\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\begin{document}

\begin{center}
\Large\bf Az It\^o formuláról
\end{center}

\medskip\noindent
Ezen \'irás témája az It\^o integrálok elméletében rendk\'ivül 
fontos szerepet játszó It\^o formula. Célja mindössze annyi, 
hogy elmagyarázzon és ter\-mé\-sze\-tes\-sé tegyen egy olyan 
formalizmust, amely megkönny\'iti az It\^o formula hasz\-ná\-la\-tát. 
Bár nem tárgyalom az It\^o formula prec\'iz bizony\'itását, az 
itt le\'irt magyarázat seg\'ithet annak megértésében is, hogy 
hogyan kell tárgyalni ezt a bizony\'itást.  

\medskip
Legyen adva $\sigma$-algebr\'ak egy ${\cal F}_t$ filtr\'aci\'oja
valamely $0\le t\le T$ intervallumon és egy hozzá adapt\'alt
$W(t)$, $0\le t\le T$, Wiener folyamat. Ha $K(t)=K(t,\omega)$ 
\'es $H(t)=H(t,\omega)$, $0\le t\le T$, k\'et az ${\cal F}_t$ 
filtr\'aci\'ohoz adapt\'alt sztochasztikus folyamat, (azaz 
$H(t,\omega)$ \'es $K(t,\omega)$ ${\cal F}_t$ mérhető minden 
$0\le t\le T$ param\'eterre, \'es ezenk\'iv\"ul $K(t,\omega)$
\'es $H(t,\omega)$, mint k\'etv\'aloz\'os f\"uggv\'eny a 
$[0,T]\times\Omega$ halmazon m\'erhet\H{o} a 
${\cal B}_T\times{\cal F}_T$ $\sigma$-algebr\'ara, ahol 
${\cal B}_T$ a Borel $\sigma$-algebra a $0,T]$ intervallumon),
amelyekre~1 valósz\'inűséggel teljesülnek az 
$\int_0^T|K(s,\omega)|\,ds<\infty$  és 
$\int_0^TH^2(s,\omega)\,ds<\infty$  feltételek, akkor lehet 
definiálni az 
\begin{equation}
X(t,\omega)=X(0,\omega)+\int_0^t K(s,\omega)\,ds
+\int_0^t H(s,\omega)\,dW(s,\omega), \quad 0\le t\le T, \label{1}
\end{equation}
It\^o folyamatot, ahol $\int_0^t H(s,\omega)\,dW(s,\omega)$ a Kevei 
Péter jegyzetében is t\'argyalt It\^o integrált jelöli.
(Feltessz\"uk, hogy $X(0,\omega)\in{\cal F}_0$.)

Adva egy sima, pontosabban fogalmazva k\'etszer folytonosan
dif\-fe\-ren\-ci\-\'al\-ha\-t\'o $f(x)$ függvény a számegyenesen 
definiálhatjuk az $f(X(t,\omega))$, $0\le t\le T$, sztochasztikus 
folyamatot, és be lehet l\'atni, hogy ez is It\^o folyamat. Ez
azt jelenti, hogy az $f(X(t,\omega))$, $0\le t\le T$, sztochasztikus 
folyamatot is  fel lehet \'irni az (\ref{1}) formul\'ahoz 
hasonl\'o alakban azzal a k\"ul\"onbs\'eggel, hogy az $X(t,\omega)$ 
folyamat definiciójában szereplő $K(s,\omega)$ és $H(s,\omega)$ 
(v\'eletlen) függvényeket más az ${\cal F}_t$ filtr\'aci\'ohoz
adapt\'alt (v\'eletlen) függvényekkel kell helyettes\'iteni. 
Az It\^o formula ennek az áll\'itásnak egy olyan bizony\'itása, 
amely megadja az $f(X(t,\omega))$, $0\le t\le T$, It\^o folyamat 
alakj\'aban megadott előállitását. Azaz, az  It\^o formula megadja
az $f(X(t,\omega))$ folyamat (\ref{1}) k\'eplet alak\'u 
integr\'al el\H{o}\'all\'it\'as\'aban szerepl\H{o} \'es
${\cal F}_t$ filtr\'aci\'ohoz adapt\'alt f\"uggv\'enyeket is.

