\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm

\parskip=1pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}

\beginsection A Borel--Cantelli lemma \'es annak 
\'altal\'anos\'{\i}t\'asa.

A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as egyik fontos eredm\'enye
a Borel--Cantelli lemma. El\H{o}sz\"or inform\'alisan ismertetem,
hogy milyen probl\'ema vizsg\'alat\'aban jelent meg ez az eredm\'eny.

A k\'erd\'es a k\"ovetkez\H{o}: Mikor mondhatjuk azt, hogy 
bizonyos esem\'enyek k\"oz\"ul v\'egtelen sok bek\"ovetkezik: 
a.) egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, b.) pozit\'{\i}v
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel? P\'eld\'aul mikor mondhatjuk, hogy 
egy (vagy pozit\'{\i}v) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel v\'egtelen 
sok olyan nap van, amikor valami j\'o t\"ort\'enik? Ha ez 
teljes\"ul, akkor minden nap b\'{\i}zhatunk abban, hogy lesz a
j\"ov\H{o}ben olyan nap, amelyben valami j\'o t\"ort\'enik, 
\'erdemes m\'eg \'elni.

A Borel--Cantelli lemm\'at megfogalmaz\'as\'anak \'es
bizony\'{\i}t\'as\'anak \'erdek\'eben \'erdemes
a halmazelm\'elet nyelv\'en megfogalmazni azt a t\'enyt, hogy
b\'{\i}zonyos esem\'enyek k\"oz\"ul v\'egtelen sok
k\"o\-vet\-ke\-zik be. Ez azt jelenti, hogy ha adva van v\'egtelen
sok  $A_1,A_2,\dots$ esem\'eny (halmaz) egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, akkor azt az esem\'enyt, hogy
ezek k\"oz\"ul v\'egtelen sok k\"ovetkezik be defini\'alni
k\'{\i}v\'anjuk az $A_1,A_2,\dots$ esem\'enyek halmazelm\'eleti
f\"uggv\'enyek\'ent, azaz (megsz\'aml\'alhat\'o) uni\'o, metszet \'es
komple\-menter\-k\'ep\-z\'es seg\'{\i}ts\'eg\'evel.

Ennek a feladatnak a megold\'as\'at t\'argyaltuk az el\H{o}ad\'ason. 
(L\'asd a 2. t\'ema jegy\-ze\-t\'e\-nek 7. feladat\'at.) E feladat
megold\'as\'anak az eredm\'enye alapj\'an a keresett esem\'eny
$\bigcapp_{n=1}^\infty\bigcupp_{k=n}^\infty A_k$ alakban adhat\'o
meg, \'es ennek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et akarjuk megbecs\"ulni.
Err\H{o}l a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-r\H{o}l ad 
inform\'aci\'ot a Borel--Cantelli lemma.

\medskip\noindent
{\bf Borel--Cantelli lemma.} {\it Legyen adva v\'egtelen sok
$A_1,A_2,\cdots$ esem\'eny egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. A k\"ovetkez\H{o} k\'et
\'all\'{\i}t\'as igaz:
\item{a.)} Ha $\summ_{n=1}^\infty P(A_n)<\infty$, akkor
$$
P\(\bigcapp_{n=1}^\infty \bigcupp_{k=n}^\infty A_k\)=0,
$$
azaz ebben az esetben egy va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel csak
v\'eges sok $A_n$ esem\'eny k\"ovetkezik be.
\item{b.)} Ha $\summ_{n=1}^\infty P(A_n)=\infty$, \'es az $A_n$,
$n=1,2,\dots$, esem\'enyek f\"uggetlenek, akkor
$$
P\(\bigcapp_{n=1}^\infty\bigcupp_{k=n}^\infty A_k\)=1,
$$
azaz ebben az esetben egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel v\'egtelen sok
$A_n$ esem\'eny k\"ovetkezik be.

