\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus1pt

\parskip=1pt plus 1pt
\TagsOnRight
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}

\centerline{\bf A Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as I.
el\H{o}ad\'assorozat hetedik t\'em\'aja.}

\beginsection Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asa,
v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es f\"uggetlens\'ege.

Megbesz\'elt\"uk, hogy egy $\xi$ (val\'os \'ert\'ek\H{u})
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n \'ertelmezett (m\'erhet\H{o})
f\"uggv\'eny. De konkr\'et probl\'em\'akban \'altal\'aban nem 
ma\-gu\-kat a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat adjuk meg 
(amihez el\H{o}bb be kell vezetni azt a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
mez\H{o}t, ahol azok defini\'alva vannak), hanem azok al\'abb 
defini\'alt el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et, \'es 
k\'erd\'eseinket ezen eloszl\'asf\"uggv\'eny
seg\'{\i}ts\'eg\'evel fogalmazzuk meg.

\medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'enek a definici\'oja.} {\it Legyen adva egy
$\xi(\oo)$ (val\'os \'ert\'ek\H{u}) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n. Ennek $F(x)$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'en az
$F(x)=P\(\{\oo\colon\;\xi(\oo)<x\}\)$, $-\infty<x<\infty$,
f\"uggv\'enyt \'ertj\"uk.}

\medskip\noindent
E fogalom jobb meg\'ert\'es\'enek \'erdek\'eben tekints\"uk a
k\"ovetkez\H{o} p\'eld\'akat.

\medskip
{\it Feladatok:}
\medskip
\item{1.)} Tekints\"uk egy szab\'alyos dob\'okocka feldob\'as\'at,
illetve azt a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, amely
megadja, hogy mi a dob\'as eredm\'enye. Mi a $\xi$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o $F(x)$
eloszl\'asf\"uggv\'enye?

\item{} {\it Megold\'as:}\/ A $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o az 1, 2, 3, 4, 5 \'es 6 \'ert\'ekek valamelyik\'et veszi
fel, mindegyiket $\frac16$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel. Ez\'ert
annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy $\xi(\oo)<x$ null\'aval
egyenl\H{o}, ha $x<1$. S\H{o}t $x=1$ eset\'eben is teljes\"ul a
$P(\xi<1)=0$ azonoss\'ag, mert annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et
n\'ezz\"uk, hogy a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
szigor\'uan kisebb mint az $x=1$ sz\'am. Ez\'ert $F(x)=0$, ha
$-\infty<x\le1$. Ha $1<x<2$, akkor az $\{\oo\colon\;\xi(\oo)<x\}$
esem\'eny azt jelenti, hogy a dob\'as eredm\'enye 1. Ez az
\'all\'{\i}t\'as igaz $x=2$ eset\'eben is. Ez\'ert $F(x)=\frac16$,
ha $1<x\le2$. Ha $2<x\le3$, akkor az
$\{\oo\colon\;\xi(\oo)<x\}$ esem\'eny azt jelenti, hogy a
dob\'as eredm\'enye 1 vagy 2. Ez\'ert $F(x)=\frac26$, ha $2<x\le3$.
Ezt a gondolatot v\'egigk\"ovetve kapjuk, hogy $F(x)=0$, ha
$-\infty<x\le1$, $F(x)=\frac j6$, ha $j<x\le j+1$, $1\le j\le 5$,
\'es $F(x)=1$, ha $6<x<\infty$,

\medskip
\item{2.)} Feldobunk egy p\'enzdarabot, amely $p$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik a fej, $1-p$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az \'{\i}r\'as oldalra k\'etszer
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul. Jel\"olje $\xi$ azt a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, amely a fejdob\'asok
sz\'am\'at adja meg. Adjuk meg a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/  A $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'as\'at a $P(\xi=0)=(1-p)^2$, $P(\xi=1)=2p(1-p)$
\'es $P(\xi=2)=p^2$ k\'epletek adj\'ak meg. Ez azt jelenti, hogy a
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $F(x)=P(\xi<x)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'ere $F(x)=0$, ha $x\le0$, $F(x)=(1-p)^2$,
ha $0<x\le 1$, $F(x)=P(\xi=0)+P(\xi=1)=(1-p)^2+2p(1-p)=1-p^2$, ha
$1<x\le 2$, \'es $F(x)=1$, ha $x>2$.
\item{3.)} Ledobunk egy pontot v\'eletlen\"ul az
egys\'egintervallumra, azaz annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy
a ledobott pont valamely $[a,b]\subset[0,1]$ intervallumba esik
legyen $b-a$. Jel\"olje $\xi$ a ledobott pont hely\'enek a
nagys\'ag\'at. Adjuk meg a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Mivel $P(\xi<x)=0$, ha $x\le 0$,
$P(\xi<x)=P(\xi\in[0,x))=x$, ha $0\le x\le1$, \'es $P(\xi<x)=1$, ha
$x>1$, ez\'ert az $F(x)=P(\xi<x)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyre $F(x)=0$,
ha $x<0$, $F(x)=x$, ha $0\le x\le1$, \'es $F(x)=1$, ha $x>1$.
\item{4.)} Ledobunk egy pontot v\'eletlen\"ul a $[0,2]$
intervallumra, azaz annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a
ledobott pont valamely $[a,b]\subset[0,2]$ intervallumba esik legyen
$\frac{b-a}2$. Valaki fel\'{\i}rja a ledobott pont hely\'et egy
jegyz\H{o}k\"onyvbe, ha a ledobott pont a $[0,1]$ intervallumba
esik, \'es a 0 \'ert\'eket \'{\i}rja be, ha ez a pont az $[1,2]$
intervallumba esik. Jel\"olje $\eta$ a jegyz\H{o}k\"onyvbe
\'{\i}rt sz\'am \'ert\'ek\'et. Adjuk meg az $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $\xi$ a ledobott
pont hely\'enek az \'ert\'ek\'et. Ekkor $P(\eta<0)=0$,
$P(\eta=0)=P(\xi\in[1,2])=\frac12$,
$P(\eta<x)=P(\xi<x)+P(\xi\in[1,2])=\frac12+\frac x2$, ha
$0\le x\le1$, \'es $P(\eta<x)=1$, ha $x>1$. Innen az $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $F(x)$
eloszl\'asf\"uggv\'enye a k\"ovetkez\H{o}: $F(x)=0$,
ha $x\le0$, $F(x)=\frac12+\frac x2$, ha $0\le x\le1$, \'es
$F(x)=1$, ha $x\ge1$.

\medskip
Az els\H{o} k\'et p\'eld\'aban egy diszkr\'et eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et
adtuk meg. A harmadik p\'eld\'aban szerepl\H{o}
eloszl\'asf\"uggv\'eny folytonos f\"uggv\'eny volt. Az ilyen
eloszl\'asokat folytonos eloszl\'asnak h\'{\i}vj\'ak az
irodalomban. A negyedik p\'eld\'aban sze\-rep\-l\H{o}
eloszl\'asf\"uggv\'eny nem volt folytonos, mert a nulla pontban
ugr\'asa van, \'es ugyan\-csak nem volt egy diszkr\'et eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'enye.

\medskip
Mi\'ert fontos az eloszl\'asf\"uggv\'eny fogalma? \'Altal\'aban nem
tudjuk, hogy milyen v\'eletlen hat\'asok eredm\'enyek\'ent jelenik
meg egy $\xi(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
\'ert\'eke, csak azt, hogy milyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
vesz fel ez a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o bizonyos
\'ert\'ekeket. Ez\'ert term\'eszetes, hogy csak ezeket a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket adjuk meg. Viszont a $\xi(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $F(x)$
eloszl\'asf\"uggv\'enye csak az $\{\oo\colon\;\xi(\oo)<x\}$
alak\'u esem\'enyek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et adja meg. A
k\"ovetkez\H{o} k\'erd\'es az, hogy nem jelent-e ez
megszor\'{\i}t\'ast, hiszen minket az \"osszes
$\{\oo\colon\;\xi(\oo)\in B\}$ alak\'u esem\'eny
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege \'erdekel, ahol $B$ ,,sz\'ep" halmaz.
De bizonyos m\'ert\'ekelm\'eleti eredm\'enyekb\H{o}l
k\"o\-vet\-ke\-zik, hogy az $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny
meghat\'arozza az \"osszes ilyen esem\'eny
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et. Az, hogy egy halmaz ,,sz\'ep"
pontosabban megfogalmazva azt jelenti, hogy ez a halmaz Borel 
m\'erhet\H{o}. L\'assuk, hogyan lehet n\'eh\'any ilyen esem\'eny
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et meghat\'arozni az eloszl\'asf\"uggv\'eny
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.

Mivel $\{\oo\colon\;a\le\xi(\oo)<b\}=\{\oo\colon\;\xi(\oo)<b\}
\setminus\{\oo\colon\;\xi(\oo)<a\}$, ez\'ert
$$
P\(\{\oo\colon\;a\le\xi(\oo)<b\}\)=
P\(\{\oo\colon\;a\le\xi(\oo)<b\}\)-P\(\{\oo\colon\;\xi(\oo)<a\}\)
=F(b)-F(a).
$$
Mivel $\{\oo\colon\;a\le \xi(\oo)\le b\}=\bigcapp_{n=1}^\infty
\left\{\oo\colon\;a\le\xi(\oo)<b+\frac1n\right\}$, \'es a
 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$\sigma$-ad\-di\-ti\-vi\-t\'a\-s\'a\-b\'ol k\"ovetkeznek
annak folytonoss\'agi tulajdons\'agai, ez\'ert
$$
\align
P\(\{\oo\colon\;a\le \xi(\oo)\le b\}\)&=\limm_{n\to\infty}
P\(\left\{\oo\colon\;a\le\xi(\oo)<b+\frac1n\right\}\)\\
&=\limm_{n\to\infty}\[F\(b+\frac1n\)-F(a)\].
\endalign
$$
Hasonl\'oan, ha adva van diszjunkt z\'art $[a_k,b_k]$,
$1\le k\le n$, intervallumok halmaza, akkor
$$
P\(\bigcupp_{k=1}^n\left\{\oo\colon\; a_k\le \xi(\oo)\le b_k\right\}\)=
\summ_{k=1}^n\limm_{N\to\infty}\[F\(b_k+\frac1N\)-F(a_k)\].
$$

\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Legyen adva egy $\xi(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'enye. Hat\'arozzuk meg ennek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel az $\{\oo\colon\;a<\xi(\oo)<b\}$ alak\'u
esem\'enyek, $-\infty<a<b<\infty$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et,
valamint annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy $\xi(\oo)$
valamilyen p\'aros eg\'esz \'ert\'eket vesz fel.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$$
\align
P\(\{\oo\colon\;a<\xi(\oo)<b\}\)=&
\limm_{n\to\infty} P\(\left\{\oo\colon\;a+\frac1n\le\xi(\oo)<b\right\}\)\\
&=\limm_{n\to\infty} \[F(b)-F\(a+\frac1n\)\].
\endalign
$$
Egy tetsz\H{o}leges $u$ pontra $P(\xi=u)
=\limm_{n\to\infty}\[F\(u+\frac1n\)-F(u)\]$. Ez\'ert annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o valamely p\'aros eg\'esz \'ert\'eket vesz fel
$\summ_{k=-\infty}^\infty \limm_{n\to\infty}\[F\(2k+\frac1n\)-F(2k)\]$.

\medskip
Megfogalmazom azokat eredm\'enyeket, amelyek seg\'{\i}ts\'eg\'evel
jellemezni tudjuk az eloszl\'asf\"uggv\'enyeket, illetve, amelyek
kimondj\'ak, hogy az elosz\'asf\"uggv\'enyek meg\-ha\-t\'a\-roz\-z\'ak
a minket \'erdekl\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket.

\medskip\noindent
{\bf Lemma eloszl\'asf\"uggv\'enyek tulajdons\'agair\'ol.}
{\it Legyen $\xi(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, \'es
legyen $F(x)=P(\{\oo\colon\;\xi(\oo)<x\})$,
$-\infty<x<\infty$, e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'enye. Az $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny
teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o} tulajdons\'agokat.

\medskip
\item{a)} $F(x)$ monoton n\"ovekv\H{o} f\"uggv\'eny.
\item{b)} $F(x)$ balr\'ol folytonos f\"uggv\'eny, azaz
 $\limm_{h\to0,\, h>0} F(x-h)=F(x)$ minden $-\infty<x<\infty$
sz\'amra.
\item{c)} $\limm_{x\to\infty}F(x)=1$.
\item{d)} $\limm_{x\to-\infty}F(x)=0$.}

\medskip\noindent
{\bf T\'etel val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
eloszl\'as\'anak jellemz\'es\'er\H{o}l.} {\it Ha egy $F(x)$
f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti az eloszl\'asf\"uggv\'enyek 
tulajdons\'agair\'ol sz\'ol\'o lemm\'aban
megfogalmazott a)---d) tulajdons\'agokat, akkor az
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny. R\'eszletesebben megfogalmazva
ez azt jelenti, hogy ha az $F(x)$ f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti az
a)---d) felt\'eteleket, akkor l\'etezik egy $(\Omega,\Cal A, P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}, \'es azon olyan $\xi(\oo)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o, amelynek az
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'enye ez az $F(x)$ f\"uggv\'eny.}

\medskip
A fent megfogalmazott T\'etel bizony\'{\i}t\'asa felhaszn\'al egy 
fontos m\'ert\'ekelm\'eleti ered\-m\'enyt, amelyet megfogalmazok. 
De e m\'ert\'ekelm\'eleti eredm\'eny bizony\'{\i}t\'asa a 
m\'er\-t\'ek\-elm\'e\-let anyaga, ez\'ert azt itt nem t\'argyaljuk.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel eloszl\'asf\"uggv\'enyek \'altal meghat\'arozott
m\'ert\'ekekr\H{o}l.}  {\it Ha egy $F(x)$ f\"ugg\-v\'eny 
teljes\'{\i}ti az eloszl\'asf\"uggv\'enyek tulajdons\'agair\'ol
sz\'ol\'o lemm\'aban megfogalmazott a)---d) 
tulajdons\'agokat akkor l\'etezik egy olyan az $F$ f\"uggv\'eny 
\'altal egy\'ertelm\H{u}en meg\-ha\-t\'a\-ro\-zott $\mu_F(\cdot)$ 
\'ugynevezett Stieltjes m\'ert\'ek, amely 
teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o} tulajdons\'agokat.

\medskip
\item{a)} A sz\'amegyenes minden $B$ Borel halmaz\'anak l\'etezik
$\mu_F(B)$ Stieltjes m\'ert\'eke.
\item{b)} A $\mu_F(\cdot)$ halmazf\"uggv\'eny $\sigma$-addit\'{\i}v
a sz\'amegyenes Borel-halmazaib\'ol \'all\'o (Borel)
$\sigma$-algebr\'an, \'es $\mu_F(R^1)=1$.
\item{c)} $\mu_F([a,b))=F(b)-F(a)$ minden $-\infty<a<b<\infty$
sz\'amra. Innen az is k\"ovetkezik, hogy
$\mu_F((-\infty,b))=F(b)$ minden $-\infty<b<\infty$ sz\'amra.