Annak érdekében, hogy az It\^o formulát jobban megértsük 
érdemes először annak determinisztikus megfelelőjét 
tekinteni. Legyen adva egy $x(t)=x(0)+\int_0^t A(s)\,ds$, 
$0\le t\le T$, függvény, és egy folytonosan differenciálható 
$f(x)$ függvény a sz\'amegyenesen. Tekintsük az $f(x(t))$, 
$0\le t\le T$, függvényt, és \'irjuk fel ezt is integrál 
alakban. Mivel 
$$
\frac{df(x(s))}{ds}=f'(x(s))x'(s)=f'(x(s))A(s),
$$ 
ahol $f'$ az $f$ függvény deriváltját jelöli, a Newton--Leibniz 
formula alapj\'an
\begin{equation}
f(x(t))=f(x(0))+\int_0^t f'(x(s))A(s)\,ds, \quad 0\le t\le T. \label{2}
\end{equation}
Ezt az összefügggést a 
\begin{equation}
df(x(s))=f'(x(s))A(s)ds. \label{3}
\end{equation}
``differenciálforma'' alakban is \'irhatjuk, m\'{\i}g a kiindul\'o
$x(t)=x(0)+\int_0^t A(s)ds$ egyenletet a
$$
dx(s)=A(s)\,ds
$$
k\'eplettel fejezhetj\"uk ki differenci\'alforma alakban, ami a
$$
df(x(s))=f'(x(s))dx(s)
$$ 
form\'alis azonoss\'ag alapj\'an sugallja a (\ref{3})~formul\'at.

Valóban, a (\ref{3}) differenciálformát kiintegrálva azt kapjuk, hogy
$$
\int_0^tdfx((s))=f(x(t))-f(x(0))=\int_0^t f'(x(s))A(s)\,ds,
$$
ami megegyezik a (\ref{2}) azonossággal.

A (\ref{3}) formulának van másfajta interpetációja és igazolása is. 
Fel\'irhatjuk, hogy 
$f(x(s+h))-f(x(s))=f'(x(s))x'(s)h+o(h)=f'(x(s))A(s)h+o(h)$.
Fel\'irva ezt az azonoss\'agot minden, 
$s=0,h,2h,\dots,([\frac th]-1)h$ sz\'amra, ahol $[x]$ az $x$ 
sz\'am eg\'esz r\'esz\'et jel\"oli, a kapott azonoss\'agokat 
\"osszeadva, majd elvégezve a $h\to0$ határátmenetet megkapjuk
a (\ref{2})~formulát. Ezt fizikusmódra úgy is interpretálhatjuk, 
hogy az $f(x(s+h))-f(x(s))=f'(x(s))x'(s)h+o(h)=f'(x(s))A(s)h+o(h)$
azonosság $h\to0$ ha\-tár\-\'at\-me\-net\-tel (azaz a $h$ mennyiséget 
végtelen kicsinek választva) a $df(x(s))=f'(x(s))A(s)ds$
azaz a (\ref{3})~azonosságot adja, amit kiintegrálva a $[0,t]$ 
intervallumban megkapjuk a (\ref{2}) azonoss\'agot.