}\medskip
Teszek n\'eh\'any megjegyz\'est ezzel az eredm\'ennyel kapcsolatban.
Ha a $P(A_n)$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gek vi\-szony\-lag
kicsik, ami jelen esetben azt jelenti, hogy az \"osszeg\"uk
konvergens, akkor csak v\'eges sok $A_n$ esem\'eny k\"ovetkezik be
1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel. A m\'asik ir\'any\'u
\'all\'{\i}t\'asban nemcsak azt k\"ovetelt\"uk meg, hogy az
esem\'enyek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egei legyenek vi\-szony\-lag
nagyok, \"osszeg\"uk legyen divergens, hanem azt is, hogy az egyes
$A_n$ esem\'enyek legyenek f\"uggetlenek. Ebben az esetben viszont
er\H{o}sebb \'all\'{\i}t\'ast fogalmaztam meg. Nemcsak azt
\'all\'{\i}tottam, hogy ebben az esetben annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege hogy v\'egtelen sok $A_n$ esem\'eny
k\"ovetkezik be pozit\'{\i}v, hanem azt is, hogy ez
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg 1. Ha teh\'at az $A_n$ esem\'enyek
f\"uggetlenek, akkor csak k\'et eset fordulhat el\H{o}. Vagy nulla 
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel k\"ovetkezik be v\'egtelen
sok $A_n$ esem\'eny (ha a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek \"osszege
konvergens) vagy pedig egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel (ha a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek \"osszege divergens). K\"ozb\"uls\H{o}
lehet\H{o}s\'eg nincs.

A b) esetben megfogalmazott eredm\'enyben az $A_n$ esem\'enyek
f\"uggetlens\'ege nagyon fontos felt\'etel. Ezt a felt\'etelt lehet
gyeng\'{\i}teni, (a 2.~kieg\'esz\'{\i}t\'esben ismertetni fogok egy
ilyen eredm\'enyt,) de teljesen elhagyni nem lehet. Ezt mutatja az
al\'abbi k\'et p\'elda:

Legyen az $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} a
$[0,1]$ intervallum, rajta a Borel m\'erhet\H{o} halmazok
$\sigma$-algebr\'aja, \'es a $P$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'ert\'ek a Lebesque m\'ert\'ek.

\medskip
\item{} {\it 1. p\'elda.}\/ Legyen $A_n=\[0,\frac12\]$  minden
$n=1,2,\dots$, sz\'amra. Ekkor $\summ_{n=1}^\infty P(A_n)=\infty$,
$\bigcapp_{n=1}^\infty\bigcupp_{k=n}^\infty A_k=\[0,\frac12\]$,
ez\'ert
$P\(\bigcapp_{n=1}^\infty\bigcupp_{k=n}^\infty A_k\)=\frac12$.
\item{} {\it 2. p\'elda.}\/ Legyen $A_n=\(0,\frac1n\)$,
$n=1,2,\dots$. Ekkor
$\summ_{n=1}^\infty P(A_n)=\summ_{j=1}^\infty \frac1n=\infty$,
$\bigcapp_{n=1}^\infty\bigcupp_{k=n}^\infty A_k=\emptyset$, ez\'ert
$P\(\bigcapp_{n=1}^\infty\bigcupp_{k=n}^\infty A_k\)=0$.

\medskip
Az els\H{o} p\'eld\'aban egy olyan esetet l\'attunk, amelyben annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy v\'egtelen sok $A_n$ k\"ovetkezik be,
$\frac12$, teh\'at sem nem nulla sem nem 1. A m\'asodik p\'eld\'aban
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel csak v\'eges sok $A_n$ esem\'eny
k\"ovetkezett be, noha a $\summ_{n=1}^\infty P(A_n)=\infty$
rel\'aci\'o teljes\"ult. Term\'eszetesen egyik p\'eld\'aban sem voltak
a tekintett $A_n$ esem\'enyek f\"ug\-get\-le\-nek. Ezek a p\'eld\'ak
mutatj\'ak, hogy a Borel--Cantelli t\'etel b) r\'esz\'eben
szerepl\H{o} f\"uggetlens\'eg felt\'etel l\'enyeges. Az
gyeng\'{\i}thet\H{o} ugyan, de teljesen el nem hagyhat\'o.

R\'at\'erek a Borel--Cantelli lemma bizony\'{\i}t\'as\'ara. A
bizony\'{\i}t\'ashoz sz\"uks\'eg\"unk van a k\"ovetkez\H{o} lemm\'ara,
amelynek \'all\'{\i}t\'as\'at tartalmazza a 2. t\'ema jegyzet\'enek
15. oldal\'an megfogalmazott T\'etel~A.

