Kiegészítés a Pénzügyi Matematika jegyzethez

Tárgyalom néhány eredmény bizonyítását Gál József és Pap Gyula Pénzügyi Matematika jegyzetében. Olyan eredményeket tárgyalok, amelyek bizonyítása további tárgyalást érdemel, mert vagy nem hibátlan a bizonyítás vagy a jobb megértés érdekében érdemes a háttérben levő gondolatokat jobban elmagyarázni. Nem fogom a jelöléseket teljesen kidolgozni, inkább arra koncentrálok, hogy elmagyarázzak néhány a könyvben nem szereplő hasznos gondolatot.

Az első tárgyalandó téma a 9.1.2 lemma bizonyítása. Ez az eredmény azt állítja, hogy ha létezik olyan π = (β_{n}, γ_{n}), n = 0, 1, …, N, önfinanszírozó stratégia, amelyre X_{0}^{π} ≡ 0, P (X_{N}^{π} ≥ 0) = 1 és P (X_{N}^{π} > 0) > 0, akkor létezik arbitrázs stratégia is, azaz olyan önfinanszírozó stratégia, amelyre X_{0}^{π} ≡ 1, P (X_{n}^{π} ≥ 0) = 1 minden 0 ≤ n ≤ N indexre és P (X_{N}^{π} > 0) > 0.

A könyv bizonyításában tekintenek olyan π stratégiát, amely teljesíti az X_{0}^{π} ≡ 0, P (X_{N}^{π} ≥ 0) = 1 és P (X_{N}^{π} > 0) > 0 feltételt, és amennyiben ez nem teljesíti az erősebb X_{0}^{π} ≡ 0, P (X_{n}^{π} ≥ 0) = 1 minden 0 ≤ n ≤ N indexre és P (X_{N}^{π} > 0) > 0 feltételt, akkor igyekeznek a tekintett stratégia módosításával olyan stratégiát konstruálni, amelyik ezt a feltételt is teljesíti. A konstrukció során azonban figyelmen kívül hagyják, hogy a π stratégiában szereplő β_{n} és γ_{n} mennyiségeknek bizonyos mérhetőségi feltételeket is teljesíteniük kell. Ezért a könyv bizonyítását módosítani kell.

Olyan módosítást javaslok, amelyben nem egy stratégiát, hanem stratégiák egy sorozatát definiáljuk, és azt állítom, hogy e stratégia sorozat tartalmaz egy a kívánt feltételeket teljesítő stratégiát is. Jelöljük a kiinduló π stratégiát π^{(1)}-gyel, és defináljuk önfinanszírozó stratégiák egy π^{(k)}, 1 ≤ k ≤ N, sorozatát. Az a célunk, hogy olyan sorozatot definiáljunk, amelyben, ha valamelyik π^{(k)} stratégia nyereséges ugyan abban az értelemben, hogy X_{0}^{π} ≡ 0, P (X_{N}^{π^{(k)}} ≥ 0) = 1 és P (X_{N}^{π^{(k)}} > 0) > 0, de létezik pozitív valószínűséggel olyan veszteséges véletlen n^{(k)}(ω) időpont, amelyben X_{n^{(k)}(ω)}^{π^{(k)}}(ω) < 0, akkor a k + 1-ik π^{(k+1)} stratégia szintén nyereséges, és bár nem tudjuk kizárni veszteséges időpontok létezését, de ezek csak később jelenhetnek meg. Így, ha a kiinduló stratégia nem jó, akkor annak javítása már jobb. Ha az sem jó, akkor vesszük ennek javítását, és ezen javítások során az egyik lépésben arbitrázs stratégiát kapunk.

A következő szukcesszív módszerrel definiáljuk a π^{(k)}, 1 ≤ k ≤ N, stratégiákat. Legyen π^{(1)} = π, és ha a π^{(k)} stratégia már definiálva van, akkor a π^{(k+1)} stratégiát a következő módon definiáljuk. Legyen n_{k}(ω) az a legkisebb n index, amelyre X_{n}^{π^{(k)}}(ω) < 0, azaz X_{m}^{π^{(k)}}(ω) ≥ 0, ha m < n_{k}(ω), és X_{n_{k}(ω)}^{π^{(k)}}(ω) < 0. Ekkor legyen β_{m}^{(k+1)}(ω) = γ_{m}^{(k+1)}(ω) = 0, ha m ≤ n(ω),

és γ_{m}^{(k+1)}(ω) = γ_{m}^{(k)}(ω), β_{m}^{(k+1)}(ω) = β_{m}^{(k)}(ω) − \frac{X_{n_{k}(ω)}^{π^{(k)}}(ω)}{B_{n_{k}(ω)}}, ha m > n_{k}(ω).

Ha X_{n}^{π^{(k)}}(ω) ≥ 0 minden 0 ≤ n ≤ N indexre, akkor legyen β_{n}^{π^{(k+1)}}(ω) = γ_{n}^{π^{(k+1)}}(ω) = 0 minden 0 ≤ n ≤ N indexre.

