\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm

\parskip=3pt plus 1pt
\TagsOnRight
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}

\centerline{\bf A Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as I.
el\H{o}ad\'assorozat \"ot\"odik t\'em\'aja.}

\beginsection Sz\'or\'asn\'egyzet, kovariancia,
gener\'atorf\"uggv\'enyek. 

El\H{o}sz\"or a sz\'or\'asn\'egyzet fogalm\'at vezetem be, \'es
annak legfontosabb tulajdons\'agait t\'argyalom.

\medskip
Az (egyel\H{o}re csak diszkr\'et eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eset\'eben defini\'alt)
v\'ar\-ha\-t\'o \'ert\'ek azt m\'eri, hogy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok k\"or\"ulbel\"ul mekkora \'ert\'eket vesznek fel.
M\'erni akarjuk azt is, hogy mekkora a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o ingadoz\'asa a v\'arhat\'o \'ert\'eke k\"or\"ul. Ennek
\'erdek\'eben vezett\'ek be a sz\'or\'asn\'egyzet (angolul variance)
fogalm\'at. Ismertetem ennek definici\'oj\'at.

\medskip\noindent
{\bf A sz\'or\'asn\'egyzet definici\'oja:} {\it Legyen $\xi$ olyan
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelyre $E\xi^2<\infty$. Ekkor
a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o sz\'or\'asn\'egyzet\'et
a
$$
\Var \xi=E\(\xi-E\xi\)^2
$$
k\'eplet defini\'alja. Ha $E\xi^2=\infty$ akkor a $\Var\xi$
sz\'or\'asn\'egyzetet nem defini\'aljuk vagy azt mondjuk, hogy
$\Var\xi=\infty$.}

\medskip\noindent
{\bf Lemma a sz\'or\'asn\'egyzet kisz\'amol\'as\'ar\'ol.}
$$
\Var\xi=E\xi^2-(E\xi)^2.
$$
Tov\'abb\'a, $\(E\xi\)^2\le E\xi^2$.

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/
$$
\align
0\le \Var\xi&=E\(\xi-E\xi\)^2=E\(\xi^2-2\xi
E\xi+\(E\xi\)^2\)\\
&=E\xi^2-2E\xi E\xi+(E\xi)^2=E\xi^2-(E\xi)^2
\endalign
$$
a v\'arhat\'o \'ert\'ek tulajdons\'agai miatt. \"Osszehasonl\'{\i}tva
a bal \'es jobboldalt kapjuk a megfogalmazott egyenl\H{o}tlens\'eget.
\medskip\noindent
{\it 1.~megjegyz\'es.}\/ Ha prec\'{\i}zek vagyunk, akkor
felmer\"ulhet a k\'erd\'es, hogy teljesen kifog\'astalan-e
a fenti bizony\'{\i}t\'as. Az okozhat probl\'em\'at, hogy egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eket csak
akkor de\-fi\-ni\'al\-tuk ha a defini\'al\'o \"osszeg abszolut
konvergens. Ezt viszont csak az $E\xi^2$ kifejez\'est
defini\'al\'o \"osszeg\-r\H{o}l tett\"uk fel. Ugyanakkor az
$E\xi$ v\'arhat\'o \'ert\'ekkel is szabadon sz\'amoltunk. Nem
okoz-e ez gondot?

Az, hogy a fenti sz\'amol\'as jogos, p\'eld\'aul a k\"ovetkez\H{o}
m\'odon l\'athat\'o. Vegyen fel a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $x_1,x_2,\dots$ \'ert\'ekeket, \'es defini\'aljuk a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\xi_n$ k\"ozel\'{\i}t\'eseit,
$n=1,2,\dots$, a k\"ovetkez\H{o} m\'odon: $\xi_n(\oo)=\xi(\oo)$, ha
$\xi(\oo)=x_k$, $1\le k\le n$, $\xi_n(\oo)=0$, ha $\xi(\oo)=x_k$, \'es
$k>n$. Ekkor a $\xi_n(\oo)$ illetve ennek abszolut \'ert\'ek\'evel a
$|\xi_n(\oo)|$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okkal szabadon
v\'egrehajthatjuk a fenti sz\'amol\'asokat. Innen k\"ovetkezik, hogy
$\(E|\xi_n(\oo)|\)^2\le E\xi_n^2(\oo)\le E\xi^2(\oo)$. Innen viszont
$n\to\infty$ hat\'ar\'atmenettel kapjuk, hogy
$(E|\xi|)^2=\limm_{n\to\infty}\(E|\xi_n(\oo)|\)^2 \le E\xi^2(\oo)$. Ez
azt jelenti, hogy az $E\xi$ v\'arhat\'o \'ert\'eket meghat\'aroz\'o
\"osszeg is abszolut konvergens, \'es a fenti sz\'amol\'asokat
el\-v\'e\-gez\-het\-j\"uk.

\medskip\noindent
{\it 2.~megjegyz\'es.}\/ A sz\'or\'asn\'egyzet egy viszonylag
egyszer\H{u} m\'er\H{o}sz\'ama a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o ingadoz\'as\'anak annak v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et\H{o}l.
Az, hogy val\'oban ez az ingadoz\'as legjobb m\'er\H{o}sz\'ama
k\'es\H{o}bb ismertetend\H{o} eredm\'enyekb\H{o}l k\"ovetkezik.

\medskip
{\it Feladat:}
\item{1.)} Minden $m$ val\'os sz\'amra
$$
E(\xi-m)^2=E(\xi-E\xi)^2+(E\xi-m)^2.
$$
K\"ovetkez\'esk\'eppen
$$
\Var \xi=\inf_{-\infty<m<\infty} E\[(\xi-m)^2\].
$$
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$$
\align
E(\xi-m)^2&=E\[(\xi-E\xi)+(E\xi-m)\]^2\\
&=E(\xi-E\xi)^2-2(E\xi-m)E(\xi-E\xi)+\(E(\xi-m)\)^2\\
&=E(\xi-E\xi)^2+\(E\xi-m\)^2,
\endalign
$$
mert $2E(\xi-m)E(\xi-E\xi)=2E(\xi-m)(E\xi-E\xi)=0$. Ebb\H{o}l az
azonoss\'agb\'ol ad\'odik, hogy $E(\xi-m)^2\ge E(\xi-E\xi)^2$
minden $m$ val\'os sz\'amra. Viszont $m=E\xi$ eset\'en az
egyenl\H{o}tlens\'eg k\'et oldala megegyezik.

\medskip\noindent
{\bf Lemma a sz\'or\'asn\'egyzet tulajdons\'agair\'ol.} {Minden 
$a$ \'es $b$ val\'os sz\'amra
$$
\Var(a\xi+b)=a^2\Var\xi.
$$
}\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/
$$
\align
\Var(a\xi+b)&=E\[(a\xi+b)-E(a\xi+b)\]^2
=E\[(a\xi+b)-aE\xi-b\]^2\\
&=E\[a^2(\xi-E\xi)^2\]=a^2E(\xi-E\xi)^2=a^2\Var\xi.
\endalign
$$
\medskip
A k\"ovetkez\H{o} eredm\'eny rendk\'{\i}v\"ul hasznos
\"osszef\"ugg\'est ad, ha f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek sz\'or\'asn\'egyzet\'et akarjuk
kisz\'am\'{\i}tani. Hangs\'ulyozom, hogy ebben az eredm\'enyben
fontos a tekintett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlens\'ege. K\'es\H{o}bb megfogalmazom ennek az eredm\'enynek
egy olyan \'altal\'anos\'{\i}t\'as\'at, amely akkor is \'erv\'enyes,
ha az \"osszeadand\'ok nem felt\'etlen\"ul f\"uggetlenek. Olyan 
feladatokat is fogunk vizsg\'alni, amelyek megold\'as\'aban ezt az
\'al\-ta\-l\'a\-no\-sabb eredm\'enyt \'erdemes alkalmazni.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\"osszegeinek sz\'or\'asn\'egyzet\'er\H{o}l.} 
{\it Ha $\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, akkor
$$
\Var(\xi_1+\xi_2+\cdots+\xi_n)=
\Var\xi_1+\Var\xi_2+\cdots+\Var\xi_n.
$$
}\medskip\noindent
{\bf K\"ovetkezm\'eny.} Ha {\it $\xi_1,\xi_2,\dots, \xi_n$
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
$c_1,c_2,\dots,c_n$ val\'os sz\'amok, akkor
$$
\Var(c_1\xi_1+c_2\xi_2+\cdots+c_n\xi_n)=
c_1^2\Var\xi_1+c^2_2\Var\xi_2+\cdots+c_n^2\Var\xi_n.
$$
}\medskip\noindent
{\it A T\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Vezess\"uk be a
$\bar\xi_j=\xi_j-E\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat.
Ekkor
$$
\align
\Var(\xi_1+\xi_2+\cdots+\xi_n)&=
E(\bar\xi_1+\bar\xi_2+\cdots+\bar\xi_n)^2 \\
&=E\(\bar\xi_1^2+\bar\xi_2^2+\cdots+\bar\xi_n^2
+2\summ_{j=1}^{n-1}\summ_{k=j+1}^n \bar\xi_j\bar\xi_k\)\\
&=E\bar\xi_1^2+E\bar\xi_2^2+\cdots+E\bar\xi_n^2
+2\summ_{j=1}^{n-1}\summ_{k=j+1}^n E\bar\xi_j\bar\xi_k\\
&=E\bar\xi_1^2+E\bar\xi_2^2+\cdots+E\bar\xi_n^2
=\Var\xi_1+\Var\xi_2+\cdots+\Var\xi_n,
\endalign
$$
mert
$E\bar\xi_j\bar\xi_k=E\bar\xi_jE\bar\xi_k=0$ minden $1\le j<k\le n$
sz\'amra a $\xi_j$ illetve a $\bar\xi_j$, $1\le j\le n$,
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok f\"uggetlens\'ege
miatt, \'es $E\bar\xi_j^2=\Var\xi_j$ minden $1\le j\le n$ indexre.

