Az iterált logaritmus tétel Wiener folyamatokra

Ismertetem röviden az iterált logaritmus tételt Wiener-folyamatokra. Megadom a bizonyításban felhasznált fő állításokat, de több állítás bizonyításának a kidolgozását az olvasóra bízom. Először megfogalmazom az iterált logartimus tételt.

Iterált logaritmus tétel Wiener folyamatokra. Legyen adva a számegyenesen egy W (t) = W (t,ω), t ≥ 0, Wiener folyamat. Ekkor

limsup_{t→∞}\frac{|W (t)|}{\sqrt{2t loglogt}}= 1 1 valószínűséggel.

Megjegyzés. A bizonyításból az is kiderül, hogy minden −1 ≤ s ≤ 1 számra létezik 1 valószínűséggel olyan t_{n} = t_{n}(ω) → ∞ ha n → ∞, sorozat, amelyre

lim_{n→∞} \frac{W (t_{n},ω)}{\sqrt{2t_{n}(ω)loglogt_{n}(ω)}} = s.

Az iterált logaritmus tétel vizsgálatában szükségünk van egy olyan eredményre, amely arról szól, hogy adva megszámlálhatóan végtelen sok A_{1},A_{2},... esemény mikor mondhatjuk, hogy ezek közül csak véges sok illetve hogy végtelen sok következik be. Erről szól az alábbi Borel–Cantelli lemma.

Borel–Cantelli lemma. Legyen adva egy (Ω,A ,P) valószínűségi mezőn végtelen sok A_{1},A_{2},... esemény. A következő két állítás igaz: a.) Ha ∑ _{n=1}^{∞} P(A_{n}) < ∞, akkor

P ( ⋂_{n=1}^{∞} ⋃_{k=n}^{∞} A_{k}) = 0,

azaz ebben az esetben egy valószínűséggel csak véges sok A_{n} esemény következik be. b.) Ha ∑ _{n=1}^{∞} P(A_{n}) = ∞, és az A_{n}, n = 1,2,..., események függetlenek, akkor

P ( ⋂_{n=1}^{∞} ⋃_{k=n}^{∞} A_{k}) = 1,

azaz ebben az esetben egy valószínűséggel végtelen sok A_{n} esemény következik be.

Megjegyzem, hogy a lemma b) részében a végtelen sok A_{n} esemény bekövetkezéséhez nem elegendő az, hogy a megfelelő összeg divergáljon, az is kell, hogy ezek az A_{n} események függetlenek legyenek egymástól. Ez utóbbi feltételt lehet gyengíteni, de nem lehet teljesen elhagyni.

Szükségünk van jó becslésekre a P(W (T) > x) és P (sup_{0≤t≤T} W (t) > x)valószínűségekre, ahol W (t), t ≥ 0, Wiener folyamat, x > 0.

Tudjuk, hogy (W (T) > x) = P ( \frac{W (T)}{\sqrt{T}}> \frac{x}{\sqrt{T}}) = 1−Φ( \frac{x}{\sqrt{T}}), ahol Φ(x) a standard normális eloszlásfüggvény. Viszont a Borel–Cantelli lemma alkalmazásakor szeretnénk tudni, hogy a ∑ (1 − Φ(x_{n})) összeg milyen x_{n}, n = 1,2,... sorozatokra konvergens, és milyen x_{n}, n = 1,2,... sorozatokra divergens. Ezért hasznos számunkra a következő becslés.

Becslés a normális eloszlásfüggvény viselkedéséről. Minden x > 0 számra

( \frac{1}{x}− \frac{1}{x^{3}}) φ(x) < 1 − Φ(x) < \frac{1}{x}φ(x),

ahol Φ(x) és φ(x) a standard normális eloszlás és sűrűségfüggvény.