\medskip\noindent
{\bf Lemma val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek
folytonoss\'ag\'ar\'ol.} {\it Legyen adva $B_1\subset B_2\subset
\cdots$, $B_n\in\Cal A$, $n=1,2,\dots$, esem\'enyeknek n\"ovekv\H{o}
sorozata egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n.
Legyen $B=\bigcupp_{n=1}^\infty B_n$. Ekkor l\'etezik a
$\limm_{n\to\infty}P(B_n)$ hat\'ar\'ert\'ek, \'es
$\limm_{n\to\infty}P(B_n)=P(B)$.

Legyen adva $C_1\supset C_2\supset \cdots$, $C_n\in\Cal A$.
$n=1,2,\dots$, esem\'enyeknek cs\"okken\H{o} sorozata egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Legyen
$C=\bigcapp_{n=1}^\infty C_n$. Ekkor l\'etezik a
$\limm_{n\to\infty}P(C_n)$ hat\'ar\'ert\'ek, \'es
$\limm_{n\to\infty}P(C_n)=P(C)$.}

\medskip\noindent
{\it A Borel--Cantelli lemma bizony\'{\i}t\'asa.} Az a.) r\'esz
bizony\'{\i}t\'asa:
$$
P\(\bigcapp_{n=1}^\infty \bigcupp_{k=n}^\infty A_k\)\le
P\(\bigcupp_{k=n}^\infty A_k\)\le
\sum_{k=n}^\infty P\(A_k\) \quad \text{minden $n$ sz\'amra.}
$$
Mivel $\summ_{k=1}^\infty P\(A_k\)<\infty$, minden $\e>0$ sz\'amhoz
l\'etezik olyan $n=n(\e)$ sz\'am, hogy $\summ_{k=n}^\infty P\(A_k\)<\e$,
ahonnan az el\H{o}z\H{o} rel\'aci\'o szerint
$P\(\bigcapp_{n=1}^\infty \bigcupp_{k=n}^\infty A_k\)\le \e$.
Innen k\"o\-vet\-ke\-zik az a.) r\'esz \'all\'{\i}t\'asa.
\medskip\noindent
A b.) r\'esz bizony\'{\i}t\'asa: Az el\H{o}bbi lemma szerint a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek folytonoss\'ag\'ar\'ol kapjuk,
hogy az $A_n$ halmazok f\"uggetlens\'ege miatt
$$
\align
P\(\bigcapp_{n=1}^\infty \bigcupp_{k=n}^\infty A_k\)
&=\limm_{N\to\infty} P\(\bigcupp_{k=N}^\infty A_k\)
=\limm_{N\to\infty}\[\limm_{M\to\infty} P\(\bigcupp_{k=N}^M A_k\)\] \\
&=\limm_{N\to\infty}\[\limm_{M\to\infty}\(1-P\(\bigcapp_{k=N}^M
(\Omega\setminus A_k)\)\)\] \\
&=\limm_{N\to\infty}\[\limm_{M\to\infty}\(1-\prod_{k=N}^M
\(1-P(A_k)\)\)\].
\endalign
$$
Ez\'ert el\'eg bel\'atni, hogy ha $\summ_{n=1}^\infty P(A_n)=\infty$,
akkor $\limm_{M\to\infty}\prodd_{k=N}^M \(1-P(A_k)\)=0$ minden 
r\"ogz\'{\i}tett $N$ sz\'amra. Viszont az $1-x\le e^{-x}$
egyenl\H{o}tlens\'eg alapj\'an
$\prodd_{k=N}^M\(1-P(A_k)\)\le\exp\left\{-\summ_{k=N}^M
P(A_k)\right\}$, ahonnan $\limm_{M\to\infty}\prodd_{k=N}^M
\(1-P(A_k)\)=0$, ha $\summ_{n=1}^\infty P(A_n)=\infty$.

A felhaszn\'alt $1-x\le e^{-x}$ egyenl\H{o}tlens\'eg p\'eld\'aul a
k\"ovetkez\H{o} m\'odon l\'athat\'o: Az $f(x)=e^x$ f\"uggv\'eny
konvex, $f(0)=1$, $f'(0)=1$. Az $f(x)=e^x$ f\"uggv\'eny konvexit\'asa
miatt e f\"uggv\'eny $(0,f(0))=(0,1)$ ponton \'atmen\H{o} 
\'erint\H{o}je minden val\'os $x$ sz\'amra az $f(x)$ f\"ugg\-v\'eny 
alatt van, azaz $e^x\ge x+1$. Az $x$ sz\'am helyett $-x$-et 
\'{\i}rva megkapjuk a k\'{\i}\-v\'ant \'all\'{\i}t\'ast.

