\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=1pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}

\centerline{\bf A Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as I.
el\H{o}ad\'assorozat nyolcadik t\'em\'aja.}

\beginsection A s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny fogalma, konvoluci\'oja. 
Fontos eloszl\'asf\"uggv\'enyek. 

Az el\H{o}z\H{o} t\'ema ismertet\'es\'eben megmutattuk, hogy egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, illetve e 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy f\"uggv\'eny\'enek a
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et ki lehet sz\'amolni e
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'enek az ismeret\'eben.

Gyakorlati szempontb\'ol, annak \'erdek\'eben, hogy a leggyakrabban
el\H{o}fordul\'o ese\-tek\-ben jobban tudjunk sz\'amolni \'erdemes
bevezetni egy eloszl\'asf\"uggv\'eny
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'e\-nek a fogalm\'at.
Ez lehet\H{o}v\'e teszi, hogy a probl\'em\'akban felmer\"ul\H{o}
\'es sokszor k\'e\-nyel\-met\-le\-n\"ul kezelhet\H{o} Lebesgue
integr\'alokat \'at\'{\i}rjuk (k\"oz\"ons\'eges) Riemann
integr\'alokk\'a.

\medskip\noindent
{\bf S\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny definici\'oja.} {\it Egy $F(x)$
eloszl\'asf\"uggv\'enynek az $f(u)$, $-\infty<u<\infty$, f\"uggv\'eny
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, ha minden $-\infty<x<\infty$ sz\'amra
teljes\"ul az 
$$
F(x)=\int_{-\infty}^x f(u)\,du
$$
azonoss\'ag.}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ T\"obbsz\"or fogunk besz\'elni egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'er\H{o}l is. Ez azt jelenti, hogy e
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'eny\'enek a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et tekintj\"uk. Sok \'erdekes \'es
fontos  eloszl\'asf\"uggv\'enynek l\'etezik
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, de nem mindegyiknek. P\'eld\'aul egy
diszkr\'et eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak
nincs s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel eloszl\'asf\"uggv\'enyek \'altal defini\'alt
integr\'alok kifejez\'es\'ere
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nyek seg\'{\i}ts\'eg\'evel .}
{\it Ha egy $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'enynek
l\'etezik $f(u)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, akkor minden
(m\'erhet\H{o}) $g(\cdot)$ f\"uggv\'enyre teljes\"ul a k\"ovetkez\H{o}
azonoss\'ag:
$$
\int_{-\infty}^\infty g(u)F(\,du)=
\int_{-\infty}^\infty g(u)f(u)du.
$$
Ez az azonoss\'ag \'ugy \'ertend\H{o}, hogy az azonoss\'ag k\'et
oldal\'an szerepl\H{o} kifejez\'es egyszerre l\'etezik vagy nem
l\'etezik, ha mind a k\'et kifejez\'est mint Lebesgue integr\'alt
\'ertelmezz\"uk. Ha a jobboldalon szerepl\H{o} integr\'al l\'etezik
mint (k\"oz\"ons\'eges) Riemann integr\'al, akkor ez az integr\'al
tekinthet\H{o} \'ugy is mint (egy a Riemann integr\'al \'ert\'ek\'evel
megegyez\H{o}) Lebesgue integr\'al. Teh\'at az azonoss\'ag ebben a
fontos speci\'alis esetben is \'erv\'enyes.} \medskip

Annak \'erdek\'eben, hogy meg\'erts\"uk, hogyan tudjuk egy
eloszl\'asf\"uggv\'eny s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et
kisz\'am\'{\i}tani, id\'ezz\"uk fel a klasszikus anal\'{\i}zis egyik
alapvet\H{o} eredm\'eny\'et, a Newton--Leibniz formul\'at.

Kiss\'e(?) pontatlanul a Newton--Leibniz formul\'at \'ugy
fogalmazhatjuk meg, hogy a differenci\'al\'as \'es integr\'al\'as
egym\'as inverzei, azaz egy f\"uggv\'eny
differenci\'alh\'anyados\'anak az integr\'alja, illetve a
f\"uggv\'eny integr\'alj\'anak a differenci\'alh\'anyadosa
egyenl\H{o} a kiindul\'o f\"uggv\'ennyel. Pontosabb megfogalmaz\'as
eset\'en a k\"ovetkez\H{o} t\'enyeket kell fi\-gye\-lem\-be venni.

\medskip
\item{a)} Egy f\"uggv\'eny differenci\'alh\'anyadosa nem v\'altozik,
ha hozz\'aadunk egy konstanst. Ennek a t\'enynek az felel meg az
integr\'al\'asn\'al, hogy egy f\"uggv\'eny $\int_a^x f(u)\,du$ (az
$x$ v\'altoz\'o szerinti) hat\'arozatlan integr\'alja f\"ugg az
integr\'al\'as $a$ als\'o hat\'ar\'at\'ol, ha az $a$ konstanst
megv\'altoztatjuk, akkor a hat\'arozatlan integr\'al \'ert\'ek\'ehez
egy konstans ad\'odik hozz\'a. Ezt a k\"or\"ulm\'enyt \'ugy fogjuk
figyelmbe venni, hogy az $F(x)$ f\"uggv\'enyt 
$F(x)=F(a)+\int_a^x f(u)\,du$, 
$f(u)=\left.\frac{dF(x)}{dx}\right|_{x=u}$ alakban
\'all\'{\i}tjuk el\H{o}.

\item{b)} Nem minden f\"uggv\'eny
differenci\'alhat\'o. E t\'eny integr\'al\'asra vonatkoz\'o
megfelel\H{o}je az, hogy csak bizonyos tulajdons\'agokkal
rendelkez\H{o} f\"uggv\'eny \'all\'{\i}that\'o el\H{o}, mint egy
alkalmas f\"uggv\'eny hat\'arozatlan integr\'alja. Egy
hat\'arozatlan integr\'al folytonos f\"uggv\'eny, s\H{o}t egy 
enn\'el  er\H{o}sebb simas\'agi tulajdons\'agot is teljes\'{\i}t. 
(Ennek az er\H{o}sebb simas\'agi tulajdons\'agnak a pontos 
megfogalmaz\'asa a m\'ert\'ekelm\'elet t\'argya, ezzel a 
k\'erd\'essel itt nem foglalkozunk.) Ezenk\'{\i}v\"ul vegy\"uk 
\'eszre azt is, hogy egy f\"uggv\'eny hat\'arozatlan integr\'alja 
nem v\'altozik, ha a f\"uggv\'eny \'ert\'ek\'et v\'eges sok pontban 
(vagy ak\'ar egy null-m\'ert\'ek\H{u} halmazon) megv\'altoztatjuk.

\medskip
Megfogalmazom a Newton--Leibniz formul\'at r\'eszletesebben. A
modern ma\-te\-ma\-ti\-k\'a\-ban (a m\'ert\'ekelm\'eletben) ennek
az eredm\'enynek pontosabb, \'altal\'anosabb v\'altozat\'at
bizony\'{\i}tj\'ak be.

\medskip\noindent
{\bf Newton--Leibniz formula.} {\it Legyen $F(x)$ folytonos
f\"uggv\'eny egy $[a,b]$ v\'eges intervallumon, amely v\'eges sok pont
kiv\'etel\'evel 
%(\'altal\'anosabban majdnem minden pontban) 
folytonosan deriv\'alhat\'o. Legyen
$f(u)=\left.\frac{dF(x)}{dx}\right|_{x=u}$ minden olyan $u$ pontban, 
ahol az $F(\cdot)$ f\"uggv\'eny differenci\'alhat\'o. Ekkor 
$F(x)-F(a)=\int_a^x f(u)\,du$ minden $a\le x\le b$ sz\'amra. 
Tov\'abb\'a, ha a fenti felt\'etel teljes\"ul minden v\'eges $[a,b]$ 
intervallumban, \'es l\'etezik a
$F(-\infty)=\limm_{x\to -\infty} F(x)$ hat\'ar\'ert\'ek, akkor
$F(x)-F(-\infty)=\int_{-\infty}^x f(u)\,du$ minden
$-\infty<x<\infty$ sz\'amra.

Megford\'{\i}tva, ha $f(u)$, (pontosabban annak abszolut \'ert\'eke)
integr\'alhat\'o f\"uggv\'eny egy $[a,b]$ intervallumban, \'es
$F(x)=\int_a^x f(u)\,du$, $a\le x\le b$, akkor
$f(u)=\left.\frac{dF(x)}{dx}\right|_{x=u}$ (majdnem) minden $a\le
u\le b$ pontban. Ha az $f(u)$ f\"uggv\'eny integr\'alhat\'o az eg\'esz
sz\'amegyenesen, akkor a fenti \'all\'{\i}t\'as igaz $a=-\infty$ \'es
$b=\infty$ v\'alaszt\'assal is.}

\medskip\noindent
{\it 1.~ megjegyz\'es.}\/ A Newton--Leibniz formula jelent\H{o}s\'ege
sz\'amunkra az, hogy eszerint az eredm\'eny szerint a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny (felt\'eve, hogy az l\'etezik)
egyenl\H{o} az eloszl\'asf\"uggv\'eny deriv\'altj\'aval.
Megford\'{\i}tva, a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny ismeret\'eben ki
tudjuk sz\'amolni az el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'enyt. Annak 
\'ert\'eke az $x$ pontban megegyezik a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny
in\-teg\-r\'al\-j\'a\-val a $[-\infty,x]$ intervallumban.

\medskip\noindent
{\it 2.~megjegyz\'es.}\/ A m\'ert\'ekelm\'eletben
bebizony\'{\i}tott\'ak a Newton--Leibniz formula \'elesebb
form\'aj\'at is. Pontosan le\'{\i}rt\'ak azon f\"uggv\'enyek
oszt\'aly\'at, az \'ugynevezett abszolut foly\-to\-nos
f\"uggv\'enyeket, amelyekre igaz, hogy a f\"uggv\'eny egyenl\H{o}
a deriv\'altj\'anak a (Lebesgue) integr\'alj\'aval. Az \'altalunk
kimondott eredm\'eny csak egy el\'egs\'eges felt\'etelt ad arra,
hogy egy $F(\cdot)$ f\"uggv\'eny teljes\'{\i}tse ezt a
tulajdons\'agot. Viszont ez az eredm\'eny al\-kal\-maz\-hat\'o a
gyakorlatban el\H{o}fordul\'o feladatok majdnem mindegyik\'eben.

A kimondott t\'etelben meg\-en\-ged\-t\"uk, hogy az $F(\cdot)$
f\"uggv\'eny n\'eh\'any pontban ne legyen dif\-fe\-ren\-ci\'al\-hat\'o.
Ezt az\'ert tett\"uk, hogy ne z\'arjunk ki n\'eh\'any \'erdekes esetet.
Ilyen eset p\'eld\'aul a k\"ovetkez\H{o} $F(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny: $F(x)=0$, ha $x\le0$, $F(x)=x$, ha $0\le
x\le1$, \'es $F(x)=1$, ha $x\ge1$. Ennek az eloszl\'asf\"uggv\'enynek
a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye az az $f(\cdot)$ f\"uggv\'eny,
amelyre $f(u)=1$, ha $0\le u\le1$, \'es $f(u)=0$ k\"ul\"onben. Ebben
az esetben az $F(\cdot)$ f\"uggv\'eny folytonosan deriv\'alhat\'o
minden\"utt, kiv\'eve az $x=0$ \'es $x=1$ pontot. 

\medskip\noindent
{\it 3.~megjegyz\'es:}\/ A Newton--Leibniz formula m\'asodik
r\'esz\'eben megfogalmazott \'all\'{\i}t\'as sze\-rint egy $f(\cdot)$
f\"uggv\'eny integr\'alj\'anak a deriv\'altja csak {\it majdnem}\/
minden\"utt egyezik meg az eredeti $f(\cdot)$ f\"uggv\'ennyel.
Val\'oban, kiss\'e \'ovatosabban kell megfogalmazni az
\'all\'{\i}t\'asokat, mert ha p\'eld\'aul egy f\"uggv\'enyt v\'eges
sok pontban megv\'altoztatunk, akkor annak integr\'alja megegyezik
az eredeti f\"uggv\'eny integr\'alj\'aval. Ez azt jelenti, hogy nem
v\'arhatjuk azt, hogy egy f\"uggv\'eny  integr\'alj\'anak a
deriv\'altja minden pontban meg\-egyez\-z\'ek az eredeti
f\"uggv\'ennyel. Viszont ez az \'all\'{\i}t\'as igaz {\it majdnem
minden}\/ pontban. Azt, hogy mit jelent a ,,majdnem minden" kit\'etel
pontosan elmagyar\'azz\'ak a m\'er\-t\'ek\-elm\'e\-let\-ben,
de ez nem t\'em\'aja ennek az el\H{o}ad\'asnak.

\medskip
Az eloszl\'asf\"uggv\'enyekhez hasonl\'oan a
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye\-ket is pontosan lehet
jellemezni. Err\H{o}l sz\'ol az al\'abbi t\'etel.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyek jellemz\'es\'er\H{o}l.}
{\it Egy $f(\cdot)$ (m\'erhet\H{o}) f\"uggv\'eny
akkor \'es csak akkor s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye egy
al\-kal\-mas eloszl\'asf\"uggv\'enynek, ha $f(u)\ge0$ majdnem minden
$-\infty<u<\infty$ sz\'amra, \'es $\int_{-\infty}^\infty f(u)\,du=1$.}

\medskip
Ezt a t\'etelt nem neh\'ez bebizony\'{\i}tani n\'eh\'any alapvet\H{o}
m\'ert\'ekelm\'eleti eredm\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel, de most
elhagyom a bizony\'{\i}t\'ast. K\"ul\"on t\'etelben megfogalmazom
azt az eredm\'enyt, amely megadja, hogyan lehet kisz\'amolni egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as vagy
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'enek az ismeret\'eben. Ez k\"ozvetlen
k\"ovetkezm\'enye n\'eh\'any kor\'abban megfogalmazott eredm\'enynek.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel v\'arhat\'o \'ert\'ek kisz\'amol\'as\'ar\'ol a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel.}
{\it Jel\"olje $F(\cdot)$ illetve $f(\cdot)$ egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as illetve
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et. Legyen $g(\cdot)$
m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny a sz\'amegyenesen. Ekkor
$$
E\xi=\int_{-\infty}^\infty uF(\,du)=\int_{-\infty}^\infty u f(u)\,du
$$
\'es
$$
Eg(\xi)=\int_{-\infty}^\infty g(u)F(\,du)=\int_{-\infty}^\infty g(u)
f(u)\,du
$$
}\medskip

Ha ismerj\"uk egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et akkor k\"onnyen 
ki\-sz\'a\-mol\-hat\-juk annak s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et is. 
Ezt az eredm\'enyt, amely a New\-ton--Leib\-niz formula egyszer\H{u} 
k\"ovetkezm\'enye k\"ul\"on lemm\'aban mondom ki.

\medskip\noindent
{\bf Lemma a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny kisz\'am\'{\i}t\'as\'ar\'ol.}
{\it Ha egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak van
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'enye $F(x)$, akkor a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye az $f(x)=\frac{dF(x)}{dx}$, 
$-\infty<x<\infty$, f\"uggv\'eny. 

Egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak l\'etezik
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, ha az eloszl\'asf\"uggv\'enye 
eset\-leg v\'eges sok pont kiv\'etel\'evel folytonosan 
differenci\'alhat\'o, \'es a lehets\'eges kiv\'eteles pontokban is 
folytonos.}

\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{1.)} Legyen $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $f(u)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel, $a$ \'es $b$ val\'os sz\'amok.
Ha\-t\'a\-roz\-zuk meg az $a\xi+b$ \'es a $\xi^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Legyen $F(x)=P(\xi<x)=\int_{-\infty}^x
f(u)\,du$ a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'enye. Ekkor az $\eta=a\xi+b$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'enye a
$G(x)=P(\eta<x)=P\(\xi<\frac{x-b}a\)=F\(\frac{x-b}a\)$ f\"uggv\'eny,
ha $a>0$, \'es
$G(x)=P(\eta<x)=P\(\xi>\frac{x-b}a\)=1-F\(\frac{x-b}a\)$, ha $a<0$.
Innen $\eta$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$g(x)=\frac{dG(x)}{dx}=\frac1{|a|}f\(\frac{x-b}a\)$.
\item{} A $\zeta=\xi^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$G(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'enye
$$
G(x)=P(\xi^2<x)=P\(-\sqrt x<\xi<\sqrt x\)=F\(\sqrt x\)-F\(-\sqrt x\),
$$
ha $x\ge 0$, \'es $G(x)=0$, ha $x<0$. Innen deriv\'al\'assal $\zeta$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $g(x)=\frac1{2\sqrt x}\(f\(\sqrt x\)
+f\(-\sqrt x\)\)$, ha $x>0$, \'es $g(x)=0$, ha $x\le0$.

\beginsection N\'eh\'any fontos folytonos eloszl\'as.

\item{a.)} {\it Norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny.}

\medskip\noindent
Bevezetem a standard norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny
definici\'oj\'at. K\'es\H{o}bbi ered\-m\'e\-nyek\-b\H{o}l fog
kider\"ulni, hogy ez az eloszl\'as mi\'ert j\'atszik fontos
szerepet a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as\-ban.

\medskip\noindent
{\bf A standard norm\'alis eloszl\'as definici\'oja.} {\it
A $\Phi(x)$ standard norm\'alis eloszl\'as az az
eloszl\'as, amelynek s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye a
$\varphi(u)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{{-u^2/2}}$, $-\infty<u<\infty$
f\"uggv\'eny.}

\medskip\noindent
E definici\'o helyess\'eg\'enek igazol\'as\'ahoz meg kell mutatni,
hogy a fent defini\'alt $\varphi(\cdot)$ f\"uggv\'eny val\'oban
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny. Ennek \'erdek\'eben be kell
bizony\'{\i}tani a k\"ovetkez\H{o} eredm\'enyt.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel a norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny definici\'oj\'anak a
jogoss\'ag\'ar\'ol.} 
$$
\int_{-\infty}^\infty\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{{-u^2/2}}\,du=1.
$$

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.}\/ Vezess\"uk be az
$I=\int_{-\infty}^\infty\frac1
{\sqrt{2\pi}}e^{{-u^2/2}}\,du$ jel\"ol\'est. Ekkor
$$
\align
I^2&=\int_{-\infty}^\infty\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du
\int_{-\infty}^\infty\frac1{\sqrt{2\pi}} e^{-v^2/2}\,dv
=\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty\frac1{2\pi}
e^{-(u^2+v^2)/2}\,du\,dv\\
&=\int_0^{2\pi}\int_0^\infty\frac1{2\pi}
re^{-r^2/2} \,dr\,d\varphi=\int_0^\infty re^{-r^2/2}\,dr
=\[-e^{-r^2/2}\]_0^\infty=1.
\endalign
$$
Ebben a sz\'amol\'asban az $I^2$ mennyis\'eget kifejez\H{o} az
$(u,v)$ t\'erben megadott kett\H{o}s integr\'alt kifejezt\"uk mint
az $(r,\varphi)$ pol\'arkoordin\'atarendszerben, $u=r\cos\varphi$,
$v=r\sin\varphi$, $0\le r<\infty$, $0\le\varphi<2\pi$, 
helyettes\'{\i}t\'essel kifejezett integr\'alt. Ezen sz\'amol\'as 
sor\'an felhaszn\'aljuk, hogy a pol\'arkoordin\'ata rendszerbe 
val\'o \'att\'er\'est le\'{\i}r\'o transzform\'aci\'o Jacobianja 
$r$, azaz form\'alisan $\,du\,dv=r\,dr\,d\varphi$. Ez\'ert jelenik 
meg egy $r$ szorz\'o az integr\'alban a pol\'arkoordin\'atarendszerbe 
val\'o \'att\'er\'eskor. Ezt az integr\'altranszform\'aci\'okr\'ol 
sz\'ol\'o ered\-m\'enyt, illetve annak szeml\'eletes tartalm\'at a
kieg\'esz\'{\i}t\'esben magyar\'azom el.

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Term\'eszetesnek l\'atsz\'odna a fent
kimondott t\'etelt \'ugy bizony\'{\i}tani, hogy
kisz\'am\'{\i}tjuk a $\varphi(x)$ f\"uggv\'eny
$\Phi(x)=\int_{-\infty}^x \frac{e^{-u^2/2}}{\sqrt{2\pi}}\,du$
primit\'{\i}v f\"uggv\'eny\'et, \'es ebbe a k\'epletbe $x=\infty$
\'ert\'eket helyettes\'{\i}t\"unk. Erre azonban nem vagyunk k\'epesek,
mert a fenti primit\'{\i}v f\"uggv\'enyt nem tudjuk kisz\'am\'{\i}tani.
Be lehet l\'atni, hogy ez a primit\'{\i}v f\"uggv\'eny nem
\'{\i}rhat\'o fel szok\'asos f\"uggv\'enyek \'es m\H{u}veletek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel z\'art alakban. Ez azonban m\'ely
matematikai eredm\'enyek felhaszn\'al\'as\'at ig\'enyli. (A Galois
elm\'eletet kell haszn\'alni.)

\medskip
Megmutatom, hogy egy standard norm\'alis eloszl\'as\'u $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke nulla,
sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-zete 1. Ez az oka a standard jelz\H{o}nek a
standard norm\'alis eloszl\'as definici\'oj\'aban.

Val\'oban, $E\xi=0$, mert $E\xi=\int_{-\infty}^\infty
u\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du$, \'es ez az integr\'al nulla,
mert az integrandus p\'aratlan f\"uggv\'eny. Ezut\'an parci\'alis
in\-teg\-r\'a\-l\'as\-sal kapjuk $f(x)=x$ \'es $g(x)=
\frac1{\sqrt{2\pi}}x e^{-x^2/2}=\frac d{dx}\(-\frac1{\sqrt
{2\pi}}e^{-x^2/2}\)$ v\'alaszt\'assal, hogy
$$
E\xi^2=\int_{-\infty}^\infty\frac1{\sqrt{2\pi}}x^2 e^{{-x^2/2}}\,dx=
\[-\frac x{\sqrt{2\pi}} e^{{-x^2/2}}\]_{-\infty}^\infty+\int_{-\infty}
^\infty \frac1{\sqrt{2\pi}}e^{{-x^2/2}}\,dx=1.
$$
Innen $\Var\xi=E\xi^2-\(E\xi\)^2=1$.

\medskip
{\it Feladatok:}
\medskip
\item{2.)} Ha $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, $m$, $\sigma$ val\'os
sz\'amok, akkor az $\sigma\xi+m$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke $m$ sz\'or\'asn\'egyzete
$\sigma^2$, s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye pedig
$g(u)=\frac1{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-(u-m)^2/2\sigma^2}$.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ $E(\sigma\xi+m)=\sigma E\xi+m=m$, \'es
$\Var(\sigma\xi+m)=\sigma^2 \Var\xi=\sigma^2$. Tov\'abb\'a, az
els\H{o} feladat eredm\'enye alapj\'an a $\sigma\xi+m$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
az $f(x)=\frac1{\sigma}\varphi\(\frac{x-m}\sigma\)$, ahol
$\varphi(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$, a standard norm\'alis
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny. Innen k\"ovetkezik a feladat
\'all\'{\i}t\'asa.

\medskip\noindent
A fenti feladat eredm\'enye alapj\'an egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot akkor nevez\"unk nor\-m\'a\-lis eloszl\'as\'unak, ha
van s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es az
$g(u)=\frac1{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-(u-m)^2/2\sigma^2}$ alakban
adhat\'o meg alkalmas $m$ \'es $\sigma>0$ sz\'amokkal. A k\'epletben
szerepl\H{o} $m$ \'es $\sigma^2$ sz\'amok megegyeznek a norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'evel \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'evel. Ez speci\'alisan
azt is jelenti, hogy egy norm\'alis eloszl\'ast k\'et param\'eter
hat\'aroz meg, a norm\'alis eloszl\'as v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es 
sz\'or\'asn\'egyzete.

\medskip
\item{3.)} Ha $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor $E\xi^{2k-1}=0$,
$E\xi^{2k}=1\cdot3\cdots (2k-1)$ minden $k=1,2,\dots$ sz\'amra.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$$
E\xi^{2k-1}=\int_{-\infty}^\infty x^{2k-1}
\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx=0,
$$
mert az integrandus p\'aratlan f\"uggv\'eny. M\'asr\'eszt
parci\'alis integr\'al\'assal $f(x)=x^{2k-1}$ \'es $g(x)=
x\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}= \frac d{dx}\(-
\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\)$  kapjuk, hogy
$$
\align
E\xi^{2k}&=\int_{-\infty}^\infty x^{2k}
\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx=
\int_{-\infty}^\infty (2k-1) x^{2k-2}
\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx\\
&=(2k-1)E\xi^{2k-2}.
\endalign
$$
Innen $k$ szerinti indukci\'oval kapjuk a feladat m\'asodik
\'all\'{\i}t\'as\'at.

\item{4.)} Legyen $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, azaz legyen
$\xi$ s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye
$f(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$,
\'es legyen $t$ val\'os sz\'am. Sz\'amoljuk ki az $e^{t\xi}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $Ee^{t\xi}$ v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$$
\align
E e^{t\xi}&=\int_{-\infty}^\infty
e^{tu}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du
=\int_{-\infty}^\infty
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{tu-u^2/2-t^2/2+t^2/2}\,du \\
&=e^{t^2/2}\int_{-\infty}^\infty
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-(t-u)^2/2}\,du
=e^{t^2/2}\int_{-\infty}^\infty
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du=e^{t^2/2}.
\endalign
$$
\item{5.)} Legyen $\xi$ norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $m=2$ v\'arhat\'o
\'ert\'ekkel \'es $\sigma^2=3$ sz\'or\'asn\'egyzettel.
Sz\'amoljuk ki a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$E\xi^4$ negyedik momentum\'at.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Tudjuk, hogy a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$$
f(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}
=\frac1{\sqrt{6\pi}}e^{-(x-2)^2/6},
$$
ahonnan $E\xi^4=\int_{-\infty}^\infty
x^4\frac1{\sqrt{6\pi}}e^{-(x-2)^2/6}\,dx$. Ezt az integr\'alt ki
tudjuk sz\'amolni hasonl\'oan a standard norm\'alis eloszl\'as
momentumaihoz, s\H{o}t a sz\'amol\'ast egyszer\H{u}en
visszavezethetj\"uk az ilyen momentumok kisz\'amol\'as\'ara,
az $u=\frac{x-2}{\sqrt3}$ helyettes\'{\i}t\'es
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Val\'oj\'aban egyszer\H{u}bben is
megoldhatjuk a feladatot a k\"ovetkez\H{o} m\'odon.
Vezess\"unk be egy $\eta$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, \'es legyen
$\bar\xi=\sqrt3\eta+2$. Ekkor $\bar\xi$ \'es $\xi$ eloszl\'asa
megegyezik, mivel mindkett\H{o} norm\'alis eloszl\'as\'u $m=2$
v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es $\sigma^2=3$ sz\'or\'asn\'egyzettel.
Innen $E\xi^4=E\bar\xi^4=E(\sqrt3\eta+2)^4=9E\eta^4+
24\sqrt3E\eta^3+72E\eta^2+32\sqrt3E\eta+16=9E\eta^4+72E\eta^2+16=
27+72+16=105$ a harmadik feladat eredm\'enye alapj\'an.

\vfill\eject

\item{b.)} {\it Egyenletes eloszl\'asf\"uggv\'eny.}

\medskip\noindent
{\bf Egyenletes eloszl\'asf\"uggv\'eny definici\'oja.} {\it Egy
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egyenletes
eloszl\'as\'u egy $[a,b]$ intervallumban, $-\infty<a<b<\infty$, ha
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(u)=\frac1{b-a}$, ha $a\le
u\le b$, \'es $f(u)=0$ egy\'ebk\'ent.}

\medskip
Kisz\'am\'{\i}tjuk egy az $[a,b]$ intervallumban egyenletes
eloszl\'as\'u $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
$$
E\xi=\int_a^b u\frac1{b-a}\,du=\frac1{b-a}\[\frac{u^2}2\]_a^b
=\frac{b^2-a^2}{2(b-a)} =\frac{b+a}2,
$$
$$
\align
\Var\xi&=E\(\xi-\frac{b+a}2\)^2=\int_a^b \(u-\frac{b+a}2\)^2\frac1{b-a}\,du
=\frac1{b-a}\int_{-\frac{b-a}2}^{\frac{b-a}2}
u^2\,du\\
&=\frac1{b-a}\[\frac{u^3}3\]_{-\frac{b-a}2}^{\frac{b-a}2}=
\frac2{3(b-a)}\(\frac{b-a}2\)^3=\frac{(b-a)^2}{12}.
\endalign
$$

{\it Feladatok:}
\medskip
\item{6.)} Legyen $\xi$ egyenletes eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o a $[0,1]$ intervallumban, azaz
legyen $f(\cdot)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=1$, ha $0\le
x\le 1$, $f(x)=0$ egy\'ebk\'ent. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $\xi^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es
sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Els\H{o} megold\'as:}\/
$$
\Var \xi^2=E\(\(\xi^2\)^2\)-\(E\xi^2\)^2=E\xi^4-\(E\xi^2\)^2
=\int x^4 f(x)\,dx-\(\int x^2 f(x)\,dx\)^2,
$$
ahol $f(x)=1$, ha $0\le x\le1$,
$f(x)=0$ egy\'ebk\'ent, azaz $f(x)$ a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye. Innen $E\xi^2=\int_0^1
x^2\,dx=\frac13$, \'es $\Var\xi^2=\int_0^1
x^4\,dx-\(\int_0^1x^2\,dx\)^2=\frac
15-\(\frac13\)^2=\frac15-\frac19=\frac4{45}$.
 \item{} {\it M\'asodik megold\'as:}\/ Sz\'am\'{\i}tsuk ki
el\H{o}sz\"or a $\xi^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'as \'es s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et.
A $\xi^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $F(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'enye
$$
F(x)=P(\xi^2<x)=P(-\sqrt x<\xi<\sqrt x)
=P(0\le \xi\le \sqrt x)=\sqrt x,\quad \text{ha } 0\le x\le 1,
$$
$F(x)=0$, ha $\xi<0$, $F(x)=1$, ha $x>1$. Innen a $\xi^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $f(\cdot)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=\frac1{2\sqrt x}$, ha $0\le
x\le 1$, \'es $f(x)=0$ egy\'ebk\'ent. Ez\'ert
$$
E\xi^2=\int_0^1 x\frac1{2\sqrt
x}\,dx=\frac12\cdot\frac23=\frac13,
$$
\'es
$$
\Var\xi^2=\int_0^1 x^2\frac1{2\sqrt x}\,dx-\(\int_0^1 x\frac1{2\sqrt
x}\,dx\)^2=\frac12\cdot\frac25-\(\frac12\cdot\frac23\)^2=\frac4{45}.
$$

\medskip\noindent
\item{c.)} {\it Exponenci\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny.}

\medskip\noindent
{\bf Exponenci\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny definici\'oja.} {\it
Egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o exponenci\'alis
eloszl\'as\'u $\lambda$ param\'eterrel, $\lambda>0$, ha
eloszl\'asf\"uggv\'enye, $F(x)=P(\xi<x)=1-e^{-\lambda x}$, ha
$x\ge0$, \'es $F(x)=P(\xi<x)=0$, ha $x<0$. Ezzel ekvivalens
jellemz\'es: Egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
exponenci\'alis eloszl\'as\'u $\lambda>0$
param\'eterrel, ha l\'etezik $f(u)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es az $f(u)=\lambda e^{-\lambda u}$,
ha $u\ge 0$, $f(u)=0$, ha $u\le0$ alak\'u.} \medskip
Sz\'amoljuk ki egy $\lambda$ param\'eter\H{u} $\xi$
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'ar\-ha\-t\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.

