\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\nopagenumbers
\parskip=4pt plus 1.5pt

\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}

\centerline{\bf A M\'ARCIUS 17.-i DOLGOZAT FELADATAI}

\bigskip
\item{1.)} Minden h\'eten feladunk h\'arom g\'epi lott\'oszelv\'enyt.
(90 sz\'amb\'ol kell eltal\'alni 5-\"ot.) A h\'arom szelv\'enyt
a g\'ep egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul t\"olti ki. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a hatodik h\'eten lesz
el\H{o}sz\"or legal\'abb k\'et darab pontosan k\'ettal\'alatos
szel\-v\'e\-ny\"unk? \hfill [9]

\item{} {\it Megjegyz\'es az 1. feladathoz:}\/ A feladat a k\'erdezett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget kifejez\H{o} k\'eplet megad\'asa. Nem
sz\"uks\'eges annak \'ert\'ek\'et numerikusan is kisz\'amolni.

\medskip
\item{2.)} Ledobunk egyenletes eloszl\'assal egy pontot a $[0,1]$
intervallumra, majd egy m\'asik pontot az $[1,3]$ intervallumra.
Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a k\'et ledobott pont
t\'avols\'aga kisebb, mint $\frac12$? \hfill [9]

\item{3.)} Van k\'et sziget, az igazmond\'ok \'es a hazugok szigete.
Az igazmond\'ok sziget\'en mindenki 0.9 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
igaz v\'alaszt ad b\'armely feltett k\'erd\'esre, a hazugok sziget\'en
0.8 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel hamis v\'alaszt ad. Valaki \'ejjel a
viharos tengeren haj\'ozva eljut a k\'et sziget valamelyik\'ere,
1/2 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az igazmond\'ok, 1/2
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a hazugok sziget\'ere. Megk\'erdezi az
els\H{o} szembej\"ov\H{o} embert, hogy az  igazmond\'ok sziget\'ere
ker\"ult-e. Azt a v\'alaszt kapja, hogy nem. A m\'asodik embert\H{o}l,
akivel tal\'alkozik azt k\'erdezi, hogy igaz-e, hogy k\'etszer kett\H{o}
n\'eggyel egyenl\H{o}. Erre a k\'erd\'esre igenl\H{o} v\'alaszt kap.
Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy ember\"unk az igazmond\'ok
sziget\'ere ker\"ult? \hfill [9]

\item{4.)} Van k\'et urna, \'es mindkett\H{o}ben 10 piros \'es 30
feh\'er goly\'o. Kih\'uzunk mind a k\'et urn\'ab\'ol
10 goly\'ot, az els\H{o}b\H{o}l visszatev\'essel, a m\'asodikb\'ol
visszatev\'es n\'elk\"ul. Mi a k\'et urn\'ab\'ol egy\"utt kih\'uzott
piros goly\'ok sz\'am\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es
sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-zete? \hfill [9]

\item{5.)} Feldobunk egy szab\'alyos dob\'okock\'at 10-szer egym\'as
ut\'an. Jel\"olje $\xi$ a p\'aros \'ert\'ek\H{u} dob\'aseredm\'enyeknek
az \"osszeg\'et. Sz\'amolja ki az $E\xi^3$
v\'arhat\'o \'ert\'eket.  \hfill [9]

\item{6.)} Legyen $A$, $B$ \'es $C$ h\'arom esem\'eny egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Mikor
mondjuk, hogy ezek az esem\'enyek f\"uggetlenek? \hfill [5]



\bigskip
\centerline{\bf MEGOLD\'ASOK.}
\medskip

\item{1.)} Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy szelv\'enyen
k\'et tal\'alatunk lesz $P(A)=\frac{\binom52\binom{85}3}{\binom{90}5}$,
annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy h\'eten lesz legal\'abb
k\'et (azaz kett\H{o} vagy h\'arom) k\'ettal\'alatos szelv\'eny\"unk
$P(B)=3P(A)^2(1-P(A))+P(A)^3$. Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a
hatodik h\'eten lesz el\H{o}sz\"or legal\'abb k\'et
k\'ettal\'alatos szelv\'eny\"unk $(1-P(B))^5P(B)=
\(1-3P(A)^2(1-P(A))-P(A)^3\)^5(3P(A)^2(1-P(A))+P(A)^3)$.