Be lehet látni, hogy az ilyen módon önfinanszírozó π^{(k)}, 1 ≤ k ≤ N, stratégiákat definiáltunk. Ha π^{(1)} arbitrázs, akkor megtaláltuk a kívánt stratégiát, ha nem az, akkor π^{(2)} olyan stratégia, amelyre X_{0}^{π^{(2)}} ≡ 0, továbbá P (X_{N}^{(π^{(2)})} ≥ 0) = 1 és P (X_{N}^{(π^{(2)})} > 0) > 0, és azon n_{2}(ω) időpontra, amelyre az X_{n_{2}(ω)}^{π^{(2)}}(ω) < 0 esemény először következik be n_{2}(ω) ≥ n_{1}(ω) + 1. Hasonlóan definiálva az n_{k}(ω) időpontot minden 1 ≤ k ≤ N indexre, mint azt a legkisebb számot, amelyre X_{n_{k}(ω)}^{π^{(k)}}(ω) < 0 azt kapjuk, hogy ha a π^{(j)},

1 ≤ j ≤ k stratégiák egyike sem arbitrázs, akkor X_{0}^{π^{(j)}} ≡ 0, P (X_{N}^{(π^{(j)})} ≥ 0) = 1 és P (X_{N}^{(π^{(j)})} > 0) > 0 minden 1 ≤ j ≤ k + 1 indexre. Továbbá n_{j+1}(ω) ≥ n_{j}(ω) + 1 minden 1 ≤ j ≤ k indexre. Innen következik, hogy valamelyik k indexre π^{(k)} arbitrázs stratégia.

A következő részben a 9.2.1 tétel bizonyítását ismertetem. Ez az eredmény arról szól, hogy egy d.i.-(B, S)_{N} piac akkor és csak akkor zárja ki az arbitrázs lehetőségét, ha létezik a piac definiciójában szereplő (Ω, F, P) valószínűségi mezőn a P valószínűségi mértékkel ekvivalens P^{∗} (valószínűségi) martingál mérték. Egy P^{∗} valószínűségi mértéket akkor nevezünk martingál mértéknek, ha a piac definiciójában szereplő (Ω, F, P), valószínűségi mezőn a P mértéket kicserélve erre a P^{∗} mértékre az (\frac{S_{n}}{B_{n}} , F_{n}), n = 0, …, N, sorozat martingál a P^{∗} mérték szerint. A 9.2.1 tétel bizonyításának jobb megértése érdekében érdemes felidézni a 9.1.7 lemmát, amely szerint, ha (\frac{S_{n}}{B_{n}} , F_{n}), n = 0, 1, …, N, martingál a (P^{∗} mérték szerint), akkor tetszőleges π önfinanszírozó stratégia esetén az (\frac{X_{n}^{π}}{B_{n}} , F_{n}), n = 0, 1, …, N sorozat is martingál a (P^{∗} mérték szerint).

Annak bizonyítása, hogy egy P^{∗} ekvivalens martingál mérték létezése kizárja az arbitrázst viszonylag egyszerű. Ekkor ugyanis véve egy tetszőleges π önfinanszírozó stratégiát, amelyre X_{0}^{π} = 0 azt kapjuk, hogy E^{∗}X_{N}^{π} = 0, (ahol a P^{∗} valószínűségi mérték szerint vettük az E^{∗} várható értéket), ezért P^{∗}(X_{N}^{π} ≥ 0) = 1 és P^{∗}(X_{N}^{π} > 0) > 0 egyszerre nem lehetséges. De akkor nem lehetséges az sem, hogy P (X_{N}^{π} ≥ 0) = 1 és P (X_{N}^{π} > 0) > 0 egyszerre a P^{∗} és P mértékek ekvivalenciája miatt. Ez a 9.1.2 tétel alapján azt jelenti, hogy ebben az esetben nincs arbitrázs.

A másik irányú állítás, tehát annak a bizonyítása, hogy ha nincs arbitrázs akkor létezik ekvivalens martingál mérték nehezebb, mert ekkor meg kell konstruálni egy P^{∗} ekvivalens martingál mértéket. Annak érdekében, hogy ezt megtehessük tegyük előbb a következő észrevételeket.

A vizsgált modellben az (Ω, F, P) valószínűségi mező elemi eseményei az ω = (S_{0}, …, S_{N}) alakú sorozatok, ahol S_{n}, 0 ≤ n ≤ N, a részvények ára az n időpontban. Továbbá P (ω) = P (S_{0}, …, S_{N}) > 0 minden ω elemi eseményre, és az S_{n}(ω) valószínűségi változókat az S_{n}(ω) = S_{n}, 0 ≤ n ≤ N, képlet segítségével definiáljuk. A valószínűségi mező véges sok elemi eseményt tartalmaz, legyen ezek száma k, és jelöljük ω_{1}, …, ω_{k}-val az elemi eseményeket. Ekkor a valószínűségi mezőn definált függvények tekinthetők úgy, mint az k-dimenziós Euklideszi téren definiált ξ = (ξ(ω_{1}), …, ξ(ω_{k})) alakú függvények tere. Tekintsük a valószínűségi mezőn definiált függvények terén ható lineáris funkcionálokat. Ezek egyszerűen leírhatók, és ezek a lineáris funkcionálok érdekesek lesznek számunkra. Nevezetesen, minden lineáris funkcionál ezen a téren megadható egy (q_{1}, …, q_{k}) sorozattal, úgy, hogy adva egy ℓ(·) funkcionál ezen a téren ℓ(ξ) = ∑_{j=1}^{k} q_{j}ξ(ω_{j}) minden ξ = (ξ(ω_{1}), …, ξ(ω_{k})) függvényre.