Parci\'alis integr\'al\'assal kapjuk, hogy
$$
E\xi=\int_0^\infty u\lambda e^{-\lambda u}\,du=
\frac1\lambda\int_0^\infty u e^{-u}\,du=
\frac1\lambda\(\[-u e^{-u}\]_0^\infty+\int_0^\infty e^{-u}\,du\)
=\frac1\lambda,
$$
$$
E\xi^2=\int_0^\infty u^2\lambda e^{-\lambda u}\,du
=\frac1{\lambda^2}\(\[-u^2e^{-u}\]_0^\infty
+\int_0^\infty 2u e^{-u}\,du\)=\frac2{\lambda^2}.
$$
Ez\'ert $\Var\xi=E\xi^2-(E\xi)^2=\frac2{\lambda^2}
-\frac1{\lambda^2}=\frac1{\lambda^2}$.

\medskip
{\it Feladatok:}
\medskip
\item{7.)} Sz\'am\'{\i}tsuk ki egy $\lambda$ param\'eter\H{u}
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
momentumait.
\item{} {\it Megold\'as:}
$$
E\xi^k=\int_0^\infty u^k\lambda e^{-\lambda u}\,du
=\frac1{\lambda^k}\(\[-u^k e^{-u}\]_0^\infty
+\int_0^\infty ku^{k-1} e^{-u}\,du\)=\frac k{\lambda^k}E\xi_1^{k-1},
$$
ahol $\xi_1$ egy exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $\lambda=1$ param\'eterrel. Innen $k$ szerinti induci\'oval
$E\xi_1^k=k!$, \'es $E\xi^k=\frac{k!}{\lambda^k}$.

\item{8.)} Mutassuk meg, hogy egy exponenci\'alis eloszl\'as\'u $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o teljes\'{\i}ti a
k\"ovetkez\H{o} \'ugynevezett \"or\"okifj\'u tulajdons\'agot:
$$
P(\xi>x+y|\xi>y)=P(\xi>x)
$$
minden $x\ge0$ \'es $y\ge0$ sz\'amra.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Mivel $P(\xi>u)=e^{-\lambda u}$ minden
$u\ge 0$ sz\'amra, ez\'ert
$P(\xi>x+y|\xi>y)=\frac{e^{-\lambda(x+y)}}{e^{-\lambda y}}
=e^{-\lambda x}=P(\xi>x)$.

\medskip
{\it Nem k\"otelez\H{o} h\'azi feladat:}
\medskip
\item{} Ha egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
teljes\'{\i}ti az \"or\"okifj\'u tulajdons\'agot akkor az
exponenci\'alis eloszl\'as\'u.

\medskip 
\item{} Adok egy r\"ovid heurisztikus magyar\'azatot arra, hogy
mi\'ert csak az exponenci\'alis eloszl\'as teljes\'{\i}ti az
\"or\"okifj\'u tulajdons\'agot.
\item{} Az \"or\"okifj\'u tulajdons\'ag \'{\i}gy is \'at\'{\i}rhat\'o:
Az $F(x)=P(\xi>x)$ f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti az $F(x+y)=F(x)F(y)$
egyenletet minden $x>0$ \'es $y>0$ sz\'amra. Ebben az egyenletben 
logaritmust v\'eve azt kapjuk, hogy
a $G(x)=\log F(x)$ f\"uggv\'enyre $G(x+y)=G(x)+G(y)$. Ennek az egyetlen
(sz\'ep) megold\'asa a $G(x)=\alpha x$ line\'aris f\"uggv\'eny valamely
r\"ogz\'{\i}tett $\alpha$ sz\'ammal. Innen $P(\xi>x)=F(x)=e^{\alpha x}$.
Mivel $P(\xi>x)<1$ el\'eg nagy $x$-re, ez\'ert $\alpha<0$.
\item{} A prec\'{\i}z bizony\'{\i}t\'as ezen heurisztika pontoss\'a
t\'etel\'en alapulhat. Azt kell megmutatni, hogy az $F(x+y)=F(x)F(y)$
egyenlet `nem sz\'ep' megold\'asait figyelmen k\'{\i}v\"ul hagyhatjuk. 
Nem neh\'ez bel\'atni, hogy az \"or\"okifj\'u
tulajdons\'ag kiz\'arja annak lehet\H{o}s\'eg\'et, hogy 
$P(\xi>x)=F(x)=0$ valamely $x$-re. Ez\'ert jogunk van logaritmust
venni, \'es \'{\i}gy eljutunk a $G(x+y)=G(x)+G(y)$ egyenlethez. 
Tov\'abb\'a $G(x)$ monoton \'es negat\'{\i}v \'ert\'ek\H{u} 
f\"uggv\'eny. Ez kiz\'arja a $G(x)$-re vonatkoz\'o egyenlet cs\'unya 
(nem m\'erhet\H{o}) megold\'asait, \'es ez\'ert csak a 
$G(x)=-\alpha x$, $F(x)=e^{-\alpha x}$, $\alpha>0$ megold\'as 
lehets\'eges. Ennek igazol\'asa sor\'an \'erdemes el\H{o}sz\"or azt 
megmutatni, hogy v\'eve
egy tetsz\H{o}leges $u>0$ sz\'amot a $G(x)$ f\"uggv\'eny 
megszor\'{\i}t\'asa az $ru$ alak\'u sz\'amokra, ahol $r$ pozit\'{\i}v
racion\'alis sz\'am line\'aris, azaz $G(ur)=\alpha(u)r$ valamilyen
csak az $u$ sz\'amt\'ol f\"ugg\H{o} $\alpha(u)$ egy\"utthat\'oval.

\medskip
Az \"or\"okifj\'u tulajdons\'ag szeml\'eletes tartalma a 
k\"ovetkez\H{o}. Tekints\"unk egy szem\'elyt 
vagy t\'argyat amelynek \'elettartama v\'eletlen $\xi$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Te\-kint\-s\"uk a  $\xi+y$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o felt\'eteles eloszl\'as\'at 
azon felt\'etel mellett, hogy $\xi>y$, azaz azt, hogy milyen 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel fog az a szem\'ely vagy
t\'argy legal\'abb m\'eg $x$ ideig \'elni, felt\'eve, hogy meg\'elte
az $y$ id\H{o}pontot. Ha ez a felt\'eteles eloszl\'as nem f\"ugg
az $y$ \'ert\'ekt\H{o}l, akkor azt mondjuk, hogy a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o teljes\'{\i}ti az
\"or\"okifj\'u tulajdons\'agot. A fenti feladatban ezt a
tulajdons\'agot fogalmaztuk meg form\'alisan.

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A 6. t\'ema ismertet\'es\'enek nyolcadik 
feladat\'aban, illetve az azt k\"ovet\H{o} megjegyz\'esben
l\'attuk, hogy a geometriai eloszl\'as teljes\'{\i}ti az 
\"or\"okifj\'u tulajdons\'ag diszkr\'et v\'altozat\'at, azaz a
$P(\xi>x+y|\xi>y)=P(\xi>y)$ azonoss\'agot akkor, ha $x$ \'es $y$ csak
nem-negat\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ekeket vehetnek fel.

\medskip
\item{9.)} Mutassuk meg, hogy l\'etezik olyan $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o teljes\'{\i}ti a
k\"ovetkez\H{o} szuper \"or\"okifj\'u tulajdons\'agot:
$$
P(\xi>x+y|\xi>y)>P(\xi>x)
$$
minden $x>0$ \'es $y>0$ sz\'amra.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Legyen a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o olyan, hogy
$P(\xi>x)=e^{-\sqrt x}$, ha $x\ge0$ \'es $P(\xi>x)=1$, ha $x<0$.
Ekkor $P(\xi>x+y|x>y)=e^{-\sqrt{x+y}+\sqrt y}$, ha $x>0$, $y>0$.
Ez\'ert el\'eg megmutatni, hogy
$e^{-\sqrt{x+y}+\sqrt y}>e^{-\sqrt y}$, illetve hogy
$\sqrt{x+y}<\sqrt x+\sqrt y$, ha $x>0$ \'es $y>0$. Ez az
egyenl\H{o}tlens\'eg viszont (n\'egyzetre emel\'es ut\'an)
k\"onnyen l\'athat\'o.
\item{10.)} Ledobunk a $[0,2]$ intervallumra 100 pontot egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul a $[0,2]$ intervallumba egyenletes eloszl\'assal.
A $[0,1]$ intervallumba es\H{o} pontok \'ert\'ekeit be\'{\i}rjuk 
egy jegyz\H{o}k\"onyvbe, az $[1,2]$ intervallumbe es\H{o} pontokat
viszont figyelmen k\'{\i}v\"ul hagyjuk. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a 
jegyz\H{o}k\"onyvbe \'{\i}rt sz\'amok \"osszeg\'enek a v\'arhat\'o 
\'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:} El\H{o}sz\"or megmutatom, hogyan lehet
ezt a feladatot \'ugy megoldani, hogy a benne szerepl\H{o} v\'arhat\'o
\'ert\'ekeket Riemann--Stieltjes integr\'alok seg\'{\i}ts\'eg\'evel
sz\'a\-mol\-juk ki, majd megmutatom, hogyan lehet ezeket a v\'arhat\'o
\'ert\'ekeket hagyom\'anyos m\'odon, Riemann integr\'alok 
seg\'{\i}ts\'eg\'evel kisz\'amolni.
\item{} Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$, $1\le j\le 100$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. $\xi_j=x$, ha a $j$-ik
ledobott pont \'ert\'eke $x\in[0,1]$, \'es nulla, ha a $j$-ik pont
az $[1,2]$ intervallumba esik. Ekkor minket az 
$S=\summ_{j=1}^{100}\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o 
v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es sz\'or\'asn\'egyzete \'erdekel. A $\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'enye sem 
nem diszkr\'et, sem nem folytonos, hanem $F(x)=F_1(x)+F_2(x)$ alakban 
\'{\i}rhat\'o fel, ahol $F_1(x)$-nek $f(x)=\frac12$, ha $0\le x\le1$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye van, azaz 
$F_1(x)=\int_{-\infty}^x f(u)\,du$ ezzel az $f(\cdot)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel, $F_2(x)$ pedig egy olyan (nem
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi) $\mu$ m\'ert\'eknek az eloszl\'asf\"uggv\'enye,
amelyre $\mu(\{0\})=\frac12$, \'es $\mu(R\setminus\{0\})=0$.
Ez\'ert $E\xi_j=\int xF(\,dx)=\int x
f(x)\,dx+0\cdot\mu(\{0\})=\int_0^1\frac12x\,dx=\frac14$,
$E\xi_j^2=\int x^2F(\,dx)=\int x^2
f(x)\,dx+0^2\cdot\mu(\{0\})=\int_0^1\frac12x^2\,dx=\frac16$,
$\Var\xi_j=\frac16-\frac1{16}=\frac5{48}$ minden $1\le j\le100$ indexre.
Innen $ES=25$, $\Var S=\frac{125}{12}$.
\item{} Az $E\xi_j$ \'es $E\xi_j^2$ mennyis\'egeket egyszer\H{u}bb
meggondol\'asok seg\'{\i}ts\'eg\'evel is ki\-sz\'a\-mol\-hat\-juk. 
Legyen $\eta_j$ a $j$-ik ledobott pont \'ert\'eke, \'es vezess\"uk 
be a k\"ovetkez\H{o} $h(u)$ f\"uggv\'enyt a $[0,1]$ intervallumon:
$h(u)=u$, ha $0\le u\le1$, $h(u)=0$, ha $1\le u\le 2$. Ekkor
$\xi_j=h(\eta_j)$, \'es $\eta_j$ egyenletes eloszl\'as\'u a $[0,2]$
intervallumon. Innen 
$E\xi_j=Eh(\eta_j)=\int_0^2\frac12 h(u)\,du=\int_0^1\frac u2\,du
+\int_1^20\cdot\frac12\,du=\frac14$,
$E\xi^2_j=Eh^2(\eta_j)=\int_0^2\frac12 h^2(u)\,du
=\int_0^1\frac {u^2}2\,du=\frac16$,
$\Var\xi_j=E\xi_j^2-(E\xi_j)^2=\frac16-\frac1{16}=\frac5{48}$. 

\medskip\noindent
{\bf F\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\"osszeg\'enek a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye.
S\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nyek konvoluci\'oja.}

\medskip\noindent
A k\"ovetkez\H{o} k\'erd\'essel foglalkozunk. Legyen $\xi$ \'es
$\eta$ k\'et f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o,
amelyeknek l\'etezik $f(\cdot)$ \'es $g(\cdot)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye. L\'assuk be, hogy a $\xi+\eta$
\"osszegnek is l\'etezik $h(\cdot)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye,
\'es adjuk meg azt a formul\'at, amelynek se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel
azt kisz\'amolhatjuk. E vizsg\'alat sor\'an be fogjuk vezetni
k\'et (s\H{u}r\H{u}s\'eg)f\"uggv\'eny konvoluci\'oj\'anak a
fogalm\'at. Ezut\'an alkalmazzuk ezt az eredm\'enyt n\'eh\'any
konkr\'et esetben.

Jel\"olje $H(x)=P(\xi+\eta<x)$ a f\"uggetlen $f(\cdot)$ \'es
$g(\cdot)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\H{u} $\xi$ \'es $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\xi+\eta$
\"osszeg eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. Ekkor
$$ 
\align
H(x)&=P(\xi+\eta<x)=
\int\int_{\{(u,v)\colon\; u+v<x\}}f(u)g(v)\,du\,dv\\
&=\int\int_{\{(\bar u,\bar v)\colon\;\bar v<x\}}f(\bar u)g(\bar v-\bar u)
\,d\bar u\,d\bar v \\
&=\int_{-\infty}^x\[\int_{-\infty}^\infty f(\bar u)
g(\bar v-\bar u)\,d\bar u\]\,d\bar v=\int_{-\infty}^x K(v)\,dv,
\endalign
$$
ahol
$$
K(v)=\int_{-\infty}^\infty f(u)g(v-u)\,du.
$$

A fenti sz\'amol\'asokban egy integr\'altranszform\'aci\'ot
alkalmaztunk $\bar v=u+v$, $\bar u=u$ helyettes\'{\i}t\'essel, majd
felhaszn\'altuk a Fubini t\'etelt. Az elv\'egzett sz\'amol\'asban
\'eszre kell venni, hogy a $\bar v=u+v$, $\bar u=u$  transzform\'aci\'o
az $\{(u,v)\colon\;u+v<x\}$ tartom\'any a $\{(\bar u,\bar v)\colon\;\bar
v<x,\;-\infty< \bar u<\infty\}$ tartom\'anyba
k\'epezi, \'es e (line\'aris) transzform\'aci\'o Jacobi\'anja
azonosan 1.

