A szeptember 23. szeminárium rövid összefoglalója.

Adva egy [a_{1}, a_{s}, …, a_{n}] [a_{1}, a_{s}, …,] = lim_{n→∞}[a_{1}, a_{s}, …, a_{n}] véges vagy végtelen

lánctört ennek közelítő [a_{1}, a_{s}, …, a_{k}] közelítő lánctörtjei kiszámíthatóak a

[a_{1}, a_{s}, …, a_{k}] = \frac{p_{k}}{q_{k}} ,

\begin{aligned}p_{j} & = a_{j}p_{j−1} + p_{j−2} \\ q_{j} & = a_{j}q_{j−1} + q_{j−2} \end{aligned} j = 1, 2, …

és

p_{−1} = 1, q_{−1} = 0, p_{0} = 0, q_{0} = 1

rekurzív formula segítségével. Továbbá, érvényesek a

p_{n}q_{n−1} − q_{n}p_{n−1} = (−1)^{n+1}
p_{n}q_{n−2} − q_{n}p_{n−2} = (−1)^{n}a_{n}

formulák. Beláttuk, hogy minden 0 ≤ α < 1 szám lényegében egyértelműen felírható lánctört alakban. Továbbá figyelve az előző formulák geometriai jelentésére láttuk, hogy

\frac{1}{q_{n}(q_{n} + q_{n+1})} = |\frac{p_{n+1} + p_{n}}{q_{n+1} + q_{n}} − \frac{p_{n}}{q_{n}} | < |α − \frac{p_{n}}{q_{n}} | < |\frac{p_{n+1}}{q_{n+1}} − \frac{p_{n}}{q_{n}} | = \frac{1}{q_{n}q_{n+1}}

Ez azt jelenti, hogy egy számnak ezen szám lánctört közelítései viszonylag kis nevezőjű törtekkel megadott jó approximációját biztosítják. A továbbiakban arra leszünk kiváncsiak, hogy melyek egy szám legjobb viszonylag kis nevezőjű approximációi, és milyen jó approximációt tudunk adni egy konkrét számra. Bevezettük a következő definiciót:

Egy α számnak a \frac{p}{q} tört elsőrendben optimális approximációja, ha

|\frac{p}{q} − α| < min_{1≤s<q} |\frac{r}{s} − α| ,

másodrendben optimális approximációja, ha

|p − qα| < min_{1≤s<q} |r − sα| .

Látni fogjuk, hogy az első és másodrendben optimális approximációk szoros kapcsolatban vannak a lánctörtekkel.

Végül felírtunk egy formulát, mely hasznos lesz “tipikus” pontok kis nevezójű törtekkel való approximálhatóságának vizsgálatával.

Adva egy y valós szám, akkor jelölje [y] az y szám egész részét, azaz a a legnagyobb y-nál kisebb egész számot, {y} = y − [y] pedig az y szám tört részét. Adva egy x = [a_{1}, a_{2}, …] lánctört alakban megadott szám 0 ≤ x < 1, legyen T x = [a_{2}, a_{3}, …] és

T^{k}x = [a_{k+1}, a_{k+2}, …], k = 1, 2, . . .. Ekkor T x = \{\frac{1}{x}\}, T^{k}x pedig a T transzformáció

k-szoros iterációja az x pontra alkalmazva. Végül a_{k} = [\frac{1}{T^{k−1}x}], k = 1, 2, . . ..