Pénzügyi matematika

Ebben az írásban ismertetem a pénzügyi matematika előadásban használt legfontosabb fogalmakat és eredményeket. A diszkrét idejű pénzügyi folyamatokban szereplő fogalmak és eredmények ismertetésére fogok koncentrálni, mert ezzel nem találkoztak a hallgatók korábbi tanulmányaik során. Másrészt ezek ismerete hasznos akkor is, ha a folytonos idejű pénzügyi matematika eredményeivel ismerkednek. Az ismertetés alapjául Gáll József és Pap Gyula “Bevezetés a pénzügyi matematikába” című könyvének III. Opcióelmélet című fejezete szolgál. A diszkrét idejű pénzügyi fogalmak ismertetése után tárgyalom ezen fogalmak folytonos idejű megfelelőjét is. Az utóbbi fogalmak tárgyalása Kevei Péter “Pénzügyi folyamatok folytonos időben” című jegyzetéhez kapcsolódik.

Az első ismertetendő fogalmak a kötvény, a részvény, a stratégia, ezen belül az önfinanszírozó stratégia fogalma. A diszkrét idejű piacon bizonyos 0 = t_{0} < t_{1} < ⋯ < t_{N} = T időpontokban történik üzletkötés, ahol N egy rögzített véges szám. Modellünkben szerepelnek kötvények, amelyeknek az értéke a t_{n} időpontban B_{n}, és részvények, amelyek értéke a t_{n} időpontban S_{n}, 0 ≤ n ≤ N. A kötvények és részvények között az a különbség, hogy a kötvények ára determinisztikusan, míg a részvények ára véletlenszerűen változik. Igy a kötvény ára a t_{0} = 0 időpontban B_{0}, míg a t_{n}, 1 ≤ n ≤ N, időpontban a B_{n} = (1 + r_{n})B_{n−1} képlet adja meg a kötvény értékét. Az előző képletekben szereplő a B_{0} és r_{n}, 1 ≤ n ≤ N, számok ismertek, és nem függnek a véletlentől. A részvények S_{n} értéke a t_{n}, 0 ≤ n ≤ N, időpontban a véletlentől függ. Pontosabban fogalmazva, van egy (Ω, F, P) valószínűségi mező, azon σ-algebrák növekvő F_{0} ⊂ F_{1} ⊂ ⋯ ⊂ F_{N} sorozata, (amit a jegyzet filtrációnak nevez) úgy, hogy S_{n} F_{n} mérhető minden 0 ≤ n ≤ N indexre. A t_{n} időpontban β_{n} darab kötvényünk és γ_{n} darab részvényünk van. Ezek összértéke X_{n} = β_{n}B_{n} + γ_{n}S_{n}. A β_{n} és γ_{n} számok lehetnek negatívak és nem egész értékűek is. Viszont mind a kötvények B_{n} mind a részvények S_{n} ára nem negatív, sőt B_{n} > 0, és S_{n} nem lehet azonosan nulla. Ez speciálisan azt jelenti, hogy a részvény véletlentől nem függő nulla időpontbeli S_{0} értékére S_{0} > 0.

A stratégia azt jelenti, hogy minden t_{n}, 0 ≤ n < N, időpontban bizonyos számú kötvényt és részvényt veszünk vagy eladunk. Ha a t_{n−1} időpontban π_{n−1} = (β_{n−1}, γ_{n−1}) kötvény-részvény csomagunk volt, akkor a t_{n−1} időpontban történt vételek és vásárlások hatására a t_{n} időpontban π_{n} = (β_{n}, γ_{n}) lesz a kötvény-részvény csomagunk. Az, hogy mennyi kötvényt és részvényt veszünk, az függhet a véletlentől, de amikor a t_{n−1} időpontban a vételek és vásárlások által eldöntjük hogy mi legyen a π_{n} = (β_{n}, γ_{n}) kötvény-részvény csomagunk a t_{n} időpontban, akkor csak a t_{n−1} időpontban rendelkezésünkre álló információra támaszkodhatunk. Ez formálisan azt jelenti, hogy β_{n} és γ_{n} F_{n−1} mérhető valószínűségi változók minden 1 ≤ n ≤ N indexre. Ezen kívűl feltesszük azt is, hogy F_{0} a triviális σ-algebra, azaz F_{0} = {∅, Ω}, és β_{0} és γ_{0} F_{0} mérhető valószínűségi változók, ezért a véletlentől nem függő számok. Egy a fenti tulajdonságokat teljesitő β_{n} és γ_{n} véletlen számokat tartalmazó π_{n} = (β_{n}, γ_{n}), 0 ≤ n ≤ N, sorozatot nevezünk stratégiának. Akkor mondjuk, hogy egy stratégia önfinanszírozó, ha annak alkalmazása során kölcsönt sem nem veszünk, sem nem adunk, pontosan akkora összeget fordítunk részvények vételére, amekkora összeget a kötvények eladásával nyertünk. Képletben kifejezve

β_{n−1}B_{n−1} + γ_{n−1}S_{n−1} = β_{n}B_{n−1} + γ_{n}S_{n−1}, 1 ≤ n ≤ N.

A Gáll József, Pap Gyula könyv olyan pénzügyi modelleket vizsgál, amelyek teljesítenek néhány olyan további feltételt, amelyek egyszerűsítik a tekintett pénzügyi problémák vizsgálatát. A leglényegesebb feltétel az, hogy a részvények S_{n} ára a t_{n} időpontban csak véges sok értéket vehet fel. Ezt felhasználva a szerzők csinálnak egy olyan egyszerű valószínűségi modellt az általuk vizsgált pénzügyi folyamatokra, amelyek könnyebbé teszik a problémák vizsgálatát. Az az (Ω, F, P) valószínűségi mező, amellyel dolgoznak, egy véges Ω halmazon van definiálva, amelynek elemei azok az (s_{0}, s_{1}, …, s_{N}) sorozatok, amelyekre igaz, hogy P (S_{0} = s_{0}, S_{1} = s_{1}, …, S_{N} = s_{n}) > 0. Az F σ-algebra az Ω halmaz összes részhalmazaiból áll, a részvények S_{n} ára a t_{n} időpontban és az ω = (s_{0}, s_{1}, …, s_{N}) pontban S_{n}(ω) = s_{n}, és a P valószinűségi mértéket a

P ({(s_{0}, s_{1}, …, s_{N})}) = P (S_{0} = s_{0}, S_{1} = s_{1}, …, S_{N} = s_{N})

képlet definiálja. Az F_{n} σ-algebra a legszűkebb olyan σ-algebra, amelyre az S_{0}, …, S_{n} valószínűségi változók mérhetőek, azaz ez a σ-algebra megadja minden ω = (s_{0}, s_{1}, …, s_{N}) elemi esemény s_{0}, …, s_{n} koordinátáinak az értékét. Megjegyzem, hogy feltételeink szerint s_{0} csak egyetlen értéket vehet fel.

Egy piacot úgy definiálnak, hogy tekintik a fent konstruált (Ω, F, P) valószínűségi mezőt a rajta definiált S_{n} valószínűségi változókkal és F_{n} σalgebrákkal, 0 ≤ n ≤ N, ahol S_{n} a részvények árát jelöli a t_{n} időpontban.

Ahhoz, hogy a piac definiciója teljes legyen definiálnunk kell még a kötvények B_{n} árát, ami egy B_{n}, 0 ≤ n ≤ N, sorozat megadását jelenti. (Legyen B_{n} = (1 + r_{n})B_{n−1} valamilyen ismert r_{n}, 1 ≤ n ≤ N számsorozattal.)

