\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=4pt plus 1.5pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}

\centerline{\bf A M\'AJUS 5.-i DOLGOZAT FELADATAI}

\bigskip
\item{1.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelyek k\"oz\"ul
$\xi$ $\lambda$ param\'eter\H{u} \'es $\eta$ $\mu$ param\'eter\H{u}
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o,
azaz a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $f(\cdot)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$, ha
$x\ge0$, \'es $f(x)=0$, ha $x<0$, az $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $g(\cdot)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$g(x)=\mu e^{-\mu x}$, ha $x>0$, \'es $g(x)=0$, ha $x<0$.
Tov\'abb\'a $\lambda>0$, $\mu>0$, \'es legyen $\lambda\neq\mu$.
Sz\'am\'{\i}tsa ki a $\xi+\eta$ \"osszeg
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et. \hfill{9 pont}

\item{2.)} Legyen $\xi$ norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $E\xi=1$ v\'arhat\'o
\'ert\'ekkel \'es $\Var\xi=2$ sz\'or\'asn\'egyzettel. Sz\'amolja
ki az $Ee^{t\xi}$ v\'arhat\'o \'ert\'eket minden $t$ val\'os
sz\'amra. \hfill{9 pont}

\item{3.)} Ledobunk 6000 pontot egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul
a $[0,3]$ intervallumra egyenletes el\-osz\-l\'as\-sal, azaz a
ledobott pontok hely\'enek s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye legyen
$f(x)=\frac13$, ha $0\le x\le3$, \'es $f(x)=0$ egy\'ebk\'ent. Egy
jegyz\H{o}k\"onyvbe fel\'{\i}rjuk a ledobott pontok n\'emileg
m\'odos\'{\i}tott \'ert\'ek\'et a k\"ovetkez\H{o} m\'odon.
Ha a ledobott pont \'ert\'eke a $[0,1]$ intervallumba esik, akkor
a pont \'ert\'eket \'{\i}rjuk a jegyz\H{o}k\"onyvbe, ha a pont az
$[1,2]$ intervallumba esik akkor az 1 sz\'amot, ha pont a $[2,3]$
intervallumba esik, akkor a 2 sz\'amot \'{\i}rjuk a
jegyz\H{o}k\"onyvbe. Adjon egy norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny
t\'abl\'azat seg\'{\i}ts\'eg\'evel j\'o k\"ozel\'{\i}t\H{o}
\'ert\'eket annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere, hogy a
jegyz\H{o}k\"onyvbe \'{\i}rt 6000 sz\'am \"osszege 6940 \'es 7080
k\"oz\'e esik. \hfill{9 pont}

\item{4.)} Legyen egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
exponenci\'alis eloszl\'as\'u $\lambda=1$ param\'eterrel, azaz
legyen a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=e^{-x}$, ha
$x\ge0$ \'es $f(x)=0$, ha $x<0$. Sz\'amolja ki
$\xi^4$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et. \hfill{9 pont}

\item{5.)} Legyen az $F(x)$ (nem felt\'etlen\"ul folytonos)
f\"uggv\'eny egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'enye. Fejezze ki az $F(x)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel annak a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-g\'et, hogy $\xi$ eg\'esz 
\'ert\'eket vesz fel. \hfill{9~pont}

\item{6.)} Legyen $\xi_1$, $\xi_2$ \'es $\xi_3$ h\'arom val\'os
\'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
egy $(\Omega,\Cal A,P)$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi 
mez\H{o}n. Mikor mondjuk, hogy ez a h\'arom 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o f\"ug\-get\-len?

\hfill{5 pont}
\item{} {\it Megjegyz\'es:}\/ Ha egy k\'erd\'esre t\"obb
(egym\'assal ekvivalens) helyes v\'alaszt lehet adni, akkor 
e definici\'ok b\'armelyik\'enek a megad\'asa teljes
\'ert\'ek\H{u} v\'alasznak min\H{o}s\"ul.)


