\documentclass[12pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}

\usepackage{amssymb,amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{epsfig,wrapfig}
\usepackage{mathptmx}
\usepackage{helvet}
\usepackage{courier}




\begin{document}

\centerline{\bf Az iterált logaritmus tétel Wiener folyamatokra}

\medskip
Ismertetem röviden az iterált logaritmus tételt Wiener-folyamatokra.
Meg\-adom a bizonyításban felhasznált fő állításokat, de t\"obb 
\'all\'{\i}t\'as bizonyításának a kidolgozását az olvasóra bízom. 
Először megfogalmazom az iterált logartimus tételt.

\medskip\noindent
{\bf Iterált logaritmus tétel Wiener folyamatokra.}
{\it Legyen adva a szám\-egye\-ne\-sen egy $W(t)=W(t,\omega)$, $t\ge0$, 
Wiener folyamat. Ekkor 
$$
\limsup_{t\to\infty}\frac{|W(t)|}{\sqrt{2t\log \log t}}=1\quad 1  
\textrm{ valószínűséggel.}
$$
}

\medskip\noindent
{\it Megjegyzés.} A bizonyításból az is kiderül, hogy minden $-1\le s\le 1$
sz\'amra létezik 1 valószínűséggel olyan $t_n=t_n(\omega)\to\infty$ ha 
$n\to\infty$,  sorozat, amelyre \hfill\break
$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{W(t_n,\omega)}
{\sqrt{2t_n(\omega)\log \log t_n(\omega)}}=s$.

\medskip 
Az iterált logaritmus tétel vizsgálatában szükségünk van egy olyan 
ered\-mény\-re, amely arról szól, hogy adva megszámlálhatóan végtelen 
sok $A_1,A_2,\dots$ ese\-mény mikor mondhatjuk, hogy ezek közül csak 
véges sok illetve hogy végtelen sok kö\-vet\-ke\-zik be. Erről szól az 
alábbi Borel--Cantelli lemma.

\medskip\noindent
{\bf Borel--Cantelli lemma.} {\it Legyen adva egy 
$(\Omega,\cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n
v\'eg\-te\-len sok $A_1,A_2,\dots$ esem\'eny. A k\"ovetkez\H{o} k\'et
\'all\'{\i}t\'as igaz:

\noindent
{a.)} Ha $\sum_{n=1}^\infty P(A_n)<\infty$, akkor
$$
P\left(\bigcap_{n=1}^\infty \bigcup_{k=n}^\infty A_k\right)=0,
$$
azaz ebben az esetben egy va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel csak
v\'eges sok $A_n$ esem\'eny k\"ovetkezik be.

\noindent
{b.)} Ha $\sum_{n=1}^\infty P(A_n)=\infty$, \'es az $A_n$,
$n=1,2,\dots$, esem\'enyek f\"uggetlenek, akkor
$$
P\left(\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{k=n}^\infty A_k\right)=1,
$$
azaz ebben az esetben egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel v\'egtelen sok
$A_n$ esem\'eny k\"ovetkezik be.

}\medskip
Megjegyzem, hogy a lemma b) részében a végtelen sok $A_n$ esemény 
be\-kö\-vet\-ke\-zé\-sé\-hez nem elegendő az, hogy a megfelelő 
összeg divergáljon, az is kell, hogy ezek az $A_n$ események 
függetlenek legyenek egym\'ast\'ol. Ez utóbbi feltételt lehet 
gyen\-gí\-te\-ni, de nem lehet teljesen elhagyni. 

\medskip
Szükségünk van jó becslésekre a $P(W(T)>x)$ \'es 
$P\left(\sup_{0\le t\le T}W(t)>x\right)$ va\-ló\-szí\-nű\-sé\-gek\-re, ahol
$W(t)$, $t\ge0$, Wiener folyamat, $x>0$.

