\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\font\script =cmcsc10
\parskip=3pt plus 1pt
\TagsOnRight

\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}

\centerline{\bf A Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as I.
el\H{o}ad\'assorozat tizenegyedik t\'em\'aja.}

\beginsection A nagy sz\'amok t\"orv\'enye.

A nagy sz\'amok t\"orv\'eny\'et fogom t\'argyalni. Az irodalomban
besz\'elnek mind a nagy sz\'amok gyenge mind a nagy sz\'amok 
er\H{o}s t\"orv\'eny\'er\H{o}l. Mind a k\'et eredm\'eny azt a 
t\'enyt fejezi ki, hogy f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'atlaga nagyon 
\'altal\'anos felt\'etelek mellett egy (determinisztikus)
sz\'amhoz konverg\'al, ha az \'atlagban r\'esztvev\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sz\'ama v\'egtelenhez tart. 
Tov\'abb\'a ez a sz\'am a  va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi 
v\'altoz\'ok v\'arhat\'o \'ert\'ek\'evel egyenl\H{o}, ha az 
l\'etezik. Olyan eset is el\H{o}fordul, amikor ez a v\'arhat\'o 
\'ert\'ek nem l\'etezik, de a nagy sz\'amok t\"orv\'enye, 
legal\'abbis annak gyenge v\'altozata m\'egis \'erv\'enyes. Ez 
azonban egy meglehet\H{o}sen elfajul\'o eset, amely sz\'amunkra 
kev\'esb\'e \'erdekes. A nagy sz\'amok gyenge \'es er\H{o}s 
t\"orv\'enye k\"oz\"otti k\"ul\"onbs\'eg meg\'ert\'es\'ehez 
tiszt\'azni kell azt, hogy mit jelent val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'ok \'atlag\'anak a konvergenci\'aja. E fogalomnak 
t\"obb \'er\-tel\-mes definici\'oja van, \'es az er\H{o}s 
jelz\H{o} a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'eben arra utal, 
hogy az \'atlag egy er\H{o}s k\"ovetelm\'enyeket 
el\H{o}\'{\i}r\'o konvergenciafogalom szerint konverg\'al. A 
nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'eben csak egy vi\-szony\-lag 
gyenge konvergenciafogalom szerinti hat\'ar\'ert\'ek 
l\'etez\'es\'et k\"ovetelj\"uk meg. A pontos definici\'okat a 
magyar\'azat f\H{o} r\'esz\'eben ismertetem. F\H{o} c\'elunk a 
fogalmak \'es eredm\'enyek j\'o meg\'ert\'ese lesz. A 
bizony\'{\i}t\'asok jelent\H{o}s r\'esz\'et elhagyom vagy a nem  
k\"otelez\H{o} {\it Kieg\'esz\'{\i}t\'es}\/ r\'eszben ismertetem.

El\H{o}sz\"or fel\'{\i}rom a tov\'abbi vizsg\'alatainkban fontos
szerepet j\'atsz\'o k\"ul\"onb\"oz\H{o} konvergenciafogalmakat, \'es
t\'argyalom egym\'assal val\'o kapcsolatukat.

\medskip\noindent
{\bf Az egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\H{u} konvergencia
definici\'oja:}  {\it Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, sorozata akkor konverg\'al egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ohoz, ha (egyr\'eszt ezek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok ugyanazon az $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n vannak defini\'alva, m\'asr\'eszt)
$$
P\(\oo\colon\; \lim_{n\to\infty}\xi_n(\oo)=\xi(\oo)\)=1.
$$
}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:} Az egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
konvergenci\'at a  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asban
\'es m\'ert\'ek\-elm\'e\-let\-ben majdnem minden\"utt val\'o
konvergenci\'anak is h\'{\i}vj\'ak.

\medskip\noindent
{\bf A sztochasztikus konvergencia definici\'oja:}  {\it
Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\xi_n$, $n=1,2,\dots$,
sorozata akkor konverg\'al sztochasztikusan egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz, ha (egyr\'eszt ezek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok ugyanazon az $(\Omega,\Cal
A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n vannak
de\-fi\-ni\-\'al\-va, m\'asr\'eszt) minden $\e>0$ sz\'amra
$$
\lim_{n\to\infty} P\(|\xi_n(\oo)-\xi(\oo)|>\e\)=0.
$$
}

\medskip\noindent
{\bf Az eloszl\'asban val\'o konvergencia definici\'oja:}  {\it
Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\xi_n$, $n=1,2,\dots$,
sorozata akkor konverg\'al eloszl\'asban egy $F(u)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez vagy az
ezen el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny \'altal meghat\'arozott
el\-osz\-l\'as\-hoz, ha $\limm_{n\to\infty}P(\xi_n<u)=F(u)$
{\rm minden olyan $u$ sz\'amra, ahol az $F(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny f\"uggv\'eny folytonos.} (Azt mondjuk, hogy
a $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
sorozata eloszl\'asban konverg\'al egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz, ha ez a sorozat
eloszl\'asban konverg\'al az $F(u)=P(\xi<u)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-hez.)}

\medskip\noindent
A felsorolt konvergencia fogalmak k\"oz\"ott a k\"ovetkez\H{o} a
kapcsolat:

\medskip\noindent
Egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
konvergencia $\Rightarrow$ Sztochasztikus konvergencia $\Rightarrow$
Eloszl\'asban val\'o konvergencia.

\medskip
T\'argyaljuk el\H{o}sz\"or az egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi \'es
sztochasztikus konvergencia kapcsolat\'at.

Ha $\xi_n(\oo)\to\xi(\oo)$ egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel,
akkor defini\'alva az
$$
A_n=A_n(\e)=\left\{\oo\colon\;\supp_{k\ge n}|\xi_k(\oo)-\xi(\oo)|<\e\right\}
$$
halmazokat azt kapjuk, hogy az egym\'asba skatuly\'azott $A_n$
halmazokra, (azaz $A_1(\e)\subset A_2(\e)\subset\cdots$), teljes\"ul
a $P\(\bigcupp_{n=1}^\infty A_n\)=1$ rel\'aci\'o. Ez\'ert
$\limm_{n\to\infty}P(A_n)=1$. Mivel  \'erv\'enyes az
$\{\oo\colon\;|\xi_n(\oo)-\xi(\oo)|<\e\} \supset A_n$ rel\'aci\'o, 
ez\'ert $P(|\xi_n(\oo)-\xi(\oo)|<\e)\to1$, azaz
$P(|\xi_n(\oo)-\xi(\oo)|\ge\e)\to0$, ha $n\to\infty$. Ez azt jelenti,
hogy az egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\H{u} konvergenci\'ab\'ol
k\"ovetkezik a sztochasztikus konvergencia.

\medskip
Nem k\"otelez\H{o} h\'azi feladat:
\medskip
\item{} Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\xi_n$,
$n=1,2,\dots$, sorozata, akkor \'es csak akkor konverg\'al egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ohoz, ha az $\eta_n=\supp_{k\ge n}|\xi_k-\xi|$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata sztochasztikusan
konverg\'al null\'ahoz, azaz minden $\e>0$ sz\'amra
$P\(\limm_{n\to\infty}\supp_{k\ge n}|\xi_k-\xi|>\e\)=0$.

\medskip
L\'assunk p\'eld\'at arra, hogy lehets\'eges olyan $\xi_n$,
$n=1,2,\dots$, \'es $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat
konstru\'alni, amelyekre a $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata konverg\'al
sztochasztikusan, de nem konverg\'al egy 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz.

Tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t: $\Omega$ a $[0,1]$ intervallum,
$\Cal A$ a Borel m\'erhet\H{o} halmazok $\sigma$-algebr\'aja a $[0,1]$
intervallumon, a $P$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek a Lebesgue
m\'ert\'ek. Legyen
$$
\aligned
\xi_n(x)&=\left\{
\aligned
&1\quad\text{ha }x\in\[(n-2^k)2^{-k},(n+1-2^k)2^{-k}\]\\
&0\quad\text{ha }x\notin\[(n-2^k)2^{-k},(n+1-2^k)2^{-k}\]
\endaligned \right.  \\
&\qquad\qquad\qquad \text{akkor ha } 2^k\le n<2^{k+1},\quad
k=1,2,\dots,
\endaligned
$$
\'es $\xi(x)=0$ minden $0\le x\le 1$ sz\'amra. Ekkor
$P(|\xi_n-\xi|>\e)=2^{-k}$ minden $\e>0$ sz\'amra, ha $2^k\le
n<2^{k+1}$. Teh\'at a $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, sorozat
sztochasztikusan konverg\'al a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ohoz. Viszont mivel $\limsupp_{n\to\infty}\xi_n(x)=1$
minden $0\le x\le 1$ sz\'amra, ez\'ert a $\xi_n$ sorozat nem
konverg\'al egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz.

A sztochasztikus konvergencia \'es eloszl\'asban val\'o konvergencia
k\"oz\"otti kap\-cso\-lat\-ra \'erv\'enyesek a k\"ovetkez\H{o} nem
k\"otelez\H{o} h\'azi feladatok form\'aj\'aban megfogalmazott
\'all\'{\i}t\'asok.

\medskip
Nem k\"otelez\H{o} h\'azi feladat:
\medskip

\item{a.)} Ha $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sztochasztikusan konverg\'alnak egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz, akkor a $\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban is
konverg\'alnak ehhez a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ohoz.
\item{b.)} Ennek az \'all\'{\i}t\'asnak a megford\'{\i}t\'asa nem
igaz. P\'eld\'aul, ha $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, f\"ug\-get\-len,
egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
amelyek nem elfajultak, azaz nincs olyan konstans amelyeket ezek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel vesznek fel, akkor a $\xi_n$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egi v\'al\-to\-z\'ok eloszl\'asban
konverg\'alnak a $\xi_1$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz,
viszont nem konverg\'alnak sztochasztikusan.
\item{c.)} Viszont igaz a k\"ovetkez\H{o} \'all\'{\i}t\'as: Ha
$\xi_n$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
el\-osz\-l\'as\-ban konverg\'alnak egy $a$ konstanshoz, (azaz
egy  olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz, amely egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az $a$ konstanst veszi fel, akkor a
$\xi_n$, $n=1,2,\dots$, sorozat sztochasztikusan is konverg\'al
ehhez az $a$ konstanshoz.
\medskip

Megfogalmazom, mit jelent az, hogy f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok teljes\'{\i}ti a nagy sz\'amok
gyenge illetve er\H{o}s t\"orv\'eny\'et.


\medskip\noindent
{\bf Nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'enek a definici\'oja.} {\it
Legyen $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, f\"ug\-get\-len, egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, $S_n=\summ_{k=1}^n\xi_k$,
$k=1,2,\dots$. Azt mondjuk, hogy ezek a $\xi_n$, $n=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok teljes\'{\i}tik a nagy
sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'et, ha l\'etezik olyan $E$ sz\'am,
amelyre teljes\"ul, hogy az $\frac{S_n}n$, $n=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sztochasztikusan
konverg\'alnak az $E$ sz\'am\-hoz, azaz ahhoz a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz, amely egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az $E$ konstanssal egyenl\H{o}.}

\medskip\noindent
{\bf Nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'enek a definici\'oja.} {\it
Legyen $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, f\"ug\-get\-len, egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, $S_n=\summ_{k=1}^n\xi_k$,
$k=1,2,\dots$. Azt mondjuk, hogy ezek a $\xi_n$, $n=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok teljes\'{\i}tik a nagy
sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'et, ha l\'etezik olyan $E$ sz\'am,
amelyre teljes\"ul, hogy az $\frac{S_n}n$, $n=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
konverg\'alnak az $E$ sz\'am\-hoz, azaz ahhoz a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz, amely egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az $E$ konstanssal egyenl\H{o}.}

\medskip
Arra vagyunk kiv\'ancsiak, milyen felt\'etelek mellett igaz a nagy
sz\'amok gyenge \'es er\H{o}s t\"orv\'enye. Min\'el gyeng\'ebb 
felt\'etelek teljes\"ul\'ese mellett szeretn\'enk bebizony\'{\i}tani
ezeket az eredm\'enyeket. A teljesen kiel\'eg\'{\i}t\H{o} v\'alasz
egy sz\"uks\'eges \'es el\'egs\'eges felt\'etel lenne ezen eredm\'enyek
\'erv\'enyess\'eg\'ere. Lehet ilyen eredm\'enyt bizony\'{\i}tani.
De e tu\-laj\-don\-s\'a\-gok jobb meg\'ert\'es\'enek \'erdek\'eben 
el\H{o}sz\"or megel\'egsz\"unk a nagy sz\'amok gyenge \'es er\H{o}s
t\"orv\'eny\'enek bizony\'{\i}t\'as\'aval viszonylag er\H{o}s
felt\'etelek teljes\"ul\'ese eset\'en. El\H{o}sz\"or megmutatom a
7.~t\'ema ismertet\'es\'eben szerepelt Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eg
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy a nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'enye
teljes\"ul akkor, ha a tekintett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'al\-to\-z\'ok\-nak v\'eges m\'asodik momentuma van. 
Felid\'ezem a Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eget.