\medskip
{\it Feladat:}

\medskip
\item{2.)} Egy szab\'alyos p\'enzdarabot feldobunk 100-szor egym\'as
ut\'an. Sz\'amoljuk ki a fej-dob\'asok sz\'a\-m\'a\-nak a v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et. Sz\'am\'{\i}tsuk ki ezt
egyr\'eszt direkt m\'odon fel\'{\i}rva \'es kisz\'amolva a
v\'arhat\'o \'ert\'eket \'es sz\'or\'asn\'egyzetet kifejez\H{o}
\"osszegeket, m\'asr\'eszt egyszer\H{u}bben az el\H{o}z\H{o} t\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
\medskip
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A fejdob\'asok sz\'ama 0 \'es
100 k\"oz\"ott van. Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy $k$
fejdob\'as k\"ovetkezik be, $0\le k\le 100$, $p_k=\binom {100}k
2^{-100}$. Ez\'ert a dob\'asok sz\'am\'anak v\'arhat\'o \'ert\'eke
$E\xi=\summ_{k=0}^{100}k\binom {100}k 2^{-100}$, ahol $\xi$
jel\"oli a fejdob\'asok sz\'am\'at megad\'o
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot. Tov\'abb\'a $E\xi^2
=\summ_{k=0}^{100} k^2\binom {100}k 2^{-100}$, a sz\'or\'asn\'egyzet
pedig $\Var\xi=E\xi^2-\(E\xi\)^2$. Ezeket az \"osszegeket
k\"ozvetlen\"ul kisz\'am\'{\i}thatjuk. Val\'oban,
$k\binom{100}k=100\binom{99}{k-1}$,
$E\xi=\summ_{k=0}^{100}k\binom {100}k 2^{-100}=
50\summ_{k=0}^{99}k\binom {99}k
2^{-99}=50\(\frac12+\frac12\)^{99}=50$. Tov\'abb\'a,
$k^2\binom{100}k=[k(k-1)+k]\binom{100}k=100\cdot99\cdot
\binom{98}{k-2}+100\cdot\binom{99}{k-1}$, ez\'ert 
$E\xi^2=\summ_{k=0}^{100} k^2\binom {100}k 2^{-100}
=2^{-100}\cdot 100\cdot99\cdot\summ_{k=0}^{98}\binom{98}k+
2^{-100}\cdot100\cdot\summ_{k=0}^{99}\binom{99}k=2^{-100}\(100\cdot99
\cdot(1+1)^{98}+100\cdot(1+1)^{99}\)=25\cdot99+50$. Innen
$\Var\xi=E\xi^2-(E\xi^2)=25$.

\item{} Val\'oj\'aban a vizsg\'alt v\'arhat\'o \'ert\'eket \'es
sz\'or\'asn\'egyzetet egyszer\H{u}bben is ki\-sz\'a\-m\'{\i}t\-hat\-juk.
Vezess\"uk be a $\xi_j(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat, $\xi_j(\oo)=1$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye fej
$\xi_j(\oo)=0$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye \'{\i}r\'as, $1\le j\le100$.
Ekkor a fejdob\'asok sz\'ama $\xi(\oo)=\summ_{j=1}^{100}\xi_j(\oo)$,
$E\xi=\summ_{j=1}^{100}E\xi_j$, $\Var\xi=\summ_{j=1}^{100}\Var\xi_j$.
Mivel $E\xi_j=\frac12$, $E\xi_j^2=\frac12$, $\Var\xi_j=\frac14$, $1\le
j\le100$, ez\'ert $E\xi=\frac12\cdot100=50$,
$\Var\xi=\frac14\cdot100=25$.

\medskip
\item{3.)} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk 100-szor egym\'as
ut\'an. Sz\'amoljuk ki a do\-b\'as\-ered\-m\'e\-nyek \"osszeg\'enek
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
Legyenek $\eta_1$,$\dots,\eta_{100}$ {\it f\"uggetlen}\/
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, amelyekre
$P(\eta_j=k)=\frac16$, $1\le j\le 100$, $1\le k\le6$. Ekkor a
kisz\'am\'{\i}tand\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek \'es sz\'or\'asn\'egyzet
$E\summ_{j=1}^{100}\eta_j=\summ_{j=1}^{100}E\eta_j$,
$\Var\summ_{j=1}^{100}\eta_j=\summ_{j=1}^{100}\Var\eta_j$.
(A m\'asodik rel\'aci\'o felhaszn\'alja a tekintett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok f\"uggetlens\'eg\'et.)
$E\eta_j=\frac16(1+2+3+4+5+6)=3.5$,
$E\eta_j^2=\frac16(1+4+9+16+25+36)=\frac{91}6$,
$\Var\eta_j=\frac{35}{12}$, $E\xi=350$, $\Var\xi=\frac{3500}{12}$.

\item{4.)} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk 100-szor egym\'as
ut\'an. Tekints\"uk a p\'aros \'ert\'ek\H{u} dob\'asok eredm\'enyeinek
az \"osszeg\'et, \'es sz\'am\'{\i}tsuk ki ennek v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{}  {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$,
$1\le j\le100$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=2$,
ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye 2, $\xi_j=4$, ha a $j$-ik dob\'as
eredm\'enye 4, $\xi_j=6$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye 6, \'es
$\xi_j=0$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye 1, 3 vagy 5. Ekkor a
$S=\summ_{j=1}^{100}\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et akarjuk
kisz\'amolni. $E\xi_j=\frac16(2+4+6)=2$,
$E\xi_j^2=\frac16(2^2+4^2+6^2)=\frac{28}3$,
$\Var\xi_j=E\xi_j^2-(E\xi_j)^2=\frac{16}3$, ahonnan a $\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlens\'ege miatt
$ES=100E\xi_1=200$, $\Var S= 100\Var\xi_1=\frac{1600}3$.

\medskip
Megfogalmazom az el\H{o}z\H{o} t\'etel egy olyan
\'altal\'anos\'{\i}t\'as\'at, amely lehet\H{o}v\'e teszi, hogy
ki\-sz\'a\-mol\-juk nem felt\'etlen\"ul f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek a
sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-t\'et. Ennek \'erdek\'eben
el\H{o}sz\"or bevezetek egy \'uj fogalmat, k\'et
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o kovarianciaf\"uggv\'eny\'et.
Ez azt m\'eri hogy milyen er\H{o}s a kapcsolat k\'et
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egi v\'altoz\'o k\"oz\"ott.

\medskip\noindent
{\bf A kovarianciaf\"uggv\'eny definici\'oja.} {\it Legyen $\xi$
\'es $\eta$ k\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelyek
mindegyik\'enek l\'etezik sz\'or\'asn\'egyzete, azaz
$E\xi^2<\infty$ \'es $E\eta^2<\infty$. Ekkor a $\xi$ \'es $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
kovarianciaf\"uggv\'eny\'et $\Cov(\xi,\eta)$-t a
$$
\Cov(\xi,\eta)=E\[(\xi-E\xi)(\eta-E\eta)\]
$$
kifejez\'es defini\'alja. Ha a $E\xi^2<\infty$ \'es $E\eta^2<\infty$
felt\'etelek valamelyike nem teljes\"ul, akkor nem defini\'aljuk a
$\Cov(\xi,\eta)$
kovarianciaf\"uggv\'enyt.}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/
$|(\xi-E\xi)||(\eta-E\eta)|\le\frac{|\xi-E\xi|^2}2+
\frac{|\eta-E\eta|^2}2$, ahonnan
$E|(\xi-E\xi)||(\eta-E\eta)|\le\frac{E|\xi-E\xi|^2}2+
\frac{E|\eta-E\eta|^2}2<\infty$. Innen k\"ovetkezik, hogy az
$E\xi^2<\infty$ \'es $E\eta^2<\infty$ felt\'etelek teljes\"ul\'ese
eset\'en a $\Cov(\xi,\eta)$-t defini\'al\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek
val\'oban l\'etezik.

\medskip\noindent
{\bf Korrel\'alatlan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
definici\'oja.} {\it Azt mondjuk, hogy k\'et $\xi$ \'es $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o korrel\'alatlan, ha
$\Cov(\xi,\eta)=0$.}

\medskip\noindent
{\bf Lemma a kovariancia kisz\'amol\'as\'ar\'ol.}
$$
\Cov(\xi,\eta)=E\xi\eta-E\xi E\eta.
$$

\medskip\noindent
{\bf K\"ovetkezm\'eny.} {\it Ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor $\Cov(\xi,\eta)=0$,
azaz e k\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o korrel\'alatlan.}

\medskip\noindent
{\it A lemma bizony\'{\i}t\'asa.}\/
$$
\Cov(\xi,\eta)=E[\xi\eta-\eta E\xi-\xi E\eta+E\xi E\eta]
=E\xi\eta-E\xi E\eta-E\xi E\eta+E\xi E\eta=E\xi\eta-E\xi E\eta.
$$

\medskip
Most megfogalmazom az al\'abbi eredm\'enyt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek a sz\'or\'asn\'egyzet\'er\H{o}l, amely
akkor is \'erv\'enyes, ha az \"osszeadand\'ok nem f\"uggetlenek.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek
a sz\'or\'asn\'egyzet\'er\H{o}l.} {\it Ha $\xi_1,\dots,\xi_n$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok ugyanazon a 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, amelyek
mindegyik\'enek l\'etezik sz\'or\'asn\'egyzete, akkor
$$
\align
\Var\(\summ_{j=1}^n\xi_j\)
&=\summ_{j=1}^{n}\Var\xi_j+
2\summ_{1\le j<k\le n}(E\xi_j\xi_k-E\xi_j E\xi_k)\\
&=\summ_{j=1}^{n}\Var\xi_j+
2\summ_{1\le j<k\le n}\Cov(\xi_j,\xi_k)\\
&=\summ_{j=1}^n\Var\xi_j+
\summ_{1\le j,k\le n,\; j\neq k}\Cov(\xi_j,\xi_k).
\endalign
$$
}

\medskip \noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.}\/
$$
\align
\Var \! \(\summ_{j=1}^n\xi_j\)&=E\(\sum_{j=1}^n\xi_j\)^2 \!\!
-\(E\sum_{j=1}^n\xi_j\)^2 \!\!
=E\(\sum_{j=1}^m\sum_{k=1}^n\xi_j\xi_k\)
-\(\sum_{j=1}^m\sum_{k=1}^n E\xi_jE\xi_k\)\\
&=\(\sum_{j=1}^m\sum_{k=1}^nE\xi_j\xi_k\)
-\(\sum_{j=1}^m\sum_{k=1}^n E\xi_jE\xi_k\)\\
&=\summ_{j=1}^{n}\(E\xi_j^2-(E\xi_j)^2\)+
2\summ_{1\le j<k\le n}(E\xi_j\xi_k-E\xi_j E\xi_k),
\endalign
$$
\'es $E\xi_j^2-(E\xi_j)^2=\Var\xi_j$, $E\xi_j\xi_k-E\xi_j
E\xi_k=\Cov(\xi_j,\xi_k)$.