Ezut\'an bevezetj\"uk a k\"ovetkez\H{o} definici\'ot.
\medskip\noindent
{\bf (S\H{u}r\H{u}s\'eg)f\"uggv\'enyek konvoluci\'oj\'anak a
definici\'oja.} {\it Legyen $f(\cdot)$ \'es $g(\cdot)$ k\'et
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny a sz\'amegyenesen,
\'altal\'anosabban integr\'alhat\'o f\"uggv\'enyek, azaz tegy\"uk
fel, hogy $\int_{-\infty}^\infty |f(u)|\,du<\infty$ \'es
$\int_{-\infty}^\infty |g(u)|\,du<\infty$. Az $f(\cdot)$ \'es
$g(\cdot)$ f\"uggv\'enyek $f*g(\cdot)$ konvoluci\'oja az
$$
f*g(x)=\int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-u)\,du,\quad -\infty<x<\infty,
$$
f\"uggv\'eny.}

\medskip
K\"ul\"on t\'etelben fogalmazom meg az el\H{o}bb elv\'egzett 
sz\'amol\'asok eredm\'enyk\'ent ka\-pott azonoss\'agot arr\'ol,
hogy hogyan kell kisz\'amolni f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \"ossze\-g\'e\-nek a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\"osszeg\'enek a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'er\H{o}l.} {\it
Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $f(\cdot)$ \'es $g(\cdot)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel. Ekkor a $\xi+\eta$ \"osszegnek is
l\'etezik s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es az az
$$
f*g(x)=\int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-u)\,du,\quad -\infty<x<\infty
$$
f\"uggv\'eny.}

\medskip \noindent
{\it 1.~megjegyz\'es:}\/ Egyszer\H{u} (line\'aris)
transzform\'aci\'oval kapjuk, hogy a konvoluci\'ot m\'as\-k\'epp is
kisz\'amolhatjuk. Ez mutatja, hogy a konvoluci\'oban r\'esztvev\H{o}
f\"uggv\'enyek szim\-met\-ri\-kus szerepet j\'atszanak.
$$
\align
f*g(x)&=\int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-u)\,du
=\int_{-\infty}^\infty f(x-u)g(u)\,du \\
&=\int_{-\infty}^\infty f\(\frac x2- u\)g\(\frac x2+u\)\,du,
\quad -\infty<x<\infty.
\endalign
$$

\medskip\noindent
{\it 2.~megjegyz\'es:}\/ \'Erdemes meg\'erteni azt szeml\'eletes
k\'epet, amely egyszer\H{u}en meg\-ma\-gya\-r\'az\-za, hogy
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et mi\'ert az \'altalunk
megadott k\'eplet fejezi ki. A k\"ovetkez\H{o}
meglehet\H{o}sen inform\'alis ma\-gya\-r\'a\-zat hasznos lehet. Legyen
$\xi$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)$, $\eta$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $g(x)$. A $\xi+\eta$ \"osszeg
$h(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et egy $x$ pontban a
$P(\xi+\eta\in [x,x+dx)\sim h(x)dx$ rel\'aci\'o hat\'arozza meg. A
$\xi+\eta\in [x,x+dx]$ esem\'eny \'ugy k\"ovetkezhet be, ha
$\xi\in[y,y+dy)$ \'es $\eta\in [x-y,x-y+dx)$ valamely $y$ sz\'amra.
Ennek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege r\"ogz\'{\i}tett $y$ sz\'amra
$f(y)g(x-y)dydx$. Ezeket a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket
,,\"osszegezve'', pontosabban integr\'alva az $y$ \'ert\'ek
szerint azt kapjuk, hogy $h(x)dx=\int f(y)g(x-y)\,dy\cdot dx$,
ahonnan $dx$-szel leosztva megkapjuk a keresett formul\'at. Ugyanez
az \'ervel\'es azt sugallja, hogy $\xi-\eta$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $\int_{-\infty}^\infty
f(x+y)g(y)\,dy$. Ennek az \'all\'{\i}t\'asnak a prec\'{\i}z
indokl\'as\'at tartalmazza a k\"ovetkez\H{o} feladat.


\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $f(x)$ illetve $g(x)$
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'ennyel. Ekkor a $\xi-\eta$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egu v\'altoz\'onak l\'etezik
$h(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es az
$h(x)=\int_{-\infty}^\infty f(x+y)g(y)\,dy$ alakban adhat\'o meg.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Tekints\"uk az $\bar\eta=-\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot. Ekkor $\bar\eta$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $\bar g(x)=g(-x)$. Val\'oban,
legyen $G(x)$ az $\eta$, \'es $\bar G(x)$ az $\bar\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'enye. Ekkor
$\bar g(x)=\frac{d \bar G(x)}{dx}=\frac{d(1-G(-x))}{dx}=g(-x)$.
Ez\'ert $\xi-\eta$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye megegyezik
$\xi+\bar\eta$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'evel, \'es ez
$$
\align
\int_{-\infty}^\infty
f(x-y)\bar g(y)\,dy&= \int_{-\infty}^\infty f(x-y)g(-y)\,dy
=-\int_{\infty}^{-\infty} f(x+y)g(y)\,dy \\
&=\int_{-\infty}^{\infty} f(x+y)g(y)\,dy
=\int_{-\infty}^\infty f(y)g(y-x)\,dy.
\endalign
$$

\medskip\noindent
{\it 3.~megjegyz\'es.}\/ Felmer\"ulhet a k\'erd\'es, hogy amennyiben
$f(\cdot)$ \'es $g(\cdot)$ integr\'alhat\'o f\"uggv\'eny, de nem
tesz\"unk fel semmilyen tov\'abbi tulajdons\'agot ezekr\H{o}l a
f\"uggv\'enyekr\H{o}l, akkor sz\"uks\'egszer\H{u}en l\'etezik-e az
$f*g(\cdot)$ konvoluci\'o? R\"ogz\'{\i}tett $x$ sz\'amra az $f*g(x)$
sz\'amot defini\'al\'o integr\'al nem felt\'etlen\"ul l\'etezik.
Viszont a m\'ert\'ekelm\'eletben bel\'atj\'ak, hogy az olyan
kiv\'eteles pontok halmaza, amelyekre ez az integr\'al nem l\'etezik,
kicsi, (pontosabban fogalmazva nulla Lebesgue m\'ert\'ek\H{u}
halmaz). Ez azt jelenti, hogy a sz\'amegyenes majd\-nem minden
pontj\'aban a konvoluci\'ot defini\'al\'o integr\'al l\'etezik.
Azokban a konkr\'et esetekben, amelyekkel tal\'alkozni fogunk ez a
probl\'ema nem mer\"ul fel. Ez\'ert ezzel a k\'erd\'essel nem
foglalkozom, csak megeml\'{\i}tem a bizony\'{\i}t\'as
r\'eszleteinek t\'argyal\'asa n\'elk\"ul, hogy az \'altal\'anos eset
vizsg\'alata a k\"ovetkez\H{o} \'eszrev\'etelen alapul.

Be lehet l\'atni, hogy
$$
\int_{\infty}^\infty
|f|*|g|(u)\,du=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^\infty
|f(u)||g(u)|\,du\,dv,
$$
\'es az \'altal\'anos eredm\'eny ebb\H{o}l az azonoss\'agb\'ol
\'es az integr\'alok alapvet\H{o} tu\-laj\-don\-s\'a\-gai\-b\'ol
k\"ovetkezik.

\medskip\noindent
{4.~megjegyz\'es.}\/ Az $f*g(x)=\int_{-\infty}^\infty f(y)g(x-y)\,dy$
konvoluci\'o kisz\'amol\'as\'aban az integr\'al\'ast az eg\'esz
sz\'amegyenesen el kell v\'egezni. Viszont a konvoluci\'os
integr\'al definici\'oja alapj\'an az integr\'al\'asi
tartom\'anyb\'ol ki lehet hagyni azt a halmazt, ahol $f(y)g(x-y)=0$.
P\'eld\'aul abban a fontos speci\'alis esetben, ha az $f(\cdot)$
\'es $g(\cdot)$ s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nyek olyanok,
hogy $f(x)=0$ \'es $g(x)=0$ az $x\le0$ \'ert\'ekekre a k\"ovetkez\H{o}
azonoss\'ag \'erv\'enyes:

\medskip\noindent
$f*g(x)=\int_0^x f(y)g(x-y)\,dy$, ha $x>0$, \'es $f*g(x)=0$, ha $x<0$.
Ekkor ugyanis $f(y)g(x-y)\neq0$ csak akkor, ha $y\ge0$ \'es $x-y\ge0$, 
azaz $0\le y\le x$.

\medskip
L\'assunk n\'eh\'any p\'eld\'at a fenti eredm\'enyek alkalmaz\'as\'ara.

\medskip
{\it Feladatok:}

\medskip
\item{11.)} Legyenek $\xi_1$ \'es $\xi_2$ f\"uggetlen exponenci\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, azaz legyen
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\"uk $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ ha
$x\ge 0$, \'es $f(x)=0$, ha $x>0$. Sz\'am\'{\i}tsuk ki $\xi_1+\xi_2$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} \'Altal\'anosabban, legyen $\xi_1, \dots \xi_m$ $m$ darab
f\"ug\-get\-len, exponenci\'alis eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o $\lambda>0$ 
param\'eterrel. Mutassuk meg, hogy $\xi_1+\cdots+\xi_m$
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye
$f_m(x)=\frac{\lambda^m x^{m-1}}{(m-1)!}e^{-\lambda x}$, ha $x\ge0$,
\'es $f_m(x)<0$, ha $x<0$.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Ki kell sz\'amolnunk az $f*f(x)$ illetve
$\underbrace {f*\cdots* f}_{m-\text{szer}}(x)$ konvoluci\'okat a fenti
$f(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel. Mivel $f(x)=0$, ha $x\le 0$,
a konvoluci\'ot meghat\'aroz\'o integr\'alban szerepl\H{o} $f(y)f(x-y)$
integrandus nulla, ha $y\le 0$ vagy $x-y\le0$. Innen a konvoluci\'ot
defini\'al\'o integr\'al csak $x\ge0$ eset\'en lehet nem nulla. Az 
$x\le0$ esetben ugyanis $f(y)f(x-y)=0$ minden $y$-ra, \'es $x\ge0$ 
eset\'en az $f(y)f(x-y)>0$ egyenl\H{o}tlens\'eg csak $0\le y\le x$ 
eset\'en teljes\"ul. Innen a $\xi_1+\xi_2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'o $f_2(x)=f*f(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'ere 
$f_2(x)=0$, ha $x<0$, \'es
$$
\align
f_2(x)&=f*f(x)=\int_{-\infty}^\infty f(y)f(x-y)\,dy=\int_0^x
\lambda e^{-\lambda y}\lambda e^{-\lambda(x-y)}\,dy\\
&=\int_0^x \lambda^2 e^{-\lambda x}\,dy=\lambda^2xe^{-\lambda x},
\quad \text{ha } x\ge0.
\endalign
$$
Hasonl\'oan, ha $f_m(x)=\underbrace {f*\cdots*f}_{m-\text{szer}}(x)$
jel\"oli $\xi_1+\cdots\xi_m$  s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et,
akkor $f_m(x)=0$ minden $m\ge1$ sz\'amra, ha $x<0$. Azt
\'all\'{\i}tom, hogy
$f_m(x)=\frac{\lambda^m x^{m-1}}{(m-1)!}e^{-\lambda x}$, ha $x\ge0$.
Ezen \'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'as\'ahoz el\'eg bel\'atni
teljes indukci\'oval azt, hogy $f_{m-1}*f(x)=f_m(x)$ a fent
defini\'alt $f_m$ f\"uggv\'enyekkel. Viszont
$$
\align
f_{m-1}*f(x)&=\int_{-\infty}^\infty f_{m-1}(y)f(x-y)\,dy=\int_0^x
\lambda^{m-1}\frac{y^{m-2}}{(m-2)!} \lambda
e^{-\lambda y}e^{-\lambda(x-y)}\,dy\\
&=\lambda^m e^{-\lambda x}\int_0^x
\frac{y^{m-2}}{(m-2)!} \,dy=e^{-\lambda x}
\frac{\lambda^m x^{m-1}}{(m-1)!},\quad\text{ha }x\ge0.
\endalign
$$
M\'asr\'eszt $f_m(x)=0$, ha $x\le 0$.

\item{12.)} Legyenek $\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen,
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok va\-la\-mely $\lambda>0$ param\'eterrel,
defini\'aljuk ezek $S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j$ r\'eszlet\"osszegeit,
\'es ve\-gy\"unk valamely $x>0$ sz\'amot. L\'assuk be minden
$n=0,1,\dots$ sz\'amra, hogy annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy mind az $S_{n+1}>x$, mind az $S_n\le x$ esem\'enyek
bek\"ovetkeznek $\frac{(\lambda x)^n}{n!}e^{-\lambda x}$.
(Az $S_0=0$ definici\'ot haszn\'aljuk.)  Ez azt jelenti, hogy 
az $S_1(\oo)$, $S_2(\oo)$,\dots (v\'eletlen) sorozatnak a $[0,x]$
intervallumba  es\H{o} pontjainak sz\'ama Poisson eloszl\'as\'u
$\lambda x$ param\'eterrel.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
 $P(S_{n+1}>x, \,S_n\le x)=P(S_{n}\le x)-P(S_{n+1}\le x)
=\int_0^x [f_{n}(u)-f_{n+1}(u)]\,du$, ahol $f_n(u)$ jel\"oli az $S_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o 
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et. 
Innen az el\H{o}z\H{o} feladat eredm\'enye alapj\'an
$$
P(S_{n+1}>x, \,S_n\le x)=\int_0^x
\frac{\lambda^{n}u^{(n-1)}}{(n-1)!}e^{-\lambda u}\,du
-\int_0^x \frac{\lambda^{n+1}u^{n}}{n!}e^{-\lambda u}\,du.
$$
Parci\'alis integr\'al\'assal ($f'(u)=\lambda e^{-\lambda u}$ \'es
$g(u)=\frac{\lambda^{n}u^n}{n!}$ v\'alaszt\'assal) kapjuk, hogy
$$
\int_0^x \frac{\lambda^{n+1}u^{n}}{(n)!}e^{-\lambda u}\,du=
-\frac{\lambda^n x^n}{n!}e^{-\lambda x}
+\int_0^x \frac{\lambda^{n}u^{n-1}}{(n-1)!}e^{-\lambda u}\,du.
$$
A fenti k\'et azonoss\'agb\'ol k\"ovetkezik a feladat
\'all\'{\i}t\'asa.