\medskip\noindent
{\bf Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eg:} {\it Ha a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o m\'asodik momentuma
$E\xi^2=m_2$ akkor tetsz\H{o}leges $x>0$ sz\'amra
$$
P(|\xi|>x)\le \frac{m_2}{x^2}.
$$
Innen k\"ovetkezik, ha ezt az egyenl\H{o}tlens\'eget a
$\bar\xi=\xi-E\xi$  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ora
al\-kal\-maz\-zuk, hogy
$$
P(|\xi-E\xi|>x)\le \frac{\text{\rm Var}\,\xi}{x^2},
$$
 }

\medskip
A Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eg seg\'{\i}ts\'eg\'evel bel\'atom a
k\"ovetkez\H{o} eredm\'enyt.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel a nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'er\H{o}l.} {\it
Legyen $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, f\"ug\-get\-len, egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata, amelyekre teljes\"ul
az $E\xi_1^2<\infty$ tulajdons\'ag. Ezek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok teljes\'{\i}tik a nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'et
az $E=E\xi_1$ konstanssal.} 

\medskip
{\it Bizony\'{\i}t\'as:} Az adott felt\'etelek mellett
$$
P\(\left|\frac1n\summ_{j=1}^n (\xi_j-E\xi_j)\right|>\e\)
\le \frac{\Var\(\frac1n\summ_{j=1}^n\xi_j\)}{\e^2}
=\frac{\frac1{n^2}\summ_{j=1}^n\Var\xi_j}{\e^2}
=\frac{\Var\xi_1}{n\e^2}
$$
minden $\e>0$ sz\'amra. Mivel
$\limm_{n\to\infty}\frac{\Var\xi_1}{n\e^2}=0$, innen k\"ovetkezik
a T\'etel \'all\'{\i}t\'asa.


Megmutatom, hogy hogyan lehet a nagy
sz\'amok gyenge t\"or\-v\'e\-ny\'e\-nek a Csebisev
egyenl\H{o}tlens\'egen alapul\'o bizony\'{\i}t\'as\'at finom\'{\i}tva
a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"or\-v\'e\-ny\'et is bebizony\'{\i}tani
alkalmas felt\'etelek mellett. Az al\'abb ismertetend\H{o}
\'ervel\'esben val\'oj\'aban a t\'etel bizony\'{\i}t\'asa
\'erdek\'eben a sz\"uks\'egesn\'el sokkal er\H{o}sebb
kik\"ot\'eseket teszek. 

\medskip
A nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'et \'ugy bizony\'{\i}tottuk be,
hogy megvizsg\'altuk milyen becsl\'est ad a Csebisev
egyenl\H{o}tlens\'eg annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere,
hogy f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \'atlaga legal\'abb $\e$-nal elt\'er e v\'altoz\'ok
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et\H{o}l. Id\'ezz\"uk fel ezt a sz\'amol\'ast,
illetve ezzel p\'arhuzamosan vizsg\'aljuk meg azt is, hogy mi\-lyen
becsl\'est kapunk, ha tov\'abbra is azt a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot vizsg\'aljuk, amelyet \'ugy kapunk, hogy f\"uggetlen,
egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\'atlaga minusz azok v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et vessz\"uk, de most
ennek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak nemcsak a m\'asodik
momentum\'at sz\'amoljuk ki, mint tett\"uk a Csebisev
egyenl\H{o}tlens\'eg alkalmaz\'as\'aban, ha\-nem a negyediket is.
L\'atni fogjuk, hogy ekkor \'erdekes \'uj eredm\'enyeket kapunk.

Ezen eredm\'enyek t\'argyal\'asa el\H{o}tt megfogalmazok egy
az el\H{o}ad\'asokban nem ismertetett, de egy 
kieg\'esz\'{\i}t\'esben r\'eszletesen t\'argyalt eredm\'enyt, az
\'ugynevezett Borel--Cantelli lemm\'at, amelyet haszn\'alni
fogunk a k\"ovetkez\H{o} \'ervel\'esekben.

\medskip\noindent
{\bf Borel--Cantelli lemma.} {\it Legyen adva v\'egtelen sok
$A_1,A_2,\cdots$ esem\'eny egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. A k\"ovetkez\H{o} k\'et
\'all\'{\i}t\'as igaz:
\item{a.)} Ha $\summ_{n=1}^\infty P(A_n)<\infty$, akkor
egy va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel csak
v\'eges sok $A_n$ esem\'eny k\"ovetkezik be.
\item{b.)} Ha $\summ_{n=1}^\infty P(A_n)=\infty$, \'es az $A_n$,
$n=1,2,\dots$, esem\'enyek f\"uggetlenek, akkor
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel v\'egtelen sok
sok $A_n$ esem\'eny k\"ovetkezik be. 

}\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.}\/ A Borel--Cantelli lemma a) r\'esze azt mondja ki,
hogy ha az $A_n$ esem\'enyek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege viszonylag
kicsi (a $\summ_{n=1}^\infty P(A_n)<\infty$ rel\'aci\'o egy ilyen 
tipus\'u felt\'etel), akkor az $A_n$ esem\'enyek k\"oz\"ul csak
v\'eges sok k\"ovetkezik be 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel. Ez az
\'all\'{\i}t\'as a lemma egyszer\H{u}bb r\'esze, \'es ezt fogjuk
a Borel--Cantelli k\"onnyebb fel\'enek nevezni. A lemma b) 
r\'esz\'eben nemcsak azt k\"ovetelt\"uk meg, hogy 
$\summ_{n=1}^\infty P(A_n)=\infty$, ami azt fejezi ki, hogy az 
$A_n$ esem\'enyek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege viszonylag nagy, hanem
azt is, hogy az $A_n$ esem\'enyek f\"uggetlenek. Ez a k\'et felt\'etel
egy\"utt biztos\'{\i}tja azt, hogy az $A_n$ esem\'enyek k\"oz\"ul
v\'egtelen sok k\"ovetkezik be. A f\"uggetlens\'egi felt\'etel
a b) r\'esz \'all\'{\i}t\'as\'aban gyeng\'{\i}thet\H{o}, de teljesen
el nem hagyhat\'o.

\medskip
A nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'enek bizony\'{\i}t\'asa 
\'erdek\'eben vezess\"uk be el\H{o}sz\"or a k\"ovetkez\H{o} 
jel\"ol\'eseket. Legyenek $\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen, 
egyforma el\-osz\-l\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
$S_n=\xi_1+\cdots+\xi_n$. Tegy\"uk fel, hogy $E\xi_1=0$, \'es
vizsg\'aljuk az
$$
E\(\frac{S_n}n\)^2,\quad E\(\frac{S_n}n\)^4\quad\text{\'es}\quad
P\(\frac{|S_n|}n>\e\)=P\(\left|\frac{S_n}n-E\xi_1\right|>\e\),\; \e>0
$$
kifejez\'eseket. Az utols\'o val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
vizsg\'alat\'aban nem jelent megszor\'{\i}t\'ast az $E\xi_1=0$
felt\'etel, mert a $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat
a $\xi_j-E\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okkal
he\-lyet\-te\-s\'{\i}t\-ve az \'altal\'anos esetet erre a speci\'alis
esetre reduk\'alhatjuk.
$$
\text{Var}\,\frac{S_n}n=\frac1{n^2}\text{Var}\,{S_n}=
\frac n{n^2}\text{Var}\,\xi_1=
\frac 1n\text{Var}\,\xi_1,\quad
P\(\left|\frac{S_n}n\right|>\e\)\le\frac {\text{Var}\,\xi_1}{n\e^2}.
$$
Innen k\"ovetkezik, hogy
$\limm_{n\to\infty}P\(\left|\frac{S_n}n\right|>\e\)=0$,
teh\'at \'erv\'enyes a nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'enye.

M\'asr\'eszt
$$ \allowdisplaybreaks
\align
ES_n^4=E(\xi_1+\cdots+\xi_n)^4&=\sum_{k=1}^n E\xi_k^4
+6\sum\Sb 1\le j,k\le n\\ j\neq k\endSb E\xi_j^2 E\xi_k^2
+4\sum\Sb 1\le j,k\le
n\\ j\neq k\endSb \underbrace{E\xi_j^3E\xi_k}_{=0} \\
&\qquad+4\sum\Sb 1\le j,k,l\le
n\\ j,k,l\text{ k\"ul\"onb\"oz\H{o} sz\'amok}\endSb
\underbrace{E\xi_j^2E\xi_kE\xi_l}_{=0} \\
&\qquad +\sum\Sb 1\le j,k,l,m\le
n\\ j,k,l,m\text{ k\"ul\"onb\"oz\H{o} sz\'amok}\endSb
\underbrace{E\xi_jE\xi_kE\xi_lE\xi_m}_{=0} \\
&=n E\xi_1^4+6n(n-1) (E\xi_1^2)^2,
\endalign
$$
ez\'ert
$$
P\(\left|\frac{S_n}n\right|>\e\)=P(S_n^4>n^4\e^4)
\le\frac{\frac1n
E\xi_1^4+6\(1-\frac1n)(E\xi_1)^2\)}{n^2\e^4}\le \frac{\const}{n^2\e^4}.
$$
Innen k\"ovetkezik, hogy
$\summ_{n=1}^\infty P\(\left|\frac{S_n}n\right|>\e\)<\infty$ minden
$\e>0$ sz\'amra, \'es a Borel--Cantelli lemma (k\"onnyebbik
fel\'eb\H{o}l) k\"ovetkezik, hogy minden $\e>0$ sz\'amra \'es majdnem
minden $\oo\in\Omega$ pontban teljes\"ul, hogy
$\left|\frac{S_n(\oo)}n\right|\le \e$, ha $n\ge
n_0(\oo)$. Alkalmazva ezt a rel\'aci\'ot minden $\e=\frac1k$ sz\'amra
$k=1,2,\dots$, kapjuk a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'et,
amelyet az al\'abbi t\'etelben fogalmazok meg.

\medskip\noindent
{\bf A nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'er\H{o}l sz\'ol\'o
t\'etel egy gyenge form\'aja.} {\it Legyen $\xi_1,\xi_2,\dots,$
f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sorozata egy $(\Omega,\Cal A,P)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}n, amelyekre teljes\"ul
az $E\xi_1^4<\infty$ felt\'etel, \'es vezess\"uk be az
$S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat. Ekkor az $\frac{S_n(\oo)}n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok majdnem minden
$\oo\in\Omega$-ra konverg\'alnak ez $E\xi_1$, sz\'amhoz, azaz ezek
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok teljes\'{\i}tik a nagy
sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'et.} 

\medskip
Val\'oj\'aban a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'enye sokkal gyeng\'ebb
felt\'etelek mellett is teljes\"ul.  Kimondom a 
t\'etelt abban a form\'aban, amely megadja a nagy sz\'amok 
t\"orv\'eny\'enek sz\"uks\'eges \'es el\'egs\'eges felt\'etel\'et.

