\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=4pt
\nopagenumbers
\define\oo{\omega}
\parindent=22pt
\centerline{\bf Feladatok}
\bigskip
\item{1.)} K\'et szem\'ely a k\"ovetkez\H{o} j\'at\'ekot j\'atssza:
Az els\H{o} szem\'ely minden id\H{o}pontban 100 l\'ep\'est tehet a
k\'et-dimenzi\'os r\'acson az orig\'ob\'ol indulva, \'es csak
f\"olfel\'e vagy jobbra l\'ephet. Ezut\'an a m\'asodik j\'at\'ekos
kijel\"ol egy r\'acspontot, melyre az els\H{o} j\'at\'ekos nem
l\'ephet. A k\'et j\'at\'ekos l\'atja egym\'as l\'ep\'eseit. Az
els\H{o} j\'at\'ekos szeretne az orig\'ot\'ol tetsz\H{o}leges
messze eljutni, a m\'asodik j\'at\'ekos pedig ezt meg akarja
akad\'alyozni. Ki nyeri meg ezt a j\'at\'ekot j\'o strat\'egia
eset\'en? 
\item{1b.)} Mi a helyzet, ha az els\H{o} j\'at\'ekos nemcsak felfel\'e,
de lefel\'e is l\'ephet? Ha az els\H{o} j\'at\'ekos a
h\'arom-dimenzi\'os r\'acson bolyonghat, de minden ir\'anyban csak
el\H{o}re l\'ephet? Ha magasabb dimenzi\'os r\'acson bolyonghat,
minden ir\'anyban csak el\H{o}re l\'epve? Ha a k\'et-dimenzi\'os
r\'acson b\'armely ir\'anyban l\'ephet? (\'Ugy tudjuk, hogy az
utols\'o k\'et k\'erd\'es megoldatlan. S\H{o}t, mi a h\'aromdimenzi\'os
feladatot sem tudjuk megoldani. Ezt a feladatot P.R. Mauldin
professzort\'ol hallottuk.)
\item{2.)} Legyenek adva a s\'{\i}kban k\"or\"ok, melyek k\"oz\"ul
semmelyik kett\H{o} nem metszi egym\'ast, \'es tekint\"uk az \"osszes
olyan pontot, ahol  e k\"or\"ok k\"oz\"ul legal\'abb kett\H{o} \'erinti
egym\'ast. Bizonyitsuk be, hogy az e pontokb\'ol \'all\'o halmaz
sz\'amoss\'aga nem lehet nagyobb mint megsz\'aml\'alhat\'o.
\hfill\break
(Ezt a feladatot Keleti Tam\'as javaslat\'ara t\H{u}zt\'ek ki az idei
nemzetk\"ozi, egye\-te\-mis\-t\'ak k\"oz\"otti versenyen
Bulg\'ari\'aban.)
\item{2b.)} (Egyszer\H ubb, de hasonl\'o feladat.) Nevezz\"uk $Y$-nak a
sikon egy pontb\'ol m\'as-m\'as ir\'anyba indul\'o h\'arom szakasz
\'uni\'oj\'at. Igazoljuk, hogy diszjunkt $Y$-ok tetsz\H oleges
rendszere megsz\'aml\'alhat\'o.
\item{3.)}L\'assuk be, hogy egy v\'egesen gener\'alt idempotens
f\'elcsoport v\'eges. \hfill\break
Definici\'ok: A f\'elcsoport olyan halmaz, melyen van egy
k\'etv\'altoz\'os,
asszociativ m\H uvelet. A f\'elcsoport idempotens, ha annak minden
$a$ elem\'ere $a^2=a$.
\item{3b.)} H\'any eleme lehet maximum egy \"ot elemmel gener\'alt
idempotens f\'elcsoportnak? Hogy n\'ez ki egy szabad idempotens
f\'elcsoport?
\item{4.)} Adjunk meg olyan v\'egtelen hossz\'u 0--1 sorozatot,
amelyikben egyetlen (nem \"ures) r\'eszsorozat sem ism\'etl\H odik
h\'aromszor k\"ozvetlen\"ul egym\'as ut\'an. (\'Igy p\'eld\'aul egy a
00101011 jelekkel kezd\H{o}d\H{o} sorozat nem j\'o, mert ebben a 01
h\'aromszor ism\'etl\H odik.)
\item{4b.)} Van-e v\'egtelen sorozat h\'arom bet\H ub\H ol, amelyikben
egyetlen (nem \"ures) r\'esz\-so\-ro\-zat sem ism\'etl\H odik k\'etszer
egym\'as ut\'an?
 
\bye