\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1pt
\TagsOnRight

\parskip=1pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\def\Re{\text{\rm Re}\,}

\centerline{\bf A Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as I.
el\H{o}ad\'assorozat tizedik t\'em\'aja.}



\beginsection Eloszl\'asok konvergenci\'aj\'ar\'ol. A centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel bizony\'{\i}t\'asa.

A centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel azt \'all\'{\i}tja, hogy
bizonyos va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egi v\'altoz\'ok
el\-osz\-l\'a\-sa\-inak a sorozata konverg\'al a norm\'alis
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez. E t\'etelnek nem adom meg a teljes,
r\'eszletes bizony\'{\i}t\'as\'at ebben a jegyzetben, de besz\'elek
a bizony\'{\i}t\'as sor\'an felmer\"ul\H{o} legfontosabb
k\'erd\'esekr\H{o}l.

El\H{o}sz\"or a k\"ovetkez\H{o} k\'erd\'essel fogok kiss\'e
r\'eszletesebben foglalkozni. A centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
azt mondja ki, hogy bizonyos eloszl\'asf\"uggv\'enyek 
(f\"uggetlen v\'altoz\'ok normaliz\'alt r\'eszlet\"osszegeinek 
az eloszl\'asf\"uggv\'enyei) eloszl\'asban konverg\'alnak a 
nor\-m\'a\-lis eloszl\'asf\"uggv\'enyhez. De mit jelent az
eloszl\'asban val\'o konvergencia? Ez a k\'erd\'es kor\'antsem 
olyan egyszer\H{u}, mint ahogy az els\H{o} pillanatban gondoln\'ank. 
Viszont e k\'erd\'es tiszt\'az\'asa sz\"uks\'eges ahhoz, hogy j\'ol 
meg\'erts\"uk a hat\'areloszl\'ast\'etelek tartalm\'at \'es 
bizony\'{\i}t\'asi m\'odszerereit. El\H{o}sz\"or megadom a
helyes definici\'ot, \'es ut\'ana elmagyar\'azom, mi\'ert ez a
definici\'o fejezi ki a minket \'erdekl\H{o} konvergenci\'at.

\medskip\noindent
{\bf Eloszl\'asban val\'o konvergencia definici\'oja.} {\it Legyen
$F_n(\cdot)$, $n=1,2,\dots$, el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek
sorozata a sz\'amegyenesen. Azt mondjuk, hogy az $F_n(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyek eloszl\'asban konverg\'alnak egy $F(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez, ha $\limm_{n\to\infty}F_n(x)=F(x)$ az
$F(\cdot)$ (hat\'ar)\-elosz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny
minden folytonoss\'agi pontj\'aban.

Legyen $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sorozata. Azt mondjuk, hogy a $\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak
egy $F(\cdot)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyhez, ha az $F_n(x)=P(\xi_n<x)$,
$-\infty<x<\infty$, eloszl\'asf\"uggv\'enyek eloszl\'asban
konverg\'alnak az $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyhez.

Legyen $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sorozata. Azt mondjuk, hogy a $\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban konverg\'alnak
egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz, ha az
$F_n(x)=P(\xi_n<x)$, $-\infty<x<\infty$, eloszl\'asf\"uggv\'enyek
eloszl\'asban konverg\'alnak az $F(x)=P(\xi<x)$, $-\infty<x<\infty$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez.}

\medskip\noindent
{\it 1.~megjegyz\'es:}\/ A fenti definici\'oban van bizonyos
\"onism\'etl\'es. Sokszor el\H{o}fordul, hogy ugyanazt a fogalmat
n\'emileg elt\'er\H{o} sz\'ohaszn\'alatban haszn\'alj\'ak. Ez\'ert
egym\'as mellett felsoroltam a k\"ul\"onb\"oz\H{o} lehets\'eges
megfogalmaz\'asokat. Tulajdonk\'eppen csak arr\'ol van sz\'o, hogy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asban val\'o
konvergenci\'aj\'an e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok eloszl\'as\'anak az eloszl\'asban val\'o
konvergenci\'aj\'at \'ertj\"uk. Tov\'abb\'a azt mondhatjuk, hogy az
eloszl\'asban val\'o konvergencia limesze egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, ha a limesz ennek
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak az eloszl\'asa.

\medskip\noindent
{\it 2.~megjegyz\'es:}\/ A norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny minden
pontban folytonos. Ez\'ert a centr\'alis hat\'areloszl\'asf\"uggv\'eny
azt mondja ki, hogy f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok normaliz\'altjainak
az eloszl\'asf\"uggv\'enyei minden pontban konverg\'alnak a 
standard nor\-m\'a\-lis el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-hez. Ebben 
az esetben nincs jelent\H{o}s\'ege annak, hogy a 
hat\'areloszl\'asl\'asf\"uggv\'eny (jelen esetben nem l\'etez\H{o}) 
szakad\'asi pontjaiban nem k\"ovetelj\"uk meg a konvergenci\'at.

\medskip
Felmer\"ul a k\'erd\'es, hogy mi\'ert van kit\"untetett szerepe a
hat\'areloszl\'asf\"uggv\'eny szakad\'asi pontjainak az
eloszl\'asf\"uggv\'eny konvergenci\'aj\'anak definici\'oj\'aban.
Term\'eszetes-e, hogy ezekben a pontokban nem k\"ovetelt\"uk
meg a konvergenci\'at? E k\'erd\'es meg\'ert\'es\'enek
\'erdek\'eben a k\"ovetkez\H{o} \'eszrev\'etelt teszem.

Egy a sz\'amegegyenesen megadott $F$ eloszl\'asf\"uggv\'eny induk\'al
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'eket a sz\'amegyenesen. Ennek
a Stieltjes m\'ert\'eknek nevezett m\'ert\'ek l\'etez\'es\'er\H{o}l
sz\'ol\'o eredm\'enyt megfogalmaztam a 7.~el\H{o}ad\'as
ismertet\'es\'eben, (l\'asd a {\it T\'etel
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek \'altal meghat\'arozott
m\'ert\'ek}\/ nev\H{u} eredm\'enyt az ottani ismertet\'esben), de
az \'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'as\'at elhagytam, mert az a
m\'ert\'ekelm\'elet feladata. Az is igaz, hogy minden a
sz\'amegyenesen defini\'alt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek
el\H{o}\'all\'{\i}that\'o, mint egy (egy\'ertelm\H{u}en
meghat\'arozott) eloszl\'as \'altal induk\'alt Stieltjes m\'ert\'ek.
Jel\"olje, --- a 7.~el\H{o}ad\'as je\-l\"o\-l\'e\-s\'e\-hez
ha\-son\-l\'o\-an, --- $\mu_F$ az $F$ eloszl\'asf\"uggv\'eny
\'altal induk\'alt Stieltjes m\'ert\'eket. Az
el\-osz\-l\'as\-ban val\'o konvergencia definici\'oj\'aban
val\'oj\'aban nem az $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek
kon\-ver\-gen\-ci\'a\-j\'at k\"ovetelj\"uk meg az $F$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez, hanem az $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek
\'altal induk\'alt $\mu_{F_n}$ Stieltjes m\'ert\'ekek
konvergenci\'aj\'at az $F$ eloszl\'asf\"uggv\'eny \'altal induk\'alt
$\mu_F$ Stieltjes m\'ert\'ekhez. Szeml\'eletesen a $\mu_{F_n}$
m\'ert\'ekek \'ugy k\'epzelhet\H{o}k el, mint olyan
t\"o\-meg\-el\-osz\-l\'a\-sok a sz\'amegyenesen, amelyekben egy
$A\subset R$ halmaz ,,s\'ulya" a $\mu_{F_n}(A)$ m\'er\-t\'ek. Az
el\-osz\-l\'as\-ban val\'o konvergencia azt jelenti, hogy a
$\mu_{F_n}$ t\"o\-meg\-elosz\-l\'a\-sok nagy $n$ indexre k\"ozel
vannak a $\mu_F$ t\"o\-meg\-elosz\-l\'as\-hoz. A $\mu_{F_n}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek k\"ozels\'ege a $\mu_F$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekhez szeml\'eletesen azt jelenti,
hogy a $\mu_{F_n}$ t\"omegeloszl\'as kis megmozgat\'as\'aval el\H{o}
lehet \'all\'{\i}tani a $\mu_F$ t\"omegeloszl\'ast.

Az eloszl\'asban val\'o konvergencia definici\'oj\'anak jobb
meg\'ert\'ese \'erdek\'eben tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o}
egyszer\H{u} p\'eld\'at. Legyen $x_0=0$, \'es $x_n$, $n=1,2,\dots$,
olyan sz\'amsorozat, amelyre $x_n<0$, $n=1,2,\dots$, \'es
$\limm_{n\to\infty}x_n=0$. Legyen $\mu_{F_n}$, $n=0,1,2,\dots$,
az a m\'ert\'ek, amely az $x_n$ pontba van koncentr\'alva, azaz
$\mu_{F_n}(\{x_n\})=1$, r\'eszletesebben $\mu_{F_n}(A)=1$, ha
$x_n\in A$, \'es $\mu_{F_n}(A)=0$, ha $x_n\notin A$. A $\mu_{F_n}$
eloszl\'as azon $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'eny \'altal meghat\'arozott
Stieltjes m\'ert\'ek, amelyre $F_n(x)=0$, ha $x\le x_n$, \'es $F_n(x)=1$,
ha $x>x_n$. Term\'eszetes azt v\'arni, hogy az eloszl\'asf\"uggv\'eny
alkalmas definici\'oja eset\'en a most defini\'alt p\'eld\'aban az
$F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek eloszl\'asban konverg\'alnak
az $F_0$ eloszl\'ashoz. M\'asr\'eszt vegy\"uk \'eszre, hogy
$\limm_{n\to\infty}F_n(x)=F_0(x)$ minden $x\neq0$ sz\'amra. De az
$x=0$ pontban, azaz az $F_0$ f\"uggv\'eny szakad\'asi pontj\'aban ez
a konvergencia nem teljes\"ul, mert $F_n(0)=1$, ha $n\ge1$,
\'es $F_0(0)=0$. Teh\'at az \'altalunk megadott definici\'o szerint
az $F_n$ eloszl\'asok eloszl\'asban konverg\'alnak az $F_0$
eloszl\'ashoz. De ahhoz, hogy ez teljes\"ulj\"on,
sz\"uks\'eg volt arra, hogy az eloszl\'asban val\'o konvergencia
definici\'oj\'aban ne k\"ovetelj\"uk meg az eloszl\'asf\"uggv\'enyek
konvergenci\'aj\'at a hat\'arf\"uggv\'eny szakad\'asi pontjaiban.

Be lehet l\'atni, hogy az eloszl\'asban val\'o konvergencia kifejezi
azt a szeml\'eletes tartalmat, amelyet a Stieltjes m\'ert\'ekek
t\"omegeloszl\'asokkal val\'o reprezent\'aci\'oja sugall. Ezen
\'all\'{\i}t\'as pontos megfogalmaz\'as\'aval \'es
bizony\'{\i}t\'as\'aval azonban nem foglalkozom. Ehelyett
megfogalmazok egy olyan eredm\'enyt, amely az eloszl\'asban val\'o
konvergencia egy m\'as, vizsg\'alatainkban hasznos jellemz\'es\'et
adja meg. Ezt az eredm\'enyt az el\H{o}ad\'as f\H{o} r\'esz\'eben
csak megfogalmazom, bizony\'{\i}t\'as\'at a kieg\'esz\'{\i}t\'esben
\'{\i}rom le. Az eredm\'eny ismertet\'ese ut\'an arr\'ol \'{\i}rok,
hogy az mi\'ert hasznos hat\'areloszl\'ast\'etelek vizsg\'alat\'aban.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel eloszl\'asban val\'o konvergencia k\"ul\"onb\"oz\H{o}
lehets\'eges jellemz\'es\'er\H{o}l.} {\it
El\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek egy $F_n(u)$, $n=1,2,\dots$,
sorozata akkor \'es csak akkor konverg\'al el\-osz\-l\'as\-ban egy
$F(u)$  eloszl\'asf\"uggv\'enyhez, ha minden a sz\'amegyenesen
defini\'alt folytonos \'es korl\'atos $g(u)$ f\"uggv\'enyre
teljes\"ul a
$$
\limm_{n\to\infty}\int g(u)\,dF_n(u)=\int g(u)\,dF(u) \tag a
$$
azonoss\'ag.}

\medskip\noindent
{\it 1.~megjegyz\'es:}\/ Az eloszl\'asban val\'o konvergenci\'aj\'anak
k\'et jellemz\'es\'et adtuk meg. Az egyik az eredeti definici\'o, a
m\'asik az el\H{o}z\H{o} t\'etelben megadott ekvivalens jellemz\'es.
Az\'ert hasznos sz\'amunkra ez a t\'etel, mert konkr\'et esetekben
egyszer\H{u}bb eloszl\'asok konvergenci\'aj\'at az itt megfogalmazott
felt\'etel, mint az eredeti definici\'o  ellen\H{o}rz\'es\'enek a
seg\'{\i}ts\'eg\'evel bi\-zo\-ny\'{\i}\-tani. Ekkor ugyanis
korl\'atos \'es folytonos f\"ugg\-v\'e\-nyeknek valamilyen
el\-osz\-l\'as\-so\-ro\-zat szerinti integr\'alj\'anak a
konvergenci\'aj\'at kell bebizony\'{\i}tanuk, \'es erre az
anal\'{\i}zisnek j\'o m\'odszerei vannak. Vi\-szont, mint a 
centr\'alis ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-te\-l\'e\-hez 
kap\-cso\-l\'o\-d\'o, az el\H{o}z\H{o} el\H{o}ad\'asban t\'argyalt 
p\'eld\'ak is mutatj\'ak, a ha\-t\'ar\-el\-osz\-l\'as\-t\'e\-te\-lek 
gya\-kor\-lati al\-kal\-ma\-z\'a\-sai\-ban \'altal\'aban
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek kon\-ver\-gen\-ci\'a\-j\'a\-nak
az ere\-de\-ti definici\'oj\'at haszn\'aljuk.