\medskip\medskip
\centerline{\bf MEGOLD\'ASOK}

\medskip

\item{1.} Tudjuk, hogy a tekintett k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \"osszeg\'enek a
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et az
$f*g(x)=\int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-u)\,du$ konvoluci\'o
seg\'{\i}ts\'eg\'evel sz\'am\'{\i}thatjuk ki. Mivel $f(x)=0$,
$g(x)=0$, ha $x<0$, ez\'ert a konvoluci\'oban
szerepl\H{o} integrandus $f(u)g(x-u)=0$, ha $u<0$ vagy
$x-u<0$, azaz $u\ge x$. Ez\'ert az $f(u)g(x-u)$ integrandus
csak \'ugy lehet nem nulla, ha $0\le u\le x$. Ez az
egyenl\H{o}tlens\'eg nem teljes\"ul semmilyen $u$ sz\'amra, ha 
$x<0$. Innen
$$
f*g(x)=\int_0^x \lambda e^{-\lambda u}\mu e^{-\mu(x-u)}\,du=
\lambda\mu e^{-\mu x}\int_0^x e^{-(\lambda-\mu)u}\,du, \quad\text{ha
}x\ge0,
$$
\'es $f*g(x)=0$, ha $x<0$. Ez\'ert
$$
f*g(x)=\frac{\lambda\mu e^{-\mu x}}{\mu-\lambda}\[e^{-(\lambda
-\mu)u}\]_0^x= \lambda\mu \frac{e^{-\lambda x}-e^{-\mu x}}{\mu-\lambda}
\quad\text{ha $x\ge0$ \'es }\lambda\neq \mu,
$$
\'es $f*g(x)=0$, ha $x<0$.

\medskip
\item{} {\it Megjegyz\'es:}\/ Vizsg\'aljuk meg, mit kapunk az
$f_\lambda*g_\mu(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny \'ert\'ekek\'ent,
ha  a $\lambda$ sz\'amot fix\'aljuk, \'es $\mu\to\lambda$. Most az
$f$ \'es $g$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyek helyett $f_\lambda$
\'es $g_\mu$ f\"uggv\'enyeket \'{\i}runk, hogy jelezz\"uk ezek
f\"ugg\'es\'et a $\lambda$ \'es $\mu$ param\'eterekt\H{o}l.
\item{} Mivel r\"ogz\'{\i}tett $x>0$ sz\'amra
$$
\limm_{\mu\to\lambda}\frac{e^{-\lambda x}-e^{-\mu x}}{\mu-\lambda}
=-x\limm_{\mu\to\lambda}\frac{e^{-\lambda x}-e^{-\mu x}}{\lambda x-\mu x}
=-x\left.\frac{d}{du}e^{-u}\right|_{u=\lambda x}=xe^{-\lambda x},
$$
ez\'ert
$\limm_{\mu\to\lambda}f_\lambda*g_\mu(x)=\lambda^2xe^{-\lambda x}$,
ha $x\ge0$. M\'asr\'eszt
$\limm_{\mu\to\lambda}f_\lambda*g_\mu(x)=0$, ha $x<0$. Ez,
\"osszehasonl\'{\i}tva az $f_\lambda*g_\lambda(x)$
konvoluci\'ora kapott eredm\'ennyel azt jelenti, hogy
$\limm_{\mu\to\lambda}f_\lambda*g_\mu(x)=f_\lambda*g_\lambda(x)$
minden $x$ sz\'amra.

\item{2.)} Ha $\xi$ norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $E\xi=1$ v\'arhat\'o
\'ert\'ekkel \'es $\Var\xi=2$ sz\'or\'asn\'egyzettel, akkor
fel\'{\i}rhat\'o $\xi=\sqrt2\eta+1$ alakban, ahol $\eta$ standard 
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
Ez\'ert $Ee^{t\xi}=Ee^{t(\sqrt2\eta+1)}=e^t Ee^{(\sqrt2 t)\eta}$.
M\'asr\'eszt 
$$
\align
Ee^{t\eta}&=\int_{-\infty}^\infty
e^{tx}\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx
=e^{t^2/2}\int_{-\infty}^\infty
\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-(x-t)^2/2}\,dx \\
&=e^{t^2/2}\int_{-\infty}^\infty
\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx=e^{t^2/2}
\endalign
$$
Innen $Ee^{t\xi}=e^t Ee^{(\sqrt2 t)\eta}=e^{t+t^2}$.

\item{3.)} Jel\"olje $\xi_j$ a $j$-ik ledobott pont \'ert\'ek\'et,
$1\le j\le 6000$, \'es
legyen $\eta_j=f(\xi_j)$, ahol az $f(x)$, $0\le x\le3$, f\"uggv\'enyt
az $f(x)=x$, ha $0\le x\le1$, $f(x)=1$, ha $1\le x\le2$, \'es 
$f(x)=2$, ha $2\le x\le3$ k\'epletekkel defini\'aljuk. Ekkor $\eta_j$
a $j$-ik jegyz\H{o}k\"onyvbe \'{\i}rt sz\'am \'ert\'eke, \'es minket
a $P\(6940\le\summ_{j=1}^{6000}\eta_j\le7080\)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'ert\'eke \'erdekel. Ennek
kisz\'am\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben sz\'am\'{\i}tjuk ki el\H{o}sz\"or
az $E\eta_j$ \'es $\Var\eta_j$ mennyis\'egeket.
$E\eta_j=\int_0^3\frac13f(x)\,dx=\int_0^1\frac13x\,dx+\frac13(1+2)
=\frac16+1=\frac76$,
$E\eta^2_j=\int_0^3\frac13f^2(x)\,dx
=\int_0^1\frac13x^2\,dx+\frac13(1^2+2^2)=\frac19+\frac53=\frac{16}9$,
\'es $\Var\eta_j=E\eta_j^2-(E\eta_j)^2=\frac{16}9-\frac{49}{36}
=\frac{15}{36}=\frac5{12}$. Innen az $S=\summ_{j=1}^{6000}\eta_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ora $ES=7000$, \'es
$\Var S=2500=50^2$. Ez\'ert a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
szerint
$$
\align
P\(6940\le\summ_{j=1}^{6000}\eta_j\le7080\)&=
P\(\frac{6940-7000}{50}\le\frac{S-ES}{\sqrt{\Var S}}
\le\frac{7080-7000}{50}\)\\
&=P\(-1.2\le\frac{S-ES}{\sqrt{\Var S}}\le1.6\)
\sim \Phi(1.6)-\Phi(-1.2)\\
&=\Phi(1.6)+\Phi(1.2)-1\sim(0.9452+0.8849-1)\sim0.83.
\endalign
$$

