\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\TagsOnRight

%\parskip=1pt plus 1pt
\parskip=3pt plus 1pt

\centerline{\bf Feladatok:}
\medskip

\item{1a.)} Legyen $\eta$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Bizony\'{\i}tsa be,
hogy $Ee^{t\eta}=e^{t^2/2}$.

\item{1b)} Legyen $W(t)$, $t\ge0$, Wiener folyamat, 
$a$ val\'os sz\'am. Mutassa meg, hogy
$$
\exp\left\{aW(t)-\frac{a^2}2t\right\}, \quad t\ge0,
$$ 
marting\'al.

\item{1c.)} Legyen adva egy ${\Cal F}$ $\sigma$-algebra, 
\'es k\'et $\xi$ \'es $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, 
amelyek k\"oz\"ul $\xi$ ${\Cal F}$ m\'erhet\H{o}, 
$\eta$ f\"uggetlen az ${\Cal F}$ $\sigma$-algebr\'at\'ol
\'es standard norm\'alis eloszl\'as\'u. 
Legyen $a$ val\'os sz\'am. Mutassa meg, hogy
$E\left.\left(e^{a\xi\eta-a^2\xi^2/2}\right|{\Cal F}\right)=1$.

\item{1d.)} Legyen $X(t)$ egyszer\H{u} (sztochasztikus)
folyamat. (Ezt a fogalmat az It\^o integr\'al definici\'oja
sor\'an vezett\"uk be.) Mutassa meg, hogy
$$\exp\left\{\int_0^t aX(u)\,dW_u-\frac{a^2}2\int_0^t X^2(u)\,du\right\},
\quad t\ge0,
$$ 
marting\'al. (Az exponensben szerepl\H{o} els\H{o} tag egy 
egyszer\H{u} folyamat It\^o integr\'alja.)

\item{} {\it Megjegyz\'es:}\/ Az 1c. feladat megold\'as\'aban
felhaszn\'alhatjuk az al\'abbi a Kevei jegyzet 12. feladat\'aban is
megfogalmazott \'all\'{\i}t\'ast. Ha $X$, $Y$ olyan v\'eletlen v\'altoz\'ok,
amelyekre $X$ m\'erhet\H{o} a ${\Cal G}$ $\sigma$-algebr\'ara, $Y$ pedig
f\"uggetlen t\H{o}le, akkor
$$
E(h(X,Y)|{\Cal G})=\int h(X,y)\,dF(y),
$$
ahol $F$ az $Y$ eloszl\'asf\"uggv\'enye. (Ez a feladat \'ugy \'ertend\H{o},
hogy feltessz\"uk azt, hogy vagy $E|h(X,Y)|<\infty$ vagy azt,
hogy $h(x,y)\ge0$ minden $x$ \'es $y$ sz\'amra, annak \'erdek\'eben, 
hogy a tekintett $E(h(X,Y)|{\Cal G})$ felt\'eteles v\'arhat\'o 
\'ert\'ek l\'etezzen.)

\item{2.)} Oldja meg a Kevei jegyzet 12. feladat\'at.

\item{} {\it Megold\'asv\'azlat:}\/ 
$\int h(X,y)\,dF(y)$ ${\Cal G}$ m\'erhet\H{o}. Ez\'ert elegend\H{o}
azt bel\'atni, hogy minden $G\in{\Cal G}$ halmazra
$\int_G\int h(X(\omega),y)\,dF(y)\,dP(\omega)
=\int_G h(X(\omega),Y(\omega))\,dP(\omega)$.
L\'assuk be ezt az \'all\'{\i}t\'ast abban az esetben, ha 
$h(x,y)$ egy $C$ halmaz indik\'ator f\"uggv\'enye az $R^2$ t\'erben.
Tekints\"uk el\H{o}sz\"or azt a speci\'alis esetet, amikor $C=A\times B$
egy $A\in R^1$ \'es $B\in R^1$ halmazzal. Ekkor
$$
\align
\int_G h(X(\omega),Y(\omega))\,dP(\omega)
&=\int I_{\{\omega\colon\;\omega\in G\}}I_{\{\omega\colon\;X(\omega)\in A\}}
I_{\{\omega\colon\; Y(\omega)\in B\}})\,dP(\omega) \\
&=P(G\cap\{X\in A\})P(Y\in B),
\endalign
$$ 
\'es
$$
\align
&\int_G\int h(X(\omega),y)\,dF(y)\,dP(\omega)
=\int_G I_{\{\omega\colon\; X(\omega)\in A\}} \left(\int I_{\{y\colon\; y\in B\}}(y)
\,dF(y)\right)\,dP(\omega) \\
&\qquad=\int_G I_{\{\omega\colon\; X(\omega)\in A\}} P(Y\in B)\,dP(\omega)
=P(G\cap\{X\in A\}) P(Y\in B),
\endalign
$$ 
teh\'at a k\'{\i}v\'ant azonoss\'ag ekkor \'erv\'enyes.

