.
Ez a kijelentés azonban pontosításra szorul. Ahhoz, hogy ezt a pontosítást
megtegyük először meg kell értenünk hogyan tudjuk kiterjeszteni az
It\^o integrál definicióját az $X\in{\cal H}'$ sztochasztikus folyamatokra.

Az egyszerű jelölés érdekében $X\in{\cal H}'$ alakú
sztochasztikus folyamatok It\^o integrálját olyan esetben definiáljuk,
amikor $[0,T]=[0,1]$. Ezenkívül az app\-ro\-ximá\-ció\-ban felhasznált 
egyszerű folyamatokról feltesszük, hogy azok az 
$[\frac k{2^n},\frac{k+1}{2^n})$ alakú intervallumokon 
(valamilyen egész $n$ számmal) egyenlőek egy $\xi_k$ 
va\-ló\-szí\-nű\-sé\-gi változóval. Az It\^o integrál definiciójának 
a kiterjesztése mind az $X\in{\cal H}$ mind az $X\in{\cal H}'$ alakú 
sztochasztikus folyamatok integráljára azon alapult, hogy amennyiben 
az $\int_0^T(e_u-e'_u)^2du$ integr\'al kicsi két $e$ és $e'$ egyszerű
folyamatra, akkor a $\sup_{0\le t\le T}\int_0^t(e_u-e'_u)\,dW_u$ kifejezés 
is kicsi. Az $X\in{\cal H}$ sztochasztikus fo\-lya\-ma\-tok esetében
a Tétel (iv) állítása tartalmazta ezt az $I(X)$ It\^o integrál
de\-fi\-ni\-ció\-já\-ban felhasznált eredményt. Az $X\in{\cal H}'$ 
sztochaszikus folyamatok integráljának de\-fi\-ni\-ció\-já\-ban más 
eredményre van szükségünk, mert ebben az esetben olyan 
va\-ló\-szí\-nű\-sé\-gi vál\-to\-zók\-kal kell dolgoznunk, 
amelyeknek nem feltétlenül van véges második mo\-men\-tu\-muk. Az 
alábbiakban ismertetem, hogy McKean hogyan oldotta meg ezt a 
problémát Stochastic Integrals című könyvében. A tárgyalásban a 
McKean könyv jelölését követem. \'Igy például a vizsgált 
sztochasztikus folyamatokat $X=X_t$ helyett $e=e(u)$-val fogom jelölni. 

McKean bebizonyítja a következő egyenlőtlenséget. Legyen $e=e(u)$,
$0\le u\le 1$, egyszerű folyamat, és legyen adva két $\alpha>0$ 
\'es $\beta>0$ pozitív szám. Ekkor
\begin{equation}
P\left(\max_{0\le t\le 1}\left(\int_0^t e(u)\,dW_u
-\frac\alpha2\int_0^t e^2(u)\,du\right)
>\beta\right)\le e^{-\alpha\beta}.  \label{1}
\end{equation}

A bizonyítás a klasszikus martingál egyenlőtlenségeken alapul. Ismeretes,
hogy $\exp\left\{a W_t-\frac{a^2}2t\right\}$,
ahol $a$ tetszőleges valós szám, és $W_t$, $t\ge0$, Wiener 
folyamat, martingál. Be lehet látni ezen állítás következő élesítését is.
Ha $e=e(u)$, $0\le u\le1$, egyszerű folyamat, akkor 
$z(t)=\exp\left\{\int_0^t e(u)\,dW_u-\frac12\int_0^te^2(u)\,du\right\}$,
$0\le t\le 1$ (folytonos trajekt\'ori\'aj\'u) martingál. (Megjegyzem, 
hogy a most definiált $z(t)$ sztochasztikus folyamat minden 
$e\in{\cal H}'$ választással létezik, de az nem mindig martingál. 
Bizonyos vizsgálatokben fontos tudni, hogy ez a $z(t)$ folyamat 
mikor martingál. Ezért egy kiegészítésben ismertetek egy eredményt, 
amely megmutatja, hogy ez a folyamat martingálbizonyos feltételek 
teljesülése esetén.) 

Felhasználva ezt a martingál tulajdonságot az $\alpha e(u)$, 
$0\le u\le 1$, egyszerű folyamatra, azaz azt, hogy 
$z(t)=\exp\left\{\alpha\int_0^t e(u)\,dW_u
-\frac{\alpha^2}2\int_0^te^2(u)\,du\right\}$, $0\le t\le 1$,
folytonos martingál, és a Doob egyenlőtlenséget martingálokra 
azt kap\-juk, hogy 
\begin{eqnarray*}
P\left[\max_{0\le t\le 1}\left(\int_0^t e(u)\,dW_u
-\frac\alpha2\int_0^t e^2(u)\,du\right)>\beta\right]
&=&P\left(\max_{0\le t\le 1} z(t)>e^{\alpha\beta}\right) \\
&\le&\frac{E z(1)}{e^{\alpha\beta}}=e^{-\alpha\beta}.
\end{eqnarray*}
Ezzel bebizonyítottuk az (\ref{1}) egyenlőtlenséget.

