\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1pt

\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}


\centerline{\bf A Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as I.
el\H{o}ad\'assorozat kilencedik t\'em\'aja.}

\beginsection Centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel.

Megfogalmazom a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as tal\'an 
legfontosabb ered\-m\'e\-ny\'et, a centr\'alis 
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-telt, \'es megmutatom n\'eh\'any 
alkalmaz\'as\'at. A t\'etel bizony\'{\i}t\'asa \'es egy ehhez 
kapcsol\'od\'o k\'erd\'es vizsg\'alata, amely arr\'ol sz\'ol, hogy 
mit jelent el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek konvergenci\'aja az 
\'altal\'anos esetben, \'es hogyan lehet ilyen konvergenci\'at 
bizony\'{\i}tani az el\H{o}ad\'assorozat k\"ovetkez\H{o} t\'em\'aja 
lesz.

A centr\'alis  hat\'areloszl\'ast\'etel megfogalmaz\'asa el\H{o}tt
felid\'ezek n\'eh\'any kor\'abbi fogalmat \'es eredm\'enyt. Egy
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o standard norm\'alis
eloszl\'as\'u, ha s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$\varphi(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$, $-\infty<x<\infty$,
alak\'u. Ha $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor
$E\xi=0$, $\Var\xi=E\xi^2=1$. Ebben az esetben
$\sigma\xi+m$ egy $m$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es $\sigma^2$
sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, \'es 
az ilyen m\'odon
el\H{o}\'all\'{\i}that\'o val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat
nevezz\"uk $m$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es $\sigma^2$
 sz\'or\'asn\'egyzt\H{u} norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak. Be lehet l\'atni,
hogy egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi  v\'altoz\'o akkor \'es
csak akkor norm\'alis eloszl\'as\'u $m$ v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es
$\sigma^2$ sz\'or\'asn\'egyzettel, ha s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye 
a $g(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-(x-m)^2/2\sigma^2}$, 
$-\infty<x<\infty$, f\"uggv\'eny.
Ezt a t\'enyt fogalmazom meg a k\"ovetkez\H{o} \'eszrev\'etelben.

\medskip \noindent
{\bf \'Eszrev\'etel:} {\it Egy $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o akkor \'es csak akkor $m$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es
$\sigma^2$ sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, ha
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye a
$g(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-(x-m)^2/2\sigma^2}$,
$-\infty<x<\infty$ f\"uggv\'eny.}

\medskip \noindent
{\it Indokl\'as:}\/ Ha $\eta=\sigma\xi+m$, ahol $\xi$ standard
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, 
akkor $\eta$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$g(x)=\frac1\sigma\varphi\(\frac{x-m}\sigma\)=
\frac1{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-(x-m)^2/2\sigma^2}$, ahogy azt
\'all\'{\i}tottuk. Megford\'{\i}tva, ha $\eta$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye az adott alak\'u, akkor a
$\xi=\frac{\eta-m}\sigma$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=\sigma g\(\sigma x+m\)
=\varphi(x)$, azaz ez standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, \'es $\eta=\sigma\xi+m$.

\medskip
{\it Feladat:}
\medskip 

Legyen $\eta_1$ \'es $\eta_2$ k\'et f\"uggetlen, norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $m_1$ illetve
$m_2$ v\'arhat\'o \'ert\'ekkel, $\sigma_1^2$ \'es $\sigma_2^2$
sz\'or\'asn\'egyzettel. L\'assuk be, hogy az $\eta_1+\eta_2$
\"osszeg $m_1+m_2$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\'u \'es
$\sigma_1^2+\sigma^2_2$ sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.

\medskip
A feladat megold\'asa el\H{o}tt \'erdemes megjegyezni, hogy
$$
\int_{-\infty}^\infty e^{-(x-A)^2/B}\,dx=\sqrt{B\pi}.
$$
Ez $y=\sqrt 2\frac{x-A}{\sqrt B}$ helyettes\'{\i}t\'essel 
k\"ovetkezik abb\'ol a t\'enyb\H{o}l, hogy a
$\varphi(y)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-y^2/2}$ f\"uggv\'eny
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny, azaz
$\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty e^{-y^2/2}\,dy=1$.
Ez az \'eszrev\'etel az\'ert hasznos, mert seg\'{\i}ts\'eg\'evel 
ki tudunk sz\'amolni egy olyan az eg\'esz sz\'amegyenesen vett 
integr\'alt, ahol az integrandus egy (fel\"ulr\H{o}l korl\'atos)
kvadratikus alak exponenci\'alis f\"uggv\'enye. Az integr\'al
kisz\'amol\'asa \'erdek\'eben az inegrandusban szerepl\H{o} 
kvadratikus alakot teljes n\'egyzett\'e alak\'{\i}tjuk.
Ez a gondolata a most t\'argyalt feladat megold\'as\'anak is.

\medskip\noindent
{\it Megold\'as:}\/ Az $\eta_1+\eta_2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$$
\align
f(x)&=\int_{-\infty}^\infty
\frac1{2\pi\sigma_1\sigma_2}e^{-(u-m_1)^2/2\sigma_1^2}
e^{-(x-u-m_2)^2/2\sigma_2^2}\,du \\
&=\int_{-\infty}^\infty
\frac1{2\pi\sigma_1\sigma_2}\exp\biggl\{-u^2
\(\frac1{2\sigma_1^2}+\frac1{2\sigma_2^2}\)+u\(\frac{m_1}{\sigma_1^2}
+\frac{x-m_2}{\sigma_2^2}\)\\
&\hskip5truecm -\frac{m_1^2}{2\sigma_1^2}
-\frac{(x-m_2)^2} {2\sigma_2^2}\biggr\}\,du \\
&=\int_{-\infty}^\infty
\frac1{2\pi\sigma_1\sigma_2}\exp\biggl\{-\frac{\sigma_1^2+\sigma_2^2}
{2\sigma_1^2\sigma_2^2}\(u-\frac{m_1\sigma_2^2+(x-m_2)\sigma_1^2}
{\sigma_1^2+\sigma_2^2}\)^2 \\
&\hskip4,5truecm +\frac{(m_1\sigma_2^2+(x-m_2)\sigma_1^2)^2}
{2\sigma_1^2\sigma_2^2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}
-\frac{m_1^2}{2\sigma_1^2}
-\frac{(x-m_2)^2} {2\sigma_2^2}\biggr\}\,du \\
&=\int_{-\infty}^\infty
\frac1{2\pi\sigma_1\sigma_2}\exp\left\{-\frac{\sigma_1^2+\sigma_2^2}
{2\sigma_1^2\sigma_2^2}u^2 \right\}\,du\\
&\hskip4,5truecm \exp\left\{\frac{(m_1\sigma_2^2+(x-m_2)\sigma_1^2)^2}
{2\sigma_1^2\sigma_2^2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}
-\frac{m_1^2}{2\sigma_1^2}
-\frac{(x-m_2)^2} {2\sigma_2^2}\right\} \\
&=\frac1{\sqrt{2\pi(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}}\exp\left\{
\frac{(m_1\sigma_2^2+(x-m_2)\sigma_1^2)^2}
{2\sigma_1^2\sigma_2^2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}
-\frac{m_1^2\sigma_2^2+(x-m_2)^2\sigma_1^2}
{2\sigma_1^2\sigma_2^2}\right\}\\
&=\frac1{\sqrt{2\pi(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}}\exp\left\{
\frac{-m_1^2\sigma_1^2\sigma_2^2-(x-m_2)^2\sigma_1^2\sigma_2^2
+2m_1(x-m_2)\sigma_1^2\sigma_2^2}
{2\sigma_1^2\sigma_2^2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}\right\}\\
&=\frac1{\sqrt{2\pi(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}}\exp\left\{
-\frac{m_1^2+(x-m_2)^2-2m_1(x-m_2)}
{2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}\right\}\\
&=\frac1{\sqrt{2\pi(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}}\exp\left\{
-\frac{(x-m_1-m_2)^2}{2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}\right\}.
\endalign
$$

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A fenti sz\'amol\'as meglehet\H{o}sen
k\'enyelmetlen, de bizonyos \'altal\'anos elvek seg\'{\i}thetnek
meg\'erteni, hogy mi\'ert ezt az eredm\'enyt kaptuk. A fel\'{\i}rt
konvoluci\'o alak\-j\'a\-b\'ol k\"ovetkezik, hogy a v\'egeredm\'eny
egy olyan kifejez\'es, amelynek exponens\'eben egy kvad\-ra\-ti\-kus
alak szerepel, \'es ez meg van szorozva valamilyen konstanssal.
Tov\'abb\'a, a v\'egeredm\'eny egy s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny,
mivel k\'et s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny konvoluci\'oja ism\'et
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny. Ez\'ert a v\'egeredm\'eny
sz\"uks\'egszer\H{u}en norm\'alis s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny.
Ezen\-k\'{\i}\-v\"ul, mivel f\"ug\-get\-len val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek a v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es
sz\'o\-r\'as\-n\'gy\-ze\-te egyenl\H{o} az \"osszeadand\'ok v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'enek illetve sz\'or\'asn\'egyzet\'enek az \"osszeg\'evel,
ez\'ert a v\'egeredm\'eny egy olyan (norm\'alis elosz\'as\'u)
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'enye, amelynek v\'arhat\'o
\'ert\'eke $m_1+m_2$ sz\'or\'asn\'egyzete pedig
$\sigma_1^2+\sigma_2^2$.