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.}\/ Az anal\'{\i}zisben bizony\'{\i}tj\'ak \'es
haszn\'alj\'ak a k\"ovetkez\H{o} eredm\'enyt: Adva $x_n$ val\'os
sz\'amoknak olyan sorozata, amelyre $0\le x_n<1$ minden $n=1,2,\dots$,
sz\'amra $\prodd_{k=1}^\infty (1-x_k)>0$, ha $\summ_{k=1}^\infty
x_k<\infty$, \'es $\prodd_{k=1}^\infty (1-x_k)=0$, ha
$\summ_{k=1}^\infty x_k=\infty$. B\'ar nek\"unk erre az 
eredm\'enyre nem lesz sz\"uks\'eg\"unk, az 1.~kieg\'esz\'{\i}t\'esben 
megadom ennek a formul\'anak el\H{o}bb heurisztikus indokl\'as\'at 
majd prec\'{\i}z bizony\'{\i}t\'as\'at, mivel az tanuls\'agos.

\beginsection 1. kieg\'esz\'{\i}t\'es. Egy anal\'{\i}zisbeli t\'etel
bizony\'{\i}t\'asa.

Igazolom a k\"ovetkez\H{o} eredm\'enyt:

\medskip\noindent
{\bf \'All\'{\i}t\'as.}\/ {\it Legyen $x_n$ val\'os
sz\'amoknak olyan sorozata, amelyre $0\le x_n<1$ minden $n=1,2,\dots$,
sz\'amra. Ekkor $\prodd_{k=1}^\infty (1-x_k)>0$, ha $\summ_{k=1}^\infty
x_k<\infty$, \'es $\prodd_{k=1}^\infty (1-x_k)=0$, ha
$\summ_{k=1}^\infty x_k=\infty$.}

\medskip\noindent
{\it Indokl\'as.}\/ Heurisztikusan a k\"ovetkezz\H{o} m\'odon
\'ervelhet\"unk: Logaritmust v\'eve kapjuk, hogy
$\prodd_{k=1}^\infty (1-x_k)>0$ akkor \'es csak akkor, ha
$\summ_{k=1}^\infty -\log(1-x_k)<\infty$. Viszont azt, hogy az ut\'obbi
\"osszeg konvergens-e vagy divergens az d\"onti el, hogy kis $x_k$
sz\'amokra a $-\log (1-x_k)$ \"osszeadand\'ok milyen kicsik. Mivel
$-\log(1-x)=x+\frac{x^2}2+\frac{x^3}3+\cdots$, a
$-\log(1-x_k)$ mennyis\'egnek term\'eszetes j\'o k\"ozel\'{\i}t\'ese
az $x_k$ kifejez\'es, (a Taylor sor els\H{o} tagja), \'es ez azt
sugallja, hogy a $\summ_{k=1}^\infty -\log(1-x_k)$ illetve
$\summ_{k=1}^\infty x_k$ v\'egtelen sorok egyszerre konvergensek
vagy divergensek.

N\'emi munk\'aval a fenti \'ervel\'es prec\'{\i}zz\'e tehet\H{o}.
El\H{o}sz\"or azt kell meggondolni, hogy a feladat
\'all\'{\i}t\'as\'aban a $\prodd_{k=1}^\infty (1-x_k)>0$ tulajdons\'ag
a $\summ_{k=1}^\infty -\log(1-x_k)<\infty$ egyenl\H{o}tlens\'eggel,
a $\prodd_{k=1}^\infty (1-x_k)=0$ tulajdons\'ag pedig a
$\summ_{k=1}^\infty -\log(1-x_k)=\infty$ rel\'aci\'oval ekvivalens.
Ehhez azt kell felhaszn\'alni, hogy eset\"unkben $0<1-x_k<1$, \'es
$-\log(1-x_k)>0$, tov\'abb\'a 
$$
\align
\prodd_{k=1}^\infty (1-x_k)=\limm_{N\to\infty}\prodd_{k=1}^N(1-x_k)
&=\limm_{N\to\infty}\exp\left\{\summ_{k=1}^N\log(1-x_k)\right\}\\
&=\exp\left\{\summ_{k=1}^\infty\log(1-x_k)\right\}.
\endalign
$$