A következő lépésben bebizonyítunk ezen egyenlőtlenség segítségével egy
olyan relációt, amely felhasználva egy később megfogalmazandó állítást
arról, hogy az $e\in{\cal H}'$ sztochasztikus folyamatok jól 
app\-ro\-xi\-mál\-ha\-tó\-ak egyszerű fo\-lya\-ma\-tok\-kal lehetővé 
teszi az $e\in{\cal H}'$ sztochasztikus folyamatok It\^o integráljának
a definicióját. Ebben a tárgyalásban alkalmazni fogjuk a következő
McKean által használt jelölést. Ha adva van $A_n$, $n=1,2,\dots$, 
események egy sorozata egy  $(\Omega,{\cal A},P)$ valószínűségi mezőn, 
akkor $P(A_n,\;n\uparrow\infty)=1$ azt jelenti, hogy majdem minden 
$\omega\in\Omega$ elemi esem\'enyre az $\omega\in A_n$
esemény teljesül véges sok $n$ index kivételével.

Legyen adva $e_n$ egyszerű folyamatok olyan sorozata, amelyre
\begin{equation}
P\left(\int_0^1 e_n(u)^2\,du\le 2^{-n},\;n\uparrow\infty\right)=1,
\label{2}
\end{equation}
és egy $\vartheta>1$ szám. Ekkor
\begin{equation}
P\left(\max_{0\le t\le 1}\left|\int_0^t e_n(u)\,dW_u\right|
<\vartheta (2^{-n+1}\log n)^{1/2},\;n\uparrow\infty\right)=1. \label{3}
\end{equation}

Val\'oban, az (\ref{1}) egyenlőtlenség $\alpha_n=(2^{n+1}\log n)^{1/2}$ 
és  $\beta_n=\vartheta(2^{-n-1}\log n)^{1/2}$ vá\-lasz\-tás\-sal 
azt adja, hogy
\begin{eqnarray*}
&& \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
P\left(\max_{0\le t\le 1}\int_0^t e_n(u)\,dW_u>
\frac{\alpha_n}2\int_0^1 e_n^2(u)\,du+\beta_n\right) \\
&&\le  P\left(\max_{0\le t\le 1}\left(\int_0^t e_n(u)\,dW_u
-\frac{\alpha_n}2\int_0^t e_n^2(u)\,du\right)>\beta_n\right)
\le e^{-\alpha_n\beta_n}=n^{-\vartheta}.
\end{eqnarray*}
Ezért a Borel--Cantelli lemma és a (\ref{2}) reláció azt adja, hogy
\begin{eqnarray*}
P\biggl(\max_{0\le t\le 1}\int_0^t e_n(u)\,dW_u&\le&
\frac{\alpha_n}2\int_0^1 e_n^2(u)\,du+\beta_n \\
&\le& \frac{1+\vartheta}2(2^{-n+1}\log n)^{1/2},
\; n\uparrow\infty\biggr)=1.
\end{eqnarray*}
Ezt a relációt a $-e_n$ folyamatokra is alkalmazva megkapjuk a 
(\ref{3}) formulát.

\medskip
Szükségünk van még a következő eredményre is, amely a Lemma állításának
a megfelelője akkor, ha ${\cal H}'$-beli és nem ${\cal H}$-beli 
sztochasztikus folyamatokat aka\-runk jól approximálni egyszerű 
folyamatokkal.

Minden $e\in{\cal H}'$ sztochasztikus folyamathoz létezik $e_n$, 
$n=1,2,\dots$, egyszerű folyamatoknak olyan sorozata, amelyre 
\begin{equation}
P\left(\int_0^1 (e(u)-e_n(u))^2du\le 2^{-(n+2)}, \;n\uparrow\infty\right)=1.
\label{4}
\end{equation}
A McKean könyv a következő m\'odon defini\'al a kívánt tulajdonsággal 
rendelkez\H{o} egy\-sz\-erű folyamatokat. Először terjesszük ki az
$e\in{\cal H}'$ sztochasztikus folyamat definicióját a negatív $u<0$ 
időpontokra az $e(u)\equiv0$, ha $u<0$ de\-fi\-ni\-ció\-val. Ezután
válassznuk két $m$ és $l$ pozitív egész számot, és defináljuk a 
se\-gít\-sé\-gük\-kel az  $e'=e'_l(t)=2^l\int_{t-2^{-l}}^t e(u)\,du$ és 
$e''=e''_{m,l}(t)=e'_m(2^{-m}[2^mt])$ sztochasztikus folyamatokat, ahol 
$[\cdot]$ egész részt jelöl. Ekkor $e',e''\in{\cal H}'$, és $e''$
egyszerű folyamat. Tetszőleges $n$ egész számra választhatunk úgy 
$l$ és $m$ számokat, hogy az általuk definiált $e''$ 
sztochasztikus folyamat teljesíti a
$$
P\left(\int_0^1(e(u)-e''(u))^2\,du>2^{-(n+2)}\right)\le 2^{-n}
$$ 
relációt.  Ha ilyen $e''=e''_n$ egyszer\H{u} folyamatot választunk
minden $n=1,2,\dots$ sz\'am\-ra, akkor ezek a Borel--Cantelli 
lemma alapján teljes\'{\i}tik a (\ref{4}) relációt.