Bizonyítás: Parciális integrálással kapjuk, hogy minden x > 0 számra

\sqrt{2π}(1 − Φ(x)) = ∫_{x}^{∞} e^{−u^{2}/2} du = ∫_{x}^{∞} \frac{1}{u}( ue^{−u^{2}/2} ) du
= ∫_{x}^{∞} \frac{1}{u} \frac{d}{du}( −e^{−u^{2}/2} ) du = \frac{1}{x}e^{−x^{2}/2} − ∫_{x}^{∞} \frac{1}{u^{2}}e^{−u^{2}/2} du
= \frac{1}{x}e^{−x^{2}/2} − ∫_{x}^{∞} \frac{1}{u^{3}}( ue^{−u^{2}/2} ) du
= \frac{1}{x}e^{−x^{2}/2} − \frac{1}{x^{3}}e^{−x^{2}/2} + ∫_{x}^{∞} \frac{3}{u^{4}}e^{−u^{2}/2} du.

Az 1 − Φ(x) kifejezésre a második sorban kapott kifejezésből azt kapjuk, hogy \frac{1}{x}φ(x) > 1 − Φ(x), a negyedik sorban kapott kifejezésből pedig azt, hogy

( \frac{1}{x}− \frac{1}{x^{3}}) φ(x) < 1 − Φ(x).

Szükségünk van jó felső becslésre a P (sup_{0≤t≤T} W (t) > x) valószínűségre. Valójában a Wiener folyamatokra érvényes még nem tanult erős Markov tulajdonság segítségével meg lehet mutatni, hogy

P ( sup_{0≤t≤T} W (t) > x) = 2P (W (T) > x), ha x > 0.

Ehelyett a martingálokról tanult eredmények alapján adunk jó felső becslést. Azt fogjuk felhasználni, hogy Z(t) = e^{αW (t)−α^{2}t/2}, t ≥ 0, martingál minden α > 0 számra. Ezután a martingálokról tanultak alapján tudunk jó becslést adni a vizsgálandó valószínűségre.

Vegyük észre, hogy

{ ω: sup_{0≤t≤T} W (t,ω) > x}

= {ω: αW (t,ω) − α^{2}t/2 > αx − α^{2}t/2 valamely 0 ≤ t ≤ T számra} ⊂ {ω: αW (t,ω) − α^{2}t/2 > αx − α^{2}T /2 valamely 0 ≤ t ≤ T számra}

= { ω: sup_{0≤t≤T} e^{αW (t,ω)−α^{2}t/2} > e^{αx−α^{2}T /2} } ,

ezért

P ( sup_{0≤t≤T} W (t) > x) ≤ P ( sup_{0≤t≤T} e^{αW (t)−α^{2}t/2} > e^{αx−α^{2}T /2} ) ,

és mivel Z(t) = e^{αW (t)−α^{2}t/2}, 0 ≤ t ≤ T egy folytonos trajektóriájú, pozitív értékű martingál, amelyikre EZ(T) = EZ(0) = 1 innen következik, hogy

P ( sup_{0≤t≤T} W (t) > x) ≤ P ( sup_{0≤t≤T} Z(t) > e^{αx−α^{2}T /2} ) ≤ \frac{EZ(T)}{e^{αx−α^{2}T /2}} = e^{α^{2}T /2−αx}

minden α > 0 számra.

Az optimális α = \frac{x}{T} választással azt kapjuk, hogy

P ( sup_{0≤t≤T} W (t) > x) ≤ exp\{ −\frac{x^{2}}{2T}\} minden T > 0 és x > 0 számra.

Először a következő egyenlőtlenséget látjuk be.

limsup_{t→∞}\frac{|W (t)|}{\sqrt{2t loglogt}}≤ 1 1 valószínűséggel.  (1)

Minden T > 0 számra igaz a következő egyenlőtlenség:

P ( sup_{0≤t≤T} W (t) ≥ (1 + ε)\sqrt{2T loglogT}) ≤ (logT)^{−(1+ε)^{2}} .