\medskip\noindent
{\it 2.~megjegyz\'es:}\/ Az eloszl\'asban val\'o konvergenci\'at
szok\'as gyenge konvergenci\'anak is ne\-vez\-ni. \'Erdemes
megjegyezni, hogy a funkcion\'alanal\'{\i}zisben is szok\'as Banach
terek funk\-cio\-n\'al\-jai\-nak gyenge konvergenci\'aj\'ar\'ol
besz\'elni, \'es az el\H{o}bb kimondott t\'etel azt is jelenti,
hogy a gyenge konvergenci\'anak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asban \'es
funk\-cio\-n\'al\-ana\-l\'{\i}\-zis\-ben hasz\-n\'alt \'ertelmez\'ese
\"osszhangban van egym\'assal. Ugyanis egy a sz\'amegyenesen
defini\'alt $\mu$ (va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi) m\'ert\'eket
fel lehet fogni, mint a korl\'atos \'es folytonos f\"ugg\-v\'e\-nyek
Banach ter\'en \'ertelmezett (korl\'atos \'es line\'aris)
funkcion\'alt. Nevezetesen a $\mu$ m\'ert\'ek az $f(\cdot)$
korl\'atos \'es folytonos f\"uggv\'enyhez hozz\'arendeli a
$\mu(f)=\int f(u)\mu(\,du)$ sz\'amot. A funkcion\'alanal\'{\i}zisben
de\-fi\-ni\-\'alt fogalomrendszer szerint a $\mu_n$ m\'ert\'ekek
gyenge konvergenci\'aja a $\mu$ m\'ert\'ekhez azt jelenti, hogy
$\limm_{n\to\infty}\int f(u)\mu_n(\,du)=\int f(u)\mu(\,du)$ minden
folytonos \'es korl\'atos f\"ugg\-v\'eny eset\'eben, ez pedig
a fent kimondott t\'etel szerint a $\mu_n$ m\'ert\'ekeknek,
pontosabban az \'altaluk meghat\'arozott $F_n(x)=\mu_n(\{u\colon\;u<x\})$
eloszl\'asf\"uggv\'enyek gyenge (azaz el\-osz\-l\'as\-beli)
konvergenci\'aj\'at jelenti a $\mu$ m\'ert\'ekhez, pontosabban
az \'altala meghat\'arozott $F(x)=\mu(\{u\colon\;u<x\})$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez.

\medskip
Sok vizsg\'alatban az eloszl\'asban val\'o konvergenci\'anak a
t\'etelben megadott jel\-lem\-z\'e\-se jobban hasz\-n\'al\-ha\-t\'o
mint az eredeti definici\'o. Megjegyzem, hogy ennek a t\'etelnek
van egy m\'asik haszna is. Az itt megfogalmazott eredm\'eny
lehet\H{o}s\'eget ad arra, hogy eloszl\'asok konvergenci\'aj\'at
\'altal\'anosabb terekben is defini\'aljuk. Ilyen ig\'eny
ter\-m\'e\-sze\-tes m\'odon felmer\"ul, ha nemcsak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, hanem v\'eletlen
folyamatok vi\-sel\-ke\-d\'e\-s\'et is vizsg\'alni akarjuk.
Ebben az esetben az a prob\-l\'e\-ma mer\"ul fel, hogy olyan
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi  v\'altoz\'okkal kell dolgoznunk, amelyek
\'er\-t\'e\-k\"u\-ket nem a sz\'amegyenesen, hanem egy sokkal
gazdagabb t\'erben, p\'el\-d\'a\-ul a sz\'am\-egye\-ne\-sen
\'ertelmezett f\"uggv\'enyek ter\'eben veszik fel. Viszont az
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek kon\-ver\-gen\-ci\'a\-j\'a\-nak
eredeti definici\'oja nem \'altal\'anos\'{\i}that\'o \'altal\'anos
terekre, mert az er\H{o}sen k\"o\-t\H{o}\-dik a sz\'am\-egye\-nes,
(illetve a t\"obb\-di\-men\-zi\'os el\-osz\-l\'a\-sok definici\'oja
eset\'eben az euklid\'eszi t\'er) geo\-met\-ri\'a\-j\'a\-hoz. Ha
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek helyett
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi m\'ert\'ekeket tekint\"unk,
akkor ezek kon\-ver\-gen\-ci\'a\-j\'at ter\-m\'e\-sze\-tes
m\'odon tudjuk defini\'alni nagyon \'altal\'anos (topol\'ogikus) 
terekben is az (a) rel\'aci\'o 
\'al\-ta\-l\'a\-no\-s\'{\i}\-t\'a\-s\'a\-nak a seg\'{\i}ts\'eg\'evel.

Ha eloszl\'asf\"uggv\'enyek konvergenci\'aj\'at az (a) tulajdons\'ag
vizsg\'alat\'anak seg\'{\i}ts\'eg\'evel akarjuk bebizony\'{\i}tani,
akkor term\'eszetes m\'odon felmer\"ul az a k\'erd\'es, hogy nem
le\-het\-s\'e\-ges-e ezt a felt\'etelt gyeng\'{\i}teni, nem
elegend\H{o}-e az (a) rel\'aci\'o teljes\"ul\'es\'et a folytonos
\'es korl\'atos f\"uggv\'enyeknek csak egy el\'eg gazdag
r\'eszoszt\'aly\'ara ellen\H{o}rizni, \'es ennek
se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel eld\"onteni, hogy teljes\"ul-e az
eloszl\'asban val\'o konvergencia. Term\'eszetesen a folytonos \'es
korl\'atos f\"uggv\'enyek olyan r\'eszoszt\'aly\'at k\'{\i}v\'anjuk
tekinteni, amelyikre ez a felt\'etel k\"onnyebben
ellen\H{o}rizhet\H{o}. Kider\"ult, hogy erre a k\'erd\'esre
igenl\H{o} v\'alaszt lehet adni, elegend\H{o} csak a
trigonometrikus, azaz a $g_t(u)=e^{itu}$ alak\'u f\"uggv\'enyeket
tekinteni. E f\"uggv\'enyoszt\'aly definici\'oja \'ugy \'ertend\H{o},
hogy minden $-\infty<t<\infty$ param\'eterre defini\'aljuk a
$g_t(u)=e^{itu}$, $-\infty<u<\infty$, f\"uggv\'enyt a
sz\'amegyenesen. Megjegyzem, hogy ezek a
f\"uggv\'enyek komplex \'es nem val\'os \'ert\'ek\H{u}ek,
de mindazok az eredm\'enyek, amelyek val\'os \'ert\'ek\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okra \'erv\'enyesek,
term\'eszetes m\'odon \'altal\'anos\'{\i}that\'ok komplex sz\'am
\'ert\'ek\H{u} va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egi
v\'al\-to\-z\'ok\-ra is. A $g_t(u)=e^{itu}$ 
tri\-go\-no\-met\-ri\-kus f\"uggv\'enyekkel az\'ert tudunk j\'ol 
dolgozni, mert minden $-\infty<s,t<\infty$ param\'eterre teljes\"ul a
$g_s(u)g_t(u)=e^{isu}e^{itu}=e^{i(s+t)u}=g_{s+t}(u)$ azonoss\'ag.
L\'atni fogjuk, hogy ez az azonoss\'ag nagy seg\'{\i}ts\'eget jelent,
ha f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszegeinek
eloszl\'as\'at vizsg\'aljuk. Megjegyzem, hogy az ilyen jelleg\H{u}
\"osszef\"ugg\'esek alkalmaz\'asa nemcsak a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as\-ban
fontos. Ennek \'altal\'anos\'{\i}t\'as\'an alapul az algebra egy
m\'ely \'es fontos ter\"ulete, a csoportreprezent\'aci\'ok
elm\'elete.

A tov\'abbi vizsg\'alatokban hasznos a karakterisztikus
f\"uggv\'enyek al\'abb megadott definici\'oja.

\medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'enek a definici\'oja.} {\it Legyen $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o valamely $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, \'es jel\"olje $F(u)=P(\xi<u)$,
$-\infty<u<\infty$, a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. A $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak a karakterisztikus f\"uggv\'enye a
$$
\varphi(t)=Ee^{it\xi}=\int_{-\infty}^\infty e^{itu}F(\,du),\quad
-\infty<t<\infty,
$$
f\"uggv\'eny. Adva egy $F$ eloszl\'asf\"uggv\'eny annak
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et \'ugy
defini\'aljuk, mint egy $F$ eloszl\'as\'u $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus
f\"ugg\-v\'e\-ny\'et. (Mivel a karakterisztikus f\"uggv\'enyt ki
lehet sz\'amolni a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'enek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel, ez\'ert
jogunk van egy eloszl\'asf\"uggv\'eny ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus
f\"uggv\'eny\'er\H{o}l be\-sz\'el\-ni.) }

\medskip
A k\"ovetkez\H{o} egyszer\H{u} \'all\'{\i}t\'asokat azok
fontoss\'aga miatt k\"ul\"on lemma form\'aj\'aban mondom ki.

\medskip\noindent
{\bf Lemma val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'enek viselked\'es\'er\H{o}l.} {\it Legyenek $\xi_1,\dots,
\xi_n$ f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, jel\"olje
$S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j$ e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \"osszeg\'et \'es $\varphi_j(t)$, $1\le j\le n$, a
$\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus
f\"ugg\-v\'e\-ny\'et. Ekkor az $S_n$ \"osszeg karakterisztikus
f\"uggv\'enye a $\psi_n(t)=Ee^{itS_n}=\prodd_{j=1}^n\varphi_j(t)$,
$-\infty<t<\infty$, f\"uggv\'eny. Ha $A$ \'es $B\neq0$ val\'os
sz\'amok, akkor az $\frac{S_n-A}B$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o karakterisztikus f\"uggv\'enye az
$$
Ee^{it(S_n-A)/B}=e^{-itA/B}\psi_n\(\frac{t}B\)=e^{-itA/B}
\prodd_{j=1}^n\varphi_j\(\frac{t}B\)
$$
f\"uggv\'eny.

Legyen $\xi$ olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $F(\cdot)$
eloszl\'asf\"uggv\'ennyel, amelyre teljes\"ul az
$E|\xi|^k=\int_{-\infty}^\infty |u|^kF(\,du)<\infty$
egyenl\H{o}tlens\'eg valamilyen $k$ pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amra.
Ekkor a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\varphi(t)$
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'enek a deriv\'altjai megadhat\'ok a
$\frac{d^j}{dt^j}\varphi(t)=\int_{-\infty}^\infty
i^ju^j e^{itu}F(\,du)$ k\'eplettel minden $0\le j\le k$ \'es
$-\infty<t<\infty$ sz\'amra. Speci\'alisan, $t=0$ v\'alaszt\'assal
$\left.\frac{d^j\varphi(t)}{dt^j}\right|_{t=0}
=\int_{-\infty}^\infty i^ju^j F(\,du)=i^jE\xi^j$ minden $0\le
j\le k$ sz\'amra.}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as:}\/
$$
Ee^{itS_n}=E^{it(\xi_1+\cdots+\xi_n)}
=Ee^{it\xi_1}e^{it\xi_2}\cdots e^{it\xi_n}
=Ee^{it\xi_1}Ee^{it\xi_2}\cdots Ee^{it\xi_n}
=\prodd_{j=1}^n\varphi_j(t)
$$
a $\xi_j$, $1\le j\le n$, illetve az $e^{it\xi_j}$, $1\le j\le n$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok ebb\H{o}l
k\"ovetkez\H{o} f\"uggetlens\'ege miatt. Ezenk\'{\i}v\"ul
$$
Ee^{it(S_n-A)/B}= Ee^{i(t/B)S_n}e^{-itA/B}
=e^{-itA/B}\psi_n\(\frac{t}B\),
=e^{-itA/B}\prod_{j=1}^n\varphi_j\(\frac{t}B\),
$$
ha az $S_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o karakterisztikus f\"uggv\'enye $\psi_n(t)$. Innen
k\"ovetkeznek a Lemma els\H{o} paragrafus\'aban kimondott
\'all\'{\i}t\'asok.

A Lemma m\'asodik paragrafus\'aban kimondott \'all\'{\i}t\'as
bizony\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben \'{\i}rjuk fel a
$\varphi(t)=Ee^{it\xi}=\int_{-\infty}^\infty
e^{itu}F(\,du)$ azonoss\'agot, \'es differenci\'aljuk $j$, $j\le k$,
alkalommal. Be lehet l\'atni, hogy az $E|\xi|^k<\infty$ felt\'etel
teljes\"ul\'ese eset\'en az azonoss\'ag jobb\-ol\-da\-l\'an az
integr\'al\'as \'es differenci\'al\'as sorrendje
felcser\'elhet\H{o}. Innen kapjuk, hogy  $\frac{d^j}{dt^j}\varphi(t)
=\int_{-\infty}^\infty i^ju^j e^{itu}F(\,du)$. Alkalmazva a
$t=0$ helyettes\'{\i}t\'est megkapjuk a Lemma utols\'o
\'all\'{\i}t\'as\'anak a bizony\'{\i}t\'as\'at is.