Az előbbi érvelést azért \'irtam le, mert hasonló, bár kissé bonyolultabb
gondolatmenetet követve, és néhány fizikus nézőpontból természetes
feltevést felhasználva megkapjuk az It\^o formulát is. Ennek érdekében
\'irjuk először az (\ref{1})~formulát differenciál alakban. Ez \'igy  
n\'ez ki:
\begin{equation}
dX(s,\omega)=K(s,\omega)\,ds+H(s,\omega)\,dW(s,\omega). \label{4}
\end{equation}
Fel akarjuk \'irni hasonl\'oan a $df(X(s,\omega))$ kifejez\'est, 
ahol $X(t,\omega)$ az (\ref{1}) k\'ep\-let\-ben megadott It\^o folyamat,
\'es $f(x)$ k\'etszer folytonosan differenci\'alhat\'o f\"ugg\-v\'eny
a sz\'amegyenesen. Ezt az azonoss\'agot kiintegr\'alva megkapjuk 
az It\^o formul\'at. A determinisztikus esetben a megfelelő 
$df(x(s))$ kifejezést  az $f(x(s))$ függvény első tagig vett 
Taylor sorfejtéséből kaptuk meg. Most a második tagig kell sorba 
fejtenünk az $f(X(s,\omega))$ függvényt, \'es meg kell értenünk 
azt is, hogy a Taylor sorfejtés második tagjában mely tagokat 
kell figyelembe vennünk és azokat hogyan. Fel\'irok egy táblázatot, 
és mint látni fogjuk ez a táblázat annak jó alkalmazásával együtt 
tartalmazza az It\^o formulát. Itt a táblázat.
\begin{equation}
(dW(s,\omega))^2=ds, \quad  ds\cdot dW(s,\omega)=0, \quad (ds)^2=0. \label{5}
\end{equation}
A (\ref{4})  \'es (\ref{5})~formul\'ak alapj\'an
\begin{eqnarray}
(dX(s,\omega))^2\!\!\!\!\!\!\!  
&&=(K(s,\omega)\,ds+H(s,\omega)\,dW(s,\omega))^2 \nonumber \\
&&=H^2(s,\omega)\,dW(s,\omega)^2+2K(s,\omega)H(s,\omega)ds \,dW(s,\omega)
\nonumber \\
&&\qquad +K^2(s,\omega)(\,ds)^2=H^2(s,\omega)\,ds. \label{6}
\end{eqnarray}
Az It\^o formula úgy is megfogalmazható, hogy a $df(X(s,\omega))$
kifejezés má\-sod\-ren\-dű Taylor sorfejtéssel számolhat\'o ki, ahol
$(dX(s,\omega))^2$ a (\ref{6}) képlet se\-g\'it\-sé\-gé\-vel 
adhat\'o meg. Ez a feltételezés a következő eredményt adja:
\begin{eqnarray*}
df(X(s,\omega))\!\!\!\!\!\!\!\!&&=\frac{df}{dx}(X(s,\omega))dX(s,\omega)
+\frac12\frac{df^2}{dx^2}(X(s,\omega))(dX(s,\omega))^2  \\
&&=\frac{df}{dx}(X(s,\omega))
(K(s,\omega)\,ds+H(s,\omega)\,dW(s,\omega))  \\
&&\qquad\qquad +\frac12\frac{df^2}{dx^2}(X(s,\omega))
H(s,\omega)^2ds. 
\end{eqnarray*}
Ez az It\^o formula differenciál formában megadott alakja. Ugyanez
az azo\-nos\-ság integrálformában a következőképp néz ki.
\begin{eqnarray*}
&& \!\!\!\!\!\!\!  f(X(t,\omega))=f(X(0,\omega))+
\int_0^t\frac{df}{dx}(X(s,\omega))K(s,\omega)\,ds\\
&&\quad +\int_0^t\frac{df}{dx}(X(s,\omega))H(s,\omega)\,dW(s,\omega)) 
+\int_0^t\frac12\frac{df^2}{dx^2}(X(s,\omega))
H^2(s,\omega)\,ds.
\end{eqnarray*}

