\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\usepackage{amssymb,amsmath}
\usepackage{amsfonts}

\font\BBB=msbm10

\begin{document}

\begin{center}
\Large\bf Pénzügyi matematika 
\end{center}

\medskip\noindent
Ebben az \'irásban ismertetem a pénzügyi matematika előadásban 
használt legfontosabb fogalmakat és eredményeket.  A disz\-krét 
idejű pénzügyi fo\-lya\-ma\-tok\-ban szereplő fogalmak és eredmények 
is\-mer\-te\-té\-sé\-re fogok koncentrálni, mert ezzel nem 
találkoztak a hallgatók korábbi ta\-nul\-má\-nyaik során. Másrészt ezek 
ismerete hasznos akkor is, ha a folytonos idejű pénzügyi matematika 
eredményeivel ismerkednek. Az ismertetés alap\-já\-ul Gáll József 
és Pap Gyula ``Bevezetés a pénzügyi matematikába'' c\'imű köny\-vé\-nek 
III. Op\-ció\-el\-mé\-let c\'imű fejezete szolgál. A diszkrét idejű
pénzügyi fogalmak ismertetése után tárgyalom ezen fogalmak folytonos
idejű meg\-fe\-le\-lő\-jét is. Az utóbbi fogalmak tárgyalása Kevei Péter 
``Pénzügyi folyamatok folytonos időben'' c\'imű jegyzetéhez kapcsolódik.

Az első ismertetendő fogalmak a kötvény, a részvény, a stratégia,
ezen belül az önfinansz\'irozó stratégia fogalma. A diszkrét idejű 
piacon bizonyos $0=t_0<t_1<\cdots<t_N=T$ időpontokban történik 
üzletkötés, ahol $N$ egy rögz\'itett véges szám. Modellünkben 
szerepelnek kötvények, amelyeknek az értéke a $t_n$ időpontban 
$B_n$, és részvények, amelyek értéke a $t_n$ időpontban $S_n$, 
$0\le n\le N$.  A kötvények és részvények között az a különbség, 
hogy a kötvények ára determinisztikusan, m\'ig a részvények ára 
véletlenszerűen változik. Igy a kötvény ára a $t_0=0$ időpontban 
$B_0$, m\'ig a $t_n$, $1\le n\le N$, időpontban a $B_n=(1+r_n)B_{n-1}$ 
képlet adja meg a kötvény értékét. Az előző képletekben szereplő 
a $B_0$ és $r_n$, $1\le n\le N$, számok ismertek, és nem függnek 
a véletlentől. A részvények $S_n$ értéke a $t_n$, $0\le n\le N$, 
időpontban a véletlentől függ. Pontosabban fogalmazva, 
van egy  $(\Omega,{\cal F},P)$ valósz\'inűségi mező, azon 
$\sigma$-algebrák növekvő  
${\cal F}_0\subset{\cal F}_1\subset\cdots\subset{\cal F}_N$
sorozata, (amit a jegyzet filtrációnak nevez) úgy, hogy $S_n$ 
${\cal F}_n$ mérhető minden $0\le n\le N$ indexre. A $t_n$  
időpontban $\beta_n$ darab kötvényünk és $\gamma_n$ darab 
részvényünk van. Ezek összértéke $X_n=\beta_nB_n+\gamma_nS_n$. A $\beta_n$ 
és $\gamma_n$ számok lehetnek negat\'ivak és nem egész értékűek is.
Viszont mind a kötvények $B_n$  mind a részvények $S_n$ ára nem 
negat\'iv, sőt $B_n>0$, és $S_n$ nem lehet azonosan nulla. Ez 
speciálisan azt jelenti, hogy a részvény véletlentől nem függő 
nulla időpontbeli $S_0$ értékére $S_0>0$.

A stratégia azt jelenti, hogy minden $t_n$, $0\le n<N$, időpontban 
bizonyos számú kötvényt és részvényt veszünk vagy eladunk. Ha a $t_{n-1}$
időpontban $\pi_{n-1}=(\beta_{n-1},\gamma_{n-1})$ kötvény-részvény
csomagunk volt, akkor a $t_{n-1}$ idő\-pont\-ban történt vételek és vásárlások
hatására a $t_n$ idő\-pont\-ban $\pi_n=(\beta_n,\gamma_n)$ lesz a 
kötvény-részvény csomagunk. Az, hogy mennyi kötvényt és részvényt veszünk, 
az függhet a véletlentől, de amikor a $t_{n-1}$ időpontban a vételek és
vásárlások által eldöntjük hogy mi legyen a $\pi_n=(\beta_n,\gamma_n)$ 
kötvény-részvény csomagunk a $t_n$ időpontban, akkor csak a $t_{n-1}$ 
időpontban rendelkezésünkre álló információra támaszkodhatunk. Ez formálisan
azt jelenti, hogy $\beta_n$ és $\gamma_n$ ${\cal F}_{n-1}$ mérhető
valósz\'inűségi változók minden $1\le n\le N$ indexre. Ezen k\'ivűl 
feltesszük azt is, hogy ${\cal F}_0$ a triviális $\sigma$-algebra, 
azaz ${\cal F}_0=\{\emptyset,\Omega\}$, és $\beta_0$ és $\gamma_0$ 
${\cal F}_0$ mérhető valósz\'inűségi változók, ezért a véletlentől 
nem függő számok. Egy a fenti tulajdonságokat teljesitő $\beta_n$ 
és $\gamma_n$ véletlen 
számokat tartalmazó $\pi_n=(\beta_n,\gamma_n)$, $0\le n\le N$, sorozatot
nevezünk stratégiának. Akkor mondjuk, hogy egy stratégia 
önfinansz\'irozó, ha annak alkalmazása során kölcsönt
sem nem veszünk, sem nem adunk, pontosan akkora összeget ford\'itunk 
részvények vételére, amekkora összeget a kötvények eladásával nyer\-tünk. 
Képletben kifejezve
$$
\beta_{n-1}B_{n-1}+\gamma_{n-1}S_{n-1}=\beta_nB_{n-1}+\gamma_nS_{n-1}, 
\quad 1\le n\le N. 
$$

A Gáll József, Pap Gyula könyv olyan pénzügyi modelleket vizsgál, 
amelyek teljes\'itenek néhány olyan további feltételt, amelyek 
egyszerűs\'itik a te\-kin\-tett pénzügyi problémák vizsgálatát. A 
leglényegesebb feltétel az, hogy a rész\-vé\-nyek $S_n$ ára a $t_n$ 
időpontban csak véges sok értéket vehet fel. Ezt felhasználva a
szerzők csinálnak egy olyan egyszerű valósz\'inűségi modellt az 
általuk vizsgált pénzügyi folyamatokra, amelyek könnyebbé teszik 
a prob\-lé\-mák vizsgálatát. Az az $(\Omega,{\cal F},P)$ valósz\'inűségi
mező, amellyel dolgoznak, egy véges $\Omega$ halmazon van definiálva,
amelynek elemei azok az $(s_0,s_1,\dots,s_N)$ sorozatok, amelyekre
igaz, hogy $P(S_0=s_0,S_1=s_1,\dots,S_N=s_n)>0$. Az ${\cal F}$ 
$\sigma$-algebra az $\Omega$ halmaz összes részhalmazaiból áll,
a részvények $S_n$ ára a $t_n$ időpontban és az 
$\omega=(s_0,s_1,\dots,s_N)$ pontban $S_n(\omega)=s_n$,
és a $P$ valószinűségi mértéket a
$$
P(\{(s_0,s_1,\dots,s_N)\})=P(S_0=s_0,S_1=s_1,\dots,S_N=s_N)
$$
képlet definiálja. Az ${\cal F}_n$ $\sigma$-algebra  
a legszűkebb olyan $\sigma$-algebra, amely\-re az $S_0,\dots,S_n$ 
valósz\'inűségi változók mérhetőek, azaz ez a $\sigma$-algebra 
megadja minden $\omega=(s_0,s_1,\dots,s_N)$ elemi esemény 
$s_0,\dots,s_n$ koordinátáinak az ér\-té\-két. Megjegyzem, hogy 
feltételeink szerint $s_0$ csak egyetlen értéket vehet fel. 

Egy piacot úgy definiálnak, hogy tekintik a fent konstruált 
$(\Omega,{\cal F},P)$ valósz\'inűségi mezőt a rajta definiált 
$S_n$ valósz\'inűségi változókkal és ${\cal F}_n$ 
$\sigma$-algebrákkal, $0\le n\le N$, ahol $S_n$ a részvények 
árát jelöli a $t_n$ időpontban. Ahhoz, hogy a piac definiciója 
teljes legyen definiálnunk kell még a kötvények $B_n$ árát, 
ami egy $B_n$, $0\le n\le N$, sorozat megadását jelenti.  
(Legyen $B_n=(1+r_n)B_{n-1}$ valamilyen ismert $r_n$, 
$1\le n\le N$ számsorozattal.) 