}\medskip
Az eloszl\'asf\"uggv\'enyek \'altal meghat\'arozott
m\'ert\'ekekr\H{o}l sz\'ol\'o t\'etelb\H{o}l \'es a 
m\'er\-t\'ek\-el\-m\'e\-let egy fontos eredm\'eny\'eb\H{o}l, a 
m\'asodik t\'ema le\'{\i}r\'as\'anak 2.~kieg\'esz\'{\i}t\'es\'eben 
ismertetett Carath\'eodory-f\'ele kiterjeszt\'esi t\'etelb\H{o}l az 
is k\"ovetkezik, hogy az $F(x)$  eloszl\'asf\"uggv\'eny 
egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozza a
$P(\{\oo\colon\;\xi(\oo)\in B\})=F_\mu(B)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket
minden Borel--m\'erhet\H{o} $B$ halmazra.

\medskip\noindent
{\it Az eloszl\'asf\"uggv\'enyek tulajdons\'agair\'ol sz\'ol\'o
lemma bizony\'{\i}t\'asa:}\/ Mivel $\{\oo\colon\;\xi(\oo)<a\}
\subset\{\oo\colon\;\xi(\oo)<b\}$, ha $a<b$, ez\'ert
$P(\{\oo\colon\;\xi(\oo)<a\})\le P(\{\oo\colon\;\xi(\oo)<b\})$ ebben
az esetben, \'es ez az a) tulajdons\'ag.

Az a) tulajdons\'ag \'erv\'enyess\'ege miatt a b) tulajdons\'ag
bizony\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben el\'eg megmutatni azt, hogy ha $h_n$,
$n=1,2,\dots$, olyan monoton cs\"okken\H{o} sorozat, amely\-re
$\limm_{n\to\infty}h_n=0$, akkor $\limm_{n\to\infty}F(x-h_n)=
\limm_{n\to\infty}P\(\{\oo\colon\;\xi(\oo)<x-h_n\}\)= F(x)=
P\(\{\oo\colon\;\xi(\oo)<x\}\)$. Ez viszont k\"ovetkezik az
$\bigcupp_{n=1}^\infty\{\oo\colon\;\xi(\oo)<x-h_n\}
=\{\oo\colon\;\xi(\oo)<x\}$
rel\'aci\'ob\'ol \'es a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek
folytonoss\'ag\'ab\'ol. A c) \'es d) tulajdons\'ag
bizony\'{\i}t\'asa hasonl\'o.

\medskip\noindent
{\it A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'as\'anak
jellemz\'es\'er\H{o}l sz\'ol\'o t\'etel bizony\'{\i}t\'asa az
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek \'altal meghat\'arozott
m\'ert\'ekekr\H{o}l sz\'ol\'o t\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel.}\/ 
Tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} $(\Omega,\Cal A,P)$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t:
$\Omega=R^1$, a sz\'am\-egye\-nes, $\Cal A=\Cal B$, a sz\'amegyenes
Borel m\'erhet\H{o} halmazainak $\sigma$-algebr\'aja, $P=\mu_F$, a
Borel m\'erhet\H{o} halmazok $\sigma$-algebr\'aj\'an az $F$
f\"uggv\'eny \'altal defini\'alt Stieltjes m\'ert\'ek, amelynek
l\'etez\'es\'et az el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek \'altal 
meghat\'arozott m\'ert\'ekekr\H{o}l sz\'ol\'o t\'etel 
\'all\'{\i}t\'asa fogalmazza meg. Legyen
$\xi(x)=x$, azaz jelen p\'eld\'aban az $\oo$ elemi esem\'enyek az
$x$ val\'os sz\'amok, \'es a $\xi(x)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o az $x$ helyen az $x$ sz\'ammal egyenl\H{o}. Ekkor
$P(\{\oo\colon\;\xi(\oo)<x\})=\mu_F(u\colon\;u<x)=F(x)$ minden $x$
sz\'amra. Ez azt jelenti, hogy a defini\'alt $\xi(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asa az $F(x)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny.

\medskip\noindent
{\it 1. megjegyz\'es.}\/ Az el\H{o}z\H{o} bizony\'{\i}t\'as egyetlen
nehezebb l\'ep\'ese annak igazol\'asa, hogy a konstru\'alt $\mu_F$
halmazf\"uggv\'eny (val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi) m\'ert\'ek, azaz
$\sigma$-addit\'{\i}v. Megjegyzem, hogy ennek az \'all\'{\i}t\'asnak
a bizony\'{\i}t\'asa elker\"ulhetetlen. Ugyan\-is az
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek \'altal meghat\'arozott
m\'ert\'ekekr\H{o}l sz\'ol\'o t\'etel
\'all\'{\i}t\'asa k\"onnyen levezethet\H{o} az el\H{o}z\H{o}
t\'etel eredm\'eny\'eb\H{o}l.

\medskip \noindent
{\it 2. megjegyz\'es.}\/ Felmer\"ulhet a k\'erd\'es, hogy mi a
jelent\H{o}s\'ege sz\'amunkra a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok eloszl\'as\'anak jellemz\'es\'er\H{o}l sz\'ol\'o
t\'etelnek. Ezen eredm\'eny fontoss\'ag\'anak oka a k\"ovetkez\H{o}.
Gyakran megfogalmazunk olyan feladatot, amelyben egy olyan
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'or\'ol akarunk tudni valamit,
amelyiknek az eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et egy k\'eplettel megadtuk.
Felmer\"ulhet a k\'erd\'es, hogy \'ertelmes feladatot fogalmaztunk-e
meg, azaz l\'etezik-e ilyen eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'o. A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'as\'anak
jellemz\'es\'er\H{o}l sz\'ol\'o t\'etel azt \'all\'{\i}tja, hogy
amennyiben az \'altalunk megadott k\'eplet teljes\'{\i}t n\'eh\'any
olyan felt\'etelt, amelyet minden eloszl\'asf\"uggv\'enynek
teljes\'{\i}tenie kell, akkor ilyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o l\'etezik.

\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} L\'assuk be, hogy l\'etezik olyan diszkr\'et eloszl\'as\'u
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelynek $F(x)=P(\xi<x)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'ere igaz, hogy minden $-\infty<a<b<\infty$
sz\'amp\'arra $F(a)<F(b)$ szigor\'u egyenl\H{o}tlens\'eggel.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Egy lehets\'eges konstrukci\'o a
k\"ovetkez\H{o}. Legyen $r_1,r_2,\dots$, a racion\'alis sz\'amok
sorozata valamilyen sorrendben felsorolva. Defini\'aljunk olyan $\xi$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ot, amelyre
$P(\xi=r_j)=2^{-j}$, $j=1,2,\dots$. Ekkor $\xi$ diszkr\'et
el\-osz\-l\'a\-s\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, \'es
ennek $F(x)$ eloszl\'as\'ara $F(b)-F(a)=P(a<\xi<b)>0$, mert
$P(a<\xi<b)>P(\xi=r_j)>0$, ahol $r_j$ egy az $[a,b]$ intervallum
belsej\'eben l\'ev\H{o} racion\'alis sz\'am.

\medskip
A k\"ovetkez\H{o} t\'em\'ank val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'enek a definici\'oja \'es legfontosabb
tulajdons\'agai az \'altal\'anos esetben.

\beginsection Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok v\'arhat\'o
\'ert\'eke.

A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as egy nagyon fontos fogalma
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok v\'arhat\'o \'ert\'eke.
Ezt a fogalmat r\'eszletesen t\'argyaltuk diszkr\'et eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eset\'eben. Az \'altal\'anos
eset t\'argyal\'asa visszavezethet\H{o} erre a speci\'alis esetre
alkalmas hat\'ar\'atmenet seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ezt a
hat\'ar\'atmenet elj\'ar\'ast kiss\'e \'altal\'anosabb form\'aban
elv\'egezt\'ek a m\'ert\'ekelm\'eletben az \'ugynevezett Lebesgue
integr\'al bevezet\'es\'en\'el. A
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as
t\'argyal\'as\'aban a v\'arhat\'o \'ert\'ek vizsg\'alat\'at
 egyszer\H{u}en \'es gyorsan el tudj\'ak v\'egezni, ha szabad
haszn\'alni a Lebesgue integr\'al fogalm\'at.

Ebben az el\H{o}ad\'asban a k\"ovetkez\H{o} k\"oztes megold\'ast
v\'alasztom. Elmagyar\'azom azt a k\'epet, amely term\'eszetess\'e
teszi a haszn\'alt Lebesgue m\'ert\'ek definici\'oj\'at, \'es
szem\-l\'e\-le\-te\-sen megmutatom, hogy mi\'ert \'erv\'enyesek a
legfontosabb eredm\'enyek. A form\'alis r\'eszletek kidolgoz\'asa
viszont nem ennek az el\H{o}ad\'asnak a t\'em\'aja.

\medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'enek {\it form\'alis}\/ definici\'oja.} {\it Legyen
$\xi(\oo)$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egi v\'altoz\'o egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}n.
E val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et
\'ugy defini\'aljuk, mint a $\xi(\oo)$ f\"uggv\'enynek az
$$
E\xi(\oo)=\int \xi(\oo) dP(\oo)
$$
Lebesgue integr\'alj\'at a $P$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek
szerint, felt\'eve, hogy $\int |\xi(\oo)| dP(\oo)<\infty$. Ha ez a
felt\'etel nem teljes\"ul, akkor nem defini\'aljuk a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et.}

\medskip\noindent
A k\"ovetkez\H{o} eredm\'eny
lehet\H{o}v\'e teszi egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'enek ki\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'a\-s\'at csak 
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'enek az ismeret\'eben.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel v\'arhat\'o \'ert\'ek kisz\'am\'{\i}t\'as\'ar\'ol az 
eloszl\'asf\"uggv\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel.} {\it Legyen $\xi(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n egy $F(x)=P(\xi<x)$, 
$-\infty<x<\infty$, eloszl\'asf\"uggv\'ennyel. Ekkor
$$
E\xi(\oo)=\int_{-\infty}^\infty xF(\,dx),
$$
ahol a fenti integr\'al Lebesgue--Stieltjes integr\'alt jel\"ol
az $F$ eloszl\'as \'altal meghat\'arozott $\mu_F$ Stieltjes 
m\'ert\'ek szerint. Ez a formula akkor \'erv\'enyes, ha
$\int_{-\infty}^\infty |x| F(\,dx)<\infty$. Ellenkez\H{o} esetben
az $E\xi$ v\'arhat\'o \'ert\'eket nem defini\'altuk.}

\medskip
S\H{o}t, igaz a k\"ovetkez\H{o} \'altal\'anos\'{\i}t\'asa a
v\'arhat\'o \'ert\'ek kisz\'am\'{\i}t\'as\'ar\'ol sz\'ol\'o 
t\'etelnek az eloszl\'asf\"uggv\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel.

\medskip\noindent
{\bf A v\'arhat\'o \'ert\'eknek az eloszl\'asf\"uggv\'eny 
seg\'{\i}ts\'eg\'evel val\'o kisz\'am\'{\i}t\'as\'ar\'ol sz\'ol\'o
t\'etel \'altal\'anos\'{\i}t\'asa.} {\it Legyen
$\xi(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy $(\Omega,\Cal
A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, amelynek $F(x)=P(\xi<x)$, 
$-\infty<x<\infty$, az el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nye.
Legyen $g(x)$ tetsz\H{o}leges (m\'erhet\H{o}) f\"uggv\'eny a
sz\'amegyenesen, \'es defini\'aljuk az $\eta(\oo)=g(\xi(\oo))$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot. Ekkor
$$
E\eta(\oo)=Eg(\xi(\oo))=\int_{-\infty}^\infty  g(x) F(\,dx),
$$
ahol a fenti integr\'al Lebesgue--Stieltjes integr\'alt jel\"ol
az $F$ eloszl\'as \'altal meghat\'arozott $\mu_F$ Stieltjes 
m\'ert\'ek szerint. Ez a formula akkor \'erv\'enyes, ha
$\int_{-\infty}^\infty|g(x)| F(\,dx)<\infty$. Ellenkez\H{o}
esetben az $E\eta$ v\'arhat\'o \'ert\'eket nem defini\'altuk.}

\medskip\noindent
{\it 1. megjegyz\'es:}\/ Az el\H{o}bb megfogalmazott eredm\'enyekben
szerepelt az $\int_{-\infty}^\infty|x| F(\,dx)<\infty$, illetve
$\int_{-\infty}^\infty|g(x)| F(\,dx)<\infty$ felt\'etel. E
felt\'etelek term\'eszetes megfelel\H{o}i annak a diszkr\'et
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eset\'eben szerepl\H{o}
felt\'etelnek,  hogy egy diszkr\'et
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et defini\'al\'o \"osszeg legyen abszolut konvergens.

\medskip\noindent
{\it 2. megjegyz\'es:}\/ Ismertettem egy modellt, amelyben egy 
adott $F(x)$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-hez konstru\'altunk
egy $(\Omega,\Cal A,P)$  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t
\'es azon megadtunk egy olyan $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'ot, amelynek $F(x)$ az eloszl\'asf\"uggv\'enye.  Az 
$(\Omega,\Cal A,P)$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o} 
az $(R^1,\Cal B,\mu_F)$ rendszer volt ebben a modellben, \'es a 
$\xi(x)=x$ k\'eplet adta meg a k\'{\i}v\'ant tulajdons\'ag\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ot, ahol $R^1$ a 
sz\'amegyenes, $\Cal B$ a Borel $\sigma$-algebra \'es $\mu_F$ az 
$F$ eloszl\'as \'altal induk\'alt Stieltjes m\'ert\'ek. Ebben a 
modellben az el\H{o}z\H{o} k\'et a v\'arhat\'o \'ert\'ek 
kisz\'am\'{\i}t\'as\'ar\'ol sz\'ol\'o t\'etel k\"ovetkezik a 
v\'arhat\'o \'ert\'ek definici\'oj\'ab\'ol. A t\'etelek tartalma 
az, hogy a fenti azonoss\'agok modell f\"uggetlenek, azaz
tetsz\H{o}leges $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
mez\H{o}n defini\'alt $F(x)$ eloszl\'as\'u $\xi$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ora \'erv\'enyesek.