\medskip\noindent
{\bf A nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'et kimond\'o t\'etel.}
{\it Legyen $\xi_1$, $\xi_2$,\dots, f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata, \'es defini\'aljuk
az $S_n=\summ_{k=1}^n\xi_k$, $n=1,2,\dots$, r\'eszlet\"osszegeket. Az
$\frac{S_n(\oo)}n$, $n=1,2,\dots$, sorozat akkor \'es csak akkor
konverg\'al pozit\'{\i}v val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, ha
$E|\xi_1|<\infty$. Ha $E|\xi_1|<\infty$, akkor ez a sorozat
teljes\'{\i}ti a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'et az $E=E\xi_1$
konstanssal, azaz
$$
\lim_{n\to\infty}\frac{S_n(\oo)}n=E\xi_1\quad\text{majdnem minden }
\oo\in\Omega\text{-ra}.
$$
}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.} Az el\H{o}z\H{o} t\'etel szerint a nagy sz\'amok
er\H{o}s t\"orv\'eny\'enek az $E|\xi_1|<\infty$ rel\'aci\'o nemcsak
el\'egs\'eges, hanem sz\"uks\'eges felt\'etele is. Val\'oban,
mint k\'es\H{o}bb l\'atni fogjuk, ha
$E|\xi_1|=\infty$, akkor az $\frac{S_n(\oo)}n$, $n=1,2,\dots$, 
sorozat egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel divergens.

\medskip\noindent
A fenti, a nagy sz\'amok k\"ul\"onb\"oz\H{o} t\"orv\'enyeit
kimond\'o t\'etelekben az \"osszeadand\'ok momentumair\'ol tett\"unk
fel bizonyos felt\'eteleket. S\H{o}t, az utolj\'ara kimondott t\'etel
a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'er\H{o}l egyben jelzi, hogy ily
m\'odon lehet megadni a nagy sz\'amok t\"orv\'eny\'enek sz\"uks\'eges
\'es el\'egs\'eges felt\'etelet is. Felmer\"ulhet a k\'erd\'es, 
mi\'ert j\'atszik olyan fontos szerepet a momentumok l\'etez\'ese 
ezekben az eredm\'enyekben.

A nagy sz\'amok t\"orv\'enyei olyan \'all\'{\i}t\'ast fogalmaznak meg,
hogy f\"uggetlen va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok
\'atlagai egyfajta tipikus viselked\'est mutatnak, amelyikben az
egyes \"osszeadand\'ok hat\'asa \"onmag\'aban nem jelent\H{o}s, azaz
nagy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel nem fordulhat el\H{o}, hogy van az
\"osszegben olyan kiugr\'oan nagy \'ert\'eket felvev\H{o} tag, amelynek
hat\'asa \"osszem\'erhet\H{o} az \"osszes t\"obbi tag hat\'as\'aval.
M\'arpedig az, hogy egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
valamely momentuma kisebb egy adott sz\'amn\'al olyan tulajdons\'agot
fogalmaz meg, amely szerint a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
kis val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel vesz fel nagy \'ert\'ekeket. Annak
\'erdek\'eben, hogy finomabb vizsg\'alatokat tudjunk v\'egezni, 
\'erdemes a momentumok v\'egess\'eg\'et az eloszl\'asf\"uggv\'enyek
nyelv\'en megfogalmazni. A k\"ovetkez\H{o} lemma \'all\'{\i}t\'asa 
hasznos lesz a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'enek a 
bizony\'{\i}t\'as\'aban.

\medskip\noindent
{\bf Lemma.} {\it Egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
abszolut \'ert\'ek\'enek akkor \'es csak akkor l\'etezik v\'arhat\'o
\'ert\'eke, azaz akkor \'es csak akkor teljes\"ul az $E|\xi|<\infty$
rel\'aci\'o, ha $\summ_{n=1}^\infty P(|\xi|>n)<\infty$.}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.}\/ Az al\'abb ismertetend\H{o} bizony\'{\i}t\'as
finom\'{\i}t\'as\'aval be lehet l\'atni, hogy egy $|\xi|$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak akkor \'es csak akkor van
v\'eges m\'asodik momentuma, ha
$\summ_{n=1}^\infty nP(|\xi|>n)<\infty$. \'Altal\'anosabban
$E|\xi|^\alpha<\infty$ valamilyen $\alpha>0$, sz\'amra akkor \'es
csak akkor, ha $\summ_{n=1}^\infty n^{\alpha-1}P(|\xi|>n)<\infty$.
De ezen \'all\'{\i}t\'asok bizony\'{\i}t\'as\'at, amelyekre nem lesz
sz\"uks\'eg\"unk, elhagyom.

\medskip\noindent
{\it A Lemma bizony\'{\i}t\'asa:}\/ Tekints\"uk el\H{o}sz\"or azt a
speci\'alis esetet, amikor a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o csak eg\'esz \'ert\'ekeket vesz fel. Ekkor az
$E|\xi|<\infty$ rel\'aci\'o  definici\'o szerint akkor \'es csak
akkor teljes\"ul, ha $\summ_{n=0}^\infty nP(|\xi|=n)<\infty$. Ezt
\'ugy is \'{\i}rhatjuk, hogy $\summ_{n=0}^\infty
n\(P(|\xi|>n-1)-P(\xi>n)\)<\infty$. \'Irjuk fel minden $N$ 
eg\'esz sz\'amra a
$$
\summ_{n=0}^N nP(|\xi|=n)=\summ_{n=0}^N n\(P(|\xi|>n-1)-P(|\xi|>n)\)
=\summ_{n=0}^{N-1}P(|\xi|>n)-NP(|\xi|>N) \tag$*$
$$
azonoss\'agot. 

Ha $E|\xi|=\infty$, akkor
$\summ_{n=1}^\infty P(|\xi|>n)=\limm_{N\to\infty}
\summ_{n=0}^{N-1}P(|\xi|>n)\ge \limm_{N\to\infty}
\summ_{n=0}^{N}nP(|\xi|=n)=\infty$ a $(*)$ rel\'aci\'o alapj\'an.
Ha $E|\xi|<\infty$, akkor $NP(|\xi|>N)\le E|\xi|$ minden $N$-re,
azaz az el\H{o}z\H{o} kifejez\'esnek van egy $N$-t\H{o}l f\"uggetlen
fels\H{o} becsl\'ese. Ez\'ert $\summ_{n=1}^\infty
P(|\xi|>n)=\limm_{N\to\infty} \summ_{n=0}^{N-1}P(|\xi|>n)\le
\limm_{N\to\infty}\summ_{n=0}^{N}nP(|\xi|=n)+\const<\infty$, szint\'en
a $(*)$ rel\'aci\'o alapj\'an.

Egy \'altal\'anos $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eset\'en defini\'aljuk a $\xi_1$ \'es $\xi_2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat \'ugy, hogy $k\le |\xi|<k+1$ eset\'en $\xi_1=k$,
$\xi_2=k+1$, $k=0,1,2,\dots$. Ekkor $\xi_1\le |\xi|\le \xi_2$, \'es
$\xi_2-\xi_1\equiv1$, ez\'ert az $E|\xi_1|$, $E|\xi|$ \'es $E|\xi_2|$
v\'arhat\'o \'ert\'ekek egyszerre v\'egesek vagy v\'egtelenek.
Tov\'abb\'a $\summ_{n=0}^\infty P(|\xi|>n)=\summ_{n=0}^\infty
P(\xi_2>n)$, ez\'ert a Lemma \'all\'{\i}t\'asa az \'altal\'anos esetben
k\"ovetkezik annak m\'ar bebizony\'{\i}tott speci\'alis eset\'eb\H{o}l.

\medskip
Megmutatom az el\H{o}z\H{o} lemma eredm\'eny\'enek \'es a
Borel--Cantelli lemm\'anak a se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel, hogy
amennyiben $E|\xi_1|=\infty$, akkor a $\xi_1$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'oval azonos eloszl\'as\'u $\xi_j$, $j=1,2,\dots$,
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok nem
teljes\'{\i}tik a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'et.
Pontosabban azt \'all\'{\i}tom, hogy ebben az esetben az
$S_n(\oo)=\summ_{j=1}^n\xi_j(\oo)$, $n=1,2,\dots$, \"osszegekre az
$\frac {S_n(\oo)}n$ \'atlag majdnem minden $\oo\in\Omega$ pontban nem 
konvergens.

Val\'oban, az el\H{o}bb megfogalmazott eredm\'eny, \'es a $\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok azonos eloszl\'asa miatt az
$E|\xi_1|=\infty$ felt\'etelb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy
$\infty=\summ_{n=1}^\infty P(|\xi_1|>n)=\summ_{n=1}^\infty
P(|\xi_n|>n)$. Ez\'ert, \'es a $\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlens\'ege miatt a
Borel--Cantelli lemm\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy majdnem minden
$\oo\in\Omega$-ra $|\xi_n(\oo)|>n$ v\'egtelen sok az ($\oo$ elemi
esem\'enyt\H{o}l f\"ugg\H{o}) $n$ indexre.

Tegy\"uk fel, hogy valamely $\oo\in \Omega$ elemi esem\'enyre
$\limm_{n\to\infty}\frac{S_n(\oo)}n=a$ valamilyen v\'eges $a$
sz\'amra, amelynek \'ert\'eke f\"ugghet az $\oo$ elemi
esem\'enyt\H{o}l. Ekkor a $\limm_{n\to\infty}\frac{S_{n-1}(\oo)}n=a$
rel\'aci\'o is teljes\"ul, ahonnan
$\limm_{n\to\infty}\(\frac{S_{n}(\oo)}n-\frac{S_{n-1}(\oo)}n\)
=\limm_{n\to\infty}\frac{\xi_n(\oo)}n=0$. Viszont az el\H{o}z\H{o}
lemma \'es a Borel--Cantlli lemma b) r\'esze alapj\'an 
$\summ_{n=1}^\infty P(|\xi_n(\oo)|>n)=\infty$, ez\'ert 
$\frac{|\xi_n(\oo)|}n\ge1$ v\'egtelen sok $n$ indexre majdnem minden
$\oo\in\Omega$ elemi esem\'enyre. Az ilyen $\oo$ elemi esem\'enyekre a
$\limm_{n\to\infty}\frac{\xi_n(\oo)}n=0$ rel\'aci\'o nem teljes\"ul.

\medskip
L\'attuk, hogy mind a nagy sz\'amok gyenge mind a nagy sz\'amok
er\H{o}s t\"orv\'eny\'enek bizony\'{\i}t\'as\'ahoz arra van
sz\"uks\'eg\"unk, hogy k\'epesek legy\"unk f\"uggetlen (\'es egyforma
el\-osz\-l\'a\-s\'u), nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u}
$\xi_1,\xi_2,\dots,$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
$S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j$, $n=1,2,\dots$, \"ossze\-g\'e\-nek
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'ere j\'o becsl\'est tudjunk adni. Pontosabban
arra van sz\"uk\-s\'e\-g\"unk, hogy j\'ol meg tudjuk becs\"ulni minden
$n$ indexre \'es r\"ogz\'{\i}tett $\e>0$ sz\'amra a $P(|S_n|>\e n)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket. Val\'oj\'aban a nagy sz\'amok er\H{o}s
t\"orv\'eny\'enek a bizony\'{\i}t\'as\'aban hasznosabb, ha a
 $P\(\supp_{1\le m\le n}|S_m|>\e n\)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket
tudjuk j\'ol megbecs\"ulni. Azt gondolhatn\'ank, hogy a $P(|S_n|>n\e)$ 
alak\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek becsl\'es\'ere
al\-kal\-maz\-hat\-juk a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelt.
Val\'oj\'aban a helyzet bonyolultabb.

A centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel j\'o aszimptotik\'at ad a
$P(S_n>x\sqrt n)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekre nagy $n$ indexre,
\'es r\"ogz\'{\i}tett $x$ sz\'amra. De szabad-e r\"ogz\'{\i}tett $x$
helyett $n$-t\H{o}l f\"ugg\H{o} $x_n=\e \sqrt n$ (azaz
$\sqrt nx_n=\e n$) sz\'amot \'{\i}rni,
\'es alkalmazni form\'alisan a centr\'alis hat\'areloszl\'asban
szerepl\H{o} k\'epletet nem t\"or\H{o}dve az $x_n$ sz\'amnak az $n$
indext\H{o}l val\'o f\"ugg\'es\'evel? Azt, hogy e k\'erd\'es
felvet\'es\'en\'el nem form\'alis k\"ot\"ozk\"od\'esr\H{o}l van
sz\'o mutatja a k\"ovetkez\H{o} egyszer\H{u} p\'elda: Legyenek
$\xi_1,\xi_2\dots$, f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, amelyekre
$P(\xi_1=1)=P(\xi_1=-1)=\frac12$, $S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j$. Ekkor a
$p_n(x)=P\(S_n\ge nx\)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre $p_n(x)=0$, ha
$x>1$, \'es $p_n(x)=2^{-n}$, ha $x=1$. (Az $x<1$ esetben is j\'o
aszimptotikus formul\'at lehet adni a $p_n(x)$ mennyis\'egre, de
ahhoz k\"ul\"on vizsg\'alat lenne sz\"uks\'eges, ez\'ert ezt
most nem tessz\"uk.) Ez a p\'elda azt mutatja, hogy a $p_n(x)$
f\"uggv\'eny nem \'ugy viselkedik, ahogy a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelb\H{o}l ad\'od\'o form\'alis anal\'ogia
su\-gall\-n\'a. A $P(S_n\ge nx)$ alak\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek
vizsg\'alat\'aval a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as
egyik fontos \'es \'erdekes fejezete a nagy elt\'er\'esek elm\'elete
foglalkozik. Ez az elm\'elet nem t\'em\'aja a jelen
el\H{o}ad\'assorozatnak.

A nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'enek a bizony\'{\i}t\'as\'at
(amikor annak \'eles v\'altozat\'at vizsg\'aljuk, \'es csak a t\'etel 
sz\"uks\'eges felt\'eteleit haszn\'aljuk a bizony\'{\i}t\'asban)
az el\H{o}ad\'as f\H{o} r\'esz\'eben nem dolgozom ki. Viszont
megfogalmazom a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as egy
fontos egyenl\H{o}tlens\'eg\'et az \'ugynevezett Kolmogorov
egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'e\-get. Ennek bizony\'{\i}t\'as\'at 
meg\-adom egy {\it Kieg\'esz\'{\i}t\'esben}, \'es ott ismertetem 
azt is, hogyan lehet ennek seg\'{\i}ts\'eg\'evel bebizony\'{\i}tani
a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"or\-v\'e\-ny\'et.

\medskip
Annak sz\"uks\'eges \'es el\'egs\'eges felt\'etele is ismert, hogy
f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok teljes\'{\i}ts\'ek a nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'et.
Megfogalmazom ezt az eredm\'enyt, de az \'all\'{\i}t\'as
bizony\'{\i}t\'as\'at elhagyom. Ennek az eredm\'enynek az
ismeret\'et sem v\'arom el a vizsg\'an.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel a nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'enek sz\"uks\'eges 
\'es el\'egs\'eges felt\'etel\'er\H{o}l.} {\it Legyen $\xi_k$, 
$k=1,2,\dots$, f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata $F$ 
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'ennyel. Ezek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok akkor \'es csak
akkor teljes\'{\i}tik a nagy sz\'amok gyen\-ge
t\"or\-v\'e\-ny\'et, azaz a $\frac1n\summ_{k=1}^n\xi_k$ \'atlag 
akkor \'es csak akkor konverg\'al szto\-chasz\-ti\-ku\-san  
$n\to\infty$ eset\'eben egy $a$ sz\'amhoz, $-\infty<a<\infty$, ha
$$
\lim_{x\to\infty}x\[F(-x)+\(1-F(x)\)\]=0, \quad \text{\'es} \quad
\lim_{x\to\infty}\int_{-x}^x uF(\,du)=a.
$$
}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Vegy\"uk \'eszre, hogy ha f\"uggetlen,
egyforma eloszl\'as\'u $F$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy sorozata teljes\'{\i}ti
a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'enek sz\"uks\'eges \'es
el\'egs\'eges felt\'etel\'et, azaz 
$\int_{-\infty}^\infty |u|F(\,du)<\infty$, akkor  ez a sorozat 
teljes\'{\i}ti a nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'enek 
sz\"uks\'eges \'es el\'egs\'eges felt\'etel\'et is. Val\'oban, 
ebben az esetben $\limm_{x\to\infty}\int_{-x}^x uF(\,du)
=\int_{-\infty}^\infty uF(\,du)$ a Lebesgue t\'etel szerint, \'es
$$
\limsupp_{x\to\infty}x\[F(-x)+\(1-F(x)\)\]\le 
\limm_{x\to\infty}\int_{\{u\colon\; |u|\ge x\}} |u|F(\,du)=0
$$
szint\'en a Lebesgue t\'etel alapj\'an.

\medskip
Ha \"osszehasonl\'{\i}tjuk a nagy sz\'amok gyenge \'es er\H{o}s
t\"orv\'eny\'et azt l\'atjuk,  hogy a nagy sz\'amok gyenge
t\"orv\'enye n\'emileg enyh\'ebb megk\"ot\'esek mellett
\'erv\'enyes mint a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'enye. \'Erdemes
l\'atni f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok olyan sorozat\'at, amely teljes\'{\i}ti a nagy sz\'amok
gyenge, de nem teljes\'{\i}ti a nagy sz\'amok er\H{o}s
t\"orv\'eny\'et. Ilyen p\'eld\'at fogalmazok meg a k\"ovetkez\H{o}
nem k\"otelez\H{o} h\'azi feladatban. Egyben jelzem, hogyan lehet
bebizony\'{\i}tani azt, hogy ez a p\'elda teljes\'{\i}ti a nagy
sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'et an\'elk\"ul, hogy
felhaszn\'aln\'ank a nem bizony\'{\i}tott t\'etelt a nagy sz\'amok
gyenge t\"orv\'eny\'enek sz\"uks\'eges \'es el\'egs\'eges
felt\'etel\'er\H{o}l.

\medskip
Nem k\"otelez\H{o} h\'azi feladat:

\medskip
\item{} Legyen $\xi_k$, $k=1,2,\dots$, f\"uggetlen, egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok so\-ro\-za\-ta,
az $f(x)=\frac C{x^2\log |x|}$, ha $|x|>2$. $f(x)=0$, ha $|x|\le 2$,
k\'eplettel megadott s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel.
($\int_{|x|>2}\frac {C\,dx}{x^2\log |x|}=1$.)
Defini\'aljuk az $S_n=\summ_{k=1}^m\xi_k$, $n=1,2,\dots$,
r\'esz\-let\-\"ossze\-ge\-ket. L\'assuk be, hogy $E|\xi_1|=\infty$,
ez\'ert ezek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok nem
teljes\'{\i}tik a nagy sz\'amok er\H{o}s
t\"orv\'eny\'et. M\'asr\'eszt az $\frac{S_n}n$
\'atlagok szto\-chasz\-ti\-ku\-san tartanak null\'ahoz, azaz minden
$\e>0$ sz\'amra $P\(\left|\frac{S_n}n\right|>\e\)\to0$, ha
$n\to\infty$.
\item{} {\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ Legyen $\bar\xi_k=\bar
\xi_k^{(n)}=\xi_k I\(|\xi_k|\le a_n\)$, $\bar{\bar\xi}_k=\bar{\bar
\xi}_k^{(n)}=\xi_k I\(|\xi_k|>a_n\)$, \'es $\bar
S_n=\summ_{k=1}^n\bar\xi_k$, $\bar{\bar
S}_n=\summ_{k=1}^n\bar{\bar\xi}_k$. Ekkor $P(|S_n|>\e n)\le
P\(|\bar S_n|>\frac\e2n\)+P\(|\bar{\bar S}_n|>\frac\e2n\)\le \frac
{\text {Var}\,\bar S_n}{\frac{\e^2}4n^2}+nP\(\bar{\bar \xi_1}\neq0\)$.
Adjunk az $a_n$ konstans alkalmas meg\-v\'a\-lasz\-t\'a\-s\'a\-val
(p\'eld\'aul $a_n=n$) j\'o becsl\'est a $P(|S_n|>n\e)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre.

\medskip
\'Erdemes tekinteni a k\"ovetkez\H{o} h\'{\i}res p\'eld\'at is, 
amelyben f\"uggetlen, egyforma el\-osz\-l\'a\-s\'u 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'atlaga nem teljes\'{\i}ti 
a nagy sz\'amok er\H{o}s, s\H{o}t a nagy sz\'amok gyenge 
t\"orv\'eny\'et sem.

\medskip\noindent
{\it P\'elda:} 

\medskip\noindent
Tekints\"uk f\"uggetlen, (egyforma) Cauchy eloszl\'as\'u 
$\xi_1,\dots,x_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'a\-lto\-z\'ok 
\'at\-la\-g\'at. Az, hogy $\xi_1$ Cauchy eloszl\'as\'u,
azt jelenti, hogy s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye 
$f(x)=\frac1\pi\frac1{1+x^2}$, $-\infty<x<\infty$, alak\'u. ($f(x)$
val\'oban s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny, azt hogy 
$\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx=1$ k\"onnyen ellen\H{o}rizhetj\"uk,
mert az $\frac1{1+x^2}$ f\"uggv\'enynek az $\arctan x$ f\"uggv\'eny a
primit\'{\i}v f\"uggv\'enye.) Az $S_n=\frac1n\summ_{k=1}^n\xi_k$ \'atlag
szint\'en Cauchy eloszl\'as\'u, azaz eloszl\'asa megegyezik (minden $n$
sz\'amra) $\xi_1$ eloszl\'as\'aval. Ez azt is jelenti, hogy ez a
sorozat nem teljes\'{\i}ti sem a nagy sz\'amok 
er\H{o}s, sem a nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'et. Jegyezz\"uk
meg, hogy ebben a p\'eld\'aban $\limsupp_{x\to\infty}xF(x)
=\limm\supp_{x\to\infty}x\int_x^\infty \frac1\pi\frac1{1+u^2}\,du
=\limsupp_{x\to\infty}\frac1\pi\arctan x>0$, teh\'at nem teljes\"ulnek
a nagy sz\'amok gyenge t\"orv\'eny\'enek sz\"uks\'eges \'es
el\'egs\'eges felt\'etelei.

Az $S_n$ \'atlag s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et ki lehet sz\'amolni
konvoluci\'oval a fenti p\'eld\'aban. De ez nagyon f\'araszt\'o
sz\'amol\'ast ig\'enyel. Egyszer\H{u}bb azt megmutatni, hogy
$\xi_1$ \'es $S_n$ karakterisztikus f\"uggv\'enyei megegyeznek.
Ehhez azt kell tudni, hogy $\xi_1$ karakterisztikus f\"uggv\'enye
$\varphi(t)=Ee^{it\xi_1}=e^{-|t|}$, ahonnan $S_n$ karakterisztikus
f\"uggv\'enye $Ee^{it S_n}=\varphi(\frac tn)^n=e^{-|t|}$. Azt, hogy
$\xi_1$ karakterisztikus f\"uggv\'enye val\'oban az \'altalunk
megadott alak\'u viszonylag egyszer\H{u} bizony\'{\i}tani a 
komplex f\"uggv\'enytanban kidolgozott reziduumsz\'am\'{\i}t\'as
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.