\item{13.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o,
mind a kett\H{o} $f(x)=\frac12e^{-|x|}$, $-\infty<x<\infty$,
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel. L\'assuk be el\H{o}sz\"or, hogy
$f(x)$ val\'oban s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny.
Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $\xi+\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $g(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Az $f(x)$ f\"uggv\'eny minden pontban
nem negat\'{\i}v. Annak ellen\H{o}rz\'es\'ehez, hogy $f(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny azt kell megmutatnunk,
hogy $\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx=1$. Ez igaz, mert
$\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx=\frac12\int_{-\infty}^0 e^{x}\,dx
+\frac12\int_0^{\infty}
e^{-x}\,dx=\frac12\[e^x\]_{-\infty}^0+\frac12\[-e^{-x}\]_0^\infty=1$.
\item{} A $\xi+\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o  $g(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et a $g(x)=\int_{-\infty}^\infty
f(y)f(x-y)\,dy$ formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel
sz\'am\'{\i}thatjuk ki. Sz\'am\'{\i}tsuk ki ezt az integr\'alt.
Tekints\"uk el\H{o}sz\"or azt az esetet, amikor $x\ge0$. Az
integr\'alt sz\'am\'{\i}tsuk ki \'ugy, hogy n\'ezz\"uk mind
a n\'egy (elvileg) lehets\'eges esetet, amikor a) $y\ge0$ \'es
$x-y\ge0$, b)  $y\ge0$ \'es $x-y<0$, c) $y<0$, $x-y\ge0$, d) $y<0$,
$x-y<0$. Sz\'am\'{\i}tsuk ki mind a n\'egy esetben azt, hogy milyen
tartom\'anyban veszi fel \'ert\'ek\'et az $y$ v\'altoz\'o, \'es
mi az integrandus illetve az integr\'al \'ert\'eke ebben a
tartom\'anyban. Az a) esetben $0\le y\le x$, az integrandus
$f(y)f(x-y)=\frac14e^{-y}e^{-(x-y)}=\frac{e^{-x}}4$, az integr\'al
pedig $\frac{xe^{-x}}4$ az a) tartom\'anyban. A b) esetben  $y>x$
\'es $f(y)f(x-y)= \frac{e^{-y}e^{x-y}}4=\frac{e^{x-2y}}4$ az
integr\'al pedig $\frac14\int_x^\infty e^{x-2y}\,dy=\frac{e^{-x}}8$,
a c) esetben $y<0$ \'es
$f(y)f(x-y)=\frac14e^{y}e^{-(x-y)}=\frac{e^{2y-x}}4$, az integr\'al
pedig $\frac14\int_{-\infty}^0 e^{2y-x}\,dy=\frac{e^{-x}}8$, a d)
eset nem lehets\'eges, mert ekkor egyr\'eszt az $y<0$ m\'asr\'eszt
az $y>x\ge0$ felt\'eteleknek kellene teljes\"ulni\"uk. Innen
azt kapjuk, hogy $g(x)=\frac{(x+1)e^{-x}}4$, ha $x>0$. Mivel $f$
szimmetrikus f\"uggv\'eny, ez\'ert, mint nem neh\'ez megmutatni,
$g(x)$ is az. Teh\'at $g(-x)=g(x)$, \'es
$g(x)=\frac{(|x|+1)e^{-|x|}}4$.

\medskip
Megjegyzem, hogy az el\H{o}z\H{o} feladatokban tekintett
konvoluci\'ot csak akkor hasz\-n\'al\-hat\-juk, ha olyan
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et akarjuk ki\-sz\'a\-mol\-ni,
amelyek f\"uggetlenek. Ez az oka annak, hogy a k\"ovetkez\H{o}
feladat megold\'as\'aban nem hasz\-n\'al\-hat\-juk a konvoluci\'ot,
hanem m\'as m\'odszert kell alkalmaznunk.

\medskip
\item{14.)} Legyen $\xi$ exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\lambda=1$ param\'eterrel,
azaz $F(x)=P(\xi<x)=1-e^{-x}$, ha $x\ge0$, $F(x)=P(\xi<x)=0$, ha
$x\le0$. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $\xi+\xi^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as \'es
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $G(x)$ a $\xi+\xi^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et.
Ekkor a $G(x)=P(\{\oo\colon\; \xi(\oo)+\xi^2(\oo)<x\})$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'enyt kell kisz\'amolni az $F(x)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny ismeret\'eben. Viszont egy
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'enye meghat\'arozza a
$P(\oo\colon\; \xi(\oo)\in B)$ halmazok
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-g\'et is minden ,,sz\'ep", azaz Borel
m\'erhet\H{o} $B$ halmazra. Vegy\"uk \'eszre, hogy jelen feladatban
is ilyen jelleg\H{u} probl\'em\'at kell megoldani. Az ebben a
feladatban megjelen\H{o} $B$ halmaz egyszer\H{u} szerkezet\H{u},
\'es ez\'ert ez a feladat k\"onnyebben megoldhat\'o.
Tekints\"uk az $A(\oo,x)=\{\oo\colon\; \xi(\oo)+\xi(\oo)^2<x\}$
halmazokat.
Ezek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et kell kisz\'am\'{\i}tanunk. Ennek
\'erdek\'eben tekints\"uk az $B(x)=\{y\colon\; y+y^2<x\}$ hamazt.
Vegy\"uk \'eszre, hogy $B(x)=\{y\colon\;y_1(x)<y<y_2(x)\}$, ahol
$y_1(x)=\frac{-1-\sqrt{1+4x}}2$ \'es
$y_2(x)=\frac{-1+\sqrt{1+4x}}2$ az $y^2+y=x$ egyenlet kisebb \'es
nagyobb megold\'asa, (felt\'eve, hogy a fenti megold\'asok l\'eteznek,
mint val\'os sz\'amok), \'es
$A(\oo,x)=\{\oo\colon\;y_1(x)<\xi(\oo)<y_2(x)\}$. Innen
$$
G(x)=P\(\{\oo\colon\;y_1(x)<\xi(\oo)<y_2(x)\}\)=F(y_2(x))-F(y_1(x)),
\quad \text{ha } x\ge-\frac14,
$$ 
azaz, ha a fenti $y_1(x)$ \'es $y_2(x)$ megold\'asok l\'eteznek, \'es 
az $G(x)=0$, ha ezek a megold\'asok nem l\'eteznek, \'es az $A(\oo,x)$ 
halmaz \"ures. \'Igy $G(x)=0$, ha $x\le-\frac14$. Mivel $P(\xi\le0)=0$, 
ez\'ert $G(x)=P(\xi+\xi^2<x)=0$, ha $y_2(x)\le0$, azaz, ha $x\le0$. 
M\'asr\'eszt $y_1(x)\le0\le y_2(x)$ minden $x\ge0$  sz\'amra, \'es
$P(\xi<0)=0$. Ez\'ert 
a $\xi+\xi^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'enye a $G(x)=P\(y_1(x)<\xi<y_2(x)\)=
P\(\xi<y_2(x)\)=1-e^{-y_2(x)}=1-\exp\left\{
\frac{1-\sqrt{1+4x}}2\right\}$, ha $x\ge0$, \'es $G(x)=0$, ha
$x\le0$. A $\xi+\xi^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o 
$g(\cdot)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye ennek deriv\'altja, ez\'ert 
$g(x)=0$, ha $x<0$, \'es $g(x)=\frac1{\sqrt{1+4x}}\exp\left\{
\frac{1-\sqrt{1+4x}}2\right\}$, ha $x\ge0$.

\medskip\noindent
\item{15.)} Legyenek $\xi$ \'es $\eta$ f\"uggetlen, standard
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok.
L\'assuk be, hogy $\xi^2+\eta^2$ exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o $\lambda=\frac12$
para\-m\'e\-ter\-rel.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ $P(\xi^2<x)=\Phi(\sqrt x)-\Phi(-\sqrt
x)=2\Phi(\sqrt x)-1$, ha $x\ge0$. \'Irjuk fel $\xi^2$
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et \'es konvol\'uci\'o
seg\'\i{}ts\'eg\'evel sz\'amoljuk ki $\xi^2+\eta^2$
 s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et.
A $\xi^2$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'enye
$g(x)=\frac{\varphi(\sqrt x)}{\sqrt x}=\frac1{\sqrt{2\pi
x}}e^{-x/2}$, ha $x\ge0$, \'es $g(x)=0$, ha $x<0$, \'es
$\xi^2+\eta^2$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$$ \allowdisplaybreaks
\align
f(x)&=g*g(x)=\int_0^x\frac1{2\pi\sqrt{u(x-u)}}
e^{-u/2}e^{-(x-u)/2}\,du\\
&=e^{-x/2}\int_0^1\frac1{2\pi\sqrt{v(1-v)}}\,dv=\frac12e^{-x/2},
\quad \text{ha } x\ge0,
\endalign
$$
\'es $f(x)=0$, ha $x\le 0$.

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Az $x$ param\'etert\H{o}l nem f\"ugg\H{o}
$\int_0^1 \frac1{\sqrt{v(1-v)}}\,dv$ integr\'al \'ert\'ek\'et
meg\-ha\-t\'a\-roz\-za az a t\'eny, hogy a v\'egeredm\'enyk\'ent
kapott f\"uggv\'eny s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny, ez\'ert
integr\'alja a sz\'amegyenesen eggyel egyenl\H{o}. De ki is tudjuk
sz\'amolni ezt az integr\'alt. Val\'oban, vegy\"uk \'eszre, hogy
$$
\frac1{\sqrt{v(1-v)}}=\frac1{\sqrt{\frac14-(v-\frac12)^2}}
=\frac2{\sqrt{1-(2v-1)^2}},
$$
ez\'ert $u=2v-1$ helyettes\'{\i}t\'essel
$$
\int_0^x\frac1{2\pi\sqrt{v(1-v)}}\,dv=
\int_{-1}^{2x-1}\frac1{2\pi\sqrt{1-u^2}}\,du
=\frac1{2\pi}\[\arcsin x\]_{-1}^{2x-1}=\frac{\arcsin
(2x-1)+\frac\pi2}{2\pi}.
$$
Innen k\"ovetkezik, hogy a tekintett integr\'al \'ert\'eke $x=1$
eset\'en $\frac12$. Ugyanis $\arcsin1=\frac \pi2$.
\item{16.)} Bevezett\'ek a $\Gamma(t)=\int_0^\infty e^{-x}x^{t-1}\,dx$, 
$t>0$, \'ugynevezett $\Gamma$-f\"uggv\'enyt, \'es a
$\gamma_t(x)=\frac1{\Gamma(t)}e^{-x}x^{t-1}$, ha $x>0$ \'es 
$\gamma_t(x)=0$, ha $x<0$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel 
rendelkez\H{o} $t$ param\'eter\H{u} $\gamma$ eloszl\'ast minden $t>0$
param\'eterre. Mutassuk meg, hogy 
$\gamma_t*\gamma_s(x)=\gamma_{t+s}(x)$ minden
$s>0$ \'es $t>0$ param\'eterre.
\item{} {\it Megold\'as.} Azt kell megmutatni, hogy
$$
\frac1{\Gamma(s)\Gamma(t)}\int_0^x e^{-u}u^{s-1}e^{-(x-u)}(x-u)^{t-1}\,du=
\frac1{\Gamma(s+t)}e^{-x}x^{s+t-1}, \quad \text{ha }x>0.
$$
Viszont $u=xv$ helyettes\'{\i}t\'essel azt kapjuk, hogy
$$
\align
\int_0^x e^{-u}u^{s-1}e^{-(x-u)}(x-u)^{t-1}\,du&=
e^{-x}\int_0^x u^{s-1}(x-u)^{t-1}\,du\\
&=e^{-x}x^{t+s-1}\int_0^1 v^{s-1}(1-v)^{t-1}\,dv.
\endalign
$$
Innen k\"ovetkezik, hogy $x>0$ esetben
$$
\frac1{\Gamma(s)\Gamma(t)}\int_0^x e^{-u}u^{s-1}e^{-(x-u)}(x-u)^{t-1}\,du=
\frac{C(s,t)}{\Gamma(s)\Gamma(t)}e^{-x}x^{s+t-1},
$$
ahol a $C(s,t)=\int_0^1 v^{s-1}(1-v)^{t-1}\,dv$ konstans nem f\"ugg 
az $x$ v\'altoz\'ot\'ol. Vi\-szont az azonoss\'agban szerepl\H{o}
f\"uggv\'enyek s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyek, ha $x\le0$
esetben a f\"uggv\'enyeket null\'anak v\'alasztjuk. M\'asr\'eszt a
$\gamma_{s+t}(x)=\frac1{\Gamma(s+t)}e^{-x}x^{t+s-1}$, ha $x\ge0$, 
\'es $\Gamma_{s+t}(x)=0$, ha $x\le0$ f\"uggv\'eny szint\'en
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny. Ez a k\'et f\"uggv\'eny
csak \'ugy lehet egyenl\H{o}, ha $\gamma_s*\gamma_t=\gamma_{s+t}$, 
\'es $\frac1{\Gamma(s)\Gamma(t)}C(s,t)=
\frac1{\Gamma(s)\Gamma(t)}\int_0^1 v^{s-1}(1-v)^{t-1}\,dv
=\frac1{\Gamma(s+t)}$.

\medskip\noindent
{\it 1.~megjegyz\'es.} Megmutathat\'o, hogy a 15. feladat eredm\'enye
tekinthet\H{o} a 16.~feladatban megfogalmazott \'all\'{\i}t\'as
speci\'alis eset\'enek az $s=t=\frac12$ v\'alaszt\'assal. Val\'oban,
\l\'attuk, hogy ha $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u 
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o, akkor a $\xi^2$ 
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o $g(x)$
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'enye
$g(x)=\frac1{\sqrt{2\pi x}}e^{-x/2}$, ha $x\ge0$, \'es $g(x)=0$, 
ha $x<0$. Innen k\"ovetkezik, hogy $g(x)=\frac12\gamma_{1/2}(\frac x2)$, 
(\'es mell\'ekeredm\'enyk\'ent $\Gamma(\frac12)=\sqrt{\pi}$). Mivel
$\gamma_1(x)=e^{-x}$, ha $x>0$, \'es $\gamma_1(x)=0$, ha $x<0$, a
15. feladat \'all\'{\i}t\'asa a 
$\gamma_{1/2}*\gamma_{1/2}(x)=\gamma_1(x)$ azonoss\'ag
\'atsk\'al\'azott v\'altozata.

\medskip\noindent
{\it 2.~megjegyz\'es.} A $\gamma_1(x)$ f\"uggv\'eny a $\lambda=1$
param\'eter\H{u} exponenci\'alis eloszl\'as 
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye. Ez\'ert a 16.~feladat 
alapj\'an a $\gamma_k(x)$ f\"uggv\'eny pozit\'{\i}v eg\'esz 
$k$~sz\'amokra $k$ f\"uggetlen, 1~param\'eter\H{u}, 
exponenci\'alis eloszl\'as\'u 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \"osszeg\'enek a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye. Ez a 11.~feladat eredm\'eny\'b\H{o}l 
is k\"ovetkezik.

\medskip
\item{17.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen, a
$\[-\frac12,\frac12\]$ intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o, azaz legyen
$\xi$ \'es $\eta$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=1$, ha
$-\frac12\le x\le\frac12$, \'es $f(x)=0$ egy\'ebk\'ent.
Sz\'amoljuk ki $\xi+\eta$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A $\xi+\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye a
$g(x)=\int f(y)f(x-y)\,dy$ f\"uggv\'eny, ahol $f(x)$ a
$\[-\frac12,\frac12\]$ intervallumban egyenletes eloszl\'as
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye. Ez\'ert $f(y)f(x-y)=1$, ha
$-\frac12\le y\le\frac12$, \'es $-\frac12\le x-y\le\frac12$, azaz
$-\frac12+x\le y\le\frac12+x$, \'es nulla egy\'ebk\'ent. Ez azt
jelenti, hogy a $\xi+\eta$ \"osszeg $g(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye az $x$ pontban megegyezik a
$\[-\frac12,\frac12\]\cap \[-\frac12+x,\frac12+x\]$
intervallum hossz\'aval. Ha $|x|>1$, akkor a fenti metszet \"ures,
ez\'ert ebben az eset\-ben $g(x)=0$. Ha $0\le x\le 1$, akkor ez a
metszet a $\[-\frac12+x,\frac12\]$ intervallum, \'es ennek hossza
$1-x$, azaz ebben az eset\-ben $g(x)=1-x$. Ha $-1\le x\le0$, akkor
ez a metszet a $\[-\frac12,\frac12+x\]$ intervallum amelynek hossza
$1+x=1-|x|$, azaz $g(x)=1+x=1-|x|$ ebben az eset\-ben. Ez azt
jelenti, hogy $g(x)=1-|x|$, ha $|x|\le 1$, \'es $g(x)=0$, ha $|x|>1$.