\medskip
{\it H\'azi feladat:}

\medskip
\item{} Mutassuk meg, hogy a f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'ok \"osszegeinek sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-t\'e\-r\H{o}l 
sz\'ol\'o t\'etel k\"ovetkezik a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek a sz\'or\'asn\'egyzet\'er\H{o}l sz\'ol\'o 
t\'etelb\H{o}l.

\medskip
A k\"ovetkez\H{o} k\'et feladatban p\'eld\'at mutatok arra, hogy
a fenti eredm\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel bizonyos esetekben
vi\-szony\-lag egy\-sze\-r\H{u}\-en ki tudjuk sz\'amolni 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek a
sz\'or\'asn\'egyzet\'et.

\medskip
{\it Feladatok:}

\medskip
\item{5.)} Legyen egy urn\'aban 20 piros \'es 30 feh\'er goly\'o.
H\'uzzunk ki 20 goly\'ot visszatev\'es n\'elk\"ul. Sz\'amoljuk ki
a kih\'uzott piros goly\'ok sz\'am\'anak v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et
\'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o}
$\xi_j$, $1\le j\le 20$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat: $\xi_j(\oo)=1$, ha a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye
piros, $\xi_j(\oo)=0$, ha a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye feh\'er.
Ekkor a $\xi=\summ_{j=1}^{20}\xi_j$  \"osszeg v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et kell
ki\-sz\'a\-mol\-nunk. Tov\'abb\'a $E\xi_j=E\xi_1=\frac25$,
$\Var\xi_j=\Var\xi_1=\frac25-\frac4{25}=\frac6{25}$,
$E\xi_j\xi_k-E\xi_jE\xi_k=E\xi_1\xi_2-E\xi_1E\xi_2=\frac25\cdot
\frac{19}{49}-\frac4{25}=-\frac6{1245}$, ha $j\neq k$. Itt 
felhaszn\'altuk, hogy annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a 
$j$-ik h\'uz\'asban piros goly\'ot h\'uzunk minden $1\le j\le20$ 
indexre ugyanannyi, mint annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy 
az els\H{o} h\'uz\'asban piros goly\'ot h\'uzunk. Hasonl\'oan,
annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $j$-ik  \'es $k$-ik 
h\'uz\'asban piros goly\'ot h\'uzunk, $1\le j,k\le20$, $j\neq k$, 
ugyanannyi, mint annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az 
els\H{o} k\'et h\'uz\'asban piros goly\'ot h\'uzunk.
\item{} Innen a 20 dob\'asban kih\'uzott piros goly\'ok
sz\'am\'anak v\'arhat\'o \'ert\'eke $20\cdot\frac25=8$ \'es
sz\'or\'asn\'egyzete $20\cdot\frac6{25}-380\cdot\frac6{1245}
=\frac{144}{49}$.

\item{6.)} Feldobunk egy szab\'alyos p\'enz\'erm\'et 100-szor
egym\'as ut\'an. Tekints\"uk az egym\'ast k\"ovet\H{o} fej-fej
dob\'assorozatok sz\'am\'at, \'es sz\'am\'{\i}tsuk ki ennek
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o}
$\xi_j$, $1\le j\le 99$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat:
$\xi_j=1$, ha a $j$-ik \'es $j+1$-ik dob\'asok mindegyik\'enek
eredm\'enye fej, $\xi_j=0$ egy\'ebk\'ent. Vegy\"uk \'eszre, hogy
minket az $S=\summ_{j=1}^{99}\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke \'erdekel. Ez\'ert
$ES=E\(\summ_{j=1}^{99}E\xi_j\)=\frac{99}4$, mivel
$E\xi_j=\frac14$. (\'Erdemes megjegyezni, hogy az ebben a
feladatban tekintett $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok nem f\"uggetlenek, de a f\"uggetlens\'egre nincs
sz\"uks\'eg a v\'arhat\'o \'ert\'ek additiv\'{\i}t\'as\'ahoz.)
\item{} A sz\'or\'asn\'egyzet kisz\'am\'{\i}t\'as\'aban viszont
figyelembe kell venn\"unk azt, hogy nem csupa f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \"osszeg\'et vizsg\'aljuk.
Haszn\'aljuk a sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-zet
ki\-sz\'a\-mo\-l\'a\-s\'a\-n\'al a k\"ovetkez\H{o} formul\'at.
$$
\Var S=\Var\(\summ_{j=1}^{99}\xi_j\)=\sum_{j=1}^{99}
\Var\xi_j+2\sum_{1\le j<k\le99}\Cov(\xi_j,\xi_k).
$$
Tov\'abb\'a $\Cov(\xi_j,\xi_k)=0$, ha $k\ge j+2$, mert ebben az
esetben $\xi_j$ \'es $\xi_k$ f\"uggetlenek, \'es
$\Cov(\xi_j,\xi_{j+1})=\frac18-\frac1{16}=\frac1{16}$ minden
$1\le j\le 98$ sz\'amra. Ugyanis $E\xi_j\xi_{j+1}=\frac18$, mivel
$\xi_j\xi_{j+1}=1$, ha a $j$-ik, $j+1$-ik \'es $j+2$-ik dob\'asok
mindegyike fej, aminek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\frac18$, \'es
$\xi_j\xi_{j+1}=0$ egy\'ebk\'ent. Tov\'abb\'a
$E\xi_jE\xi_{j+1}=\frac1{16}$. Ezenk\'{\i}v\"ul
$\Var\xi_j=\frac14-\frac1{16}=\frac3{16}$. Innen $\Var
S=99\cdot\frac3{16}+2\cdot\frac{98}{16}=\frac{493}{16}$.

\beginsection F\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok.
A konvoluci\'o \'es gener\'atorf\"uggv\'eny.

K\"ovetkez\H{o} t\'em\'ank a legfontosabb diszkr\'et eloszl\'asok 
\'es azok tulajdons\'againak t\'ar\-gya\-l\'a\-sa lesz.
Ki fogom sz\'amolni az ilyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-t\'et, 
\'es adott eloszl\'as\'u f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek az eloszl\'as\'at. A k\'er\-d\'e\-sek 
egyszer\H{u}bb t\'argyal\'asa \'erdek\'eben bevezetek n\'eh\'any 
fogalmat, \'es felid\'ezek n\'eh\'any ered\-m\'enyt az 
anal\'{\i}zisb\H{o}l. El\H{o}sz\"or eloszl\'asok konvoluci\'oj\'at 
majd ge\-ne\-r\'a\-tor\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et defini\'alom, \'es 
t\'argyalom  azt, hogy ezek a fogalmak milyen kapcsolatban vannak 
a minket \'erdekl\H{o} probl\'em\'akkal.

Az els\H{o} vizsg\'aland\'o k\'erd\'es az, hogy hogyan lehet
kisz\'amolni f\"uggetlen, diszkr\'et eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek
az eloszl\'as\'at. Ennek kapcs\'an bevezetem diszkr\'et
eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok
el\-osz\-l\'a\-sai\-nak a konvoluci\'oj\'at, \'es teszek n\'e\-h\'any
meg\-jegy\-z\'est.

Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen, diszkr\'et eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelyek va\-la\-mi\-lyen
$x_1,x_2,\dots$ \'ert\'ekeket vesznek fel. Ekkor ezek \"osszege, a
$\xi+\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o szint\'en
diszkr\'et, \'es eloszl\'as\'at ki tudjuk sz\'amolni a
k\"ovetkez\H{o} m\'odon:
$$
P(\xi+\eta=x)= \!\!\! \summ_{(x_j,x_k)\colon\; x_j+x_k=x} \!\!\!
P(\xi=x_j,\eta=x_k)
= \!\!\! \summ_{(x_j,x_k)\colon\; x_j+x_k=x} \!\!\!
P(\xi=x_j)P(\eta=x_k)
$$
Ez a k\'eplet egyszer\H{u}s\"odik abban a fontos speci\'alis esetben,
ha a f\"uggetlen $\xi$ \'es $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok csak eg\'esz \'ert\'ekeket vesznek fel, \'es m\'eg
egyszer\H{u}bb akkor, ha csak nem negat\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ekeket
vesznek fel. Azt az eredm\'enyt, amelyet ebben a speci\'alis esetben
kapunk, megfogalmazom t\'etel form\'aj\'aban is.