Válasszunk valamilyen D > 1 számot, és alkalmazzuk ezt az egyenlőtlenséget minden T_{n} = D^{n}, n = 1,2,..., számra. Mivel logD^{n} = nlogD azt kapjuk, hogy

∑_{n=1}^{∞} P ( sup_{0≤t≤T_{n}} W (t) ≥ (1 + ε)\sqrt{2T_{n}loglogT_{n}}) ≤ const. ∑_{n=1}^{∞} n^{−(1+ε)^{2}} < ∞.

Ezért a Borel–Cantelli lemma alapján majdnem minden ω elemi eseményre létezik olyan N(D,ε,ω) küszöbindex amelyre

sup_{0≤t≤T_{n}} W (t,ω) ≤ (1 + ε)\sqrt{2T_{n}loglogT_{n}}, ha n ≥ N(D,ε,ω).

Legyen D = 1 + δ egy elég kis δ > 0 számmal. Ekkor \sqrt{2T_{n}loglogT_{n}}≤ (1 + \frac{ε}{2})\sqrt{2t loglogt}, ha T_{n−1} ≤ t ≤ T_{n}, és majdnem minden ω elemi eseményre létezik olyan T = T_{0}(ε,ω) küszöbindex, amelyre

sup_{0≤t≤T} W (t,ω) ≤ (1 + 2ε)\sqrt{2T loglogT}ha T ≥ T_{0}(ε,ω).

Ugyanez az egyenlőtlenség akkor is érvényes, ha a W (t,ω) Wiener folyamatot a −W (t,ω) Wiener folyamattal helyettesítjük. Mivel ezek a relációk minden ε > 0 számra igazak, innen következik a (1) reláció.

Belátjuk a

limsup_{t→∞}\frac{W (t)}{\sqrt{2t loglogt}}≥ 1 1 valószínűséggel.  (2)

relációt is. Az (1) és (2) relációból következik az iterált logaritmus tétel.

Rögzítsünk egy ε > 0 számot, válasszunk egy tőle függő elég nagy D = D(ε) számot, és definiáluk a Z_{n}(ω) = W (D^{n},ω) − W (D^{n−1} ,ω), n = 1,2,..., valószínűségi változókat. Azt állítom, hogy 1 valószínűséggel végtelen sok olyan n_{k} = n_{k}(ω) index van, amelyekre

Z_{n_{k}}(ω) ≥ (1 − ε)\sqrt{2D^{n_{k}}loglogD^{n_{k}}}.

Valóban, elég nagy n indexre

P ( Z_{n}(ω) ≥ ( 1 − \frac{ε}{2}) \sqrt{2(D^{n}− D^{n−1} )loglog(D^{n}− D^{n−1} )} ) ≥ n^{−(1−ε/3)} ,

ezért

∑_{n=1}^{∞} P ( Z_{n}(ω) ≥ ( 1 − \frac{ε}{2}) \sqrt{2(D^{n}− D^{n−1} )loglog(D^{n}− D^{n−1} )} ) = ∞,

és mivel a Z_{n} valószínűségi változók függetlenek, innen következik, hogy az ω elemi események 1 valószínűségű halmazára létezik végtelen sok n_{k} = n_{k}(ω) index úgy, hogy

Z_{n_{k}}(ω) ≥ ( 1 − \frac{ε}{2}) \sqrt{2(D^{n_{k}}− D^{n_{k}−1} )loglog(D^{n_{k}}− D^{n_{k}−1} )} .