\medskip
Term\'eszetesen felvet\H{o}dik a k\"ovetkez\H{o} k\'erd\'es:
Legyenek $\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, amelyekre $E\xi_1=0$. Legyen
$S_n=\summ_{k=1}^n\xi_k$, $n=1,2,\dots$. Ekkor a nagy sz\'amok gyenge
t\"orv\'enye szerint az $\frac{S_n}n$ \'atlagok sztochasztikusan
tartanak null\'ahoz, a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'enye szerint
pedig egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel is null\'ahoz tartanak.
Hogyan lehet \'eles\'{\i}teni a nagy sz\'amok gyenge illetve er\H{o}s
t\"orv\'eny\'et? Pontosabban fogalmazva, milyen $a_n$, $n=1,2,\dots$
sorozatokra mondhatjuk, hogy $\frac{S_n}{a_n}$ sztochasztikusan tart
null\'ahoz, ha $n\to\infty$? Milyen $b_n$, $n=1,2,\dots$ sorozatokra
mondhatjuk, hogy $\frac{S_n}{b_n}$ egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
tart null\'ahoz, ha $n\to\infty$? Az egyszer\H{u}s\'eg kedv\'e\'ert
tegy\"uk fel, hogy olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat
tekint\"unk, amelyeknek van m\'asodik momentumuk.

Az els\H{o} k\'erd\'esre a v\'alasz viszonylag egyszer\H{u}
k\"ovetkezm\'enye a centr\'alis ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel\-nek,
\'es ezt tartalmazza a k\"ovetkez\H{o} feladat. A m\'asodik
k\'erd\'esre a v\'alaszt nehezebb megadni. Erre a k\'erd\'esre az
al\'abb megfogalmazott bizony\'{\i}t\'as n\'elk\"ul k\"oz\"olt
iter\'alt logaritmust\'etel adja meg a v\'alaszt.

\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Legyenek $\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, amelyekre $E\xi_1=0$ \'es
$E\xi_1^2<\infty$. Legyen $S_n=\summ_{k=1}^n\xi_k$, $n=1,2,\dots$.
Ekkor pozit\'{\i}v val\'os sz\'amok valamely $a_n$ sorozat\'ara a
$\frac{S_n}{a_n}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok akkor \'es
csak akkor tartanak sztochasztikusan null\'ahoz $n\to\infty$ eset\'en,
ha $\limm_{n\to\infty}\frac{a_n}{\sqrt n}=\infty$.

\medskip
V\'eg\"ul megfogalmazom a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as
egyik h\'{\i}res eredm\'eny\'et, az \'ugy\-neve\-zett iter\'alt
logaritmus t\'etelt \medskip\noindent
{\bf Iter\'alt logaritmus t\'etel.} {\it Legyenek
$\xi_1(\oo),\xi_2(\oo),\dots$, f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
val\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egi v\'altoz\'ok valamilyen $(\Omega,\Cal
A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, amelyekre $E\xi_1(\oo)=0$,
$\Var\xi_1(\oo)=\sigma^2<\infty$.
Ekkor
$$
\limsup_{n\to\infty}\frac{\xi_1(\oo)+\cdots+\xi_n(\oo)}
{\sqrt{2n\sigma^2\log\log n}}=1, \quad\text{majdnem minden
$\oo\in\Omega$ elemi esem\'enyre,}
$$
\'es
$$
\liminf_{n\to\infty}\frac{\xi_1(\oo)+\cdots+\xi_n(\oo)}
{\sqrt{2n\sigma^2\log\log n}}=-1,
\quad\text{majdnem minden $\oo\in\Omega$ elemi esem\'enyre.}
$$
}

\medskip
Tanuls\'agos lehet a k\"ovetkez\H{o}, tal\'an kiss\'e meglep\H{o}
eredm\'enyeket tartalmaz\'o fel\-adat\-sor megold\'asa. E 
fel\-ada\-tok vizsg\'alat\'aban fontos szerepet j\'atszik a nagy 
sz\'amok t\"orv\'enye.

\medskip
{\it Feladatok.}
\medskip

\item{1.)} Tegy\"uk fel, hogy a k\"ovetkez\H{o} j\'at\'ekot
j\'atszhatjuk: Feldobnak egy szab\'alyos p\'enz\-da\-ra\-bot
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul egym\'as ut\'an. Amennyiben fej a
dob\'as eredm\'enye, akkor a feltett t\'et dupl\'aj\'at kapjuk, ha
\'{\i}r\'as, akkor a t\'et $\frac23$ r\'esz\'et elvesz\'{\i}tj\"uk,
\'es csak $\frac13$ r\'esz\'et \H{o}rizhetj\"uk meg.  Mivel ez a
j\'at\'ek el\H{o}ny\"os, ez\'ert feltessz\"uk minden j\'at\'ekban
minden p\'enz\"unket. L\'assuk be, hogy amennyiben $A$ volt a
vagyonunk a j\'at\'ek kezdete el\H{o}tt, \'es $Z_n$ jel\"oli
vagyonunkat az $n$-ik j\'at\'ek ut\'an, akkor
\itemitem{a)} $EZ_n=A\(\frac76\)^n$, azaz vagyonunk v\'arhat\'o
\'ert\'eke exponenci\'alisan n\H{o}.
\itemitem{b)} $Z_n$ egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel null\'ahoz tart,
azaz ha sok\'aig j\'atszunk, akkor k\"ozel egy
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel majdnem minden p\'enz\"unket
elvesz\'{\i}tj\"uk.
\itemitem{c)} \'Erts\"uk meg, hogy a feladat a) \'es b) r\'esz\'enek az
\'all\'{\i}t\'asa nem mond egym\'asnak ellent.

\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=2$, ha a $j$-ik
dob\'as eredm\'enye fej, $\xi_j=\frac13$, ha a $j$-ik dob\'as
eredm\'enye \'{\i}r\'as. Ekkor $\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
$P(\xi_j=2)=P\(\xi_j=\frac13\)=\frac12$, \'es ezenk\'{\i}v\"ul
nye\-re\-m\'e\-ny\"unk az $n$-ik j\'at\'ek ut\'an
$Z_n=A\xi_1\xi_2\cdots\xi_n$. Ez\'ert
$E\xi_j=\frac12\(2+\frac13\)=\frac76$, \'es
$EZ_n=EA\xi_1\xi_2\cdots\xi_n =AE\xi_1 E\xi_2\cdots
E\xi_n=A\(\frac76\)^n$. Ez a feladat a) \'all\'{\i}t\'asa.

\item{} A $Z_n=A\xi_1\xi_2\cdots\xi_n$ rel\'aci\'ob\'ol
k\"ovetkezik, hogy
$\frac1n\log Z_n=\frac{\log A}n+\frac1n \summ_{j=1}^n\log \xi_j$.
To\-v\'ab\-b\'a, $E\log\xi_j=\frac12\(\log2+\log\frac13\)
=-\frac12\log\frac32$. Ez\'ert a nagy sz\'amok (er\H{o}s)
t\"orv\'enye sze\-rint $\frac1n\log Z_n$ egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konverg\'al a negat\'{\i}v
$-\frac12\log\frac32$ sz\'amhoz. Innen k\"ovetkezik, hogy 1
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel $\limm_{n\to\infty}\log Z_n=-\infty$,
\'es ez\'ert $\limm_{n\to\infty} Z_n=0$.

\item{} Az a) r\'esz bizony\'{\i}t\'asa azon alapult, hogy
$E\xi_j>1$, a b) r\'esz\'e pedig azon, hogy $E\log \xi_j<0$. Ez a
k\'et egyenl\H{o}tlens\'eg teljes\"ulhet egyszerre, mert a
v\'arhat\'o \'ert\'ek \'es a logaritmusk\'epz\'es egym\'assal nem
felcser\'elhet\H{o}. Igaz az $E e^\eta\ge e^{E\eta}$
egyenl\H{o}tlens\'eg (ez a konvex f\"uggv\'enyekre vonatkoz\'o
\'ugynevezett Jensen egyenl\H{o}tlens\'eg
speci\'alis esete), ahonnan $\xi=\log\eta$ v\'alaszt\'assal
$E\xi\ge e^{\log E\xi}$, de egyenl\H{o}s\'eg nem \'{\i}rhat\'o a
fenti egyenl\H{o}tlens\'eg helyett. Megjegyzem, hogy hasonl\'o, de
egyszer\H{u}bben \'erthet\H{o} p\'eld\'at mutat a feladat a) \'es
b) \'all\'{\i}t\'as\'anak egyszerre val\'o teljes\"ul\'es\'ere a
k\"ovetkez\H{o} modell. Olyan j\'at\'ekot j\'atszunk, amelyben
$\frac12$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel elvesz\'{\i}tj\"uk,
$\frac12$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel pedig megh\'aromszorozzuk
a p\'enz\"unket. Az egyes j\'at\'ekok egym\'ast\'ol f\"uggetlenek,
\'es minden id\H{o}pontban minden p\'enz\"unket feltessz\"uk. Ekkor
annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az $n$-ik j\'at\'ek ut\'an
minden p\'enz\"unket elvesz\'{\i}tj\"uk, $1-\(\frac12\)^n$, ami
rendk\'{\i}v\"ul gyor\-san tart egyhez, \'es p\'enz\"unk v\'arhat\'o
\'ert\'eke $3^n\(\frac12\)^n$, ami exponenci\'alisan gyorsan n\H{o}
az $n$ f\"uggv\'eny\'eben. Hasonl\'o, csak kiss\'e rejtettebb
jelens\'eg t\"ort\'enik az \'altalunk t\'argyalt feladatban is. 
Tekints\"uk a feladatban vizs\-g\'alt j\'at\'ek nyerem\'eny\'et sok 
j\'at\'ek ut\'an. Azt \'all\'{\i}thatjuk, hogy nagy $n$ indexre az 
$n$-ik j\'at\'ek ut\'an nagy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel alig marad
p\'enz\"unk. Viszont kis val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel nagyon sok
p\'enzt nyer\"unk, \'es ez\'ert nyerem\'eny\"unk v\'arhat\'o
\'ert\'eke nagy. Ez az oka annak, hogy nemcsak a b), hanem az a)
\'all\'{\i}t\'as is teljes\"ul.

\item{} A feladatban t\'argyalt modell egyben olyan p\'eld\'at is
ad, amelyben a Lebesgue t\'etel \'all\'{\i}t\'asa nem \'erv\'enyes,
mert nem teljes\"ulnek a Lebesgue t\'etel felt\'etelei. Ebben a
modellben a nyerem\'eny\"unk \'ert\'eke 1
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel null\'ahoz tart, a v\'arhat\'o
\'ert\'eke (azaz a nyerem\'eny \'ert\'ek\'enek a $P$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek szerinti integr\'alja) viszont
nem a hat\'ar\'ert\'ek integr\'alj\'ahoz, azaz null\'ahoz, hanem
v\'egtelenhez konverg\'al.

\item{2.)} Tekints\"uk az 1. feladatban t\'argyalt j\'at\'ekot
azzal a k\"ul\"onbs\'eggel, hogy \'ovatosabban j\'atszunk.
A j\'at\'ek minden egyes fordul\'oj\'aban vagyonunk $u$-ad
r\'esz\'et, $0\le u\le1$, tessz\"uk fel t\'etk\'ent. Jel\"olje
$Z_n(u)$ vagyonunkat a j\'at\'ek $n$-ik l\'ep\'ese ut\'an. Ekkor az
$\frac1n\log Z_n(u)$ val\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konverg\'alnak egy $B(u)$
sz\'amhoz. Hat\'arozzuk meg a legjobb $\bar u$ sz\'amot, amelyre
$B(\bar u)=\supp_{0\le u\le 1}B(u)$. L\'assuk be, hogy
$B(\bar u)>0$, ami azt jelenti, hogy nyerem\'eny\"unk
exponenci\'alisan n\H{o} 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel.