Ez azt jelenti, hogy minden lineáris funkcionál a valószínűségi mezőn definiált függvények terén azonosítható egy Q = (q_{1}, …, q_{k}) előjeles mértékkel a valószínűségi mezőn a következő képlet segítségével: Q(ω_{j}) = q_{j} minden 1 ≤ j ≤ k indexre. Ez a Q előjeles mérték akkor és csak akkor nem-negatív, ha q_{j} ≥ 0 minden 1 ≤ j ≤ k indexre, és akkor ekvivalens is ezen kívül a P mértékkel, ha a szigorúbb q_{j} > 0, 1 ≤ j ≤ k, egyenlőtlenség is teljesül. Ekkor alkalmas konstanssal megszorozva a funkcionált egy a P mértékkel ekvivalens valószínűségi mértéket kapunk. Célunk olyan lineáris funkcionál konstrukciója a valószínűségi mezőn definiált függvények terén, amely egy a P mértékkel ekvivalens martingál mértéket határoz meg.

Ennek érdekében először definiáljuk a következő két a valószínűségi mezőn definiált függvényeket tartalmazó halmazt.

V_{0} = {ξ: Ω → R| létezik olyan π önfinanszírozó stratégia  (1)
amelyre X_{π}^{0} = 0 és X_{N}^{π} = ξ},

V_{1} = {ξ: Ω → R| ξ ≥ 0 és Eξ = 1}.  (2)

A konvex analízis egyik klasszikus tétele szerint, mivel V_{1} konvex, kompakt halmaz, V_{0} az Ω halmazon definiált függvények lineáris altere, és V_{0} ∩ V_{1} = ∅, ha nincs arbitrázs mérték, ezért létezik olyan ℓ lineáris funkcionál az Ω halmazon definiált függvények terén, amelyre ℓ(ξ) = 0 minden ξ ∈ V_{0} és ℓ(ξ) > 0 minden ξ ∈ V_{1} függvényre. E jegyzet kiegészítésében ismertetem ezt az eredményt és annak bizonyítását.

(Az, hogy V_{1} konvex, kompakt halmaz, és V_{0} lineáris altér könnyen látható. A V_{0} ∩ V_{1} = ∅ reláció azért igaz, mert ha létezne ξ ∈ V_{0} ∩ V_{1} függvény, akkor lenne olyan π önfinanszírozó stratégia, amelyre X_{0}^{π} = 0, X_{N}^{π} = ξ és mivel ξ ∈ V_{1}, P (ξ = X_{N}^{π} ≥ 0) = 1, P (ξ = X_{N}^{π} > 0) > 0, amiből következik, hogy létezik arbitrázs stratégia.) Azt állítom, hogy egy ilyen ℓ líneáris funkcionál alkalmas konstansszorosa a P mértékkel ekvivalens P^{∗} martingál mértéket határoz meg.

Abból, hogy ℓ(ξ) > 0 minden ξ ∈ V_{1} függvényre következik, hogy az ℓ funkcionált meghatározó q_{1}, …, q_{k} konstansok mindegyikére q_{j} > 0. Valóban véve valamelyik 1 ≤ j ≤ k indexet és definiálva azt a ξ_{j} függvényt, amelyre ξ_{j}(ω_{j}) = \frac{1}{P (ω_{j})}, és ξ_{j}(ω_{l}) = 0, ha l ≠ j, azt kapjuk, hogy ξ_{j} ≥ 0, és Eξ_{j} = 1, ezért ξ_{j} ∈ V_{1}, tehát ℓ(ξ_{j}) = \frac{q_{j}}{P (ω_{j})} > 0. Ez azt jelenti, hogy az ℓ lineáris operátort megszorozva alkalmas konstanssal egy a P valószínűségi mértékkel ekvivalens P^{∗} mértéket kapunk.

Továbbá, mivel az ℓ funkcionál értéke nullával egyenlő a V_{0} altéren azt is tudjuk, hogy E^{∗}X_{N}^{π} = 0 minden olyan π önfinanszírozó stratégiára, amelyre X_{0}^{π} = 0. Azt állítom, hogy ebből következik, hogy P^{∗} martingál mérték. Jegyezzük meg, hogy ha P^{∗} martingál mérték, akkor a 9.1.7 Lemma alapján teljesül az E^{∗}X_{N}^{π} = 0 azonosság minden olyan önfinanszírozó π stratégiára, amelyre X_{0}^{π} = 0. Azt állítom tehát, hogy ez a tulajdonság nemcsak szükséges, hanem elégséges feltétele is annak, hogy P^{∗} martingál mérték legyen.

