A MÁJUS 5.-i DOLGOZAT FELADATAI

1.) Legyen ξ és η két független valószínűségi változó, amelyek közül ξ λ paraméterű és η μ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változó, azaz a ξ valószínűségi változó f(·) sűrűségfüggvénye f(x) = λe^{−λx}, ha x ≥ 0, és f(x) = 0, ha x < 0, az η valószínűségi változó g(·) sűrűségfüggvénye g(x) = μe^{−μx}, ha x > 0, és g(x) = 0, ha x < 0. Továbbá λ > 0, μ > 0, és legyen λ ≠ μ. Számítsa ki a ξ + η összeg sűrűségfüggvényét. 9 pont

2.) Legyen ξ normális eloszlású valószínűségi változó Eξ = 1 várható értékkel és Var ξ = 2 szórásnégyzettel. Számolja ki az Ee^{tξ} várható értéket minden t valós számra. 9 pont

3.) Ledobunk 6000 pontot egymástól függetlenül a [0, 3] intervallumra egyenletes eloszlással, azaz a ledobott pontok helyének sűrűségfüggvénye legyen f(x) = \frac{1}{3}, ha 0 ≤ x ≤ 3, és f(x) = 0 egyébként. Egy jegyzőkönyvbe felírjuk a ledobott pontok némileg módosított értékét a következő módon. Ha a ledobott pont értéke a [0, 1] intervallumba esik, akkor a pont értéket írjuk a jegyzőkönyvbe, ha a pont az [1, 2] intervallumba esik akkor az 1 számot, ha pont a [2, 3] intervallumba esik, akkor a 2 számot írjuk a jegyzőkönyvbe. Adjon egy normális eloszlásfüggvény táblázat segítségével jó közelítő értéket annak valószínűségére, hogy a jegyzőkönyvbe írt 6000 szám összege 6940 és 7080 közé esik. 9 pont

4.) Legyen egy ξ valószínűségi változó exponenciális eloszlású λ = 1 paraméterrel, azaz legyen a sűrűségfüggvénye f(x) = e^{−x}, ha x ≥ 0 és f(x) = 0, ha x < 0. Számolja ki ξ^{4} sűrűségfüggvényét. 9 pont

5.) Legyen az F (x) (nem feltétlenül folytonos) függvény egy ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye. Fejezze ki az F (x) eloszlásfüggvény segítségével annak a valószínűségét, hogy ξ egész értéket vesz fel. 9 pont

6.) Legyen ξ_{1}, ξ_{2} és ξ_{3} három valós értékű valószínűségi változó egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn. Mikor mondjuk, hogy ez a három valószínűségi változó független?

5 pont

Megjegyzés: Ha egy kérdésre több (egymással ekvivalens) helyes választ lehet adni, akkor e definiciók bármelyikének a megadása teljes értékű válasznak minősül.)

MEGOLDÁSOK

1. Tudjuk, hogy a tekintett két független valószínűségi változó összegének a sűrűségfüggvényét az f ∗ g(x) = ∫_{−∞}^{∞} f(u)g(x − u) du konvolució segítségével számíthatjuk ki. Mivel f(x) = 0, g(x) = 0, ha x < 0, ezért a konvolucióban szereplő integrandus f(u)g(x − u) = 0, ha u < 0 vagy x − u < 0, azaz u ≥ x. Ezért az f(u)g(x − u) integrandus csak úgy lehet nem nulla, ha 0 ≤ u ≤ x. Ez az egyenlőtlenség nem teljesül semmilyen u számra, ha x < 0. Innen

f ∗ g(x) = ∫_{0}^{x} λe^{−λu}μe^{−μ(x−u)} du = λμe^{−μx} ∫_{0}^{x} e^{−(λ−μ)u} du, ha x ≥ 0,

és f ∗ g(x) = 0, ha x < 0. Ezért

f ∗ g(x) = \frac{λμe^{−μx}}{μ − λ} [e^{−(λ−μ)u}]_{0}^{x} = λμ\frac{e^{−λx} − e^{−μx}}{μ − λ} ha x ≥ 0 és λ ≠ μ,

és f ∗ g(x) = 0, ha x < 0.