\medskip \noindent
{\bf T\'etel f\"uggetlen, diszkr\'et eloszl\'as\'u 
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi \"osszeg\'enek a 
ki\-sz\'a\-mo\-l\'a\-s\'a\-r\'ol.} {\it Legyen $\xi$ \'es $\eta$ 
k\'et f\"uggetlen, eg\'esz \'ert\'ekeket felvev\H{o} 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Ekkor a $\xi+\eta$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o is csak eg\'esz \'ert\'ekeket 
vesz fel, \'es
$$
P(\xi+\eta=n)=\sum_{k=-\infty}^\infty P(\xi=k) P(\eta=n-k), \quad
n=0,\pm1, \pm2,\dots.
$$
Ez a formula tov\'abb egyszer\H{u}s\"odik, ha a f\"uggetlen $\xi$
\'es $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok csak nem
negat\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ekeket vesznek fel. Ekkor
$$
P(\xi+\eta=n)=\sum_{k=0}^nP(\xi=k)P(\eta=n-k),\quad\text{ha }n\ge0,
$$
\'es
$$
P(\xi+\eta=n)=0,\quad \text{ha } n<0.
$$
}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/ A t\'etel els\H{o} k\'eplete azonnal
ad\'odik a t\'etel el\H{o}tt t\'argyalt \'altal\'anos esetb\H{o}l
abban az esetben, ha a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
$x_1,x_2,\dots$ \'ert\'ekei eg\'esz sz\'amok. A m\'asodik k\'eplet
az els\H{o} k\'eplet k\"ovetkezm\'enye, ha \'eszrevessz\"uk, hogy
el\'eg csak azon $(k,n-k)$ p\'arokra \"osszegezni, amelyekre
$P(\xi=k)P(\eta=n-k)\neq0$. Ez azt jelenti, hogy abban az esetben,
ha $\xi$ \'es $\eta$ nem negat\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ekeket vesznek
fel, akkor az \"osszegez\'esb\H{o}l kihagyhatjuk azokat a tagokat,
amelyekre $k<0$ vagy $n-k<0$, azaz $k>n$.

\medskip
A fenti eredm\'eny miatt \'erdemes bevezetni a k\"ovetkez\H{o}
definici\'ot.

\medskip\noindent
{\bf Diszkr\'et, eg\'esz \'ert\'ek\H{u}  eloszl\'as\'asok
konvoluci\'oj\'anak a definici\'oja.} {\it Legyen
$$
\Cal P=\{p_k\colon\; k=0,\pm1,\pm2,\dots\}\quad\text{\'es}\quad
\Cal Q=\{q_k\colon\; k=0,\pm1,\pm2,\dots\}
$$
k\'et az eg\'esz sz\'amokon \'ertelmezett diszkr\'et elosz\'as, azaz
tegy\"uk fel, hogy $p_k\ge0$, $q_k\ge0$, $k=0,\pm1,\pm2,\dots$,
$\summ_{k=-\infty}^\infty p_k=1$ \'es $\summ_{k=-\infty}^\infty q_k=1$.
Ekkor a $\Cal P$ \'es $\Cal Q$ eloszl\'asok konvoluci\'oja, az a
$\Cal R=\Cal P*\Cal Q=\{r_n\colon\; n=0,\pm1,\pm2,\dots\}$ eloszl\'as,
amelyre
$$
r_n=\sum_{k=-\infty}^\infty p_k q_{n-k}, \quad n=0,\pm1,\pm2,\dots.
$$
Abban a speci\'alis esetben, ha $p_k=0$ \'es $q_k=0$ minden $k<0$
sz\'amra, az $r_n=0$ azonoss\'ag \'erv\'enyes minden $n<0$ indexre,
\'es
$$
r_n=\sum_{k=0}^n p_k q_{n-k}, \quad n=0,1,2,\dots.
$$
}
\medskip\noindent
{\it A gener\'ator f\"uggv\'enyek fogalma.}

\medskip\noindent
\'Erdemes a k\"ovetkez\H{o} \'eszrev\'etelt tenni. Legyen $f(x)$ \'es
$g(x)$ k\'et f\"uggv\'eny, amelyek hatv\'anysorba fejthet\H{o}ek, azaz,
$$
f(x)=\sum_{k=0}^\infty a_k x^k, \quad
g(x)=\sum_{k=0}^\infty b_k x^k,
$$
ha $-A<x<A$ valamilyen $A>0$ sz\'ammal. Ekkor az $f(x)g(x)$ szorzat
is sorba fejthet\H{o}, azaz
$$
f(x)g(x)=\sum_{n=0}^\infty c_n x^n
$$
(ugyanabban a $-A<x<A$ intervallumban), \'es
$$
c_n=\summ_{k=0}^n a_kb_{n-k}.
$$
Vegy\"uk \'eszre, hogy a fenti hatv\'anysorokban szerepl\H{o} $a_k$,
$b_k$ \'es $c_n$ egy\"utthat\'ok k\"oz\"ott hasonl\'o rel\'aci\'o
\'erv\'enyes mint a nem negat\'{\i}v eg\'esz \'ert\'eket felvev\H{o}
eloszl\'asok kon\-vo\-lu\-ci\'o\-j\'a\-nak a definici\'oj\'aban.
Ezenk\'{\i}v\"ul \'erdemes ismerni az anal\'{\i}zis al\'abbi
eredm\'enyeit.

\medskip
\item{a.)} Ha az $f(x)$ f\"uggv\'eny hatv\'anysorba fejthet\H{o},
azaz $f(x)=\summ_{k=0}^\infty a_k x^k$ valamilyen $-A<x<A$
intervallumon, $A>0$, akkor az $f(x)$ f\"uggv\'eny \'ert\'ekei a
$-A<x<A$ intervallumon meghat\'arozz\'ak az $a_n$ egy\"utthat\'okat.
(S\H{o}t, azok explicit m\'odon kisz\'am\'{\i}that\'oak az $n! a_n
=\left.\frac{d^nf(x)}{dx^n}\right|_{x=0}$ k\'eplet
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.)
\item{b.)} Legyen $f_n(x)$, $n=1,2,\dots$, olyan f\"uggv\'enyek
sorozata, amelyek mindegyike el\H{o}\-\'al\-l\'{\i}t\-ha\-t\'o
$f_n(x)=\summ_{k=0}^\infty a_{k,n}x^k$ hatv\'anysor alakban valamilyen
$-A<x<A$, $A>0$, intervallumon, ahol az $A>0$ sz\'am nem f\"ugg az $n$
indext\H{o}l, tov\'abb\'a l\'etezzen az $f(x)=\limm_{n\to \infty}f_n(x)$
hat\'ar\'ert\'ek minden $-A<x<A$ sz\'amra, s\H{o}t ez a konvergencia
teljes\"ulj\"on minden $|x|<A$ sz\'amra a komplex sz\'ams\'{\i}kon,
\'es az legyen egyenletes ezen a halmazon. Ekkor az $f(x)$ 
hat\'arf\"uggv\'eny is hatv\'anysorba fejthet\H{o}
$f(x)=\summ_{k=0}^\infty a_kx^k$ alakban a $-A<x<A$ intervallumon
alkalmas $a_k$ egy\"utthat\'okkal, \'es 
$a_k=\limm_{n\to\infty}a_{k,n}$ minden $k=0,1,2,\dots$ egy\"utthat\'ora. 
\item{} Ez az eredm\'eny k\"ovetkezik Weierstrass egy fontos komplex 
f\"uggv\'enytani t\'etel\'eb\H{o}l. E szerint a t\'etel szerint 
(ld. p\'eld\'aul Sz\H{o}kefalvi Nagy B\'ela komplex f\"ugv\'enytan 
jegy\-ze\-t\'e\-ben a III. r\'esz 8.~paragrafus\'at), ha 
$f_1(z),f_2(z),\dots$ holomorf f\"uggv\'enyek egy sorozata egy $T$ 
tartom\'anyban, \'es e f\"uggv\'enyek egyenletesen konverg\'alnak a 
$T$ tartom\'any minden kompakt r\'eszhalmaz\'aban egy $f(z)$ 
f\"uggv\'enyhez, akkor ez az $f(z)$ f\"uggv\'eny is holomorf a $T$ 
tartom\'anyban, \'es minden $k=1,2,\dots$ sz\'amra az 
$f_n^{(k)}(z)$ f\"uggv\'enysorozat egyenletesen konverg\'al az 
$f^{(k)}(z)$ f\"uggv\'enyhez a $T$ halmaz minden kompakt 
r\'eszhalmaz\'aban. (Ebben az \'all\'{\i}t\'asban a $k$ fels\H{o} 
index $k$-ik deriv\'altat jel\"ol.)

