A Valószínűségszámítás I. előadássorozat tizedik témája.

Eloszlások konvergenciájáról. A centrális határeloszlástétel bizonyítása. A centrális határeloszlástétel azt állítja, hogy bizonyos valószínűségi változók eloszlásainak a sorozata konvergál a normális eloszlásfüggvényhez. E tételnek nem adom meg a teljes, részletes bizonyítását ebben a jegyzetben, de beszélek a bizonyítás során felmerülő legfontosabb kérdésekről.

Először a következő kérdéssel fogok kissé részletesebben foglalkozni. A centrális határeloszlástétel azt mondja ki, hogy bizonyos eloszlásfüggvények (független változók normalizált részletösszegeinek az eloszlásfüggvényei) eloszlásban konvergálnak a normális eloszlásfüggvényhez. De mit jelent az eloszlásban való konvergencia? Ez a kérdés korántsem olyan egyszerű, mint ahogy az első pillanatban gondolnánk. Viszont e kérdés tisztázása szükséges ahhoz, hogy jól megértsük a határeloszlástételek tartalmát és bizonyítási módszerereit. Először megadom a helyes definiciót, és utána elmagyarázom, miért ez a definició fejezi ki a minket érdeklő konvergenciát.

Eloszlásban való konvergencia definiciója. Legyen F_{n}(·), n = 1, 2, …, eloszlásfüggvények sorozata a számegyenesen. Azt mondjuk, hogy az F_{n}(·) eloszlásfüggvények eloszlásban konvergálnak egy F (·) eloszlásfüggvényhez, ha lim_{n→∞} F_{n}(x) = F (x) az F (·) (határ)eloszlásfüggvény minden folytonossági pontjában.

Legyen ξ_{n}, n = 1, 2, …, valószínűségi változók sorozata. Azt mondjuk, hogy a ξ_{n} valószínűségi változók eloszlásban konvergálnak egy F (·) eloszlásfüggvényhez, ha az F_{n}(x) = P (ξ_{n} < x), −∞ < x < ∞, eloszlásfüggvények eloszlásban konvergálnak az F (x) eloszlásfüggvényhez.

Legyen ξ_{n}, n = 1, 2, …, valószínűségi változók sorozata. Azt mondjuk, hogy a ξ_{n} valószínűségi változók eloszlásban konvergálnak egy ξ valószínűségi változóhoz, ha az F_{n}(x) = P (ξ_{n} < x), −∞ < x < ∞, eloszlásfüggvények eloszlásban konvergálnak az F (x) = P (ξ < x), −∞ < x < ∞ eloszlásfüggvényhez.

1. megjegyzés: A fenti definicióban van bizonyos önismétlés. Sokszor előfordul, hogy ugyanazt a fogalmat némileg eltérő szóhasználatban használják. Ezért egymás mellett felsoroltam a különböző lehetséges megfogalmazásokat. Tulajdonképpen csak arról van szó, hogy valószínűségi változók eloszlásban való konvergenciáján e valószínűségi változók eloszlásának az eloszlásban való konvergenciáját értjük. Továbbá azt mondhatjuk, hogy az eloszlásban való konvergencia limesze egy ξ valószínűségi változó, ha a limesz ennek a valószínűségi változónak az eloszlása.

2. megjegyzés: A normális eloszlásfüggvény minden pontban folytonos. Ezért a centrális határeloszlásfüggvény azt mondja ki, hogy független, egyforma eloszlású valószínűségi változók normalizáltjainak az eloszlásfüggvényei minden pontban konvergálnak a standard normális eloszlásfüggvényhez. Ebben az esetben nincs jelentősége annak, hogy a határeloszláslásfüggvény (jelen esetben nem létező) szakadási pontjaiban nem követeljük meg a konvergenciát.

Felmerül a kérdés, hogy miért van kitüntetett szerepe a határeloszlásfüggvény szakadási pontjainak az eloszlásfüggvény konvergenciájának definiciójában. Természetes-e, hogy ezekben a pontokban nem követeltük meg a konvergenciát? E kérdés megértésének érdekében a következő észrevételt teszem.

Egy a számegegyenesen megadott F eloszlásfüggvény indukál egy valószínűségi mértéket a számegyenesen. Ennek a Stieltjes mértéknek nevezett mérték létezéséről szóló eredményt megfogalmaztam a 7. előadás ismertetésében, (lásd a Tétel eloszlásfüggvények által meghatározott mérték nevű eredményt az ottani ismertetésben), de az állítás bizonyítását elhagytam, mert az a mértékelmélet feladata. Az is igaz, hogy minden a számegyenesen definiált valószínűségi mérték előállítható, mint egy (egyértelműen meghatározott) eloszlás által indukált Stieltjes mérték. Jelölje, — a 7. előadás jelöléséhez hasonlóan, — μ_{F} az F eloszlásfüggvény által indukált Stieltjes mértéket. Az eloszlásban való konvergencia definiciójában valójában nem az F_{n} eloszlásfüggvények konvergenciáját követeljük meg az F eloszlásfüggvényhez, hanem az F_{n} eloszlásfüggvények által indukált μ_{F_{n}} Stieltjes mértékek konvergenciáját az F eloszlásfüggvény által indukált μ_{F} Stieltjes mértékhez. Szemléletesen a μ_{F_{n}} mértékek úgy képzelhetők el, mint olyan tömegeloszlások a számegyenesen, amelyekben egy A ⊂ R halmaz ,,súlya” a μ_{F_{n}}(A) mérték. Az eloszlásban való konvergencia azt jelenti, hogy a μ_{F_{n}} tömegeloszlások nagy n indexre közel vannak a μ_{F} tömegeloszláshoz. A μ_{F_{n}} valószínűségi mérték közelsége a μ_{F} valószínűségi mértékhez szemléletesen azt jelenti, hogy a μ_{F_{n}} tömegeloszlás kis megmozgatásával elő lehet állítani a μ_{F} tömegeloszlást.

Az eloszlásban való konvergencia definiciójának jobb megértése érdekében tekintsük a következő egyszerű példát. Legyen x_{0} = 0, és x_{n}, n = 1, 2, …, olyan számsorozat, amelyre x_{n} < 0, n = 1, 2, …, és lim_{n→∞} x_{n} = 0. Legyen μ_{F_{n}}, n = 0, 1, 2, …, az a mérték, amely az x_{n} pontba van koncentrálva, azaz μ_{F_{n}}({x_{n}}) = 1, részletesebben μ_{F_{n}}(A) = 1, ha x_{n} ∈ A, és μ_{F_{n}}(A) = 0, ha x_{n} ∉ A. A μ_{F_{n}} eloszlás azon F_{n} eloszlásfüggvény által meghatározott Stieltjes mérték, amelyre F_{n}(x) = 0, ha x ≤ x_{n}, és F_{n}(x) = 1, ha x > x_{n}. Természetes azt várni, hogy az eloszlásfüggvény alkalmas definiciója esetén a most definiált példában az F_{n} eloszlásfüggvények eloszlásban konvergálnak az F_{0} eloszláshoz. Másrészt vegyük észre, hogy lim_{n→∞} F_{n}(x) = F_{0}(x) minden x ≠ 0 számra. De az x = 0 pontban, azaz az F_{0} függvény szakadási pontjában ez a konvergencia nem teljesül, mert F_{n}(0) = 1, ha n ≥ 1, és F_{0}(0) = 0. Tehát az általunk megadott definició szerint az F_{n} eloszlások eloszlásban konvergálnak az F_{0} eloszláshoz. De ahhoz, hogy ez teljesüljön, szükség volt arra, hogy az eloszlásban való konvergencia definiciójában ne követeljük meg az eloszlásfüggvények konvergenciáját a határfüggvény szakadási pontjaiban.

Be lehet látni, hogy az eloszlásban való konvergencia kifejezi azt a szemléletes tartalmat, amelyet a Stieltjes mértékek tömegeloszlásokkal való reprezentációja sugall. Ezen állítás pontos megfogalmazásával és bizonyításával azonban nem foglalkozom. Ehelyett megfogalmazok egy olyan eredményt, amely az eloszlásban való konvergencia egy más, vizsgálatainkban hasznos jellemzését adja meg. Ezt az eredményt az előadás fő részében csak megfogalmazom, bizonyítását a kiegészítésben írom le. Az eredmény ismertetése után arról írok, hogy az miért hasznos határeloszlástételek vizsgálatában.

Tétel eloszlásban való konvergencia különböző lehetséges jellemzéséről. Eloszlásfüggvények egy F_{n}(u), n = 1, 2, …, sorozata akkor és csak akkor konvergál eloszlásban egy F (u) eloszlásfüggvényhez, ha minden a számegyenesen definiált folytonos és korlátos g(u) függvényre teljesül a

lim_{n→∞} ∫ g(u) dF_{n}(u) = ∫ g(u) dF (u)  (a)

azonosság.

1. megjegyzés: Az eloszlásban való konvergenciájának két jellemzését adtuk meg. Az egyik az eredeti definició, a másik az előző tételben megadott ekvivalens jellemzés. Azért hasznos számunkra ez a tétel, mert konkrét esetekben egyszerűbb eloszlások konvergenciáját az itt megfogalmazott feltétel, mint az eredeti definició ellenőrzésének a segítségével bizonyítani. Ekkor ugyanis korlátos és folytonos függvényeknek valamilyen eloszlássorozat szerinti integráljának a konvergenciáját kell bebizonyítanuk, és erre az analízisnek jó módszerei vannak. Viszont, mint a centrális határeloszlástételéhez kapcsolódó, az előző előadásban tárgyalt példák is mutatják, a határeloszlástételek gyakorlati alkalmazásaiban általában eloszlásfüggvények konvergenciájának az eredeti definicióját használjuk.