\medskip
\item{} Megadok egy m\'asik megold\'ast is, amely a kor\'abban
t\'argyalt geo\-met\-riai \'ervel\'esen alapul.

\medskip
\item{} Sz\'am\'{\i}tsuk ki el\H{o}sz\"or a $\xi+\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $G(x)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et. De\-fi\-ni\'al\-juk a
$K=\[-\frac12,\frac12\]\times\[-\frac12,\frac12\]$ n\'egyzetet,
\'es jel\"olje $\lambda$ a Lebesgue m\'ert\'eket, azaz a ter\"uletet
a s\'{\i}kon. Ekkor a s\'{\i}k tetsz\H{o}leges $A\subset R^2$
m\'erhet\H{o} r\'eszhalmaz\'ara igaz az, hogy $P((\xi,\eta)\in
A)=\lambda(A\cap K)$. Speci\'alisan, $G(x)=P(\xi+\eta<x)=
\lambda(K\cap\{(u,v)\colon\; u+v<x\})$. Ha $x\le-1$, akkor
$G(x)=0$, ha $-1\le x\le0$, akkor $G(x)$ a $\(-\frac12,-\frac12\)$,
$\(-\frac12,\frac12+x\)$ \'es $\(\frac12+x,-\frac12\)$ pontok
\'altal meghat\'arozott h\'aromsz\"og ter\"ulete $\frac12(1+x)^2$.
Hasonl\'oan, ha $x\ge1$, akkor $G(x)=1$. Ha $0\le x\le1$, akkor a
$G(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny megegyezik annak a poligonnak
ter\"ulet\'evel, amelyet \'ugy kapunk, hogy a $K$ n\'egyzetb\H{o}l
kihagyjuk a $\(\frac12,\frac12\)$, $\(\frac12,-\frac12+x\)$
\'es $\(-\frac12+x,\frac12\)$ pontok \'altal meghat\'arozott
h\'aromsz\"oget. Ez\'ert $G(x)=1-\frac12(1-x)^2$ ebben az eset\-ben.
A $G(x)$ f\"uggv\'enyt deriv\'alva kapjuk, hogy $g(x)=0$, ha
$|x|\le1$, $g(x)=1+x$, ha $-1\le x\le0$, \'es $g(x)=1-x$, ha $0\le
x\le1$.

\item{18.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o valamely
$[a,a+1]$ illetve $[b,b+1]$ intervallumon. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a
$\xi+\eta$ \'es $\xi-\eta$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ok s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A feladatot meg lehet oldani
megfelel\H{o} konvoluci\'ok kisz\'am\'{\i}t\'as\'anak a
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. De mivel ezt a feladatot m\'ar megoldottuk
egy speci\'alis esetben a 17. feladatban, ez\'ert
egyszer\H{u}bb a feladat megold\'as\'at visszavezetni erre a
speci\'alis esetre. Ennek \'erdek\'eben vezess\"unk be k\'et
f\"uggetlen $\xi_0$ \'es $\eta_0$ a $[-\frac12,\frac12]$
intervallumon egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot. Feltehetj\"uk, hogy $\xi=\xi_0+a+\frac12$ \'es
$\eta=\eta_0+b+\frac12$. Ekkor $\xi+\eta=\xi_0+\eta_0+a+b+1$,
$\xi-\eta=\xi_0-\eta_0+a-b$. Ezenk\'{\i}v\"ul $\xi_0+\eta_0$ \'es
$\xi_0-\eta_0$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye megegyezik, \'es ez
az eml\'{\i}tett feladat eredm\'enye szerint $g(x)=1-|x|$, ha
$-1\le x\le1$, $g(x)=0$, ha $x<-1$ vagy $x>1$. Innen $x+\eta$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $g(x-a-b-1)=1-|x-a-b-1|$,
ha $|x-a-b-1|\le1$, $g(x-a-b-1)=0$, ha $|x-a-b-1|>1$, $\xi-\eta$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $g(x-a+b)=1-|x-a+b|$,
ha $|x-a+b|\le1$, $g(x-a+b)=0$, ha $|x-a+b|>1$.

\medskip
Tekints\"unk k\'et a m\'asodik t\'ema ismertet\'es\'eben t\'argyalt 
feladatot, amelyeket annak idej\'en geo\-met\-riai meggondol\'asok 
alapj\'an oldottunk meg. Megmutatom, hogy ezek a feladatok 
megoldhat\'oak a most t\'argyalt konvoluci\'o seg\'{\i}ts\'eg\'evel 
is.

\medskip
\item{19.)} K\'et ember 8 \'es 9 \'ora k\"oz\"ott megjelenik egy
t\'eren egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul \'es egyenletes eloszl\'asal.
Mind a kett\H{o} f\'el\'or\'at v\'ar a m\'asikra, \'es ha az addig
nem j\"on, akkor hazamegy. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak,
hogy tal\'alkoznak?
\item{}{\it Megold\'as.}\/ Jel\"olje $\xi_j$,
$j=1,2$, azt a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, amely azt
adja meg, hogy h\'any (0 \'es 1 k\"oz\"otti sz\'ammal
kifejezhet\H{o}) \'or\'aval 8 \'ora ut\'an jelent meg a $j$-ik ember
a helysz\'{\i}nen. Ekkor $\xi_1$ \'es $\xi_2$ f\"uggetlen a $[0,1]$
intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok. Minket a $-\frac12\le \xi_1-\xi_2\le \frac 12$
esem\'enyek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege \'erdekel. Mivel
$\xi_1-\xi_2=\xi_1+(-\xi_2)=\xi_1+\bar\xi_2$-t is \'{\i}rhatunk,
ahol $\bar\xi_2=-\xi_2$, \'es $\bar\xi_2$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et k\"onnyen kisz\'amolhatjuk,
ez\'ert a konvoluci\'or\'ol tanultak alapj\'an ezt a feladatot
meg tudjuk oldani. Az $F(u)=P(\xi_1-\xi_2<u)$ eloszl\'as
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye a $g(u)=f_1*f_2(u)$ konvoluci\'o,
ahol $f_1(u)=1$, ha $0\le u\le 1$, $f_1(u)=0$, k\"ul\"onben,
$f_2(u)=1$, ha $-1\le u\le0$, $f_2(u)=0$ k\"ul\"onben.
Ekkor a minket \'erdekl\H{o} mennyis\'eg az $F\(\frac12\)
-F\(-\frac12\)=\int_{-1/2}^{1/2}g(u)\,du$ integr\'al.
Tov\'abb\'a,
$$
g(x)=f_1*f_2(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f_1(u)f_2(x-u)\,du
=\int_{-\infty}^{\infty} f(u)f(x-u)\,du, \;\; -\infty<x<\infty,
$$
ahol $f(u)=1$, ha $\frac12\le  u\le \frac12$, $f(u)=0$, ha
$u\ge\frac12$.
\item{} A 17. feladat megold\'as\'aban l\'attuk, hogy
$g(u)=1-u$, ha $0<u<1$ $g(u)=1+u$, ha $-1<u<0$. Innen $F\(\frac12\)
-F\(-\frac12\)=\int_{-1/2}^{1/2}(1-|u|)\,du=\frac34$.

\item{20.)} K\'et botot v\'eletlenszer\H{u}en, egyenletes
eloszl\'assal elt\"or\"unk. A k\'et r\"ovidebb darabot
\"osszeragasztjuk. Mi az \'{\i}gy kapott \'uj bot hossz\'anak az
$F(u)$ eloszl\'asf\"uggv\'enye? 
\item{}{\it Megold\'as.}\/ Jel\"olje $\xi_j$,
$j=1,2$, azt a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, amely azt
adja meg, hogy a $j$-ik bot r\"ovidebb v\'eg\'enek mi a hossza.
Ekkor $\xi_1$, \'es $\xi_2$ f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok, amelyek s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye az az
$f(\cdot)$ f\"uggv\'eny, amelyre $f(x)=2$, ha $0\le x\le\frac12$,
\'es $f(x)=0$ egy\'ebk\'ent. Minket a $\xi_1+\xi_2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asa \'erdekel.
Viszont $\xi_1+\xi_2$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $g(x)=f*f(x)$,
ahonnan $g(x)=2-|2-4x|$, ha $0\le x\le 1$, $g(x)=0$ k\"ul\"onben.
Ezt kiintegr\'alva megkapjuk az eredm\'enyt, amelyet a a
k\"ovetkez\H{o} k\'epletek adnak meg: $F(u)=0$, ha $u\le 0$,
$F(u)=1-2u^2$, ha $0\le u\le \frac12$, $F(u)=1-2(1-u)^2=4u-2u^2-1$,
ha $\frac12\le u\le 1$. Ha $u\ge1$, akkor $F(u)=1$.

\item{21.)} Egy egys\'egnyi oldal\'u n\'egyzet k\'et \'atellenes
oldal\'an tal\'alomra v\'alasztunk egy-egy pontot. Mekkora annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy ezek t\'avols\'aga $\alpha$-n\'al
kisebb $(1\le\alpha<\sqrt2$)?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $\xi$ a n\'egyzet egyik,
$\eta$ a n\'egyzet \'atellenes oldal\'ara ledobott pont 
\'ert\'ek\'et. A k\'et ledobott pont t\'avols\'aga (a 
Pitagorasz-t\'etel szerint)
$\sqrt{(\xi-\eta)^2+1}$, ez\'ert minket a
$P(\sqrt{(\xi-\eta)^2+1}<\alpha)=P(|\xi-\eta|<\sqrt{\alpha^2-1})$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'ert\'eke \'erdekel. $\xi$ \'es $\eta$
k\'et f\"uggetlen a $[0,1$ intervallumon egyenletes eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. A feladatot egyr\'eszt
megoldhatjuk a geometriai val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek 
m\'od\-sze\-r\'e\-vel. Ekkor azt haszn\'aljuk, ki, hogy a 
$(\xi,\eta)$ v\'e\-let\-len vektor az egys\'egn\'egyzet egy 
v\'eletlen pontja, \'es a keresett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg az
$\{(u,v)\colon\; 0\le u,v\le1,\; -\sqrt{\alpha^2-1}<u-v<
\sqrt{\alpha^2-1}\}$ halmaz ter\"ulete, ami $1-(1-\sqrt{\alpha^2-1})^2
=2\sqrt{\alpha^2-1}-(\alpha^2-1)$.
\item{} M\'asr\'eszt a minket \'erdekl\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget kisz\'amolhatjuk a 18.~feladat 
ered\-m\'e\-ny\'e\-nek a se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel is. Ezen
eredm\'eny szerint ugyanis ismerj\"uk a $\xi-\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'o $g(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et, ahonnan tetsz\H{o}leges
$0\le u\le 1$ sz\'amra
$P(|\xi-\eta|<u)=\int_{-u}^u g(x)\,dx=2\int_0^u(1-x)\,dx=2u-u^2$
Innen $u=\sqrt{\alpha^2-1}$ v\'alaszt\'assal a keresett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$2\alpha-\alpha^2=2\sqrt{\alpha^2-1}-(\alpha^2-1)$.
\item{22.)} A $[0,1]$ intervallumon tal\'alomra felvesz\"unk k\'et
pontot. Mennyi annak a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy 
a k\'et felvett pont t\'avols\'aga kisebb, mint a 0 pontnak a 
hozz\'a k\"ozelebb es\H{o} pontt\'ol val\'o t\'avols\'aga?
\item{} {\it Megold\'as:} Ezt a feladatot legegyszer\H{u}bben a
geometriai val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek m\'odszer\'evel tudjuk
megoldani. Egyszer\H{u}bb el\H{o}sz\"or a feladatban k\'erdezett
esem\'eny komplementer\'enek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et
kisz\'amolni. Legyen $\xi$ az els\H{o}, $\eta$ a m\'asodik ledobott
pont \'ert\'eke, \'es vezess\"uk be az 
$A=\{\oo\colon\; \xi(\oo)>2\eta(\oo)\}$
\'es  $B=\{\oo\colon\; \eta(\oo)>2\xi(\oo)\}$ esem\'enyeket. Ekkor 
a minket \'erdekl\H{o} esem\'eny komplementere az $A\cup B$ esem\'eny.
Tov\'abb\'a, az $A$ \'es $B$ esem\'enyek diszjunktak, $P(A)=P(B)$,
ez\'ert $P(A\cup B)=2P(A)$. A $(\xi,\eta)$ v\'eletlen vektor
egyenletes eloszl\'as\'u az egys\'egn\'egyzeten, \'es az $A$
esem\'eny azt jelenti, hogy ez a pont az $\{(u,v)\colon\;
0<2v<u\le1\}$ halmazba esik. Ennek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
$\frac14$. Ez\'ert $P(A\cup B)=\frac12$, \'es a keresett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $1-\frac12=\frac12$.
\item{} Megjegyzem, hogy az el\H{o}bb tekintett $P(A)$ esem\'enyt
a k\"ovetkez\H{o}k\'epp sz\'a\-mol\-hat\-juk ki \'altal\'anos
elvek seg\'{\i}ts\'eg\'evel. A $(\xi,\eta)$ v\'eletlen vektor
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et ismerj\"uk. Ez a $\xi$ \'es $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlens\'ege miatt
$g(u,v)=f(u)f(v)$, ahol $f(u)=1$, ha $0\le u\le1$,
$f(u)=0$, ha $u<0$ vagy $u>1$ a $\xi$ \'es $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye. Innen,
$$
\align
P(A)&=\int_{\{(x,y)\colon\; x>2y\}}g(x,y)\,dx\,dy
=\int_{\{(x,y)\colon\; x>2y\}}f(x)f(y)\,dx\,dy\\
&=\int_{\{(x,y)\colon\;1\ge x>2y>0\}}\,dx\,dy
=\int_0^1 \(\int_0^{x/2}\,dy\)\,dx
=\int_0^1\frac x2\,dx=\[\frac{x^2}4\]_0^1=\frac14.
\endalign
$$
\item{23.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen standard
norm\'alis eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'o. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $\frac\eta\xi$ h\'anyados
eloszl\'as \'es s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Tegy\"unk el\H{o}sz\"or egy
\'altal\'anos megjegyz\'est. Ha adva van k\'et
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o $\xi$ \'es
$\eta$, amelyek (egy\"uttes s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye egy
ismert $f(u,v)$ s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny, akkor az
$\frac\eta\xi$ h\'anyados eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et a k\"ovetkez\H{o}
m\'odon sz\'amolhatjuk ki: Ve\-zes\-s\"uk be a $g(u,v)=g_x(u,v)$
f\"uggv\'enyt, amely a s\'{\i}kon az
$\left\{(u,v)\colon\;\frac vu<x\right\}$ halmaz
in\-di\-k\'a\-tor\-f\"ugg\-v\'e\-nye, azaz $g(u,v)=1$, ha $\frac vu<x$,
\'es $g(u,v)=0$, ha $\frac vu\ge x$. Ekkor
$$
P\(\frac\eta\xi<x\)
=E g(\xi,\eta)=\int\int g(u,v) f(u,v)\,du\,dv=
\int\int_{\{(u,v)\colon\;\frac vu<x\}} f(u,v)\,du\,dv.
$$
L\'atni fogjuk, hogy az ebben a feladatban vizsg\'aland\'o integr\'al
viszonylag egyszer\H{u}, k\"onnyebben kezelhet\H{o}.
\item{} A feladatban vizsg\'aland\'o h\'anyados eloszl\'asf\"uggv\'enye
$$
\align
F(x)=P\(\frac\eta\xi <x\)&=\iint_{v<xu
}\frac1{2\pi}e^{-(u^2+v^2)/2}\,du\,dv\\
&=2\frac1{2\pi}\int_{-\frac{\pi}2<\varphi<\arctan x}\int_0^\infty
re^{-r^2/2}\,dr\,d\varphi =\frac12+\frac1{\pi}\arctan x.
\endalign
$$
Ebben a sz\'amol\'asban a fel\'{\i}rt integr\'alt \'at\'{\i}rtuk
$u=r\cos\varphi$, $v=r\sin\varphi$ transzform\'aci\'oval
pol\'arkoordin\'atarendszerben. E sz\'amol\'as sor\'an az
integrandusban megjelenik az $r$ Jacobian mint szorz\'o faktor.
Ezut\'an azt vegy\"uk \'eszre, hogy a bels\H{o} $r$ v\'altoz\'o
szerinti integr\'al $\int_0^\infty
re^{-r^2/2}\,dr=\[-e^{-r^2/2}\]_0^\infty=1$.
\item{} Kisz\'amoltuk a keresett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. E val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye az eloszl\'asf\"uggv\'eny
deriv\'altja, azaz az $f(x)=\frac{dF(x)}{dx}=\frac1{\pi(1+x^2)}$
f\"uggv\'eny.
\item{} {\it M\'asodik megold\'as.}\/ A $(\xi,\eta)$ vektor
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $\frac1{2\pi}e^{-(x^2+y^2)/2}$, ami
for\-ga\-t\'as\-in\-va\-ri\'ans f\"uggv\'eny. Innen k\"ovetkezik,
hogy annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $(\xi,\eta)$ vektor
egy orig\'ob\'ol kiindul\'o $\alpha$ sz\"og\H{u} sz\"ogtartom\'anyba
esik, $\frac\alpha{2\pi}$. Ez\'ert
$$
\align
P\(\frac\eta\xi<x\)&=P\((\xi,\eta)\in
\[-\frac \pi2,\arctan x\)\cup \[\frac\pi2, \arctan x+\pi\)
\text{sz\"ogtartom\'anyban}\)\\
&=\frac1{2\pi}2\(\arctan x+\frac\pi2\)=\frac12+\frac1{\pi}\arctan x.
\endalign
$$