\item{} Az \'altal\'anos esetben defini\'aljuk egy r\"ogz\'{\i}tett
$G\in{\Cal G}$ halmazra a 
$$
\mu_{1,G}(C)=P(G\cap\{\omega\:(X(\omega),Y(\omega))\in C\}), 
\quad C\subset R^2, 
$$
 \'es 
$$
\mu_{2,G}(C)=\int_G \mu_F(\{y\colon\;(X(\omega),y)\in C\})\,dP(\omega),
\quad C\subset R^2, 
$$
m\'ert\'ekeket az $R^2$ t\'er m\'erhet\H{o} r\'eszhalmazain, ahol 
$\mu_F$ az $F$ eloszl\'asf\"uggv\'eny \'altal gener\'alt Stieltjes 
m\'ert\'ek. Azt kell bel\'atni, hogy $\mu_{1,G}(C)=\mu_{2,G}(C)$ 
minden $C\subset R^2$ m\'erhet\H{o} halmazra. Viszont l\'attuk, 
hogy ez igaz a $C=A\times B$ alak\'u halmazokra. Ez\'ert az 
\'all\'{\i}t\'as k\"ovetkezik a m\'ert\'ek kiterjeszt\'es\'enek
az egy\'ertelm\H{u}s\'eg\'eb\H{o}l, ha annak \'ert\'eke az 
ilyen alak\'u halmazokon r\"ogz\'{\i}tett.

\item{3a.)} Legyen adva egy ${\Cal F}_t$, $0\le t\le T$, filtr\'aci\'o.
Legyen $X_t$, $0\le t\le T$, olyan szto\-chasz\-ti\-kus folyamat, 
amelyre $(X_t,{\Cal F}_t)$ marting\'al, \'es $EX_t^2<\infty$ minden 
$0\le t\le T$ sz\'amra, \'es legyen $Y_T$, $0\le t\le T$, olyan az
${\Cal F}_t$ filtr\'aci\'ohoz adapt\'alt sztochasztikus folyamat, 
amelyre $E|Y_t|<\infty$ minden $0\le t\le T$ sz\'amra. L\'assa be, 
hogy a k\"ovetkez\H{o}  k\'et \'all\'{\i}t\'as ekvivalens.

\itemitem{a)} $X^2_t-Y_t$ marting\'al.
\itemitem{b)} $E((X_t-X_s)^2|{\Cal F}_s)=E((Y_t-Y_s)|{\Cal F}_s)$ minden 
$0\le s\le t\le T$ sz\'amp\'arra.

\item{3b.)} Legyen ${\Cal F}_t$, $0\le t\le T$, filtr\'aci\'o,
$W_t$, $0\le t\le T$ olyan Wiener folyamat, amely\-re $(W_t,{\Cal F}_t)$,
$0\le t\le T$, teljes\'{\i}ti az It\^o integr\'al definici\'oj\'aban
megfogalmazott felt\'eteleket. Legyen
$e(t)$, $0\le t\le T$, olyan az ${\Cal F}_t$ filtr\'aci\'ora adapt\'alt
sztochasztikus folyamat, amelyre $E\int_0^T e^2(t)\,dt<\infty$.
Tekints\"uk az $I_t(e)=\int_0^t e(u)\,dW_u$, $0\le t\le T$, It\^o 
integr\'alt. Bizony\'{\i}tsa be, hogy $(I_t(e),{\Cal F}_t)$, $0\le t\le T$, 
marting\'al, \'es $E I_t^2(e)=E\int_0^t e(u)^2\,du$. A bizony\'{\i}t\'asban
felhaszn\'alhatja, hogy ezt az eredm\'enyt tudjuk egyszer\H{u} folyamatokra,
\'es igaz a Kevei jegyzet 20. oldal\'an megfogalmazott 3.~lemma, amelyiket
felhaszn\'alunk az $e\in{\Cal H}$ sztochasztikus folyamatok It\^o 
integr\'alj\'anak a definici\'oj\'aban. 