2. megjegyzés: Az eloszlásban való konvergenciát szokás gyenge konvergenciának is nevezni. Érdemes megjegyezni, hogy a funkcionálanalízisben is szokás Banach terek funkcionáljainak gyenge konvergenciájáról beszélni, és az előbb kimondott tétel azt is jelenti, hogy a gyenge konvergenciának a valószínűségszámításban és funkcionálanalízisben használt értelmezése összhangban van egymással. Ugyanis egy a számegyenesen definiált μ (valószínűségi) mértéket fel lehet fogni, mint a korlátos és folytonos függvények Banach terén értelmezett (korlátos és lineáris) funkcionált. Nevezetesen a μ mérték az f(·) korlátos és folytonos függvényhez hozzárendeli a μ(f) = ∫ f(u)μ( du) számot. A funkcionálanalízisben definiált fogalomrendszer szerint a μ_{n} mértékek gyenge konvergenciája a μ mértékhez azt jelenti, hogy lim_{n→∞} ∫ f(u)μ_{n}( du) = ∫ f(u)μ( du) minden folytonos és korlátos függvény esetében, ez pedig a fent kimondott tétel szerint a μ_{n} mértékeknek, pontosabban az általuk meghatározott F_{n}(x) = μ_{n}({u: u < x}) eloszlásfüggvények gyenge (azaz eloszlásbeli) konvergenciáját jelenti a μ mértékhez, pontosabban az általa meghatározott F (x) = μ({u: u < x}) eloszlásfüggvényhez.

Sok vizsgálatban az eloszlásban való konvergenciának a tételben megadott jellemzése jobban használható mint az eredeti definició. Megjegyzem, hogy ennek a tételnek van egy másik haszna is. Az itt megfogalmazott eredmény lehetőséget ad arra, hogy eloszlások konvergenciáját általánosabb terekben is definiáljuk. Ilyen igény természetes módon felmerül, ha nemcsak valószínűségi változók, hanem véletlen folyamatok viselkedését is vizsgálni akarjuk. Ebben az esetben az a probléma merül fel, hogy olyan valószínűségi változókkal kell dolgoznunk, amelyek értéküket nem a számegyenesen, hanem egy sokkal gazdagabb térben, például a számegyenesen értelmezett függvények terében veszik fel. Viszont az eloszlásfüggvények konvergenciájának eredeti definiciója nem általánosítható általános terekre, mert az erősen kötődik a számegyenes, (illetve a többdimenziós eloszlások definiciója esetében az euklidészi tér) geometriájához. Ha eloszlásfüggvények helyett valószínűségi mértékeket tekintünk, akkor ezek konvergenciáját természetes módon tudjuk definiálni nagyon általános (topológikus) terekben is az (a) reláció általánosításának a segítségével.

Ha eloszlásfüggvények konvergenciáját az (a) tulajdonság vizsgálatának segítségével akarjuk bebizonyítani, akkor természetes módon felmerül az a kérdés, hogy nem lehetséges-e ezt a feltételt gyengíteni, nem elegendő-e az (a) reláció teljesülését a folytonos és korlátos függvényeknek csak egy elég gazdag részosztályára ellenőrizni, és ennek segítségével eldönteni, hogy teljesül-e az eloszlásban való konvergencia. Természetesen a folytonos és korlátos függvények olyan részosztályát kívánjuk tekinteni, amelyikre ez a feltétel könnyebben ellenőrizhető. Kiderült, hogy erre a kérdésre igenlő választ lehet adni, elegendő csak a trigonometrikus, azaz a g_{t}(u) = e^{itu} alakú függvényeket tekinteni. E függvényosztály definiciója úgy értendő, hogy minden −∞ < t < ∞ paraméterre definiáljuk a g_{t}(u) = e^{itu}, −∞ < u < ∞, függvényt a számegyenesen. Megjegyzem, hogy ezek a függvények komplex és nem valós értékűek, de mindazok az eredmények, amelyek valós értékű valószínűségi változókra érvényesek, természetes módon általánosíthatók komplex szám értékű valószínűségi változókra is. A g_{t}(u) = e^{itu} trigonometrikus függvényekkel azért tudunk jól dolgozni, mert minden −∞ < s, t < ∞ paraméterre teljesül a g_{s}(u)g_{t}(u) = e^{isu}e^{itu} = e^{i(s+t)u} = g_{s+t}(u) azonosság. Látni fogjuk, hogy ez az azonosság nagy segítséget jelent, ha független valószínűségi változók összegeinek eloszlását vizsgáljuk. Megjegyzem, hogy az ilyen jellegű összefüggések alkalmazása nemcsak a valószínűségszámításban fontos. Ennek általánosításán alapul az algebra egy mély és fontos területe, a csoportreprezentációk elmélete.

A további vizsgálatokban hasznos a karakterisztikus függvények alább megadott definiciója.

Valószínűségi változó karakterisztikus függvényének a definiciója. Legyen ξ valószínűségi változó valamely (Ω, A, P) valószínűségi mezőn, és jelölje F (u) = P (ξ < u), −∞ < u < ∞, a ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvényét. A ξ valószínűségi változónak a karakterisztikus függvénye a

φ(t) = Ee^{itξ} = ∫_{−∞}^{∞} e^{itu}F ( du), −∞ < t < ∞,

függvény. Adva egy F eloszlásfüggvény annak karakterisztikus függvényét úgy definiáljuk, mint egy F eloszlású ξ valószínűségi változó karakterisztikus függvényét. (Mivel a karakterisztikus függvényt ki lehet számolni a ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvényének a segítségével, ezért jogunk van egy eloszlásfüggvény karakterisztikus függvényéről beszélni.)

A következő egyszerű állításokat azok fontossága miatt külön lemma formájában mondom ki.

Lemma valószínűségi változók karakterisztikus függvényének viselkedéséről.

Legyenek ξ_{1}, …, ξ_{n} független valószínűségi változók, jelölje S_{n} = ∑_{j=1}^{n} ξ_{j} e valószínűségi

változók összegét és φ_{j}(t), 1 ≤ j ≤ n, a ξ_{j} valószínűségi változó karakterisztikus függ-

vényét. Ekkor az S_{n} összeg karakterisztikus függvénye a ψ_{n}(t) = Ee^{itS_{n}} = ∏_{j=1}^{n} φ_{j}(t), −∞ < t < ∞, függvény. Ha A és B ≠ 0 valós számok, akkor az \frac{S_{n}−A}{B} valószínűségi változó karakterisztikus függvénye az

Ee^{it(S_{n}−A)/B} = e^{−itA/B}ψ_{n} (\frac{t}{B} ) = e^{−itA/B} ∏_{j=1}^{n} φ_{j} (\frac{t}{B} )

függvény.

Legyen ξ olyan valószínűségi változó F (·) eloszlásfüggvénnyel, amelyre teljesül az E|ξ|^{k} = ∫_{−∞}^{∞} |u|^{k}F ( du) < ∞ egyenlőtlenség valamilyen k pozitív egész számra. Ekkor a ξ valószínűségi változó φ(t) karakterisztikus függvényének a deriváltjai megadhatók a \frac{d^{j}}{dt^{j}} φ(t) = ∫_{−∞}^{∞} i^{j}u^{j}e^{itu}F ( du) képlettel minden 0 ≤ j ≤ k és −∞ < t < ∞ számra.

Speciálisan, t = 0 választással \frac{d^{j}φ(t)}{dt^{j}} |_{t=0} = ∫_{−∞}^{∞} i^{j}u^{j}F ( du) = i^{j}Eξ^{j} minden 0 ≤ j ≤ k számra.

Bizonyítás:

Ee^{itS_{n}} = E^{it(ξ_{1}+···+ξ_{n})} = Ee^{itξ_{1}}e^{itξ_{2}} ⋯ e^{itξ_{n}} = Ee^{itξ_{1}}Ee^{itξ_{2}} ⋯ Ee^{itξ_{n}} = ∏_{j=1}^{n} φ_{j}(t)

a ξ_{j}, 1 ≤ j ≤ n, illetve az e^{itξ_{j}}, 1 ≤ j ≤ n, valószínűségi változók ebből következő függetlensége miatt. Ezenkívül

Ee^{it(S_{n}−A)/B} = Ee^{i(t/B)S_{n}}e^{−itA/B} = e^{−itA/B}ψ_{n} (\frac{t}{B} ) , = e^{−itA/B} ∏_{j=1}^{n} φ_{j} (\frac{t}{B} ) ,

ha az S_{n} valószínűségi változó karakterisztikus függvénye ψ_{n}(t). Innen következnek a Lemma első paragrafusában kimondott állítások.

A Lemma második paragrafusában kimondott állítás bizonyítása érdekében írjuk fel a φ(t) = Ee^{itξ} = ∫_{−∞}^{∞} e^{itu}F ( du) azonosságot, és differenciáljuk j, j ≤ k, alkalommal. Be lehet látni, hogy az E|ξ|^{k} < ∞ feltétel teljesülése esetén az azonosság jobboldalán az integrálás és differenciálás sorrendje felcserélhető. Innen kapjuk, hogy \frac{d^{j}}{dt^{j}} φ(t) = ∫_{−∞}^{∞} i^{j}u^{j}e^{itu}F ( du). Alkalmazva a t = 0 helyettesítést megkapjuk a Lemma utolsó állításának a bizonyítását is.

Megjegyzés: Legyenek ξ_{1}, ξ_{2}…., független, egyforma eloszlású valószínűségi változók, amelyekre Eξ_{1} = 0, és vezessük be a σ_{2} = Var ξ_{1}, valamint az Ee^{itξ_{1}} = φ(t), −∞ < t < ∞ jelöléseket. (Azaz φ(t) a ξ_{1} valószínűségi változó karakterisztikus függvénye.) Legyen továbbá S_{n} = ∑_{k=1} ξ_{k} és S̄_{n} = \frac{S_{n}}{\sqrt{n}σ} az S_{n} valószínűségi változó normalizáltja. Ekkor

Ee^{itS_{n}} = φ(t)^{n}, Ee^{itS̄_{n}} = φ (\frac{t}{\sqrt{n}σ} )^{n}, és a φ(t) függvény 0 körüli Taylor sorfejtésével azt

kapjuk, hogy φ (\frac{t}{\sqrt{n}σ} ) ∼ 1+ \frac{t}{\sqrt{n}σ} φ′(0)+ \frac{t^{2}}{2nσ^{2}} φ′′(0) = 1− \frac{t^{2}}{2n}, mert φ′(0) = 0, és φ′′(0) =

−σ^{2}. Ez a formula lehetővé teszi, hogy viszonylag jó becslést adjunk a S̄_{n} valószínűségi változó karakterisztikus függvényére. Azt kívánjuk vizsgálni, tudunk-e ilyen módon olyan jó becslést adni a S̄_{n} valószínűségi változó karakterisztikus függvényére, amelyből következik a centrális határeloszlástétel független, egyforma eloszlású valószínűségi változók normalizált összegeire.

