\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=2pt plus0.5pt
\parindent=18pt
\TagsOnRight
%\nopagenumbers
 
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\e{\varepsilon}
 
\centerline {\bf Val\'osz\'\i{}n\H us\'egi becsl\'esek, alapvet\H o
technik\'ak} \medskip
Legyen adva $\xi_1$, $\xi_2$, \dots $\xi_n$ f\"uggetlen egyforma
eloszl\'as\'u f\"uggetlen val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok
sorozata. Kiv\'ancsiak vagyunk az \"osszeg eloszl\'as\'anak
aszimptotikus vi\-sel\-ke\-d\'e\-s\'e\-re, arra hogy a ,,sz\'ep
esetekben'' milyen pontoss\'ag\'u becsl\'est adhatunk erre.  \'At
k\'\i{}v\'anjuk tekinteni azokat az alapvet\H o technik\'akat, melyek
seg\'\i{}ts\'eg\'evel erre a k\'erd\'esre v\'alaszt tudunk adni, \'es
melyik m\'odszer mire alkalmas. Feltessz\"uk, hogy a $\xi$
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'asa sz\'ep,
$E\xi_1=0$, $E\xi_1^2=1$, az \"osszes momentum l\'etezik, \'es a
$\xi_1$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o $F(x)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'enek l\'etezik sz\'ep $f(x)$ s\H ur\H
us\'egf\"uggv\'enye.
 
Foglalkozzunk el\H osz\"or az $S_n=\sum\limits_{k=1}^n \xi_k$,
$f_n(x)=f^{*(n)}(x)$, s\H ur\H us\'egf\"uggv\'eny\'enek az aszimptotkus
viselked\'es\'evel, ahol $f^{*(n)}$ az $f$ f\"uggv\'eny $n$-szeres
konvol\'uci\'oj\'at jelenti \"onmag\'aval. Ezt ugyanis megadhatjuk a
Fourier anal\'\i{}zis n\'eh\'any alapvet\H o eredm\'eny\'enek a
seg\'\i{}ts\'eg\'evel. Az eloszl\'asf\"uggv\'eny aszimptotikus
viselked\'es\'et szint\'en megkaphatjuk e technika
seg\'\i{}ts\'eg\'evel. N\'emi sim\'\i{}t\'assal,
amennyiben az sz\"uk\-s\'e\-ges, el\'erhetj\"uk, hogy olyan eloszl\'as
konvol\'uci\'oj\'at el\'eg vizsg\'alni, melynek van s\H u\-r\H
u\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye, \'es ha az \"osszeg s\H ur\H
us\'egf\"uggv\'eny\'ere van j\'o aszimptotika, akkor azt
kiintegr\'alva, az eloszl\'asf\"uggv\'enyre is j\'o aszimptotik\'at
kapunk.
 
Id\'ezz\"uk fel a k\"ovetkez\H o eredm\'enyeket: Ha $f(x)$ tetsz\H
oleges integr\'alhat\'o f\"uggv\'eny, amelyiknek a Fourier
transzform\'altja
$$
\tilde f(t)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{itx}f(x)\,dx
$$
is integr\'alhat\'o (ez $f(x)$-re simas\'agi felt\'etel),
akkor az inverz transzform\'aci\'o a k\"ovetkez\H o:
$$
f(x)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{-itx} \tilde f(t)\,dt\;.
$$
\item{}{\it Feladat:}\/ \'Erts\"uk meg \'es bizony\'\i{}tsuk be a
fenti formul\'at. Haszn\'aljuk fel, hogy egy sima peri\'odikus
f\"uggv\'eny egyenl\H o a Fourier sor\'aval. Ezt a t\'enyt
kihaszn\'alva egy $[-T,T]$ intervallumban, majd alkalmazva a
$T\to\infty$ hat\'ar\'atmenetet bizony\'\i{}tsuk be az
\'all\'\i{}t\'ast sima $f$ f\"uggv\'enyekre. Sim\'\i{}t\'as
seg\'\i{}ts\'eg\'evel szabaduljunk meg a simas\'agi felt\'etelt\H ol.
\'Erdemes a sim\'\i{}t\'ast konvol\'uci\'o seg\'\i{}ts\'eg\'evel
v\'egezni. \medskip
Vezess\"uk be a $*$ konvol\'uci\'o oper\'atort:
$f*g(x)=\int_{-\infty}^\infty f(y)g(x-y)\,dy$. Ekkor $\tilde
f_n(t)=\tilde f^n(t)$, azaz f\"uggv\'enyek konvol\'uci\'oj\'anak
a Fourier transzform\'altja egyenl\H o a Fourier transzform\'altak
szorzat\'aval, $\tilde f(t)\to0$, ha $|t|\to\infty$, s\H ot $\tilde
f(t)=O(|t|^{-k})$ vagy $O(e^{-\alpha |t|})$, ha az $f(x)$ s\H ur\H
us\'egf\"uggv\'eny el\'eg sima, \'es
$\sup\limits_{|t|\ge\varepsilon}|\tilde f(t)|<1$ minden
$\varepsilon>0$-ra. Tov\'abb\'a, $\left.\dfrac {d^k}{dt^k}\tilde
f(t)\right|_{t=0}=i^k E\xi^k$. Mi\'ert igazak ezek az
\'all\'\i{}t\'asok?
 