\medskip\noindent
{\bf 1.~ kieg\'esz\'{\i}t\'es:
T\"obbv\'altoz\'os s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyek.}

\medskip\noindent
Az egydimenzi\'os esethez hasonl\'on \'erdemes bevezetni 
t\"obbv\'altoz\'os el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'e\-nek a fogalm\'at. L\'atni
fogjuk, hogy ha valamely va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi 
v\'altoz\'ok egy\"uttes eloszl\'as\'anak van 
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, akkor ezen 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok valamely
f\"uggv\'eny\'enek a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et ki lehet sz\'amolni
ezen s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny szerinti al\-kal\-mas
integr\'al seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Az \'{\i}gy kapott formula
\'altal\'aban jobban hasz\-n\'al\-ha\-t\'o konkr\'et feladatokban,
mint az eloszl\'asok szerinti integr\'al. Megadom a
t\"obbdimenzi\'os s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny 
definici\'oj\'at \'es az el\H{o}bb jelzett eredm\'eny pontos 
megfogalmaz\'as\'at.

\medskip\noindent
{\bf T\"obbdimenzi\'os eloszl\'asf\"uggv\'eny
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'enek definici\'oja.}
{\it Azt mondjuk, hogy egy $F(x_1,\dots,x_k)$ t\"obbv\'altoz\'os
eloszl\'asf\"uggv\'enynek l\'etezik $f(u_1,\dots,u_k)$
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye, ha teljes\"ul az
$$
F(x_1,\dots,x_k)=\int_{-\infty}^{x_1}\cdots \int_{-\infty}^{x_k}
f(u_1,\dots,u_k)\,du_1\dots du_k
$$
azonoss\'ag minden
$-\infty<x_j<\infty$, $1\le j\le k$ sz\'amra.}

\medskip\noindent
{\bf T\'etel arr\'ol. hogy hogyan lehet kisz\'amolni egy v\'eletlen 
vektor f\"uggv\'eny\'enek a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et e
vektor s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'enek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel.} 
{\it L\'etezz\'ek egy $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ v\'eletlen vektor
$F(x_1,\dots,x_k)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny\'enek az
$f(u_1,\dots,u_k)$ s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye. Ekkor 
minden $k$-v\'altoz\'os (m\'erhet\H{o}) $g(x_1,\dots,x_k)$ 
f\"ugg\-v\'eny\-re \'erv\'enyes a k\"o\-vet\-ke\-z\H{o} 
azo\-nos\-s\'ag:
$$
\align
Eg(\xi_1,\dots,\xi_k)&=\int g(u_1,\dots,u_k)\mu_F(\,du_1,\dots,\,du_k)\\
&=\int_{-\infty}^\infty\cdots \int_{-\infty}^\infty
g(u_1,\dots,u_k)f(u_1,\dots,u_k)\,du_1\dots\,du_k,
\endalign
$$
ahol $\mu_F$ jel\"oli az $F$ eloszl\'asf\"uggv\'eny \'altal
meghat\'arozott Stieltjes m\'ert\'eket.  Ez az azo\-nos\-s\'ag
\'ugy \'ertend\H{o}, hogy az annak k\'et oldal\'an szerepl\H{o}
kifejez\'es egyszerre l\'etezik vagy nem l\'etezik, ha mind a k\'et
kifejez\'est mint Lebesgue integr\'alt \'ertelmezz\"uk. Ha a
jobb\-olda\-lon szerepl\H{o} integr\'al l\'etezik mint
(k\"oz\"ons\'eges) Riemann integr\'al, akkor ez az integr\'al
tekinthet\H{o} \'ugy is, mint (egy a Riemann integr\'al
\'ert\'ek\'evel megegyez\H{o}) Lebesgue integr\'al. Teh\'at az
azonoss\'ag ebben a fontos speci\'alis esetben is \'erv\'enyes.}

\medskip
Az egydimenzi\'os esethez hasonl\'oan a t\"obbdimenzi\'os
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyeket is lehet jellemezni. Igaz a
k\"ovetkez\H{o} t\'etel.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel t\"obbv\'altoz\'os s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny
jellemz\'es\'er\H{o}l.}  {\it Egy $k$-v\'altoz\'os $f(u_1,\dots,u_k)$
f\"uggv\'eny akkor \'es csak akkor s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
egy alkalmas $k$-dimenzi\'os el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-nek, ha
$f(u_1,\dots,u_k)\ge0$ majdnem minden $(u_1,\dots,u_k)$ pontban,
\'es
$$
\int_{-\infty}^\infty\cdots\int_{-\infty}^\infty f(u_1,\dots,u_k)
\,du_1 \dots\,du_k=1.
$$
}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Egydimenzi\'os eloszl\'asok eset\'eben
el\'eg sima eloszl\'asf\"uggv\'enyeknek l\'etezik
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\"uk, \'es az egyenl\H{o} az
eloszl\'asf\"uggv\'eny deriv\'altj\'aval. Ez a Newton--Leibniz
formul\'ab\'ol k\"ovetkezik. L\'etezik ehhez az eredm\'enyhez
hasonl\'o eredm\'eny a t\"obbdimenzi\'os esetben is. Eszerint az
eredm\'eny szerint, ha $F(x_1,\dots,x_k)$ el\'eg sima
$k$-dimenzi\'os eloszl\'asf\"uggv\'eny, akkor l\'etezik
$f(x_1,\dots,x_k)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es az az
$$
f(x_1,\dots,x_k)=\frac{\partial^k F(x_1,\dots,x_k)}{\partial x_1
\partial x_2\cdots \partial x_k}
$$
k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel sz\'am\'{\i}that\'o ki.

\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, \'es legyen a $\xi_j$,
$1\le j\le n$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es jel\"olj\"uk az
$f_j(\cdot)$-vel. L\'assuk be a Fubini t\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy a $(\xi_1,\dots,\xi_n)$ v\'eletlen
vektornak is van s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye, \'es az
az $f(u_1,\dots,u_n)=f_1(u_1)\cdots f_n(u_n)$ f\"uggv\'eny.
\item{} {\it Megold\'as:}
R\"ogz\'{\i}ts\"unk valamilyen $x_0,x_1,\dots, x_n$ sz\'amokat, \'es
defini\'aljuk ezek se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel a $h_j(u)=1$, ha
$u<x_j$, $h_j(u)=0$, ha $u\ge x$ $1\le j\le n$, f\"uggv\'enyeket.
Ekkor
$$
\align
P(\xi_1<x_1,\cdots,\xi_{n}<x_{n}) &=P(\xi_1<x_1) \cdots
P(\xi_{n}<x_{n})\\
&=\int h_1(u)f_1(u)\,du\cdots  \int h_n(u)f_n(u)\,du\\
&=\int\cdots\int h_1(u_1)f_1(u_1)\cdots h_n(u_n)f_n(u_n)\,du_1\dots
\,du_n\\
&=\int_{-\infty}^{x_1}\cdots\int_{-\infty}^{x_n}
f_1(u_1)\cdots f_n(u_n)\,du_1\dots\,du_n
\endalign
$$
ahonnan k\"ovetkezik a feladat \'all\'{\i}t\'asa.

\medskip
T\'argyaljuk r\"oviden a t\"obbdimenzi\'os eloszl\'asok egy fontos
speci\'alis eset\'et, a t\"obb\-di\-men\-zi\-\'os t\'er (v\'eges 
t\'erfogat\'u) halmazaira koncentr\'alt egyenletes eloszl\'ast. 
Defini\'aljuk ezeket s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\"uk 
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, majd adjuk meg az egyenletes el\-osz\-l\'ast 
n\'eh\'any egyszer\H{u} esetben.

\medskip\noindent
{\bf T\"obbdimenzi\'os halmazokra koncentr\'alt egyenletes
eloszl\'as definici\'oja.} {\it Legyen adva egy $A\subset R^k$
(Borel m\'erhet\H{o}) halmaz a $k$-dimenzi\'os  t\'eren, amelynek
Lebesque m\'ert\'eke teljes\'{\i}ti a $\lambda(A)>0$ felt\'etelt.
Az $A$-halmazon defini\'alt egyenletes eloszl\'as az a $P$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek az $R^k$ t\'er Borel
m\'erhet\H{o} r\'eszhalmazain, amelyre $P(B)=\frac{\lambda(A\cap
B)}{\lambda(A)}$ minden Borel m\'erhet\H{o} halmazra a $k$-dimenzi\'os
t\'eren. M\'ask\'epp megfogalmazva, az $A$ halmazra koncentr\'alt
egyenletes eloszl\'as az az eloszl\'as, amelynek
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(u_1,\dots,u_k)=\frac1{\lambda(A)}$,
ha $(u_1,\dots,u_k)\in A$, \'es $f(u_1,\dots,u_k)=0$, ha
$(u_1,\dots,u_k)\notin A$.}

\medskip\noindent
{\it Feladat:}
\medskip\noindent
\item{} Adjuk meg a $[0,1]\times\cdots\times[0,1]$ $k$-dimenzi\'os
egys\'egkock\'an egyenletes eloszl\'as
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et.
\item{b.)} Tekints\"uk a s\'{\i}kon a $(0,0)$, $(0,1)$ \'es
$(1,0)$ cs\'ucspontok \'altal meghat\'arozott h\'a\-rom\-sz\"o\-g\"on
az egyenletes eloszl\'ast. Adjuk meg ennek
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:} A $[0,1\times\cdots\times[0,1]$
$k$-dimenzi\'os egys\'egkock\'an egyenletes eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o eloszl\'asa az
$F(x_1,\dots,x_k)=G(x_1)\cdots G(x_k)$ f\"uggv\'eny, ahol $G(x)=0$,
ha $x\le0$, $G(x)=x$, ha $0\le x\le 1$, \'es $G(x)=1$, ha $x\ge1$.
\item{} A tekintett h\'aromsz\"og\"on defini\'alt egyenletes
eloszl\'as $H(x,y)$ eloszl\'asf\"uggv\'enye, $H(x,y)=0$, ha $x\le0$
vagy $y\le0$. $H(x,y)=1$, ha $\ge1$ \'es $y\ge1$. Defini\'alni kell
m\'eg a $H(x,y)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyt abban az esetben, ha $0\le
x\le1$ \'es $0\le y\le1$. Ebben az esetben
$H(x,y)=2\lambda([0,x]\times[0,y]\cap\bold K)$. innen $H(x,y)=xy$,
ha $0\le x\le1$ \'es $0\le y\le1$, \'es $x+y\le1$. Ha $0\le x\le1$
\'es $0\le y\le1$, \'es $x+y\ge1$, akkor
$H(x,y)=xy-\frac12(x+y-1)^2$.

\vfill\eject

\noindent
{\bf 2.~kieg\'esz\'{\i}t\'es: T\"obbv\'altoz\'os integ\'alok
kisz\'amol\'asa \'uj v\'altoz\'ok be\-ve\-ze\-t\'e\-s\'e\-vel.}

\medskip\noindent
A norm\'alis s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny kiintegr\'al\'as\'aban
($-\infty$-t\H{o}l $\infty$-ig) a klasszikus anal\'{\i}zis k\'et
fontos eredm\'eny\'et haszn\'altuk fel. Ezek egyike arr\'ol sz\'ol,
hogyan lehet k\'et egy\-v\'al\-to\-z\'os integr\'al szorzat\'at egy
k\'etv\'altoz\'os integr\'alk\'ent fel\'{\i}rni, a m\'asik pedig
arr\'ol, hogyan lehet koordin\'atatranszform\'aci\'okat alkalmazni
t\"obbv\'altoz\'os integr\'alokban. Ez ut\'obbi eredm\'eny az
$\int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du=\int_a^b f(g(u))g'(u)\,du$
azonoss\'ag t\"obbdimenzi\'os meg\-fele\-l\H{o}\-je.

Az els\H{o} eml\'{\i}tett eredm\'eny arr\'ol sz\'ol, hogy k\'et
egyv\'altoz\'os integr\'al szorzata fel\-\'{\i}r\-ha\-t\'o, mint
alkalmas k\'etv\'altoz\'os integr\'al. Pontosabban, ha $f(x)$,
$g(x)$ k\'et egyv\'altoz\'os f\"ugg\-v\'eny valamely $[a,b]$ illetve
$[c,d]$ intervallumon, $-\infty\le a<b\le\infty$, $-\infty\le c<d\le
\infty$ akkor $\int_a^b f(x)\,dx\int_c^d
g(x)\,dx=\int\int_{[a,b]\times[c,d]} f(x)g(y)\,dx\,dy$.
\'Altal\'anosabban, ha $f(x,y)$ k\'etv\'altoz\'os f\"uggv\'eny az
$[a,b]\times [c,d]$ t\'eglalapon, akkor $\int_a^b\(\int_c^d
f(x,y)\,dy\)\,dx=\int\int_{[a,b]\times[c,d]} f(x,y)\,dx\,dy$. Ebben az
azonoss\'agban a baloldalon egyv\'altoz\'os in\-teg\-r\'a\-lok
szukcessz\'{\i}v alkalmaz\'asa szerepel, a jobb-oldalon pedig
k\'etv\'altoz\'os integr\'al. Em\-l\'e\-kez\-te\-t\H{o}\-\"ul
felid\'ezem, hogy a t\"obbv\'altoz\'os Riemann integr\'alokat az
egyv\'altoz\'os integr\'alokhoz hasonl\'oan defini\'alhatjuk.
Nevezetesen, adva egy sz\'ep $A\subset R^k$ halmaz, \'es azon egy
$f(x_1,\dots,x_k)$ f\"uggv\'eny, akkor az $\int_A
f(x_1,\dots,x_k)\,dx_1\dots\,dx_k$ integr\'al de\-fi\-nic\'o\-ja
\'er\-de\-k\'e\-ben \'all\'{\i}tsuk el\H{o} az $A$ halmazt
kis \'atm\'er\H{o}j\H{u} $K_j$, $\bigcupp K_j=A$, halmazok
partici\'ojak\'ent, \'es \'{\i}rjuk fel a defini\'aland\'o integr\'al
$\sum f(u_1^{(j)},\dots,u_k^{(j)})\text{Vol}\, (K_j)$
in\-teg\-r\'al--k\"o\-ze\-l\'{\i}\-t\H{o} \"ossze\-geit, ahol
$\text{Vol}\,(K_j)$ a $K_j$ halmaz t\'erfogat\'at jel\"oli. Az
integr\'alt ilyen integr\'al-k\"ozel\'{\i}t\H{o} \"osszegek
limeszek\'ent defini\'aljuk, ha a $K_j$ halmazok \'atm\'er\H{o}inek
a szupr\'emuma null\'ahoz tart.