Ezután nem nehéz definiálni az $I_t(e)=\int_0^t e(u)\,dW_u$, $0\le t\le 1$, 
It\^o integrált $e\in{\cal H}'$ sztochasztikus folyamatokra. Ilyen
sztochasztikus folyamatokra lehet olyan $e_n$ egyszerű folyamatokat 
választani, amelyekre teljesül a (\ref{4}) reláció. Ekkor az 
$e_n-e_{n+1}$ folyamatokra teljesül a (\ref{2}) és (\ref{3}) reláció. 
Ezért
$$
P\left(\max_{0\le t\le 1}\left|\int_0^t (e_n(u)-e_{n+1}(u))\,dW_u\right|
<\vartheta (2^{-n+1}\log n)^{1/2},\;n\uparrow\infty\right)=1, 
$$
és létezik olyan $I(e)=I_t(e)$, $0\le t\le 1$, folytonos 
trajektóriájú sztochasztikus folyamat, amelyre  
$\lim_{n\to\infty}\int_0^t e_n(u)\,dW_u=I_t(e)$, és ez a 
konvergencia 1 va\-ló\-szí\-nű\-ség\-gel egyenletes a $t\in[0,1]$ 
intervallumban. Így, ha $e\in{\cal H}'$, akkor az 
$$
I_t(e)=\lim_{n\to\infty}\int_0^t e_n(u)\,dW_u, \quad 0\le t\le 1,
$$ 
definiciót alkalmazzuk az It\^o integrál definiciójában. Nem nehéz
belátni, hogy az így definiált It\^o integrál értéke nem függ a
(\ref{4}) relációt teljesítő $e_n$ egyszerű folyamatok választásától. 

Ilyen módon definiáltuk minden $e\in{\cal H}'$ sztochasztikus folyamat
integrálját, ha ${\cal H}'$ a $[0,1]$ intervallumon definiált
sztochasztikus folyamatokat tartalmaz. A konstrukcióból az is 
következik, hogy az It\^o integrál trajektóriái 1 valószínűséggel 
folytonosak. Hasonlóan, definiálhatjuk az $e\in{\cal H}'$ 
sztochasztikus folyamatok It\^o integrálját akkor is, ha ${\cal H}'$
a $[0,T]$ intervallumon van defini\'alva valamilyen $T>0$ param\'eterrel. 
Megt\'argyaltuk azt is, hogy hogyan tudjuk ennek alapj\'an 
defini\'alni a $[0,\infty)$ f\'el\-egye\-ne\-sen de\-fi\-ni\-\'alt 
$e\in{\cal H}'$ sztochasztikus folyamatok It\^o integr\'aj\'at.

\medskip
Megjegyzem, hogy akkor, ha a $[0,\infty)$ intervallumon defini\'alt
$e(u)$ adapt\'alt folyamat az er\H{o}sebb $\int_0^\infty e(u)^2\,du<\infty$ 
1 valószínűséggel feltételt is teljesíti, akkor az 
$I_t(e)=\int_0^t e(u)\,dW_u$, $0\le t<\infty$, It\^o integrál 
kiterjeszthető folytonosan a $t=\infty$ paraméterre is, azaz úgy, 
hogy teljesül az $\int_0^\infty e(u)\,dW_u=\lim_{t\to\infty}\int_0^t e(u)\,dW_u$
azo\-nos\-ság. Az $I_t(e)$, $0\le t\le\infty$, integrál konstrukciója 
és a megfogalmazott foly\-to\-nos\-ság bizonyítása hasonló módon 
történhet, mint a  $t\in[0,1]$ esetben, csak ebben az esetben azt 
kell kihasználni, hogy ekkor lehetséges olyan  $e_n$ egyszerű 
fo\-lya\-ma\-tokat választani, amelyek egy véges intervallumon 
kívül eltünnek, és teljesítik a (\ref{4}) relációnak azt a 
változatát, amelyben az $\int_0^\infty(e(u)-e_n(u))^2\,du$ 
integrálokat tekintjük. Ezenkívül a (\ref{3}) reláció olyan 
változatát tekintjük, ahol a szuprémumot minden $t\ge0$ 
paraméterre vesszük. 

\medskip
A Tétel állításai akkor is érvényesek, ha bennük egyszerű 
folyamatok helyett $X\in{\cal H}$ és $Y\in{\cal H}$ 
szto\-chasz\-ti\-kus folyamatok szerepelnek. Tekintsük át, 
hogy a T\'etel mely állításai maradnak érvényben, és melyek 
módosulnak, ha $e\in{\cal H}$ szto\-chasz\-ti\-kus folyamatok 
helyett $e\in{\cal H}'$ sztochasztikus folyamatok It\^o 
integráljait tekintjük.

\medskip

Az (i) pontban azt állítottuk, hogy az $I_t(e)$ It\^o integrál, 
$0\le t\le T$, folytonos martingál, amelyre 
$I_0(e)\equiv0$. Az $e\in{\cal H}'$ esetben az $I_t(e)$ It\^o integr\'al
továbbra is folytonos trajektóriájú adaptált folyamat, de 
nem  feltétlenül martingál. Definiálni fogjuk a martingál fogalom 
egy gyengített változatát, az úgynevezett lokális martingál fogalmát, 
és megmutatjuk, hogy az $I_t(e)$ It\^o integrál
az $e\in{\cal H}'$ esetben lokális martingál.