Egy a fenti feltételeknek eleget tevő modellt a könyv N lépéses diszkrét idejű piacnak nevez, és úgy jelöli, hogy d.i.-(B, S)_{N}. Mi is átvesszük ezt a jelölésrendszert. Itt d.i. a diszkrét idejű kifejezés rövidítése, N a lépésszámot B = (B_{1}, …, B_{N}) és S = (S_{1}, …, S_{N}) a kötvény illetve részvény árfolyamot jelöli.

Ezután a π = (π_{1}, …, π_{N}), π_{n} = (β_{n}, γ_{n}), 0 ≤ n ≤ N, stratégiát, illetve őnfinanszírozó stratégiát egy d.i.-(B, S)_{N} piacon a korábban megadott módon definiáljuk, és vagyonunk értéke a t_{n} időpontban X_{n} = β_{n}B_{n} + γ_{n}S_{n}. A könyv az X_{n}^{π} jelölést használja vagyonunk t_{n} időpontbeli X_{n} értékére, ha a π = (π_{0}, π_{1}, …, π_{N}), π_{n} = (β_{n}, γ_{n}), 0 ≤ n ≤ N, stratégiát alkalmazzuk.

Felidézek még egy eredményt a Gáll–Pap könyvből az önfinanszírozó piac jellemzéséről. Ez egy nem túl nehezen bizonyítható, de hasznos állítás, és a könyv több olyan bizonyításában, ahol önfinanszírozó piacokkal dolgoznak használják ezt az eredményt.

Ezen eredmény megfogalmazása érdekében először be kell vezetni a könyv 8.2.3. Jelölésében definiált differenciasorozatok fogalmát. Eszerint, ha adott valós számok egy a_{n}, n = 0, 1, 2 …, N, sorozata, akkor ennek differencia sorozata a Δa_{n} = a_{n} − a_{n−1}, n = 1, 2, …, N, sorozat. Igaz a következő eredmény.

8.2.7. Lemma. Egy d.i.-(B, S)_{N} piacon az alábbi megállapítások equivalensek egy π stratégia esetén.

(1) π önfinanszírozó, azaz X_{n−1}^{π} = β_{n}B_{n−1} + γ_{n}S_{n−1}, (n = 1, …, N),

(2) ΔX_{n}^{π} = β_{n}ΔB_{n} + γ_{n}ΔS_{n}, (n = 1, …, N),

(3) B_{n−1}Δβ_{n} + S_{n−1}Δγ_{n} = 0, (n = 1, …, N).

A pénzügyi matematika következő rendkívül fontos fogalma az arbitrázs mentes piac. Ez szemléletesen azt jelenti, hogy olyan a piac, hogy abban nem lehetséges önfinanszírozó stratégiával nyerni, azaz azt elérni, hogy zéró tőkével indulva egyrészt 1 valószínűséggel ne csökkenjen, másrészt pozitív valószínűséggel szigorúan nőjön a vagyonunk a t_{N} = N időpontban a kiinduló t_{0} = 0 időpontbeli helyzethez képest. Tehát, ha X_{0} = 0 kiinduló vagyonnal indulunk, akkor nem lehet olyan π önfinanszírozó stratégiát találni, amelyre P (X_{N}^{π} ≥ 0) = 1, és P (X_{N}^{π} > 0) > 0. A Gáll–Pap könyvből idemásolt 9.1.1. Definició látszólag kissé többet követel meg az olyan önfinanszírozó stratégiától, amelyik arbitrázst, azaz előnyt biztosít, és amelynek a létezését ki kívánjuk zárni. De a 9.1.1. Definiciót követő, szintén idemásolt 9.1.2. Lemmából következik, hogy a piac arbitrázs mentessége a fent leírt tulajdonságot jelenti.

9.1.1. Definició Egy d.i.-(B, S)_{N} piacon a π önfinanszírozó stratégiát arbitrázsnak nevezzük, ha

(a) X_{0}^{π} ≡ 0,

(b) X_{n}^{π} ≥ 0, 1 ≤ n ≤ N, (azaz P (X_{n}^{π} ≥ 0) = 1),

(c) ∃ ω ∈ Ω: X_{N}^{π} > 0, (azaz P (X_{N}^{π} > 0) > 0).

Azt mondjuk, hogy a piac arbitrázs mentes, amit úgy is mondhatunk, hogy a piac kizárja az arbitrázst, (más szóval az arbitrázs lehetőségét), ha nincs önfinanszírozó arbitrázs a piacon.

A fenti definicióban egy arbitrázstól többet követeltünk meg, mint az előzőleg megfogalmazott nyereséget biztosító önfinanszírozó stratégiától. Az itt szereplő (b) tulajdonságban azt követeltük meg, hogy P (X_{n}^{π} ≥ 0) = 1 minden 1 ≤ n ≤ N indexre, míg előtte csak azt írtuk elő, hogy a minket érdeklő végső N időpontban legyen P (X_{N}^{π} ≥ 0) = 1. Viszont a következő 9.1.2. Lemma azt mondja ki, hogy ha létezik az általunk megkövetelt nyereséget biztosító önfinanszírozó stratégia, akkor létezik a 9.1.1. Definicióban megfogalmazott erősebb követelményt teljesitő arbitrázs is.

9.1.2. Lemma. Tegyük fel, hogy egy d.i.-(B, S)_{N} piacon a π önfinanszírozó stratégiára teljesül, hogy X_{0}^{π} ≡ 0, P (X_{N}^{π} ≥ 0) = 1, és P (X_{N}^{π} > 0) > 0.

Ekkor létezik arbitrázs stratégia a piacon.

A pénzügyi matematika fontos kérdése, hogy egy piac mikor arbitrázs mentes. Ismertetem azt az eredményt, amely megadja, hogy egy d.i.-(B, S)_{N} piac mikor arbitrázs mentes, majd tárgyalom azt, hogy milyen kép van ezen eredmény mögött. Ahhoz, hogy ezt az eredményt megfogalmazhassuk előbb be kell vezetni a következő definiciót.

8.2.16. Definició. Legyen π egy stratégia egy d.i.-(B, S)_{N} piacon, és jelölje X_{n}^{π} a vagyonunkat az n időpontban ezen stratégia szerint. Ekkor

V_{n}^{π} = \frac{X_{n}^{π}}{B_{n}} , (0 ≤ n ≤ N)

folyamatot a π stratégia diszkontált (leszámítolt) értékfolyamatának nevezzük.

Szükségünk van még az alábbi definicióra, amit a Gáll–Pap könyvtől kissé eltérő megfogalmazásban írok le.

9.1.4. Definició. Legyen adva egy d.i.-(B, S)_{N} piac egy (Ω, F, P) valószínűségi mezőn. Azt mondjuk, hogy P^{∗} ekvivalens martingál-mérték ezen a piacon, ha

(a) P^{∗} valószínűségi mérték az (Ω, F) mezőn.

(b) P és P^{∗} ekvivalens mértékek, azaz P (A) > 0 akkor és csak akkor, ha P^{∗}(A) > 0.

(c) Az (\frac{S_{n}}{B_{n}} , F_{n}, P^{∗})_{0≤n≤N} sorozat martingált alkot.

Igaz a következő tétel. Ennek bizonyítása mély gondolatokat igényel.

9.2.1. Tétel. Egy d.i.-(B, S)_{N} piacon a következő két állítás ekvivalens.

(1) Létezik ekvivalens martingál mérték.