Ha a D számot elég nagynak választjuk, akkor

( 1 − \frac{ε}{2}) \sqrt{2(D^{n_{k}}− D^{n_{k}−1} )loglog(D^{n_{k}}− D^{n_{k}−1} )} ≥ (1 − ε)\sqrt{2D^{n_{k}}loglogD^{n_{k}}}

minden elég nagy n_{k} indexre, ezért 1 valószínűséggel

Z_{n_{k}}(ω) ≥ (1 − ε)\sqrt{2D^{n_{k}}loglogD^{n_{k}}}

végtelen sok n_{k}= n_{k}(ω) indexre. Továbbá az (1) reláció alapján majdnem minden ω-ra létezik olyan N_{0} = N_{0}(ω) index, hogy

|W (D^{n−1} ,ω)| ≤ 2\sqrt{D^{n−1} loglogD^{n−1}} ≤ ε\sqrt{2D^{n}loglogD^{n}},

ha n ≥ N_{0}. Ezért 1 valószínűséggel

W (D^{n_{k}},ω) = Z_{n_{k}}(ω) + W (D^{n_{k}−1} ,ω) ≥ (1 − 2ε)\sqrt{2D^{n_{k}}loglogD^{n_{k}}}

végtelen sok n_{k} = n_{k}(ω) indexre, ahonnan

limsup_{t→∞}\frac{W (t,ω)}{\sqrt{2t loglogt}}≥ (1 − 2ε) 1 valószínűséggel.

Mivel ez az állítás minden ε > 0 számra igaz, innen következik a (2) reláció.

A bizonyítás kis módosításával be lehet látni az iterált logaritmus tétel következő változatát is.

Iterált logaritmus tétel független standard normális eloszlású valószínűségi változók részletösszegeire. Legyenek X_{1},X_{2},..., független, standard normális eloszlású valószínűségi változók, S_{n} = ∑ _{k=1}^{n} X_{k}, n = 1,2,.... Ekkor

limsup_{n→∞}\frac{|S_{n}|}{\sqrt{2nloglogn}} = 1 1 valószínűséggel.  (3)

Természetes módon felmerül a következő kérdés. Legyenek X_{1},X_{2},..., független egyforma eloszlású valószínűségi változók, és definiáljuk e változók S_{n} = ∑ _{k=1}^{n} X_{k}, n = 1,2,..., részletösszegeit. Független egyforma eloszlású valószínűségi változók milyen X_{1},X_{2},... sorozatára igaz az iterált logaritmus tétel, azaz e valószínűségi változók részletösszegei mikor teljesitik a (3) relációt. Be lehet látni, hogy ha EX_{1}^{2} < ∞, és EX_{1} = 0, akkor az X_{1},X_{2},... sorozatra igaz az iterált logaritmus tétel. Másrészt, ha EX_{1}^{2} = ∞, akkor az X_{1},X_{2},... sorozatra nem igaz az iterált logaritmus tétel. Ez következik az alábbi feladatok eredményeiből is.

Feladatok:

(a) E|X| < ∞ az X valószínűségi változóra akkor és csak akkor, ha ∑ _{n=1}^{∞} P(|X_{1}| > n) < ∞.

(b) E|X|^{r} < ∞ az X valószínűségi változóra valamely r > 0 számmal akkor és csak akkkor, ha ∑ _{n=1}^{∞} P(|X_{1}| > n^{1/r}) < ∞.

(c) Legyen EX^{2} = ∞, és legyenek X_{1},X_{2},..., független egyforma eloszlású valószínűségi változók, amelyek eloszlása megegyezik az X valószínűségi változó eloszlásával. Mutassa meg, hogy egy valószínűséggel végtelen sok olyan n_{k} = n_{k}(ω) index van, amelyekre |X_{n_{k}}(ω)| > \sqrt{n_{k}}. Sőt, tetszőleges C > 0 számra egy valószínűséggel végtelen sok olyan n_{k} = n_{k}(ω) index van, amelyekre |X_{n_{k}}(ω)| > C\sqrt{n_{k}}.

(d) Legyenek X_{1},X_{2},..., független egyforma eloszlású valószínűségi változók, és legyen EX_{1}^{2} = ∞. Definiáljuk az S_{n} = ∑ _{k=1}^{n} X_{k} részletösszegeket. Mutassa meg, hogy

limsup_{n→∞}\frac{|S_{n}|}{\sqrt{n}} = ∞ 1 valószínűséggel.