Egy a fenti feltételeknek eleget tevő modellt a könyv $N$ lépéses 
diszkrét idejű piacnak nevez, és úgy jelöli, hogy d.i.-$(B,S)_N$. 
Mi is átvesszük ezt a jelölésrendszert. Itt  d.i. a diszkrét idejű
kifejezés rövid\'itése,  $N$ a lépésszámot $B=(B_1,\dots,B_N)$ és  
$S=(S_1,\dots,S_N)$  a kötvény illetve részvény árfolyamot jelöli.

Ezután a
$\pi=(\pi_1,\dots,\pi_N)$, $\pi_n=(\beta_n,\gamma_n)$, $0\le n\le N$, 
stratégiát, illetve őnfinansz\'irozó stratégiát egy d.i.-$(B,S)_N$ 
piacon a korábban megadott módon definiáljuk, és vagyonunk értéke 
a $t_n$ időpontban $X_n=\beta_nB_n+\gamma_nS_n$. A könyv az $X^\pi_n$ 
jelölést használja vagyonunk  $t_n$ időpontbeli $X_n$ értékére, ha 
a $\pi=(\pi_0,\pi_1,\dots,\pi_N)$, $\pi_n=(\beta_n,\gamma_n)$, 
$0\le n\le N$, stratégiát alkalmazzuk.

Felidézek még egy eredményt a Gáll--Pap könyvből az önfinansz\'irozó
piac jellemzéséről. Ez egy nem túl nehezen bizony\'itható, de hasznos
áll\'itás, és a  könyv több olyan bizony\'itásában, ahol önfinansz\'irozó
piacokkal dolgoznak használják ezt az eredményt.

Ezen eredmény megfogalmazása érdekében először be kell vezetni a 
könyv 8.2.3. Jelölésében definiált differenciasorozatok fogalmát. 
Eszerint, ha adott valós számok egy $a_n$, $n=0,1,2\dots,N$, sorozata, 
akkor ennek differencia sorozata a $\Delta a_n=a_n-a_{n-1} $, 
$n=1,2,\dots,N$, sorozat. Igaz a következő eredmény.

\medskip\noindent
{\bf 8.2.7. Lemma.} {\it Egy d.i.-$(B,S)_N$ piacon az alábbi 
megállap\'itások  equi\-va\-len\-sek egy $\pi$ stratégia esetén.

\medskip\noindent
(1) $\pi$ önfinansz\'irozó, azaz 
$X^\pi_{n-1}=\beta_nB_{n-1}+\gamma_nS_{n-1}$, \  ($n=1,\dots,N$),  

\medskip\noindent
(2) $\Delta X^\pi_n=\beta_n\Delta B_n+\gamma_n\Delta S_n$, \ ($n=1,\dots,N$),

\medskip\noindent
(3) $B_{n-1}\Delta\beta_n+S_{n-1}\Delta\gamma_n=0$, \ ($n=1,\dots,N$).}  

\medskip
A pénzügyi matematika következő rendk\'ivül fontos fogalma az 
arbitrázs mentes piac. Ez szemléletesen azt jelenti, hogy olyan 
a piac, hogy abban nem lehetséges önfinansz\'irozó stratégiával  
nyerni, azaz azt elérni, hogy zéró tőkével indulva egyrészt 
1 valósz\'inűséggel ne csökkenjen, másrészt pozit\'iv 
valósz\'inűséggel szigorúan nőjön a vagyonunk a $t_N=N$ időpontban 
a kiinduló $t_0=0$ időpontbeli helyzethez képest. Tehát, ha 
$X_0=0$ kiinduló vagyonnal indulunk, akkor nem lehet olyan $\pi$ 
önfinansz\'irozó stratégiát találni, amely\-re $P(X^\pi_N\ge0)=1$, és 
$P(X^\pi_N>0)>0$. A Gáll--Pap könyvből idemásolt 9.1.1. Definició
látszólag kissé többet követel meg az olyan önfinansz\'irozó 
stratégiától, amelyik arbitrázst, azaz előnyt biztos\'it, és amelynek
a létezését ki k\'ivánjuk zárni. De a 9.1.1. Definiciót követő, 
szintén idemásolt 9.1.2. Lemmából következik, hogy a piac arbitrázs
mentessége a fent le\'irt tulajdonságot jelenti.

\medskip\noindent
{\bf 9.1.1. Definició} {\it Egy d.i.-$(B,S)_N$ piacon a $\pi$ 
önfinansz\'irozó stratégiát arbitrázsnak nevezzük, ha

\medskip\noindent
(a) $X^\pi_0\equiv0$,

\noindent
(b) $X_n^\pi\ge0$, $1\le n\le N$, (azaz $P(X^\pi_n\ge0)=1$),

\noindent
(c) $\exists \;\omega\in\Omega\colon\; X^\pi_N>0$, (azaz $P(X^\pi_N>0)>0$).

\medskip
Azt mondjuk, hogy a piac arbitrázs mentes, amit úgy is mondhatunk,
hogy a piac kizárja az arbitrázst, (más szóval az 
arbitrázs lehetőségét), ha nincs önfinansz\'irozó arbitrázs a piacon.}
\medskip

A fenti definicióban egy arbitrázstól többet követeltünk meg, mint 
az előzőleg megfogalmazott nyereséget biztos\'itó önfinansz\'irozó 
stratégiától. Az itt szereplő (b) tulajdonságban azt 
követeltük meg, hogy $P(X_n^\pi\ge0)=1$ minden  $1\le n\le N$ indexre, 
m\'ig előtte csak azt \'irtuk elő, hogy a minket érdeklő végső $N$ 
időpontban legyen $P(X_N^\pi\ge0)=1$. Viszont a következő 9.1.2. 
Lemma azt mondja ki, hogy ha
létezik az általunk megkövetelt nye\-re\-sé\-get biztos\'itó 
önfinansz\'irozó stratégia, akkor létezik a 9.1.1. Definicióban 
megfogalmazott erősebb követelményt teljesitő arbitrázs is.

\medskip\noindent
{\bf 9.1.2. Lemma.} {\it Tegyük fel, hogy egy d.i.-$(B,S)_N$ piacon a
$\pi$ önfinansz\'irozó stratégiára teljesül, hogy $X^\pi_0\equiv0$, 
$P(X^\pi_N\ge0)=1$, és $P(X^\pi_N>0)>0$.

Ekkor létezik arbitrázs stratégia a piacon.}

\medskip
A pénzügyi matematika fontos kérdése, hogy egy piac mikor arbitrázs
mentes. Ismertetem azt az eredményt, amely megadja, hogy egy 
d.i.-$(B,S)_N$
piac mikor arbitrázs mentes, majd tárgyalom azt, hogy milyen kép van
ezen eredmény mögött. Ahhoz, hogy ezt az eredményt megfogalmazhassuk
előbb be kell vezetni a következő definiciót.

\medskip\noindent
{\bf 8.2.16. Definició.} {\it Legyen $\pi$ egy stratégia  egy 
d.i.-$(B,S)_N$ piacon, és jelölje $X^\pi_n$ a vagyonunkat az $n$ 
időpontban ezen stratégia szerint. Ekkor
$$
V_n^\pi=\frac{X^\pi_n}{B_n}, \quad (0\le n\le N)
$$
folyamatot a $\pi$ stratégia diszkontált (leszám\'itolt) 
értékfolyamatának nevezzük.}

\medskip
Szükségünk van még az alábbi definicióra, amit a Gáll--Pap 
könyvtől kissé eltérő  megfogalmazásban \'irok le.

\medskip\noindent
{\bf 9.1.4. Definició.} {\it Legyen adva egy d.i.-$(B,S)_N$ piac
egy $(\Omega,{\cal F},P)$ va\-ló\-sz\'i\-nű\-sé\-gi mezőn. Azt 
mondjuk, hogy $P^*$ ekvivalens martingál-mérték ezen a piacon, ha 

\medskip\noindent
(a) $P^*$ valósz\'inűségi mérték az $(\Omega,{\cal F})$ mezőn.

\noindent
(b)  $P$  és $P^*$  ekvivalens mértékek, azaz $P(A)>0$ akkor és csak 
akkor, ha   

 $P^*(A)>0$.

\noindent
(c) Az $\left(\frac{S_n}{B_n},{\cal F}_n,P^*\right)_{0\le n\le N}$  
sorozat martingált alkot.}

\medskip
Igaz a következő tétel. Ennek bizony\'itása mély gondolatokat igényel.