Vannak az It\^o formulának általánosabb változatai is. Az egyik
ilyen változat az, amikor adott egy $X(t,\omega)$ It\^o folyamat 
a $[0,T]$ intervallumon, \'es egy kétváltozós $f=f(u,x)$ 
függvény. Ez az $f(u,x)$ f\"uggv\'eny el\'eg sima, ami
jelen esetben azt jelenti, hogy $f\in {\cal F}^{1,2}$,
azaz $f$ olyan k\'etv\'altoz\'os függvény, amelyik az els\H{o} 
változója szerint egyszer, a második változója szerint pedig 
kétszer folytonosan differenciálható. Ekkor $f(t,X(t,\omega))$ 
is It\^o folyamat, amit az előző esethez hasonlóan lehet megadni. 
A $df(s,X(s,\omega))$ kifejez\'est ebben az esetben is 
másodrendű Taylor sorfejtéssel adjuk meg, \'es felhaszn\'aljuk, 
hogy $(ds)^2=0$, \'es $dsd(X(s,\omega))=0$. Azt kapjuk, hogy
$df(s,X(s,\omega))=\frac{\partial f}{\partial u}(s,X(s,\omega))\,ds
+\frac{\partial f}{\partial x}(s,X(s,\omega))\,dX(s,\omega)
+\frac12\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(s,X(s,\omega))(\,dX(s.\omega))^2$.
Innen, felhaszn\'alva a (\ref{4}) \'es (\ref{6}) formul\'akat
azt kapjuk, hogy
\begin{eqnarray*}
df(s,X(s,\omega))\!\!\!\!\!\!\!\!&&=
\frac{\partial f}{\partial u}(s,X(s,\omega))\,ds \\
&&\qquad\qquad+\frac{\partial f}{\partial x}(s,X(s,\omega))
(K(s,\omega)\,ds+H(s,\omega)\,dW(s,\omega))  \\
&&\qquad\qquad\qquad +\frac12\frac{\partial f^2}{\partial x^2}(s,X(s,\omega))
H^2(s,\omega)\,ds. 
\end{eqnarray*}
Ez az It\^o formula differenci\'alform\'aban az $f(t,X(t,\omega))$
kifejez\'esre. Ugyanez a formula integr\'al alakban \'igy \'irhat\'o:
\begin{eqnarray*}
&& \!\!\!\!\!\!\!\!\!  f(t,X(t,\omega))=f(0,X(0,\omega))+
\int_0^t\frac{\partial f}{\partial u}(s,X(s,\omega)\,ds\\
&&\quad +
\int_0^t\frac{\partial f}{\partial x}(s,X(s,\omega))K(s,\omega)\,ds
 +\int_0^t\frac{\partial f}{\partial x}
(s,X(s,\omega))H(s,\omega)\,dW(s,\omega)) \\ 
&&\qquad\qquad +\int_0^t\frac12\frac{\partial f^2}{\partial x^2}(s,X(s,\omega))
H^2(s,\omega)\,ds.
\end{eqnarray*}

\medskip
Az It\^o formula általános alakja a többdimenziós It\^o formula.
Ennek megfogalmazásában először definiálják a többdimenziós
It\^o folyamatokat. Egy $d$-dimenziós It\^o folyamat olyan 
$d$-dimenzi\'os $(X_1(t,\omega),\dots,X_d(t,\omega))$  
szto\-chasz\-ti\-kus folyamat, amelynek mindegyik koordin\'at\'aja 
egyv\'altoz\'os It\^o folyamat. Az egyv\'altoz\'os It\^o folyamatoknak 
is egy \'altal\'anosabb definici\'oj\'at fogjuk hasz\-n\'al\-ni, amelyben
nem egy egydimenzi\'os, hanem egy $r$-dimenzi\'os Wiener folyamat
sze\-rint integr\'alunk. (Az al\'abbi definici\'oban k\'et 
param\'eter van. Az egyik $d$, az It\^o folyamat dimenzi\'oja, 
a m\'asik $r$, annak a Wiener folyamatnak a dimenzi\'oja, 
amelyik szerint integr\'alunk.) Az $r$-dimenzi\'os Wiener 
folyamat a k\"ovetkez\H{o}t jelenti. Legyen adva ${\cal F}_t$
$\sigma$-algebr\'ak, $0\le t\le T$, egy filtr\'aci\'oja. Azt 
mondjuk, hogy $W(t,\omega)=(W_1(t,\omega),\dots,W_r(t,\omega))$, 
$0\le t\le T$, az ${\cal F}_t$ filtr\'aci\'ohoz adapt\'alt 
$r$-dimenzi\'os Wiener folyamat, ha mindegyik $W_j(t,\omega)$,
$1\le j\le r$ szto\-chasz\-ti\-kus folyamat az ${\cal F}_t$ 
filtr\'aci\'ohoz adapt\'alt Wiener folyamat a $0\le t\le T$ 
intervallumban, \'es ezenk\'iv\"ul a $W_j(t,\omega)$, 
$0\le t\le T$, $1\le j\le r$, Wiener folyamatok 
f\"uggetlenek egym\'ast\'ol.