K\'es\H{o}bb megmutatom, hogy hogyan lehet a
most t\'argyalt azonoss\'agot bizonyos eddig m\'eg nem t\'argyalt
eredm\'enyek seg\'{\i}ts\'eg\'evel egyszer\H{u}bben megkapni.

\beginsection A centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel.

A centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel a 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as egyik legfontosabb
eredm\'enye. Azt mond\-ja ki, hogy ha sok f\"ug\-get\-len
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot \"osszegez\"unk, \'es az
\"osszeget al\-kal\-ma\-san normaliz\'aljuk, ak\-kor nagyon 
\'altal\'anos felt\'etelek teljes\"ul\'ese eset\'en a normaliz\'alt 
\"osszeg  eloszl\'asa k\"ozel\'{\i}t\H{o}leg a standard norm\'alis 
eloszl\'as. A t\'etel megfogalmaz\'asa el\H{o}tt ve\-zes\-s\"unk 
be egy az irodalomban gyakran haszn\'alt fogalmat. 

\medskip\noindent
{\bf Egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o normaliz\'altj\'anak
a fogalma.} {\it Legyen $\xi$ olyan va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'o, amelyre $E\xi^2<\infty$. A $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o normaliz\'altja a
$\bar\xi=\frac{\xi-E\xi}{\sqrt{\Var\xi}}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, Ez a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak olyan
line\'aris transzform\'altja, amelynek v\'arhat\'o \'ert\'eke nulla,
sz\'or\'asn\'egyzete pedig 1.} 
\medskip

Jegyezz\"uk meg, hogy ha $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, amelyekre $E\xi_j^2<\infty$
minden $1\le j\le n$ indexre, akkor az $S=\summ_{j=1}^n\xi_j$
\"osszeg normaliz\'altja az
$$
\bar S=\frac{\summ_{j=1}^n\xi_j-\summ_{j=1}^nE\xi_j}
{\sqrt{\summ_{j=1}^n\Var\xi_j}}
$$
kifejez\'es.

\medskip\noindent
{\bf Centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel.} {\it Legyenek
$\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok, jel\"olje
$S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j$, $n=1,2,\dots$, e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok r\'esz\-let\-\"ossze\-geit. Ekkor az $S_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
$\frac{S_n-ES_n}{\sqrt{\Var S_n}}
=\frac{\summ_{j=1}^n\xi_j-\summ_{j=1}^nE\xi_j}
{\sqrt{\summ_{j=1}^n\Var\xi_j}}$ normaliz\'altjai teljes\'{\i}tik
a
$$
\lim_{n\to\infty}
P\(\frac{S_n-ES_n}{\sqrt{\Var S_n}}<x\)=\Phi(x), \quad\text{minden
}-\infty<x<\infty \text{ sz\'amra}
$$
rel\'aci\'ot, ahol $\Phi(x)=\dsize\int_{-\infty}^x
\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du$, a standard norm\'alis
elosz\'asf\"uggv\'eny.} 

\medskip\noindent
{\it 1. megjegyz\'es.}\/ Az el\H{o}bb kimondott t\'etel val\'oj\'aban
speci\'alis esete az \'altal\'anos centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelnek, amely hasonl\'o eredm\'enyt mond
ki f\"uggetlen, de nem felt\'etlen\"ul azonos eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok normaliz\'alt
r\'eszlet\"osszegeire nagyon \'altal\'anos felt\'etelek mellett.
A centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel \'altal\'anos alakj\'anak
az ismertet\'ese a k\"ovetkez\H{o} f\'el\'ev anyaga lesz.

\medskip\noindent
{\it 2. megjegyz\'es.}\/ L\'attuk, hogy f\"uggetlen norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
r\'esz\-let\-\"ossze\-gei\-nek normaliz\'altja standard norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Ez
k\"o\-vet\-ke\-zik az el\H{o}ad\'as elej\'en t\'argyalt feladat
eredm\'eny\'eb\H{o}l, amely szerint f\"uggetlen,
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\"osszege is norm\'alis eloszl\'as\'u. A centr\'alis
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel azt \'all\'{\i}tja, hogy sok 
f\"uggetlen, de nem felt\'etlen\"ul norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \"osszeg\'enek a
normaliz\'altja nemcsak nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es egy
sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o,
hanem ezenk\'{\i}v\"ul k\"ozel\'{\i}t\H{o}leg norm\'alis 
el\-osz\-l\'a\-s\'u is. Ez azt jelenti, hogy sok \"osszeadand\'o 
eset\'en az \"osszeg eloszl\'asa ,,elfelejti" az \
"ossze\-adan\-d\'ok eloszl\'as\'at, \'es eloszl\'asf\"uggv\'enye 
k\"ozel\'{\i}t\H{o}leg a standard norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny.
B\'ar ezt az eredm\'enyt be lehet bizony\'{\i}tani, az m\'egis
rendk\'{\i}v\"ul meglep\H{o}. A centr\'alis 
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-telt tekinthetj\"uk a 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as
legnagyobb miszt\'erium\'anak.

\medskip\noindent
{\it 3. megjegyz\'es.}\/ A m\H{u}szaki tudom\'anyokban besz\'elnek
egy olyan megfigyel\'esr\H{o}l, amelyet hibat\"orv\'enynek neveznek.
Gyakran el\H{o}fordul, hogy egy m\H{u}szaki feladatban egy
ki\-s\'er\-le\-tet t\"obbsz\"or egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul
elv\'egeznek, azok eredm\'enyeit t\"obbsz\"or megm\'erik, de az
egyes m\'er\'esek pontatlanok. A tapasztalat azt mutatja, hogy
a m\'ert eredm\'enyek diagramja majdnem mindig egy az igazi 
\'ert\'ek k\"or\"uli \'ugynevezett harangg\"orb\'et rajzol ki. A
meglep\H{o} t\'eny az, hogy a legk\"ul\"onb\"oz\H{o}bb feladatokban
mindig ugyanaz a g\"orbe jelenik meg. E t\'eny h\'atter\'eben 
val\'oj\'aban a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel rejlik.
A jelens\'eg oka az, hogy a hiba sok kis apr\'o egym\'ast\'ol
f\"uggetlen hiba \"osszegek\'ent keletkezik. Ez\'ert a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel szerint a hiba norm\'alis eloszl\'as\'u,
\'es a  ,,hibat\"orv\'enyben" megjelen\H{o} harangg\"orbe
val\'oj\'aban a norm\'alis s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny
g\"orb\'eje.

\medskip\noindent
{\it 4. megjegyz\'es.}\/ Ha a $\xi_1,\xi_2,\dots$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok normaliz\'alt
r\'esz\-let\-\"ossze\-gei teljes\'{\i}tik a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelt, akkor minden $-\infty<x<y<\infty$
sz\'amra teljes\"ul a
$$
\limm_{n\to\infty}P\(x<\frac{S_n-ES_n}{\sqrt{\Var
S_n}}<y\)=\Phi(y)-\Phi(x)
$$
azonoss\'ag, mert
$$
P\(x<\frac{S_n-ES_n}{\sqrt{\Var S_n}}<y\)=
P\(\frac{S_n-ES_n}{\sqrt{\Var S_n}}<y\)-
P\(\frac{S_n-ES_n}{\sqrt{\Var S_n}}\le x\).
$$
Jegyezz\"uk meg tov\'abb\'a, hogy $\Phi(-y)=1-\Phi(y)$ minden
$-\infty<y<\infty$ sz\'amra, mivel a $\Phi(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny $\varphi(\cdot)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
p\'aros f\"uggv\'eny. Val\'oban,
$\Phi(-y)=\int_{-\infty}^{-y}\varphi(u)\,du
=1-\int^{\infty}_{-y}\varphi(u)\,du=1-\int_{-\infty}^y\varphi(-u)\,du
=1-\int_{-\infty}^y\varphi(u)\,du=1-\Phi(y)$. Ezen eredm\'eny miatt
elegend\H{o} megadni a norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny \'ert\'ekeit
pozit\'{\i}v argumentumokra.