\item{c.)} Felmer\"ulhet a k\'erd\'es: Ha azt akarjuk biztos\'{\i}tani, 
hogy valamely hatv\'anysorok seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'alt 
$f_n(x)=\summ_{k=0}^\infty a_{k,n}x^k$, $n=1,2,\dots$, 
f\"uggv\'enyek Taylor sorainak egy\"utthat\'oi \'ugy viselkedjenek, 
mint ahogy azt a b) r\'eszben el\H{o}\'{\i}rtuk, azaz legyen egy 
olyan $f(x)$ f\"uggv\'eny, amely
$f(x)=\summ_{k=0}^\infty a_kx^k$ alak\'u, \'es teljes\"ulj\"on az
$a_k=\limm_{n\to\infty}a_{k,n}$ rel\'aci\'o minden $k=0,1,2,\dots$
indexre, akkor ehhez nem el\'eg-e csak annyit megk\"ovetelni, hogy az 
$f_n(x)$ f\"uggv\'enyek konverg\'aljanak az $f(x)$ f\"uggv\'enyhez
valamely $-A\le x\le A$ intervallumban. (Egy ilyen felt\'etelt
 k\"onnyebb ellen\H{o}rizni, mint a $\limm_{n\to\infty}f_n(z)=f(z)$ 
rel\'aci\'ot, \'es a konvergencia
egyen\-le\-tes\-s\'e\-g\'et a komplex sz\'ams\'{\i}k egy orig\'o 
k\"oz\'eppont\'u k\"or\'eben.) Az \'altal\'anos esetben ez a 
gyeng\'{\i}tett felt\'etel t\'ul kev\'es, de
egy a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi al\-kal\-ma\-z\'a\-sok\-ban nagyon
fontos speci\'alis esetben m\'ar ez is elegend\H{o} a sz\'amunkra. 
\item{} Ha az $f_n(x)=\summ_{k=0}^\infty a_{k,n}x^k$ hatv\'anysorok 
egy\"utthat\'oi teljes\'{\i}tik az $a_{k,n}\ge0$ felt\'etelt minden 
$k=0,1,2,\dots$, $n=1,2,\dots$, indexp\'arra, akkor annak 
\'erdek\'eben, hogy az $f_n(x)$ f\"uggv\'enyek Taylor sor
egy\"utthat\'oi teljes\'{\i}ts\'ek a b) r\'eszben megfogalmazott 
konvergencia rel\'aci\'okat el\'eg azt megk\"ovetelni, hogy az 
$f_n(x)$ f\"uggv\'enyek konverg\'aljanak egy $f(x)$ 
f\"uggv\'enyhez valamely $-A\le x\le A$ intervallumon. Ekkor ugyanis 
az $f_n(z)$ f\"uggv\'enyek egyenletesen korl\'atosak a komplex 
sz\'ams\'{\i}k  $\{z\colon\;|z|\le A\}$ k\"or\'eben. Innen viszont
a komplex f\"uggv\'enytan egy m\'asik fontos eredm\'eny\'eb\H{o}l,
a Vitali t\'etelb\H{o}l 
(ld. p\'eld\'aul Sz\H{o}kefalvi Nagy B\'ela komplex f\"ugv\'enytan 
jegy\-ze\-t\'e\-ben a VII. r\'esz 4.~paragrafus\'at) 
k\"ovetkezik, hogy az (analitikus) $f_n(z)$ f\"uggv\'enyek 
egyenletesen konverg\'alnak a komplex sz\'ams\'{\i}k 
$\{z\colon\;|z|\le\frac A2\}$ orig\'o sugar\'u k\"or\'eben is egy
f\"uggv\'enyhez, amely nem m\'as, mint az $f(x)$ f\"uggv\'eny 
(l\'etez\H{o}) analitikus kiterjeszt\'ese. Ez azt jelenti, hogy
ebben az esetben az $f_n(x)$ f\"uggv\'enyek teljes\'{\i}tik
a b) pontban megfogalmazott felt\'eteleket, \'es
alkalmazhatjuk r\'ajuk az ott megfogalmazott \'all\'{\i}t\'ast.

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.} 
Konverg\'aljanak valamely $f_n(x)=\summ_{k=0}^\infty a_{k,n}x^k$, 
$n=1,2,\dots$, Taylor sorral megadott f\"uggv\'enyek (ak\'ar 
egyenletesen) egy $f(x)$ f\"uggv\'enyhez valamely $-A\le x\le A$ 
intervallumban. Ha nem tessz\"uk fel, hogy az $a_{k,n}$ Taylor
egy\"utthat\'ok nem negat\'{\i}vak, akkor ebb\H{o}l nem k\"ovetkezik,
hogy az $f(x)$ f\"uggv\'eny Taylor sorba fejthet\H{o}, \'es az
$a_{k,n}$ egy\"utthat\'ok az $f(x)$ f\"uggv\'eny Taylor sor\'anak
megfelel\H{o} egy\"utthat\'oj\'ahoz konverg\'alnak, ha $n\to\infty$.
Val\'oban, Weierstrass els\H{o} approxim\'aci\'os t\'etele szerint
minden a $-A\le x\le A$ intervallumban folytonos (ak\'ar nem 
differenci\'alhat\'o) f\"uggv\'enyhez tal\'alhat\'o polinomok olyan
sorozata, amelyek egyenletesen konverg\'alnak ehhez a 
f\"uggv\'enyhez a $-A\le x\le A$ intervallumban, \'es ezen 
\'eszrev\'etel alapj\'an nem neh\'ez ellenp\'eld\'at tal\'alni.

\medskip
K\'es\H{o}bb l\'atni fogjuk, hogy a hatv\'anysorok fent
eml\'{\i}tett tulajdons\'agai j\'ol hasz\-n\'al\-ha\-t\'o\-ak
bizonyos val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vizsg\'alatokban. Ugyanis egy
nem-negat\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ek\'ekeket felvev\H{o} $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $p_k=P(\xi=k)$,
$k=0,1,2,\dots$, eloszl\'as\'ahoz hoz\-z\'a\-ren\-del\-het\-j\"uk
az $f(x)=\summ_{k=0}^\infty p_k x_k$ f\"uggv\'enyt, amelyet ezen
eloszl\'as gener\'atorf\"uggv\'eny\'enek neveznek.
Megfogalmazom e fogalom definici\'oj\'at pontosabban is.

\medskip\noindent
{\bf Diszkr\'et, nem negat\'{\i}v, eg\'esz \'ert\'ek\H{u} eloszl\'as
gener\'atorf\"uggv\'eny\'enek a de\-fi\-ni\-ci\'o\-ja:}\/ {\it Legyen
adva egy $\Cal P=\{p_0,p_1,p_2,\dots\}$ eloszl\'as a nem-negat\'{\i}v
eg\'esz sz\'amokon, azaz olyan sz\'am\-so\-ro\-zat, amelynek tagjaira
$p_k\ge0$ minden $0\le k\le \infty$ sz\'amra, \'es $\summ_{k=1}^\infty
p_k=1$. (Az elnevez\'es oka az, hogy l\'etezik olyan $\xi$
nem-negat\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, amelyre $P(\xi=k)=p_k$ minden $k=0,1,2,\dots$ sz\'amra.)
Ennek az eloszl\'asnak a gener\'atorf\"uggv\'enye az
$$
F(x)=\sum_{k=0}^\infty p_kx^k
$$
f\"uggv\'eny.}

\medskip
A fent mondottak alapj\'an nemcsak az igaz, hogy egy $\Cal P$
eloszl\'as meghat\'arozza $F(x)$ gener\'atorf\"uggv\'eny\'et,
hanem megford\'{\i}tva az $F(x)$ gener\'atorf\"uggv\'eny
seg\'{\i}ts\'eg\'evel ki lehet sz\'amolni azt az eloszl\'ast,
amelynek ez a gener\'atorf\"uggv\'enye, mivel
$$
k!p_k=\left.\frac{dF^k(x)}{dx^k}\right|_{x=0}, \qquad k=0,1,2,\dots.
$$
Egy eloszl\'as gener\'atorf\"uggv\'enye mindig konvergens a
$-1\le x\le 1$ intervallumban. Ha egy $\Cal P$ eloszl\'as
gener\'atorf\"uggv\'enye $F(x)$ egy $\Cal Q$ eloszl\'as
gener\'atorf\"uggv\'enye $G(x)$, akkor $\Cal P*\Cal Q$
konvoluci\'ojuk gener\'atorf\"uggv\'enye az $F(x)G(x)$ 
f\"uggv\'eny. Tov\'abb\'a, eloszl\'asok gener\'atorf\"uggv\'enyeinek 
konvergenci\'aj\'ab\'ol maguknak az eloszl\'asoknak a 
kon\-ver\-gen\-ci\'a\-j\'a\-ra is k\"ovetkeztetni tudunk. 
R\'eszletesebben kifejtve a k\"ovetkez\H{o}r\H{o}l van sz\'o.

Legyen adva minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra egy $p_{n,k}$, 
$k=0,1,2,\dots$, eloszl\'as a nem negat\'{\i}v eg\'esz sz\'amokon, 
azaz teljes\"uljenek a $p_{n,k}\ge0$ \'es $\summ_{k=0}^\infty p_{n,k}=1$
tulajdons\'agok. Feleltess\"uk meg ezeknek az eloszl\'asoknak az
$F_n(x)=\summ_{k=0}^\infty p_{n,k}x^k$ gener\'atorf\"uggv\'enyeket
(hatv\'anysorokat). Ha az $F_n(x)$ gener\'atorf\"uggv\'enyek 
pontonk\'ent konverg\'alnak egy $F(x)$ f\"uggv\'enyhez vala\-mely
$-A\le x\le A$, $0<A\le 1$ intervallumban, akkor ez az $F(x)$ 
f\"uggv\'eny fel\'{\i}rhat\'o $F(x)=\summ_{k=0}^\infty p_kx^k$, 
$-1<x<1$, hatv\'anysor alakban, \'es 
$\limm_{n\to\infty}p_{n,k}=p_k$ minden $k=0,1,2,\dots$ sz\'amra.

A fenti eredm\'eny hasznos m\'odszert biztos\'{\i}t annak 
ellen\H{o}rz\'es\'ere, hogy bizonyos eloszl\'asok konverg\'alnak-e. 
Megjegyzem, hogy a megfogalmazott eredm\'enyben nem 
\'all\'{\i}\-tot\-tam, hogy a $p_k$ hat\'ar\'ert\'ekek 
teljes\'{\i}tik a $\summ_{k=0}^\infty p_k=1$ azonoss\'agot, azaz 
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi eloszl\'ast hat\'aroznak meg. A 
legt\"obb konkr\'et feladatban ez a tulajdons\'ag teljes\"ul, de
azt k\"ul\"on ellen\H{o}rizni kell. 

\medskip
A fenti eredm\'enyek lehet\H{o}v\'e teszik, hogy bizonyos
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vizsg\'alatokat vi\-szony\-lag 
egyszer\H{u}en v\'egrehajthassunk gener\'atorf\"uggv\'enyek 
se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel.