\medskip
A v\'arhat\'o \'ert\'ek definici\'oj\'aban szerepelt a Lebesgue
integr\'al fogalma. Ennek a fogalomnak a jelent\'ese n\'emi
ma\-gya\-r\'a\-zat\-ra szorul. Sz\'amunkra el\'eg lesz egy olyan
k\'ep ma\-gya\-r\'a\-zat\-k\'ent, amelyik szeml\'eletesen megmutatja
ennek \'ertelm\'et. Ilyen magyar\'azatot adok a jegyzet v\'eg\'en egy 
r\"ovid kieg\'esz\'{\i}t\'esben. Ott azonban nem t\"orekszem
teljess\'egre. K\"ul\"on \'erdemes megjegyezni, hogy maga az $\int
\xi(\oo)\,P(\,d\oo)$ integr\'al azon a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n van defini\'alva, ahol a $\xi(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, (eml\'ekezz\"unk, hogy
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n \'ertelmezett (m\'erhet\H{o})
f\"uggv\'eny), \'es mag\'at az in\-teg\-r\'a\-l\'ast is ugyanezen a 
mez\H{o}n hajtjuk v\'egre. M\'egis a v\'arhat\'o \'ert\'eknek 
az el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel 
t\"ort\'en\H{o} kisz\'am\'{\i}t\'as\'ar\'ol sz\'ol\'o t\'etelben, 
illetve annak \'al\-ta\-l\'a\-no\-s\'{\i}\-t\'a\-s\'a\-ban olyan 
eredm\'enyt fogalmaztam meg, amely lehet\H{o}v\'e teszi egy ilyen
integr\'al kisz\'amol\'as\'at an\'el\-k\"ul, hogy explicite
megadn\'ank azt a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t, ahol
dolgozunk. A t\'etel tal\'an legfontosabb \'all\'{\i}t\'asa az,
hogy el\'eg tudnunk a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et, \'es akkor ki tudjuk
sz\'amolni a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, s\H{o}t a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy tetsz\H{o}leges
f\"uggv\'eny\'enek a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et.

Az itt szerepl\H{o} integr\'al \'altal\'anosabb, mint az
anal\'{\i}zisben tanult Riemann illetve Riemann--Stieltjes
integr\'al. Viszont, ha az ut\'obbiak l\'eteznek, akkor azok
megegyeznek a minket \'erdekl\H{o} integr\'allal. V\'eg\"ul
megjegyzem, hogy tanultuk kor\'abban, hogyan lehet kisz\'amolni
diszkr\'et eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
illetve azok f\"uggv\'enyeinek v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et. Ezt
\'erdemes ide\'{\i}rni, hogy l\'assuk hasonl\'os\'agukat a 
v\'arhat\'o \'ert\'ek kisz\'am\'{\i}t\'as\'ar\'ol sz\'ol\'o 
t\'etellel az eloszl\'asf\"uggv\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel,
illetve ezen ezen eredm\'eny \'altal\'anos\'{\i}t\'as\'aval.
Val\'oj\'aban a diszkr\'et eloszl\'as\'u 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok v\'arhat\'o 
\'er\-t\'e\-k\'e\-nek kisz\'am\'{\i}t\'as\'ar\'ol sz\'ol\'o 
eredm\'enyek term\'eszetes megfelel\H{o}it fogalmaztam meg a 
fenti \'al\-l\'{\i}\-t\'a\-sok\-ban.

Legyen $\xi$ diszkr\'et \'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, amely valamely $x_1,x_2,\dots$, val\'os \'ert\'ekeket
vesznek fel. Ekkor
$$
\align
E\xi&=\sum_i x_i P(\xi=x_i)\\
Eg(\xi)&=\sum_i g(x_i) P(\xi=x_i),
\endalign
$$
felt\'eve, hogy a jobboldalon szerepl\H{o} \"osszegek abszolut
konvergensek.

A Lebesgue integr\'al teljes\'{\i}ti a Riemann integr\'alra
\'erv\'enyes additivit\'asi tulajdons\'ag k\"ovetkez\H{o}
term\'eszetes \'altal\'anos\'{\i}t\'as\'at:
$$
\int \(c_1\xi_1(\oo)+c_2\xi_2(\oo)\)dP(\oo)=
c_1\int \xi_1(\oo)dP(\oo)+ c_2\int \xi_2(\oo)dP(\oo)
$$
minden (integr\'alhat\'o) $\xi_1$ \'es $\xi_2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ora \'es val\'os $c_1$, $c_2$
sz\'amra. Ennek az azonoss\'agnak a k\"ovetkezm\'enye
(val\'oj\'aban \'atfogalmaz\'asa) a k\"ovetkez\H{o}

\medskip\noindent
{\bf T\'etel a v\'arhat\'o \'ert\'ek additivit\'as\'ar\'ol.} 
{\it Ha k\'et $\xi_1$, $\xi_2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak
(amelyek ugyanazon a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n vannak
defini\'alva) l\'etezik v\'arhat\'o \'ert\'eke, $c_1$ \'es $c_2$
k\'et val\'os sz\'am, akkor a $c_1\xi_1+c_2\xi_2$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak
is l\'etezik v\'arhat\'o \'ert\'eke, \'es
$$
E\(c_1\xi_1+c_2\xi_2\)= c_1E\xi_1+c_2E \xi_2.
$$
}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Ez az eredm\'eny azt \'all\'{\i}tja,
hogy az \'altal\'anos esetben is \'erv\'enyes az a disz\-kr\'et
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okr\'ol sz\'ol\'o 
eredm\'eny, amely v\'eletlen \"osszegek v\'arhat\'o 
\'ert\'ek\'enek additivit\'as\'at fejezi ki. Ebben az esetben sem 
kell megk\"ovetelni a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
(\'altal\'anos esetben m\'eg nem t\'argyalt) f\"uggetlens\'eg\'et.
A fenti eredm\'eny a v\'arhat\'o \'ert\'eknek eredeti
definici\'oj\'ab\'ol ad\'odott, amely a v\'arhat\'o \'ert\'eket
mint egy ``absztrakt" Lebesgue integr\'alt adta meg. Sokszor
hasznosabb a v\'arhat\'o \'ert\'ek eredeti definic\'oja helyett
azt az eredm\'enyt haszn\'alni, amely lehet\H{o}v\'e
teszi egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'enek kisz\'am\'{\i}t\'as\'at akkor is, ha csak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o 
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et ismerj\"uk. M\'egis, mint a 
fenti eredm\'eny mutatja, n\'eha \'erdemes a v\'arhat\'o \'ert\'e
eredeti definici\'oj\'ara hivatkozni.

\medskip
A v\'arhat\'o \'ert\'ek (Lebesgue integr\'al form\'aj\'aban
megadott definici\'oj\'ab\'ol) k\"onnyen l\'athat\'o, hogy ha egy
$\xi(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ora teljes\"ul a
$P(\xi(\oo)\ge0)=1$ felt\'etel, akkor $E\xi(\oo)\ge0$. Innen
k\"ovetkezik, hogy amennyiben k\'et $\xi(\oo)$ \'es $\eta(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ora
teljes\"ul, hogy $P(\xi(\oo)\ge\eta(\oo))=1$, akkor
$E\xi(\oo)\ge E\eta(\oo)$. Val\'oban, ekkor
$E\xi(\oo)-E\eta(\oo)=E\(\xi(\oo)-\eta(\oo)\)\ge0$. Ennek az
\'eszrev\'etelnek egyik k\"ovetkezm\'enye az al\'abbi Markov
egyenl\H{o}tlens\'egnek nevezett \'all\'{\i}t\'as.

\medskip\noindent
{\bf Markov egyenl\H{o}tlens\'eg.} {\it Ha $\xi(\oo)$ nem
negat\'{\i}v val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, azaz
ha  \hfill\break $P(\xi(\oo)\ge0)=1$ akkor
$$
P(\xi(\oo)\ge x)\le\frac{E\xi(\oo)}x \quad\text{minden $x>0$ sz\'amra.}
$$
}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/ Defini\'aljuk a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o al\'abbi
$\eta(\oo)$ f\"uggv\'eny\'et:
$$
\eta(\oo)=\left\{
\aligned
x&\quad \text{ha }\xi(\oo)\ge x\\
0&\quad \text{ha } 0\le\xi(\oo)<x
\endaligned\right.
$$
Ekkor $P(\xi(\oo)\ge\eta(\oo))=1$, ez\'ert $E\xi(\oo)\ge
E\eta(\oo)=xP(\eta(\oo)\ge x)=xP(\xi(\oo)\ge x)$, ahonnan
k\"ovetkezik az \'all\'{\i}t\'as.

\medskip
Defini\'aljuk \'altal\'anos esetben is val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sz\'or\'asn\'egyzet\'et.

\medskip\noindent
{\bf Sz\'or\'asn\'egyzet definici\'oja.} {\it Legyen $\xi$ olyan
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelyre $E\xi^2<\infty$.
Ekkor e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o sz\'or\'asn\'egyzete
$$
\Var\xi=E\(\xi-E\xi\)^2
$$
(Ha $E\xi^2=\infty$, akkor vagy nem defini\'aljuk a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o sz\'or\'asn\'egyzet\'et,
vagy azt mondjuk, hogy $\Var\xi(\oo)=\infty$.}

\medskip\noindent
{\bf Lemma.}
$$
\Var\xi=E\xi^2-\(E\xi\)^2.
$$

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/
$$
\Var\xi=E\(\xi-E\xi\)^2=E\(\xi^2-2\xi E\xi+\(E\xi\)^2\)=
E\xi^2-2E\xi E\xi+\(E\xi\)^2=E\xi^2-\(E\xi\)^2.
$$

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Az el\H{o}z\H{o} lemm\'ab\'ol \'es a
$\Var\xi\ge0$ egyenl\H{o}tlens\'egb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy
$(E\xi)^2\le E\xi^2$. Ennek az \'all\'{\i}t\'asnak igaz a
k\"ovetkez\H{o} Cauchy--Schwarz egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'eg\-nek
nevezett egyenl\H{o}tlens\'eg: $(E\xi\eta)^2\le E\xi^2E\eta^2$.
S\H{o}t, ez az \'all\'{\i}t\'as \'erv\'enyesebb az al\'abbi
\'elesebb form\'aban is: Adva egy $(X,\Cal A,\mu)$ m\'ert\'ekt\'er,
azon k\'et (m\'erhet\H{o}) $f(x)$ \'es $g(x)$ f\"uggv\'eny,
$x\in X$, akkor
$\(\int f(x)g(x)\mu(\,dx)\)^2\le\int f(x)^2\mu(\,dx)\int g(x)^2\mu(\,dx)$.
Ez azt jelenti, hogy a fenti egyenl\H{o}tlens\'eg
\'erv\'enyes tetsz\H{o}leges ($\sigma$-v\'eges) \'es nemcsak egyre
norm\'alt, azaz val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek szerinti
integr\'alra.

B\'ar a fenti egyenl\H{o}tlens\'egre nem lesz sz\"uks\'eg\"unk
k\'es\H{o}bb, \'es annak bizony\'{\i}t\'as\'at nem kell tudni a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as vizsg\'an, m\'egis
ismertetem annak bizony\'{\i}t\'as\'at, mivel az tanuls\'agos.
Ezt a bizony\'{\i}t\'ast megkaphatjuk az el\H{o}z\H{o}
egyenl\H{o}tlens\'eg bizony\'{\i}t\'as\'anak a
finom\'{\i}t\'as\'aval. Nevezetesen, tetsz\H{o}leges $\lambda$
val\'os sz\'amra fel\'{\i}rhatjuk, hogy $0\le \int (f(x)+\lambda
g(x))^2\mu(\,dx)=\lambda^2\int g(x)^2\mu(\,dx)+2\lambda \int
f(x)g(x)\mu(\,dx)+\int f(x)^2\mu(\,dx)$. V\'alasszuk a $\lambda$
sz\'amot a fenti egyenl\H{o}tlens\'egben, mint $\lambda=-\frac{\int
f(x) g(x)\mu(\,dx)}{\int g(x)^2\mu(\,dx)}$. (Jegyezz\"uk meg, hogy
az \'altal\'anoss\'ag megszor\'{\i}t\'asa n\'elk\"ul feltehetj\"uk,
hogy $\int g(x)^2\mu(\,dx)>0$. Ellenkez\H{o} esetben ugyanis $\int
g(x)^2\mu(\,dx)=0$, ahonnan $g(x)=0$ (majdnem) minden $x\in X$
sz\'amra (a $\mu$ m\'ert\'ek szerint). A $\lambda$ sz\'am fenti
v\'alaszt\'asa nagyon term\'eszetes, mivel $\lambda$-nak egy olyan
m\'asodfok\'u polinomj\'at tekintett\"uk, amely minden $\lambda$
param\'eterre pozit\'{\i}v, \'es mi azt a param\'etert
v\'alasztottuk, ahol ez a m\'asodfok\'u polinom felveszi a
minimum\'at.) Ezzel a v\'alaszt\'assal azt kapjuk, hogy
$$
-\frac{\(\int f(x)g(x)\mu(\,dx)\)^2}{\int g(x)^2\mu(\,dx)}+\int
f(x)^2\mu(\,dx)\ge0,
$$
ami ekvivalens a Cauchy--Schwarz egyenl\H{o}tlens\'eggel.

\medskip
\'Altal\'aban a sz\'or\'asn\'egyzet tulajdons\'againak
a bizony\'{\i}t\'asa csak a v\'arhat\'o \'ert\'ek tulajdons\'agait
haszn\'alja. Ez\'ert a diszkr\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok eset\'eben \'erv\'enyes
$$
\Var(a\xi+b)=a^2\Var\xi
$$
azonoss\'agot hasonl\'oan lehet bizony\'{\i}tani az \'altal\'anos
esetben.

\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} \'Altal\'anos val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
eset\'eben is \'erv\'enyes a
$$
\inf_{-\infty<M<\infty} E(\xi-M)^2=\Var\xi
$$
azonoss\'ag.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Az \"ot\"odik t\'ema ismertet\'es\'enek
1.~feladat\'aban bebizony\'{\i}tottuk ezt az \'all\'{\i}t\'ast
diszkr\'et eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okra.
Az ott ismertetett megold\'as v\'altozat\'as n\'elk\"ul
alkalmazhat\'o a most t\'argyalt \'altal\'anos esetben is.

\medskip\noindent
Megfogalmazom \'es bebizony\'{\i}tom az al\'abbi Csebisev
egyenl\H{o}tlens\'egnek nevezett \'all\'{\i}t\'ast.
\medskip\noindent
{\bf Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eg.} {\it Minden $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ora, amelyre $E\xi^2<\infty$
$$
P(|\xi-E\xi|\ge x)\le\frac{\Var\xi}{x^2}\quad\text{minden $x\ge0$
sz\'amra.}
$$
}\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}
$$
P(|\xi-E\xi|\ge x)=P((\xi-E\xi)^2\ge x^2)\le
\frac{E(\xi-E\xi)^2}{x^2}=\frac{\Var\xi}{x^2}
$$
a Markov egyenl\H{o}tlens\'eg alapj\'an.

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eg az\'ert hasznos,
mert a benne szerepl\H{o} sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-zet sok \'erdekes
esetben k\"onnyen kisz\'amolhat\'o. Felmer\"ulhet az a k\'erd\'es,
hogy a Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eg mennyire \'eles. Erre a
k\'erd\'esre k\'es\H{o}bb m\'eg visszat\'erek.

\beginsection T\"obbv\'altoz\'os eloszl\'asf\"uggv\'enyek, \'es
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlens\'ege.