\medskip\noindent
{\it 5.~megjegyz\'es.}\/ Term\'eszetesen felvet\H{o}dik a k\'erd\'es,
hogy l\'etezik-e a centr\'alis ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel\-nek
t\"obbdimenzi\'os v\'altozata, amelyben f\"uggetlen t\"obbdimenzi\'os
v\'eletlen vektorok \"ossze\-gei\-nek alkalmas normaliz\'altj\'anak
eloszl\'asai teljes\'{\i}tenek valamilyen
hat\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-telt nagyon \'altal\'anos felt\'etelek
mellett. Ezenk\'{\i}v\"ul \'erdekel minket a le\-het\-s\'e\-ges
hat\'ar\-elosz\-l\'a\-sok konkr\'et alakja is. Ezt a k\'erd\'est,
amelynek fontos jelent\H{o}s\'ege van mind a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as\-ban mind
a matematikai statisztik\'aban, megv\'alaszolt\'ak. Ezek a 
vizsg\'alatok vezettek a t\"obbdimenzi\'os norm\'alis eloszl\'asok
bevezet\'es\'ehez. A centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
t\"obbdimenzi\'os \'altal\'anos\'{\i}t\'as\'aval a k\"ovetkez\H{o} 
f\'el\'evben fogunk foglalkozni.

\medskip
Tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} k\'et p\'eld\'at, amelyek
n\'emi inform\'aci\'ot ny\'ujtanak a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel gyakorlati k\"ovetkezm\'enyeir\H{o}l.
Ezut\'an a centr\'alis ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel tov\'abbi 
alkalmaz\'asaira is mutatok p\'eld\'at.

\medskip\noindent
{\it Els\H{o} p\'elda:}
\medskip\noindent
A 2000.~\'evi eln\"okv\'alaszt\'ason az Egyes\"ult \'Allamok Florida 
\'allam\'aban rendk\'{\i}v\"ul szoros eredm\'eny sz\"u\-le\-tett. 
5~000~000 v\'alaszt\'o v\'alasztott k\'et p\'art, a republik\'anus 
\'es demokrata p\'art jel\"oltjei k\"oz\"ott. A k\'et jel\"olt \'altal 
szerzett szavazatok sz\'ama (egy adott id\H{o}pontbeli felm\'er\'es 
sze\-rint) mind\"ossze 300 volt. Tegy\"uk fel, hogy a v\'alaszt\'ok
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul $\frac12$ 
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel
v\'a\-lasz\-tot\-t\'ak valamelyik p\'art jel\"oltj\'et. E feltev\'es
teljes\"ul\'ese eset\'en mennyi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, 
hogy a k\'et jel\"olt \'altal \"ossze\-gy\"uj\-t\"ott szavazatok
k\"u\-l\"onb\-s\'e\-ge nem haladja meg a h\'aromsz\'azat?

\medskip\noindent
{\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$,
$1\le j\le 5~000~000$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat:
$\xi_j=1$, ha a $j$-ik v\'alaszt\'o a demokrata, $\xi_j=0$, ha a $j$-ik
v\'alaszt\'o a republik\'anus jel\"oltre szavaz. Ekkor
$S=\summ_{j=1}^{5~000~000}\xi_j$ a demokrata \'es $5~000~000-S$ a
republik\'anus jel\"oltre leadott szavazatok sz\'ama. 
Minket a $P(|2S-5~000~000|\le300)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
nagys\'aga \'erdekel. Vegy\"uk \'eszre, hogy a $\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek,
$E\xi_j=\frac12$, $\Var\xi_j=\frac14$,  ez\'ert $ES=2~500~000$,
$\Var S=\frac14\cdot5~000~000$, \'es a $P\(\left|\frac
{S-2~500~000}{\sqrt{\frac14\cdot5~000~000}}\right|<x\)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek kisz\'am\'{\i}t\'as\'ara alkalmazhatjuk a
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelt. Ennek alap\-j\'an
$$ \allowdisplaybreaks
\align
P(|2S-5~000~000|\le300)&=P\(\left|\frac{S-ES}{\sqrt{\Var
S}}\right|\le\frac{150}{\sqrt{\frac14\cdot5~000~000}}\)\\
&=P\(-\frac{150}{\sqrt{\frac14\cdot5~000~000}}\le\frac{S-ES}{\sqrt{\Var S}}
\le\frac{150}{\sqrt{\frac14\cdot5~000~000}}\)\\
&\sim \Phi\(\frac{150}{\sqrt{\frac14\cdot5000000}}\)-
\Phi\(-\frac{150}{\sqrt{\frac14\cdot5000000}}\)\\
&=2\Phi\(\frac{6\sqrt5}{100}\)-1\sim2\Phi(0.124)-1\sim0.1.
\endalign
$$

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:} Val\'oj\'aban a feladatban  t\'argyalt
modell  n\'emileg irre\'alis. \'Altal\'aban k\"u\-l\"on\-b\"o\-z\H{o}
k\"orzetek vannak, ahol a jel\"oltek n\'epszer\H{u}s\'ege
elt\'er\H{o}. Egy jobb, a va\-l\'o\-s\'a\-got jobban
k\"ozel\'{\i}t\H{o} modellben p\'eld\'aul azt t\'etelezhetj\"uk fel,
hogy k\"ul\"onb\"oz\H{o} k\"orzetek vannak, az egyes k\"orzetekben az
egyes v\'elem\'enyek f\"uggetlenek, de az, hogy milyen
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel v\'alasztja egy v\'alaszt\'o
valamelyik jel\"oltet att\'ol is f\"ugg, hogy mely k\"orzetben lakik.
Ez a modell is vizsg\'alhat\'o a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, de itt m\'ar a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel \'altal\'anosabb, f\"uggetlen, de nem
felt\'etlen\"ul egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek hat\'areloszl\'as\'at le\'{\i}r\'o
alakj\'ara van sz\"uks\'eg.

\medskip
Az el\H{o}z\H{o} feladat azt mutatja, hogy annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy f\"uggetlen
val\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egi v\'altoz\'ok viszonylag k\"ozel
vannak a v\'arhat\'o \'ert\'ek\"ukh\"oz el\'eg nagy. Nem irre\'alis
p\'eld\'aul felt\'etelezni, hogy 5~000~000 szavaz\'o \'altal egy
jel\"oltre leadott szavazatok sz\'ama mind\"ossze 150-nel
k\"ul\"onb\"ozik annak v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et\H{o}l. A
k\"ovetkez\H{o} feladatban hasonl\'o probl\'em\'at tekint\"unk.
Egy szab\'alyos p\'enzdarabot 10~000 alkalommal feldobunk, \'es
azt akarjuk tudni, mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a
fej-dob\'asok sz\'ama mind\"ossze 100-zal vagy 200-zal t\'er el
annak v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et\H{o}l. Ezt a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget kisz\'amoljuk pontosan a centr\'alis
hat\'areloszl\'at\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel. M\'asr\'eszt
megvizsg\'aljuk milyen becsl\'est ad a 7.~t\'ema ismertet\'es\'eben
(a 9.~oldalon) bizony\'{\i}tott Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eg, illetve
annak a szint\'en a 7.~t\'ema ismertet\'es\'eben tekintett 
alkalmaz\'asa f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\"osszeg\'ere (20.--21. oldal). Ilyen 
m\'odon inform\'aci\'ot kapunk arr\'ol is, hogy bizonyos
esetekben milyen j\'o becsl\'est ad a Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eg.

\medskip\noindent
{\it M\'asodik p\'elda:}

\medskip\noindent
Tekints\"unk egy szab\'alyos p\'enzdarab 10~000
egym\'as ut\'ani (f\"uggetlen) feldob\'as\'ab\'ol sz\'ar\-ma\-z\'o
fej-\'{\i}r\'as sorozatot. Adjunk becsl\'est a Csebisev
egyenl\H{o}tlens\'eg se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere, hogy a fej-dob\'asok sz\'am\'anak
elt\'er\'ese a v\'art 5000 sz\'amt\'ol legal\'abb 100-zal, illetve
legal\'abb 200-zal elt\'er! Milyen becsl\'est ad ezekre a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekre a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel?