Tekintsük először azt a speciális esetet, amikor olyan ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvényét tekintjük, amely csak egész értékeket vesz fel. Legyen P (ξ = k) = p_{k}, k =

0, ±1, ±2, …, ∑_{k=−∞}^{∞} p_{k} = 1. Ekkor a ξ valószínűségi változó karakterisztikus függvénye

a φ(t) = Ee^{itξ} = ∑_{k=−∞}^{∞} e^{ikt}P (ξ = k) = ∑_{k=−∞}^{∞} p_{k}e^{ikt}, −∞ < t < ∞ függvény. Ez a φ(t)

függvény 2π szerint periódikus, és tulajdonképpen egy Fourier sor, amelynek k-ik (azaz az e^{ikt} trigonometrikus függvényhez tartozó) Fourier együtthatója p_{k}. A Fourier sorok

elméletének egy egyszerű, de nagyon fontos eredménye alapján egy φ(t) = ∑_{k=−∞}^{∞} a_{k}e^{ikt},

−π < t ≤ π, függvény Fourier együtthatóit a φ(t) Fourier sor ismeretében az

a_{k} = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} e^{−ikt}φ(t) dt  (∗)

képlet segítségével ki lehet számolni. Az előbb kimondott Lemma alapján független valószínűségi változók normalizált összegének a karakterisztikus függvényére viszonylag egyszerű és jó közelítést lehet adni. Ez és a (∗) formula azt is lehetővé teszi, hogy egész értékű valószínűségi változók esetében jó becslést adjunk annak valószínűségére, hogy független valószínűségi változók összege egy adott értéket vesz fel. Ez lehetővé teszi a centrális határeloszlástétel bizonyítását abban a speciális esetben, ha egész értékű valószínűségi változók összegét vizsgáljuk. Az általános eset vizsgálatának a vezérmotívuma tulajdonképpen az, hogy megpróbáljuk ezt a módszert adaptálni az általános esetre, amikor nem áll rendelkezésünkre a (∗) képlethez hasonló viszonylag egyszerű ,,inverziós formula”. Az egész értékű valószínűségi változók vizsgálatának részleteit nem dolgozom ki. Viszont a kiegészítésben megmutatom, hogyan lehet ennek a módszernek a segítségével az analízis egyik fontos képletét, az előző előadásban megfogalmazott Stirling formulát bebizonyítani.

Ahhoz, hogy karakterisztikus függvényekkel jól tudjunk számolni, szükségünk van egy olyan eredményre, amely azt mondja ki, hogy a trigonometrikus polinomok, azaz az

f(x) = ∑_{k=−n}^{n} a_{k}e^{ikx} alakban felírható függvények a folytonos függvények egy elég gazdag

részosztályát alkotják. Ilyen jellegű eredmény Weierstrass második approximációs tétele, amely azt mondja ki, hogy folytonos és periodikus függvényeket tetszőleges pontossággal lehet közelíteni a szuprémum normában trigonometrikus polinomokkal. (Weierstrass első approximációs tétele hasonló állítást fogalmaz meg véges intervallumban folytonos függvények polinomokkal való approximálhatóságáról.) Megfogalmazom ezt az eredményt, és (vázlatosan) bebizonyítom annak néhány számunkra fontos következményét.

Weierstrass második approximációs tétele. Tetszőleges folytonos és 2π szerint

periodikus f(t) függvényre és ε > 0 valós számra létezik olyan P_{n}(t) = ∑_{k=−n}^{n} a_{k}e^{ikt} trigonometrikus polinom, amelyre

sup_{−∞<t<∞} |f(t) − P_{n}(t)| < ε.

Ahhoz, hogy eloszlásfüggvények karakterisztikus függvényeinek konvergenciájából következtetni tudjunk magunknak az eloszlásfüggvényeknek a konvergenciájára tudnunk kell azt, hogy az a karakterisztikus függvények meghatározzák az eloszlásfüggvényeket. Megfogalmazom ezt az eredményt, és megadom ennek bizonyítását Weierstrass második apprximációs tétele segítségével. Ezt a bizonyítást is csak a kiegészítésben ismertetem.

Tétel arról, hogy egy eloszlásfüggvényt meghatároz annak karakterisztikus függvénye. Legyen F (·) és G(·) két eloszlásfüggvéy, amelyek karakterisztikus függvénye megegyezik. Ekkor F (x) = G(x) minden −∞ < x < ∞ számra.

Az előző tétel bizonyítási módszerének finomítása segítségével lehet bebizonyítani a következő eredményt, amelyet fontossága miatt Alaptételnek fogok nevezni. Ennek bizonyítása a Fourier analízis más módszereit is felhasználja. Ezért, illetve időhiány miatt a bizonyításnak csak a legfontosabb részét ismertetem a kiegészítésben.

Eloszlások konvergenciájáról szóló Alaptétel. Legyen F_{n}(u), −∞ < u < ∞, eloszlásfüggvények egy sorozata φ_{n}(t) = ∫ e^{itu}F_{n}( du) karakterisztikus függvényekkel, n = 1, 2, . . .. Ha a φ_{0}(t) = lim_{n→∞} φ_{n}(t) határérték létezik minden −∞ < t < ∞ számra, és a φ_{0}(t) limeszfüggvény folytonos az origóban, akkor létezik olyan F_{0}(u) eloszlásfüggvény, amelynek a φ_{0}(t) függvény a karakterisztikus függvénye. Továbbá e feltétel teljesülése esetén az F_{n}(u) eloszlásfüggvények eloszlásban konvergálnak az F_{0}(u) eloszlásfüggvényhez.

Megfordítva, ha F_{n}(u), n = 1, 2, …, eloszlásfüggvényeknek egy olyan sorozata, amely egy F_{0}(u) eloszlásfüggvényhez konvergál eloszlásban, és φ_{n}(t), n = 1, 2, …, jelöli az F_{n}(u), φ_{0}(t) pedig az F_{0}(u) eloszlásfüggvény karakterisztikus függvényét, akkor φ_{0}(t) = lim_{n→∞} φ_{n}(t) minden −∞ < t < ∞ számra. Továbbá, ez a konvergencia egyenletes minden véges intervallumban.

A fent kimondott tétel a valószínűségszámítás rendkívül fontos eredménye, és az eloszlásbeli konvergencia vizsgálatában rendkívül fontos szerepet játszik. Ezért illik tudni ennek az eredménynek a pontos megfogalmazását. Viszont a minket érdeklő határeloszlástétel bizonyításához elegendő tudni e tétel alábbi gyengített változatát, amelynek bizonyítása egyszerűbb.

Eloszlások konvergenciájáról szóló Alaptétel gyengített változata. Legyen F_{n}(u), −∞ < u < ∞, eloszlásfüggvények egy sorozata φ_{n}(t) = ∫ e^{itu}F_{n}( du) karakterisztikus függvényekkel, n = 1, 2, …, és F_{0}(u), −∞ < u < ∞, eloszlásfüggvény φ_{0}(t) = ∫ e^{itu}F_{0}( du) karakterisztikus függvénnyel. Az F_{n} eloszlásfüggvények akkor és csak akkor konvergálnak eloszlásban az F_{0} eloszlásfüggvényhez, ha a φ_{n}(t) karakterisztikus függvények konvergálnak a φ_{0}(t) karakterisztikus függvényhez minden −∞ < t < ∞ számra.

Megjegyzés: Az Alaptétel illetve annak gyengített változatának fő jelentősége abban áll, hogy lehetővé teszik eloszlásfüggvények konvergenciájának bizonyítását azok karakterisztikus függvényeinek segítségével. A lényeges különbség az Alaptétel, illetve annak gyengített változata között az, hogy az Alaptétel segít a határeloszlás megtalálásában akkor is, ha azt nem ismerjük a kezdet kezdetén, illetve annak vizsgálatában, hogy létezik-e egyáltalán valamilyen határeloszlás. Ha eleve megvan a jelölt a határeloszlásra, és annak ki tudjuk számítani a karakterisztikus függvényét, (a centrális határeloszlástételben ez a helyzet), akkor a konvergencia bizonyításához elegendő az Alaptétel gyengített változatának a használata.

Mutatok egy példát, amely segít megérteni az Alaptételben a karakterisztikus függvények határértékeként megjelenő függvényre megfogalmazott folytonossági feltétel jelentőségét.

Példa.