\item{}
{\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a $\xi_j=\xi_j(u)$,
$j=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat,
ame\-lyek\-re $\xi_j=1+u$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye fej,
\'es $\xi_j=\xi_j(u)=1-\frac {2u}3$, ha a $j$-ik dob\'as
eredm\'enye \'{\i}r\'as. Ekkor az $n$-ik l\'ep\'esben
a vagyonunk $Z_n=A\xi_1\cdots\xi_n$, a $\xi_j$, $j=1,2,\dots$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek \'es egyforma
eloszl\'as\'uak, ez\'ert $\frac1n\log Z_n=\frac{\log A}n
+\frac1n\summ_{j=1}^n\log \xi_j$, \'es a nagy sz\'amok er\H{o}s
t\"orv\'enye sze\-rint az $\frac1n\log Z_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok 1
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konverg\'alnak a
$B(u)=E\log\xi_1=\frac12\(\log(1+u)+\log\(1-\frac{2u}3\)\)
=\frac12\log(1+u)\(1-\frac {2u}3\)$ sz\'amhoz.
A $B(u)$ f\"ugg\-v\'eny a maximum\'at az $\bar u=\frac14$ helyen
veszi fel, \'es $B(\bar u)=\frac12\log\frac{25}{24}>0$.

\item{3.)} Tegy\"uk fel, hogy olyan j\'at\'ekot j\'atszhatunk, 
amelynek $n$-ik fordul\'obeli nyerem\'enye $A$ forint 
t\'et felt\'etele eset\'en $A\xi_n$ forint, ahol
$\xi_1,\dots,\xi_n,\dots$ f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, amelyekre, $E\xi_1>1$. 
Legyen 1 forintunk az els\H{o} fordul\'o el\H{o}tt. Van
olyan ezt a felt\'etelt teljes\'{\i}t\H{o} modell, amelyre abban 
az esetben, ha mer\'eszen j\'atszunk, azaz ha minden fordul\'oban  
feltessz\"uk a teljes va\-gyo\-nun\-kat, akkor a va\-gyo\-nunk 
null\'ahoz tart $n\to\infty$ eset\'en. Viszont ha minden 
fordul\'oban a va\-gyo\-nunk $u$-ad r\'esz\'et tessz\"uk fel 
valamely $0<u< 1$ sz\'ammal, akkor az $u$ sz\'am
al\-kal\-mas v\'alaszt\'as\'aval el\'erhet\H{o}.
hogy va\-gyo\-nunk \'ert\'eke exponenci\'alisan n\H{o}j\"on 
$n\to\infty$ eset\'en, azaz l\'etezzen olyan $B(u)>1$ sz\'am, 
amelyre az $n$ fordul\'o ut\'ani vagyonunk $B(n)$ \'ert\'ek\'ere
$\limm_{n\to\infty} B_n^{1/n}=B(u)$ egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel.

\item{} {\it Megold\'as:}\/ Az 1. feladatban megadtunk egy olyan
modellt, amelyben mer\'esz j\'at\'ek eset\'en nyerem\'eny\"unk 
\'ert\'eke null\'ahoz tart $n\to\infty$ eset\'en. M\'asr\'eszt, ha 
vagyonunk $u$-ad-r\'esz\'et tessz\"uk fel minden fordul\'oban, 
\'es $X_n$ jel\"oli vagyonunkat az $n$-ik fordul\'o
ut\'an, akkor $X_{n+1}=(1-u)X_n+uX_n\xi_n=X_n\eta_n$, ahol 
$\eta_n=\eta_n(u)=1-u+u\xi_n$. Innnen $X_{n+1}=\prodd_{j=1}^n\eta_j$, 
\'es a nagy sz\'amok t\"orv\'enye sze\-rint 
$\limm_{n\to\infty}\frac1{n}\log X_n
=\limm_{n\to\infty}\frac1n\summ_{j=1}^n\log \eta_j=E\log\eta_1$ egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel. Ez\'ert el\'eg bel\'atni, hogy 
$E\log\eta_1(u)>0$ alkalmas $0<u<1$ sz\'amra. Viszont az 
$f(u)=E\log\eta_1(u)$ f\"uggv\'enyre $f(0)=0$, \'es
deriv\'altj\'ara $f'(0)=\left.E\frac{\xi_n-1}{1+u(\xi_n-1)}\right|_{u=0}
=E\xi_n-1>0$. Ez azt jelenti, hogy $f(u)>0$ minden el\'eg kis $u>0$
sz\'amra. Innen k\"ovetkezik a feladat \'all\'{\i}t\'asa.

\beginsection Kieg\'esz\'{\i}t\'es. A nagy sz\'amok er\H{o}s
t\"orv\'eny\'enek a bizony\'{\i}t\'asa.

Ebben a kieg\'esz\'{\i}t\'esben bebizony\'{\i}tom a nagy sz\'amok
t\"orv\'eny\'enek el\'eg\-s\'e\-ges\-s\'eg\-r\H{o}l sz\'ol\'o
fel\'et az al\'abb megfogalmazott Kolmogorov egyenl\H{o}tlens\'eg
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Azt l\'atom be, hogy ha
$\xi_1,\xi_2,\dots,$ f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok sorozata, \'es
teljes\"ul az $E|\xi_1|<\infty$ felt\'etel, akkor ez a
sorozat teljes\'{\i}ti a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'et.

\medskip\noindent
{\bf Kolmogorov egyenl\H{o}tlens\'eg}.
{\it Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen, (nem
felt\'etlen\"ul egyforma eloszl\'as\'u)
va\-l\'o\-sz\'\i{}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'al\-to\-z\'ok, $E\xi_k=0$,
$E\xi_k^2=\sigma_k^2$. Tekints\"uk e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok $S_k=\sum\limits_{p=1}^k\xi_p$, $k=1,\dots,n$,
r\'eszlet\"osszegeit. Ekkor
$$
P\(\sup_{1\le k\le n}|S_k|\ge x\)\le\frac{ES_n^2}{x^2}
=\frac{\sum\limits_{k=1}^n\sigma_k^2}{x^2}
$$
minden $x>0$ sz\'amra.}

\medskip\noindent
{\it A Kolmogorov egyenl\H{o}tlens\'eg bizony\'{\i}t\'asa.}\/
R\"ogz\'{\i}ts\"unk egy $x>0$ sz\'amot, \'es ve\-zes\-s\"uk be a
k\"ovetkez\H{o} $\tau(\oo)=\tau(n,x,\oo)$ v\'eletlen id\H{o}pontot:
$\tau(\oo)=k$ valamely $1\le k\le n$ sz\'amra, ha $|S_k(\oo)|\ge x$,
\'es $|S_j(\oo)|<x$ minden $1\le j<k$ sz\'amra, \'es $\tau(\oo)=n$, ha
$|S_j(\oo)|<x$ minden $1\le j\le n$ indexre. A $\tau$ v\'eletlen
id\H{o}pont (meg\'all\'asi szab\'aly) szeml\'eletes tartalma a
k\"ovetkez\H{o}: Az els\H{o} olyan $k\le n$ id\H{o}pontot
keress\"uk, amelyre $S_k\ge x$. Ha van ilyen id\H{o}pont, akkor
$\tau$ ezzel az id\H{o}ponttal egyenl\H{o}. Ha nincs ilyen
id\H{o}pont, akkor $\tau=n$. Azt \'all\'{\i}tom, hogy
\'erv\'enyes az
$$
ES_\tau^2\le ES_n^2  \tag a
$$
egyenl\H{o}tlens\'eg. Ennek bizony\'{\i}t\'asa
\'erdek\'eben vezess\"uk be a $\tau_j=\max(\tau,j)$, $1\le j\le n$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. Mivel $\tau_1=\tau$,
\'es $\tau_n=n$, ez\'ert az (a) rel\'aci\'o bizony\'{\i}t\'as\'ahoz
el\'eg megmutatni, hogy $ES_{\tau_j}^2\le ES_{\tau_{j+1}}^2$
minden $1\le j< n$ indexre. Viszont
$S_{\tau_j}(\oo)=S_{\tau_{j+1}}(\oo)$, ha $\tau>j$, \'es
$S_{\tau_{j}}(\oo)=S_j(\oo)$,
$S_{\tau_{j+1}}(\oo)=S_{j+1}(\oo)=S_j(\oo)+\xi_{j+1}(\oo)$, ha
$\tau\le j$. Ez\'ert el\'eg megmutatni, hogy
$$
\align
ES^2_{\tau_{j+1}}(\oo)-ES^2_{\tau_j}(\oo)&=
E\[\(S_{\tau_j}(\oo)+\xi_{j+1}(\oo)\)^2-S^2_{\tau_{j}}(\oo)\]I_A(\oo)\\
&=2EI_A(\oo)S_j(\oo)\xi_{j+1}(\oo)+E\xi_{j+1}^2(\oo)I_A(\oo)\ge0,
\endalign
$$
ahol $A$ az $\{\oo\colon\;\tau(\oo)\le j\}$ esem\'eny, \'es
$I_A(\oo)$ az $A$ halmaz indik\'ator f\"uggv\'enye. Ezen 
egyenl\H{o}tlens\'eg igazol\'as\'anak \'erdek\'eben  vegy\"uk 
\'eszre, hogy a $\xi_{j+1}(\oo)$ \'es
$I_A(\oo)S_j(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"ug\-get\-le\-nek, mivel a m\'asodik
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o a
$\xi_1(\oo)$,\dots, $\xi_j(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'al\-to\-z\'ok f\"ugg\-v\'e\-nye. Innen k\"ovetkezik, hogy
$$
EI_A(\oo)S_j(\oo)\xi_{j+1}(\oo)=EI_A(\oo)S_j(\oo)E\xi_{j+1}(\oo)=0.
$$
M\'asr\'eszt $E\xi_{j+1}^2(\oo)I_A(\oo)\ge0$. Innen k\"ovetkezik a
bizony\'{\i}tand\'o egyenl\H{o}tlens\'eg \'es az (a) rel\'aci\'o.

A Kolmogorov egyenl\H{o}tlens\'eg egyszer\H{u}en k\"ovetkezik az
(a)~rel\'aci\'ob\'ol \'es a Csebisev egyenl\H{o}tlens\'egb\H{o}l.
Val\'oban, mivel $\left\{\oo\colon\supp_{1\le k\le n}|S_k(\oo)|
\ge x\right\}=\{\oo\colon\;|S_\tau(x)|\ge x\}$, ez\'ert
$$
P\(\sup_{1\le k\le n}|S_k|\ge x\)=
P\(|S_\tau|\ge x\)\le \frac{ES_\tau^2}{x^2}
\le\frac{ES_n^2}{x^2}.
$$

\medskip
\'Erdemes megjegyezni, hogy a Kolmogorov egyenl\H{o}tlens\'eg
ugyan\-azt a fels\H o becsl\'est adja annak
val\'osz\'\i{}n\H{u}s\'eg\'ere, hogy az $S_k$ r\'eszlet\"osszegek
szup\-r\'e\-mu\-ma nagyobb mint valamilyen $x>0$ sz\'am, mint amit
a Csebisev egyen\-l\H{o}t\-len\-s\'eg ad annak az ese\-m\'eny\-nek
a val\'osz\'\i{}n\H{u}s\'eg\'ere, hogy az utols\'o tag $S_n$
nagyobb, mint~$x$. Term\'eszetesen
$$
P\(\supp_{1\le k\le n}|S_k|>x\)\ge P\(|S_n|>x\),
$$
de mint ahogy a Kolmogorov \'es Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eg
\"osszehasonl\'{\i}t\'asa is sugallja a fenti egyenl\H{o}tlens\'eg
baloldala nem sokkal nagyobb mint a jobboldala.