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Legyenek $\xi_1,\xi_2.\dots$, f\"uggetlen,
egyforma eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
amelyekre $E\xi_1=0$, \'es vezess\"uk be a $\sigma_2=\Var \xi_1$,
valamint az $Ee^{it\xi_1}=\varphi(t)$, $-\infty<t<\infty$
jel\"ol\'eseket. (Azaz $\varphi(t)$ a $\xi_1$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus
f\"uggv\'enye.) Legyen tov\'abb\'a
$S_n=\summ_{k=1}\xi_k$ \'es $\bar S_n=\frac{S_n}{\sqrt n\sigma}$
az $S_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o normaliz\'altja.
Ekkor $Ee^{itS_n}=\varphi(t)^n$, $Ee^{it\bar S_n}=
\varphi\(\frac t{\sqrt n\sigma}\)^n$, \'es a $\varphi(t)$ f\"uggv\'eny
0 k\"or\"uli Taylor sorfejt\'es\'evel azt kapjuk, hogy
$\varphi\(\frac t{\sqrt n\sigma}\)\sim 1+\frac t{\sqrt n\sigma}\varphi'(0)
+\frac{t^2}{2n\sigma^2}\varphi''(0)=1-\frac {t^2}{2 n}$, mert
$\varphi'(0)=0$, \'es $\varphi''(0)=-\sigma^2$. Ez a formula
lehet\H{o}v\'e teszi, hogy viszonylag j\'o becsl\'est adjunk a
$\bar S_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'ere. Azt k\'{\i}v\'anjuk vizsg\'alni, tudunk-e ilyen
m\'odon olyan j\'o becsl\'est adni a $\bar S_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'ere, amelyb\H{o}l k\"ovetkezik a centr\'alis
ha\-t\'ar\-el\-osz\-l\'as\-t\'e\-tel f\"uggetlen, egyforma
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok
nor\-ma\-li\-z\'alt \"ossze\-geire.

\medskip
Tekints\"uk el\H{o}sz\"or azt a speci\'alis esetet, amikor
olyan $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'o
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et tekintj\"uk, amely 
csak eg\'esz \'ert\'ekeket vesz fel. Legyen $P(\xi=k)=p_k$, 
$k=0,\pm1,\pm2,\dots$, $\summ_{k=-\infty}^\infty p_k=1$. Ekkor 
a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o karakterisztikus 
f\"uggv\'enye a $\varphi(t)=Ee^{it\xi}=\summ_{k=-\infty}^\infty
e^{ikt}P(\xi=k)=\summ_{k=-\infty}^\infty p_ke^{ikt}$,
$-\infty<t<\infty$ f\"uggv\'eny. Ez a $\varphi(t)$ 
f\"uggv\'eny $2\pi$ szerint peri\'odikus, \'es tulajdonk\'eppen 
egy Fourier sor, amelynek $k$-ik (azaz az $e^{ikt}$ 
trigonometrikus f\"uggv\'enyhez tartoz\'o) Fourier
egy\"utthat\'oja $p_k$. A Fourier sorok elm\'elet\'enek egy
egyszer\H{u}, de nagyon fontos eredm\'enye alapj\'an egy $\varphi(t)
=\summ_{k=-\infty}^\infty a_ke^{ikt}$, $-\pi<t\le\pi$, f\"uggv\'eny
Fourier egy\"utthat\'oit a $\varphi(t)$ Fourier sor
ismeret\'eben az
$$
a_k=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{-ikt}\varphi(t)\,dt \tag$*$
$$
k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel ki lehet sz\'amolni. Az el\H{o}bb
kimondott Lemma alapj\'an f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok normaliz\'alt \"osszeg\'enek a karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'ere viszonylag egyszer\H{u}  \'es j\'o
k\"ozel\'{\i}t\'est lehet adni. Ez \'es a ($*$) formula azt is
lehet\H{o}v\'e teszi, hogy eg\'esz \'ert\'ek\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eset\'eben j\'o becsl\'est
adjunk annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere, hogy f\"uggetlen 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszege egy adott 
\'ert\'eket vesz fel. Ez lehet\H{o}v\'e teszi a centr\'alis 
hat\'areloszl\'ast\'etel bizony\'{\i}t\'as\'at abban a
speci\'alis esetben, ha eg\'esz \'ert\'ek\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszeg\'et vizsg\'aljuk. 
Az \'altal\'anos eset vizsg\'alat\'anak a vez\'ermot\'{\i}vuma
tu\-laj\-don\-k\'eppen az, hogy megpr\'ob\'aljuk ezt a m\'odszert
adapt\'alni az \'altal\'anos esetre, amikor nem \'all
rendelkez\'es\"unkre a $(*)$ k\'eplethez hasonl\'o viszonylag
egyszer\H{u} ,,inverzi\'os formula". Az eg\'esz \'ert\'ek\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok vizsg\'alat\'anak
r\'eszleteit nem dolgozom ki. Viszont a kieg\'esz\'{\i}t\'esben
megmutatom, hogyan lehet ennek a m\'odszernek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel
az anal\'{\i}zis egyik fontos k\'eplet\'et, az el\H{o}z\H{o}
el\H{o}ad\'asban megfogalmazott Stirling formul\'at bebizony\'{\i}tani.

Ahhoz, hogy karakterisztikus f\"uggv\'enyekkel j\'ol tudjunk
sz\'amolni, sz\"uks\'eg\"unk van egy olyan eredm\'enyre, amely azt
mondja ki, hogy a tri\-go\-no\-met\-ri\-kus polinomok, azaz az
$f(x)=\summ_{k=-n}^n a_ke^{ikx}$ alakban fel\'{\i}rhat\'o
f\"uggv\'enyek a folytonos f\"uggv\'enyek egy el\'eg gazdag
r\'eszoszt\'aly\'at alkotj\'ak. Ilyen jelleg\H{u} eredm\'eny
Weierstrass m\'asodik approxim\'aci\'os t\'etele, amely
azt mondja ki, hogy folytonos \'es periodikus f\"uggv\'enyeket
tetsz\H{o}leges pontoss\'aggal lehet k\"ozel\'{\i}teni a szupr\'emum
norm\'aban trigonometrikus
polinomokkal. (Weierstrass els\H{o} approxim\'aci\'os t\'etele
hasonl\'o \'all\'{\i}t\'ast fogalmaz meg v\'eges intervallumban
folytonos f\"uggv\'enyek polinomokkal val\'o
app\-ro\-xi\-m\'al\-ha\-t\'o\-s\'a\-g\'a\-r\'ol.) Megfogalmazom ezt
az ered\-m\'enyt, \'es (v\'azlatosan) bebizony\'{\i}tom annak
n\'e\-h\'any sz\'a\-munk\-ra fontos k\"ovetkezm\'eny\'et.

\medskip\noindent
{\bf Weierstrass m\'asodik approxim\'aci\'os t\'etele.} {\it
Tetsz\H{o}leges folytonos \'es $2\pi$ szerint periodikus $f(t)$
f\"uggv\'enyre \'es $\e>0$ val\'os sz\'amra l\'etezik olyan
$P_n(t)=\summ_{k=-n}^n a_k e^{ikt}$ trigonometrikus polinom, amelyre
$$
\sup_{-\infty<t<\infty} |f(t)-P_n(t)|<\e.
$$
}\medskip

Ahhoz, hogy eloszl\'asf\"uggv\'enyek karakterisztikus
f\"uggv\'enyeinek konvergenci\'aj\'ab\'ol k\"ovetkeztetni tudjunk
magunknak az eloszl\'asf\"uggv\'enyeknek a konvergenci\'aj\'ara
tudnunk kell azt, hogy az a karakterisztikus f\"uggv\'enyek
meghat\'arozz\'ak az el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nye\-ket.
Megfogalmazom ezt az eredm\'enyt, \'es megadom ennek
bizony\'{\i}t\'as\'at Weierstrass m\'asodik apprxim\'aci\'os
t\'etele seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ezt a bizony\'{\i}t\'ast is csak a
kieg\'esz\'{\i}t\'esben ismertetem.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel arr\'ol, hogy egy eloszl\'asf\"uggv\'enyt meghat\'aroz
annak karakterisztikus f\"uggv\'enye.} {\it Legyen $F(\cdot)$ \'es
$G(\cdot)$ k\'et eloszl\'asf\"uggv\'ey, amelyek karakterisztikus
f\"uggv\'enye megegyezik. Ekkor $F(x)=G(x)$ minden
$-\infty<x<\infty$ sz\'amra.}

Az el\H{o}z\H{o} t\'etel bizony\'{\i}t\'asi m\'odszer\'enek
finom\'{\i}t\'asa seg\'{\i}ts\'eg\'evel lehet bebizony\'{\i}tani
a k\"ovetkez\H{o} eredm\'enyt, amelyet fontoss\'aga miatt
Alapt\'etelnek fogok nevezni. Ennek bizony\'{\i}t\'asa a
Fourier anal\'{\i}zis m\'as m\'odszereit is felhaszn\'alja. Ez\'ert,
illetve id\H{o}hi\'any miatt a bizony\'{\i}t\'asnak csak a 
legfontosabb r\'esz\'et ismertetem a kieg\'esz\'{\i}t\'esben.

\medskip\noindent
{\bf Eloszl\'asok konvergenci\'aj\'ar\'ol sz\'ol\'o Alapt\'etel.}
{\it Legyen $F_n(u)$, $-\infty<u<\infty$,
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek egy sorozata $\varphi_n(t)=\int
e^{itu}F_n(\,du)$ karakterisztikus f\"uggv\'enyekkel, $n=1,2,\dots$.
Ha a $\varphi_0(t)=\limm_{n\to\infty}\varphi_n(t)$ hat\'ar\'ert\'ek
l\'etezik minden $-\infty<t<\infty$ sz\'amra, \'es a $\varphi_0(t)$
limeszf\"uggv\'eny folytonos az orig\'oban, akkor l\'etezik olyan
$F_0(u)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny, amelynek a $\varphi_0(t)$
f\"uggv\'eny a karakterisztikus f\"uggv\'enye. Tov\'abb\'a e
felt\'etel teljes\"ul\'ese eset\'en az $F_n(u)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek eloszl\'asban konverg\'alnak
az $F_0(u)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyhez.

Megford\'{\i}tva, ha $F_n(u)$, $n=1,2,\dots$,
eloszl\'asf\"uggv\'enyeknek egy olyan sorozata, amely egy $F_0(u)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-hez kon\-ver\-g\'al eloszl\'asban, \'es
$\varphi_n(t)$, $n=1,2,\dots$, jel\"oli az $F_n(u)$, $\varphi_0(t)$
pedig az $F_0(u)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny karakterisztikus
f\"uggv\'eny\'et, akkor $\varphi_0(t)=\limm_{n\to\infty} \varphi_n(t)$
minden $-\infty<t<\infty$ sz\'amra. Tov\'abb\'a, ez a konvergencia
egyenletes minden v\'eges intervallumban.}

\medskip
A fent kimondott t\'etel a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as
rendk\'{\i}v\"ul fontos eredm\'enye, \'es az eloszl\'asbeli
konvergencia vizsg\'alat\'aban rendk\'{\i}v\"ul fontos
szerepet j\'atszik. Ez\'ert illik tudni ennek az eredm\'enynek a
pontos megfogalmaz\'as\'at. Viszont a minket \'erdekl\H{o}
hat\'areloszl\'ast\'etel bizony\'{\i}t\'as\'ahoz elegend\H{o}
tudni e t\'etel al\'abbi gyeng\'{\i}tett v\'altozat\'at, amelynek
bizony\'{\i}t\'asa egyszer\H{u}bb.

\medskip\noindent
{\bf Eloszl\'asok konvergenci\'aj\'ar\'ol sz\'ol\'o Alapt\'etel
gyeng\'{\i}tett v\'altozata.} {\it Legyen $F_n(u)$, $-\infty<u<\infty$,
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek egy sorozata $\varphi_n(t)=\int
e^{itu}F_n(\,du)$ karakterisztikus f\"uggv\'enyekkel, $n=1,2,\dots$,
\'es $F_0(u)$, $-\infty<u<\infty$, eloszl\'asf\"uggv\'eny
$\varphi_0(t)=\int e^{itu}F_0(\,du)$ karakterisztikus f\"uggv\'ennyel.
Az $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek akkor \'es csak akkor konverg\'alnak
eloszl\'asban az $F_0$ eloszl\'asf\"uggv\'enyhez, ha a $\varphi_n(t)$
karakterisztikus f\"uggv\'enyek konverg\'alnak a $\varphi_0(t)$
karakterisztikus f\"uggv\'enyhez minden $-\infty<t<\infty$ sz\'amra.}

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Az Alapt\'etel illetve annak gyeng\'{\i}tett
v\'altozat\'anak f\H{o} jelent\H{o}s\'ege abban \'all, hogy
lehet\H{o}v\'e teszik eloszl\'asf\"uggv\'enyek konvergenci\'aj\'anak
bizony\'{\i}t\'as\'at azok ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus
f\"uggv\'enyeinek seg\'{\i}ts\'eg\'evel. A l\'enyeges
k\"ul\"onbs\'eg az Alapt\'etel, illetve annak gyeng\'{\i}tett
v\'altozata k\"oz\"ott az, hogy az Alapt\'etel seg\'{\i}t a
hat\'areloszl\'as megtal\'al\'as\'aban akkor is, ha azt nem
ismerj\"uk a kezdet kezdet\'en, illetve annak vizsg\'alat\'aban,
hogy l\'etezik-e egy\'altal\'an valamilyen hat\'areloszl\'as. Ha eleve
megvan a jel\"olt a ha\-t\'ar\-el\-osz\-l\'as\-ra, \'es annak ki tudjuk
sz\'am\'{\i}tani a karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et, (a centr\'alis
ha\-t\'ar\-el\-osz\-l\'as\-t\'e\-tel\-ben ez a helyzet), akkor a
konvergencia bizony\'{\i}t\'as\'ahoz elegend\H{o} az Alapt\'etel
gyeng\'{\i}tett v\'altozat\'anak a haszn\'alata.