\medskip\noindent
{\it Megold\'as:}\/  Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$,
$1\le j\le 10~000$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, amelyekre
$\xi_j=1$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye fej, $\xi_j=0$, ha a
$j$-ik dob\'as eredm\'enye \'{\i}r\'as. Ekkor $\xi_j$, $1\le j\le
10~000$ f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
$E\xi_j=\frac12$, $\text{Var}\, \xi_j=\frac14$, \'es a
$P\(\left|\summ_{j=1}^{10000}(\xi_j-E\xi_j)\right|>100\)$ \'es
$P\(\left|\summ_{j=1}^{10000}(\xi_j-E\xi_j)\right|>200\)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gek\-re kell becsl\'est adnunk. A
Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eg az els\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre
a
$$
P\(\left|\summ_{j=1}^{10000}(\xi_j-E\xi_j)\right|>100\)
\le \frac {10000\cdot\Var\xi_1}{100^2}=\frac14,
$$
 a m\'asodik val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre pedig a
$$
P\(\left|\summ_{j=1}^{10000}(\xi_j-E\xi_j)\right|>200\)
\le \frac {10000\cdot\Var\xi_1}{200^2}=\frac1{16}
$$
becsl\'est adja.

\medskip
A centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel szerint
$P\(\frac{\summ_{j=1}^{10000}(\xi_j-E\xi_j)}
{\sqrt{10000\cdot\frac14}}>u\) \sim 1-\Phi(u)$. Innen azt kapjuk, 
hogy az els\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget a 
$$
P\(\left|\summ_{j=1}^{10000}(\xi_j-E\xi_j)\right|>100\)=
1-P\(-2\le\frac{\summ_{j=1}^{10000}(\xi_j-E\xi_j)}
{\summ_{j=1}^{10000}\Var\xi_j}\le2\)\sim \Phi(2)-\Phi(-2)
$$
sz\'amol\'as seg\'{\i}ts\'eg\'evel becs\"ulhetj\"uk meg. Ez\'ert ez 
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg k\"ozel\'{\i}t\H{o}leg 
$(1-\Phi(2))+\Phi(-2)=2(1-\Phi(2))\sim2(1-0.97720)=0.0456$. A 
m\'asodik val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg hasonl\'oan k\"or\"ulbel\"ul
$2(1-\Phi(4))\sim0$, (az els\H{o} 4 tizedesjegy 0). (A Csebisev
egyenl\H{o}tlens\'eg 0.25 illetve 0.0625 fels\H{o} becsl\'est adott
ezekre a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekre.)

\medskip
A tov\'abbiakban m\'as olyan feladatokat fogok t\'argyalni, 
amelyeket a centr\'alis ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel 
se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel lehet megoldani.

\medskip
\item{1.)} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk 1200 alkalommal
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul, \'es \"ossze\-ad\-juk a p\'aros
\'ert\'ek\H{u} dob\'asok eredm\'eny\'et. Adjunk j\'o
k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est a centr\'alis
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel \'es egy norm\'alis
eloszl\'ast\'abl\'azat seg\'{\i}ts\'eg\'evel arra, hogy ez az
\"osszeg 2280 \'es 2500 k\"oz\'e esik.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$,
$1\le j\le 1200$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=2$,
ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye 2, $\xi_j=4$, ha a $j$-ik dob\'as
eredm\'enye 4, $\xi_j=6$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye 6, $\xi_j=0$,
ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye 1, 3 vagy 5. Ekkor a $P\(2280\le
\summ_{j=1}^{1200}\xi_j\le2500\)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget kell
j\'ol megbecs\"uln\"unk. Vegy\"uk \'eszre, hogy
$E\xi_j=\frac16(2+4+6)=2$,
$\Var\xi_j=\frac16(4+16+36)-4=\frac{16}3$.
Innen a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel alapj\'an
$$
\align
P\(2280\le\summ_{j=1}^{1200}\xi_j\le2500\)&=
P\(\frac{-120}{\sqrt{1200\frac{16}3}}
\le\frac{\summ_{j=1}^{1200}\xi_j-\summ_{j=1}^{1200}E\xi_j}
{\sqrt{\summ_{j=1}^{1200}\Var\xi_j}}
\le\frac{100}{\sqrt{1200\frac{16}3}}\) \\
&\sim\Phi(1.25)-\Phi(-1.5)\sim0.8944+0.9322-1=0.8266.
\endalign
$$

\medskip
\item{2.)} Vegy\"unk egy olyan p\'enzdarabot, amely $\frac23$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel esik a fej \'es $\frac13$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel az \'{\i}r\'as oldalra. Ezt a
p\'enzdarabot addig dobjuk fel egym\'as ut\'an, ameddig megjelenik  
1200 fej dob\'as. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az 
elv\'egzett dob\'asok sz\'ama 1680 1830 k\"oz\'e esik? Adjunk erre 
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre j\'o k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Az elv\'egzett dob\'asok sz\'ama egy
$\eta$ negat\'{\i}v binomi\'alis eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o
$n=1200$ \'es $p=\frac23$ param\'eterekkel, azaz
$P(\eta=k+n)=\binom{n+k-1}{n-1}(1-p)^kp^n$, $p=\frac23$, \'es
$n=1200$ param\'eterrel. Ez az eredm\'eny, amelyet tanultunk a
negat\'{\i}v binomi\'alis eloszl\'as t\'argyal\'asakor elvileg
lehet\H{o}s\'eget ad arra, hogy a k\'{\i}v\'ant
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget meghat\'arozzuk egy bonyolult \"osszeg 
kisz\'am\'{\i}t\'as\'anak a seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Enn\'el 
hasz\-no\-sabb becsl\'est kapunk a k\"ovetkez\H{o} \'ervel\'es 
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, amelyben a keresett
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-get a centr\'alis 
hat\'areloszl\'ast\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel sz\'amoljuk ki 
j\'o pontoss\'aggal.


\item{} Jel\"olje $\xi_j$, $2\le j\le 1200$, a $j-1$-ik \'es $j$-ik
fejdob\'as k\"oz\"otti dob\'asok sz\'am\'at (a $j$-ik fejdob\'ast
belesz\'am\'{\i}tjuk a $j-1$-iket viszont nem  sz\'am\'{\i}tjuk bele e
dob\'asok k\"oz\'e), \'es legyen $\xi_1$ az els\H{o} fejdob\'asig (ezt
is belesz\'am\'{\i}tva) elv\'egzett dob\'asok sz\'ama. Ekkor a
$\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek,
negat\'{\i}v binomi\'alis eloszl\'as\'uak $n=1$, $p=\frac23$
param\'eterekkel, \'es minket a $P(1680<\xi_1+\cdots+\xi_{1200}<1830)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel. A 6. el\H{o}ad\'as
5.~feladat\'aban kisz\'amoltam ezt a v\'arhat\'o \'ert\'eket \'es
sz\'or\'asn\'egyzetet. Innen k\"ovetkezik, hogy
$E\xi_j=\frac1{p}=\frac32$, $\Var \xi_j=\frac
{1-p}{p^2}=\frac34$. Ez\'ert a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
alapj\'an $\eta=\xi_1+\cdots+\xi_{1200}$ jel\"ol\'essel minket a
$$
P\(-4<\frac{\eta-1200E\xi_1}{\sqrt{1200\Var\xi_1}}<1\)
$$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg \'erdekel. A cent\-r\'a\-lis
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel alapj\'an
$$
P\(-4<\frac{\eta-1200E\xi_1}{\sqrt {1200\Var\xi_1}}<1\)
\sim\Phi\(1\)+\Phi(4)-1\sim\Phi(1).
$$