\item{2.)} Jel\"olj\"uk $x$-szel az els\H{o} ledobott pont \'es
$y$-nal a m\'asodik ledobott pont \'ert\'ek\'et. Ekkor az $(x,y)$ 
pont a $B=[0,1]\times[1,3]$ t\'eglalapba esik, \'es annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy ez a pont valamely $A\subset B$ 
halmazban helyezkedik el $\frac12\lambda(A)$, ahol $\lambda(A)$ 
jel\"oli az $A$ halmaz ter\"ulet\'et. Az, hogy az $x$ \'es $y$ pont 
t\'avols\'aga kisebb, mint $\frac12$ azt jelenti (felhaszn\'alva, 
hogy az $y-x\ge0$ egyenl\H{o}tlens\'eg minden $(x,y)$ p\'arra 
teljes\"ul), hogy az $(x,y)$ pont a $B$ t\'eglalap \'es 
az $\{(u,v)\colon\; v-u<\frac12\}$ f\'els\'{\i}k metszet\'ebe esik.
E k\'et halmaz metszete az $(\frac12,1)$, $(1,1)$ \'es $(1,\frac32)$
cs\'ucsok \'altal meghat\'arozott h\'aromsz\"og, amelynek ter\"ulete
$\frac18$. \'Igy a keresett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $\frac1{16}$.

\item{3.)} Jel\"olje $A$ azt az esem\'enyt, hogy ember\"unk az
igazmond\'ok sziget\'ere ker\"ult, \'es $B$ azt az esem\'enyt, hogy
k\'erd\'eseire az adott v\'alaszokat kapta. Ekkor minket a $P(A|B)$
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'ert\'eke \'erdekel.
Feltev\'eseink szerint $P(A)=P(\bar A)=\frac12$, ahol $\bar A$
az $A$ esem\'eny komplementer\'et jel\"oli. Tov\'abb\'a,
$P(B|A)=0.1\cdot0.9$, (ember\"unk az els\H{o}  k\'erd\'es\'ere hamis,
a m\'asodikra igaz v\'alaszt kapott az igazmond\'ok sziget\'en)
$P(B|\bar A)=0.2^2$, (mind a k\'et k\'erd\'es\'ere igaz v\'alaszt
kapott a hazugok sziget\'en). Ez\'ert $P(A\cap B)=\frac12\cdot 0.09$,
$P(\bar A\cap B)=\frac12\cdot 0.04$,
$P(B)=P(A\cap B)+P(\bar A\cap B)=\frac12\cdot (0.09+0.04)$,
$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{9}{13}$.

\item{4.)} Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$ \'es $\eta_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, $1\le j\le10$. Legyen
$\xi_j=1$, ha az els\H{o} urn\'ab\'ol  $j$-ik alkalommal kih\'uzott
goly\'o piros, \'es $\xi_j=0$, ha az els\H{o} urn\'ab\'ol
 $j$-ik alkalommal kih\'uzott goly\'o feh\'er. Hasonl\'oan,
$\eta_j=1$, ha a m\'asodik urn\'ab\'ol  $j$-ik alkalommal kih\'uzott
goly\'o piros, \'es $\eta_j=0$, ha a m\'asodik urn\'ab\'ol $j$-ik
alkalommal kih\'uzott goly\'o feh\'er. Vezess\"uk be az
$S=\summ_{j=1}^{10}\xi_j$ \'es $T=\summ_{j=1}^{10}\eta_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. Ekkor az $E(S+T)$ \'es
$\Var(S+T)$ mennyis\'egeket kell kisz\'amolnunk.
Tov\'abb\'a $E(S+T)=ES+ET$, \'es mivel $S$ \'es $T$ f\"uggetlenek
$\Var(S+T)=\Var S+\Var T$.
\item{} $E\xi_j=\frac14$, \'es $E\eta_j=\frac14$. (Itt kihaszn\'altuk,
hogy mind a visszatev\'eses, mind a visszatev\'es n\'elk\"uli
h\'uz\'asn\'al ugyanolyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel h\'uzunk
piros goly\'ot a $j$-ik h\'uz\'asban, mint az els\H{o}ben.
Innen $ES=\summ_{j=1}^{10}E\xi_j=\frac{10}4$
$ET=\summ_{j=1}^{10}E\eta_j=\frac{10}4$, $E(S+T)=5$. A
sz\'or\'asn\'egyzet kisz\'amol\'asa \'erdek\'eben sz\'amoljuk ki
el\H{o}sz\"or a $\Var\xi_j=\Var\eta_j=\frac14-(\frac14)^2=\frac3{16}$
mennyis\'eget. Innen $\Var S=\frac{30}{16}$. A $\Var T$
kisz\'amol\'as\'ahoz el\H{o}sz\"or sz\'amoljuk ki a
$\Cov(\eta_j,\eta_k)=E\eta_j\eta_k-E\eta_jE\eta_k$, $j\neq k$,
$1\le j,k\le10$, mennyis\'egeket. Fel\'{\i}rhatjuk, hogy
$E\eta_j\eta_k=P(\eta_j=1,\eta_k=1)=P(\eta_1=1,\eta_2=1)
=\frac14\cdot\frac9{39}$, mivel annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy mind a $j$-ik, mind a $k$-ik h\'uz\'asn\'al piros goly\'ot
h\'uzunk ugyanannyi, mint annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy
az els\H{o} k\'et h\'uz\'asban piros goly\'ot h\'uzunk. Ez\'ert
$\Cov(\eta_j,\eta_k)=\frac14(\frac9{39}-\frac14)$,
$\Var T=\summ_{j=1}^{10}\Var\eta_j
+\summ_{1\le j,k\le 10,\;j\neq k}\Cov(\eta_j,\eta_k)
=\frac{30}{16}-90\cdot\frac14\(\frac14-\frac9{39}\)$,
$\Var(S+T)=\frac{15}4-\frac{45}{104}=\frac{345}{104}$.