Azt kell belátni, hogy ezen feltételek teljesülése esetén \frac{S_{n}}{B_{n}}, 0 ≤ n ≤ N, martingál a P^{∗} valószínűségi mérték szerint. Felhasználva a jegyzet Appendixében szereplő A.2.30 Állítást elég belátni azt, hogy tetszőleges τ: Ω → {0, …, N} megállási idő esetén

E^{∗} (\frac{S_{τ}}{B_{τ}} − \frac{S_{0}}{B_{0}} ) = 0.  (3)

Ezt az azonosságot úgy látjuk be, hogy minden τ: Ω → {0, …, N} megállási idő esetén konstruálunk olyan π = π_{τ} önfinanszírozó stratégiát, amelyre EX_{0}^{π} = 0, és az E^{∗}X_{N}^{π} = 0 azonosság ekvivalens a (3) relációval ezzel a τ megállási szabállyal.

A következő módon konstruáljuk ezt a π önfinanszirozó stratégiát. Legyen a nulla időpontban 1 részvényünk és −\frac{S_{0}}{B_{0}} kötvényünk. Ekkor X_{0}^{π} = 0. Várjunk a τ időpontig, akkor adjuk el a részvényünket, és a kapott pénzen vegyünk kötvényt. Ez azt jelenti, hogy az n ≤ τ időpontokban 1 részvényünk és −\frac{S_{0}}{B_{0}} kötvényünk van, míg a τ < n ≤ N időpontokban nulla részvényünk és \frac{S_{τ}}{B_{τ}} − \frac{S_{0}}{B_{0}} kötvényünk van. Képletben kifejezve olyan π = (β_{n}, γ_{n}), 0 ≤ n ≤ N, stratégiát követünk, amelyben

β_{n} = \frac{S_{τ}}{B_{τ}} I_{\{n>τ\}} − \frac{S_{0}}{B_{0}} , γ_{n} = I_{\{n≤τ\}}.

Nem nehéz belátni, hogy ez a π stratégia önfinanszírozó, és mivel X_{0}^{π} = 0, ezért X_{n}^{π} ∈ V_{0}. Így ℓ(X_{N}^{π}) = 0, és E^{∗}X_{N}^{π} = 0. Ez azt jelenti, hogy

0 = E^{∗}X_{N}^{π} = E^{∗}(β_{N}B_{N} + γ_{N}S_{N})
= E^{∗} ((\frac{S_{τ}}{B_{τ}} I_{\{N>τ\}} − \frac{S_{0}}{B_{0}} ) B_{N} + I_{\{τ=N\}}S_{N}) .

Mivel I_{\{τ=N\}}S_{N} = \frac{S_{τ}}{B_{τ}} I_{\{τ=N\}}B_{N}, ezért a fenti azonosság alapján

0 = E^{∗} ((\frac{S_{τ}}{B_{τ}} I_{\{N>τ\}} − \frac{S_{0}}{B_{0}} ) B_{N} + \frac{S_{τ}}{B_{τ}} I_{\{τ=N\}}B_{N}) = B_{N}E^{∗} (\frac{S_{τ}}{B_{τ}} − \frac{S_{0}}{B_{0}} ) .

Innen következik a (3) reláció, és a 9.2.1 tételt bebizonyítottuk.

Végül a 10.1.5 Tétel bizonyítását tárgyalom. Ezen eredmény megfogalmazása előtt a könyv bevezeti a piac teljességének a fogalmát. Akkor mondjuk, hogy egy piac teljes, ha minden a piacot definiáló (Ω, A, P) valószínűségi mezőn definiált ξ valószínűségi változóhoz létezik olyan π önfinanszírozó stratégia, amelyikre X_{N}^{π} = ξ. A 10.1.5 tétel első fele azzal a kérdéssel foglalkozik, hogy egy arbitrázs mentes piac mikor teljes. A 8.2.1 Tétel alapján tudjuk, hogy egy piac akkor és csak akkor arbitrázs mentes, ha létezik rajta egy a P mértékkel ekvivalens P^{∗} martingál mérték. A teljesség jellemzését ezen P^{∗} ekvivalens martingál mérték segítségével adjuk meg. A 10.1.5 Tétel első állítása, amelyet a könyv ismertetésében 10.1.5.A Tétel alakban fogalmaztam meg, azt állítja, hogy egy arbitrázs mentes piac akkor és csak akkor teljes, ha egyetlen a P mértékkel ekvivalens martingál mérték létezik rajta. Először ennek az állításnak a bizonyítását ismertetem.