\medskip
\item{3.)} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at \'es egy szab\'alyos 
\'erm\'et feldobunk 3300 alkalommal egy\-m\'as\-t\'ol f\"uggetlen\"ul. 
(Az \'erme \'es kockadob\'asok eredm\'enyei is f\"uggetlenek 
egy\-m\'as\-t\'ol.) Ha a kockadob\'as eredm\'enye p\'aros \'es az 
\'erme a fej oldalra esett, akkor annyi forintot nyer\"unk, amennyi 
a kockadob\'as eredm\'enye. Ha az \'erme az \'{\i}r\'as oldalra esett 
vagy a kockadob\'as eredm\'enye p\'aratlan sz\'am, akkor nem 
nyer\"unk, \'es nem is veszt\"unk semmit. Mi a 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy az \"ossznyerem\'eny\"unk
3190 \'es 3520 forint k\"oz\'e esik? Adjunk erre j\'o
k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
\'es egy norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$ \'es
$\eta_j$, $1\le j\le 3300$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat:
$\xi_j=2$, ha a $j$-ik kockadob\'as eredm\'enye 2, $\xi_j=4$, ha a
$j$-ik kockadob\'as eredm\'enye 4, $\xi_j=6$, ha a $j$-ik kockadob\'as
eredm\'enye 6, $\xi_j=0$, ha a $j$-ik kockadob\'as eredm\'enye 1, 3
vagy 5. Legyen $\eta_j=1$, ha a $j$-ik \'ermedob\'as eredm\'enye fej,
\'es $\eta_j=0$, ha a $j$-ik \'ermedob\'as \'{\i}r\'as. Legyen
$\zeta_j=\xi_j\eta_j$. Ekkor a $j$-ik dob\'asn\'al a nyerem\'eny\"unk
$\zeta_j$ lesz, $1\le j\le 3300$,  \'es a $P\(3190\le
\summ_{j=1}^{3300}\zeta_j\le3520\)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget kell
j\'ol megbecs\"uln\"unk. Ennek \'erdek\'eben sz\'amoljuk ki a
f\"uggetlen $\zeta_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
$E\zeta_j=E\xi_j\eta_j=E\xi_jE\eta_j=\frac16(2+4+6)\cdot\frac12=1$,
$E\zeta_j^2=E\xi_j^2E\eta_j^2=\frac16(4+16+36)\cdot\frac12
=\frac{14}3$, $\Var\zeta_j^2=E\zeta_j^2-(E\zeta_j)^2=\frac{11}3$.
Innen a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel alapj\'an
$$
\align
P\(3190\le\summ_{j=1}^{3300}\zeta_j\le3520\)&=
P\(\frac{-110}{\sqrt{3300\frac{11}3}}
\le\frac{\summ_{j=1}^{3300}\zeta_j-\summ_{j=1}^{3300}E\zeta_j}
{\sqrt{\summ_{j=1}^{3300}\Var\xi_j}}
\le\frac{220}{\sqrt{3300\frac{11}3}}\) \\
&\sim\Phi(2)-\Phi(-1)=0.9772+0.8413-1=0.9285.
\endalign
$$

\medskip
\item{4.)} Legyen birtokunkban 100 l\'ampa, amelyek mindegyike
egym\'ast\'ol f\"uggetlen id\H{o}\-tar\-ta\-mig m\H{u}k\"odik,
\'elettartamuk pedig exponenci\'alis eloszl\'as\'u
$\lambda=\frac1{10}$ param\'eterrel. (A l\'amp\'ak \'elettartam\'anak
exponenci\'alis eloszl\'asa term\'eszetes felt\'etelez\'es.) Egy termet
be\-vi\-l\'a\-g\'{\i}\-tunk ezen l\'amp\'ak valamelyik\'evel, majd
amikor az ki\'egett, \'uj l\'amp\'at haszn\'alunk fel. Adjunk j\'o
becsl\'est arra, hogy a l\'amp\'ak \"ossz\'elettartama legal\'abb 
1150 \'ora.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $\xi_j$ a $j$-ik l\'ampa
\'el\'ettartam\'at, $1\le j\le100$. Ekkor a
$P(\xi_1+\cdots+\xi_{100}>1150)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre kell
j\'o becsl\'est adnunk, ahol az \"osszegben f\"uggetlen exponenci\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok szerepelnek
$\lambda=\frac1{10}$ param\'eterrel. Vezess\"uk be az
$\eta=\xi_1+\cdots+\xi_{100}$ jel\"ol\'est.

\item{} Kisz\'amoltuk a 8. el\H{o}ad\'as 7. feladat\'aban egy 
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o 
momentumait. Ennek alapj\'an jelen esetben
$E\eta=mE\xi_1=\frac m\lambda=1000$, $\Var \eta=\frac
m{\lambda^2}=10 000$ ($m=100$ \'es $\lambda=\frac1{10}$
v\'alaszt\'assal). Ez\'ert a centr\'alis 
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel sze\-rint 
$\frac{\eta-E\eta}{\sqrt{ \Var\eta}}=\frac{\eta-1000}{100}$ j\'o
k\"ozel\'{\i}t\'essel standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, \'es
$P(\xi_1+\cdots+\xi_{100}>1150) =P\(\frac{\eta-E\eta}{\sqrt{\Var
\eta}}>1.5\)\sim1-\Phi(1.5)$.

\medskip
A centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel nagy seg\'{\i}ts\'eget ad a
ma\-te\-ma\-ti\-kai statisztika k\'et fontos probl\'emak\"or\'eben,
a becsl\'eselm\'eletben  \'es a hipot\'ezisvizsg\'alatban. A
becsl\'eselm\'eletben a k\"ovetkez\H{o} probl\'em\'akhoz hasonl\'o 
k\'erd\'esekkel foglalkozunk. Mennyi egy l\'ampa v\'arhat\'o 
\'elettartama, mennyi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak,
hogy egy kocka a hatos oldalra esik, mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
annak, hogy egy (\'eletbiztos\'{\i}t\'ast k\"otni akar\'o ember) 
meg\'eli a hetvenedik \'evet? \'Altal\'aban a k\'erd\'es a 
k\"ovetkez\H{o}: Egy esem\'eny eloszl\'asa f\"ugg valamilyen ismeretlen
param\'eter(ek)t\H{o}l, \'es ez(eke)t a param\'eter(eke)t akarjuk
megbecs\"ulni. Ennek \'erdek\'eben kis\'erleteket v\'egz\"unk, \'es
valamilyen j\'o m\'odszer seg\'{\i}ts\'eg\'evel pr\'ob\'aljuk
megbecs\"ulni az ismeretlen param\'etert e kis\'erletek
eredm\'eny\'enek a f\"uggv\'eny\'eben.

A hipot\'ezisvizsg\'alatban a feladat az, hogy bizonyos
hipot\'ezis\"unk van arr\'ol, hogy mennyi az \'elettartama egy
l\'amp\'anak, mennyire n\'epszer\H{u} egy v\'elem\'eny a
v\'alaszt\'ok k\"oz\"ott, hogy  egy gy\'ogyszer hat\'asosabb, mint
egy m\'asik. \'Altal\'aban, valamilyen hasonl\'o 
prob\-l\'e\-m\'a\-r\'ol van
egy ellen\H{o}rizend\H{o} felt\'etelez\'es\"unk. Annak
\'erdek\'eben, hogy eld\"onts\"uk, helyes-e a hipot\'ezis\"unk
kis\'erleteket v\'egz\"unk. Ha kis\'erleteink eredm\'enye nagyon
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}t\-len hipot\'ezis\"unk teljes\"ul\'ese
eset\'en, akkor hipot\'ezis\"unket elutas\'{\i}tjuk, ha pedig
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}, akkor elfogadjuk azt. De mikor
tekintj\"uk a bek\"ovetkezett eredm\'enyt val\'osz\'{\i}n\H{u}nek
\'es mikor val\'osz\'{\i}n\H{u}tlennek? E k\'erd\'es
eld\"ont\'es\'eben sokszor a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
seg\'{\i}t. Erre mutatok n\'eh\'any p\'eld\'at. E p\'eld\'ak
t\'argyal\'asa el\H{o}tt bevezetem a ma\-te\-ma\-ti\-kai statisztika
n\'eh\'any egyszer\H{u} \'es term\'eszetes fogalm\'at. Jelen
el\H{o}\-ad\'as\-soro\-zat\-ban csak a hipot\'ezisvizsg\'alattal
foglalkozom, \'es az ehhez kapcsol\'od\'o fogalmakat vezetem be.