(2) A piac kizárja az arbitrázs lehetőségét.

Annak érdekében, hogy jobban megértsük a 9.2.1. Tétel tartalmát valamint annak okát, hogy miért vezettük be a diszkontált értékfolyamat fogalmát a 8.2.16. Definicióban idézzük fel a következő 9.1.7. Lemmát, amelynek egyébként nem nehéz a bizonyítása.

9.1.7. Lemma. A d.i.-(B, S)_{N} piacon az (\frac{S_{n}}{B_{n}} , F_{n}, P^{∗})_{0≤n≤N} sorozat akkor

és csak akkor alkot martingált, ha tetszőleges π önfinanszírozó stratégia esetén az (\frac{X_{n}^{π}}{B_{n}} , F_{n}, P^{∗})_{0≤n≤N} sorozat martingált alkot.

Megadom a 9.1.7. Lemma bizonyítását.

A 9.1.7. lemma bizonyítása. Először megmtutatom, hogy ha \frac{S_{n}}{B_{n}} martingál, és π önfinanszírozó stratégia, akkor \frac{X_{n}^{π}}{B_{n}} martingál.

Valóban, ekkor X_{n}^{π} = β_{n}B_{n} + γ_{n}S_{n}, β_{n} és γ_{n} F_{n−1} mérhető, és \frac{S_{n}}{B_{n}} martingál. Ezért

E ( \frac{X_{n}^{π}}{B_{n}} | F_{n−1}) = E ( \frac{β_{n}B_{n} + γ_{n}S_{n}}{B_{n}} | F_{n−1}) = β_{n} + γ_{n}E ( \frac{S_{n}}{B_{n}} | F_{n−1})
= β_{n} + \frac{S_{n−1}}{B_{n−1}} .

Innen, mivel π önfinanszírozó stratégia

E ( \frac{X_{n}^{π}}{B_{n}} | F_{n−1}) = \frac{β_{n}B_{n−1} + γ_{n}S_{n−1}}{B_{n−1}} = \frac{X_{n−1}^{π}}{B_{n−1}} .

Mivel ez az azonosság igaz minden n = 1, 2, … indexre, ezért \frac{X_{n}}{B_{n}} nartingál.

Az állítás másik fele nyilvánvaló. Mivel a β_{n} = 0, γ_{n} = 1 minden n = 0, 1, …, N − 1 indexre önfinanszírozó stratégia, és értéke X_{n}^{π} = S_{n}, ezért \frac{S_{n}}{B_{n}} martingál, ha \frac{X_{n}^{π}}{B_{n}} martingál minden π önfinanszírozó stratégiára.

Az, hogy a d.i.-(B, S) piacon az \frac{S_{n}}{B_{n}}, 0 ≤ n ≤ N, sorozat martingált alkot szemléletesen azt jelenti, hogy egy a nulla időpontban rendelkezésünkre álló részvény véletlen S_{n} értéke a majdani n időpontban várhatóan ugyanannyi, mint az érte vásárolható kötvények értéke ugyancsak az n időpontban. Valóban ez utóbbi értéke \frac{S_{0}}{B_{0}} B_{n}. Mind a két kifejezést elosztva a B_{n} számmal azt kapjuk, hogy a véletlen \frac{S_{n}}{B_{n}} mennyiség a majdani n időpontban várhatólag annyit ér, mint \frac{S_{0}}{B_{0}} (a nulla időpontban). Annak, hogy az \frac{S_{n}}{B_{n}} sorozat martingált alkot az a szemléletes jelentése, hogy ez igaz minden n időpontban. A (9.1.7). Lemma szerint, ha \frac{S_{n}}{B_{n}} martingál, akkor a V_{n}^{π} = \frac{X_{n}^{π}}{B_{n}} diszkontált értékfolyam szintén martingál tetszőleges π önfinanszírozó stratégiára. Ez úgy is interpretálható, hogy ha a várható vagyonunk nem változik azáltal, hogy a rendelkezésünkre álló kötvényeket részvényekre váltjuk, akkor ugyanez elmondható minden önfinanszírozó stratégiára is.

A 9.2.1. Tétel azon része, hogy az (1) állításból következik a (2) állítás egyszerűen látható. Valóban, mivel a P és P^{∗} mértékek ekvivalensek az, hogy egy π önfinanszírozó stratégia arbitrázs egyszerre igaz akár a P, akár a P^{∗} mértéket tekintjük az (Ω, F) téren. Viszont, ha X_{n}^{π} martingál a P^{∗} mérték szerint, (itt felhasználjuk azt, hogy a 9.1.7. Lemma szerint ez a helyzet az (1) esetben bármely π önfinanszírozó stratégia esetén), akkor X_{n}^{π} nem lehet arbitrázs a P^{∗} mérték szerint. Ugyanis ekkor 0 = E^{∗}X_{0}^{π} = E^{∗}X_{N}^{π}, ami ellentmond annak, hogy P^{∗}(X_{N}^{π} ≥ 0) = 1, és P^{∗}(X_{N}^{π} > 0) > 0. (Itt azt a konvenciót alkalmaztuk, hogy E^{∗} jelöli a várható értéket a P^{∗} valószínűségi mérték szerint, és ezt a konvenciót fogjuk alkalmazni a későbbiekben is.)

A 9.2.1. Tétel második fele nehezebben bizonyítható. Itt ugyanis meg kell konstruálni egy olyan P^{∗} valószínűségi mértéket, amelyre az \frac{S_{n}}{B_{n}} sorozat martingál, és ezen kívül még a P^{∗} és P mértékeknek ekvivalenseknek is kell lenniük. Ez a konstrukció érdekes új gondolatokat igényel, amelyeket ebben a bevezető írásban nem tárgyalok.

A pénzügyi matematika következő fontos fogalma az opció, amelynek vizsgálata további érdekes matematikai problémákat vet fel. Az opció jogot jelent arra, hogy bizonyos szabályok szerint részvényeket vegyünk (ezt nevezik az irodalomban vételi opciónak), vagy eladjunk (eladási opció). A legismertebb, legnépszerűbb opciók az úgynevezett európai és amerikai opció. Az európai opció azt jelenti, hogy a kereskedési periódus T_{N} = N lezártakor egy bizonyos előre megadott K áron jogom van részvényeket venni vagy eladni. Az amerikai opció hasonló jogot jelent, de ekkor bármely t_{n}, 0 ≤ n ≤ N, időpontban jogom van részvényt venni vagy eladni egy előre rögzített K áron. A Gáll–Pap könyv elsősorban az európai opcióval és az annak alkalmazásával kapcsolatos matematikai problémákkal foglalkozik.

Az opció általános esete hasonló jogot jelent bizonyos szabályok szerinti vételre vagy eladásra, de az általános esetben az eladási ár nem feltétlenül konstans, hanem, például, ha a vétel vagy eladás csak a t_{N} = N időpontban lehetséges, akkor a részvény vételi vagy eladási ára függhet a részvénypiac viselkedésétől a t_{N} = N időpontig, azaz ez egy F_{N} σ-algebra szerint mérhető függvény.

Világos, hogy egy opció előnyt jelent, hiszen csak akkor fogok részvényeket venni vagy eladni, ha az számomra előnyös. Ezért természetes bevezetni egy opciós árat, ami ellensúlyozza az opció alkalmazásának a nyereségét. A fő probléma az, hogy mi az igazságos opciós ár. Olyan opciós árat szeretnénk bevezetni, amivel a piac az opciók bevezetése után is igazságos marad. E probléma megjelenése természetessé tette bizonyos fogalmak bevezetését. Először bevezetjük a véletlen követelés fogalmát.