Legyen adva $\sigma$-algebr\'ak egy ${\cal F}_t$ filtr\'aci\'oja
valamely $0\le t\le T$ intervallumon és egy hozzá adapt\'alt
$W(t,\omega)=(W_1(t,\omega),\dots,W_r(t,\omega))$, 
$0\le t\le T$, $r$-dimenzi\'os Wiener folyamat. Legyenek 
tov\'abb\'a adva $K_i(t)=K_i(t,\omega)$ \'es
$H_{i,j}(t)=H_{i,j}(t,\omega)$, $0\le t\le T$, 
$1\le i\le d$, $1\le j\le r$, olyan az  ${\cal F}_t$ 
filtr\'aci\'ohoz adapt\'alt sztochasztikus folyamatok, 
amelyekre~1 valósz\'inűséggel 
teljesülnek az $\int_0^T|K_i(s,\omega)|\,ds<\infty$  és 
$\int_0^TH_{i,j}^2(s,\omega)\,ds<\infty$  feltételek. Ekkor lehet 
definiálni az 
\begin{equation}
X_i(t,\omega)=X_i(0,\omega)+\int_0^t K_i(s,\omega)\,ds
+\sum_{j=1}^r\int_0^t H_{i,j}(s,\omega)\,dW_j(s,\omega), \quad 0\le t\le T, 
\label{7}
\end{equation}
sztochasztikus folyamatokat minden $1\le i\le d$ indexre. 
Az \'igy defini\'alt $(X_1(t,\omega),\dots,X_d(t,\omega))$ 
sztochasztikus folyamatot $d$-dimenzi\'os It\^o folyamatnak 
nevezz\"uk. (Feltessz\"uk, hogy $X_i(0,\omega)\in {\cal F}_0$
minden $0\le i\le d$ in\-dex\-re.) A (\ref{7}) 
formul\'aban defini\'alt  $d$-dimenzi\'os It\^o folyamatot 
\'igy adjuk meg dif\-fe\-ren\-ci\'al form\'aban:
\begin{equation}
dX_i(s,\omega)=K_i(s,\omega)\,ds
+\sum_{j=1}^rH_{i,j}(s,\omega)\,dW_j(s,\omega), \quad 1\le i\le d, 
\label{8}
\end{equation}
Legyen $f(u,x_1,\dots,x_d)$ egy $d+1$-v\'altoz\'os sima 
f\"uggv\'eny, (tegy\"uk fel, hogy a $\frac{\partial f}{\partial u}$
\'es $\frac{\partial f^2}{\partial x_i\partial x_j}$, $1\le i,j\le d$
f\"uggv\'enyek l\'eteznek, \'es folytonosak), \'es te\-kint\-s\"uk az
$f(t,X_1(t,\omega),X_2(t,\omega),\dots,X_d(t,\omega))$, 
$0\le t\le T$, szto\-chasz\-ti\-kus folyamatot, ahol 
$X_i(t,\omega)$, $1\le i\le d$, a (\ref{7}) formul\'aban 
van defini\'alva. C\'elunk az, hogy megadjuk ennek
a sztochasztikus folyamatnak az el\H{o}\'all\'it\'as\'at az
el\H{o}z\H{o} esetekhez hasonl\'oan It\^o folyamat form\'aj\'aban.