Megt\'argyaljuk az eloszl\'asf\"uggv\'eny t\"obbdimenzi\'os
v\'altozat\'at. E fogalom bevezet\'ese ut\'an lehet term\'eszetes
m\'odon defini\'alni val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlens\'eg\'et. Az itt szerepl\H{o} fogalmak \'es
bizony\'{\i}t\'asok hasonl\'oak az egydimenzi\'os esethez. Ezen 
eredm\'enyek bizony\'{\i}t\'as\'at csak v\'azlatosan 
ismertetem. Megfogalmazom azokat a 
m\'er\-t\'ek\-el\-m\'e\-le\-ti eredm\'enyeket, amelyeket a
bizony\'{\i}t\'asok fel\-hasz\-n\'al\-nak. Els\H{o}sorban a fogalmak
\'es ered\-m\'e\-nyek tisztess\'eges le\'{\i}r\'as\'ara fogok
t\"orekedni.

\medskip\noindent
{\bf T\"obbdimenzi\'os eloszl\'asf\"uggv\'eny definici\'oja.} {\it
Legyen adva $k$ val\'os \'ert\'ek\H{u} $\xi_1,\dots,\xi_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Ezek (egy\"uttes)
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nye az
$$
F(x_1,\dots,x_k)=P(\xi_1<x_1,\dots,\xi_k<x_k),
$$
$k$ v\'altoz\'os f\"uggv\'eny, ahol $-\infty<x_j<\infty$ minden
$1\le j\le k$ indexre.}

\medskip\noindent
Megfogalmaztam az egydimenzi\'os
eloszl\'asf\"uggv\'enyek jel\-lem\-z\'e\-s\'et egy
t\'e\-telben \'es az azt megel\H{o}z\H{o} lemm\'aban.
\'Erv\'enyes ezeknek az eredm\'enyeknek a term\'eszetes
t\"obb\-di\-men\-zi\'os v\'altozata is. A
t\"obbv\'altoz\'os eloszl\'asf\"uggv\'enyeket
jellemz\H{o} eredm\'eny megfogalmaz\'as\'ahoz a k\"ovetkez\H{o}
k\'erd\'est kell tiszt\'azni. Az el\H{o}bb eml\'{\i}tett lemm\'aban
felsoroltuk az egyv\'altoz\'os f\"uggv\'enyeknek a tulajdons\'agait.
Mik e tulajdons\'agok t\"obbv\'altoz\'os megfelel\H{o}i?
T\"obbek k\"oz\"ott meg kell tal\'alnunk a {\it Lemma
eloszl\'asf\"uggv\'enyek tu\-laj\-don\-s\'a\-gai\-r\'ol}\/ 
eredm\'enyben szerepl\H{o} az eloszl\'asf\"uggv\'eny 
monoton\'{\i}t\'as\'at 
kimond\'o a) fel\-t\'e\-tel\-nek a t\"obb\-di\-men\-zi\'os 
megfelel\H{o}j\'et.

Ezt a k\"ovetkez\H{o}k\'epp tal\'alhatjuk meg. Azt, hogy az $F(x)$ 
eloszl\'asf\"uggv\'eny monoton az egyv\'atoz\'os esetben, azaz 
$F(b)\ge F(a)$, ha $b>a$ \'ugy is megfogalmazhat\'o, hogy 
$P(\xi\in[a,b)=F(b)-F(a)\ge0$. Ennek a tulajdons\'agnak a 
t\"obbv\'altoz\'os megfelel\H{o}je azt a t\'enyt fejezi ki, hogy
egy v\'eletlen vektor nem negat\'{\i}v val\'osz\'n\H{u}s\'eggel
esik egy t\'eglatestbe. Ezen \'all\'{\i}t\'asnak az eloszl\'asf\"uggv\'enyek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel val\'o megfogalmaz\'asa \'erdek\'eben
vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} jel\"ol\'eseket.

Tekints\"unk egy 
tetsz\H{o}leges $\bold K=[a_1,b_1)\times\cdots\times[a_k,b_k)$ alak\'u
t\'eg\-la\-tes\-tet, $-\infty<a_j<b_j<\infty$, $j=1,\dots,k$, a $k$
dimenzi\'os t\'erben. Vil\'agos, hogy tetsz\H{o}leges
$(\xi_1,\dots,\xi_k)$ $k$-dimenzi\'os val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ora teljes\"ul a
$$
P\((\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))\in\bold K\)=P\(\bigcapp_{j=1}^k
\{\oo\colon\; a_j\le \xi_j(\oo)<b_j\}\)\ge0
$$
tulajdons\'ag. Azt \'all\'{\i}tom, hogy az ilyen alak\'u esem\'enyek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege viszonylag egy\-sze\-r\H{u}\-en
kifejezhet\H{o} a $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ v\'eletlen vektor
$F(x_1,\dots,x_k)=P(\xi_1<x_1,\dots,\xi_k<x_k)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'enek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel, \'es az
\'{\i}gy kapott kifejez\'es nem-negat\'{\i}v volta az 
eloszl\'asf\"uggv\'enyek monotonit\'as\'ar\'ol sz\'ol\'o
a) felt\'etel megfelel\H{o}je a t\"obbdimenzi\'os
esetben.

Annak \'erdek\'eben, hogy ezt a felt\'etelt megfogalmazzuk, a
k\"ovetkez\H{o} \'all\'{\i}t\'ast kell igazolni. Tekints\"uk egy
$\bold K=[a_1,b_1)\times\cdots\times[a_k,b_k)$ alak\'u t\'eglatestet,
\'es ennek cs\'ucspontjait, azaz az olyan $(u_1,\dots,u_k)$ pontokat,
amelyek koordin\'at\'ai az $a_j$ vagy $b_j$ sz\'amok, $1\le j\le k$. 
Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy $F(x_1,\dots,x_k)$ 
eloszl\'as\'u $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ v\'eletlen vektor a $\bold
K=[a_1,b_1)\times\cdots\times[a_k,b_k)$ t\'eglatestbe esik
kifejezhet\H{o} mint az $F(\cdot)$ eloszl\'asf\"uggv\'enynek a
t\'eglatest cs\'ucspontjaiban felvett \'ert\'ekeinek
alkalmas line\'aris kombin\'aci\'oja. Pontosabban,
$$
P((\xi_1,\dots,\xi_k)\in\bold K)=\sum\Sb u_j=\; a_j\text{ vagy
}b_j\\j=1,\dots,k\endSb (-1)^{\chi(u_1,\dots,u_k)}F(u_1,\dots,u_k),
$$
ahol $\chi(u_1,\dots, u_k)$ jel\"oli az $a_j$-k sz\'am\'at az
$u_1,\dots,u_k$ sorozatban. Az $F(\cdot)$ f\"uggv\'eny
monotonit\'as\'anak az t\"obbdimenzi\'os esetben az felel meg, hogy
a fent fel\'{\i}rt azonoss\'ag jobb\-ol\-da\-l\'an szerepl\H{o}
kifejez\'es nem-negat\'{\i}v. A jobb meg\'ert\'es \'er\-de\-k\'e\-ben
ellen\H{o}rizz\"uk ezt az azonoss\'agot el\H{o}sz\H{o}r a $k=2$ 
speci\'alis esetben.

Ekkor azt kell megmutatni, hogy $P(a_1\le \xi_1<b_1, a_2\le\xi_2<b_2)
=F(b_1,b_2)-F(b_1,a_2)-F(a_1,b_2)+F(a_1,a_2)$. Viszont
$F(b_1,b_2)-F(b_1,a_2)=P(\xi_1<b_1, a_2\le \xi_2<b_2)$, \'es
$F(a_1,b_2)-F(a_1,a_2)=P(\xi_1<a_1, a_2\le \xi_2<b_2)$. Ezt a
k\'et azonoss\'agot kivonva egym\'asb\'ol megkapjuk a k\'{\i}v\'ant
\'all\'{\i}t\'ast.

\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{11.)} Legyen egy $(\xi_1,\xi_2)$ v\'eletlen vektor
eloszl\'asa az $F(x_1,x_2)=P(\xi_1<x_1,\xi_2<x_2)$ f\"uggv\'eny,
$-\infty<a_1<b_1<\infty$, $-\infty<a_2<b_2<\infty$ val\'os
sz\'amok. Fejezz\"uk ki az $F(x_1,x_2)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny
seg\'{\i}ts\'eg\'evel a $P(a_1\le\xi_1<b_1,a_2\le\xi_2<b_2)$,
a $P(a_1\le\xi_1\le b_1,a_2\le\xi_2\le b_2)$ \'es a
$P(a_1<\xi_1<b_1,a_2<\xi_2<b_2)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
El\H{o}sz\"or azt megmutatjuk meg, hogy $P(a_1\le \xi_1<b_1,
a_2\le\xi_2<b_2) =F(b_1,b_2)-F(b_1,a_2)-F(a_1,b_2)+F(a_1,a_2)$.
Val\'oban, $F(b_1,b_2)-F(b_1,a_2)=P(\xi_1<b_1, a_2\le \xi_2<b_2)$,
\'es $F(a_1,b_2)-F(a_1,a_2)=P(\xi_1<a_1, a_2\le \xi_2<b_2)$. Ezt a
k\'et azonoss\'agot kivonva egym\'asb\'ol megkapjuk a k\'{\i}v\'ant
\'all\'{\i}t\'ast.
$$ \allowdisplaybreaks
\align
&P(a_1\le\xi_1\le b_1,a_2\le\xi_2\le b_2)=\limm_{n\to\infty}
P\(a_1\le\xi_1< b_1+\frac1n,a_2\le\xi_2< b_2+\frac1n\)\\
&\quad= \!\limm_{n\to\infty}\! \(F\(b_1+\frac1n,b_2+\frac1n\)
-F\(b_1+\frac1n,a_2\)-F\(a_1,b_2+\frac1n\) +F(a_1,a_2)\)\\
&\quad=\limm_{n\to\infty} F\(b_1+\frac1n,b_2+\frac1n\)-
\limm_{n\to\infty} F\(b_1+\frac1n,a_2\)\\
&\qquad\qquad -\limm_{n\to\infty}
F\(a_1,b_2+\frac1n\)+F(a_1,a_2).
\endalign
$$
Megjegyzem, hogy az eloszl\'asf\"uggv\'eny
tulajdons\'agaib\'ol k\"ovetkezik, hogy a fel\'{\i}rt
hat\'ar\'ert\'ekek, p\'eld\'aul a $\limm_{n\to\infty}
F\(b_1+\frac1n,b_2+\frac1n\)$ kifejez\'es val\'oban l\'etezik.
Hasonl\'an,
$$
\align
&P(a_1<\xi_1< b_1,a_2<\xi_2< b_2)=\limm_{n\to\infty}
P\(a_1+\frac1n\le \xi_1< b_1,a_2+\frac1n\le \xi_2< b_2\)\\
&\quad=\limm_{n\to\infty} F(b_1,b_2)-F\(b_1,a_2+\frac1n\)\\
&\qquad\qquad -\limm_{n\to\infty}
F\(a_1+\frac1n,b_2\)+\limm_{n\to\infty}F\(a_1+\frac1n,a_2+\frac1n\).
\endalign
$$

\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{12.)} Legyen az $F(x_1,\dots,x_k)=P(\xi_1<x_1,\dots,\xi_k<x_k)$
f\"uggv\'eny a $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ v\'eletlen vektor
eloszl\'asf\"uggv\'enye. Mutassuk meg, hogy
$$ \allowdisplaybreaks
\align
&I(\{\oo\colon\; a_j\le \xi_j(\oo)<b_j,\; 1\le j\le k\})\\
&\qquad =\sum\Sb u_j=\;a_j\text{ vagy }
b_j\\j=1,\dots,k\endSb (-1)^{\chi(u_1,\dots,u_k)} I(\{\oo\colon\;
\xi_1(\oo)<u_1,\dots,\xi_k(\oo)<u_k\}),
\endalign
$$
$(a_j,b_k)$, $j=1,\dots,k$ sz\'amp\'arok minden $k$-as\'ara,
ez\'ert a v\'arhat\'o \'ert\'ek
addi\-t\'{\i}\-vi\-t\'a\-s\'a\-b\'ol k\"ovetkezik, hogy
$$
P((a_j\le \xi_j<b_j,\; 1\le j\le k)=\sum\Sb u_j=\;a_j\text{ vagy }
b_j\\j=1,\dots,k\endSb (-1)^{\chi(u_1,\dots,u_k)} F(u_1,\dots,u_k).
$$
A fenti formul\'akban $\chi(u_1,\dots, u_k)$ jel\"oli az $a_j$-k
sz\'am\'at az $u_1,\dots,u_k$ sorozatban, $I(A)$, $A\subset \Omega$ 
pedig egy $A$ halmaz indik\'atorf\"uggv\'enye, azaz $I(A)(\oo)=1$, 
ha $\oo\in A$, \'es $I(A)(\oo)=0$, ha $\oo\notin A$.

\item{} {\it Megold\'as:}\/
Adva valamely $u_1,\dots,u_k$ sz\'amok, defini\'aljuk a
$$
B(u_1,\dots,u_k)=\{(\oo\colon\; \xi_j(\oo)<u_j,\, 1\le j\le k\}
\subset\Omega
$$
esem\'enyt, \'es legyen $I(B(u_1,\dots,u_k))(\oo)$ ezen esem\'eny
indik\'atorf\"uggv\'enye. Legyen tov\'abb\'a $I(\bold K)(\oo)$
a $\bold K=\{\oo\colon\; a_j\le \xi_j<b_j,\,1\le j\le k\}$ halmaz
indik\'atorf\"uggv\'enye. El\'eg megmutatni, hogy
$$
I(\bold K)(\oo)=\sum\Sb u_j=\;a_j\text{ vagy }
b_j\\j=1,\dots,k\endSb (-1)^{\chi(u_1,\dots,u_k)}
I(B(u_1,\dots,u_k))(\oo),
$$
mert v\'eve ezut\'an mind a k\'et oldal v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et
megkapjuk a k\'{\i}v\'ant azonoss\'agot.
\item{} Az is vil\'agos, hogy $\{\oo\colon\; a_j\le \xi_j<b_j,\,1\le j\le
k\}$ eset\'eben a bizony\'{\i}tand\'o azonoss\'ag mind a k\'et oldala
1-gyel egyenl\H{o}. Azt kell \'eszrevenni, hogy ekkor a jobboldalon az
$I(B(b_1,\dots,b_k))(\oo)$ tag 1, \'es a jobboldal \"osszes t\"obbi 
tagja nulla.