\medskip
Mutatok egy p\'eld\'at, amely seg\'{\i}t meg\'erteni az Alapt\'etelben
a karakterisztikus f\"uggv\'enyek hat\'ar\'ert\'ekek\'ent
megjelen\H{o} f\"uggv\'enyre megfogalmazott folytonoss\'agi
fel\-t\'e\-tel jelent\H{o}s\'eg\'et.

\medskip
{\it P\'elda.}

\medskip
\item{}
Tekints\"uk olyan $\xi_n$, $n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok sorozat\'at, amelyekre $\xi_n$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f_n(x)=\frac1{n}$, ha $0<x\le n$,
\'es $f_n(x)=0$, ha $x<0$ vagy $x>n$. \'Erts\"uk meg, hogyan
viselkednek a $\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
eloszl\'asf\"uggv\'enyei \'es karakterisztikus f\"ugg\-v\'e\-nyei,
ha $n\to\infty$.

\item{} Nem neh\'ez bel\'atni, hogy a $\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $F_n$
eloszl\'asf\"uggv\'enyeire teljes\"ul a $\limm_{n\to\infty}F_n(x)=0$
rel\'aci\'o minden $x$ sz\'amra. Ez inform\'alisan
\'ugy is interpret\'alhat\'o, hogy $\xi_n$ eloszl\'asa `kifolyik a
v\'egtelenbe', ha $n\to\infty$. M\'asr\'eszt $\xi_n$ karakterisztikus
f\"uggv\'enye
$\varphi_n(t)=\frac1n\int_0^ne^{itx}\,dx=\frac{e^{itn}-1}{itn}$, ha
$t\neq0$, \'es $\varphi_n(0)=\frac1n\int_0^n\,dx=1$, ha $t=0$. Mivel
$\left|\frac{e^{itn}-1}{itn}\right|\le\frac2{tn}$, ez\'ert
$\limm_{n\to\infty}\varphi_n(t)=0$, ha $t\neq0$, \'es
$\limm_{n\to\infty}\varphi_n(t)=1$, ha $t=0$. Ez azt jelenti, hogy
a $\varphi_n(t)$ f\"uggv\'enyeknek l\'etezik $\varphi_0(t)$
hat\'ar\'ert\'eke, amelyre $\varphi_0(t)=0$, ha $t\neq0$, \'es
$\varphi_0(0)=1$. Teh\'at a $\varphi_n(t)$ karakterisztikus
f\"uggv\'enyeknek l\'etezik $\varphi_0(t)$ hat\'ar\'ert\'eke, amely
minden pontban folytonos kiv\'eve a $t=0$ pontot. De a
hat\'arf\"uggv\'eny folytonoss\'ag\'at az Alapt\'etelben \'eppen a
$t=0$ pontban k\"ovetelt\"uk meg. Ez\'ert ez az eredm\'eny az ebben az
esetben nem alkalmazhat\'o. M\'asr\'eszt l\'attuk, hogy a $\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok nem konverg\'alnak
eloszl\'asban, mert eloszl\'asaik `kifolynak a v\'egtelenbe'. Be
lehet l\'atni nem csak ebben a p\'eld\'aban, hanem az \'altal\'anos
esetben is, hogy az Alapt\'etelben a karakterisztikus f\"uggv\'enyek
hat\'ar\'ert\'ek\'enek a folyonoss\'aga az orig\'oban biztos\'{\i}tja
azt, hogy az $F_n(\cdot)$ eloszl\'asok `nem folyhatnak ki a
v\'egtelenbe'.

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.} L\'attuk a fenti p\'eld\'aban, hogy a 
eloszl\'asf\"uggv\'enyek karakterisztikus f\"ugg\-v\'e\-nyei\-nek 
a konvergenci\'aja \"onmag\'aban nem elegend\H{o} az 
eloszl\'asf\"uggv\'enyek eloszl\'asbeli konvergenci\'aj\'ahoz.
A p\'elda r\'amutat a probl\'ema l\'enyeg\'ere is, arra, hogy
biztos\'{\i}tani kell azt, hogy az eloszl\'asf\"uggv\'enyek
\'altal meghat\'arozott m\'ert\'ekek, iletve azok egy r\'esze 
`ne folyjon ki a v\'egtelenbe'. A harmadik kieg\'esz\'{\i}t\'esben
ezt az \'all\'{\i}t\'ast pontosabban megfogalmazom. Bevezetem
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek feszess\'eg\'enek a
fogalm\'at, \'es megmutatom, hogy egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
m\'ert\'eksorozat feszes, ha az \H{o}ket defini\'al\'o 
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek karakterisztikus f\"uggv\'enyei 
az orig\'o egy kis k\"ornyezet\'eben egy folytonos f\"uggv\'enyhez
konverg\'alnak.

\medskip
Az Alapt\'etel, illetve annak gyeng\'{\i}tett v\'altozata alapj\'an
a centr\'alis ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel
bizony\'{\i}t\'as\'ahoz el\'eg kisz\'amolni a standard norm\'alis
eloszl\'asf\"uggv\'eny ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"uggv\'eny\'et,
\'es megmutatni, hogy ha vessz\"uk f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszegeinek a
nor\-ma\-li\-z\'alt\-jait, akkor ezek karakterisztikus f\"uggv\'enyei
a standard norm\'alis eloszl\'as ka\-rak\-te\-risz\-tikus
f\"uggv\'eny\'ehez tartanak. El\H{o}sz\"or a standard norm\'alis
eloszl\'asf\"uggv\'eny karakerisztikus f\"uggv\'eny\'et sz\'amolom
ki. Ez a sz\'amol\'as egyszer\H{u}, de fontos szerepet j\'atszik
benne a komplex f\"uggv\'enytan egyik alapvet\H{o} eredm\'enye arr\'ol,
hogy \'ugynevezett analitikus f\"uggv\'enyek integr\'al\'as\'an\'al
hogyan lehet \'athelyezni az integr\'al\'asi utat.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel a standard norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'er\H{o}l.} {\it A
$\varphi(u)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}$, $-\infty<u<\infty$,
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel rendelkez\H{o} standard norm\'alis
eloszl\'asf\"uggv\'eny karakterisztikus f\"uggv\'enye a
$g(t)=e^{-t^2/2}$ f\"uggv\'eny, azaz
$$
\int_{-\infty}^\infty
e^{itu}\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du=e^{-t^2/2}.
$$
}

\medskip\noindent
{\it Magyar\'azat:}
$$
\align
\int_{-\infty}^\infty e^{itu}\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du&=
\int_{-\infty}^\infty \frac1{\sqrt{2\pi}}
e^{-(u-it)^2/2}e^{-t^2/2}\,du\\
&=e^{-t^2/2} \int_{-\infty-it}^{\infty-it} \frac1{\sqrt{2\pi}}
e^{-u^2/2}\,du.
\endalign
$$
A fenti sz\'amol\'asban a szok\'asos technik\'at alkalmaztuk, az
exponensben szerepl\H{o} kvad\-ra\-ti\-kus alakot teljes n\'egyzett\'e
alak\'{\i}totuk \'at. Azt \'all\'{\i}tom, hogy
$$
\int_{-\infty-it}^{\infty-it} \frac1{\sqrt{2\pi}}
e^{-u^2/2}\,du=1.
$$
Ez az integr\'al abban k\"ul\"onb\"ozik a standard norm\'alis
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny integr\'alj\'at\'ol, hogy a norm\'alis
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny integr\'alj\'at nem a val\'os
tengelyen, hanem egy vele p\'arhuzamos egyenesen tekintj\"uk. Azt
\'all\'{\i}tom, hogy ez az integr\'al ugyanannyi, mintha a val\'os
tengelyen integr\'altunk volna. Ezt nem neh\'ez bel\'atni, ha szabad
hivatkozni a komplex f\"uggv\'enytan tal\'an legfontosabb
eredm\'eny\'ere, amely szerint egy analitikus f\"uggv\'eny
k\"orintegr\'alja egy z\'art g\"orb\'en nulla.
A $g(z)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2}$ f\"uggv\'eny k\"orintegr\'alj\'at
vessz\"uk
a k\"ovetkez\H{o} t\'eglalapokon. R\"ogz\'{\i}t\"unk egy nagy $R>0$
sz\'amot, \'es az integr\'alt vessz\"uk a $[-R,R]$, azut\'an az 
$[R,R-it]$, majd az $[R-it,-R-it]$ v\'eg\"ul a $[-R-it,-R]$ szakaszokon.
Mivel a $g(z)=e^{-z^2/2}$ f\"uggv\'eny analitikus az
eg\'esz sz\'ams\'{\i}kon, ez\'ert ez a k\"orintegr\'al null\'aval 
egyenl\H{o}. Vegy\"uk ennek a hat\'ar\'ert\'ek\'et, ha $R\to\infty$.
Nem neh\'ez bel\'atni, hogy $\limm_{R\to\infty}\int_R^{R-it}g(z)\,dz
=\limm_{R\to\infty}\int^{-R}_{-R-it}g(z)\,dz=0$, ahonnan
$\int_{-\infty-it}^{\infty-it} g(z)\,dz
=\int_{-\infty}^\infty g(z)\,dz=1$, \'es ezt kellett bel\'atni.

\medskip
V\'azlatosan ismertetem, hogyan lehet a fenti eredm\'enyek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel bel\'atni a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelt.
Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u, nulla
v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es 1 sz\'or\'asn\'egyzet\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\varphi(t)$ karakterisztikus
f\"ugg\-v\'ennyel. Azt kell bel\'atni, hogy az
$\frac{S_n}{\sqrt n}=\frac1{\sqrt n}\summ_{k=1}^n\xi_k$ normaliz\'alt
\"osszegek ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"ugg\-v\'e\-nyei konverg\'alnak
a standard norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny $e^{-t^2/2}$
ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"ugg\-v\'e\-ny\'e\-hez, ha $n\to\infty$.
Viszont a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok karakterisztikus
f\"ugg\-v\'e\-ny\'e\-nek vi\-sel\-ke\-d\'e\-s\'e\-r\H{o}l
sz\'ol\'o lemma alapj\'an tudjuk, hogy az $\frac{S_n}{\sqrt n}$
normaliz\'alt \"osszeg karakterisztikus f\"uggv\'enye
$\varphi^n\(\frac t{\sqrt n}\)^n$, tov\'abb\'a Taylor sorfejt\'es
alapj\'an $\varphi\(\frac t{\sqrt n}\)\sim 1+i\frac{tE\xi_1}{\sqrt
n}-\frac{t^2E\xi_1^2}{2n}=1-\frac{t^2}{2n}$. Innen a vizsg\'alt
karakterisztikus f\"uggv\'enyek \'ert\'ekei
$\varphi^n\(\frac t{\sqrt n}\)^n
\sim\(1-\frac{t^2}{2n}\)^n\sim e^{-t^2/2}$. A teljes bizony\'{\i}t\'as
kidolgoz\'as\'ahoz azt kell megmutatni, hogy a felhaszn\'alt
aszimptotikus azonoss\'agok el\'eg j\'o k\"ozel\'{\i}t\'est adnak.

\medskip
{\it Feladat:}
\medskip
\item{} Mutassuk meg, a karakterisztikus f\"uggv\'enyek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy amennyiben $\xi$ \'es $\eta$ k\'et
f\"uggetlen, norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $m_1$ \'es $m_2$ v\'arhat\'o \'ert\'ekkel, $\sigma_1^2$
\'es $\sigma_2^2$ sz\'or\'asn\'egyzettel, akkor $\xi+\eta$ norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $m_1+m_2$
v\'arhat\'o \'ert\'ekkel, \'es $\sigma_1^2+\sigma_2^2$
sz\'or\'asn\'egyzettel.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ \'Irjuk fel a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\varphi_1(t)=Ee^{it\xi}$
az $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$\varphi_2(t)=Ee^{it\eta}$ \'es a $\zeta=\xi+\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$\varphi_3(t)=Ee^{it(\xi+\eta)}$ karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et.
Azt kapjuk, hogy $\varphi_1(t)=e^{itm_1-\sigma_1^2t^2/2}$, mert
$\xi=\sigma_1\bar\xi+m_1$, ahol $\xi_1$ standard norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, ahonnan
$\varphi_1(t)=Ee^{it(\sigma_1\bar\xi+m_1)}
=e^{itm_1}Ee^{i(t\sigma_1)\bar\xi}=e^{itm_1}e^{-(t\sigma_1)^2/2}$.
Hasonl\'oan, $\varphi_2(t)=e^{itm_2-\sigma_2^2t^2/2}$. Ez\'ert
$\varphi_3(t)=\varphi_1(t)\varphi_2(t)
=e^{it(m_1+m_2)-(\sigma_1^2+\sigma^2_2)t^2/2}$, ahonnan k\"ovetkezik,
hogy $\zeta$ norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $m_1+m_2$ v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es
$\sigma_1^2+\sigma_2^2$ sz\'or\'asn\'egyzettel.