A korábbi esetekhez hasonlóan most is egy másodfokú Taylor sorfejtés
seg\'itségével adjuk meg az
$f(t,X_1(t,\omega),X_2(t,\omega),\dots,X_d(t,\omega))$, $0\le t\le T$,
sztochasztikus folyamat alkalmas előáll\'itását, csak most az (\ref{5})
formulában megfogalmazott szabályrendszert ki kell egésziteni a
következő módon. 
\begin{equation}
dW_i(s,\omega)dW_k(s,\omega)=\delta_{i,k}ds, \quad  ds\cdot dW_i(s,\omega)=0, 
\quad (ds)^2=0 \label{9}
\end{equation}
minden $1\le i,k\le d$ indexre, ahol $\delta_{i,k}=0$, ha $i\neq k$, \'es
$\delta_{i,k}=1$, ha $i=k$.

Számoljuk ki először a $dX_i(s,\omega)dX_k(s,\omega)$, $1\le i,k\le d$,
kifejezéseket  a (\ref{9}) formula seg\'itségével.
\begin{eqnarray}
&&\!\!\!\!\!\!\!\!dX_i(s,\omega)dX_k(s,\omega)  
=\left(K_i(s,\omega)\,ds+\sum_{j=1}^rH_{i,j}(s,\omega)\,dW_j(s,\omega)\right) 
\nonumber \\
&&\qquad\qquad\qquad\qquad
\left(K_k(s,\omega)\,ds+\sum_{j=1}^rH_{k,j}(s,\omega)\,dW_j(s,\omega)\right)
 \nonumber \\
&&\quad =\left(\sum_{j=1}^rH_{i,j}(s,\omega)\,dW_j(s,\omega)\right)
\left(\sum_{j=1}^rH_{k,j}(s,\omega)\,dW_j(s,\omega)\right) \nonumber \\
&&\quad\qquad +K_i(s,\omega)\,ds\left(\sum_{j=1}^rH_{k,j}(s,\omega)
\,dW_j(s,\omega)\right) \nonumber \\
&&\quad\qquad+K_k(s,\omega)\,ds\left(\sum_{j=1}^rH_{i,j}(s,\omega)
\,dW_j(s,\omega)\right)+K_i(s,\omega)K_k(s,\omega)(\,ds)^2
\nonumber \\
&& \quad =\sum_{j=1}^rH_{i,j}(s,\omega)H_{k,j}(s,\omega)\,ds. \label{10}
\end{eqnarray}