Tudjuk, hogy $(W(T)>x)=P\left(\frac{W(T)}{\sqrt T}>\frac x{\sqrt T}\right)
=1-\Phi\left(\frac x{\sqrt T}\right)$, ahol $\Phi(x)$ a standard 
norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny. Viszont a Borel--Cantelli 
lemma alkalmaz\'asakor szeretn\'enk tudni, hogy a 
$\sum(1-\Phi(x_n))$ \"osszeg milyen $x_n$,
$n=1,2,\dots$ sorozatokra konvergens, \'es milyen $x_n$, $n=1,2,\dots$
sorozatokra divergens. Ez\'ert hasznos sz\'amunkra a k\"ovetkez\H{o}
becsl\'es.

\medskip\noindent
{\it Becsl\'es a norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny 
viselked\'es\'er\H{o}l.}\/ Minden $x>0$ sz\'amra
$$
\left(\frac1x-\frac1{x^3}\right)\varphi(x)<1-\Phi(x)<\frac1x \varphi(x),
$$
ahol $\Phi(x)$ \'es $\varphi(x)$ a standard norm\'alis eloszl\'as \'es
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny.

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/ Parci\'alis integr\'al\'assal kapjuk, 
hogy minden $x>0$ sz\'amra
\begin{eqnarray*}
\sqrt{2\pi}(1-\Phi(x))&=&\int_x^\infty e^{-u^2/2}\,du
=\int_x^\infty \frac1u  \left(u e^{-u^2/2}\right)\,du\\
&=&
\int_x^\infty \frac1u \frac d{du} \left(- e^{-u^2/2}\right)\,du
=\frac1x e^{-x^2/2}-\int_x^\infty\frac1{u^2} e^{-u^2/2}\,du \\
&=&\frac1x e^{-x^2/2}-\int_x^\infty\frac1{u^3} \left(ue^{-u^2/2}\right)\,du\\
&=&\frac1x e^{-x^2/2}-\frac1{x^3}e^{-x^2/2}+
\int_x^\infty\frac3{u^4} e^{-u^2/2}\,du.
\end{eqnarray*}
Az $1-\Phi(x)$ kifejez\'esre a m\'asodik sorban kapott kifejez\'esb\H{o}l
azt kapjuk, hogy $\frac1x \varphi(x)>1-\Phi(x)$, a negyedik sorban 
kapott kifejez\'esb\H{o}l pedig azt, hogy \hfill\break
$\left(\frac1x-\frac1{x^3}\right)\varphi(x)<1-\Phi(x)$.

Szükségünk van jó felső becslésre a
$P\left(\sup_{0\le t\le T}W(t)>x\right)$ va\-ló\-szí\-nű\-ség\-re.
Valójában a Wiener folyamatokra \'erv\'enyes még nem tanult erős 
Markov tulajdonság segítségével meg lehet mutatni, hogy
$$
P\left(\sup_{0\le t\le T}W(t)>x\right)=2P\left(W(T)>x\right),
\quad\textrm{ ha }x>0.
$$ 
Ehelyett a martingálokról tanult eredmények alapján adunk jó 
felső becslést. Azt fogjuk felhasználni, hogy 
$Z(t)=e^{\alpha W(t)-\alpha^2t/2}$, $t\ge0$, martingál minden $\alpha>0$ 
számra. Ezut\'an a martingálokról tanultak alapján tudunk jó becslést
adni a vizs\-gá\-lan\-d\'o valószínűségre. 