Azt a felt\'etelez\'est, amelyet ellen\H{o}rizni akarunk nevezik
null-hipot\'ezisnek, annak ellenkez\H{o}j\'et pedig ellenhipot\'ezisnek.
Vannak olyan feladatok, amelyekben a null-hipot\'ezis egyetlen
elemb\H{o}l \'all, p\'eld\'aul, ha azt t\'etelezz\"uk fel, hogy egy
dob\'okocka szab\'alyos. Az ilyen hipot\'eziseket nevezik egyszer\H{u}
hipot\'ezisnek. Vannak olyan feladatok, amelyekben a null-hipot\'ezis
t\"obb elemb\'ol \'all, p\'eld\'aul az a felt\'etelez\'es, hogy egy
javaslatot az emberek legal\'abb fele t\'amogat. Az ilyen
hipot\'eziseket h\'{\i}vj\'ak \"osszetett hipot\'ezisnek. K\'et fajta
hib\'at k\"ovethet\"unk el. Az egyik hiba az, hogy a hipot\'ezis
teljes\"ul, mi m\'egis elutas\'{\i}tjuk azt. Ezt nevezik els\H{o}faj\'u
hib\'anak. Azt, hogy a hipot\'ezis nem teljes\"ul, \'es mi m\'egis 
\'ugy d\"ont\"unk, hogy az teljes\"ul, m\'asodfaj\'u hib\'anak
nevezik. Az els\H{o}faj\'u hiba cs\"okkent\'ese \'erdek\'eben
min\'el t\"obbsz\"or kell elfogadni, a m\'asodfaj\'u hipot\'ezis
cs\"okkent\'ese \'erdek\'eben pedig min\'el t\"obbsz\"or kell
elutas\'{\i}tani a hipot\'ezist. A gyakorlatban \'altal\'aban \'ugy
szokt\'ak a feladatokat megfogalmazni, hogy az els\H{o}faj\'u hib\'ara
el\H{o}\'{\i}runk egy fels\H{o} korl\'atot, \'es eme felt\'etel mellett
pr\'ob\'aljuk a m\'asodfaj\'u hib\'at min\'el kisebb\'e tenni. Az
els\H{o}faj\'u hib\'ara adott fels\H{o} korl\'at \"osszetett
null-hipot\'ezis eset\'en azt jelenti, hogy az els\H{o}faj\'u hiba
minden a null-hipot\'ezis teljes\"ul\'ese eset\'en el\H{o}fordulhat\'o
eloszl\'as eset\'en legyen kisebb, mint az el\H{o}\'{\i}rt fels\H{o}
korl\'at.

\medskip
\item{5.)} Egy p\'enzdarabr\'ol ellen\H{o}rizni akarjuk, hogy igaz-e
az a hipot\'ezis, amely szerint ez az \'erme legal\'abb $\frac34$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik a fej \'es legfeljebb $\frac14$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az \'{\i}r\'as oldal\'ara. Ennek
\'erdek\'eben feldobjuk a p\'enzdarabot 30~000 alkalommal, \'es a
k\"ovetkez\H{o} d\"ont\'esi szab\'alyt hozzuk. V\'alasztunk egy $k$
sz\'amot, \'es akkor fogadjuk el a hipot\'ezist helyesnek, ha
legal\'abb $k$ fejdob\'as t\"ort\'ent. Legal\'abb mekkor\'anak kell
v\'alasztanunk ezt a $k$ sz\'amot, ha azt akarjuk, hogy egy a
hipot\'ezist teljes\'{\i}t\H{o} p\'enzdarab eset\'en legal\'abb 0.9
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel d\"onts\"unk \'ugy, hogy a
hipot\'ezis teljes\"ul?

\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=1$, ha a $j$-ik
dob\'as eredm\'enye fej, $\xi_j=0$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye
\'{\i}r\'as, $1\le j\le30\,000$,
$S=S_{30000}=\summ_{j=1}^{30\,000}\xi_j$. Ha a fejdob\'as
eredm\'eny\'enek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege pontosan
$\frac34$, akkor $E\xi_j=\frac34$, $E\xi_j^2=\frac34$,
$\Var\xi_j=E\xi_j^2-\(E\xi_j\)^2=\frac3{16}$,
$ES=30\,000E\xi_j=22\,500$, $\Var S=30\,000\Var\xi_j=5625=75^2$.
Innen \'es a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelb\H{o}l,
$$ \allowdisplaybreaks
\align
P(S>k)&=P\(\frac{S-ES}{\sqrt{\Var S}}>\frac{k-22\,500}{75}\)
=1-P\(\frac{S-ES}{\sqrt{\Var S}}\le \frac{k-22\,500}{75}\)\\
&\sim 1-\Phi\(\frac{k-22\,500}{75}\).
\endalign
$$
V\'alasszuk a $k$ sz\'amot \'ugy, hogy a fenti
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg k\"or\"ulbel\"ul 0.9 legyen. Ekkor a
$\Phi\(\frac{k-22\,500}{75}\)=0.1$ vagy ami ezzel ekvivalens,
a $\Phi\(\frac{22\,500-k}{75}\)=0.9$ egyenletet kell
kiel\'eg\'{\i}ten\"unk. A norm\'alis eloszl\'as-t\'abl\'azat alapj\'an
$\frac{22\,500-k}{75}\sim1.28$, ami azt jelenti, hogy
$k=22\,500-75\cdot 1.28$ \'es $p=\frac34$ eset\'en annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a fejdob\'asok sz\'ama nagyobb mint
$k=22\,500-75\cdot 1.28=22\,212$ \'es $p=\frac34$ eset\'eben annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy legal\'abb ennyi fejdob\'as
t\"ort\'enik k\"or\"ulbel\"ul 0.9. Ha $p\ge\frac34$, akkor ez a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg nagyobb. Ez\'ert a $k=22\,212$ helyes
v\'alaszt\'as.

\medskip
\item{6.)} Ledobunk egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul 24~000 pontot a
$[0,2]$ intervalumra egyenletes el\-osz\-l\'as\-sal, (azaz annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy ledobott pont \'ert\'eke
$x$-n\'el kisebb $\frac x2$-vel egyenl\H{o}, ha $0\le x\le 2$, eggyel
egyenl\H{o}, ha $x\ge2$, \'es nulla, ha $x\le0$.) \H{O}rizz\"uk meg
azokat a ledobott pontokat, melyek \'ert\'eke 1-n\'el kisebb, \'es
hagyjuk el azokat, melyek \'ert\'eke, nagyobb mint egy. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a meg\H{o}rz\"ott pontok \'ert\'ekeinek
az \"osszege 5900  \'es 6075 k\"oz\'e esik? Adjunk erre a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre j\'o k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est
egy norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$,
$1\le j\le 24~000$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat:
$\xi_j=x$, ha a $j$-ik ledobott pont \'ert\'eke $x$, \'es $0\le x\le
1$, \'es $\xi_j=0$, ha a $j$-ik ledobott pont \'ert\'eke az $(1,2]$
intervallumba esik. Ekkor a meg\H{o}rz\"ott pontok \"osszege
$S=\summ_{j=1}^{24~000}\xi_j$, tov\'abb\'a a $\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek \'es egyforma
eloszl\'as\'uak.  Ez\'ert a centr\'alis hat\'arelosz\'ast\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel j\'o becsl\'est tudunk adni a minket
\'erdekl\H{o} $P(5900<S<6075)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre. Ennek
\'erdek\'eben ki kell sz\'amolnunk  a $\xi_1$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es
sz\'or\'asn\'egyzet\'et. Vegy\"uk \'eszre, hogy ugyan a $\xi_1$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'o\-nak nincs
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es nem disz\-kr\'et eloszl\'as\'u,
viszont $F$ eloszl\'asf\"uggv\'enye fel\'{\i}rhat\'o
$F(x)=F_1(x)+F_2(x)$ alakban, ahol $F_1(x)$ nek van
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, ami az $f(x)=\frac12$
f\"uggv\'eny a $[0,1]$ intervallumon, \'es $f(x)=0$, ha $x<0$ vagy
$x>1$, \'es $F_2(x)$ olyan m\'ert\'eket hat\'aroz meg, amelyik a
null\'aba van koncentr\'alva, \'es a nulla m\'ert\'eke $\frac12$.
Pontosabban, tetsz\H{o}leges $A$ halmaz val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
$P(A)=\int_A F(\,dx)=\int_A F_1(\,dx)+\int_A F_2(\,dx)=
\int_{A\cap[0,1]} \frac12\,dx+\int_A F_2(\,dx)$, ahol
$\int_A F_2(\,dx)=\frac12$, ha $0\in A$, \'es
$\int_A F_2(\,dx)=0$, ha $0\notin A$. Ekkor tetsz\H{o}leges $h(x)$
f\"uggv\'enyre $Eh(\xi)=\int h(x) F(\,dx)=\int h(x) F_1(\,dx)+\int h(x)
F_2(\,dx)=\int _0^1 \frac12 h(x)\,dx+\frac12 h(0)$. Ez\'ert
$$
E\xi_1=\frac12\int_0^1 x\,dx=\frac14, \quad
E\xi_1^2=\frac12\int_0^1 x^2\,dx=\frac16, \quad \Var
\xi_1=\frac16-\frac1{16}=\frac5{48},
$$
\'es $ES=6000$, $\Var S=2500$. Innen
$$
\align
P(5900<S<6075)&=P\(-2< \frac {S-ES}{\sqrt{\Var S}}<1.5\)\\
&\sim\Phi(1.5)-\Phi(-2)=\Phi(1.5)+\Phi(2)-1.
\endalign
$$
\item{} A $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok v\'arhat\'o
\'er\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et hagyom\'anyos m\'odon 
(Stieltjes integr\'alok haszn\'alata n\'elk\"ul) is kisz\'amolhattuk 
volna a k\"ovetkez\H{o}k\'eppen. Legyen $\eta_j$, a $j$-ik ledobott
pont \'ert\'eke, $h(x)$ az a f\"uggv\'eny a $[0,2]$ intervallumon,
amelyre $h(x)=x$, ha $0\le x\le1$, \'es $h(x)=0$, ha $1<x\le2$. 
Ekkor $\xi_j=h(\eta_j)$, \'es innen az $\eta_j$ 
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'enek
az ismeret\'eben fel tudjuk \'{\i}rni, hogy
$E\xi_j=Eh(\eta_j)=\int_0^2h(x)\frac12\,dx=\int_0^1\frac12x\,dx
=\frac14$, \'es
$E\xi^2_j=Eh^2(\eta_j)=\int_0^2h^2(x)\frac12\,dx
=\int_0^1\frac12x^2\,dx=\frac16$.  