Tekintsük olyan ξ_{n}, n = 1, 2, …, valószínűségi változók sorozatát, amelyekre ξ_{n} sűrűségfüggvénye f_{n}(x) = \frac{1}{n}, ha 0 < x ≤ n, és f_{n}(x) = 0, ha x < 0 vagy x > n. Értsük meg, hogyan viselkednek a ξ_{n} valószínűségi változók eloszlásfüggvényei és karakterisztikus függvényei, ha n → ∞. Nem nehéz belátni, hogy a ξ_{n} valószínűségi változók F_{n} eloszlásfüggvényeire teljesül a lim_{n→∞} F_{n}(x) = 0 reláció minden x számra. Ez informálisan úgy is interpretálható, hogy ξ_{n} eloszlása ‘kifolyik a végtelenbe’, ha n → ∞. Másrészt ξ_{n} karakterisztikus függvénye φ_{n}(t) = \frac{1}{n} ∫_{0}^{n} e^{itx} dx = \frac{e^{itn}−1}{itn}, ha t ≠ 0, és φ_{n}(0) = \frac{1}{n} ∫_{0}^{n} dx = 1, ha

t = 0. Mivel |\frac{e^{itn}−1}{itn} | ≤ \frac{2}{tn}, ezért lim_{n→∞} φ_{n}(t) = 0, ha t ≠ 0, és lim_{n→∞} φ_{n}(t) = 1, ha t = 0. Ez azt jelenti, hogy a φ_{n}(t) függvényeknek létezik φ_{0}(t) határértéke, amelyre φ_{0}(t) = 0, ha t ≠ 0, és φ_{0}(0) = 1. Tehát a φ_{n}(t) karakterisztikus függvényeknek létezik φ_{0}(t) határértéke, amely minden pontban folytonos kivéve a t = 0 pontot. De a határfüggvény folytonosságát az Alaptételben éppen a t = 0 pontban követeltük meg. Ezért ez az eredmény az ebben az esetben nem alkalmazható. Másrészt láttuk, hogy a ξ_{n} valószínűségi változók nem konvergálnak eloszlásban, mert eloszlásaik ‘kifolynak a végtelenbe’. Be lehet látni nem csak ebben a példában, hanem az általános esetben is, hogy az Alaptételben a karakterisztikus függvények határértékének a folyonossága az origóban biztosítja azt, hogy az F_{n}(·) eloszlások ‘nem folyhatnak ki a végtelenbe’.

Megjegyzés. Láttuk a fenti példában, hogy a eloszlásfüggvények karakterisztikus függvényeinek a konvergenciája önmagában nem elegendő az eloszlásfüggvények eloszlásbeli konvergenciájához. A példa rámutat a probléma lényegére is, arra, hogy biztosítani kell azt, hogy az eloszlásfüggvények által meghatározott mértékek, iletve azok egy része ‘ne folyjon ki a végtelenbe’. A harmadik kiegészítésben ezt az állítást pontosabban megfogalmazom. Bevezetem valószínűségi mértékek feszességének a fogalmát, és megmutatom, hogy egy valószínűségi mértéksorozat feszes, ha az őket definiáló eloszlásfüggvények karakterisztikus függvényei az origó egy kis környezetében egy folytonos függvényhez konvergálnak.

Az Alaptétel, illetve annak gyengített változata alapján a centrális határeloszlástétel bizonyításához elég kiszámolni a standard normális eloszlásfüggvény karakterisztikus függvényét, és megmutatni, hogy ha vesszük független, egyforma eloszlású valószínűségi változók összegeinek a normalizáltjait, akkor ezek karakterisztikus függvényei a standard normális eloszlás karakterisztikus függvényéhez tartanak. Először a standard normális eloszlásfüggvény karakerisztikus függvényét számolom ki. Ez a számolás egyszerű, de fontos szerepet játszik benne a komplex függvénytan egyik alapvető eredménye arról, hogy úgynevezett analitikus függvények integrálásánál hogyan lehet áthelyezni az integrálási utat.

Tétel a standard normális eloszlásfüggvény karakterisztikus függvényéről. A φ(u) = \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−u^{2}/2}, −∞ < u < ∞, sűrűségfüggvénnyel rendelkező standard normális

eloszlásfüggvény karakterisztikus függvénye a g(t) = e^{−t^{2}/2} függvény, azaz

∫_{−∞}^{∞} e^{itu} \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−u^{2}/2} du = e^{−t^{2}/2}.

Magyarázat:

∫_{−∞}^{∞} e^{itu} \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−u^{2}/2} du = ∫_{−∞}^{∞} \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−(u−it)^{2}/2}e^{−t^{2}/2} du

= e^{−t^{2}/2} ∫_{−∞−it}^{∞−it} \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−u^{2}/2} du.

A fenti számolásban a szokásos technikát alkalmaztuk, az exponensben szereplő kvadratikus alakot teljes négyzetté alakítotuk át. Azt állítom, hogy

∫_{−∞−it}^{∞−it} \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−u^{2}/2} du = 1.

Ez az integrál abban különbözik a standard normális sűrűségfüggvény integráljától, hogy a normális sűrűségfüggvény integrálját nem a valós tengelyen, hanem egy vele párhuzamos egyenesen tekintjük. Azt állítom, hogy ez az integrál ugyanannyi, mintha a valós tengelyen integráltunk volna. Ezt nem nehéz belátni, ha szabad hivatkozni a komplex függvénytan talán legfontosabb eredményére, amely szerint egy analitikus függvény körintegrálja egy zárt görbén nulla. A g(z) = \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−z^{2}/2} függvény körintegrálját vesszük a következő téglalapokon. Rögzítünk egy nagy R > 0 számot, és az integrált vesszük a [−R, R], azután az [R, R − it], majd az [R − it, −R − it] végül a [−R − it, −R] szakaszokon. Mivel a g(z) = e^{−z^{2}/2} függvény analitikus az egész számsíkon, ezért ez a körintegrál nullával egyenlő. Vegyük ennek a határértékét, ha R → ∞. Nem nehéz

belátni, hogy lim_{R→∞} ∫_{R}^{R−it} g(z) dz = lim_{R→∞} ∫_{−R−it}^{−R} g(z) dz = 0, ahonnan ∫_{−∞−it}^{∞−it} g(z) dz =

∫_{−∞}^{∞} g(z) dz = 1, és ezt kellett belátni.

Vázlatosan ismertetem, hogyan lehet a fenti eredmények segítségével belátni a centrális határeloszlástételt. Legyenek ξ_{1}, …, ξ_{n} független, egyforma eloszlású, nulla várható értékű és 1 szórásnégyzetű valószínűségi változók φ(t) karakterisztikus függ-

vénnyel. Azt kell belátni, hogy az \frac{S_{n}}{\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n}} ∑_{k=1}^{n} ξ_{k} normalizált összegek karakterisztikus

függvényei konvergálnak a standard normális eloszlásfüggvény e^{−t^{2}/2} karakterisztikus függvényéhez, ha n → ∞. Viszont a valószínűségi változók karakterisztikus függvényének viselkedéséről szóló lemma alapján tudjuk, hogy az \frac{S_{n}}{\sqrt{n}} normalizált összeg karakter-

isztikus függvénye φ^{n} (\frac{t}{\sqrt{n}})^{n}, továbbá Taylor sorfejtés alapján φ (\frac{t}{\sqrt{n}}) ∼ 1 + i\frac{tEξ_{1}}{\sqrt{n}} −

\frac{t^{2}Eξ_{1}^{2}}{2n} = 1 − \frac{t^{2}}{2n}. Innen a vizsgált karakterisztikus függvények értékei φ^{n} (\frac{t}{\sqrt{n}})^{n} ∼

(1 − \frac{t^{2}}{2n})^{n} ∼ e^{−t^{2}/2}. A teljes bizonyítás kidolgozásához azt kell megmutatni, hogy a felhasznált aszimptotikus azonosságok elég jó közelítést adnak.

Feladat:

Mutassuk meg, a karakterisztikus függvények segítségével, hogy amennyiben ξ és η két független, normális eloszlású valószínűségi változó m_{1} és m_{2} várható értékkel, σ_{1}^{2} és σ_{2}^{2} szórásnégyzettel, akkor ξ + η normális eloszlású valószínűségi változó m_{1} + m_{2} várható értékkel, és σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2} szórásnégyzettel. Megoldás: Írjuk fel a ξ valószínűségi változó φ_{1}(t) = Ee^{itξ} az η valószínűségi változó φ_{2}(t) = Ee^{itη} és a ζ = ξ+η valószínűségi változó φ_{3}(t) = Ee^{it(ξ+η)} karakterisztikus függvényét. Azt kapjuk, hogy φ_{1}(t) = e^{itm_{1}−σ_{1}^{2}t^{2}/2}, mert ξ = σ_{1}ξ̄ + m_{1}, ahol ξ_{1} standard normális eloszlású valószínűségi változó, ahonnan φ_{1}(t) = Ee^{it(σ_{1}ξ̄+m_{1})} = e^{itm_{1}}Ee^{i(tσ_{1})ξ̄} = e^{itm_{1}}e^{−(tσ_{1})^{2}/2}. Hasonlóan, φ_{2}(t) = e^{itm_{2}−σ_{2}^{2}t^{2}/2}. Ezért φ_{3}(t) = φ_{1}(t)φ_{2}(t) = e^{it(m_{1}+m_{2})−(σ_{1}^{2}+σ_{2}^{2})t^{2}/2}, ahonnan következik, hogy ζ normális eloszlású valószínűségi változó m_{1} + m_{2} várható értékkel és σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2} szórásnégyzettel.

Néhány további feladat:

1.) Egy egységnyi oldalú négyzet két átellenes oldalán találomra választunk egy-egy pontot. Mekkora annak a valószínűsége, hogy ezek távolsága α-nál kisebb (1 ≤ α < \sqrt{2})? Megoldás: Jelölje ξ a négyzet egyik, η a négyzet átellenes oldalára ledobott pont értékét. A két ledobott pont távolsága (a Pitagorasz-tétel szerint) \sqrt{(ξ − η)^{2} + 1}, ezért minket a P (\sqrt{(ξ − η)^{2} + 1} < α) = P (|ξ − η| < \sqrt{α^{2} − 1}) valószínűség értéke érdekel. ξ és η két független a [0, 1 intervallumon egyenletes eloszlású valószínűségi változó. A feladatot egyrészt megoldhatjuk a geometriai valószínűségek módszerével. Ekkor azt használjuk, ki, hogy a (ξ, η) véletlen vektor az egységnégyzet egy véletlen pontja, és a keresett valószínűség az \{(u, v): 0 ≤ u, v ≤ 1, −\sqrt{α^{2} − 1} < u − v < \sqrt{α^{2} − 1}\} halmaz területe, ami 1 − (1 − \sqrt{α^{2} − 1})^{2} = 2\sqrt{α^{2} − 1} − (α^{2} − 1). Másrészt a minket érdeklő valószínűséget kiszámolhatjuk a 8. téma 18. feladatának a segítségével is. E feladat eredménye szerint ugyanis ismerjük a ξ −η valószínűségi változó g(x) sűrűségfüggvényét, ahonnan tetszőleges 0 ≤ u ≤ 1 számra P (|ξ − η| < u) = ∫_{−u}^{u} g(x) dx = 2 ∫_{0}^{u}(1 − x) dx = 2u − u^{2} Innen u = \sqrt{α^{2} − 1} választással a keresett valószínűség 2α − α^{2} = 2\sqrt{α^{2} − 1} − (α^{2} − 1).

