\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=4pt
\parindent=18pt
 
\define\e{\varepsilon}
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
\noindent
{\bf Feladatok}
\bigskip
\item{1.)} Legyen adva a s\'\i{}kon egy f\'elegyenes, melynek a
v\'eg\'en egy akad\'aly van. Szerkessz\"uk meg a f\'elegyenes
meghosszabb\'\i{}t\'as\'at csak vonalz\'o felhaszn\'al\'as\'aval.
\medskip
\item{2.)} Egy ellipszis alak\'u asztalon mozogjon egy pont a fizika
t\"orv\'enyei szerint. Azaz a pont az asztal belsej\'eben egyenes
vonal\'u egyenletes mozg\'ast v\'egez, \'es ha az asztal hat\'ar\'ahoz
\'er, akkor az ellipszis \'erint\H oj\'evel bez\'art bees\'esi \'es
visszaver\H od\'esi sz\"ogek megegyeznek. L\'assuk be, hogy van egy
olyan az asztal hat\'ar\'at k\'epez\H o ellipszissel koncentrikus
ellipszis vagy hiperb\'ola, melyet a pont p\'aly\'aj\'at alkot\'o
egyenesek \'erintenek. (K\'et k\'upszeletet koncentrikusnak nevez\"unk,
ha a f\'okuszpontjaik meg\-egyeznek.)
\item{} {\it Seg\'\i{}ts\'eg:}\/ Haszn\'aljuk fel azt, hogy ha a pont
az ellipszis egyik f\'okuszpontb\'ol indul ki, akkor a t\"ukr\"oz\'es
ut\'an \'atmegy a m\'asik f\'okuszponton.
\item{3.)} Defini\'aljuk a $y=\bold T x=1-2x^2$ transzform\'aci\'ot a
$[-1,1]$ intervallumon, \'es te\-kint\-s\"unk valamilyen $x_0\in [0,1]$
pontb\'ol kiindul\'o \'es az $x_{n+1}=\bold T x_n$, $n=1,2,\dots$,
rekurzi\'o seg\'\i{}ts\'eg\'evel defini\'alt sorozatot. L\'assuk be,
hogy
\itemitem{a.)} Az $f(x)=\frac1\pi\frac1{\sqrt{1-x^2}}$ s\H ur\H
us\'egf\"uggv\'ennyel meghat\'arozott m\'ert\'ek a $\bold T$
transzform\'aci\'o invari\'ans m\'ert\'eke, azaz tetsz\H oleges
m\'erhet\H o $\bold A\subset [0,1]$ halmazra, $\mu(\bold A)=\mu
\(\bold T^{-1}(\bold A)\)$, ahol $\bold T^{-1}(\bold A)=\{x\: \bold
Tx\in\bold A\}$, \'es $\mu(\bold
A)=\int_{\bold A} f(x)\,dx$. (Neumann J\'anos \'es Ulam t\'etele.)
\itemitem{}{\it Seg\'\i{}ts\'eg:}\/  \'Irjuk fel a transzform\'aci\'ot
egy $(u,\,v)$, $x=\cos u$, $y=\cos v$, $0\le u,v\le \pi$
koordin\'atarendszerben. L\'assuk be, hogy ekkor a $v=G(u)$,
$$
G(u)= \cases
\pi-2u& \text{ha }0\le u\le\frac\pi2\\
2u-\pi& \text{ha } \frac\pi2\le u\le \pi
\endcases  \; .
$$
transzform\'aci\'ot kell tekinteni.
\itemitem{b.)} L\'assuk be, hogy a $[-1,1]$ intervallum fenti $\bold T$
transzform\'aci\'oja a defini\'alt $\mu$ m\'ert\'ekkel ergodikus, azaz
ha $\bold T^{-1}\bold A=\bold A$, akkor $\mu(\bold A)=0$ vagy
$\mu(\bold A)=1$.
\itemitem{}{\it Seg\'\i{}ts\'eg:}\/ Ha $\bold T^{-1}\bold A=\bold
A$, akkor $\bold T^{-n}\bold A=\bold A$ minden $n$-re. Mit jelent ez az
\'uj $(u,v)$ koordin\'atarendszerben?
\itemitem{c.)} Mit mondhatunk egy ``tipikus" $x_0$ pontb\'ol kiindul\'o
pont $x_n$, $n=1,2,\dots$, p\'aly\'aj\'ar\'ol?
\bigskip\noindent
Az utols\'o k\'et feladat kapcs\'an besz\'elni fogunk arr\'ol a
k\'erd\'esr\H ol, hogy egy tipikus fizikai rendszernek milyen
szab\'alyos vagy szab\'alytalan p\'aly\'aja lehet, \'es hogy ennek mi
van a h\'atter\'eben. Erre a k\'erd\'esk\"orre a k\'es\H obbiekben is
szeretn\'enk visszat\'erni.
 
\bye