A t\"obbv\'altoz\'os integr\'al definici\'oja hasonl\'o az
egyv\'altoz\'os integr\'al\'ehoz. Egy apr\'o k\"ul\"onbs\'eg van
k\"oz\"ott\"uk, amire \'erdemes felh\'{\i}vni a figyelmet. A
$\text{Vol}\,(K_j)$ t\'erfogatot \'es nem el\H{o}jeles t\'erfogatot
jel\"ol. Az egyv\'altoz\'os integr\'alokkal akkor lesz teljes az
anal\'ogia, ha az $\int_a^b f(x)\,dx$ integr\'alokat csak $a<b$
esetben defini\'aljuk. Megjegyzem, hogy az id\'ezett eredm\'eny
nemcsak Riemann, hanem \'altal\'anosabb Lebesgue integr\'alokra is
\'er\-v\'e\-nyes. Ezt az anal\'{\i}zisban nagyon fontos eredm\'enyt
Fubini t\'etelnek h\'{\i}vj\'ak. A Fubini t\'etel fontos szerepet
j\'atszott a 7.~t\'ema t\'argyal\'as\'aban is, a f\"uggetlen 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok vizsg\'alat\'aban.

\medskip
Sz\"uks\'eg\"unk van a k\"ovetkez\H{o} probl\'ema
megold\'as\'ara is. Ha adva van az $n$-dimenzi\'os t\'er egy $A$
tartom\'any\'anak sz\'ep, sima \'es invert\'alhat\'o
$y_k=T_k(x_1,\dots,x_n)$, $1\le k\le n$, lek\'epez\'ese az
$n$-dimenzi\'os t\'er egy m\'asik $B$ tartom\'any\'aba valamint egy
$$
\int_B f(y_1,\dots,y_n)\,dy_1\dots\,dy_n
$$ 
alak\'u integr\'al a $B$ tartom\'anyon, akkor hogyan tudjuk ezt 
\'at\'{\i}rni  \'es kisz\'am\'{\i}tani, mint egy alkalmas az $A$ 
tartom\'anyon \'ertelmezett f\"uggv\'eny integr\'alj\'at? 
Els\H{o}sorban az $n=2$ v\'altoz\'os integr\'alok 
kisz\'am\'{\i}t\'asa \'erdekel minket, azon bel\"ul is az az eset,
amikor egy a s\'{\i}kon (pontosabban az $R^2\setminus\{0\}$ halmazon)
defini\'alt integr\'alt k\'{\i}v\'anunk kisz\'am\'{\i}tani a 
v\'altoz\'ok pol\'arkoordin\'at\'as \'at\'{\i}r\'as\'anak a 
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ebben az esetben egy a $B=R^2\setminus\{0\}$ 
halmazon defini\'alt $\int_{R^2} f(y_1,y_2)\,dy_1\,dy_2$ integr\'alt 
akarunk \'at\'{\i}rni az $A=(0,\infty)\times(-\pi,\pi]$ halmazon vett 
integr\'al alakj\'aban \'ugy, hogy az $(y_1,y_2)\in R^2\setminus\{0\}$ 
pontokat $y_1=T_1(x_1,x_2)$, $y_2=T_1(x_1,x_2)$ alakban adjuk meg, 
ahol $(x_1,x_2)\in A$. Annak \'erdek\'eben, hogy a szok\'asos 
jel\"ol\'esrendszer jelenjen meg \'ervel\'es\"unkben, haszn\'aljuk 
az $x_1=r$ \'es $x_2=\varphi$ bet\H{u}ket a megfelel\H{o} 
v\'altoz\'ok jel\"ol\'es\'ere. Ekkor a $T_1$ \'es $T_2$  
transzform\'aci\'ok $y_1=T_1(x_1,x_2)=x_1\cos x_2=r\cos\varphi$ 
\'es $y_2=T_2(x_1,x_2)=x_1\sin x_2=r\sin\varphi$ alak\'uak, \'es
az $(x_1,x_2)=(r,\varphi)\in A$ halmaz pontjait k\'epezik le az 
$(y_1,y_2)\in R^2\setminus\{0\}$ halmazba.

Annak \'erdek\'eben, hogy a sz\'amunkra \'erdekes eredm\'enyt
meg tudjuk fogalmazni el\H{o}sz\"or felid\'ezem egy sima
transzform\'aci\'o Jacobian-j\'anak a definici\'oj\'at. 

\medskip\noindent
{\bf Jacobian definici\'oja.} {\it Legyen $y_k=T_k(x_1,\dots,x_n)$,
$1\le k\le n$, az $n$-dimenzi\'os t\'er egy tartom\'any\'anak sima
transzform\'aci\'oja az $n$-dimenzi\'os t\'er egy m\'asik
tartom\'any\'aba.  Vezess\"uk be a $\bold T=(T_1,\dots,T_n)$
jel\"ol\'est. A $\bold T$ transzform\'aci\'o $\Cal J(\bold
T(x_1,\dots,x_n))$ Jaco\-bian-ja  egy $(x_1,\dots,x_n)$ pontban a
$$
\(\frac {\partial T_k(x_1,\dots,x_k)}{\partial x_l}\),
\quad 1\le l,k\le n,
$$
$n\times n$-es (az $(x_1,\dots,x_n)$ pontban vett deriv\'alt) m\'atrix
determin\'ans\'anak az abszolut \'ert\'eke.

(A Jacobian szeml\'eletes tartalma: Ez adja meg, hogy az
$(x_1,\dots,x_n)$ pont kis k\"ornyezet\'enek a t\'erfogat\'at a
$\bold T=(T_1,\dots,T_n)$ transzform\'aci\'o h\'anyszoros\'ara
nagy\'{\i}tja ki. Ezt k\'es\H{o}bb r\'eszletesebben elmagyar\'azom.)}
\medskip\noindent
{\bf Integr\'altranszform\'aci\'or\'ol sz\'ol\'o t\'etel.}
{\it Legyen adva az $n$-di\-men\-zi\'os t\'er egy $A$
tartom\'any\'anak egy sima $y_k=T_k(x_1,\dots,x_n)$, $1\le k\le
n$, transzform\'altja az $n$-dimenzi\'os t\'er egy m\'asik $B$
tartom\'any\'aba, amelyik invert\'alhat\'o, azaz az
$y_k=T_j(x_1,\dots,x_n)$, $1\le k\le n$, egyenletrendszernek egyetlen
$(x_1,\dots,x_n)\in A$ megold\'asa van minden $(y_1,\dots,y_n)\in B$
pontra. Legyen tov\'abb\'a adva egy (integr\'alhat\'o) 
$f(y_1,\dots,y_n)$ f\"uggv\'eny a $B$ tartom\'anyon. Ekkor
$$
\align
\int _B &f(y_1,\dots,y_n)\,dy_1\dots\,dy_n \\
&\qquad =\int_A f(T_1(x_1,\dots,x_n),\dots,T_n(x_1,\dots,x_n))
\Cal J(\bold T(x_1,\dots,x_n))\,dx_1\dots\,dx_n,
\endalign
$$
ahol $\Cal J(\bold T(x_1,\dots,x_n))$ jel\"oli a $\bold
T(x_1,\dots,x_n)$ lek\'epez\'es Jacobianj\'at.}\medskip

Tekints\"uk az $x=r\cos\varphi$ \'es $y=r\sin\varphi$ k\'epletekkel
megadott pol\'ar koordin\'akra val\'o \'att\'er\'est, azaz azt,
hogy egy s\'{\i}kon adott f\"uggv\'eny integr\'alj\'at hogyan
\'{\i}rhatjuk \'at pol\'ar-koordin\'atarendszerben egy a
az $A=\{(r,\varphi)\colon\;r>0,-\pi<\varphi\le\pi\}$ tartom\'anyon
defini\'alt f\"uggv\'eny integr\'alj\'av\'a az el\H{o}z\H{o} t\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.

Sz\'amoljuk ki a tekintett lek\'epez\'es Jacobianj\'at.
Egyszer\H{u} sz\'amol\'as adja, hogy $\frac{\partial
x}{\partial r}=\cos\varphi$, $\frac{\partial x}{\partial\varphi}=
-r\sin\varphi$, $\frac{\partial y}{\partial r}=\sin\varphi$,
$\frac{\partial y}{\partial \varphi}=r\cos\varphi$, ez\'ert a
Jacobian \'ert\'eke
$$
\Cal J(r\cos\varphi,r\sin\varphi)= \left|  \det\left|
\aligned
&\cos\varphi,\,-r\sin\varphi \\
&\sin\varphi,\;\;\,r\cos\varphi
\endaligned
\right|\,\right|=r(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)=r,
$$
ahonnan
$$
\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty f(x,y)\,dx\,dy=
\int_{-\pi}^\pi\int_0^\infty rf(r\cos\varphi,r\sin\varphi)
\,dr\,d\varphi.
$$

\'Erts\"uk meg a fent kimondott t\'etelt. Ennek \'erdek\'eben
tekints\"uk egy $A$ $n\times n$ m\'eret\H{u} $A=\(a_{j,l}\)$, 
$1\le j,l\le n$, alak\'u m\'atrix $\det A$ determin\'ans\'at. 
Ennek a determin\'ansnak a k\"ovetkez\H{o} a szeml\'eletes 
jelent\'ese: Vegy\"uk az $A$ m\'atrix 
$a^{(j)}=\(a_{j,1},\dots,a_{j,n}\)$ sorait, $1\le j\le n$, mint 
vektorokat az $n$-dimenzi\'os t\'erben. Ekkor $\det A$ 
egyenl\H{o} az $a^{(j)}$, $1\le j\le n$, vektorok \'altal 
kifesz\'{\i}tett parallelepipedon el\H{o}jeles t\'erfogat\'aval. 
Az $A$ m\'atrix sorvektorai \'altal kifesz\'{\i}tett 
pa\-rallelepipedon az $n$-dimenzi\'os egys\'egkocka k\'epe, ha 
az $A$ m\'atrix \'altal meghat\'arozott line\'aris
transzform\'aci\'ot alkalmazzuk r\'a. Ez\'ert a $\det A$ 
kifejez\'es geometriai tartalma az, hogy az $A$ m\'atrix \'altal
meghat\'arozott line\'aris transzform\'aci\'o h\'anyszoros\'ara 
nagy\'{\i}tja egy $n$-dimenzi\'os vektorok \'altal
kifesz\'{\i}tett pa\-ral\-lel\-epi\-pe\-don el\H{o}jeles t\'erfogat\'at.
Ennek a geo\-met\-riai t\'enynek fontos k\"ovetkezm\'enyei
vannak. Az el\H{o}bb t\'argyalt eredm\'enynek is ez \'all a 
h\'atter\'eben.

Tekints\"uk ugyanis a bizony\'{\i}tand\'o azonoss\'ag k\'et 
oldal\'an szerepl\H{o} integr\'al egy-egy 
integr\'alk\"ozel\'{\i}t\'es\'et. Ennek \'erdek\'eben tekints\"uk 
az $A$ halmaznak egy kis \'atm\'er\H{o}j\H{u} $K_j$, $j=1,2,\dots$, 
halmazokb\'ol \'all\'o $\bigcupp K_j=A$ partici\'oj\'at valamint 
minden $K_j$ halmazban egy
$\xi^{(j)}=\(\xi_1^{(j)},\dots,\xi_n^{(j)}\)\in K_j$ pontot. Legyen
tov\'abb\'a $\bar K_j=\bold T (K_j)$ a $K_j$ halmaz,
$\eta^{(j)}=\(\eta_1^{(j)},\dots,\eta_n^{(j)}\)\in \bar K_j$ pedig az
$\xi^{(j)}$ pont k\'epe a $\bold T$ transzform\'aci\'o
hat\'as\'ara. Ekkor a baloldali integr\'alnak j\'o k\"ozel\'{\i}t\'ese
a $\summ_j f(\bold T\xi^{(j)})\Cal J(\xi^{(j)})\text{Vol}\,(K_j)=
\summ_j f(\eta^{(j)})\Cal J(\xi^{(j)})\text{Vol}\,(K_j)$, a jobboldali
integr\'alnak pedig a $\summ_j f(\eta^{(j)}) \text{Vol}\,(\bar K_j)$
\"osszeg, ahol $\text{Vol}\,(K)$ a $K$ halmaz t\'erfogat\'at jel\"oli.
Ahhoz, hogy l\'assuk, hogy ez a k\'et integr\'alk\"ozel\'{\i}t\H{o}
\"osszeg k\"ozel van egym\'ashoz azt kell meg\'erten\"unk, hogy
$J(\xi^{(j)})\text{Vol}\,(K_j)\sim\text{Vol}\,(\bar K_j)$. Ez ut\'obbi
\'all\'{\i}t\'ast viszont a m\'atrixok determin\'ans\'ar\'ol mondottak
tulajdons\'aga, illetve a $\bold T$ transzform\'aci\'onak a $\xi^{(j)}$
pontok k\"or\"uli term\'eszetes lineariz\'aci\'oja
seg\'{\i}ts\'eg\'evel lehet l\'atni.

Ha a $\bold T$ transzorm\'aci\'ot az $\xi^{(j)}$ pont kis 
k\"ornyezet\'eben tekintj\"uk, \'es ott vessz\"uk ennek
k\"ozel\'{\i}t\'es\'et a $\xi^{(j)}$ pont k\"or\"uli Taylor 
sor\'aval az els\H{o} tagig, akkor l\'athatjuk, hogy mi\'ert
\'erv\'enyes a megfogalmazott \'all\'{\i}t\'as. Ez a
l\'{\i}neariz\'alt transzform\'aci\'o az $\xi^{(j)}$ pont kis
k\"ornyezet\'et alkot\'o $K_j$ halmazt k\"ozel\'{\i}t\H{o}leg az
$\eta^{(j)}$ kis k\"ornyezet\'et alkot\'o $\bold K_j$ halmazba viszi.
Tolv\'abb\'a e transzform\'aci\'o alkalmaz\'asa egy halmaz 
t\'erfogat\'at a $\bold T$ transzform\'aci\'o $\xi^{(j)}$-beli 
deriv\'alt m\'atrix\'anak a determin\'ans\'aval, azaz az 
$J(\xi^{(j)})$ sz\'ammal szorozza meg. Mivel minket a 
tartom\'anyoknak nem az el\H{o}jeles, hanem az el\H{o}jel 
n\'elk\"uli t\'erfogata, pontosabban fogalmazva a t\'erfogat 
abszolut \'ert\'eke \'erdekel, ez\'ert a $|J(\xi^{(j)})|$ 
sz\'ammal kell szoroznunk. \'Igy jelenik meg a Jacobian az 
integr\'altranszform\'aci\'os k\'epletben.



\bye