\item{4.)} $\xi$ eloszl\'asf\"uggv\'enye $F(x)=P(\xi<x)=1-e^{-x}$, ha
$x\ge0$, \'es $F(x)=P(\xi<x)=0$, ha $x<0$. Innen $\xi^4$
eloszl\'asf\"uggv\'enye
$G(x)=P(\xi^4<x)=P(-x^{-1/4}<\xi<x^{1/4})=1-e^{-x^{1/4}}$, ha $x\ge0$,
\'es $G(x)=0$, ha $x<0$. Innen $\xi$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
a $g(x)=\frac{dG(x)}{dx}$ f\"uggv\'eny, ahonnan $g(x)=0$, ha $x<0$,
\'es $g(x)=\frac14x^{-3/4}e^{-x^{1/4}}$, ha $x>0$.

\item{5.)} Vezess\"uk be az 
$A_n=\bigcupp_{k=-\infty}^\infty\left\{\oo\colon\;
\bigcupp_{k=-\infty}^\infty k\le\xi(\oo)<k+\frac1n\right\}$ 
esem\'enyeket minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra, \'es az
$A=\bigcupp_{k=-\infty}^\infty\left\{\oo\colon\;
\bigcupp_{k=-\infty}^\infty\xi(\oo)=k\right\}$ esem\'enyt. Ezzel
a jel\"ol\'essel a $P(A)$  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget 
k\'{\i}v\'anjuk kifejezni a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'o $F(x)$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'e\-nek a 
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Mivel $A=\bigcapp_{n=1}^\infty A_n$, \'es 
$A_n$, $n=1,2,\dots$, monoton cs\"okken\H{o} halmazsorozat, ez\'ert 
$P(A)=\limm_{n\to\infty}P(A_n)$ a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg 
folytonoss\'agi tulajdons\'aga miatt. Ezenk\'{\i}v\"ul 
$P(A_n)=\summ_{k=-\infty}^\infty P\(k\le \xi(\oo)<k+\frac1n\)
=\summ_{k=-\infty}^\infty[F(k+\frac1n)-F(k)]$ (a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg $\sigma$-addit\'{\i}t\'asa 
miatt). Innen $P(A)
=\limm_{n\to\infty}\summ_{k=-\infty}^\infty[F(k+\frac1n)-F(k)]
=\summ_{k=-\infty}^\infty\limm_{n\to\infty}[F(k+\frac1n)-F(k)]$. 
Ezt \'ugy is \'{\i}rhatjuk, hogy
$P(A)=\summ_{k=-\infty}^\infty[F(k+0)-F(k)]$.

\item{6.)} A $\xi_1$, $\xi_2$ \'es $\xi_3$ val\'os
\'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok akkor
f\"ug\-get\-lenek, ha 
$$
P(\xi_1<x_1,\xi_2<x_2,\xi_3<x_3)=P(\xi_1<x_1)P(\xi_2<x_2)P(\xi_3<x_3)
$$
minden val\'os $x_1,x_2,x_3$ sz\'amh\'armasra.

\item {} {\it Megjegyz\'es.} Tanultuk, hogy az el\H{o}bb megadott
rel\'aci\'o ekvivalens azzal, hogy
$$
P(\xi_1\in A_1,\xi_2\in A_2,\xi_3\in A_3)
=P(\xi_1\in A_1)P(\xi_2\in A_2)P(\xi_3\in A_3)
$$
minden h\'arom Borel m\'erhet\H{o} $A_1,A_2,A_3$ halmazb\'ol
\'all\'o rendszerre.
Egy ilyen definici\'o is teljes \'ert\'ek\H{u} v\'alasznak
min\H{o}s\"ult.





\bye