\medskip
{\it N\'eh\'any tov\'abbi feladat:}
\medskip

\item{1.)} Egy egys\'egnyi oldal\'u n\'egyzet k\'et \'atellenes
oldal\'an tal\'alomra v\'alasztunk egy-egy pontot. Mekkora annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy ezek t\'avols\'aga $\alpha$-n\'al
kisebb $(1\le\alpha<\sqrt2$)?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $\xi$ a n\'egyzet egyik,
$\eta$ a n\'egyzet \'atellenes oldal\'ara ledobott pont
\'ert\'ek\'et. A k\'et ledobott pont t\'avols\'aga (a
Pitagorasz-t\'etel szerint)
$\sqrt{(\xi-\eta)^2+1}$, ez\'ert minket a
$P(\sqrt{(\xi-\eta)^2+1}<\alpha)=P(|\xi-\eta|<\sqrt{\alpha^2-1})$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'ert\'eke \'erdekel. $\xi$ \'es $\eta$
k\'et f\"uggetlen a $[0,1$ intervallumon egyenletes eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. A feladatot egyr\'eszt
megoldhatjuk a geometriai val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek
m\'od\-sze\-r\'e\-vel. Ekkor azt haszn\'aljuk, ki, hogy a
$(\xi,\eta)$ v\'e\-let\-len vektor az egys\'egn\'egyzet egy
v\'eletlen pontja, \'es a keresett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg az
$\{(u,v)\colon\; 0\le u,v\le1,\; -\sqrt{\alpha^2-1}<u-v<
\sqrt{\alpha^2-1}\}$ halmaz ter\"ulete, ami $1-(1-\sqrt{\alpha^2-1})^2
=2\sqrt{\alpha^2-1}-(\alpha^2-1)$.
\item{} M\'asr\'eszt a minket \'erdekl\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget kisz\'amolhatjuk a 8.~t\'ema
18. feladat\'anak a se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel is. E feladat
eredm\'enye szerint ugyanis ismerj\"uk a $\xi-\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'o $g(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et, ahonnan tetsz\H{o}leges
$0\le u\le 1$ sz\'amra
$P(|\xi-\eta|<u)=\int_{-u}^u g(x)\,dx=2\int_0^u(1-x)\,dx=2u-u^2$
Innen $u=\sqrt{\alpha^2-1}$ v\'alaszt\'assal a keresett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$2\alpha-\alpha^2=2\sqrt{\alpha^2-1}-(\alpha^2-1)$.
\item{2.)} A $[0,1]$ intervallumon tal\'alomra felvesz\"unk k\'et
pontot. Mennyi annak a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy
a k\'et felvett pont t\'avols\'aga kisebb, mint a 0 pontnak a
hozz\'a k\"ozelebb es\H{o} pontt\'ol val\'o t\'avols\'aga?
\item{} {\it Megold\'as:} Ezt a feladatot legegyszer\H{u}bben a
geometriai val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek m\'odszer\'evel tudjuk
megoldani. Egyszer\H{u}bb el\H{o}sz\"or a feladatban k\'erdezett
esem\'eny komplementer\'enek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et
kisz\'amolni. Legyen $\xi$ az els\H{o}, $\eta$ a m\'asodik ledobott
pont \'ert\'eke, \'es vezess\"uk be az
$A=\{\oo\colon\; \xi(\oo)>2\eta(\oo)\}$
\'es  $B=\{\oo\colon\; \eta(\oo)>2\xi(\oo)\}$ esem\'enyeket. Ekkor
a minket \'erdekl\H{o} esem\'eny komplementere az $A\cup B$ esem\'eny.
Tov\'abb\'a, az $A$ \'es $B$ esem\'enyek diszjunktak, $P(A)=P(B)$,
ez\'ert $P(A\cup B)=2P(A)$. A $(\xi,\eta)$ v\'eletlen vektor
egyenletes eloszl\'as\'u az egys\'egn\'egyzeten, \'es az $A$
esem\'eny azt jelenti, hogy ez a pont az $\{(u,v)\colon\;
0<2v<u\le1\}$ halmazba esik. Ennek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
$\frac14$. Ez\'ert $P(A\cup B)=\frac12$, \'es a keresett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $1-\frac12=\frac12$.
\item{} Megjegyzem, hogy az el\H{o}bb tekintett $P(A)$ esem\'enyt
a k\"ovetkez\H{o}k\'epp sz\'a\-mol\-hat\-juk ki \'altal\'anos
elvek seg\'{\i}ts\'eg\'evel. A $(\xi,\eta)$ v\'eletlen vektor
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et ismerj\"uk. Ez a $\xi$ \'es $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlens\'ege miatt
$g(u,v)=f(u)f(v)$, ahol $f(u)=1$, ha $0\le u\le1$,
$f(u)=0$, ha $u<0$ vagy $u>1$ a $\xi$ \'es $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye. Innen,
$$
\align
P(A)&=\int_{\{(x,y)\colon\; x>2y\}}g(x,y)\,dx\,dy
=\int_{\{(x,y)\colon\; x>2y\}}f(x)f(y)\,dx\,dy\\
&=\int_{\{(x,y)\colon\;1\ge x>2y>0\}}\,dx\,dy
=\int_0^1 \(\int_0^{x/2}\,dy\)\,dx
=\int_0^1\frac x2\,dx=\[\frac{x^2}4\]_0^1=\frac14.
\endalign
$$
\item{3.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen standard
norm\'alis eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'o. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $\frac\eta\xi$ h\'anyados
eloszl\'as \'es s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Tegy\"unk el\H{o}sz\"or egy
\'altal\'anos megjegyz\'est. Ha adva van k\'et
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o $\xi$ \'es
$\eta$, amelyek (egy\"uttes s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye egy
ismert $f(u,v)$ s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny, akkor az
$\frac\eta\xi$ h\'anyados eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et a k\"ovetkez\H{o}
m\'odon sz\'amolhatjuk ki: Ve\-zes\-s\"uk be a $g(u,v)=g_x(u,v)$
f\"uggv\'enyt, amely a s\'{\i}kon az
$\left\{(u,v)\colon\;\frac vu<x\right\}$ halmaz
in\-di\-k\'a\-tor\-f\"ugg\-v\'e\-nye, azaz $g(u,v)=1$, ha $\frac vu<x$,
\'es $g(u,v)=0$, ha $\frac vu\ge x$. Ekkor
$$
P\(\frac\eta\xi<x\)
=E g(\xi,\eta)=\int\int g(u,v) f(u,v)\,du\,dv=
\int\int_{\{(u,v)\colon\;\frac vu<x\}} f(u,v)\,du\,dv.
$$
L\'atni fogjuk, hogy az ebben a feladatban vizsg\'aland\'o integr\'al
viszonylag egyszer\H{u}, k\"onnyebben kezelhet\H{o}.
\item{} A feladatban vizsg\'aland\'o h\'anyados eloszl\'asf\"uggv\'enye
$$
\align
F(x)=P\(\frac\eta\xi <x\)&=\iint_{v<xu
}\frac1{2\pi}e^{-(u^2+v^2)/2}\,du\,dv\\
&=2\frac1{2\pi}\int_{-\frac{\pi}2<\varphi<\arctan x}\int_0^\infty
re^{-r^2/2}\,dr\,d\varphi =\frac12+\frac1{\pi}\arctan x.
\endalign
$$
Ebben a sz\'amol\'asban a fel\'{\i}rt integr\'alt \'at\'{\i}rtuk
$u=r\cos\varphi$, $v=r\sin\varphi$ transzform\'aci\'oval
pol\'arkoordin\'atarendszerben. E sz\'amol\'as sor\'an az
integrandusban megjelenik az $r$ Jacobian mint szorz\'o faktor.
Ezut\'an azt vegy\"uk \'eszre, hogy a bels\H{o} $r$ v\'altoz\'o
szerinti integr\'al $\int_0^\infty
re^{-r^2/2}\,dr=\[-e^{-r^2/2}\]_0^\infty=1$.
\item{} Kisz\'amoltuk a keresett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. E val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye az eloszl\'asf\"uggv\'eny
deriv\'altja, azaz az $f(x)=\frac{dF(x)}{dx}=\frac1{\pi(1+x^2)}$
f\"uggv\'eny.
\item{} {\it M\'asodik megold\'as.}\/ A $(\xi,\eta)$ vektor
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $\frac1{2\pi}e^{-(x^2+y^2)/2}$, ami
for\-ga\-t\'as\-in\-va\-ri\'ans f\"uggv\'eny. Innen k\"ovetkezik,
hogy annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $(\xi,\eta)$ vektor
egy orig\'ob\'ol kiindul\'o $\alpha$ sz\"og\H{u} sz\"ogtartom\'anyba
esik, $\frac\alpha{2\pi}$. Ez\'ert
$$
\align
P\(\frac\eta\xi<x\)&=P\((\xi,\eta)\in
\[-\frac \pi2,\arctan x\)\cup \[\frac\pi2, \arctan x+\pi\)
\text{sz\"ogtartom\'anyban}\)\\
&=\frac1{2\pi}2\(\arctan x+\frac\pi2\)=\frac12+\frac1{\pi}\arctan x.
\endalign
$$

\medskip\noindent
{\bf 1. kieg\'esz\'{\i}t\'es. N\'eh\'any az eloszl\'asok
konvergenci\'aj\'aval kapcsolatos eredm\'eny bizony\'{\i}t\'asa.}

\medskip\noindent
{\it Az eloszl\'asban val\'o konvergencia k\"ul\"onb\"oz\H{o}
lehets\'eges jellemz\'es\'er\H{o}l sz\'ol\'o t\'etel
bi\-zo\-ny\'{\i}\-t\'a\-sa.} Tegy\"uk fel el\H{o}sz\"or azt,
hogy az $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek eloszl\'asban konverg\'alnak
egy $F$ eloszl\'asf\"uggv\'enyhez, \'es tekints\"unk egy folytonos
\'es korl\'atos $g(\cdot)$ f\"uggv\'enyt a sz\'am\-egye\-ne\-sen.
Ekkor a $g$ f\"uggv\'eny folytonoss\'aga \'es az $F$ illetve $F_n$
eloszl\'asf\"uggv\'enyek viselked\'ese miatt $\pm\infty$ pontok
k\"ornyezet\'eben minden $\e>0$ sz\'amhoz l\'etezik olyan el\'eg
nagy $K=K(\e)>0$, amelyre $\int_{u\colon\;|u|>K} |g(u)|\,dF_n(u)<\e$
minden $n=1,2,\dots$ indexre, \'es ez az \'all\'{\i}t\'as
\'erv\'enyes  akkor is, ha az $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyt az $F$
eloszl\'asf\"uggv\'ennyel helyettes\'{\i}tj\"uk. Tov\'abb\'a a
folytonos $g(\cdot)$ f\"uggv\'eny a $[-K,K]$ intervallumban
egyenletesen folytonos. Ennek az \'eszrev\'etelnek \'es annak a
t\'enynek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy $\limm_{n\to\infty}F_n(x)=F(x)$
az $F(\cdot)$ minden folytonoss\'agi pontj\'aban be lehet l\'atni,
v\'eve a $[-K,K]$ intervallumnak egy olyan el\'eg finom
feloszt\'as\'at, amelynek az oszt\'opontjai az $F$ f\"uggv\'eny
folytonoss\'agi pontjai, hogy
$$
\left|\int_{u\colon\;|u|\le K} g(u)\,dF_n(u)-\int_{u\colon\;|u|\le K}
g(u)\,dF(u)\right|<\e,\quad\text{ha } n\ge n_0(\e).
$$
(E l\'ep\'esben kihaszn\'aljuk azt, hogy egy monoton f\"uggv\'enynek
csak megsz\'aml\'alhat\'o sok szakad\'asi pontja van. Mi\'ert?)
Innen $\e\to0$ hat\'ar\'atmenettel megkapjuk az (a) \'all\'{\i}t\'as
bizony\'{\i}t\'as\'at.

Megford\'{\i}tva tegy\"uk fel, hogy teljes\"ul az (a) rel\'aci\'o,
\'es legyen $x$ az $F$ f\"uggv\'eny folytonoss\'agi pontja.
R\"ogz\'{\i}tve egy kis $\e>0$ sz\'amot defini\'aljuk a
k\"ovetkez\H{o} $g^\pm(u)=g_{x,\e}^\pm(u)$, $-\infty<u<\infty$,
folytonos \'es korl\'atos f\"uggv\'enyeket: $g^+(u)=0$, ha $u\ge
x+\e$, $g^+(u)=1$, ha $u\le x$, $g^+(u)=\frac{x+\e-u}\e$, ha $x\le
u\le x+\e$. Hasonl\'oan $g^-(u)=0$, ha $u\ge x$, $g^-u)=1$, ha 
$u\le x-\e$, $g^-(u)=\frac{x-u}\e$, ha $x-\e\le u\le x$. Alkalmazva 
az (a) \'all\'{\i}t\'ast kapjuk, hogy
$$
\align
F(x-\e)&\le \int g_{\e,x}^-(u) F(\,du)
=\limm_{n\to\infty}\int g_{\e,x}^-(u) F_n(\,du)
\le \liminff_{n\to\infty} F_n(x) \\
&\le \limsupp_{n\to\infty} F_n(x)\le
\limm_{n\to\infty}\int g_{\e,x}^+(u) F_n(\,du)=
\int g_{\e,x}^+(u) F(\,du)\le F(x+\e),
\endalign
$$
\'es v\'eve az $\e\to0$
hat\'ar\'atmenetet kapjuk, hogy $\limm_{n\to\infty}F_n(x)=F(x)$,
felt\'eve, hogy az $x$ pont az $F$ f\"uggv\'eny folytonoss\'agi pontja.