A (ii) tulajdonság helyett tekintsük  azt a vele ekvivalens állítást, 
hogy az 
$$
\left(\int_0^t e(u)\,dW_u\right)^2-\int_0^te^2(u)\,du, \quad 0\le t\le T,
$$
sztochasztikus folyamat martingál. Ez az állítás nem feltételenül 
igaz, ha $e\in{\cal H}'$, de ez a sztochasztikus folyamat ebben 
az esetben is lokális martingál.

A (iii) tulajdonság, amely azt állítja, hogy az $I(\alpha e+\beta e')$
It\^o integrál az $\alpha$ \'es $\beta$ param\'eterek lineáris 
transz\-for\-má\-ciója, $e\in{\cal H}'$ \'es $e'\in{\cal H}'$ eset\'en 
is érvényes.

A (iv) tulajdonság semmitmondó, ha $e\in{\cal H}'\setminus{\cal H}$, 
mert ekkor az e tulajdonságot megfogalmazó becslés jobboldalán
végtelen van. Viszont a (\ref{1}) reláció igaz nemcsak egyszerű, 
hanem $e\in{\cal H}'$ folyamatokra is, és a (iv) tulajdonság helyett 
használhatjuk ezt a becslést. (E formul\'aban $\max\limits_{0\le t\le 1}$ 
helyett $\max\limits_{0\le t\le T}$-t írunk).

\medskip
McKean az It\^o integrál következő fontos tulajddonságát is megfogalmazta.
Legyen $\tau$ olyan megállási idő, amelyre $P(\tau<\infty)=1$, \'es
legyen $f=f(u,\omega)$ az a szto\-chasz\-ti\-kus folyamat, amelyre
r\"ogz\'{\i}tett $u$ id\H{o}pontra az $f(u,\omega)$ valószínűségi 
változó a $\tau$ megállási idő által definiált
$\{\omega\colon\;\tau(\omega)\le u\}$ halmaz indikátor függ\-vé\-nye. 
Ekkor minden $e\in{\cal H}'$ szto\-chasz\-ti\-kus fo\-lya\-mat\-ra 
$f$ ${\cal F}_t$ adaptált szto\-chasz\-ti\-kus folyamat, és
$$
\int_0^\tau e(u)\,dW_u=\int_0^\infty e(u)f(u)\,dW_u.
$$
Valóban, ez az állítás könnyen ellenőrizhető, ha $e$ egy korlátos
intervallumra koncentrált egyszerű folyamat. Az állítást könnyen
lehet redukálni arra az esetre, ami\-kor $P(\tau\le T)=1$ valamely
$T<\infty$ sz\'amra. Ebben az esetben viszont léteznek
olyan $e_n$ egyszerű folyamatok, amelyekre 
$P\left(\int_0^T (e_n-e)^2\,du\le2^{-(n+2)},\;n\uparrow\infty\right)=1$, és 
$P\left(\int_0^\infty (e_n-e)^2f(u)^2\,du\le2^{-(n+2)}\;n\uparrow\infty\right)=1$,
és ekkor a kívánt állítás köny\-nyen bizonyítható 
a (\ref{2}) és (\ref{3}) relációk segítségével, ha azokban az integr\'alt
\'es maximumot a $[0,T]$ intervallumban vessz\"uk.

\medskip
Megfogalmazom a lokális martingál definici\'oját.

\medskip\noindent
{\bf A lokális martingál definiciója.}  {\it Legyen adva egy 
${\cal F}_t$, $0\le t\le T$ vagy $0\le t<\infty$, filtr\'aci\'o 
egy $(\Omega,{\cal A},P)$ valószínűségi mezőn, és legyen $X_t$, 
$0\le t\le T$ vagy $0\le t<\infty$, adaptált sztochasztikus
folyamat erre a filtrációra. Azt mondjuk, hogy ez az $X_t$ 
adaptált sztochasztikus folyamat lokális martingál, ha létezik 
megállási időknek olyan $0\le\tau_1\le \tau_2\le\cdots$ egy 
valószínűséggel  növekvő sorozata, amely\-re, ha a filtráció 
és az adaptált sztochasztikus folyamat a $[0,T]$ intervallumban 
van defini\'alva, akkor $P(\lim_{n\to\infty}\tau_n=T)=1$, ha a 
filtráció és az adaptált szto\-chasz\-ti\-kus folyamat a $[0,\infty)$ 
félegyenesen van definiálva akkor $P(\lim_{n\to\infty}\tau_n=\infty)=1$, 
és minden $n=1,2,\dots$ param\'eterre az $X^{(n)}_t=X_{\min (t,\tau_n)}$ 
sztochasztikus folyamatra $(X^{(n)}_t,{\cal F}_t)$ martingál a 
$t\in[0,T]$ intervallumban vagy a $t\in[0,\infty)$ f\'elegyenesen.}

\medskip
Legyen $e\in{\cal H}'$. Ekkor az $I_t(e)=\int_0^t e(u)\,dW_u$ It\^o
integr\'al \'es a
$$
J_t(e)=\left(\int_0^t e(u)\,dW_u\right)^2-\int_0^te^2(u)\,du,
$$
sztochasztikus folyamat lok\'alis marting\'al. (Ez a $[0,T]$ 
intervallumban érvényes, ha $e$ a $[0,T]$ intervallumban van 
defini\'alva, \'es a $[0,\infty)$ f\'elegyenesen, ha $e$ ott 
van defini\'alva.)