2.) A [0, 1] intervallumon találomra felveszünk két pontot. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a két felvett pont távolsága kisebb, mint a 0 pontnak a hozzá közelebb eső ponttól való távolsága? Megoldás: Ezt a feladatot legegyszerűbben a geometriai valószínűségek módszerével tudjuk megoldani. Egyszerűbb először a feladatban kérdezett esemény komplementerének a valószínűségét kiszámolni. Legyen ξ az első, η a második ledobott pont értéke, és vezessük be az A = {ω: ξ(ω) > 2η(ω)} és B = {ω: η(ω) > 2ξ(ω)} eseményeket. Ekkor a minket érdeklő esemény komplementere az A ∪ B esemény. Továbbá, az A és B események diszjunktak, P (A) = P (B), ezért P (A∪B) = 2P (A). A (ξ, η) véletlen vektor egyenletes eloszlású az egységnégyzeten, és az A esemény azt jelenti, hogy ez a pont az {(u, v): 0 < 2v < u ≤ 1} halmazba esik. Ennek valószínűsége \frac{1}{4}. Ezért P (A ∪ B) = \frac{1}{2}, és a keresett valószínűség 1 − \frac{1}{2} = \frac{1}{2}. Megjegyzem, hogy az előbb tekintett P (A) eseményt a következőképp számolhatjuk ki általános elvek segítségével. A (ξ, η) véletlen vektor sűrűségfüggvényét ismerjük. Ez a ξ és η valószínűségi változók függetlensége miatt g(u, v) = f(u)f(v), ahol f(u) = 1, ha 0 ≤ u ≤ 1, f(u) = 0, ha u < 0 vagy u > 1 a ξ és η valószínűségi változók sűrűségfüggvénye. Innen,

P (A) = ∫_{{(x,y): x>2y}} g(x, y) dx dy = ∫_{{(x,y): x>2y}} f(x)f(y) dx dy

= ∫_{\{(x,y): 1≥x>2y>0\}} dx dy = ∫_{0}^{1} (∫_{0}^{x/2} dy) dx = ∫_{0}^{1} \frac{x}{2} dx = [\frac{x^{2}}{4} ]_{0}^{1} = \frac{1}{4}.

3.) Legyen ξ és η két független standard normális eloszlású valószínűségi változó. Számítsuk ki a \frac{η}{ξ} hányados eloszlás és sűrűségfüggvényét. Megoldás: Tegyünk először egy általános megjegyzést. Ha adva van két valószínűségi változó ξ és η, amelyek (együttes sűrűségfüggvénye egy ismert f(u, v) sűrűségfüggvény, akkor az \frac{η}{ξ} hányados eloszlásfüggvényét a következő módon számolhatjuk ki: Vezessük be a g(u, v) = g_{x}(u, v) függvényt, amely a síkon az \{(u, v): \frac{v}{u} < x\} halmaz indikátorfüggvénye, azaz g(u, v) = 1, ha \frac{v}{u} < x, és g(u, v) = 0, ha \frac{v}{u} ≥ x. Ekkor

P (\frac{η}{ξ} < x) = Eg(ξ, η) = ∫ ∫ g(u, v)f(u, v) du dv = ∫ ∫_{\{(u,v): \frac{v}{u} <x\}} f(u, v) du dv.

Látni fogjuk, hogy az ebben a feladatban vizsgálandó integrál viszonylag egyszerű, könnyebben kezelhető. A feladatban vizsgálandó hányados eloszlásfüggvénye

F (x) = P (\frac{η}{ξ} < x) = ∫∫_{v<xu} \frac{1}{2π} e^{−(u^{2}+v^{2})/2} du dv

= 2\frac{1}{2π} ∫_{− \frac{π}{2} <φ<arctan x} ∫_{0}^{∞} re^{−r^{2}/2} dr dφ = \frac{1}{2} + \frac{1}{π} arctan x.

Ebben a számolásban a felírt integrált átírtuk u = r cos φ, v = r sin φ transzformációval polárkoordinátarendszerben. E számolás során az integrandusban megjelenik az r Jacobian mint szorzó faktor. Ezután azt vegyük észre, hogy a belső r változó szerinti integrál ∫_{0}^{∞} re^{−r^{2}/2} dr = [−e^{−r^{2}/2}]_{0}^{∞} = 1.

Kiszámoltuk a keresett valószínűségi változó eloszlásfüggvényét. E valószínűségi változó sűrűségfüggvénye az eloszlásfüggvény deriváltja, azaz az f(x) = \frac{dF (x)}{dx} = \frac{1}{π(1+x^{2})} függvény.

Második megoldás. A (ξ, η) vektor sűrűségfüggvénye \frac{1}{2π} e^{−(x^{2}+y^{2})/2}, ami forgatásinvariáns függvény. Innen következik, hogy annak valószínűsége, hogy a (ξ, η) vektor egy origóból kiinduló α szögű szögtartományba esik, \frac{α}{2π}. Ezért

P (\frac{η}{ξ} < x) = P ((ξ, η) ∈ [−\frac{π}{2} , arctan x) ∪ [\frac{π}{2} , arctan x + π) szögtartományban)
= \frac{1}{2π} 2 (arctan x + \frac{π}{2} ) = \frac{1}{2} + \frac{1}{π} arctan x.

1. kiegészítés. Néhány az eloszlások konvergenciájával kapcsolatos eredmény bizonyítása.

Az eloszlásban való konvergencia különböző lehetséges jellemzéséről szóló tétel bizonyítása. Tegyük fel először azt, hogy az F_{n} eloszlásfüggvények eloszlásban konvergálnak egy F eloszlásfüggvényhez, és tekintsünk egy folytonos és korlátos g(·) függvényt a számegyenesen. Ekkor a g függvény folytonossága és az F illetve F_{n} eloszlásfüggvények viselkedése miatt ±∞ pontok környezetében minden ε > 0 számhoz létezik olyan elég nagy K = K(ε) > 0, amelyre ∫_{u: |u|>K} |g(u)| dF_{n}(u) < ε minden n = 1, 2, … indexre, és ez az állítás érvényes akkor is, ha az F_{n} eloszlásfüggvényt az F eloszlásfüggvénnyel helyettesítjük. Továbbá a folytonos g(·) függvény a [−K, K] intervallumban egyenletesen folytonos. Ennek az észrevételnek és annak a ténynek a segítségével, hogy lim_{n→∞} F_{n}(x) = F (x) az F (·) minden folytonossági pontjában be lehet látni, véve a [−K, K] intervallumnak egy olyan elég finom felosztását, amelynek az osztópontjai az F függvény folytonossági pontjai, hogy

|∫_{u: |u|≤K} g(u) dF_{n}(u) − ∫_{u: |u|≤K} g(u) dF (u)| < ε, ha n ≥ n_{0}(ε).

(E lépésben kihasználjuk azt, hogy egy monoton függvénynek csak megszámlálható sok szakadási pontja van. Miért?) Innen ε → 0 határátmenettel megkapjuk az (a) állítás bizonyítását.

Megfordítva tegyük fel, hogy teljesül az (a) reláció, és legyen x az F függvény folytonossági pontja. Rögzítve egy kis ε > 0 számot definiáljuk a következő g^{±}(u) = g_{x,ε}^{±}(u), −∞ < u < ∞, folytonos és korlátos függvényeket: g^{+}(u) = 0, ha u ≥ x + ε, g^{+}(u) = 1, ha u ≤ x, g^{+}(u) = \frac{x+ε−u}{ε}, ha x ≤ u ≤ x + ε. Hasonlóan g^{−}(u) = 0, ha u ≥ x, g^{−}u) = 1, ha u ≤ x − ε, g^{−}(u) = \frac{x−u}{ε}, ha x − ε ≤ u ≤ x. Alkalmazva az (a) állítást kapjuk, hogy

F (x − ε) ≤ ∫ g_{ε,x}^{−}(u)F ( du) = lim_{n→∞} ∫ g_{ε,x}^{−}(u)F_{n}( du) ≤ lim inf_{n→∞} F_{n}(x)

≤ lim sup_{n→∞} F_{n}(x) ≤ lim_{n→∞} ∫ g_{ε,x}^{+}(u)F_{n}( du) = ∫ g_{ε,x}^{+}(u)F ( du) ≤ F (x + ε),

és véve az ε → 0 határátmenetet kapjuk, hogy lim_{n→∞} F_{n}(x) = F (x), feltéve, hogy az x pont az F függvény folytonossági pontja.