\item{3c.)} Legyen $X(t)=I_t(e)$ \'es $Y(t)=\int_0^t e^2_u\,du$ a 3b.)
feladatban bevezetett mennyi\-s\'e\-gek\-kel. L\'assa be, hogy a 
3a.)~feladat \'all\'{\i}t\'asa szerint, ha a k\"ovetkez\H{o} k\'et 
\'all\'{\i}t\'as va\-la\-me\-lyi\-k\'et bebizony\'{\i}tjuk, akkor 
abb\'ol k\"ovetkezik a m\'asik \'all\'{\i}t\'as is. 1.~\'all\'{\i}t\'as: 
$(I_t(e)^2-Y_t,{\Cal F}_t)$, $0\le t\le T$, marting\'al. 
2.~\'all\'{\i}t\'as :
$E((I_t(e)-I_s(e))^2|{\Cal F}_s)=E((Y_t)-Y(s))|{\Cal F}_s)$, ha 
$0\le s\le t\le T$.  (A 2.~\'all\'{\i}t\'as megegyezik a Kevei 
jegyzet 4.~T\'etel\'enek (ii)~pontj\'aval.) 

\item{4.)} Legyen adva egy ${\Cal F}_t$, $t\ge0$, filtr\'aci\'o \'es 
egy ehhez a filtr\'aci\'ohoz adapt\'alt $X_t=X_t(\omega)$ folytonos
trajekt\'ori\'aj\'u sztochasztikus folyamat. R\"ogz\'{\i}ts\"unk egy
$a$ val\'os sz\'amot, \'es defini\'aljuk a 
$\tau(\omega)=\tau_a(\omega)=\inf\{u\colon\; X(u,\omega)\ge a\}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot.
Mutassa meg, hogy $\{\omega\colon\;\tau(\omega)\le t\}\in{\Cal F}_t$
minden $t\ge0$ sz\'amra, azaz $\tau$ meg\'all\'asi szab\'aly, (amely
felveheti a v\'egtelen \'ert\'eket is).

\item{} {\it Megold\'as:}\/ Azt \'all\'{\i}tom, hogy 
$\{\omega\colon\;\tau_a(\omega)\le t\}
=\{\omega\colon\; \sup\limits_{0\le u\le t}X_u(\omega)\ge a\}$.
Val\'oban, ha 
$\sup\limits_{0\le u\le t}X_u(\omega)\le a$, akkor l\'etezik olyan
$0\le u\le t$ sz\'am, amelyre $X_u(\omega)\ge a$, ez\'ert
$\tau_a(\omega)\le t$. Ha $\tau_a(\omega)\le t$, akkor l\'eteznek
 olyan $u_n$ sz\'amok, amelyekre $X(u_n)\ge a$, \'es $u_n\to u$ 
egy $0\le u\le t$ sz\'ammal, ha $n\to\infty$. Az $X_u(\omega)$ 
f\"uggv\'eny folytonoss\'aga miatt l\'etezik egy
$\lim_{n\to\infty} X_{u_n}(\omega)=b\ge a$ hat\'ar\'ert\'ek. Ekkor 
$X_u(\omega)=\lim_{n\to\infty} X_{u_n}(\omega)\ge a$, \'es $0\le u\le T$.

M\'asr\'eszt
$$
\align
\{\omega\colon\; \sup\limits_{0\le u\le t}X_u(\omega)\ge a\}
&=\bigcap_{n=1}^\infty\left\{\omega\colon\; \sup_{0\le u\le t}X_u(\omega)
> a-\frac1n\right\} \\
&=\bigcap_{n=1}^\infty\left\{\omega\colon\; 
\sup \Sb 0 \le u\le t\\ u \text{ racion\'alis sz\'am}\endSb
X_u(\omega)> a-\frac1n
\right\}\in{\Cal F}_t.
\endalign
$$

\item{5.)} Legyen adva egy ${\Cal F}_t$ $t\ge0$, filtr\'aci\'o \'es olyan
$(X^{(n)}_t,{\Cal F}_t)$, $t\ge0$, marting\'alok sorozata minden 
$n=1,2,\dots$ sz\'amra, amelyekre $X^{(n)}_t(\omega)>0$ minden $t\ge 0$ 
sz\'amra, $\omega\in\Omega$ pontra \'es $n=1,2,\dots$ param\'eterre,
tov\'abb\'a l\'etezik egy olyan $X^{(0)}_t(\omega)$ szto\-chasz\-ti\-kus 
folyamat, amelyre $P(\lim_{n\to\infty}X^{(n)}_t=X^{(0)}_t)=1$ minden 
$t\ge0$ sz\'am\-ra, \'es $X^{(0)}_t(\omega)>0$ minden $t\ge 0$ 
sz\'am\-ra \'es $\omega\in\Omega$ pontra.
Mutassa meg, hogy $X^{(0)}_t$ szupermarting\'al. Ez az eredm\'eny akkor is 
\'erv\'enyben marad, ha az $X^{(n)}_t$ sztochasztikus folyamatok nem 
felt\'etlen\"ul  marting\'alok, hanem csak szupermarting\'alok.