\item{} Ha $\oo\in\Omega$ olyan, hogy az  $a_j\le \xi_j(\oo)<b_j$
egyenl\H{o}tlens\'egek nem teljes\"ulnek minden $1\le j\le k$
indexre, akkor a baloldal nulla. Azt kell bel\'atni, hogy ugyanez
\'erv\'enyes a jobb\-ol\-da\-lon is. Vil\'agos, hogy a jobboldal nulla, 
ha $\xi_j(\oo)\ge b_j$ va\-la\-mi\-lyen $j$ indexre. Azt az esetet kell 
m\'eg n\'ezni, amikor $\xi_j(\oo)<b_j$ minden $1\le j\le k$ indexre,
bizonyos $j$ indexekre $a_j\le \xi_j<b_j$, de l\'etezik legal\'abb
egy olyan $l$ index, amelyre $\xi_l<a_l$. Legyen $L$ a legkisebb
ilyen index. Ha p\'aros\'{\i}tjuk az olyan
$(-1)^{\chi(u_1,\dots,u_k)}I(B(u_1,\dots,u_k))(\oo)$
kifejez\'eseket, amelyeknek $u_j$ koordin\'at\'at\'ai meg\-egyez\-nek
$j\neq L$ esetben, de $u_L=a_L$ a p\'ar egyik \'es $u_L=b_L$ a p\'ar
m\'asik tagj\'ara, akkor az \"osszes ilyen p\'ar hozad\'eka
z\'er\'o. Ez\'ert az azonoss\'ag ekkor is \'erv\'enyes,
mert mind a bal mind a jobboldal z\'er\'o ebben az esetben.

\medskip
Be lehet l\'atni, hogy az egyv\'altoz\'os val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'ok eloszl\'as\'anak jellemz\'es\'er\H{o}l sz\'ol\'o
t\'etelnek \'es az azt megel\H{o}z\H{o} lemm\'anak igaz a
k\"ovetkez\H{o} t\"obbdimenzi\'os 
\'al\-ta\-l\'a\-no\-s\'{\i}\-t\'a\-sa.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel t\"obbv\'altoz\'os val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok eloszl\'as\'anak jellemz\'es\'er\H{o}l.}\/ {\it Egy
$F(u_1,\dots,u_k)$ f\"ugg\-v\'eny akkor \'es csak akkor
eloszl\'asf\"uggv\'enye alkalmas $\xi_1,\dots,\xi_k$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'oknak valamely
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n,
ha ez az $F$ f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o}
(i)---(iv) tulajdons\'agokat. 

\medskip
\item\item {(i)} $F(u_1,\dots,u_k)$ minden v\'altoz\'oj\'anak
balr\'ol folytonos f\"uggv\'enye.

\itemitem {(ii)} $\lim\limits\Sb u_j\to\infty \\ \text{minden }
j=1,\dots,k\text{ indexre}\endSb F(u_1,\dots,u_k)=1$.
\itemitem{(iii)} $\lim\limits\Sb u_j\to-\infty \\ \text{valamely }
1\le j\le k\text{ indexre}\endSb F(u_1,\dots,u_k)=0$. (Ez \'ugy
\'ertend\H{o}, hogy az \"osszes $u_s$, $1\le s\le k$, $s\neq j$
koordin\'at\'at r\"ogz\'{\i}tj\"uk, \'es $u_j\to-\infty$.)
\itemitem{} V\'eg\"ul defini\'aljuk egy az $R^k$ t\'eren defini\'alt
$F$ f\"uggv\'enyre \'es egy
$\bold K=[a_1,b_1)\times\cdots\times[a_k,b_k)$ t\'eg\-la\-test\-re a
$$
\mu(\bold K)=\mu_F(\bold K)=\sum\Sb u_j=\; a_j\text{ vagy
}b_j\\j=1,\dots,k\endSb (-1)^{\chi(u_1,\dots,u_k)}F(u_1,\dots,u_k)
$$
mennyis\'eget, ahol $\chi(u_1,\dots, u_k)$ jel\"oli az $a_j$-k
sz\'am\'at az $u_1,\dots,u_k$ sorozatban. Ekkor
\itemitem{(iv)} $\mu_F(\bold K)\ge 0$ minden $\bold K$ t\'eglatestre.}
\medskip

A fenti t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'anak legnehezebb r\'esze annak
megmutat\'asa, hogy ha az $F(x_1,\dots,x_k)$ f\"uggv\'eny
teljes\'{\i}ti az (i)--(iv) tulajdons\'agokat, akkor l\'eteznek
olyan $\xi_1$,\dots, $\xi_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
alkalmas $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n,
amelyek (egy\"uttes) el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'enye az
$F(x_1,\dots,x_k)$ f\"uggv\'eny. Ennek bizony\'{\i}t\'asa az
egyv\'altoz\'os esetben bizony\'{\i}tott
az eloszl\'asf\"uggv\'enyek \'altal meghat\'arozott
m\'ert\'ekekr\H{o}l sz\'ol\'o t\'etel k\"ovetkez\H{o} 
t\"obb\-v\'al\-to\-z\'os \'altal\'anos\'{\i}t\'as\'an alapul.

\medskip\noindent
{\bf Az eloszl\'asf\"uggv\'enyek \'altal meghat\'arozott
m\'ert\'ekekr\H{o}l sz\'ol\'o t\'etel t\"obb\-v\'al\-to\-z\'os
\'altal\'anos\'{\i}t\'asa.} {\it Legyen $F(x_1,\dots,x_k)$ olyan 
$k$ v\'altoz\'os f\"uggv\'eny, amely teljes\'{\i}ti az (i)--(iv)
tulajdons\'agokat. Ekkor l\'etezik \'es egy\'ertelm\H{u}en
meghat\'arozott egy olyan $\mu_F$ Stieltjes m\'ert\'ek az $R^k$
$k$-dimenzi\'os t\'er Borel m\'erhet\'o halmazainak $\Cal B^k$
$\sigma$-algebr\'aj\'an, amelyik nem negat\'{\i}v $\sigma$-additiv
halmazf\"uggv\'eny ezen a $\sigma$-algebr\'an, $\mu_F(R^k)=1$,
\'es
$$
\mu_F(\{u_1,\dots,u_k\}\colon\; u_j<x_j,\,1\le j\le k\})
=F(x_1,\dots,x_k)
$$
minden $x_1,\dots,x_k$ val\'os sz\'amra.}

\medskip
E t\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel a k\"ovetkez\H{o} m\'odon
konstru\'alhatunk $F(x_1,\dots,x_k)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'ennyel rendelkez\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. Legyen
$(\Omega,\Cal A,P)=(R^k,\Cal B^k,\mu_F)$, ahol $\Cal B^k$ jel\"oli
a Borel $\sigma$-algebr\'at az $R^k$ $k$-dimenzi\'os t\'erben,
\'es $\mu_F$ az el\H{o}z\H{o} t\'etelben jellemzett az $F$
eloszl\'asf\"uggv\'eny \'altal meghat\'arozott Stieltjes
m\'ert\'ek. Ebben a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}ben az
$(x_1,\dots,x_k)\in R^k$ pontok alkotj\'ak az $\oo$ elemi
esem\'enyeket. A $(\xi_1,\dots,\xi_k)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat a k\"ovetkez\H{o} m\'odon defini\'aljuk. Legyen
$\xi_j(x_1,\dots,x_k)=x_j$, $1\le j\le k$. Ezen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy\"uttes eloszl\'asa
az $F(x_1,\dots,x_k)$ f\"uggv\'eny.

\medskip
\'Erv\'enyes tov\'abb\'a a v\'arhat\'o \'ert\'eknek az 
eloszl\'asf\"uggv\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel 
ki\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'a\-s\'a\-r\'ol sz\'ol\'o eredm\'eny al\'abbi 
t\"obb\-di\-men\-zi\'os v\'altozata, amely seg\'{\i}t akkor, ha
v\'eletlen vektorok f\"ugg\-v\'e\-nyei\-nek a v\'arhat\'o 
\'ert\'ek\'et k\'{\i}v\'anjuk kisz\'amolni.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel v\'eletlen vektorok v\'arhat\'o \'ert\'ek\'enek
kisz\'am\'{\i}t\'as\'ar\'ol e vektor
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-ny\-\'enek a
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.} {\it Legyenek $\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'al\-to\-z\'ok egy 
$(\Omega,\Cal A,P)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}n, amelyeknek
$F(x_1,\dots,x_k)=P(\xi_1(\oo)<x_1,\dots,\xi_k(\oo)<x_k)$
az el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nye. Legyen $g(x_1,\dots,x_k)$
tetsz\H{o}leges (m\'erhet\H{o}) $k$-v\'altoz\'os f\"ugg\-v\'eny,
\'es defini\'aljuk az $\eta(\oo)=g(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot. Ekkor
$$
E\eta(\oo)=Eg(\xi_1(\oo),\dots,\xi_k(\oo))=\int  g(x_1,\dots,x_k)
\mu_F(\,dx_1,\dots,\,dx_k),
$$
ahol a fenti integr\'al Lebesgue--Stieltjes integr\'alt jel\"ol az
$F$ f\"uggv\'eny \'altal meghat\'arozott $\mu_F$ Stieltjes m\'ert\'ek
szerint. Ez a formula akkor \'erv\'enyes, ha
$$
\int |g(x_1,\dots,x_k)| \mu_F(\,dx_1,\dots,\,dx_k)<\infty.
$$
Ellenkez\H{o} esetben az $E\eta$ v\'arhat\'o \'ert\'eket nem
defini\'altuk.} 
\medskip

\medskip\noindent
{\bf F\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'es
szorzatuk v\'arhat\'o \'ert\'eke.}

\medskip \noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlens\'eg\'enek
a definici\'oja.} {\it Legyenek $\xi_1,\,\dots,\xi_n$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok egy $(\Omega,\Cal
A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Azt mondjuk, hogy ezek
a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek,
ha minden $x_1,\dots,x_n$ val\'os sz\'amra
$$
P(\xi_1<x_1,\dots,\xi_n<x_n)=P(\xi_1<x_1)\cdots P(\xi_n<x_n).
$$}
\medskip\noindent
A teljess\'eg kedv\'e\'ert megadom e fogalom definici\'oj\'at
\'altal\'anosabb, vektor\'ert\'ek\H{u}
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'okra is, b\'ar
val\'osz\'{\i}n\H{u}leg ebben az el\H{o}ad\'assorozatban nem
jutunk el addig a pontig, ahol erre a fogalomra sz\"uks\'eg van.
(Mindenekel\H{o}tt a t\"obbv\'altoz\'os centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelre gondolok, mint olyan t\'emak\"orre,
ahol ez a fogalom megjelenik.)

\medskip\noindent
{\bf Vektor\'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlens\'eg\'enek a definici\'oja.} {\it Le\-gye\-nek
$\xi^{(1)}=\(\xi_{1,1},\dots,\xi_{1,k}\)$, \dots,
$\xi^{(n)}=\(\xi_{n,1},\dots,\xi_{n,k}\)$, \'ert\'ekeiket az $R^k$
$k$-dimenzi\'os euklideszi t\'erben felvev\H{o}
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'al\-to\-z\'ok (vektorok) egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Azt
mondjuk, hogy ezek a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi vektorok
f\"uggetlenek, ha minden $x^{(1)}=(x_{1,1},\dots,x_{1,k})$, \dots,
$x^{(n)}=(x_{n,1},\dots,x_{n,k})$, $k$-dimenzi\'os vektorra
$$
\align
&P\(\xi_{1,1}<x_{1,1},\dots,\xi_{1,k}<x_{1,k}, \; \dots, \;
\xi_{n,1}<x_{n,1},\dots,\xi_{n,k}<x_{n,k}\)\\
&\qquad=P\(\xi_{1,1}<x_{1,1},\dots,\xi_{1,k}<x_{1,k}\) \cdots
P\(\xi_{n,1}<x_{n,1},\dots,\xi_{n,k}<x_{n,k}\).
\endalign
$$
}\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Vektor\'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok f\"uggetlens\'eg\'enek a definici\'oj\'aban semmilyen
f\"uggetlens\'egi feltev\'est nem tett\"unk az egyes
$\xi^{(j)}=\(\xi_{j,1},\dots,\xi_{j,k}\)$, $1\le j\le k$, vektorok
koordin\'at\'ai k\"oz\"ott. Ezzel a definici\'oval egyel\H{o}re nem
foglalkozunk. \medskip

F\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okkal val\'o
sz\'amol\'ast megk\"onny\'{\i}ti a m\'ert\'ekelm\'elet egyik
alapvet\H{o} eredm\'enye, az al\'abb ismertetend\H{o} Fubini t\'etel.
Ennek megfogalmaz\'asa el\H{o}tt teszek n\'eh\'any megjegyz\'est.

A Fubini t\'etel a k\"ovetkez\H{o}, a ter\"uleti
(Riemann-)integr\'alr\'ol sz\'ol\'o eredm\'enynek az 
\'al\-ta\-l\'a\-no\-s\'{\i}\-t\'a\-sa Lebesgue integr\'alokra:
$$
\int\int f(x,y)\,dx\,dy=\int\(\int f(x,y)\,dx\)\,dy \tag1
$$
minden integr\'alhat\'o $f(\cdot,\cdot)$ f\"uggv\'enyre. Ez az
eredm\'eny azt jelenti, hogy egy k\'etv\'altoz\'os f\"uggv\'eny
ter\"uleti integr\'alj\'at \'ugy is kisz\'amolhatjuk, hogy
el\H{o}sz\"or r\"ogz\'{\i}tj\"uk az egyik param\'etert, (amelyet
itt $y$-nal jel\"olt\"unk,) \'es kisz\'am\'{\i}tjuk az \'{\i}gy
kapott egyv\'altoz\'os integr\'alt. Ezut\'an az els\H{o}
l\'ep\'esben r\"ogz\'{\i}tett param\'eter szerint integr\'alva az
\'{\i}gy kapott f\"uggv\'enyt, megkapjuk a ter\"uleti integr\'al
\'ert\'ek\'et. Ez azt jelenti, hogy a ter\"uleti integr\'al
ki\-sz\'a\-m\'{\i}t\-ha\-t\'o k\'et egyszeres integr\'al
szukcessziv alkalmaz\'as\'anak a seg\'{\i}ts\'eg\'evel. \'Erdemes
megfogalmazni ezt az eredm\'enyt abban a speci\'alis esetben, amikor
az $f(x,y)$ f\"uggv\'eny $f(x,y)=g_1(x)g_2(y)$ alak\'u. Ekkor
az (1)~formula a k\"ovetkez\H{o} alak\'u:
$$
\int\int g_1(x)g_2(y)\,dx\,dy=\int g_1(x)\,dx \int g_2(y)\,dy.
$$
Val\'oban, az (1) k\'eplet jobboldala ebben az esetben \'{\i}gy 
\'{\i}rhat\'o fel:
$$
\int\(\int g_1(x)g_2(y)\,dx\)\,dy 
=\int g_2(y)\(\int g_1(x)\,dx\)\,dy 
=\int g_1(x)\,dx \int g_2(y)\,dy.
$$

A Fubini t\'etel az (1) formul\'aban megfogalmazott azonoss\'ag
\'altal\'anos\'{\i}t\'asa arra az esetre, amikor (a Lebesgue 
m\'ert\'ek szerinti) Riemann integr\'al helyett \'altal\'anos 
szorzat m\'ert\'ekek szerinti Lebesgue integr\'alokat tekint\"unk.
Tov\'abb\'a nem csak k\'etv\'altoz\'os, hanem tetsz\H{o}leges $k$, 
$k\ge2$, v\'altoz\'os integr\'alokat vizsg\'alunk. Ennek
ismertet\'ese el\H{o}tt megfogalmazom a k\"ovetkez\H{o} eredm\'enyt.