Egy f_{N}: R^{N+1} → R függvény által meghatározott f_{N} véletlen követelés az f_{N}(S_{0}, …, S_{N}) valószínűségi változó. Jelentése az, hogy S_{0}, …, S_{N} részvényárak esetén f_{N}(S_{0}, …, S_{N}) követelésünk van az N időpontban. A minket érdeklő kérdés az, hogy mekkora fedezetet kell biztosítani e követelés teljesítése érdekében. E kérdés vizsgálata érdekében bevezették a fedezeti stratégia és a tökéletes fedezeti stratégia fogalmát.

8.2.10. Definició. Legyen adott egy d.i.-(B, S)_{N} piac, egy x ∈ R szám és egy f_{N} = f_{N}(x_{0}, …, x_{N}): R^{N+1} → R^{1} függvény. Egy önfinanszírozó π = {π_{n}}_{n=0}^{N} stratégiát (x, f_{N}) fedezetnek (vagy fedezeti stratégiának) nevezünk, ha

X_{0}^{π} = x,

és

X_{N}^{π}(ω) ≥ f_{N}(S_{0}, S_{1}(ω), …, S_{N}(ω)), ∀ ω ∈ Ω.

Ha X_{N}^{π}(ω) = f_{N}(S_{0}, S_{1}(ω), …, S_{N}(ω)), ∀ ω ∈ Ω, akkor azt mondjuk, hogy π minimális (x, f_{N}) fedezet vagy másképpen úgynevezett tökéletes fedezeti stratégia.

Az összes önfinanszírozó (x, f_{N}) fedezeti stratégiák halmazát Π(x, f_{N})-nel fogjuk jelölni.

Érdemes még felidézni az alábbi definiciókat a Gáll–Pap könyvből.

8.2.12. Definició. Legyen f_{N}: R^{N+1} → R egy függvény. Ekkor egy d.i.-(B, S)_{N} piacon a

C_{N,f_{N}} = inf{x ∈ R: Π(x, f_{N}) ≠ ∅}

értéket a t_{N} időre legalább f_{N}(S_{0}, S_{1}(ω), …, S_{N}(ω)) (∀ω ∈ Ω) tőkét biztosító tőkének (befektetési költségnek) nevezzük.

10.1.4. Definició. A d.i.-(B, S)_{N} piacot teljesnek nevezzük, ha tetszőleges ξ (azaz tetszőleges F_{N} mérhető ξ) valószínűségi változóhoz létezik olyan π önfinanszírozó stratégia, amelyre

X_{N}^{π}(ω) = ξ(ω) ∀ω ∈ Ω esetén.

Megjegyzem, hogy az F_{N} mérhető valószínűségi változók halmaza megegyezik az f_{N}(S_{0}, S_{1}(ω), …, S_{N}(ω)), f_{N}: R^{N+1} → R alakban felírható valószínűségi változók halmazával valamely f_{N} függvénnyel.

Szeretnénk definiálni egy opció igazságos árát egy arbitrázs mentes piacon. Ebben a jegyzetben csak olyan opciók vizsgálatával foglalkozunk, amelyekben a t_{N} = N időpontban valamely ξ = f_{N}(S_{0}, S_{1}(ω), …, S_{N}(ω)) áron vehetünk vagy adhatunk el részvényeket. E kérdés vizsgálatában érdemes definiálni először egy f_{N}: R^{N+1} → R függvény által meghatározott f_{N}(S_{0}, …, S_{N}) véletlen követelés igazságos árát.

E kérdés vizsgálatában érdemes alkalmazni a 9.2.1. Tétel eredményét, amely szerint egy arbitrázs mentes piacon létezik (a 9.1.4. Definicióban definiált) ekvivalens martingál mérték. A következő eredmény nagyon hasznos az előbb felvetett kérdés vizsgálatában.

11.1.9. Lemma. Legyen π egy önfinanszírozó (x, f_{N}) fedezeti stratégia egy d.i.-(B, S)_{N} piacon. ahol x ∈ R és f_{N}: R^{N+1} → R, és tegyük fel, hogy P^{∗} egy ekvivalens martingál mérték a piacon.

Ekkor

x ≥ \frac{B_{0}}{B_{N}} E^{∗}f_{N}(S_{0}, S_{1}, …, S_{N}),

és ha π ráadásul minimális (x, f_{N}) fedezeti stratégia, akkor

x = \frac{B_{0}}{B_{N}} E^{∗}f_{N}(S_{0}, S_{1}, …, S_{N}).

A 11.1.9. Lemma bizonyítása viszonylag egyszerű. Felhsználhatjuk, hogy a 9.1.7. Lemma szerint (\frac{X_{n}^{π}}{B_{n}} , F_{n}, P^{∗}) martingál tetszőleges π önfinanszírozó stratégiára egy P^{∗} equivalens martingál mérték szerint, és olyan π önfinanszírozó stratégiát tekinthetünk, amelyre X_{0}^{π} = x, és

X_{N}^{π}(ω) ≥ f_{N}(S_{0}, S_{1}(ω), …, S_{N}(ω))

az első, illetve X_{N}^{π}(ω) = f_{N}(S_{0}, S_{1}(ω), …, S_{N}(ω)) a második esetben minden ω ∈ Ω pontban.

Egy f_{N}: R^{N+1} → R függvény által meghatározott f_{N}(S_{0}, …, S_{N}) véletlen követelés igazságos árát úgy definiáljuk, mint a 8.2.12. Definicióban bevezetett C_{N,f_{N}} befektetési költséget. A 11.1.9. Lemmából és a C_{N,f_{N}} mennyiség definiciójából következik, hogy az f_{N} véletlen követelés C_{N,f_{n}} igazságos ára teljesíti a C_{N,f_{N}} ≥ \frac{B_{0}}{B_{N}} E^{∗}f_{N}(S_{0}, S_{1}, …, S_{N}) egyenlőtlenséget. Másrészt, ha létezik minimális (x, f_{N}) fedezeti stratégia akkor

C_{N,f_{N}} = \frac{B_{0}}{B_{N}} E^{∗}f_{N}(S_{0}, S_{1}, …, S_{N}).

A véletlen követelések igazságos árának a bevezetése lehetővé teszi bizonyos esetekben az igazságos opciós ár természetes meghatározását is. Tekintsük például az európai vételi opciót az N időpontban valamilyen K vételi árral. Ebben az esetben akkor élünk a vételi jogunkkal, ha S_{N} > K, és ekkor S_{N} − K nyereményünk lesz. Ha S_{N} ≤ K, akkor nem élünk vételi jogunkkal, így nyereményünk ebben az esetben zéró. Azt mondhatjuk tehát, hogy az európai vételi opció K árral max(S_{N} −K, 0) = |S_{N} −K|_{+} nyereséget biztosít számunkra. Ezért természetes a K árral definiált európai vételi opció opciós árát úgy definiálni, mint az |S_{N} − K|_{+} véletlen követelés igazságos árát, és ezt a definiciót fogjuk választani. Megjegyzem, hogy ugyanezt az érvelést folytonos idejű pénzügyi folyamatok esetében is alkalmazhatjuk. Ezért abban az esetben a K árral definiált európai vételi opció opciós árát úgy definiáljuk, mint az |S_{T} − K|_{+} véletlen követelés igazságos árát.