Vegyük észre, hogy
\begin{eqnarray*}
&&\left\{\omega\colon\;\sup_{0\le t\le T}W(t,\omega)>x\right\} \\
&&\qquad =\{\omega\colon\;\alpha W(t,\omega)-\alpha^2t/2
>\alpha x-\alpha^2t/2 \textrm{ valamely } 
0\le t\le T \textrm{ számra}\} \\
&&\qquad \subset\{\omega\colon\;\alpha W(t,\omega)-\alpha^2t/2
>\alpha x-\alpha^2T/2\textrm{ valamely } 0\le t\le T 
\textrm{ számra}\}  \\
&&\qquad=\left\{\omega\colon\;\sup_{0\le t\le T}e^{\alpha W(t,\omega)-\alpha^2t/2}>
e^{\alpha x-\alpha^2T/2}\right\},
\end{eqnarray*}
ez\'ert
$$
P\left(\sup_{0\le t\le T}W(t)>x\right)
\le P\left(\sup_{0\le t\le T} e^{\alpha W(t)-\alpha^2 t/2}
>e^{\alpha x-\alpha^2 T/2}\right),
$$ 
\'es mivel $Z(t)=e^{\alpha W(t)-\alpha^2t/2}$, $0\le t\le T$ egy folytonos 
trajektóriájú, pozitív értékű martingál, amelyikre $EZ(T)=EZ(0)=1$
innen k\"ovetkezik, hogy
$$
P\left(\sup_{0\le t\le T}W(t)>x\right)
\le P\left(\sup_{0\le t\le T} Z(t)>e^{\alpha x-\alpha^2 T/2}\right)
\le \frac {EZ(T)}{e^{\alpha x-\alpha^2T/2}}=e^{\alpha^2 T/2-\alpha x}
$$ 
minden $\alpha>0$ sz\'amra.

Az optim\'alis $\alpha=\frac xT$ v\'alaszt\'assal azt kapjuk, hogy
$$
P\left(\sup_{0\le t\le T}W(t)>x\right)\le \exp\left\{-\frac{x^2}{2T}\right\}
\textrm{ minden } T>0 \textrm{ és } x>0 \textrm{ számra.}
$$

\medskip
Először a következő egyenlőtlenséget látjuk be.
\begin{equation}
\limsup_{t\to\infty}\frac{|W(t)|}{\sqrt{2t\log \log t}}\le1\quad 1  
\textrm{ valószínűséggel.} \label{1}
\end{equation}

Minden $T>0$ számra igaz a következő egyenlőtlenség:
$$
P\left(\sup_{0\le t\le T} W(t)\ge (1+\varepsilon)\sqrt{2T\log\log T}\right)
\le(\log T)^{-(1+\varepsilon)^2}.
$$
Válasszunk valamilyen $D>1$ számot, és alkalmazzuk ezt az egyenlőtlenséget 
minden $T_n=D^n$, $n=1,2,\dots$, számra. Mivel $\log D^n=n\log D$ azt kapjuk, 
hogy
$$
\sum_{n=1}^\infty P\left(\sup_{0\le t\le T_n} W(t)\ge (1+\varepsilon)
\sqrt{2T_n\log\log T_n}\right)\le \textrm{const.}
\sum_{n=1}^\infty n^{-(1+\varepsilon)^2}<\infty.
$$
Ez\'ert a Borel--Cantelli lemma alapj\'an majdnem minden $\omega$ elemi
esem\'enyre l\'e\-te\-zik olyan $N(D,\varepsilon,\omega)$ k\"usz\"obindex
amelyre
$$
\sup_{0\le t\le T_n} W(t,\omega)\le (1+\varepsilon)
\sqrt{2T_n\log\log T_n},\quad \textrm{ ha } n\ge N(D,\varepsilon,\omega).
$$
Legyen $D=1+\delta$ egy el\'eg kis $\delta>0$ sz\'ammal. Ekkor
$\sqrt{2T_n\log\log T_n}\le(1+\frac\varepsilon2) 
\sqrt{2t\log\log t}$, ha $T_{n-1}\le t\le T_n$, \'es majdnem minden
$\omega$ elemi esem\'enyre l\'etezik olyan $T=T_0(\varepsilon,\omega)$
k\"usz\"obindex, amelyre
$$
\sup_{0\le t\le T} W(t,\omega)\le (1+2\varepsilon)
\sqrt{2T\log\log T} \textrm{ ha } T\ge T_0(\varepsilon,\omega).
$$
Ugyanez az egyenlőtlenség akkor is érvényes, ha a $W(t,\omega)$ 
Wiener folyamatot a $-W(t,\omega)$ Wiener folyamattal helyettesítjük. 
Mivel ezek a relációk minden $\varepsilon>0$
számra igazak, innen következik a (\ref{1}) reláció.