\medskip\noindent
{\bf 9.2.1. Tétel.} {\it Egy d.i.-$(B,S)_N$ piacon a következő két 
áll\'itás ekvivalens.

\medskip\noindent
(1) Létezik ekvivalens martingál mérték.

\medskip\noindent
(2) A piac kizárja az arbitrázs lehetőségét.}

\medskip
Annak érdekében, hogy jobban megértsük a 9.2.1. Tétel tartalmát 
vala\-mint annak okát, hogy miért vezettük be  a diszkontált 
értékfolyamat fogalmát a 8.2.16. Definicióban idézzük fel a 
következő 9.1.7. Lemmát, amely\-nek egyéb\-ként nem nehéz a 
bizony\'itása.

\medskip\noindent
{\bf 9.1.7. Lemma.} {\it A d.i.-$(B,S)_N$ piacon az 
$\left(\frac{S_n}{B_n},{\cal F}_n,P^*\right)_{0\le n\le N}$
sorozat akkor és csak akkor alkot martingált, ha
tetszőleges $\pi$ önfinansz\'irozó stratégia esetén  az
$\left(\frac{X^\pi_n}{B_n},{\cal F}_n,P^*\right)_{0\le n\le N}$
sorozat martingált alkot.}

\medskip
Megadom a 9.1.7. Lemma bizony\'it\'as\'at.

\medskip\noindent
{\it A 9.1.7. lemma bizony\'it\'asa.} El\H{o}sz\"or megmtutatom, hogy 
ha $\frac{S_n}{B_n}$ marting\'al, \'es $\pi$ \"onfinansz\'iroz\'o 
strat\'egia, akkor $\frac{X^\pi_n}{B_n}$ marting\'al.

Val\'oban, ekkor $X^\pi_{n}=\beta_{n}B_n+\gamma_nS_n$, $\beta_n$ \'es
$\gamma_n$ ${\cal F}_{n-1}$ m\'erhet\H{o}, \'es 
$\frac{S_n}{B_n}$ mar\-tin\-g\'al. Ez\'ert 
\begin{eqnarray*}
E\left(\left.\frac{X^\pi_n}{B_n}\right|{\cal F}_{n-1}\right)
&=&E\left(\left.\frac{\beta_nB_n+\gamma_nS_n}{B_n}\right|{\cal F}_{n-1}\right)
=\beta_n+\gamma_nE\left(\left.\frac{S_n}{B_n}\right|{\cal F}_{n-1}\right) \\
&=&\beta_n+\frac{S_{n-1}}{B_{n-1}}.
\end{eqnarray*}
Innen, mivel $\pi$ \"onfinansz\'iroz\'o strat\'egia
$$
E\left(\left.\frac{X^\pi_n}{B_n}\right|{\cal F}_{n-1}\right)
=\frac{\beta_n B_{n-1}+\gamma_nS_{n-1}}{B_{n-1}}=\frac{X^\pi_{n-1}}{B_{n-1}}.
$$
Mivel ez az azonoss\'ag igaz minden $n=1,2,\dots$ indexre, ez\'ert 
$\frac{X_n}{B_n}$ narting\'al.

Az \'all\'it\'as m\'asik fele nyilv\'anval\'o. Mivel a $\beta_n=0$,
$\gamma_n=1$ minden $n=0,1,\dots, N-1$ indexre \"onfinansz\'iroz\'o
strat\'egia, \'es \'ert\'eke 
$X^\pi_n=S_n$, ez\'ert $\frac{S_n}{B_n}$ marting\'al, ha $\frac{X^\pi_n}{B_n}$
marting\'al minden $\pi$ \"onfinansz\'iroz\'o strat\'egi\'ara.

\medskip
Az, hogy a d.i.-$(B,S)$ piacon az $\frac{S_n}{B_n}$, $0\le n\le N$,
sorozat martingált alkot szemléletesen azt jelenti, hogy egy a nulla
időpontban rendelkezésünkre álló részvény
véletlen $S_n$ értéke a majdani $n$ időpontban várhatóan ugyan\-annyi, 
mint az érte vásárolható kötvények értéke ugyancsak az $n$
időpontban. Valóban ez utóbbi értéke $\frac{S_0}{B_0}B_n$. Mind a 
két kifejezést elosztva a $B_n$ szám\-mal azt kapjuk, hogy
a véletlen $\frac{S_n}{B_n}$ mennyiség a majdani $n$ időpontban 
várhatólag annyit
ér, mint  $\frac{S_0}{B_0}$ (a nulla időpontban). Annak, hogy az 
$\frac{S_n}{B_n}$ sorozat martingált alkot az a szemléletes jelentése, 
hogy ez igaz minden $n$ időpontban. A (9.1.7). Lemma szerint, ha 
$\frac{S_n}{B_n}$ 
martingál, akkor a $V^\pi_n=\frac{X^\pi_n}{B_n}$ diszkontált értékfolyam 
szintén martingál tetszőleges $\pi$ önfinansz\'irozó stratégiára.
Ez úgy is interpretálható, hogy ha a várható vagyonunk nem változik
azáltal, hogy a rendelkezésünkre álló kötvényeket részvényekre 
váltjuk, akkor ugyan\-ez elmondható minden önfinansz\'irozó 
stratégiára is.

A 9.2.1. Tétel azon része, hogy az (1) áll\'itásból következik a 
(2) áll\'itás egyszerűen látható. Valóban, mivel a $P$ és $P^*$ 
mértékek ekvivalensek az, hogy egy $\pi$ önfinansz\'irozó 
stratégia arbitrázs egyszerre igaz akár a $P$, akár a $P^*$
mértéket tekintjük az $(\Omega,{\cal F})$ téren. Viszont, ha 
$X^\pi_n$ martingál a $P^*$ mérték szerint, (itt felhasználjuk azt, 
hogy a 9.1.7. Lemma szerint ez a helyzet az (1) esetben 
bármely $\pi$ önfinansz\'irozó stratégia esetén),
akkor $X^\pi_n$ nem lehet arbitrázs a $P^*$ mérték szerint. 
Ugyanis ekkor $0=E^*X^\pi_0=E^*X^\pi_N$, ami ellentmond annak, 
hogy $P^*(X^\pi_N\ge0)=1$, és $P^*(X^\pi_N>0)>0$.
(Itt azt a konvenciót alkalmaztuk, hogy $E^*$ jelöli a várható
értéket a $P^*$ valósz\'inűségi mérték szerint, és ezt a konvenciót
fogjuk alkalmazni a későbbiekben is.) 

A 9.2.1. Tétel második fele nehezebben bizony\'itható. Itt ugyanis
meg kell konstruálni egy olyan $P^*$ valósz\'inűségi mértéket, 
amelyre az $\frac{S_n}{B_n}$ sorozat martingál, és ezen k\'ivül még 
a $P^*$ és $P$ mértékeknek ekvivalenseknek is kell lenniük. Ez 
a konstrukció érdekes új gondolatokat igényel, amelyeket ebben a 
bevezető \'irásban nem tárgyalok.

\medskip
A pénzügyi matematika következő fontos fogalma az opció, amelynek
vizsgálata további érdekes matematikai problémákat vet fel. Az opció
jogot jelent arra, hogy bizonyos szabályok szerint részvényeket
vegyünk (ezt nevezik az irodalomban vételi opciónak), vagy eladjunk
(eladási opció). A legismertebb, legnépszerűbb opciók az úgynevezett
európai és amerikai opció. Az európai opció azt jelenti, hogy a 
kereskedési periódus $T_N=N$ lezártakor egy bizonyos előre megadott 
$K$ áron jogom van részvényeket venni vagy eladni. Az amerikai
opció hasonló jogot jelent, de ekkor bármely $t_n$,  $0\le n\le N$,
időpontban jogom van részvényt venni vagy eladni egy előre rögz\'itett
 $K$ áron. A Gáll--Pap könyv elsősorban az európai opcióval és az
annak al\-kal\-ma\-zá\-sá\-val kapcsolatos matematikai problémákkal 
foglalkozik. 

Az opció általános esete hasonló jogot jelent bizonyos szabályok 
szerinti vételre vagy eladásra, de az általános esetben az eladási 
ár nem feltétlenül konstans, hanem, például, ha a vétel vagy 
eladás csak a $t_N=N$ idő\-pont\-ban lehetséges, akkor a részvény 
vételi vagy eladási ára függhet a részvénypiac viselkedésétől a $t_N=N$
időpontig, azaz ez egy ${\cal F}_{N}$ $\sigma$-algebra szerint 
mérhető függvény.