\medskip\noindent
Legyenek $F_1(\cdot)$,\dots, $F_k(\cdot)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek
a sz\'amegyenesen, \'es defini\'aljuk az
$$
F(x_1,\dots,x_k)=F_1(x_1)\cdots F_k(x_k)
$$
f\"uggv\'enyt. Az \'{\i}gy defini\'alt $F(x_1,\dots,x_k)$
f\"uggv\'eny egy $k$-v\'altoz\'os
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny.

R\'eszletesebben kifejtve ez a k\"ovetkez\H{o}t jelenti.
E jegyzetben megadtam annak
sz\"uks\'eges \'es el\'egs\'eges felt\'etel\'et, hogy egy egy
illetve egy t\"obbv\'altoz\'os f\"ugg\-v\'eny 
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny legyen. A fenti \'all\'{\i}t\'as 
tartalma az, hogy ha
az $F_j(\cdot)$, $1\le j\le k$, f\"ugg\-v\'e\-nyek teljes\'{\i}tik
az (egyv\'altoz\'os) eloszl\'asf\"uggv\'eny jellemz\'es\'et le\'{\i}r\'o
tulajdons\'agokat, akkor az $F(x_1,\dots,x_k)=F_1(x_1)\cdots F_k(x_k)$
f\"ugg\-v\'eny teljes\'{\i}ti a t\"obbv\'altoz\'os
eloszl\'asf\"uggv\'eny eloszl\'as\'at le\'{\i}r\'o tulajdons\'agokat.

Nem neh\'ez bel\'atni, hogy a fenti \'all\'{\i}t\'asban az \"osszes
ellen\H{o}rizend\H{o} felt\'etel teljes\"ul. Mivel  e r\'eszletek
kidolgoz\'asa egyszer\H{u}, \'es ennek k\"ul\"on\"osebb tanuls\'agai
nincsenek, ez\'ert ezt elhagyom.

\medskip
Ha $F_j(\cdot)$, $1\le j\le k$, egydimenzi\'os
eloszl\'asf\"uggv\'enyek, akkor tekinthetj\"uk az
$F(x_1,\dots,x_k)=F_1(x_1)\cdots F_k(x_k)$  $k$-v\'altoz\'os
eloszl\'asf\"uggv\'enyt, illetve az \'altala meg\-ha\-t\'a\-ro\-zott
$\mu_F=\mu_{(F_1,\dots,F_k)}$ Stieltjes m\'ert\'eket a $k$-dimenzi\'os
t\'eren. Egy $F(x_1,\dots,x_k)=F_1(x_1)\cdots F_k(x_k)$ szorzat 
alak\'u $k$-v\'altoz\'os eloszl\'asf\"uggv\'eny \'altal 
meghat\'arozott Stieltjes m\'ert\'eket szorzatm\'ert\'eknek
szok\'as nevezni. Ez ugyanis rendelkezik a k\"ovetkez\H{o} 
tulajdons\'aggal. Tetsz\H{o}leges $A=A_1\times A_2\times\cdots\times A_k$
alak\'u halmazra (azaz 1-dimenzi\'os halmazok direkt szorzat\'ara)
$\mu_F(A)=\mu_{F_1}(A_1)\mu_{F_2}(A_2)\cdots\mu_{F_k}(A_k)$. Az
al\'abb megfogalmazand\'o Fubini t\'etel azt mondja ki, hogy az
ilyen szorzatm\'ert\'ekek szerinti integr\'al a ter\"uleti
integr\'alhoz hasonl\'o m\'odon kisz\'amolhat\'o megfelel\H{o}
szukcessziv integr\'al\'as se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel. F\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggv\'enyeinek 
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'er\H{o}l sz\'ol\'o legfontosabb eredm\'enyek 
megkaphat\'oak a Fubini t\'etel egyszer\H{u} k\"ovetkezm\'enyek\'ent,
ha a vizsg\'alt v\'arhat\'o \'er\-t\'e\-ket kifejezz\"uk az
eloszl\'as (pontosabban az eloszl\'as \'altal meg\-ha\-t\'a\-ro\-zott 
Stieltjes m\'ert\'ek) szerinti Lebesgue integr\'alk\'ent. Ez a
{\it T\'etel v\'eletlen vektorok v\'arhat\'o \'ert\'ek\'enek
kisz\'am\'{\i}t\'as\'ar\'ol e vektor
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-ny\-\'enek a
seg\'{\i}ts\'eg\'evel}\/ eredm\'enye alapj\'an lehets\'eges.

Az irodalomban \'altal\'anos szok\'as, hogy az el\H{o}bb
defini\'alt $\mu_F$ $k$-dimenzi\'os t\'eren \'ertelmezett
m\'ert\'ek sze\-rin\-ti integr\'alt $F_1(\,dx_1)\dots F_k(dx_k)$
vagy $dF_1(x_1)\dots\,dF_k(x_k)$-val jel\"olik, azaz
$$
\align
&\int g(x_1,\dots,x_k)\mu_F(\,dx_1,\dots,\,dx_k)=
\int g(x_1,\dots,x_k)\mu_{(F_1,\dots,F_k)}(\,dx_1,\dots,\,dx_k)\\
&\qquad \overset{\text {jel.}}\to =
\int g(x_1,\dots,x_k)F_1(\,dx_1)\dots F_k(\,dx_k)
=\int g(x_1,\dots,x_k)\,dF_1(x_1)\dots\,dF_k(x_k)
\endalign
$$
tetsz\H{o}leges integr\'alhat\'o $g(x_1,\dots,x_k)$ (integr\'alhat\'o)
f\"ugv\'enyre, ahol ,,jel." a jel\"ol\'es sz\'o r\"ovid\'{\i}t\'ese.
A tov\'abbiakban mi is ezt a jel\"ol\'est k\"ovetj\"uk.

\medskip\noindent
{\bf Fubini t\'etel.} {\it Legyenek $F_j(\cdot)$, $1\le j\le k$,
eloszl\'asf\"uggv\'enyek a sz\'amegyenesen, \'es legyen
$g(x_1,\dots,x_k)$ (m\'erhet\H{o}) $k$-v\'altoz\'os f\"uggv\'eny.
Ekkor
$$
\align
&\int g(x_1,x_2,\dots,x_k)F_1(\,dx_1)F_2(\,dx_2)\dots F_k(\,dx_k)\\
&\qquad=\(\int \dots\(\int\(\int
g(x_1,\dots,x_k)F_1(\,dx_1)\)F_2(\,dx_2)\) \dots F_k(\,dx_k)\).
\endalign
$$
Ez az azonoss\'ag \'ugy \'ertend\H{o}, hogy az azonoss\'ag k\'et
oldal\'an l\'ev\H{o} integr\'al illetve szuk\-cessziv integr\'al
egyszerre l\'etezik.

\'Erdemes k\"ul\"on megfogalmazni ennek az azonoss\'agnak a
k\"ovetkez\H{o} fontos speci\'alis eset\'et. Ha
$g(x_1,\dots,x_k)=g_1(x_1)\cdots g_k(x_k)$ alak\'u speci\'alis
f\"uggv\'enyek integr\'alj\'at te\-kint\-j\"uk, akkor a
k\"ovetkez\H{o} azonoss\'agot \'{\i}rhatjuk fel:
$$
\align
&\int g_1(x_1)g_2(x_2)\cdots g_k(x_k)F_1(\,dx_1)F_2(\,dx_2)\dots
F_k(\,dx_k)\\
&\qquad=\int g(x_1)F_1(\,dx_1) \int g_2(x_2)F_2(\,dx_2)
\cdots \int g_k(x_k)F_k(\,dx_k)=\prod_{j=1}^k \int g_j(x)F_j(\,dx).
\endalign
$$
}

\medskip\noindent
{\it 1.~megjegyz\'es.}\/ A Fubini t\'etel val\'oj\'aban egy
\'altal\'anosabb eredm\'eny, mint a most kimondott t\'etel. A Fubini
t\'etel az itt megfogalmazottakhoz hasonl\'o eredm\'enyt mond ki
\'altal\'anos (\'es nemcsak az Euklideszi terekben defini\'alt)
szorzatm\'ert\'ekek szerinti integr\'alokra. Sz\'a\-munk\-ra viszont
elegend\H{o} csak a fent le\'{\i}rt speci\'alis esetet tekinteni.

\medskip\noindent
{\it 2.~megjegyz\'es.}\/ Az el\H{o}bb kimondott t\'etel \'es a
tov\'abbi eredm\'enyek r\"oviden, in\-for\-m\'a\-li\-san \'ugy
foglalhat\'ok \"ossze, hogy mindazok az eredm\'enyek, amelyeket
f\"uggetlen, disz\-kr\'et eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okr\'ol tanultunk, \'erv\'enyesek \'altal\'anos, nem 
felt\'etlen\"ul diszkr\'et eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okra is.

\medskip
Az al\'abbiakban a Fubini t\'etelt fogjuk haszn\'alni,
\'es azokat a eredm\'enyeket, amelyek le\-he\-t\H{o}\-v\'e teszik, 
hogy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggv\'enyeinek
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et ki\-sz\'a\-mol\-juk e
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asf\"uggv\'eny\'enek
a seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ezen eredm\'enyek felhaszn\'al\'as\'aval
bebizony\'{\i}tok n\'eh\'any alapvet\H{o} eredm\'enyt
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok\-r\'ol.
Ezel\H{o}tt egy megjegyz\'est teszek az itt k\"ovetett
t\'argyal\'asm\'odr\'ol.

\medskip\noindent
{\it 3.~megjegyz\'es.}\/ Az al\'abbiakban f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok legfontosabb tulajdons\'agait
ismertetem. Ezeket a tulajdons\'agokat meg lehet fogalmazni az
eloszl\'asok nyelv\'en is. \'Ily m\'odon kider\"ul, hogy ezek
a tulajdons\'agok ekvivalensek valamilyen integr\'alokra
megfogalmazhat\'o azonoss\'agokkal, \'es ezen azonoss\'agok
mindegyike a Fubini-t\'etel k\"ovetkezm\'enyek\'ent kezelhet\H{o}.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok 
szorzat\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'er\H{o}l.} {\it Le\-gye\-nek 
$\xi_1,\dots,\xi_k$ f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'ok, amelyek mindegyik\'enek l\'e\-te\-zik v\'ar\-ha\-t\'o 
\'er\-t\'e\-ke, azaz $E|\xi_j|<\infty$. Ekkor a $\xi_1\cdots\xi_k$ 
szorzatnak is l\'etezik v\'arhat\'o \'ert\'eke, \'es
$$
E\xi_1\cdots \xi_k=E\xi_1\cdots E\xi_k.
$$
}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Ezt az eredm\'enyt m\'ar t\'argyaltam az
4.~t\'ema ismertet\'es\'eben a {\it T\'etel f\"uggetlen
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok szorzat\'ar\'ol}\/
eredm\'eny\'eben, de ott csak disz\-kr\'et el\-osz\-l\'a\-s\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok szorzat\'at tekintettem.

\medskip \noindent
{\it A t\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Jel\"olje $F_j(\cdot)$, $1\le
j\le k$, a $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et, \'es vezess\"uk be a
$g(x_1,\dots,x_k)=x_1\dots x_k$ f\"uggv\'enyt. Ekkor
$$
E\xi_1\cdots \xi_k=Eg(\xi_1,\dots,\xi_k)=\int x_1\cdots x_k
F_1(\,dx_1) \dots F_k(\,dx_k).
$$
Tov\'abb\'a a Fubini t\'etel szerint
$$
\int x_1\cdots x_k F_1(\,dx_1)\dots F_k(\,dx_k)=\prod_{j=1}^k\int
x F_j(\,dx).
$$
Mivel $E\xi_j=\int xF_j(x)$, ez az azonoss\'ag azt jelenti, hogy
$E\xi_1\cdots \xi_k=E\xi_1\cdots E\xi_k$. Ezenk\'{\i}v\"ul azt is
\'all\'{\i}thatjuk (felhaszn\'alva azt a t\'enyt, hogy a Fubini
t\'etel k\'et oldal\'an szerepl\H{o} kifejez\'es egyszerre
\'ertelmes), hogy a T\'etelben szerepl\H{o} azonoss\'ag k\'et
oldala egyszerre \'ertelmes.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
egy\"uttes eloszl\'as\'ar\'ol.} {\it Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_k$ 
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, $B_1,\dots,B_k$
a sz\'amegyenes Borel m\'erhet\H{o} r\'eszhalmazai. Ekkor
$$
P(\xi_1\in B_1,\dots,\xi_k\in B_k)=
P(\xi_1\in B_1)\cdots P(\xi_k\in B_k).
$$
}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A f\"uggetlens\'eg definici\'oja csak azt
k\"oveteli meg, hogy a t\'etelben kimondott azonoss\'ag
teljes\"ulj\"on speci\'alis $B_j=(-\infty,x_j)$ alak\'u halmazokra. 
A t\'etel azt \'all\'{\i}tja, hogy ha ez az azonoss\'ag teljes\"ul
ezekre a speci\'alis alak\'u halmazokra, akkor az teljes\"ul minden
,,sz\'ep" azaz Borel m\'erhet\H{o} halmazra. E t\'etelnek, illetve
e t\'etelnek a 4.~t\'ema ismertet\'es\'eben  t\'argyalt {\it Lemma 
f\"uggetlen, diszkr\'et eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'ok tu\-laj\-don\-s\'a\-gai\-r\'ol}\/ n\'even megfogalmazott
megfelel\H{o}j\'enek egyik k\"ovetkezm\'enye az, hogy a disz\-kr\'et,
val\'os sz\'am \'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'ok f\"uggetlens\'eg\'enek kor\'abban ismertetett 
definici\'oja meg\-egye\-zik a f\"uggetlens\'eg \'altal\'anos 
definici\'oj\'aval ebben a speci\'alis esetben.