\item{5a.)} Mutassa meg az 5. feladat eredm\'enye seg\'{\i}ts\'eg\'evel,
hogy ha $e_t$ ${\Cal F}_t$ adapt\'alt folyamat, 
$P(\int_0^\infty e^2_t(\omega)\,dt<\infty)=1$ akkor
$\exp\left\{\int_0^t e_u\,dW_u-\frac12\int_0^t e^2_u\,du\right\}$, $t\ge0$,
szu\-per\-mar\-tin\-g\'al.

\item{} {\it Megold\'as:}\/ Mivel $X_t^{(n)}(\omega)>0$, e folyamat marting\'al
tulajdons\'ag\'at \'ugy is fel\-\'{\i}r\-hat\-juk, hogy 
$E\left.\left(\frac{X_t^{(n)}}{X_s^{(n)}}\right|{\Cal F}_s\right)=1$
1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, ha $t\ge s$, vagy
$\int_A \frac{X_t^{(n)}}{X_s^{(n)}}\,dP=P(A)$ minden $A\in{\Cal F}_s$
halmazra, ha $t\ge s$. Mivel $X_t^{(n)}\to X^{(0)}_t$, \'es csupa pozit\'{\i}v
f\"uggv\'ennyel dolgozunk a Fatou lemma adja, hogy
$\int_A \frac{X_t^{(0)}}{X_s^{(0)}}\,dP\le P(A)$ minden $A\in{\Cal F}_s$
halmazra, \'es ez azt jelenti, hogy igaz a k\'{\i}v\'ant 
szupermarting\'al tulajdons\'ag. Ez az \'ervel\'es akkor is 
m\H{u}k\"odik, ha $X^{(n)}_t$ csak szupermarting\'al.

\item{} L\'attuk, hogy
$\exp\left\{\int_0^t e_u\,dW_u-\frac12\int_0^t e^2_u\,du\right\}$, $t\ge0$,
marting\'al, ha $e_t$ egyszer\H{u} folyamat. M\'asr\'eszt minden 
$e\in{\Cal H}'$ sztochsztikus folyamathoz l\'etezik egyszer\H{u} folyamatok
olyan $e^{(n)}$, $n=1,2,\dots$ sorozata, amelyre 
$$\int_0^t (e_u^{(n)})^2\,du\to \int_0^te_u^2\,du \; \text{ \'es } \;
\int_0^t e_u^{(n)}\,dW_u\to \int_0^te_u\,dW_u,
$$ 
ha $n\to\infty$ minden $t\ge0$ sz\'amra. Ez\'ert
$$
\exp\left\{\int_0^t e_u\,dW_u-\frac12\int_0^t e^2_u\,du\right\}
=\lim\limits_{n\to\infty}
\exp\left\{\int_0^t e^{(n)}_u\,dW_u-\frac12\int_0^t (e^{(n)}_u)^2\,du\right\},
$$
minden $t\ge0$ sz\'amra, Ez\'ert a 5. feladat felt\'etelei teljes\"ulnek
az eset\"unkben, \'es az 5a.) feladat \'all\'{\i}t\'asa k\"ovetkezik 
az 5. feladat eredm\'eny\'eb\H{o}l.

\item{} Megjegyzem, hogy az 5a.) feladat \'ugy is bizony\'{\i}that\'o
az 5. feladat seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy bel\'atjuk,
$\exp\left\{\int_0^t e_u\,dW_u-\frac12\int_0^t e^2_u\,du\right\}$
lok\'alis marting\'al, mert el\H{o}\'all, mint egy Wiener folyamat
szerinti It\^o integr\'al plusz egy konstans.

\item{6.} Legyen ${\Cal F}_t$, $t\ge0$, egy filtr\'aci\'o, \'es legyen
$(X_t,{\Cal F}_t)$, $t\ge0$, lok\'alis marting\'al. Vezess\"uk be a
k\"ovetkez\H{o} jel\"ol\'est:
$$
T_c=\{\tau\colon\; \tau \text{ meg\'all\'asi szab\'aly az } {\Cal F}_t
\text{ filtr\'aci\'ora, \'es } P(\tau\le c)=1\},
$$ 
minden $c\ge 0$ sz\'amra. Ha az $\{X_\tau, \;\tau\in T_c\}$, 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok halmaza egyenletesen 
integr\'alhat\'o tetsz\H{o}leges $c>0$ sz\'amra, akkkor 
$(X_t,{\Cal F}_t)$, $t\ge0$, mar\-tin\-g\'al.

\item{} {\it Megjegyz\'es:}\/ Mivel az It\^o integr\'alok,
lok\'alis marting\'alok a 6. feladat eredm\'enye hasznos el\'egs\'eges
felt\'etelt ad arra, hogy egy It\^o integr\'al marting\'al legyen.
 



\bye