\beginsection Tov\'abbi feladatok a v\'arhat\'o \'ert\'ek \'es
sz\'or\'asn\'egyzet kisz\'amol\'as\'ar\'ol

\item{1.)} Egy urn\'aban 10 piros \'es 20 feh\'er goly\'o van.
Kih\'uzunk visszatev\'es n\'elk\"ul 10 goly\'ot. A p\'aros sorsz\'am\'u
h\'uz\'asok eset\'en feh\'er goly\'o h\'uz\'as eset\'en nyer\"unk 3
forintot, piros goly\'o h\'uz\'as eset\'en pedig nem nyer\"unk
\'es nem vesz\'{\i}t\"unk semmit. A p\'aratlan sorsz\'am\'u
h\'uz\'asok eset\'en piros h\'uz\'as eset\'en 2 forintot nyer\"unk,
feh\'er goly\'o h\'uz\'as eset\'en nem nyer\"unk \'es nem
vesz\'{\i}t\"unk semmit. Sz\'amoljuk ki a nyerem\'eny\"unk
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$,
$1\le j\le10$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: P\'aros $j$
sz\'amokra $\xi_j=3$, ha a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye piros,
$\xi_j=0$, ha a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye feh\'er
goly\'o. P\'aratlan $j$ sz\'amokra $\xi_j=2$, ha a $j$-ik h\'uz\'as
eredm\'enye piros, $\xi_j=0$, ha a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye
feh\'er goly\'o. Ekkor az $S=\summ_{j=1}^{10}\xi_j$ \"osszeg
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et kell
kisz\'amolnunk. Ennek \'erdek\'eben sz\'amoljuk ki az $E\xi_j$
v\'arhat\'o \'ert\'ekeket, $\Var\xi_j$ sz\'or\'asn\'egyzeteket \'es
$\Cov(\xi_j,\xi_k)$ kovarianci\'akat. Annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye piros
$\frac13$, annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy $j$-ik h\'uz\'as
eredm\'enye feh\'er $\frac23$. Ez\'ert $E\xi_j=2$, ha $j$ p\'aros,
$E\xi_j=\frac23$, ha $j$ p\'aratlan, \'es
$ES=5\(2+\frac23\)=13\frac13$.
\item{} A sz\'or\'asn\'egyzet kisz\'am\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben
vegy\"uk \'eszre, hogy $E\xi_j^2=6$, $\Var\xi_j=2$, ha $j$ p\'aros,
\'es $E\xi_j^2=\frac43$, $\Var\xi_j=\frac{8}9$. Tov\'abb\'a annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy k\'et $j$ \'es $k$ indexre $j\neq k$,
a $j$-ik \'es $k$-ik h\'uz\'as mindegyike feh\'er $\frac{2\cdot
19}{3\cdot 29}=\frac{38}{87}$, annak, hogy mindk\'et h\'uz\'as piros
$\frac{9}{3\cdot 29}=\frac3{29}$, annak, hogy az egyik h\'uz\'as
feh\'er, a m\'asik h\'uz\'as piros $\frac{2\cdot10}{3\cdot 29}=\frac{20}{57}$.
Ez\'ert $E\xi_j\xi_k=9\cdot\frac{2\cdot 19}{3\cdot 29}=\frac{114}{29}$,
$\Cov(\xi_j,\xi_k)=\frac{114}{29}-4=-\frac2{29}$, ha $j$ \'es $k$
p\'aros, $E\xi_j\xi_k=4\cdot\frac{3}{29}=\frac{12}{29}$,
$\Cov(\xi_j,\xi_k)=\frac{12}{29}-\frac{4}9=-\frac{8}{263}$, ha $j$
\'es $k$ p\'aratlan, $E\xi_j\xi_k=6\cdot\frac{20}{57}=\frac{40}{29}$,
$\Cov(\xi_j,\xi_k)=\frac{40}{29}-\frac{4}3=\frac{4}{87}$, ha $j$ \'es
$k$ k\"oz\"ul az egyik p\'aros, a m\'asik p\'aratlan. Olyan $(j,k)$
p\'ar, $1\le j,k\le 10$, $j\neq k$, melyre $j$ \'es $k$ mindegyike
p\'aros vagy mindegyike p\'aratlan, \"osszesen 20 van, \'es olyan
$(j,k)$ p\'ar, amelyekre az egyik p\'aros, a m\'asik p\'aratlan $2\cdot
5\cdot 5=50$  van, ez\'ert
$$
\summ_{1\le j,k\le 10,\,j\neq k}\Cov(\xi_j,\xi_k)=20\(-\frac2{29}
-\frac{8}{263}\)+50\cdot\frac{4}{87}=\frac{80}{263}.
$$
Innen
$$
\align
\Var S&=\sum_{j=1}^{10}\Var\xi_j+
\summ_{1\le j,k\le 10,\,j\neq k}\Cov(\xi_j,\xi_k)\\
&=5\(2+\frac89\)+
\frac{80}{263}=\frac{130}9+\frac{80}{263}=\frac{3850}{263}.
\endalign
$$
\item{2.)} Egy est\'elyen megjelenik $n$ h\'azasp\'ar. Egy 
t\'ancmester, aki nem tudja, hogy kik h\'azast\'arsak \'es kik nem, 
v\'eletlen m\'odon p\'arba rendezi a f\'erfiakat \'es n\H{o}ket a 
t\'anc el\H{o}tt. Sz\'amoljuk ki az egym\'assal t\'ancol\'o 
h\'azasp\'arok sz\'am\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es 
sz\'or\'asn\'egyzet\'et. Mi ezek hat\'ar\'ert\'eke, ha $n\to\infty$?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$,
$1\le j\le n$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=1$,
ha a $j$-ik h\'azasp\'ar egy\"utt t\'ancol, \'es $\xi_j=0$, ha nem
t\'ancolnak egy\"utt. Ekkor minket az $S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es
sz\'or\'asn\'egyzete \'erdekel. Ennek kisz\'am\'{\i}t\'asa
\'erdek\'eben vegy\"uk \'eszre, hogy
$P(\xi_j=1)=1-P(\xi_j=0)=\frac1n$ minden $1\le j\le n$ indexre, \'es
$P(\xi_j=1,\xi_k=1)=\frac1{n(n-1)}$ minden $1\le j,k\le n$,
$j\neq k$ indexre. Innen $E\xi_j=E\xi_j^2=\frac1n$, $1\le j\le n$,
$E\xi_j\xi_k=\frac1{n(n-1)}$, ha $j\neq k$,
$\Var\xi_j=\frac1n-\frac1{n^2}$, \'es
$\Cov(\xi_j,\xi_k)=E\xi_j\xi_k-E\xi_jE\xi_k
=\frac1{n(n-1)}-\frac1{n^2}=\frac1{n^2(n-1)}$, ha $j\neq k$. Ez\'ert
$ES_n=\summ_{j=1}^nE\xi_j=1$, $\Var S_n=\summ_{j=1}^n\Var\xi_j
+2\summ_{1\le j<k\le n}\Cov(\xi_j,\xi_k)
=n\(\frac1n-\frac1{n^2}\)+n(n-1)\frac1{n^2(n-1)}=1$. 
\item{3.)} Feldobunk egy dob\'okock\'at, majd ezut\'an egy
szab\'alyos p\'enzdarabot annyi alkalommal, amennyi a kockadob\'as
eredm\'enye volt. (Az egyes dob\'asok eredm\'enyei f\"uggetlenek
egym\'ast\'ol.) Sz\'amoljuk ki a fejdob\'asok sz\'am\'anak v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o}
$\xi_{j,k}$, $1\le j\le 6$, $1\le k\le j$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat:
$$
\xi_{j,k}(\oo)=\left\{
\aligned
1&\quad \text{ha a kockadob\'as eredm\'enye $j$ \'es a $k$-ik
p\'enzdob\'as\'e fej} \\
0&\quad \text{ha a kockadob\'as eredm\'enye $j$ \'es a $k$-ik
p\'enzdob\'as\'e \'{\i}r\'as} \\
0&\quad \text{ha a kockadob\'as eredm\'enye nem } j
\endaligned\right.
$$
Ekkor minket az $S=\summ_{j=1}^6\summ_{k=1}^j \xi_{j,k}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es
sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-te \'erdekel. Vegy\"uk \'eszre, hogy
$$
E\xi_{j,k}=P(\text{a kockadob\'as eredm\'enye $j$, a $k$-ik
p\'enzdob\'as\'e fej})=\frac1{12},
$$
$E\xi_{j,k}^2=\frac1{12}$, $\Var\xi_{j,k}^2=\frac{11}{144}$,
$E\xi_{j,k}\xi_{j,k'}=\frac1{24}$, ha
$k\neq k'$, ahonnan $\Cov(\xi_{j,k},\xi_{j,k'})=\frac5{144}$ ebben
az esetben. Tov\'abb\'a $E\xi_{j,k}\xi_{j',k'}=0$,
$\Cov(\xi_{j,k},\xi_{j',k'})=-\frac1{144}$, ha $j\neq j'$
(f\"uggetlen\"ul a $k$ \'es $k'$ sz\'amok viszony\'at\'ol. Innen
$ES=\summ_{j=1}^6\summ_{k=1}^j E\xi_{j,k}=\frac{1+\cdots
+6}{12}=\frac{21}{12}=\frac74$, \'es
$$
\Var S=\summ_{j=1}^6\summ_{k=1}^j
\Var\xi_{j,k}+\summ_{(j,k),(j',k')\colon\;
j\neq j'\text{ vagy }k\neq k'}\Cov (\xi_{j,k},\xi_{j',k'}).
$$
Ez\'ert $\Var S=\frac{11}{144}(1+\cdots+6)-\frac{1\cdot(21-1)+2\cdot(21-2)
+\cdots6\cdot(21-6)}{144}+\frac5{144}(2\cdot1+3\cdot2+\cdots 6\cdot
5)$. Ezt a k\'epletet \'ugy kapjuk, hogy k\"ul\"on sz\'amoljuk azon
$\Cov (\xi_{j,k},\xi_{j',k'})$ mennyis\'egek hozad\'ek\'at amelyekre
$j\neq j'$ \'es azut\'an azok\'et, amelyekre $j=j'$, de $k\neq k'$.
Innen $\Var S=\frac{231-350+350}{144}=\frac{77}{48}$.