Világos, hogy egy opció előnyt jelent, hiszen csak akkor fogok 
részvényeket venni vagy eladni, ha az számomra előnyös. Ezért 
természetes bevezetni egy opciós árat, ami ellensúlyozza az 
opció alkalmazásának a nyereségét. A fő probléma az, hogy mi 
az igazságos opciós ár. Olyan opciós árat sze\-ret\-nénk 
bevezetni, amivel a piac az opciók bevezetése után is igazságos 
marad. E probléma megjelenése természetessé tette bizonyos
fogalmak bevezetését. Először bevezetjük a véletlen követelés
fogalmát. 

Egy $f_N\colon\; R^{N+1}\to R$ függvény által
meghatározott $f_N$ véletlen követelés az
$f_N(S_0,\dots,S_N)$ va\-ló\-sz\'i\-nű\-sé\-gi változó. 
Jelentése az, hogy $S_0,\dots,S_N$ rész\-vény\-árak esetén 
$f_N(S_0,\dots,S_N)$ kö\-ve\-te\-lé\-sünk van az $N$ 
időpontban. A minket ér\-dek\-lő kérdés az, hogy mekkora 
fedezetet kell biztos\'itani e kö\-ve\-te\-lés 
tel\-je\-s\'i\-tése érdekében. E kérdés vizsgálata 
érdekében bevezették  a fedezeti stratégia és a tökéletes 
fedezeti stratégia fo\-gal\-mát.

\medskip\noindent
{\bf 8.2.10. Definició.} {\it Legyen adott egy d.i.-$(B,S)_N$ piac, 
egy $x\in R$ szám és egy $f_N=f_N(x_0,\dots,x_N)$: $R^{N+1}\to R^1$
függvény. Egy önfinansz\'irozó $\pi=\{\pi_n\}_{n=0}^N$ stratégiát 
$(x,f_N)$ fedezetnek (vagy fedezeti stratégiának) nevezünk, ha
$$
X_0^\pi=x,
$$
és
$$
X^\pi_N(\omega)\ge f_N(S_0,S_1(\omega),\dots,S_N(\omega)), \quad \forall \;
\omega\in\Omega.
$$
Ha $X^\pi_N(\omega)=f_N(S_0,S_1(\omega),\dots,S_N(\omega))$, $\forall$
$\omega\in\Omega$, akkor azt mondjuk, hogy $\pi$ minimális
$(x,f_N)$ fedezet vagy másképpen úgynevezett tökéletes fedezeti stratégia.

Az összes önfinansz\'irozó $(x,f_N)$ fedezeti stratégiák halmazát 
$\Pi(x,f_N)$-nel fogjuk jelölni.}

\medskip
Érdemes még felidézni az alábbi definiciókat a Gáll--Pap könyvből.

\medskip\noindent
{\bf 8.2.12. Definició.} {\it Legyen $f_N\colon\; R^{N+1}\to R$ egy
függvény. Ekkor egy \hfill\break 
d.i.-$(B,S)_N$ piacon a
$$
C_{N,f_N}=\inf\{x\in R\colon\: \Pi(x,f_N)\neq\emptyset\}
$$
értéket a $t_N$ időre legalább $f_N(S_0,S_1(\omega),\dots,S_N(\omega))$ 
($\forall\omega\in\Omega)$ tőkét biztos\'itó tőkének (befektetési
költségnek) nevezzük.}

\medskip\noindent
{\bf 10.1.4. Definició.} {\it A d.i.-$(B,S)_N$ piacot teljesnek 
nevezzük, ha tetszőleges $\xi$ (azaz tetszőleges ${\cal F}_N$ 
mérhető  $\xi$) valósz\'inűségi változóhoz létezik olyan $\pi$ 
ön\-fi\-nan\-sz\'i\-ro\-zó stratégia, amelyre
$$
X^\pi_N(\omega)=\xi(\omega) \quad \forall\omega\in\Omega \textrm{ esetén.}
$$
}

Megjegyzem, hogy az ${\cal F}_N$  mérhető valósz\'inűségi változók 
halmaza meg\-egye\-zik az $f_N(S_0,S_1(\omega),\dots,S_N(\omega))$,
$f_N\colon\; R^{N+1}\to R$ alakban fel\'irható va\-ló\-sz\'i\-nű\-sé\-gi 
változók halmazával valamely $f_N$ függvénnyel. 

Szeretnénk definiálni egy opció igazságos árát egy arbitrázs mentes
piacon. Ebben a jegyzetben csak olyan opciók vizsgálatával 
foglalkozunk, amelyekben a $t_N=N$ időpontban valamely 
$\xi=f_N(S_0,S_1(\omega),\dots,S_N(\omega))$ áron vehetünk vagy 
adhatunk el részvényeket. E kérdés vizsgálatában érdemes
definiálni először egy $f_N\colon\; R^{N+1}\to R$  függvény 
által meghatározott \hfill\break 
$f_N(S_0,\dots,S_N)$ vé\-let\-len követelés igazságos árát.

E kérdés vizsgálatában érdemes alkalmazni a 9.2.1. Tétel eredményét,
amely szerint egy arbitrázs mentes piacon létezik (a 9.1.4. 
Definicióban definiált) ekvivalens martingál mérték. A következő 
eredmény nagyon hasz\-nos az előbb felvetett kérdés vizsgálatában.

\medskip\noindent
{\bf 11.1.9. Lemma.} {\it Legyen $\pi$ egy önfinansz\'irozó $(x,f_N)$ 
fedezeti  stratégia egy d.i.-$(B,S)_N$ piacon. ahol $x\in R$
és $f_N\colon\; R^{N+1}\to R$,  és tegyük fel, hogy $P^*$  egy 
ekvivalens martingál mérték  a piacon.

Ekkor
$$
x\ge \frac{B_0}{B_N}E^*f_N(S_0,S_1,\dots,S_N),
$$
és ha $\pi$ ráadásul minimális $(x,f_N)$ fedezeti stratégia, akkor
$$
x=\frac{B_0}{B_N}E^*f_N(S_0,S_1,\dots,S_N).
$$
}

\medskip
A 11.1.9. Lemma bizony\'itása viszonylag egyszerű. Felhsználhatjuk,
hogy a 9.1.7. Lemma szerint
$\left(\frac{X^\pi_n}{B_n},{\cal F}_n,P^*\right)$
martingál tetszőleges $\pi$ ön\-fi\-nan\-sz\'i\-ro\-zó stratégiára
egy $P^*$ equivalens martingál mérték szerint, és olyan $\pi$ 
ön\-fi\-nan\-sz\-\'i\-ro\-zó stratégiát tekinthetünk, amelyre  
$X^\pi_0=x$,  és 
$$
X^\pi_N(\omega)\ge f_N(S_0,S_1(\omega),\dots,S_N(\omega))
$$ 
az első, illetve 
$X^\pi_N(\omega)=f_N(S_0,S_1(\omega),\dots,S_N(\omega))$ 
a második esetben minden $\omega\in\Omega$ pontban.

\medskip 
Egy $f_N\colon\; R^{N+1}\to R$  függvény által meghatározott 
$f_N(S_0,\dots,S_N)$ vé\-let\-len követelés igazságos árát úgy
definiáljuk, mint a 8.2.12. Definicióban be\-ve\-ze\-tett 
$C_{N,f_N}$ befektetési költséget. A 11.1.9. Lemmából és a 
$C_{N,f_N}$ mennyiség definiciójából következik, hogy az $f_N$ 
véletlen követelés $C_{N,f_n}$ igaz\-sá\-gos ára teljes\'iti a
$C_{N,f_N}\ge\frac{B_0}{B_N}E^*f_N(S_0,S_1,\dots,S_N)$
egyenlőtlenséget. Más\-részt, ha létezik
minimális $(x,f_N)$ fedezeti stratégia akkor
$$
C_{N,f_N}=\frac{B_0}{B_N}E^*f_N(S_0,S_1,\dots,S_N).
$$

A véletlen követelések igazságos árának a bevezetése
lehetővé teszi bizonyos esetekben az igazságos 
opciós ár természetes meg\-ha\-tá\-ro\-zá\-sát is. 
Te\-kint\-sük például az európai vételi opciót az $N$ 
időpontban valamilyen $K$ vételi árral. Ebben az esetben 
akkor élünk a vételi jogunkkal, ha $S_N>K$, és ekkor 
$S_N-K$ nyereményünk lesz. Ha $S_N\le K$, akkor nem élünk 
vételi jogunkkal, \'igy nyereményünk ebben az esetben 
zéró. Azt mondhatjuk tehát, hogy az európai  vételi 
opció $K$ árral  $\max(S_N-K,0)=|S_N-K|_+$   nyereséget 
biztos\'it számunkra. Ezért természetes a $K$ árral 
definiált európai vételi opció opciós árát úgy 
definiálni, mint az $|S_N-K|_+$ véletlen követelés 
igazságos árát, és ezt a definiciót fogjuk választani.
Megjegyzem, hogy ugyanezt az érvelést folytonos idejű
pénzügyi folyamatok esetében is alkalmazhatjuk. Ezért
abban az esetben a $K$ árral definiált európai vételi 
opció opciós árát úgy definiáljuk, mint az $|S_T-K|_+$
véletlen követelés igazságos árát.