Belátjuk a
\begin{equation}
\limsup_{t\to\infty}\frac{W(t)}{\sqrt{2t\log \log t}}\ge1\quad 1  
\textrm{ valószínűséggel.} \label{2}
\end{equation}
relációt is. Az (\ref{1}) és (\ref{2}) relációból következik az
iterált logaritmus tétel.

\medskip
Rögzítsünk egy $\varepsilon>0$ számot, válasszunk egy tőle 
függő elég nagy $D=D(\varepsilon)$ számot, és definiáluk a 
$Z_n(\omega)=W(D^n,\omega)-W(D^{n-1},\omega)$, $n=1,2,\dots$, 
valószínűségi változókat. Azt állítom, hogy 1 valószínűséggel 
végtelen sok olyan $n_k=n_k(\omega)$ index van, amelyekre
$$
Z_{n_k}(\omega)\ge (1-\varepsilon)\sqrt{2D^{n_k}\log\log D^{n_k}}.
$$
Valóban, elég nagy $n$ indexre
$$
P\left(Z_{n}(\omega)\ge \left(1-\frac\varepsilon2\right)
\sqrt{2(D^{n}-D^{n-1})\log\log (D^{n}-D^{n-1})}\right)\ge n^{-(1-\varepsilon/3)},
$$
ezért
$$
\sum_{n=1}^\infty P\left(Z_{n}(\omega)\ge \left(1-\frac\varepsilon2\right)
\sqrt{2(D^{n}-D^{n-1})\log\log (D^{n}-D^{n-1})}\right)=\infty,
$$
és mivel a $Z_n$ valószínűségi változók függetlenek, innen következik, hogy
az $\omega$ ele\-mi események 1 valószínűségű halmazára létezik
végtelen sok $n_k=n_k(\omega)$ index úgy, hogy
$$
Z_{n_k}(\omega)\ge 
\left(1-\frac\varepsilon2\right)
\sqrt{2(D^{n_k}-D^{n_k-1})\log\log (D^{n_k}-D^{n_k-1})}.
$$
Ha a $D$ számot elég nagynak választjuk, akkor
$$
\left(1-\frac\varepsilon2\right)
\sqrt{2(D^{n_k}-D^{n_k-1})\log\log (D^{n_k}-D^{n_k-1})}\ge
(1-\varepsilon) \sqrt{2D^{n_k}\log\log D^{n_k}}
$$
minden el\'eg nagy $n_k$ indexre, ez\'ert 1 valószínűséggel
$$
Z_{n_k}(\omega)\ge (1-\varepsilon)\sqrt{2D^{n_k}\log\log D^{n_k}}
$$
végtelen sok $n_k=n_k(\omega)$ indexre.
Továbbá az (\ref{1}) reláció alapján majdnem minden $\omega$-ra
létezik olyan $N_0=N_0(\omega)$ index, hogy
$$
|W(D^{n-1},\omega)|\le 2\sqrt{D^{n-1}\log\log D^{n-1}}\le\varepsilon
\sqrt{2D^n\log\log D^n},
$$
ha $n\ge N_0$. Ezért 1 valószínűséggel
$$
W(D^{n_k},\omega)=Z_{{n_k}}(\omega)+W(D^{n_k-1},\omega)\ge(1-2\varepsilon)
\sqrt {2D^{n_k}\log\log D^{n_k}}
$$
végtelen sok $n_k=n_k(\omega)$ indexre, ahonnan
$$
\limsup_{t\to\infty}\frac{W(t,\omega)}{\sqrt{2t\log\log t}}\ge (1-2\varepsilon)
\quad 1 \textrm{ valószínűséggel.}
$$
Mivel ez az állítás minden $\varepsilon>0$ számra igaz, innen 
következik a (\ref{2}) reláció. 