\item{4.)} Csodaorsz\'ag munka t\"orv\'enyk\"onyve szerint egy c\'eg
minden munk\'asa fizetett sza\-bad\-s\'a\-got kap azokon a napokon,
amikor legal\'abb az egyik\"uknek sz\"ulet\'esnapja van. Ezen napok
kiv\'etel\'evel azonban az \'ev minden napj\'an mindenkinek
dolgoznia kell. Minden munk\'as 1 TV-k\'esz\"ul\'eket k\'esz\'{\i}t
egy nap alatt. Mi a v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es sz\'or\'asn\'egyzete
az egy \'evben gy\'artott TV k\'esz\"ul\'ekeknek, ha $n$ munk\'as
dolgozik a c\'egben? H\'any alkalmazottat vegyen fel a c\'egtulajdonos,
ha azt akarja, hogy a gy\'artott TV-k\'esz\"ul\'ekek sz\'am\'anak a
v\'arhat\'o \'ert\'eke a lehet\H{o} legnagyobb legyen?
\item{} {\it Megold\'as.} Jel\"olje $\xi_j$, $1\le j\le 365$, a $j$-ik
nap gy\'artott TV-k\'esz\"ul\'ekek sz\'am\'at. Ekkor $\xi_j=n$, ha
az $n$ munk\'as egyik\'enek sincs sz\"ulet\'esnapja a $j$-ik napon,
\'es $\xi_j=0$ egy\'ebk\'ent. Ez\'ert $P(\xi_j=n)=\(\frac{364}{365}\)^n$
\'es $P(\xi_j=0)=1-\(\frac{364}{365}\)^n$. A gy\'artott
TV-k\'esz\"ul\'ekek sz\'ama $Y=Y(n)=\summ_{j=1}^{365}\xi_j$, ahonnan
$EY=EY(n)=\summ_{j=1}^{365}E\xi_j=365n\(\frac{364}{365}\)^n$.
\item{} A sz\'or\'asn\'egyzet kisz\'amol\'asa \'erdek\'eben sz\'amoljuk
ki el\H{o}sz\"or a $\Cov(\xi_i,\xi_j)=E\xi_i\xi_j-E\xi_iE\xi_j$
kovarianci\'akat $1\le i,j\le365$, $i\neq j$ eset\'en.
$E\xi_i\xi_j=n^2P(\xi_i=n,\xi_j=n)=n^2\(\frac{363}{365}\)^n$, mert
$\(\frac{363}{365}\)^n$ a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy
egyik munk\'asnak sincs sz\"ulet\'esnapja sem az $i$-ik sem a $j$-ik
napon. Innen
$$
\Cov(\xi_i,\xi_j)=n^2\(\(\frac{363}{365}\)^n-\(\frac{364}{365}\)^{2n}\),
$$
\'es mivel $\Var Y=\summ_{j=1}^{365}(E\xi_j^2-(E\xi_j)^2)+
2\summ_{1\le i<j\le365}\Cov(\xi_i,\xi_j)$

$$
\Var Y=365n^2\(\(\frac{364}{365}\)^n-\(\frac{364}{365}\)^{2n}\)+365\cdot364
n^2\(\(\frac{363}{365}\)^n-\(\frac{364}{365}\)^{2n}\).
$$
\item{} Sz\'amoljuk ki az $EY(n)$ maximum\'at az $n$ v\'altoz\'o
szerint. Annak \'erdek\'eben, hogy meghat\'arozzuk mely $n$
sz\'amra v\'etetik fel ez a maximum, sz\'amoljuk ki az
$\frac{EY(n+1)}{EY(n)}$ h\'anyadost minden pozit\'{\i}v
eg\'esz~$n$-re, \'es hat\'arozzuk meg, hogy az
mely $n$-ekre kisebb, \'es mely $n$-ekre nagyobb, mint 1.
$\frac{EY(n+1)}{EY(n)}=\frac{n+1}n\frac{364}{365}$,
ahonnan $\frac{EY(n+1)}{EY(n)}>1$, ha $n\le363$,
$\frac{EY(n+1)}{EY(n)}=1$, ha $n=364$,
\'es $\frac{EY(n+1)}{EY(n)}<1$, ha $n\le365$. Ez\'ert 364 vagy 365
munk\'ast \'erdemes felvenni, \'es ekkor az \'evente gy\'artott TV
k\'esz\"ul\'ekek sz\'ama
$\frac{364^{365}}{365^{363}}=364^2\(1-\frac1{365}\)^{363}\sim\frac{364^2}e$.

\item{5.)} Egy k\'artyacsomag 75 k\'artyalapot tartalmaz, amelyek
mindegyike az 1 \'es 75 k\"oz\"otti sz\'amok valamelyik\'evel meg
van sz\'amozva. Kih\'uzunk 40 k\'arty\'at visszatev\'essel, \'es
jel\"olje $X$ az ily m\'odon kapott k\"ul\"onb\"oz\H{o} k\'arty\'ak
sz\'am\'at. Sz\'amoljuk ki az $EX$ v\'arhat\'o \'ert\'eket.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Sz\'amozzuk meg a k\'arty\'akat
1-t\H{o}l 75-ig, \'es vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$,
$1\le j\le75$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. $\xi_j=1$,
ha a $j$-ik k\'arty\'at kiv\'alasztjuk, $\xi_j=0$, ha a $j$-ik
k\'arty\'at nem v\'alasztjuk ki a 40 h\'uz\'as sor\'an. Ekkor
$X=\summ_{j=1}^{75}\xi_j$. Ez\'ert $EX=\summ_{j=1}^{75}E\xi_j=
\summ_{j=1}^{75}P(\xi_j=1)$. Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy a $j$-ik k\'arty\'at nem h\'uzzuk ki 40 h\'uz\'as sor\'an
$(\frac{74}{75})^{40}$. Innen $P(\xi_j=1)=1-(\frac{74}{75})^{40}$,
$EX=75\(1-(\frac{74}{75})^{40}\)$.
\item{6.)} Sz\'amoljuk ki az el\H{o}z\H{o} feladatban defini\'alt
$X$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\Var X$
sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-tet.
\item{} Jel\"olje $Y$ a ki nem h\'uzott k\'arty\'ak sz\'am\'at, \'es
vezess\"uk be az $\eta_j=1-\xi_j$, $1\le j\le75$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, amelyekre $y_j=1$,
ha a $j$-ik k\'arty\'at nem v\'alasztjuk ki, \'es $\eta_j=0$, ha a
$j$-ik k\'arty\'at kiv\'alasztjuk a 40 h\'uz\'as sor\'an. Ekkor
$Y=\summ_{j=1}^{75}\eta_j$, \'es $Y=75-X$, ahonnan $\Var Y=\Var X$
az el\H{o}z\H{o} feladatban defini\'alt $X$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oval.
\item{}
$\Var X=\Var Y=\summ_{j=1}^{75}\Var\eta_j+2\summ_{1\le i<j\le 75}
\Cov(\eta_i,\eta_j)$. M\'asr\'eszt $\Var\eta_j=P(\eta_j=1)-P(\eta_j=1)^2$,
\'es $\Cov(\eta_i,\eta_j)=P(\eta_i=1,\eta_j=1)-P(\eta_i=1)P(\eta_j=1)$, ha
$i\neq j$. Tov\'abb\'a
$P(\eta_i=1,\eta_j=1)=\(\frac{73}{75}\)^{40}$,
$P(\eta_i=1)=P(\eta_j=1)=\(\frac{74}{75}\)^{40}$. Innen
$\Cov(\eta_i,\eta_j)=\(\frac{73}{75}\)^{40}-\(\frac{74}{75}\)^{80}$,
\'es  $\Var\eta_j=\(\frac{74}{75}\)^{40}-\(\frac{74}{75}\)^{80}$.
Ez\'ert
$$
\Var X=\Var Y= 75\(\frac{74}{75}\)^{40}\(1-\(\frac{74}{75}\)^{40}\)
+74\cdot75\(\(\frac{73}{75}\)^{40}-\(\frac{74}{75}\)^{80}\).
$$

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Az 5. feladatot a vizsg\'alt $X$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$X=\summ_{j=1}^{75}\xi_j$ alak\'u felbont\'as\'anak
seg\'{\i}ts\'eg\'evel oldottuk meg egyszer\H{u}bb
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszegek\'ent.
M\'as felbont\'assal is kis\'erletezhet\"unk volna. P\'eld\'aul
\'{\i}rhattuk volna, hogy
$X=\summ_{j=1}^{40}\zeta_j$, ahol $\zeta_j=1$, ha a $j$-ik
h\'uz\'askor \'uj k\'arty\'at h\'uzunk, \'es $\zeta_j=0$, ha nem.
Ekkor is fel\'{\i}rhatjuk az
$EX=\summ_{j=1}^{40}E\zeta_j$, azonoss\'agot. Ez a m\'odszer
m\'egsem olyan hasznos, mint a feladat megold\'as\'aban alkalmazott
elj\'ar\'as, mert az $E\zeta_j=P(\zeta_j=1)$ v\'arhat\'o
\'ert\'ekeket nem egyszer\H{u} kisz\'amolni. Ez azt mutatja, hogy
\'erdemes a minket \'erdekl\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o sz\'amunkra hasznos felbont\'as\'at keresni, \'es ez
nem mindig mag\'at\'ol \'ertet\H{o}d\H{o}.