Valóban, definiáljuk a következő valószínűségi változókat minden
$n=1,2,\dots$ számra. Legyen 
$\tau_n^*=\min(t\colon\; \int_0^t e^2(u)\,du=n)$,
ha van ilyen $t$ időpont, és $\tau_n^*=\infty$, ha ilyen $t$ 
időpont nem létezik. Legyen $\tau_n=\min(\tau_n^*,T)$, ha
az $e$ sztochasztikusfolyamat a $[0,T]$ intervallumon, és 
$\tau_n=\min(\tau_n^*,n)$ ha az $e(t)$ sztochasztikus folyamat
a $[0,\infty)$ félegyenesen van definiálva. Ekkor a $\tau_n$, 
$n=1,2,\dots$, valószínűségi változók, a lokális martingál 
definiciójában szereplő feltételeket teljesítő meg\-állá\-si idők. 
Legyen $f_n(u)$, az $\{\omega\colon\;\tau_n(\omega)\le u\}$ halmaz
indikátor függvénye minden $u\ge0$ sz\'am\-ra. Ekkor $ef_n\in{\cal H}$, 
és az 
$$
I^{(n)}_t(e)=\int_0^{\min(t,\tau_n)}e(u)\,dW_u=\int_0^t e(u)f_n(u)\,dW_u
$$
szto\-chasz\-ti\-kus folyamat lokális martingál. Hasonlóan, a
$$
J^{(n)}_t(e)=\left(\int_0^{\min(t,\tau_n)} e(u)\,dW_u\right)^2-
\int_0^{\min(t,\tau_n)}e^2(u)\,du 
$$
sztochasztikus folyamat szintén lokális martingál.

\medskip
A McKean könyv az It\^o integráloknak számos egyéb tulajdonságát tárgyalja.
Ezek közül egyet ismertetek, mert ez megmutatja az It\^o integrálok
egyik fontos tulajdonságát. Az eredmény bizonyítását nem ismertetem,
megelégszem annak egy heurisztikus magyarázatával.

Legyen adva egy $e\in{\cal H}'$ sztochasztikus folyamat. Tekintsük az
\hfill\break 
${X}(t)=\int_0^t e(u)\,dW_u$ It\^o integrált, ($t\ge0$), valamint
a $\tau(t)=\int_0^t e^2(u)\,du$ szto\-chasz\-ti\-kus folyamatot, és 
annak $\tau^{-1}(t)=\min(s\colon\; \tau(s)=t)$ baloldali inverzét 
a $t<\tau(\infty)$ időpontokra, (azaz a $\tau^{-1}(t)$ megállási 
időpont, $t\ge0$, nincs felt\'etlen\"ul minden $\omega\in\Omega$ 
pontban defini\'alva). Az ismertetendő eredmény azt mondja, hogy az 
$a(t)={X}(\tau^{-1}(t))$ szto\-chasz\-ti\-kus folyamat Wiener folyamat  
a $t<\tau(\infty)$ idő\-pon\-tok\-ra meg\-szo\-rít\-va, azaz 
létezik egy olyan $Z(t)$, $t\ge0$, Wiener folyamat, amelyre 
$a(t)={X}(\tau^{-1}(t))=Z(t)$, ha $t<\tau(\infty)$. 
Ezt a tényt szokás úgy interpretálni, hogy az ${X}(t)$ 
It\^o integr\'al meg\-egye\-zik egy új Wiener folyamattal $\tau(t)$ 
belső idővel (\'orával) az ${X}(t)$ folyamatra.

Ezen eredménynek megadom egy heurisztikus magyarázatát Paul L\'evynek
a Wiener folyamatokra adott következő jellemzésének  a segítségével. 
Egy  $X(t)$, $X(0)\equiv0$, sztochasztikus folyamat Wiener folyamat, 
ha $X(t)$  és $X^2(t)-t$ mar\-tin\-gál, és az $X(t)$
sztochasztikus folyamat trajektóriái 1 valószínűséggel folytonos 
függvények.

Az $a(t)=X(\tau^{-1}(t))$ sztochasztikus folyamat trajekt\'ori\'ai 
folytonos f\"ugg\-v\'e\-nyek, mert, ha $t-s$  kicsi , akkor  
$\tau^{-1}(t)-\tau^{-1}(s)=\int_s^t e^2(u)\,du$, \'es 
$$
a(t)-a(s)=X(\tau^{-1}(t)-X(\tau^{-1}(s))=\int_s^t e(u)\,dW_u
$$ 
is kicsi  nagy valószínűséggel. 