V\'eve a $df(s,X_1(s,\omega),X_2(s,\omega),\dots,X_d(s,\omega))$
kifejez\'es k\'ettag\'u Taylor sorfejt\'es\'et \'es felhaszn\'alva
a (\ref{9}) \'es (\ref{10}) formul\'akat azt kapjuk, hogy
\begin{eqnarray*}
&&\!\!\!\!\!\!\! df(s,X_1(s,\omega),\dots,X_d(s,\omega))
=\frac{\partial f}{\partial u}
(s,X_1(s,\omega),\dots,X_d(s,\omega))\,ds \\
&&\qquad +\sum_{i=1}^d\frac{\partial f}{\partial x_i}
(s,X_1(s,\omega),\dots,X_d(s,\omega))\,dX_i(s,\omega)\\
&&\qquad+\frac12\frac{\partial^2f}{\partial u^2}
f(s,X_1(s,\omega),\dots,X_d(s,\omega)\,(ds)^2 \\
&&\qquad+\frac12\sum_{i=1}^d\frac{\partial^2f}{\partial u\partial x_i}
f(s,X_1(s,\omega),\dots,X_d(s,\omega)\,ds\,dX_i(s,\omega) \\
&&\qquad +\frac12\sum_{i=1}^d\sum_{k=1}^d\frac{\partial^2 f}
{\partial x_i\partial x_k}
(s,X_1(s,\omega),\dots,X_d(s,\omega))\,dX_i(s,\omega)dX_k(s,\omega)\\
&&=\frac{\partial f}{\partial u}
(s,X_1(s,\omega),\dots,X_d(s,\omega))\,ds \\
&&\qquad +\sum_{i=1}^d\frac{\partial f}{\partial x_i}
(s,X_1(s,\omega),\dots,X_d(s,\omega))\,dX_i(s,\omega)\\
&&\qquad +\frac12\sum_{i=1}^d\sum_{k=1}^d\frac{\partial^2 f}
{\partial x_i\partial x_k} 
(s,X_1(s,\omega),\dots,X_d(s,\omega)) \\
&& \qquad\qquad\qquad \sum_{j=1}^rH_{i,j}(s,\omega)H_{k,j}(s,\omega)\,ds.
\end{eqnarray*}
Ez tekinthet\H{o} a többdimenziós It\^o formul\'anak
differenci\'al alakban. A több\-di\-men\-ziós 
It\^o formula integr\'al form\'aban a k\"ovetkez\H{o}
m\'odon adhat\'o meg.
\begin{eqnarray*}
&&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! 
f(t,X_1(t,\omega),\dots,X_d(t,\omega))
=f(0,X_1(0,\omega),\dots,X_d(0,\omega))\\
&&\qquad+\int_0^t\frac{\partial f}{\partial u}
(s,X_1(s,\omega),\dots,X_d(s,\omega))\,ds \\
&&\qquad +\sum_{i=1}^d\int_0^t\frac{\partial f}{\partial x_i}
(s,X_1(s,\omega),\dots,X_d(s,\omega))\,dX_i(s,\omega)\\
&&\qquad 
+\frac12\sum_{i=1}^d\sum_{k=1}^d\biggl( \int_0^t\frac{\partial^2 f}
{\partial x_i\partial x_k} 
(s,X_1(s,\omega),\dots,X_d(s,\omega)) \\
&& \qquad\qquad\qquad \sum_{j=1}^rH_{i,j}(s,\omega)H_{k,j}(s,\omega)\,ds\biggr),
\end{eqnarray*}
ahol 
\begin{eqnarray*}
&&\!\!\!\!\!\!\!
\int_0^t\frac{\partial f}{\partial x_i}
(s,X_1(s,\omega),\dots,X_d(s,\omega))\,dX_i(s,\omega) \\
&&=\int_0^t\frac{\partial f}{\partial x_i}
(s,X_1(s,\omega),\dots,X_d(s,\omega))K_i(s,\omega)\,ds \\
&&\qquad\qquad +\sum_{j=1}^r\int_0^t\frac{\partial f}{\partial x_i}
(s,X_1(s,\omega),\dots,X_d(s,\omega))H_{i,j}(s,\omega)\,dW_i(s,\omega)
\end{eqnarray*}
minden $1\le i\le d$ indexre a (\ref{7}) formula alapj\'an.

\medskip
Befejezésül heurisztikus magyarázatot adok arra, hogy miért
ilyen alakú az It\^o formula. A $df(X(s,\omega))$ differenciálra 
kell jó képletet adni, ami va\-ló\-já\-ban egy jó aszimptotikus 
formulát jelent az $f(X(s+h,\omega))-f(X(s,\omega))$ 
dif\-fe\-ren\-ciá\-ra kis $h$ sz\'am  esetén. A probléma 
determinisztikus megfelelőjében, amikor az $f(x(s+h))-f(x(s))$ 
differenciát kell j\'ol  megbecsülni kis $h$ sz\'am esetén,
a következőképp érvelhetünk.
\begin{eqnarray*}
f(x(s+h))-f(x(s))&=&\left.\frac{df(x(u))}{du}\right|_{u=\xi}h
=\left.\frac{df(x(u))}{du}\right|_{u=x(s)}h+o(h) \\
&=&\left.\frac{df(x)}{dx}\right|_{u=x(s)} \frac{dx(s)}{ds}h+o(h),
\end{eqnarray*}
ahol $\xi$ alkalmas pont az $[x(s),x(s+h)]$ intervallumban. Ez
azt jelenti, hogy 
$\left.\frac{df(x)}{dx}\right|_{u=x(s)} \frac{dx(s)}{ds}h$ j\'o 
becsl\'es az $f(x(s+h))-f(x(s))$ differenciára, ami heurisztikusan
\'ugy fogalmazhat\'o meg, hogy $df(x(s))=f'(x(s))x'(s)ds$. 