Megjegyzés: Vizsgáljuk meg, mit kapunk az f_{λ} ∗ g_{μ}(x) sűrűségfüggvény értékeként, ha a λ számot fixáljuk, és μ → λ. Most az f és g sűrűségfüggvények helyett f_{λ} és g_{μ} függvényeket írunk, hogy jelezzük ezek függését a λ és μ paraméterektől.

Mivel rögzített x > 0 számra

lim_{μ→λ} \frac{e^{−λx} − e^{−μx}}{μ − λ} = −x lim_{μ→λ} \frac{e^{−λx} − e^{−μx}}{λx − μx} = −x \frac{d}{du}e^{−u}|_{u=λx} = xe^{−λx},

ezért lim_{μ→λ} f_{λ} ∗ g_{μ}(x) = λ^{2}xe^{−λx}, ha x ≥ 0. Másrészt lim_{μ→λ} f_{λ} ∗ g_{μ}(x) = 0, ha x < 0.

Ez, összehasonlítva az f_{λ} ∗ g_{λ}(x) konvolucióra kapott eredménnyel azt jelenti, hogy lim_{μ→λ} f_{λ} ∗ g_{μ}(x) = f_{λ} ∗ g_{λ}(x) minden x számra.

2.) Ha ξ normális eloszlású valószínűségi változó Eξ = 1 várható értékkel és Var ξ = 2 szórásnégyzettel, akkor felírható ξ = \sqrt{2}η + 1 alakban, ahol η standard normális eloszlású valószínűségi változó. Ezért Ee^{tξ} = Ee^{t(\sqrt{2}η+1)} = e^{t}Ee^{(\sqrt{2}t)η}. Másrészt

Ee^{tη} = ∫_{−∞}^{∞} e^{tx} \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−x^{2}/2} dx = e^{t^{2}/2} ∫_{−∞}^{∞} \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−(x−t)^{2}/2} dx

= e^{t^{2}/2} ∫_{−∞}^{∞} \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−x^{2}/2} dx = e^{t^{2}/2}

Innen Ee^{tξ} = e^{t}Ee^{(\sqrt{2}t)η} = e^{t+t^{2}}.

3.) Jelölje ξ_{j} a j-ik ledobott pont értékét, 1 ≤ j ≤ 6000, és legyen η_{j} = f(ξ_{j}), ahol az f(x), 0 ≤ x ≤ 3, függvényt az f(x) = x, ha 0 ≤ x ≤ 1, f(x) = 1, ha 1 ≤ x ≤ 2, és f(x) = 2, ha 2 ≤ x ≤ 3 képletekkel definiáljuk. Ekkor η_{j} a j-ik jegyzőkönyvbe írt

szám értéke, és minket a P (6940 ≤ ∑_{j=1}^{6000} η_{j} ≤ 7080) valószínűség értéke érdekel.

Ennek kiszámítása érdekében számítjuk ki először az Eη_{j} és Var η_{j} mennyiségeket. Eη_{j} = ∫_{0}^{3} \frac{1}{3}f(x) dx = ∫_{0}^{1} \frac{1}{3}x dx + \frac{1}{3}(1 + 2) = \frac{1}{6} + 1 = \frac{7}{6}, Eη_{j}^{2} = ∫_{0}^{3} \frac{1}{3}f^{2}(x) dx = ∫_{0}^{1} \frac{1}{3}x^{2} dx+ \frac{1}{3}(1^{2}+2^{2}) = \frac{1}{9} + \frac{5}{3} = \frac{16}{9}, és Var η_{j} = Eη_{j}^{2}−(Eη_{j})^{2} = \frac{16}{9} − \frac{49}{36} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}.