A bizonyítások ismertetése előtt megjegyzem, hogy azok kihasználják a következő két tényt. Ha adva van σ-algebrák F_{0} ⊂ ⋯ ⊂ F_{N} ⊂ A sorozata és egy M F_{N} mérhető valószínűségi változó egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn, akkor létezik egyetlen olyan N elemű (M_{0}, F_{0}), (M_{1}, F_{1}),…, (M_{N}, F_{N}) martingál az (Ω, A, P) valószínűségi mezőn, amelyre M_{N} = M. Nevezetesen e martingál elemeit a következő képlet határozza meg: M_{n} = E(M_{N}|F_{n}) minden 0 ≤ n ≤ N indexre. Egy másik eredmény, nevezetesen a 9.1.7 Lemma szerint, ha P^{∗} a P mértékkel ekvivalens martingál mérték egy piacon, és π önfinanszírozó stratégia, akkor az \frac{B_{0}}{B_{n}} X_{n}^{π}, 0 ≤ n ≤ N, sorozat martingál a P^{∗} mérték szerint.

Annak bizonyítása, hogy egy teljes piacon nem lehet két különböző ekvivalens martingál mérték viszonylag egyszerű. Azt kell belátni, hogy ha P^{∗} és P^{∗∗} két a P mértékkel ekvivalens martingál mérték, és A tetszőleges mérhető halmaz a piacot meghatározó valószínűségi mezőn, akkor P^{∗}(A) = P^{∗∗}(A). Innen ugyanis következik, hogyP^{∗} = P^{∗∗}.

Viszont a piac teljessége miatt tudjuk, hogy létezik olyan π önfinanszírozó stratégia, amelyre \frac{B_{0}}{B_{N}} X_{N}^{π} = I_{A}. Kihasználva, hogy \frac{B_{0}}{B_{n}} X_{n}^{π}, 0 ≤ n ≤ N, martingál mind a P^{∗} mind a P^{∗∗} mérték szerint, felírhatjuk, hogy P^{∗}(A) = E^{∗}I_{A} = E^{∗} \frac{B_{0}}{B_{N}} X_{N}^{π} = E^{∗}X_{0}^{π} = X_{0}^{π}, és P^{∗∗}(A) = E^{∗∗}I_{A} = E^{∗∗} \frac{B_{0}}{B_{N}} X_{N}^{π} = E^{∗∗}X_{0}^{π} = X_{0}^{π}. Ezért P^{∗}(A) = P^{∗∗}(A). (A fenti számolásban felhasználtuk, hogy P^{∗} és P^{∗∗} a P mértékkel ekvivalens mértékek. Ebből következik ugyanis, hogy a X_{0}^{π} valószínűségi változó, amely 1 valószínűséggel konstans a P mérték szerint 1 valószínűséggel egyenlő ugyanezzel a konstanssal a P^{∗} és P^{∗∗} mértékek szerint is.)

A következő lépésben azt bizonyítjuk be, hogy ha a piacon egyetlen a P valószínűségi mértékkel ekvivalens P^{∗} martingál mérték létezik, akkor a piac teljes. Ennek érdekében először a következő állítást bizonyítjuk be.

Vezessük be a következő V_{2} halmazt az ω téren definiált függvények terén:

V_{2} = {ξ: Ω → R| E^{∗}ξ = 0}.

Azt állítom, hogy adott feltétel teljesülése esetén V_{2} = V_{0}, ahol a a V_{0} halmazt az (1) formulában definiáltuk. Az, hogy V_{0} ⊂ V_{2} következik a 9.17 lemmából. Azt fogom bebizonyítani, hogy ha V_{2} ≠ V_{0}, akkor létezik R ≠ P^{∗} a P mértékkel ekvivalens martingál mérték.

Ehhez azt kell megmutatni a 9.2.1 Tétel bizonyításában igazolt állítások alapján, hogy ha a P^{∗} martingál mértéket a P^{∗}(ω_{j}) = q_{j}, 1 ≤ j ≤ k, formulák határozzűk meg, akkor létezik olyan r = (r_{1}, …, r_{k}) vektor, amelyre ⟨r, ξ(ω)⟩ = ∑_{j=1}^{k} r_{j}ξ(ω_{j}) = 0 minden ξ ∈ V_{0} vektorra, r_{j} > 0 minden 1 ≤ j ≤ k indexre, és a q = (q_{1}, …, q_{k}) és r = (r_{1}, …, r_{k}) vektorok nem párhuzamosak, azaz nem létezik olyan c konstans, amelyre r_{j} = cq_{j} minden 1 ≤ j ≤ k indexre.

Vegyük észre, hogy abból, hogy V_{2} ≠ V_{0}, következik, hogy létezik olyan z = (z_{1}, …, z_{k}) ∈ V_{2} vektor, amely merőleges V_{0} altérre, azaz ⟨z, ξ(ω)⟩ = ∑_{j=1}^{k} z_{j}ξ(ω_{j}) = 0, ha ξ = (ξ(ω_{1}), …, ξ(ω_{k})) ∈ V_{0}.