\medskip
\item{7.)} Egy k\'artyacsomag 75 k\'artyalapot tartalmaz, amelyek
mindegyike az 1 \'es 75 k\"oz\"otti sz\'amok valamelyik\'evel meg
van sz\'amozva. Kih\'uzunk 40 k\'arty\'at \'ugy, hogy h\'uz\'as
ut\'an  visszatessz\"uk, \'es ezenk\'{\i}v\"ul a k\'artyacsomagba
tesz\"unk m\'eg egy \'uj, minden kor\'abbi k\'arty\'at\'ol
k\"ul\"onb\"oz\H{o} k\'artyalapot. Jel\"olje $X$ azt, hogy h\'any
k\"ul\"onb\"oz\H{o} k\'artyalapot h\'uztunk ki. Sz\'amoljuk ki az
$EX$ v\'arhat\'o \'ert\'eket.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Sz\'amozzuk meg a k\'artyacsomagban
kezdett\H{o}l fogva tartalmazott k\'ar\-tya\-la\-po\-kat
1-t\H{o}l 75-ig, \'es vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$,
$1\le j\le75$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. $\xi_j=1$,
ha a $j$-ik k\'arty\'at kih\'uztuk, $\xi_j=0$, ha a $j$-ik
k\'arty\'at nem h\'utuk ki a 40 h\'uz\'as sor\'an.
Ezenk\'{\i}v\"ul vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\eta_j$,
$1\le j\le40$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat is. $\eta_j=1$, ha a $j$-ik h\'uz\'as ut\'an a
k\'artyacsomagba tett lapot k\'es\H{o}bb kih\'uztuk, \'es
$\eta_j=0$, ha nem h\'uztuk ki.  Ekkor
$X=\summ_{j=1}^{75}\xi_j+\summ_{j=1}^{40}\eta_j$. Ez\'ert
$EX=\summ_{j=1}^{75}E\xi_j+\summ_{j=1}^{40}E\eta_j
=\summ_{j=1}^{75}P(\xi_j=1)+\summ_{j=1}^{40}P(\eta_j=1)$.
Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy a $j$-ik (a csomagban eredetileg bennelev\H{o}) k\'arty\'at
nem h\'uzzuk ki 40 h\'uz\'as sor\'an
$\prodd_{j=1}^{40}\frac{74+j-1}{75+j-1}$. Innen
$P(\xi_j=1)=1-\prodd_{j=1}^{40}\frac{74+j-1}{75+j-1}$,
$1\le j\le75$. Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $j$-ik
h\'uz\'as ut\'an a k\'artyacsomagba tett k\'arty\'at nem h\'uzzuk
ki, $\prodd_{l=j+1}^{40}\frac{74+l-1}{75+l-1}$. Ez\'ert
$E\eta_j=1-\prodd_{l=j+1}^{40}\frac{74+l-1}{75+l-1}$, ha $1\le j\le39$,
\'es $E\eta_{40}=0$. Innen kapjuk, hogy
$$
EX=75\(1-\prodd_{j=1}^{40}\frac{74+j-1}{75+j-1}\)+
\summ_{l=1}^{39}\[1-\prodd_{l=j+1}^{40}\frac{74+l-1}{75+l-1}\].
$$

\item{8.)} Egy k\'artyacsomag 75 k\'artyalapot tartalmaz, amelyek
mindegyike az 1 \'es 75 k\"oz\"otti sz\'amok valamelyik\'evel meg
van sz\'amozva. Kih\'uzunk 40 k\'arty\'at \'ugy, hogy a p\'aratlan
index\H{u} h\'uz\'asok ut\'an a k\'arty\'at visszatessz\"uk,
a p\'aros index\H{u} h\'uz\'asok ut\'an pedig nem tessz\"uk vissza
a csomagba. Jel\"olje $X$ azt, hogy h\'any k\"ul\"onb\"oz\H{o}
k\'artyalapot h\'uztunk ki. Sz\'amoljuk ki az $EX$ v\'arhat\'o
\'ert\'eket.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Sz\'amozzuk meg a k\'artyacsomag
lap\-jait 1-t\H{o}l 75-ig, \'es vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o}
$\xi_j$, $1\le j\le75$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat.
$\xi_j=1$, ha a $j$-ik k\'arty\'at kih\'uztuk, $\xi_j=0$, ha a
$j$-ik k\'arty\'at nem h\'uztuk ki a 40 h\'uz\'as sor\'an.
Ekkor $X=\summ_{j=1}^{75}\xi_j$,  ez\'ert
$EX=\summ_{j=1}^{75}E\xi_j=\summ_{j=1}^{75}P(\xi_j=1)$.
Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $j$-ik  k\'arty\'at
nem h\'uzzuk ki 40 h\'uz\'as sor\'an
$\prodd_{j=1}^{20}\(\frac{74-j+1}{75-j+1}\)^2$. Ezt a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget a k\"ovetkez\H{o} \'eszrev\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel sz\'amoltuk ki. Jel\"olje $p_l=p_{l,j}$ annak
a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy a $j$-ik lapot nem
h\'uztuk ki az $l$-ik h\'uz\'asban, felt\'eve, hogy az els\H{o} $l-1$
h\'uz\'asban sem h\'uztuk ki azt. (Legyen $p_1$ annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $j$-ik lapot az els\H{o} 
h\'uz\'asban nem h\'uztuk ki.) Akkor annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, 
hogy a $j$-ik lapot 40 h\'uz\'asban nem h\'uztuk ki 
$\prodd_{l=1}^{40}p_l=\prodd_{j=1}^{20}\(\frac{74-j+1}{75-j+1}\)^2$. 
Innen $P(\xi_j=1)=1-\prodd_{j=1}^{20}\(\frac{74-j+1}{75-j+1}\)^2$, 
\'es $EX=75\(1-\prodd_{j=1}^{20}\(\frac{74-j+1}{75-j+1}\)^2\)$.

\item{9.)} Legyen k\'et urna, mind a kett\H{o}ben 10 piros \'es 10
feh\'er goly\'o. Egym\'as ut\'an kih\'uzunk nyolc goly\'ot mind a
k\'et urn\'ab\'ol, az els\H{o}b\H{o}l visszatev\'es n\'elk\"ul, a
m\'asodikb\'ol visszatev\'essel.  Ha a $j$-ik h\'uz\'asn\'al
a k\'et urn\'ab\'ol kih\'uzott goly\'o egyforma sz\'{\i}n\H{u},
akkor k\'et forintot nyer\"unk, ha k\"ul\"onb\"oz\H{o} sz\'{\i}n\H{u}ek,
akkor egy forintot vesz\'{\i}t\"unk, $1\le j\le 8$. Sz\'am\'{\i}tsuk
ki nyerem\'eny\"unk v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es
sz\'or\'asn\'egyzet\'et.

\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$,
$1\le j\le8$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=2$,
ha a $j$-ik h\'uz\'asn\'al mind k\'et urn\'ab\'ol piros vagy mind a
k\'et urn\'ab\'ol feh\'er goly\'ot h\'uzunk, \'es $\xi_j=-1$, ha az
egyik urn\'ab\'ol feh\'er \'es a m\'asik urn\'ab\'ol piros goly\'ot
h\'uzunk. Akkor a minket \'erdekl\H{o} mennyis\'egek a
$S=\summ_{j=1}^8\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es sz\'or\'asn\'egyzete. Ennek
kisz\'am\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben sz\'am\'{\i}tsuk ki az $E\xi_j$,
$\Var\xi_j$ \'es $\Cov(\xi_j,\xi_k)$ mennyis\'egeket. Vegy\"uk \'eszre,
hogy $P(\xi_j=-1)=P(\xi_1=-1)=\frac12\cdot\frac12+\frac12\cdot\frac12
=\frac12$, mert kifejezve k\"ul\"on annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy (feh\'er, piros) vagy (piros,
feh\'er) h\'uz\'as t\"ort\'enik. Hasonl\'oan $P(\xi_j=2)=\frac12$.
Ez\'ert $E\xi_j=2\frac12-\frac12=\frac12$,
$E\xi_j^2=\frac12(4+1)=\frac52$, $\Var\xi_j=\frac94$.
\item{} Hasonl\'oan,
$P(\xi_j=2,\xi_k=2)=P(\xi_1=2,\xi_2=2)=2\cdot\frac14\cdot\frac12
\cdot\frac9{19}+2\cdot\frac14\cdot\frac12\cdot\frac{10}{19}=\frac14$,
$P(\xi_j=2,\xi_k=-1)=P(\xi_1=2,\xi_2=-1)=2\cdot\frac14\cdot\frac12
\(\frac{10}{19}+\frac{9}{19}\)=\frac14$,
$P(\xi_j=-1,\xi_k=-1)=P(\xi_1=-1,\xi_2=-1)=\frac14$ (itt felsoroltuk,
hogy p\'eld\'aul a $\xi_1=2,\xi_2=2$ azt jelenti, hogy az
((F,F),(F,F)), ((F,F),(P,P)), ((P,P),(F,F)) vagy ((P,P),(P,P))
h\'uz\'assorozatok valamelyike k\"ovetkezik be. Ez\'ert
$E\xi_j\xi_k=P(\xi_j=-1,\xi_k=-1)+4P(\xi_j=2,\xi_k=2)-2P(\xi_j=-1,\xi_k=2)
-2P(\xi_j=2,\xi_k=-1)= \frac14(1+4-4)=\frac14$,
\'es $\Cov(\xi_j,\xi_k)=E\xi_j\xi_k-E\xi_jE\xi_k=\frac14-\frac14=0$.
Innen k\"ovetkezik, hogy a $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok korrel\'alatlanok,
\'es $ES=8E\xi_1=2$, $\Var S=8\Var\xi_1=18$.



\bye