Tov\'abb\'a $a(t)=\int_0^{\tau^{-1}(t)}e(u)\,dW_u$ \'es
$$
a(t)^2-t=\left(\int_0^{\tau^{-1}(t)}e(u)\,dW_u\right)^2
-\int_0^{\tau^{-1}(t)}e^2(u)\,du
$$ 
marting\'al.  Be lehet ugyanis látni, hogy a $e\in{\cal H}$ sztochasztikus 
folyamatok It\^o integr\'aljaira érvényes martingál tulajdonságok ilyen 
megállási szabályok esetén is érvényesek.

\vfill\eject

\section{Kiegészítés}

Legyen adva egy $W(t)$, $0\le t<\infty$, Wiener folyamat, egy 
${\cal F}_t$, $0\le t<\infty$, filtráció egy $(\Omega,{\cal A},P)$ 
valószínűségi mezőn és egy $K=K(t,\omega)$, $0\le t<\infty$, 
$\omega\in\Omega$, az ${\cal F}_t$ filtrációra adaptált 
sztochasztikus folyamat, amelyre az
$[M](t)=\int_0^t K^2(u,\omega)\,du$, $t>0$, (véletlen) integrál 
teljesíti a $P([M](t)<\infty)=1$ relációt minden $t>0$ számra. 
Definiáljuk az $M(t)=\int_0^t K(u)\,dW_u$, It\^o integrált és az 
\begin{eqnarray*}
{\cal E}(M)(t)=\exp\left\{M(t)-\frac12[M](t)\right\}
&=&\exp\left\{\int_0^t K(u)\,dW_u-\frac12\int_0^t K^2(u)\,du\right\}, \\ 
&&\qquad\qquad t\ge0,
\end{eqnarray*}
úgynevezett Doléans--exponenciális függvényt. Arra vagyunk kiváncsiak,
hogy ez a Do\-léans--exponenciális függvény mikor martingál.

Megjegyzem, hogy minden egyszerű folyamat Doléans--exponenciális
függ\-vé\-nye mar\-tin\-gál, és ${\cal E}(M)$ mindig folytonos 
trajektóriájú, pozitív értékű szupermartingál. Ezt nem nehéz 
látni annak a ténynek az alapján, hogy minden 
Doléans--ex\-po\-nen\-ciá\-lis függvény előállíthat\'o, mint 
pozitív martingálok, (mint egyszerű folyamatok 
Doléans--ex\-po\-nen\-ciá\-lis függgvényének) a limesze, és a 
konvergencia minden véges $[0,t]$ intervallumban 1 valószínűséggel 
egyenletes. Továbbá, ${\cal E}(M)$  lokális martingál, mert az 
It\^o formula segítségével ${\cal E}(M)$ felírható, mint 
${\cal E}(M)(t)=1+\int_0^t K(u){\cal E}(M)(u)\,dW_u$, tehát mint 
egy Wiener folyamat szerinti It\^o integrál plusz egy konstans.

Azért foglalkoznak sokat azzal a kérdéssel, hogy egy Doléans--exponenciális
függvény mikor martingál, mert ez olyan fontos eredményeknek szerepel
a fel\-té\-te\-lei között, mint a Girsanov formula. Másrészt egy 
Doléans--exponenciális függ\-vény mindig ``majdnem martingál'', és az 
érdekel minket, hogy mi kell ahhoz, hogy az ne csak majdnem, hanem valódi
martingál legyen. Alekszandr No\-vi\-kov bizonyította a következő hasznos
eredményt.

\medskip\noindent
{\bf Novikov tétele.} {\it Ha az
\begin{equation}
E\left(\exp\left\{\frac12[M](t)\right\}\right)
=E\left(\exp\left\{\frac12\int_0^t K^2(u)\,du\right\}\right)<\infty 
\quad \textrm{ minden } t\ge 0 \textrm{ számra}  \label{A1}
\end{equation}
feltétel teljesül, akkor ${\cal E}(M)$  martingál.}

\medskip
Ezt a tételt két lemma segítségével bizonyítjuk be. Először bebizonyítjuk
az (\ref{A1}) reláció egy hasznos következményét.

\medskip\noindent
{\bf  1. Lemma.} {\it  Rögzítsünk egy $c<\infty$ számot, és jelölje $T_c$
a $c$ számnál kisebb megállási idők halmazát, azaz legyen
\begin{equation}
T_c=\{\tau\colon\: \tau \textrm{ megállási idő, és } P(\tau\le c)=1\}
\label{A2}. 
\end{equation}
Ha teljesül a (\ref{A1}) reláció, akkor a
$$
\sup_{\tau\in T_c}E\left(\exp\left\{\frac12 M(\tau)\right\}\right)
=\sup_{\tau\in T_c}E\left(\exp\left\{\frac12\int_0^\tau K(u)dW_u\right\}\right)
<\infty
$$
egyenlőtlenség is teljesül minden $c>0$ sz\'amra.}

\medskip\noindent
{\it Az 1. Lemma bizonyítása.}\/
Legyen $\tau\in T_c$ megállási idő. Ekkor
\begin{eqnarray*}
\exp\left\{\frac12M(\tau)\right\}
&=&\exp\left\{\frac12M(\tau)-\frac14[M](\tau)\right\}
\exp\left\{\frac14[M](\tau)\right\} \\
&\le&\exp\left\{\frac12M(\tau)-\frac14[M](\tau)\right\}
\exp\left\{\frac14[M](c)\right\},
\end{eqnarray*}
mert $[M](\tau)\le [M](c)$, ha $\tau\in T_c$. Továbbá
$$
E {\cal E}(M)(\tau)\le E {\cal E}(M)(0)=1,
$$
mert ${\cal E}(M)$ pozitív, folytonos trajektóriájú szupermartingál.