\medskip
A nagy sz\'amok t\"orv\'eny\'enek bizony\'{\i}t\'as\'aban hasznos
a k\"ovetkez\H{o} technikai jelleg\H{u} lemma.

\medskip\noindent
{\bf Kronecker lemma:} {\it Ha az $a_k$ \'es $q_k$,
$k=1,2,\dots$ sz\'amsorozatok olyanok, hogy a
$\summ_{k=1}^\infty a_k$ \"osszeg konvergens, a $q_k$ sorozat
monoton n\H{o} \'es $\limm_{k\to\infty}q_k=\infty$, akkor
$\limm_{n\to\infty}\frac1{q_n}\summ_{k=1}^n a_kq_k=0$.}

\medskip\noindent
{\it A Kronecker lemma bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Vezess\"uk be az
$R_n=\summ_{k=n}^\infty a_k$, $n=1,2,\dots$, \"osszegeket, \'es
\'{\i}rjuk fel az $\frac1{q_n}\summ_{k=1}^n a_kq_k=
\frac1{q_n}\summ_{k=1}^n (R_k-R_{k+1})q_k=
\frac1{q_n}\summ_{k=1}^n R_k(q_k-q_{k-1})-R_{n+1}$
azonoss\'agot, ahol a $q_0=0$ jel\"ol\'est haszn\'aljuk. (A fenti 
t\'{\i}pus\'u sz\'amol\'as, amelyet Abel-f\'ele \'atrendez\'esnek 
h\'{\i}vnak, a parci\'alis integr\'al\'as diszkr\'et 
megfelel\H{o}je.) Felhaszn\'alva, hogy l\'etezik olyan $R<\infty$ 
sz\'am, amelyre $|R_n|<R$ minden $n=1,2,\dots$ indexre, 
to\-v\'ab\-b\'a minden $\e>0$ sz\'amhoz l\'etezik olyan
$n_0=n_0(\e)$ index, amelyre $|R_n|\le\e$, ha $n\ge n_0$, \'es
$q_k-q_{k-1}\ge0$ minden $k=1,2,\dots$, sz\'amra, az el\H{o}z\H{o}
azonoss\'ag alapj\'an fel\'{\i}rhatjuk a k\"ovetkez\H{o}
egyenl\H{o}tlens\'eget:
$$
\frac1{q_n}\left|\summ_{k=1}^n a_kq_k\right|\le
\frac1{q_n}\summ_{k=1}^{n_0} R(q_k-q_{k-1})+
\frac1{q_n}\summ_{k=n_0+1}^n \e(q_k-q_{k-1})+\e
\le R\frac {q_{n_0}}{q_n}+2\e,
$$
ha $n\ge n_0$. Mivel ez az egyenl\H{o}tlens\'eg minden $\e>0$
sz\'amra \'erv\'enyes, \'es $\limm_{n\to\infty} q_n=\infty$, innen
$n\to\infty$ hat\'ar\'atmenettel k\"ovetkezik a Kronecker lemma
\'all\'{\i}t\'asa.

\medskip
A nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'enek be nem bizony\'{\i}tott
el\'egs\'eges r\'esz\'enek igazol\'as\'ahoz (ahhoz, hogy v\'eges 
v\'arhat\'o \'ert\'ek l\'etez\'ese eset\'en igaz a nagy sz\'amok 
er\H{o}s t\"orv\'enye) elegend\H{o} a k\"ovetkez\H{o} 
\'all\'{\i}t\'ast bebizony\'{\i}tani.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel a nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'er\H{o}l.} {\it
Ha $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata, $E|\xi_1|<\infty$,
$E\xi_1=0$, $S_n=\sum\limits_{k=1}^n\xi_k$, $n=1,2,\dots$, akkor
$\limm_{n\to\infty}\frac{S_n}n=0$ egy
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel.}

\medskip\noindent
{\it A nagy sz\'amok er\H{o}s t\"orv\'eny\'er\H{o}l sz\'ol\'o
t\'etel bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Vezess\"uk be a t\'etelben
szerepl\H{o} $\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
k\"ovetkez\H{o} felbont\'as\'at: $\xi_n=\xi_n'+\xi_n''$, ahol
$\xi'_n=\xi_nI(|\xi_n|\le n)$, $\xi''_n=\xi_nI(|\xi_n|>n)$,
\'es $I(A)$ az $A$ halmaz indik\'atorf\"uggv\'eny\'et
jel\"oli. Megmutatom, hogy a t\'etel \'all\'{\i}t\'as\'anak
bizony\'{\i}t\'as\'at reduk\'alni lehet a
$\limm_{n\to\infty}\frac1n\summ_{k=1}^n\xi_n'=0$
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, s\H{o}t a
$\limm_{n\to\infty}\frac1n\summ_{k=1}^n(\xi_n'-E\xi_n')=0$
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel rel\'aci\'o bizony\'{\i}t\'as\'ara.

Az els\H{o} redukci\'o igazol\'as\'ahoz el\'eg \'eszrevenni, hogy
$$
\summ_{k=1}^\infty P(\xi''_k\neq0)=\summ_{k=1}^\infty P(|\xi_k|>k)
=\summ_{k=1}^\infty P(|\xi_1|>k)\le
1+E|\xi_1|<\infty,
$$
ez\'ert a Borel--Cantelli lemma alapj\'an egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel csak v\'eges sok $k$-ra teljes\"ul a
$\xi''_k\neq0$ esem\'eny. Innen $\frac1n\summ_{k=1}^n\xi_k''\to0$
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel.

A m\'asodik redukci\'o igazol\'as\'ahoz el\'eg megmutatni, hogy
$$
\left|\frac 1n\sum_{k=1}^nE\xi_k'\right|
=\left|-\frac1n\summ_{k=1}^n E\xi_k''\right|
\le\frac1n\sum_{k=1}^n E|\xi_1|I(|\xi_1|\ge k)\to0,
$$
ha $n\to\infty$, mert $E|\xi_1|<\infty$, \'es ez\'ert
$E|\xi_1|I(|\xi_1|>k)\to0$, ha $k\to\infty$.

A reduk\'alt \'all\'{\i}t\'ast \'erdemes a Kronecker lemma
seg\'{\i}ts\'eg\'evel visszavezetni a k\"o\-vet\-ke\-z\H{o}
\'all\'{\i}t\'as igazol\'as\'ara. A t\'etel felt\'eteleinek
teljes\"ul\'ese eset\'en a
$\summ_{n=1}^\infty\frac{\xi_n'-E\xi_n'}n$ \"osszeg egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konvergens. Val\'oban, ebb\H{o}l az
\'all\'{\i}t\'asb\'ol \'es a Kronecker lemm\'ab\'ol
$a_k=\frac{\xi_k'-E\xi_k'}k$ \'es $q_k=k$ v\'alaszt\'assal
k\"ovetkezik, hogy
$\limm_{n\to\infty}\summ_{k=1}^n\frac{\xi_k'-E\xi_k'}n=0$ egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel.

Ezen \'all\'{\i}t\'as igazol\'as\'ahoz
el\'eg bel\'atni, hogy tetsz\H{o}leges $\e>0$ sz\'amra
$$
P\(\supp_{N\ge n}\left|\sum_{k=n}^N
\frac{\xi_k'-E\xi'_k}k\right|>\e\)\to0\quad\text{ha }n\to\infty.
$$
Innen ugyanis k\"ovetkezik, hogy
$$
P\(\supp_{N,M\colon\,N\ge n,\, M\ge n}\left|\sum_{k=M}^N
\frac{\xi_k'-E\xi'_k}k\right|>2\e\)
\to0\quad\text{ha }n\to\infty.
$$
Mivel ez az egyenl\H{o}tlens\'eg alkalmazhat\'o minden
$\e=\frac1k$, $k=1,2,\dots$, sz\'amra, innen k\"ovetkezik, hogy
a $\summ_{k=1}^n\frac{\xi_k'-E\xi_k'}k$ sorozat egy
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel Cauchy so\-ro\-zat, \'es
a $\summ_{k=1}^\infty\frac{\xi_k'-E\xi_k'}k$ \"osszeg egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel konvergens.

Az igazoland\'o egyenl\H{o}tlens\'eget  a Kolmogorov
egyenl\H{o}tlens\'eg seg\'{\i}ts\'eg\'evel igazolhatjuk.
Ugyanis a Kolmogorov egyenl\H{o}tlens\'eg alapj\'an
$$
P\(\supp_{N\ge n}\left|\sum_{k=n}^N\frac{\xi_k'-E\xi_k'}k\right|>\e\)
\le\frac1{\e^2}\summ_{k=n}^\infty\frac{ \Var\xi_k'}{k^2}
\le\frac1{\e^2}\summ_{k=n}^\infty\frac{ E{\xi_k'}^2}{k^2}.
$$
Ez\'ert a k\'{\i}v\'ant egyenl\H{o}tlens\'eg igazol\'as\'ahoz
el\'eg megmutatni, hogy
$$
\sum_{k=1}^\infty \frac{E{\xi_k'}^2}{k^2}<\infty.
$$
Ez az egyenl\H{o}tlens\'eg k\"ovetkezik az al\'abbi
sz\'amol\'asb\'ol.
$$
\align
\sum_{k=1}^\infty\frac1{k^2}E{\xi'_k}^2&\le
\sum_{k=1}^\infty\frac1{k^2}E\xi_1^2I(|\xi_1|>k)\le
\const\sum_{j=1}^\infty
j^2P(j\le|\xi_1|<j+1)\(\sum_{k=j}^\infty\frac1{k^2}\)\\
&\le\const \sum_{j=1}^\infty j P(j\le|\xi_1|<j+1)
\le \const E|\xi_1|<\infty.
\endalign
$$

\bye

\beginsection  A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as
bevezet\H{o} el\H{o}ad\'as r\"ovid \'attekint\'ese.

Az el\H{o}ad\'assorozatot n\'eh\'any fontos
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi probl\'ema
megfogalmaz\'as\'aval kezdtem, \'es ismertettem a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as t\"ort\'enet\'enek
n\'eh\'any \'erdekes for\-du\-l\'o\-pont\-j\'at. A probl\'em\'ak
megfogalmaz\'as\'anak c\'elja az volt, hogy k\'epet adjak arr\'ol,
milyen k\'er\-d\'e\-sek\-kel foglalkozik a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as. Ugyancsak fontos r\'esze
volt az el\H{o}ad\'asnak n\'e\-h\'any kombinatorikai probl\'ema
\'es eredm\'eny ismertet\'ese, amelyek fontos szerepet 
j\'at\-sza\-nak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi 
probl\'em\'ak vizsg\'alat\'aban. A probl\'em\'ak \'es m\'odszerek 
jobb meg\-\'er\-t\'e\-se \'erdek\'eben feleleven\'{\i}tettem 
n\'eh\'any anal\'{\i}zisbeli fogalmat, mindenekel\H{o}tt a Taylor 
sor fogalm\'at, illetve n\'eh\'any a v\'egtelen halmazok 
sz\'amoss\'ag\'aval kapcsolatos fontos fogalmat \'es eredm\'enyt.