Ez\'ert
$$
f^{*(n)}(x)=\frac1{2\pi}\int e^{-itx}\tilde f^n(t)\,dt
$$
$$
\frac 1{\sqrt n}f^{*(n)}\left(\frac x{\sqrt n}\right)=\frac1{2\pi}\int
e^{-itx}\tilde f^n\left(\frac t{\sqrt n}\right)\,dt
$$
Innen kiolvashat\'o a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel lok\'alis
alakja, (azaz a s\H ur\H us\'egf\"uggv\'eny konvergenci\'aja a
norm\'alis s\H ur\H us\'egf\"uggv\'enyhez), \'es meg lehet adni a
konvergencia se\-bes\-s\'e\-g\'et. Val\'oban,
$$
\align
\tilde f^n\left(\frac t{\sqrt n}\right)=\left(1-\frac
{t^2}{2n}+O\left(\frac{t^3}{n^{3/2}}\right)\right)^n&=e^{-n(t^2
n^{-1}+O(n^{-3/2}t^3))}\\
&=e^{-t^2/2}\left(1+O\left(\frac {t^3}{\sqrt
n}\right)\right).
\endalign
$$
Ez\'ert felhaszn\'alva a Fourier transzform\'alt gyors elt\"un\'es\'et
a v\'egtelenben kapjuk, hogy
$$
\frac 1{\sqrt n}f^{*(n)}\left(\frac x{\sqrt n}\right)=\frac1{2\pi}\int
e^{-itx}e^{-t^2/2}\,dt+O(n^{-1/2})=\frac 1{\sqrt
{2\pi}}e^{-x^2/2}+O(n^{-1/2}).
$$
 
\item{1.)} Dolgozzuk ki e bizony\'\i{}t\'ast alkalmas felt\'etelek
teljes\"ul\'ese eset\'en.
 