Ezut\'an vegy\"uk \'eszre, hogy a
$-\summ_{k=1}^\infty \log(1-x_k)$ \'es $\summ_{k=1}^\infty x_k$ sorok
mindegyike divergens, ha r\"ogz\'{\i}tve egy kis pozit\'{\i}v sz\'amot
p\'eld\'aul az $\frac1{10}$ sz\'amot az $x_k$ sz\'amsorozatnak
v\'egtelen sok olyan tagja van, amelyek nagyobbak mint ez az
$\frac1{10}$ sz\'am. Tov\'abb\'a, \'egy v\'egtelen \"osszeg
konvergenci\'aj\'at vagy divergenci\'aj\'at nem befoly\'asolja
v\'eges sok tagj\'anak az \'ert\'eke. Ez\'ert az \"osszegekben
szerepl\H{o} $x_k\ge\frac1{10}$ tagokat elhagyva el\'eg csak azzal az
eset\-tel foglalkozni, amikor $x_k\le \frac1{10}$ minden $k$-ra.
Viszont ekkor $\frac12x_k<-\log(1+x_k)<2x_k$ minden $k=1,2,\dots$
sz\'amra, ahonnan $\frac12\summ_{k=1}^n x_k<\summ_{k=1}^n
-\log(1-x_k)<2\summ_{k=1}^n x_k$ minden $n$-re, \'es innen
k\"ovetkezik, hogy a $\summ_{k=1}^\infty x_k$ \'es $\summ_{k=1}^\infty
-\log(1-x_k)$ sorok egyszerre konverg\'alnak vagy diverg\'alnak.

\beginsection 2. kieg\'esz\'{\i}t\'es. A Borel--Cantelli lemma egy
\'eles\'{\i}t\'ese.

L\'attunk p\'eld\'at arra, hogy a Borel--Cantelli lemma b) r\'esz\'enek
\'erv\'enyess\'eg\'ehez, azaz ahhoz hogy v\'egtelen sok $A_k$ esem\'eny
k\"ovetkez\'ek be 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel nem elegend\H{o} csak
azt feltenni, hogy $\summ_{k=1}^\infty P(A_k)=\infty$. Valamilyen
m\'odon biztos\'{\i}tani kell azt is, hogy a tekintett $A_k$
esem\'anyek `nem fedik le t\'uls\'agosan egym\'ast'. Ezt 
biztos\'{\i}tja az$A_k$ esem\'enyek f\"uggetlens\'ege. Ezt a
felt\'etelt lehet gyeng\'{\i}teni. Erre mutat p\'eld\'at az al\'abbi
eredm\'eny.

\medskip\noindent
{\bf A Borel--Cantelli lemma b) r\'esz\'enek \'elesebb v\'altozata.}
{\it Legyenek $A_1,A_2,\dots$ olyan esem\'enyek egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, amelyekre teljes\"ulnek a
$$
\summ_{k=1}^\infty P(A_k)=\infty, \quad \text{\'es} \quad
\liminf\limits_{n\to\infty}\frac{\summ_{j=1}^n\summ_{k=1}^n P(A_j\cap A_k)}
{\(\summ_{j=1}^n P(A_j)\)^2}=1
$$ 
felt\'etelek. Ekkor az $A_1,A_2,\dots$ esem\'enyek k\"oz\"ul 1 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel v\'egtelen sok k\"ovetkezik be.} 

\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.}\/ Ha $A_1,A_2,\dots$ esem\'enyek f\"uggetlenek, akkor
$$
\summ_{j=1}^n\summ_{k=1}^n P(A_j\cap A_k)
=\summ_{j=1}^n\summ_{k=1}^n P(A_j)P(A_k)=\(\summ_{j=1}^n P(A_j)\)^2
$$
minden $n$ indexre. Ez\'ert ebben az esetben a fenti eredm\'eny m\'asodik
felt\'etele teljes\"ul. Ez\'ert a Borel--Cantelli lemma b) r\'esze
k\"ovetkezik ebb\H{o}l az eredm\'enyb\H{o}l.