\medskip\noindent
{\it Annak bizony\'{\i}t\'asa, hogy egy eloszl\'asf\"uggv\'enyt
meghat\'aroz a karakterisztikus f\"uggv\'enye.}\/ Vegy\"uk \'eszre,
hogy Weierstrass m\'asodik approxim\'aci\'os t\'etel\'eb\H{o}l
k\"ovetkezik, hogy tet\-sz\H{o}\-le\-ges $K>0$ \'es $\e>0$
sz\'amokra \'es a $K$ sz\'am szerint periodikus $h(\cdot)$
f\"uggv\'enyre igaz, hogy l\'etezik
olyan $P_n(t)=\summ_{j=-n}^n a_j e^{2\pi ijt/K}$ trigonometrikus
polinom, amelyre teljes\"ul a $\supp_{-\infty<t<\infty}
|P_n(t)-h(t)|\le\e$ becsl\'es. Integr\'alva a $h(\cdot)$ \'es a
$P_n(\cdot)$ f\"uggv\'enyt a $F$ \'es $G$ eloszl\'asf\"uggv\'eny
szerint, a fenti approxim\'aci\'ob\'ol kapjuk, hogy $\int
|h(u)-P_n(u)|F(\,du)\le\e$ \'es $\int |h(u)-P_n(u)|G(\,du)\le\e$.
Ez\'ert $\left|\int h(u)F(\,du)-\int h(u)G(\,du)\right|\le2\e$. Mivel
ez minden $\e>0$ sz\'amra igaz, ez\'ert $\int h(u)F(\,du)=\int
h(u)G(\,du)$. Tov\'abb\'a, innen k\"ovetkezik az is, hogy ha $
h(\cdot)$ kompakt tart\'oj\'u, folytonos f\"uggv\'eny, azaz ha
l\'etezik olyan $A$ sz\'am, amelyre $h(u)=0$, ha $|u|\ge A$, akkor
$\int h(u)F(\,du)=\int h(u)G(\,du)$. Val\'oban, defini\'aljuk minden
$K>A$ sz\'amra azt a $h_K(\cdot)$ f\"uggv\'enyt, amely a $h(\cdot)$
f\"uggv\'eny  $[-K,K]$ intervallumra vett megszor\'{\i}t\'as\'anak
a $2K$ szerinti periodikus kiterjeszt\'ese, azaz $h_K(u)=h(u-2lK)$,
ahol $l$ olyan eg\'esz sz\'am, amelyre $-K\le u<K$. Ekkor $\int h(u)
F(\,du)=\limm_{K\to\infty}\int h_K(u) F(\,du)=\limm_{K\to\infty}\int
h_K(u) G(\,du) =\int h(u) G(\,du)$.

Legyenek $-\infty<x<y<\infty$ olyan sz\'amok a sz\'amegyenesen,
amelyek folytonoss\'agi pontjai mind az $F$ mind a $G$
eloszl\'asf\"uggv\'enynek. Bel\'atjuk a fenti rel\'aci\'o
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy $F(y)-F(x)=G(y)-G(x)$. Val\'oban,
r\"ogz\'{\i}ts\"unk egy $\e>0$ sz\'amot, \'es defini\'aljuk a
k\"ovetkez\H{o} $h(\cdot)=h_{\e}(\cdot)$f\"uggv\'enyt: $h(u)=1$,
ha $x\le u\le y$, $h(u)=0$, ha $y+\e\le u$ vagy $u\le x-\e$,
$h(u)=\frac{y+\e-u}\e$, ha $y\le u\le y+\e$,
$h(u)=\frac{u-x+\e}\e$, ha $x-\e\le u\le x$. Felhaszn\'alva az $\int
h^\pm_{\e}(u)F(\,du)=\int h^\pm_{\e}(u)G(\,du)$ azonoss\'agot,
\'es azt hogy $\limm_{\e\to0}\int
h_{\e}(u)F(\,du)= F(y)-F(x)$, $\limm_{\e\to0}\int
h_{\e}(u)G(\,du)=G(y)-G(x)$, ha $x$ \'es $y$ az $F$ \'es $G$
f\"uggv\'eny folytonoss\'agi pontjai, $\e\to0$
hat\'ar\'atmenettel kapjuk az $F(y)-F(x)=G(y)-G(x)$ azonoss\'agot.

Ez ut\'obbi azonoss\'agot felhaszn\'alva \'es alkalmazva az
$x\to-\infty$ hat\'ar\'atmenetet kapjuk, hogy $F(y)=G(y)$, ha $y$
mind az $F(\cdot)$ mind a $G(\cdot)$ eloszl\'asf\"uggv\'enynek
foly\-to\-nos\-s\'a\-gi pontja. Mivel az $F$ \'es $G$
eloszl\'asf\"uggv\'enynek csak megsz\'aml\'alhat\'o sok szakad\'asi
pontja van, \'es mind a k\'et f\"uggv\'eny balr\'ol folytonos,
innen k\"ovetkezik, hogy az $F$ \'es $G$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek
megegyeznek.

\beginsection 2. kieg\'esz\'{\i}t\'es. A Stirling formula \'es annak
egy \'altal\'anos\'{\i}t\'asa.

{\bf A Stirling formula:}
{\it
$$
n!\sim\sqrt{2\pi n}\(\frac ne\)^n,
$$
}

\medskip\noindent
{\it A Stirling formula bizony\'{\i}t\'asa:} El\H{o}sz\"or azt
mutatom meg, hogy
$$
n!=\(\frac ne\)^n\frac{2\pi}{\int_{-\pi}^\pi
e^{n(e^{it}-1-it)}\,dt}. \tag a
$$

Tekints\"unk egy $\xi$ Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot $\lambda=n$ param\'eterrel, azaz legyen
$P(\xi=k)=\frac{n^k}{k!}e^{-n}$, $k=0,1,2,\dots$. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $P(t)=Ee^{it\xi}$
karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et. Ez a  k\"ovetkez\H{o} $P_n(t)$
Fourier sor:
$$
P_n(t)=\sum_{k=0}^\infty P(\xi=k)e^{itk}
=\sum_{k=0}^\infty \frac{n^k}{k!}e^{-n+ikt}
=e^{-n}\sum_{k=0}^\infty \frac{(ne^{it})^k}{k!}
=e^{-n+ne^{it}}.
$$
Innen, illetve a $(*)$ formul\'ab\'ol $k=n$ v\'alaszt\'assal kapjuk,
hogy
$$
P(\xi=n)=\frac{n^n}{n!}e^{-n}
=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{-int}P_n(t)\,dt
=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{-int-n+ne^{it}})\,dt.
$$
Ez az azonoss\'ag ekvivalens az (a) formul\'aval.

Az (a) formula alapj\'an a Stirling formula bizony\'{\i}t\'as\'ahoz
el\'eg megmutatni azt, hogy
$$
\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt n}{\sqrt {2\pi}}\int_{-\pi}^\pi
e^{n(e^{it}-1-it)}\,dt=1,
$$
amit \'ugyis \'{\i}rhatunk, hogy
$$
\lim_{n\to\infty}\frac{\int_{-\pi}^\pi e^{n(e^{it}-1-it)}\,dt}
{\int_{-\infty}^\infty e^{-nt^2/2}\,dt}=1.
$$
Viszont tekintve az $e^{it}$ f\"uggv\'eny Taylor sor\'at kapjuk, hogy
$$
n(e^{it}-1-it)=-n\(\frac{t^2}2+\alpha(t)t^3\)=-\frac{nt^2}2
+\beta(t)n^{-1/8},
$$
alkalmas $|\alpha(t)|\le \const$ \'es $|\beta(t)|\le \const$
egy\"utthat\'okkal, ha $|t|\le n^{3/8}$, ahonnan
$e^{n(e^{it}-1-it)}=e^{-nt^2/2}e^{\beta(t)n^{-1/8}}=e^{-nt^2/2}
\(1+\gamma(t)n^{-1/8}\)$, $|\gamma(t)|\le\text{const}$, ha
$t\le n^{3/8}$, \'es
$$
\lim_{n\to\infty}\frac{\int_{-n^{-3/8}}^{n^{-3/8}}
e^{n(e^{it}-1-it)}\,dt}
{\int_{-n^{-3/8}}^{n^{-3/8}} e^{-nt^2/2}\,dt}=1.
$$
Tov\'abb\'a nem neh\'ez bel\'atni, hogy
$$
\lim_{n\to\infty}\frac{\int_{-n^{-3/8}}^{n^{-3/8}}
e^{-nt^2/2}\,dt} {\int_{-\infty}^\infty e^{-nt^2/2}\,dt}=1,
$$
ez\'ert el\'eg megmutatni, hogy az
$\int_{-\pi}^{-n^{-3/8}} e^{n(e^{it}-1-it)}\,dt$ \'es
$\int^{\pi}_{n^{-3/8}} e^{n(e^{it}-1-it)}\,dt$
in\-teg\-r\'a\-lok el\'eg kicsik. Ennek bizony\'{\i}t\'as\'ahoz
jegyezz\"uk viszont meg, hogy $|e^z|=e^{\Re z}$ tetsz\H{o}leges $z$
komplex sz\'amra, ahol $\Re z$  a $z$ sz\'am val\'os r\'esz\'et
jel\"oli. Innen
$$
|e^{n(e^{it}-1-it)}|=e^{n(\cos t-1)}\le e^{-\const n^{1/4}},
$$
ha $n^{3/8}\le|t|\le \pi$, ahonnan k\"ovetkezik a k\'{\i}v\'ant
becsl\'es.

\beginsection A Stirling formula egy \'altal\'anos\'{\i}t\'asa.

Tekints\"uk a $\Gamma(t)=\int_0^\infty x^{t-1}e^{-x}\,dx$, $t>0$,
\'ugynevezett $\Gamma$-f\"uggv\'enyt. Nem neh\'ez parci\'alis
integr\'al\'assal bel\'atni, hogy $\Gamma(t)=(t-1)\Gamma(t-1)$,
$t>1$, \'es $\Gamma(1)=1$, Innen azt kapjuk, hogy
$\Gamma(n)=(n-1)!$ pozit\'{\i}v eg\'esz  $n$ sz\'amokra. Ez\'ert
a $\Gamma(t)$ f\"uggv\'eny az $(n-1)!$ kifejez\'es
kiterjeszt\'es\'enek tekinthet\H{o} pozit\'{\i}v val\'os
sz\'amokra. Megmutatom, hogyan lehet a Stirling
formula el\H{o}bb ismertetett bizony\'{\i}t\'as\'ahoz hasonl\'o
m\'odon a  k\"ovetkez\H{o} j\'o aszimptotikus formul\'at
bizony\'{\i}tani a $\Gamma(t)$ f\"uggv\'enyre nagy $t$ \'ert\'ekekre:
$$
\Gamma(t)\sim\sqrt{2\pi(t-1)}\(\frac{t-1}e\)^{t-1},\quad\text{ha }
t\to\infty. \tag b
$$
Ez a formula $t=n+1$ v\'alaszt\'assal speci\'alis esetk\'ent
tartalmazza a Stirling formul\'at.

Ebben a sz\'amol\'asban Fourier sorok egy\"utthat\'oinak a Fourier
sor seg\'{\i}ts\'eg\'evel val\'o a ($*$) formul\'aban ismertetett
kifejez\'ese helyett a Fourier anal\'{\i}zis egy fontos eredm\'eny\'et,
ezen formula folytonos megfelel\H{o}j\'et hasz\-n\'al\-juk.
Ez lehet\H{o}v\'e teszi, hogy egy (sz\'ep tu\-laj\-don\-s\'ag\'u)
f\"uggv\'enyt kisz\'amoljunk a Fourier transzform\'altja
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.

Legyen az integr\'alhat\'o \'es folytonos $f(x)$ f\"uggv\'eny
Fourier transzform\'altja az
$\tilde f(u)=\int_{-\infty}^\infty e^{iux}f(x)\,dx$ f\"uggv\'eny.
Tegy\"uk fel, hogy az $\tilde f(u)$ f\"uggv\'eny szint\'en
integr\'alhat\'o. Ekkor
$$
f(x)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{-iux}\tilde f(u)\,du \tag c
$$
Ezt a (c) formul\'at fogjuk alkalmazni a
$\gamma_t(x)=\frac1{\Gamma(t)}x^{t-1}e^{-x}$, ha $x>0$ \'es
$\gamma_t(x)=0$, ha $x<0$ f\"uggv\'enyre $t>1$ esetben.
(A $\gamma_t(x)$ f\"uggv\'enyt a a $t$ param\'eter\H{u} $\Gamma$
eloszl\'as s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'enek h\'{\i}vj\'ak az
irodalomban.)

Sz\'amoljuk ki a $\gamma_t(x)$ f\"uggv\'eny $\tilde\gamma_t(u)$
Fourier transzform\'altj\'at. Azt kapjuk $\bar x=(1-iu)x$
helyettes\'{\i}t\'essel, hogy
$$
\tilde\gamma_t(u)=\frac1{\Gamma(t)}\int_0^\infty e^{-x+iux}x^{t-1}\,dx
=\frac1{\Gamma(t)}\frac1{(1-iu)^t}\int_0^\infty e^{-\bar x}\bar x^{t-1}
\,d\bar x=\frac1{(1-iu)^t}.
$$

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A fenti k\'eplet alapj\'an
$\tilde\gamma_s(u)\tilde\gamma_t(u)=\tilde\gamma_{s+t}u$ minden $s>0$,
$t>0$ \'es val\'os $u$ sz\'amra, ami azt jelenti, hogy
$\gamma_s*\gamma_t(x)=\gamma_{s+t}(x)$, ahol $*$ konvoluci\'ot jel\"ol.
Ezt a rel\'aci\'ot egy\'ebk\'ent a 8.~t\'ema 16.~feladat\'anak
megold\'as\'aban k\"ozvetlen sz\'amol\'assal is bebizony\'{\i}tottuk.
Az el\H{o}bb megfogalmazott eredm\'eny azt sugallja, hogy nagy $t$
param\'eterre a $\gamma_t$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\H{u}
eloszl\'as, azaz a $\Gamma$ eloszl\'as $t$ param\'eterrel
k\"ozel\'{\i}t\H{o}leg norm\'alis eloszl\'as\'u a megfelel\H{o}
param\'eterekkel, s\H{o}t a $\gamma_t(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny is j\'ol k\"ozel\'{\i}thet\H{o} a
megfelel\H{o} param\'eter\H{u} norm\'alis
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel. Ez a gondolat van az al\'abbi
sz\'amol\'as h\'atter\'eben, ahol a $\gamma_t(x)$ f\"uggv\'eny
\'ert\'ek\'ere adunk j\'o k\"ozel\'{\i}t\'est $x=t$
v\'a\-lasz\-t\'as\-sal. Az $x=t$ v\'alaszt\'as az\'ert term\'eszetes,
mert egy $t$ param\'eter\H{u} $\Gamma$ eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o v\'arhat\'o
\'ert\'eke~$t$.