Ezért, az előző egyenlőtlenségben várható értéket véve, majd alkalmazva
a Cauchy--Schwarz egyenlőtlenséget azt kapjuk, hogy
\begin{eqnarray*}
E\exp\left\{\frac12M(\tau)\right\}
&\le&\left(E\exp\left\{{\cal E}(M)(\tau)\right\}\right)^{1/2}
\left(E\exp\left\{\frac12[M](c)\right\}\right)^{1/2} \\
&\le& \left(E\exp\left\{\frac12[M](c)\right\}\right)^{1/2}. 
\end{eqnarray*}

Viszont $E\exp\left\{\frac12[M](c)\right\}<\infty$ az (\ref{A1}) 
reláció teljesülése miatt. Innen kö\-vet\-ke\-zik az 1.~Lemma állítása. 


\medskip
Az 1. lemma azért volt hasznos, mert lehetőve teszi a következő 
2. lemma alkalmazását.

\medskip\noindent
{\bf 2. Lemma.} {\it Legyenek $p$ \'es $q$ olyan $1\le p,q<\infty$
sz\'amok, amelyekre $\frac1p+\frac1q=1$.
Ha minden $c>0$ sz\'amra
\begin{equation}
\sup_{\tau\in T_c}\left(E \exp\left\{\frac{\sqrt p}{2(\sqrt p-1)} 
M(\tau)\right\} \right)<\infty, \label{A3}
\end{equation}
ahol $T_c$ a (\ref{A2}) formul\'aban van defini\'alva, akkor 
${\cal E}(M)$ $L_q$ martingál, azaz olyan martingál, amely
elemeinek véges a $q$-ik momentuma.}

\medskip
Számunkra az 1. és 2. lemma alább megfogalmazott következménye
lesz érdekes. Ezen eredmény megfogalmazása előtt az alábbi 
megjegyzést teszem.

Bevezetem a k\"ovetkez\H{o} jel\"olést. Ha adva van egy valós
$a$ szám, akkor te\-kint\-sük az $aM$, $[aM]$  és ${\cal E}(aM)$ 
kifejezéseket is, amelyeket úgy definiálunk, hogy a definicióban 
a $K(u)$  magfüggvényt az $aK(u)$ magfüggvénnyel 
he\-lyet\-te\-sít\-jük. Tehát legyen $aM(t)=\int_0^t (aK(u))\,dW_u$, 
$[aM](t)=\int_0^t(aK(u))^2\,du$, $t\ge0$, és \hfill\break 
${\cal E}(aM)=\exp\{aM-\frac12[aM]\}$.

\medskip\noindent
{\bf K\"ovetkezm\'eny.} {\it Teljesüljön a (\ref{A1}) reláció, és 
legyen adva egy $0<a<1$ szám. Ekkor ${\cal E}(aM)$ $q$-martingál a
$q=\frac1{2a-a^2}$ számmal.} 

\medskip\noindent
{\it  A 2. lemma bizonyítása.}\/
 Tekintsünk egy $\tau\in T_c$ megállási időt, és definiáljuk az
$$
u=\frac{\sqrt p+1}{\sqrt p-1} \textrm{ és } v=\frac{\sqrt p+1}2
$$
számokat. Ekkor $u>1$, $\frac1u+\frac1v=1$ és
$$
\left(q-\sqrt{\frac qu}\right)v=\frac{\sqrt p}{2(\sqrt p-1)}.
$$

Mivel
$$
{\cal E}(M)(\tau)^q=\exp\left\{\sqrt{\frac qu}M(\tau)
-\frac q2[M](\tau)\right\}
\exp\left\{\left(q-\sqrt{\frac qu}\right)M(\tau)\right\},
$$
a Hölder egyelőtlenség azt adja, hogy
\begin{eqnarray*}
E{\cal E}(M)(\tau)^q &\le& \left(E\exp\left\{\sqrt{qu}M(\tau)
-\frac {qu} 2[M](\tau)\right\}\right)^{1/u} \\
&& \qquad \left(E\exp\left\{\left(q-\sqrt{\frac qu}\right)vM(\tau)
\right\}\right)^{1/v}\\
&=& \left(E{\cal E}(\sqrt{qu}M(\tau)\right)^{1/u}
\left(E\exp\left\{\left(\frac{\sqrt p}{2(\sqrt p-1)}\right)
M(\tau)\right\}\right)^{1/v},
\end{eqnarray*}
ahol az ${\cal E}(\sqrt{qu}M)$ az ${\cal E}(\cdot)$ Doléans--exponens
függvényt jelöli, ha abban az ${\cal E}(M)$ kifejezést definiáló 
$K(\cdot)$ magfüggvény helyett a $\sqrt{qu}K(\cdot)$ mag\-függ\-vényt 
vá\-laszt\-juk.