Annak bizonyítása, hogy egy eloszlásfüggvényt meghatároz a karakterisztikus függvénye. Vegyük észre, hogy Weierstrass második approximációs tételéből következik, hogy tetszőleges K > 0 és ε > 0 számokra és a K szám szerint periodikus h(·) függvényre igaz,

hogy létezik olyan P_{n}(t) = ∑_{j=−n}^{n} a_{j}e^{2πijt/K} trigonometrikus polinom, amelyre teljesül

a sup_{−∞<t<∞} |P_{n}(t) − h(t)| ≤ ε becslés. Integrálva a h(·) és a P_{n}(·) függvényt a F és G

eloszlásfüggvény szerint, a fenti approximációból kapjuk, hogy ∫ |h(u)−P_{n}(u)|F ( du) ≤ ε és ∫ |h(u) − P_{n}(u)|G( du) ≤ ε. Ezért |∫ h(u)F ( du) − ∫ h(u)G( du)| ≤ 2ε. Mivel ez minden ε > 0 számra igaz, ezért ∫ h(u)F ( du) = ∫ h(u)G( du). Továbbá, innen következik az is, hogy ha h(·) kompakt tartójú, folytonos függvény, azaz ha létezik olyan A szám, amelyre h(u) = 0, ha |u| ≥ A, akkor ∫ h(u)F ( du) = ∫ h(u)G( du). Valóban, definiáljuk minden K > A számra azt a h_{K}(·) függvényt, amely a h(·) függvény [−K, K] intervallumra vett megszorításának a 2K szerinti periodikus kiterjesztése, azaz h_{K}(u) = h(u − 2lK), ahol l olyan egész szám, amelyre −K ≤ u < K. Ekkor ∫ h(u)F ( du) =

lim_{K→∞} ∫ h_{K}(u)F ( du) = lim_{K→∞} ∫ h_{K}(u)G( du) = ∫ h(u)G( du).

Legyenek −∞ < x < y < ∞ olyan számok a számegyenesen, amelyek folytonossági pontjai mind az F mind a G eloszlásfüggvénynek. Belátjuk a fenti reláció segítségével, hogy F (y) − F (x) = G(y) − G(x). Valóban, rögzítsünk egy ε > 0 számot, és definiáljuk a következő h(·) = h_{ε}(·)függvényt: h(u) = 1, ha x ≤ u ≤ y, h(u) = 0, ha y + ε ≤ u vagy u ≤ x−ε, h(u) = \frac{y+ε−u}{ε}, ha y ≤ u ≤ y+ε, h(u) = \frac{u−x+ε}{ε}, ha x−ε ≤ u ≤ x. Felhasználva az ∫ h_{ε}^{±}(u)F ( du) = ∫ h_{ε}^{±}(u)G( du) azonosságot, és azt hogy lim_{ε→0} ∫ h_{ε}(u)F ( du) = F (y)−

F (x), lim_{ε→0} ∫ h_{ε}(u)G( du) = G(y) − G(x), ha x és y az F és G függvény folytonossági

pontjai, ε → 0 határátmenettel kapjuk az F (y) − F (x) = G(y) − G(x) azonosságot.

Ez utóbbi azonosságot felhasználva és alkalmazva az x → −∞ határátmenetet kapjuk, hogy F (y) = G(y), ha y mind az F (·) mind a G(·) eloszlásfüggvénynek folytonossági pontja. Mivel az F és G eloszlásfüggvénynek csak megszámlálható sok szakadási pontja van, és mind a két függvény balról folytonos, innen következik, hogy az F és G eloszlásfüggvények megegyeznek.

2. kiegészítés. A Stirling formula és annak egy általánosítása.

A Stirling formula:

n! ∼ \sqrt{2πn} (\frac{n}{e})^{n} ,

A Stirling formula bizonyítása: Először azt mutatom meg, hogy

n! = (\frac{n}{e})^{n} \frac{2π}{∫_{−π}^{π} e^{n(e^{it}−1−it)} dt}.  (a)

Tekintsünk egy ξ Poisson eloszlású valószínűségi változót λ = n paraméterrel, azaz legyen P (ξ = k) = \frac{n^{k}}{k!} e^{−n}, k = 0, 1, 2, . . .. Számítsuk ki a ξ valószínűségi változó P (t) = Ee^{itξ} karakterisztikus függvényét. Ez a következő P_{n}(t) Fourier sor:

P_{n}(t) = ∑_{k=0}^{∞} P (ξ = k)e^{itk} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{n^{k}}{k!} e^{−n+ikt} = e^{−n} ∑_{k=0}^{∞} \frac{(ne^{it})^{k}}{k!} = e^{−n+ne^{it}}.

Innen, illetve a (∗) formulából k = n választással kapjuk, hogy

P (ξ = n) = \frac{n^{n}}{n!} e^{−n} = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} e^{−int}P_{n}(t) dt = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} e^{−int−n+ne^{it}}) dt.

Ez az azonosság ekvivalens az (a) formulával.

Az (a) formula alapján a Stirling formula bizonyításához elég megmutatni azt, hogy

lim_{n→∞} \begin{matrix}√ & \overline{n} \\ √ & \overline{2π} \end{matrix} ∫_{−π}^{π} e^{n(e^{it}−1−it)} dt = 1,

amit úgyis írhatunk, hogy

lim_{n→∞} \frac{∫_{−π}^{π} e^{n(e^{it}−1−it)} dt}{∫_{−∞}^{∞} e^{−nt^{2}/2} dt} = 1.

Viszont tekintve az e^{it} függvény Taylor sorát kapjuk, hogy

n(e^{it} − 1 − it) = −n (\frac{t^{2}}{2} + α(t)t^{3}) = −\frac{nt^{2}}{2} + β(t)n^{−1/8},

alkalmas |α(t)| ≤ const. és |β(t)| ≤ const. együtthatókkal, ha |t| ≤ n^{3/8}, ahonnan e^{n(e^{it}−1−it)} = e^{−nt^{2}/2}e^{β(t)n^{−1/8}} = e^{−nt^{2}/2} (1 + γ(t)n^{−1/8}), |γ(t)| ≤ const, ha t ≤ n^{3/8}, és

lim_{n→∞} \frac{∫_{−n^{−3/8}}^{n^{−3/8}} e^{n(e^{it}−1−it)} dt}{∫_{−n^{−3/8}}^{n^{−3/8}} e^{−nt^{2}/2} dt} = 1.

Továbbá nem nehéz belátni, hogy

lim_{n→∞} \frac{∫_{−n^{−3/8}}^{n^{−3/8}} e^{−nt^{2}/2} dt}{∫_{−∞}^{∞} e^{−nt^{2}/2} dt} = 1,

ezért elég megmutatni, hogy az ∫_{−π}^{−n^{−3/8}} e^{n(e^{it}−1−it)} dt és ∫_{n^{−3/8}}^{π} e^{n(e^{it}−1−it)} dt integrálok elég kicsik. Ennek bizonyításához jegyezzük viszont meg, hogy |e^{z}| = e^{Re z} tetszőleges z komplex számra, ahol Re z a z szám valós részét jelöli. Innen

|e^{n(e^{it}−1−it)}| = e^{n(cos t−1)} ≤ e^{−const. n^{1/4}},

ha n^{3/8} ≤ |t| ≤ π, ahonnan következik a kívánt becslés.

A Stirling formula egy általánosítása.

Tekintsük a Γ(t) = ∫_{0}^{∞} x^{t−1}e^{−x} dx, t > 0, úgynevezett Γ-függvényt. Nem nehéz parciális integrálással belátni, hogy Γ(t) = (t − 1)Γ(t − 1), t > 1, és Γ(1) = 1, Innen azt kapjuk, hogy Γ(n) = (n − 1)! pozitív egész n számokra. Ezért a Γ(t) függvény az (n − 1)! kifejezés kiterjesztésének tekinthető pozitív valós számokra. Megmutatom, hogyan lehet a Stirling formula előbb ismertetett bizonyításához hasonló módon a következő jó aszimptotikus formulát bizonyítani a Γ(t) függvényre nagy t értékekre:

Γ(t) ∼ \sqrt{2π(t − 1)} (\frac{t − 1}{e})^{t−1} , ha t → ∞.  (b)

Ez a formula t = n + 1 választással speciális esetként tartalmazza a Stirling formulát.

Ebben a számolásban Fourier sorok együtthatóinak a Fourier sor segítségével való a (∗) formulában ismertetett kifejezése helyett a Fourier analízis egy fontos eredményét, ezen formula folytonos megfelelőjét használjuk. Ez lehetővé teszi, hogy egy (szép tulajdonságú) függvényt kiszámoljunk a Fourier transzformáltja segítségével.

Legyen az integrálható és folytonos f(x) függvény Fourier transzformáltja az f̃(u) = ∫_{−∞}^{∞} e^{iux}f(x) dx függvény. Tegyük fel, hogy az f̃(u) függvény szintén integrálható. Ekkor

f(x) = \frac{1}{2π} ∫_{−∞}^{∞} e^{−iux}f̃(u) du  (c)

Ezt a (c) formulát fogjuk alkalmazni a γ_{t}(x) = \frac{1}{Γ(t)}x^{t−1}e^{−x}, ha x > 0 és γ_{t}(x) = 0, ha x < 0 függvényre t > 1 esetben. (A γ_{t}(x) függvényt a a t paraméterű Γ eloszlás sűrűségfüggvényének hívják az irodalomban.)

Számoljuk ki a γ_{t}(x) függvény γ̃_{t}(u) Fourier transzformáltját. Azt kapjuk x̄ = (1 − iu)x helyettesítéssel, hogy

γ̃_{t}(u) = \frac{1}{Γ(t)} ∫_{0}^{∞} e^{−x+iux}x^{t−1} dx = \frac{1}{Γ(t)} \frac{1}{(1 − iu)^{t}} ∫_{0}^{∞} e^{−x̄}x̄^{t−1} dx̄ = \frac{1}{(1 − iu)^{t}} .

Megjegyzés: A fenti képlet alapján γ̃_{s}(u)γ̃_{t}(u) = γ̃_{s+t}u minden s > 0, t > 0 és valós u számra, ami azt jelenti, hogy γ_{s} ∗ γ_{t}(x) = γ_{s+t}(x), ahol ∗ konvoluciót jelöl. Ezt a relációt egyébként a 8. téma 16. feladatának megoldásában közvetlen számolással is bebizonyítottuk. Az előbb megfogalmazott eredmény azt sugallja, hogy nagy t paraméterre a γ_{t} sűrűségfüggvényű eloszlás, azaz a Γ eloszlás t paraméterrel közelítőleg normális eloszlású a megfelelő paraméterekkel, sőt a γ_{t}(x) sűrűségfüggvény is jól közelíthető a megfelelő paraméterű normális sűrűségfüggvénnyel. Ez a gondolat van az alábbi számolás hátterében, ahol a γ_{t}(x) függvény értékére adunk jó közelítést x = t választással. Az x = t választás azért természetes, mert egy t paraméterű Γ eloszlású valószínűségi változó várható értéke t.