\medskip
Láttuk, hogy, akkor tudjuk meg\-ha\-tá\-roz\-ni egy 
$f_N(S_0,\dots,S_N)$ véletlen követelés igazságos árát, 
ha létezik olyan $\pi$ önfinansz\'irozó stratégia, 
amely\-re $X^\pi_N=f_N(S_0,\dots,S_N)$. Ekkor 
ugyanis létezik tökéletes fedezeti stratégia 
bármely véletlen követelésre. Ezért szeretnénk 
tudni, hogy mikor oldható meg az $X^\pi_N=\xi$ egyenlet 
tetszőleges $\xi$ valósz\'inűségi változóra. Ez tette 
természetessé a 10.1.4. Definició bevezetését a piac 
teljességéről.

Ismertetem a 10.1.5. Tétel eredményét, amely megadja annak 
szükséges és elégséges feltételét, hogy egy piac teljes 
legyen. A Gáll--Pap könyvtől eltérően ezt a tételt két 
részben, egy 10.1.5.A és egy 1.0.1.5.B Tételben mon\-dom ki.

\medskip\noindent
{\bf 10.1.5.A Tétel.} {\it  Tegyük fel, hogy a d.i.-$(B,S)_N$ piacon 
létezik $P^*$ ekvivalens martingál mérték. Ekkor a következő két 
áll\'itás ekvivalens.

\medskip\noindent
(1) A piac teljes.

\medskip\noindent
(2) $P^*$ az egyetlen ekvivalens martingál mérték a piacon.}

\medskip
Számunkra a 10.1.5. Tételnek az A része az igazán érdekes. Annak
bizony\'itása, hogy az (1) áll\'itásból következik a (2) áll\'itás
viszonylag egyszerű.

Ugyanis legyen $P^*$ és $P^{**}$ két ekvivalens martingál, 
és $\xi$ tetszőleges ${\cal F}_N$ mérhető valósz\'inűségi 
változó. Ha a piac teljes, akkor létezik olyan $\pi$ 
ön\-fi\-nan\-sz\'i\-ro\-zó stratégia, amelyre 
$\frac{B_N}{B_0}\xi=X^\pi_N$. Ekkor 
$E^*\xi=E^*\frac{B_0}{B_N}X^\pi_N=E^*X^\pi_0=X^\pi_0$, és 
$E^{**}\xi=E^{**}\frac{B_0}{B_N}X^\pi_N=E^{**}X^\pi_0=X^\pi_0$. 
Ezért $E^*\xi=E^{**}\xi$. Mivel ez minden ${\cal F}_N$ mérhető 
$\xi$ valósz\'inűségi változóra igaz, innen következik, hogy 
$P^*=P^{**}$.

Ebben az érvelésben kissé rejtve használtuk ki azt, hogy a tekintett
martingálok ekvivalensek, azaz olyan $P^*$ és $P^{**}$ mértékekkel 
dolgozunk, amelyek egyrészt abszolút folytonosak a $P$ mértékre 
nézve, másrészt a $P$ mérték is abszolút folytonos rájuk nézve. 
Azt használtuk ki, hogy $E^*X^\pi_0=E^{**}X^\pi_0=X^\pi_0$. Ugyanis 
$X^\pi_0$ egy konstanssal egyenlő 1 valósz\'inűséggel a $P$ ezért a 
$P^*$ és $P^{**}$ mérték szerint is. Az $E^*X^\pi_0=E^{**}X^\pi_0$ 
azonosság azért igaz, mert egy a $P^*$ illetve $P^{**}$ mérték 
szerint 1~valósz\'inűséggel konstans valósz\'inűségi változó 
1~va\-ló\-sz\'i\-nű\-ség\-gel konstans a $P$ mérték szerint is. 

A másik irányú áll\'itás bizony\'itása lényegesen nehezebb. Azt kell
megmutatni, hogy ha az $X^\pi_N$ alakban előáll\'itható valósz\'inűségi
változók halmaza kisebb, mint az összes ${\cal F}_N$ mérhető 
valósz\'inűségi változók halmaza, akkor a 9.2.1. Tételben konstruált 
$P^*$ ekvivalens martingál mértéken k\'ivül lehet konstruálni attól 
különböző ekvivalens martingál mértéket is. Ennek bizony\'itása 
hasonló gondolatokon alapul, mint a 9.2.1. Tételé.

\medskip
A 10.1.5.A Tétel azt áll\'itja, hogy egy teljes piacon egyetlen
ekvivalens martingál mérték létezik. Ugyanakkor létezhetnek további
martingál mér\-té\-kek is, amelyek nem ekvivalensek. Ez jelen esetben
azt jelenti, hogy lehetnek még olyan $P'$ martingál mértékek, 
amelyekre van olyan $A$ halmaz, amelyre $P(A)>0$, de $P'(A)=0$.
Az ilyen martingál mértékek pontos le\'irásáról szól a 10.1.5.B Tétel.

\medskip\noindent
{\bf 10.1.5.B Tétel.} {\it Tegyük fel, hogy teljesülnek a
10.1.5.A. Tétel feltételei. Ekkor az ott megfogalmazott (1) és
(2) áll\'itások ekvivalensek az alábbi (3) áll\'itással. 

\medskip\noindent
(3) Tetszőleges $(M_n,{\cal F}_n,P^*)_{0\le n\le N}$ martingál 
előáll\'itható
$$
M_n=M_0+\sum_{k=1}^n\gamma_k\Delta m_k, \quad n=1,\dots,N,
$$
alakban,  ahol a $\gamma_n$-ek ${\cal F}_{n-1}$-mérhető
valósz\'inűségi változók, ($n=1,\dots,N$), és
$$
m_n=\frac{S_n}{B_n}, \quad \textrm{ha } n=1,\dots,N.
$$
}

\medskip
Van egy speciális, úgynevezett bináris piac, amely külön figyelmet
ér\-de\-mel, és amelyet a Gáll--Pap könyv is külön tárgyal. Ismertetem
ennek definicióját, és megadom a róla szóló legfontosabb eredményt.
A bináris piacot a Gáll--Pap könyv a 8.1.6. Definicióban vezeti be. 

\medskip\noindent
{\bf 8.1.6. Definició. (Diszkrét idejű $(B,S)_N$  bináris piac.)} 
{\it Egy az $(\Omega,{\cal F},P)$ valósz\'inűségi mezőn 
$B=(B_n)$ kötvényekkel, $S=(S_n)$ rész\-vé\-nyek\-kel és $N$
kereskedési időponttal megadott piacot bináris piacnak
nevezünk $\{r_n\}$ kamatlábakkal, $\{a_n\}$, és $\{b_n\}$   
együtthatókkal, és $\{p_n\}$ valósz\'inűségekkel, ha

\medskip\noindent
(a) $r_n>-1$, $-1<a_n<b_n$ minden $n=1,\dots,N$ esetén.

\medskip\noindent
(b) A kötvény árfolyamára teljesül a
$$
B_n=(1+r_n)B_{n-1},  \quad n=1,\dots,N,
$$
egyenlőség.

\medskip\noindent
(c) A részvény $S=\{S_n\}_{n=0}^N$ árfolyama kielég\'iti az
$$
S_n=(1+\rho_n)S_{n-1}, \quad n=1,\dots,N,
$$
egyenlőséget, ahol  $\rho_n$ olyan valósz\'inűségi változó, amelyre 
$\rho_n=a_n$ vagy $\rho_n=b_n$, és $p_n=P(\rho_n=b_n)=1-P(\rho_n=a_n)$, 
$0<p_n<1$, $n=1,\dots,N$.
Az $\Omega$ halmaz az összes $\omega=(\rho_1,\dots,\rho_N)$ alakú
sorozatból áll, és végül 

 \medskip\noindent
(d) ${\mathbb F}=({\cal F}_n)$ a $\rho_1,\dots,\rho_N$
 valósz\'inűségi változók által generált filtráció, azaz
${\cal F}_0=\{\emptyset,\Omega\}$, és
${\cal F}_n=\sigma(\rho_1,\dots,\rho_n\}$, ahol $n=1,\dots,N$.}

\medskip
Megjegyzem, hogy az a kit\'etel, amely szerint az $\Omega$ halmaz az 
{\it összes}\/ $\omega=(\rho_1,\dots,\rho_N)$ alakú sorozatból áll, 
azt jelenti, hogy $P(\rho_1=x_1,\dots,\rho_N=x_N)>0$ minden olyan 
$(x_1,\dots,x_N)$ sorozatra, amelyre $x_n=a_n$ vagy $x_n=b_n$ 
minden $1\le n\le N$ indexre.

