\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=4pt
\parindent=18pt
 
\nopagenumbers
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\e{\varepsilon}
\define\limm{\lim\limits}
 
\noindent {\bf A szeptember 23. szemin\'arium r\"ovid
\"osszefoglal\'oja.}\bigskip
 
Adva egy $[a_1,a_s,\dots,a_n]$
 $[a_1,a_s,\dots,]=
\limm_{n\to\infty}[a_1,a_s,\dots,a_n]$ v\'eges vagy v\'egtelen
l\'anct\"ort ennek k\"ozel\'{\i}t\H{o}
$[a_1,a_s,\dots,a_k]$ k\"ozel\'{\i}t\H{o} l\'anct\"ortjei
kisz\'am\'{\i}that\'oak a
$$
[a_1,a_s,\dots,a_k]=\dfrac {p_k}{q_k},
$$
$$
\aligned
p_j&=a_jp_{j-1}+p_{j-2} \\
q_j&=a_jq_{j-1}+q_{j-2}
\endaligned
\qquad j=1,2,\dots
$$
\'es
$$
p_{-1}=1,\;q_{-1}=0,\quad p_0=0,\;q_0=1
$$
rekurz\'{\i}v formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Tov\'abb\'a,
\'erv\'enyesek a
$$
\align
p_nq_{n-1}-q_np_{n-1}&=(-1)^{n+1}  \\
p_nq_{n-2}-q_np_{n-2}&=(-1)^{n}a_n
\endalign
$$
formul\'ak. Bel\'attuk, hogy minden $0\le\alpha<1$ sz\'am
l\'enyeg\'eben egy\'ertelm\H{u}en fel\'{\i}rhat\'o l\'anct\"ort
alakban. Tov\'abb\'a figyelve az el\H{o}z\H{o}
formul\'ak geometriai jelent\'es\'ere l\'attuk, hogy
$$
\frac1{q_n(q_n+q_{n+1})}=
\left|\frac{p_{n+1}+p_n}{q_{n+1}+q_n}-\frac{p_n}{q_n}\right|
<\left|\alpha-\frac{p_n}{q_n}\right|<
\left|\frac{p_{n+1}}{q_{n+1}}-\frac{p_n}{q_n}\right|=\frac1{q_nq_{n+1}}
$$
Ez azt jelenti, hogy egy sz\'amnak ezen sz\'am l\'anct\"ort
k\"ozel\'{\i}t\'esei viszonylag kis nevez\H{o}j\H{u} t\"ortekkel
megadott j\'o approxim\'aci\'oj\'at biztos\'{\i}tj\'ak. A
tov\'abbiakban arra lesz\"unk ki\-v\'an\-csi\-ak, hogy melyek egy sz\'am
legjobb viszonylag kis nevez\H{o}j\H{u} approxim\'aci\'oi, \'es milyen
j\'o approxim\'aci\'ot tudunk adni egy konkr\'et sz\'amra. Bevezett\"uk
a k\"ovetkez\H{o} definici\'ot:
 
\medskip\noindent {\it
Egy $\alpha$ sz\'amnak a $\dfrac pq$ t\"ort els\H{o}rendben optim\'alis
approxim\'aci\'oja, ha
$$
\left|\frac pq-\alpha\right|<\min_{1\le s< q}
\left|\frac rs-\alpha\right|,
$$
m\'asodrendben optim\'alis approxim\'aci\'oja, ha
$$
\left|p-q\alpha\right|<\min_{1\le s< q}
\left|r-s\alpha\right|.
$$
}\medskip
L\'atni fogjuk, hogy az els\H{o} \'es m\'asodrendben optim\'alis
approxim\'aci\'ok szoros kap\-cso\-lat\-ban vannak a l\'anct\"ortekkel.
 
V\'eg\"ul fel\'{\i}rtunk egy formul\'at, mely hasznos lesz ``tipikus"
pontok kis nevez\'oj\H{u} t\"ortekkel val\'o
approxim\'alhat\'os\'ag\'anak vizsg\'alat\'aval.
 
Adva egy $y$ val\'os sz\'am, akkor jel\"olje $[y]$ az $y$ sz\'am
eg\'esz r\'esz\'et, azaz a a legnagyobb $y$-n\'al kisebb eg\'esz
sz\'amot, $\{y\}=y-[y]$ pedig az $y$ sz\'am t\"ort r\'esz\'et. Adva egy
$x=[a_1,a_2,\dots]$ l\'anct\"ort alakban megadott sz\'am $0\le x<1$,
legyen $Tx=[a_2,a_3,\dots]$ \'es $T^kx=[a_{k+1},a_{k+2},\dots]$,
$k=1,2,\dots$. Ekkor $Tx=\left\{\dfrac1x\right\}$, $T^k x$ pedig a $T$
transzform\'aci\'o $k$-szoros iter\'aci\'oja az $x$ pontra alkalmazva.
V\'eg\"ul $a_k=\left[\dfrac1{T^{k-1}x}\right]$, $k=1,2,\dots$.
 
 
\bye
 
 
 
 
 
 