Láttuk, hogy, akkor tudjuk meghatározni egy f_{N}(S_{0}, …, S_{N}) véletlen követelés igazságos árát, ha létezik olyan π önfinanszírozó stratégia, amelyre X_{N}^{π} = f_{N}(S_{0}, …, S_{N}). Ekkor ugyanis létezik tökéletes fedezeti stratégia bármely véletlen követelésre. Ezért szeretnénk tudni, hogy mikor oldható meg az X_{N}^{π} = ξ egyenlet tetszőleges ξ valószínűségi változóra. Ez tette természetessé a 10.1.4. Definició bevezetését a piac teljességéről.

Ismertetem a 10.1.5. Tétel eredményét, amely megadja annak szükséges és elégséges feltételét, hogy egy piac teljes legyen. A Gáll–Pap könyvtől eltérően ezt a tételt két részben, egy 10.1.5.A és egy 1.0.1.5.B Tételben mondom ki.

10.1.5.A Tétel. Tegyük fel, hogy a d.i.-(B, S)_{N} piacon létezik P^{∗} ekvivalens martingál mérték. Ekkor a következő két állítás ekvivalens.

(1) A piac teljes.

(2) P^{∗} az egyetlen ekvivalens martingál mérték a piacon.

Számunkra a 10.1.5. Tételnek az A része az igazán érdekes. Annak bizonyítása, hogy az (1) állításból következik a (2) állítás viszonylag egyszerű.

Ugyanis legyen P^{∗} és P^{∗∗} két ekvivalens martingál, és ξ tetszőleges F_{N} mérhető valószínűségi változó. Ha a piac teljes, akkor létezik olyan π önfinanszírozó stratégia, amelyre \frac{B_{N}}{B_{0}} ξ = X_{N}^{π}. Ekkor E^{∗}ξ = E^{∗} \frac{B_{0}}{B_{N}} X_{N}^{π} = E^{∗}X_{0}^{π} = X_{0}^{π}, és E^{∗∗}ξ = E^{∗∗} \frac{B_{0}}{B_{N}} X_{N}^{π} = E^{∗∗}X_{0}^{π} = X_{0}^{π}. Ezért E^{∗}ξ = E^{∗∗}ξ. Mivel ez minden F_{N} mérhető ξ valószínűségi változóra igaz, innen következik, hogy P^{∗} = P^{∗∗}.

Ebben az érvelésben kissé rejtve használtuk ki azt, hogy a tekintett martingálok ekvivalensek, azaz olyan P^{∗} és P^{∗∗} mértékekkel dolgozunk, amelyek egyrészt abszolút folytonosak a P mértékre nézve, másrészt a P mérték is abszolút folytonos rájuk nézve. Azt használtuk ki, hogy E^{∗}X_{0}^{π} = E^{∗∗}X_{0}^{π} = X_{0}^{π}. Ugyanis X_{0}^{π} egy konstanssal egyenlő 1 valószínűséggel a P ezért a P^{∗} és P^{∗∗} mérték szerint is. Az E^{∗}X_{0}^{π} = E^{∗∗}X_{0}^{π} azonosság azért igaz, mert egy a P^{∗} illetve P^{∗∗} mérték szerint 1 valószínűséggel konstans valószínűségi változó 1 valószínűséggel konstans a P mérték szerint is.

A másik irányú állítás bizonyítása lényegesen nehezebb. Azt kell megmutatni, hogy ha az X_{N}^{π} alakban előállítható valószínűségi változók halmaza kisebb, mint az összes F_{N} mérhető valószínűségi változók halmaza, akkor a 9.2.1. Tételben konstruált P^{∗} ekvivalens martingál mértéken kívül lehet konstruálni attól különböző ekvivalens martingál mértéket is. Ennek bizonyítása hasonló gondolatokon alapul, mint a 9.2.1. Tételé.

A 10.1.5.A Tétel azt állítja, hogy egy teljes piacon egyetlen ekvivalens martingál mérték létezik. Ugyanakkor létezhetnek további martingál mértékek is, amelyek nem ekvivalensek. Ez jelen esetben azt jelenti, hogy lehetnek még olyan P′ martingál mértékek, amelyekre van olyan A halmaz, amelyre P (A) > 0, de P′(A) = 0. Az ilyen martingál mértékek pontos leírásáról szól a 10.1.5.B Tétel.

10.1.5.B Tétel. Tegyük fel, hogy teljesülnek a 10.1.5.A. Tétel feltételei. Ekkor az ott megfogalmazott (1) és (2) állítások ekvivalensek az alábbi (3) állítással.

(3) Tetszőleges (M_{n}, F_{n}, P^{∗})_{0≤n≤N} martingál előállítható

M_{n} = M_{0} + ∑_{k=1}^{n} γ_{k}Δm_{k}, n = 1, …, N,

alakban, ahol a γ_{n}-ek F_{n−1}-mérhető valószínűségi változók, (n = 1, …, N), és

m_{n} = \frac{S_{n}}{B_{n}} , ha n = 1, …, N.

Van egy speciális, úgynevezett bináris piac, amely külön figyelmet érdemel, és amelyet a Gáll–Pap könyv is külön tárgyal. Ismertetem ennek definicióját, és megadom a róla szóló legfontosabb eredményt. A bináris piacot a Gáll–Pap könyv a 8.1.6. Definicióban vezeti be.

8.1.6. Definició. (Diszkrét idejű (B, S)_{N} bináris piac.) Egy az (Ω, F, P) valószínűségi mezőn B = (B_{n}) kötvényekkel, S = (S_{n}) részvényekkel és N kereskedési időponttal megadott piacot bináris piacnak nevezünk {r_{n}} kamatlábakkal, {a_{n}}, és {b_{n}} együtthatókkal, és {p_{n}} valószínűségekkel, ha

(a) r_{n} > −1, −1 < a_{n} < b_{n} minden n = 1, …, N esetén.

(b) A kötvény árfolyamára teljesül a

B_{n} = (1 + r_{n})B_{n−1}, n = 1, …, N,

egyenlőség.

(c) A részvény S = {S_{n}}_{n=0}^{N} árfolyama kielégíti az

S_{n} = (1 + ρ_{n})S_{n−1}, n = 1, …, N,

egyenlőséget, ahol ρ_{n} olyan valószínűségi változó, amelyre ρ_{n} = a_{n} vagy ρ_{n} = b_{n}, és p_{n} = P (ρ_{n} = b_{n}) = 1 − P (ρ_{n} = a_{n}), 0 < p_{n} < 1, n = 1, …, N. Az Ω halmaz az összes ω = (ρ_{1}, …, ρ_{N}) alakú sorozatból áll, és végül

(d) 𝔽 = (F_{n}) a ρ_{1}, …, ρ_{N} valószínűségi változók által generált filtráció, azaz F_{0} = {∅, Ω}, és F_{n} = σ(ρ_{1}, …, ρ_{n}}, ahol n = 1, …, N.

Megjegyzem, hogy az a kitétel, amely szerint az Ω halmaz az összes ω = (ρ_{1}, …, ρ_{N}) alakú sorozatból áll, azt jelenti, hogy P (ρ_{1} = x_{1}, …, ρ_{N} = x_{N}) > 0 minden olyan (x_{1}, …, x_{N}) sorozatra, amelyre x_{n} = a_{n} vagy x_{n} = b_{n} minden 1 ≤ n ≤ N indexre.