Mivel a γ̃_{t}(u) = \frac{1}{(1−iu)^{t}} függvény integrálható t > 1 számra

γ_{t}(x) = \frac{1}{2π} ∫_{−∞}^{∞} e^{−iux} \frac{1}{(1 − iu)^{t}} du

a (c) formula alapján. Speciálisan x = t választással

\frac{e^{−t}t^{t−1}}{Γ(t)} = \frac{1}{2π} ∫_{−∞}^{∞} e^{−iut} \frac{1}{(1 − iu)^{t}} du,

azaz

Γ(t) = (\frac{t − 1}{e})^{t−1} \frac{1}{e} (1 + \frac{1}{t − 1})^{t−1} \frac{2π}{∫_{−∞}^{∞} e^{−iut} \frac{1}{(1−iu)^{t}} du}

= \sqrt{2π(t − 1)} (\frac{t − 1}{e})^{t−1} · \frac{1}{e} (1 + \frac{1}{t − 1})^{t−1} · \frac{\sqrt{2π}}{\sqrt{t − 1} ∫_{−∞}^{∞} e^{−iut} \frac{1}{(1−iu)^{t}} du}.

Ezen formula segítségével fogjuk bizonyítani a (b) relációt.

Tudjuk, hogy lim_{t→∞} \frac{1}{e} (1 + \frac{1}{t−1})^{t} = 1. Ezért a (b) reláció bizonyításához elég meg-

mutatni, hogy ∫_{−∞}^{∞} e^{−iut} \frac{1}{(1−iu)^{t}} du ∼ ∫_{−∞}^{∞} e^{−tu^{2}/2} du, mert ∫_{−∞}^{∞} e^{−tu^{2}/2} du = \begin{matrix}√ & \overline{2π} \\ √ & \overline{t} \end{matrix} ∼

\begin{matrix}√ & \overline{2π} \\ √ & \overline{t−1} \end{matrix}, ha t → ∞.

Az ∫_{−∞}^{∞} e^{−iut} \frac{1}{(1−iu)^{t}} du ∼ ∫_{−∞}^{∞} e^{−tu^{2}/2} du reláció bizonyítása érdekében vegyük észre, hogy a becsülendő integrál integrandusa felírható e^{−iut} \frac{1}{(1−iu)^{t}} = exp\{t(−iu − log(1 − iu))} = exp{−tu^{2}/2 + O(tu^{3})} alakban kis u értékekre. Alkalmazva ezt a relációt például |u| < t^{−3/8} értékekre, amikor tu^{3} = O(t^{−1/8}), azt kapjuk hogy, t → ∞ esetén

∫_{−t^{−3/8}}^{t^{−3/8}} e^{−iut} \frac{1}{(1 − iu)^{t}} du ∼ ∫_{−t^{−3/8}}^{t^{−3/8}} e^{−tu^{2}/2} du ∼ ∫_{−∞}^{∞} e^{−tu^{2}/2} du.  (d)

Másrészt |e^{−iut} \frac{1}{(1−iu)^{t}} | = \frac{1}{(1+u^{2})^{t/2}} . Megmutatom ezen azonosság segítségével, hogy

|∫_{u: |u|>t^{−3/8}} e^{−iut} \frac{1}{(1 − iu)^{t}} du| ≤ ∫_{u: |u|>t^{−3/8}} \frac{1}{(1 + u^{2})^{t/2}} du = o(t^{−1/2}),  (e)

ha t → ∞. A (d) és (e) becslésekből következik a kívánt állítás. Viszont

∫_{u: |u|>2} \frac{1}{(1 + u^{2})^{t/2}} du ≤ ∫_{u: |u|>2} u^{−t} du ≤ 2^{−t} = o(t^{−1/2}),

és

∫_{u: t^{−3/8}<|u|<2} \frac{1}{(1 + u^{2})^{t/2}} du ≤ ∫_{u: |u|>t^{−3/8}} e^{−tu^{2}/1000} du = o(t^{−1/2}),

és ezen becslésekből következik az (e) reláció.

3. kiegészítés. Az Alaptétel bizonyításának legfontosabb lépése.

Az Alaptétel nehéz és számunkra érdekes része az elégségesség bizonyítása, azaz annak megmutatása, hogy ha valamely F_{n}(x), n = 1, 2, …, eloszlásfüggvények φ_{n}(t) = ∫ e^{itx}F_{n}( dx), −∞ < t < ∞ karakterisztikus függvényei minden t pontban konvergálnak egy az origóban folytonos φ_{0}(t) függvényhez, akkor φ_{0}(·) egy F_{0} eloszlásfüggvény karakterisztikus függvénye, és az F_{n} eloszlásfüggvények ehhez az F_{0} eloszlásfüggvényhez konvergálnak.

Ezt az állítást viszonylag egyszerű redukálni a következő állításra: Az F_{n}(·) eloszlásfüggvények φ_{n}(·) karakterisztikus függvényeire tett feltételek teljesülése esetén ezek az eloszlásfüggvények relatíve kompaktak, azaz tetszőleges F_{n_{k}} részsorozatuknak létezik eloszlásban konvergens F_{n_{k_{j}}} részsorozata. Ugyanis nem nehéz belátni, hogy az F_{n_{k_{j}}} részsorozatok (függetlenül az n_{k_{j}} indexsorozat választától) ahhoz az F_{0} eloszlásfüggvényhez konvergálnak, amelyiknek φ_{0}(t) a karakterisztikus függvénye. Itt azt az egyszerűen igazolható tényt használjuk ki, hogy az eloszlások konvergenciájából következik azok karakterisztikus függvényeinek a konvergenciája a határeloszlás karakterisztikus függvényéhez. Ezenkívül láttuk az 1. kiegészítés eredményében, hogy egy eloszlásfüggvényt meghatároz annak karakterisztikus függvénye.

A fő probléma tehát annak vizsgálata, hogy hogyan lehet eldönteni azt, hogy mikor relative kompakt eloszlásfüggvények egy sorozata. E probléma vizsgálata kapcsán vezették be az alábbi fogalmat és bizonyították be az utána megfogalmazott eredményt.

Eloszlásfüggvények feszességének a definiciója. Az F_{n}(x) eloszlásfüggvények sorozata feszes, ha tetszőleges ε > 0 számra létezik olyan K = K(ε) szám, hogy [1 − F_{n}(K)] + F_{n}(−K) ≤ ε minden n = 1, 2, … indexre.

Tétel eloszlások relatív kompaktságának és feszességének kapcsolatáról. Legyen F_{n}(·), n = 1, 2, …, eloszlásfüggvények feszes sorozata a számegyenesen. Ez az eloszlásfüggvény sorozat relatíve kompakt.

1. megjegyzés. Igaz a tétel megfordítása is, amely szerint eloszlásfüggvények sorozatának relatív kompaktságából következik e sorozat feszessége is. Ennek az állításnak a bizonyítása lényegesen egyszerűbb. De mivel erre az eredményre nem lesz szükségünk, ezt nem bizonyítom.

2. megjegyzés. Nem nehéz belátni, hogy adva egy F (x) eloszlásfüggvény minden ε > 0 számhoz létezik olyan K = K(ε) küszöbindex, amelyre [1 − F (K)] + F (−K) ≤ ε.

Eloszlásfüggvények sorozatának a feszessége azt jelenti, hogy F_{n}(·) eloszlásfüggvények egy sorozatára a K = K(ε) küszöbindex megválasztható az n indextől függetlenül úgy, hogy az [1 − F_{n}(K)] + F_{n}(−K) ≤ ε egyenlőtlenség egyszerre teljesüljön mindegyik F_{n}(·) eloszlásfüggvényre.

Bizonyításvázlat a tételre. Rögzítsünk egy megszámlálható mindenütt sűrű x_{p}, p = 1, 2, …, halmazt a számegyenesen. Egy átlós eljárással (hasonlóan az Arzela–Ascoli tétel bizonyításához) az eloszlásfüggvények tetszőleges F_{n_{k}} részsorozatának ki tudjuk választni egy olyan F_{n_{k_{j}}}, j = 1, 2, … részsorozatát, amelyre létezik az F̂_{0}(x_{p}) = lim_{j→∞} F_{n_{k_{j}}} (x_{p}) határérték minden p = 1, 2, … indexre. Definiáljuk az

F_{0}(x) = lim_{x_{p}→x, x_{p}>0} F̂_{0}(x_{p})

függvényt minden x valós számra, ahol a limeszben tetszőleges x-nél nagyobb számokból álló az x számhoz konvergáló x_{p} számsorozatot tekintünk. Az F_{n}(x) függvény, illetve az x_{p} számok halmazán definiált F̂_{0}(x) függvény monotonításából következik, hogy ez a definició értelmes, az F_{0}(x) függvény értéke nem függ az x_{p} sorozat választásától. Némi munkával az is ellenőrizhető, hogy F_{0}(x) eloszlásfüggvény. (Itt kell kihasználni az F_{n}(x) eloszlásfüggvénysorozat feszességét.) Továbbá az is igazolható, hogy F_{0}(x) = lim_{j→∞} F_{n_{k_{j}}} (x) az F_{0}(·) függvény minden folytonossági pontjában. Ezen állításokból

következik a tétel eredménye.

A fenti tétel eredménye azért nem elegendő céljainkra, mert eloszlásfüggvények feszességét nehéz közvetlenül ellenőrizni. Ezért hasznos a következő tétel.