Legyen ε > 0 egy elég kicsi szám, r_{j} = q_{j} +εz_{j} minden 1 ≤ j ≤ k indexre, és legyen r = (r_{1}, …, r_{k}). Ekkor r_{j} > 0, mert q_{j} > 0, és az ε > 0 együttható elég kicsi minden 1 ≤ j ≤ k indexre, ⟨r, ξ(ω)⟩ = ⟨q, ξ(ω)⟩+ε⟨z, ξ(ω)⟩ = 0, ha ξ(ω) ∈ V_{0}. Az r és q vektorok nem párhuzamosak, mert ⟨q, z⟩ = 0, azaz q és z merőleges vektorok. Az utolsó azonosság azért igaz, mert ⟨q, ξ⟩ = E^{∗}ξ = 0 minden ξ ∈ V_{2} vektorra, és z ∈ V_{2}. Ez azt jelenti, hogy az r = (r_{1}, …, r_{k}) vektor teljesíti a kívánt tulajdonságokat, ezért V_{0} = V_{2} feltételeink teljesülése esetén.

A V_{0} = V_{2} azonosság segítségével könnyen beláthatjuk a piac teljességét. Ebből az azonosságból következik, hogy minden olyan valószínűségi η változóra, amelyre E^{∗}η = 0, létezik olyan π önfinanszírozó stratégia, amelyre X_{N}^{π} = η. Másrészt egy ζ ≡ c konstans valószínűségi változóhoz definiálhatunk egy triviális önfinanszírozó stratégiát a π^{0} = (β_{n}^{0}, γ_{n}^{0}), β_{n} = \frac{c}{B_{N}}, γ_{n} = 0 minden 0 ≤ n ≤ N indexre képletek segítségével, és erre a stratégiára X_{N}^{π^{0}} ≡ c. Mivel tetszőleges valószínűségi változót felírhatunk ξ = η + c alakban, ahol η = ξ − E^{∗}ξ, ezért Eη = 0, és c = E^{∗}ξ, innen következik ξ = X_{N}^{π′} a π′ = π + π^{0} önfinanszírozó stratégiával, ahol η = X_{N}^{π}, E^{∗}ξ = X_{N}^{π^{0}}, alkalmas π és π^{0} önfinanszírozó stratégiákkal.

Tárgyalom a 10.1.5 Tétel második felének a bizonyítását is, amelyet a könyv ismertetésében 10.1.5.B Tétel néven fogalmaztam meg. Ez az ismertetéstől kissé eltérő megfogalmazásban a következőt mondja.

10.1.5.B Tétel. Tekintsünk egy arbitrázs mentes piacot egy a P valószínűségi mértékkel ekvivalens P^{∗} martingál mértékkel. Ekkor az az állítás, hogy a piac teljes ekvivalens az alábbi (A) állítással.

(A) Tetszőleges (M_{n}, F_{n}, P^{∗})_{0≤n≤N} martingál előállítható

M_{n} = M_{0} + ∑_{k=1}^{n} γ_{k} (\frac{S_{k}}{B_{k}} − \frac{S_{k−1}}{B_{k−1}} ) , n = 1, …, N,  (4)

alakban, ahol a γ_{n}-ek F_{n−1}-mérhető valószínűségi változók, (n = 1, …, N).

Lássuk be először azt, hogy a teljességből következik a a (4) formula.

Legyen adva egy M_{0}, …, M_{N} martingál, és vegyünk olyan π = (β_{n}, γ_{n}), n = 0, …, N, önfinanszírozó stratégiát, amelyre M_{N} = \frac{X_{N}^{π}}{B_{N}} . Mivel mind az M_{n}, n = 0, 1, …, N, mind az \frac{X^{π}}{B_{n}}, n = 0, 1, …, N, sorozat martingál, innen következik, hogy

M_{n} = E^{∗}(M_{N}|F_{n}) = E^{∗} (\frac{X_{N}^{π}}{B_{N}} | F_{n}) = \frac{X_{n}}{B_{n}}

minden n = 0, 1, …, N indexre, ahonnan M_{n} − M_{n−1} = \frac{X_{n}^{π}}{B_{n}} − \frac{X_{n−1}^{π}}{B_{n−1}} , n = 1, 2, …, N. Mivel π önfinanszírozó stratégia, ezért bizonyos algabrai összefüggéseket írhatunk fel a \frac{X_{n}^{π}}{B_{n}} − \frac{X_{n−1}^{π}}{B_{n−1}} kifejezés kiszámolásánál. Nevezetesen, mivel X_{n}^{π} = β_{n}^{π}B_{n} + γ_{n}^{π}S_{n}, és X_{n−1}^{π} = β_{n}^{π}B_{n−1} + γ_{n}^{π}S_{n−1} az önfinanszírozó tulajdonság miatt, ezért

M_{n} − M_{n−1} = \frac{X_{n}^{π}}{B_{n}} − \frac{X_{n−1}^{π}}{B_{n−1}} = \frac{β_{n}^{π}B_{n} + γ_{n}^{π}S_{n}}{B_{n}} − \frac{β_{n}^{π}B_{n−1} + γ_{n}^{π}S_{n−1}}{B_{n−1}}
= γ_{n}^{π} (\frac{S_{n}}{B_{n}} − \frac{S_{n−1}}{B_{n−1}} )

minden n = 1, 2, … indexre, ahonnan

M_{n} = M_{0} + ∑_{k=1}^{n} γ_{k}^{π} (\frac{S_{k}}{B_{k}} − \frac{S_{k−1}}{B_{k−1}} ) .