\item{5.)} Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j(\oo)=k$, ha a $j$-ik
dob\'as eredm\'enye $k=2,4$ vagy $k=6$, \'es $\xi_j=0$, ha a $j$-ik
dob\'as eredm\'enye 1, 3 vagy 5, $1\le j\le 10$, $1\le k\le 6$. Ekkor az
$E\(\summ_{j=1}^{10}\xi_j(\oo)\)^3$ v\'arhat\'o \'ert\'eket kell
kisz\'am\'{\i}tanunk. Ennek \'erdek\'eben tekints\"uk a
$\(\summ_{j=1}^{10}\xi_j(\oo)\)^3$ kifejez\'est \'es \'erts\"uk meg
milyen tagokat kapunk, ha elv\'egezz\"uk a beszorz\'asokat.
Egyr\'eszt megjelenik 10 darab $\xi_j^3$ alak\'u kifejez\'es, \'es
$E\xi_j^3=E\xi_1^3$ minden ilyen tagra. Ezenk\'{\i}v\"ul megjelenik
$3\cdot 10\cdot 9$ darab $\xi_j^2\xi_k$, $j\neq k$, alak\'u
kifejez\'es, mert a lehets\'eges $(j,k)$ p\'arokat $10\cdot 9$
m\'odon v\'alaszthatjuk ki, \'es a $k$ (a n\'egyzetre nem emelt
t\'enyez\H{o}) h\'arom helyen sze\-re\-pel\-het a szorzatban.
(Teh\'at p\'eld\'aul a
$\xi_1\xi_2^2$ alak\'u tagnak 3 lesz az egy\"utthat\'oja a
szorzatban.) Tov\'abb\'a minden ilyen
tagra $E\xi_j^2\xi_k=E\xi_j^2E\xi_k=E\xi_1^2 E\xi_1$. Tov\'abb\'a,
hasonl\'o meggondol\'asok alapj\'an l\'athatjuk, hogy
$10\cdot9\cdot8$ m\'odon jelenhet meg $\xi_j\xi_k\xi_l$ alak\'u tag,
ahol a $j$, $k$ \'es $l$ indexek mind k\"ul\"onb\"oz\H{o}ek, \'es
ezekre $E\xi_j\xi_k\xi_l=\(E\xi_1\)^3$. Val\'oban, a $\xi_j\xi_k\xi_l$
alak\'u alak\'u tagok \"osszesz\'aml\'al\'as\'an\'al
vegy\"uk \'eszre, hogy $1\le j<k<l\le10$ alak\'u sz\'amh\'armasokat
$\binom{10}3$ f\'elek\'epp v\'alaszthatunk, a $\xi_j$ t\'enyez\H{o}
a szorzatban 3-f\'elek\'epp jelenhet meg, a szorzat els\H{o},
m\'asodik vagy harmadik tagj\'aban, a $\xi_k$ t\'enyez\H{o} ezut\'an
2-f\'elek\'epp, a $\xi_l$ t\'enyez\H{o} pedig egyf\'elek\'epp
v\'alaszthat\'o. M\'asfajta tag nem jelenik meg a szorzatban. Innen
a v\'arhat\'o \'ert\'ek  addit\'{\i}vit\'as\'at kihaszn\'alva azt
kapjuk, hogy $E\(\summ_{j=1}^{10}\xi_j(\oo)\)^3=10E\xi_1^3+270
E\xi_1E(\xi_1^2)+720\(E\xi_1\)^3=480+5040+5760=11280$, mert
$E\xi_1=\frac16(2+4+6)=2$, $E\xi_1^2=\frac16(4+16+36)=\frac{56}6$ \'es
$E\xi_1^3=\frac16(8+64+216)=48$.

\item{6.)} Az $A$, $B$ \'es $C$ esem\'enyek akkor f\"uggetlenek, ha
teljes\'{\i}tik a k\"ovetkez\H{o} azonoss\'agokat: $P(A\cap B)
=P(A)P(B)$, $P(A\cap C)=P(A)P(C)$, $P(B\cap C)=P(B)P(C)$, \'es
$P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B)P(C)$.




\bye
