Feladatok:

1a.) Legyen η standard normális eloszlású valószínűségi változó. Bizonyítsa be, hogy

Ee^{tη} = e^{t^{2}/2}. 1b) Legyen W (t), t ≥ 0, Wiener folyamat, a valós szám. Mutassa meg, hogy

exp \{aW (t) − \frac{a^{2}}{2} t\} , t ≥ 0,

martingál. 1c.) Legyen adva egy F σ-algebra, és két ξ és η valószínűségi változó, amelyek közül ξ

F mérhető, η független az F σ-algebrától és standard normális eloszlású. Legyen a valós szám. Mutassa meg, hogy E (e^{aξη−a^{2}ξ^{2}/2}| F) = 1.

1d.) Legyen X(t) egyszerű (sztochasztikus) folyamat. (Ezt a fogalmat az Itô integrál definiciója során vezettük be.) Mutassa meg, hogy

exp \{∫_{0}^{t} aX(u) dW_{u} − \frac{a^{2}}{2} ∫_{0}^{t} X^{2}(u) du\} , t ≥ 0,

martingál. (Az exponensben szereplő első tag egy egyszerű folyamat Itô integrálja.) Megjegyzés: Az 1c. feladat megoldásában felhasználhatjuk az alábbi a Kevei jegyzet 12. feladatában is megfogalmazott állítást. Ha X, Y olyan véletlen változók, amelyekre X mérhető a G σ-algebrára, Y pedig független tőle, akkor

E(h(X, Y)|G) = ∫ h(X, y) dF (y),

ahol F az Y eloszlásfüggvénye. (Ez a feladat úgy értendő, hogy feltesszük azt, hogy vagy E|h(X, Y)| < ∞ vagy azt, hogy h(x, y) ≥ 0 minden x és y számra, annak érdekében, hogy a tekintett E(h(X, Y)|G) feltételes várható érték létezzen.)

2.) Oldja meg a Kevei jegyzet 12. feladatát. Megoldásvázlat: ∫ h(X, y) dF (y) G mérhető. Ezért elegendő azt belátni, hogy minden G ∈ G halmazra ∫_{G} ∫ h(X(ω), y) dF (y) dP (ω) = ∫_{G} h(X(ω), Y (ω)) dP (ω). Lássuk be ezt az állítást abban az esetben, ha h(x, y) egy C halmaz indikátor függvénye az R^{2} térben. Tekintsük először azt a speciális esetet, amikor C = A×B egy A ∈ R^{1} és B ∈ R^{1} halmazzal. Ekkor

∫_{G} h(X(ω), Y (ω)) dP (ω) = ∫ I_{{ω: ω∈G}}I_{{ω: X(ω)∈A}}I_{{ω: Y (ω)∈B}}) dP (ω)
= P (G ∩ {X ∈ A})P (Y ∈ B),

és

∫_{G} ∫ h(X(ω), y) dF (y) dP (ω) = ∫_{G} I_{{ω: X(ω)∈A}} (∫ I_{{y: y∈B}}(y) dF (y)) dP (ω)

= ∫_{G} I_{{ω: X(ω)∈A}}P (Y ∈ B) dP (ω) = P (G ∩ {X ∈ A})P (Y ∈ B),

tehát a kívánt azonosság ekkor érvényes. Az általános esetben definiáljuk egy rögzített G ∈ G halmazra a

μ_{1,G}(C) = P (G ∩ {ω: (X(ω), Y (ω)) ∈ C}), C ⊂ R^{2},

és

μ_{2,G}(C) = ∫_{G} μ_{F} ({y: (X(ω), y) ∈ C}) dP (ω), C ⊂ R^{2},

mértékeket az R^{2} tér mérhető részhalmazain, ahol μ_{F} az F eloszlásfüggvény által generált Stieltjes mérték. Azt kell belátni, hogy μ_{1,G}(C) = μ_{2,G}(C) minden C ⊂ R^{2} mérhető halmazra. Viszont láttuk, hogy ez igaz a C = A × B alakú halmazokra. Ezért az állítás következik a mérték kiterjesztésének az egyértelműségéből, ha annak értéke az ilyen alakú halmazokon rögzített.