Tétel eloszlásfüggvények feszességének biztosításáról a karakterisztikus függvény tulajdonságai alapján. Legyen adva eloszlásfüggvények F_{n}(x), sorozata φ_{n}(t) karakterisztikus függvényekkel a számegyenesen, n = 1, 2, . . .. Ha teljesül a

lim_{δ→0} lim sup_{n→∞} \frac{1}{2δ} ∫_{−δ}^{δ} Re (1 − φ_{n}(t)) dt = 0  (1)

reláció, ahol Re z a z komplex szám valós részét jelöli, akkor az F_{n}(x) eloszlásfüggvények sorozata feszes.

Következmény. Ha az F_{n}(x) eloszlásfüggvények φ_{n}(t) karakterisztikus függvényei egy a nulla pontban folytonos φ_{0}(t) függvényhez konvergálnak az origó egy kis környezetében, akkor feszesek.

A következmény bizonyítása. Mivel φ_{0}(0) = lim_{n→∞} φ_{n}(0) = 1, ezért a φ_{0}(t) függvény folytonosságából az origóban következik, hogy minden ε > 0 számhoz létezik olyan δ_{0} = δ_{0}(ε) szám, amelyre 0 ≤ Re (1 − φ_{0}(t)) ≤ ε, ha |t| < δ_{0}. Továbbá 0 ≤ Re (1 − φ_{n}(t)) ≤ 2 minden n és t számra, és lim_{n→∞} Re (1 − φ_{n}(t)) = Re (1 − φ_{0}(t)) az origó egy kis környezetében. Ezért a Lebesgue tétel alapján létezik a

lim_{n→∞} \frac{1}{2δ} |∫_{−δ}^{δ} Re (1 − φ_{n}(t)) dt| = \frac{1}{2δ} |∫_{−δ}^{δ} Re (1 − φ_{0}(t) dt| ≤ ε

határérték minden δ < δ_{0} számra. Ez azt jelenti, hogy teljesül a (1) feltétel, és a fenti tétel alapján az F_{n}(x) függvények feszesek ebben az esetben.

Megjegyzés. Be lehet látni, hogy az (1) formulában megfogalmazott feltétel nemcsak elégséges, hanem ugyanakkor szükséges feltétele is annak, hogy az F_{n} eloszlásfüggvények feszesek legyenek. Erre a tényre azonban nem lesz szükségünk.

A tétel bizonyítása. Rögzítsünk egy tetszőleges K > 0 számot, és írjuk fel a következő azonosságot:

\frac{1}{2δ} ∫_{−δ}^{δ} Re [1 − φ_{n}(t)] dt = ∫_{−δ}^{δ} \frac{1}{2δ} ∫_{−∞}^{∞} [1 − cos tx] dF_{n}(x) dt

= ∫_{−∞}^{∞} \frac{1}{2δ} ∫_{−δ}^{δ}[1 − cos tx] dt dF_{n}(x) = ∫_{−∞}^{∞} [\frac{t}{2δ} − \frac{sin tx}{2δx}]_{t=−δ}^{t=δ} dF_{n}(x) (2)

= ∫_{−∞}^{∞} (1 − \frac{sin δx}{δx}) dF_{n}(x) = ∫_{−K}^{K} (1 − \frac{sin δx}{δx}) dF_{n}(x)

+ ∫_{|x|>K} (1 − \frac{sin δx}{δx}) dF_{n}(x) = I_{1,n}^{δ}(K) + I_{2,n}^{δ}(K).

Mivel (1 − \frac{sin δx}{δx}) ≥ 0 minden x-re és δ-ra, ezért a (2) formula baloldala felső becslést ad az I_{2,n}^{δ}(K) kifejezésre tetszőleges δ > 0 n ≥ 1 és K > 0 számokra. Ezért az (1) formula alapján tetszőleges ε > 0 számhoz létezik olyan δ = δ(ε) > 0 szám és n_{0} = n_{0}(δ) küszöbindex, amelyekre \frac{ε}{2} ≥ ∫_{|x|>K} (1 − \frac{sin δx}{δx}) dF_{n}(x), ha n ≥ n_{0}, és K > 0 tetszőleges. Legyen K = \frac{2}{δ}. Akkor minden |x| ≥ K számra 1 − \frac{sin δx}{δx} ≥ \frac{1}{2}. Ezért az előző becslésből következik, hogy \frac{ε}{2} ≥ ∫_{|x|>K} (1 − \frac{sin δx}{δx}) dF_{n}(x) ≥ \frac{1}{2}[(1 − F_{n}(K)) + F_{n}(−K)], azaz ε ≥ [(1 − F_{n}(K)) + F_{n}(−K)] ezzel a K számmal, ha n ≥ n_{0}. A K > 0 szám esetleges megnövelésével elérhetjük, hogy a fenti egyenlőtlenség minden n ≥ 1 számra érvényes legyen. Tehát az F_{n}, n = 1, 2, …, eloszlásfüggvények feszesek.

A fenti tétel, illetve annak következménye alapján, ha eloszlásfüggvények egy sorozata teljesíti az Alaptétel feltételeit, akkor az feszes. Ekkor viszont e Kiegészítés másik tétele alapján egy ilyen sorozat relatíve kompakt, és ezt akartuk igazolni. Az előadásban tekintettünk egy olyan példát, amelyben az eloszlássorozatban definiált eloszlások karakterisztikus függvényei az origóban nem folytonos függvényhez konvergáltak. Ebben a példában az eloszlásfüggvények sorozata nem volt feszes.

4. kiegészítés. A karakterisztikus függvény módszer egy számelméleti alkalmazása.

A következő eredmény bizonyítását ismertetem.

Tétel irracionális szám többszöröseinek eloszlásáról moduló 1. Legyen α irracionális szám. Rögzítsünk egy [a, b] ⊂ [0, 1] intervallumot, és tekintsük minden n pozitív egész számra a kα moduló 1, 1 ≤ k ≤ n, sorozatot, illetve e sorozat [a, b] intervallumba eső pontjainak \frac{1}{n}#\{k: \{kα\} ∈ [a, b], 1 ≤ k ≤ n\} relatív gyakoriságát, ahol #A egy A halmaz elemeinek számát jelöli, {x} pedig egy x szám tört részét. Ez a relatív gyakoriság tetszőleges [a, b] ⊂ [0, 1] intevallumra konvergál az [a, b] intervallum b − a hosszához, ha n → ∞.

Bizonyítás. Az állítás átfogalmazható a következő módon. Definiáljuk minden n számra a következő μ_{n} valószínűségi mértéket: A μ_{n} mérték a kα (mod 1), 1 ≤ k ≤ n, pontokba van koncentrálva, és minden ilyen kα (mod 1) pont μ_{n} mértéke \frac{1}{n}. Ekkor a tétel állítása ekvivalens azzal, hogy a μ_{n} mértéksorozat eloszlásban konvergál a [0, 1] intervallumban f(x) ≡ 1 sűrűségfüggvénnyel rendelkező μ_{0} egyenletes eloszláshoz.

A karakterisztikus függvény módszer, pontosabban annak a [0, 1] mod 1 csoportra megfogalmazott változata azt mondja ki, hogy μ_{n} valószínűségi mértékek egy sorozatának eloszlásban való konvergenciája egy μ_{0} valószínűségi mértékhez ekvivalens azzal, hogy teljesül a lim_{n→∞} ∫ e^{2πijx}μ_{n}( dx) = ∫ e^{2πijx}μ_{0}( dx) reláció minden j = 0, ±1, ±2, …

egész számra, ahol i = \sqrt{−1}. Valójában ez az ekvivalencia következik Weierstrass második approximációs tételéből, és az eloszlásban való konvergencia következő jellemzéséből: Tekintsük a [0, 1] mod 1 egységkört, és azon μ_{n}, n = 0, 1, 2, …, valószínűségi mértékeket. A μ_{n} mértékek akkor és csak akkor konvergálnak eloszlásban a μ_{0} mértékhez n → ∞ esetén, ha lim_{n→∞} ∫ f(x)μ_{n}( dx) = ∫ f(x)μ_{0}( dx) minden az egységkörön folytonos (és ezért korlátos) f(x) függvényre. (Olyan függvényeket tekintünk, amelyekre f(1) = f(0).)

Viszont a tétel bizonyításához szükséges limesz relációkat könnyen ellenőrizhetjük az adott esetben. Valóban ∫ e^{2πijx}μ_{0}( dx) = ∫_{0}^{1} e^{2πijx} dx = 0, ha j ≠ 0, és

∫ e^{2πijx}μ_{n}( dx) = \frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} e^{2πijkα} = \frac{e^{2πi(n+1)jα} − e^{2πijα}}{n(e^{2πijα} − 1)} → 0,

ha n → ∞, és j ≠ 0, mert |\frac{e^{2πi(n+1)jα}−e^{2πijα}}{n(e^{2πijα}−1)} | ≤ \frac{2}{n(1−cos 2πjα)}, és 1−cos 2πjα > 0 minden

j ≠ 0 egész számra, ha α irracionális szám. Másrészt a j = 0 indexre e^{2πijx} = 1, és ∫ μ_{n}( dx) = ∫ μ_{0}( dx) = 1 minden n = 1, 2, … számra.

Feladat:

Legyen α_{1}, …, α_{k} k irracionális szám, amelyek kiegészítve az α_{0} = 1 számmal

lineárisan függetlenek a racionális számok teste felett, azaz az r_{0} + ∑_{j=1}^{k} r_{j}α_{j} = 0

reláció racionális r_{j}, 0 ≤ j ≤ k, számokkal csak akkor teljesül, ha r_{j} = 0 minden 0 ≤

j ≤ k indexre. Rögzítsünk egy B = ∏_{j=1}^{k}[a_{j}, b_{j}] ⊂ [0, 1]^{k} a k-dimenziós egységkocka

által tartalmazott téglatestet, és tekintsük minden n pozitív egész számra azon l számok relatív gyakoriságát az 1 ≤ l ≤ n egész számok között, amelyekre az (lα_{1} mod 1, …, lα_{k} mod 1) vektor beleesik a B téglatestbe. Lássuk be, hogy ez a relatív gyakoriság tart a B téglatest térfogatához, ha n → ∞.