\medskip
Mivel a $\tilde\gamma_t(u)=\frac1{(1-iu)^t}$ f\"uggv\'eny integr\'alhat\'o
$t>1$ sz\'amra
$$
\gamma_t(x)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{-iux}\frac1{(1-iu)^t}\,du
$$
a (c) formula alapj\'an. Speci\'alisan $x=t$ v\'alaszt\'assal
$$
\frac{e^{-t}t^{t-1}}{\Gamma(t)}
=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{-iut}\frac1{(1-iu)^t}\,du,
$$
azaz
$$
\align
\Gamma(t)&=\(\frac{t-1}e\)^{t-1}\frac1e\(1+\frac1{t-1}\)^{t-1}
\frac{2\pi}{\int_{-\infty}^\infty e^{-iut}\frac1{(1-iu)^t}\,du}\\
&=\sqrt{2\pi(t-1)}\(\frac{t-1}e\)^{t-1}\cdot\frac1e\(1+\frac1{t-1}\)^{t-1}
\cdot\frac{\sqrt{2\pi}}{\sqrt{t-1}
\int_{-\infty}^\infty e^{-iut}\frac1{(1-iu)^t}\,du}.
\endalign
$$
Ezen formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel fogjuk bizony\'{\i}tani a (b)
rel\'aci\'ot.

Tudjuk, hogy
$\limm_{t\to\infty}\frac1e\(1+\frac1{t-1}\)^t=1$. Ez\'ert a (b)
rel\'aci\'o bizony\'{\i}t\'as\'ahoz el\'eg megmutatni, hogy
$\int_{-\infty}^\infty e^{-iut}\frac1{(1-iu)^t}\,du
\sim\int_{-\infty}^\infty e^{-tu^2/2}\,du$, mert
$\int_{-\infty}^\infty e^{-tu^2/2}\,du
=\frac{\sqrt{2\pi}}{\sqrt t}\sim\frac{\sqrt{2\pi}}{\sqrt{t-1}}$, ha
$t\to\infty$.

Az $\int_{-\infty}^\infty e^{-iut}\frac1{(1-iu)^t}\,du
\sim\int_{-\infty}^\infty e^{-tu^2/2}\,du$ rel\'aci\'o bizony\'{\i}t\'asa
\'erdek\'eben vegy\"uk \'eszre, hogy a becs\"ulend\H{o} integr\'al
integrandusa fel\'{\i}rhat\'o
$e^{-iut}\frac1{(1-iu)^t}=\exp\{t(-iu-\log(1-iu))\}=\exp\{-tu^2/2+O(tu^3)\}$
alakban kis $u$ \'ert\'ekekre. Alkalmazva ezt a rel\'aci\'ot p\'eld\'aul
$|u|<t^{-3/8}$ \'ert\'ekekre, amikor $tu^3=O(t^{-1/8})$, azt kapjuk
hogy, $t\to\infty$ eset\'en
$$
\int_{-t^{-3/8}}^{t^{-3/8}} e^{-iut}\frac1{(1-iu)^t}\,du\sim
\int_{-t^{-3/8}}^{t^{-3/8}} e^{-tu^2/2}\,du\sim
\int_{-\infty}^\infty e^{-tu^2/2}\,du. \tag d
$$

M\'asr\'eszt
$\left|e^{-iut}\frac1{(1-iu)^t}\right|=\frac1{(1+u^2)^{t/2}}$. 
Megmutatom ezen azonoss\'ag seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy
$$
\left|\int_{u\colon\;|u|>t^{-3/8}} e^{-iut}\frac1{(1-iu)^t}\,du\right|
\le\int_{u\colon\;|u|>t^{-3/8}}\frac1{(1+u^2)^{t/2}}\,du=o(t^{-1/2}),
\tag e
$$
ha $t\to\infty$. A (d) \'es (e) becsl\'esekb\H{o}l k\"ovetkezik a
k\'{\i}v\'ant \'all\'{\i}t\'as. Viszont
$$
\int_{u\colon\;|u|>2}\frac1{(1+u^2)^{t/2}}\,du\le
\int_{u\colon\;|u|>2}u^{-t}\,du\le 2^{-t}=o(t^{-1/2}),
$$
\'es
$$
\int_{u\colon\;t^{-3/8}<|u|<2}\frac1{(1+u^2)^{t/2}}\,du\le
\int_{u\colon\; |u|>t^{-3/8}}e^{-tu^2/1000}\,du=o(t^{-1/2}),
$$
\'es ezen becsl\'esekb\H{o}l k\"ovetkezik az (e) rel\'aci\'o.



\beginsection 3. kieg\'esz\'{\i}t\'es. Az Alapt\'etel
bizony\'{\i}t\'as\'anak legfontosabb l\'ep\'ese.

Az Alapt\'etel neh\'ez \'es sz\'amunkra \'erdekes r\'esze az
el\'egs\'egess\'eg bizony\'{\i}t\'asa, azaz annak megmutat\'asa,
hogy ha valamely $F_n(x)$, $n=1,2,\dots$, eloszl\'asf\"uggv\'enyek
$\varphi_n(t)=\int e^{itx}F_n(\,dx)$, $-\infty<t<\infty$
karakterisztikus f\"uggv\'enyei minden $t$ pontban konverg\'alnak
egy az orig\'oban folytonos $\varphi_0(t)$ f\"uggv\'enyhez, akkor 
$\varphi_0(\cdot)$ egy $F_0$ eloszl\'asf\"uggv\'eny 
karakterisztikus f\"uggv\'enye, \'es 
az $F_n$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek ehhez az $F_0$ 
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez konverg\'alnak.

Ezt az \'all\'{\i}t\'ast viszonylag egyszer\H{u} reduk\'alni a
k\"ovetkez\H{o} \'all\'{\i}t\'asra: Az $F_n(\cdot)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek $\varphi_n(\cdot)$ 
karakterisztikus f\"uggv\'enyeire tett felt\'etelek 
teljes\"ul\'ese eset\'en ezek az el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek 
relat\'{\i}ve kompaktak, azaz tetsz\H{o}leges $F_{n_k}$ 
r\'eszsorozatuknak l\'etezik eloszl\'asban konvergens $F_{n_{k_j}}$ 
r\'eszsorozata. Ugyanis nem neh\'ez bel\'atni, hogy az 
$F_{n_{k_j}}$ r\'esz\-so\-ro\-za\-tok (f\"ug\-get\-le\-n\"ul az
$n_{k_j}$ indexsorozat v\'alaszt\'at\'ol) ahhoz az $F_0$
eloszl\'asf\"uggv\'enyhez konverg\'alnak, amelyiknek $\varphi_0(t)$
a karakterisztikus f\"uggv\'enye. Itt azt az egyszer\H{u}en 
igazolhat\'o t\'enyt haszn\'aljuk ki, hogy az eloszl\'asok 
konvergenci\'aj\'ab\'ol k\"ovetkezik azok karakterisztikus 
f\"uggv\'enyeinek a konvergenci\'aja a hat\'areloszl\'as 
karakterisztikus f\"ugg\-v\'e\-ny\'e\-hez. Ezenk\'{\i}v\"ul 
l\'attuk az 1.~kieg\'esz\'{\i}t\'es eredm\'eny\'eben, hogy egy
eloszl\'asf\"uggv\'enyt meghat\'aroz annak karakterisztikus
f\"uggv\'enye.

A f\H{o} probl\'ema teh\'at annak vizsg\'alata, hogy hogyan lehet
eld\"onteni azt, hogy mikor relative kompakt eloszl\'asf\"uggv\'enyek
egy sorozata. E probl\'ema vizsg\'alata kapcs\'an vezett\'ek be az
al\'abbi fogalmat \'es bizony\'{\i}tott\'ak be az ut\'ana
megfogalmazott eredm\'enyt.

\medskip\noindent
{\bf Eloszl\'asf\"uggv\'enyek feszess\'eg\'enek a definici\'oja.}
{\it Az $F_n(x)$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek so\-ro\-za\-ta
fe\-szes, ha tetsz\H{o}leges $\e>0$ sz\'amra l\'etezik olyan
$K=K(\e)$ sz\'am, hogy $[1-F_n(K)]+F_n(-K)\le\e$ {\rm minden}
$n=1,2,\dots$ indexre.}

\medskip\noindent
{\bf T\'etel eloszl\'asok relat\'{\i}v kompakts\'ag\'anak \'es
feszess\'eg\'enek kapcsolat\'ar\'ol.} {\it Le\-gyen $F_n(\cdot)$,
$n=1,2,\dots$, eloszl\'asf\"uggv\'enyek feszes sorozata a
sz\'amegyenesen. Ez az eloszl\'asf\"uggv\'eny sorozat
relat\'{\i}ve kompakt.}

\medskip\noindent
{\it 1. megjegyz\'es.}\/ Igaz a t\'etel megford\'{\i}t\'asa is, amely
szerint eloszl\'asf\"uggv\'enyek so\-ro\-za\-t\'a\-nak
relat\'{\i}v kompakts\'ag\'ab\'ol k\"ovetkezik e sorozat
feszess\'ege is. Ennek az \'all\'{\i}t\'asnak a bizony\'{\i}t\'asa
l\'enyegesen  egy\-sze\-r\H{u}bb. De mivel erre
az eredm\'enyre nem lesz sz\"uks\'eg\"unk, ezt nem bizony\'{\i}tom.


\medskip\noindent
{\it 2. megjegyz\'es.}\/ Nem neh\'ez bel\'atni, hogy adva egy $F(x)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny minden $\e>0$ sz\'amhoz l\'etezik olyan
$K=K(\e)$ k\"usz\"obindex, amelyre $[1-F(K)]+F(-K)\le\e$.
Eloszl\'asf\"uggv\'enyek sorozat\'anak a feszess\'ege azt jelenti,
hogy $F_n(\cdot)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek egy sorozat\'ara a
$K=K(\e)$ k\"usz\"obindex megv\'alaszthat\'o az $n$ indext\H{o}l
f\"uggetlen\"ul \'ugy, hogy az  $[1-F_n(K)]+F_n(-K)\le\e$
egyenl\H{o}tlens\'eg egyszerre teljes\"ulj\"on mindegyik
$F_n(\cdot)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyre.

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'asv\'azlat a t\'etelre.} R\"ogz\'{\i}ts\"unk
egy megsz\'aml\'alhat\'o minden\"utt s\H{u}r\H{u} $x_p$,
$p=1,2,\dots$, halmazt a sz\'amegyenesen. Egy \'atl\'os
elj\'ar\'assal (hasonl\'oan az Arzela--Ascoli t\'etel
bizony\'{\i}t\'as\'ahoz) az eloszl\'asf\"uggv\'enyek
tetsz\H{o}leges $F_{n_k}$ r\'eszsorozat\'anak ki tudjuk
v\'alasztni egy olyan $F_{n_{k_j}}$, $j=1,2,\dots$
 r\'eszsorozat\'at, amelyre l\'etezik az
$\hat F_0(x_p)=\limm_{j\to\infty}F_{n_{k_j}}(x_p)$ 
hat\'ar\'ert\'ek minden $p=1,2,\dots$ indexre. Defini\'aljuk az
$$
F_0(x)=\limm_{x_p\to x,\,x_p>0}\hat F_0(x_p)
$$ 
f\"uggv\'enyt minden $x$ val\'os sz\'amra, ahol a limeszben
tetsz\H{o}leges $x$-n\'el nagyobb sz\'amokb\'ol \'all\'o az $x$ 
sz\'amhoz konverg\'al\'o $x_p$ sz\'amsorozatot tekint\"unk. Az 
$F_n(x)$ f\"uggv\'eny, 
illetve az $x_p$ sz\'amok halmaz\'an defini\'alt $\hat F_0(x)$ 
f\"uggv\'eny monoton\'{\i}t\'as\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy ez a 
definici\'o \'ertelmes, az $F_0(x)$ f\"uggv\'eny \'ert\'eke nem 
f\"ugg az $x_p$ sorozat v\'alaszt\'as\'at\'ol. N\'emi munk\'aval az 
is ellen\H{o}rizhet\H{o}, hogy $F_0(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny.
(Itt kell kihaszn\'alni az $F_n(x)$ 
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny\-so\-ro\-zat feszess\'eg\'et.)
Tov\'abb\'a az is igazolhat\'o, hogy
$F_0(x)=\limm_{j\to\infty}F_{n_{k_j}}(x)$ az $F_0(\cdot)$
f\"uggv\'eny minden folytonoss\'agi pontj\'aban. Ezen
\'all\'{\i}t\'asokb\'ol k\"ovetkezik a t\'etel eredm\'enye.