\medskip
A fentebb definiált diszkrét idejű $(B,S)_N$  bináris piac 
megnevezésére a Gáll--Pap könyv d.i.b.-$(B,S)_N$ jelölést
használja. (A d.i.b. a diszkrét idejű bináris rövid\'itése.)  
Ugyancsak megadja a könyv e fogalom speciális esetét,
a diszkrét idejű homogén bináris piacok fogalmát is. Ezek
olyan d.i.b.-$(B,S)$ piacok, amelyekre a 8.1.6. Definicióban
szereplő $\rho_n$ valósz\'inűségi változók függetlenek,
 $1\le n\le N$,  és az $a_n$, $b_n$, $r_n$, $p_n$ számok nem 
függnek az $n$ paramétertől.

Felidézem az alábbi, a diszkrét idejű $(B,S)_N$  bináris 
piacok legfontosabb  tulajdonságait kimondó tételt.

\medskip\noindent
{\bf 9.1.8.Tétel.}  {\it Tekintsünk egy olyan d.i.b.-$(B,S)_N$ piacot, 
ahol az $\{r_n\}_{n=1}^N$ kamatlábakra és az $\{a_n\}_{n=1}^N$, 
$\{b_n\}_{n=1}^N$  együtthatókra teljesülnek az $a_n<r_n<b_n$, 
($n=1,\dots,N$) egyenlőtlenségek. Idézzük fel, hogy $\Omega$ elemei
tekinthetőek a $\rho_1,\dots,\rho_N$ valósz\'inűségi változók realizációiból
álló halmaznak. Véve egy

$$
\omega=\{(x_1,\dots,x_N)|x_i\in\{a_,b_i\}, \;i=1,\dots,N\},
$$
elemi eseményt legyen 
$$
P^*(\{(x_1,\dots,x_N)\})=\prod_{\substack{1\le n\le N\\ x_n=b_n}}  p^*_n 
\prod_{\substack{1\le n\le N\\x_n=a_n}}(1-p^*_n),
$$
ahol $p^*_n=\frac{r_n-a_n}{b_n-a_n}$, $n=1,2,\dots,N$.

\medskip
Ekkor $P^*$ az egyetlen ekvivalens martingál mérték a piacon, Speciálisan
$$
P^*(\rho_n=b_n)=1-P^*(\rho_n=a_n)=p^*_n, \quad n=1,\dots,N,
$$
és a $\rho_1,\dots,\rho_N$ hozamok $P^*$-függetlenek.}

\medskip
A 9.1.8. Tétel szerint egy olyan d.i.b.-$(B,S)_N$ piacnak,
amelyre $a_n<r_n<b_n$ minden $1\le n\le N$ indexre van ekvivalens martingál
mértéke, tehát arbitrázs mentes, sőt egyetlen ekvivalens martingál mértéke
van, ami azt jelenti, hogy egy ilyen piac teljes. Ráadásul ezt az ekvivalens
martingál mértéket explicit módon meg tudtuk adni, és ez a mérték egyszerű
szerkezetű szorzat mérték. Ez lehetővé teszi, hogy tudjunk vele számolni.
Erre példát mutat a Kevei Péter könyv egyik eredménye, amelyben a 
Black--Sholes formula előáll, mint az úgynevezett Cox--Ross--Rubinstein 
árazási formula határértéke. Az ebben az eredményben tekintett 
Cox--Ross--Rubinstein modell egy alkalmas paraméterekkel választott
d.i.b.-$(B,S)_N$ piac.

\medskip
Megjegyzem, hogy a 9.1.8. Tételben szereplő $a_n<r_n<b_n$ minden 
$1\le n\le N$ indexre feltétel természetes. Ugyanis igaz a 
következő, a 9.2.3. Következményben megfogalmazott áll\'itás.

\medskip\noindent
{\bf 9.2.3. Következmény.} {\it Tekintsünk egy d.i.b.-$(B,S)$ 
piacot. Jelölje $\{r_n\}_{n=1}^N$ a kamatlábakat,  és 
$\{a_n\}_{n=1}^N$, $\{b_n\}_{n=1}^N$ az együtthatókat. 
Ekkor a következő áll\'itások ekvivalensek.

\medskip\noindent
(1) Létezik ekvivalens martingál mérték.

\medskip\noindent
(2) A piac kizárja az arbitrázs lehetőségét.

\medskip\noindent
(3) $a_n<r_n<b_n$ teljesül minden $n=1,\dots,N$ esetén.}

\medskip
Ezután Kevei Péter ``Pénzügyi folyamatok folytonos időben'' c\'imű
jegy\-ze\-tét tekintem át. Azt magyarázom el, hogy az ott 
bevezetett fogalmak és eredmények a diszkrét idejű folyamatok 
tárgyalásában bevezetett fogalmak és eredmények természetes megfelelői.

\medskip
Először a diszkrét idejű modellekben bevezetett kötvény, részvény, 
pénz\-ügyi stratégia, önfinansz\'irozó stratégia folytonos idejű 
megfelelőit kell de\-fi\-ni\-ál\-nunk. 

Egy folytonos idejű piacon egy $(\Omega,{\cal A},P)$ valósz\'inűségi
mezőt értünk egy ${\cal F}_t$, $0\le t\le T$, filtrációval
(feltesszük, hogy $T$ valamely rögz\'itett véges szám), ahol 
kötvényeket és részvényeket lehet venni és eladni. A kötvények 
$B_t$ ára egy $t$ időpontban rögz\'itett determinisztikus szám,
m\'ig a részvények $t$ időpontbeli $S_t$ ára a véletlentől függ. Az
$S_t$, $0\le t\le T$, sztochasztikus folyamat egy az ${\cal F}_t$
 $\sigma$-algebrákhoz adaptált It\^o folyamat.

Egy stratégia (portfólió) olyan $\pi_t=(\beta_t,\gamma_t)$, 
$0\le t\le T$, az ${\cal F}_t$ $\sigma$-algebrákhoz adaptált 
sztochasztikus folyamat, amelyre 
$$
\int_0^T|\beta_t|\,dt<\infty, \quad \textrm{és} \quad
\int_0^T\gamma_t^2\,dt<\infty.
$$ 
Itt $\beta_t$ jelöli a $t$ időpontbeli 
kötvényeink, és $\gamma_t$ a $t$ időpontbeli részvényeink számát a 
$\pi_t=(\beta_t,\gamma_t)$, $0\le t\le T$, stratégia alkalmazása
esetén. ($\beta_t$ és $\gamma_t$ valós számok, amelyek negat\'iv
értéket is felvehetnek.) A $\pi$ portfólió értéke a $t$ időpontban
$$
X_t^\pi=\beta_tB_t+\gamma_tS_t.
$$

Definiálni akarjuk a diszkrét idejű esethez hasonlóan az 
önfinansz\'irozó stratégiákat a folytonos időben is. A Kevei
könyv bebizony\'itja, hogy a disz\-krét idejű önfinansz\'irozó
stratégiákra érvényes az 
$$
X^\pi_{n+1}-X^\pi_n=\beta_{n+1}(B_{n+1}-B_n)+\gamma_{n+1}(S_{n+1}-S_n).
$$
azonosság. (Megjegyzem, hogy ez a képlet megegyezik a diszkrét idejű 
ön\-fi\-nan\-sz\'i\-ro\-zó stratégiáknak a
Gáll--Pap könyv 8.2.7. Lemmájában megadott (2) jel\-lem\-zé\-sé\-vel.) 
Ezen formula természetes folytonos idejű megfelelője a
$$
dX^\pi_t=\beta_tdB_t+\gamma_tdS_t
$$
sztochasztikus differenciálegyenlet, és ezt választjuk az 
önfinansz\'irozó stra\-té\-gia definiciójának a folytonos idejű 
piacok esetében.