Ezut\'an r\'at\'ertem a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as
prec\'{\i}z, Kolmogorov \'altal kidolgozott el\-m\'e\-le\-t\'e\-nek 
az ismertet\'es\'ere. Ezen elm\'eleten bel\"ul k\"ul\"on\"osen
fontos annak meg\'ert\'ese, hogy hogyan lehet a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as probl\'em\'ait e
form\'alis, a halmazelm\'elet nyelv\'et haszn\'al\'o modell
keretei k\"oz\"ott t\'argyalni. Ugyancsak fontos annak
meg\-\'er\-t\'e\-se, hogy a probl\'em\'ak \'atfogalmaz\'asa a
Kolmogorov-f\'ele modellbe hogyan seg\'{\i}t konkr\'et feladatok
megold\'as\'aban. A Kolmogorov-f\'ele elm\'eletet el\H{o}sz\"or
olyan modellekben t\'argyaltuk, amelyben a megfigyel\'esnek csak
v\'eges, esetleg megsz\'aml\'alhat\'oan v\'egtelen sok 
ered\-m\'e\-nye lehets\'eges. Annak \'erdek\'eben, hogy ne csak 
v\'eges vagy megsz\'aml\'alhat\'oan v\'egtelen sok lehets\'eges 
kimenetelt tartalmaz\'o modellt tudjuk vizsg\'alni, sz\"uks\'eg 
volt bizonyos m\'ely m\'ert\'ekelm\'eleti ered\-m\'e\-nyek 
felid\'ez\'es\'ere. P\'eld\'at mutattam arra is, hogy a 
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi m\'ert\'ek 
$\sigma$-addit\'{\i}vit\'as\'ab\'ol olyan azonoss\'agok is 
k\"ovetkeznek, amelyeket b\'ar be lehet bizony\'{\i}tani csup\'an
az anal\'{\i}zis eredm\'enyeinek a felhaszn\'al\'as\'aval, de egy
ilyen bizony\'{\i}t\'as rendk\'{\i}v\"ul sok sz\'amol\'ast
ig\'enyel.

Elegend\H{o} a fogalmak \'es eredm\'enyek jelent\'es\'enek
meg\'ert\'ese, illetve azt l\'atni, hogyan lehet ezt feladatok
megold\'as\'aban haszn\'alni. K\"ul\"on t\'argyaltam t\"obb olyan
feladatot, amelyek geometriai meggondol\'asok seg\'{\i}ts\'eg\'evel
egyszer\H{u}en megoldhat\'oak. Ezen megold\'asok h\'atter\'eben
term\'eszetes \'es szeml\'eletes, de m\'ely m\'ert\'ekelm\'eleti
eredm\'enyek vannak. B\'ar e m\'ert\'ekelm\'eleti erem\'enyek
bizony\'{\i}t\'as\'at nem t\'argyaltam, egy ilyen elveken alapul\'o
(j\'o) feladatmegold\'ast teljes \'ert\'ek\H{u}nek fogok
tekinteni a vizsg\'an.

Ezut\'an t\'argyaltam \'es bebizony\'{\i}tottam a Borel--Cantelli
lemm\'at. Itt is elegend\H{o} az eredm\'enyt meg\'erteni, illetve
term\'eszetes esetekben ezt az eredm\'eny tudni kell haszn\'alni.
Az el\H{o}ad\'asban t\'argyalt k\"ovetkez\H{o} fontos fogalom
a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg volt. Nagyon fontos
meg\'erteni, hogy hogyan kell ezt a fogalmat konkr\'et esetekben
haszn\'alni. Az itt kimondott ered\-m\'e\-nye\-ket jobban meg
lehet \'erteni, ha  konkr\'et feladatokat vizsg\'alunk.

Bevezettem esem\'enyek f\"uggetlens\'eg\'enek a fogalm\'at is. Az
itt kimondott fogalmak, eredm\'enyek ismerete rendk\'{\i}v\"ul
fontos. A t\'argyal\'as sor\'an sz\'oba ker\"ultek
m\'ert\'ekelm\'eleti fogalmak \'es eredm\'enyek. Az egyszer\H{u}bb
fogalmakat, mint p\'eld\'aul a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o},
a $\sigma$-algebra fogalm\'at ismerni kell, de m\'ar olyan
fogalmaknak az ismeret\'et, mint p\'eld\'aul a majdnem-minden\"utt
teljes\"ul\H{o} tulajdons\'agok, Lebesgue integr\'al, Fubini t\'etel
elegend\H{o} k\"or\"ulbel\"ul tudni, azon a szinten, ami ahhoz
kell, hogy a le\'{\i}rt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi eredm\'enyeket
\'erts\'ek \'es tudj\'ak haszn\'alni. Ezenbel\"ul a Fubini t\'etel
ismerete fontos, mert ezt nagyon sok feladat megold\'as\'aban
haszn\'alj\'ak. (Az itt haszn\'alt eredm\'enyek bizony\'{\i}t\'asa
\'es r\'eszletes t\'argyal\'asa a m\'ert\'ekelm\'elet \'es nem a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as t\'em\'aja. Arr\'ol, hogy
milyen szigor\'us\'aggal k\"ovetelik meg ezen eredm\'enyek
ismeret\'et a m\'ert\'ekelm\'elet vizsg\'an nem \'en d\"ont\"ok.)

T\"obb f\"uggetlen esem\'enyekkel kapcsolatos feladatot
t\'argyaltam. Ilyen feladatok megold\'as\'at a vizsg\'an tudni
kell. Ugyancsak t\'argyaltam az e probl\'emak\"or
\'al\-ta\-l\'a\-no\-s\'{\i}\-t\'a\-s\'a\-nak tekinthet\H{o} 
\'ugynevezett szita-formul\'at, \'es n\'eh\'any ennek 
seg\'{\i}ts\'eg\'evel meg\-old\-ha\-t\'o prob\-l\'e\-m\'at. 
B\'ar ez a probl\'emak\"or a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as tem\'eszetes r\'esz\'enek
tekinthet\H{o}, ennek ismeret\'et, illetve (a csak) ezen formula
seg\'{\i}ts\'eg\'evel megoldhat\'o feladatok megold\'as\'at nem
k\"ovetelem meg a vizsg\'an.

Ezut\'an konkr\'et el\H{o}sz\"or diszkr\'et, majd
folytonos eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat
vizsg\'altam. Defini\'altam val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok f\"uggetlens\'eg\'et, v\'arhat\'o \'er\-t\'e\-k\'et,
sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-t\'et \'es k\"ul\"onb\"oz\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok kovarianciaf\"uggv\'eny\'et.
El\H{o}\-sz\"or disz\-kr\'et va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ok eset\'eben defini\'altam ezeket a fogalmakat, \'es
csak k\'e\-s\H{o}bb vezettem be \H{o}ket folytonos eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eset\'eben. Ennek a
t\'ar\-gya\-l\'as\-m\'od\-nak el\-s\H{o}\-sor\-ban metodol\'ogiai 
okai voltak. Ugyanis diszkr\'et eloszl\'as\'u 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok vizsg\'alata nem ig\'enyli 
m\'ely m\'ert\'ekelm\'eleti fogalmak \'es ered\-m\'e\-nyek 
ismeret\'et, \'es sok \'erdekes \'es fontos 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as jelens\'eg
m\'ar ezek seg\'{\i}ts\'eg\'evel is t\'argyalhat\'o.

Folytonos eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
t\'argyal\'as\'aban a legfontosabb fogalmak, mint p\'eld\'aul a 
v\'arhat\'o \'ert\'ek \'es sz\'or\'asn\'egyzet prec\'{\i}z 
definici\'oj\'ahoz
sz\"uks\'eges a Lebesgue integr\'al fogalma. V\'azoltam a Lebesgue
integr\'al definici\'oj\'at, de e fogalom pontos ismerete (ezen
tant\'argy keretein bel\"ul) nem sz\"uks\'eges. Viszont ki kell 
tudni sz\'amolni v\'eletlen \"osszegek v\'arhat\'o \'ert\'eket, 
sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-zetet, \'es 
f\"ug\-get\-len val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok 
\"osszeg\'enek a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et
(konvoluci\'o seg\'{\i}ts\'eg\'evel). Tudni kell, hogy a 
felhaszn\'alt t\'etelek milyen felt\'etelek mellett \'erv\'enyesek. 
E feladatok megold\'as\'anak \'er\-de\-k\'e\-ben j\'ol meg kell 
\'erteni, hogy hogyan \'erdemes val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
probl\'em\'ak j\'o  modellj\'et bevezetni, \'es hogyan kell vel\"uk 
sz\'amolni. Ezenk\'{\i}v\"ul tudni kell az anal\'{\i}zisben tanult 
integr\'al \'es dif\-fe\-ren\-ci\'al\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as 
legfontosabb eredm\'enyeit is.

Bevezettem a legfontosabb diszkr\'et \'es folytonos eloszl\'asokat,
Ezekkel tudni kell sz\'amolni, illetve ezen eloszl\'asok
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi tartalm\'at is tudni \'es \'erteni kell.

T\'argyaltam a Markov \'es Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eget.
Ezut\'an az el\H{o}ad\'as fontos t\'em\'aja volt az eloszl\'asok
fogalma, legfontosabb tulajdons\'agai, a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as\-ban 
sze\-rep\-l\H{o} k\"ul\"onb\"oz\H{o} konvergenciafogalmak 
(eloszl\'asban val\'o konvergencia, szto\-chasz\-ti\-kus konvergencia, 
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel val\'o konvergencia) valamint azok
jelent\'ese \'es kap\-cso\-la\-ta. Ugyan\-csak fontos meg\'erteni
a nagy sz\'amok gyenge \'es er\H{o}s t\"orv\'eny\'et, azt hogy mit
mondanak ki ezek az eredm\'enyek. A
bi\-zo\-ny\'{\i}\-t\'a\-sok r\'esz\-le\-tei\-nek ismerete nem
sz\"uks\'eges.

Az el\H{o}ad\'as legfontosabb t\'em\'aja a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel volt. Ennek t\'argyal\'asa \'erdek\'eben
bevezettem a karakterisztikus f\"uggv\'eny fogalm\'at. Ennek
er\'eszletes t\'ar\-gya\-l\'a\-s\'a\-ra azonban nem maradt
id\H{o}. Ezenk\'{\i}v\"ul a Fourier sorok elm\'elete, amely jobban
megvil\'ag\'{\i}tja az itt szerepl\H{o} fogalmakat \'es a
bizony\'{\i}t\'asok h\'atter\'et sokaknak nem szerepelt az eddigi
tananyag\'aban. Ez\'ert ennek az elm\'eleti r\'esznek az ismerete
a vizsg\'an nem sz\"uks\'eges. Viszont nagyon fontos tudni azt,
hogy hogyan \'es mire lehet haszn\'alni a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelt. Ebbe beletartoznak az el\H{o}ad\'ason
t\'argyalt statisztikai probl\'em\'ak is.

V\'eg\"ul a t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelt
\'es a $\chi$-n\'egyzet pr\'ob\'at t\'ar\-gyal\-tam. Ezen bel\"ul
ismertettem bizonyos fogalmak (eloszl\'as f\"uggv\'eny,
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny, eloszl\'asban val\'o konvergencia,
v\'arhat\'o \'ert\'ek, sz\'or\'asn\'egyzet) t\"obb-dimenzi\'os
megfelel\H{o}it. Ezen fogalmakat \'es a hozz\'ajuk k\"ot\"od\H{o}
eredm\'enyeket ismerni kell. Viszont a
bi\-zo\-ny\'{\i}\-t\'a\-so\-kat
nem k\'erem, elegend\H{o} ezek bizonyos durva \'attekint\'es\'et
ismerni.

V\'eg\"ul megjegyzem, hogy a vizsga els\H{o}sorban feladatok
megold\'as\'ab\'ol fog \'allni. Ez\'ert a felk\'esz\"ul\'eshez azt
javaslom, hogy ne csak a definici\'okat, t\'eteleket, hanem a
t\'argyalt feladatokat is tanulm\'anyozz\'ak. Ez ut\'obbiak is
fontos r\'eszei az el\H{o}\-ad\'as\-so\-ro\-za\-tom\-nak, amelynek
r\'eszletes le\'{\i}r\'asa megtal\'alhat\'o a homepage-emen.

Homepage-em c\'{\i}me: http://www.renyi.hu/$\tilde{}\,\,$major


\bye