Ez azt jelenti, hogy a (4) formula érvényes.

Megmutatjuk, hogy az (A) tulajdonságból következik, hogy a piac teljes. Adva egy ξ valószínűségi változó, tekintsük azt az M_{0}, …, M_{N} martin-

gált, amelyre M_{N} = \frac{ξ}{B_{N}}. Ekkor M_{n} = E^{∗} (\frac{ξ}{B_{N}} | F_{n}) minden n = 0, 1,

…,N indexre. Tudjuk, hogy minden π önfinanszírozó stratégiára az \frac{X_{n}^{π}}{B_{n}}, n = 0, 1, …, N, sorozat martingál a P^{∗} mérték szerint. Olyan π önfinanszírozó stratégiát keresünk, amelyre X_{N}^{π} = ξ, azaz \frac{X_{N}^{π}}{B_{N}} = M_{N}. Ez viszont csak úgy lehetséges, ha \frac{X_{n}^{π}}{B_{n}} = M_{n} minden n = 0, 1, …, N indexre. Felhasználjuk, hogy az M_{n}, n = 1, 2, …, N, martingál elemei a (4) formula alapján

M_{n} = M_{0} + ∑_{k=1}^{n} γ_{k} (\frac{S_{k}}{B_{k}} − \frac{S_{k−1}}{B_{k−1}} ) , n = 1, …, N,

alakban írhatóak γ_{k} F_{k−1} mérhető valószínűségi változókkal.

A keresett π = (β_{n}^{π}, γ_{n}^{π}), n = 0.1, …, N önfinanszírozó stratégiát úgy kell választani, hogy M_{n} − M_{n−1} = γ_{n} (\frac{S_{n}}{B_{n}} − \frac{S_{n−1}}{B_{n−1}} ) = \frac{X_{n}^{π}}{B_{n}} − \frac{X_{n−1}^{π}}{B_{n=1}} . Viszont az előző részben végrehajtott számításokban megmutattuk, hogy

\frac{X_{n}^{π}}{B_{n}} − \frac{X_{n−1}^{π}}{B_{n−1}} = γ_{n}^{π} (\frac{S_{n}}{B_{n}} − \frac{S_{n−1}}{B_{n−1}} ) ,

ezért ez csak úgy lehetséges, ha γ_{n}^{π} = γ_{n} minden n = 1, 2, …, N indexre. Annak érdekében, hogy biztosítsuk az M_{n} = \frac{X_{n}^{π}}{B_{n}} azonosságot minden n = 0, 1, …, N indexre definiáljuk a π = (β_{n}^{π}, γ_{n}^{π}), n = 0, 1, …, N, stratégiát a következő módon.

β_{0}^{π} = M_{0}, γ_{0}^{π} = 0, és β_{n}^{π} = M_{n} − γ_{n} \frac{S_{n}}{B_{n}} , γ_{n}^{π} = γ_{n}, ha 1 ≤ n ≤ N.

Vegyük észre, hogy

β_{n}^{π} = M_{n−1} + (M_{n} − M_{n−1}) − γ_{n} \frac{S_{n}}{B_{n}} = M_{n−1} − γ_{n} \frac{S_{n−1}}{B_{n−1}} ,

mivel M_{n} − M_{n−1} = γ_{n} (\frac{S_{n}}{B_{n}} − \frac{S_{n−1}}{B_{n−1}} ) a (4) feltétel szerint, ezért a β_{n}^{π} ∈ F_{n−1} reláció is teljesül. Tudjuk, hogy X_{N}^{π} = B_{N}M_{N} = ξ, ezért a kívánt állítás bizonyításához azt kell még megmutatni, hogy a π stratégia önfinanszírozó. Ezt úgy látjuk be, hogy ellenőrizzük a B_{n−1}Δβ_{n}^{π} +S_{n−1}Δγ_{n}^{π} = 0 azonosságot.

B_{n−1}Δβ_{n}^{π} + S_{n−1}Δγ_{n}^{π} = B_{n−1} (ΔM_{n} − Δ (γ_{n} \frac{S_{n}}{B_{n}} )) + S_{n−1}Δγ_{n}
= B_{n−1} (γ_{n}Δ (\frac{S_{n}}{B_{n}} ) − Δ (γ_{n} \frac{S_{n}}{B_{n}} )) + S_{n−1}Δγ_{n}
= −B_{n−1} \frac{S_{n−1}}{B_{n−1}} Δγ_{n} + S_{n−1}Δγ_{n} = 0.