\medskip
A fenti t\'etel eredm\'enye az\'ert nem elegend\H{o} c\'eljainkra,
mert eloszl\'asf\"uggv\'enyek feszess\'eg\'et neh\'ez k\"ozvetlen\"ul
ellen\H{o}rizni. Ez\'ert hasznos a k\"ovetkez\H{o} t\'etel.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel eloszl\'asf\"uggv\'enyek feszess\'eg\'enek
biztos\'{\i}t\'as\'ar\'ol a karakterisztikus f\"ugg\-v\'eny
tulajdons\'agai alapj\'an.} {\it Legyen adva
eloszl\'asf\"uggv\'enyek $F_n(x)$, sorozata $\varphi_n(t)$
ka\-rak\-te\-risz\-ti\-kus f\"uggv\'enyekkel a sz\'amegyenesen,
$n=1,2,\dots$. Ha teljes\"ul a
$$
\lim_{\delta\to0}\limsup_{n\to\infty}\frac1{2\delta}\int_{-\delta}
^\delta\Re \(1-\varphi_n(t)\)\,dt=0 \tag1
$$
rel\'aci\'o, ahol $\Re z$ a $z$ komplex sz\'am val\'os r\'esz\'et
jel\"oli, akkor az $F_n(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek sorozata
feszes.}

\medskip\noindent
{\bf K\"ovetkezm\'eny.} {\it Ha az $F_n(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyek
$\varphi_n(t)$ karakterisztikus f\"uggv\'enyei egy a nulla pontban
folytonos $\varphi_0(t)$ f\"uggv\'enyhez konverg\'alnak az orig\'o
egy kis k\"ornyezet\'eben, akkor feszesek.} 

\medskip\noindent
{\it A k\"ovetkezm\'eny bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Mivel
$\varphi_0(0)=\limm_{n\to\infty}\varphi_n(0)=1$, ez\'ert
a $\varphi_0(t)$ f\"uggv\'eny folytonoss\'ag\'ab\'ol az orig\'oban
k\"ovetkezik, hogy minden $\e>0$ sz\'amhoz l\'etezik olyan
$\delta_0=\delta_0(\e)$  sz\'am, amelyre $0\le \Re(1-\varphi_0(t))\le\e$,
ha $|t|<\delta_0$. Tov\'abb\'a $0\le \Re(1-\varphi_n(t))\le2$ minden
$n$ \'es $t$ sz\'amra, \'es
$\limm_{n\to\infty}\Re(1-\varphi_n(t))=\Re(1-\varphi_0(t))$ az
orig\'o egy kis k\"ornyezet\'eben.  Ez\'ert a Lebesgue t\'etel
alapj\'an l\'etezik a
$$
\limm_{n\to\infty}\frac1{2\delta}\left|\int_{-\delta}
^\delta\Re \(1-\varphi_n(t)\)\,dt\right|
=\frac1{2\delta}\left|\int_{-\delta}^\delta\Re(1-\varphi_0(t)\,dt\right|
\le\e
$$
hat\'ar\'ert\'ek minden $\delta<\delta_0$ sz\'amra. Ez azt
jelenti, hogy teljes\"ul a (1) felt\'etel, \'es a fenti t\'etel
alapj\'an az $F_n(x)$ f\"uggv\'enyek feszesek ebben az esetben.


\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.}\/ Be lehet l\'atni, hogy az (1) formul\'aban
megfogalmazott felt\'etel nemcsak el\'egs\'eges, hanem ugyanakkor 
sz\"uks\'eges felt\'etele is annak, hogy az $F_n$ 
eloszl\'asf\"uggv\'enyek feszesek legyenek. Erre a t\'enyre 
azonban nem lesz sz\"uks\'eg\"unk.

\medskip\noindent
{\it A t\'etel bizony\'{\i}t\'asa.} R\"ogz\'{\i}ts\"unk egy
tetsz\H{o}leges $K>0$ sz\'amot, \'es \'{\i}rjuk fel a k\"ovetkez\H{o}
azonoss\'agot:
$$
\align
&\frac1{2\delta}\int_{-\delta}^\delta
\Re[1-\varphi_n(t)]\,dt=\int_{-\delta}^\delta\frac1{2\delta}
\int_{-\infty}^\infty \[1-\cos tx\]\,dF_n(x)\,dt\\
&\qquad=\int_{-\infty}^\infty\frac1{2\delta}\int_{-\delta}^\delta
[1-\cos tx]\,dt\,dF_n(x)
=\int_{-\infty}^\infty\[\frac t{2\delta}-\frac{\sin tx}{2\delta
x}\]_{t=-\delta}^{t=\delta}\,dF_n(x)  \tag2 \\
&\qquad=\int_{-\infty}^\infty\(1-\frac{\sin\delta x}{\delta
x}\)\,dF_n(x) =\int_{-K}^K\(1-\frac{\sin\delta x}{\delta x}\)\,dF_n(x)
\\ &\qquad\qquad+\int_{|x|>K}\(1-\frac{\sin\delta x}{\delta x}\)
\,dF_n(x)=I^{\delta}_{1,n}(K)+I^{\delta}_{2,n}(K).
\endalign
$$
Mivel
$\(1-\frac{\sin\delta x}{\delta x}\)\ge0$ minden $x$-re \'es
$\delta$-ra, ez\'ert a (2) formula baloldala fels\H{o} becsl\'est ad
az $I^{\delta}_{2,n}(K)$ kifejez\'esre tetsz\H{o}leges $\delta>0$
$n\ge1$ \'es $K>0$ sz\'amokra. Ez\'ert az (1) formula alapj\'an
tetsz\H{o}leges $\e>0$ sz\'amhoz l\'etezik olyan
$\delta=\delta(\e)>0$ sz\'am \'es $n_0=n_0(\delta)$ k\"usz\"obindex,
amelyekre $\frac\e2\ge\int_{|x|>K}
\(1-\frac{\sin\delta x}{\delta x}\)\,dF_n(x)$, ha $n\ge n_0$, \'es
$K>0$ tetsz\H{o}leges. Legyen $K=\frac2\delta$. Akkor minden 
$|x|\ge K$ sz\'amra
$1-\frac{\sin\delta x}{\delta x}\ge\frac12$. Ez\'ert az
el\H{o}z\H{o} becsl\'esb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy $\frac\e2\ge
\int_{|x|>K}\(1-\frac{\sin\delta x}{\delta x}\)\,dF_n(x)\ge
\frac12[(1-F_n(K))+F_n(-K)]$, azaz $\e\ge [(1-F_n(K))+F_n(-K)]$
ezzel a $K$ sz\'ammal, ha $n\ge n_0$. A $K>0$ sz\'am esetleges
megn\"ovel\'es\'evel el\'erhetj\"uk, hogy a fenti
egyenl\H{o}tlens\'eg minden $n\ge1$ sz\'amra \'erv\'enyes legyen.
Teh\'at az $F_n$, $n=1,2,\dots$, eloszl\'asf\"uggv\'enyek feszesek.

\medskip
A fenti t\'etel, illetve annak k\"ovetkezm\'enye alapj\'an, ha
eloszl\'asf\"uggv\'enyek egy so\-ro\-za\-ta teljes\'{\i}ti az
Alapt\'etel felt\'eteleit, akkor az feszes. Ekkor viszont e 
Kieg\'esz\'{\i}t\'es m\'asik t\'etele alapj\'an egy ilyen sorozat 
relat\'{\i}ve kompakt, \'es ezt akartuk igazolni. Az 
el\H{o}ad\'asban tekintett\"unk egy olyan p\'eld\'at,
amelyben az eloszl\'assorozatban defini\'alt eloszl\'asok 
karakterisztikus f\"uggv\'enyei az orig\'oban nem folytonos
f\"uggv\'enyhez konverg\'altak. Ebben a p\'eld\'aban az
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek sorozata nem volt feszes.

\medskip\noindent
{\bf 4.~kieg\'esz\'{\i}t\'es. A karakterisztikus f\"uggv\'eny 
m\'odszer egy sz\'amelm\'eleti al\-kal\-ma\-z\'a\-sa.}

\medskip\noindent
A k\"ovetkez\H{o} eredm\'eny bizony\'{\i}t\'as\'at ismertetem.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel irracion\'alis sz\'am t\"obbsz\"or\"oseinek 
eloszl\'as\'ar\'ol modul\'o 1.} {\it Legyen $\alpha$ irracion\'alis
sz\'am. R\"ogz\'{\i}ts\"unk egy $[a,b]\subset[0,1]$ intervallumot,
\'es tekints\"uk minden $n$ pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amra
a $k\alpha$~modul\'o~1, $1\le k\le n$, sorozatot, illetve e 
sorozat $[a,b]$ intervallumba es\H{o} pontjainak  
$\frac1n\#\{k\colon\; \{k\alpha\}\in[a,b],\; 1\le k\le n\}$
relat\'{\i}v gyakoris\'ag\'at, ahol $\# A$ egy $A$ halmaz elemeinek
sz\'am\'at jel\"oli, $\{x\}$ pedig egy $x$ sz\'am t\"ort r\'esz\'et.
Ez a relat\'{\i}v gyakoris\'ag tetsz\H{o}leges $[a,b]\subset[0,1]$
intevallumra konverg\'al az $[a,b]$ intervallum $b-a$ hossz\'ahoz,
ha $n\to\infty$.}

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.} Az \'all\'{\i}t\'as \'atfogalmazhat\'o a
k\"ovetkez\H{o} m\'odon. Defini\'aljuk minden $n$ sz\'amra a 
k\"ovetkez\H{o} $\mu_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'eket:
A $\mu_n$ m\'ert\'ek a $k\alpha$~(mod~1), $1\le k\le n$,
pontokba van koncentr\'alva, \'es minden ilyen $k\alpha$~(mod 1)
pont $\mu_n$ m\'ert\'eke~$\frac1n$. Ekkor a t\'etel \'all\'{\i}t\'asa
ekvivalens azzal, hogy a $\mu_n$ m\'ert\'eksorozat eloszl\'asban
konverg\'al a $[0,1]$ intervallumban $f(x)\equiv1$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel rendelkez\H{o} $\mu_0$ egyenletes 
eloszl\'ashoz.

A karakterisztikus f\"uggv\'eny m\'odszer, pontosabban annak a 
$[0,1]$~mod~1 csoportra megfogalmazott v\'altozata azt mondja ki,
hogy $\mu_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek egy
so\-ro\-za\-t\'a\-nak eloszl\'asban val\'o konvergenci\'aja egy
$\mu_0$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekhez ekvivalens azzal, 
hogy teljes\"ul a $\limm_{n\to\infty}\int e^{2\pi ijx}\mu_n(\,dx)
=\int e^{2\pi ijx}\mu_0(\,dx)$ rel\'aci\'o minden 
$j=0,\pm1,\pm2,\dots$ eg\'esz sz\'amra, ahol $i=\sqrt{-1}$. 
Val\'oj\'aban ez az ekvivalencia k\"ovetkezik Weierstrass 
m\'asodik approxim\'aci\'os t\'etel\'eb\H{o}l, \'es az eloszl\'asban
val\'o konvergencia k\"ovetkez\H{o} jel\-lem\-z\'e\-s\'e\-b\H{o}l: 
Tekints\"uk a $[0,1]$~mod~1 egys\'egk\"ort, \'es azon $\mu_n$, 
$n=0,1,2,\dots$, va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi 
m\'er\-t\'e\-ke\-ket. A $\mu_n$ m\'ert\'ekek akkor \'es csak 
akkor konverg\'alnak eloszl\'asban a $\mu_0$ 
m\'ert\'ekhez $n\to\infty$ eset\'en, ha 
$\limm_{n\to\infty}\int f(x)\mu_n(\,dx)=\int f(x)\mu_0(\,dx)$
minden az egys\'egk\"or\"on folytonos (\'es ez\'ert korl\'atos)
$f(x)$ f\"uggv\'enyre. (Olyan f\"uggv\'enyeket tekint\"unk, amelyekre
$f(1)=f(0)$.)

Viszont a t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'ahoz sz\"uks\'eges limesz
rel\'aci\'okat k\"onnyen ellen\H{o}rizhetj\"uk az adott esetben.
Val\'oban $\int e^{2\pi ijx}\mu_0(\,dx)=\int_0^1e^{2\pi ijx}\,dx=0$,
ha $j\neq0$, \'es 
$$
\int e^{2\pi ijx}\mu_n(\,dx)=\frac1n\summ_{k=1}^ne^{2\pi ijk\alpha}=
\frac{e^{2\pi i(n+1)j\alpha}-e^{2\pi ij\alpha}}{n(e^{2\pi ij\alpha}-1)}
\to0,
$$
ha $n\to\infty$, \'es $j\neq0$, mert
$\left|\frac{e^{2\pi i(n+1)j\alpha}-e^{2\pi ij\alpha}}
{n(e^{2\pi ij\alpha}-1)}\right|\le\frac2{n(1-\cos 2\pi j\alpha)}$, 
\'es $1-\cos2\pi j\alpha>0$ minden $j\neq0$ eg\'esz sz\'amra, ha 
$\alpha$ irracion\'alis sz\'am. M\'asr\'eszt a $j=0$ indexre 
$e^{2\pi ijx}=1$, \'es $\int \mu_n(\,dx)=\int \mu_0(\,dx)=1$
minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra.

\medskip
{\it Feladat:}

\medskip
\item{} Legyen $\alpha_1,\dots,\alpha_k$ $k$  irracion\'alis
sz\'am, amelyek kieg\'esz\'{\i}tve az $\alpha_0=1$ sz\'ammal 
line\'arisan f\"uggetlenek a racion\'alis sz\'amok teste felett, 
azaz az $r_0+\summ_{j=1}^k r_j\alpha_j=0$ rel\'aci\'o
racion\'alis $r_j$, $0\le j\le k$, sz\'amokkal csak akkor 
teljes\"ul, ha $r_j=0$ minden $0\le j\le k$  indexre. 
R\"ogz\'{\i}ts\"unk egy $B=\prodd_{j=1}^k[a_j,b_j]\subset [0,1]^k$
a $k$-dimenzi\'os egys\'egkocka \'altal tartalmazott 
t\'eg\-la\-tes\-tet, \'es tekints\"uk minden $n$ pozit\'{\i}v 
eg\'esz sz\'amra azon $l$ sz\'amok relat\'{\i}v gyakoris\'ag\'at 
az $1\le l\le n$ eg\'esz sz\'amok k\"oz\"ott, amelyekre az
($l\alpha_1$~mod~1,\dots, $l\alpha_k$~mod~1) vektor beleesik a $B$
t\'eglatestbe. L\'assuk be, hogy ez a relat\'{\i}v gyakoris\'ag
tart a $B$ t\'eglatest t\'erfogat\'ahoz, ha $n\to\infty$.














\bye