\medskip
A bizonyítás kis módosításával be lehet látni az iter\'alt
logaritmus t\'etel kö\-vet\-ke\-ző változatát is.

\medskip\noindent
{\bf Iterált logaritmus tétel független standard normális eloszlású
valószínűségi változók részletösszegeire.}
{\it Legyenek $X_1,X_2,\dots$, független, standard normális
eloszlású valószínűségi változók, $S_n=\sum_{k=1}^n X_k$, 
$n=1,2,\dots$. Ekkor
\begin{equation}
\limsup_{n\to\infty}\frac{|S_n|}{\sqrt{2n\log \log n}}=1\quad 1  
\textrm{ valószínűséggel.} \label{3}
\end{equation}
}

\medskip
Természetes m\'odon felmerül a következő kérdés. Legyenek
$X_1,X_2,\dots$, füg\-get\-len egyforma eloszlású val\'osz\'{\i}nűségi 
változók, és definiáljuk e v\'altoz\'ok $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$, $n=1,2,\dots$, 
részletösszegeit. Független egyforma eloszlású va\-ló\-sz\'{\i}\-nűsé\-gi
változók milyen $X_1,X_2,\dots$  sorozatára igaz az iterált 
logaritmus tétel, azaz e va\-lós\-z\'{\i}\-n\H{u}\-sé\-gi változók 
részletösszegei mikor teljesitik a (\ref{3}) relációt. Be lehet látni, 
hogy ha $EX_1^2<\infty$, és $EX_1=0$, akkor az $X_1,X_2,\dots$ 
sorozatra igaz az iterált logaritmus tétel. M\'asr\'eszt, ha 
$EX_1^2=\infty$, akkor az $X_1,X_2,\dots$ sorozatra nem igaz az 
iterált logaritmus tétel. Ez k\"ovetkezik az al\'abbi feladatok
eredm\'enyeib\H{o}l is.


\medskip\noindent
{\it  Feladatok:}

\medskip\noindent 
(a) $E|X|<\infty$ az $X$ val\'osz\'{\i}nűségi 
változóra akkor \'es csak akkor, ha \hfill\break 
$\sum_{n=1}^\infty P(|X_1|>n)<\infty$. 

\medskip\noindent 
(b) $E|X|^r<\infty$ az $X$ val\'osz\'{\i}nűségi 
változóra valamely $r>0$ sz\'ammal akkor \'es csak akkkor, 
ha $\sum_{n=1}^\infty P(|X_1|>n^{1/r})<\infty$. 

\medskip\noindent
(c) Legyen $EX^2=\infty$, \'es legyenek $X_1,X_2,\dots$, 
füg\-get\-len egyforma eloszlású va\-l\'o\-sz\'{\i}\-nűsé\-gi 
változók, amelyek eloszl\'asa megegyezik az $X$ 
val\'osz\'{\i}nűségi változó el\-osz\-lá\-s\'a\-val. Mutassa 
meg, hogy egy val\'osz\'{\i}nűséggel v\'egtelen sok olyan 
$n_k=n_k(\omega)$ index van, amelyekre 
$|X_{n_k}(\omega)|>\sqrt {n_k}$. S\H{o}t, tetsz\H{o}leges 
$C>0$ sz\'amra egy val\'osz\'{\i}nűséggel v\'egtelen sok 
olyan  $n_k=n_k(\omega)$ index van, amelyekre 
$|X_{n_k}(\omega)|>C\sqrt {n_k}$. 

\medskip\noindent
(d) Legyenek $X_1,X_2,\dots$, füg\-get\-len egyforma eloszlású 
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-nűsé\-gi változók, \'es legyen $EX_1^2=\infty$.
Defini\'aljuk az $S_n=\sum_{k=1}^n X_k$ r\'eszlet\"osszegeket.
Mutassa meg, hogy 
$$
\limsup_{n\to\infty}\frac{|S_n|}{\sqrt n}=\infty\quad 1  
\textrm{ valószínűséggel.} 
$$




\end{document}