Innen az S = ∑_{j=1}^{6000} η_{j} valószínűségi változóra ES = 7000, és Var S = 2500 = 50^{2}.

Ezért a centrális határeloszlástétel szerint

P (6940 ≤ ∑_{j=1}^{6000} η_{j} ≤ 7080) = P (\frac{6940 − 7000}{50} ≤ \frac{S − ES}{\sqrt{Var S}} ≤ \frac{7080 − 7000}{50})

= P (−1.2 ≤ \frac{S − ES}{\sqrt{Var S}} ≤ 1.6) ∼ Φ(1.6) − Φ(−1.2)

= Φ(1.6) + Φ(1.2) − 1 ∼ (0.9452 + 0.8849 − 1) ∼ 0.83.

4.) ξ eloszlásfüggvénye F (x) = P (ξ < x) = 1−e^{−x}, ha x ≥ 0, és F (x) = P (ξ < x) = 0, ha x < 0. Innen ξ^{4} eloszlásfüggvénye G(x) = P (ξ^{4} < x) = P (−x^{−1/4} < ξ < x^{1/4}) = 1 − e^{−x^{1/4}}, ha x ≥ 0, és G(x) = 0, ha x < 0. Innen ξ sűrűségfüggvénye a g(x) = \frac{dG(x)}{dx} függvény, ahonnan g(x) = 0, ha x < 0, és g(x) = \frac{1}{4}x^{−3/4}e^{−x^{1/4}}, ha x > 0.

5.) Vezessük be az A_{n} = ⋃_{k=−∞}^{∞} \{ω: ⋃_{k=−∞}^{∞} k ≤ ξ(ω) < k + \frac{1}{n}\} eseményeket minden n = 1, 2, … számra, és az A = ⋃_{k=−∞}^{∞} {ω: ⋃_{k=−∞}^{∞} ξ(ω) = k} eseményt. Ezzel a jelöléssel a P (A) valószínűséget kívánjuk kifejezni a ξ valószínűségi változó F (x) eloszlásfüggvényének a segítségével. Mivel A = ⋂_{n=1}^{∞} A_{n}, és A_{n}, n = 1, 2, …, monoton csökkenő halmazsorozat, ezért P (A) = lim_{n→∞} P (A_{n}) a valószínűség folytonossági tulajdonsága miatt. Ezenkívül P (A_{n}) = ∑_{k=−∞}^{∞} P (k ≤ ξ(ω) < k + \frac{1}{n}) = ∑_{k=−∞}^{∞}[F (k + \frac{1}{n}) − F (k)] (a valószínűség σ-additítása miatt). Innen P (A) = lim_{n→∞} ∑_{k=−∞}^{∞}[F (k + \frac{1}{n}) − F (k)] = ∑_{k=−∞}^{∞} lim_{n→∞}[F (k + \frac{1}{n}) − F (k)]. Ezt úgy is írhatjuk, hogy P (A) =

∑_{k=−∞}^{∞}[F (k + 0) − F (k)].

6.) A ξ_{1}, ξ_{2} és ξ_{3} valós értékű valószínűségi változók akkor függetlenek, ha

P (ξ_{1} < x_{1}, ξ_{2} < x_{2}, ξ_{3} < x_{3}) = P (ξ_{1} < x_{1})P (ξ_{2} < x_{2})P (ξ_{3} < x_{3})

minden valós x_{1}, x_{2}, x_{3} számhármasra. Megjegyzés. Tanultuk, hogy az előbb megadott reláció ekvivalens azzal, hogy

P (ξ_{1} ∈ A_{1}, ξ_{2} ∈ A_{2}, ξ_{3} ∈ A_{3}) = P (ξ_{1} ∈ A_{1})P (ξ_{2} ∈ A_{2})P (ξ_{3} ∈ A_{3}) minden három Borel mérhető A_{1}, A_{2}, A_{3} halmazból álló rendszerre. Egy ilyen definició is teljes értékű válasznak minősült.