A kívánt állítást beláttuk.

Kiegészítés

Belátjuk a konvex analízisnek a 9.2.1 Tétel bizonyításában felhasznált eredményét. Ez a következőt mondja.

Tétel. Legyen adva az R^{k} Euklideszi téren valamely k ≥ 1 számmal egy konvex kompakt K ⊂ R^{k} halmaz, és az R^{k} tér valamely L lináris altere, amelyekre K ∩ L = ∅. Ekkor el tudjuk választani a K halmazt és az L lineáris alteret egy az R^{k} téren definiált lineáris funkcionál segítségével a következő értelemben. Létezik olyan φ(·) lineáris funkcionál az R^{k} téren, és c > 0 szám, amelyekre φ(x) = 0 minden x ∈ L pontban, és φ(x) ≥ c minden x ∈ K pontban.

A Tétel bizonyítása az alábbi lemma eredményén alapul.

Lemma. Legyen C konvex, zárt halmaz az R^{k} Euklideszi téren, amely nem tartalmazza ay origót. Akkor létezik olyan φ lineáris funkcionál az R^{k} téren, és olyan c > 0 szám, amelyekre φ(x) ≥ c minden x ∈ C pontban.

A Lemma bizonyítása. Először azt látjuk be, hogy az {|x|: x ∈ C} számok halmazának van (pozitív) minimuma, ahol |x| az x vektor hosszát jelöli az Euklideszi norma szerint. Valóban, a C_{r} = C ∩ {x: |x| ≤ r} halmaz nem üres kompakt halmaz elég nagy r > 0 számra, ezért az |x| folytonos függvény felveszi a minumuát valamely z ∈ C_{r} pontban a C_{r} halmazon. De nem nehéz belátni, hogy a |z| = min{|x|: x ∈ C} reláció is teljesül.

Mivel a C halmaz konvexitása miatt λx + (1 − λ)z ∈ C minden x ∈ C pontra és 0 ≤ λ ≤ 1 számra, ezért

|λx + (1 − λ)z|^{2} ≥ |z|^{2},

vagy ami ezzel ekvivalens

λ^{2}⟨x, x⟩ + 2λ(1 − λ)⟨x, z⟩ + (1 − λ)^{2}⟨z, z⟩ ≥ ⟨z, z⟩

minden x ∈ C pontra és 0 ≤ λ ≤ 1 számra. Ezt az egyenlőtlenséget átrendezve és λ-val osztva azt kapjuk, hogy

2(1 − λ)⟨x, z⟩ − 2⟨z, z⟩ + λ(⟨x, x⟩ + ⟨z, z⟩) ≥ 0.

Innen λ → 0 határátmenettel kapjuk, hogy

⟨x, z⟩ ≥ ⟨z, z⟩ = |z|^{2} > 0

minden x ∈ C vektorra. Ez azt jelenti, hogy a lemma állítása érvényes a φ(x) = ⟨x, z⟩ lineáris funkcionállal és a c = |z|^{2} számmal.

A tétel bizonyítása Definiáljuk a

C = K − L = {x: x = k − l valamely k ∈ K és l ∈ L vektorokkal}

halmazt.

Azt állítom, hogy C konvex, zárt halmaz, amely nem tartalmazza az origót, azaz teljesíti a lemma feltételeit. Az, hogy C konvex halmaz, és nem tartalmazza az origót könnyen látható. Az, hogy zárt halmaz, következik az alábbi érvelésből.

Tegyük fel, hogy x_{n} = k_{n} − l_{n} → y, y ∈ R^{k}, ha n → ∞ valamely k_{n} ∈ K, l_{n} ∈ L sorozatra. A K halmaz kompaktsága miatt létezik olyan n_{j} indexsorozat, amelyre k_{n_{j}} → k, ha j → ∞ valamely k ∈ K vekorra. Ekkor l_{n_{j}} → k − y, ha j → ∞. De ekkor l = k − y ∈ L az L halmaz zártsága miatt. Ezért y = k − l ∈ C, tehát C zárt halmaz.

A lemma alapján létezik olyan φ lineáris funkcionál az R^{k} térben, amelyre φ(x) = φ(k−l) ≥ c minden k ∈ K és l ∈ L vektorra valamely c > 0 számmal. Azt állítom, hogy innen következik, hogy φ(l) = 0 minden l ∈ L vektorra. Valóban, tegyük fel, hogy φ(l) > 0 valamely l ∈ L vektorra. Ekkor vegyünk egy k ∈ K vektort és λ > 0 számot. A φ(k − λl) = φ(k) − λφ(l) ≥ c > 0 egyenlőtlenségnek teljesülnie kellene. Ez azonban nem lehetséges, ha a λ > 0 számot elég nagyra választjuk. Hasonlóan φ(l) < 0 szintén nem lehetséges.

Tehát a lemma segítségével konstruált φ lineáris funkcionálra φ(l) = 0, ha l ∈ L, és φ(k) ≥ c > 0, ha k ∈ K. A tételt beláttuk.