A fentebb definiált diszkrét idejű (B, S)_{N} bináris piac megnevezésére a Gáll–Pap könyv d.i.b.-(B, S)_{N} jelölést használja. (A d.i.b. a diszkrét idejű bináris rövidítése.) Ugyancsak megadja a könyv e fogalom speciális esetét, a diszkrét idejű homogén bináris piacok fogalmát is. Ezek olyan d.i.b.-(B, S) piacok, amelyekre a 8.1.6. Definicióban szereplő ρ_{n} valószínűségi változók függetlenek, 1 ≤ n ≤ N, és az a_{n}, b_{n}, r_{n}, p_{n} számok nem függnek az n paramétertől.

Felidézem az alábbi, a diszkrét idejű (B, S)_{N} bináris piacok legfontosabb tulajdonságait kimondó tételt.

9.1.8.Tétel. Tekintsünk egy olyan d.i.b.-(B, S)_{N} piacot, ahol az {r_{n}}_{n=1}^{N} kamatlábakra és az {a_{n}}_{n=1}^{N}, {b_{n}}_{n=1}^{N} együtthatókra teljesülnek az a_{n} < r_{n} < b_{n}, (n = 1, …, N) egyenlőtlenségek. Idézzük fel, hogy Ω elemei tekinthetőek a ρ_{1}, …, ρ_{N} valószínűségi változók realizációiból álló halmaznak. Véve egy

ω = {(x_{1}, …, x_{N})|x_{i} ∈ {a_{,}b_{i}}, i = 1, …, N},

elemi eseményt legyen

P^{∗}(\{(x_{1}, …, x_{N})\}) = ∏_{\begin{matrix}1≤n≤N \\ x_{n}=b_{n} \end{matrix}} p_{n}^{∗} ∏_{\begin{matrix}1≤n≤N \\ x_{n}=a_{n} \end{matrix}}(1 − p_{n}^{∗}),

ahol p_{n}^{∗} = \frac{r_{n}−a_{n}}{b_{n}−a_{n}}, n = 1, 2, …, N.

Ekkor P^{∗} az egyetlen ekvivalens martingál mérték a piacon, Speciálisan

P^{∗}(ρ_{n} = b_{n}) = 1 − P^{∗}(ρ_{n} = a_{n}) = p_{n}^{∗}, n = 1, …, N,

és a ρ_{1}, …, ρ_{N} hozamok P^{∗}-függetlenek.

A 9.1.8. Tétel szerint egy olyan d.i.b.-(B, S)_{N} piacnak, amelyre a_{n} < r_{n} < b_{n} minden 1 ≤ n ≤ N indexre van ekvivalens martingál mértéke, tehát arbitrázs mentes, sőt egyetlen ekvivalens martingál mértéke van, ami azt jelenti, hogy egy ilyen piac teljes. Ráadásul ezt az ekvivalens martingál mértéket explicit módon meg tudtuk adni, és ez a mérték egyszerű szerkezetű szorzat mérték. Ez lehetővé teszi, hogy tudjunk vele számolni. Erre példát mutat a Kevei Péter könyv egyik eredménye, amelyben a Black–Sholes formula előáll, mint az úgynevezett Cox–Ross–Rubinstein árazási formula határértéke. Az ebben az eredményben tekintett Cox–Ross–Rubinstein modell egy alkalmas paraméterekkel választott d.i.b.-(B, S)_{N} piac.

Megjegyzem, hogy a 9.1.8. Tételben szereplő a_{n} < r_{n} < b_{n} minden 1 ≤ n ≤ N indexre feltétel természetes. Ugyanis igaz a következő, a 9.2.3. Következményben megfogalmazott állítás.

9.2.3. Következmény. Tekintsünk egy d.i.b.-(B, S) piacot. Jelölje {r_{n}}_{n=1}^{N} a kamatlábakat, és {a_{n}}_{n=1}^{N}, {b_{n}}_{n=1}^{N} az együtthatókat. Ekkor a következő állítások ekvivalensek.

(1) Létezik ekvivalens martingál mérték.

(2) A piac kizárja az arbitrázs lehetőségét.

(3) a_{n} < r_{n} < b_{n} teljesül minden n = 1, …, N esetén.

Ezután Kevei Péter “Pénzügyi folyamatok folytonos időben” című jegyzetét tekintem át. Azt magyarázom el, hogy az ott bevezetett fogalmak és eredmények a diszkrét idejű folyamatok tárgyalásában bevezetett fogalmak és eredmények természetes megfelelői.

Először a diszkrét idejű modellekben bevezetett kötvény, részvény, pénzügyi stratégia, önfinanszírozó stratégia folytonos idejű megfelelőit kell definiálnunk.

Egy folytonos idejű piacon egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőt értünk egy F_{t}, 0 ≤ t ≤ T, filtrációval (feltesszük, hogy T valamely rögzített véges szám), ahol kötvényeket és részvényeket lehet venni és eladni. A kötvények B_{t} ára egy t időpontban rögzített determinisztikus szám, míg a részvények t időpontbeli S_{t} ára a véletlentől függ. Az S_{t}, 0 ≤ t ≤ T, sztochasztikus folyamat egy az F_{t} σ-algebrákhoz adaptált Itô folyamat.

Egy stratégia (portfólió) olyan π_{t} = (β_{t}, γ_{t}), 0 ≤ t ≤ T, az F_{t} σalgebrákhoz adaptált sztochasztikus folyamat, amelyre

∫_{0}^{T} |β_{t}| dt < ∞, és ∫_{0}^{T} γ_{t}^{2} dt < ∞.

Itt β_{t} jelöli a t időpontbeli kötvényeink, és γ_{t} a t időpontbeli részvényeink számát a π_{t} = (β_{t}, γ_{t}), 0 ≤ t ≤ T, stratégia alkalmazása esetén. (β_{t} és γ_{t} valós számok, amelyek negatív értéket is felvehetnek.) A π portfólió értéke a t időpontban

X_{t}^{π} = β_{t}B_{t} + γ_{t}S_{t}.

Definiálni akarjuk a diszkrét idejű esethez hasonlóan az önfinanszírozó stratégiákat a folytonos időben is. A Kevei könyv bebizonyítja, hogy a diszkrét idejű önfinanszírozó stratégiákra érvényes az

X_{n+1}^{π} − X_{n}^{π} = β_{n+1}(B_{n+1} − B_{n}) + γ_{n+1}(S_{n+1} − S_{n}).

azonosság. (Megjegyzem, hogy ez a képlet megegyezik a diszkrét idejű önfinanszírozó stratégiáknak a Gáll–Pap könyv 8.2.7. Lemmájában megadott (2) jellemzésével.) Ezen formula természetes folytonos idejű megfelelője a

dX_{t}^{π} = β_{t}dB_{t} + γ_{t}dS_{t}

sztochasztikus differenciálegyenlet, és ezt választjuk az önfinanszírozó stratégia definiciójának a folytonos idejű piacok esetében.

Érdemes definiálni a 8.2.16. Definicióban bevezetett diszkrét idejű diszkontált értékfolyamat folytonos megfelelőjét is. Ez az S̄_{t} = S_{t} \frac{B_{0}}{B_{t}} képlettel definiált diszkontált részvényárfolyam és az X̄_{t}^{π} = X_{t}^{π} \frac{B_{0}}{B_{t}} képlettel definiált diszkontált értékfolyamat. (Ezek a mennyiségek jelennek meg a diszkrét folyamatoknál fellépő martingál problémák folytonos megfelelőjében.) Az egyszerűség kedvéért a Kevei jegyzet csak azzal a speciális esettel foglalkozik, amikor B_{t} = e^{rt} valamely r > 0 számra. Ebben az esetben

S̄_{t} = e^{−rt}S_{t}. és X̄_{t}^{π} = e^{−rt}X_{t}^{π}.