Mivel ${\cal E}(\sqrt{qu}M)$ pozitív, folytonos trajektóriájú
szupermartingál
$$
E{\cal E}(\sqrt{qu}M)(\tau)\le E{\cal E}(\sqrt{qu}M)(0)=1,
$$
ahonnan az (\ref{A3}) feltétel teljesülése esetén az előző 
egyenlőtlenség alapján
$$
\sup_{\tau\in T_c} E{\cal E}(M)(\tau)^q<\infty.
$$

Mivel $q>1$, innen következik hogy az 
$\{{\cal E}(M)(\tau)\colon\; \tau\in T_c\}$ valószínűségi változók
halmaza egyenletesen integrálható. Ezért a martingálok általános 
el\-mé\-le\-té\-ből következik, hogy ${\cal E}(M)$ nemcsak lokális 
martingál, hanem martingál is. (Azt használjuk ki, hogy az egyenletes
integrálhatóság lehetővé teszi, hogy a martingál tulajdonságot
biztosító azonosságokat megkapjuk a lokális martingál tulajdonságokat
biztosító azonosságokból alkalmas limeszeléssel.) A 2.~lem\-mát beláttuk.

\medskip\noindent
{\it A következmény bizonyítása.}\/ Az 1. lemma eredményéből következik,
hogy a 2. lemma feltétele teljesül a Novikov tétel feltételei mellett,
ha azt az ${\cal E}(M)$ Doléans--integrál függvény helyett az
${\cal E}(aM)$ Doléans--integrál függvényre alkalmazzuk, $0<a<1$, 
és olyan $p$ paramétert választunk, amelyre 
$\frac1{2a}=\frac{\sqrt p}{2(\sqrt p-1)}$. Ezért a következmény
állítása érvényes $q=\frac p{p-1}=\frac1{2a-a^2}$ választással. 

\medskip\noindent
{\it A Novikov tétel bizonyítása.}\/ Elég azt belátni, hogy 
${\cal E}(M)(t)\ge1$, minden $t>0$ számra, mert ${\cal E}(M)$ 
szupermartingál, ${\cal E}(M)(0)=1$, és  ${\cal E}(M)$ akkor és 
csak akkor martingál, ha ${\cal E}(M)(t)=1$ minden $t>0$ számra. 
De ennek igazolásához elég bebizonyítani az előbb megfogalmazott 
egyenlőtlenséget.

Ezen egyenlőtlenség bizonyításában fel fogjuk használni, hogy a tétel
fel\-té\-te\-lé\-nek teljesülése esetén $E{\cal E}(aM)(t)=1$ minden 
$0<a<1$ és $t>0$ számra. Fel\-ír\-hat\-juk, hogy
$$
{\cal E}(aM)(t)=({\cal E}(M)(t))^{a^2}\exp\{a(1-a)M(t)\}.
$$

Ebben az azonosságban várható értéket véve, majd a Hölder 
egyen\-lőt\-len\-sé\-get alkalmazva $p=\frac1{1-a^2}$ és 
$q=\frac1{a^2}$ választással azt kapjuk, hogy
\begin{eqnarray*}
1=E{\cal E}(aM)(t)&\le& 
\left(E{\cal E}(M)(t))^{a^2q}\right)^{1/q}
\left(E\exp\{a(1-a)pM(t)\}\right)^{1/p}\\
&=&\left(E{\cal E}(M)(t)\right)^{a^2}
\left(E\exp\left\{\frac a{1+a}M(t)\right\}\right)^{1-a^2}\\
&=&\left(E{\cal E}(M)(t)\right)^{a^2}
\left(E\exp\left\{\frac12M(t)\right\}^{2a/(1+a)}\right)^{1-a^2}.
\end{eqnarray*}

A k\"ovetkező lépésben az előbbi egyenlőtlenség jobboldalán levő
szorzat má\-so\-dik tagját becsüljük meg az $E\exp\{\frac12M(t)\}$ 
kifejezés segítségével. Ebben a becs\-lés\-ben kihasználjuk, hogy 
$u=\frac{2a}{1+a}<1$, ezért a Hölder egyenlőtlenség a 
következő becs\-lést adja.
$$
\left(E\exp\left\{\frac12 M(t)\right\}^u\right)^{1/u}\le 
E\exp\left\{\frac12M(t)\right\},
$$
ezért
$$
\left(E\exp\left\{\frac12 M(t)\right\}^u\right)^{1-a^2}\le 
\left(E\exp\left\{\frac12M(t)\right\}\right)^{2a(1-a)}. 
$$

Innen az előző egyenlőtlenség alapján
$$
1\le\left(E{\cal E}(M)(t)\right)^{a^2}
\left(E\exp\left\{\frac12M(t)\right\}\right)^{2a(1-a)}. 
$$
Vegyük az $a\to1$ határértéket az utolsó egyenlőtlenségben. Ekkor
a jobb\-ol\-da\-li szorzat második tagja $1$-hez konvergál a (\ref{A1})
feltétel miatt, és azt kapjuk, hogy  $1\le E{\cal E}(M)(t)$.
Viszont, mint a bizonyítás elején megjegyeztük, innen következik
a Novikov tétel állítása.



\end{document} 