Érdemes definiálni a 8.2.16. Definicióban bevezetett diszkrét
idejű disz\-kon\-tált értékfolyamat folytonos megfelelőjét is.
Ez az $\bar S_t=S_t\frac{B_0}{B_t}$ képlettel definiált 
diszkontált részvényárfolyam és az 
$\bar X^\pi_t=X^\pi_t\frac{B_0}{B_t}$ képlettel definiált 
diszkontált értékfolyamat. (Ezek a mennyiségek jelennek meg 
a diszkrét folyamatoknál fellépő martingál problémák folytonos 
megfelelőjében.) Az egyszerűség kedvéért a Kevei jegyzet csak 
azzal a speciális esettel foglalkozik, amikor $B_t=e^{rt}$ 
valamely $r>0$ számra. Ebben az esetben
$$
\bar S_t=e^{-rt}S_t. \quad\textrm{és}\quad \bar X_t^\pi=e^{-rt}X_t^\pi.
$$
Érdemes az önfinansz\'irozó stratégia definicióját átfogalmazni,
és azt az $S_t$  és $B_t$ mennyiségek helyett az $\bar S_t$ (és a 
kép\-let\-ben végül nem megjelenő $\bar B_t$) mennyiségek 
seg\'itségével adni meg. Erről szól a Kevei jegyzet 6. Áll\'itása.

\medskip\noindent
{\bf 6. Áll\'itás.}  {\it A $\pi_t=(\beta_t,\gamma_t)$ stratégia 
pontosan akkor önfinansz\'irozó, ha 
$$
\bar X^\pi_t=\bar X^\pi_0+\int_0^t \gamma_s\,d\bar S_s, \quad t\in[0,T].
$$
}

\medskip 
Ezek után definiáljuk az arbitrázs fogalmát, ami a diszkrét idejű
arbitrázs természetes megfelelője.  A $\pi$ önfinansz\'irozó stratégia
akkor arbitrázs stratégia, ha $X^\pi_0=0$  majdnem biztosan,  
$X^\pi_T>0$ majdnem biztosan, és $P(X^\pi_T>0)>0$.
A piac arbitrázs mentes, ha nincs rajta arbitrázs stratégia.

Szeretnénk tudni, hogy mikor mondhatjuk azt, hogy egy folytonos
idejű piac arbitrázs mentes. Erre csak egy (jó) elégséges feltételt 
tudunk adni. Az ezen feltételt kimondó tétel a diszkrét idejű 
esetről szóló 9.2.1. Tétel könnyebbik felének a természetes 
folytonos idejű megfelelője. Kevei Péter is felidézi azt a 
definiciót, hogy mikor mondunk egy $P$ és $Q$ mértéket 
ekvivalensnek (pontosabban fogalmazva ekvivalensnek egy 
${\cal F}$ $\sigma$-algebra szerint). Akkor mondjuk, hogy ezek a
mértékek ekvivalensek, ha mind $P$ abszolút folytonos a $Q$ 
mértékre nézve, mind $Q$ abszolút folytonos a $P$ mértékre nézve. 
A Kevei jegyzet az EMM (ekvivalens martingál mérték) fogalmat 
használja egy olyan $Q$ mértékre, amely ekvivalens a $P$ 
mértékkel az ${\cal F}_T$ $\sigma$-algebra sze\-rint, és amelyre 
nézve az $\bar S_t$ diszkontált részvényárfolyam martingál. 
Ez\-után bebizony\'itja a következő eredményt.

\medskip\noindent
{\bf 6. Tétel.} {\it  Ha az  $(\Omega,{\cal A},S_t)$ valósz\'inűségi
mezőn ${\cal F}_t$ filtrációval valamilyen $S_t$ részvényekkel és 
$B_t=e^{rt}$ kötvényekkel definiált folytonos idejű piacon 
létezik $Q$ EMM, akkor a piac arbitrázs mentes.}

\medskip
A Kevei jegyzet tárgyalja 8.2.10. Definicióban bevezetett diszkrét 
idejű fedezeti stratégia folytonos idejű megfelelőjét is. Először 
definiálja egy $f_T$ véletlen követelés fogalmát. Azt mondja, 
hogy az $f_T$ véletlen követelések az ${\cal F}_T$ mérhető
valósz\'inűségi változók. Egy $\pi$ 
ön\-fi\-na\-n\-sz\'i\-ro\-zó stratégia fedezeti stratégia az 
$f_T$ véletlen követelésre $x$~kez\-dő\-tő\-k\-ével, röviden 
fogalmazva $\pi$ \hfill\break 
$(x,f_T)$ fedezet, ha
$$
X^\pi_T\ge f_T \;\; \textrm{majdnem biztosan, és } X^\pi_0=x.
$$
Az $f_T$ követelés $C_T(f_T)$ {\it igazságos árát}\/ a Kevei 
jegyzet úgy definiálja, mint a legkisebb olyan $x$ értéket, 
amelyre létezik $(x,f_T)$ fedezet, azaz
$$
C_T(f_T)=\inf\{x\ge0\colon\; \textrm{létezik }(x,f_T) \textrm{ fedezet}\}.
$$
Nem nehéz belátni a 6. Tétel seg\'itségével azt, hogy ha létezik 
egy $Q$ EMM, akkor tetszőleges $f_T$ véletlen követelésre
$$
C(T,f_T)\ge E_Q(e^{-rT}f_T)
$$
az ezen $Q$ mérték szerint vett várható értékkel.

\medskip
A továbbiakban a Kevei jegyzet pénzügyi része elsősorban a
Black--Sholes modellel foglalkozik. Ebben olyan $B_t$ kötvény
és $S_t$ részvényárfolyamot vizsgálunk, amelyeket a
\begin{eqnarray*}
dB_t&=&rB_t\,dt,\quad B_0=1, \\
dS_t(\omega)&=&\mu S_t(\omega)\,dt+\sigma S_t(\omega)\,dW_t(\omega0, 
\quad S_0(\omega)=S_0
\end{eqnarray*}
egyenlet határoz meg. Ebben az esetben $B_t=e^{rt}$, és az $S_t$
részvényár értéket szintén fel tudjuk \'irni a Kevei jegyzetben
tárgyalt 7. Példa alapján. A Black--Sholes modell a homogén
d.i.b.-$(B,S)$ modellek természetes folytonos idejű megfelelője.

Érdemes fel\'irni Black--Sholes modellt meghatározó egyenletet 
az $\bar S_t$ disz\-kon\-tált részvényárfolyamra is. Az \'igy kapott 
egyenlet is megoldható, és ezt felhasználva a 
Girsanov tétel valamint a 6. Tétel alapján meg lehet mutatni, 
hogy a Black--Sholes modell arbitrázs mentes. Sőt, fel tudjuk 
\'irni explicit módon a  Black--Sholes modell esetében a 
6. Tételben megjelenő $Q=P_\mu$ EMM-t is, és ez hasznos a további
vizsgálatokban. 

A jegyzet következő eredménye arról szól, hogy egy Black--Sholes
mo\-dell\-ben tetszőleges  olyan $e^{-rT}f_T$ véletlen követelés, 
amelyre $E_\mu e^{-2rT}f_T^2<\infty$, ahol $E_\mu$ várható értéket 
jelöl azon $P_\mu$ mérték szerint, amelyik a Black-Sholes 
modellben EMM, fel\'irható  $X^\pi_T=e^{-rT}f_T$ alakban, ahol 
$\pi$ alkalmasan definiált önfinansz\'irozó stratégia. Hasonló 
problémák vizsgálatával a diszkrét idejű pénzügyi folyamatok 
tárgyalásában is ta\-lál\-koz\-tunk. Ott az a kérdés érdekelt
minket, hogy mely pénzügyi piacok teljesek. A teljesség fogalmát 
a 10.14. Definicióban vezettük be.  A most megfogalmazott eredmény 
bizony\'itása felhasznál néhány mély, a jegyzetben bizony\'itás 
nélkül közölt tételt, de a bizony\'itás módszere természetes. 
Mivel a keresett $\bar X^\pi_t$ folyamat martingál a $P_\mu$
mérték szerint, ezért természetes az $e^{-rT}f_T$  valósz\'inűségi 
változót beágyazni egy $N_t$, $0\le t\le T$, martingálba úgy, 
hogy $N_T=e^{-rT}f_T$. Ezt a következő formulában tesszük meg.
$$
N_t=E_{\mu}\left(e^{-rT}f_T|{\cal F}_t\right), \quad 0\le t\le T.
$$
Ezután a Kevei jegyzet felhasznál egy ott korábban bizony\'itás
nélkül kimondott eredményt, amely szerint egy martingál fel\'irható
egy alkalmas Wiener folyamat szerinti It\^o integrál formájában.
Ezen eredmény seg\'itségével Kevei Péter
az előbb definiált $N_t$ martingált fel\'irja
$$
N_t=N_0+\int_0^t Y_s\,d\tilde W^\mu_s,
$$
alakban, ahol $N_0=E_\mu e^{-rT}f_T$, $\tilde W^\mu_s$ a $P_\mu$ EMM
kiszám\'itása során explicit módon megadott Wiener folyamat a 
$P_\mu$, mérték szerint, és $Y_t$ alkalmas adap\-tált folyamat. 
Ezután  természetes módon meg lehet találni azt a 
ön\-fi\-na\-nsz\'i\-ro\-zó $\pi_t=(\beta_t,\gamma_t)$ 
stra\-té\-gi\-át, amelyre egyrészt $N_t=\bar X^\pi_t$, másrészt 
$\beta_tB_t+\gamma_tS_t=X^\pi_t=e^{rt}N_t$. Kevei Péter 
jegyzetében ezt megteszi, és a kapott ered\-ményt a következő 
lemmában fogalmazza meg.