Érdemes az önfinanszírozó stratégia definicióját átfogalmazni, és azt az S_{t} és B_{t} mennyiségek helyett az S̄_{t} (és a képletben végül nem megjelenő B̄_{t}) mennyiségek segítségével adni meg. Erről szól a Kevei jegyzet 6. Állítása.

6. Állítás. A π_{t} = (β_{t}, γ_{t}) stratégia pontosan akkor önfinanszírozó, ha

X̄_{t}^{π} = X̄_{0}^{π} + ∫_{0}^{t} γ_{s} dS̄_{s}, t ∈ [0, T].

Ezek után definiáljuk az arbitrázs fogalmát, ami a diszkrét idejű arbitrázs természetes megfelelője. A π önfinanszírozó stratégia akkor arbitrázs stratégia, ha X_{0}^{π} = 0 majdnem biztosan, X_{T}^{π} > 0 majdnem biztosan, és P (X_{T}^{π} > 0) > 0. A piac arbitrázs mentes, ha nincs rajta arbitrázs stratégia.

Szeretnénk tudni, hogy mikor mondhatjuk azt, hogy egy folytonos idejű piac arbitrázs mentes. Erre csak egy (jó) elégséges feltételt tudunk adni. Az ezen feltételt kimondó tétel a diszkrét idejű esetről szóló 9.2.1. Tétel könnyebbik felének a természetes folytonos idejű megfelelője. Kevei Péter is felidézi azt a definiciót, hogy mikor mondunk egy P és Q mértéket ekvivalensnek (pontosabban fogalmazva ekvivalensnek egy F σ-algebra szerint). Akkor mondjuk, hogy ezek a mértékek ekvivalensek, ha mind P abszolút folytonos a Q mértékre nézve, mind Q abszolút folytonos a P mértékre nézve. A Kevei jegyzet az EMM (ekvivalens martingál mérték) fogalmat használja egy olyan Q mértékre, amely ekvivalens a P mértékkel az F_{T} σ-algebra szerint, és amelyre nézve az S̄_{t} diszkontált részvényárfolyam martingál. Ezután bebizonyítja a következő eredményt.

6. Tétel. Ha az (Ω, A, S_{t}) valószínűségi mezőn F_{t} filtrációval valamilyen S_{t} részvényekkel és B_{t} = e^{rt} kötvényekkel definiált folytonos idejű piacon létezik Q EMM, akkor a piac arbitrázs mentes.

A Kevei jegyzet tárgyalja 8.2.10. Definicióban bevezetett diszkrét idejű fedezeti stratégia folytonos idejű megfelelőjét is. Először definiálja egy f_{T} véletlen követelés fogalmát. Azt mondja, hogy az f_{T} véletlen követelések az F_{T} mérhető valószínűségi változók. Egy π önfinanszírozó stratégia fedezeti stratégia az f_{T} véletlen követelésre x kezdőtőkével, röviden fogalmazva π (x, f_{T}) fedezet, ha

X_{T}^{π} ≥ f_{T} majdnem biztosan, és X_{0}^{π} = x.

Az f_{T} követelés C_{T} (f_{T}) igazságos árát a Kevei jegyzet úgy definiálja, mint a legkisebb olyan x értéket, amelyre létezik (x, f_{T}) fedezet, azaz

C_{T} (f_{T}) = inf{x ≥ 0: létezik (x, f_{T}) fedezet}.

Nem nehéz belátni a 6. Tétel segítségével azt, hogy ha létezik egy Q EMM, akkor tetszőleges f_{T} véletlen követelésre

C(T, f_{T}) ≥ E_{Q}(e^{−rT} f_{T})

az ezen Q mérték szerint vett várható értékkel.

A továbbiakban a Kevei jegyzet pénzügyi része elsősorban a Black–Sholes modellel foglalkozik. Ebben olyan B_{t} kötvény és S_{t} részvényárfolyamot vizsgálunk, amelyeket a

dB_{t} = rB_{t} dt, B_{0} = 1,
dS_{t}(ω) = μS_{t}(ω) dt + σS_{t}(ω) dW_{t}(ω0, S_{0}(ω) = S_{0}

egyenlet határoz meg. Ebben az esetben B_{t} = e^{rt}, és az S_{t} részvényár értéket szintén fel tudjuk írni a Kevei jegyzetben tárgyalt 7. Példa alapján. A Black– Sholes modell a homogén d.i.b.-(B, S) modellek természetes folytonos idejű megfelelője.

Érdemes felírni Black–Sholes modellt meghatározó egyenletet az S̄_{t} diszkontált részvényárfolyamra is. Az így kapott egyenlet is megoldható, és ezt felhasználva a Girsanov tétel valamint a 6. Tétel alapján meg lehet mutatni, hogy a Black–Sholes modell arbitrázs mentes. Sőt, fel tudjuk írni explicit módon a Black–Sholes modell esetében a 6. Tételben megjelenő Q = P_{μ} EMM-t is, és ez hasznos a további vizsgálatokban.

A jegyzet következő eredménye arról szól, hogy egy Black–Sholes modellben tetszőleges olyan e^{−rT} f_{T} véletlen követelés, amelyre E_{μ}e^{−2rT} f_{T}^{2} < ∞, ahol E_{μ} várható értéket jelöl azon P_{μ} mérték szerint, amelyik a Black-Sholes modellben EMM, felírható X_{T}^{π} = e^{−rT} f_{T} alakban, ahol π alkalmasan definiált önfinanszírozó stratégia. Hasonló problémák vizsgálatával a diszkrét idejű pénzügyi folyamatok tárgyalásában is találkoztunk. Ott az a kérdés érdekelt minket, hogy mely pénzügyi piacok teljesek. A teljesség fogalmát a 10.14. Definicióban vezettük be. A most megfogalmazott eredmény bizonyítása felhasznál néhány mély, a jegyzetben bizonyítás nélkül közölt tételt, de a bizonyítás módszere természetes. Mivel a keresett X̄_{t}^{π} folyamat martingál a P_{μ} mérték szerint, ezért természetes az e^{−rT} f_{T} valószínűségi változót beágyazni egy N_{t}, 0 ≤ t ≤ T, martingálba úgy, hogy N_{T} = e^{−rT} f_{T}. Ezt a következő formulában tesszük meg.

N_{t} = E_{μ} (e^{−rT} f_{T} |F_{t}) , 0 ≤ t ≤ T.

Ezután a Kevei jegyzet felhasznál egy ott korábban bizonyítás nélkül kimondott eredményt, amely szerint egy martingál felírható egy alkalmas Wiener folyamat szerinti Itô integrál formájában. Ezen eredmény segítségével Kevei Péter az előbb definiált N_{t} martingált felírja

N_{t} = N_{0} + ∫_{0}^{t} Y_{s} dW̃_{s}^{μ},

alakban, ahol N_{0} = E_{μ}e^{−rT} f_{T}, W̃_{s}^{μ} a P_{μ} EMM kiszámítása során explicit módon megadott Wiener folyamat a P_{μ}, mérték szerint, és Y_{t} alkalmas adaptált folyamat. Ezután természetes módon meg lehet találni azt a önfinanszírozó π_{t} = (β_{t}, γ_{t}) stratégiát, amelyre egyrészt N_{t} = X̄_{t}^{π}, másrészt β_{t}B_{t} +γ_{t}S_{t} = X_{t}^{π} = e^{rt}N_{t}. Kevei Péter jegyzetében ezt megteszi, és a kapott eredményt a következő lemmában fogalmazza meg.