\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.}\/ Jel\"olje $I_{A}(\oo)$ egy $A$ halmaz indik\'ator
f\"uggv\'eny\'et, \'es v\'alaszunk ki egy olyan $n_l$ r\'eszsorozatot,
amelyre
$\lim\limits_{l\to\infty}\frac{\summ_{j=1}^{n_l}
\summ_{k=1}^{n_l} P(A_j\cap A_k)}
{\(\summ_{j=1}^{n_l} P(A_j)\)^2}=1$. El\H{o}sz\"or megmutatjuk, hogy
$$
\lim_{l\to\infty}P\(\left|\frac{\summ_{j=1}^{n_l} (I_{A_j}(\oo)-P(A_j))}
{\summ_{j=1}^{n_l} P(A_j)}\right|>\e\)=0
$$
minden $\e>0$ sz\'amra. Val\'oban,
$$
\Var\(\frac{\summ_{j=1}^{n_l} (I_{A_j}(\oo)-P(A_j))}
{\summ_{j=1}^{n_l} P(A_j)}\)=
\frac{ \summ_{j=1}^{n_l}\summ_{k=1}^{n_l}P(A_j\cap A_k)
-\(\summ_{j=1}^{n_l} P(A_j)\)^2}
{\(\summ_{j=1}^{n_l} P(A_j)\)^2}\to0, 
$$
ha $l\to\infty$, \'es
$E\(\frac{\summ_{j=1}^{n_l} (I_{A_j}(\oo)-P(A_j))}
{\summ_{j=1}^{n_l} P(A_j)}\)=0$. Ez\'ert a fenti \'all\'{\i}t\'as 
k\"ovetkezik a Csebisev egyenl\H{o}tlens\'egb\H{o}l. 

Innen, alkalmazva ezt az eredm\'enyt $\e=\frac12$ v\'alaszt\'assal,
kapjuk, hogy
$$
\lim_{l\to\infty}P(B_{n_l})=
\lim_{l\to\infty}P\(\summ_{j=1}^{n_l} I_{A_j}(\oo)<\frac12
\summ_{j=1}^{n_l} P(A_j)\)=0.
$$
Ez\'ert l\'etezik az $n_l$ sorozatnak olyan $n_p$ r\'eszsorozata,
amelyre $\summ_{p=1}^\infty P(B_{n_p})<\infty$, \'{\i}gy a 
Borel--Cantelli lemma a) r\'esze miatt 1 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel  v\'egtelen sok olyan $n=n(\oo)$ index 
van, (az $n_l$ sorozat elemei v\'eges sok kiv\'etellel ilyen indexek), 
amelyre $\summ_{j=1}^{n}I_{A_j}(\oo)>\frac12
\summ_{j=1}^{n} P(A_j)$. Mivel $\summ_{j=1}^\infty P(A_j)=\infty$.
Innen k\"ovetkezik a Borel--Cantelli lemma b) r\'esz\'enek \'elesebb 
v\'altozata.

\medskip\noindent
{\it 1. feladat.}\/ Legyenek $A_1,A_2,\dots$ olyan esem\'enyek egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, melyekre
$P(A_n)\ge\alpha$ valamely $0<\alpha\le1$ sz\'ammal minden $n=1,2,\dots$
indexre. Mutassuk meg, hogy annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy
v\'egtelen sok $A_n$ esem\'eny k\"ovetkezik be nagyobb vagy egyenl\H{o},
mint $\alpha$.
\medskip\noindent
{\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ Fejezz\"uk ki metszet \'es uni\'o oper\'aci\'ok
seg\'{\i}ts\'eg\'evel azt az esem\'enyt, hogy v\'egtelen sok $A_n$
esem\'eny k\"ovetkezik be.

\medskip\noindent
{\it 2. feladat.}\/ Bizony\'{\i}tsuk be az el\H{o}z\H{o} 
bizony\'{\i}t\'as m\'odszereinek finom\'{\i}t\'as\'aval \'es az 
el\H{o}z\H{o} fel\-adat eredm\'eny\'enek seg\'{\i}ts\'eg\'evel a 
k\"ovetkez\H{o} \'all\'{\i}t\'ast. Ha $A_1,A_2,\dots$ esem\'enyek 
olyanok, hogy
$$
\summ_{k=1}^\infty P(A_k)=\infty, \quad \text{\'es} \quad
\liminf\limits_{n\to\infty}\frac{\summ_{j=1}^n\summ_{k=1}^n P(A_j\cap A_k)}
{\(\summ_{j=1}^n P(A_j)\)^2}=1+c
$$ 
valamely $0\le c<1$ sz\'ammal, akkor annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy v\'egtelen sok $A_n$ esem\'eny k\"ovetkezik be nagyobb vagy 
egyenl\H{o}, mint $1-c$.

\bye