3a.) Legyen adva egy F_{t}, 0 ≤ t ≤ T, filtráció. Legyen X_{t}, 0 ≤ t ≤ T, olyan sztochasztikus folyamat, amelyre (X_{t}, F_{t}) martingál, és EX_{t}^{2} < ∞ minden 0 ≤ t ≤ T számra, és legyen Y_{T}, 0 ≤ t ≤ T, olyan az F_{t} filtrációhoz adaptált sztochasztikus folyamat, amelyre E|Y_{t}| < ∞ minden 0 ≤ t ≤ T számra. Lássa be, hogy a következő két állítás ekvivalens.

a) X_{t}^{2} − Y_{t} martingál.

b) E((X_{t} − X_{s})^{2}|F_{s}) = E((Y_{t} − Y_{s})|F_{s}) minden 0 ≤ s ≤ t ≤ T számpárra. 3b.) Legyen F_{t}, 0 ≤ t ≤ T, filtráció, W_{t}, 0 ≤ t ≤ T olyan Wiener folyamat, amely-

re (W_{t}, F_{t}), 0 ≤ t ≤ T, teljesíti az Itô integrál definiciójában megfogalmazott feltételeket. Legyen e(t), 0 ≤ t ≤ T, olyan az F_{t} filtrációra adaptált sztochasztikus folyamat, amelyre E ∫_{0}^{T} e^{2}(t) dt < ∞. Tekintsük az I_{t}(e) = ∫_{0}^{t} e(u) dW_{u}, 0 ≤ t ≤ T, Itô integrált. Bizonyítsa be, hogy (I_{t}(e), F_{t}), 0 ≤ t ≤ T, martingál, és EI_{t}^{2}(e) = E ∫_{0}^{t} e(u)^{2} du. A bizonyításban felhasználhatja, hogy ezt az eredményt tudjuk egyszerű folyamatokra, és igaz a Kevei jegyzet 20. oldalán megfogalmazott 3. lemma, amelyiket felhasználunk az e ∈ H sztochasztikus folyamatok Itô integráljának a definiciójában.

3c.) Legyen X(t) = I_{t}(e) és Y (t) = ∫_{0}^{t} e_{u}^{2} du a 3b.) feladatban bevezetett mennyiségekkel. Lássa be, hogy a 3a.) feladat állítása szerint, ha a következő két állítás valamelyikét bebizonyítjuk, akkor abból következik a másik állítás is. 1. állítás: (I_{t}(e)^{2} − Y_{t}, F_{t}), 0 ≤ t ≤ T, martingál. 2. állítás : E((I_{t}(e) − I_{s}(e))^{2}|F_{s}) = E((Y_{t}) − Y (s))|F_{s}), ha 0 ≤ s ≤ t ≤ T. (A 2. állítás megegyezik a Kevei jegyzet 4. Tételének (ii) pontjával.)

4.) Legyen adva egy F_{t}, t ≥ 0, filtráció és egy ehhez a filtrációhoz adaptált X_{t} = X_{t}(ω) folytonos trajektóriájú sztochasztikus folyamat. Rögzítsünk egy a valós számot, és definiáljuk a τ(ω) = τ_{a}(ω) = inf{u: X(u, ω) ≥ a} valószínűségi változót. Mutassa meg, hogy {ω: τ(ω) ≤ t} ∈ F_{t} minden t ≥ 0 számra, azaz τ megállási szabály, (amely felveheti a végtelen értéket is). Megoldás: Azt állítom, hogy {ω: τ_{a}(ω) ≤ t} = {ω: sup_{0≤u≤t} X_{u}(ω) ≥ a}. Valóban,

ha sup_{0≤u≤t} X_{u}(ω) ≤ a, akkor létezik olyan 0 ≤ u ≤ t szám, amelyre X_{u}(ω) ≥ a, ezért τ_{a}(ω) ≤ t. Ha τ_{a}(ω) ≤ t, akkor léteznek olyan u_{n} számok, amelyekre X(u_{n}) ≥ a, és u_{n} → u egy 0 ≤ u ≤ t számmal, ha n → ∞. Az X_{u}(ω) függvény folytonossága miatt létezik egy lim_{n→∞} X_{u_{n}}(ω) = b ≥ a határérték. Ekkor X_{u}(ω) = lim_{n→∞} X_{u_{n}}(ω) ≥ a, és 0 ≤ u ≤ T. Másrészt

\{ω: sup_{0≤u≤t} X_{u}(ω) ≥ a\} = ⋂_{n=1}^{∞} \{ω: sup_{0≤u≤t} X_{u}(ω) > a − \frac{1}{n}\}

= ⋂_{n=1}^{∞} \{ω: sup_{0≤u≤t u racionális szám} X_{u}(ω) > a − \frac{1}{n}\} ∈ F_{t}.