7. Lemma. A jegyzetben a 7. Lemma előtt megkonstruált (π_{t} = (β_{t}, γ_{t})) stratégia önfinanszírozó, X̄_{t}^{π} = N_{t}, minden 0 ≤ t ≤ T indexre, és N_{T} = e^{−rT} f_{T}.

Nem nehéz belátni a 7. Lemma segítségével a következő eredményt.

7. Tétel. A Black–Sholes modellben egy f_{T} követelés igazságos ára

C_{T} (f_{T}) = E_{μ}(e^{−rT} f_{T}).

A 7. Tétel eredményét alkalmazhatjuk speciálisan az európai opció igazságos árának a meghatározására. Ebben az esetben a 7. Tételt az f_{T} = |S_{T} − K|_{+} követelés választásával kell alkalmazni, ahol K az európai opció kifizetési függvénye. Kevei Péter megoldja ezt a feladatot, és eredményként megkapja a híres Black–Sholes formulát.

A Kevei jegyzet közvetlenül pénzügyi folyamatokról szóló részének utolsó témája a diszkrét idejű pénzügyi folyamatok vizsgálatában bevezetett Cox– Ross–Rubinstein modell és a Black–Sholes modell viselkedésének az összehasonlítása.

A Cox–Ross–Rubinstein modell egy olyan homogén d.i.b.-(B, S)_{N} modell, amelyben minden N paraméterre (N a pénzügyi lépések száma) az r = r_{N}, a = a_{N}, és b = b_{N}, a_{N} < r_{N} < b_{N}, paramétereket alkalmasan választjuk. (Itt B_{k,N} = (1 + r_{N})B_{k−1,N}, P (S_{k,N} = S_{k−1,N}(1 + b_{N})) = p_{N}, P (S_{k,N} = S_{k−1,N}(1 + a_{N})) = (1 − p_{N}), ahol B_{k} = B_{k,N} a kötvények, S_{k} = S_{k,N} a részvények ára k-ik üzletkötés időpontjában, és N az összes üzletkötés száma. A p_{N} valószínűségek értékének nincs jelentősége abban a problémában, amelyet itt tárgyalunk.) Azt mutatjuk meg, hogy ezen paraméterek alkalmas választása esetén nagy N paraméterekre a Cox–Ross–Rubinstein modell hasonlóan viselkedik a Black–Sholes modellhez.

Pontosabban szólva, tekintsünk egy Black–Sholes modellt valamilyen r, μ és σ paraméterekkel az őt meghatározó sztochasztikus differenciálegyenletben. Kevei Péter jegyzetében megmutatja, hogy a r = r_{N}, a = a_{N}, és b = b_{N} paraméterek alkalmas választásával a Cox–Ross–Rubinstein modellben a K kötési árú európai vételi opció igazságos ára ugyanennek az opciónak a fenti paraméterekkel definiált Black–Sholes modell szerinti igazságos árához konvergál, ha N → ∞.

Legyenek az N lépéses Cox–Ross–Rubinstein modellben az üzletkötések időpontjai a τ_{i} = ih_{N}, 0 ≤ i < N, időpontok, ahol h_{N} = \frac{T}{N}. Legyen r_{N} = r\frac{T}{N} = rh_{N}, ahol r a tekintett Black–Sholes modell r paramétere. Ezzel a választással B_{i,N} = (1 + \frac{rT}{N})^{i} ∼ e^{rτ_{i}} = B_{τ_{i}} a tekintett Black-Sholes modell r és B_{t} paramétereivel.

Definiáljuk az a_{N} és b_{N} paramétereket a

log \frac{1 + b_{N}}{1 + r_{N}} = σ\sqrt{h_{N}}, log \frac{1 + a_{N}}{1 + r_{N}} = −σ\sqrt{h_{N}}

képletek segítségével, ahol σ a tekintett Black–Sholes modell megfelelő paramétere. Azt állítjuk, hogy ezzel a választással igaz a Cox–Ross–Rubinstein modellben az európai opció igazságos áráról szóló állítás. Ahhoz, hogy ezt belássuk, fel kell idézni azt, hogy ezt az igazságos árat hogyan számítjuk ki.

Először meg kell határoznunk a Cox–Ross–Rubinstein modellben a P_{N}^{∗} ekvivalens martingál mértéket. Ezt a 9.1.8. Tétel segítségével tehetjük meg. Eszerint ezen ekvivalens martingál mérték szerint továbbra is igaz az S_{k,N} = (1 + ρ_{k,N})S_{k−1,N} azonosság, csak ebben az esetben az egymástól független ρ_{k,N} valószínűségi változók eloszlását a P (ρ_{k,N} = b_{N}) = p_{N}^{∗} és P (ρ_{k,N} = a_{N}) = (1 − p_{N}^{∗}) képletek határozzák meg, ahol

p_{N}^{∗} = \frac{r_{N} − a_{N}}{b_{N} − a_{N}} .

Az európai K kötési árú vételi opció igazságos ára az N üzletkötési időpontot tartalmazó Cox–Ross–Rubinstein modellben

C_{N}(K) = E_{N}^{∗} \frac{|S_{N,N} − K|_{+}}{B_{N,N}} .

Erre a kifejezésre kell jó aszimptotikus formulát adni. Annak érdekében, hogy ezt megtehessük először az S_{N,N} valószínűségi változót írjuk fel alkalmas módon. Ennek érdekében vezessük be az Y_{N} valószinűségi változókat, amelyek a b_{N} értékű ρ_{k,N} valószínűségi változók számát jelölik a ρ_{1,N}, …, ρ_{N,N} sorozatban. Ekkor Y_{N} Binom(N, p_{N}^{∗}), ezért a Z_{N} = \frac{Y_{N} −Np_{N}^{∗}}{\sqrt{Np_{N}^{∗} (1−p_{N}^{∗})}} valószínűségi

változók eloszlásban konvergálnak a standard normális eloszláshoz, ha N → ∞.

A fentiek alapján felírhatjuk, hogy

S_{N,N} = S_{0,N}(1 + b_{N})^{Y_{N}} (1 + a_{N})^{N−Y_{N}} = S_{0,N} (\frac{1 + b_{N}}{1 + a_{N}} )^{Y_{N}} (1 + a_{N})^{N}

= S_{0,N} exp\{(\sqrt{Np_{N}^{∗}(1 − p_{N}^{∗})}Z_{N} + Np_{N}^{∗}) log \frac{1 + b_{N}}{1 + a_{N}}

+N log(1 + a_{N})}.

Ezután alkalmas sorfejtéssel jó aszimptotikus formulát tudunk adni, először az a_{N} és b_{N} majd az S_{N,N} és C_{N}(K) mennyiségekre. Ennek segítségével megkapjuk a kívánt állítás bizonyítását. A Kevei jegyzet bizonyítása ezen számolások végrehajtásából áll.

Végül megjegyzem, hogy a bizonyítás során a P_{N}^{∗} illetve P^{∗} ekvivelens martingál mértékkel és nem a Cox–Ross–Rubinstein illetve Black–Sholes modell P_{N} illetve P eloszlásával dolgoztunk. Ennek következtében a kapott eredmény nem függgött az első modell definiciójában szereplő p_{N} valószínűségektől és a második modell definiciójában szereplő μ paramétertől.