\medskip \noindent
{\bf 7. Lemma.} {\it A jegyzetben  a 7. Lemma előtt megkonstruált 
($\pi_t=(\beta_t,\gamma_t)$)  stratégia önfinansz\'irozó, 
$\bar X^\pi_t=N_t$, minden $0\le t\le T$ indexre, és $N_T=e^{-rT}f_T$.} 

\medskip
Nem nehéz belátni a 7. Lemma seg\'itségével a következő eredményt.

\medskip\noindent
{\bf 7. Tétel.} {\it A Black--Sholes modellben egy $f_T$ követelés
igazságos ára 
$$
C_T(f_T)=E_\mu (e^{-rT}f_T).
$$}

%\medskip
A 7. Tétel eredményét alkalmazhatjuk speciálisan az európai opció
igaz\-sá\-gos árának a meghatározására. Ebben az esetben a 7. Tételt
az $f_T=|S_T-K|_+$ követelés választásával kell alkalmazni, ahol
$K$ az európai opció kifizetési függvénye. Kevei Péter megoldja
ezt a feladatot, és eredményként megkapja a h\'ires Black--Sholes
formulát. 

\medskip
A Kevei jegyzet közvetlenül pénzügyi folyamatokról szóló részének 
utolsó témája a diszkrét idejű pénzügyi folyamatok vizsgálatában
bevezetett Cox--Ross--Rubinstein modell és a Black--Sholes modell
viselkedésének az össze\-ha\-son\-l\'i\-tá\-sa.

A Cox--Ross--Rubinstein modell egy olyan homogén d.i.b.-$(B,S)_N$ 
modell, amelyben  minden $N$ paraméterre ($N$ a pénzügyi lépések 
száma) az $r=r_N$, $a=a_N$, és $b=b_N$, $a_N<r_N<b_N$, paramétereket 
alkalmasan választjuk. (Itt $B_{k,N}=(1+r_N)B_{k-1,N}$, 
$P(S_{k,N}=S_{k-1,N}(1+b_N))=p_N$, $P(S_{k,N}=S_{k-1,N}(1+a_N))=(1-p_N)$,
ahol $B_k=B_{k,N}$  a kötvények,  $S_k=S_{k,N}$ a részvények ára $k$-ik
üzletkötés időpontjában, és $N$ az összes üzletkötés száma. A $p_N$ 
valósz\'inűségek értékének nincs jelentősége abban a problémában,
amelyet itt tárgyalunk.) Azt mutatjuk meg, hogy ezen paraméterek 
alkalmas választása esetén nagy $N$ paraméterekre a 
Cox--Ross--Rubinstein modell hasonlóan viselkedik a Black--Sholes 
modellhez. 

Pontosabban szólva, tekintsünk egy Black--Sholes 
modellt valamilyen $r$, $\mu$ és $\sigma$ paraméterekkel az őt 
meg\-ha\-tá\-ro\-zó sztochasztikus dif\-fe\-ren\-ciál\-egyen\-let\-ben. 
Kevei Péter jegyzetében megmutatja, hogy a $r=r_N$, $a=a_N$, 
és $b=b_N$ paraméterek alkalmas választásával a 
Cox--Ross--Rubinstein modellben a $K$ kötési árú európai 
vételi opció igazságos ára ugyanennek az opciónak a fenti 
paraméterekkel definiált Black--Sholes modell szerinti 
igazságos árához konvergál, ha  $N\to\infty$. 

Legyenek az $N$ lépéses Cox--Ross--Rubinstein modellben az 
üzletkötések időpontjai a $\tau_i=i h_N$, $0\le i<N$, időpontok, 
ahol $h_N=\frac TN$. Legyen  $r_N=r\frac TN=rh_N$, ahol $r$ a
tekintett Black--Sholes modell $r$ paramétere. Ezzel a választással 
$B_{i,N}=(1+\frac {rT}N)^i\sim e^{r\tau_i}=B_{\tau_i}$ a tekintett
Black-Sholes modell $r$ és $B_t$ paramétereivel.

Definiáljuk az $a_N$ és $b_N$ paramétereket a
$$
\log\frac{1+b_N}{1+r_N}=\sigma\sqrt{h_N}, \quad
\log\frac{1+a_N}{1+r_N}=-\sigma\sqrt{h_N}
$$
képletek seg\'itségével, ahol $\sigma$ a tekintett Black--Sholes 
modell megfelelő pa\-ra\-mé\-te\-re. Azt áll\'itjuk, hogy ezzel 
a választással igaz a Cox--Ross--Rubinstein modellben az európai 
opció igazságos áráról szóló áll\'itás. Ahhoz, hogy ezt belássuk, 
fel kell idézni azt, hogy ezt az igazságos árat hogyan szám\'itjuk ki.

Először meg kell határoznunk a Cox--Ross--Rubinstein modellben
a $P^*_N$ ekvivalens martingál mértéket. Ezt a 9.1.8. Tétel 
seg\'itségével tehetjük meg. Eszerint ezen ekvivalens martingál 
mérték szerint továbbra is igaz az $S_{k,N}=(1+\rho_{k,N})S_{k-1,N}$ 
azonosság, csak ebben az esetben az egymástól független $\rho_{k,N}$
valósz\'inűségi változók eloszlását a $P(\rho_{k,N}=b_N)=p_N^*$ és
$P(\rho_{k,N}=a_N)=(1-p_N^*)$ képletek határozzák meg, ahol 
$$
p_N^*=\frac{r_N-a_N}{b_N-a_N}.
$$

Az európai $K$ kötési árú vételi opció igazságos ára az $N$
üzletkötési időpontot tartalmazó  Cox--Ross--Rubinstein modellben 
$$
C_N(K)=E^*_N\frac{|S_{N,N}-K|_+}{B_{N,N}}.
$$
Erre a kifejezésre kell jó aszimptotikus formulát adni. Annak
érdekében, hogy ezt megtehessük először az $S_{N,N}$ valósz\'inűségi 
változót \'irjuk fel al\-kal\-mas módon. Ennek érdekében vezessük
be az $Y_N$ valószinűségi változókat, amelyek a $b_N$ értékű $\rho_{k,N}$
valósz\'inűségi változók számát jelölik a $\rho_{1,N},\dots,\rho_{N,N}$ 
sorozatban. Ekkor $Y_N$ Binom$(N,p^*_N)$, ezért a
$Z_N=\frac{Y_N-Np^*_N}{\sqrt{Np^*_N(1-p^*_N)}}$ 
valósz\'inűségi változók eloszlásban konvergálnak a standard
normális eloszláshoz, ha $N\to\infty$.

A fentiek alapján  fel\'irhatjuk, hogy
\begin{eqnarray*}
S_{N,N}  \!\!\!\!\!\!\!\!\! 
&&=S_{0,N}(1+b_N)^{Y_N}(1+a_N)^{N-Y_N}
=S_{0,N}\left(\frac{1+b_N}{1+a_N}\right)^{Y_N}(1+a_N)^N \\
&&= S_{0,N}\exp\biggl\{\left( \sqrt{Np_N^*(1-p^*_N)}Z_N+Np^*_N\right)
\log \frac{1+b_N }{1+a_N } \\
&&\qquad\qquad\qquad\qquad +N\log(1+a_N)\biggr\}.
\end{eqnarray*}
Ezután alkalmas sorfejtéssel jó aszimptotikus formulát tudunk adni,
először az $a_N$ és $b_N$ majd az $S_{N,N}$ és $C_N(K)$ mennyiségekre. 
Ennek seg\'itségével megkapjuk a k\'ivánt áll\'itás bizony\'itását. 
A Kevei jegyzet bizony\'itása ezen számolások végrehajtásából áll.

Végül megjegyzem, hogy a bizony\'itás során a $P^*_N$ illetve $P^*$ 
ekvivelens martingál mértékkel és nem a Cox--Ross--Rubinstein 
illetve Black--Sholes modell $P_N$ illetve $P$ eloszlásával 
dolgoztunk. Ennek következtében a kapott eredmény nem függgött 
az első modell definiciójában szereplő $p_N$ 
va\-ló\-sz\'i\-nű\-sé\-gek\-től és a második modell 
definiciójában szereplő $\mu$ paramétertől.




\end{document}