5.) Legyen adva egy F_{t} t ≥ 0, filtráció és olyan (X_{t}^{(n)}, F_{t}), t ≥ 0, martingálok sorozata minden n = 1, 2, … számra, amelyekre X_{t}^{(n)}(ω) > 0 minden t ≥ 0 számra, ω ∈ Ω pontra és n = 1, 2, … paraméterre, továbbá létezik egy olyan X_{t}^{(0)}(ω) sztochasztikus folyamat, amelyre P (lim_{n→∞} X_{t}^{(n)} = X_{t}^{(0)}) = 1 minden t ≥ 0 számra, és X_{t}^{(0)}(ω) > 0 minden t ≥ 0 számra és ω ∈ Ω pontra. Mutassa meg, hogy X_{t}^{(0)} szupermartingál. Ez az eredmény akkor is érvényben marad, ha az X_{t}^{(n)} sztochasztikus folyamatok nem feltétlenül martingálok, hanem csak szupermartingálok.

5a.) Mutassa meg az 5. feladat eredménye segítségével, hogy ha e_{t} F_{t} adaptált folyamat, P (∫_{0}^{∞} e_{t}^{2}(ω) dt < ∞) = 1 akkor exp \{∫_{0}^{t} e_{u} dW_{u} − \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} e_{u}^{2} du\}, t ≥ 0, szupermartingál.

Megoldás: Mivel X_{t}^{(n)}(ω) > 0, e folyamat martingál tulajdonságát úgy is felír-

hatjuk, hogy E (\frac{X_{t}^{(n)}}{X_{s}^{(n)}} | F_{s}) = 1 1 valószínűséggel, ha t ≥ s, vagy ∫_{A} \frac{X_{t}^{(n)}}{X_{s}^{(n)}} dP =

P (A) minden A ∈ F_{s} halmazra, ha t ≥ s. Mivel X_{t}^{(n)} → X_{t}^{(0)}, és csupa pozitív

függvénnyel dolgozunk a Fatou lemma adja, hogy ∫_{A} \frac{X_{t}^{(0)}}{X_{s}^{(0)}} dP ≤ P (A) minden A ∈ F_{s} halmazra, és ez azt jelenti, hogy igaz a kívánt szupermartingál tulajdonság. Ez az érvelés akkor is működik, ha X_{t}^{(n)} csak szupermartingál.

Láttuk, hogy exp \{∫_{0}^{t} e_{u} dW_{u} − \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} e_{u}^{2} du\}, t ≥ 0, martingál, ha e_{t} egyszerű folyamat. Másrészt minden e ∈ H′ sztochsztikus folyamathoz létezik egyszerű folyamatok olyan e^{(n)}, n = 1, 2, … sorozata, amelyre

∫_{0}^{t}(e_{u}^{(n)})^{2} du → ∫_{0}^{t} e_{u}^{2} du és ∫_{0}^{t} e_{u}^{(n)} dW_{u} → ∫_{0}^{t} e_{u} dW_{u},

ha n → ∞ minden t ≥ 0 számra. Ezért

exp \{∫_{0}^{t} e_{u} dW_{u} − \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} e_{u}^{2} du\} = lim_{n→∞} exp \{∫_{0}^{t} e_{u}^{(n)} dW_{u} − \frac{1}{2} ∫_{0}^{t}(e_{u}^{(n)})^{2} du\} ,

minden t ≥ 0 számra, Ezért a 5. feladat feltételei teljesülnek az esetünkben, és az 5a.) feladat állítása következik az 5. feladat eredményéből. Megjegyzem, hogy az 5a.) feladat úgy is bizonyítható az 5. feladat segítségével, hogy belátjuk, exp \{∫_{0}^{t} e_{u} dW_{u} − \frac{1}{2} ∫_{0}^{t} e_{u}^{2} du\} lokális martingál, mert előáll, mint egy Wiener folyamat szerinti Itô integrál plusz egy konstans.

6. Legyen F_{t}, t ≥ 0, egy filtráció, és legyen (X_{t}, F_{t}), t ≥ 0, lokális martingál. Vezessük be a következő jelölést:

T_{c} = {τ: τ megállási szabály az F_{t} filtrációra, és P (τ ≤ c) = 1},

minden c ≥ 0 számra. Ha az {X_{τ} , τ ∈ T_{c}}, valószínűségi változók halmaza egyenletesen integrálható tetszőleges c > 0 számra, akkkor (X_{t}, F_{t}), t ≥ 0, martingál. Megjegyzés: Mivel az Itô integrálok, lokális martingálok a 6. feladat eredménye hasznos elégséges feltételt ad arra, hogy egy Itô integrál martingál legyen.