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/ Legyen $g_j(\cdot)$ a $B_j$ halmaz
indik\'atorf\"uggv\'enye, $1\le j\le k$, azaz legyen $g_j(x)=1$, ha
$x\in B_j$, \'es $g_j(x)=0$, ha $x\notin B_j$. Defini\'aljuk a
$g(x_1,\dots,x_k)=g_1(x_1)\cdots g_k(x_k)$ f\"uggv\'enyt a
$k$-dimenzi\'os t\'eren. Ekkor a Fubini t\'etel alapj\'an
$$
\align
P(\xi_1\in B_1,\dots,\xi_k\in B_k)&=
Eg(\xi_1,\dots,\xi_k)=Eg_1(\xi_1)\cdots E g_k(\xi_k)\\
&=P(\xi_1\in B_1)\cdots P(\xi_k\in B_k).
\endalign
$$


\vfill\eject

{\it Feladat:}
\medskip

\item{} Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n,\xi_{n+1},\dots,\xi_{n+m}$
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
$g(x_1,\dots,x_n)$ $n$-v\'altoz\'os (m\'erhet\H{o}) f\"uggv\'eny,
$\eta=g(\xi_1,\dots,\xi_n)$. Mutassuk meg a Fubini t\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy $\eta,\xi_{n+1},\dots,\xi_{n+m}$
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok.
\item{} {\it Megold\'as:}
R\"ogz\'{\i}ts\"unk valamilyen $x_0,x_1,\dots, x_m$ sz\'amokat.
Defini\'aljuk ezek se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel a $h_j(u)=1$, ha
$u<x_j$, $h_j(u)=0$, ha $u\ge x$, $1\le j\le m$, f\"uggv\'enyeket,
valamint legyen $h_0(u_1,\dots,u_n)=1$, ha $g(u_1,\dots,u_n)<x_0$,
$h_0(u_1,\dots,u_n)=0$, ha $g(u_1,\dots,u_n)\ge x_0$. Jel\"olje
$F_j(\cdot)$ a $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et, $1\le j\le n+m$. Ekkor a Fubini 
t\'etel alapj\'an
$$  \allowdisplaybreaks
\align
&P(\eta<x_0,\xi_{n+1}<x_{n+1},\dots,\xi_{n+m}<x_{n+m}) \\
&\qquad=\int h_0(u_1,\dots,u_n)h_{n+1}(u_{n+1})\dots h_{n+m}(u_{n+m})
F_1(\,du_1)\dots F_{n+m}(\,du_{n+m})\\
&\qquad =\int h_0(u_1,\dots,u_n) F_1(\,du_1)\dots F_{n}(\,du_{n}) \\
&\qquad \qquad\int h_{n+1}(u_{n+1})F_{n+1}(\,du_1) \cdots\int h_{n+m}(u_{n+m})
F_{n+m}(\,du_{n+m}) \\
&\qquad =P(\eta<x_0)P(\xi_{n+1}<x_{n+1})\cdots P(\xi_{n+m}<x_{n+m}),
\endalign
$$
ahonnan k\"ovetkezik a feladat \'all\'{\i}t\'asa.

\beginsection F\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\"osszeg\'enek a sz\'or\'asn\'egyzete.

A diszkr\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okhoz
hasonl\'oan defi\'alhatjuk \'altal\'anos, nem
fel\-t\'et\-le\-n\"ul diszkr\'et eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sz\'or\'asn\'egyzet\'et,
(ezt m\'ar megtett\"uk), kovarianci\'aj\'at. \'Altal\'anos
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek
sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-t\'e\-re hasonl\'o formula
\'erv\'enyes mint a diszkr\'et esetben. R\"oviden le\'{\i}rom
a bizony\'{\i}t\'ast, b\'ar azt ak\'ar el is hagyhatn\'am arra
hivatkozva, hogy e tulajdons\'agok bizony\'{\i}t\'as\'aban a
diszkr\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eset\'eben
is csak olyan \"osszef\"ugg\'eseket haszn\'altunk, amelyek
\'altal\'anos val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okra is
\'erv\'enyesek.

\medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok kovarianci\'aj\'anak a
definici\'oja.} {\it Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o ugyanazon a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, (amelyekre teljes\"ul
az  $E\xi^2<\infty$, $E\eta^2<\infty$ felt\'etel.) A $\xi$ \'es
$\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
kovarianciaf\"uggv\'enye
$$
\Cov(\xi,\eta)=E[(\xi-E\xi)(\eta-E\eta)].
$$
}

\medskip\noindent
{\bf Lemma.} {\it
$$
\Cov(\xi,\eta)=E\xi\eta- E\xi E\eta.
$$
Ha $\xi$ \'es $\eta$ f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok, akkor $\Cov(\xi,\eta)=0$.}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/
$$
\align
\Cov(\xi,\eta)&=E[(\xi-E\xi)(\eta-E\eta)]=E(\xi \eta-\xi E\eta-\eta
E\xi+E\xi E\eta)\\
&=E\xi\eta-E\xi E\eta-E\xi E\eta+E\xi E\eta=E\xi\eta-E\xi E\eta.
\endalign
$$
Ha $\xi$ \'es $\eta$ f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok, akkor $E\xi\eta=E\xi E\eta$, ez\'ert $\Cov (\xi,\eta)=0$.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek
sz\'or\'asn\'egyzet\'er\H{o}l.} {\it Legyenek $\xi_j$, $1\le j\le k$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok ugyanazon a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, amelyekre teljes\"ul
$E\xi_j^2<\infty$ felt\'etel. Ekkor
$$
\Var\(\sum_{j=1}^k \xi_j\)=\sum_{j=1}^k \Var\xi_j+\summ\Sb
1\le j,l \le k\\ j\neq l\endSb \Cov(\xi_j,\xi_l)
=\sum_{j=1}^k \Var\xi_j+2\summ_{j=1}^{k-1}\summ_{l=j+1}^k
\Cov(\xi_j,\xi_l).
$$
Speci\'alisan, ha a $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlenek, akkor
$$
\Var\(\sum_{j=1}^k \xi_j\)=\sum_{j=1}^k \Var\xi_j.
$$
}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.} Vezess\"uk be a $\bar\xi_j=\xi_j-E\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. Ekkor
$$
\align
\Var\(\sum_{j=1}^k \xi_j\)&=
E\(\sum_{j=1}^k\bar \xi_j\)^2=
E\(\sum_{j=1}^k\bar \xi_j^2+\summ\Sb
1\le j,l \le k\\ j\neq l\endSb \bar\xi_j,\bar\xi_l\) \\
&=\sum_{j=1}^k  E\bar \xi_j^2+\summ\Sb
1\le j,l \le k\\ j\neq l\endSb E \bar\xi_j\bar\xi_l
=\sum_{j=1}^k \Var\xi_j+\summ\Sb
1\le j,l \le k\\ j\neq l\endSb \Cov(\xi_j,\xi_l).
\endalign
$$
Ha a $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek,
akkor $\Cov(\xi_j,\xi_l)=0$, ez\'ert
$$
\Var\(\sum_{j=1}^k \xi_j\)=\sum_{j=1}^k \Var\xi_j.
$$


\medskip\noindent
{\bf K\"ovetkezm\'eny.} {\it Legyenek $\xi_j$, $1\le j\le k$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok ugyanazon a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}n, amelyekre teljes\"ul
$E\xi_j^2<\infty$ felt\'etel, \'es legyenek $c_1,\dots,c_n$ 
tetsz\H{o}leges val\'os sz\'amok. Ekkor
$$
\align
\Var\(\sum_{j=1}^k c_j\xi_j\)&=\sum_{j=1}^k c_j^2\Var\xi_j+\summ\Sb
1\le j,l \le k\\ j\neq l\endSb  c_jc_l\Cov(\xi_j,\xi_l)\\
&=\sum_{j=1}^k c_j^2\Var\xi_j+2\summ_{j=1}^{k-1}\summ_{l=j+1}^k
c_jc_l\Cov(\xi_j,\xi_l).
\endalign
$$
}

\medskip
Legyenek $\xi_j$, $j=1,2,\dots$, f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, \'es legyen
$E\xi_1^2<\infty$. Becs\"ulj\"uk meg a Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eg
seg\'{\i}ts\'eg\'evel a
$$
P\(\left|\frac1n\summ_{j=1}^n(\xi_j-E\xi_j)\right|>\e\)
$$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket minden $n=1,2,\dots$ \'es $\e>0$
sz\'amra. L\'atni fogjuk, hogy ebb\H{o}l a becsl\'esb\H{o}l ad\'odik
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as  egyik fontos eredm\'enye,
a nagy sz\'amok (gyenge) t\"orv\'enye.
$$ \allowdisplaybreaks
\align
&P\(\left|\frac1n\summ_{j=1}^n (\xi_j-E\xi_j)\right|>\e\)=
P\(\left|\frac1n\summ_{j=1}^n (\xi_j-E\xi_j)\right|>\e\)\\
&\qquad =P\(\(\summ_{j=1}^n(\xi_j-E\xi_j)\)^2>n^2\e^2\)
\le\frac{E\(\summ_{j=1}^n(\xi_j-E\xi_j)\)^2}{n^2\e^2}\\
&\qquad =\frac{\Var\(\summ_{j=1}^n\xi_j\)}{n^2\e^2}
=\frac{\summ_{j=1}^n \Var\xi_j}{n^2\e^2}=\frac{\Var\xi_1}{n\e^2}.
\endalign
$$

\beginsection Kieg\'esz\'{\i}t\'es: A Lebesgue integr\'al fogalm\'ar\'ol.

A Lebesgue integr\'al term\'eszetes definici\'oj\'aban ezt az
integr\'alt el\H{o}sz\"or a leg\-egy\-sze\-r\H{u}bb f\"uggv\'enyek
eset\'eben defini\'aljuk term\'eszetes m\'odon, majd ezt a
definici\'ot kiterjesztj\"uk \'altal\'anos f\"uggv\'enyekre
folytonoss\'agi meggondol\'asok alapj\'an. Ezt a
k\"o\-vet\-ke\-z\H{o}\-k\'epp tehetj\"uk. Legyen adva egy $(X,\Cal
A,\mu)$ m\'ert\'ekt\'er, azaz egy $X$ alaphalmaz, kijel\"olj\"uk
annak bizonyos r\'eszhalmazait, amelyek $\sigma$-algebr\'at alkotnak,
\'es $\mu$ $\sigma$-v\'eges m\'ert\'ek az $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'an.
(Egy m\'ert\'ek, azaz egy nem negat\'{\i}v \'ert\'ek\H{u} 
$\sigma$-addit\'{\i}v halmazf\"uggv\'eny akkor $\sigma$-v\'eges, ha 
l\'etezik az $X$ alaphalmaz $X=\bigcupp_{j=1}^\infty B_j$, felbont\'asa
megsz\'aml\'alhat\'oan sok olyan $B_j$ halmazra uni\'oj\'ara,
amelyekre $\mu(B_j)<\infty$.) Az $(X,\Cal A,\mu)$ t\'eren
\'ertelmezett (m\'erhet\H{o}) $f(\cdot)$ f\"uggv\'enyeknek akkor
defini\'aljuk a $\mu$ m\'ert\'ek szerinti integr\'alj\'at, ha azok
teljes\'{\i}tenek bizonyos felt\'eteleket, \'es ezeket az
integr\'alokat $\int f(x)\mu(\,dx)$ form\'aban jel\"olj\"uk.
Jegyezz\"uk meg, hogy egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}
speci\'alis $(X,\Cal A,\mu)$ m\'ert\'ekt\'er. Bizonyos
vizsg\'alatokban hasznos, ha figyelm\"unket nem korl\'atozzuk a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}k\"on de\-fi\-ni\-\'alt
f\"ugg\-v\'e\-nyek (azaz val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok)
integr\'alj\'ara.

Egy $f(\cdot)$ f\"uggv\'enyt elemi f\"uggv\'enynek nevez\"unk, ha
csak v\'eges sok k\"ul\"onb\"oz\H{o} \'ert\'eket vesz fel, azaz
l\'etezik v\'eges sok olyan $z_1,x_2,\dots,z_k$ sz\'am \'ugy, hogy
$\bigcupp_{j=1}^k\{x\colon\;f(x)=z\}=\Omega$. Ennek az elemi
f\"uggv\'enynek az integr\'alj\'at az
$$
\int f(x)\mu(\,dx)=\summ_{j=1}^k z_j\mu\(\{x\colon\; f(x)=z_j\}\)
$$
\"osszeg defini\'alja. (Ez hasonl\'o a diszkr\'et eloszl\'as\'u
f\"uggv\'enyek integr\'alj\'anak de\-fi\-ni\-ci\'o\-j\'a\-hoz. Az
egyetlen k\"ul\"onbs\'eg az, hogy itt csak v\'eges sok \'ert\'ekeket
felvev\H{o} f\"ugg\-v\'e\-nye\-ket te\-kin\-t\"unk, m\'{\i}g ott
megengedt\"uk azt is, hogy egy f\"uggv\'eny megsz\'aml\'alhat\'oan
sok \'ert\'eket vegyen fel. Defini\'alhattuk volna az elemi
f\"uggv\'enyeket is \'altal\'anosbban, megengedhett\"uk volna, hogy azok
megsz\'aml\'alhat\'o sok \'ert\'eket vegyenek fel, de az itt tekintett
definici\'o technikailag k\'enyelmesebb, \'es ennek haszn\'alat\'aval
semmit sem vesz\'{\i}t\"unk.) Ha adva van egy nem-negat\'{\i}v $f(x)$
f\"uggv\'eny az az $(X,\Cal A,\mu)$ m\'er\-t\'ek\-t\'e\-ren, akkor
azt k\"ozel\'{\i}thetj\"uk elemi $f_n(x)$ elemi f\"uggv\'enyekkel
p\'eld\'aul a k\"o\-vet\-ke\-z\H{o} m\'odon. Legyen
$f_n(x)=k2^{-n}$, ha $k2^{-n}\le x\le (k+1)2^{-n}$,
$k=0,1,\dots,2^{2n}$, \'es defini\'aljuk az $f(x)$ f\"uggv\'eny
integr\'alj\'at, az $\int f(x)\mu(\,dx)=\limm_{n\to\infty}\int
f_n(x)\mu(\,dx)$ k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Egy \'altal\'anos
(m\'erhet\H{o}) $f(x)$ f\"uggv\'eny eset\'eben defini\'aljuk annak
pozit\'{\i}v \'es negat\'{\i}v r\'esz\'et, mint $f_+(x)=\max(0,f(x))$,
$f_-(x)=\min(0,f(x))$, \'es $\int f(x)\mu(\,dx)=\int
f_+(x)\mu(\,dx)-\int(-f_-(x))\mu(\,dx)$. Be lehet l\'atni, hogy az
el\H{o}bb defini\'alt integr\'al \'ertelmes (p\'eld\'aul a fel\'{\i}rt
limesz val\'oban l\'etezik, ha $\int |f(x)|\mu(\,dx)<\infty$).

Felmer\"ulhet a k\'erd\'es, hogy mi a kapcsolat az \'{\i}gy 
defini\'alt integr\'al \'es az anal\'{\i}zisben tanult Riemann \'es
Riemann--Stieltjes integr\'al k\"oz\"ott, \'es mik a Lebesgue 
integr\'al legfontosabb tulajdons\'agai.