A $df(X(s,\omega))$ differenci\'alra, ahol
$X(s,\omega)$ egy $W(s,\omega)$ Wiener folyamat \'altal 
defini\'alt It\^o folyamat, m\'as eredm\'eny \'erv\'enyes. 
Ez azzal f\"ugg \"ossze, hogy a $W(s,\omega)$ Wiener folyamat 
megv\'altoz\'asa kis intervallumban m\'asfajta 
vi\-sel\-ke\-d\'est mutat. Ugyanis 
$\frac{W(s+h,\omega)-W(s,\omega)}{\sqrt h}$ standard normális 
eloszlású va\-ló\-sz\'i\-nűs\-é\-gi vál\-to\-zó. \'Igy a 
$W(s+h,\omega)-W(s,\omega)$ különbség kis $h$ paraméter esetén 
$\sqrt h$ nagy\-ság\-ren\-dű, ez\'ert egy 
$f(W(s+h,\omega))-f(W(s,\omega))$ vagy ál\-ta\-lá\-no\-sa\-bban 
egy $f(X(s+h,\omega))-f(X(s,\omega))$ alakú kifejezésre, ahol 
$X(s,\omega)$ It\^o folyamat, \'ugy tudunk $o(h)$ hibájú 
közel\'itést adni, hogy az $f(W(s+h,\omega))$ vagy 
$f(X(s+h,\omega))$ függvény Taylor sorfejtését a második tagig 
vessz\"uk. To\-v\'abb\-b\'a ezen sorfejtés második tagjában 
a $h^2$ \'es $h[W(s+h,\omega)-W(s,\omega)]$ illetve 
$h[X(s+h,\omega)-X(s,\omega)]$ kifejezésnek megfelelő tagok 
elhanyagolhatóan kis hibát adnak, ezért elhagyhatóak. 
Ezenkivül a $[W(s+h,\omega)-W(s,\omega)]^2$ kifejezés 
helyettes\'ithető az $E[W(s+h,\omega)-W(s,\omega)]^2=h$ 
kifejezéssel. Ezek a közel\'itések a differenciálok nyelvén 
azt jelentik, hogy $(ds)^2=0$, $ds\cdot dW(s,\omega)=0$ \'es 
$(dW(s,\omega))^2=ds$, azaz az (\ref{5})~formula érvényes.

Megjegyzem, hogy az It\^o formula bizony\'itása a fenti heurisztikus 
érvelés rendbe tételét jelenti. A legnehezebb rész annak igazolása, 
hogy a $[W(s+h,\omega)-W(s,\omega)]^2$ kifejezés helyettes\'it\'ese az
$E[W(s+h,\omega)-W(s,\omega)]^2=h$ kifejezéssel elhanyagolhatóan
kis hibát ad. Nem mondhatjuk ugyanis, hogy a
$[W(s+h,\omega)-W(s,\omega)]^2-E[W(s+h,\omega)-W(s,\omega)]^2$ 
sztochasztikus folyamatban (mint az $s$ paramétertől függő
sztochasztikus folyamatban r\"ogz\'itett kis $h$ sz\'ammal) 
szereplő val\'osz\'inűségi változók elhanyagolhatóan kicsik. 
Ahhoz, hogy a most tárgyalt közel\'ités jogosságát igazoljuk fel 
kell használni e sztochasztikus folyamat függetlenségi 
tulajdonságait is.



\end{document}