\medskip

A centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel egy fontos speci\'alis esete
a binomi\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny k\"ozel\'{\i}t\'es\'er\H{o}l
sz\'ol a norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
T\"ort\'enetileg is ez az ered\-m\'eny sz\"uletett meg el\H{o}sz\"or.
Ismertetem ezt az irodalomban Moivre--Laplace formula n\'even
t\'argyalt eredm\'enyt. Val\'oj\'aban ez az eredm\'eny kiss\'e m\'as
jelleg\H{u}, mint a klasszikus centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel.
Ez \'ugynevezett lok\'alis centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel,
amely annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere ad j\'o becsl\'est, hogy
egy $n$ \'es $p$ param\'eter\H{u} $B(n,p)$ binomi\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy
el\H{o}\'{\i}rt `tipikus' \'ert\'eket vesz fel.

Eml\'ekeztetek arra, hogy ha elv\'egz\"unk $n$ f\"uggetlen
kis\'erletet, amelyek mindegyike egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul $p$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel sikeres, akkor a sikeres kis\'erletek
sz\'ama egy $B(n,p)$, $n$ \'es $p$ param\'eter\H{u} binomi\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Ezt a
k\"o\-vet\-ke\-z\H{o}\-k\'eppen is megfogalmazhatjuk. Vezess\"uk be
a $\xi_j$, $1\le j\le n$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat,
amelyekre $\xi_j=1$, ha a $j$-ik kis\'erlet sikeres \'es $\xi_j=0$,
ha a $j$-ik kis\'erlet sikertelen volt. Ekkor
$P(\xi_j=1)=1-P(\xi_j=0)=p$ minden $1\le j\le n$ indexre, a $\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek, \'es az
$S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$n$ \'es $p$ param\'eter\H{u} binomi\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. A Moivre--Laplace formula
a $P(S_n=k)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekre ad j\'o
k\"ozel\'{\i}t\'est. Vegy\"uk \'eszre, hogy ezeket a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket explicit m\'odon is fel tudjuk
\'{\i}rni. Nevezetesen, $P(S_n=k)=\binom nkp^k(1-p)^{n-k}$. A
Moivre--Laplace formula val\'oj\'aban egy anal\'{\i}zisbeli
eredm\'eny, amely erre a kifejez\'esre ad j\'o aszimptotik\'at.
Bizony\'{\i}t\'as\'aban kulcsszerepet j\'atszik az al\'abbi
Stirling formul\'anak nevezett h\'{\i}res eredm\'eny, amely az
$n!$ mennyis\'eg egy j\'o k\"ozel\'{\i}t\'es\'et \'{\i}rja le. A
k\"ovetkez\H{o} el\H{o}ad\'ason ismertetni fogom a Stirling
formul\'anak egy olyan bizony\'{\i}t\'as\'at, amely r\'eszben
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi gondolatokon alapul.

\medskip\noindent
{\bf Stirling formula.}
{\it
$$
n!\sim\sqrt{2\pi n}\(\frac ne\)^n,
$$
azaz az els\H{o} $n$ eg\'esz sz\'am $n!=1\cdot2\cdot3\cdots n$ 
szorzata teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o} rel\'aci\'ot:
$$
\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{2\pi n}\(\frac ne\)^n}{n!}=1.
$$
}

A Stirling formula \'es alkalmas Taylor sorfejt\'es
seg\'{\i}ts\'eg\'evel bizony\'{\i}that\'o az al\'abbi

\medskip\noindent
{\bf Moivre--Laplace formula.} {\it Legyen $S_n$ binomi\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o vala\-mely
$n$ \'es $p$ param\'eterekkel, $n=1,2,\dots$, $0<p<1$.
R\"ogz\'{\i}ts\"unk egy $A>0$ sz\'a\-mot. Ekkor
$$
P(S_n=k)=\binom nkp^k(1-p)^{n-k}=\frac1{\sqrt{2\pi np(1-p)}}
\exp\left\{ -\frac{(k-np)^2}{2np(1-p)} \right\}+\e_{k,n},
$$
ha $|k-np|<A\sqrt{np(1-p)}$. A formul\'aban szerepl\H{o} 
$\e_{k,n}$ hibatag teljes\'{\i}ti a 
$\limm_{n\to\infty}\frac{\e_{k,n}}{\sqrt n}=0$ 
becsl\'est, \'es a limesz egyenletes a $k=k(n)$ v\'altoz\'oban, 
ha olyan $k(n)$, $n=1,2,\dots$, sorozatokat tekint\"unk, amelyek 
teljes\'{\i}tik a $|k(n)-np|<A\sqrt{np(1-p)}$ egyenl\H{o}tlens\'eget 
minden $n\ge n_0$ indexre valamely r\"ogz\'{\i}tett $n_0$ sz\'ammal.}
\medskip

\'Erts\"uk meg a fenti k\"ozel\'{\i}t\'es jelent\'es\'et. Az $S_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke
$ES_n=np$, sz\'or\'asn\'egyzete $\Var S_n=np(1-p)$. Ez\'ert a a
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel a
$P\(\frac{S_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}<x\)=P(S_n<np+x\sqrt{np(1-p)})$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekre ad j\'o becsl\'est. Vezess\"uk be az 
$x_k=x_k(n)=\frac{k-np}{\sqrt{np(1-p)}}$ mennyis\'egeket. Az 
$\frac{S_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'o az $x_k$, $k=0,\pm1,\pm2,\dots$, \'ert\'ekeket veszi fel, 
amelyek egy $\frac1{\sqrt{np(1-p)}}$ s\H{u}r\H{u}s\'eg\H{u} r\'acson 
helyezkednek el. Ez\'ert nagy $n$ indexre egy a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel differenci\'al\'as\'ahoz hasonl\'o 
form\'alis sz\'amol\'as (egy differenciah\'anyadost becs\"ul\"unk meg
a dif\-fe\-ren\-ci\'al\-h\'a\-nya\-dos helyett) azt sugallja, hogy 
$$
\align
P(S_n=k)&=P\(\frac{S_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}=x_k\)
=P\(\frac{S_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}\in [x_k,x_{k+1})\)\\
&\sim \Phi(x_{k+1})-\Phi(x_k)\sim \varphi(x_k)(x_{k+1}-x_k)
=\frac{\varphi(x_k)}{\sqrt{np(1-p)}}
=\frac{e^{-x_k^2/2}}{\sqrt{2\pi np(1-p)}},
\endalign
$$
ahol $\Phi(x)$ a standard norm\'alis eloszl\'as
el\-osz\-l\'as, $\varphi(x)$ pedig a
standard norm\'alis s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nyt 
jel\"oli. A Moivre--Laplace formula azt mondja ki, hogy az ezen 
heu\-risz\-ti\-kus m\'o\-don le\-ve\-ze\-tett k\"ozel\'{\i}t\H{o} 
azonoss\'ag k\'et oldal\'an lev\H{o} ki\-fe\-je\-z\'es 
h\'a\-nya\-do\-sa k\"ozel egy nagy $n$ sz\'a\-mok\-ra \'es `tipikus' 
$x_k$ \'ert\'ekekre. Itt azokat az $x_k=x_{k}(n)$ \'ert\'ekeket
tekintj\"uk tipikusnak, amelyek teljes\'{\i}tik az $x_k<A$ 
becsl\'est valamely el\'eg nagy, de r\"ogz\'{\i}tett $A$ konstanssal. 
Az a megszor\'{\i}t\'as, hogy a fenti val\'osz\'{\i}n\H{u}segeket
csak tipikus $x_k$ sz\'amokra tekintj\"uk \'ugy is megfogalmazhat\'o, 
hogy csak az $|S_n-np|<A\sqrt {np(1-p)}$ halmaz \'altal tartalmazott
$\frac{S_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}=x_k$ esem\'enyek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et becs\"ulj\"uk meg. Ennek a halmaznak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege viszont majdnem 1 el\'eg nagy $A$ 
sz\'amokra. (Ez p\'eld\'aul a Csebisev egyenl\H{o}tlens\'egb\H{o}l 
egyszer\H{u}en levezethet\H{o}.) Tov\'abb\'a a `tipikus' $x_k\le A$
sz\'amokra a Moivre--Laplace formula jobboldal\'an lev\H{o} 
kifejez\'es \'ert\'ek\'enek nagys\'agrendje $\const\frac1{\sqrt n}$,
teh\'at a kifejez\'es f\H{o} tagja l\'enyegesen nagyobb, mint az 
$\e_{k,n}$ hibatag, ez\'ert a Moivre--Laplace formula tartalmas 
becsl\'est ad.