A hagyom\'anyos anal\'{\i}zis oktat\'asban az \'ugynevezett Riemann
integr\'alt vezetik be el\H{o}sz\"or. Egy $[a,b]$ intervallumon
\'ertelmezett $f(u)$ f\"uggv\'eny $\int_a^b f(u)\,du$
integr\'alj\'at \'ugy defini\'alj\'ak, hogy el\H{o}sz\"or alkalmas
k\"ozel\'{\i}t\H{o} \"osszegeket vezetnek be a k\"ovetkez\H{o}
m\'odon. Felosztj\'ak az $[a,b]$ intervallumot $a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$
oszt\'opontok seg\'{\i}ts\'eg\'evel, amelyekre $\supp_{1\le k\le n}
(x_k-x_{k-1})$ kicsi, mindegyik $[x_{k-1},x_k]$ intervallumban
kijel\"olnek egy $\xi_k \in[x_{k-1},x_k]$ pontot, \'es a
$\summ_{k=1}^n f(\xi_k)(x_k-x_{k-1})$ k\"ozel\'{\i}t\H{o} \"osszegeket
tekintik. Az $\int_a^b f(u)\,du$ integr\'alt \'ugy defini\'alj\'ak
mint ezen integr\'alk\"ozel\'{\i}t\H{o} \"osszegek
hat\'ar\'ert\'ek\'et, ha $\supp_{1\le k\le n}(x_k-x_{k-1})$
null\'ahoz tart.

Egy $f$ f\"uggv\'enynek valamely az $[a,b]$ intervallumon megadott
$F(u)$ f\"uggv\'eny sze\-rin\-ti $\int_a^b f(u)F(\,du)$
Rie\-mann--Stiel\-tjes intergr\'alj\'at hasonl\'oan
defini\'alj\'ak. A k\"ul\"onbs\'eg az, hogy most a k\"ozel\'{\i}t\H{o}
\"ossze\-gek\-ben az $x_k-x_{k-1}$ megv\'altoz\'asokat az $F(\cdot)$
f\"uggv\'eny $F(x_k)-F(x_{k-1})$ megv\'altoz\'asaival
helyettes\'{\i}tik, azaz a $\summ_{k=1}^nf(\xi_k)
\(F(x_k)-F(x_{k-1})\)$ k\"ozel\'{\i}t\H{o}\"osszegeket,
illetve azok ha\-t\'ar\-\'er\-t\'e\-k\'et te\-kintik. Ha az 
$F(x)$ f\"uggv\'eny nem foly\-to\-nos, akkor bizonyos technikai
probl\'em\'akat r\'eszletesebben tiszt\'azni kell a fenti 
k\"ozel\'{\i}t\H{o} \"ossze\-gek definici\'oj\'aban, ezek 
kidolgoz\'as\'at\'ol azonban itt eltekintek.

A fenti definici\'ot a k\"ovetkez\H{o} m\'odon is interpret\'alhatjuk.
Nevezz\"unk egy az $[a,b]$ intervallumon \'ertelmezett $f(x)$
f\"uggv\'enyt egyszer\H{u} vagy l\'epcs\H{o}s f\"uggv\'enynek, ha
l\'etezik az $[a,b]$ intervallumnak olyan $a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$
feloszt\'asa, amelyre az $f(x)$ f\"uggv\'eny konstans minden egyes
$[x_k,x_{k+1})$ intervallumon, $0\le k<n$. Az ilyen l\'epcs\H{o}s
f\"uggv\'enyek integr\'alj\'at az $\int_a^b f(x)\,dx=\summ_{k=1}^n
f(x_k)(x_k-x_{k-1})$, \'es $\int_a^b
f(x)F(\,dx)=\summ_{k=1}^nf(x_k)\(F(x_k)-F(x_{k-1})\)$ k\'epletekkel
defini\'aljuk. Az \'altal\'anosabb f\"uggv\'enyek integr\'alj\'at
\'ugy defini\'aljuk, hogy k\"ozel\'{\i}tj\"uk \H{o}ket a fent
le\'{\i}rt m\'odon l\'epcs\H{o}s f\"uggv\'enyekkel, \'es a
f\"uggv\'eny integr\'alja a megfelel\H{o} l\'epcs\H{o}s f\"uggv\'enyek
integr\'aljainak a limesze.

\medskip
Tekints\"uk a sz\'amegyenest, rajta a $\Cal B$ Borel
$\sigma$-algebr\'at, \'es azon a Lebesque m\'ert\'eket. Vegy\"uk
\'eszre, hogy mind a Riemann mind a Lebesue integr\'al eset\'eben
el\H{o}sz\"or bizonyos elemi f\"uggv\'enyeknek defini\'aljuk az
integr\'alj\'at alkalmas k\"ozel\'{\i}t\H{o} \"osszegek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, majd a definici\'okat alkalmas
hat\'ar\'atmenet seg\'{\i}ts\'eg\'evel kiterjesztj\"uk. Ez\'ert
nem  meg\-le\-p\H{o}, hogy abban az esetben, amikor mind a k\'et
integr\'al l\'etezik, akkor azok megegyeznek.

Legyen $F$ valamely monoton n\"ovekv\H{o} f\"uggv\'eny az $[a,b)$
intervallumon. A Lebesgue in\-teg\-r\'al\-hoz hasonl\'oan az
$\int_a^b f(u)F(\,du)$ Riemann--Stieltjes integr\'alnak
megfelel\H{o} Le\-besgue--Stiel\-tjes integr\'alt is defini\'alhatunk.
Ebben az esetben is az $(X,\Cal A,\mu)$ teret \'ugy
de\-fi\-ni\-\'al\-juk, hogy az $X$ halmaz a sz\'amegyenes, (vagy
esetleg annak egy r\'eszintervalluma), $\Cal A$ a sz\'amegyenesen
vagy az intervallumon bevezetett Borel $\sigma$-algebra. A definici\'o
teljess\'e t\'etel\'ehez defini\'alni kell a $\mu$ m\'ert\'eket is.
Ezt az $[a,b)$ intervallumon vagy sz\'am\-egye\-ne\-sen defini\'alt
$F$ monoton n\"ovekv\H{o} f\"uggv\'eny hat\'arozza meg.

A m\'ert\'ekelm\'elet egyik eredm\'enye szerint az $F$
f\"uggv\'eny egy\'ertelm\H{u}en meghat\'aroz az $[a,b)$
intervallum Borel--m\'erhet\H{o} halmazainak
$\sigma$-algebr\'aj\'an egy olyan $\sigma$-addit\'{\i}v
$\mu_F$ az $F$ f\"uggv\'eny Stieltjes m\'ert\'ek\'enek nevezett
halmazf\"uggv\'enyt, amelyre $\mu_F([u,v))=F(v)-F(u)$ minden
$a\le u<v\le b$ $(u,v)$ r\'arra. (Egy r\'eszletesebb t\'argyal\'asban 
ezen \'all\'{\i}t\'as megfogalmaz\'as\'aban figyelmesebbnek kell 
lenn\"unk. K\"ul\"on vizsg\'alni kell azt az esetet, amikor az 
$F(\cdot)$ f\"uggv\'eny a tekintett $[u,v)$ intervallum $u$ vagy $v$ 
v\'egpontj\'aban nem folytonos, azaz 
$\limm_{u_n\to u-0}F(u_n)\neq\limm_{u_n\to u+0}F(u_n)$, illetve, ha
a $v$ pontban teljes\"ul hasonl\'o rel\'aci\'o. Kider\"ult, hogy 
el\'eg csak balr\'ol folytonos (monoton) f\"uggv\'enyeket 
te\-kin\-te\-n\"unk, azaz olyan $F(\cdot)$ f\"uggv\'enyeket, 
amelyekre $\limm_{x_n\to x-0}F_n(x_n)=F(x)$ minden $x$ sz\'amra. Az
eloszl\'asf\"uggv\'enyek teljes\'{\i}tik ezt a tulajdons\'agot.
Ezen megszor\'{\i}t\'as eset\'en minden $(u,v)$, $u<v$, p\'arra 
\'erv\'enyes az $\mu_F([u,v))=F(v)-F(u)$ azonoss\'ag.) A 
Lebesgue--Stieltjes integr\'al definici\'oj\'anak legnehezebb 
l\'ep\'ese annak megmutat\'asa, hogy ilyen m\'odon egy m\'ert\'eket 
azaz egy $\sigma$-addit\'{\i}v $\mu_F$ halmazf\"uggv\'enyt 
defini\'alunk. Az $\int_a^b f(u)F(\,du)$ Lebesue--Stieltjes 
integr\'al az $\int f(x)\mu(\,dx)$ Lebesgue integr\'al, ha az $[a,b]$
intervallumon \'es a rajta tekintett Borel $\sigma$-algebr\'an az
$F$ f\"uggv\'eny \'altal meghat\'arozott $\mu_F$ m\'ert\'eket
v\'alasztjuk $\mu$ a m\'ert\'eknek. A Riemann-Stieltjes \'es
Lebesgue--Stieltjes integr\'alok megegyznek, ha mind a k\'et
integr\'al l\'etezik.

L\'attuk, hogy a Lebesgue \'es Riemann integr\'alok definici\'oj\'anak
a logik\'aja nagyon hasonl\'o. Mind a k\'et esetben el\H{o}sz\"or
sz\'ep, egyszer\H{u} esetekben defini\'aljuk az integr\'alt, majd
hat\'ar\'atmenet seg\'{\i}ts\'eg\'evel ezt a definici\'ot
kiterjesztj\"uk. A Lebesgue integr\'al definici\'oj\'at nem nehezebb
meg\'erteni mint a Riemann integr\'al\'et. Annak f\H{o} oka, hogy az
oktat\'asban a Riemann integr\'alok t\'argyal\'as\'ara helyezik a
hangs\'ulyt --- bizonyos tudom\'anyt\"ort\'eneti okokon k\'{\i}v\"ul
--- az, hogy a Lebesgue integr\'alok fel\'ep\'{\i}t\'ese
sz\"uks\'egess\'e teszi $\sigma$-addit\'{\i}v m\'ert\'ekek
haszn\'alat\'at, \'es ez elker\"ulhetetlenn\'e tesz bizonyos
nem-trivi\'alis m\'ert\'ekelm\'eleti vizsg\'alatokat. A Lebesgue
integr\'alok definici\'oj\'aban, amikor egy halmaz
n\'{\i}v\'ohalmazait tekintj\"uk nem k\"ovetelj\"uk meg, hogy ezeknek
a n\'{\i}v\'ohalmazoknak sz\'ep geometriai strukt\'ur\'ajuk legyen.
Ennek k\"ovetkezt\'eben sokkal gazdagabb azon f\"uggv\'enyek
oszt\'alya amelyeknek defini\'alni tudjuk a Lebesgue integr\'alj\'at.
Ugyanis az integr\'al definici\'oj\'aban sz\"uks\'eges
hat\'ar\'atmeneteketet a Lebesgue integr\'al definici\'oj\'aban
k\"onnyebb v\'egrehajtani mint a Riemann integr\'al\'eban. S\H{o}t
a Lebesgue integr\'al definici\'oja --- szemben a Riemann
integr\'al\'eval --- nem k\"ot\H{o}dik a sz\'amegyenes
geometri\'aj\'ahoz.

A Lebesgue integr\'al rendelkezik a Riemann integr\'alr\'ol tanult
legfontosabb tu\-laj\-don\-s\'a\-gok\-kal. \'Igy p\'eld\'aul line\'aris
oper\'ator az integr\'alhat\'o f\"uggv\'enyek ter\'en, azaz
tetsz\H{o}leges $f$ \'es $g$ (integr\'alhat\'o) f\"uggv\'enyre
valamint $a$ \'es $b$ sz\'amokra
$$
\int(a f(x)+bg(x))\mu(\,dx)=a\int f(x)\mu(\,dx)+b\int
g(x)\mu(\,dx).
$$
Bizonyos fontos, itt nem ismertetett eredm\'enyek (Lebesgue 
t\'etel, Beppo--Levy t\'etel Fatou lemma) arr\'ol sz\'olnak,
hogy konvergens f\"uggv\'enysorok eset\'en mikor
cser\'elhet\H{o} fel a limesz \'es integr\'al\'as sorrendje, azaz
milyen felt\'etelek mellett \'erv\'enyes a 
$$
\lim\int f_n(x)\mu(\,dx)=\int\lim f_n(x)\mu(\,dx)
$$ 
azonoss\'ag. A Lebesgue integr\'alok egy fontos tulajdons\'aga az 
ebben a jegyzetben is megfogalmazott Fubini t\'etel, amely sze\-rint 
egy szorzatm\'ert\'ek sze\-rin\-ti k\'etv\'altoz\'os f\"ugg\-v\'eny 
integr\'alja szukcessz\'{\i}v integr\'al\'assal is kisz\'amolhat\'o.
L\'attuk, hogy ez fontos szerepet j\'atszik f\"uggetlen
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok 
vizsg\'alat\'aban.

V\'eg\"ul megjegyzem, hogy a v\'arhat\'o \'ert\'eknek az
eloszl\'asf\"uggv\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel val\'o 
kisz\'amol\'as\'ar\'ol sz\'ol\'o t\'etelnek illetve ezen 
eredm\'eny \'altal\'anos\'{\i}t\'as\'anak a bizony\'{\i}t\'asa 
vi\-szony\-lag egyszer\H{u}, ha j\'ol meg\'ertj\"uk a Lebesgue 
integr\'al definici\'oj\'at. A Fontos T\'etel \'all\'{\i}t\'asa 
szeml\'eletesen, de kiss\'e pongyol\'an fogalmazva azt jelenti, 
hogy egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n
defini\'alt $\int g(\xi(\oo))\,dP(\oo)$ integr\'al
`\'atm\'asolhat\'o' egy $\int g(x)\mu_F(\,dx)$ integr\'all\'a
az $(R^1,\Cal B,\mu_F)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, ahol
$\mu_F$ a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asa
\'altal meg\-ha\-t\'a\-ro\-zott $\mu_F$ Lebesgue--Stieltjes
m\'ert\'ek. Ez az \'all\'{\i}t\'as k\"onnyen l\'athat\'o $g(x)$
l\'ep\-cs\H{o}s\-f\"ugg\-v\'e\-nyek eset\'eben. \'Altal\'anos
(m\'erhet\H{o}) $g(x)$ f\"ugg\-v\'e\-nyek j\'ol
k\"ozel\'{\i}thet\H{o}ek l\'epcs\H{o}s f\"uggv\'enyekkel, \'es
ilyen m\'odon az $\int g(\xi(\oo))\,dP(\oo)$
Le\-besgue integr\'al olyan k\"o\-ze\-l\'{\i}\-t\H{o} \"osszegeit
kapjuk, amelyek kifejezhet\H{o}ek a $\xi$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'al\-to\-z\'o $F(x)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et tartalmaz\'o \"osszegek
se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel. Ez ut\'obbi \"osszegek
ter\-m\'e\-sze\-tes k\"o\-ze\-l\'{\i}\-t\H{o}\"ossze\-gei az $\int
g(x)F(\,dx)$ Lebesque--Stieltjes in\-teg\-r\'al\-nak. Ezut\'an
alkalmas ha\-t\'ar\-\'at\-me\-net se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel
meg\-kap\-hat\-juk az eml\'{\i}tett t\'etelnek, illetve 
\'al\-ta\-l\'a\-no\-s\'{\i}\-t\'a\-s\'a\-nak a
bizony\'{\i}t\'as\'at.


\bye