Lehet a pontosabb $\tilde f(t)=1-\dfrac{t^2}2+\dfrac  {i^3m_3}6
t^3+\cdots+\dfrac{i^k m_k}{k!}t^k+O(t^{k+1})$ Taylor sorfejt\'est
alkalmazni. Milyen pontosabb aszimptotik\'at adhatunk ennek
seg\'\i{}ts\'eg\'evel? Bi\-zo\-ny\'\i{}t\-suk be a k\"ovetkez\H o
\'all\'\i{}t\'ast:
\item{2.)}
$$
\int e^{itx} t^k e^{-t^2/2}\,dt= \frac {i^k}{k!}\frac1{\sqrt{2\pi}}
H_k(x)e^{-x^2/2},
$$
ahol $H_k(x)$ a $k$-ik Hermite polinom 1 f\H oegy\"utthat\'oval.
\item{3.)} Bizony\'\i{}tsuk be, (alkalmas feltev\'esek mellett), hogy
$$
\align
\frac 1{\sqrt n}f^{*(n)}\left(\frac x{\sqrt n}\right)=
\frac 1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\biggl(1&+d_3\frac{H_3(x)}{n^{1/2}}+
d_4\frac{H_4(x)}{n}+\cdots \\
&+d_k\frac{H_k(x)}{n^{(k-2)/2}}\biggr)
+O(n^{-(k-1)/2}),
\endalign
$$
ahol $H_k(x)$ a $k$-ik Hermite polinom, \'es a $d_j$ konstans a $\xi$
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altoz\'o els\H o $j$ momentum\'at\'ol
f\"ugg minden $3\le j\le k$-ra.
\item{4.)} Tekints\"uk az $f(x)=e^{-x}$, ha $x\ge 0$, $f(x)=0$ ha $x<0$
(az exponenci\'alis eloszl\'ashoz tartoz\'o) s\H ur\H
us\'egf\"uggv\'enyt. \'Irjuk fel erre a (lok\'alis) centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelt, \'es ennek seg\'\i{}ts\'eg\'evel
bizony\'\i{}tsuk be a Stirling formul\'at, (ami $n!$ aszimptotikus
vi\-sel\-ke\-d\'e\-s\'e\-nek a le\'\i{}r\'asa.) A (lok\'alis) centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelre adott sorfejt\'es seg\'\i{}ts\'eg\'evel
adjunk sorfejt\'est a
Stirling formul\'ara is. \medskip
Ha a s\H ur\H us\'egf\"uggv\'eny helyett az eloszl\'asf\"uggv\'eny
aszimptotikus viselked\'es\'et akarjuk vizsg\'alni, akkor n\'emi
sim\'\i{}t\'asra van sz\"uks\'eg. Ehhez hasznos a k\"ovetkez\H o
feladat megold\'asa. \smallskip
\item{5.)} L\'etezik olyan $\mu$ val\'osz\'\i{}n\H us\'egi
m\'ert\'ek, amelyiknek a $\varphi(t)=\int_{-\infty}^\infty
e^{itx}\,\mu(dx)$ Fourier transzform\'altja (karakterisztikus
f\"uggv\'enye) $|t|>1$ re elt\"unik, azaz $\varphi(t)=0$ ha $|t|\ge 1$.
\item{} {\it Seg\'\i{}ts\'eg:}\/ (Egy lehets\'eges konstrukci\'o.)  Ha
$f(x)$ sz\'ep, korl\'atos tart\'oj\'u s\H u\-r\H
u\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny, akkor $f*f^-(x)$, $f^-(x)=f(-x)$, is az.
Tov\'abb\'a ennek
Fourier transzform\'altja $\widetilde {f*f^-}(x)$ nem negat\'\i{}v val\'os
f\"uggv\'eny. Ennek a t\'enynek \'es az inverz Fourier
transzform\'altra adott formul\'anak a seg\'\i{}ts\'eg\'evel mutassuk
meg, hogy $\widetilde {f*f^-}(x)$ alkalmas line\'aris
transz\-for\-m\'a\-ci\'o\-ja v\'alaszthat\'o mint egy k\'\i{}v\'ant
tulajdons\'ag\'u $\mu$ s\H ur\H us\'egf\"uggv\'enye.
\item{6.)} Legyen $F$ \'es $G$ k\'et eloszl\'asf\"uggv\'eny (vagy
\'altal\'anosabban $G$ olyan korl\'atos v\'al\-to\-z\'a\-s\'u
f\"uggv\'eny, melyre $\lim\limits_{t\to-\infty}G(t)=0$,
$\lim\limits_{t\to\infty}G(t)=1$), $\omega(x)$ az 5. feladat
felt\'eteleit kiel\'eg\'\i{}t\H o $\mu$ m\'ert\'ek s\H ur\H
us\'egf\"uggv\'enye, $\omega_T(x)=\dfrac 1T\omega\left(\dfrac
xT\right)$, $F_T(x)=F*\omega_T(x)$, $G_T(x)=G*\omega_T(x)$.
Bizony\'\i{}tsuk be, hogy
$$
F_T(x)-G_T(x)=\frac 1{2\pi}\int_{-T}^T e^{-itx}\frac{\tilde F(t)-\tilde
G(t)}{-it}\tilde\omega_T(t)\,dt\;,
$$
$$
\Delta_T(x)=|F_T(x)-G_T(x)|\le\frac 1{2\pi}\int_{-T}^T \frac{|\tilde
F(t)-\tilde G(t)|}{|t|}\,dt\,
$$
ahol $\,\tilde{ }\,$ Fourier transzform\'aci\'ot jel\"ol.
\smallskip
K\'erd\'esek: A minket \'erdekl\H o esetekben ($F$ f\"uggetlen
val\'osz\'\i{}n\H us\'egi v\'altozok \"ossze\-g\'e\-nek
sztandardiz\'altj\'anak az eloszl\'asf\"uggv\'enye, $G(x)$ a
norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny vagy a harmadik feladat
jobboldal\'an szerepl\H o f\"uggv\'eny integr\'alja) mi\'ert nem zavar
az, hogy a becsl\'esben $t$-vel osztunk?  Mi\'ert jobb ez a becsl\'es
ann\'al, amit az $F_T-G_T$ deriv\'altj\'anak a kiintegr\'al\'as\'ab\'ol
a fent ismertetett becsl\'esek seg\'\i{}ts\'eg\'evel kapn\'ank?
\smallskip
\item{7.)} Ha j\'o becsl\'es\"unk van $\Delta_T(x)=|F_T(x)-G_T(x)|$-re
viszonylag nagy $T$-vel, akkor hogyan tudunk j\'o becsl\'est kapni
a $\Delta(x)=|F(x)-G(x)|$ kifejez\'esre?
\smallskip\noindent
(A fent ismertett becsl\'esek a s\H ur\H us\'eg \'es
eloszl\'asf\"uggv\'enyre csak az $|x|\le \text{const.}\,\sqrt{\log
n}$ intervallumban hasznosak. Mi\'ert? Hogyan lehet j\'o aszimptotik\'at
adni, ha $x\gg\sqrt{\log n}$? E probl\'ema vizsg\'alat\'aban hasznos a
nyeregpont m\'odszer.)
 
\bye