Val\'oj\'aban a Moivre--Laplace formula az itt kimondottn\'al
\'elesebb alakban is \'er\-v\'e\-nyes. Egyr\'eszt az a $k$ sz\'amokra
el\H{o}\'{\i}rt tartom\'any, ahol ez a formula \'erv\'enyes j\'oval
nagyobbnak is v\'alaszthat\'o, m\'asr\'eszt az $\e_{k,n}$
hibatagokra sokkal jobb becsl\'es is adhat\'o. Sz\'amunkra azonban
nem a Moivre--Laplace formula min\'el \'elesebb alakja, hanem az
eredm\'eny tartalm\'anak a meg\'ert\'ese \'erdekes els\H{o}sorban.
Ez a $P(S_n<x)$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny helyett a
$P(S_n=x)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekre ad j\'o becsl\'est, ez\'ert
nevezik ezt lok\'alis centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelnek. A
lok\'alis centr\'alis ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel (amely
csak bizonyos extra kik\"ot\'esek eset\'en \'erv\'enyes)
val\'oj\'aban er\H{o}sebb \'all\'{\i}t\'as, mint a centr\'alis
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel, mert
f\"uggv\'enysorozatok dif\-fe\-ren\-ci\'al\-h\'a\-nya\-do\-sai\-nak
vagy `majd\-nem' differenci\'alh\'anydosainak a konvergenci\'aja
er\H{o}sebb tulajdons\'ag, mint a f\"uggv\'enysorozatok konvergenci\'aja.
A Moivre--Laplace formula `kiintegr\'al\'as\'anak' a
seg\'{\i}ts\'eg\'evel le lehet vezetni a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelt binomi\'alis eloszl\'asokra. Az ehhez
sz\"uks\'eges sz\'a\-mo\-l\'a\-sok r\'eszleteinek kidolgoz\'as\'at 
azonban elhagyom.

\medskip\noindent
{\it A Moivre--Laplace formula bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Fel\'{\i}rhatuk a
$$
P(S_n=k)=\binom nkp^k(1-p)^{n-k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}p^k(1-p)^{n-k}
$$
azonoss\'agot, \'es az ebben az azonoss\'agban szerepl\H{o} $n!$, $k!$
\'es $(n-k)!$ kifejez\'esekre j\'o k\"ozel\'{\i}t\'est kaphatunk a
Stirling formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Azt kapjuk, hogy
$$
\align
P(S_n=k)&\sim\frac{\sqrt{2\pi n}\(\frac ne\)^n}
{\sqrt{2\pi k}\(\frac ke\)^k
\sqrt{2\pi(n-k)}\(\frac {n-k}e\)^{n-k}}p^k(1-p)^{n-k}\\
&=\frac1{\sqrt{2\pi n\frac kn(1-\frac kn)}}
\(\frac{np}k\)^k\(\frac{n(1-p)}{n-k}\)^{n-k},
\endalign
$$
ahol $\sim$ azt jelenti, hogy a k\'et kifejez\'es h\'anyadosa 1-hez tart
$n\to\infty$ esetben. S\H{o}t ez az 1-hez tart\'o konvergencia egyenletes,
ha $|k-np|\le A\sqrt{np(1-p)}$.


A $P(S_n=k)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre adott utols\'o kifejez\'es
els\H{o} tagj\'ara a $\frac1{\sqrt{2\pi n\frac kn(1-\frac kn)}}
=\frac1{\sqrt{2\pi np(1-p)}}+O(n^{-1})$ k\"ozel\'{\i}t\'es \'{\i}rhat\'o
fel a $|k-np|\le A\sqrt{np(1-p)}$ esetben, a m\'asodik tag pedig
$$
\align
\(\frac{np}k\)^k\(\frac{n(1-p)}{n-k}\)^{n-k}&=
\exp\left\{k\log\(\frac{np}k\)+(n-k)\log\(\frac{n(1-p)}{n-k}\)\right\}\\
&=\exp\left\{k\log\(1+\frac{(np-k)}k\)+(n-k)\log\(1+\frac{(k-np)}{n-k}
\)\right\}
\endalign
$$
alakban \'{\i}rhat\'o. E kifejez\'es becsl\'es\'eben alkalmazzuk 
a $\log(1+x)$ f\"uggv\'eny Taylor sorfejt\'es k\"ozel\'{\i}t\'es\'et 
a m\'asodik tagig, \'es becs\"ulj\"uk meg e k\"ozel\'{\i}t\'es 
hib\'aj\'at kis $x$ sz\'amokra. Azaz, a
$\log(1+x)=x-\frac{x^2}2+O(x^3)$ k\"ozel\'{\i}t\'est alkalmazzuk
$x=\frac{np-k}k$ \'es $x=\frac{k-np}{n-k}$ v\'alaszt\'assal,
\'es felhaszn\'aljuk, hogy mind $\frac{np-k}k$, mind 
$\frac{k-np}{n-k}$ abszolut \'ert\'eke kisebb, mint 
$\const n^{-1/2}$. Ekkor az utols\'o formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel
azt kapjuk, hogy
$$
\align
\(\frac{np}k\)^k\(\frac{n(1-p)}{n-k}\)^{n-k}
&=\exp\left\{-\frac{(k-np)^2}{2k}
-\frac{(k-np)^2}{2(n-k)}+O(n^{-1/2})\right\}\\
&=\exp\left\{-\frac{(k-np)^2}{2n\frac kn\(1-\frac kn\)}
+O(n^{-1/2})\right\}.
\endalign
$$
(Itt kihaszn\'altuk, hogy a Taylor sorfejt\'es els\H{o} tagja kiesik.)
Tov\'abb\'a, mivel $\frac kn\(1-\frac kn\)=p(1-p)+O(n^{-1/2})$ \'es
$(k-np)^2=O(n)$ az utols\'o rel\'aci\'ob\'ol ad\'odik, hogy
$$
\(\frac{np}k\)^k\(\frac{n(1-p)}{n-k}\)^{n-k}
=\exp\left\{-\frac{(k-np)^2}{2np(1-p)}
+O(n^{-1/2})\right\}.
$$
A kapott becsl\'esek alapj\'an
$$
P(S_n=k)=\frac1{\sqrt{2\pi np(1-p)}}
\exp\left\{-\frac{(k-np)^2}{2np(1-p)}\right\}(1+o(1)).
$$
A Moivre--Laplace formul\'at bebizony\'{\i}tottuk.

\bye

\medskip
{\it H\'azi feladat.}
\medskip
\item{} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk 2700 alkalommal
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul, \'es \"osszesz\'amoljuk a p\'aros
\'ert\'ek\H{u} dob\'asok eredm\'eny\'et. Adjunk j\'o
k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel \'es egy norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat
seg\'{\i}ts\'eg\'evel arra, hogy ez az \"osszeg 420 \'es 720
k\"oz\'e esik.

